La regla de la cadena

Regla de la Cadena

David J. Coronado1

1Departamento de Formacion General y Ciencias BasicasUniversidad Simon Bolıvar

Matematicas I

D. Coronado Cadena

Contenido

1 Regla de la CadenaEl TeoremaEjemplos

2 Derivadas de Orden SuperiorDefinicionEjemplos

D. Coronado Cadena

Contenido

1 Regla de la CadenaEl TeoremaEjemplos

2 Derivadas de Orden SuperiorDefinicionEjemplos

D. Coronado Cadena

Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

El TeoremaEjemplos

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1 Regla de la CadenaEl TeoremaEjemplos

2 Derivadas de Orden SuperiorDefinicionEjemplos

D. Coronado Cadena

Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

El TeoremaEjemplos

Regla de la Cadena

Teorema (Regla de la Cadena)

Suponga que f es derivable en x y que g es derivable en f (x).Entonces la composicion h = (g ◦ f )(x) = g(f (x)) es derivable enx y su derivada es

h′(x) = g ′(f (x)) · f ′(x)

D. Coronado Cadena

Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

El TeoremaEjemplos

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1 Regla de la CadenaEl TeoremaEjemplos

2 Derivadas de Orden SuperiorDefinicionEjemplos

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Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

El TeoremaEjemplos

Regla de la Cadena

Ejemplo

Derivar y =1

(2x3 − x + 7)usando la regla de la cadena:

Solucion:Recordemos:

(1x

)′= − 1

x2 ; (2x3 − x + 7)′ = 6x2 − 1 Entonces[1

(2x3 − x + 7)

]′= − 1

(2x3 − x + 7)2· (2x3 − x + 7)′

= − 1

(2x3 − x + 7)2(6x2 − 1)

= − 6x2 − 1

(2x3 − x + 7)2

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Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

El TeoremaEjemplos

Regla de la Cadena

Ejemplo

Derivar y =1

(2x3 − x + 7)usando la regla de la cadena:

Solucion:Recordemos:

(1x

)′= − 1

x2 ; (2x3 − x + 7)′ = 6x2 − 1 Entonces[1

(2x3 − x + 7)

]′= − 1

(2x3 − x + 7)2· (2x3 − x + 7)′

= − 1

(2x3 − x + 7)2(6x2 − 1)

= − 6x2 − 1

(2x3 − x + 7)2

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El TeoremaEjemplos

Regla de la Cadena

Ejemplo

Derivar y =1

(2x3 − x + 7)usando la regla de la cadena:

Solucion:Recordemos:

(1x

)′= − 1

x2 ; (2x3 − x + 7)′ = 6x2 − 1 Entonces[1

(2x3 − x + 7)

]′= − 1

(2x3 − x + 7)2· (2x3 − x + 7)′

= − 1

(2x3 − x + 7)2(6x2 − 1)

= − 6x2 − 1

(2x3 − x + 7)2

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El TeoremaEjemplos

Regla de la Cadena

Ejemplo

Derivar y =1

(2x3 − x + 7)usando la regla de la cadena:

Solucion:Recordemos:

(1x

)′= − 1

x2 ; (2x3 − x + 7)′ = 6x2 − 1 Entonces[1

(2x3 − x + 7)

]′= − 1

(2x3 − x + 7)2· (2x3 − x + 7)′

= − 1

(2x3 − x + 7)2(6x2 − 1)

= − 6x2 − 1

(2x3 − x + 7)2

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Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

El TeoremaEjemplos

Regla de la Cadena

Ejemplo

Derivar y =1√x

usando la regla de la cadena:

Solucion:

(1√x

)′ = − 1

(√

x)2(√

x)′

= − 1

|x |1

2√

x

= − 1

2x√

x

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El TeoremaEjemplos

Regla de la Cadena

Ejemplo

Derivar y =1√x

usando la regla de la cadena:

Solucion:

(1√x

)′ = − 1

(√

x)2(√

x)′

= − 1

|x |1

2√

x

= − 1

2x√

x

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El TeoremaEjemplos

Regla de la Cadena

Ejemplo

Derivar y =1√x

usando la regla de la cadena:

Solucion:

(1√x

)′ = − 1

(√

x)2(√

x)′

= − 1

|x |1

2√

x

= − 1

2x√

x

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El TeoremaEjemplos

Regla de la Cadena

Ejemplo

Derivar y = cos3 x usando la regla de la cadena:

Solucion:Recordemos que (cos x)′ = −senx (x3)′ = 3x2

Primero derivamos la potencia:

(cos3 x)′ = 3 cos2 x · (cos x)′

= 3 cos2 x · (−senx)

= −3senx cos2 x

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Regla de la Cadena

Ejemplo

Derivar y = cos3 x usando la regla de la cadena:

Solucion:Recordemos que (cos x)′ = −senx (x3)′ = 3x2

Primero derivamos la potencia:

(cos3 x)′ = 3 cos2 x · (cos x)′

= 3 cos2 x · (−senx)

= −3senx cos2 x

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Regla de la Cadena

Ejemplo

Derivar y = cos3 x usando la regla de la cadena:

Solucion:Recordemos que (cos x)′ = −senx (x3)′ = 3x2

Primero derivamos la potencia:

(cos3 x)′ = 3 cos2 x · (cos x)′

= 3 cos2 x · (−senx)

= −3senx cos2 x

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El TeoremaEjemplos

Regla de la Cadena

Ejemplo

Derivar y = cos3 x usando la regla de la cadena:

Solucion:Recordemos que (cos x)′ = −senx (x3)′ = 3x2

Primero derivamos la potencia:

(cos3 x)′ = 3 cos2 x · (cos x)′

= 3 cos2 x · (−senx)

= −3senx cos2 x

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El TeoremaEjemplos

Regla de la Cadena

Ejemplo

Derivar y = cos3 x usando la regla de la cadena:

Solucion:Recordemos que (cos x)′ = −senx (x3)′ = 3x2

Primero derivamos la potencia:

(cos3 x)′ = 3 cos2 x · (cos x)′

= 3 cos2 x · (−senx)

= −3senx cos2 x

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Regla de la Cadena

Ejemplo

Derivar y = cos x3 = cos(x3) usando la regla de la cadena:

Solucion:Recordemos que (cos x)′ = −senx (x3)′ = 3x2

(cos x3)′ = (−senx3) · (x3)′

= (−senx3) · (3x2)

= −3x2senx3

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El TeoremaEjemplos

Regla de la Cadena

Ejemplo

Derivar y = cos x3 = cos(x3) usando la regla de la cadena:

Solucion:Recordemos que (cos x)′ = −senx (x3)′ = 3x2

(cos x3)′ = (−senx3) · (x3)′

= (−senx3) · (3x2)

= −3x2senx3

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El TeoremaEjemplos

Regla de la Cadena

Ejemplo

Derivar y = cos x3 = cos(x3) usando la regla de la cadena:

Solucion:Recordemos que (cos x)′ = −senx (x3)′ = 3x2

(cos x3)′ = (−senx3) · (x3)′

= (−senx3) · (3x2)

= −3x2senx3

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El TeoremaEjemplos

Regla de la Cadena

Ejemplo

Derivar y = cos x3 = cos(x3) usando la regla de la cadena:

Solucion:Recordemos que (cos x)′ = −senx (x3)′ = 3x2

(cos x3)′ = (−senx3) · (x3)′

= (−senx3) · (3x2)

= −3x2senx3

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Regla de la Cadena

Ejemplo

Derivar y =√

2− 3 tan x usando la regla de la cadena:

Solucion:Recordar (

√x)′ = 1

2√x

(tan x)′ = sec2 x

Aplicando la regla de la cadena nos queda:

(√

2− 3 tan x)′ =1

2√

2− 3 tan x· (2− 3 tan x)′

=1

2√

2− 3 tan x· (−3 sec2 x)

= − 3 sec2 x

2√

2− 3 tan x

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Regla de la Cadena

Ejemplo

Derivar y =√

2− 3 tan x usando la regla de la cadena:

Solucion:Recordar (

√x)′ = 1

2√x

(tan x)′ = sec2 x

Aplicando la regla de la cadena nos queda:

(√

2− 3 tan x)′ =1

2√

2− 3 tan x· (2− 3 tan x)′

=1

2√

2− 3 tan x· (−3 sec2 x)

= − 3 sec2 x

2√

2− 3 tan x

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El TeoremaEjemplos

Regla de la Cadena

Ejemplo

Derivar y =√

2− 3 tan x usando la regla de la cadena:

Solucion:Recordar (

√x)′ = 1

2√x

(tan x)′ = sec2 x

Aplicando la regla de la cadena nos queda:

(√

2− 3 tan x)′ =1

2√

2− 3 tan x· (2− 3 tan x)′

=1

2√

2− 3 tan x· (−3 sec2 x)

