Labeled Trees and Relations on Generating Functions

LABELED TREES AND RELATIONS ON GENERATING FUNCTIONS

M . P . DELEST, J . M . FEDOU

B o r d e a u x I U n i v e r s i t y

LABRI ÷

L a b o r a t o r y o f C o m p u t e r S c i e n c e

A b s t r a c t . I n t h i s p a p e r , we g i v e a c o m b i n a t o r i a l

i n t e r p r e t a t i o n f o r a p r o p e r t y on g e n e r a t i n g f u n c t i o n s g i v e d

by R. S t a n l e y . Our p r o o f i s b a s e d u p o n t h e s t u d y o f s p e c i a l

k i n d o f l a b e l e d t r e e s a n d f o r e s t s .

R~sum6. Nous d o n n o n s i c i une i n t e r p r e t a t i o n c o m b i n a t o i r e

d ' u n e p r o p r i ~ t ~ d e s f o n c t i o n s g ~ n 6 r a t r i c e s c i r c e p a r R.

S t a n l e y . N o t r e p r e u v e u t i l i s e une c l a s s e p a r t i c u l i e r e

d ' a r b r e s e t de f o r S t s ~ t i q u e t t # e s .

INTRODUCTION

T r e e s a r e p r e s e n t s i n m a n y s u b j e c t s o f t h e o r i c a l c o m p u t e r

s c i e n c e . T h e r e a r e t h e n a t u r a l r e p r e s e n t a t i o n o f a l o t o f o b j e c t s

s u c h a s p r o g r a m s , a r i t h m e t i c e x p r e s s i o n s , w o r d s o r a l g e b r a i c

e x p r e s s i o n s i n l a n g u a g e t h e o r y .

T h e s t r u c t u r e o f t r e e i s v e r y e f f i c i e n t i n t h e s t u d y o f

c o m p l e x i t y o f a l g o r i t h m b e c a u s e t h e y c o n s t i t u t e a d y n a m i c d a t a

s t r u c t u r e w h i c h a l l o w s t o o r g a n i z e i n f o r m a t i o n s a n d t o m e a s u r e

p r e c i s e l y t h e c o m p l e x i t y o f a l g o r i t h m ( s e e f o r e x a m p l e

[ 4 ] [ 6 ] [ 1 1 ] ) . T r e e s a r e a l s o p r e s e n t i n o t h e r f i e l d s a s s h o w n i n

t h e p a p e r o f V i e n n o t [ 1 4 ] .

I n s o m e p u r e l y c o m b i n a t o r i c s s u b j e c t s , t h e y a r e t h e n i c e

o b j e c t s f o r u n d e r s t a n d i n g f o r m u l a s . F o r e x a m p l e l a b e l e d t r e e s , a s

d e f i n e d i n [ 2 ] , a r e u s e f u l l i n m a n y s u b j e c t s , s e e f o r i n s t a n c e

C o r i a n d V a u q u e l i n [ 3 ] f o r t h e c o n s t r u c t i o n o f a b i j e c t i o n

b e t w e e n p l a n a r g r a p h s a n d w e l l l a b e l e d t r e e s , o r Moon [ 9 ] f o r

i d e n t i t i e s o n l a b e l l e d f o r e s t s . M o r e o v e r , t h e b i j e c t i o n s a r e t h e

b a s i s o f n e w t h e o r i e s i n c o m b i n a t o r i c s ( s e e f o r e x a m p l e [ 7 ] , [ 1 3 ] ) a n d t r e e s a r e v e r y s t u d i e d i n t h i s c o n t e x t .

I n t h i s p a p e r , we i n t r o d u c e a s p e c i a l k i n d o f s e t o f

l a b e l e d t r e e s , t h e k - s h a p e d f o r e s t s , i n o r d e r t o g i v e a b i j e c t i v e

p r o o f a n d a g e n e r a l i z a t i o n o f a r e s u l t a b o u t g e n e r a t i n g f u n c t i o n s

÷ U n i t 6 d e R e c h e r c h e A s s o c i 6 e a u C e n t r e N a t i o n a l d e l a R e c h e r c h e

S c i e n t i f i q u e n ° ~ 2 6 .

P o s t M a i l : 3 5 1 C o u r s d e l a L i b e r a t i o n , 3 3 4 0 5 TALENCE C e d e x , FRANCE.

E l e c t r o n i c M a i l : m a y l i s ~ g e o c u b . g r e c o - p r o g . f r

T h i s w o r k w a s s u p p o r t e d b y t h e "PRC d e M a t h ~ m a t i q u e s e t I n f o r m a t i q u e ' .

