Manual de Prácticas de Laboratorio de Física II PENDULO FÍSICO Optaciano Vásquez G. 2014 1 UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO “UNASAM” Carrera Profesional : Ingeniería Civil. Año y Semestre : 2014 -I Asignatura : Física II Docente : Optaciano Vásquez G. Tema : Práctica de Laboratorio Nº03 Alumno : Arroyo Suárez Joe Anderson Fecha : 04-AGO-2014
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Manual de Prácticas de Laboratorio de Física II PENDULO FÍSICO Optaciano Vásquez G. 2014
1
UNIVERSIDAD NACIONAL
SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO
“UNASAM”
Carrera Profesional : Ingeniería Civil.
Año y Semestre : 2014 -I
Asignatura : Física II
Docente : Optaciano Vásquez G.
Tema : Práctica de Laboratorio Nº03
Alumno : Arroyo Suárez Joe Anderson
Fecha : 04-AGO-2014
Manual de Prácticas de Laboratorio de Física II PENDULO FÍSICO Optaciano Vásquez G. 2014
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Universidad nacional
“SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO”
FACULTAD DE INGENIÉRIA CIVIL
MANUAL DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO DE FISICA II
PRACTICA N° 03 “PENDULO FÍSICO O COMPUESTO”
AUTOR:
M.Sc. Optaciano L. Vásquez García
HUARAZ - PERÚ
2014
Manual de Prácticas de Laboratorio de Física II PENDULO FÍSICO Optaciano Vásquez G. 2014
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UNIVERSIDAD NACIONAL FACULTAD DE CIENCIAS
“SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
SECCIÓN DE FÍSICA
CURSO: FÍSICA II
PRÁCTICA DE LABORATORIO Nº 3.
PENDULO FÍSICO O COMPUESTO
I. OBJETIVO(S)
1.1. OBJETIVOS GENERALES
Estudiar las propiedades del péndulo físico
1.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Determinar experimentalmente la aceleración de la gravedad local utilizando la medición del período de un
péndulo compuesto
Determinar experimentalmente el radio de giro con respecto al centro de masa de un cuerpo rígido en forma
de barra homogénea.
Calcular el momento de inercia de un cuerpo rígido en forma de barra homogénea
Verificar la reversibilidad del péndulo compuesto
II. MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL
2.1. INTRODUCCIÓN.
La propiedad fundamental de un cuerpo la cual determina como es su comportamiento cuando sufre un
movimiento de rotación es su momento de inercia (I). Para cualquier cuerpo dado esta cantidad puede
determinarse a partir de su distribución de masa, pero su cálculo es muy complicado a excepción de aquellos
cuerpos que poseen un alto grado de simetría. Así por ejemplo, el momento de inercia para una esfera con una
densidad de masa uniforme que tiene una masa m y un radio R está dada por 𝐼 = (2 5⁄ )𝑚𝑟2.
A veces es mucho más fácil determinar el momento de inercia experimentalmente. Uno de estos experimentos
involucra la determinación del momento de inercia de barras de secciones transversales rectangulares
aplicando un método que puede ser aplicado a cuerpos de formas irregulares. En este experimento Ud. podrá
determinar el radio de giro el cual es una cantidad relacionada con el momento de inercia.
Por otro lado, a veces es necesario determinar la aceleración de la gravedad del lugar en donde se desarrolla
los experimentos. Por lo tanto, este experimento nos permite determinar dicha aceleración de la gravedad
simplemente suspendiendo un cuerpo de un punto de oscilación y evaluando el período de las pequeñas
oscilaciones para los diferentes puntos de oscilación.
