Lagrange-Multiplikatoren Ist x * eine lokale Extremstelle der skalaren Funktion f unter den Nebenbedingungen g i (x ) = 0, dann existieren Lagrange-Multiplikatoren λ i , so dass grad f (x * )= X i λ i grad g i (x * ) . Dabei wird vorausgesetzt, dass f und g in einer Umgebung von x * stetig differenzierbar sind und dass die Gradienten grad g i (x * ) linear unabh¨ angig sind. Lagrange-Multiplikatoren 1-1
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Lagrange-Multiplikatoren
Ist x∗ eine lokale Extremstelle der skalaren Funktion f unter denNebenbedingungen gi (x) = 0, dann existieren Lagrange-Multiplikatoren λi ,so dass
grad f (x∗) =∑i
λi grad gi (x∗) .
Dabei wird vorausgesetzt, dass f und g in einer Umgebung von x∗ stetigdifferenzierbar sind und dass die Gradienten grad gi (x∗) linear unabhangigsind.
Bei nur einer Nebenbedingung hat die Lagrange-Bedingung die einfacheForm
grad f (x∗) ‖ grad g(x∗) ,
falls grad g(x∗) 6= 0, d.h. die Niveauflachen von f und g beruhren sich aneiner Extremstelle.
Lagrange-Multiplikatoren 1-1
Lagrange-Multiplikatoren
Ist x∗ eine lokale Extremstelle der skalaren Funktion f unter denNebenbedingungen gi (x) = 0, dann existieren Lagrange-Multiplikatoren λi ,so dass
grad f (x∗) =∑i
λi grad gi (x∗) .
Dabei wird vorausgesetzt, dass f und g in einer Umgebung von x∗ stetigdifferenzierbar sind und dass die Gradienten grad gi (x∗) linear unabhangigsind.Bei nur einer Nebenbedingung hat die Lagrange-Bedingung die einfacheForm
grad f (x∗) ‖ grad g(x∗) ,
falls grad g(x∗) 6= 0, d.h. die Niveauflachen von f und g beruhren sich aneiner Extremstelle.
Lagrange-Multiplikatoren 1-2
Die Lagrange-Bedingung ist nicht hinreichend, um zu entscheiden, ob einlokales Extremum vorliegt und ob es sich um ein Minimum oder einMaximum handelt. Dies lasst sich nur mit Hilfe weiterer Informationenfeststellen.
Die globalen Extrema erhalt man durch den Vergleich der Funktionswertean den Punkten, welche die Lagrange-Bedingung erfullen, sowiegegebenenfalls den Randpunkten der zulassigen Menge oder Punkten miteinem Rangverlust von g ′.
Lagrange-Multiplikatoren 1-3
Die Lagrange-Bedingung ist nicht hinreichend, um zu entscheiden, ob einlokales Extremum vorliegt und ob es sich um ein Minimum oder einMaximum handelt. Dies lasst sich nur mit Hilfe weiterer Informationenfeststellen.Die globalen Extrema erhalt man durch den Vergleich der Funktionswertean den Punkten, welche die Lagrange-Bedingung erfullen, sowiegegebenenfalls den Randpunkten der zulassigen Menge oder Punkten miteinem Rangverlust von g ′.
