La Teoria dell’Atomo di Bohr - bioinorg.agrsci.unibo.itbioinorg.agrsci.unibo.it/muso/ChimGen/Lezione3.pdf · Livelli Energetici dell’Atomo di Elio Confronto fra le bande di emissione

La Teoria dell’Atomo di Bohr

Modello di Bohr dell’atomo di idrogeno:

Vedi documento “Atomo di Bohr.pdf” sul materiale didattico per la derivazione di queste equazioni

Livelli Energetici dell’Atomo di Idrogeno


n E(H) (J) E(H) (Ry)

1 -218.0 x 10-20 1 Ry

2 -54.5 x 10-20 1/4 Ry

3 -24.2 x 10-20 1/9 Ry

4 -13.6 x 10-20 1/16 Ry

5 -8.72 x 10-20 1/25 Ry

6 -6.06 x 10-20 1/36 Ry

7 -4.45 x 10-20 1/49 Ry

8 -3.41 x 10-20 1/64 Ry

9 -2.69 x 10-20 1/81 Ry

10 -2.18 x 10-20 1/100 Ry


Confronto fra la serie di Lyman calcolata e osservata

Transizione ΔE (J) Freq. (Hz)

L. onda

calcolata

(nm)

L. onda

sperimentale

(nm)

2 � 1 1.64 x 10-18 2.47 x 10-15 122 122 OK!

3 � 1 1.94 x 10-18 2.92 x 10-15 103 103 OK!

4 � 1 2.04 x 10-18 3.08 x 10-15 97.3 97.3 OK!

5 � 1 2.09 x 10-18 3.16 x 10-15 95.0 95.0 OK!

6 � 1 2.12 x 10-18 3.20 x 10-15 93.8 93.8 OK!

7 � 1 2.14 x 10-18 3.22 x 10-15 93.1 93.1 OK!

8 � 1 2.15 x 10-18 3.24 x 10-15 92.6 92.6 OK!

9 � 1 2.15 x 10-18 3.25 x 10-15 92.3 92.3 OK!

10 � 1 2.16 x 10-18 3.26 x 10-15 92.1 92.1 OK!

Livelli Energetici dell’Atomo di Elio

Confronto fra le bande di emissione dell’atomo di elio

calcolate e sperimentali.

Transizione ΔE (J) Freq. (Hz)

L. onda

calcolata

(nm)

L. onda

sperimentale

(nm)

5 � 4 1.96 x 10-19 2.96 x 10-14 1013 -

6 � 4 3.03 x 10-19 4.57 x 10-14 657 667 NO!

7 � 4 3.67 x 10-19 5.54 x 10-14 542 587 NO!

8 � 4 4.09 x 10-19 6.17 x 10-14 486 471 NO!

9 � 4 4.37 x 10-19 6.60 x 10-14 455 444 NO!

10 � 4 4.58 x 10-19 6.91 x 10-14 434 439 NO!

11 � 4 4.73 x 10-19 7.14 x 10-14 420 417 NO!


• Modello di Bohr vale anche per atomi idrogenoidi:

1 solo elettrone, numero di protoni >1

• Modello di Bohr non vale per atomi polielettronici

(non riesce a tener conto delle interazioni fra

elettroni).

• Modello di Bohr-Sommerfeld: considera orbite

ellittiche invece che circolari. Vale solo per atomo

di elio (2p + 2e).


Attrazione

nucleo - elettrone

Repulsione

elettrone - elettrone

Idrogeno Elio

Il Principio di Indeterminazione di Heisenberg

∆� = incertezza sulla posizione

∆� = incertezza sulla velocità

∆� × ∆ �� ≥ �/� (� = 6,6 x 10-34 Kg m2 s-1)

Mondo macroscopico: � = 1 kg; ∆� = 1 m/s

∆� = �/ �� × ∆� ≅ �� m

Mondo microscopico: �� ≅ 10-30 kg; ∆� = 1 m/s

∆� ≅ �� m

∆� ca. 106 volte la dimensione atomica!!!

Non è possibile conoscere la traiettoria dell’elettrone.

Schroedinger...