194

g i v e n b y R. S t a n l e y i n [ 1 0 ] ( s e e p r o p o s i t i o n 19 a t t h e e n d o f

t h i s p a p e r ) . I n f a c t , we s t u d y t h e g e n e r a t i n g f u n c t i o n s

F~(X) = ~ Nk(n) X n, where ~ ) o

Nk(n ) = ~(f~+fn+...+fn )(fn+f.+...+fn )...(fn+fn+...+fn ). 1 2 k 2 3 k ÷ l S $ + | s + k - 1

R. S t a n l e y g i v e s t h e r e s u l t f o r k=2 a n d 3 , t h e p r o o f o n l y f o r

k = 2 , s a y i n g t h a t t h e f o r m u l a f o r k=3 a p p e a r s a f t e r a n e n o r m o u s

a m o u n t o f c a n c e l a t i o n a n d t e d i o u s c o m p u t a t i o n . M o r e o v e r h e s a y s

t h a t h e d o e s n o t k n o w n a s i m p l e r a l t e r n a t i v e m e t h o d . We g i v e i t

i n p a r a g r a p h 3 a n d i n s o m e w a y we g e n e r a l i z e h i s r e s u l t .

A f t e r s o m e d e f i n i t i o n s a n d n o t a t i o n s , i n s e c t i o n 2 a n d 3 ,

we b r i n g b a c k t h e p r o b l e m o f t h e d e t e r m i n a t i o n o f F ~ ( X ) t o t h e

e n u m e r a t i o n o f k - s h a p e d f o r e s t s a c c o r d i n g t o t h e n u m b e r o f s o n s

o f e a c h v e r t e x .

T h i s p r o b l e m o f e n u m e r a t i o n i s t h e n s o l v e d , i n s e c t i o n 4 ,

i n t h e p a r t i c u l a r c a s e s w h e r e k = 2 , 3 a n d 4 . We s o l v e a l i n e a r

s y s t e m o f e q u a t i o n s o b t a i n e d b y t h e m e a n o f t h e k - s h a p e d f o r e s t s .

T h e r e a d e r s a r e r e f e r e d t o [ 4 ] [ 5 ] [ 1 4 ] f o r e x a m p l e s o f s i m i l a r

m e t h o d s .

1. D E F I N I T I O N S AND NOTATIONS

A r o o t e d t r e e i s a c o n n e c t e d g r a p h G w i t h o u t c y c l e [ 1 ]

w i t h a d i s t i n g u i s h e d v e r t e x r c a l l e d r o o t . I f ( f , s ) b e l o n g s t o G,

f ( r e s p . s ) i s c a l l e d f a t h e r ( r e s p . s o n ) o f s ( r e s p . f ) . H e r e , we

w i l l c o n s i d e r t r e e s w h i c h h a v e s o m e t i m e s a l o o p o n t h e r o o t . A

s e t o f t r e e s i s c a l l e d a f o r e s t A / a b e / e d t r e e i s a t r e e w i t h

a n i n t e g e r , c a l l e d l a b e l , a s s o c i a t e d t o e a c h v e r t e x . The e n t e r i n g

d e g r e e d e g ( i ) o f a v e r t e x l a b e l l e d i i s t h e n u m b e r o f s o n s o f

t h i s v e r t e x . T h e d i f f e r e n c e d e g r e e ~ ( i ) o f a v e r t e x l a b e l e d i i s

t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e l a b e l o f t h e f a t h e r o f t h i s v e r t e x a n d

i . T h e d i f f e r e n c e d e g r e e o f a l o o p i s e q u a l t o 0 . I t i s e a s y t o

g e n e r a l i z e t h e s e d e f i n i t i o n s t o t h e f o r e s t s . We n o t e ~ t h e e m p t y

f o r e s t .

L e t K b e a n h a l f r i n g a n d Y b e { Y l , Y2 , ' ' ' , y k } . We

d e n o t e b y K[Y] t h e r i n g o f t h e f o r m a l p o w e r s e r i e s o v e r Y w i t h

c o e f f i c i e n t s i n K. L e t f ( x ) = ~ , ~ o f n x " a n d g ( x ) = ~ , ~ o g , x " b e two

f o r m a l p o w e r s e r i e s f r o m K [ { x } ] , t h e p r o d u c t o f H a d a m a r d o f f a n d

g i s d e f i n e d b y

f ~ g ( x ) = ~ o f n g . x " "

G e n e r a l y s p e a k i n g , we w i l l d e n o t e b y ( ~ f ) P t h e p r o d u c t o f

H a d a m a r d p t i m e s o f t h e s e r i e f t h a t i s ( ~ f ) P = ~ n ~ c f , pxR" By

c o n v e n t i o n , we n o t e

A = ( ~ f ) o = ~ > I x ~ = x / ( l - X ) .

We c a l l p a r a m e t e r a n a p p l i c a t i o n f r o m ~ i n t o ~ . T h e t w o d e g r e e s

d e g a n d 6 a r e p a r a m e t e r s .

195

Q 3 7 / /

1 6

/ \ 4 5

/ 2

F i g u r e 1 . A f o r e s t o f ~ 3 , 8 "

2 . K-SHAPED FORESTS

We i n t r o d u c e a s p e c i a l k i n d o f l a b e l e d f o r e s t , i n o r d e r

t o " e x p l a i n " p r o d u c t s s u c h a s ( y l + . . . + y k ) . . . ( y ~ + . . . ÷ y , , ~ _ l ) .

