-
Teoria Sistemelor Automate
1
LABORATOR Nr. 1
I. Indicai pe desen elementele necesare pentru monitorizarea si
controlul temperaturii in sala de clasa cu configuraia din figura
1.
Ventilatie
Ventilatie
GEA
MG
EAM
GEA
M
Aer Conditionat
Usa
Calo
rifer
Calo
rifer
Sursa lumina
Sursa lumina
Sursa lumina
Fig. 1
- identificati sursele de caldura - identificati sursele
perturbatorii
-
Teoria Sistemelor Automate
2
2. Identificati elementele componente ale sistemului de
monitorizare si control - numarul de senzori pentru monitorizare si
pozitionarea lor - elemenetele de control si pozitionarea lor
3. Schitati intercatiunile intre diferitele elementele ale
sistemului de monitorizare si control
II . Indicai pe desen elementele necesare pentru monitorizarea
si controlul nivelului de lichid in rezervorul destinat alimentarii
cu apa a oraului Cluj.
Pompa
Pompa
Pompa
Pompa
Fig. 2
-
Teoria Sistemelor Automate
3
LABORATOR Nr. 2
Conducerea automat a proceselor se bazeaz pe utilizarea relaiei
cauz efect. Intrarea i determina un anume rspuns al procesului,
caracterizat de ieirea e.
Strategii de conducere automat
a) Conducerea n bucl deschis
O bun cunoatere a relaiei intrare-ieire i o siguran a constanei
acesteia n timp, d posibilitatea conducerii procesului n bucl
deschis (fr reacie de la mrimea de ieire).
b) Conducere cu reacie de la mrimea perturbatorie (compensarea
perturbaiei)
Abaterile semnalului de ieire fa de intrarea programatoare se
datoreaz apariiei unor perturbaii n funcionarea procesului. Dac
valoarea mrimii caracteriznd perturbaia poate fi msurat sau
estimat, se poate corecta comanda astfel nct eroarea aferent a
semnalului de ieire s fie minimizat.
AMPLIFICARE CONVERSIE
ELEMENT DE ACTIONARE
SISTEM DE CONDUCERE PROCES
Mrime dereferin
Mrime deexecuie
Mrime deieire
Mrime decomand
i c e
-
Teoria Sistemelor Automate
4
c) Conducerea n bucl nchis cu reacie de la mrimea de ieire
Sistemele n bucl nchis utilizeaz n conducerea procesului o
reacie de la variabila de ieire, a crei valoare este msurat i
comparat cu semnalul programator (de intrare). Rezultatul acestei
comparaii se constituie ca semnal eroare (abatere de reglaj) fiind
prelucrat dup o anumit lege de reglare de ctre un regulator. Se
genereaza semnalul de comand adecvat ctre ansamblul de for-acionare
care intervine n procesul condus.
Semnale
Semnalele sunt mrimi fizice apte de a se propaga ntr-un anumit
mediu i prin intermediul crora se transmit informaii si energie.
ntr-un sistem de conducere automata, legaturile intre elementele
sistemului si legatra cu exteriorul se realizeza prin semnale.
Semnal sinusoidal
(t) = Acos(t0 + ) = Acos(2pit0 + ) A amplitudinea, 0 pulsaia sau
frecvena unghiular, 0 frecvena, - faza
-
Teoria Sistemelor Automate
5
Semnal treapt
a=[2,3,4;5,6,7]
Se obtine o matrice 2 x 3
a =
2 3 4 5 6 7
Dac se atribuie o valoare unui element care ocup o poziie n
afara dimensiunii maxime a matricei sau vectorului definit,
dimensiunea acestuia este mrit automat
-
Teoria Sistemelor Automate
7
pn la valoarea indicelui noului element, iar elementele
nedefinite sunt setate la valoarea zero.
Exemplu Daca introduceci secventa de mai jos:
>> A(3,3)=8
Se obtine o matrice 3x3
A =
0 0 0 0 0 0 0 0 8
MATLAB-ul este un limbaj de expresii. Expresiile tiprite de
utilizator sunt interpretate i utilizate. Instruciunile MATLAB
sunt, de cele mai multe ori de forma:
variabil = expresie
Orice instruciune se termin n mod normal cu Enter. Dac ultimul
caracter al instruciunii este punct-virgul ; , instruciunea este
executat, dar tiprirea rezultatului este suprimat. Dac expresia
este aa de mare nct declaraia nu ncape pe o singur linie, se
utilizeaz semnul ...(trei puncte) urmat de Enter, pentru a preciza
ca instruciunea se continu pe linia urmtoare.
