Laplace, Pierre-Simon de (1749-1827). Oeuvres compltes de
Laplace. 1878.
1/ Les contenus accessibles sur le site Gallica sont pour la
plupart des reproductions numriques d'oeuvres tombes dans le
domaine public provenant des collections de la BnF.Leur
rutilisation s'inscrit dans le cadre de la loi n78-753 du 17
juillet 1978 : *La rutilisation non commerciale de ces contenus est
libre et gratuite dans le respect de la lgislation en vigueur et
notamment du maintien de la mention de source. *La rutilisation
commerciale de ces contenus est payante et fait l'objet d'une
licence. Est entendue par rutilisation commerciale la revente de
contenus sous forme de produits labors ou de fourniture de service.
Cliquer ici pour accder aux tarifs et la licence
2/ Les contenus de Gallica sont la proprit de la BnF au sens de
l'article L.2112-1 du code gnral de la proprit des personnes
publiques. 3/ Quelques contenus sont soumis un rgime de
rutilisation particulier. Il s'agit : *des reproductions de
documents protgs par un droit d'auteur appartenant un tiers. Ces
documents ne peuvent tre rutiliss, sauf dans le cadre de la copie
prive, sans l'autorisation pralable du titulaire des droits. *des
reproductions de documents conservs dans les bibliothques ou autres
institutions partenaires. Ceux-ci sont signals par la mention
Source gallica.BnF.fr / Bibliothque municipale de ... (ou autre
partenaire). L'utilisateur est invit s'informer auprs de ces
bibliothques de leurs conditions de rutilisation.
4/ Gallica constitue une base de donnes, dont la BnF est le
producteur, protge au sens des articles L341-1 et suivants du code
de la proprit intellectuelle. 5/ Les prsentes conditions
d'utilisation des contenus de Gallica sont rgies par la loi
franaise. En cas de rutilisation prvue dans un autre pays, il
appartient chaque utilisateur de vrifier la conformit de son projet
avec le droit de ce pays. 6/ L'utilisateur s'engage respecter les
prsentes conditions d'utilisation ainsi que la lgislation en
vigueur, notamment en matire de proprit intellectuelle. En cas de
non respect de ces dispositions, il est notamment passible d'une
amende prvue par la loi du 17 juillet 1978. 7/ Pour obtenir un
document de Gallica en haute dfinition, contacter
[email protected].
< 'U{V'R~}:s:c: o~ipLTHs = v_ `Y `
f ~r
-.
.DJ~
-ai dont les coellicients sont constants; d'oit rsulte
l'intnration de ce genre d'{~quatioiis. t:cttc malil'e est de la
plus brantlc imliortlncc dans l'analyse des hasartls; je crois lre
le 1)J'emiel' qui l'ait consiclre ~t~oir Il's de la Gran~e l'a
tieltui, Tomes VI et 1'll dcs Savartts crr~rnj~rs 31. traitc Itar
une tri~s helle cI trs savante analyse dans les .tlcinoircs rh
llerlirr pour l'anne r77:i; j'ose e~ltrer que la ntanire nouvelle
dont je l'envisage dans ce )Imoil'c lie clltlaira pas aux gomtrcs.
Il suit de mes reclrcrcltcs que l'intgl'ation de toute 4~quation
linaire aux cliffOrances tinies partielles, dont les coelicients
sont constants, Iwutp. 69.
(1) Oh'uvrcs tlc Laplncc, T. ~'l, 1). el
~1~om
SUR LES
SIJITES.
3
se ramener celle d'unc q'uation linaire aux dil1rcnces
infininrcnt l petites, au moycn cl'intgralcs dfrnies prises par
rapport :1'.ilIli1eion\'elle variable; je norme irr~grale dfrnie
une int~rale prise depuis c IIIW valeur dterminc de la variahle
jusqu' tine autre %-aient- ltermine, Cette remarquc, plus curieuse
qu'ulile dans la thorie des diffrences finies, dcvient trs utile
lorsqu'on la transporte aux quations linaires aux (liffreilces7
infiniment p('tites partielles elle clntic u~n moyen de les intgrer
'dans 'une infinit de cas 'qIi se refusclll 11 toutes les mthodes
connues, ct, sans cllu, il ni'cilt tetc Ircsd-u impossillle de
prvoir les forIi1i.s dont les intgrales sont alors suscolrtihles.
)Jais, pour renclre cc que je viens de dirl' plus s('nsihle, il
11(~ sera pas inutile Ilc rappeler en peu de mots ce que l'on a
dcouvl'I't sur les qations linaires aux difl'rcncl's intiniment
petites 1)~ti,lielle> du second orclre. L'intbrale de ces
cluation, rcnfermc, ('011111le l'on sait, dl'ux fonctions
:lrhitrail'es; on a, de plus, l'l'marqu que e('~S fonctions peuvent
clrc, clans l'intgrale, al1l'ct'es du si~nc~ difIl'('IIlil'I rl; et
c'est, si je ne me lI'ompe, 11)1.\1. Eulel' et de la GI'ange quI'
l'on doit cette remarquc importante i la(Iiielle ils ont {'t
conduits par la ilioi-ie du son, dans le cas 011 l'air est- considr
avec ses tl'Ois dimensions, (:c:: (feux grands gomHres ont ensuite
(,t('llIlu 11)(~d thodes -~i es qualions plus comlrliducs que
celles de cc pl'Ohll'nll'; mais il restait -.1Il'ouver UlIt'
mthodl' au lI1oy('n dl' laquelle on lrilt gml'alement, ou
inlgrel'une quation quelconque I.in{'aip' du second s'as~urer que
son intgl'alc est impossihlc en 1(,1'lI1es on tinis, 'n n'ayant
c~arcl qu'aux seules varia hIes qu'elles l'I~nferll1ent C'est
l'caclmio [tour l'ohjct cl'un 3liiioii-o que j'ai insr rl;lus le
(le l'anne 1773 ('). Dans ce )(moil'e, j'ai dmonll'': 1 que les
fonction, arlritraires ne peuvent exister tlans l'intgl'ale (file
SOIISune forme linaire; -2)que si l'intgntle est possilrlc en
tel'mes lini5, l'n ne consiclrant que les seules variahles de
l'cluation, nue. (les dellx fondions arbitraircs est
nccessaircmcnt1 Uliorr.c rlc I,placc,
cllivrc cl signe illt{~gl';tI,r J'ai (loilli
(
'f. 1 X, p. i.
IF
~li~itol-1-IE
SUIT
I.ES
SUITES.
pnsuite une mthode gnl'alc pour avoir dans ce cas l'intgrale
compl~tt~de l'quation cli(Frentielle, en supposant illnie quo cette
quation renferme un terme indpendant (le la variable 'incipale;
etqui soit une fonction queleonciue des deux autres variahles;
d'oiI il suit que, IOI'squ'unc quatin prohose sc refuse il cette
mthode, on pet (tre as,ur, que son int~,rale comillte est
impossible en telrnes finis, en n'ayant gal'tl qu'aux seules
variahles de l'qution, 3laiiiteiiaiii,- la remarque dOIt j'ai
j)-ai-lci-clessus nt'a fait voit- que, dans ce cas, l'intiyrale est
possillle en termes finis; ait moyen tl'intc~rales d~rries llri,cs
par rapport il une nouvelle variablc qu'il ftilt nccssairement
alors introduire dans le calcul. On verra ci-aprs que ces frmes
cl'intgl'alt's sont du iiiiiie usage dans la solution des problmes
que les formes connues; jl' (loiiiie ilnur les olltenir une mthodo
qui s'tend 't un vrand nomlH'c de cas, el spcialement il plusieurs
questions phy_ siciuc, impol'tantes, telles que le itiottn-eiiieiit
des corclcs vibrantes dans tilt milicu rsistant comme la vilcsc,'la
i)l'O11.I~~t1011 soit dans un (lu plan,etc., dont on n'a pu
trotivei, encore que des solutions larticulires. En transilortallt
aux diffrences inlinitnellt petites les remal'qucs que je f;tia aur
une quation Ilarliculire aux (lifl'rences finies partielles, je
parviens il ill'asstilleil d'une manire inconleslahle que, dans le
prohli'nH' des cordes vibrantes, on peut aclrnettre des fonctions
discontinucs, pourvu qu'aucun des anglrs forms par deux c~l~s
contirus de la liglII'e, iniliale de la corde ne soit fini; d'OLIil
Ille Ilarait que ces fouctions Imuvcnt tre ~nralc.ment entialoves
dans tous les prolllmes qui se railporlent aux diffl'cnces
partielles, ilourw qu'elles puissent slIhsislel' avec les clualions
diITt;r('ntil'lles et avec les conclilions dit prohlt.me; ainsi?'
la seule conclition qui soit ncessaire dans la cliUermination des
fonctions (I'tiiie quation propose ai1 cli(icrences ilartielles de
l'ordre n est qu'il n'y ait pint de saut valeurh conscutives cl'une
ditTrence de ces fonctions, (leiix e illus pelile que la diffrence
llil'/IIc, t, par consquent, que, dans les ait utoyen desquelles on
relrrsente ces fonctions arhitraires, il n'y ait poinl de saut
entre (letix langcntes conscutivcs, si, comme
~I~[O 1 R'E SUit
LES SUITS.
5
dans le problme des cordes vibrantes, l'quation diffrentielle
est du second ordre, ou qu'il n'y ait lloint de saut entre cleim
i,avoiis osculateurs conscutifs, si l'quation est du troisime
ordre, etc., ce qui est conforme ce que )1. l inanluis de
r.ondol'cet a troU\', par une autre mtllocle, dans les Jlcinoires
rlc l'Icadmic pour l'anne 177 t, pages 7 si l'inlgrale renfcume les
et 71 1(ais il est essentiel que, nifri:l'erlces des fonclios
arhitmires, on doit consiclrer les eli(frene~. les plus lev,:s
comme les vritables fonctions arhitraires rlc l'intqu' ces
diffl'nces. Celtl' (filale, et n'alylliyuer la 1)rc(leiiie maniur
(1'(,clalrei- les points dlicats de la titoi-ie des (liffi-eilces
infiniment petiles par celle (les diffl'ences fi1ies est, si je ne
me Il'omile. :1 la Illus 11r'U[ll'r' l'empli., cet objet, et il me
somllle que, d'apl'h la filol-ie rluc fexpose, il lie doit rc'stcr
aucun doule stil- (les fonelions disconlinues lit'lIrs. je lions
liliaii-es aux rlifl'rence, llartielles, en hartie finies et en
partit' infiniment petilcs, et par quelques tllorcmes sur la
rcluction cn srrics des fonctions 11deux 'l'otites ces recllerche,
n'{'tant (lue le d!veloppcment cl'une consi,!'I'ation fort sinlllle
stii- la natlll'I' nlc flatter que l'analye dont j'ai fait des
fonctions j'ose 1111!l'ltl`l', sa ~l.'IICI':lll~t!, h:ll'
I)otiri'.1 l':lttl'lltl(111 (les (iCI1111Ct1'('s. Il. llc.s sr'tcs
il rurc scule larialilc. ~nit,o.yne fonction (Inelconque dc .z:; si
l'on forme la suite intinic r,t'+.+,oxt-t-y-.=mtr"+. )'" r, dans le
Calcul intc;;ral aux difl'prenccs pal'terminc ce 3[nioii,e 1),Ii-la
consiclration rl~s qlta-
y~y,t+y,c"-+
et que l'un nomme fi la sonttne de cette suite, ou, ce qui
revient au cette suite, cettl' mrne, la fonclion (lotit le toriiie
(nnction sera cc que je nomnte _%rectima(le la variallle,y~. Une
fonction ~nratril;e d'une variahle yuelconclue ra l'si donc
~i:nt'alr`mcnt une fonction de t, qui. d"clopp{'e suivant les
puissances de t, a cette variahle o Ilour eoem4~icnLde tl~; l'l,
1'~I~iproquc-
fi
1IF\(OIIiE
sun
LES SUITES.
nient, la variable correspondante cl'une fonction gnrirtricc est
le coefficient de tr dans le dvclol)l)ement t (lecette fonction
suivant les puissances de t. Il suit de ces dfinitions (lue, retant
la fonction grnratrice cley=, celle cie y, sera ut`; car il est
visible''qtie'le coe01cieilt (1t, t~`dans ut` est gal celui Ir ts-r
clans u, et pal' eonsquent gal l'st viclemineiat gal YNI -r' 1 111
ou 11~rr; d tant la cractristique clcs clifPrncs finies; on lai
clunc la foction gnl'at~ic' 'd l cli(rorencc finie cl'tine
ilua1it'('I multipliant par i la fonction gnratrice de la elleLe
coefficient de tr dans
mcrne; la fonction ~nratricu de .l2)',r est ainsi c~t,gitu~~ t.
cl'oir l'on I)e'tit coirclure que la ralement, (.elle dc 1 ~1`y'~
-est u(i fonction gnralrice dl' 1 ~'y, cst llt`(~ l'areillement, le
coefficient de t-r dans /s
b -ill' ll 1
e -i -4a-1-q)33 J
:\1l:IOHlE
SUR LES SUITES.
et, bnralement, la fonction gnratricc dc sera
partant la fonctioil gnratrice de .i sera
Onlleut gnraliser encore les thorhmcs hrctlcn(5, en supposant
yue 1'yr' rehrse~nte iin fOllction ~quolcorit~ue linaire de )'.r'
J'rt., y'+_, (Ille ~Yr rellrscito line nouvello fonction dails
lai[ucllc de la mctnc manire que ~'r %7~ entre que V'.),,
l'epl'sentr une fonction de W'yr,cullllahlc .1celle de Vy.en y~ et
ainsi de 5uite: l'on nomme rrs celle dr car, il (tant la fonction
gn{~I'alr'icc de si seront les fonctions gnl'atl'ices -tic C'=y'
~sy's, lis 2, us', En multipliant donc la fonction il pal' les
pui5~ances sticcessives de s, on aura les fonctions giiratrices des
1)i,o(Iiiiis de y'x pal' les puissances currt:,pontlantes de V, V
n'tant point une quantit, mais un(' cal'acli~l'istique; et cela
sera encore vrai en supposant ces puissances Cractionnairc, ct mme
incommensurallles. s tall't une fonction I(uelconque (le les
pUissances (le et et l, l, que on 1e 1 si l'on tlvelollpc s'
suivant
ternie (I"r conque tl,i~ne pal' iiii un terme 1 ( eSlgnr I( on
:ltll':1
le de cc tlC1'('I01)llCIllCllt, coegiciciii Il(' !'` dans sera
aura i" en sulrstituant, dans s, y' au licu (le
donc le coefficieilt de [.r dans rrs`, ou, ce qui revient au
mme, on y, 20 en dvelllen ajoullant ce tlue tlevienl alors si,
suivanl les puissances de et tant -.i,r, dans cltatlue lerme,
l'exposant de la puissance de c'est0 -tlire en crivant ,y. au 1lieu
de e 1 i au J'N' aul lieu de e 3'X~.= lieu de ( yX)~,et ainsi de
suite..