2.2. CARACTERÍSICAS DEL PENDULO COMPUESTO
Cuando las dimensiones del cuerpo suspendido no son pequeñas en comparación con la distancia del eje de
suspensión al centro de gravedad, el péndulo se denomina péndulo compuesto o péndulo físico. Un péndulo
físico es un cuerpo rígido de masa m instalado de tal manera que puede oscilar libremente alrededor de un eje
horizontal que pasa por un punto O, distinto de su centro de masa, bajo la acción de la gravedad, tal como se
muestra en la figura 3.1. Cuando el cuerpo, cuyo momento de inercia respecto al eje de rotación es IO, se separa
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de su posición de equilibrio, un ángulo θ y se suelta, un momento restaurador �⃗⃗� 𝑂 asociado a la fuerza
gravitacional �⃗⃗⃗� = 𝑚𝑔 le producirá un movimiento oscilatorio. Aplicando la ecuación de la dinámica
rotacional se tiene
0 0M I (3.1)
Donde: �⃗⃗� 𝑂 es el momento o torque alrededor de O, IO es el momento de inercia del cuerpo respecto al punto O
y 𝛼 , es la aceleración angular
Figura 3.1. Cuerpo rígido de forma irregular suspendido de un ponto O desplazado un ángulo θ de la vertical, (b)
péndulo físico utilizado en el laboratorio de física de la UNASAM
Para deducir las ecuaciones que gobiernan al péndulo físico consideremos un cuerpo rígido en forma de barra
de sección rectangular AB de masa m, suspendida de un eje transversal que pasa por el punto S, tal como se
muestra en la figura 3.2a.
(a) (b)
Figura 3.3 Péndulo utilizado para determinar las características de del movimiento pendular.
Aplicando la ecuación de movimiento de rotación al péndulo se tiene
S SM I
Smghsen I (3.2)
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Donde: m es la masa del péndulo, h es la distancia del centro de gravedad al punto de suspensión, IS es el
momento de inercia del péndulo con respecto al punto de suspensión S y θ es el ángulo respecto a la vertical.
La ecuación (3.2) puede escribirse en la forma
0S
mghsen
I (3.3)
Esta ecuación diferencial es no lineal, por lo que no corresponde a una ecuación diferencial de un movimiento
armónico.
Para desplazamientos angulares θ pequeños, la función trigonométrica 𝑠𝑒𝑛𝜃 ≈ 𝜃, donde θ se expresa en
radianes. Por tanto la ecuación diferencial (3.3) se escribe
0S
mgh
I (3.4)
La ecuación (3.4), es la ecuación diferencial de un movimiento armónico simple, movimiento en el cual la
aceleración angular es directamente proporcional al desplazamiento angular y de dirección opuesta. La
solución de dicha ecuación diferencial es de la forma
max nt sen t (3.5)
Donde las constante θmax y φ se determinan de las condiciones iniciales y 𝝎𝒏 es la frecuencia natural circular
expresada por
2n
S
mgh
T I
(3.6)
El período del péndulo físico, es
2 SIT
mgh (3.7)
A veces es conveniente expresar IS en términos del momento de inercia del cuerpo con respecto a un eje que
pase por su centro de gravedad IG, para ello se usa el teorema de los ejes paralelos, esto es
2
S GI I mh (3.8)
Donde h es la distancia entre los dos ejes. Por otro lado, el momento de inercia también puede expresarse en
función del radio de giro KG, en la forma
2
G GI mK (3.9)
Al remplazar la ecuación (3.9) en (3.8), resulta
2 2 2 2
S G GI mK mh m K h (3.10)
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Es decir el período del péndulo puede expresarse en la forma
(3.11)*
La ecuación (3.11)* expresa el período del péndulo físico en términos de la geometría del cuerpo. Es decir, el
período es independiente de la masa, dependiendo sólo de la distribución de masa KG. Por otro lado, debido a
que el radio de giro de cualquier cuerpo es constante, el período del péndulo en función sólo de h. La
comparación de la ecuación (3.11)* con el período de un péndulo simple 𝑇 = 2𝜋√(𝐿/𝑔) muestra que el
período de un péndulo físico suspendido de un eje a una distancia h de su centro de gravedad es igual al
período de un péndulo simple de longitud dada por
2 2 2
G GK h KL h
h h
(3.12)
El péndulo simple cuyo período es el mismo que el del péndulo físico dado, se le denomina péndulo simple
equivalente.
