UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA 1
NDICE
1. NDICE1 2. PRLOGO2
3. INTRODUCCIN4
4. FUNDAMENTO TERICO5
5. VELOCIDAD Y ACELERACIN INSTANTANEAS. 5.1 OBJETIVOS
GENERALES8
5.2. DESCRIPCIN DE LOS MATERIALES8
5.3. DESCRIPCIN DE LOS PROCEDIMENTOS10 5.4. DATOS OBTENIDOS
EXPERIMENTALMENTE10
5.5. CLCULOS Y RESULTADOS11
5.6. GRFICAS19
5.7. OBSERVACIONES23
5.8. CONCLUSIONES24
6. REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS25
7. HOJA DE DATOS DE LABORATORIO 26
PRLOGO
Uno de los primeros fenmenos que impresiono al hombre fue el
relacionado con el movimiento en general.El movimiento es uno de
los fenmenos naturales ms cotidianos y se viene estudiando con
profundidad desde las antiguas civilizaciones del Asia Menor.
Primeramente el inters estuvo centrado en el movimiento de los
astros, en particular del Sol y la Luna, con fines prcticos
relacionados con el cultivo y la navegacin, esto genero que las
personas de esa poca intentasen dar explicacin a este fenmeno, y
aunque estas explicaciones resultaran triviales en nuestra poca,
serian estas las bases para pensamientos mucho ms elaborados y para
el desarrollo de hiptesis y posteriormente de leyes generales del
movimiento.Las ideas de Aristteles sobre el movimiento son a
primera vista razonables y cercanas al sentido comn. Sin embargo,
como veremos a lo largo de este breve recorrido histrico, la
intuicin y el sentido comn fueron sufriendo innumerables golpes en
la historia de la fsica. Luego de su muerte, en Alejandra, se
desarroll el Museo, donde se congregaban los pensadores ms
importantes de la poca. Su actividad cientfica estaba relacionada a
problemas prcticos ms que a cuestiones filosficas.En este perodo se
destac la obra de Arqumedes (287-212 a.C.), un notable matemtico e
inventor griego. Entre sus trabajos est la ley que explica el
funcionamiento de la palanca, la polea compuesta, el tornillo sin
fin para elevar el agua de nivel, y la famosa ley de la
hidrosttica, llamada "principio de Arqumedes".Los astrnomos
alejandrinos describieron con ms precisin los movimientos
planetarios ya que disponan de los registros astronmicos
babilnicos, egipcios y caldeos.En la decadencia de la cultura
alejandrina, Ptolomeo, astrnomo que vivi en el siglo II d.C. realiz
un registro de los conocimientos astronmicos en su libro Almagesto
o La gran sntesis matemtica. Esta obra tuvo vigencia hasta los
tiempos de Galileo, pues las predicciones de los astros y las
mediciones concordaban.En la segunda mitad del siglo XII, el cosmos
aristotlico, tan conveniente para el pensamiento cristiano, porque
separaba el orden celestial del terrenal, comienza a ser criticado.
En esa poca empezaron a llegar textos desconocidos hasta entonces,
esto se debi al invento de la imprenta en el siglo XV. Su
influencia dio lugar al movimiento humanista conocido como
Renacimiento.Este movimiento supuso un retorno a las fuentes del
arte literaria de la antigedad grecolatina clsica. En este contexto
se ubic la llamada Revolucin Cientfica, cuyo producto fue la
ciencia moderna. Algunos autores la encuadran en un perodo de un
siglo y medio que se extendi entre la obra de Nicols Coprnico, De
revolutionibus orbium caelestium (Sobre la revolucin de las esferas
celestes), en 1453, hasta la publicacin en 1687 de Philosophie
naturalis principia matemtica ( Principios matemticos de filosofa
natural) de Isaac Newton.