D e f i n i t i o n 1 . L e t ~ be a f o r e s t h a v i n g t v e r t i c e s [ a b e ~ e d f r o m 1

t o t . T h e f o r e s t ~ i s k - ~ a b e ~ e d w h e n , f o r e u e r y i i n [ 1 . . t ]

0 ~ ~ ( i ) < k .

D e f i n i t i o n 2 . A k - C a b e ~ e d f o r e s t ~ i s s a i d k - s h a p e d i f ~ h a s

s + k - 1 v e r t i c e s w i t h s~O s u c h t h a t

i ) e v e r y r o o t i n ~ ~ a b e L e d w i t h 1 i n [ 1 . . s ] h a s a C o o p ,

i i ) t h e k - 1 ~ a s t v e r t i c e s ~ a b e ~ e d f r o m s + l t o s + k - 1 a r e

r o o t s w i t h o u t C o o p ,

N o t a t i o n s .

~ . ~ i s t h e s e t o f k - s h a p e d f o r e s t s h a v i n g s + k - 1

v e r t i c e s .

~ k . 0 i s t h e u n i q u e f o r e s t m a d e w i t h k - 1 i s o l a t e d

v e r t i c e s , we d e n o t e i t b y e .

~K i s t h e s e t o f k - s h a p e d f o r e s t s .

See f o r e x a m p l e t h e f i g u r e 12 t h e f o r e s t ~ b e l o n g s t o ~ 3 , e *

R e m a r k S . L e t ~ b e i n ~ k , s , we o b t a i n k f o r e s t s i n ~ k , s , l b y t h e

m e a n o f t h e f o l l o w i n g a l g o r i t h m :

b e g i n

f o r e v e r y v e r t e x i n ~ do l a b e l ( v e r t e x ) : = l a b e l ( v e r t e x ) + 1 ;

L e t 1 be t h e new v e r t e x ; t h e n 1 i s

( i ) e i t h e r a l o o p ,

( L L ) e i t h e r a s o n o f o n e o f t h e v e r t i c e s n u m b e r e d 2 t o k . e n d

T h u s , t h e n u m b e r o f k - s h a p e d f o r e s t s h a v i n g n + k - 1 v e r t i c e s i s k " .

196

2 ; 2 3 ; 3

/ / 1 2

/ 1

© o 1 5 6 ; 2 6

/ / 4 5

/ \ / \ 2 3 3 4

/ 1

1

7

; 4

/ 3

/ \ 2

5 ;

© ; 3 7 8 ;

/ / 1 6

/ \ 4 5

/ 2

F i g u r e 2 . An e x a m p l e o f t h e a l g o r i t h m o f r e m a r k 3

T h e f i g u r e 2 s h o w s t h e c o n s t r u c t i o n o f t h e f o r e s t o f f i g u r e 1

u s i n g t h i s a l g o r i t h m . I n t h i s e x a m p l e , we h a v e k = 3 .

R e m a r k 4. L e t P be t h e p r o d u c t

(YI+Y=+Y3)(Y2+Y~+Y4)(Y~+Y4+Y~)(Y4+Ys+Y6)(Y~+Y6+Y~)(Y6+Y~+Ys).

I n s o m e w a y , we c a n s a y t h a t t h e f o r e s t o f f i g u r e 1 " r e p r e s e n t s "

t h e t e r m y 3 2 y 4 y ~ y ~ i n t h e d e v e l o p m e n t o f P . I n f a c t , on t h i s

f o r e s t e v e r y r e l a t i o n " j i s f a t h e r o f i " m e a n s "we c h o o s e y j i n

t h e i t h f a c t o r ( y l + y i + z ÷ y i + 2 ) " .

L e t p b e a p a r a m e t e r .

D e f i n i t i o n 5 . T h e w e i g h t a c c o r d i n g t o p o f a f o r e s t ~ f r o m ~ , ~

£s t h e m o n o m i a ~ d e f i n e d b y

'11 g p ( ~ ) ( Y l , ' ' ' ' Y ~ + k - 1 ) = Yi

F o r e x a m p l e , i f A i s t h e f o r e s t o f f i g u r e l j t h e w e i g h t s

a c c o r d i n g t o t h e p a r a m e t e r s e n t e r i n g d e g r e e a n d d i f f e r e n c e d e g r e e

a r e r e p e e t i v e l y

~ d e ~ ( ~ ) = Y 3 2 Y 4 Y 6 ~ Y ~ , and

E 6 ( ~ ) = y 1 2 y 2 ~ y 4 ~ y ~ y s .

197

N o t a t i o n . F o r e v e r y f o r e s t ~ f r o m Y k , ~ , l e t ~ b e t h e map f r o m ~

i n t o ~ [ Y ] d e f i n e d b y

s + k - 1

i = l

D e f i n e t h e f o r m a l p o w e r s e r i e ¢ ( Y k ) o f 2 [ Y ] b y

T ~ ( ~ ) .

