LAPLACE D ¨ ON ¨ US ¸ ¨ UM ¨ U Bu b¨ ol¨ umde bir integral d¨ on¨ u¸ s¨ um¨ u olan Laplace d¨ on¨ u¸ s¨ um¨ un¨ u ele alaca˘ gız. Daha sonra ba¸ slangı¸cde˘ ger problemlerinin ( BDP) ¸c¨ oz¨ umlerini Laplace d¨ on¨ u¸ s¨ um¨ u y¨ ontemi ile elde edece˘ giz. TANIM. f (t), [0, ∞) aralı˘ gında tanımlı bir fonksiyon olsun. f nin Laplace d¨ on¨ u¸ s¨ um¨ u F (s)= Z ∞ 0 e -st f (t)dt (1) integrali ile tanımlanan F fonksiyonu olup; L{f (t)} = F (S ) ile g¨ osterilir. ˙ Integralin mevcut oldu˘ gu b¨ ut¨ un s de˘ gerleri F nin tanım k¨ umesini olu¸ sturur. ¨ O˘gr.G¨ or. Dr. Ali Sevimlican 1/ 37
37
Embed
LAPLACE DON US˘ UM Ukisi.deu.edu.tr/ali.sevimlican/laplace.pdf · BAS˘LANGIC˘ DEGER PROBLEMLER _IN _IN C˘ OZ ULMES _I Bu b olumde lineer diferansiyel denklemler i˘cin ba˘slang
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
LAPLACE DONUSUMU
Bu bolumde bir integral donusumu olan Laplace donusumunu elealacagız. Daha sonra baslangıc deger problemlerinin ( BDP)cozumlerini Laplace donusumu yontemi ile elde edecegiz.TANIM. f(t), [0,∞) aralıgında tanımlı bir fonksiyon olsun. f ninLaplace donusumu
F (s) =
∫ ∞0
e−stf(t)dt (1)
integrali ile tanımlanan F fonksiyonu olup; L{f(t)} = F (S) ilegosterilir. Integralin mevcut oldugu butun s degerleri F nin tanımkumesini olusturur.
ORNEK 2. a bir reel sabit olmak uzere, f(t) = eat, t ≥ 0fonksiyonun Laplace donusumunu bulunuz.
Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 3/ 37
ORNEK 3. a bir reel sabit olmak uzere, f(t) = sin(at), t ≥ 0fonksiyonun Laplace donusumunu bulunuz.
Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 4/ 37
ORNEK 4. f(t) =
1 , 0 ≤ t < 2,3 , x = 2,1 , t > 2
Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 5/ 37
ODEVLER.
1. L{t} = 1
s2, s > 0 oldugunu gosteriniz.
2. a bir reel sabit olmak uzere, L{cos(at)} = s
s2 + a2, s > 0
oldugunu gosteriniz.
Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 6/ 37
LAPLACE DONUSUMUN VARLIGI
f(t) = et2
ve f(t) = 1t fonksiyonlarının Laplace donusumleri
mevcut degildir. Bir fonksiyonun Laplace donusumu var olması icinhangi kosullar olmalıdır? sorusunu cevaplayan varlık teoremini ifadeedecegiz. Varlık teoreminin ifadesinde yer alacak olan parcalısureklilik ve ustel mertebeden fonksiyon kavramlarını hatırlatalım.
Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 7/ 37
TANIM. f(t), fonksiyonu [a, b] kapalı aralıgındaki sonlu sayıdakisıcrama sureksizligi oldugu noktalar haric her noktada surekli ise,f(t) fonksiyonu [a, b] aralıgında parcalı sureklidir denir.
ORNEK f(t) =
t , 0 ≤ t < 1,2 , 1 < t < 2,(t− 2)2 , 2 < t ≤ 3
fonksiyonu [0,3]
aralıgında parcalı sureklidir.
Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 8/ 37
TANIM. f(t), fonksiyonu [a,∞) aralıgında tanımlı olsun, ∀t > Ticin |f(t)| ≤Meαt olacak sekilde T,M ve α pozitif sabitlerimevcut ise f(t) fonksiyonuna α ustel mertebedendir denir.ORNEK.f(t) = t, f(t) = e−t ve f(t) = et cos(2t) fonksiyonları∀t > 0, α = 1− ustel mertebedendirler.ORNEK.f(t) = et
2fonksiyonu ustel mertebeden degildir.
Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 9/ 37
TEOREM. f(t), fonksiyonu [0,∞) aralıgında parcalı surekli ve∀t > T icin ustel mertebeden bir fonksiyon ise, s > α icin f(t)fonksiyonunun Laplace donusumu vardır.UYARI.
Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 10/ 37
Varlık teoreminden su sonucu elde edebiliriz.OZELLIK. f(t), fonksiyonu [0,∞) aralıgında parcalı surekli ve αustel mertebeden bir fonksiyon ve Laplace donusumu F (s) ise,
lims→∞
F (s) = 0.
Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 11/ 37
LAPLACE DONUSUMUN OZELLIKLERI
LINEERLIK OZELLIGI. Laplace donusumu lineer bir donusumdur.c bir sabit olmak uzere f ve g fonksiyonlarının Laplace donusumumevcut olsun.
L{f(t) + g(t)} = L{f(t)}+ L{g(t)}
L{cf(t)} = cL{f(t)}
Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 12/ 37
ORNEK. L{3− e2t+ 3 sin 2t}=?ORNEK. L{cos2 t}=?
Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 13/ 37
LAPLACE DONUSUMUN OZELLIKLERI
OTELEME OZELLIGI. f(t) fonksiyonun Laplace donusumu F (s)olsun. a bir sabit olmak uzere
L{eatf(t)} = F (s− a).
Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 14/ 37
ORNEK. L{et sin 2t} =?
Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 15/ 37
LAPLACE DONUSUMUN OZELLIKLERI
OZELLIK. f(t) fonksiyonun Laplace donusumu F (s) olsun.
L{tnf(t)} = (−1)ndnF (s)
dsn
Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 16/ 37
ORNEK. L{t2} =?L{tn} = n!
sn+1
ORNEK. L{t2 sin 2t} =?
Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 17/ 37
TUREVIN LAPLACE DONUSUMU
Bir fonksiyonun turevinin Laplace donusumu ile kendisi arasındakiiliski:f(t), fonksiyonu [0,∞) aralıgında surekli, f ′(t), [0,∞) aralıgındaparcalı surekli ve her ikiside α ustel mertebeden olsun. Budurumda s > α icin
L{f ′(t)} = sL{f(t)} − f(0)
olur.
Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 18/ 37
TUREVIN LAPLACE DONUSUMU
Bir fonksiyonun n. mertebeden turevinin Laplace donusumu :f(t), f ′(t), . . . , f (n−1)(t), fonksiyonları [0,∞) aralıgında surekli,f (n)(t), [0,∞) aralıgında parcalı surekli ve bu fonksiyonların tumuα ustel mertebeden olsunlar. Bu durumda s > α icin
Laplace donusumu f(t) fonksiyonunu F (s) fonksiyonunadonusturen bir integral donusumu olarak tanımlamıstık. Simdi iseF (s) verildiginde bu hangi fonksiyonun Laplace donusumudursorusunu cevaplayacagımız ters problemi ele alacagız.Laplace donusumu bire bir donusum mudur?f(t) = 1, t ≥ 0 fonskiyonunun Laplace donusumu L{f(t)} = 1
s
g(t) =
1 , 0 ≤ t < 2,3 , x = 2,1 , t > 2
fonksiyonun da Laplace donusumu
L{g(t)} = 1s olduklarını gostermistik ( ornek 1 ve ornek 4 bakınız).