Lagrange-Multiplikatoren 1-4
Beweis:
n: Anzahl der Variablen, m: Anzahl der Nebenbedingungen
(i) m ≥ n:Der n-Vektor grad f (x∗) ist immer als Linearkombination der, nachVoraussetzung linear unabhangigen Gradienten grad gi (x∗) darstellbar. XGrund: Fur m ≥ n, besteht die zulassige Menge im Allgemeinen bereits ausdiskreten Punkten, die durch die Nebenbedingungen festgelegt sind.(ii) m < n:fasse die Nebenbedingungen gi zu einer Funktion g = (g1, . . . , gm)t
zusammenpartitioniere die Variablen als x = (u, v) ∈ Rm × Rn−m, wobei nacheventueller Permutation die Invertierbarkeit der Jacobi-Matrix(∂g(u, v)/∂u)|(u∗,v∗) = gu(u∗, v∗) vorausgesetzt wirdSatz uber implizite Funktionen =⇒ lokale Auflosbarkeit derNebenbedingungen
n: Anzahl der Variablen, m: Anzahl der Nebenbedingungen(i) m ≥ n:
Der n-Vektor grad f (x∗) ist immer als Linearkombination der, nachVoraussetzung linear unabhangigen Gradienten grad gi (x∗) darstellbar. XGrund: Fur m ≥ n, besteht die zulassige Menge im Allgemeinen bereits ausdiskreten Punkten, die durch die Nebenbedingungen festgelegt sind.(ii) m < n:fasse die Nebenbedingungen gi zu einer Funktion g = (g1, . . . , gm)t
zusammenpartitioniere die Variablen als x = (u, v) ∈ Rm × Rn−m, wobei nacheventueller Permutation die Invertierbarkeit der Jacobi-Matrix(∂g(u, v)/∂u)|(u∗,v∗) = gu(u∗, v∗) vorausgesetzt wirdSatz uber implizite Funktionen =⇒ lokale Auflosbarkeit derNebenbedingungen
n: Anzahl der Variablen, m: Anzahl der Nebenbedingungen(i) m ≥ n:Der n-Vektor grad f (x∗) ist immer als Linearkombination der, nachVoraussetzung linear unabhangigen Gradienten grad gi (x∗) darstellbar. X
Grund: Fur m ≥ n, besteht die zulassige Menge im Allgemeinen bereits ausdiskreten Punkten, die durch die Nebenbedingungen festgelegt sind.(ii) m < n:fasse die Nebenbedingungen gi zu einer Funktion g = (g1, . . . , gm)t
zusammenpartitioniere die Variablen als x = (u, v) ∈ Rm × Rn−m, wobei nacheventueller Permutation die Invertierbarkeit der Jacobi-Matrix(∂g(u, v)/∂u)|(u∗,v∗) = gu(u∗, v∗) vorausgesetzt wirdSatz uber implizite Funktionen =⇒ lokale Auflosbarkeit derNebenbedingungen
n: Anzahl der Variablen, m: Anzahl der Nebenbedingungen(i) m ≥ n:Der n-Vektor grad f (x∗) ist immer als Linearkombination der, nachVoraussetzung linear unabhangigen Gradienten grad gi (x∗) darstellbar. XGrund: Fur m ≥ n, besteht die zulassige Menge im Allgemeinen bereits ausdiskreten Punkten, die durch die Nebenbedingungen festgelegt sind.
(ii) m < n:fasse die Nebenbedingungen gi zu einer Funktion g = (g1, . . . , gm)t
zusammenpartitioniere die Variablen als x = (u, v) ∈ Rm × Rn−m, wobei nacheventueller Permutation die Invertierbarkeit der Jacobi-Matrix(∂g(u, v)/∂u)|(u∗,v∗) = gu(u∗, v∗) vorausgesetzt wirdSatz uber implizite Funktionen =⇒ lokale Auflosbarkeit derNebenbedingungen
n: Anzahl der Variablen, m: Anzahl der Nebenbedingungen(i) m ≥ n:Der n-Vektor grad f (x∗) ist immer als Linearkombination der, nachVoraussetzung linear unabhangigen Gradienten grad gi (x∗) darstellbar. XGrund: Fur m ≥ n, besteht die zulassige Menge im Allgemeinen bereits ausdiskreten Punkten, die durch die Nebenbedingungen festgelegt sind.(ii) m < n:
fasse die Nebenbedingungen gi zu einer Funktion g = (g1, . . . , gm)t