Algunas veces es conveniente especificar la localización del eje de suspensión S en términos de la distancia d
medida desde uno de los extremos de la barra, en lugar de su distancia h medida desde el centro de masa.
Si las distancia d1, d2 y D (figura 3.3b) son medidas desde el extremo superior, la distancia h1 debe ser
considerada negativa ya que h es medida desde el centro de gravedad. De esta forma, si D es la distancia fija
desde el extremos superior A de la barra al centro de gravedad G,
1 1
1 2
d D h
d D h
(3.13)
Y en general
d D h (3.14)
La sustitución de estas relaciones en la ecuación que define el período, ecuación (3.11)*, se obtiene
22
2GK d D
Tg d D
(3.15)
La relación entre T y d expresada por la ecuación (3.15), puede mostrarse mejor gráficamente.
Cuando el período T es trazado como función de d, son obtenidas un par de curvas idénticas SPQ y S’P’Q’
como se muestra en la figura 3.4. El análisis de estas curvas revela varias propiedades interesantes y
observables del péndulo físico. Empezando en el extremo superior A cuando el eje es desplazado desde A
hacia B, el período disminuye, encontrándose un valor mínimo en P, después del cual se incrementa cuando d
se aproxima al centro de gravedad. Las dos curvas son asintóticas a una línea perpendicular que pasa por el
centro de gravedad G indicando que cerca de ahí el período tiene un valor significativamente grande. Cuando
el eje de suspensión es desplazado todavía aún más desde A (al otro lado de G), el período T nuevamente
disminuye hasta alcanzar el mismo valor mínimo en el segundo punto P’, después del cual nuevamente se
incrementa.
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Figura 3.4. Período en función de la distancia al centro gravedad
Una línea horizontal AA’ correspondiente a valores escogidos del período, intersecta la gráfica en cuatro
puntos indicando que hay cuatro posiciones del eje, dos en cada lado del centro de gravedad para los cuales el
período es el mismo. Estas posiciones son simétricamente localizadas con respecto a G. Existe por lo tanto,
dos valores numéricos de h para los cuales el período es el mismo, representados por h1 y h2 (figura 3.3). Así
para cualquier eje de suspensión escogido S hay un punto conjugado O al lado opuesto de G tal que el
período alrededor de un eje paralelo que pasa por S y O son iguales. El punto O es llamado Centro de
oscilaciones con respecto al eje de suspensión que pasa por el punto S. Consecuentemente si el centro de
oscilación para cualquier péndulo físico es localizado, el péndulo puede ser invertido y soportado de O sin
alterar su período. Esta reversibilidad es una de las propiedades únicas del péndulo físico y ha sido la base
de un método muy preciso para medir la aceleración de la gravedad g (Péndulo Reversible de Káter).
