-
Laboratorijske vaje pri predmetu Mehanika,termodinamika in
elektromagnetno polje pri
poučevanju za doizobraževanje tretjegapremeta
B. Golli, A. Kregar, PeF
1. marec 2012
Kazalo
1 Napake izmerjenih količin 41.1 Zapis fizikalnih količin . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Določitev
napake izmerka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3
Računanje s količinami, obremenjenimi z napako . . . . . . . . .
. . 7
2 Grafi 102.1 Linearna odvisnost . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 112.2 Nelinearne odvisnosti . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Zgled: Analiza enakomerno
pospešenega gibanja . . . . . . . . . . 14
3 Kinematika 173.1 Premo gibanje . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Eksperimentalne metode – premo
gibanje . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 Vrtenje . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4 Gibanje
v ravnini: poševni met . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
213.5 Eksperimentalni postopki . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 22
4 Merjenje sil in snovnih lastnosti 244.1 Merjenje sil z
računalnikom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2
Ravnovesje treh sil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 264.3 Ravnovesje navorov . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 26
1
-
4.4 Hookov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 274.5 Površinska napetost . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 274.6 Merjenje gostot . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.7 Merjenje gostote
zraka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.8
Viskoznost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 31
5 Merjenje gibalne količine, energije in temperature 335.1
Merjenje gibalne količine pri trkih . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 335.2 Ohranitev energije pri kotaljenju . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 345.3 Pronyjeva zavora . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 365.4 Izkoristek elektromotorja .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.5 Temperaturno
raztezanje kovin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.6
Temperaturno raztezanje vode . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 395.7 Umeritev termočlena . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 40
6 Merjenje električnega toka, napetosti in upora 416.1
Elektroliza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 416.2 Upor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 436.3 Zaporedna in vzporedna vezava
porabnikov . . . . . . . . . . . . . 456.4 Kompenzacijsko merjenje
upora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.5 Termistor . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.6
Temperaturna odvisnost upora . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 49
7 Dinamika 507.1 Newtonov zakon – ultrazvok . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 507.2 Sila pri enakomernem kroženju . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 527.3 Izrek o gibalni količini .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537.4 Balistično
nihalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
557.5 Newtonov zakon za vrtenje . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 567.6 Ohranitev vrtilne količine . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 587.7 Ohranitev vrtilne količine – uteži .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607.8 Precesija . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8 Elastomehanika in termodinamika 648.1 Upogib palice . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648.2 Zasuk
palice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 658.3 Gay-Lussacov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 678.4 Izoterma in adiabata . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 688.5 Toplotna prevodnost . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708.6 Specifična toplota
železa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728.7
Specifična talilna toplota ledu . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 73
2
-
8.8 Specifična izparilna toplota vode . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 748.9 Joulov poskus . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 75
9 Elektrika: frontalno 769.1 Notranji upor . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769.2 Električno polje . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789.3
Magnetno polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 82
10 Električno in magnetno polje 8710.1 Magnetna sila . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8710.2 Magnetni
navor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8810.3 Indukcijski zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 8910.4 Energija električnega polja . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 9010.5 Energija magnetnega polja .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9210.6 Elektroni v
magnetnem in električnem polju . . . . . . . . . . . . . 94
11 Vzorčno poročilo 96
3
-
1 Napake izmerjenih količin
1.1 Zapis fizikalnih količin
Sistematske in statistične napake. Fizikalne količine dobimo z
merjenjem. Ko-ličin ne moremo poljubno natančno meriti, zato pri
izmerjeni količini podamonegotovost ali napako, s katero je
količina izmerjena. Ločimo:
• sistematske napake, ki so posledica nenatančnosti same
merilne naprave(pri boljših napravah je napaka podana; v večini
primerov je večja od naj-manjšega razdelka, ki ga lahko še
odčitamo) ter
• slučajne napake, ki so posledica negotovosti merilnih
pogojev: zamik prizačetku ali koncu merjenja s štoparico, merilni
trak ni vedno enako napet,zunanji pogoji (temperatura, tlak) niso
ves čas enaki . . .
Kako podamo negotovost? Izmerjeno količino moramo zapisati
tako, da bo izzapisa razvidna njena negotovost (napaka). To
dosežemo tako, da poleg količinenavedemo še njeno napako, npr. g =
9,7 m/s2 ± 0,2 m/s2. Količino zapišemo stoliko števkami (ciframi),
da je zadnja zapisana števka že negotova. To velja tuditedaj, ko
napake eksplicitno ne navedemo; v takšnem primeru velja, da je
nena-tančnost (napaka) manjša od največjega možnega odstopanja
zadnjega mesta; čebi zapisali le g = 9,7 m/s2, bi to pomenilo, da
je napaka manjša od 0,5 m/s2.
Pomembne števke. Pri tem imamo v mislih število pomembnih
(signifikantnih)števk; nepomembne števke so tiste, ki določajo
decimalno mesto. Če bi zgornji re-zultat zapisali z drugimi
enotami, npr.: g = 9700 mm/s2, bi obe ničli
predstavljalinepomembni števki, podobno bi to bile tri ničle pri
zapisu g = 0,0097 km/s2. Po-membni števki sta le 9 in 7. V vseh
zapisih je torej število pomembnih števk enako.
Vloga ničel v zapisu fizikalne količine. Na podlagi zgornjega
zgleda pravza-prav ne smemo zaključiti, da je 0 na koncu števila
vedno le nepomembna števka.Če je rezultat naše meritve bolj
natančen, recimo c = 340 m/s ± 3 m/s, namzadnja ničla tudi
predstavlja pomembno števko. V tem primeru iz samega za-pisa 340
m/s ne bi mogli ugotoviti, koliko pomembni števk je v rezultatu.
Takšniobliki zapisa se zato raje izognemo in uporabimo zapis z
desetiškim eksponen-tom: c = 3,40 · 102 m/s.
Decimalna mesta. Števk ne smemo zamenjevati z decimalnimi mesti;
zapis 9,81vsebuje tri števke in dve decimalni mesti, zapis 0,049 pa
tri decimalna mesta in
4
-
štiri števke. Eno in isto fizikalno količino lahko zapišemo z
različnim številomdecimalnih mest; npr.; l = 789 mm, l = 78,9 cm,
l = 7,89 dm, l = 0,789 m alil = 0,000789 km, število decimalnih
mest torej sploh ne vpliva na natančnostkoličine; v vseh petih
primerih natančnost določajo tri pomembne števke, 7, 8in 9.
Pravilo, ki ga pogosto slišimo, da izmerjene količine zaokrožujemo
na dvedecimalni mesti, je seveda popolnoma nesmiselno.
1.2 Določitev napake izmerka
Pri boljših merilnih napravah nam sistematsko napako poda
proizvajalec; če smomerilno napravo razvili sami, je pomemben del
razvoja tudi določitev vseh para-metrov, ki lahko vplivajo na
nenatančnost pri merjenju, in na tej podlagi določi-tev
sistematske napake. Kot orientacijo lahko vzamemo najmanjši
razdelek, ki galahko še odčitamo (zadnje mesto pri digitalni
napravi).
Slučajno napako določimo statistično, tako da poskus
ponavljamo. Denimo,da pri N poskusih izmerimo vrednosti xi, i = 1,
. . . N. Izračunamo povprečnovrednost
x̄ =x1 + x2 + . . . + xN
N=
1N
N
∑i=1
xi
in povprečen kvadrat odstopanj σ1 kot
σ21 =1N
N
∑i=1
(xi − x̄)2 . (1)
Če so meritve posameznih izmerkov med seboj neodvisne, lahko
rezultat inter-pretiramo takole: pri nadaljnjih meritvah bo
približno 2/3 meritev padlo znotrajintervala [x̄− σ1, x̄ + σ1], 1/3
meritev pa izven tega intervala.
Približna ocena. Zgornjo trditev lahko porabimo za določitev
napake brez za-mudnega seštevanja kvadratov odmikov. Napako izmerka
σ1 določimo tako, dapoiščemo interval, znotraj katerega pade 2/3
izmerkov. Postopek ilustrirajmo nazgledu merjenja hitrosti: iz
rezultatov v druge stolpcu izračunamo povprečnovrednost v̄, nato
pa v tretjem stolpcu zapišemo odstopanja. Nekaj odstopanj greseveda
v pozitivno smer, nekaj v negativno. Poiščimo 1/3 izmerkov (v
našemprimeru 3 ali 4), ki najbolj odstopajo (v tabeli so označeni
z zvezdico). Izmedpreostalih poiščimo tistega, ki (po absolutni
vrednosti) najbolj odstopa, v našemprimeru je to 3. izmerek. Napaka
σ1 je kar enaka absolutni vrednosti odstopa-nja tega izmerka, saj
2/3 (7 v našem primeru) meritev pade znotraj intervala[v̄− σ1, v̄ +
σ1], v našem primeru med 9,5 in 10,5.