Se definesc urmatoarele matrici particulare: matricea vid A=[ ]
matricea nul de ordin n m : A= zeros(n,m) matricea unitar de ordin
n m : A= ones(n,m) matricea cu diagonal 1, de ordin n n A=
eye(n)
Ordinea operatiilor
Ordinea Operaia 1 parantezele 2 ridicarea la putere 3 nmulirea i
mprirea 4 adunarea i scderea
-
Teoria Sistemelor Automate
8
Operatorii aritmetici MATLAB
Operaia Scalari Matrici Tablouri Adunare + + + Scdere - - -
nmulire * * * mprire la stnga \ \ \ mprire la dreapta / / /
Ridicare la putere ^ ^ ^ Transpunere ' ' '
Operaii aritmetice cu scalari
Operaia Forma algebric Forma MATLAB Adunare a+b a+b Scdere a-b
a-b nmulire axb a*b mprire la dreapta a:b a/b mprire la stnga b:a
a\b Ridicare la putere ab a^b
Exercitiu
Fie: A = [3 4 5;2 4 6], B = [7 8 2;1 4 2], p = 3.
S se calculeze: C = A + B, D = B - A, E = p - A, F = B - p, G =p
+ A H= A*B L= B*A K=A*p L= A2
Verificati daca
2*A+B = 2*B+A
-
Teoria Sistemelor Automate
9
Generarea unor semnale elementare in Matlab
1. Impulsul unitate delta=[1,zeros(1,N)] genereaz un vector
linie ce are primul element 1 i urmtoarele N sunt zerouri;
2. Semnalul treapt unitate u=ones(1,N) genereaz un vector linie
cu N elemente de 1 3. Semnal dreptunghiular d=[ones(1,N),
zeros(1,L)] genereaz un vector linie
cu primele N elemente de 1 i urmtoarele L elemente de 0 4.
Semnal sinusoidal s=sin(2*pi*f*n) genereaz o secven sinusoidal
cu
frecvena discret f, n=-M:L. 5. Semnal sinus atenuat
sc=sinc(2*f*n) genereaz un sinus atenuat cu frecvena f
dup formula: sin(2 ) /(2 )sc f n f n = ,n=-M:L. 6. Semnal
exponenial en ex=exp(n) unde n=-M:L
7. Semnalul exponenial 2-gn
ex1=pow2(-g*(0:L)) unde n=-M:L
8. Semnal exponenial pn ex2=p.^nex3=power(p,n) ex3=power(p,n)
unde n=-M:L
9. Secvena aleatorie uniform
ran=rand(M,N) genereaz o matrice de dimensiune (M N) cu
elementele alese aleator dup o distribuie uniform n intervalul [0
,1]
10. Secvena aleatorie gaussian
ran=randn(M,N) genereaz o matrice de dimensiune (M N) cu
elementele alese aleator dup o distribuie normal cu medie 0 i
dispersie 1
-
Teoria Sistemelor Automate
10
Simulink
>> simulink
-
Teoria Sistemelor Automate
11
Laboratorul Nr.3
1. Declararea unei variabile Vectorul t reprezinta valori ale
timpului intre 0 si 1 secunda cu pas de milisecunda. t =
0:1e-3:1;
t = 0:1e-3:1
Utiliznd comanda linspace putei genera un vector cu 1000 de
valori cuprinse intre 0 si 1. t = linspace(0,1,1e3); t =
linspace(0,1,1e3)
exemplu 1.
t1 = [0 .1 .2 .3];
t2 = 0:0.1:0.3; t3 = linspace(0, 0.3, 4); T = [t1' t2' t3'];
X = sin(T); Pentru afisarea valorii functiei X sunt disponibile
doua posibilitati : X = sin(T)
Plot(x) 2. Generarea unui semnal sinus
Sinus normal (defazaj zero) Fs = 100; N = 1000; stoptime = 9.99;
t1 = (0:N-1)/Fs;
t2 = 0:1/Fs:stoptime; x1 = sin(2*pi*2*t1);
x2 = sin(2*pi*3*t2); plot(x1)
figure, plot(x2)
-
Teoria Sistemelor Automate
12
Sinus defazat t = linspace(0,1,1001); A = 5; f = 2; p = pi/8;
sinewave = A*sin(2*pi*f*t + p); plot(t, sinewave)
A B
Figura 1 Exerciiu 1.