Puede mostrarse que la distancia entre S y O es igual a L, la longitud del péndulo simple equivalente
Alrededor de S
2 222 1
1
4 GK hT
g h
(3.16)
Alrededor de O, es
2 222 2
2
4 GK hT
g h
(3.17)
Igualando estas ecuaciones se obtiene
2
1 2GK h h (3.18)
Por lo tanto el período del péndulo físico se escribe en la forma
1 22h h
Tg
(3.19)
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De donde se obtiene la longitud del péndulo simpe equivalente a
1 2L h h (3.20)
Es decir, la longitud del péndulo simple equivalente es igual a la distancia SO en las figuras 3.3 y 3.4. De
dichas figuras se observa además que S’ y O’ son un segundo par de puntos conjugados, ubicados
simétricamente con respecto a S y O respectivamente, teniendo los mismos valores de h1 y h2. La figura 3.4,
muestra además que el período de vibración de un cuerpo dado no puede ser menos que cierto valor mínimo
Tmin, para el cual los cuatro puntos de igual período se reduce a dos, S y O’ se combinan en P y S’ y O se
combinan en P’, mientras que h1 llega a ser numéricamente igual a h2. El valor de h’ correspondiente al
período mínimo se encuentra resolviendo las ecuaciones (3.16), (3.17) y (3.20), obteniéndose
2
1 2GK h h
Y establece que
1 2'h h h
Es decir
2' Gh K
Remplazando este valor en la ecuación (3.12), resulta
2' 2 GL K
Sí el péndulo simple más pequeño cuyo período es el mismo que el péndulo compuesto tiene una longitud L’,
igual a dos veces el radio de giro del cuerpo respecto al centro de gravedad. Esto es indicado en la figura 3.4,
para la línea PP’.
III. MATERIAL A UTILIZAR
3.1 Un péndulo físico.
3.2. Dos prensas con tornillo.
3.3. Una prensa con tornillo y cuchilla
3.4. Un soporte de madera
3.5. Una regla graduada en mm
3.6. Un cronómetro
3,7. Una balanza
3.8. Un vernier
IV. METODOLOGÍA
El péndulo físico a utilizar en esta práctica consta de una varilla rígida de acero de forma prismática, de sección
transversal rectangular, que posee orificios equidistantes con relación al centro de gravedad, con un sistema de
suspensión adecuado para que la varilla pueda oscilar libremente alrededor de un eje horizontal (eje de suspensión),
con rodamientos para minimizar la fricción como se muestra en la figura 3.5
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Figura 3.5. Péndulo físico utilizado en el laboratorio de física de la UNASAM
Para cumplir con los objetivos planteados siga el siguiente procedimiento:
1) Usando la balanza determine la masa de la barra
2) Mida las dimensiones de la barra (el largo con la cinta métrica y el ancho así como el espesor con el vernier).
Registre sus valores con sus respectivos errores en la Tabla I.
Tabla I. Datos de la geometría y forma de la barra usada como péndulo físico
Masa (kg) Largo (m) Ancho (m) Espesor (m)
1.903 1.104 0.0370 0.00665
1.904 1.104 0.0369 0.00660
1.902 1.105 0.0371 0.00663
3) Sobre la mesa y apoyada sobre su base mayor sujete el soporte de madera con las mordazas simples
4) Sobre la base menor del soporte de madera, sujete la mordaza con cuchilla.
5) Ubique el centro de gravedad G de la barra, suspendiendo ésta horizontalmente en la cuchilla. El punto de
apoyo de la barra en equilibrio horizontal será el centro de gravedad de la barra.
6) Suspenda la barra verticalmente en el orificio más cercano a uno de los extremos (punto A) en el borde de la
cuchilla.
7) Desplace lateralmente a la barra un ángulo no mayor a 10°, a partir de su posición de equilibrio vertical y
suéltela desde el reposo permitiendo que la barra oscile en un plano vertical.
8) Mida por triplicado el tiempo transcurrido para diez (10) oscilaciones (mientras más oscilaciones tome menor
será la incertidumbre en el período. Por qué?. Deduzca de estos datos el período de oscilación de la barra para el
primer punto de oscilación. Registe sus valores en la Tabla II.
9) Repita los pasos (6), (7) y (8) para todos los orificios equidistantes que posee la barra. Registre los valores
obtenidos en la tabla correspondiente.
10) Retire el péndulo del soporte y con una cinta métrica mida por triplicado las distancias d1, d2, d3,………, para
cada uno de los puntos de suspensión desde uno de los extremos de la barra, anote estos datos con sus
correspondientes períodos en la Tabla II.
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Tabla II. Datos y cálculos obtenidos experimentalmente en la práctica “Péndulo Físico”.