¢ ( R k) i s t h e g e n e r a t i n g f u n c t i o n o f t h e k - s h a p e d f o r e s t ~ c c o r d i a g

t o t h e n u m b e r o f s o n s o f t h e v e r t i c e s t h a t i s

~ ( Y k ) = n i . . . i Y o ° ' ' - Y k k • 0 k

ioj...~ik_ I

w h e r e n I . . . ~ i s t h e n u m b e r o f k - s h a p e d f o r e s t s s u c h t h a t , 0 k

f o r e a c h j i n [ O . . k ] , t h e r e i s i v e r t i c e s w h i c h h a v e j s o n s . J

D e f i n i t i o n 6. L e t f ( x ) = ~n> l f . x ~ be a f o r m a ~ p o w e r s e r i e o f

K [ x ] a n d ~ b e a n e ~ e m e n t o f ~,s" We d e n o t e b y A r t h e m a p f r o m ~ k

into 2 [ x ] d e f i n e d b y

A t ( ~ ) = ~ T ( . f ) a ~ g ( i ) l ~ i ~ s + k - 1

Proper ty 7. A t a n d ~eee a r e m o r p h i s m s o v e r t h e f o r e s t s .

We o b t a i n A t ( ~ ) s u b s t i t u t i n g f o r m a l l y t o e a c h Yi t h e

v a l u e ( z f ) i n H d ~ z ( ~ ) o r t h e v a l u e ( . f ) i i n ~ ( ~ ) . M o r e o v e r , l e t

( u , ~ ' } b e a f o r e s t w h e r e u i s a t r e e a n d ~" a f o r e s t , a p p l y i n g

t h e p r e v i o u s d e f i n i t i o n s t o t h e l a b e l e d t r e e s g i v e s t h e f o l l o w i n g

e q u a l i t i e s w h i c h p r o v e t h e p r o p e r t y 7

Af({u,~')) -- Af(u) Ar(~') and

11~((u,~}) = IIde~(u) IId.~(~' ).

Examples: In ~k, we have Af(~)=A k-1 If ~ is the forest of figure

I, we have Af(~) = A4f~(zf) 2 and ~(~) = Yo4Yz2Y2 2

198

D e f i n i t i o n 8. L e t ~1 and ~2 be two f o r e s t s f r o m Y k , ~ " The f o r e s t s

~ and ~ a r e e q u i v a t e n t s w h e n , ~ f

n n

1 s÷k-i

t h e n t h e r e e x i s t s a p e r m u t a t i o n a o f [ 1 . . s + k - 1 ] s u c h t h a t

n

o(1) a(s+k-l)

The p r o p e r t y 7 g i v e s i m m e d i a t l y t h e following p r o p o s i t i o n .

P r o p o s i t i o n 9. L e t ~1 and ~ be two e q u i y a l e n t f o r e s t s f r o m ~ x , s "

We h a v e t h e f o t L o w ~ n g p r o p e r t i e s

( i ) ~ ( ~ ) = ~ ( ~ 2 ) , ( i i ) i f f E K [ x ] , A t ( ~ l ) = A t ( ~ 2 ) .

3 . I N T E R P R E T A T I O N OF F k I N TERM OF k - S H A P E D F O R E S T S

I n t h i s p a r a g r a p h , we g i v e an e x p r e s s i o n f o r F k ( X ) u s i n g

~k t h a t i s

T h e o r e m 10 . The f u n c t i o n F k ( x ) i s d e d u c e d f r o m t h e e n u m e r a t i n g

f u n c t i o n ~ ( ~ k ) o f t h e k - s h a p e d f o r e s t s s u b s t i t u t i n g f o r m a / y e a c h

Yi by ( * f ) ~

F i r s t , we g i v e some p r e c i s i o n a b o u t F k, D e f i n e , f o r e v e r y

i n t e g e r s k , s and n

N~.s(n)= E C f n + f . + . . . + f . )(f,+f,+...+f, 1 2 R 2 3 k + 1

w h e r e t h e sum is t a k e n o v e r a l l

n : n l + n ~ + . . . n s + ~ _ 1 w i t h n i ~ l and

) . . . ( f . + f . + . . . + f . ) , S S + I S + k - I

o r d e r e d p a r t i t i o n s o f

F~,s(x) : ~n~IN~,s(n) x"

N o t e t h a t we h a v e

and a l s o

w h e r e t h e

Nk(n) = ~s~O Nk, sCn), Fk(x> = ~s~o F k , s '

F k , s ( X ) = ~ Pk ( f r " ' f p )x~ 1 s ÷ k - I

sum i s o v e r a l l o r d e r e d p a r t i t i o n s o f n w i t h n i ~ l .

