Lagrangian and Eulerian descriptions of motion Thomas Gomez LML 2016-2017 // thomas.gomez@univ- lille1.fr 1/47 Outline I 1 Concepts Référentiels et repère Configuration du système Objectivité 2 Description Lagrangienne Définition Hypothèses de continuité Affaiblissement des hypothèses de continuité Interprétation physique de la description lagrangienne : trajectoires Lignes d’émission Vitesse d’une particule 3 Description Eulerienne Définition Détermination des trajectoires Lignes de courant Mouvements stationnaires (ou permanents) Mouvements semi-permanents 4 Dérivées particulaires // thomas.gomez@univ- lille1.fr 2/47 Outline II Représentation Lagrangienne Représentation Eulérienne 5 Conclusion 6 Exemples // thomas.gomez@univ- lille1.fr 3/47 Référentiel Définition La notion de référentiel est liée à celle d’observateur : le référentiel est pour ainsi dire "l’espace euclidien entraîné par l’observateur". Choisie, une fois pour toutes, la chronologie, c’est-à-dire l’échelle du temps (mécanique classique) valable pour tous les observateurs. On appelle alors référentiel l’ensemble des points de l’espace euclidien animés du mouvement de corps rigide (isométrie directe fonction du temps) de l’observateur. Le référentiel, noté R, est dit lié à l’observateur. Exemple Référentiel Galiléen Concepts/Référentiels et repère/ thomas.gomez@univ- lille1.fr 4/47
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1 ConceptsRéférentiels et repèreConfiguration du systèmeObjectivité
2 Description LagrangienneDéfinitionHypothèses de continuitéAffaiblissement des hypothèses de continuitéInterprétation physique de la description lagrangienne : trajectoiresLignes d’émissionVitesse d’une particule
3 Description EulerienneDéfinitionDétermination des trajectoiresLignes de courantMouvements stationnaires (ou permanents)Mouvements semi-permanents
DéfinitionLa notion de référentiel est liée à celle d’observateur : le référentiel estpour ainsi dire "l’espace euclidien entraîné par l’observateur".
Choisie, une fois pour toutes, la chronologie, c’est-à-dire l’échelle dutemps (mécanique classique) valable pour tous les observateurs.On appelle alors référentiel l’ensemble des points de l’espace euclidienanimés du mouvement de corps rigide (isométrie directe fonction dutemps) de l’observateur.Le référentiel, noté R, est dit lié à l’observateur.
Permet de repérer les positions spatiales des particules du système dans unréférentiel R.
Souvent orthonormé d’origine O.Considéré comme matérialisant le référentiel R lorsque celui-ci estanimé d’un mouvement de corps rigide.Dans R, changer de repère R pour le repère R0, consiste à effectuer àchaque instant la même transformation de coordonnées
() Changement d’observateurPermet de repérer les positions spatiales des particules du système dans unréférentiel R.
Matérialisé en choisissant dans le référentiel R un repère R et dans leréférentiel R? un repère R? qui soient en coïncidence à un instant
donné.R et R? sont distincts.La correspondance entre R et R? évolue au cours du temps en suivantle mouvement d’entraînement (de corps rigide) d’un référentiel parrapport à l’autre.
DéfinitionEn mécanique, le caractère intrinsèque vis-à-vis du changement deréférentiel est appelé, l’objectivité d’une grandeur, d’une équation ou
d’une loi.
Pour une grandeur scalaire : deux observateurs mesurent la mêmevaleur dans leurs référentiels respectifs à l’instant t.Pour un vecteur : les expressions dans les repères R et R? des valeursde la grandeur mesurée par chaque observateur dans son référentielsont liées par la formule de changement de repère qui exprime lacorrespondance entre les repères R et R? à l’instant t, càd lemouvement rigidifiant du référentiel R? par rapport au référentiel R.Pour une équation : son écriture ne permet pas à deux observateursde discerner leurs référentiels respectifs à partir des mesures qu’ils yeffectuent. Les expressions sont liées par les formules de changementde repères.Exemple : Le PFD est une loi non-objective, car il n’y acorrespondance qu’en référentiel Galiléen.