5
-
meritev vi [m/s] vi − v̄ [m/s]1 9,80 −0,212 10,64 0,62 *3 9,52
−0,494 9,71 −0,305 10,87 0,86 *6 10,10 0,097 9,17 −0,84 *8 10,31
0,309 9,80 −0,2110 10,20 0,19
povprečje 10,01
Če napako izračunamo po formuli (1), dobimo praktično enako
vrednost, σ1 =0,5.
Napaka povprečja. Z opisanim postopkom določimo napako merjene
količinepri poskusu. Kot rezultat podamo povprečno vrednost
izmerkov. Kolikšna je na-paka povprečne vrednosti in v čem se
razlikuje od napake posameznega izmerka σ1?Razliko med tema dvema
količinama pojasnimo na zgledu. Denimo, da eksperi-mentator A
napravi N ponovitev poskusa in določi povprečno vrednost
meritvex̄A. (Pri tem predpostavimo, da sistematske napake lahko
zanemarimo.) Za njimeksperimentator B prav tako iz N ponovitev
istega poskusa določi povprečnovrednost x̄B. Za koliko se obe
povprečji razlikujeta? Statistika za tak primer pove,da je razlika
med x̄A in x̄B v povprečju manjša od napake posameznega
izmerka.Napaka se zmanjšuje obratno sorazmerno s korenom iz števila
ponovitev. Za na-pako (negotovost) povprečja velja
σN =σ1√
N − 1 .
Za N = 1 dobimo nesmiselno vrednost, kar pa je razumljivo, saj
lahko napakoσ1 določimo šele, ko imamo vsaj dva izmerka. Če
želimo napako zmanjšati za 10krat, moramo torej napraviti 100 krat
več ponovitev poskusa.
Negotovost napake. Statistika nam da še oceno natančnosti
določitve napake.Negotovost (napaka) napake nam pri navedenem
zgledu pove, za koliko bi se vpovprečju razlikovali napaki, ki bi
ju določila eksperimentatorja A in B. Velja
σσ =σN√
2(N − 2).
6
-
Vidimo, da je šele pri približno 50 ponovitvah poskusa, napaka
napake 10 kratmanjša od same napake. Ocena napake pri majhnem
številu ponovitev (kot je toobičajno v šoli) je torej precej
nezanesljiva. Zato z zapisom same napake ne kažepretiravati; zapis
z eno pomembno števko ali kvečjemu dvema povsem zadošča.
Zapis rezultata. Kot končni rezultat naše meritve navedemo
povprečno vrednostmeritve, poleg nje pa še napako povprečja:
x = x̄± σN .
Napako povprečja zapišemo z eno samo pomembno števko, le v
primerih, ko bise na prvem mestu enico ali dvojko, lahko zapišemo
še drugo števko. Številopomembnih števk v zapisu povprečne
vrednosti se ravna po napaki: povprečjezapišemo do istega
desetiškega mesta, kot je napisana napaka.
Primer: za neko povprečje smo izračunali t̄ = 23,456 s in za
napako σN =0,734 s. Napako zaokrožimo na σN = 0,7 s, kar pomeni, da
moramo tudi povpre-čje zapisati do prve decimalke, torej t = 23,5
s± 0,7 s.
Zapis z relativno napako. Negotovost rezultata namesto s σN, ki
jo imenujemoabsolutna napaka, lahko zapišemo tudi z relativno
napako
r =σNx̄
,
ki je seveda brez enote (lahko jo podamo tudi v odstotkih), na
primer
c = 336 m/s± 12 m/s = 336 (1± 0,04) m/s .
Za zapis relativne napake velja enako pravilo, kot za zapis
absolutne napake:zapišemo le eno pomembno števko; le če je prva
števka 1 ali 2, smo upravičenizapisati še drugo števko.
Zapis izmerkov. Pravilo, ki smo ga navedli, velja le pri zapisu
končnega re-zultata; vmesne rezultate pišemo z večjo
natančnostjo. Pri zapisu odčitka (re-cimo dolžine z merilnega
traku, časa s štoparice, napetosti na voltmetru) torejzapišemo vsa
možna mesta, četudi pričakujemo, da bo končni rezultat zapisan
zmanjšo natančnostjo (z manjšim številom pomembnih števk.)
1.3 Računanje s količinami, obremenjenimi z napako
Količino, ki jo želimo pri poskusu določiti, ponavadi ne
dobimo naravnost izmerjenj, temveč jo izračunamo iz ene ali več
izmerjenih količin. Če na primer
7
-
določamo pospešek prostega pada iz časa t, ki ga potrebuje
telo za prosti pad zvišine h, velja g = 2h/t2, pri tem sta tako h
kot t obremenjena z napako. Kako vtakšnih primerih določimo napako
končnega rezultata?
Seštevanje in odštevanje količin. Če seštejemo rezultata dveh
meritev (iste ko-ličine), obremenjena z napako, lahko zapišemo
z = x + y = x̄± σx + ȳ± σy = (x̄ + ȳ)± (σx ± σy) ,od koder
sledi
z̄ = x̄ + ȳ in σz = |σx ± σy| .Napaka torej leži v intervalu
med σmin = |σx − σy| in σmax = σx + σy. Če stameritvi med seboj
nekorelirani – pomeni da izid prve meritve ne vpliva na iziddruge
meritve – dobimo najboljšo oceno po Pitagorovem pravilu
(trikotniku):
σz =√
σ2x + σ2y .
Za odštevanje velja enako pravilo, saj lahko razliko zapišemo
kot
z = x− y = (x̄− ȳ)± (σx ∓ σy) ,saj odstopanje leži znotraj
intervala med |σx − σy| in σx + σy. Pri odštevanju ne-koreliranih
meritev spet velja, da je σz =
√σ2x + σ
2y .
Pri seštevanju in odštevanju količin torej seštevamo kvadrate
absolutnihnapak.
Množenje in deljenje. Podobno kot zgoraj zapišimo
z = xy = (x̄± σx)(ȳ± σy) = x̄ȳ± ȳσx ± x̄σy ± σxσy .Zvezo
delimo z z̄ = x̄ȳ:
zz̄= 1± σx
x̄± σy
ȳ± σxσy
x̄ȳ(2)
in primerjamo z definicijo relativne napakezz̄≡ 1± σz
z̄.
Pri dovolj majhnih napakah lahko zadnji člen v (2) zanemarimo.
Vidimo, da zarelativno napako, rz = σz/z̄, velja enako pravilo kot
za absolutno napako pri se-števanju. Za nekorelirani meritvi torej
lahko zapišemo
rz =√
r2x + r2y .
Pri deljenju dobimo enako pravilo: seštevajo se kvadrati
relativnih napak.Pri množenju in deljenju seštevamo kvadrate
relativnih napak.
8
-
Pravilo večje napake. V primerih, ko pri vsoti ali zmnožku dveh
količin ugo-tovimo, da je napaka enega člena nekajkrat večja od
napake drugega, seštevanjenapak po Pitagorovem pravilu ni potrebno,
saj lahko hitro uvidimo, da je rezultatzelo blizu večji napaki. V
takšnem primeru je napaka rezultata kar enaka napakinajmanj
natančne količine (absolutni pri seštevanju ali odštevanju in
relativni primnoženju ali deljenju).
Potenciranje. Pri potenciranju lahko zapišemo
z = xn = (x̄± σx)n = x̄n + nx̄n−1σx +n(n− 1)
2x̄n−2σ2x + · · ·
Zvezo delimo z z̄ = x̄n in dobimozz̄= 1± n σx
x̄+ · · · ≡ 1± σz
z̄
S · · · smo označili člene, ki so majhni in jih lahko
zanemarimo. Iz zgornjega rezul-tata razberemo pravilo: relativna
napaka pomnožimo z eksponentom. Pravilovelja tudi za necele
eksponente, potenca n = 12 na primer predstavlja korenskofunkcijo,
in lahko zapišemo
z =√
x . rz = 12rx ,
relativna napaka pri korenjenju se torej razpolovi.
9
-
2 Grafi
Pri merjenju pogosto iščemo odvisnost med dvema količinama;
eno izmed njijuspreminjamo (tej pravimo neodvisna spremenljivka) in
opazujemo, kako se spre-minja druga količina (odvisna
spremenljivka). Izmerke vpisujemo v tabelo, a iztabele težko
razberemo, za kakšno odvisnost gre. Zato izmerke vnesemo v
graf,neodvisno spremenljivko običajno na vodoravno os, odvisno na
navpično.
Kako potegnemo „pravo“ krivuljo skozi izmerjene točke? Na sliki
1 so nari-sane tri možne krivulje. V šolski praksi pogosto naletimo
še na četrto, ko učencitočke povežejo kar z ravnimi črtami.
Takšna zlomljena krivulja zagotovo ni upra-
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................................................................
