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Toginho Filho, D. O.; Laureto, E; Catálogo de Experimentos do Laboratório Integrado de Física GeralDepartamento de Física • Universidade Estadual de Londrina, Março de 2009.

Circuitos simples em corrente alternadaResistor, Capacitor e Indutor

1 - Conceitos relacionados

Resistência, corrente, tensão, reatância, fase, diferençade fase.

2 – Objetivos

Avaliar a dependência da reatância de dispositivossimples como resistor, capacitor e indutor em regimeestacionário de corrente alternada.

3 - Método utilizadoEm um circuito simples composto por um resistor deteste e um dispositivo de prova, é aplicada uma tensãoalternada. Um osciloscópio é utilizado para medir atensão entre os terminais do resistor de teste e odispositivo de prova, em um intervalo de freqüência prédefinido para avaliar a reatância do dispositivo.

4 - Equipamentos

1 gerador de funções1 amplificador de áudio

1 multímetros digital1 osciloscópio com duas pontas de prova2 resistores (10 Ω e 1 k Ω)1 capacitor de 10 µF1 indutor de 100 mH1 cabos PB-PB1 cabo RCA-BNC1 cabo RCA-PB2 cabo PB-BNC1 cabos Jacaré-fio fino (para medir L e C)

5 - Fundamentos TeóricosUma fonte de tensão AC (Alternating Current) é

qualquer dispositivo que forneça uma tensão (diferençade potencial) cujo valor varia senoidalmente com otempo:

t V V ω cos0= (1)

Nesta expressão, V é o valor instantâneo da ddp noinstante t , V 0 a amplitude, e ω a frequência angular,sendo ω = 2π f e f é a freqüência em Hertz.

Um circuito no qual é aplicada uma diferença de

potencial AC será percorrido por uma corrente elétrica

que também varia senoidalmente no tempo, com aforma:

t ii cos0= (2)

Sendo i0 a amplitude da corrente elétrica e i seu o valor instantâneo no tempo t .

É útil utilizar uma representação gráficadenominada diagrama de fasores na análise da tensão eda corrente elétrica AC. O valor instantâneo dagrandeza é representado pela projeção, sobre o eixo

horizontal, de um vetor cujo comprimento representa aamplitude da grandeza considerada.

Figura 1 - Diagrama de fasor representando a correnteelétrica AC, com o comprimento do vetor i0 representando a

amplitude, e sua projeção no eixo horizontal representando ovalor instantâneo da corrente elétrica, sendo t ii cos0= .

O vetor gira no sentido anti-horário comvelocidade angular constante ω . De acordo com essarepresentação fica justificado o motivo de escrevermosa tensão e a corrente elétrica alternada em função docosseno e não do seno.

Consideramos agora uma fonte de tensão ACsendo aplicada em circuitos simples contendo (a) umresistor, (b) um capacitor e (c) um indutor.

5.1 – Resistor em circuito AC

Na Figura 2 é apresentado um circuito simplescomposto por uma fonte de tensão AC e um resistor R.

A tensão fornecida V R pela fonte apresenta umadependência temporal na forma da equação (1) e acorrente que circula no circuito apresenta umadependência na forma da equação (2). A ddp sobre oresistor é escrita como:

)cos()cos(V 00 t V t i RV i R R R ω =⋅=⇒⋅= (3)





Sendo VR a tensão instantânea, e V 0 amplitude datensão. Considerando a equação (3), podemos observar que a diferença de potencial entre os terminais a e b não depende da freqüência da fonte, e está em fase coma corrente elétrica que circula no resistor.

Figura 2 - Circuito simples com um resistor conectado a umafonte AC.

A corrente e a tensão sobre o resistor podem ser representadas em um diagrama de fasores, como oapresentado na figura 3. Estas duas grandezas evoluemno tempo em fase.

Figura 3 - Diagrama de fasores para a tensão V R e para acorrente elétrica i sobre um resistor em um circuito AC,sendo t V V R ω cos0= e t ii ω cos0= .

