La spirale dell’incommensurabile

Cos’è un numero irrazionale??

• In matematica, un numero irrazionale è ogni numero reale che non può essere scritto come una frazione a / b con a e b interi ….. I numeri irrazionali sono esattamente quei numeri la cui espressione decimale non termina mai e non forma una sequenza periodica

Secondo la tradizione Ipparco scoprì i numeri irrazionali

mentre tentava di rappresentare la radice di 2

come frazione. Tuttavia Pitagora credeva

nell’incommensurabilità dei numeri e non poteva accettare

l’esistenza dei numeri irrazionali. Egli non era in grado di confutare la loro esistenza,

ma le sue credenze non potevano tollerarne l’esistenza e, secondo una leggenda, per questo condannò Ipparco a

morire annegato.

IRRAZIONALE … ma …

Una dimostrazione dell'irrazionalità della radice quadrata di 2 è la seguente, che procede per assurdo:

• Se è un numero razionale esisteranno due interi a e b tali che a/b = • è una frazione irriducibile a/b tale che a e b sono interi primi tra loro e (a/b)2=2• Segue che a2 / b2 = 2 ed a2 = 2b2• Dunque a2 è pari perché è uguale a 2b2 che è ovviamente pari• Segue che anche a deve essere pari• Poiché a è pari, esiste un intero k che soddisfa: a = 2k• Sostituendo otteniamo: 2b2 = (2k)2, cioè b2 = 2k2

• Poiché 2k2 è pari segue che anche b2 è pari e quindi anche b è pari• a e b sono entrambi pari, che contraddice il fatto che a / b sia irriducibile

A volte possiamo confonderci e scambiare i numeri periodici per i numeri irrazionali … per evitare ciò dobbiamo trasformare un numero che ci viene dato in frazione:

Seguendo le istruzioni della spiegazione illustrata proviamo a calcolare:

3,7162162162162162162..

• per iniziare scriviamo il numero in forma periodica

• ora sottraiamo l’intero e antiperiodo all’intero numero

(37162-37=37125)• ora mettiamo al denominatore

tanti nove quante sono le cifre del periodo e tanti zeri quante sono

quelle dell’antiperiodo• ora cerchiamo di semplificare

per ridurre la frazione il più possibile

Essendo riusciti a scrivere il numero in frazione siamo sicuri che 3,7162162162162…. NON E’ IRRAZIONALE

Una costruzione classica riguardante i numeri irrazionali e nota come Spirale di Teodoro permette di costruire geometricamente le radici quadrate dei numeri interi:

Lavoro: ”La spirale dell’incommensurabile” Viaggio nel mondo dell’incommensurabileProfessoressa: G. Case

Realizzato da: Carmen Tavolari, Alessia Rossini, Massimo Barile, Francesco Coviello e Luisa

Pecicciaa.s.: 2008/2009

Liceo classico “Socrate”