I.-OBJETIVOS Investigar las ondas producidas en una cuerda
vibrante. Determinar el comportamiento que tienen frente a una
determinada tensin. Analizar cmo es la proporcionalidad entre el
numero de ondas y el peso al que est sometida la cuerda
II.
MATERIALES Y EQUIPOSBalanza Soporte universal Juego de pesas ms
porta pesas Regla milimetrada Vibrador elctrico Cuerda delgada
FUNDAMENTO TERICO
El principio que Melde utiliz en su experimento consider la
suposicin que una cuerda tiene un peso despreciable. Franz
estableci que debido a la curvatura del cable, las fuerzas en
realidad no son directamente opuestas. Melde supuso dos situaciones
que sucedan en los ejes x e y. l sugiri que en el eje x no hay
desplazamiento de la porcin de la cuerda y estableci la siguiente
relacin: En el eje y, sin embargo, descompuso vectorialmente las
fuerzas en funcin del ngulo producido por las mismas en el lado de
la curvatura, obteniendo estas relaciones:
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Franz estableci que la fuerza resultante en la porcin
es:
Sin embargo Melde sugiri que estos ngulos pueden ser pequeos en
el anlisis por lo que reformul la expresin anterior en trminos de
la tangente del ngulo.
A partir de un anlisis matemtico de esta ecuacin, Franz
estableci que ocurra un cambio en el ngulo a medida que la onda
continuaba con su recorrido por lo que estableci:
Melde reformul esta ltima expresin con base en trminos de
diferenciales para obtener una aproximacin ms precisa cercana a
casos reales.
Melde cambi el parmetro del ngulo con base en su dependencia
funcional con respecto a la posicin y el tiempo. Por lo que
estableci que la tangente del ngulo dependera del diferencial de
una altura con respecto al diferencial de la posicin .
Mediante el clculo diferencial, Franz Melde estableci que la
fuerza dependa de la tensin y de la diferencial parcial de segundo
orden de la altura de la onda respecto a la posicin. con
Basndose en la segunda ley de Newton de la mecnica clsica, Melde
introdujo el parmetro de la densidad lineal y formul esta
ecuacin:
que resolviendo se obtiene,
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Melde compar esta ltima expresin con la definicin de la
velocidad con base en diferenciales del clculo de Newton.
Finalmente, a la ltima ecuacin la denomin velocidad de la onda
estacionaria, y basndose en clculos algebraicos estableci la
velocidad en funcin: de la frecuencia , de la longitud de onda y de
la tensin aplicada sobre el cable que sirve de medio de conduccin
de la onda.
Ondas longitudinales Una onda longitudinal es una onda en la que
el movimiento deoscilacin de las partculas del medio es paralelo a
la direccin de propagacin de la onda. Las ondas longitudinales
reciben tambin el nombre de ondas de presin u ondas de compresin.
Algunos ejemplos de ondas longitudinales son el sonido y las ondas
ssmicas
Ondas transversalesUna onda transversal es una onda en
movimiento que se caracteriza porque sus oscilaciones ocurren
perpendiculares a la direccin de propagacin. Si una onda
transversal se mueve en el plano x-positivo, sus oscilaciones van
en direccin arriba y abajo que estn en el plano y-z.
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III.-PROCEDIMIENTO
Montaje: Tome la cuerda completa, mida su masa, longitud y
densidad. Masa de la cuerda: Longitud de la cuerda: Densidad de la
cuerda: mC = 0.0006 Kg LC = 1.805 m C=mC / LC C= 0.0003 (Kg/m)
Monte el equipo segn el diseo experimental, tal que la polea y
el vibrador queden separados aproximadamente 1.5m y la cuerda en
posicin horizontal.
Dibuje y describa una onda. Enuncie sus caractersticas.
Las ondas surgen siempre que un sistema es perturbado de su
posicin de equilibrio y la perturbacin puede viajar o propagarse de
una regin del sistema a otra. Al propagarse una onda, transporta
energa.
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Cresta: La cresta es el punto ms alto de dicha amplitud de la
onda.
Perodo (T): El periodo es el tiempo que tarda la onda de ir de
un punto de mxima amplitud al siguiente. Amplitud (A): La amplitud
es la distancia vertical entre una cresta y el punto medio de la
onda. Frecuencia ( ): Nmero de veces que es repetida dicha
vibracin.
Valle: Es el punto ms bajo de una onda.
Longitud de onda( dicho tamao.
): Distancia que hay entre dos crestas consecutivas de
Adems se caracterizan por ser: -
Onda transversalSon aquellas con las vibraciones perpendiculares
a la direccin de propagacin de la onda.
Ondas longitudinalesson aquellas con vibraciones paralelas en la
direccin de la propagacin de las ondas.
4.1 Coloque en el porta pesas, pesas adecuadas buscando generar
ondas estacionarias de 7 u 8 crestas (encontrara que la magnitud
del peso es igual a la magnitud de la tensin en la cuerda, mg = T).
