M ´ aster Universitario en F ´ ısica y Matem ´ aticas Trabajo de Fin de M ´ aster La polarizaci ´ on del vac ´ ıo en electrodin ´ amica cu ´ antica bidimensional Facultad de Ciencias Curso 2019/2020 Autora: Esperanza Maya Barbecho Tutora: Marina de la Torre Mayado
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Master Universitario en Fısica y Matematicas
Trabajo de Fin de Master
La polarizacion del vacıo enelectrodinamica cuantica
bidimensional
Facultad de Ciencias
Curso 2019/2020
Autora: Esperanza Maya Barbecho
Tutora: Marina de la Torre Mayado
Master Universitario en Fısica y Matematicas
Trabajo de Fin de Master
La polarizacion del vacıo enelectrodinamica cuantica
bidimensional
Facultad de Ciencias
Curso 2019/2020
Autora: Esperanza Maya Barbecho
Tutora: Marina de la Torre Mayado
Resumen
La Electrodinamica Cuantica describe las interacciones del campo electromagnetico con
los electrones y positrones en un marco regido por las leyes de la Relatividad Especial
y la Mecanica Cuantica. Durante los anos ochenta del siglo XX aparecieron interesantes
investigaciones en Electrodinamica Cuantica en un espacio-tiempo de (2+1) dimensio-
nes, por un lado por razones puramente teoricas y por otro lado para intentar explicar
importantes experimentos realizados en el marco de la Fısica de la Materia Condensada
como son: el Efecto Hall Cuantico [1], [2], la superconductividad de alta temperatura [3],
etc. En ambos casos, se trata de fenomenos cuanticos de muchos cuerpos que incluyen
interacciones de fermiones cargados con el campo electromagnetico, y que se producen
esencialmente en dos dimensiones espaciales.
El objetivo general de este Trabajo de Fin de Master es, conocida la Electrodinamica
Cuantica en el espacio-tiempo (3+1)-dimensional, estudiar el caso en (2+1) dimensiones
y analizar las diferencias y similitudes que hay entre ambas teorıas.
Se planteara ası, en el caso de dos dimensiones espaciales, el estudio de procesos de
scattering al orden mas bajo en teorıa de perturbaciones, tales como el scattering Møller
y el scattering Compton. A continuacion, se abordara el estudio de las correcciones ra-
diativas a un lazo, donde aparecen divergencias ultravioletas e infrarrojas. El objetivo
particular del trabajo sera el estudio del proceso de polarizacion del vacıo y el analisis
de su importancia en el caso bidimensional, ya que de la regularizacion a un lazo apare-
ce la anomalıa en este tipo de teorıas de campos que esta relacionada con el termino de
Chern-Simons. Finalmente, se analizara la conexion entre este proceso en Electrodinamica
Cuantica Bidimensional y la conductividad Hall del Efecto Hall Cuantico.
Para calcular la integral en el momento q, se puede realizar una rotacion al espacio
Euclıdeo conocida como rotacion de Wick, en la cual q0 = iq0. De esta manera la ecuacion
(4.19), donde hemos pasado a coordenadas polares en el espacio tridimensional Euclıdeo,
se escribe como:
ie20Πµν
R (k) =−ie2
0
π2
∫ 1
0
dx
∫ ∞0
q2dq[q2
3gµν + x(1− x) (−2kµkν + k2gµν) +m2gµν + imεµναkα
(−q2 + k2x(1− x)−m2)2
−terminos reguladores] .