5.2 – Capacitor em circuito AC

Consideremos novamente o circuito apresentadona da Figura 2, porém com um capacitor no lugar doresistor. A corrente elétrica que circula no circuitotambém é escrita na forma t ii cos0= . A tensão

instantânea entre as placas do capacitor é escrita como:

C

qV C =

Sendo q é a carga acumulada nas placas do capacitor decapacitância C . Como dt dqi /= , a carga acumulada éescrita como:

.cos 00 t sen

idt t i

dt dt

dqq ω ω ∫ ∫ =⋅==

Deste modo, a tensão sobre o capacitor será,

t senV t senC

iV C C ω ω == 0 (4)

Fazendo uma analogia da equação (4) com a equação(3) para o resistor, podemos associar uma grandeza XC escrita como:

C X C

ω

1= (5)

Esta grandeza descrita em unidades de Ohm, édenominada reatância capacitiva do capacitor. Pelaequação (4) podemos observar que a corrente quecircula no circuito e a tensão entre os terminais docapacitor estão defasadas de 900 com a fase da tensãoadiantada de π/2 em relação à da corrente, pois

)2cos()( π −= x x sen . Ainda pode ser observado que

a tensão V C no capacitor é inversamente proporcional àfreqüência da fonte, pois C C X iV ⋅= 0 .

A corrente elétrica i no circuito e a tensão V C entreos terminais do capacitor também podem ser representada em um diagrama de fasores. Estarepresentação é apresentada na Figura 4.

A corrente e a tensão sobre o capacitor podem ser representadas em um diagrama de fasores, comomostrado na Figura 4.

Figura 4 - Diagrama de fasores para a tensão V C e a correnteelétrica sobre um capacitor em um circuito AC, sendo

)2cos(0 π ω −= t V V C e t ii ω cos0= .





É importante destacar que a diferença de fase V C e i0 fica explícita pela diferença de fase (-900) entre osfasores.

5.3 – Indutor em circuito AC

Consideremos novamente o circuito apresentadona da Figura 2, porém com um indutor no lugar doresistor. Desprezando a resistência elétrica do fio com oqual foi construído o indutor, se espera que não haja

uma resistência elétrica no circuito devido à presençado indutor. A diferença de potencial V L aplicada aosterminais do indutor de indutância L faz circular umacorrente elétrica com dependência temporal na formada equação (2). A presença desta corrente que varia notempo dá origem a uma força eletromotriz auto-induzida ε na forma:

dt

di L−=ε

No entanto, V L não é igual a ε . A forçaeletromotriz auto-induzida tende a se opor à tensão V L

aplicada aos terminais do indutor, de acordo com a leide Lenz. Assim, a diferença de potencial instantâneaentre os terminais do indutor de indutância L é escritacomo:

.dt

di LV L =

)cos( 0 t idt

d L

dt

di LV L ω ==

t Lsenidt

di LV L ω ω 0−== (6)

Fazendo uma analogia da expressão (6) com aexpressão (3) para o resistor, podemos definir umagrandeza X L escrita como:

L X L ω = (7)

Esta grandeza que também se apresenta em unidades deOhm, é denominada reatância indutiva do indutor. Pelaequação (6) podemos observar que a corrente i quecircula no circuito e a tensão sobre o indutor estãodefasadas de 900, com a fase da tensão atrasada de π/2

em relação à da corrente, pois )2cos()(π

+= x x sen .Ainda pode ser observado que a tensão V L no indutor é

diretamente proporcional à freqüência da fonte, pois

L L X iV 0= .

A corrente elétrica que circula no circuito e atensão instantânea presente entre os terminais doindutor também podem ser representadas em umdiagrama de fasores, mostrado na figura 5.

Figura 5 - Diagrama de fasores para a tensão VL e a correnteelétrica sobre um indutor num circuito AC, sendo

)2cos(0 π ω += t V V L e t ii ω cos0= .

É importante destacar que a diferença de fase entreV L e i0 fica explícita pela diferença de fase (+900) entreos fasores.