= − 3 sec2 x

2√

2− 3 tan x

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Regla de la Cadena

Ejemplo

Derivar y =√

2− 3 tan x usando la regla de la cadena:

Solucion:Recordar (

√x)′ = 1

2√x

(tan x)′ = sec2 x

Aplicando la regla de la cadena nos queda:

(√

2− 3 tan x)′ =1

2√

2− 3 tan x· (2− 3 tan x)′

=1

2√

2− 3 tan x· (−3 sec2 x)

= − 3 sec2 x

2√

2− 3 tan x

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Regla de la Cadena

Ejemplo

Derivar y = ln(x2) = ln x2 usando la regla de la cadena:

Solucion:

(ln x2)′ =1

x2· (x2)′

=1

x2· 2x

=2

x

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El TeoremaEjemplos

Regla de la Cadena

Ejemplo

Derivar y = ln(x2) = ln x2 usando la regla de la cadena:

Solucion:

(ln x2)′ =1

x2· (x2)′

=1

x2· 2x

=2

x

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Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

El TeoremaEjemplos

Regla de la Cadena

Ejemplo

Derivar y = ln(x2) = ln x2 usando la regla de la cadena:

Solucion:

(ln x2)′ =1

x2· (x2)′

=1

x2· 2x

=2

x

D. Coronado Cadena

Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

El TeoremaEjemplos

Regla de la Cadena

Ejemplo

Derivar y = ln2 x = (ln x)2 usando la regla de la cadena:

Solucion:

(ln2 x)′ = 2 ln x · (ln x)′

= 2 ln x · 1

x

=2 ln x

x

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El TeoremaEjemplos

Regla de la Cadena

Ejemplo

Derivar y = ln2 x = (ln x)2 usando la regla de la cadena:

Solucion:

(ln2 x)′ = 2 ln x · (ln x)′

= 2 ln x · 1

x

=2 ln x

x

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Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

El TeoremaEjemplos

Regla de la Cadena

Ejemplo

Derivar y = ln2 x = (ln x)2 usando la regla de la cadena:

Solucion:

(ln2 x)′ = 2 ln x · (ln x)′

= 2 ln x · 1

x

=2 ln x

x

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Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

El TeoremaEjemplos

Regla de la Cadena

Ejemplo

Derivar y =[x + (x + x2)−3

]−5usando la regla de la cadena:

Solucion:Primero se deriva la potencia −5:[[

x + (x + x2)−3]−5]′

= −5[x + (x + x2)−3

]−6·[x + (x + x2)−3

]′

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El TeoremaEjemplos

Regla de la Cadena

Ejemplo

Derivar y =[x + (x + x2)−3

]−5usando la regla de la cadena:

Solucion:Primero se deriva la potencia −5:[[

x + (x + x2)−3]−5]′

= −5[x + (x + x2)−3

]−6·[x + (x + x2)−3

]′

D. Coronado Cadena

Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

El TeoremaEjemplos

Regla de la Cadena

Ejemplo

Derivar y =[x + (x + x2)−3

]−5usando la regla de la cadena:

Solucion:Primero se deriva la potencia −5:[[

x + (x + x2)−3]−5]′

= −5[x + (x + x2)−3

]−6·[x + (x + x2)−3

]′

D. Coronado Cadena

Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

El TeoremaEjemplos

Regla de la Cadena

Ejemplo

Derivar y =[x + (x + x2)−3

]−5usando la regla de la cadena:

Solucion:Primero se deriva la potencia −5:[[

x + (x + x2)−3]−5]′

= −5[x + (x + x2)−3

]−6·[x + (x + x2)−3

]′Ahora derivamos la suma[

x + (x + x2)−3]′

=[x ′ +

[(x + x2)−3

]′]

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Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

El TeoremaEjemplos

Regla de la Cadena

Ejemplo

Derivar y =[x + (x + x2)−3

]−5usando la regla de la cadena:

Solucion:Primero se deriva la potencia −5:[[

x + (x + x2)−3]−5]′

= −5[x + (x + x2)−3

]−6·[x + (x + x2)−3

]′Regla de la cadena en el segundo termino[

x ′ + (x + x2)−3]′

=[1 +

(−3(x + x2)−4 · (x + x2)′

)]=

[1− 3(x + x2)−4 · (1 + 2x)

]D. Coronado Cadena

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El TeoremaEjemplos

Regla de la Cadena

Ejemplo

Derivar y =[x + (x + x2)−3

]−5usando la regla de la cadena:

Solucion:Primero se deriva la potencia −5:[[

x + (x + x2)−3]−5]′

= −5[x + (x + x2)−3

]−6·[x + (x + x2)−3

]′Ası [[

x + (x + x2)−3]−5]′

= −5[x + (x + x2)−3

]−4 ·

·[1− 3(x + x2)−4 · (1 + 2x)

]D. Coronado Cadena

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El TeoremaEjemplos

Regla de la Cadena

Ejemplo

Calcular[(

sen x + tan3 x2)5]′

.