Sin embargo, el concepto de movimiento actual se estableci hace
unos pocos siglos y en su formulacin participaron fundamentalmente
Galileo Galilei e Isaac Newton.Al comenzar a considerarse a la
fsica como una ciencia independiente de la filosofa, la matemtica
empez a ocupar un lugar cada vez ms preponderante en la descripcin
y anlisis de la naturaleza. Como muchos fenmenos fsicos se cumplen
con regularidad, la matemtica se transform en una herramienta para
calcular y predecir todo tipo de movimiento, cada vez con mayor
precisin.Para Galileo y Descartes, el universo presentaba una
estructura matemtica. Consideraban estructurada de la misma manera
la mente humana, de manera que cuando actuaba matemticamente sobre
la realidad, alcanzaba necesariamente la comprensin verdadera.En la
segunda mitad del siglo XVIII se produjeron ms contribuciones por
parte de un nuevo grupo de pensadores y retomando algunos conceptos
de sus antecesores El estudio del movimiento, llamado tambin
cinemtica, est enmarcado dentro del rea de la fsica llamada
mecnica, esta cinemtica desde su creacin hasta estos das ha ido
desarrollndose llegando a tener estructura propia. Desde la creacin
de la teora general de la relatividad de A. Einstein en 1905 la
cinemtica sufri un cambio considerable crendose as la cinemtica
relativista, donde el tiempo y el espacio no son absolutos, mas si
lo es la velocidad de la luz.
En la actualidad, la concepcin es diferente. La humanidad
construye una explicacin provisoria del mundo natural mediante la
utilizacin de conceptos matemticos, aunque la naturaleza es s misma
no es matemtica.
INTRODUCCIN
Con frecuencia es necesario conocer la velocidad de una partcula
en un instante especfico en el tiempo en lugar de la velocidad
promedio durante un intervalo de tiempo finito. En otras palabras,
nos gustara especificar su velocidad de manera tan precisa como
detalla su posicin al notar lo que ocurre en una lectura de un
segundo en particular en un reloj; esto es, en algn instante
especifico.Lo que se realizara a cabo en el presente informe:
VELOCIDAD Y ACELERACIN INSTANTANEAS
Tendremos que:
1. Determinar la velocidad instantnea de un cuerpo en movimiento
rectilneo a partir de la informacin (recopilada en la prctica de
laboratorio), de posicin versus tiempo o nmero de ticks, con esto
tambin calcularemos la grafica velocidad versus tiempo y aceleracin
versus tiempo.
2. Determinar la aceleracin instantnea a partir de la informacin
deducida de los datos obtenidos, en la prctica ya mencionada. Todo
esto se ver apoyado sobre una slida teora de clculo diferencial y
el mtodo del ajuste de curvas para determinar con cierta precisin
la velocidad y aceleracin instantnea.
FUNDAMENTO TERICO
Elementos bsicos de la Cinemtica
Los elementos bsicos de la Cinemtica son: espacio, tiempo y mvil
y a estos se le agrega el sistema de referencia y las distintas
coordenadas que se le pueden agregar.En la Mecnica Clsica se admite
la existencia de un espacio absoluto; es decir, un espacio anterior
a todos los objetos materiales e independientes de la existencia de
estos. Este espacio es el escenario donde ocurren todos los
fenmenos fsicos, y se supone que todas las leyes de la fsica se
cumplen rigurosamente en todas las regiones de ese espacio. El
espacio fsico se representa en la Mecnica Clsica mediante un
espacio puntual eucldeo.
Fundamentos de la Cinemtica clsica.
La Cinemtica trata del estudio del movimiento de los cuerpos en
general, y, en particular, el caso simplificado del movimiento de
un punto material (partcula). Para sistemas de muchas partculas,
tales como los fluidos, las leyes de movimiento se estudian en la
mecnica de fluidos.
