UTALCA UNIVERSIDAD DE TALCA INSTITUTO DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA LABORATORIO SPSS. TEST DE HIPÓTESIS. Octubre del 2015. Prof.: Juan Barrera A. PRIMERA PARTE: Objetivo: Resolver Test de Hipótesis e Intervalos de Confianza para la media poblacional μ. Contenido: Activar SPSS 14.0 (versión existente en la Universidad de Talca). En un curso de “Estadística” se desea investigar si la nota media obtenida en la segunda prueba parcial es diferente de 4,5. Concluya usando un nivel de significación del 5%. Para lo anterior, se tiene la siguiente muestra aleatoria de las notas obtenidas en la segunda prueba parcial: 1,9 2,7 3,1 4,4 4,2 4,5 5,2 6,4 2,0 1,8 3,3 5,4 3,8 2,6 5,0 Solución:
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UTALCA UNIVERSIDAD DE TALCA INSTITUTO DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA
LABORATORIO SPSS. TEST DE HIPÓTESIS.
Octubre del 2015. Prof.: Juan Barrera A.
PRIMERA PARTE:
Objetivo: Resolver Test de Hipótesis e Intervalos de Confianza para la media poblacional µ. Contenido: Activar SPSS 14.0 (versión existente en la Universidad de Talca).
En un curso de “Estadística” se desea investigar si la nota media obtenida en la segunda prueba parcial es diferente de 4,5. Concluya usando un nivel de significación del 5%. Para lo anterior, se tiene la siguiente muestra aleatoria de las notas obtenidas en la segunda prueba parcial: 1,9 2,7 3,1 4,4 4,2 4,5 5,2 6,4 2,0 1,8 3,3 5,4 3,8 2,6 5,0 Solución:
En SPSS, debemos seleccionar Introducir datos, Aceptar:
Los datos deben ser ingresados de la siguiente manera:
A la variable nota obtenida en la segunda prueba parcial la llamaremos NOTA.
En primer lugar, debemos construir un histograma para observar la variable NOTA.
Editando el gráfico, se obtiene lo siguiente:
7,06,05,04,03,02,01,0
NOTA
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
Frecuencia
Media =3,753Desviación típica =1,
4126N =15
7,06,05,04,03,02,01,0
NOTA
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
Número de Estudiantes
Haciendo doble clic en el interior de las barras del histograma, aparece la ventana de Propiedades.
Seleccione Ver la curva normal, luego Aplicar.
En el gráfico anterior, es posible observar que la distribución de la NOTA se ajusta a una curva Normal.
Sean X: nota obtenida por un estudiante en la segunda prueba parcial.
Según el histograma, podemos mencionar que X∼Normal(µ,σ). Por otra parte, en SPSS existen dos pruebas de hipótesis para probar si un determinado
grupo de datos se ajusta a una distribución Normal: Prueba de Kolmogorov-Smirnov y Prueba de Shapiro-Wilk. El test de Kolmogorov-Smirnov es un test clásico y conocido. El test de Shapiro-Wilk es
más nuevo y recomendado para tamaños muestrales mayores a 50. En todo caso, se espera que las conclusiones con cualquiera de los dos test sean las mismas.
En ambos test, la hipótesis a plantear es como sigue: H0: La respuesta del grupo ó tratamiento “i” distribuye Normal. H1: La respuesta del grupo ó tratamiento “i” no distribuye Normal. Por lo tanto, si el valor_p del correspondiente test es mayor que el nivel de significación α,
aceptamos la hipótesis nula y concluimos que se cumple el supuesto de Normalidad. En nuestro ejemplo: H0: La nota obtenida en la segunda prueba parcial distribuye Normal. H1: La nota obtenida en la segunda prueba parcial no distribuye Normal.
7,06,05,04,03,02,01,0
NOTA
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
Número de Estudiantes
En SPSS para generar los pasos de la prueba de Normalidad: Analizar > Estadísticos descriptivos > Explorar…
SPSS desplegará la siguiente ventana: En Ventana Explorar, en Dependientes seleccione la variable NOTA, luego seleccione la
opción Gráficos.
SPSS despliega la siguiente ventana: En Explorar: Gráficos, seleccione Gráficos con pruebas de normalidad, Continuar.
Aceptar.