Si, au lieu de clveloyher s' suivant les puissances de , on le
dreloppe suivant les puissances de . et que l'on clsibne par
8
.NlNIOlitE
SUIi
I,ES
SUITES,
K (i 1r t-~dans Ku
un -ne U --1 1
1 colique sera K ~1"r.
l'c'officicllt de d e c(tvlo~1)1)elllellt, aura clonc ~'vr On 1"
en sulrstituailt, 1 + ait
clans s, ~~ ait lieu (le i 1,
ou, ce qui revient niiile,
licu dl' 1; en tlvelollllant ce que clavient alors s' suivant
les puissances (le ~lyr, et en appli(ji 11la cai-acti-isti(11-e les
exposants des Pllissancrs de Ai, en crivant J,1 ouait lieu de ainsi
tic suitc. (~r,.)", ~~1 .Il 1lieil de et En gnral, si l'on considre
s comnleitne folction de r, rtailt t-l'ile fonction cle telle que
le coefficient de t-~ulans rrr soit Csr. on aura lieu de r; en
dvrloppant ensuite ~`.1 en substituant, dans s, ait uc que clcvient
alors s' suivant Ics puissances de C; or. et en appliquant la
caractristiclue Llles exposants des puis,ances dr l1.e, re l'n
crivant on lieu de (Ct,l,.)' G~.l,- au lieu dr (t7,nr)~, ait l't
ainsi (lu restc. On aura donc ainsi les valeurs de V),.rt ~r_ (le
simples dveloppements (li! fonctions algbriqups. Soit la fonction
gnratrice (le ~'y' d tant la earaclristiqllc par lll'~
la foncintgrales liiiies; on aura, pal' CI' clul prcrde, -1 1
Yllour tion gnmtl'icc dc iiiais cette fonction doit, cn n'ayant
gard yu'aux lluissances posItives ou nulles de t, sc rcluirc :1 il.
On aura dont'rr A i d'olt nlll tin' =~ Il 3 C -fF ~~`
ult
-+-:1l`-~-+-13l`-'+ l;lt-~ -t(1 -,{ Ji
+ t'
(~tant les i constanles arhitl'ail'es clu'introiluisent les A,
B, Il' i int{\grations succe:>sives de 1-'it faisant
ahsll'aclion (h~ces 1'011slalltc!s, la fonclion gbnratricC! de
sei-ait rlonc la fonrtion ~nratrice de ~'a-~ (-11i fonction
gnbl'atl'icc dc et oii rrC~ 1 eii nn aurait i rlans la
aurait la varia hIe
:\If:~IOIHE
SUII LES SUITES.
9
laquelle on SUPPOSI' corresponclnte de la fonction rt(~ (lans en
chan~eant i en dans d'yr l't en supposant {IIU'Il's ilcatir, si
l'on a gal,(i cliffrcnccs rigatins reprsentent des illais, aux
constantes arlaitraires, il faut, en passant des puissances
positives aux puissances ngatives le i, ati-nicit c u cl'un nomltre
de tel'llH'S 1 ABC, cl~ l, 1 al eXIJOsant 1 la puissancc ncgallH' 1
i (e l, + --1+ J -+- ~ -.1 l'exl)osaiii gal Un voit par l cornlet
les fonctions ~n(~ralric~s se forme~nt de la loi des varial)les
corrcspo,ida'ntrs, et ripro(iement, de ((uellr 11anire ces
variables se clccluiscnt (le'leurs fonctions gnratriccs.
ahpli(Ilions maintenant ces rsultats la thorie dcs suites. III. Dc
l'irrletpolalion rles strilc~sci rtne sc-rtle rrit~iaGlo,~t do
l'intryrratnnr rles crlrtaliorrs rli(%rrrtliellcslirrarios. Toute
la throric le l'interpolation des suites consiste -.1 cltnrniinrr,
dcs termes (illi fitiel que soit i, la valeur dl' yr+, en fonction
et oti qui suivent y Pour cela, on doit olrservcr que J'ni est
,1gal au coefiicicnt de tr+t dans le dveloppement de rt, et, har
C()I]S( (itielit, gal au eoellieieut de trclans le Uvelolyument dc
'l'i) 01'()Il :l
De plus. le coe01cient cle tr dans le dveloppement
~le l'st ,r_
r~'
coefficicnt dans le clivelolrpement de est Wr; dans h' rliwu'_
FI 1 et ainsi dl' suite; un aura lolyement de il (1 [r, il est gal
clone, en repassant des fonctions gi'nratril'es aux varialrles
COl'I'('5punllantcs,
10
~I f: ~IO1 Il E SUIt `LES SU11'ES.
Celtc ('(Iuation, ayant lieu quel que soit i, servira interpoler
suites dont les (les lermes vot en dcroissant.
Ics
Toutes les manires de dyeloppcr la donneront auta'nl puissance
.le mthod(,8 tliffi-eiiles pour interlioler les suites; soil; pal'
exemplr, 1 =_1 1 -+-
a.lri
en dvcloppant i;, suivanlle~'pllissanc{'s de~. ait moyen du heau
(liol'l'me (le ~11. e l Grange (r.~oirles .ilmoires ~lel':I
cadmie,anne 1777. d page 1 1:), on trouvera facilement
ietant gal coefficieilt de ~xdans le dve oC~ le mme
coelHloppement de rrx est, pal' 1'.ii-licie pr('('dent. ce cienl
dans le dveloppement de uz~ est et ainsi dl' suite. On aura donc
~Iaintenanl,
1Voici prsentement une mthode bnrale d'interpolation (lui a
l'a\'anta~e de s'ahpliquer, non seulement aux suites dont les
dilTrencca des termes finissent har tre nulles, mais cncorc aux
suites dont la (leritibi-e raison des termes est celle cl'une suite
rcurrente quelconque,
~n~~IOlHE sun LES SUITES.Supposons ~I'al~or~l clue l'on ait
Il
et cherchons la valeur tle Il est clair dr la fraction (Itie si
1-
en
est gal ati coefricient (le Oidans le dv'clol)PC'llt l'on
multiplie le numrateur et le cluoiiira-
I)'aillrll\'s, Ic coefficienl 'de 4` dans Il' dH'lopprll1enl
l'gal a ~3. -(-
cle
(~
l'sI
le, pOll\'ru que l'on sUI'I'SI' Uo -1- + l.s+').(.~ ri tri-eii
laaii oiis,ce clui l onne S(.`+ O (li l'l'en1 i Ions, cc qUI 1 cc
hour re l, POUI' COI' -~J,r ticicnt; (I'Oil il suit que le
coctricicnt de (Jiest 10 i 1 1 dans le dl'I'1 (le 20 i(i+O(i+~) Ic
clvclolrpcmcnt rlc (lails lophcment -(fj 'JI 3(i-yi(i+~)li+o)(i_)
dans le clcvclolyement de y-9)" 3. 5 (~);~ cI ainsi du rcstc. Donc,
si l'on nomme Z Ic coclliniont clc 0` dans II' ~IV-clopocmcnt de la
fraction 1 ~)2 zj -i, 1 ~lll :llll'sl
12
~r~101 n:
SUn- Li~s
SUITES.
On aura ainsi Z (1' la fraction partant
IZ' llotlr le cocllicicnt de Oi(lans le dveloPP('lI1enl ce sera,
1):11' cons(luent, rrIl Z Z' ~r rr(7 r7.'). l'evpression (ll'
I-~ ~r ~)i~~ ;.r;
t.l'l:l
lIOSI', un
1(` coeflicieiit
(
t'r
(11115
~r
C~t
)'z+;; Ku~r
CI'
111t'In('
CU('i%I('l('nt,
dans
terme
quelconquc est,
de
u7,
tel
(Itie Il,
ou,
cc
qui
l'evienl
au
iiiiiie, KlltrC~ 11'1'1111' /in v.m ~mro muan queleonqul' rlnnn
uvm~y.m nn 1)2r de
pal' tel
l'article
gal
.1
~L~Zr)'r; est
dans
un
r~t7.
(lue ~I.
Kutr.r, P~
ce
coeml'il'nl
1~\"I'),oC'o. nc~n
K~1=ry~ -I.I-
1'01'1'('
ponda 1\ (es, 1 1
l)n 1)(-tit varier encore la t'orme pl'cdl'lIlc ~Ie yl~ pour
cela, ~oit 'l."re (iiie dl'il'ill Z' 10\'sql1'01ly eliaiige i en i
et, par consquent,
\IF1IOIRESu'n LES suurrs.ce yu~ clrvi~nt'l.lors~~i~'onychan~ 1
en "C quP devil'nl Z il 1 1 (je i 1 Z' 1 'l, t7, il t 1 Z"
~lonncrat~ 1 -0 1 valt~ur~ ?: l'ioluation t; 2; !'l'quali"n fi
=-=Z
1.3
t7.' IZ'
7.. 1, aJou 1 an1 ('l'S clcux ~n 1
(1(.. 1(~t[)I.ell~ilit la moiti d le-uilsommc on aura,
~t
W il([
3 1) 1 1 -1t --1+-[ [[[ 1. :L 3 t --1 l 7
d'oi. l'on conclut, par l'article Il, en ('l'passant des
fondions trinc; aux variables tes,
gnl'I'a-
(:ettc 1'01'111111, i-evielit ~i celle cluu Newton a (loiiiie
~I;tn. l'opuscule
1IF e.
11F\I()IRE
SUH'LES
SUITES.
intitul JlethoduscliUimmutialis, l)Oul'interpolcr ontre un
nontlrre impair dans ce cas, 3T clsigne la quantit du (Itiilitits
quidistantes; rilicu et i est la ulistanceule cette c[ntit .~tclle
c[e l'on cherche, l'unit tant stil)l)'ose l'intervalle cumqui, pal'
consl\q'uc'nl, est (les qu:iiits d0111.es. I:n Uit1'rentiant aux
(liffreiices finies la fOl'uulc prcdente par -.t 1-,Il)l)ol.t i, on
aura
J,
l:ultc ti~rmulc l'l'rient -'t celle (itie Newton a donne dans
l'ol~u5uIc (Itiaiiiits ~(luidistantes; l't', l'OUI'inte1'(lO\el'
cntrc un noml~rc (lai l' de y.a 1.1 secondl' des dcux (Ilialitits
moyennes, ct s 1 expl'inll'
sa (listaitee 'i celle que l'on clterclu et qui, par consduent,
pst 1'tiiiit rchrscntant l'intcrcallc commun (les quantiU's
don)"-1'nrs.
\I1:VIOIR1:
SUIt LES 4L'I'l'ES.
'i t5
Su~~psons gnrl'alcmcnt
en liminant l'fi du second memhre le celle quation, au moyen (le
la propose (a), on aura
CrUI' ('y)rcssion
(le lie
renferme (lur drs IHlissanl~es (1t, d'limincl' ain:i la 1
(l'un {
01'.11'1' infrieur n, ct, en continuant
:mlesurc l!ll'elle se 1)1'seitte,il est clair (luc l'on arrivera
unr cxl)reslie i-ciirei-iiici-a(lue dcs pUIs5anccs ,moln( ''l'S (pn
II, 1,1 sion (le (Itii l' (lui, lar coni'cucnt, lura cette formc Z
/m t-/cat 9Z(.I) -i-. l"-1 -L zefl-I) Z,
l'
l
{!.
-t
{,'
l'
7,, Z(I), Z!l), dont la lie i l'as le (ICl'l'
Z(fI-l)tallt des fonctions l'ationnelles et (le smpassr. pas In
de~I'~la i, la tl'olJl('n )Cle (ll'W(s i
deuximc ne ~urt)a~,t' 2, ct ainsi dll t'l'tl'.
tri, pi~nihle 10l'Slflll'l'sIun 1)(~ti est eonsidl'ahle; ('lle
con(luirait (l'ailleurs difficilement u l'exPI'rssion ~nrale de
cette yuantit; on l)ourra `- I)arcenir (lirectement pal' la mthode
suivante.
l~ettu manii're (le (lteriiiiiier
1l~\lOIIIE
sun
LES SUITES.
taiit 1-
gal au coefficient (le()' dans le dvclo)pcmcnt de la fraction on
multipliera le iitiiiii ctlc clnominateur de cette frac_
tion har. (a_ et, en substituanl :,)r''+bg'a_~53 ~p`i-~~ ,l
~olans le iiiiiiiratetir au licu de z- sa valpul'
dc cette fraction est elivisihle pal' 1 rn l'aisant la
~livision, la lI1etll'c sous cette formr nunirateur
on prut ~lonc
La rrcliercl~e du coc(ficicnt clr (Jidans le clvelohl~ement (le
cette trtetion se rcluit ainsi 11dtcl'n1ncl" 'quel que soit r, Il'
coemeicnt 11('~J' dans le dycloppcmcnt de la fraction
l.lotii-cela, considrons fonctions rationnelles
gnralcmcnt
la fraction ' P et Q lant (lesy.
et cntii.'res de 0, la premire tant cl'n o['(ll'c
inl'ricur ~icelui de la seconde. Supposons que Q ait un t'actcur
0
MMOIRE
SUR LES SUITES.
17
lev la puissance s et faisons Q = (0
~YR; on peut toujours,
comme l'on sait, clcomposer la fraction en deux autres -f1),
`~a~s fi' A et 13tant des fonctions rationnelles et entires de 0,
la prem~re de l'oJ'(lre s 1 et la seconde d'un ordre infrieur celui
de R; on aura .r"
ce(lui(lonne
Si l'on considre A, B, P el R comme des fonctions rationnelles
et pnlil'es de 0 oc,A sera une fonction de l'ordre s ( et, par
cons(Itient, il sera gal au dveloppement .par l'apport aux
puissances de 4 puissance s 1 de dans une suite ordonne
x, pourvu que l'on s'arrte -l la
en rejetant les puissances
sera `~n~s par consquent gal an coefficient le ~t-' dans le
dveloppement le 0,
positives ou nulles (le 0
Or, si l'on nomme P' et l~' ce que deviennent P et H lorsqu'on y
change 0 a. en t, 011,ce qlli revient ait mtne, 0 en 1 -+-a, on
atirt
partant,06ucrcs
sera gal au coefficient de tH dans le clvelohhement `~ x)tolc G.
X.