............. ............. ............. .............
............. ............. ............. .............
............. ............. ..........
... ............. ............. ............. .............
............. ............. ............. .............
............. ............. ..........................
............. ............. .............
..............................................................................................................................................................................................
.......... .......................................
................................................... ..........
..........� � �
� � � � �� � �
Slika 1: Nekaj mo-žnih krivulj skozi ek-sperimentalne točke
vičena, saj od fizikalne količine pričakujemo gladko
obnašanje. Med tremi mo-žnostmi na sliki pa se nekako ne moremo
odločiti; očitno potrebujemo dodatnoinformacijo oziroma kriterij,
ki bi nam pomagal pri odločitvi.
Kaj je pravzaprav namen grafičnega prikaza? Ločimo dve
možnosti:
• V prvem primeru krivulja podaja fenomenološko odvisnost dveh
količin;teoretične odvisnosti ne poznamo. Iz grafa razberemo
vrednost odvisnekoličine pri vrednosti neodvisne količine, ki jo
pri meritvi nismo zajeli (in-terpolacija). Z grafičnim prikazom
tudi zgladimo morebitne neregularnostizaradi merskih napak. Nekaj
zgledov:
1. temperaturni raztezek vode β(T),
2. temperaturna odvisnost upora žarnice,
3. umeritvena krivulja pri instrumentu ali senzorju,
10
-
V tem primeru velja, da naj bo krivulja čim bolj gladka.
Kriterij, za kolikosmemo pri tem „zgrešiti“ izmerjeno točko v
grafu, je napaka izmerka, kiustreza tej točki. Če so napake
izmerkov zelo majhne, smo na sliki 1 upravi-čeni skozi točke
potegniti krivuljo iz črtic in pik; v nasprotnem primeru bonajbolj
prava neprekinjena krivulja. Pri resnih meritvah za vsako
izmerjenotočko določimo njeno napako s ponavljanjem meritev in jo
tudi vnesemov graf. V šoli tega ne običajno ne počnemo in napako
določimo bodisi izsistematske napake ali po občutku.
• V drugem primeru predpostavimo analitično odvisnost med
količinama. Zrisanjem krivulje, ki ustreza tej analitični
odvisnosti (na primer premice prilinearni odvisnosti, parabole pri
kvadratni odvisnosti, . . .), želimo preveriti,če izmerjene točke
res ubogajo predpostavljeno odvisnost. V primeru, daubogajo, lahko
določimo neznane parametre v teoretični odvisnosti, tako daskozi
izmerjene točke potegnemo krivuljo, ki se izmerjenim točkam
najlepšeprilega. Primeri:
1. I = U/R odvisnost toka od napetosti je linearna, iz naklona
premicedoločamo prevodnost (upor).
2. Pot pri enakomerno pospešenem gibanju je: s(t) = 12 at2 + v0t
+ s0; s
prilagajanjem parabole izmerjenim točkam določimo pospešek a,
zače-tno hitrost v0 in pot s0.
Pri preskusu veljavnosti analitične odvisnosti je odločilno, s
kolikšno na-tančnostjo so obremenjeni izmerki. Podobno kot v prvem
primeru tudi se-daj potrebujemo informacijo o napaki izmerjenih
vrednosti v grafu. V gro-bem lahko rečemo, da je predpostavka o
teoretični odvisnosti upravičena,če so odstopanja izmerjenih
vrednosti od krivulje v okviru eksperimental-nih napak; če so
odstopanja znatno večja, pa lahko upravičeno sklepamo,da
predpostavka o teoretični odvisnosti ni smiselna.
2.1 Linearna odvisnost
Enačba premice. Veliko fizikalnim pojavom lahko priredimo
linearno odvisnost:
y = kx + n . (3)
Poleg zvez, v katerih je linearna odvisnost eksplicitna, lahko
številne zveze pre-tvorimo v zgornjo obliko z uvedbo novih
spremenljivk. Nekaj zgledov:
• y = 12 at2, uvedemo x = t2, torej je k v (3) enak k = 12
a,
11
-
• j = j0e−µx, zvezo logaritmiramo: ln j = ln j0 − µx, uvedemo y
= ln j, inrazberemo k = −µ in n = ln j0,
• pVκ = konst, logaritmiramo: ln p + κ ln V = ln(konst), uvedemo
x = ln Vin y = ln p in ugotovimo k = −κ, n = ln(konst).
Metoda najmanjših kvadratov. Recept za določitev parametrov
premice k in n,ki se najbolje prilega izmerjenim točkam, je dobro
znan: premica naj steče tako,da bo vsota kvadratov odstopanj
najmanjša:
N
∑i=1
[yi − (kxi + n)]2 = minimum . (4)
Z odvajanjem izraza (4) po parametrih k in n dobimo sistem
linearnih enačb dru-gega reda; rešitev zapišemo kot:
k =xy− y xx2 − x2
, n =y x2 − xy x
x2 − x2, (5)
pri čemer smo vpeljali
x =1N
N
∑i=1
xi , y =1N
N
∑i=1
yi , x2 =1N
N
∑i=1
x2i , xy =1N
N
∑i=1
xiyi . (6)
Grafična določitev „najboljše“ premice. Opisani računski
postopek je zamu-den, čeprav ga najdemo že programiranega v
številnih kalkulatorjih. Z nekolikovaje lahko dobimo skoraj enako
dober rezultat grafično. Premico potegnemoskozi izmerjene točke
(pri tem si pomagamo s prozornim ravnilom) tako, daostane nad
premico približno enako število izmerkov kot pod njo. Pri tem
mo-ramo paziti, da so izmerki nad (pod) premico enakomerno
porazdeljeni po celemintervalu (glej sliko 2). Napačno bi bilo,
če bi se izmerki nad premico grupirali naenem krajišču intervala,
tisti pod premico pa na drugem. (Recimo, če bi na sliki 2potegnili
kar vodoravno premico po sredini slike.)
Premica skozi izhodišče. V primerih, ko modelsko odvisnost
zapišemo v oblikiy = kx, torej z n = 0, se pri risanju premice
skozi izmerjene točke pogosto po-javi dilema, če je potrebno
premico potegniti skozi izhodišče. Saj pri Ohmovemzakonu vemo, da
tok pri napetosti 0 mora biti enak 0 in podobno pri Hookovemzakonu,
Newtonovem zakonu . . . V praksi se često dogaja, da najlepša
premicaskozi točke ne gre skozi izhodišče. Razlog je seveda v
tem, da ničle merilnikov
12
-
nismo dobro določili. Tudi če napravimo meritev pri ničelni
vrednosti neodvi-sne spremenljivke in vrednost odvisne
spremenljivke merimo od njene ničelnevrednosti, smemo tako
določeno izhodiščno točko obravnavati kot vsako drugomerjeno
točko. Utež izhodiščne točke je lahko večja le v primeru, če
vemo, daje meritev v izhodišču obremenjena z bistveno manjšo
napako, kot pri ostalihtočkah. Le v takšnem primeru lahko
upravičimo zahtevo, da gre premica skoziizhodišče.
Ocena napake pri določitvi naklona premice. Pri poskusih, ki
jih delamo v šoliin pri katerih preverjamo linearno odvisnost med
fizikalnima količinama, obi-čajno ne določamo statistične
napake s ponavljanjem meritev pri vsaki vrednostineodvisne
spremenljivke, temveč napravimo meritev le po enkrat. Če lahko
pri-vzamemo, da so napake le statistične in vrednosti izmerkov
neodvisne druga oddruge, lahko ocenimo povprečno napako izmerkov
in napako naklona premice,ki smo jo potegnili skozi izmerjene
točke.
Postopek razdelimo na dve dela; v prvem delu določimo
povprečno napakoizmerkov σ in v drugem napako naklona σk.
Pri določitvi σ upoštevamo lastnost, da dve tretjini izmerkov
pade znotrajintervala [y− σ, y + σ]. Napako σ lahko torej določimo
grafično: okoli izmerkovnačrtamo paralelogram, takšen da znotraj
lika zajamemo približno dve tretjinivseh točk. Pri tem morata biti
dve stranici paralelograma vzporedni s premico, kise najlepše
prilagaja izmerjenim točkam, in enako oddaljeni od nje. Razdalja
medstranicama, merjena v navpični smeri, je potem ravno enaka 2σ.
(Glej sliko 2.)
............. ............. ............. .............
............. ............. .............
.......................... ............. .............
............. ............. ............. .............
.............
............. ............. ...................... .............
............. ............. ............. .............
............. .............
............. ............. ............. .............
............. ............. .............
.......................... ............. .........
.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................
� � �� � � � � �
� � � �� � �
� � � � � 2��
Slika 2: Grafična določi-tev napake izmerkov
Ko tako dobimo povprečno napako izmerka σ, lahko določimo še
napako na-
13
-
klona k. Za napako naklona k velja:
σk =2σ∆x
√3√N
, (7)
pri čemer je ∆x = xmax− xmin širina intervala, na katerem leže
vrednosti neodvi-sne spremenljivke.