Bu verilen ornekten Laplace donusumun bire bir donusum olmadıgıacıkca gorulur. Ters problem verildiginde yani 1
s hangi fonksiyonunLaplace donusumu olmalı sorusununun cevabını netlestirmemizgerekiyor. Bundan sonra ters problemleri cevaplarken” Aynı Laplace donusumune sahip farklı iki fonksiyondan en fazlabirisi surekli olabilir.”ifadesini goz onunde bulunduracagız.Bu ifadeden yola cıkarak ters Laplace donusumun tanımı verelim.Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 20/ 37
TANIM. f(t), [0,∞) aralıgında surekli ve L{f(t)} = F (s) olsun.f(t) fonksiyonuna F (s) nin ters laplace donusumu denirL−1{F (s)} = f(t) ile gosterilir.ORNEK. L−1{1s} = 1
ORNEK. L−1{ 1s2+1} = sin t
Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 21/ 37
TERS LAPLACE DONUSUMUN OZELLIKLERI
LINEERLIK OZELLIGI. Laplace donusumu lineer bir donusumdur.c bir sabit olmak uzere f ve g fonksiyonlarının sırasıyla Laplacedonusumuleri F (s) ve G(s) olsun.
L−1{F (s) +G(s)} = L−1{F (s)}+ L−1{G(s)}
L−1{cF (s)} = cL−1{F (s)}
ORNEK. L−1{1s +−2s+1} = L
−1{1s} − 2L−1{ 1s+1} = 1− 2e−t
Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 22/ 37
Laplace donusumun oteleme ozelligini kullanarakf(t) fonsiyonun Laplace donusumu F (s) olsun. a bir sabit olmakuzere
L{eatf(t)} = F (s− a)
L−1{F (s− a)} = eatL−1{F (s)} = eatf(t)
olacagı acıktır.ORNEK.L−1{ 3
s2−2s+5} =?
Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 23/ 37
ORNEK.L−1{ s−1s2−5s+6
} =?
ORNEK.L−1{ 1s2+9} =?
ORNEK.L−1{ 5(s+2)4
} =?
ORNEK.L−1{ 3s+2s2s+10
} =?
Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 24/ 37
BASLANGIC DEGER PROBLEMLERININ COZULMESI
Bu bolumde lineer diferansiyel denklemler icin baslangıc degerprobleminin cozumunde Laplace donusumu nasıl kullanacagımızıele alacagız. Yontemi uygularken asagıdaki adımları uygularız:1. Verilen diferansiyel denkleme Laplace donusumu uygulanır2. Baslangıc sartları ve Laplace donusumun ozellikleri kullanılarak,BDP cebirsel bir denkleme donusturulur.3. Elde edilen cebirsel denklemi cozup ters Laplace donusumuuygulanarak BDP nin cozumu elde edilir.
Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 25/ 37
ORNEK.
y′′(t)− y′(t)− 2y(t) = 0,
y(0) = 1, y′(0) = 0
baslangıc deger problemini Laplace yontemini kullanarak cozunuz.cevap: y(t) = 2
TANIM. f(t) ve g(t), [0,∞) aralıgında parcalı surekli olsun, f(t)ve g(t) fonksiyonlarının konvolusyonu f ∗ g ile gosterilir ve
(f ∗ g)(t) =∫ t
0f(t− τ)g(τ)dτ
integrali ile tanımlanır.KONVOLUSYON OZELLIKLERI.1. f ∗ g=g ∗ f2. f ∗ (g + h) = (f ∗ g) + (f ∗ h)3. (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h)4. f ∗ 0 = 05. f ∗ 1 6= f
Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 29/ 37
ORNEK. sin t ∗ 1 =?
Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 30/ 37
KONVOLUSYON CARPIM
TANIM. f(t) ve g(t), [0,∞) aralıgında parcalı surekli olsun, f(t)ve g(t) fonksiyonlarının konvolusyonu f ∗ g ile gosterilir ve
(f ∗ g)(t) =∫ t
0f(t− τ)g(τ)dτ
integrali ile tanımlanır.KONVOLUSYON OZELLIKLERI.1. f ∗ g=g ∗ f2. f ∗ (g + h) = (f ∗ g) + (f ∗ h)3. (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h)4. f ∗ 0 = 05. f ∗ 1 6= f
Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 31/ 37
KONVOLUSYON TEOREMI
TEOREM. f(t) ve g(t), [0,∞) aralıgında parcalı surekli ve α ustelmertebeden fonksiyonlar olsunlar. f(t) ve g(t) fonksiyonlarınınLaplace donusumleri sırası ileF (s) ve G(s) ise