3
18
~1I~~lOmE
sun
LES SUITES.
lie
il sera gal 1\ et, ~t,t~~t,. -i~~ par consquent, x
1 tant suppos nul aprl'g les dilfrcnlialions. Celle derni"Jre
quaniil{' Sl'ra donc le coeH1cienl de Ordans le d\'eloPIJCIl1enl de
or,1 si 7. {" 7. J~f; l'on rcstituc, dans P' et 1\ 4 u au lieu de
t, cc qui les change en fi ut n, un aura Jfl'' ,)s,1 l'1~
tt'~t'i-u.C~+' /~l'1 tt~r+1~
Irourvu (itie. l'on suppose
4 = x, aprcs les dilfrentiationsI..L
dans le
second mcmbre lie cette cjuation avee (P. fraction
`
(.\
1)
JJ`-'
~~ l-l'~ Sl'I'a tilr-'
Cette condition, le coellicienl de or dans le d(~vcloppcnH'nt 7-
A
JI suit de l (Iiie, si l'on suppose Q-o(0_a~s(~-p~ (~ de la
fraction sera
Il' cocfficicnt de Ordans le dveloppement
~lf;~I()IHE
SUH LES SUIT.ES.
19
en faisant, apri.>sla diffrentiation, 0 =. dans le premier
terme, o ===cdans le secncl terme, 0 =: z" dans le lroisimc
teriiie, et ainsi ~ de suile. Cela pos. soit= -ib5n-l c 0" -2--F +
-1-
et supliosona (IUC,en mettanl cetlc(luantit 80USla forme (1tilt
'PI'Oduit, on ait_a(n_x)(5-x')(h-,x~.).
nn ~lvcloly>antla fraction z;01 (laits une suitc or(loiiii
l'ai)aux 1)01'1 puissances de on aura
pl 1('cocfJ1cient (le Ordans le cli~vcluyl~cment de la fraction
1 sera, pal ce (Itii prel1d(', "'gai -.l
puurvu que, apl'l\s Il'S difTrentialiolls, on sUl'pOSl' fi 7.
dans le prcmiel' tcrmc, 0 == 7.' dans Il' second (crme. 0 =:=7."
dans Il' lroisnun tcrme, ('te, Soit G~cc~ (itte devient alors cette
claantit, Il' oucllicinnt ~In4' dans Ic ~lLvclohprmcnt ((1(~
t'raclion la -i- y; sera1
on aura donc. pour le coemcicnt
de fi' dans 1(' clveloppemenl (le la
20
1f~ 1IOIRE SUR LES SUITES.
fr~ction (A) et,'par consquent,'porl'evpressiota`dc Il ) -
et ainsi de suite, il est visible, par l'article Il, clue le
coeilicieiii de r dans le dlweloppement de `~s sera ~'sy~.+~;
multipliant donc l'(luaen tion prcdente pal'u, et en ne considmnt
dans chaque terme clue le coelncient de {r, c'est--dire en
repassant des fonctions gnratrices
1IL\10IRE
SUR LES SUITES.
21
Cette formule servira 11interpoler les suites dont la dernire
raison des termes est celle cl'une suite rcurrente; car il est
clair cju~, dans iront toujours en diminuant et finiront ce cas,
C'yx, r=yy, C'z, par tre nuls dans l'infini. Si ['une de cC's
quan'tits est nulle, par exemple si l'on a ~`y,`= n, la formule
hrcclente donnera l'expression gnrale cle,~ qui satisfait cette
quation. POlII' le fail'e voir, supposons d'ahord Ca,=o, ou, ce qui
l'evient au mme, o a,y, +G1r+i+ >~r-+= + qy,_+,~ + elle dC'-
si l'on fait dans ce cas ;t' = o dans la formule prcdente,
vienclra )'i= )'o(bZ~o-'7I+1 cZiO)"u cZi"),,+, +. + qZiO') + +
2?
SUI1
LES SUITES.
~econstantes arbitraires que l'intgral ion de l'quation V)-iz=o
intro(Ittit. Si l'on a ~=~,==o, la formle gnrale (H) 'donnera, en y
supposant encore ;r = 0, .Yr= )'~G%r-:m ~-c%;_;t+: -+yZ;'j + ~'J'
(bZ}~ 't1l+1 cZ}~)t"'t -1 + + )'I(CZ~+-I
+"+'/Z}"t)+~'y,(c%ny+.+~~
y Z~ )
~r_
1
+. n 0 + qZ;I!n H t'y"
f'o. ~i'n. Y~, ~)' ~y' Ctilnt les 21l cOllstantes :\l'hitraires
y' On aurait (le, la Ilu'intl'oduil l'intgration de l'quation c).
mmc mallil'c la valeur (le dans le cas dc y'; 0, ~`,f', 0, et l'on
voit ainsi l'analogie qui existe entre l'interpolation des suites
et l'intgration (les quations linl'airrs aux diffrcnces finies,
~oit,)' -=.r:r -1-~)' et 'ulyoson. ~Icel rr"celle cle,1'.a; on
aura
yue u' soit la li~nction ~nralricu
Ollu := ~f;si l'on l,.CSlg11l' 1 par. 1 lt~COl'1C-lI'IIt par " H
coellicinnt zs; sion ~lr ~~r'`dalls le rl\'cloppclIlcnt (1(~ on
aura, par l'article il, 7,, Soit ciicore "r.)" ~nit encore u Z
I`.rfi-Oov~. I)rseiiteitient, on a 1 1,,s c yrt" -r l~~ 1-+- t"=
=_+ -+- j..
()r Ie coefficient de ~j-`, clans le clveloppement dll second
mernhl'c dl' cette cluation, l'si gal -.t celui de 4~r~'"f dans le
. dn'loppl'lIH'nl iln r et ,I)al' l,. c 1II'l'CI~( ( cnl, cc
1./'1'1111'1' har al'Ilc 1 ce b-fi,~ t`i"fiG~u't-c9t-`I)'
~II~~IOII
SUU'LES
SUITES.
23
coecient est gal il Zf;f; oppemen t (~ft sera`.tti-S~0 ~i-II
-t~.r+l-ltt-Ill
donc le coecient de tlans
le d\'e-
+. lf-IIT.t-~
--t- J
11 .r+f-S I~s
ou
r
~~fFll ral-w-r
l'intgrale 1, = X+ i
prise rclativcnicnt il r et dcpui, =--= n jusqu'il ns; cette
intgrale sera l'cahrcssion de y.rf. Dalls le cas prsent, il est
facile de larduirc -.ides intgrales relalires i, car il rsulte de
l'evpression que itous avons dOl1iie de tant
dalls l'arlicle prcdent, que celle de Z`~-r~f-, l'si
rcltictil~l~ ,,i des tel'l\1es de celle forinc K~rr~, en sorte i~t
Iciterl\1e corrcsliontlant (1(~ sera K~6'IL X"K tant fonct ion de
;1: i lis; or, si 1'011 X,Z~ dsiglw 1)ai-la caractristiduc
l'iiitcrale relatire -.ti, on aura KIf'IL X, = K Il pourru .n+i
-iIl fr
que l'on termine l'intgrale relative -.i r, lorsque r galt' (les
int~ralcs lrs; 011rduira ainsi l'intgrale r-X,Z.IH uniquement
relatives il la varial~lc i. Cela pos, si dans.la t'01'll1U1/' (BOl
on fait ;1' = et ~fy, = o, elle donnera
+
(1 Z>01HI }'n-I
-i- ~e'13+t
VY"-I
-4--
~-i~~i'_c~~trt
VI
1 ) ',i
9 1
)'0'wa.f f ~rt ~'>rcf -t~ . .ft, ~.-tcf-~ . ,,t_ at~nt sn de
de lus :u'hiII'aircsl'intgI'alc 1't~qLIalion v; = 0 ou as_r~ af~ o;
-+or, v'y~ ctant ir~al ~iXi, cette ~qLIalioncleviento ~sy', +
2's
:lI~IO1(tE
SUR LES SUITES.
On aura donc, par la formule prcdente, l'intgrale le toutes les
quations linaires aux diffrences finies dont les coefi1cienls sont
constants, dans le cas oit elles ont un dernier terme qui est
fonction de i. VII. infinit cl'atitrcs formes On peut clonner
l'expression"le une parmi lesquelles il s'en trouve qui peuvent tre
ittiles dans'plusier~ cas. Voici comment on peut y. parvenir. Pou~
cela, sapposons que, au lieu de donner, c~mm ci-dessus, cette forme
+Z 1Z(l) ~Z(~, Z(I)12 + -F- Z( ~t ii 1l" l' -Z("-I on lui donne
celle-ci
,~i,~loIltE
SUH LES SUITES.
25
(t 0" -1- lI ~t
_+_ l n-= -F_
-t- (W i( -f-
z On
De l il est facile de conclure clue, si l'on conserve 11Z:I) la
mnH' et que l'on signification que nous lui avons donne dans
l'article" considi~re que, en dsignant par le coemcient de Oidans
le dveloplrement d'une fonction quelconque do 0, ce mme coemcient
dans luOF.uvret de G. X.
l~
2U
suit
1
I.ES
SUITES.
dvcloppemcnt -(le c(t fonctin niltiplie~ i~e G l'article Il, on
aura
1 r
kLsera par
I`rsentement,
il est visihle, par l'article
Il, que le coefricient de t-~
dans le clvcloppement de la fonctiun "75 est l'quation
pi''cdcntc clonnera donc, en la multipliant par r~ et en repassant
(les fonctions gnratl'ices aux \'ariahl('s corresponclantes,
~I~lOll LESSUITES. satt
2
I)OIlr J = 1
0, !t racines 9=
de
celle
forme
f d,r"
1 + J', tl,r"
0 =
1 + f, tl,r n
ce SCI'Olltles fllWltttC~ 'lue nous avons nommes 7.,
l'expression de Zr-" de l'articlc V. elles valeurs UC,2. iloiiiies
pal' les n racines de "qualiono-tt3-b,f+~iI'+.q,j".
J~,
dans sel'ont
il te liatit,
si l'on f~lit 0 = 1 + ou
aura
d'oit l'on
tire'
=e-h'r~, etant ici le nomlH'c dont tlelogarilhme Lyver-
28
3II;1IOIItE
SUR'LES
surfEs.
holiqtte est l'unit; on a d'ailleurs
qu'il est infiniparce mcnt plus grand '(l'ticls autres;
l'e~hressiou de Z" dc l'al'ticle V donncra donc, en y changeant r
cn i 1,
et cette valeur dc a se l'duit au terme
tant prise en ne faisant varier que
et en sultsti-
tuant, ahrs les difTrcntiations,jau licu de lr.dans le lrremier
tcrme, lieu de J~ dans le secuml terme, et ainsi dc suite. Nommons
ati XCS-I) la quantit prcdcntc, nous lurons, l'infiniment petit
pri~s,Z}~~) = Z/II) = XCS-I) ~l,r
lI'~illlClllS 1 )'s= ?(f.J), et la cal'actristiquc on des
diffrenccs finies doit se changcl' ici dans la caractrisliquc d dcs
dim:~rcnccs infinirnent petites, en sorte (luie l'quations
.~I3101 -F SUIt
LES SUITES.
29
Cctlc formule servira :1 ilitei@poler suites, dont la clernirc
i-aisoii les des lerrnes est celle d'unc quation linaire aux
diffl'cnces inl1niment petites dontlcs coefficients sont constants.
v;
:l\I
\I~IOIItE
SUtt
LES SUITES.
En supposant G=- 1 ctl = o, Itar consquent a== o, on aura la
fol'mule conntte tle'l'aplur. La fnrmtile (C) se tCI'I1i toutes les
fois q l'on aurl Vi9(0-)= o; l'a = si, par exemple, C' ~(c~) o, un
aura
\I1~U01~ItU
SUR LES SUITES.
:11
de en cr+ar et, dans Y, x, en r-rs, et clue l'on 1)1'(~ssioli
\~t-x, nomme fi ce quc dcvient la Itrem~re de ces deux quantits et
4 m qlle clcvient la seconde, on aura )'2;1', =`~'ItSdr, l'intrale
tant 1)1,ist~ si l'on supPose, de plus. dans la 1'01'~lcpuis r 0
JUSqU'ilr = -+mule (C), C'' (~ + ~l:l) = o, elle (loiiiiera
prcdcnle servira donc intgrer toutes les ~I"lalioll~ linaires
aux dilfl'ences intiniment hetites, (loiii les coe(ticient, s01l1
constants, lorsqu'elles ont un clernier terme qui est fonction ~ln
.t~, la formule seul.
33
~1~1IOIItE
SUR LES SUITES.
11.
De la transfornration
des srrites.
On voit; par ce qui prcde, avec quelle facilit toute la thorie
des suites rcurrentes dcoule de la considration des fonctions
gnralricest cette considration pe'u't servir encore transformer,
d'une manire plus gnl'ale et plus-simple que par les mthocles
connues, une suite dans une autre dont.le~termes suivent une loi
doill\(~r. Pour cela, considrons la suite
il est visible que le coefficient de ~r, dans le clveloppement
de la l'racsera gal la somme de la suite propose (.), depuis le
tion~, 1 t si l'on mulliplie le numrateur elle dnotl'I'nw yr jusqu'
or, minaleur de cette fraction par
SUIT
L1?s SUITES.
:33
en tlvelol)l)ant le second memhl'P de celle qllalion par rapnorl
aux puissances de z:, on aul'a
~laintei~anl, le coefricieili cle i-r, dans un terme quelconque
tel quI' il zs cormcicllt scra (loiie, dan=, `~~ e~t, pal'
l'articlc Il, gal -.1ce Ja (itiaiiiit gal
cn sera la rall'ul' (ig-la suill' prl'sl~l' (l') depuis Il'
Il'I'JIH'.ty jusllu'il l'iulilli. Si l'on fait ,u ()Il aura unc
novcIle suile l'gale la l'1'llOsl'e. mais d01l1 les termc, sui\Tonl
une aull'r loi; et, si les c1atiti~ ~y r01l1 en dl'cl'oissanl,
celle nouvrlle suile sera Coli Cl' qui auru se 1f'l'Inilll'l'a
toutc, les fois que l'oit aura ~S,i celit~ ara ~I~nc (1(~ li(-ti
lorsyuu la suil" proho~c sera oil Illanihe la somme des surie,
ricrrentc~. La Il'allsrormalion des suitl's se l'(,duit n
tltcrminer l'iIl Il''gl'all' `_'t :1: el toull'S les mallii'l'es
d'(,X(lI'illll'l' 1)1,isedepuis ,'1'= o ju~c[';r :r ~'rtle
illti'gralt' dOlllll'l'oll1 atant rln Il'ansfOl'lIIi'l's
dilfi'I'l'lIll's: Ct. qui ronsistu, par ce qui 1)I'l'd'dt',
di,tl'I'lIIilll'l' lu (~o('mcil'nt dt, tw dans In di'rdoppement
quelconque de de I)otiii nt JWIIl1l10llS C'y~.li cnellinirnl tlu r
"la, rr; lu; soit gi~III"I'all)ml'nl c/'lIlIdIIII
Sl'I'olll ~=or. ~`y, \1)' (-oeilicieitts dl' i-r ilaiis rl~=,
u.3, rr_ " Cela posi~, on lIIullipli('I'a Ir lIumi'I'alt'ul' l'II.'