Napako naklona lahko določimo še na dva načina:Pri prvem
načrtamo paralelogram tako, da objamemo vse točke. Načrtamo
obe diagonali in določimo njuna naklonska koeficienta kmax in
kmin. Napak na-klona je potem:
σk ≈kmax − k√
N − 2 ≈k− kmin√
N − 2 . (8)
Pri drugem načinu izmerjene točke paroma povežemo in sicer
i-to točko z12 N + i-to, za i = 1, 2, . . .
12 N. Če imamo denimo N = 10 točk povežemo prvo
in šesto, drugo in sedmo, . . . peto in deseto. Iskani naklon
premice skozi točkeje potem enak kar povprečni vrednosti
naklonskih koeficientov tako dobljenihdaljic, k1, k2, . . . kN/2,
napaka naklona pa napaki povprečja:
k =2N
12 N
∑i=1
ki , σk =4
N(N − 2)
12 N
∑i=1
[k2i − k2] . (9)
2.2 Nelinearne odvisnosti
Vseh teoretičnih odvisnosti, ki jih srečamo v fiziki, ne
moremo prevesti v linearnozvez. Najenostavnejši zgled je odvisnost
poti od časa pri enakomerno pospeše-nem gibanju. V tem primeru si
pomagamo z računalnikom. Eden najboljših ra-čunalniških paketov
za ta namen je gnuplot (glej http://www.gnuplot.info/), kiima eno
samo „pomanjkljivost“, je namreč brezplačen.
2.3 Zgled: Analiza enakomerno pospešenega gibanja
Pri večini poskusov analiziramo enakomerno pospešeno gibanje
tako, da izme-rimo pot v odvisnosti od časa. Pospešek dobimo lahko
na dva načina: z dvakra-tnim numeričnim odvajanjem poti po času
ali iz naklona premice v grafu v(t).Analizo napravim pri merjenju
težnega pospeška z brnačem. Oznake na trakuodčitavamo kar se da
natančno, z lupo lahko odčitavamo tudi desetinke milime-tra.
14
-
Tabela pospeškov. Odmike merimo v časih 0.02 s, 0.04 s, 0.06 s
. . . Hitrosti ra-čunamo po enačbi v = ∆s/∆t, tako da za ∆t
vzamemo dvojni interval. Pospešekračunamo iz a = ∆v/∆t iz
zaporednih hitrosti in časovnih razlik.
t [s] s [m] v [m/s] a [m/s2] a− ā [m/s2]0.02 0.00480.04 0.0117
0.4620.06 0.0233 0.685 10.75 0.4370.08 0.0391 0.892 9.875
-0.4380.10 0.0590 1.080 10.125 -0.1870.12 0.0823 1.297 12.812
2.5000.14 0.1109 1.592 11.125 0.8120.16 0.1460 1.742 4.062
-6.2500.18 0.1806 1.755 6.187 -4.1250.20 0.2162 1.990 14.312
4.0000.22 0.2602 2.327 13.562 3.2500.24 0.3093 2.5320.26 0.3615
Povprečna vrednost pospeška iz tabele je a = 10,31 m/s2.
Povprečna napakapri meritvi, izračunana po obrazcu
σ21 =1N
N
∑i=1
(ai − a)2 , (10)
je σ1 = 3,2 m/s2 in napaka povprečja σa = σ1/√
N − 1 = 1,1 m/s2.Iz tabele vidimo, da 3 meritve padejo zunaj
intervala, če za odstopanje vza-
memo mejno vrednost 4,1 m/s2, 6 meritev pa znotraj tega
intervala. Tako do-bljeno napako ocenimo s σ1 = 4,1 m/s2, kar ni v
nasprotju z rezultatom, do kate-rega smo prišli po računski poti.
Gre seveda za napako pri eni meritvi, ocenjenanapaka povprečja je
seveda manjša in znaša σ′a = σ1/
√N − 1 = 1,4 m/s2.
Rezultat meritve torej zapišemo:
a = (10,3± 1,4) m/s2 . (11)
Pospešek iz grafa v(t). Že na prvi pogled vidimo, da je ujemanje
z modelomprecej boljše, kot bi lahko sklepali le na podlagi tabele
pospeškov. Račun da:
a = (10,0± 0,8) m/s2 ,v(0) = (0,09± 0,05) m/s .
(12)
15
-
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
∆t
∆v
◦◦
◦◦
◦
◦◦ ◦
◦
◦◦
v [m/s]
t [s]
}σ
16
-
3 Kinematika
3.1 Premo gibanje
Merjenje hitrosti. Merimo lego telesa x kot funkcijo časa t.
Hitrost telesa jedefinirana kot odvod lege po času
v(t) =dx(t)
dt. (13)
Ker merimo lege le ob določenih časih, ti, i = 1, N, lahko
računamo le povprečnovrednost hitrosti v časovnem intervalu
[ti+1, ti]:
v̄ =∆x∆t
=xi+1 − xiti+1 − ti
, (14)
pri čemer je xi izmerjena lega ob času ti, xi+1 pa ob ti+1.
Hitrost običajno pripi-šemo času na sredini intervala 12(ti+1 +
ti). Pogosto je bolj praktično, da vzamemovečji časovni
interval, [ti+1, ti−1], in formulo (14) zapišemo kot
v(ti) =∆x∆t
=xi+1 − xi−1ti+1 − ti−1
. (15)
V tem primeru smo povprečno hitrost pripisali kar času ti, ki
leži znotraj intervala[ti+1, ti−1].
V limiti, ko gredo časovni intervali ∆t = ti+1 − ti−1 proti
nič, povprečna hi-trost sovpade s trenutno. To bi pomenilo, da bo
meritev tem bolj natančna, čimkrajše časovne intervale izberemo.
A v praksi to ni vedno najbolje. Če časovneintervale skrajšujemo,
se lahko postane pot, ki jo telo opravi v intervalu, primer-ljiva
ali celo manjša od natančnosti, s katero merimo odmik (recimo 1
mm). V temprimeru bo relativna napaka pri računanju hitrosti zelo
velika in meritev hitrostizelo nezanesljiva. Časovne intervale
moramo torej izbrati tako, da bo pot, ki jotelo naredi v časovnem
intervalu, dovolj velika v primerjavi z napako
merjenjarazdalje.
Merjenje pospeška. Pospešek je definiran kot
a(t) =dv(t)
dt. (16)
Postopek za določitev pospeška je podoben postopku pri
računanju hitrosti, opi-sanemu v prejšnjem razdelku. Velja
ā =∆v∆t
=vi+1 − viti+1 − ti
, (17)
17
-
alia(ti) =
∆v∆t
=vi+1 − vi−1ti+1 − ti−1
. (18)
Postopek, pri katerem računamo hitrosti po formuli (15) in
pospešek po for-muli (18), je bolj praktičen, saj časi, v katerih
računamo hitrosti in pospeške, so-vpadajo s časi, v katerih smo
merili lege telesa.
V primeru, ko so časovni intervali med seboj enaki, ∆t = ti+1 −
ti = konst,lahko izpeljemo enostavno zvezo med pospeški in
legami:
a(ti) =xi+1 + xi−1 − 2xi
(∆t)2. (19)
Merjenje koeficienta dušenja. Jahač na zračni drči zavira
magnetna sila, ki jepremo sorazmerna s hitrostjo. Zato se jahač
giblje pojemajoče s pojemkom, ki jeprav tako premo sorazmeren s
hitrostjo: a = −βv. Enačbo za gibanje zapišemo vobliki
dvdt
= a = −β v ali dvv
= −β dt . (20)Enačbo integriramo, na levi od začetne hitrosti
v0 do končne hitrosti ob času t, nadesni pa od začetnega časa 0
do časa t:
∫ v(t)
v0
dvv
= −β∫ t
0dt . (21)
Integral na levi je ln v na desni kar t. Ko vstavimo meje,
dobimo
ln v(t)− ln v0 = −β t ali lnv(t)v0
= −β t . (22)
Enačbo antilogaritmiramo in dobimo
v(t) = v0 e−βt . (23)
Pot, ki jo telo opravi v času t, dobimo z integriranjem
hitrosti (23):
s(t) =∫ t
0v(t)dt =
v0β
(1− e−βt
). (24)
Koeficient dušenja β lahko določimo na dva načina:
i) Iz prve enačbe (20) sledi β = −a/v. Če torej v tabeli
izračunamo vre-dnosti hitrosti in pospeškov, dobimo β kot
povprečno vrednost razmerja−a(ti)/v(ti).