La Teoria Probabilistica dell’Atomo

• Concetto di probabilità (P)

• Probabilità che l’elettrone si trovi in una certa

regione di spazio (orbitale)

• Si definisce una funzione matematica, ψ, che

descrive gli orbitali, tale per cui:

ψ2 = densità di probabilità = P / dV

La Teoria Probabilistica dell’Atomo

1) ψ(x,y,z) deve essere continua per ogni punto (x,y,z);

2) ψ(x,y,z) deve avere un valore singolo per ogni punto (x,y,z);

3) ψ(x,y,z) deve avere un valore finito per ogni punto (x,y,z);

4) La probabilità di trovare l’elettrone nello spazio totale = 1

(l’integrale di ψ(x,y,z) in tutto il volume = 1);

5) Ad ogni orbitale ψ è associata una certa energia E;

6) L’energia deve essere quantizzata.

L’Equazione di Schroedinger

Qualsiasi funzione ψ(x,y,z) tale per cui: �� = ��

descrive un orbitale.

Vale la relazione:

�� è un operatore matematico (Hamiltoniano)

ψ è una funzione matematica

� è l’energia associata a ciascun orbitale ψ

�� = ��

2�� !", $, %&

��' = ��

2(��' � ", $, % ' = )'

�� =*�

*"��

*�

*$��

*�

*%�

La Teoria Quantistica dell’Atomo

Le ψ(x,y,z) che soddisfano l’equazione di Schroedinger e le

condizioni sopra descritte dipendono matematicamente da una

serie di quattro numeri interi detti numeri quantici:

n = 1, 2, …, ∞

l = 0, 1, …, (n-1)

m = (-l), (-l+1), (-l+2), …, 0, …, (+l)s = +½, -½

n = numero quantico principale, indica l’energia;

l = numero quantico secondario, descrive la forma dell’orbitale;

m = numero quantico magnetico, descrive la orientazione

dell’orbitale;

s = numero quantico di spin, indica il senso di rotazione

dell’elettrone.

Lo Spin dell’Elettrone


• n = 1; l = 0; m = 0 �� orbitale 1s

• n = 2; l = 0; m = 0 �� orbitale 2s

• n = 2; l = 1; m = -1 �� orbitale 2px

• n = 2; l = 1; m = 0 �� orbitale 2py

• n = 2; l = 1; m = +1 �� orbitale 2pz


• n = 3; l = 0; m = 0 �� orbitale 3s

• n = 3; l = 1; m = -1 �� orbitale 3px

• n = 3; l = 1; m = 0 �� orbitale 3py

• n = 3; l = 1; m = +1 �� orbitale 3pz

• n = 3; l = 2; m = -2 �� orbitale 3dz2

• n = 3; l = 2; m = -1 �� orbitale 3dx2-y2

• n = 3; l = 2; m = 0 �� orbitale 3dxy

• n = 3; l = 2; m = +1 �� orbitale 3dyz

• n = 3; l = 2; m = +2 �� orbitale 3dxz


• Densità di probabilità per un orbitale 1s






Un piano nodale (o regione nodale) è una regione dello spazio in

cui ψ(x,y,z) = 0

Passando per un piano nodale ψ(x,y,z) cambia di segno.



Piani Nodali negli Orbitali s


1s 4s

2s

2p

3s

3p

3d

4d

4f

5s

5p

4p

Gli Orbitali 4f

Orbital Viewer

http://www.orbitals.com/orb/ov.htm

App per Android

App per Android

La funzione ψ(x,y,z,n,l,m) può essere scritta

in coordinate sferiche ψ(r,ϑ,ϕ,n,l,m):


Per l’atomo di idrogeno è possibile dimostrare che

ψ(r,ϑ,ϕ,n,l,m) è divisibile in due componenti:

ψ(r,ϑ,ϕ,n,l,m) = R(r,n,l) · Θ(ϑ,l,m) · Φ(ϕ,m) · Τ(ϑ,ϕ,l,m)


Componente

radiale

Componente

angolare


R(r, n, l) = componente radiale

n l ψ

1 0 1s

2 0 2s

2 1 2p

3 0 3s

3 1 3p

3 2 3d

Per gli orbitali s (l = 0) la densità di probabilità di trovare

l’elettrone è massima vicino al nucleo e decresce

esponenzialmente allontanandosi dal nucleo

La Funzione d’Onda 1s

Volume del guscio sferico di spessore � in funzione del raggio +:

«Probabilità» dalla «Densità di Probabilità»

Per ottenere la probabilità (P) di trovare l’elettrone ad ogni

distanza r dal nucleo, dobbiamo moltiplicare la densità di

probabilità ψ2 per il volume di un guscio sferico di spessore

infinitamente piccolo, ,- � :

Per uno spessore � infinitamente piccolo, vale che

«Probabilità» dalla «Densità di Probabilità»

dV(h) = 4πr2 + 8πhr + 4πh2

Moltiplicando il quadrato della funzione per 4πr2 otteniamo la

probabilità di trovare l’elettrone in un guscio sferico di raggio dr


l numero dei piani nodali è uguale a (n – 1).

Nell’orbitale 2s esiste una superficie nodale costituito

da una sfera a distanza ca. 2a0 dove la funzione cambia segno.


Per gli orbitali p (l = 1) la probabilità di trovare l’elettrone è zero

sul nucleo ed ha un andamento simmetrico nelle due direzioni

dell’asse, cambiando segno.

La Funzione d’Onda 2p

Il numero dei piani nodali è: (n - 1).

In corrispondenza di un piano nodale la funzione R(r, n, l)cambia segno.

Il Segno della Funzione d’Onda

Energie degli Orbitali negli Atomi Idrogenoidi

1s

2s 2px

2py

2pz

3s 3px

3py

3pz

3dxy

3dxz

3dyz

3dz2

3dx2-y2

La Struttura Elettronica dell’Atomo

• Le proprietà chimiche degli elementi dipendono

dalla posizione e dall’energia degli elettroni

(struttura elettronica)

• Per comprendere la struttura elettronica,

dovremo illustrare i concetti di:

1. Energia

2. Radiazione elettromagnetica

3. Teoria quantistica

4. L’atomo di idrogeno

5. Gli atomi polielettronici

Consideriamo un atomo con due elettroni e carica nucleare Z.

Il caso più semplice è l’atomo di Elio (Z = 2).

In questo caso non possiamo trascurare la repulsione

elettronica. Ne possiamo tenere conto assumendo che gli

elettroni “schermino” parzialmente la carica nucleare.

L’Atomo di Elio

Effetto Schermo degli Elettroni

• La carica nucleare netta sentita da un elettrone è definita

carica nucleare effettiva, Zeff.

• .�// = . � 0

• 0 è la costante di schermo:

• Energia atomi

idrogenoidi

• Energia atomi non

idrogenoidi

Carica Nucleare Effettiva

• A causa dell’effetto schermo, sottogusci elettronici

caratterizzati dallo stesso numero quantico principale

(ma diverso numero quantico secondario) hanno energie

diverse:

� 1 < � 3 < � 4 < �!/&

• L’energia dipende non solo da n ma anche da l.

• L’energia di un orbitale con lo stesso n ed l dipende dal

numero di cariche sul nucleo.

Energie degli Orbitali



• La configurazione elettronica di un atomo mostra il numero di

elettroni in ogni orbitale atomico.

• Principio di minima energia.

• Il Principio di esclusione di Pauli stabilisce che: “Due elettroni

in un atomo non possono avere gli stessi quattro numeri

quantici”.

• La conseguenza è che ogni orbitale può essere occupato da un

massimo di due elettroni.

• Regola di Hund: “quando due o più elettroni occupano orbitali

degeneri, essi si dispongono nel numero massimo possibile di

orbitali mantenendo gli spin paralleli”.

Struttura Elettronica degli Atomi Polielettronici

Energie degli Elettroni

Configurazioni Elettroniche

H: 1s1


He: 1s2


Li: 1s22s1 = [He]2s1


Be: 1s22s2 = [He]2s2


B: 1s22s22p1 = [He]2s22p1


C: 1s22s22p2 = [He]2s22p2


N: 1s22s22p3 = [He]2s22p3


O: 1s22s22p4 = [He]2s22p4


F: 1s22s22p5 = [He]2s22p5


Ne: 1s22s22p6

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