ExempleLe vecteur joignant les positions géométriques à l’instant t de deuxparticules est objectif.La vitesse à l’instant t d’une particule n’est pas une grandeurobjective : 2 observateurs mesurent dans leur référentiels respectifs Ret R? des vecteurs qui ne sont pas liés par la formule de changementde repère.
Poinçonnement d’un massif pulvérulent 2D (Bonnet et Moriot 1972)
Identifier des particules constitutives du système par leur positiongéométrique dans une configuration de ce dernier prise commeréférence et notée
0
, càd par la variable X.Exprimer la valeur de toute grandeur physique dans la configurationactuelle en fonction de la particule à laquelle elle est attachée et del’instant actuel, càd en fonction des variables X et t.
��� et sont continues par rapport à l’ensemble des variables
d’espace et de temps
��� et supposées de classe C1 voir C2.Grandeur physique B : la fonction B supposée continue en général declasse C1 voir C2 par rapport aux variables X et t.
Description Lagrangienne/Hypothèses de continuité/ [email protected] 14/47
Conséquences des hypothèses
=) Validité de la modélisation par comparaison avec l’expérience1 2 particules infiniment proches dans
0
restent infiniment prochesdans toute configuration.
2 Des particules qui occupent dans 0
un domaine connexe, occupentdans
t
un domaine connexe de même ordre (volume, surface, courbe)=) concept de domaine matériel = domaine transporté par le
mouvement
3 Particules à l’intérieur d’une surface fermée dans 0
restent àl’intérieur de la surface transportée 8t.=) La frontière d’un volume matériel est une surface matérielle.
4 =) Une surface matérielle est toujours constituée des mêmes
particules.
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Conséquences des hypothèses
Continue différentiabilitéSoit J(X, t) le déterminant jabobien de ��� à l’instant t en(X1, X2, X3) :
J(X, t) =D(x1, x2, x3)
D(X1, X2, X3)
��� et étant continues et continûment dérivables par rapport Xet t
=) J(X, t) est continu par rapport à X et t
De plus J(X, t) ne peut être ni nul ni infini, puisque les jacobiennesde ��� et doivent être inversibles.Rmq : J(X, t) conserve donc un signe constant sur ⌦
0
et au cours dumouvement.
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Conséquences des hypothèses
Interprétation physique : Dilatation VolumiqueAu temps initial
���(X, 0) = X =) J(X, 0) = 1 8M0
2 ⌦0
.
J(X, t) est positif et fini 8M0
2 ⌦0
, 8t
=) 0 < J(X, t) < +1
J(X, t) : Dilatation volumique dans le mouvement entre lesconfigurations
0
et t
en suivant la particule de M0
à M :
d⌦t
= J(X, t) d⌦0
d⌦0
: volume d’un domaine matériel élémentaire au point M0
,d⌦
t
: volume du domaine transporté en M dans la configuration t
.
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Pertinence du modèle
ExemplesMécanique de la rupture, surface de jet en méca flu =) conservation de laproximité entre 2 points au cours de l’évolution trop contraignante :
discontinuité de ��� permisent au franchissement de certaines surfaces.
Onde de chocs : ��� continu mais ses dérivées spatiales et temporelle doiventadmettre des discontinuités au franchissement de la surface d’onde.
Affaiblissement des hypothèsesOn n’impose plus que la continuité et la continue différentiabilité de ��� par
morceaux.Des discontinuités de la fonction ��� et/ou de ses dérivées sont permises aufranchissement d’une infinité dénombrable de surfaces dans IR3.
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Discontinuités
Exemple : ��� discontinue
Figure: Poinçonnement asymétrique d’un bloc de plasticine (INPG),application à la tectonique de l’est de l’Asie
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Discontinuités : ��� discontinue
Exemple
Figure: Onde de choc (NASA) ; densité et vitesses discontinues.
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Discontinuités : ��� discontinue
Exemple
Figure: Plaque plane (ONERA).
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Interprétation physique
TrajectoiresRéalité expérimentaleParticule identifiée par sa position X =) description de sa trajectoireparamétrée en fonction du temps dans le référentiel R
x = ���(X, t) où X est fixé.