18
-
ii) V prvi enačbi v (22) vpeljemo novo spremenljivko y = ln
v(t). Enačba imapotem obliko y = ln v0 − βt. Prepoznamo enačbo
premice z naklonom −β.Narišemo torej graf, na katerem na vodoravno
os čase ti, na navpično os pavrednosti ln v(ti). Skozi točke
potegnemo premico in iz naklona odčitamoβ.
3.2 Eksperimentalne metode – premo gibanje
Lego v odvisnosti od časa lahko merimo na več načinov:
Brnač. Na telo pripnemo papirni trak in ga potegnemo skozi
brnač. Brnačudarja v enakomernih časovnih intervalih ∆t na trak
skozi indigo papir in natraku pušča sledi. Časovni interval je
pri različnih brnačih različen in meri 0,02 s,0,025 s ali 0,1 s.
V tem primeru se formule, ki smo jih zapisali v prejšnjem
po-glavju, poenostavijo v toliko, da ni potrebno računati
časovnih razlik za vsakinterval posebej; vzamemo kar ∆t v (14) in
(17) ali 2∆t v (15) in (18). Ker v for-mulah (14) in (15)
potrebujemo le razlike leg telesa, lahko direktno odčitavamo
lerazdalje med pikami na traku, ne pa razdalje od začetka traku do
izbrane pike.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
•••• • • • • • • • • • • • • • •0,1 s 0,2 s 0,3 s∆t = 40 ms
14,4 mm 17,6 mm| | |
Slika 3: Primer analize traku: pike so v razmiku 20 ms, iz
odčitane razdalje(14,4 mm), ki ustreza dvojnemu časovnemu
intervalu ∆t = 40 ms, izračunanohitrost v = 14,4 mm/40 ms = 0,36
m/s pripišemo času 0,18 s, tisto, ki ustrezarazdalji 17,6 mm pa
času 0,22 ms.
Ultrazvočni slednik. Slednik odda kratek ultrazvočni signal,
ki se odbije od te-lesa in vrne do slednika. Iz časa potovanja
signala in iz znane hitrosti zvoka vzraku naprava izračuna
razdaljo do telesa. Slednik je povezan z računalnikom,ki zabeleži
čas, ob katerem je oddal signal, in izmerjeno razdaljo. Postopek
pona-vlja v enakomernih časovnih intervalih in izmerke shranjuje v
računalniku v oblikitabele. Dolžino časovnega intervala
(frekvenco oddajanja signalov) lahko nasta-vljamo. Računalnik
prikaže odvisnost lege od časa tudi grafično.
19
-
Svetlobna vrata. Na vozičku je nameščena ploščica, ki prekine
curek svetlobev svetlobnih vratih (Slika 4). Vrata so povezana z
računalnikom, ki zabeleži časprekinitve (t1). Ko ploščica pride
iz svetlobnih vrat, računalnik ponovno zabeležičas (t2). Iz
razlike časov in znane dolžine ploščice (d), računalnik lahko
določi(povprečno) hitrost vozička v̄ = d/(t2 − t1). Dolžino
ploščice moramo vpisati vračunalnik.
....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
.......
.......
.......
.......
......
.......
.......
.......
.......
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.......
..........................
..................................................................................................................................................
.....
.........................
.....................................................................................................................................................•
•
..................................................................................................................................................................................................................................................
......
.......
.......
.......
.......
.......
......
.......
.......
.......
........................................................................................................................
.......
......
.......
.......
.......
......
.......
........................................................
....................................
....................................
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................
..
.
•
•voziček
zgoraj enokraka ploščicaspodaj dvokraka ploščica
vratas curkom svetlobe
Slika 4: Svetlobna vrata
Če želimo izmeriti več leg in časovnih intervalov, vzamemo
namesto ploščiceletev, na kateri so enakomerno razporejene
izmenoma prozorne in neprozorneproge. Računalnik beleži čase, ko
se curek prekine in ko se zopet pojavi. V temprimeru časovni
intervali niso konstantni, pač pa so konstantne poti, ki jih
teloopravi v teh intervalih, saj ustrezajo kar širinam svetlih oz.
temnih prog.
Elektronska štoparica. Pospešek pri enakomerno pospešenem
gibanju (prostempadu) merimo z elektronsko štoparico. Jekleno
kroglico na začetku drži elektro-magnet. Ko tok skozi
elektromagnet prekinemo, začne kroglica padati, hkrati pasignal
sproži začetek merjenja časa v elektronski štoparici (ki je lahko
kar raču-nalnik). Kroglica pade v čašo, kar ponovno sproži signal
in ustavi merjenje časa.Pospešek (težni) dobimo iz enačbe za pot
pri enakomerno pospešenem gibanjuh = 12 at
2 (ob privzetku, da je bila hitrost na začetku enaka 0).Merimo
pri dveh različnih višinah, h1 = 12 at
21 in h2 =
12 at
22. Enačbi odštejemo
in dobimo
h1 − h2 = 12 a(t21 − t22) ali a =2(h1 − h2)
t21 − t22. (25)
Prednost metode je v tem, da nam ni potrebno poznati točne
višine, ki jo kro-glica prepotuje, temveč le razliko višin.
Zadostuje, da izmerimo le premik višineprožilnega mehanizma, kar
lahko določimo veliko bolj natančno kot samo višino.
20
-
3.3 Vrtenje
Pri vrtenju telesa se namesto lege telesa pojavi kót zasuka ϕ,
namesto hitrosti inpospeška pa kotna hitrost ω in kotni pospešek α.
Kot merimo v radianih, ki nimajodimenzije, zato enote ne pišemo.
Polni kot v radianih meri 2π, pretvornik medkotom v stopinjah in
kotom v radianih je ϕ(v radianih) = (π/180) ϕ(v
stopinjah).Velja
ω =dϕdt
in α =dωdt
, (26)
Če izmerimo zaporedje kotov ϕi, i = 1, N ob časih ti, i = 1,
N, izračunamo kotnohitrost kot
ω(ti) =∆ϕ∆t
=ϕi+1 − ϕi−1ti+1 − ti−1
(27)
inα(ti) =
∆ω∆t
=ωi+1 −ωi−1ti+1 − ti−1
. (28)
Kote zasuka in pripadajoče čase merimo s svetlobni vrati, tako
da letev nado-mestimo s krožno ploščo, na kateri se enakomerno po
15◦ menjavajo prozorni inneprozorni krožni izseki.
3.4 Gibanje v ravnini: poševni met
Gibanje v ravnini razstavimo v gibanje v vodoravni in gibanje v
navpični smeri.Če zanemarimo upor zraka, na telo deluje le
gravitacijska sila v navpični smeri.V vodoravni smeri je zato
gibanje premo enakomerno s konstantno hitrostjo, kije kar enaka
komponenti začetne hitrosti v0 v tej smeri:
vx(t) = v0x = v0 cos ϑ , x(t) = x0 + v0 cos ϑ t , (29)
pri tem je ϑ dvižni kot. V navpični smeri je gibanje enakomerno
pospešeno s po-speškom a = −g, če kaže os y navzgor, oz. a = g,
če kaže os y navzdol. Velja
vy(t) = v0y + at = v0 sin ϑ + at , y(t) = y0 + v0 sin ϑ t + 12
at2 . (30)
Izhodišče koordinatnega sistema postavimo v začetno točko,
potem velja x0 =y0 = 0. Iz enačbe za lego x v (29) izrazimo čas,
t = x/v0 cos ϑ, in vstavimo venačbo z a y v (30). Dobimo enačbo
parabole:
y = x tan ϑ +a
2v20 cos ϑ2x2 . (31)
21
-
Čas leta in domet. Najprej izračunajmo čas tm, ki ga telo
potrebuje, da doseženajvečjo višino. Tam je hitrost v smeri y
enaka 0, vy(tm) = 0 in iz prve enačbe(30) tako sledi tm = v0 sin
ϑ/g (za a = −g). Čas leta telesa v primeru, ko imatelo na koncu
enako višino kot na začetku, pa je enak kar dvakratnemu
času,potrebnemu, da doseže največjo višino, saj za pot navzdol
porabi enako kot zapot navzgor.
tD = 2tm =2v0 sin ϑ
g. (32)
V tem času prepotuje v vodoravni smeri pot
xD(ϑ) =2v20g
sin ϑ cos ϑ =v20g
sin 2ϑ . (33)
Domet je največji, ko je sin 2ϑ = 1, torej pri 2ϑ = 90◦, ϑ =
45◦. Z nekaj znanjatrigonometrije se lahko prepričamo, da
velja
xD(ϑ) = xD(90◦ − ϑ) , (34)
kar pomeni, da je na primer domet pri kotu 60◦ enak dometu pri
30◦.Če poznamo obe komponenti hitrosti vx(t) in vy(t) ob času t,
lahko izraču-
namo velikost hitrosti in njeno smer
v(t) =√
vx(t)2 + vy(t)2 , tan ϕ =vy(t)vx(t)
, (35)
pri čemer je ϕ kot, ki ga vektor hitrosti tvori z
vodoravnico.Eksperimentalno merimo čas leta z elektronsko
štoparico, za proženje začetka
uporabljamo svetlobna vrata. Domet merimo s kovinskim
trakom.