zusammenpartitioniere die Variablen als x = (u, v) ∈ Rm × Rn−m, wobei nacheventueller Permutation die Invertierbarkeit der Jacobi-Matrix(∂g(u, v)/∂u)|(u∗,v∗) = gu(u∗, v∗) vorausgesetzt wirdSatz uber implizite Funktionen =⇒ lokale Auflosbarkeit derNebenbedingungen
n: Anzahl der Variablen, m: Anzahl der Nebenbedingungen(i) m ≥ n:Der n-Vektor grad f (x∗) ist immer als Linearkombination der, nachVoraussetzung linear unabhangigen Gradienten grad gi (x∗) darstellbar. XGrund: Fur m ≥ n, besteht die zulassige Menge im Allgemeinen bereits ausdiskreten Punkten, die durch die Nebenbedingungen festgelegt sind.(ii) m < n:fasse die Nebenbedingungen gi zu einer Funktion g = (g1, . . . , gm)t
zusammen
partitioniere die Variablen als x = (u, v) ∈ Rm × Rn−m, wobei nacheventueller Permutation die Invertierbarkeit der Jacobi-Matrix(∂g(u, v)/∂u)|(u∗,v∗) = gu(u∗, v∗) vorausgesetzt wirdSatz uber implizite Funktionen =⇒ lokale Auflosbarkeit derNebenbedingungen
n: Anzahl der Variablen, m: Anzahl der Nebenbedingungen(i) m ≥ n:Der n-Vektor grad f (x∗) ist immer als Linearkombination der, nachVoraussetzung linear unabhangigen Gradienten grad gi (x∗) darstellbar. XGrund: Fur m ≥ n, besteht die zulassige Menge im Allgemeinen bereits ausdiskreten Punkten, die durch die Nebenbedingungen festgelegt sind.(ii) m < n:fasse die Nebenbedingungen gi zu einer Funktion g = (g1, . . . , gm)t
zusammenpartitioniere die Variablen als x = (u, v) ∈ Rm × Rn−m, wobei nacheventueller Permutation die Invertierbarkeit der Jacobi-Matrix(∂g(u, v)/∂u)|(u∗,v∗) = gu(u∗, v∗) vorausgesetzt wird
Satz uber implizite Funktionen =⇒ lokale Auflosbarkeit derNebenbedingungen
n: Anzahl der Variablen, m: Anzahl der Nebenbedingungen(i) m ≥ n:Der n-Vektor grad f (x∗) ist immer als Linearkombination der, nachVoraussetzung linear unabhangigen Gradienten grad gi (x∗) darstellbar. XGrund: Fur m ≥ n, besteht die zulassige Menge im Allgemeinen bereits ausdiskreten Punkten, die durch die Nebenbedingungen festgelegt sind.(ii) m < n:fasse die Nebenbedingungen gi zu einer Funktion g = (g1, . . . , gm)t
zusammenpartitioniere die Variablen als x = (u, v) ∈ Rm × Rn−m, wobei nacheventueller Permutation die Invertierbarkeit der Jacobi-Matrix(∂g(u, v)/∂u)|(u∗,v∗) = gu(u∗, v∗) vorausgesetzt wirdSatz uber implizite Funktionen =⇒ lokale Auflosbarkeit derNebenbedingungen
Elimination von λ durch Bilden der Differenz yfx − xfy
y(y − 3)− x(x − 3) = 0 ⇐⇒ (y − x)(y + x − 3) = 0
Berucksichtigung der Nebenbedingung x2 + y2 − 2 = 0 (kein zulassigerPunkt fur y + x − 3 = 0) x = y und (1, 1) sowie (−1,−1) alsmogliche ExtremstellenExistenz von Minimum und Maximum fur eine stetige Funktion auf einerkompakten Menge (Kreis mit Radius
Elimination von λ durch Bilden der Differenz yfx − xfy
y(y − 3)− x(x − 3) = 0 ⇐⇒ (y − x)(y + x − 3) = 0
Berucksichtigung der Nebenbedingung x2 + y2 − 2 = 0 (kein zulassigerPunkt fur y + x − 3 = 0) x = y und (1, 1) sowie (−1,−1) alsmogliche ExtremstellenExistenz von Minimum und Maximum fur eine stetige Funktion auf einerkompakten Menge (Kreis mit Radius
Elimination von λ durch Bilden der Differenz yfx − xfy
y(y − 3)− x(x − 3) = 0 ⇐⇒ (y − x)(y + x − 3) = 0
Berucksichtigung der Nebenbedingung x2 + y2 − 2 = 0 (kein zulassigerPunkt fur y + x − 3 = 0) x = y und (1, 1) sowie (−1,−1) alsmogliche ExtremstellenExistenz von Minimum und Maximum fur eine stetige Funktion auf einerkompakten Menge (Kreis mit Radius