(1('-iioiiiiiiat(-tii~lu la l'rar_ Ol:vr~f l.. x. dt
3'~
\I110IItE
SUR
LES SUITES.
lion
`-` i par K 1-r
et
('on~prcnilra K de nailire rf'il soit gal K sera ain,i yuotient
de la
100'sqn'on fait 1 gal 1 dans cette clernit~rc quantit;
.Iivisihle Pal' l Soit (livistoii on aura q -t- ~i~~ -tle
1'(' 'lui 11011110, repassant des fonctiolls gnratric('s l
letirs yal'iahh's eii Cf)l'I'Psl)olllai] tes, (
l'intc~ralc 2:,),, t'lant Itrisc ~lrl~i, ~)', jusqu' J'x; et, si
l'on fait dan:; l'quation 1)1-e(leilie ,i' = o, ou atira une
nouvelle ~uite t'gale 11la et (Iiii ,era, par consclent, sa
transfoJ'Jnl~,
Tlt~nrctnes sur
dcs llt'4't'~olllICIltrrtt ,%rtcliorts et clc lettrs
t!~(~retrrc.~Pll SPI'1PS.
En appliquant -.i tlc, cas les l'sullals ytm nous a\'OIlS
donnt's daus l'article Il. on alll'a unc infinit (1(~ Ihor'J\\('s
stit- Il~dl~Hde 11)1)1)elll(~lit fonctions en suites: nous allons
prsf'ntcr ici Il's plus l'I'nHII'q uahlrs.
SUR~1,1~,S
SUITES.
35
()Il a gnralement
il
est clair (lue le coemcicllt (le tr, (liil)s le
1)r~mi(~rmrnlhl'e (le cette 1'r,.Z' variai'] Uc 1*.car ce
coeilicieiit 1 (Itiatioii, est la IIi ffi>rrllcr(le dans est
3'r+i oti ell dsignant pal' la c:Hacti>I'i~il 1) tique '~1les
diffrences finies, lorsque .w\-ai'i~ (le la quantil i;d'oiI il lit'
l'sI ais (le conclure que ce mrne coeflicivii dans
1(~(l%-eld)l)l)elllellt 1 est 11")'x' D'ailleul's, si l'on
d{'rell'I'e rr r '1" il 1)" ['( 1 -T-r ~Hliranl les puissances (le
l, les coellicienls (le tr (laiis Ica .I('rl'10pI'elllents (le il
(1 (ici(- Il, 1~, Jzy, u [( 1 1)' il J'yr, il Sorte 1)" s'ronl,
1)ar l'ar-
Il' (1/c ce c'of'fficif'1I1 da
1 sera IC 1 + Jt,r)` 1J", 1)ourc clc, dans le dl"1\r J les
relopprrncnt (le cette yuantit, on applique la
cal'act('I'istilflll' l'xposants des puissallces de et (1'ainsi, au
lieu (l'nn yiaanc~' (111(-ICOII(llle ~),~)" 1)11l~cl'ire J"y)'x.;
(1aura 11011C(1 ~t~' l'x = [(1 -F-JI'z~`-. jn.
.1' Si l'on dsigne par la cararti~ri~tiyc I~ l'inl{'gl'all'
tinie 101'SII"I' (le ~cl'a vi,il)Irment gal, lr,)r l'artirlr Il, ;l
eOt'lIieI'1I1 i, 'r dl' rr dans le (l~'cclol)p(:menl (le la
fonction it illl:lraction ici des conslanll's arllitraircs (luc
doit duire; or on a 1 t-il tisallt intro-
['(' 1a) -j1 de pls, Il' cocllicicnt tic er eo;t, '1"("
(1(1(.soit lit. il )_111 fais:Ult i(1)1tl'i)l'tlUlldes constantes
:1I'hitl'ail'es, l't ('l' (:Ill'tlleii l'll'nt (ans1 u/ 1 )/11 0
l'St 011tiolle, ('n f:zi.ant 10IlJOIII'
au
~IIIOi~~
sun
LES SUITES.
alm(r;lclioll ules constantcs arbitraire~,(-!) ~rl~, .L
~J'z!
du st'cond nH'll1hl'l' tic cette ll apourvu que, dans le
d'clopprll1ent la t:;mictl'l'istique les exlto~ant,
drsl'uiss:i.lct's tion, oit ~Ic et lluc l'oli cllaiyc les
(1ilrl'elices pli ir1t'ralr's; -t, 1.")mllH',tlans cc
tlvrlopirl1ent, le se rencontre, et cjn` I" t'rllc i,'grale lleut
rtre censi`c renfcrnter rl constantes arllitraires, 1't'(lJation
(z) est uncore vraie en ayant c~ar(1 ailx conslarites
arlliIl'ail'I's. On prul ici que cette i`clation se dduit de
l'iula(ion (i), nn v faisant n n'gatif et 'rn il changeant les
tliffi'I'cncl's'n{.gativrs l'n ;tll inlf'gl'ales, ("cst-il-tlil'c
en {'cI'i\'ant I~I/Y.rauliru de et )' lil'II (Ir ~)'I. L1`:(1) et
(2) araic`nl caleiiiviit liru si ':1', ait licu 11(` i`yation,
varinr 111`l'unit~ dans :1)x., v variait d'unr quantit
(1'\('It'unquc mais aloI'" la variation (ll` ,1.'dans ')'r, :ltl
lil'U 1*, srl'ait l~. l'.II il est clair si dansy.r on fait
.r='i.:1'.varicra de n 10"S(IUI'
.1' variera 1'tillit; .r, t~iiii n, et se
variation tI(. at'r se changera ainsi dans Il chanW'I'a dans
I~)'.r" la variation llc .I tant 1'u. Cela pos{., si l'on suppose
llan, u~, nlatinns (Itie la variation de .z~ est intillinlunl et
{'gale a d,lr d:.ns .1t'x, Cette (lill~r~nce se t'hangera dans la
llifTi`renticlle infinimrnt petitl' (()',r; (le on 1)1(IS, fait i
infini (`t ill.l; = or, v. ~tant tiiie (Itiaiitit Iiiiie, la
variation de ,r. dans I.y, sera z. On iiirt donc ri. .1"
SUR
LES SUITES.
:17
e tant le nombre dont le logarithn1t' 11YI)erl)oli(illeest
l'unit; dont'
en ayant soin d'appliqllcl' il la caractristiq'ue (1 les
uxlaosant~ des puissances dl' d)x et de chan'gl'I' les cliffrences
ngatives en int~rales. Si, -dans les quations (1)' et (2). on
suphosn encoru i i n Ii n inH'1I1 r on aura petit et
gal~~reL.s--lfrs)'s t't ~' (~.Z'rt .I J'l~.Ltn~
On a d'ailleurs i ~~y)' (1 -+~~x t.u+.1 yx~ -i- Ll.r10g(1 -+i
~~r)
a ces quations (leviel)(11,01it illsi
Un 1-g-illal,(Itler ici une analogie singulire entrc le,
pi.,aco: posilives et les diffrences; l'lluatiol.ly.c = (1 + y'x)~
1
.l Cnl.'OrClie l~ devant ses (lnv lNllil)15 il la lllli;s;11'n
~r, 1w111V11 (Itie l'on aiix caract~~ristiyuus .1 ('1 '.1 les
lrui"anrl~, dt' clr, l" (le '.1~ car il t'sI clair (l'Je dans et-
cas un ar;t l'ulua(iun ('l La 11It'1Il(, analogie suhsistl. l'nlre
Ils Pllissanccs nl'~aliv. 1'1les littgl'all's, et l'l'quation
prl'cl'dl'nle a licu uncore un I,I('anl Sl'S ~ltv reml~rt5 il la
puissance -n, horvu (Itie l'oit eliilite un (111 mme orllrc le,
lruissanccs ngalives (le y 1'1lln oil !'OI'III"I'a ainsi l'qualion
(2),
agen
\I \I 0 1Il E
SUITLES SUITES.-:t4w
est de mme de l'clationyJ 1. e
en levant ses llrw mcmllres aux puissances n ci -n, elle sera
encore \Taie et sc challgl'ra (laits les quations (3) el (tt),
lluurvu que l'un de d~~I en din'n'ncrs (lit t~hallgc les
lulissanccs posilives de et uli'me ordre, clIps 1)tiissalices
ngatives en inti'~ralcs du mi:nlc orllre. 011 voit, au l'este, que
ces analo~ies tiennent dl ce que les produils (le la foncliollll,
7nratrice de J' pal' les puissances successives (1(~ 1 sont les
fonction, gcnratricea ~lcatlitfrences finies sucessivrs dl' J'
tandisque les cluulicnts cic par ces na'nu~ puissances sont It':
fnnntiuns ~nratriccs dcs inlgl'alcs tinic, (le J' XI. l.1!~formules
lie dans Il' l'as I)l'll1-cllt ('tl'l' (fil(, nil les tli(l'rcncc~
tinil', c't intininll'nt lo'titc, tlc vr vonl en llcruisintinitis
de cas dans lesqucls cela n'a ll;ls lil'u 1'1 ::lt; lIIais il ([lie
nil il est tifile ll'avoir l'exprrs~ion (les tlim~I't'ncrs et tle;
inli'rtllc~ dalls les sont l'n sries conHI'gentes; le plus simple
(1(~tous est cl'1i ll'I'IIII'Sd'ulle s'rit', dont les
dit1'i~rencl's sont cunver_ multiplis par les ternu's d'une
llro~rcssion f('om'-
tricluc nu, allun, nous cn occllcr ll'allortl. Le (l'rlllc
gl'n('l'al tics stiites ainsi formi'c, pcul trc l'epl'sclIl' pal'
Il' tel'llll' gnl'al d'une stilte llnnt les dill'l'l'l'lIc!'s sullt
lrrp' tait( en tes. Cela pos, iioillilloils il la sonlnlu de la
stlite infinie .l'" +-1',lel -f-yi/ul~lin a
r3/t~l~-i-1'xltYl`;
Le cuellicicnt de ~r, dans le prentier memhl'e de cette
(itiatioli, est 1.1 dilfl'encc finic lIic",e(1(, l~r3 ;L varianl.
(le la quanlil i; J'ailleurs, si l'on dt"rdoppe 1.. St'l'oIHI
memhl'e ril)l)oi-1 aux puissances dc
suit
LES SU (TES.
a!1
~~r
Ic corOlcirnldt.
~j, dans
Ilx~ryj L'('qnalion (loilliel'.1 ticlc Il, drs fondions
gnl'all'crs (7) ~trl'l.
ycl 41'1('soil 1-. rrC~~r 1)" Sl'ra. donc, vil rl'passanl har
l'ar.'l Irlll's lriahlps corrcshomlanlc:
=%tr~~f~(1-i-I~r~i
porvu qlle, dans le clvcloPlini~rit clu scoml memlrrc de cctW
crluales exhosants des pissances lion, on appliqur la
caracll'isliijue i~crivc ' i, c'csl--dirr yf. lien d on dl' et an"
En changranl ir en --rr, on l~ira, conlnll' ilans i'articlu
prrci',I,'nl.
a. l~,
les ii coilstalites (1(1'ilit"l,aleDdu pr('lIli. ; ,tant (lont
/11(,111111'1', l'addilion (levient inlllile (laits 1(' l'as oil /z
= 1 pal' ~' 1'('11y'alors le second mell1hn' l'rn/'el'lI1r
l'inl{'f{I'ale `_t,r, ,[u'il ti'rIC plus lor~;lllIe h (liffrc (lu
l'ililit. Si l'on SUI)llOse ytl -t une t'olldinll v, de 1.,,.r,
l'Ialll u~al il ~X (t n (,[ait( suppos illfilli, 011attra ~ys{'gale
it (le si l'on fait /z`=y, la dil'cnc(' zl.r, ,'Ianl et la
l'onl'-
on aura /r-r,,
tion /z-~t~rse changera dans lzs~ y, or, si l'on suppose i
illlllinH'1I1 (111 !!l'and cl J = 'l., il est clair (lUI', .r
varial 11(i, .L, varicra d(' l't v01tt'.(lUI' 1,1I/(pI')'I) d
1~yl/.r,`t,~ ) sel'onl la (llffl.'l'CItC(' l'llltl!~1:Ill' (lC )
finie 1I.'IIlC JJr~ V.1l'iaiit(le, la quantil 7. ~It a
(l'~tlli('tll'v1/ Jn: les uyalions (7) rt (8) (levirn(Irot
consqurllllllrnl
180
\II;\IO1RE
suit
I,ES
SUITES.
tytlit lieu (le
soin, le
d('wlop'peII't1t de ces (Itiatiolis, d'i'cl'n' p', ail
lieu (le au i '(!lielcoiHjtll" Crl' 1et ( ,1 .11 )1- [J. ( .1 '1
Si, (l'lits les formules (7) et (8), 011 suppose i iiiiiiiiiiient
pelit et s ('gal il rl.t~, d u h r s,~ changera dalls rlrt (
hr`),.r et \`m lt r l'r ) dans ) ( ou a d'ailleursIrt(1 -ar)'-1 1 +
d,nlo'`,[/t(1 + ~)'.>-+ EII ,ul~,tituant
ces valetii-s dans l'qualion prolms(e aux cli(1C~rences
partielles, on aura l'qualion suivante aux dim:'l'ellccs
or~linaire, (11,) 0=0(1-9)t r dy ~r(g-f-3>+~lc(~(!5-I-~c)~
il falldm dteI'l11inel' les deux constantes al'hill'ail'es de
soit iiitgi-ale, (14~' manilre quI' l'on ait y = et -1-l~ lorwlut:
~l= 0; il->- f(c -) en nommant (toite .1(0) cc (luie devient
alor, 3, on alll'a
I(s-)-,iCs+s,). (s -1-si)-l
~I3fOlBF.
SUR LES
SUITES.
G5
Si l'on change g en f, ct rciproquemcnt f en on aura (L~)
om(c-9)dy+[e(.f -3)+~~ l~I
dans l'qualion (a, ),
+(.I'ie)J';
et si l'on cltermine les deux constantes arhitraires, dc man~re
quI' l'on ait 3= et ~y g(r -) + h 10l'sCJuc 4 o, l'n nommant 0(0)
f) '(19 cc fliC clcvient alors.),, on auraH(S,Z) n(s~)- ~(s+s,).