Solucion:

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Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

El TeoremaEjemplos

Regla de la Cadena

Ejemplo

Calcular[(

sen x + tan3 x2)5]′

.

Solucion:

D. Coronado Cadena

Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

El TeoremaEjemplos

Regla de la Cadena

Ejemplo

Calcular[(

sen x + tan3 x2)5]′

.

Solucion:[(sen x + tan3 x2

)5]′

= 5(sen x + tan3 x2

)4[cos x + 6x tan2 x2 sec2 x2

]

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Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

El TeoremaEjemplos

Regla de la Cadena

Ejemplo

Calcular[(

sen x + tan3 x2)5]′

.

Solucion:El cual se obtiene derivando de la siguiente manera:[(

sen x + tan3 x2)5]′

= 5(sen x + tan3 x2

)4 [sen x + tan3 x2

]′

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Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

El TeoremaEjemplos

Regla de la Cadena

Ejemplo

Calcular[(

sen x + tan3 x2)5]′

.

Solucion:

[sen x + tan3 x2

]′=

[(sen x)′ + (tan3 x2)′

]= cos x + (3 tan2 x2)(tan x2)′

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Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

El TeoremaEjemplos

Regla de la Cadena

Ejemplo

Calcular[(

sen x + tan3 x2)5]′

.

Solucion:

(tan x2)′ = (sec2 x2)(2x)

D. Coronado Cadena

Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

El TeoremaEjemplos

Regla de la Cadena

Ejemplo

Calcular[(

sen x + tan3 x2)5]′

.

Solucion:Finalmente, simplificamos:[(

sen x + tan3 x2)5]′

= 5(sen x + tan3 x2

)4[cos x + 6x tan2 x2 sec2 x2

]

D. Coronado Cadena

Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

DefinicionEjemplos

Contenido

1 Regla de la CadenaEl TeoremaEjemplos

2 Derivadas de Orden SuperiorDefinicionEjemplos

D. Coronado Cadena

Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

DefinicionEjemplos

Derivadas superiores

La segunda derivada de f es la funcion f ′′ y su valor en x es:

f ′′(x) = D(f ′(x)) = D(D(f )) = D2f (x) =d

dx

(d

dxf (x)

)=

d2f

dx2.

De manera analoga se definen la tercera derivada:

f ′′′(x) = (f ′′(x))′

Y ası sucesivamente

f (n)(x) = (f (n−1)(x))′.

D. Coronado Cadena

Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

DefinicionEjemplos

Derivadas superiores

La segunda derivada de f es la funcion f ′′ y su valor en x es:

f ′′(x) = D(f ′(x)) = D(D(f )) = D2f (x) =d

dx

(d

dxf (x)

)=

d2f

dx2.

De manera analoga se definen la tercera derivada:

f ′′′(x) = (f ′′(x))′

Y ası sucesivamente

f (n)(x) = (f (n−1)(x))′.

D. Coronado Cadena

Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

DefinicionEjemplos

Derivadas superiores

La segunda derivada de f es la funcion f ′′ y su valor en x es:

f ′′(x) = D(f ′(x)) = D(D(f )) = D2f (x) =d

dx

(d

dxf (x)

)=

d2f

dx2.

De manera analoga se definen la tercera derivada:

f ′′′(x) = (f ′′(x))′

Y ası sucesivamente

f (n)(x) = (f (n−1)(x))′.

D. Coronado Cadena

Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

DefinicionEjemplos

Contenido

1 Regla de la CadenaEl TeoremaEjemplos

2 Derivadas de Orden SuperiorDefinicionEjemplos

D. Coronado Cadena

Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

DefinicionEjemplos

Derivadas superiores

Ejemplo

Calcule las primeras 3 derivadas de f (x) = 2x3 + 1x2 + 16x1/2

Solucion:

D. Coronado Cadena

Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

DefinicionEjemplos

Derivadas superiores

Ejemplo

Calcule las primeras 3 derivadas de f (x) = 2x3 + 1x2 + 16x1/2

Solucion:

D. Coronado Cadena

Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

DefinicionEjemplos

Derivadas superiores

Ejemplo

Calcule las primeras 3 derivadas de f (x) = 2x3 + 1x2 + 16x1/2

Solucion:Primero calculamos y simplificamos la primera derivada:

f ′(x) =

(2x3 +

1

x2+ 16x1/2

)′= 6x2 +

(−2x−3

)+ 16

(1

2x−1/2

)= 6x2 − 2

x3+

8

x1/2

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Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

DefinicionEjemplos

Derivadas superiores

Ejemplo

Calcule las primeras 3 derivadas de f (x) = 2x3 + 1x2 + 16x1/2

Solucion:Ahora volvemos a derivar:

f ′′(x) =

(6x2 − 2

x3+

8

x1/2

)′= 12x −

(−2(3)x−4

)+ 8

(−1

2x−3/2

)= 12x +

6

x4− 4

x3/2

D. Coronado Cadena

Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

DefinicionEjemplos

Derivadas superiores

Ejemplo

Calcule las primeras 3 derivadas de f (x) = 2x3 + 1x2 + 16x1/2

Solucion:Derivando por tercera vez:

f ′′′(x) =

(12x +

6

x4− 4

x3/2

)′= 12 + 6(−4)x−5 − 4

(−3

2

)x−5/2

= 12− 24

x5+

6

x5/2

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Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

DefinicionEjemplos

Derivadas superiores

Ejemplo

Calcule las primeras 3 derivadas de f (x) = ln x

Solucion:Esta vez derivaremos y simplificaremos una vez por lınea. Es decir,cada lınea, a partir de la segunda, es la derivada de la derivadaobtenida en la lınea anterior:

f ′(x) =1

x

f ′′(x) = − 1

x2

f ′′′(x) =2

x3

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Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

DefinicionEjemplos

Derivadas superiores

Ejemplo

Calcule las primeras 3 derivadas de f (x) = ln x

Solucion:Esta vez derivaremos y simplificaremos una vez por lınea. Es decir,cada lınea, a partir de la segunda, es la derivada de la derivadaobtenida en la lınea anterior:

f ′(x) =1

x

f ′′(x) = − 1

x2

f ′′′(x) =2

x3

D. Coronado Cadena

Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

DefinicionEjemplos

Derivadas superiores

Ejemplo

Calcule las primeras 3 derivadas de f (x) = ln x

Solucion:Esta vez derivaremos y simplificaremos una vez por lınea. Es decir,cada lınea, a partir de la segunda, es la derivada de la derivadaobtenida en la lınea anterior:

f ′(x) =1

x

f ′′(x) = − 1

x2

f ′′′(x) =2

x3

D. Coronado Cadena

Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

DefinicionEjemplos

Derivadas superiores

Ejemplo

Calcule las primeras 3 derivadas de f (x) = ln x

Solucion:Esta vez derivaremos y simplificaremos una vez por lınea. Es decir,cada lınea, a partir de la segunda, es la derivada de la derivadaobtenida en la lınea anterior:

f ′(x) =1

x

f ′′(x) = − 1

x2

f ′′′(x) =2

x3

D. Coronado Cadena

Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

DefinicionEjemplos

Derivadas superiores

Ejemplo

Calcule las primeras 3 derivadas de f (x) = senx

Solucion:

f ′(x) = cos x

f ′′(x) = −senx

f ′′′(x) = − cos x

Serıas capaz de predecir cual sera la cuarta derivada, la sexta, lanovena.

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Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

DefinicionEjemplos

Derivadas superiores

Ejemplo

Calcule las primeras 3 derivadas de f (x) = senx

Solucion:

f ′(x) = cos x

f ′′(x) = −senx

f ′′′(x) = − cos x

Serıas capaz de predecir cual sera la cuarta derivada, la sexta, lanovena.

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Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

DefinicionEjemplos

Derivadas superiores

Ejemplo

Calcule las primeras 3 derivadas de f (x) = senx

Solucion:

f ′(x) = cos x

f ′′(x) = −senx

f ′′′(x) = − cos x

Serıas capaz de predecir cual sera la cuarta derivada, la sexta, lanovena.

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Regla de la CadenaDerivadas de Orden Superior

DefinicionEjemplos

Derivadas superiores

Ejemplo

Calcule las primeras 3 derivadas de f (x) = senx

Solucion:

f ′(x) = cos x

f ′′(x) = −senx

f ′′′(x) = − cos x

Serıas capaz de predecir cual sera la cuarta derivada, la sexta, lanovena.

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DefinicionEjemplos

FIN

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