3.5 Eksperimentalni postopki
Iztekanje iz posode. Posoda, napolnjena z vodo, ima na dnu cevko
s polmeromr, skozi katero izteka vodni curek v vodoravni smeri.
Vodni curek ima oblikoparabole (31) za ϑ = 0 in a = g. Če
odčitamo višine (globine) y pri različnihvrednostih vodoravne
koordinate x, lahko preverimo, če je tir res parabola. Vgraf
nanašamo na vodoravno os vrednosti x2, na navpično pa y. Če
izmerjenetočke v okviru pričakovanih napak pri merjenju ležijo na
premici, lahko izjavimo,da je tir res parabola. Naklon premice v
grafu y = y(x2) je kar
k =g
2v20,
22
-
od koder iz znanega g = 9,8 /s2 izračunamo začetno hitrost
v0.Hitrost curka, ko zapusti ustje cevi, lahko določimo tudi iz
enačbe za prostor-
ninski pretok po cevi,ΦV = v0 S = v0 π r2 ,
pri čemer je ΦV pretočena prostornina vode v času t, ΦV =
V/t, in r polmer cevi.Prostorninski pretok izmerimo tako, da lovimo
vodo v čašo, ki jo nato prelijemov merilno posodo (menzuro).
Merimo seveda še čas natakanja t. Polmer cevkedoločimo s pomočjo
zbirke svedrov, tako da poiščemo sveder, ki se najbolj
prilegaodprtini in s kljunastim merilom izmerimo njegov premer.
Digitalna video kamera ali fotoaparat. Z digitalnim fotoaparatom
ali video ka-mero, ki omogoča večje število posnetkov v sekundi
(vsaj 25), posnamemo po-ševni met telesa (recimo košarkarske žoge).
V ravnini meta postavimo dve me-rilni palici v vodoravnem in
navpičnem položaju. Fotoaparat postavimo v dovoljveliki
oddaljenosti od ravnine meta, tako da ne moti paralaksa.
Zaporedje slik prenesemo v računalnik. Slike so pravzaprav
lahko spravljenekar v računalniški pomnilniški enoti, ki jo preko
USB vhoda priključimo na raču-nalnik. Prva slika naj bo tista, na
kateri telo (žoga) že prosto leti. Slike odpiramos programom za
grafično prikazovanje slik (recimo Slikar (MSPaint) ali GIMP),
kiprikazuje lego miškinega kazalca v pikslih.
Odpremo prvo sliko in z miško odčitamo koordinate središča
žoge. Če izbe-remo risanje poligonov ali kaj podobnega, bo znak,
ki kaže lego miške, v oblikikriža, in določitev središča bo
lažja. Koordinate so v pikslih; koordinatno izho-dišče je v
zgornjem levem kotu, tako da je navpična os usmerjena navzdol.
Pre-tvornik med piksli in dejanskimi metri dobimo tako, da
odčitamo dolžini obehmetrskih palic na sliki. Če fotoaparat
zajame 30 slik v sekundi, si slike sledijov razmikih 1/30 sekunde
(podatek je mnogo bolj natančen kot kateri koli drugpodatek pri
poskusu). Podatke vnesemo v tabelo in koordinate preračunamo
vmetre. Koordinatno izhodišče prestavimo v središče žoge na prvem
posnetku, osy lahko usmerimo navzgor.
Iz koordinat v tabeli izračunamo vodoravno in navpično
komponento hitrosti.Narišemo grafa vx(t) in vy(t) in skozi
izmerjene točke potegnemo premici, ki senajlepše prilegata
izmerjenim vrednostim. Iz naklona premice v grafu vy(t) do-ločimo
pospešek; z ekstrapolacijo obeh premic k času 0 pa vektor začetne
hitrostiin dvižni kot (glej (35)).
23
-
4 Merjenje sil in snovnih lastnosti
4.1 Merjenje sil z računalnikom
Umeritev senzorja Senzor za merjenje sile pretvarja silo v
električno napetost.Signal vodimo do računalnika, ki prikaže
časovno odvisnost napetosti (in po-sredno sile). Računalnik tudi
izračuna časovno povprečje napetosti v merjenemčasovnem
intervalu.
Pretvornika med silo in napetostjo ne poznamo, zato je potrebno
senzor ume-riti z znanimi silami. To najlaže naredimo tako, da na
senzor obešamo uteži zznanimi masami m in narišemo graf, ki kaže
odvisnost teže (Fg = mg) od napeto-sti U. (Ker je v tem primeru
sila konstantna, je smiselno na računalniku odčitavatipovprečno
silo.) Pričakujemo, da bo zveza med silo in napetostjo
linearna:
F = k U + F0 . (36)
Koeficienta k in F0 določimo s prilagajanjem premice skozi
izmerjene točke vgrafu Fg(U).
Popravek zaradi orientacije senzorja Neobremenjeni senzor pokaže
različnovrednost napetosti glede na to, kako je orientiran. Ko je
postavljen navpično,poleg merjene sile kaže tudi težo kaveljčka,
na katerega obešamo uteži. Zatonaša umeritev velja le v navpičnem
položaju senzorja, če pa senzor uporabljamov drugačnem položaju,
moramo to upoštevati. Hitro se lahko prepričamo, da imav tem
primeru popravek obliko
F = k U + F0 + F1(1− sin ϕ) , (37)pri čemer je F1 teža
priključnega mehanizma, kot ϕ pa merimo tako, da je ϕ =0 v
vodoravnem položaju in ϕ = 90◦ v navpičnem položaju (torej v
položaju,v katerem umerjamo senzor). Težo F1 določimo tako, da
neobremenjen senzorpostavimo v vodoravni položaj in izmerimo
napetost U0, nato pa še v navpičnipoložaj, izmerjeno napetost v
tem položaju označimo z U90:
0 = k U0 + F0 + F1 , 0 = k U90 + F0 .
Levi strani sta v obeh primerih enaki 0, saj je senzor
neobremenjen. Iz obeh enačbizrazimo F1 kot F1 = −k (U0 − U90) ≡ −k
∆U, pri čemer smo z ∆U označilirazliko napetosti v obeh legah, ∆U
= U0 −U90. Enačbo (37) prepišimo v obliko
F = k (U − ∆U(1− sin ϕ)) + F0 , (38)od koder bomo iz znanih
parametrov k, F0 in ∆U določali zvezo med silo in na-petostjo ter
kotom.
24
-
Sile na klancu Voziček na klancu z naklonskim kotom ϕ z vrvico
povežemos senzorjem za silo. Ker voziček miruje, je sila vrvice –
in s tem sila, ki jo kažesenzor, – (nasprotno) enaka dinamični
komponenti teže vozička:
F = mvg sin ϕ . (39)
Pri računanju sile iz napetosti moramo v tem primeru vzeti
enačbo (38).
Merjenje koeficienta lepenja Na mirujočo klado na klancu
delujeta teža in silapodlage, ki jo razstavimo na pravokotno silo
podlage F⊥ = mkg cos ϕ in silo le-penja Fl, ki ima smer klanca.
Dokler klada miruje, sta v ravnovesju sila lepenjain dinamična
sila teže, Fl = mkg sin ϕ. Ko kot povečujemo, narašča sila
lepe-nja in doseže največjo vrednost, tik preden klada zdrsne.
Koeficient lepenja kl jedefiniran kot razmerje med največjo silo
lepenja in pravokotno komponento silepodlage:
kl =Fl(max)
F⊥=
mkg sin ϕ0mkg cos ϕ0
= tan ϕ0 , (40)
če je ϕ0 največji kot, pri katerem klada še ne
zdrsne.Naklonski kot določimo z merjenjem višine h in dolžine
klanca l, sin ϕ = h/l.Klado povežemo s silomerom kot v prejšnjem
primeru. Dokler je naklonski
kot klanca manjši od ϕ0, je vrvica nenapeta in silomer ne kaže
nobene sile. Prikotih večjih od ϕ0, pa je sila vrvice enaka
razliki med dinamično komponentoteže in največjo možno silo
lepenja Fl(max). Silomer kaže
F = mkg sin ϕ− klmkg cos ϕ , (41)
od koder lahko izluščimo kl pri različnih kotih.∗ Vpeljemo x =
sin ϕ in enačbo (41) prepišemo v obliko
F = mkg(
x− kl√
1− x2)
(42)
Izmerjene sile pri različnih kotih ϕ > ϕ0 vnesemo v graf F =
F(x) in s prilagaja-njem funkcije (42) v programu Gnuplot določimo
kl in njegovo napako.