Ce parametru trebuie variat si ce valoare trebuie sa ia pentru a
obine sinusul din figura 1B ? 3. Generarea unui semnal de tip
zgomot s = 1000; ts = 0:1/fs:2;
f = 250 + 240*sin(2*pi*ts); x = sin(2*pi*f.*ts);
strips(x,0.25,fs) sound(x,fs)
plot(ts,x) plot(ts(1:200),x(1:200))
-
Teoria Sistemelor Automate
13
4. Esantionarea unui semnal
Esantionare simpla a unui semnal
t = 0:0.001:2;
xa = sin(2*pi*5*t); plot(t,xa)
hold on fs = 15; ts = 0:1/fs:2; xs1 = sin(2*pi*5*ts);
plot(ts,xs1,'ro-') Esantionare dubla
t = 0:0.00025:1; x = sin(2*pi*30*t) + sin(2*pi*60*t); y =
decimate(x,4);
subplot(211), stem(x(1:120)) axis([0 120 -2 2])
title('Original') subplot(212), stem(y(1:30))
title('Esantionat')
5. Modalitati de vizualizare a semnalelor Utilizand secventa de
mai jos generati 3 grafice diferite cu acelasi valori.
t = [0.1 0.2 0.3 0.4]; x = [1.0 8.0 4.5 9.7]; plot(t,x) figure,
stem(t,x) figure, stairs(t,x)
6. Generarea semnalelor test
Treapta
fs = 10; ts = [0:1/fs:5 5:1/fs:10]; x = [zeros(1,51)
ones(1,51)]; stairs(ts,x)
-
Teoria Sistemelor Automate
14
Impuls
fs = 10; w = 0.1; ts = [-1:1/fs:-w 0 w:1/fs:1]; x = [zeros(1,10)
1 zeros(1,10)]; plot(ts,x)
Rampa
t = linspace(0,1,11) y = 2*t; plot(y)
-
Teoria Sistemelor Automate
15
Laboratorul Nr.4 MODELAREA MATEMATICA A SISTEMELOR
Ex. 1
Rui u0
C
ii
Exemplul 1 Circuitul rezisten/condensator
ui tensiunea de intrare
uo tensiunea de iesire
R rezistenta electrica
C capacitatea condensatorului
Curentul i care trece prin rezistenta (Legea lui Ohm):
Curentul i care trece prin condensator:
Ruu
Rui oi ==
dtduC
dtuCd
dtdQi oo === )(
Se elimina variabila intermediara i
dtduC
Ruu ooi
=
ioo u
Ru
RdtduC 11 =+
sau
sau
ioo uu
dtduRC =+ Ecuatia diferentiala a circuitului
rezistenta - condensator
Aplicam transformata Laplace asupra ecuatiei diferentiale
)()()( sUsUssURC ioo =+ de unde
11
)()()(
+==
sRCsUsU
sHi
oFunctia de transfer a circuitului
rezistenta - condensator
Problema 1
Utilizai funciile Matlab si Simulink pentru a determina valorile
numerice ale rezistentei R si a condensatorului C astfel nct
circuitul sa aib urmtoarele tipuri de rspuns: oscilant ntreinut,
oscilant amortizat, amortizat si amortizat critic pentru semnalele
de tip : impulse, dimpulse, step, dstep, (in Simulink suplimentar
folosii si semnalul rampa). In Simulink reprezentai toate semnalele
pe acelai grafic.