Mida la longitud de la onda ( ) producida (distancia entre nodo y
nodo o entre cresta y cresta). Qu son ondas estacionarias? El
nombre de onda estacionaria proviene de la aparente inmovilidad de
los nodos. La distancia que separa dos nodos o dos antinodos
consecutivos es media longitud de onda. Se producen cuando
interfieren dos movimientos ondulatorios con la misma frecuencia,
amplitud pero con diferente sentido, a lo largo de una lnea con una
diferencia de fase de media longitud de onda. Se puede considerar
que las ondas estacionarias no son ondas de propagacin sino los
distintos modos de vibracin de la cuerda, el tubo con aire, la
membrana, etc.
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Dos imgenes superpuestas de una onda estacionaria (antes de
tiempo) producida por reflexin en un lmite fijo, los nodos se
representan como N y los antinodos como A.
4.2 Adicione pesas a fin de obtener ondas estacionarias de 6, 5,
4 y 3 antinodos. Mida la longitud de la onda siguiendo el
procedimiento anterior. Anote los valores en la tabla.
N de cresta 3 4 5 6 7 8
T (N)
(m)
2 (m2)
4.062 2.643 1.762 1.027 0.881 0.538
0.965 0.775 0.62 0.49 0.43 0.37
0.931 0.601 0.384 0.239 0.189 0.136
Gravedad=9.79 m/s
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4.3.-Haga una grfica T vs. . Analice y describa las
caractersticas de la grfica:
4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 0.2 0.4
y = 5.8315x - 1.7287 R = 0.9891
T(N)
0.6 (m)
0.8
1
1.2
Esta grfica es de la dependencia de tensin-longitud de onda, la
distribucin proyectada es de naturaleza cuadrtica. Anlisis de la
grfica: La grfica producida con los datos de tensin (T) con
respecto de la longitud de onda (), es similar a una parbola. Segn
Melde, este pudo demostrar que la relacin existente entre la tensin
y la longitud de onda es de naturaleza cuadrtica. De esta manera
estableci que de esta manera se presenta el comportamiento de la
frecuencia en las ondas estacionarias.
4.4.-Grafique T versus 2. Encuentre la curva de mejor ajuste
usando el mtodo de mnimos cuadrados.4.5 4 3.5 3 T(N) 2.5 2 1.5 1
0.5 0 0 0.2 0.4 2 (m2) 0.6 0.8 1 y = 4.3778x + 0.0093 R =
0.9985
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Ajuste de la recta por el mtodo de regresin lineal por mnimos
cuadrados X i = 2 0.931 0.601 0.384 0.239 0.189 0.136 = 2.48 Yi = T
4.062 2.643 1.762 1.027 0.881 0.538 = 10.913 X i* Yi 3.781 1.588
0.676 0.245 0.166 0.073 = 6.531 X i2 0.866 0.361 0.147 0.057 0.035
0.018 = 1.486
Calculando la pendiente m y el intercepto b :
m=
( (
) ( )
)(
)
= 4.377
b=
(
)( (
) ( ) (
)( )
)
= 0.009
Y = 4.377X +0.009
4.5.-Analice y describa la grfica La grfica producida de la
distribucin de la tensin con respecto del cuadrado de la longitud
de onda, notamos que tiene tendencia lineal. Segn Melde, el encontr
que, mediante el mtodo de aproximacin de mnimos cuadrados aplicado
en la distribucin de funcin lineal de la tensin-longitud de onda,
era posible conocer y predecir mediante la pendiente de esa recta
el valor de la frecuencia. En la pendiente ya estaban incluidos de
forma estadstica, los fenmenos producidos por la tensin aplicada en
el cable y las ondas provocadas por el pulsador elctrico, en
consecuencia, una descripcin matemtica de todo el fenmeno; lo mismo
que l pudo predecir en sus clculos tericos.
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4.6 De la curva obtenida determine la pendiente y encuentre la
frecuencia de la onda
m=
= 4.377
Hallando la frecuencia de onda: Sabemos que la pendiente m est
dada por la siguiente relacin: m = () De las relaciones vistas,
tenemos: V = (1) V =. (2)
Despejamos la frecuencia en el punto (2): = *V Reemplazamos V
del punto (1) en la relacin anterior: = * =
Ahora observamos el punto () y reemplazamos: = ()
Donde: : frecuencia de la onda. m: pendiente. : densidad lineal
de la cuerda. Por lo tanto reemplazando en (), tenemos: (m=4.377 ,
=0.000295 ) = = 121.8 Hz
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4.7 Compare las graficas de los pasos 4.3 y 4.4. Comente: De la
grfica T(N) vs (m)se observa una curva similar a una parbola y de
la grfica T(N) vs. (m) se observe una grfica similar a una recta,
esto debido a que en la primera grfica es de naturaleza cuadrtica
nos indica el comportamiento de la frecuencia en las ondas
estacionarias, en cambio en la segunda grfica es de tendencia
lineal debido a que nos indica el valor de la frecuencia mediante
la pendiente. La grafica T vs. 2, es recta porque T es proporcional
a .