(4.20)
De forma general se pueden encontrar dos tipos de integrales a resolver:
La primera de ellas es:
∫ Λ
0
q4dq
(q2 + a2)2 = Λ +a2
2
Λ
(Λ2 + a2)− 3a
2arctan
Λ
a, (4.21)
donde a2 = m2 − x(1 − x)k2. Ademas se comprueba que aparece una divergencia lineal
para la teorıa cuando tomamos el lımite Λ −→∞. La segunda integral a resolver es:
∫ Λ
0
q2dq
(q2 + a2)2 = −1
2
Λ
(Λ2 + a2)+
1
2aarctan
Λ
a(4.22)
donde podemos ver que en el lımite Λ −→∞ no aparece ninguna divergencia
Los resultados que se han obtenido en el caso tridimensional pueden compararse con los
que se obtendrıan en cuatro dimensiones. Ası, en este ultimo caso aparecen dos diver-
gencias, una cuadratica y una logarıtmica [24], mientras que en tres dimensiones solo
aparece una divergencia lineal. Por tanto, se comprueba que las divergencias ultravioletas
caracterısticas de estas teorıas han disminuido en una unidad.
Sustituyendo los resultados anteriores en la ecuacion (4.20) y teniendo en cuenta que
los coeficientes Cj satisfacen las condiciones (4.15) de forma que es posible eliminar la
41
CAPITULO 4. CORRECCIONES RADIATIVAS A UN LAZO. POLARIZACIONDEL VACIO
divergencia lineal, se tiene la integral:
ie20Πµν
R (k) =−ie2
0
4π
∫ 1
0
dx
[2x(1− x) (k2gµν − kµkν) + imεµναkα
(m2 − k2x(1− x))1/2−
−terminos reguladores] .
(4.23)
Realizando la integracion en x, el tensor de polarizacion regularizado es:
ΠµνR = (kµkν − gµνk2)ΠPV
R (k2) + iεµναkαΠPVR (k2), (4.24)
donde
ΠPVR
(k2)
= − 1
12πM+
1
2π
[(k2 + 4m2)
8k3ln
(2|m|+ k
2|m| − k
)− |m|
2k2
](4.25)
ΠPVR
(k2)
=im
8πM− m
4π
[1
kln
(2|m|+ k
2|m| − k
)](4.26)
Donde se ha tenido en cuenta que M21 y M2
2 son mucho mayores que m2, lo que permite
simplicar la expresion obtenida y se ha definido1
M=
C1
M1
+C2
M2
. De esta forma se tiene
el tensor de polarizacion del vacıo regularizado.
Si tenemos en cuenta el lımite M m las expresiones (4.25) y (4.26) pueden escribirse
de forma independiente del parametro de regulacion,
ΠPVR
(k2)
=m
2π
[(k2 + 4m2)
8k3ln
(2|m|+ k
2|m| − k
)− |m|
2k2
], (4.27)
ΠPVR
(k2)
= −m4π
[1
kln
(2|m|+ k
2|m| − k
)]. (4.28)
Es interesante observar teniendo en cuenta el resultado (4.24) que aparece un termino
anomalo, asociado al tensor totalmente antisimetrico, εµνα, debido a que viola paridad
en el espacio tiempo tridimensional. Este resultado esta relacionado con el termino de
Chern-Simons, que induce una masa topologica al foton.
4.3.2. Renormalizacion
Las divergencias ultravioletas que aparecen en la teorıa al ir a ordenes superiores en teorıa
de perturbaciones pueden eliminarse por medio del proceso de renormalizacion.
42
CAPITULO 4. CORRECCIONES RADIATIVAS A UN LAZO. POLARIZACIONDEL VACIO
Para llevar a cabo este proceso, en este trabajo, utilizaremos un metodo iterativo mediante
el cual se anaden terminos adicionales, conocidos como contraterminos de renormalizacion,
a la densidad Lagrangiana inicial.
De esta forma, para plantear la renormalizacion del campo electromagnetico, se considera
la siguiente densidad Lagrangiana:
L = −1
4F µνFµν −
ξ
2(∂µA
µ)(∂νAν). (4.29)
Para hallar los contraterminos necesarios, el campo y el parametro gauge renormalizados
son respectivamente:
AµR ≡ Z−1/23 Aµ, ξR ≡ Z3ξ (4.30)
Por tanto, la densidad Lagrangiana resultante es:
L = L0 + Lcont
= −1
4F µνR FRµν −
ξR2
(∂µAµR)(∂νA
νR)− 1
4(Z3 − 1)F µν
R FRµν(4.31)
De esta forma puede encontrarse ie2Πµνct como la suma del vertice correspondiente a la
densidad Lagrangiana de contraterminos, Lcont y el termino asignado a los diagramas en
loop, que se denomina como ie2Πµν ,
e20Πµν
ct (k) =(Z−1
3 − 1) (−k2gµν + kµkν
)+ e2
0Πµν(k). (4.32)
Siendo e0 = Z−13 e la carga renormalizada.