L e t P k , s ( Y l , ' ' ' , Y s , k - 1 ) be t h e p o l y n o m i a l o f Z [Y] e q u a l t o 1 i f s=O and o t h e r w i s e g i v e n by

Pk, s ~ Y I , . . o , Y s + k _ ~ ) = (Yl" I ' . - oYk) (Y2+. o . + Y k + x ) . . . ( Y s + . . . + Y s + k - 1 ~ •

199

I n o r d e r t o p r o v e t h e t h e o r e m 10 we p r o v e t h e f o l l o w i n g

Lemma 11, V--" P~,s (Yl''''Ys+k-1) = ~__ Kdeg(~)(YI'Ys' .... Ys+~-1)'

~E~k,s

If s=O, the result is immediate. Otherwise, an induction

t h a t k

Pk,~(YI,''',Y~+k-I) : ~ _ YiP~,s-~(Ys,''',Y~÷k-1)

i=l

k

¢ )__

shows

~ _ YtKdeg ( ~ ' ) ( Y 2 ' ' ' ' ' Y s + k - 1 ) '

Using the algorithm of

~k,5 comes from a forest ~" of ~k,s-1- If the vertex labeled 1 is

a l o o p i n ~ ,

Hdea(~)(Yl,...,Ys+k-1)=YlHde~(~') (Y2,...,Ys+k_I).

E l s e , t h e v e r t e x l a b e l e d 1 i s a s o n o f a v e r t e x i i n [ 2 . . k S and

H d e ~ ( ~ ) ( Y l , . . . , Y s ÷ k _ l ) = Y i H ~ e g ( ~ ' ) ( Y ~ , . . . , Y s , k _ l ) -

Thus t h e lemma 11 i s p r o v e d . We d e d u c e

c o n s t r u c t i o n o f ~ k , s J e a c h f o r e s t ~ o f

C o n s e q u e n t l y we h a v e

Fk, ~ (x)

El 1 deg(i) X i p

i

P i l l

= A f (~).

,~E~'~,

s+k-1

i = l

and t h u s by f a c t o r i s a t i o n , we o b t a i n

I s÷k-1

n~l p1+..+ps+~_1=n ~E~P~ . ~

200

Using the notation F~(x) = ~ Fk,s(x), we get s)O

F~(x)=~ Af(~)

~ E ~ k

a n d t h e o r e m 10 f o l l o w s f r o m p r o p e r t y 7 .

4. RELATIONS BETWEEN SUBSETS OF ~

I n t h i s s e c t i o n , we p a r t t h e

s u b s e t s w h i c h b a s i c p r o p e r t i e s a l l o w u s t o d e c o m p o s e t h e

p o w e r s e r i e @ ( ~ k ) a s s u m o f f o r m a l p o w e r s e r i e s P i i . . . i

a r e given b y 1 2

set ~k into particular

formal

whose

\ Pi i . . . i = ) ~(~)

1 £ L__

~EEi . . . i I p

T h e n , we p r o v i d e r e l a t i o n s b e t w e e n t h e s e f o r m a l p o w e r s e r i e s a n d

we o b t a i n t w o t y p e s o f r e l a t i o n s :

- lemmas 12 to 15 will allow us to express P ......... I p p+q with respect to Pi ...i J

p p+q

l e m m a 16 w i l l a l l o w s u s t o w r i t e P i . . . i a s P~ . . . )

i n o r d e r t o a p p l y l e m m a s 12 t o 1 5 . 1 P+q 1 p÷q

M o s t o f t h e s e l e m m a s a r e b a s e d u p o n t h e r e l a t i o n o f

e q u i v a l e n c e ( d e f i n i t i o n 8 ) o f p a r t i c u l a r t y p e s o f f o r e s t s a n d a r e

d e d u c e d b y t h e a p p l i c a t i o n o f p r o p o s i t i o n 9 .

N o t a t i o n s : F o r e v e r y p o s i t i v e i n t e g e r p , a n d f o r e v e r y p - u p l e

i n [ O . . k - 1 ] ~ , we d e n o t e b y

Ei "''i the set of forests belonging to ~k having at 1

least p+k-1 vertices such that V j E [1.,p], ~(j)=ij,

" ei ...i 1

t h e f o r e s t o f ~ x w i t h p + k - 1 v e r t i c e s s u c h t h a t

V j E [ 1 . . p ] , 6 ( j ) = i j .

By conventions let E (resp. e) be ~ (resp. ~,o)"

E x a m p l e : t h e f o r e s t ~ o f t h e e x a m p l e 1 i s e x a c t l y e 2 2 o 2 1 1 a n d

b e l o n g s t o t h e s e t s E j E 2 , E ~ 2 j E 2 2 0 , . . . .