Description Lagrangienne = description par trajectoires
Expérimentalement en méca flu ou solide : on marque une particule àun instant t
0
et on fait une prise de vue en pose.
Description Lagrangienne/Interprétation physique de la description lagrangienne : trajectoires/[email protected] 22/47
Ligne d’émission
Position des particules dans ROn marque chaque particule passant par le point P de coordonnéesxi
P
dans R à partir du temps t0
; on observe à un instant T > t0
, lespositions de ces particules dans R : La courbe géométrique
correspondante est la ligne d’émission du point P observée àl’instant T .Vitesse de la particule dans le référentiel R identifiée par sa positionX dans
Dans le référentiel RVitesse de la particule dans le référentiel R identifiée par sa positionX dans
0
:
U(X, t) =@���(X, t)
@t.
Le vecteur vitesse U(X, t) dans R est tangent à la trajectoire de laparticule dans R au point x = ���(X, t).Accélération de la particule :
a(X, t) =@2���(X, t)
@t2.
Description Lagrangienne/Vitesse d’une particule/ [email protected] 29/47
Description Eulérienne du mouvement (L. Euler 1707–1789)
DéfinitionConsiste à prendre à chaque instant la configuration actuelle commeconfiguration de référence pour décrire l’évolution infinitésimale entret et (t+ dt).Défini l’état du système par la donnée, à chaque instant t, de lavitesse U
t
de la particule située au point géométrique M dans t
8t, 8M 2 ⌦t
,U = Ut
(x, t) .
Rmq : Fonction de 4 variables scalaires mais les variables d’espacex1, x2, x3 sont relatives à la configuration actuelle et non plus à laconfiguration de référence : plus d’identification au cours du temps.Toute grandeur physique est définie de même sur
t
8t, 8M 2 ⌦t
,B = b(x, t) .
Convention : Minuscules pour les fonctions relatives à la descriptionEulérienne (x) / Majuscule pour la Lagrangienne (X) sauf pour lavitesse.
Description Eulérienne de l’évolution d’un système SImmédiate lorsque l’on connait la description Lagrangienne :
(U
t
(x, t) = U(X, t) = U( (x, t), t)
b(x, t) = B(X, t) = B( (x, t), t)(1)
Rmq : Ut
est continue et continûment différentiable par morceaux si��� est C2
par morceaux.
Description Eulerienne/Détermination des trajectoires/ [email protected] 31/47
Détermination des trajectoiresDescription Eulérienne de l’évolution d’un système S
Inversement la description Eulérienne permet de reconstruire lafonction ���.Résoudre (
@�
�
�(X,t)
@t
= Ut
(���(X, t), t) ,
���(X, 0) = X , condition initiale.
Sous forme différentielle(dx = U
t
(x, t) dt ,
x|t=0
= X , condition initiale.
Solution unique pour chaque condition initiale sous la forme
x = ���(X, t) ,
sous réserve de conditions de régularité sur la fonction Ut
Ensemble des trajectoires dans R = Famille de courbes à 3paramètres Xi (coordonnées de M
0
).
Description Eulerienne/Détermination des trajectoires/ [email protected] 32/47
Détermination des trajectoires
Description Eulérienne de l’évolution d’un système SL’expression lagrangienne de la valeur d’une grandeur physique Battachée à la particule située en x à l’instant t
B = B(X, t) = b(���(X, t), t) ,
par inversion de (1).
Description Eulerienne/Détermination des trajectoires/ [email protected] 33/47
Lignes de courant
Famille de courbes géométriquesA un isntant donné T , on appelle lignes de courant du mouvementdans le référentiel R, les lignes enveloppes du champ de vecteursvitesses U
t
(x, T ).Lignes définies dans R par le système différentiel :
dx1
U1
t
(x, T )=
dx2
U2
t
(x, T )=
dx3
U3
t
(x, T ),
système différentiel de 2 équations en x1, x2, x3.
Trajectoires = famille de courbes géométriques à 2 paramètres ⌘lignes de courant.La ligne d’émission d’un point P : identique à la partie aval de latrajectoire passant par ce point.
CommentaireMarquage d’une particule unique pas réalisable.Techniques expérimentales : volume de matière.Modélisation ⌘ forme mathématique =) prédiction.