Ademas el propagador del foton completo viene dado por la siguiente suma,
iDµνF (k) = iD
(0)µνF (k) + iD
(0)Fµλ
(k)ie20Πλα(k)iD
(0)Fαν
(k) + . . . , (4.33)
de forma que, teniendo en cuenta que representa una serie armonica, puede obtenerse el
propagador del foton completo:
iDµνF (k) =
[(iD
(0)µνF (k)
)−1
− ie20Πµν(k)
]−1
, (4.34)
Donde Πµν(k) es el tensor de polarizacion, que en funcion de las cantidades encontradas
en la seccion anterior para el proceso de regularizacion de Pauli-Villars tiene la siguiente
43
CAPITULO 4. CORRECCIONES RADIATIVAS A UN LAZO. POLARIZACIONDEL VACIO
forma:
Πµν(k2) = (kµkν − gµνk2)ΠPVR (k2) + iεµναkαΠPV
R (k2). (4.35)
Ademas ΠPVR (k2) y ΠPV
R (k2) vienen dados por las ecuaciones (4.25) y (4.26) respectiva-
mente.
Entonces, teniendo en cuenta la expresion para el propagador del foton libre,
iD(0)Fαβ
(k) = −i[
gαβk2 + iε
+1− ξξ
kαkβ
(k2 + iε)2
], (4.36)
se sustituye el tensor de polarizacion en el propagador total, dando como resultado:
ie20D
µνF (k) = −ie2
0
gµνk2 − (1− ξ) kµkν − e2
0
[(−k2gµν + kµkν
)ΠPVR (k2) + iεµνλkλΠ
PVR (k2)
]−1
.
(4.37)
A continuacion puede usarse la ecuacion (4.32), si denotamos Πµνct (k2) = (−k2gµν +
kµkν)Πct(k2), lo que conduce a
e20ΠPV
R (k2) = Z−13 − 1 + e2
0Πct(k2). (4.38)
La constante de renormalizacion Z3 puede hallarse ademas como:
Z−13 = 1− e2
0gµν∂Πµν
∂k2
∣∣∣∣∣k2=0
= 1− e20
12π|m|(4.39)
Por otro lado, ΠPVR (k2) puede escribirse como la suma de dos contribuciones, es decir,
ΠPVR (k2) = ΠPV
R (0) + Πct(k2), (4.40)
donde la expresion de ΠPVR (0) puede hallarse y se obtiene como resultado:
ΠPVR (0) =
−m4π|m|
(4.41)
El siguiente paso es introducir la carga y el parametro gauge renormalizados, es decir,
sustituir
44
CAPITULO 4. CORRECCIONES RADIATIVAS A UN LAZO. POLARIZACIONDEL VACIO
e2 = e20Z3
ξR = Z3ξ(4.42)
en la ecuacion (4.35). El resultado es,
iDµνF (k) =− i
k2gµν
(1− e2Πct(k
2))
+ kµkν(ξR − 1 + e2Πct(k
2))
− 2iεµνλkλe2(
ΠPVR (0) + Πct(k
2))−1 (4.43)
En este resultado puede comprobarse que aparece un termino anomalo que es proporcional
a εµνλkλ e introduce una masa topologica al foton [26].