201

Lemma 12. For euery p - u p ~ e

and

( i l , i ~ , . . , i p) of [ O . . k - l ] p,

k - 1

Ei 1 ...i p = ei i ...i p + ~ Ei i ...i p h • (I)

h=O

k-i

P t I . . . i p = ~o ( e i i . . . i P ) + ~ P i 1 . . . i p h - ( 2 )

h = O

i s I n d e e d ~ a f o r e s t o f E i . . . i 1 p

- e i t h e r t h e f o r e s t e~ . . . i :P

1 p

- o r a f o r e s t h a v i n g a t l e a s t p + k v e r t i c e s ~ s u c h t h a t t h e

h a l f d e g r e e o f t h e v e r t e x p + l i s i n [ O . . k - 1 ] .

k - i k-I

E x a m p l e s : E = e + E i , @ ( ~ ) = Yo + P i ,

i = O i = O

k - I k - I

E i = e i + E i j ' P i = Y l Yo ÷ P i j

j = O j = O

P

Lemma 1 3 . P p ( p - 1 ) . . . z o = Yo Y p , z C~(~k) ( 4 )

P r o o f : An e l e m e n t ~ o f E ~ ( ~ _ l ) . . . 1 o ( s e e f i g u r e 3) i s a f o r e s t

{ u j ~ ' } w h e r e u i s t h e l a b e l e d t r e e w h o s e r o o t l a b e l e d p + l h a s a

l o o p a n d p s o n s l a b e l e d f r o m 1 t o p a n d w h e r e ~" i s a n y f o r e s t o f

~k w h e r e e a c h l a b e l 1 o f a v e r t e x h a s b e e n c h a n g e d i n ( t + p )

T h u s we h a v e t h e a n n o u n c e d r e s u l t u s i n g t h e p r o p e r t y 7 .

p+l

1 p

U

F i g u r e 3 . An e l e m e n t o f E ~ ( p _ l ) . . . 1 o .

202

I n t h e s a m e w a y , we f i x j s u p p l e m e n t a r y v e r t i c e s a n d we g e t

Lemma 16. P~<p-~)...~o~ ...i = Y0PY~+I P i ...i j I j

E x a m p l e : P o = y l ¢ ( ~ k ) , P l o = y o y ~ ( ~ k ) , P 2 1 o = Y o 2 y s ~ ( ~ k ) ...

a n d a l s o P o l = y l P ~ , P l o 2 3 = y o y ~ P 2 3 . . .

(5 )

Lemma 1 5 . L e t i 1 = a + p - l , i ~ = a + p - 2 , . . . , i p = ~ a n d

i p + 1 ¢ ~ - l , i p + 2 ~ - 2 , . . . , i ~ ÷ ~ ¢ O ( 6 )

t h e n

P~ i . . . i = Y o P - t Y p P i . . . i ( 7 ) I 2 ~ + p p+l ~ + p

L e t ~ b e a f o r e s t f r o m Pi i . . . i s a t i s f y i n g ( 6 ) . I 2 ~ + p

T h e n t h e v e r t e x l a b e l e d p+~ h a s e x a c t l y p s o n s l a b e l e d f r o m 1 t o

p a s s h o w n i n f i g u r e 4 . I n d e e d , t h e c o n d i t i o n i p + q C a - q i n ( 6 )

m e a n s t h a t t h e v e r t e x l a b e l e d p + a h a s no s o n o t h e r t h a n t h o s e

l a b e l e d f r o m 1 t o p . T h u s ~ i s e q u i v a l e n t t o t h e f o r e s t o b t a i n e d

b y d i s p l a c i n g t h e v e r t i c e s l a b e l e d f r o m 1 t o p so t h a t t h e

v e r t e x p i s a l o o p h a v i n g p - 1 s o n s l a b e l e d f r o m 1 t o p - 1 a s s h o w n

i n f i g u r e 4 . T h e r e f o r e , we c a n u s e t h e l e m m a 14 w h i c h p r o v e s

l e m m a 15.

Example: Ps23s:yoy2P3~.

p+a

A.2 1 p

P i i . . . t i 2 ~ + p

0

1 p-1 / p+~

yo~ - lyp D ~i . . . i

p÷l ~+p

F i g u r e 4 . An e x a m p l e f o r l e m m a 1 6 .

2 0 3

Lemma 16. I f t h e f o r e s t ~ of ~ i s s u c h t h a t , f o r s o m m e p o s i t i v e

i n t e g e r s a , ~ , ¥ , ~ , f a t h e r ( a ) = ~ + B + ¥ + ~ a n d f a t h e r ( a + ~ ) = a + ~ + ¥ , t h e n ,

i s e q u i v a l e n t t o t h e f o r e s t o b t a i n e d b y t h e p e r m u t a t i o n of t h e

s u b t r e e s r a i s i n g f r o m t h e v e r t i c e s a a n d a + ~ .

The p r o o f i s i m m e d i a t e b e c a u s e t h i s t r a n s f o r m a t i o n d o e s n o t

a f f e c t t h e e n t e r i n g d e g r e e . Thus we h a v e t h e f o l l o w i n g

C o r o l l a r y 1 7 . I f i~=B+¥+~ a n d i~÷~=~ t h e n

e i . . l . . i . . i 1 • ~ ÷ ~

Ei .. | ..i .. i 1 • ~ + ~

P i . . i . . i . . i 1 • ~ ÷ ~

where i ' ~ = B + ¥ a n d i ' ~ j = ¥ + ~ .

= e i . . i . . i . . i • p 1 ~ a ÷ ~ p

J ~ i . . i . . i . . i •

p 1 ~ ~ + ~ p

= P i . . i ' . . i ' o . i • (a)

E x a m p l e : P 2 o = P l l

5 . ENUMERATION OF THE K-SHAPED FORESTS

In t h i s s e c t i o n , we e n u m e r a t e t h e k - s h a p e d f o r e s t s

a c c o r d i n g t o t h e d i s t r i b u t i o n o f e a c h v e r t i c e s i n t h e f o r e s t s .