25
-
4.2 Ravnovesje treh sil
Telo (obroček v sredini plošče na sliki 5) je v ravnovesju,
če je vsota vseh sil enaka0. Če označimo kote, tako kot na
sliki, velja za komponente v smereh y in x:
..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.......................
............................
......................................................
................
...........................................................................
................................................................................................................
...............
................
...............
...............
...............
................
...............
...............
................
...............
...............
...............
................
...............©
......................................................................................................................................................................................................................©
.....................................................................................................................................................................................................................©
⊙>
∧
x
y
m1
m3
m2
αβ
y : m1g−m2g sin α−m3g sin β = 0x : m2g cos α−m3g cos β = 0
Slika 5: Ravnovesje treh sil
4.3 Ravnovesje navorov
Za ravnovesje togega telesa (krožne plošče na sliki 6) velja,
da mora biti vsotavseh sil enaka 0 in hkrati vsota vseh navorov
enaka 0. Težo in sile uteži uravno-vesi sila podlage, za ravnovesje
navorov pa velja
m1gr1 sin ϕ−m2gr2 = 0 ,
pri tem sta r1 in r2 ročici, merjeni od središča plošče do
prijemališč sil, ϕ pa kotmed ročico in silo prve uteži.
.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.....................
.........................
................................
......................................................
..............................
......
......
......
............................................................................................
...........................
......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
⊙•....................................................................................................................................................................................................................................
•..........................................................................................................................................................................................................................©⊙.........................................................................................
m1
m2
r1r2
ϕ
Slika 6: Ravnovesje navorov
26
-
4.4 Hookov zakon
Deformacije teles Telesa se pod vplivom zunanjih sil lahko
deformirajo. Čese telesa zaradi zunanjih sil deformirajo, a se po
prenehanju delovanja teh silvrnejo v prvotno obliko, je deformacija
elastična. Tako se palica, na katero delujev vzdolžni smeri
zunanja sila, elastično razteza ali krči. Podaljša se, če
delujev palici napetost F/S, kjer je S presek palice, in skrči,
če palico stiskamo in je vnjej tlak p = F/S. Podaljšek pri nategu
in skrček pri stisku s je odvisen še odprvotne dolžine palice l.
Relativni raztezek ali relativni skrček e = s/l je odvisenle od
napetosti oz. od tlaka p. Poskusi pokažejo, da je zveza med
napetostjo oz.tlakom p in relativnim raztezkom e linearna:
e =1E
p. (43)
Zvezo imenujemo Hookov zakon. Sorazmernostna konstanta E v (43)
je snovnakonstanta, ki je značilna za elastično snov. Konstanta
se imenuje prožnostni modul.Za vsako snov obstaja meja prožnosti,
to je tista napetost, do katere je deformacijaelastična. Pri
večjih napetostih se snov deformira trajno (plastična
deformacija). Prinekaterih snoveh je praktično vsaka deformacija
plastična.
..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.................................................................................................................
......................
.............
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . ......
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
............. ..........................
..........................................
.............
.............
.............
..........................
.................................................................
~F ~F
s
l
S
Slika 7: Elastično raztezanje trdnih snovi
Opis meritve Na žični kavelj na okvirčku obesi predutež, da se
žica nekolikozravna. Merilno uro naravnaj na ničlo. Izmeri
raztezek žice pri vsaj desetih obre-menitvah in rezultate vnesi v
graf F(s). Skozi točke nariši premico in ugotovi,če je odvisnost
res linearna, t.j. F = ks + F0. Iz k = ES/l izračunaj
prožnostnimodul. Zato potrebuješ še dolžino žice l in njen presek
S. Premer izmeri z mikro-metrskim merilom. Izračunaj tudi napako
modula.
4.5 Površinska napetost
Napravimo poskus s tanko žično zanko z radijem r, kot kaže
slika 8. Da zankoizvlečemo iz kapljevine, moramo premagati silo
površinske napetosti F, ki je soraz-merna dolžini zanke b, vzdolž
katere se vleče površina kapljevine:
F = γ b. (44)
27
-
Ker zanka trga površino kapljevine po obeh obodih zanke, moramo
upoštevatidvojni obseg (b = 2 · 2π r). Sorazmernostni koeficient γ
imenujemo kar površinskanapetost.
......
.........................................
........................
.................................
..................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................
..................................
............................................................................
......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
..........................................
.............................
......................
.........................................
.......
.........................................
........................
.................................
..................................................
.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.......
............................
...............................
..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................
.......
................
..........................
..............................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................
....................................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
~F
b• •
•
•.....................................................................................................................................................................
......................
- - - - -
- - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
- - - - -
Slika 8: Merjenje površinske napetosti
•h
~F
2r
θ
-
- -
-
.......
................................................................................................
.......................................................................................................
.........................................................................................................
.........................................................................................................
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.........................
......................
..................................
..................................
......................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.............
.......
......
.......
......
.......
......
.............
.............
..............................................................................
......................................................................................................................................................................................................................................................................
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Slika 9: Kapilarni dvig kapljevine.
Površinska napetost povzroča, da nivoja kapljevine v kapilari,
vtaknjeni v ka-pljevino, in zunanje kapljevine nista enako visoko.
Voda steklo omoči, živo srebropa ne. V kapilari, potopljeni v
posodo z vodo, se voda dvigne, živo srebro v ka-pilari pa zniža pod
nivo živega srebra v posodi. Voda oblikuje svojo površino vobliki,
podobni krogelni kapici. Skupna sila F, ki deluje na tekočino v
kapilarinavzgor, je F = γ 2π r cos θ, kjer je θ kot med površino
kapljevine in steklenosteno (glej sliko 9), r pa je radij kapilare.
Tej sili drži ravnovesje teža vodnegastebrička: $ π r2g h. Zato
velja:
$ g h =2γ cos θ
r. (45)
Ker je razmerje r/ cos θ enako radiju krogle z radijem R, lahko
(45) zapišemo:
$ g h =2γR
. (46)
Če je kot θ = 180o, je premer kapilare enak dvojnemu radiju 2R.
Z merjenjemvišinske razlike h lahko dobimo površinsko napetost γ,
npr. vode ali kake drugekapljevine.
Površinsko napetost izmerimo tudi tako, da stehtamo silo, ki je
potrebna, dažična zanka pretrga površino tekočine.
28
-
4.6 Merjenje gostot
Definicija gostote Gostota je definirana je s kvocientom mase m
in prostornineV, $ = m/V. Tako definirana gostota pa velja le za
homogene snovi. V splošnempa moramo gostoto definirati s kvocientom
$ = dm/dV. Če se v snovi ta vrednostspreminja, je snov heterogena,
če pa se s krajem gostota ne spreminja in je torej povsem telesu
enaka, je snov homogena.
Pri večjih in geometrijsko simetričnih telesih prostornino
izmerimo brez težav,maso stehtamo in gostoto izračunamo. Pri
manjših telesih in pri telesih z nepra-vilno obliko uporabljamo
različne metode merjenja gostote. Včasih lahko meritevizvedemo s
piknometri. Z njimi lahko določamo gostote trdnin in kapljevin.
Pikno-meter je bučka z luknjico v steklenem zamašku, s katerim
natanko opredelimoprostornino kapljevine. Pri piknometrski metodi
določanja gostote kapljevin teh-tamo piknometer, napolnjen z vodo
(mv), piknometer, napolnjen s kapljevino,katere gostoto želimo
izmeriti (mm) in prazen piknometer (mp). Prostornino vodev
piknometru določa enačba V = (mv−mp)/$v, kjer je $v gostota vode.
Podobnovelja za prostornino kapljevine, katere gostoto želimo
meriti: V = (mm −mp)/$,kjer je $ gostota merjenca. Glede na to, da
sta prostornini obeh kapljevin enaki, jegostota merjene kapljevine
glede na gostoto vode $v enaka
$ = $vmm −mpmv −mp
. (47)
Podobno ravnamo tudi, ko merimo gostoto trdnin. Tehtamo najprej
merjenecmm, nato piknometer z vodo mv in nato piknometer z vodo in
merjencem mmv.Masa z merjencem izpodrinjene vode je mm +mv−mmv.
Prostornina te vode, ki jehkrati prostornina merjenca, pa je Vm =
(mm + mv −mmv)/$v. Gostoto merjencadobimo po enačbi
$ =mmVm
= $vmm
mm + mv −mmv. (48)
Pri obeh merjenjih moramo poznati gostoto vode: ta je pri
normalnih pogojih je$v = 1, 000 · 103 kg/m3.
Opis postopka Stehtaj prazen in suh piknometer s pokrovčkom.
Vanj natočivodo, izmeri skupno maso, ponovi enako še z alkoholom.
Meri kar se da na-tančno (na vsaj 4 mesta). V piknometer naliješ
vodo oz. alkohol do vrha pikno-metra tako, da odvečna kapljevina
odteče skozi luknjico v pokrovčku piknome-tra. Tehtaš torej
piknometer skupaj s pokrovčkom. Pazi, da je bučka piknometrapred
merjenjem skrbno obrisana. Izračunaj gostoto alkohola.