Por tanto, dado que se conoce el desplazamiento del polo del propagador libre, la masa
en reposo no nula del foton fısico en el plano, conocida como masa topologica, es:
θR = −e2ΠPVR (0) =
e2m
4π|m|(4.44)
De esta forma, la densidad Lagrangiana para el campo electromagnetico en el plano se
ve modificada por un termino de masa para el foton que se corresponde con la densidad
Lagrangiana de tipo Chern-Simons (Capıtulo 2),
L = −1
4F µνFµν −
ξ
2(∂µA
µ) (∂νAν) +
θR4εµνλFµνAλ. (4.45)
Por otro lado, la densidad Lagrangiana de contraterminos no cambia su expresion ya que
el nuevo termino no introduce ningun contratermino adicional, es decir,
Lcont = −1
4(Z3 − 1)F µνFµν (4.46)
Es interesante ademas notar que aunque solo se han tenido en cuenta correcciones radiati-
vas a un loop, el origen topologico de la masa inducida da lugar a que no haya correcciones
si se consideran mas loops. De esta forma, los calculos a dos loops realizados en [27] y [28]
no obtienen correccion alguna. La demostracion de este resultado para todos los loops fue
dada por Coleman y Hill en [29].
45
CAPITULO 4. CORRECCIONES RADIATIVAS A UN LAZO. POLARIZACIONDEL VACIO
4.4. Formula de Kubo y conductividad Hall
El efecto Hall cuantico es uno de los fenomenos mas destacados de la fısica de la materia
condensada, dado que se trata una manifestacion macroscopica de la mecanica cuantica.
En esta seccion se hace una descripcion del efecto Hall como posible forma de aplicacion
de los resultados anteriores para la polarizacion del vacıo en electrodinamica cuantica
bidimensional.
Desde el descubrimiento del efecto Hall cuantico entero y fraccionario han sido muchos
los trabajos publicados sobre este fenomeno, tanto a nivel experimental [30], [31], [32],
[33] como teorico [26], [34], [35]. En este trabajo tratamos de relacionar aspectos de la
teorıa cuantica de campos bidimensional con resultados de materia condensada (Efecto
Hall Cuantico) a traves de la conexion entre la formula de Kubo y la polarizacion del
vacıo [36].
De esta forma, en primer lugar se describen brevemente las caracterısticas del efecto Hall
cuantico entero y fraccionario. Posteriormente se introduce la formula de Kubo, que se
trata de una ecuacion que permite expresar la respuesta lineal de un observable debido
a una perturbacion que depende del tiempo [37]. Esta formula puede relaccionarse con
el tensor de conductividad, que esta conectado con la polarizacion del vacıo en electro-
dinamica cuantica bidimensional. Por ultimo se calcula el factor de llenado y se interpreta
el resultado obtenido.
4.4.1. El efecto Hall cuantico
El efecto Hall clasico fue descubierto en 1879 por Edwin Hall [9] y se trata de una conse-
cuencia del movimiento de partıculas cargadas en presencia de un campo magnetico.
El efecto Hall clasico puede observarse colocando una fina lamina metalica, que considera-
remos de espesor δ, en presencia de un campo magnetico constante y uniforme perpendi-
cular a la lamina metalica, es decir, en la direccion z. Como resultado el movimiento de los
electrones son orbitas circulares restringidas al plano. Si ademas se aplica una corriente en
la direccion x, los electrones se ven acelerados y las trayectorias pasan a ser helicoidales.
El resultado es la acumulacion de carga en uno de los lados de la lamina, dando lugar a
la aparicion de un voltaje, conocido como voltaje Hall, VH .
Si consideramos campos magneticos y electricos constantes, y nos limitamos al plano
perpendicular al campo magnetico, el tensor de resistividad es:
ρ =
(ρ0
Bnec
− Bnec
ρ0
)(4.47)
46
CAPITULO 4. CORRECCIONES RADIATIVAS A UN LAZO. POLARIZACIONDEL VACIO
Figura 4.3: Resistividad frente al campo magnetico para el efecto Hall clasico [38].
De forma que si se representa la resistividad longitudinal y transversal frente al campo
magnetico se obtiene ( ver Figura 4.3).