The lemmas o f t h e s e c t i o n 4 a l l o w us t o w r i t e o u t a l i n e a r s y s t e m o f e q u a t i o n s s a t i s f i e d by ~ ( ~ k ) " H o w e v e r • t h e

n u m b e r o f e q u a t i o n s i n c r e a s e s e x p o n e n t i a l y w i t h k . Thus i t was i n e f f i c i e n t t o w r i t e i n Macsyma [ 1 2 ] an a l g o r i t h m o f g e n e r a t i o n

f o r s u c h a g e n e r a l s y s t e m . T h u s , we j u s t s o l v e e x p l i c i t l y t h e s y s t e m s f o r k = 2 , 3 and 4 .

T h e o r e m 18. T h e g e n e r a t i n g f u n c t i o n f o r k - s h a p e d f o r e s t s a r e

Y0 f o r k = 2 , ~ (Y~) = •

(I-Yl)2 - YoY2

yo s f o r k = 3 , ~b(Y3) =

(l_y i)s (1-yl-ylS)-2YoY s (l_y 12)_yos (Yss÷Y3)

yo 3 ( 1 + yl s - YoY2 )

a n d fo r . k = 4 • ~ ( ~ 4 > ---- •

Qo + Q1Yo + QsYo s + QsYo 3 + Q4Yo 4

w h e r e Qo= ( l - y l ) 2 ( 1 - y l - y 1 2 - y l S ) •

Qt = - 2 y o y ~ ( l - y l ) ( 2 + y t - y t ~ - 3 Y t 3 - 3 Y t 4 - 2 Y 1 S ) , Q~= 2 Y 3 ( Y I - 1 ) ( l + 3 Y I + Y I s + Y ~ s) - y s ~ ( 1 - 4 Y 1 s - 6 y 1 4 ) ,

Q3 = - ( Y ~ s + 4 y ~ Y 3 + Y 4 ) + 2YIY~(Y~-Y~ 2) -Y1 2 (Y4+4Y2Y3+4Y~3) ,

Q4 = (Y2+Y3)~ + Y~Y4 - 2Y3 ~.

204

We w r i t e s y s t e m s o f l i n e a r e q u a t i o n s b y u s i n g f i r s t t h e l e m m a 1 2 ,

t h e n b y a p p l y i n g l e m m a s 13 t o 1 6 .

F o r k = 2 ~ we h a v e

~ ( ~ 2 ) = Y0 + P0 + P 1 ,

P I = YoY1 + P10 + P l 1 ~

Po = YI~(~2)'

PIo = YoY2¢(~2)'

P11 = YIPI "

S o l v i n g i t , g i v e s t h e r e s u l t o f t h e o r e m 1 8 . We g i v e i n

t h e a n n e x t h e s y s t e m f o r k = 3 a n d 4 . T h e y h a v e b e e n s o l v e d u s i n g

t h e s y m b o l i c m a n i p u l a t i o n s y s t e m MACSYMA f r o m MIT [ 1 2 ] o We d e d u c e

f r o m t h e t h e o r e m 19 t h e e x p r e s s i o n o f F k ( X ) f o r k = 2 ~ 3 a n d 4

u s i n g t h e t h e o r e m 1 1 . N o t e t h a t i n t h e c a s e k = 3 , we f i n d t h e

r e s u l t o f R. S t a n l e y [ 1 0 ] t h a t i s

P r o p o s i t i o n 19 . D e f i n e N ( n ) = ~ ( f ~ + f ~ + f ~ ) ( f ~ + f . + f n ) ' ' ' ( f . + fR + f . ) ,

1 2 3 £ 3 4 s S + I S + £

w h e r e f i s a n y f u n c t £ o n f : ~ ~ ¢ a n d w h e r e t h e s u m i s o u e r u l $

o r d e r e d p a r t i t i o n s n l + n 2 + . . . + n s ÷ 2 = n o f n ( n i ~ l ) . By c o n v e n t i o n ,

a s u m m a n d w i t h s=O i s 1 . D e f i n e

i " F ( X ) = N ( n ) X ~ , f = 2 f ~ X ~ , A = X / ( 1 - X ) . n=l 4=I

L e t ~ d e n o t e H a d a m a r d p r o d u c t . T h e n

A 2

F (X) =

( l - f ) 2 ( 1 - f - f ~ ) - 2 A ( f z f ) ( 1 - f 2 ) - A S ( ( f z f ) ~ + ( f z f x f ) )

H o w e v e r , we d i d n o t f i n d a g e n e r a l f o r m u l a f o r F ~ ( X ) j

o r , a t l e a s t a r e c u r s i v e r e l a t i o n o n t h e s e f u n c t i o n s . Y e t ~ t h e

t i m e o f c o m p u t a t i o n w a s v e r y s l i g h t , a n d we t h i n k t h a t i t i s

p o s s i b l e t o c o m p u t e t h e r e s u l t f o r k = 5 .