El movimiento trazado por una partcula lo mide un observador
respecto a un sistema de referencia. Desde el punto de vista
matemtico, la Cinemtica expresa cmo varan las coordenadas de
posicin de la partcula (o partculas) en funcin del tiempo. La
funcin que describe la trayectoria recorrida por el cuerpo (o
partcula) depende de la velocidad (la rapidez con la que cambia de
posicin un mvil) y de la aceleracin (variacin de la velocidad
respecto del tiempo).El movimiento de una partcula (o cuerpo rgido)
se puede describir segn los valores de velocidad y aceleracin, que
son magnitudes vectoriales.Si la aceleracin es nula, da lugar a un
movimiento rectilneo uniforme y la velocidad permanece constante a
lo largo del tiempo. Si la aceleracin es constante con igual
direccin que la velocidad, da lugar al movimiento rectilneo
uniformemente acelerado y la velocidad variar a lo largo del
tiempo. Si la aceleracin es constante con direccin perpendicular a
la velocidad, da lugar al movimiento circular uniforme, donde el
mdulo de la velocidad es constante, cambiando su direccin con el
tiempo. Cuando la aceleracin es constante y est en el mismo plano
que la velocidad y la trayectoria, tenemos el caso del movimiento
parablico, donde la componente de la velocidad en la direccin de la
aceleracin se comporta como un movimiento rectilneo uniformemente
acelerado, y la componente perpendicular se comporta como un
movimiento rectilneo uniforme, generndose una trayectoria parablica
al componer ambas. Cuando la aceleracin es constante pero no est en
el mismo plano que la velocidad y la trayectoria, se observa el
efecto de Coriolis. Al considerar el movimiento de traslacin de un
cuerpo extenso, en el caso de ser rgido, conociendo como se mueve
una de las partculas, se deduce como se mueven las dems. As basta
describir el movimiento de una partcula puntual tal como el centro
de masa del cuerpo para especificar el movimiento de todo el
cuerpo. En la descripcin del movimiento de rotacin hay que
considerar el eje de rotacin respecto del cual rota el cuerpo y la
distribucin de partculas respecto al eje de giro. El estudio del
movimiento de rotacin de un slido rgido suele incluirse en la
temtica de la mecnica del slido rgido por ser ms complicado. Cuando
un cuerpo posee varios movimientos simultneamente, tal como uno de
traslacin y otro de rotacin, se puede estudiar cada uno por
separado en el sistema de referencia que sea apropiado para cada
uno, y luego, superponer los movimientos.Sistema de coordenadas
En el estudio del movimiento, los sistemas de coordenadas ms
tiles se encuentran viendo los lmites de la trayectoria a recorrer,
o analizando el efecto geomtrico de la aceleracin que afecta al
movimiento. As, para describir el movimiento de un taln obligado a
desplazarse a lo largo de un aro circular, la coordenada ms til
sera el ngulo trazado sobre el aro. Del mismo modo, para describir
el movimiento de una partcula sometida a la accin de una fuerza
central, las coordenadas polares seran las ms tiles.En la gran
mayora de los casos, el estudio cinemtico se hace sobre un sistema
de coordenadas cartesianas, usando una, dos o tres dimensiones segn
la trayectoria seguida por el cuerpo.
Ecuaciones de los movimientos.Movimiento rectilneo
Es aquel en el que el mvil describe una trayectoria en lnea
rectaPara este caso la aceleracin es cero por lo que la velocidad
permanece constante a lo largo del tiempo. Esto corresponde al
movimiento de un objeto lanzado en el espacio fuera de toda
interaccin, o al movimiento de un objeto que se desliza sin
friccin. Siendo la velocidad v constante, la posicin variar
linealmente respecto del tiempo, segn las ecuaciones deducidas por
clculo:
Donde es la posicin inicial del mvil respecto al centro de
coordenadas, es decir para .Si la ecuacin anterior corresponde a
una recta que pasa por el origen, en una representacin grfica de la
funcin ,
Movimiento rectilneo uniformemente acelerado
En ste movimiento la aceleracin es constante, por lo que la
velocidad de mvil vara linealmente y la posicin cuadrticamente con
tiempo. Las ecuaciones que rigen este movimiento son las
siguientes:
Donde es la posicin inicial del mvil y su velocidad inicial,
aquella que tiene para .Obsrvese que si la aceleracin fuese nula,
las ecuaciones anteriores corresponderan a las de un movimiento
rectilneo uniforme, es decir, con velocidad constante.Dos casos
especficos de MRUA son la cada libre y el tiro vertical. La cada
libre es el movimiento de un objeto que cae en direccin al centro
de la Tierra con una aceleracin equivalente a la aceleracin de la
gravedad (que en el caso del planeta Tierra al nivel del mar es de
aproximadamente 9,8 m/s2). El tiro vertical, en cambio, corresponde
al de un objeto arrojado en la direccin opuesta al centro de la
tierra, ganando altura. En este caso la aceleracin de la gravedad,
provoca que el objeto vaya perdiendo velocidad, en lugar de
ganarla, hasta llegar al estado de reposo; seguidamente, y a partir
de all, comienza un movimiento de cada libre con velocidad inicial
nula.