SPSS muestra la siguiente salida:
Como el tamaño de muestra es 15, observamos el resultado proporcionado por la prueba
de Kolmogorov-Smirnov: valor_p=0,200. Es decir, con un nivel de significación de 0,05 (5%), no se rechaza H0, es decir, la nota obtenida en la segunda prueba parcial distribuye Normal.
Según la prueba de Normalidad, podemos mencionar que X∼Normal(µ,σ).
Debemos plantear la siguiente hipótesis:
H�:μ = 4,5
H�:μ ≠ 4,5
Pruebas de normalidad
,105 15 ,200* ,958 15 ,651NOTA
Estadístico gl Sig. Estadístico gl Sig.
Kolmogorov-Smirnova
Shapiro-Wilk
Este es un límite inferior de la significación verdadera.*.
Corrección de la significación de Lillieforsa.
En SPSS, debemos aplicar las siguientes instrucciones: Analizar > Comparar medias > Prueba T para una muestra…
SPSS desplegará la siguiente ventana de Prueba T para una muestra:
En Contrastar variables: seleccione la variable NOTA. Luego en Valor de prueba: escriba 4,5, siendo éste el valor histórico. Luego, Aceptar.
SPSS entrega los siguientes resultados:
La salida anterior, muestra algunos datos descriptivos tales como, la nota promedio es de
3,753 y una desviación estándar muestral de 1,4126. El total de observaciones es de 15 estudiantes.
Además, proporciona el siguiente cuadro:
Estadísticos para una muestra
15 3,753 1,4126 ,3647NOTA
N Media
Desviación
típ.
Error típ. de
la media
Prueba para una muestra
-2,047 14 ,060 -,7467 -1,529 ,036NOTA
t gl Sig. (bilateral)
Diferencia
de medias Inferior Superior
95% Intervalo de
confianza para la
diferencia
Valor de prueba = 4.5
Editando en el SPSS:
Acá se obtiene que el valor_p es 0,060 (es decir, 6%), es decir, para un nivel de significación del 5%, no se rechaza H0, es decir, no es posible afirmar que, la media de la nota de estos alumnos difiera de 4,5.
Pero, como la nota promedio es de 3,753, siendo inferior a µ=4,5, podemos verificar la hipótesis:
H�:μ = 4,5
H�:μ < 4,5
El valor_p está dado por (0,060/2)=0,03 (3%), es decir, para un nivel de significación del
5%, se rechaza H0, es decir, es posible afirmar que, la media de la nota de la segunda prueba parcial es inferior a 4,5.
Observación: El valor_p proporcionado por el SPSS corresponde a una hipótesis del tipo bilateral, luego, cuando se plantea una hipótesis unilateral adecuada, el valor_p corresponde a la mitad del proporcionado por el SPSS.
Prueba para una muestra
-2,047 14 ,060NOTA
t gl Sig. (bilateral)
Valor de prueba = 4.5
Construya un intervalo de confianza del 95% para estimar la nota media en la segunda prueba parcial de los estudiantes del curso de “Estadística”. Solución: En SPSS:
En la ventana anterior, para construir intervalos de confianza debemos dejar en “0” el Valor de prueba. Después de Aceptar, SPSS muestra la siguiente salida:
Editando la salida anterior:
De la salida anterior: 2,971 ≤ μ ≤ 4,536 Mediante un intervalo del 95% de confianza, es posible afirmar que, la nota media de los
estudiantes en la segunda prueba parcial se encuentra entre 2,971 y 4,536.
Estadísticos para una muestra
15 3,753 1,4126 ,3647NOTA
N Media
Desviación
típ.
Error típ. de
la media
Prueba para una muestra
10,290 14 ,000 3,7533 2,971 4,536NOTA
t gl Sig. (bilateral)
Diferencia
de medias Inferior Superior
95% Intervalo de
confianza para la
diferencia
Valor de prueba = 0
Prueba para una muestra
14 2,971 4,536NOTA
gl Inferior Superior
95% Intervalo de
confianza para la
diferencia
Valor de prueba = 0
Si deseamos cambiar la confianza al 90%, en Opciones del SPSS muestra la siguiente ventana:
Cambiamos el valor del 95 (que aparece por defecto) por el nuevo valor 90:
Después de Continuar y Aceptar, SPSS muestra la siguiente salida:
Prueba para una muestra
10,290 14 ,000 3,7533 3,111 4,396NOTA
t gl Sig. (bilateral)
Diferencia
de medias Inferior Superior
90% Intervalo de
confianza para la
diferencia
Valor de prueba = 0
Editando la salida anterior:
De la salida anterior:
3,111 ≤ μ ≤ 4,396 Mediante un intervalo del 90% de confianza, es posible afirmar que, la nota media de los
estudiantes en la segunda prueba parcial se encuentra entre 3,111 y 4,396.