6 - Montagem e procedimento experimental

A montagem experimental para medir a dedispositivos elétricos em função da freqüência éapresentada na Figura 6. Este circuito é composto por um resistor R de teste, uma fonte de tensão AC comajuste de freq6üência e um dispositivo de prova X.

Figura 6 - Circuito para medir a reatância do dispositivo X.

A corrente elétrica que flui através no circuito é amesma em todos os elementos, inclusive no resistor R.Assim, o resistor de teste é utilizado para medir aintensidade da corrente, através da lei de Ohm. Osvalores da tensão de pico-a pico no resistor de teste eno dispositivo de prova, a forma de onda, o atraso entre

a corrente e a tensão são obtidos com um osciloscópio.





Prática 1 – Resistor

1. Identificar os componentes fornecidos;2. Medir com o multímetro o valor da resistência do

resistor de teste R e sua incerteza e a resistência doresistor de prova e sua incerteza;

3. Montar o circuito para medir a impedância deacordo com o diagrama da Figura 6, utilizando oresistor de 10 ohms como resistor de teste umresistor de valor nominal 1K Ω como dispositivo de

prova X ;4. Medir com o osciloscópio o valor da tensão de pico

a pico entre os terminais do resistor de teste (10Ω) e entre os terminais do resistor de prova, paravalores de freqüência entre 50 Hz e 2kHz, com pelomenos 11 valores de freqüência;

5. Anotar os valores obtidos em uma tabela (TabelaI), com colunas para: a freqüência e sua incerteza, atensão sobre o resistor de teste e sua incerteza, atensão sobre o resistor de prova e sua incerteza, e oatraso no tempo entre a tensão sobre o resistor deteste e a tensão sobre o resistor de prova, e suaincerteza.

Prática 2 – Capacitor


resistor de teste R e sua incerteza, a capacitância docapacitor de prova e sua incerteza, e se possível,medir ou avaliar com o multímetro, a resistência docapacitor (regime DC);

3. Montar o circuito para medir a impedância do

capacitor, de acordo com o diagrama da Figura 6,utilizando o resistor de 10 ohms como resistor deteste e o capacitor como o dispositivo de prova X ;

4. Medir com o osciloscópio o valor da tensão de picoa pico entre os terminais do resistor de teste (10Ω) e entre os terminais do capacitor de prova, paravalores de freqüência entre 50 Hz e 2kHz, com pelomenos 11 valores de freqüência;

5. Anotar os valores obtidos em uma tabela (TabelaII), com colunas para: a freqüência e sua incerteza,a tensão sobre o resistor de teste e sua incerteza, atensão sobre o capacitor de prova e sua incerteza, e

o atraso no tempo entre a tensão sobre o resistor de

teste e a tensão sobre o capacitor de prova, e suaincerteza.

Prática 3 – Indutor


resistor de teste e sua incerteza, a indutância doindutor de prova e sua incerteza, e a resistência doindutor (regime DC);

3. Montar o circuito para medir a impedância doindutor , de acordo com o diagrama da Figura 6,utilizando o resistor R de 10 ohms como resistor deteste e o indutor como o dispositivo de prova X ;

4. Medir com o osciloscópio o valor da tensão de picoa pico entre os terminais do resistor de teste (10Ω) e entre os terminais do indutor de prova, paravalores de freqüência entre 50 Hz e 2kHz, com pelomenos 11 valores de freqüência;

5. Anotar os valores obtidos em uma tabela (TabelaIII), com colunas para: a freqüência e sua incerteza,a tensão sobre o resistor de teste e sua incerteza, a

tensão sobre o indutor de prova e sua incerteza, e oatraso no tempo entre a tensão sobre o resistor deteste e a tensão sobre o indutor de prova, e suaincerteza..