Movimiento parablico
Altura mxima
Objeto disparado con un ngulo inicial desde un punto que sigue
una trayectoria parablica.El movimiento parablico se puede analizar
como la composicin de dos movimientos rectilneos distintos: uno
horizontal (segn el eje x) de velocidad constante y otro vertical
(segn eje y) uniformemente acelerado, con la aceleracin
gravitatoria; la composicin de ambos da como resultado una
trayectoria parablica.Claramente, la componente horizontal de la
velocidad permanece invariable, pero la componente vertical y el
ngulo cambian en el transcurso del movimiento.En la figura se
observa que el vector velocidad inicial forma un ngulo inicial
respecto al eje x; y, como se dijo, para el anlisis se descompone
en los dos tipos de movimiento mencionados; bajo este anlisis, las
componentes segn x e y de la velocidad inicial sern: y
El desplazamiento horizontal est dado por la ley del movimiento
uniforme, por tanto sus ecuaciones sern (si se considera):
En tanto que el movimiento segn el eje ser rectilneo
uniformemente acelerado, siendo sus ecuaciones:
Si se reemplaza y opera para eliminar el tiempo, con las
ecuaciones que dan las posiciones e , se obtiene la ecuacin de la
trayectoria en el plano xy:
que tiene la forma general
y representa una parbola en el plano y(x). En la figura se
muestra esta representacin, pero en ella se ha considerado
VELOCIDAD Y ACELERACIN INSTANTANEAS
OBJETIVOS GENERALES:
En trminos generales, esta experiencia nos permitir corroborar
con los mltiples clculos concernientes a cinemtica de una partcula
que realizamos en el laboratorio con la teora ya existente que se
nos dicto
DESCRIPCIN DE LOS MATERIALES:
Un riel sobre un plano inclinado Un soporte metlico Un carrito
de metal Un chispero elctrico Una regla de metal de 1m Tiras de
papel bond de 65cm x 6cm Cuatro hojas de papel milimetrado.
PAPEL MILIMETRADO REGLA METALICA
TIRAS DE PAPEL
FUENTE DEL CHISPERO
220 V ON 40 Hz OFF 20 Hz
CARRITO
PAPEL ELECTRICO
SOPORTE
MONTAJE DEL EXPERIMENTO VELOCIDAD Y ACELERACIN INSTANTANEA
DESCRIPCIN DE LOS PROCEDIMENTOS:
1. Colocamos el riel con un ngulo de elevacin aproximado de 10o
sobre el plano.
2. Conectar el chispero a 220 V.
3. Conectar una salida del chispero a la banana sobre el riel y
la otra salida del chispero a la banana sobre la base de madera, la
cual a su vez est conectada al papel elctrico.
4. Colocar la tira de papel bond sobre el papel elctrico.
5. Colocar el carrito en la parte superior del plano inclinado,
sostenindolo de la parte de acrlico y hacer que la punta de la
aguja del chispero este sobre el papel.
6. Un compaero del grupo colocara en ON el interruptor del
chispero y un instante despus otro compaero que est sosteniendo el
carrito, lo soltar.
7. Cuando el carrito llegue a la parte final de su recorrido y
se detenga, se sacara el papel bond y se proceder a medir la
distancia de punto en punto que tiene el papel producto de las
chispas del chispero.
8. Realizar los clculos necesarios para calcular la velocidad y
aceleracin instantneas, luego pasarlo a grafica en papel
milimetrado.