(s+s,)y
L~s cleux fonctions .1(0) et 0(0) ont entre elles une rclation
forl ait moyrn de laquelle, lorsflue l'uno des deux sera connue,
l'aulI'c le sera I)areillenieiit cn effet, si, dans l'quation (bt),
on fait )'1= (1 r,)r-s~ on aura
ainsi les (letix constantcs arhitraircs tle l'intgralc (le
l'cluation eit J,. sont les mmes fliC eclll's de l'inlgralc de
l'quation (lll)' ce qui donne y-(~), partant
C7(~)=(,-r)f-s,T(~).OF.uvrer de G. X. ~)
66
~1f:~lOiiE
SUR LES SUITES.
On d'aillcurs, l'clativcmcnt l'quation (b,), 9- s, (toile Z.s
-i- si>
On aura conscluemment, par l'article XVIII, (Y) (s7-id:(s+:)
tJ(:)] SI )f SI ?(z)+ u=(.W-i,s,)fLJ`ls,I(s-s,)y()+J
`l~(s+~)f-g,iCs~+s,)Y(")]; (S (S--t-Si = s, et la
la premire inlgralc tant hrisc depuis z = 0 JUSqU':l seconcle
tant prise depuis z; o jusqu'il z s,. Si l'une ou l'aulrc des
deux
par excinple, l s `=l, alors l'expI'cssion (le u, considre
rclativemcnt -.1la fonction al'hitraire correshonclante qui, dans
ce cas, est 9(:;)' sera evltrime par nue suite tinie de termes
multiplis par les intgralcs successives dl' car il cst clair 'alors
de ~d_,IC~rs ,,) 0(:;) srra compos termes de la forme Il f
~~`d~r~(~), l~.tant un nombrc entier positif.; nr on a, en
inti~rant par pal,ties, ~(s); ~fd:, y(:.) =:I1-?I(:) -P.11--19t(:)
+~.(('`);yqa(~)--t.a.3.l.r.Y~+y=)+C,
et celle-ci cluantits.ICs+ 1 pCs`-~S~>, est une fonction
rationnelle el entire ~I(' z,
mprcssion dlirrc du si~ne J, ct dans laquelle on doit fairc = s.
On voit ainsi que la parlie de l'cxpression (le u rclativc .lla
fonction arhilrairc ~(_) est indpcndanlc, non sculcmcnl de toute
intralc (lliiiie, mais encoI'C de toute eshce or il rsulte de ce
clue j'ai ~lntontr, dans les 3[lk'Oi"es cits dl' 1773, cle
l'I'XIH'Cssion coml'lNc de r~est alors entirement indpendante dl'
toute intgrale
IfJI0IItE
SUR LES
SUITES.
67
dfinie, e'est--clire qu'clic pcut tre exprinie par des inlgralcs
indfinics, unicluemcnt relatives aux variables s et s, de l'quation
I)i-opose, Ou petit s'en assurer encore Irs aisment au moyen dl' la
t'ormule (y), car il est visible f[licl'int~rale
sera (lails cc cas l'ductihlc a (les1(crittes de cette formc II
f ~~cld(s+~)f-Ry(:.), potant un nomlrrc entier ho~itif ou zro; or
on peut, par des int~ralions par parties, rcluire l'iiitgrale
,'r.wd:.(s+a)f-~`t'(~) (les termes cllivrs du si7ne et 11 des
intgmlcs de cette forme
J'Cl~(.S+ ~.)~v;(;~)f cette clernire intgrale, clevant tre hrise
clepuis est viclemment galc il celle-ciJ cIS,(S~-S~)rYi(S)
= 0 jusqu'il =s"
et, par consfJucnl, incllrenclante de (otite intgrait' clfinie;
on voit par l comiiieiit l'intortle
peut se l'duirc des intbrales indfinies, cluoiclue le
factcul'
puisse ne pas tre une fonction rationnelle et cntil~I'e .le
illaiiiteiiaiit, la condition nccesaaire pour que l'expression
rcluite en srie, se tcrmine, est (Iule l'on ait ~`W .t(.E.s~)~ ,
-f' .5,
de 0,
68fi- tant un nombre
1tIOIREpositif, o (f cc
SUR LES SUITES.qui p. donnc
+
1) (11
r ) +
/t~
d'oill'on
I'C
t=.~ -.f ~'1'( +~t)'i/t. ~= Lorsque l'une ou l'a'titre cle ces
deux valeurs dl' p. est zro ou un est une fonction rationnclle et
nomicro entier positif, alors l (S-1-SI s :;) entire tic en
chagcantf cii-g et rciprquement, on aura3
et, si l'une ou (le
ces valeurs de poest zro ou un nomhre entier
positif, la valeur (le El S-4- Si sera une fonction mtionncllc.
el entire ~lc dans tous ces cas, l'expression dl' rt nc dpendra
d'aucune intgrale dfinie; autrement. elle en sera ncessairement
dpcndanle. Si l'on nornme ar la distance d'une molcule d'ail'
l'origine du son dans l'lat d'qttilil)re; x + u sa tlistance ahri~s
le temps t, on aura J_' ()It x-i- + nta' JII dztr .r iaJ,r;' d.L
nta'tt 'CI --)
a2 tant un cocfficicnt constant dpendanl de l'lasticit et dc la
densit dc l'air, ct m tant 0, ou l, on 2, suivant cluc l'on
considi.'rl' l'air ou avec une seule, ou avec deux, ou avec trois
dimensions (toin, sur cet ohjet, les savantes reclierclies dl' )1.
dl' la Grange sur le son, insrcs dans Il' Toruc Il dcs Jlmnirrs de
IcrSncit ro~orlc rlc Trtrirr). Soil'nl at = s,; l'duation hrcclcntc
dcvicnclra .1:+ at s, x
1I~~IOIRE
SUR
LES SUITES.
G9
la prcmir inlgralc tant prise depuis z = o jusqu' z = z + at, el
la secondc tant prise depuis z = o jusqu' =.r. at. La fonction +2 Z
est la valcur dl' y clans l'cluation diffl'euticllc Il x z n: cl'=:
0(i fj 0)~y 2rl 0(i +2 m' o~(~)cl~+9(~-3~)cl9 v .1'~ dans laclialle
0 = clew eonstalites arbilr~ires gx les intgralc dc\'ant se
(lterniiiier, en sorte que l'on ait. )'=1 Si l'on a m 0 ct dJ
~~r(3-nr). z~ de son
ou m = 2, la valeur de y orclonnc suivant les puissances dl' 0
se terniine, et alors la valeur de il est iriclhenclantc clu toute
intgralc dfinie; mais, lorsquc m = l, cc (lui a lieu quand 011n
consiclrc l'air fl'W'CC dcux dimcnsions, l'expression de il est
ni-erssairement clhenclantc cl'une inlgralc dfinie,
Si l'on1 clans I l'articleXYIII,rr_ .Z. ,v' %d;C`',l
:i: ~.2~ J'1 cn ac
at +
on aura.I;Ir
[r'(n+at+~,)-f-~((x-at-t-)~~
= il l'sulte viclcml'intgrale tant prise depuis. = o jusqu' ment
de cette valeur dl' il que la molcule cl'air d01l1 elle eyrrinre In
clranncntent nc conrmcncc h s'llranlcr (ltie Iorscluc w at + :;t
est gal ou moindrc que le rayon dl' la petite sllllrc agite ait
commcncciticiit; d'oli il suit clc, dans les trois cas o l'air une,
ou (letix, ou Il'ois dimensions, la vitesse du son est la mme cl se
clterminc lr.u~ on voit ainsi que Ics forrucs Ilrcclentes des
i;lt{'l'{'quation 1= gl'alcs (les quations aux (ilfrreitees
llarticllcs ont le m(~II1C avaiii.1-tdans Ics clucstions physiques
que les fOl'lncs connu{'s jusqu'11 i. Nous hourrions encorc
alrpliclucr la mtlroclc llrccUcntc -~ila i(-clterclie des
vibrations dcs cOl'dcs ingalcmcnt p:tisses, u la tlroric du son
dans des tuiyatix cl'une figurc clueleonclue et dr plusicul's
Itttres
70
UL\IOIRE
SUR LES SUITES.
qucslions impol'taritcs: mais ces discussions nous carteraient
notre objet principal. xxi.
(le 11'01'
Revenons IH'sentcmenl- aux Cctuations linaires aux tliffi-ences
tinies parlielles;([lioi(lIC les formules que nous avons donnes
dans l'article XVI, pour les intgI'cr, aient la plus grandc
gnralil, il y a ccpeIlda~lt quelques cas oit elles ne peuvent
servir ces cas ont lieu = o cliine~l'exhression une suite lorsque
l'quation: ele en par la plus infinic, ce qui aI'rivc toutes les
fois -t-=.l.r-or on itira .r -TI'O f~rn.O
eii
y faisanl
ensuile
2'
It,
on
aura
.n~s,.0
Jx~,0.
en Si l'ou el~an~e, dans ecltc deriiire cualion, ;l~1 n + .l'I'
on aura j*2n ~r"o !sn,0 ==.rn.0 i
\IF\IOlltl:
SUIt
LES SUITI:S.
77
On pourca ainsi, au moyen de ces deux l'qmilins, continuer les
valeurs (le ~tl'infini, du cbt (les valeurs positives tlc .1', et
l'on en conclllra celles 'qui rpo'ndcnt x ngatif, au muven dl'
l'tluatiun (lel rsultc la cunstrtiction suivante. J'c,.n == Si l'on
rehrsenlc les valeurs dl' )'.c,o depllis ~r = 0 jusqu'il .2~ n, par
les oI'donnl's des angles d'lin polygone tlont l'abscisse soit x ut
dont les deux extrmits A et 13ahoutissenl aux points ot w 0 1'1 =
~z,' 'ri, on hortcra ce polygone tlehuis :z; == rr jtls(ltl,1 ;i,-=
~r, en lui donnant une position contrairc celle qu'il avait clepuiy
,z~-o jus(ltt'11~r -= n, c'est-1\-diI'c une position tclle que les
pal'Iil's clui taienl au-tlessus (le l'axe des alrscisses se
lrouvent le hoint B du polygone l'eslanl d'aillrurs, rlans cette
sccomle posilion, la mm,' plaec duu (laits la hrcmi~~rc, cl le
point l rpondant ainsi 1\l'aloscissc zra ,ju~qu'lI zrr; on placera
ensllite ce mn1l' polygonc depuis x .u=3rr, en lui ~lonnant une
position contrairc -.tla seconde et par conmanire que le lroint A
coiisvi~v(~, sl~quenl semhlalrle 1\la (le .Z: dans cette troisime
lro~ition, la nnmc place que la seconde, el 'I"'ainsi le hoint 13
l'ponde 11l'ahscisse .t~= 311. En continuant dl' placel' ainsi ce
polygone allel'llalivrment au-dt'sslis et au-dessous de l'axe des
ahscisses, les ordonncs mcnes aux angles de ces lmlv~oncs
51'1'0nll('s valcurs qui l'l~pondcnl ;z~posilif.
1),ti,eiliciiieiit, on plaeera ce polygone depuis.1: = (1jtisqti'i
2,-= re, vit lui donnant une hositiun contrairc celle qu'il avait
clcluis ,r = a ccltc sccuntle l'silroint A restant (laits jusqu'il
.t; le tion, il la mnw place que dans la on placera ensuite ce
poly'am, en lui donnant une position gotie depuis.1: ==: re
jusclu'n :r =
78
~1(nlOlnE
suit
t.l: S S U11' >; S.
contrairu -,1 ~ecomle, le point I3 restant d'ailleurs .tla mme
place, la et ainsi (le suite l'infini, Lc5 ordonnes de ces
polygol1l's 1-el)rseil1I'I'0ni les val('urs (lui l'rlJondI .r
ilg~itif; on aura elistiite la valcur dc eu moiti de la somme des
(letix or(lonncs la aux (lui 1-l)()11(leiit abscis~~s ~1' ;1'. et
.1' tri. Celle ennsll'Uclion goIHl'tI'ique est nraic, qucllp tlue
soit la nature du l)olyonc q!1l' nous venous de 4~oiisi(lrei-; elle
sPI'ira .1 (I!termiliertoles les valurs de.y. compl'ises
tlelruis:r-o jllslJu'1t .T il 1'1ttel)tlis .1'. o 0 .1', 00,
lrourvu que l'on ait )'(1, jtts(j c't.)'t,== 0, cI que d'aillpUI's
le second l'allg hOl'izol1lal de In Taille (Z) r t tel yu l'oit ail
= "1",1 ~)'X.'I.f) ~.r..t"I,,) -t--
ou, cc (lui rcvicnt au illllie,.r.t .r..l.t\ == ()'('-t 1,0
~r.r.o --1- l'.c_.f.u
On [tcul, ~tit reste, s'assureI' facilement de lu vi-it des
rbultals drs l'xcmples eu donnanl:l rr des valeurs (laiis des
nonlltres -i volollt pour l'oriiier eu viistiite le lrremicr 1'IIg
horizonlai (le la 'fallle ('l et Cil fo l'n1aIl 1 Il'sec()11(1 ran~
ait ntoyen de l'clttation,1 x.l .)"-("+-.('1,0 ..r.r-x.(I:
l'llflll
l'Il (le
supposant ces
gnralclIJcnt (,-011(litioiis et de
y",r,= l'(1;tlion
0
PI
)'r,=(); ;i~
l'8r, clilfi~rences
si
ait
moycli ltartielics
I"'oplls,~
..1'.l'rl-{
t:
)'_c~-t,x1
+ ~~s--f,x,
.J".r,.rl-tt
on l'ornlc les l'ail"ys Ilorizontaux (le la 'fahlc (' l, on
trouvera la qu'ils seroiit les mmes cluc ceux qui rsulfcnt (1(~
cunstrttction prl~rrlentc. On a, par ce yui
IH'ci.de,..r..l'l'I-t--n q ..)'L"-I-(t-T-n,f) 12)~r_.z-r;,oi
plus,~c ..l'1+.1,~ == )'n-.r-x,.0
~1II:MOIItF et.F.r-1-.ru" donc .r..r,.rl-+n a n-x-s,.0
SUR LES SUITES.