La resistencia Hall puede hallarse ademas a partir del tensor de resistividad, teniendo en
cuenta que δ es la anchura de la lamina y que se define ρH = ρxy:
RH =ρHδ
=B
necδ. (4.48)
El efecto Hall cuantico sin embargo no fue descubierto hasta 1980. Esto es debido a
la dificultad experimental para alcanzar las condiciones bajo las cuales se observa este
efecto. Ademas es posible diferenciar entre dos tipos de efecto Hall cuantico. Estos son el
efecto Hall cuantico entero y el fraccionario. Para observar ambos es necesario tener un
gas bidimensional de electrones, ası como temperaturas muy bajas ( por debajo de los
15K para el efecto Hall cuantico entero y por debajo de los 40mK para el fraccionario) y
campos magneticos muy intensos (del orden de los 15T para el efecto Hall cuantico entero
y de 40T para el fraccionario).
Los primeros experimentos realizados sobre el efecto Hall cuantico fueron llevados a ca-
bo por von Klitzing y sus colaboradores en 1980 [1]. Para realizar dichos experimentos
emplearon como hemos comentado anteriormente, un gas bidimensional de electrones,
temperaturas por debajo de los 2K, campos magneticos del orden de 15T ademas de
campos electricos poco intensos para producir la corriente en la muestra.
El resultado a esperar, es de acuerdo a la ecuacion (4.48), que la resistividad Hall varıe
linealmente con el campo magnetico como se observa en la figura 4.3, sin embargo, expe-
rimentalmente aparecen una serie de mesetas en las que la resistividad Hall es constante e
47
CAPITULO 4. CORRECCIONES RADIATIVAS A UN LAZO. POLARIZACIONDEL VACIO
Figura 4.4: Resistividad Hall y resistividad longitudinal a temperatura constante en elefecto Hall cuantico Entero [38].
independiente de las caracterısticas del experimento. Ademas la resistividad longitudinal,
es nula en los intervalos que corresponden a las mesetas, como puede apreciarse en la
figura 4.4. Esto es lo que se conoce como efecto Hall cuantico entero.
En dichos intervalos el tensor de conductividad es el siguiente:
σ =
(0 −ν e2
h
ν e2
h0
), ν = 1, 2, · · · (4.49)
siendo q = e,−e > 0 la carga del electron, h la constante de Planck y ν se conoce como
factor de llenado.
La resistencia Hall puede hallarse ademas teniendo en cuenta que se considera un gas
bidimensional de electrones (δ −→ 0) y por tanto coincide con la resistividad. Este valor
puede medirse con una precision mayor a 10−8:
RH ≡ ρH =h
νe2, ν = 1, 2, 3, · · · (4.50)
Este resultado es ademas muy importante porque no depende de la geometrıa ni de las
caracterısticas del material, es decir, la resistividad Hall que se calcula coincide con lo que
se mide.
El efecto Hall cuantico fraccionario fue observado mas tarde, en 1982, por D.C. Tsui, H.L.
48
CAPITULO 4. CORRECCIONES RADIATIVAS A UN LAZO. POLARIZACIONDEL VACIO
Figura 4.5: Resistividad Hall y resistividad longitudinal en el efecto Hall cuantico fraccio-nario [35].
Stormer y A.C. Gossard [2]. Para observar este efecto realizaron el experimento empleando
heteroestructuras de alta calidad, es decir, materiales con muy pocas impurezas. Ademas
la muestra fue sometida a temperaturas muy bajas, de aproximadamente 40mK, y a
campos magneticos muy intensos, del orden de 40T. Esto, como veremos mas adelante,
es debido a que el desorden juega un papel fundamental en la observacion del efecto Hall
cuantico entero, no siendo ası para el efecto Hall fraccionario.
El resultado obtenido fue una meseta paraσHh
e2=
1
3junto a un mınimo en la conductivi-
dad longitudinal, aunque estudios posteriores demostraron la presencia de mesetas para
diferentes fracciones deσHh
e2=p
q, siendo p y q enteros primos entre sı y q impar. Es decir,
el factor de llenado que se obtiene ahora es ν =p
q.