7 – Análise

1. A partir da Prática 1, construir a Tabela I;2. Construir a Tabela I no aplicativo para tratamento

de dados;3. Acrescentar mais quatro colunas na Tabela 1,

nomeando-as como: corrente, reatância X R ,

freqüência angular, e diferença de fase;4. Calcular o valor da corrente elétrica através docircuito e sua incerteza;

5. Calcular o valor da reatância X R associada aoresistor de prova e sua incerteza;

6. Calcular a freqüência angular ω da tensão aplicadaao circuito;

7. Calcular a diferença de fase entre a corrente nocircuito ( resistor de teste) e a tensão sobre oresistor de prova;

8. Utilizar a função de análise estatistica do aplicativo para obter o valor médio da diferença de fase e seu

erro padrão (SE);





9. A partir da Tabela I, construir um gráfico de X R (ω )Gráfico 1, da dependência da reatância do resistor de prova em função da freqüência angular;

10. Fazer o ajuste dos pontos experimentais por umafunção apropriada;

11. Avaliar o ajuste analisando os valores de R (coeficiente de correlação) e SD (desvio padrão doajuste);

12. Correlacionar os parâmetros da expressão de ajustecom a equação (3);

13. A partir da Prática 2, construir a Tabela II;14. Construir a Tabela II no aplicativo para tratamentode dados;

15. Acrescentar mais quatro colunas na Tabela 2,nomeando-as como: corrente, reatância X C,freqüência angular, e diferença de fase;

16. Calcular o valor da corrente elétrica através docircuito e sua incerteza;

17. Calcular o valor da impedância associada aocapacitor de prova e sua incerteza;


19. Calcular a diferença de fase entre a corrente nocircuito (resistor de teste) e a tensão sobre ocapacitor de prova;

20. utilizar a função de análise estatistica do aplicativo para obter o valor médio da diferença de fase e seuerro padrão (SE);

21. A partir da Tabela II, construir um gráfico de X C(ω )Gráfico 2, da dependência da tensão sobre resistor de prova em função da freqüência angular;


23. Avaliar o ajuste analisando os valores de R (coeficiente de correlação) e SD (desvio padrão doajuste);

24. Correlacionar os parâmetros da expressão de ajustecom a equação (5);

25. Determinar o valor da capacitância a partir dos parâmetros de ajuste;

26. A partir da Prática 3, construir a Tabela III;27. Construir a Tabela III no aplicativo para tratamento

de dados;

28. Acrescentar mais quatro colunas na Tabela III,nomeando-as como: corrente, reatância X L,freqüência angular, e diferença de fase;

29. Calcular o valor da corrente elétrica através docircuito e sua incerteza;

30. Calcular o valor da impedância associada aoindutor de prova e sua incerteza;


32. Calcular a diferença de fase entre a corrente nocircuito (resistor de teste) e a tensão sobre o indutor de prova;

33. utilizar a função de análise estatistica do aplicativo para obter o valor médio da diferença de fase e seuerro padrão (SE);

34. A partir da Tabela III, construir um gráfico de X L(ω ) Gráfico 3, da dependência da tensão sobreindutor de prova em função da freqüência angular;


36. Avaliar o ajuste analisando os valores de R (coeficiente de correlação) e SD (desvio padrão do

ajuste);37. Correlacionar os parâmetros da expressão de ajustecom a equação (7);

38. Determinar o valor da indutância a partir dos parâmetros de ajuste.

Referências Bibliográficas

1. Duarte, J.L., Appoloni, C.R., Toginho Filho, D.O.,Zapparoli, F.V.D.,Roteiros de Laboratório– Laboratório de Física Geral II – 1a Parte (Apostila),

Londrina, 2002.2. Halliday, D., Resnick, R., Walker, J. –

“Fundamentos de Física 3” - São Paulo: LivrosTécnicos e Científicos Editora, 4a Edição, 1996.

3. Vassallo, F. R. ,“Manual de Instrumentos deMedidas Eletrônicas”, São Paulo: Hemus EditoraLtda, 1978.

4. Sears e Zemansky, Física III –Eletromagnetismo – SãoPaulo: Pearson Education, 10ª. Edição, 2005.

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