79
.rn+..rt-x.o:
3 f
n-x+s"o
,1'n-x.r,
Il suit Oc l que, dans la Tal)le'(Z), le (. -t- n)i.c Ilrirontal
Lan~ l'sI le a~;`J ran~ horizontal I)ris avec un si~ne coiitraii-e
et dans un 01'111,1' rcnvers, C'C~t-al-(IIfC (ItICI(` tCrlllC
l'ii'medu rang (.l't + 'est le tCl'II1C', (il (Iii R~`''efa1171)ris
avec un signe COlltfillfC. On a ensuile)'t."{"I+~tl ==
~)~rs+r.-xn,0 + t )'.r'-zl-C}; i
on a d'ailleurs..J' et t ~)'.c-r,_;r,,7-partalll ,r'r.r,+rt-= l-
.r.r+.'f"t.'J -f{)'x-c"o = l'x..r, i .l"21-+z,r.o:=: .rl-X,.) ==
.e-XI.lh L-Jt-Tlfl.) ===..).r+-.rl 0
d'oil il sitit (luie le (.r, -i--2I1YC'II" 'ang horizon laI est
cvactemcnt u-al J au .J.rD> l'allg. Consiclrons 1H'I~sl'ntemenl
les villratlOlls d'unc corclc (loitt la ti~uro initiale soit
11elronclc, mais fort l'ru Ploigne de l'axe des ahseissrs; nommons
Il- l'allscisse, 1 le temloa, )'1 l'orclonne cl'un poillt
quelconclue de la corcle le lemps 1; concevons ,II' I)IIIS
l':thseissl' .z~ une inlinitc (le pelitcs 1)ai-ties ~ales ot; et
cle iiotis (laiis I"'cllllrons Ilonr l'unill', Cela l)osi~, on
aul'a, 1)ar Ies 1"'ncipcs conlls cle Dynamiclc,ll-,)'r, Jlilt.l /l'
- ~'1x !.2 ?~)'.r,f+,1-r-1,(If
a tant un coe(licienl constant Mppndanl de la Icnsion cI tlc la
gros1 1 la 1 Si l'on fait t .2v, li ara (Il rt.2~, et o u u Ilra ne
fonclion de a; et de {'f' c1e nous d{'signcl'Ons pal' Yu,; or, la
grandcnr dr (Il l'tan( arllilrairc, on penlla telle cluc la
\-ariation de .l', soit l'gale celle de ,r, '1"1' nous ayons
1)1>ise 1'IIl'l'lIlIil, 1,'titialloii l)rccclente tlcvicnclra
ainsi.r..r,J'I~-I-2J''>X1 ,r.l't'I-I ..r.r+-I.x. .3 }.r,-TI y 1.
x-I.r,.
80
\II:1IOIRE
SUI~ LES SUITES.
.r et ,V, tant des iionibres infinis. Cette uluation est la mme
que nous venoits de considrer; ainsi l construction gomlrique quc
nous avons donne, ait moyen du holygone {lui l'cprscnle la valeur
cle )'0' tre emhloye dans cc cas depuis;v = o jusqu' ,t: = petit le
hol~yone sera ici la coul'he initialc d la corde; nais', pour cela,
il faut su>(lOscr n yal -.1la 10gue'I'de la corde rI la
co!1crvoir pal'lagc dans une infinit le parties; il faut, de pltis,
clue la corde soit the il ses deux extrniill's, afin cluc l'on ait
~y,r, 0 et ir, =--= d'ail0; letir., l'lfualion dc conclition
or
est la vitesse initiale dl' la corde; cette vitesse doit donc
tre ()l nulle l'origitie du iiiouveitieiii. Toutes les fois clue
ces cunditions auront la construction llrcclcnlc donnera toujours
Il' mouvement de la cordc, cluelle que soit d'ailleurs sa figure
initiale, llourvu ccpendanl que, dans toits ses points, Y.n~,o-
2Y-'+I.+J'r,o soit infiniment petit du second orclre,
c'est7.i-(Iire que deux cills conligus de la cotirl)e tic forment
1)oiiit entre cv un angle fini. (ette conclition l'sI ncessaire
hour que l'qualion dirt'rpnlicllc du prohn'mc puisse suhsister, et
pour que celle-ci
mais d'aillcms il est videiit, har ce qui prcde, que.la ti~ure
initiale dl' la cordc peut tre cliscontinue et composc 11'~111
nomhre quelconque d'arcs de cercle ou de portions dl' combe qui se
tottchent.
'II~'IOIHE
sun
LES SUITES,
m
On voit aisment (J'tic toutes les diffrenlps situations ~lu la
\;01'111' rlromlent aux rallgs horizontaux de la Table (Z), l't,
comme les rangs sont les qui corrcalronclerit aux valeurs dc .r"
.r, + 211, ;1'1-F-!111, m(omrs, 1)ai,ce qui prcde, il cn rsulte que
la cOI'.tr rcvicntira la 2 t It j lt mt~rnc;ituation altrs les
temps t, t _t- (( n ctant loujour; !f la 101'1('gile total ult~ la
corde. tir Crltr anal~:sc 'drs cOl'des vil~raiit~ si je nc me
Il'oiiii': d'll'nl' manire inconlcslahh; la"possihilit cl'atlr~ttrc
tlca f'0I1.ctio;.s dis"coi.tiil II~(' 'parait q,l'oll (,il peut
glil'I'all'ml'nt et les 1"'0conclure que ces fonclicins peurrnt
lI'(~cmylv(~cs lotis sc raliliootcn~t aux di(Crcnces pal,tirllcs,
lrourvu clu'ulle, (itii comlipuissrnl sitlrsistcr avec les
{'(jllalio"ns ditrrltiellcs et les tions du pl'ohl"'1111'.On pcut
consitlrcr, (111 effcl, 101111' att()Il aux (lii diffl'I'rncrs
parlirlle3 infinimrnt 1)(~tites uommc uu cas
J)al-tlclili(~icl'iiiie lJlIatioll aux diflrpncrs l'artil'lIl's
fiiiies, dans latlncllc on suir01', riun n'l'Ianl nrgligt', pose
que les N-al'ial)[esilifillies dans la tltorie (les l'qualions aux
clifrrences finies, il est visilrlo qUI' les filllctions
arhitraircs ~Iclcur~ int~ ralc, nu sont point a:->slIjl'ltil's
~r les la loi (le continuitc, et 1\111' cnnstructions d,' ces
(luatiom le moyrn dcs lrolyones ont lictIttcllc tlue soit la
n;rturc dl' ('es polygones, Maintl'nanl, lor,tlu'on passc ~ln fini
-~il'infinintcnt (-es polygoncs se changl'nl (laits des cotii-l)es
qui, fmr consclucnt, lteuvent ntrc diseontinuP3 ainsi la loi (1(~
coiiiiiiiiii fonctions arbitrairca (les (les les lit- pal'ait
iicessaire, ni l'lJuations itix difJ'i'nues ce
rcneea Irartielles infiniment pctilcs, ni dans les construotinn,
gOlnl's tricluc, qui relrrscntcnt ces illtl'gl'ales; il 1'Itlf
ettlcntcnt UhSl'l'PI' qUI', si l'l'qllatioll din'J'enlil'lIe est
cle l'nrcire n, et que l'on nomml' ii sa v:t,'iahle et lie doil
point J rr ivoii- ~lc saut eitti-e (letix \,3IPIII'S,'ollsculi\'('s
de c'pstv avoir (le saul cntrc (lcw valcur; ~nmcutivcs ~Ic c).n (w
c n;tit-dil'c 'lue la diflm1ncc de cette quanlil doil l'tl'l'
infinimenl pdik pa.' l'appol't 11cette quantitl1 clle-mrmr. Celte
comlilion est nl'cessail'l~ lrour que l'qualion (liffrentielle
lwoposic puisse sul~si~tcr, y;trc~ ~lun Il1 (lF.uvres de x.. 1 les
clcux autrcs il
80
\II?\IOI(iE
Sln
LES ~(-ITI:s.
toute cluation (liffrentielle sip-I)OSC 'que les diffrcnccs de
ccdont elle est composoe, (livis es par les puissances respectives
de (Iz- et tIc (11, sont des quantits II1ies et comlrarahles entre
elles; mais rieri n'obli7e d'admettrc la coluliti~n IH'cdenle
relativment aiw diffrcnccs dr cc de 1'0I'drc ccon cl'un urtlre
suprieite; on doit donc assujettir les fonclions arltitraires de
l'intgrale -,ice qu'il n'y ait point (le saut entre deux valeurs
conscutives cl'une clillrence de ces fonctions moindre que ic, et
les co'ul'hes "qui les reprsentent doivcnl ~tre assujetties une
conclition scmlrlable, en sorte qu'il ne doil point y avoir dl'
saut (letix tailcrelites consc.li\'cs si l'duation est
diffrentielle du second orclrc, ou enll'C deux l'ayons osculateur~
conscutifs si elle est dill'l'l'cnlicllp du troisiiiie orclre, el
ainsi de suite. par exemple, dans le prohIi.'lIw des cordes
vilrantcs que nous vcnorts cl'anal~wcr, cl (lui noncluit -~l ne
uluation dill'rclltielle (Iii seconcl oI'drc, il est nccssairc u le
clue les courlrc~ dont on fait Ilsagc 1)0(11' construire soieyt
telles que (letix cols conligus I\e forntcnt Point entre eux un
angle fini or, c'ea ce qui aura lieu dans la consll'llction clue
nous avons donne si la ligure initiale de la corde est telle que
cette condition soit remplie; cal', en la posant altcrnativcment
au-dessus et au-cle~~ous (le l'axe dcs ahscisses, con1ll1l' nous
l'avons prescl'it, la courhe infinie qui en l'sullc satisfait dans
toute son tenduc la mcmc comlilion. Lc seul cas qui semhlc faire
excplioll -t ce yue nous venons de clire est celui dans lequel
l'intgrale renferme les fonctions arlritraires et leurs dilTrences;
car, en la suhstituant. dans l'qualioll diO'renlielle pour y
satisfaire, on y introtluit les diffrcnces des fonctions
arlritraircs d'un orclrc.~ FI, suhricur 11 cc (lui suppose clue la
loi dc conclill'renees dl' l'ordre ~c 1; mais on doit tillllill'
~'ctencl ait (les alors l'onsidl'eI' comme les vrilahles fonetions
arllitraires de l'iiitnrale les dill'renccs les plus leves de ces
fonctions, et re~arcler tOlites les diO'renccs infrieures comme
leurs inlgrales succcssi\'es, moy-ennant quoi la rglc donne
Prcdemment sur la continuit des fonctions arlritraires et dl' leurs
diffrcnccs suhsistcra dans son entier. On petit mme la p'senlcr
cl'une manire plus simple, en of~ser-
1iF110iRG
SUR `Li;S
SC11TES.
83
vat qu'il n'y a point de saut entre dCllX valeurs
olisctlti%-esdl' l'intgrale cl'une fonction (Iucleonquc arhitraire
et discontinue; car, c nommat ~(s) cette fonction, deux valetirs
conscutives de soit intgrale ~rls ~(s) lie cliffrent entre elles
c~tic dl' la quanlil rls (s), qui snrait toujoitrs infiniment
petite, quailll mme il y amailun saut entre detix valeurs
consclives dp ~(s). La rgle lrrctlentc ppul donc se rduir 11la
suiya'nle Si l'irtt~;ralc cl'rrnr. rlrrrrtrW r au.zrlinrenccs
IrartirIlcs rlc l'ordrr rr rmr%rnrc la diffrcnc.e r"P
d'ture,j'orrctinrr arGitraire rle s, ori Imrtrra, au licu dc la di
jjrertce (" + r~`' de cette ,j~orrctiorr,rlis~isc yar cls" Irlotcr
rtrrc _onctiorr clrtelconrlae di.scnntirrttcdP s. ern-
I.or.,(Itie, dans le lrolrlme des corcles vilrrairtcs, la
fictii-e iniliale de la corclc estlellc que (letix de ses l'cils
conliglls formcnt tiii anglc forme par la l'unioll (le (1(,tix
lignes fini, par cxemplo est il (11-oit(,S, me semlrle yue
~umtric[emcnt la solulioll 1"'I'cllrntr ne si l'on eOllsidi'n'
physi(IUemenl ce Itrolrli~mc petit tI'C iiiais, et toti~ les
atiti-es tle ce ~cnre, tels (111((111 son, il lt:rrait c1el'on
petit a[rpliclunr la conslrucliou Ilue nous ayons (loiiiie, mcme
ait cas nit la cOl'llc serait forml~e du syt~mc de plusirurs
liglles tlroites nar 9)11 voit, a priori, clue soli iiioliveilleilt
doil trs l'Cil tlill'rer de l'cllli qu'clic prendrait en supposant
que, aux points o l'I'S linnes se i,citcuntrent, il y ait (les
petites courbes (illi [rernmltcnt tl'enilrlowr cette
i-oiistrtictioit. XXIII. oit het encure appliqucI' le caletil dcs
fonctions gnratrice~ .'tl'inlgralioll des qualions aux clillrences
hartiellm, en partie tinies et {'IIpartie intinintent p('tiles;
pour cela, cOllsidrons l'quation
la caractristiyue
finie se rapporlanl
la variable .n, ciont la din~-
R
'1I~~lomE
sun
LES SUITES.
sun -ii-~loilli-1. f~ESS(!(TES,011 ppul ilitgi,t~119 Ic mrnc
proctl, l'l'quation ~ni~ralc par
85
HG
M~IO1 RES U Il
LES SUITES,
Si l'on ahl~liyuc aux fonctions -.1deux val'iahles la mutluolc
yoose dans les arlicles X el XI, on aura, sur le dveloppemellt de
ces fOllelions en sries, (les tliornies analogtiPs ceux auwlucls
nous sommes parvenu claus ces rlcux articles. Supposons rluc u soit
gal la suite infinie,1'o,o-F- i'i.or 'j-o.f.~n.l~il -+-.o~W 1'a.o~
1 -i-
et (iiie l'on (lsigiie par la caractristicluc d la diffrence
finie de )'.r.r" r 1)1.iseen faiaant varier' la fois x cI v,, la
(onction ~nratricc de Aaa. , Il A scra Il --1) d'oit fonction
de~lIY-r, Seri ,cra ser~t il quc i); (I'oii il suit que la
fonctioii (le u~ u~i~~ 1); Or on a
l(li\(OIItU
SU li
LES SUITES.