Elimination von λ durch Bilden der Differenz yfx − xfy
y(y − 3)− x(x − 3) = 0 ⇐⇒ (y − x)(y + x − 3) = 0
Berucksichtigung der Nebenbedingung x2 + y2 − 2 = 0 (kein zulassigerPunkt fur y + x − 3 = 0) x = y und (1, 1) sowie (−1,−1) alsmogliche ExtremstellenExistenz von Minimum und Maximum fur eine stetige Funktion auf einerkompakten Menge (Kreis mit Radius
√2) =⇒
f bei (1, 1) minimal und bei (−1,−1) maximal
Lagrange-Multiplikatoren 4-8
Beispiel:
Bestimmung der Extrema von
f (x , y , z) = x + 2y − z
unter den Nebenbedingungen
g1(x , y , z) = x2 + y2 − 8 = 0, g2(x , y , z) = x + z − 4 = 0
(Ellipse: Schnitt eines Zylinders mit einer Ebene)
Jacobi-Matrix der Nebenbedingungen
g ′(x , y) =
(2x 2y 01 0 1
)voller Rang fur (x , y) 6= (0, 0); auf zulassiger Menge erfulltLagrange-Bedingung fur Extremstellen (x , y , z)
(1, 2,−1) = (λ1, λ2)
(2x 2y 01 0 1
)
Lagrange-Multiplikatoren 5-1
Beispiel:
Bestimmung der Extrema von
f (x , y , z) = x + 2y − z
unter den Nebenbedingungen
g1(x , y , z) = x2 + y2 − 8 = 0, g2(x , y , z) = x + z − 4 = 0
(Ellipse: Schnitt eines Zylinders mit einer Ebene)Jacobi-Matrix der Nebenbedingungen
g ′(x , y) =
(2x 2y 01 0 1
)voller Rang fur (x , y) 6= (0, 0); auf zulassiger Menge erfullt
Lagrange-Bedingung fur Extremstellen (x , y , z)
(1, 2,−1) = (λ1, λ2)
(2x 2y 01 0 1
)
Lagrange-Multiplikatoren 5-2
Beispiel:
Bestimmung der Extrema von
f (x , y , z) = x + 2y − z
unter den Nebenbedingungen
g1(x , y , z) = x2 + y2 − 8 = 0, g2(x , y , z) = x + z − 4 = 0
(Ellipse: Schnitt eines Zylinders mit einer Ebene)Jacobi-Matrix der Nebenbedingungen
g ′(x , y) =
(2x 2y 01 0 1
)voller Rang fur (x , y) 6= (0, 0); auf zulassiger Menge erfulltLagrange-Bedingung fur Extremstellen (x , y , z)
(1, 2,−1) = (λ1, λ2)
(2x 2y 01 0 1
)Lagrange-Multiplikatoren 5-3
bzw.
1 = 2λ1x + λ2
2 = 2λ1y
−1 = λ2
Einsetzen von λ1 = 1/y und λ2 = −1 in die erste Gleichung =⇒x = yNebenbedingungen mogliche Extrema (2, 2, 2) und (−2,−2, 6)Existenz von Minimum und Maximum auf der Ellipse und Vergleich derFunktionswerte,
f (−2,−2, 6) = −12 < 4 = f (2, 2, 2) ,
=⇒ f ist minimal bei (−2,−2, 6) und maximal bei (2, 2, 2).
Lagrange-Multiplikatoren 5-4
bzw.
1 = 2λ1x + λ2
2 = 2λ1y
−1 = λ2
Einsetzen von λ1 = 1/y und λ2 = −1 in die erste Gleichung =⇒x = y
Nebenbedingungen mogliche Extrema (2, 2, 2) und (−2,−2, 6)Existenz von Minimum und Maximum auf der Ellipse und Vergleich derFunktionswerte,
f (−2,−2, 6) = −12 < 4 = f (2, 2, 2) ,
=⇒ f ist minimal bei (−2,−2, 6) und maximal bei (2, 2, 2).
Lagrange-Multiplikatoren 5-5
bzw.
1 = 2λ1x + λ2
2 = 2λ1y
−1 = λ2
Einsetzen von λ1 = 1/y und λ2 = −1 in die erste Gleichung =⇒x = yNebenbedingungen mogliche Extrema (2, 2, 2) und (−2,−2, 6)
Existenz von Minimum und Maximum auf der Ellipse und Vergleich derFunktionswerte,
f (−2,−2, 6) = −12 < 4 = f (2, 2, 2) ,
=⇒ f ist minimal bei (−2,−2, 6) und maximal bei (2, 2, 2).
Lagrange-Multiplikatoren 5-6
bzw.
1 = 2λ1x + λ2
2 = 2λ1y
−1 = λ2
Einsetzen von λ1 = 1/y und λ2 = −1 in die erste Gleichung =⇒x = yNebenbedingungen mogliche Extrema (2, 2, 2) und (−2,−2, 6)Existenz von Minimum und Maximum auf der Ellipse und Vergleich derFunktionswerte,
f (−2,−2, 6) = −12 < 4 = f (2, 2, 2) ,
=⇒ f ist minimal bei (−2,−2, 6) und maximal bei (2, 2, 2).