Ademas la precision en la medida de la conductividad Hall sobre las mesetas es bastante
menor en el caso del efecto Hall cuantico fraccionario (10−5).
Es interesante observar que el orden en el que aparecen las mesetas a medida que se dis-
minuye la temperatura presenta ademas una jerarquıa, dado que las mesetas mas estables
son aquellas con denominador pequeno. Una representacion grafica de estos resultados
puede verse en la figura 4.5.
Para interpretar los resultados obtenidos resulta de utilidad comparar la expresion de la
resistividad Hall clasica con la determinada experimentalmente en el Efecto Hall Cuantico,
ası:
49
CAPITULO 4. CORRECCIONES RADIATIVAS A UN LAZO. POLARIZACIONDEL VACIO
ρH =B
nec≡ h
νe2=⇒ ν =
n(eBhc
) , (4.51)
donde ν es un entero para el Efecto Hall Cuantico Entero y un numero fraccionario de
denominador impar para el Efecto Hall Cuantico Fraccionario.
Estos resultados pueden explicarse empleando la mecanica cuantica, ya que el espectro
de una partıcula cargada en presencia de un campo magnetico viene dada por los niveles
de Landau.
La densidad de estados posibles para cada nivel de Landau, por unidad de area y de espın
es:
nB =eB
hc, (4.52)
con lo cual el factor de llenado es:
ν =n
nB. (4.53)
Sin embargo esto solo explica el valor obtenido para la resistividad en el centro de la
meseta.
Para explicar la aparicion de mesetas en el efecto Hall cuantico entero debemos tener en
cuenta que el espectro del sistema presenta dos tipos de estados, como se muestra en la
figura 4.6, estos son los estados localizados y los estados extensos. En los estados extensos
los electrones se mueven con total libertad, mientras que en los estados localizados los
electrones estan ligados a las impurezas, dando lugar a que para un rango de valores de
campo magnetico la resistividad no varıe, apareciendo ası las mesetas [39].
Cuando se reduce el desorden las mesetas del efecto Hall cuantico entero son menos
notables y aparecen para valores fraccionarios del factor de llenado. Para explicar este
efecto, a diferencia del efecto Hall cuantico entero, en el cual se consideran electrones
libres, es necesario considerar las interacciones entre electrones, dando lugar a un problema
mucho mas difıcil de resolver [41], [42], [43].
4.4.2. Formula de Kubo relativista y polarizacion del vacıo.
Para obtener el factor de llenado en el efecto Hall cuantico el observable a estudiar es el
tensor de conductividad σµν . Comenzamos suponiendo un material al cual se le aplica un
campo electrico externo, dando lugar a corrientes inducidas que generan a su vez campos
electricos internos. En este apartado se sigue la referencia [44].
50
CAPITULO 4. CORRECCIONES RADIATIVAS A UN LAZO. POLARIZACIONDEL VACIO
Figura 4.6: Origen de las mesetas para el efecto Hall cuantico entero [40].
El hamiltoniano del sistema puede descomponerse en el hamiltoniano en equilibrio, que
denominamos H0 y en el hamiltoniano perturbado H ′(t), de forma que el campo electrico
total se relaciona con la perturbacion mediante el potencial escalar φ(~r, t) como
H ′(t) =
∫d3rρ(~r)φ(~r, t), (4.54)
siendo ρ(~r) = eψ(~r)†ψ(~r). El hamiltoniano perturbado puede ademas obtenerse en fun-
cion del potencial vector, dando lugar a un resultado similar al que se muestra en esta
seccion.
Si se tiene en cuenta la teorıa de la respuesta lineal, junto con el colectivo gran canonico,
se define H0 = H0 − µN , siendo µ el potencial quımico y N el operador numero de
partıculas.