81
ce yui ctonno
la ciiffrcncc filtie (le partan(, si l'on clsirit li:a la
caractcristiq~ue en lie fiisant vricr que x, ct pal' la
caracti'risli-"le :1_cette 1)1-iSe ~lill~rencc prise eu ne Iaisant
yirl' que IV,, on aura, en l'epassanl ~clc5 fonctions dnuratrices
aux variales cOITl'sjwndlrs,L~~ ly. z, li r,~l tr,, (1 ~`~.s'x-l 1
]Il,
POUf\'lIque, dans lu dl'H'lopp(,Incll tllI secoml mcntbrr de
cette cclualion, on appli(IUC aux caractri~ticlues -,, rI .2 Ir,
pxposanls des Jluis(Ir ~r_ sancrs de et n, on,
s'assUI'PI':1faeileml'nl, par un l'aiSOIlIIl'En changcallt ia en
mcnt analol;ue n celui tir l'article X, que l'cluation ltrciulcnte~
~lu_ vicmlra
dp pourcu (1c, dans le dl'YelopIH'II1Cntdu second l11('mlm~
crlll' l'/fuation, on challge les diO'l;I'cllces 1I1'galYesen
i/lll'gl'ales, Il est clair que i l'CI1CC finie l/i'lIle ,1' ti a 1
1)" est la fonction gnl'alricr de' la 1 lorsque 2 \'sll'ICIlC i, ct
(Itie X, \11'lt` (le l~; 01'
clune, si l'un dsignc lar la caractristiyue '.1 les
diffr('lIcl's et d(' par la caracli,istiqiie 12: les illl('gralcs
fiiiies, lors(Itie.t~vai~10, i et que .11,varie de i" on aura, Cil
l'ep3ssalll des fonctions gnr31I'i~{'s aux variables
cOfl'espond:tII('s, I~~u~y.f, -I-i-c~~l~.l.c,~1'31~r.n~
pourvu que, dans Il' dveloppement (les seconds membres (le crs
p(l"a-
88
\I1:\IOIRI:
511It'LRS SIJITI?s.
tiOIlS, on allhlifluc aux caractristidui's ~1, cl ~= les (les
puissanl'{,s (ll`.1'j, l't et que l'llll changc h's dirrl'rt'l1ers
nl'gativcs cl intralcs. f.e'; llcw quations prl'cdentes unt encore
lieu, i'n supposant tJUl', dans les diffI'rllcPs et dJy.c" .L' l'I
:L'" au liru dp \' dont le seront niow'me'lit soit l'onn'; dans ce
cas, X, y, Z, X', Y', Z', l't dl' donns ell fonctioi1s,Jr ex, 0!
'.1. fJ, 0', 0", 1 1 1 quantits collnttcs; en suhstitu:i.nt donc.
dans les quations IH'l'c{'(leiites. alliieu de a2. 1'. ~t' ,.)'
I('lll's 1':ll('tll's en Y.,0, p. J', les 3n quations
dill.1cescorps tant supposs au il, 1. l'entiellcs prcdentrs
donneront autant d'quations l'ntru Ic, an Iluall~Itr, do' ~l' y 0,
IJOIll'fa aisi 1 Ilue l'un 1)otii-ra aiiisi 'l' c!rl'llllnrr; un
(iiie l, tltrS:l, olr' fil (il -1 Itl' SI' 1)1,sellttl.olll llali,
cet avantage (lue (il, i elC!J' ~l~' -ri ces tlations qe sous une
foriiie linairc. SUppOSOIlS que l'un puiss!' ellactille d'eP('s
1)arvenir 11intgl'rl' ces 3n iuluatiuns dill('rrntirlles; iiiiiie
donnant, par l'int(~gration, deux constantes al'l,itraI'cs, un
Hlll'a rn tout " arbitraires qui acrunt les liiieiits des orbites
drs tlilfl'rcts 1'01'pS;mais les 3" intgmlcs finic's, aw'c 1r.llI's
Ilrcmires dim'n'nces, (loiiiieroiit Gu qations ait iiioveii
drsqurllrs on pOlllTa dl-tel'lllilH'I' ~Gr' cl.r d;. t!)' l" en
onctwns (1' ;I~, toutes l't'S :li'I)Itr:lll'l'~ :2~, Y, clr' et,
l)Ml'consequent,l rn t" lonchons (les quantltes lIG l!=J
'.1.,( r~,
~fz
(10
tl
(71
aura done, pal' u', 0', (lui 011 que l'on connait pal' c,(~
crtte mthode, les (>Jmrnts des orhites de tous ces coi,l)s.
OErnrrrs ~lr
l..
X.
106
1I110lltE
sun
Lt1 I)I:'CEIWII\~1'ClO\
1 Appliquons maiiitenant ce que noi~s venons dc clirc au
iiiotiveniiii drs comt~s; pour cela, iiolis ohserverons que la
force principale qui les anime est l'attraction 'dt Soleil; ns
pouvons ainsi faire abstraclion de toute autre force cependant, si
la coillte passait assez 1)1,(~s d'une grosse plantc, telle que
7piter, pour en prouHr'\lll"dnlgrment sensihle, la mthocl hrcclnte
ferait coniiitre e'ilc'ore sa vitr~sl' et sa distance il la 1'erre;
mais, ce cas tant excessivenieiit rarc, no. n'aurons gard dans les
rechercltes suivantes q' l'action du Soleil. Si l'on prend toujours
pour unit de masse celle du Soleil, et pOUl' tiiiit de distance sa
moyenne distance la Terre; si, de plus, on nomme r le rayon vecteur
de la comte et cle l'on fixe au centre du Soleil l'ol'igine des
coordonnes ~r, y, a, on aura les trois quations Il i ffITnl e IIrs
i
Supposons yuc le plan cle5.r. et (les,), soit le hlan mme tic
l'elil)ii(liie, (lue l'axe des x soit la ligne mcnc du eentrr clu
Soleil au premier point cl'Arics une poque donne, que l'axe (les
soit la li~nc mene (lu centre du Soleil au premier point du Caneer;
enfin, que les hoside l'clipti(lue; nommons tifs soient du mme ct
clue le boral l'nsuite Z' et,}" les coorclonncs cle la 'l'erre, et
dsignons toujours par la cliatance cle la comte la Terre, et
l>ar x et 0 sa longitude et sa latitudl' gocrnh'iqucs, nous
aurons.2'z'OCOS~COSa,
3.= ~+~,cosOsina, = p sin
DES ()ltI3ITES
DES CO~[f;TES.
107
un suhstitti~nt ces valeurs dans les trois quations
difrentic~llc~s (ll'l't;,lentrs, ('lies se chanberont dans
celles-ci
Il ne s'agit plus maintenant
clue de tirer dc ces cpations les val~ur
108
\I\(OIRF
SUIt LA DFTEIlItI\t1'fl()\
dc 1 et dc ~~i Si l'on'nollli Il le rayon vecteur de'la TCfI'r,
on atiri, dit par la thorie tirs foi-ees ('rnlI'ales,
Si l'on (lsioiie ensuite Irar A la longitude dc la Terre vue du
Soleil, on aura f~ n sin A. .r~-Rcos~l, Cela I)os., on multipliera
l'quation (1) par sin:1 et l'on en retranclrera I'i!(111.-Ilioli
urultipliu par COS. l't, uomme on a (2)
Si l'on multiplie cette quation par sinU et que l'on en
retranche l'-
DES on RITES
DES CO~ltTES,
109
quation (3), multiplie par cos0 sin (A
7), on aura
c~yrre,sion dans laquelle,on l'l'ut 01)SCI-VCI- le est clue ait
produit t dela di ff,'ence ci ~l.nominatr.ur lIaI'
gal (il A tant re1
gard comme constant. Si l'on ntultiplic maintenant l'clualion
(1) I)ai- sinx et que l'on on retrancltc l'l~quatioll (2)
multilrlie par cos(',{; si l'on ohscrve l'ailleurs que
Si l'on suhstitue dans cette quation, au lieu de ,,sa
valelll'llp, et, au di l lieu lie u, l'expression que nous venons
d'en trouver; si l'on fait de
HO
NI.NI611E SUR LA D)w eiiiployer dans la citermination appl'oehc
des orbites (les comtcs; il l'audra fail'c usage des deux hremieres
quations, si les ditrl'clH'('S secondes de la longitude gocentrique
sont plus considl'ahlrs quI' celles de la latitmlc goccntl'iquc;
mais, si elles sont moimlrcs, il tau(Ira faire usage des quations
(io) et (1 r). Si l'orbite de la comHt' tait peu incline
l'cliptique, les mthodrs fondes sur les qua-
au moyen des deux quations (IO) et ( (), les calrur: l'quation
finale en p', la~luelle concluirail 1'('limination,
DES on BITESDEScO~li~TES.
1-2~
tions (5) et (8) lie seraient pas exactes; elles cesseraient mme
d'avoir lieu si l'orbite de la comte tait sur le plan de
l'cliptique, car ces quations dpendent des valeurs de li et de u de
l'article IY; or ces valeurs deviennent 10riHiue0 o et = o; elles
clcvicnnnl cncoro
0 lorsquo la comte est en opposition et parait monter
perpendiculail rement relileiit 1 eclIptlque, c'est--dire lorsque A
=!(a et d~t = o. II faut l, lorsqtie r\ ~l~ rccotirir, cl~ns le
premier cas, aux quations (9) et (1O);rt, dans 1(' second cas, aux
(-1"uatio> (1 o) et (ri); ainsi,"qualld inme ces quails tions
n'auraient pas l'ayantage (le s'appuyer moins sur les ohservations
que les autres, elles mriteraient la IHf(~rence en ce clu'elles ont
lieu gnraleinelt, duel que soitle'moll\'ement apparent de la
com.te. lrotll'1'ttfltr(' son orhile soit parabolique. Il est
essentiel, dans Icnr usage, de bien dterminer toutes les valeurs
relles et positiycs clu'cllc~ donnent pour p; cn supposant, par
exemple, cluc les quations (~) el (10) donnent hourcette inconnue
plusieurs racines relles et posilives. il faudra choisir celle qui
satisfait l'quation (II); mais, si 1'01'hil4' tle la cornte est
t(,(\5 peu incline l'cliptique, auquel cas l'('quacesse cl'avoir
lieu, il faut ncessairement recourir' 11 unn cl'o il suit cluc,
dans ce cas, trois olrscrvayuatriirnc ohsel'ation; lions sont
insuffisantes pour dterminer cette orbite, l'areillement, si (r5
quations (10) et (Il) donnent plusieurs valeurs liositives dl.' p,
il f"audl'a choisir celle qui satisfait l'clualion (9). Il est
facile de se convaincre que la mthode fond(' ltenu~r~lueIl. stii-
les quations (9) et (10) n'est qu'une traduction analyiclue de la
mthode du troisime Livre des l~rinciycs de Newtoil, en y supposant
le: intervalles entre les observations infiniment petits, Cc ~raml
gomtl'c tend ~Ila vrit cette mthode des intervalles finis assez
consiMl'ahlrs, au moyen de quelques cOl'reclions qu'il indique;
mais, sans examiner ici jUSqU':1'quel point ces corrections sont
exactrs. nous olrserverons qu'elles l'elldentl'usage de cette
mthode assez ditlicile, et qu'il est hcaucoup plus simple de
chercher, comme nous l'avons fait, pal'I'intel'JlOlation de
plusieurs ohscrvations, des valcur, lion (II)
126
\IF~tOIItE
SUR LA DTERItINATI01~' da d'a dO 110
de plus en plus lpprocltes de `~ et la dt D aIlleurs, 1 forme 1
dt titi-) d! analytiqlie sous laquelle elle est ici prsente en
sinihlifie et l'qution (1 '1); 40, et ainsi du reste. )[ais il
fmidl'i1 toujur: que l'interralle coin'j's entre les
1)1)servatioiis soit (l'auta~nl pls grand dit'ellcs sont en plus
grand moilrrc, afin de (li:terminer l'ilifluence de leurs erreurs.
Cela pos, soient i, i', es",i' les ascensions droites successives
dc la CO1111'lC; les dclinaisons Lorales cOl'l;espoildantrs, les
(1(~cli'Il, 'I"Pj'l, 'i" liaisons australcs devant trc sttpposes
ngativrs. On (livisera la (Iil*l'rencc ()' lrar la nombre des jours
qui sparent la premire (le la ,econde olrservation; on
(li~~iserapareillement la (lifli-eiice pal' le nombre dcs jours qui
sparenl la troisiiiie (le la secon(le obserration; on divisera
encore la (lifli-eiice Il' nomlrrc des jour, par (lui sparent la
(luatrmc de la fi-oisit-iiie olr~ervalion, et ainsi (In suite.
Soient L~, ~u', la suite de ces quotients. On (livisera la
dill'rrnce ?~ par le nnmlrre (les jours qui spal'cnt la troisinw
(le la 1)i-eiiiii~e olrservation; on divisera pareillemenl la
diffrence >~t; F~' le nomhre des jours qui sl'pal'rnt la
(lualrme (le la seconde oh5ervation; on diviscra encore la
difrprence par le nomhre dcs jours qui sparent la cinquii'lIIc dl'
la troisnte olrscrvation, rt ainsi (lui rc,tc; soirnl 6, F's;
~1{}', la suite (le ces quotients. On (livisera la diffrence ~2 el
J2 e par lc nombre (les jours (lui sparent la quatrime (le la
llremire ol)servatioii on (livisci-a pareillement la (li(frence
2P,' par le nomhre (les jours qui sparent la cinquime (le la
seconde ollservation, et ainsi du reste. Soient 36, la suite (le
ces (luotients; on continucra ainsi ~36', jus(lu'n ce (luc l'on
parvienne -t former ~1/-16, n tant le nomhre (les oLscrvations
employes; cela fait: 2 On prcndl'a une poque moyenne, ou peu prs
moyenne, entre les instants des (leux ohservations cyrmes, et, en
nommant i, il, i", i, le nombre de jours dont elle prcde cha(Itte
ohservation i, r', (levant tre supposs ngatifs pour toutes les
observations ant-
DES onnlTRS
DES CO\(~1'ES.