Prueba para una muestra
14 3,111 4,396NOTA
gl Inferior Superior
90% Intervalo de
confianza para la
diferencia
Valor de prueba = 0
SEGUNDA PARTE:
Objetivo: Resolver Test de Hipótesis para la diferencia de medias poblacionales µ1-µ2 en muestras
independientes. En un curso de “Estadística”, se desea probar si existe una diferencia significativa en la
media de las notas obtenidas por los estudiantes en la cuarta prueba parcial entre las secciones A y B. Concluya usando un nivel de significación del 5%.
Para probar lo anterior, se tiene la siguiente muestra aleatoria:
Nota obtenida en la cuarta prueba parcial Sección A Sección B
6,8 2,3 4,0 4,2 2,1 4,2 5,2 5,5 2,0 3,1 4,8 3,5 1,2 6,6
3,3 5,3 6,6 3,1 5,4 1,8 2,2 6,4 5,6 1,9 3,8 4,0 2,8 6,0 5,6 4,2
Solución:
En SPSS, debemos seleccionar Introducir datos, Aceptar:
Los datos deben ser ingresados de la siguiente manera:
En la columna de SECCION, el 1 representa a un estudiante de la sección A y el 2 representa a un estudiante de la sección B.
En Vista de Variables, en la columna Valores, seleccione la fila asociada a la variable
SECCION. Esto es para que en las salidas del SPSS muestre los resultados respectivos para la sección A y B (para que no muestre sección 1 y 2).
En la ventana de Etiquetas de valor, en Valor escriba 1 y en Etiqueta escriba A, luego Añadir, posteriormente, en Valor escriba 2 y en Etiqueta escriba B, luego Añadir, Aceptar.
Ahora, realizaremos la prueba de normalidad para cada grupo: En SPSS, Analizar > Estadísticos descriptivos > Explorar…
En ventana Explorar, en Dependientes ingrese NOTA, y en Factores ingrese SECCION, luego seleccione Gráficos.
En ventana Explorar: Gráficos, seleccione Gráficos con pruebas de normalidad,
Continuar.
Luego, SPSS proporciona la siguiente salida:
La prueba de normalidad a plantear es la siguiente: H0: La nota obtenida por un estudiante de la sección A distribuye Normal.
H1: La nota obtenida por un estudiante de la sección A no distribuye Normal. Como el tamaño de la muestra de la sección A corresponde a 14 estudiantes, consideramos la prueba de Kolmogorov-Smirnov, en donde se tiene un valor_p=0,200. Es decir, usando un nivel de significación del 5%, no se rechaza H0, por lo tanto, la nota obtenida en la cuarta prueba parcial por los estudiantes de la sección A distribuye Normal. H0: La nota obtenida por un estudiante de la sección B distribuye Normal. H1: La nota obtenida por un estudiante de la sección B no distribuye Normal. Como el tamaño de la muestra de la sección B corresponde a 16 estudiantes, consideramos la prueba de Kolmogorov-Smirnov, en donde se tiene un valor_p=0,185. Es decir, usando un nivel de significación del 5%, no se rechaza H0, por lo tanto, la nota obtenida en la cuarta prueba parcial por los estudiantes de la sección B distribuye Normal. Luego, se cumple el supuesto de Normalidad en ambos grupos.
Pruebas de normalidad
,119 14 ,200* ,967 14 ,830
,178 16 ,185 ,932 16 ,260
SECCION
A
B
NOTA
Estadístico gl Sig. Estadístico gl Sig.
Kolmogorov-Smirnova
Shapiro-Wilk
Este es un límite inferior de la significación verdadera.*.
Corrección de la significación de Lillieforsa.