-
Teoria Sistemelor Automate
16
Laborator Nr. 5
Pentru obtinerea modelului matematic se parcurg, n principiu,
urmatoarele etape:
a -Se descompune sistemul dinamic n componente de baza si se
echivaleaza aceste componente cu elemente dinamice pure (daca este
posibil, liniare);
b - Se scriu relatiile caracteristice ale fiecaruia din aceste
elemente;
c - Se liniarizeaza aceste relatii (daca este posibil);
d - Se determina relatiile de interconexiune ntre elementele
dinamice componente;
e - Prin eliminarea variabilelor intermediare se determina
ecuatia diferentiala a sistemului global.
Forma generala a unui sistem exprimata prin ecuatii
diferentiale
n cazul in care toate ecuatiile componente ale modelului
matematic sunt liniare, forma diferentiala liniara generala a unui
sistem este:
Aplicnd operatorul Laplace ecuaiei nr.2 se obine
Acest operator este utilizat datorit proprietii lui de a
transforma o ecuaie diferenial liniar ntr-una polinomial:
Ecuaia 3 devine
0)(,)(,...,)(,)(),(,)(,...,)(,)( 11
1
1
=
txdt
tdxdt
txddt
txdty
dttdy
dttyd
dttydf
m
m
m
m
n
n
n
n
x y
(1)
)()(...)()()()(...)()( 0111
1011
1
1 txbdttdxb
dttxdb
dttxdbtya
dttdy
adt
tyda
dttyd
am
m
mm
m
mn
n
nn
n
n ++++=++++
(2)
=+++
=+++
)]([...])([])([
)]([...])([])([
01
1
1
01
1
1
txLbdt
txdLbdt
txdLb
tyLadt
tydLadt
tydLa
m
m
mm
m
n
n
n
nn
n
n (3)
[ ] )()()()()( sYssFtfLdt
tydtf n
n
n
=== (4)
)(...)()()(...)()( 011011 sXbsXsbsXsbsYasYsasYsa mmmmnnnn
+++=+++ (5)
-
Teoria Sistemelor Automate
17
Se definete funcia de transfer ca fiind raportul ntre
transformata Laplace a semnalului de ieire i respectiv de intrare,
considernd condiiile iniiale nule:
Exemplu de calcul al funciei de transfer
Sistem Masa-Arc-Amortizor
x
y
CmMasArc, k
Amortizor
y
Fk=k(x-y) Fc=C dydtm
x deplasare marimea de intrare y deplasare marimea de iesire m
masa k constanta arcului c constanta amortizorului
Forele care acioneaz asupra corpului sunt:
- Fora din comprimarea arcului cu (x -y):
- Fora de amortizare dat de frecarea vscoas va fi proporional cu
viteza:
Aplicam a doua lege a lui Newton:
nlocuind in relaia 10 expresiile forelor Fk si Fc din relaiile 7
si 8
Separnd temenii x si y din relaia 11 :
01
1
01
1
...
...
)()()(
asasa
bsbsbsXsY
sHn
n
n
n
m
m
m
m
+++
+++==
(6)
))()(( tytxkFk =
dttdy
cvcFc)(
==
amF =
(7)
(8)
(9)
amFF ck = (10)
2
2 )()())()((dt
tydm
dttdy
ctytxk = (11)
)()()()(22
txktykdt
tdyc
dttyd
m =++(12)
-
Teoria Sistemelor Automate
18
Relatia 12 reprezint ecuaia difereniala a sistemului masa arc -
amortizor
Aplicam transformata Laplace (4) asupra ecuatiei diferentiale
:
Functia de transfer a sistemului masa arc - amortizor
Exercitiu 1.
Se consider un model simplificat al suspensiei roii unui
automobil, unde : m=1/4 din masa automobilului, ke constanta de
elasticitate a arcului, kv - coeficient de frecare vscoas a
amortizorului; x - variaia nivelului(calea de rulare) oselei,
mrimea de intrare a sistemului; y - deplasarea corpului
automobilului, constituind mrimea de ieire a sistemului.