DATOS OBTENIDOS EXPERIMENTALMENTE
Tiempo(ticks)X(t) (cm.)
10.2
20.9
31.9
43.25
55.2
67.4
710.05
813.05
916.6
1020.4
1124.7
1229.4
1334.4
1439.8
1545.6
1651.8
1758.4
1865.4
1972.8
CLCULOS Y RESULTADOS
Para dibujar las graficas da la posicin y las velocidades que
nos piden en este laboratorio, usaremos la tabal1. No olvidar que
la frecuencia usada en la siguiente experiencia es de 20Hz.De ah
sacamos que:
1tick= 1 s 20 Tabla 1
Tiempo (ticks) X(t) (cm.) x(t)-x(4) t-4 x(t)-x(8) t-8 X(t)-12
t-12 x(t)-x(16) t-16
10.21.0161.8352.6553.440
20.91.1752.0752.8503.636
31.91.3502.2303.0563.838
43.252.4503.2694.046
55.21.9502.6163.4574.236
67.42.0752.8253.6674.440
710.052.2673.0003.8704.639
813.052.4504.0884.844
916.62.6703.5504.2675.029
1020.42.8583.6754.5005.233
1124.73.0643.8834.7005.420
1229.43.2684.0875.600
1334.43.4614.2705.0005.800
1439.83.6594.4585.2006.000
1545.63.9414.7935.4006.200
1651.84.0454.8445.600
1758.44.2425.0395.8006.600
1865.44.4395.2356.0006.800
1972.84.6365.4326.2007.000
Anlisis de datos
1. Grafica de la funcin posicin
Para graficar la funcin posicin respecto a tiempo vamos a tomar
los datos de la tabla 1 y usar el mtodo de mnimos cuadrados a
realizarse de la siguiente manera:
X Y X X X4 XY XY
10.21110.20.2
20.948161.83.6
31.9927815.717.1
43.2516642561352
55.22512562526130
67.436216129644.4266.4
710.0549343240170.35492.45
813.05645124096104.4835.2
916.6817296561149.41344.6
1020.41001000100002042040
1124.7121133114641271.72988.7
1229.4144172820736352.84233.6
1334.4169219728561447.25813.6
1439.8196274438416557.27800.8
1545.622533755062568410260
1651.8256409665536828.813260.8
1758.4289491383521992.816877.6
1865.432458321049761177.221189.6
1972.836168591303211383.226280.8
190501.252470361005626667314.15113887.05
Ecuacin cuadrtica: y =a +bx +cx
Ecuaciones para hallar las constantes: y =a.n +b.x +cx
xy =a. x +b.x +cx
xy =a.x +b.x +cx4
Remplazando los datos del cuadro y resolviendo las ecuaciones
nos da la siguiente ecuacin cuadrtica:Y =0.1984X + 0.0699X -
0.11
X (t)=0.1984t + 0.0699t - 0.11
2. Clculo de la velocidad instantnea en t =4 ticks
Para hallar dicha velocidad debemos realizar la grafica de las
velocidades mediasPara graficar usaremos el mtodo de mnimos
cuadrados tomando los siguientes datos:
XYXXY
11.01611.016
21.17542.35
31.35094.05
4V4
51.950259.75
62.0753612.45
72.2674915.869
82.4506419.6
92.6708124.03
102.85810028.58
113.06412133.704
123.26814439.216
133.46116944.993
143.65919651.226
153.94122559.115
164.04525664.72
174.24228972.114
184.43932479.902
194.63636188.084
18652.5662454650.769
Ecuacin lineal: y =a +bx Ecuaciones para hallar las constantes:
y =a.n +b.x
xy =a. x +b.x
Remplazando los datos del cuadro y resolviendo las ecuaciones
mencionadas nos da las siguientes ecuaciones lineales para sus
respectivos intervalos:
Y [1-4> =0.167X + 0.8463 Y =0.1922X + 1.66433 Y = 0.2046X +
2.4431 Y =0.1966X + 3.2536 Y