Določi skupno maso piknometra (s pokrovčkom) in kovinskih ali
katerih dru-gih delčkov mmp (prazen piknometer s pokrovčkom si že
stehtal), da ugotoviš
29
-
maso merjenca (mm = mmp − mp). Dolij vode do vrha, piknometer
zapri s po-krovčkom, ga osuši in določi skupno maso merjenca,
piknometra in vode. Masomerjenca z vodo si že določil. S temi
podatki izračunaj gostoto merjenca kar seda natančno.
Merjenje z vzgonom Gostoto trdnin in kapljevin lahko merimo še z
metodo,pri kateri izkoristimo vzgon teles. Stehtamo merjenec v
zraku (Fg) in ko je ta poto-pljen v vodi (F′g). Razlika obeh tež je
enaka teži izpodrinjene vode: Fgv = Fg − F′g.Iz nje izračunamo
prostornino izpodrinjene vode, ki je hkrati prostornina mer-jenca:
Vv = Fgv/g$v = (Fg − F′g)/g$v. Gostota merjenca je
$ =Fg
gVm=
FggVv
= $vFg
Fg − F′g. (49)
Stehtaj telo v zraku in potopljeno telo v vodi kar se da
natančno. Ti podatkizadoščajo za izračun gostote telesa.
4.7 Merjenje gostote zraka
Tudi gostoto zraka lahko izmerimo. Najprej stehtamo prazno bučo
mb in natobučo, napolnjeno s stisnjenim zrakom mz, ki smo ga
spravili v bučo s tlačilko.Razlika obeh mas mz −mb je masa zraka,
ki smo ga stisnili v bučo. Ko ta stisnjen
Slika 10: Merjenje gostote zraka
zrak spustimo v posodo z vodo, zrak iztisne vodo v menzuro, ki
ji lahko izme-rimo prostornino. Tako dobimo prostornino zraka V, ki
smo ga stlačili v bučo,pri normalnih pogojih. Zato je gostota
zraka
$ =mz −mb
V. (50)
30
-
Stehtaj bučo z zrakom pri normalnih pogojih. Zapri ventil in
bučo napolniz zrakom s pumpanjem. Stehtaj bučo z dodatnim zrakom.
Uporabi tehtnico znatančnostjo 1/100 g. Prostornino stisnjenega
zraka dobiš z bolj zapleteno na-pravo. Najprej v cev natočiš vodo,
ki jo potem, ko odpreš ventil buče, iztisnezrak. Prostornina v
bučo stisnjenega zraka je pri normalnem tlaku enaka prostor-nini
iztisnjene vode.
4.8 Viskoznost
Za kapljevine je značilna snovna konstanta viskoznost. To nekaj
pove o lastnosti,ki je povezana z notranjim trenjem v kapljevinah.
Zaradi te lastnosti se nekaterekapljevine lažje pretakajo skozi
lijak kot druge. Pri opredelitvi viskoznosti mo-ramo vpeljati
strižno napetost. Ta je povezana s silami, ki ne delujejo
pravokotnona ploskev kot pri Hookovem zakonu, ampak prijemljejo in
delujejo vzdolž plo-skve S. Če je med dvema vzporednima ploščama
plast tekočine s površino S inzgornjo ploščo vlečemo s silo F se
pojavi v tekočini strižna napetost σs = F/S(glej sliko 11). Pri
tem se gornja plošča giblje s konstantno hitrostjo v in z njo
vredse giblje sosednja plast kapljevine tik ob tej plošči. Spodnja
plast tik ob spodnjiplošči pa skoraj miruje. V kapljevini se torej
z višino hitrost povečuje. Naraščanjeopredelimo z gradientom
hitrosti v/z, kjer je z razdalja med obema ploščama. Po-skusi
kažejo, da je strižna napetost σs premo sorazmerna gradientu
hitrosti v/z:
σs = ηvz
. (51)
To je zakon o viskoznosti. Sorazmernostna konstanta v tej
enačbi je viskoznost η. Od-visna je od temperature. Viskoznost η
je značilna snovna konstanta za kapljevinoin jo najdemo v posebnih
tabelah.
.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.............................
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
...........................
......................
...................................................
...............
.......................................................................................
...............
..........................................................................................................................
...............
..............................................................................................................................................................
...............
.................................................................................................................................................................................................
...............
.....................................................................................................................................................................................................................................
...............
........................................................................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................................................................
...............
.............................................................................................
.......
................
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
................
...............
x
z
l
~v
.........................................................................................................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Slika 11: Viskoznost kapljevin.
Podobno kot v tem primeru gibanja ene od dveh plošč povzroči
zaviralne siletudi gibanje kroglice skozi kapljevino. Po precej
zapletenem računu najdemo, daje sila upora na kroglico v gosti
tekočini enaka
F = 6 π r η v, (52)
31
-
kjer je r radij kroglice in v njena hitrost. Če spustimo
kroglico z gostoto $ v kaplje-vino z gostoto $k, delujeta nanj še
teža mg = $ g V in sila vzgona mkg = $kg V.V stacionarnem stanju
silo teže uravnovešata sila upora in vzgon. Velja: $ g V =$kg V + 6
π r η v. Iz te enačbe lahko izračunamo viskoznost
η =2($− $k) g r2
9 v, (53)
kjer smo vstavili za prostornino kroglice 4 π r3/3. Če izmerimo
hitrost padanjakroglice v in poznamo obe gostoti ter radij
kroglice, lahko izračunamo viskoznostη.
Koeficient viskoznosti tekočin določiš z merjenjem hitrosti
padanja steklenihkroglic v glicerinu. Izmeri še premer kroglic in
njihovo maso in od tod izračunajgostoto stekla. Gostota glicerina
je podana in je ni treba meriti.
32
-
5 Merjenje gibalne količine, energije in temperature
5.1 Merjenje gibalne količine pri trkih
Če je rezultanta zunanjih sil enaka nič, je sunek sile enak
nič in gibalna količina seohranja. Če sta v sistemu dve telesi z
masama m1 in m2, se pri trku njuna skupnagibalna količina ohranja.
Izrek o ohranitvi skupne gibalnih količin zapišemo kot
m1~v1 + m2~v2 = m1~v′1 + m2~v′2, (54)
pri čemer pomenita ~v1 in ~v2 hitrosti teles pred trkom in ~v′1
in ~v′2 hitrosti teles po
trku.
Postopek merjenja Z roko ali s sprožilcem suni enega od
vozičkov v drugi mi-rujoči voziček, ki je postavljen med
svetlobna vrata tako, da prvi voziček predtrkom že zapusti
svetlobna vrata na svoji strani. (Princip delovanja svetlobnihvrat
je opisan v prvem sklopu vaj.) Pri neprožnem trku se po trku
gibljeta vozičkav smeri gibanja prvega vozička pred trkom. Pri
prožnem trku pa je hitrost prvegavozička po trku odvisna od
razmerja mas vozičkov. Svetlobna vrata izmerijo leabsolutno
vrednost hitrosti, zato moraš njen predznak določiti sam z
opazova-njem gibanja vozička.
Rezultat predstavi kot razliko med končno in začetno
velikostjo skupne gi-balne količine, deljene z velikostjo začetne
gibalne količine.
33
-
5.2 Ohranitev energije pri kotaljenju
V splošnem ima togo telo lahko kinetično in potencialno
energijo. Kinetična energijaje sestavljena iz dveh delov,
translacijske energije 12 m v
2 in rotacijske energije 12 J ω2.
Sprememba gravitacijske potencialne energije telesa je ∆Wp = m g
(z2 − z1), kjerpomeni z2 − z1 višinsko razliko težišča togega
telesa. Če je vsota vseh zunanjihsil enaka nič, se energija
ohranja. To velja tudi, če deluje na sistem le teža. Tedajvelja
izrek o ohranitvi energije
12 m v
22 +
12 J ω
22 + m g z2 =
12 m v
21 +
12 J ω
21 + m g z1. (55)
Indeks 2 se nanaša na končni položaj telesa, indeks 1 pa na
začetni položaj togegatelesa.
Na vrhu klanca telo miruje in ima le potencialno energijo MgzT.
Po klancunavzdol se kotalečemu se telesu manjša potencialna
energija, povečuje pa tran-slacijska kinetična energija težišča
12 M v
2T in rotacijska energija okrog osi skozi
težišče 12 J ω2. Če je delo navora lepenja zanemarljivo
majhno, lahko računamo,
da se ohranja celotna energija teles. Na koncu je potencialna
energija enaka 0 invelja
M g zT = 12 M v2T +
12 Jω
2 . (56)
•
ββzT
r
~vT
.....................................................................................................................................................................................................................................................................................
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..