La hipótesis a plantear para verificar si en término medio existe una diferencia significativa en la nota obtenida entre las secciones A y B, es la siguiente:
H�:μ� − μ� = 0
H�:μ� − μ� ≠ 0
Para resolver esta hipótesis, en SPSS, Analizar > Comparar medias > Prueba T para muestras independientes…
En ventana Prueba T para muestras independientes, en Contrastar variables seleccionamos NOTA, y en Variable de agrupación seleccionamos SECCION. Luego, debemos seleccionar Definir grupos…
En ventana Definir grupos, en Usar valores especificados, en Grupo 1 escribimos 1
(asociado a la sección A), y en Grupo 2 escribimos 2 (asociado a la sección B). Continuar.
Luego de Aceptar, SPSS proporciona las siguientes salidas:
De la salida anterior, observamos que la nota promedio de los 14 estudiantes de la sección A es 3,964, la que es inferior a la de sección B que corresponde a 4,25. En cambio, la dispersión de las notas de la sección B es 1,6248, la cual es inferior a la de la sección A que es 1,7185.
Estadísticos de grupo
14 3,964 1,7185 ,4593
16 4,250 1,6248 ,4062
SECCION
A
B
NOTA
N Media
Desviación
típ.
Error típ. de
la media
SPSS también muestra la siguiente salida:
Pero estamos resolviendo un test de hipótesis para la diferencia de medias, en donde cada
X distribuye Normal con desviación poblacional desconocida. Es decir, debemos probar si las varianzas poblacionales las podemos asumir iguales ó distintas, para esto debemos plantear la siguiente hipótesis:
H�:σ�� = σ�
�
H�:σ�� ≠ σ�
�
El programa SPSS realiza un test para verificar si las varianzas poblacionales son iguales ó diferentes (Test de Levene). Si el valor_p es mayor al nivel de significación α se acepta H0 de que las varianzas poblacionales son iguales, en caso contrario, si el valor_p es menor al nivel de significación α se rechaza H0, y en este caso diremos que las varianzas poblacionales son distintas.
En nuestro ejemplo, en la salida anterior, observamos la Prueba de Levene que el
valor_p=0,939, es decir, con un nivel de significación del 5%, no se rechaza H0, es decir, podemos concluir que las varianzas poblacionales con iguales.
Prueba de muestras independientes
,006 ,939 -,468 28 ,644 -,2857 ,6108 -1,5368 ,9654
-,466 26,983 ,645 -,2857 ,6131 -1,5438 ,9724
Se han asumido
varianzas iguales
No se han asumido
varianzas iguales
NOTA
F Sig.
Prueba de Levene
para la igualdad de
varianzas
t gl Sig. (bilateral)
Diferencia
de medias
Error típ. de
la diferencia Inferior Superior
95% Intervalo de
confianza para la
diferencia
Prueba T para la igualdad de medias
Prueba de muestras independientes
,006 ,939 -,468 28 ,644
-,466 26,983 ,645
Se han asumido
varianzas iguales
No se han asumido
varianzas iguales
NOTA
F Sig.
Prueba de Levene
para la igualdad de
varianzas
t gl Sig. (bilateral)
Prueba T para la igualdad de medias
Ahora podremos concluir nuestra hipótesis de interés:
H�:μ� − μ� = 0
H�:μ� − μ� ≠ 0
En la salida anterior, como sabemos, se asumen varianzas iguales, observamos que en la
prueba t de Student el valor_p=0,644, es decir, con un nivel de significación del 5%, no se rechaza H0, es decir, no existe evidencia para afirmar que hay una diferencia significativa en la nota media obtenida en la cuarta prueba parcial entre los estudiantes de la sección A y B.
Observación: Si en la Prueba de Levene encontramos evidencia para rechazar H0, es decir, las varianzas
poblacionales son distintas, en la prueba t de Student para la diferencia de medias, debemos considerar el valor_p=0,645.
Observación: El valor_p proporcionado por el SPSS corresponde a una hipótesis del tipo bilateral, luego, cuando se plantea una hipótesis unilateral adecuada, el valor_p corresponde a la mitad del proporcionado por el SPSS.