De esta forma, la ecuacion de movimiento para el operador densidad en la imagen de
Heisenberg es:
∂ρH(~r, t)
∂t
∣∣t=0
= −i[H0, ρ(~r)]. (4.55)
Este resultado es de utilidad, puesto que si tomamos la derivada temporal de H ′H(t) en la
ecuacion (4.54) se tiene,
51
CAPITULO 4. CORRECCIONES RADIATIVAS A UN LAZO. POLARIZACIONDEL VACIO
H ′(t) = −i∫d3r[H0, ρ(~r)]φ(~r, t) =
∫d3r
∂ρH(~r, t)
∂t
∣∣t=0φ(~r, t)
= −∫d3r~∇ ~J(~r)φ(~r, t) =
∫d3r ~J(~r)~∇φ(~r, t) = −
∫d3r ~J(~r) ~E(~r, t)
(4.56)
Donde ~J(~r) es el operador densidad de corriente en el caso relativista. Ademas en el
desarrollo de (4.56) se ha empleado la ecuacion de continuidad, ~∇ ~J(~r) =∂ρ(~r)
∂t, y el
teorema de Gauss, considerando condiciones de contorno periodicas en la superficie del
solido.
Haciendo uso de este resultado y de la formula de Kubo, que para un operador generico
A(t) es de la forma:
δA(t) = −∫ t
−∞dt′∫ β
0
dλTrρ0H
′I (t′ − iλ)AI(t)
= −
∫ t
−∞dt′∫ β
0
dλTrρ0H
′ (t′)AI (t− t′ + iλ),
(4.57)
la componente µ-esima de la corriente puede escribirse como:
Jµ(r, t) =∑ν
∫d3r′
∫ ∞−∞
dt′σµν (~r, ~r′, t, t′)Eν (~r′, t) , (4.58)
donde la funcion de correlacion viene dada por:
σµν (~r, ~r′, t, t′) = Θ (t− t′)∫ β
0
dλTr ρ0Jν(~r, 0)Jµ (~r′, t− t′ + iλ) . (4.59)
Los operadores estan en la imagen de Heisenberg y Θ(t − t′) es la funcion escalon, σµν
expresa la respuesta lineal de la componente µ de J dada por la proyeccion de cada
componente sobre Eν .
En algunas situaciones, cuando la corriente medida es un promedio de la corriente local
dada por la ecuacion (4.58) en una region muy grande, puede asumirse que σµν(~r, ~r′; t−t′)
es homogenea en el espacio, y ası la dependencia de σµν sera de la forma σµν(~r−~r′; t− t′),si calculamos la transformada de Fourier de la ecuacion (4.58):
Jµ(~q, ω) =∑ν
σµν(~q, ω)Eν(~q, ω), (4.60)
junto al tensor de conductividad σµν(~q, ω).
52
CAPITULO 4. CORRECCIONES RADIATIVAS A UN LAZO. POLARIZACIONDEL VACIO
Figura 4.7: Diagrama Feynman para la polarizacion del vacıo, correspondiente con lafuncion de correlacion Πµν a primer orden [16].
σµν(~q, ω) =
∫ ∞0
dteiωt∫ β
0
dλTr ρ0Jν(−~q, 0)Jµ(~q, t+ iλ) . (4.61)
Integrando la ecuacion (4.61) [44], se obtiene:
σµν(~q, ω) = i
∫ ∞0
dteiωt∫ ∞t
dt′Tr ρ0 [Jµ (~q, t′) Jν(−~q, 0)] . (4.62)
Se define la funcion de correlacion corriente-corriente,
Σµν(~q, ω) =
∫ ∞0
dteiωt Tr ρ0 [Jµ(~q, t), Jν(−~q, 0)] , (4.63)
de tal manera que el tensor de conductividad puede reescribirse como:
σµν(~q, ω) =Σµν(~q, ω)− Σµν(~q, 0)
ω, (4.64)
y en el lımite ω −→ 0 resulta:
σµν =dΣµν
dω. (4.65)
En el contexto de la teorıa cuantica de campos la funcion de correlacion viene dada
por,
Πµν(x) = 〈0 |Jµ(x)Jν(0)| 0〉 , (4.66)
y representa el diagrama de polarizacion del vacıo, ver figura 4.7.