1. Calculati functia de transfer H(s) 2. Utlizand semnalele
standart pentru testarea sistemelor automate indicati o
pereche de valori (m, ke , kv) pentru care sistemul are un
raspuns: a. oscilant amortizat, b. strict amortizat
)()()()(2 sXksYksYscsYsm =++
kscsmk
sXsY
sH++
== 2)()()(
(13)
(14)
-
Teoria Sistemelor Automate
19
Laborator Nr. 6
Pentru obtinerea modelului matematic se parcurg, n principiu,
urmatoarele etape:
a -Se descompune sistemul dinamic n componente de baza si se
echivaleaza aceste componente cu elemente dinamice pure (daca este
posibil, liniare);
b - Se scriu relatiile caracteristice ale fiecaruia din aceste
elemente;
c - Se liniarizeaza aceste relatii (daca este posibil);
d - Se determina relatiile de interconexiune ntre elementele
dinamice componente;
e - Prin eliminarea variabilelor intermediare se determina
ecuatia diferentiala a sistemului global.
Forma generala a unui sistem exprimata prin ecuatii
diferentiale
n cazul in care toate ecuatiile componente ale modelului
matematic sunt liniare, forma diferentiala liniara generala a unui
sistem este:
Aplicnd operatorul Laplace ecuaiei nr.2 se obine
Acest operator este utilizat datorit proprietii lui de a
transforma o ecuaie diferenial liniar ntr-una polinomial:
Ecuaia 3 devine
0)(,)(,...,)(,)(),(,)(,...,)(,)( 11
1
1
=
txdt
tdxdt
txddt
txdty
dttdy
dttyd
dttydf
m
m
m
m
n
n
n
n
x y
(1)
)()(...)()()()(...)()( 0111
1011
1
1 txbdttdxb
dttxdb
dttxdbtya
dttdy
adt
tyda
dttyd
am
m
mm
m
mn
n
nn
n
n ++++=++++
(2)
=+++
=+++
)]([...])([])([
)]([...])([])([
01
1
1
01
1
1
txLbdt
txdLbdt
txdLb
tyLadt
tydLadt
tydLa
m
m
mm
m
n
n
n
nn
n
n (3)
[ ] )()()()()( sYssFtfLdt
tydtf n
n
n
=== (4)
)(...)()()(...)()( 011011 sXbsXsbsXsbsYasYsasYsa mmmmnnnn
+++=+++ (5)
-
Teoria Sistemelor Automate
20
Se definete funcia de transfer ca fiind raportul ntre
transformata Laplace a semnalului de ieire i respectiv de intrare,
considernd condiiile iniiale nule:
Exemplu de calcul al funciei de transfer
Sistem Masa-Arc-Amortizor
x
y
CmMasArc, k
Amortizor
y
Fk=k(x-y) Fc=C dydtm
x deplasare marimea de intrare y deplasare marimea de iesire m
masa k constanta arcului c constanta amortizorului
Forele care acioneaz asupra corpului sunt:
- Fora din comprimarea arcului cu (x -y):
- Fora de amortizare dat de frecarea vscoas va fi proporional cu
viteza:
Aplicam a doua lege a lui Newton:
nlocuind in relaia 10 expresiile forelor Fk si Fc din relaiile 7
si 8
Separnd temenii x si y din relaia 11 :
01
1
01
1
...
...
)()()(
asasa
bsbsbsXsY
sHn
n
n
n
m
m
m
m
+++
+++==
(6)
))()(( tytxkFk =
dttdy
cvcFc)(
==
amF =
(7)
(8)
(9)
amFF ck = (10)
2
2 )()())()((dt
tydm
dttdy
ctytxk = (11)
)()()()(22
txktykdt
tdyc
dttyd
m =++(12)
-
Teoria Sistemelor Automate
21
Relatia 12 reprezint ecuaia difereniala a sistemului masa arc -
amortizor
Aplicam transformata Laplace (4) asupra ecuatiei diferentiale
:
Functia de transfer a sistemului masa arc - amortizor
Exercitiu 1.
Se consider un model simplificat al suspensiei roii unui
automobil, unde : m=1/4 din masa automobilului, ke constanta de
elasticitate a arcului, kv - coeficient de frecare vscoas a
amortizorului; x - variaia nivelului(calea de rulare) oselei,
mrimea de intrare a sistemului; y - deplasarea corpului
automobilului, constituind mrimea de ieire a sistemului.
H(s) = ?
Conform legii a doua a dinamicii, se obine:
)()()()(2 sXksYksYscsYsm =++
kscsmk
sXsY
sH++
== 2)()()(
(13)
(14)
-
Teoria Sistemelor Automate
22
Ecuaiile (3), (4) i (5) reprezint modelul matematic ataat.