III.
EVALUACIN
1. Qu relacin existe entre una curva senoidal y una onda? Una
curva senoidal es una curva cuya forma representa las crestas y
valles de una onda, y una onda es la oscilacin en el espacio y el
tiempo. La curva senoidal es igual en forma, a las ondas. Su
grafica tiene ondas en la que la cresta o antinodo de esta toma su
valor mximo en 1, y su valor mnimo en -1. Y la longitud de onda es
. 2. Qu es un frente de onda? Un frente de onda es una cresta o
valle continuo de una onda bidimensional o tridimensional en la
cual las vibraciones estn en la misma etapa al mismo tiempo. Es una
pequea superficie que pasa por todos los puntos del medio
alcanzados por el movimiento ondulatorio el mismo instante; luego
la perturbacin en todos los puntos de una superficie de onda tiene
la misma fase. Cuando el medio es homogneo e isotrpico, la direccin
de propagacin es siempre perpendicular al frente de onda. Una lnea
que es normal al frente de onda se llama RASYO. Los frentes de onda
pueden ser: Ondas Planas: Si la perturbacin se propaga en una sola
direccin. Los frentes de onda son planos y los rayos son lneas
rectas planas. Ondas esfricas: La perturbacin se propaga alejndose
en todas las direcciones (radialmente) de la fuente. Los frentes de
onda son esferas y los rayos son lneas radiales.
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3-Qu da lugar a una onda estacionaria? Lo que da lugar a una
onda estacionaria es la interferencia de dos ondas de la misma
naturaleza con igual amplitud, longitud de onda (frecuencia). Se
produce por la superposicin de dos ondas que se propagan en sentido
contrario.
4.-Explique la diferencia entre una onda transversal y una
longitudinal. Dentro del movimiento ondulatorio hay varios
componentes: una es la velocidad que tiene la onda en su avance
(por decirlo de alguna manera es la velocidad con la que se aleja
de nosotros esa onda) y la otra velocidad es la que tiene cada
punto cuando oscila hacia arriba y hacia abajo. Pues bien, cuando
estas 2 velocidades tienen la misma direccin nos encontramos con
una onda longitudinal. Fjate en la parte de arriba de la siguiente
fotografa.
En ella vemos como cada punto del muelle va hacia adelante y
hacia atrs, es decir, la velocidad de los puntos es horizontal.
Tambin vemos que la propia onda avanza de la misma manera, de
izquierda a derecha. Podemos decir por tanto que como las
direcciones de las que hemos hablado antes son iguales tenemos una
onda longitudinal. En cambio si nos fijamos en la parte de abajo de
la figura, vemos que tenemos el mismo muelle, que, tiene los mismos
puntos, pero el movimiento de stos es diferente, porque ahora estn
oscilando hacia arriba y hacia abajo; un punto sube, llega hasta la
cresta de la ola, despus baja hasta llegar al valle y vuelve a
subir. Pero los puntos en ningn momento se mueven hacia adelante o
hacia atrs, simplemente suben y bajan. Pero tambin vemos que la
onda avanza de izquierda a derecha. Aqu es muy fcil ver que la onda
avanza en una direccin diferente a la de la vibracin de los puntos
de la onda, es una
onda transversal.
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IV.-OBSERVACIONES Y RECOMENDACIONES Una vez montado el equipo de
trabajo sobre la mesa, debemos asegurarnos de que la cuerda tenga
una longitud aproximada de 1.50 m; as como tambin que este nivelada
a lo largo de los puntos entre el vibrador y la polea, para esto
podemos hacer uso de un pndulo o de nivelar con la regla tomando
medidas iguales a los extremos. Tomar pesas de diversos tamaos o
formas para tratar de obtener crestas lo ms iguales en amplitud
posibles. Realizar de forma cuidadosa y precisa para poder obtener
menor error experimental.
IV.
CONCLUSIONES
Las ondas estacionarias son producto de tener bien definidas la
tensin, la longitud del factor causante con el extremo reflector.
En un movimiento vibratorio, cuando tenemos que la frecuencia
permanece constante, podemos decir que la longitud de onda vara
directamente proporcional a la fuerza que se ejerce en la cuerda,
es decir la tensin de la cuerda. Cuando la cuerda vibra, en uno de
sus extremos, con una frecuencia constante, el movimiento es una
superposicin de ondas que viajan a la derecha y otros a la
izquierda, la superposicin de ondas produce un estado en el que el
elemento de cuerda experimenta una vibracin armnica simple, la
perturbacin producida por esta superposicin no es una onda viajera
sino una onda estacionaria. El terico es patrn para encontrar el
adecuado para producir ondas estacionarias, ya que existen
variaciones con respecto al medio y el vibrador del experimento. La
longitud de onda puede variar en un mismo sistema siempre y cuando
encuentre otro punto de resonancia. En una onda estacionaria el
patrn de la onda no se mueve, pero si lo hacen los elementos de la
cuerda. Si las frecuencias asociadas son muy altas las velocidades
tambin lo sern.
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