Prueba de muestras independientes
,006 ,939 -,468 28 ,644
-,466 26,983 ,645
Se han asumido
varianzas iguales
No se han asumido
varianzas iguales
NOTA
F Sig.
Prueba de Levene
para la igualdad de
varianzas
t gl Sig. (bilateral)
Prueba T para la igualdad de medias
TERCERA PARTE:
Objetivo: Resolver Test de Hipótesis e Intervalos de Confianza para la diferencia de medias pareadas
µD en muestras dependientes.
Se desea investigar si los alumnos del curso de “Estadística”, que rindieron la tercera prueba parcial y la tercera prueba recuperativa obtuvieron en término medio una diferencia significativa en sus resultados. Concluya usando un nivel de significación del 5%. Para probar la hipótesis, se tiene la siguiente muestra aleatoria:
Estudiante Nota Prueba Parcial Nota Prueba Recuperativa 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15
2,4 3,5 3,4 3,1 3,4 3,2 3,7 3,2 3,7 3,2 3,3 1,6 3,2 1,0 1,0
4,2 4,4 5,0 4,6 4,2 4,6 4,6 4,2 4,4 3,8 4,0 4,2 3,8 2,4 2,8
Solución: Sean XP: nota obtenida por un estudiante en la tercera prueba parcial. XR: nota obtenida por un estudiante en la tercera prueba recuperativa. Sea d=XP-XR Debemos plantear la siguiente hipótesis:
H�: μ� = 0
H�: μ� ≠ 0
En SPSS, debemos seleccionar Introducir datos, Aceptar:
Los datos deben ser ingresados de la siguiente manera:
A la variable nota obtenida en la prueba parcial la llamaremos Parcial, y a la variable nota obtenida en la prueba recuperativa la llamaremos Recuperativa.
En SPSS, para resolver la hipótesis planteada, debemos seleccionar Analizar > Comparar medias > Prueba T para muestras relacionadas…
SPSS mostrará la siguiente ventana, en la cual seleccionaremos nuestras dos variables de interés:
Manteniendo la definición inicial para la variable d (d=XP-XR), en Variables relacionadas se observa la diferencia de Parcial – Recuperativa, luego, Aceptar.
SPSS mostrará las siguientes salidas:
De ésta última salida, es posible obtener un valor_p=0,000, es decir, para cualquier nivel de significación será posible concluir que existe una diferencia significativa entre las notas medias de la tercera prueba parcial y de la tercera prueba recuperativa.
De ésta última salida, también es posible obtener un intervalo de confianza del 95% para
la diferencia de medias pareadas, dada por el siguiente resultado:
−1,538 ≤ μ� ≤ −0,902 Mediante un intervalo del 95% de confianza, es posible afirmar que, en término medio, la
nota obtenida en la tercera prueba recuperativa supera a la nota obtenida en la tercera prueba parcial.
Estadísticos de muestras relacionadas
2,86 15 ,919 ,237
4,08 15 ,684 ,177
Parcial
Recuperativa
Par 1
Media N
Desviación
típ.
Error típ. de
la media
Prueba de muestras relacionadas
-1,220 ,573 ,148 -1,538 -,902 -8,240 14 ,000Parcial - RecuperativaPar 1
Media
Desviación
típ.
Error típ. de
la media Inferior Superior
95% Intervalo de
confianza para la
diferencia
Diferencias relacionadas
t gl Sig. (bilateral)
Si se desea cambiar el nivel de confianza a un 90%:
En ventana Prueba T para muestras relacionadas, debemos seleccionar Opciones… En la nueva ventana Prueba T para muestras relacionadas: Opciones, en Intervalo
de confianza: es posible cambiar al nivel deseado. Continuar.
La nueva salida proporcionada estará dada por:
De ésta última salida, es posible obtener un intervalo de confianza del 90% para la diferencia de medias pareadas, dada por el siguiente resultado:
−1,481 ≤ μ� ≤ −0,959 Mediante un intervalo del 90% de confianza, es posible afirmar que, en término medio, la
nota obtenida en la tercera prueba recuperativa supera a la nota obtenida en la tercera prueba parcial.
Prueba de muestras relacionadas
-1,220 ,573 -1,481 -,959Parcial - RecuperativaPar 1
Media
Desviación
típ. Inferior Superior
90% Intervalo de
confianza para la
diferencia
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