REFERENCES [ 1 ] C. BERGE, G r a p h e s e t h y p e r g r a p h e s , D u n o d , P a r i s ( 1 9 7 0 ) .

[ 2 ] N . G . d e B R U I J N a n d B . J . M . MORSELT, A n o t e o n p l a n e t r e e s , J .

C o m b . T h . 2 ( 1 9 6 7 ) , 2 7 - 3 4 .

[ 3 ] R. CORI a n d B . VAUQUELIN, P l a n a r m a p s a r e w e l l l a b e l e d t r e e s ,

C a n a d i a n J . o f M a t h . 33 ( 1 9 8 1 ) 1 0 2 3 - 1 0 4 2 .

[ 4 ] M . P . DELEST , U t i l i s a t i o n d e s l a n g a g e s a l g ~ b r i q u e s e t d u o a l -

c u l f o r m e l p o u r l e c o d a g e e t l ' 6 n u m ~ r a t i o n d e s p o l y o m i n o s ,

T h ~ s e d ' E t a t j U n i v e r s i t ~ d e B o r d e a u x I , 1 9 8 7 .

[ 5 ] J . M . FEDOU, E n u m e r a t i o n d e o e r t a i n s p o l y o m i n o s s e l o n l e s

p a r a m ~ t r e s p ~ r i m ~ t r e e t a i r e , m 6 m o i r e d e D . E . A , B o r d e a u x I ,

1 9 8 7 .

205

[ 6 ] P . FLAJOLET, A n a l y s e d ' a l g o r i t h m e s de m a n i p u l a t i o n d ' a r b r e s

e t de f i c h i e r s , C a h i e r s du B . U . R . O . 3 4 - 3 5 ( 1 9 8 1 ) , 1 - 2 0 9 .

[ 7 ] A. JOYAL, Une t h ~ o r i e c o m b i n a t o i r e d e s s ~ r i e s f o r m e l l e s , A d v .

i n M a t h . , 42 ( 1 9 8 1 ) , 1 - 8 2 . [ 8 ] D. KNUTH, The a r t of c o m p u t e r p r o g r a m m i n g , V o l . 1, A d d i s o n

Wesley Reading, 1968.

[9] J.W. MOON, A note on an identity and labelled forests,

C a r i b b . J . M a t h . , 3, (2 ) 5 9 - 6 5 . [ 1 0 ] R . P . STANLEY, G e n e r a t i n g f u n c t i o n , S t u d i e s i n Comb, 1 0 0 - 1 4 8 ,

17 , M a t h . A s s o c . A m e r i c a W a s h i n g t o n DC 7 8 .

[ii] J.M. STEYEART, Complexit~ et structure des algorithmes,

Th~se Universit~ Paris VII, 1984.

[12] SYMBOLICS INC., Macsyma Reference manual version ten, third

printing, december 1984.

[13] G. VIENNOT, Heap of pieces: Basic definitions and combinato-

rial lemmas, in C o m b i n a t o i r e E n u m d r a t i v e , UQAM 1985,

Montreal, G. Labelle et P. Leroux ed., Lecture Notes in

M a t h e m a t i c s , n ° 1 2 3 4 , S p r i n g e r V e r l a g , 3 2 1 - 3 5 0 , 1 9 8 6 .

[ 1 4 ] G. VIENNOT, T r e e s , R i v e r s , RNAs and many o t h e r t h i n g s ,

p r e p r i n t , B o r d e a u x I , 1 9 8 7 .

ANNEXE

For k=3,

@(~a) = Yo ~+ Po + P1 + Ps ,

P1 = YoSYl + P l o + P i i + P 1 2 , P~ = Yo 'Yo + P~o + P s i + P 2 z ,

P$o = Yo2Yl 2 + P~oo + P ~ o i + P 2 o 2 , P21 = Yo3Y2 + P21o + P211 + P 2 1 2 ,

P~s = YoSYl ~ + P s s o + P 2 s i + P 2 2 ~ ,

Po = Yl ~(~a),

P1o = Yo Y2¢(~a),

P11 = Yo Pi,

Px~ = Yo P~,

P~oo = Pilo = Yl Pio,

Psol = P~ll = Y* Pil,

Psos = P~is = Yl P~s,

P~io = YoSY~ ~(~)'

Psii = YoYs Pi"

F o r k--4 ,

~(5'4) = YO a+ Po + Pi +P2 + Pa'

Po = Yl ~)<~4 >' P1 = YoaY l + P l o + P i i + P12 + P l a ,

P~ = Yo3Yo + P20 + P21 + P22 + P~'a,

Pa = YoSYo + P3o + Pa~ + Pa~ + P 3 a ,

Plo -- Yo Y2~('~4 ) " P11 = Yl Pi ,

II

II

I|

|1

I1

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

il II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

v -I

-

4-

-I-

4-

4-

4-

÷ ÷

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4-

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