Privind structura mecanic sub forma unui obiect abstract orientat,
vom avea ca mrime de intrare u(t) variaia nivelului oselei (adic x)
i ca mrime de ieire y(t) deplasarea corpului de mas m (adic y) Vom
avea :
Ultima ecuaie scris mai sus, devine:
Aceast relaie reprezint ecuaia diferenial intrare ieire ataat
obiectului orientat. Aplicnd transformata Laplace n condiii iniiale
nule:
Expresia de calcul a funciei de transfer este:
Deci, pentru sistemul nostru, funcia de transfer va fi:
Programul n MATLAB va fi: kv=input('kv=') ke=input('ke=')
m=input('m=') num =[kv ke]; %se definete numrtorul funciei de
transfer den = [m kv ke]; %se definete numitorul funciei de
transfer t=0:.1:100; y= step(num,den,t); %se calculeaz rspunsul
sistemului, la intrare treapt plot(t,y) %se traseaz grafic acest
rspuns
-
Teoria Sistemelor Automate
23
Laborator Nr.8
Funcia de transfer a unui sistem complex poate fi dedus utiliznd
algebra schemelor bloc:
u2
u
H2
H1y
y
u1 H1
H2
+
H1 H2y
+
+
u
Paralel Serie Reactie negativa
)()()( 21 sHsHsW += )()()( 21 sHsHsW = )()(1)()(
21
1
sHsHsH
sW+
=
)()(1)()(
sHsGsG
sH
=
Exemplu 1
Sistemul este cu reacie negativ, cu funcia de transfer H(s) = 4
; Funcia de transfer pentru calea direct este H(s) = 2/ s+4 Se
utilizeaza relatia 4.
Reactie pozitiva
-
Teoria Sistemelor Automate
24
Se consider sistemele ale cror diagram bloc sunt prezentate n
figura de mai jos Se cere s se determine funcia de transfer.
-
Teoria Sistemelor Automate
25
Laboratorul Nr. 9 Conversia Analog Digitala
Semnalele digitale reprezint fiecare cifr a numrului care exprim
valoarea msurandului pe baza unui cod.
Reprezentarea digitala se bazeaza pe sistemul de numeraie binar
(utiliznd cifrele 0 i 1) propriu sistemelor electronice de
procesare
Semnalul digital nu poate reprezenta exact o mrime care variaz
continuu ci numai anumite valori discrete ale acesteia.
Rezoluia cu care este reprezentata un semnal se poate calcula cu
formula de mai jos: n
xxR2
minmax =
unde: xmax-xmin = DM (domeniul de valori al semnalului) n =
numrul de bii pe care este realizat conversia
Exemplu nr.1
Exercitii
0
5
10
[V]
0
1
0 0
0 1
1 0
1 1 1 1 11 1 0
0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 1
21 20 22 21 20
Rezolutia
20
2310 = 1.25 V 2
110 = 5 V 2210 = 2,5 V
a b c
[V]
0
5
10
[V]
7,5
2,5
0
5
10 7,5
2,5
1 bit 2 biti 3 biti
-
Teoria Sistemelor Automate
26
1. De ci bii este nevoie pentru a reprezenta grafic un semnal
sinus cu o precizie de 0.1 uniti.
2. Semnalul din figura de mai jos trebuie reprezentat cu o
precizie de 0.0600 uniti. Se poate obine precizia dorita? De ci bii
este nevoie?
3. Cu un aparat de msura a crui convertor analog-digital are 8
bii se msoar semnale sinusoidale. Indicai amplitudinea maxima a
semnalelor sinusoidale care pot fi msurate cu o precizie de 0.0312
uniti
4. Ce se ntmpla cu precizia unui semnal daca se pstreaz numrul
de bii si se dubleaz domeniul de valori al semnalului.
5. Care din urmtoarele semnale sunt reprezentate mai precis : a.
semnal cu domeniu maxim 4 unitati reprezentta pe 4 biti b. semnal
cu domeniu maxim 8 unitati reprezentta pe 6 biti
Realizai in Simulink urmtoare scheme:
Setai parametrii pana ce obinei graficele de mai sus. Care este
diferena intre cele doua scheme.