Lagrange-Multiplikatoren 5-7
Beispiel:
Gleichgewichtslage einer an zwei Punkten aufgehangten Kette mit 2nKettengliedern der Lange 1
r
x1
x2
potentielle Energie unter Berucksichtigung der Symmetrie
f (x) = −2(x1
2
)− 2
(x1 +
x22
)− · · · − 2
(x1 + · · ·+ xn−1 +
xn2
)= −a1x1 − · · · − anxn
mit ai = 2(n − i) + 1Lange der Kette Nebenbedingung
g(x) = r/2−n∑
i=1
√1− x2i = 0
Lagrange-Multiplikatoren 6-1
Beispiel:
Gleichgewichtslage einer an zwei Punkten aufgehangten Kette mit 2nKettengliedern der Lange 1
r
x1
x2
potentielle Energie unter Berucksichtigung der Symmetrie
f (x) = −2(x1
2
)− 2
(x1 +
x22
)− · · · − 2
(x1 + · · ·+ xn−1 +
xn2
)= −a1x1 − · · · − anxn
mit ai = 2(n − i) + 1Lange der Kette Nebenbedingung
g(x) = r/2−n∑
i=1
√1− x2i = 0
Lagrange-Multiplikatoren 6-2
Beispiel:
Gleichgewichtslage einer an zwei Punkten aufgehangten Kette mit 2nKettengliedern der Lange 1
r
x1
x2
potentielle Energie unter Berucksichtigung der Symmetrie
f (x) = −2(x1
2
)− 2
(x1 +
x22
)− · · · − 2
(x1 + · · ·+ xn−1 +
xn2
)= −a1x1 − · · · − anxn
mit ai = 2(n − i) + 1
Lange der Kette Nebenbedingung
g(x) = r/2−n∑
i=1
√1− x2i = 0
Lagrange-Multiplikatoren 6-3
Beispiel:
Gleichgewichtslage einer an zwei Punkten aufgehangten Kette mit 2nKettengliedern der Lange 1
r
x1
x2
potentielle Energie unter Berucksichtigung der Symmetrie
f (x) = −2(x1
2
)− 2
(x1 +
x22
)− · · · − 2
(x1 + · · ·+ xn−1 +
xn2
)= −a1x1 − · · · − anxn
mit ai = 2(n − i) + 1Lange der Kette Nebenbedingung
g(x) = r/2−n∑
i=1
√1− x2i = 0
Lagrange-Multiplikatoren 6-4
Optimierungsproblem
f → min, g = 0
Lagrange-Bedingungen grad f = λ grad g
−ai = λxi√
1− x2i
, i = 1, . . . , n
Quadrieren und Auflosen nach xi =⇒
x2i =a2i
a2i + λ2
Einsetzen in die Nebenbedingung r/2 =∑
i
√1− x2i
r
2=
n∑i=1
√λ2
a2i + λ2
Lagrange-Multiplikatoren 6-5
Optimierungsproblem
f → min, g = 0
Lagrange-Bedingungen grad f = λ grad g
−ai = λxi√
1− x2i
, i = 1, . . . , n
Quadrieren und Auflosen nach xi =⇒
x2i =a2i
a2i + λ2
Einsetzen in die Nebenbedingung r/2 =∑
i
√1− x2i
r
2=
n∑i=1
√λ2
a2i + λ2
Lagrange-Multiplikatoren 6-6
Optimierungsproblem
f → min, g = 0
Lagrange-Bedingungen grad f = λ grad g
−ai = λxi√
1− x2i
, i = 1, . . . , n
Quadrieren und Auflosen nach xi =⇒
x2i =a2i
a2i + λ2
Einsetzen in die Nebenbedingung r/2 =∑
i
√1− x2i
r
2=
n∑i=1
√λ2
a2i + λ2
Lagrange-Multiplikatoren 6-7
Optimierungsproblem
f → min, g = 0
Lagrange-Bedingungen grad f = λ grad g
−ai = λxi√
1− x2i
, i = 1, . . . , n
Quadrieren und Auflosen nach xi =⇒
x2i =a2i
a2i + λ2
Einsetzen in die Nebenbedingung r/2 =∑
i
√1− x2i
r
2=
n∑i=1
√λ2
a2i + λ2
Lagrange-Multiplikatoren 6-8
√. . . monotone Funktion von λ
einfach zu berechnende numerische Losung λ∗ Bestimmung von xi aus den Lagrange-Bedingungen
Lagrange-Multiplikatoren 6-9
√. . . monotone Funktion von λ einfach zu berechnende numerische Losung λ∗
Bestimmung von xi aus den Lagrange-Bedingungen
Lagrange-Multiplikatoren 6-10
√. . . monotone Funktion von λ einfach zu berechnende numerische Losung λ∗ Bestimmung von xi aus den Lagrange-Bedingungen