129
rieures cette poque, l'ascension droite de la comte, aprs un
petit nombre: de jours compts depuis l'poque, sera eXIH'imc par la
formule
06, -t- 2 'li, . rlans la [rartie intlltentlante (le sont: io le
nombre i; 2 le produil des deux nontltres i et i'; le Ill'oduil des
trois nonrlrres i, il et i", Les coe!l1cirnts de ~2~, + ~]6, dans
la partie rnulti' lrlie par:; sont io la somme des deux nombres i
et i'; 2" la somme ~les protluils deux -~i eux des trois nomlrrcs
i, i', i"; 30 la sororne (les d trois des quatre nombres i, i', i",
lrrotluit, trois -,1 Lps coefficienls (je dans la lrartie multi~J~,
+ r; ~"6, plie par :;2 sunt il, la somme des trois non21rre5 i, i',
r"; 2" la somme des lrrotluits deux -.1 deux des quatrc nombres i,
i', i', i'{o la somnH' dps produits trois trois des einq nombres i,
i', i", i" i, Eu oprant dc la mme manire sur les dclinaisons de la
comte, sa (lcliiiaisoii al)i-s le nomhre cle jours depuis l'poque
sera rcprsenle par la formule stiivaiite
Les coeflicients (C
On sulyosera ensuite:; c.r.a~ttlt lloisir ct multiplicr le~
olrscrcatious de manirc -t les olUenir c avec toute la rigucur que
ces oilservations comportent. Si le notnlwe des hsel'ralions
cii.il)loyies est impair, on pourra fixer l'poque l'illstant de
l'obsel-vatioil moyenne, Cl' qui vintplific les formules prcdentes
et cc qui dispensera de calculer les parties
DES 1)1313ITES DES CO~ITES.
t3t
ces formules; car il est visihlr que ces inclpendarites de dans
partirs sont l'pslwctivrmrnt gale5 11l'ascrnsion clroite ri la
dclinaison (le l'olrservation moyell ne. 3~ La dlerminatioll cle,
cltiantits a, G, lr cil 1 sel-.lit plus sin~pl~ si l'ol avait
riluit cl'avance vit lonoilu~cle ri cn la(itticle les ohscrvations
dont on fait usage. Dans ce'(-as, on Sllpposrra, dans les formules
(p) ..1 (1), clue f), 6', 6", relrr~~scntcnt les lon~itticle,
grocrnll'iqurs olrserves et cluc y, '{', y", rcrr{~sentrnl les
latihdrs correshonclantes; (-il nommant toujours or et 4 la
long'illHlr et la Jatitu'dc gocentriclue de la contUc, l'instant
que l'nn a choisi l'OUI'{'poque. on a u l'a 1"l'galh la partie
illdprndantc de dans la forllluir (p); Le logarithnw de a, on
rduisant en secondes le roeflinient de z et en l'l'tranchant du
lo~.rrithnrc de ce nomlrrc de sccnnclcs le logarithmc 3 ,t';5oooth;
Le logarithm'c de b, cn r{'duisant cn srcondrs le coelficient de 2@
en lrrenanl ensuite le logarithme du (lotil)lt- de ce nornbrc de
sceonclcs et en retranclrant de ce logarithnu' le suivant
r,~8:i.~yr r. On aura lrarnillement 0 ('gai 11la partie
inclynemlante (li- dans la 1,)('Jnulc (y). On ara le logarithme dl'
h cn rduisant c~n sccomlcs le coct11cient ~le clan, cette t'ormulr
et (,ii ('(~tl'anchant 3,i.uuW iln logarithme de cc nomhrc de
secondes. Ellfin un aura 1 c~nr(luisant en sccomlcs le coefficieiit
rlr -2 rlans celle mrnlP forititile et cn "l't'\I'anchanl l
'78):)~)ll du lo~arithnm du double de ce non~lrrc dr secondes. 1"
POIII' claircir ce ye nous yellons (le dire par tiii evemlrle, nous
choisirons la coiiite de 1773, dont les observation~ faitrs 31.
Jfessicr sont consignes dans le Volume des Jlmoir~s rlo
l':loarlnrr~ pour ubser_ l'anne I771. En rcluisant il 17h, temlrs
moyrll les valions dll I3 octobre, du 31 octobre, dll 2') noveml~rc
el ~l Jl dcemhre 1773, on a
HES OItIiI1'RS
1)]~'S cojrf:TES.
131
ces formules; car il est yisihlr que ces indpelldntcs dr. dans
parties sont respect iveiiieii 1 gales l'ascension droite et at la
dcliliaison (le 1,01)servatioli mo~'ennc. 3" La dtrrnlination
rlcs,yiln(its (1, b, lr et 1 serait plus simyle si l'on avait rduit
d'a\'ancc vit longitud~'rt en latitudr les observation. dont oit
fait usage. Dans ce cas, on suhlloscra, (laits les formules (p) les
longiludrs gt;ocentriqurs 1'1 (q), cluc 6, 6', 6", reprsentent
o1>srl'rs et que y, 'I"p y", l'cprsent.:>nt les latitutlcs
corrcsponclantcs; cn nommant toujoitrs a. et tl la longitudr et la
JatifIlc gol'instant c~tte l'on a choisi pour l)oqtle, on
centriclue de la coni.tp, -,1aul'a:
x l'gai n la partie indpendante (le dans la formule (p); Le
loarithme (Ie a, en r{-duisant en secondrs Il' roellicient de et en
rctranchanl du lo,7.trilliiiie (le ce nomhrc (le spcnndrs le
logarltltllt(' J,:1JC1(10~r; I,e lo~aritlrmc de G, en rdisant cn
srcondrs Il, coewicieiit de en llrenant ensilitr Il' logarithme du
doubll' de ce nombrc de srcondrs ci) de CI' lo; arithmc 1('
sui\'ant J, 7855911. la On aura lrarcillcment 4 l~al 11 pal,tic
indpprndantp ~1~' (lan, la fnrnallu (~l). h cn rc(1i,at en
5ccon(lrs la coetlicient On ara le (1(, rctranchanl dans cette
fortnule et cn rctranchant 1, .)-1ono:h (ln locarilliiiie de ce
nnmllrc (le secondes. Enfin on aura Il'n l'dnisant en sl'condrs le
rocflicient (ln 2 dans "l'fI'anchant l, 78j.)~)l1r (1 10f{arithml'
du cette mrnH' forrilllie 1'1(.11 (le douhlr de ce nomlrrc de
secolldes. al~' l'or {-claircir ce que iiotis \'l'Jlllns (le.dirr
par tiii exemple, ilotis cltoisirons la com-te d" 1 773, dont les
observations faites par.\J, -)lessiei- sont consignes dans le
"olume drs Jlmoir~s de l':tcarlmic pour l'annc l7?I. En l'duisant
:1 17", temps mnycn Paris, les obscr_ vations du 13 octobre, du 31
octobre, (lu :6 novemlrre et (iu If, d(,l'mlwe 1773, on a
DES oniITRs
DES Co"~ltTRS.
133
la longitude de la'l'erre vue du Soleil, l'instant que l'on a
choisi pour poque; soient Oit dterminera A cette longiftidc; R la
distance correspidnt
de la Te-r're au Soleil; Il' la distance qui l'pond -t la
lonnitucle A -1-9 de la Terre. On formera les trois qimtions (1)
cos= -i 2 lt,r cos ( A YIl!,
et r, il sera beaucoup plus commode ci'employer, au lieu des
cocfficients connus, leurs logarithmes. Oit fera une premire
,ulrlrosition pOUl' on Ic supposera, par cvcmplc, gal l'unit, et
l'on en tircra, ;1:: ait moyen des quations (1) et (2), les valeurs
de r et tucra cnsuitc ces valeurs dans l'quation (3), et, si le
sera une pretmc que la v.-ileur dc ;1;a N hien choisie; on la est
ngatif, on au~mentcra la valeur de et de 011sulrstireae est litil,
Cf' mais, si ce l'est' diminucl'a si le
reste est positif; on aura ainsi, ait moyen cl'un petit nombrr
d'essais. les vritables valeurs de ar, 1' et r; mais,.comme ces
inconnues heuvent tre susceptibles de hlusieurs valeurs, il faudl'a
choisir celle qui satisfait exactement, ou il peu prs,
l'quation
13
llt~~i0IRl:
sun
LA DI~TER\II\_1TI0\
Il faudra mn1r emplover cette quation' de hrfrencc ;i l'quation
( 2), ai l'on a I b; rI alors ce sera l'qual ion (2) qui servira de
arification. Ayanl ainsi les valeurs rlt~ii-, y et r, on formera la
clua~tit
cl'ut l'on conclura, pal' la Taille ~( nunmement (les comi,tps,
Il, temps t'Illpiov a prcoul'il' l'anf:lc v; l't, I)otjil avoir
l'instant (lit passage [rar ce temps -i l'i)otltie si P c~t
n{'~atif. et le [ri~riltliu, il .1jotitei, le sou,trairc si P est
po,itif, )tarce (Iiie, dans Ic IHl'miPI' cas, la ('0lIli'll~
s'appl'llrhe du I)l-illlie, 1'1 (iiie, dalls le second cas, rllr
s'cn loi ti Relaticemcnt 11la coml'tp (le l77' l't'PO(IIH' Mant
fivce comme ci-desslls ail i llovellll)l.(., 1117h Irmps moycn, on
a ~n
I)ES OR131TES I)ES cO~lf~TES. Je trouve, avec peu d'essais, ,r
logr Ces sitisfilsaiii 1,(jOII; )" =0,3'1113, 0, ~go~o;
135
-.1 !l's pcu 1)rc~u l'(lution (f,), j'en c`nclu. qu'rUes doi\'nt
tre a(lol)tics~; je forme donc leur 1*lio en la a (Itiaiitit(. p,
et je trouvc t' 0,9)'18,cc qui (IOIIII(' t)-t,IOj3'1, 7 = (j'l'53'
19"'
Le signe de P i'tant positif, la c~omla dj pass pal' son
Irriltlic: d'oiI je conclus que ce passage a en lieu le 5 septemhrr
:1 3I~' !11", Ili Paris, temps moyen -.1 llctctintitalion cc
Ituittt. choisira troi~ ohser\'ations 1;loignes de I;1 comi~tc;cil
pal'Iant Oit ensuite' de la distance Irrilllie et de l'instant du
passage pal' ce point, calculera facilement les troi,
uno(lici-iiiiiis pal' ce qui on nlalics de la coultu l'l les troi,
l'ayons yccteurs cOl'l'espondants aux instants dcs Il'ois
ul)serv:vtions. Soicllt ,il ti', v" ces anomalies, celle: prihlie
(levant trc supposes de yui sont de cts titi signes cuntraircs;
soicllt, de I)1u5,r, t'. r" les rayons \'ccteul'S
coi-t-espOlldallts (Ic la comte; on aura Ics aiicles comlJl'is
cntrc r cI r', et entrc r et t' cn soustrayallt l'une (le
l'autrc-les anomalies cOl'l'esponllantes. Soient U le pl'rmicr tic
ces allgles et C' le second. \omulons encorc 7- o,' Ics trois
IOllgitudes ~occnlriqucs trois lalitudes ~,ocentriqucs; 0, O', ses
observes (le la comtc: c.rttcte clos lntmtts do l'orlrttc lorsrluc
l'utt runttait ti lu lotr Itert pr~.s distamrc ItPriltclio ct
l'rirstamt dtt Irassa~c tlc la tour~tc~
136
1I~\IOIRE
S (T fi I.A UI~:TER\II\1TI0\
c, C', C" les trois longitudes correspondantes n" ses trois
distances la Terre; Il',
du Soleil;
6', 6" les trois longitudes hliocenfI'iqucs de la comte; G, d,
ts" ses trois latitdes lilioceittriti-iles. Cela I)os On imaginera
la lettre S ait centre (lu Soleil, la lettre T ait centre de la
1'crre, la lettre C an centre. de la comte, t la lettre C' sa
p~ojection sur le plan de l'cclipticlite. On ara .l'angle S'f(:' en
prenant la cli(lcrcncc des longitudes gl~ocenlriques dc la comte rI
du Soleil; en ensuite le cosinus de cet angle par celui de la
latitude gocrntrique 0 dc la comite, on aura le cosinus de l'anglr
STC; dans le triangle rectili~n STC, on connaitra donc l'angle STC,
le ct ST multipliant ou n, et le, ct SC ou r; on aura ainsi, par
les r~lcs de la Trigonomtrie rectiligne, l'angle CST. On aura
ensuite la latitude hliocentl'ique G de la comte, au moyen dr
l'qualionSI/I r.J
sitt J sitlCS'f ~itll.~l'1
1.'aiiule 'USC'est le ct, cl'un trian;le sphrique rectangle dont
1'livpotnuse est l'angle 'l'SC, et dont un des cts est l'angle r,,
d'o l'on tire aismrnl 'l'SC' et, par consquent, la longitude
hliocenlrique 6 de la comte. 011 aura de la mme manire ;',u" et et
les valeurs de 6, 1)', 1)" feront aismenl connaitre si le mouvement
de la comte est clircct ou rtro~ratlc.. Si l'on conoit les deux
arca de latitude ; et d runis au ple de l'cliptique, ils y
fOl'mel'ontll1l angle gal 1)' 6, et, dans le fI'iangle sphl'ique
form pal' cet angle et pal' les cties 9 ; et 90u le citt oltposi~
l'angle 1)'sera l'angle au Soleil compris entre les (letix rayons
vecteur~ et r'. Un le clterminera facilement par les foil'ilitile
analogies connues de la TI'igonollll'fI'ic spltriquc ou la suivante
co;; V==Cos(6' 6) ('osr.JCOSliJ' si fi m o', + si dans laquelle Y
rcprsentr cet angle,
DES ORBITES
DES C01I1;TES.
137
En nommant pareillement leurs 1-et r', on aura
Y' l'angle form par les deux rayons vec-
COSN"= cos('- t cosra cosi.J'+ siiim sin~ llaintenant, si la
distance prihlie et l'instant comte pal' ce point taicrit
exactement dtermins, =U et ~U'; du passage de la on aurait
mais, comme cela n'arrivera presque jamais, on sulihosera w
R^tJ'-`n. ttt-Uici que le calcul du triangle STe donne, Itour
l'angle CST, deux valeurs diffrentes, savoir CST et 1800- 2STC eST.
on ainsi deux valclll's. cliffrentes pour chacune des quantits Nous
oitservcrons [;J,6', [;J',F", r~ Le plus souvent, la nature du
mouvement de la comte fi~raconnailre la valeur de CST dont on doit
faire usage, surtout si ces deux angles sont tl's diffrents; car
alors l'un d'eux placera la comi'h' plus loin que l'autre de la
Terre, et il sera facile de reconnatre par limouvement apparent de
la comte, il l'instant de l'observation, 1(-titiel dcs deux angles
doit tre prfl'; dans un grand nomltrc de cas, l'un d'eux sera
ngatif et clevra par consquent h'c rejet; mais, s'il res cet gard,
on pOlll'l'a toujours dterminer observant de prentlre pour et
yritahles valeurs de e, en deux angles qui rendent Y trs peu
diffrent de U, et de pou tait de l'incertitude Jp~ les l-
Cet 6" Ics deux angles qui rendent V' trs peu diffrent de U', Un
fera ensuite une seconde hypothse, dans laquelle, en consPI'vaut le
mme instant du passage pal' le prihlie que ci-dessus, on fera
varier la distance prihlie cl'une petite quantit, par exempl' de la
cinquantime partie de sa valeur, et l'on clterchera, dans celte
Soient alors hypothse, les valeurs de IJ V et de U'nt'U V, il'=
U'dans laquelle, en con18
Enfin on formera une troisime hyhothse, o~u~r de L. x.
138
~I~IOInE
SUR L_\ I)~TERIf~IW1'IIO\
sCrrantla
m~m distance prihlie que dans la 'premire, on fera val'icI' d'un
demi-jour ou d'un'jour, plus ou moins, l'instant (lui passage par
le prihlie. On cherchera, dans cette nouvelle hypothse, les valeurs
de U \` et dr U'Soient alorsU U Y, !1U'Y'.