53
CAPITULO 4. CORRECCIONES RADIATIVAS A UN LAZO. POLARIZACIONDEL VACIO
4.4.3. El factor de llenado: efecto Hall cuantico para ν =1
2.
Es posible calcular el factor de llenado a partir de la definicion de la conductividad Hall
como la parte lineal de la funcion de correlacion corriente-corriente junto a los resultados
encontrados en la seccion anterior para el tensor de polarizacion:
σxy =1
3!εµνη
∂
∂qηie2Πµρ(q2)
∣∣∣q=0
, (4.67)
de forma que empleando la ecuacion (4.35) se obtiene:
σxy = − 1
3!εµνη
∂
∂qη(e2εµνλqλΠ
PVR (q2))
∣∣∣q=0
= −e2ΠPVR (0)− e2
3!qη
∂
∂qηΠPVR (q2)
∣∣∣q=0
(4.68)
Esto permite utilizar los resultados:
ΠPVR (0) =
−m4π|m|
(4.69)
q2 ∂
∂q2ΠPVR
∣∣∣∣q=0
= 0, (4.70)
que junto a la definicion:
σxy = νe2
h, (4.71)
nos permite encontrar finalmente: ν =1
2, cuya interpretacion daremos al final de esta
seccion.
Otra forma de obtener este resultado es la siguiente, consideremos la funcion de correlacion
corriente-corriente dada por:
Πµν(q) = − e2
(2π)3
∫d3pTr γνSF (p− q)γµSF (p) , (4.72)
en el espacio de momentos donde SF es el propagador del fermion. A continuacion, debe-
mos calcular:
∂
∂qαΠµν(q) = − e2
(2π)3
∫d3pTr
γν
(∂
∂qαSF (p− q)
)γµSF (p)
, (4.73)
54
CAPITULO 4. CORRECCIONES RADIATIVAS A UN LAZO. POLARIZACIONDEL VACIO
donde para calcular la derivada del propagador SF (p − q) debemos tener en cuenta que
se trata de una matriz, lo que implica que:
∂SF (p− q)∂qα
= −SF (p− q)∂SF (p− q)−1
∂qαSF (p− q). (4.74)
Utilizando este resultado y tomando el lımite q −→ 0 se obtiene [45]:
∂Πµν(q)
∂qα
∣∣∣∣q=0
= − e2
(2π)3
∫d3pTr
γνSF (p)
(∂
∂pαS−1F (p)
)SF (p)γµSF (p)
(4.75)
Para desarrollar la ecuacion (4.75) es necesario emplear la identidad de Ward-Takahashi
[46] y [47]. Segun esta es correcto escribir:
∂S−1F (p)
∂pµ=
∂
∂pµ(/p−m) = γµ (4.76)
De esta forma (4.75) es ahora:
∂Πµν(q)
∂qα
∣∣∣∣q=0
= − e2
(2π)3
∫d3p Tr
∂ν(S−1F (p)
)SF (p)∂α
(S−1F (p)
)SF (p)∂µ
(S−1F (p)
)SF (p)
,
(4.77)
Teniendo en cuenta que el factor de llenado viene dado por
ν =hσxye2
, (4.78)
resulta:
ν = − εαβρ
24π2
∫d3pTr
∂α(S−1(p)
)S(p)∂β
(S−1(p)
)S(p)∂ρ
(S−1(p)
)S(p)
. (4.79)
El siguiente paso es sustituir la expresion del propagador del foton, que resulta en:
ν = − εαβρ
24π2
∫d3pTr
γα
(/p+m
p2 −m2
)γβ
(/p+m
p2 −m2
)γρ
(/p+m
p2 −m2
)= − ε
αβρ
24π2
∫d3p
Trγα(/p+m)γβ(/p+m)γρ(/p+m)
(p2 −m2)3 .
(4.80)
La traza ademas puede desarrollarse teniendo en cuenta las identidades del apendice B.
Ası, se descompone:
55
CAPITULO 4. CORRECCIONES RADIATIVAS A UN LAZO. POLARIZACIONDEL VACIO
Trγα(/p+m)γβ(/p+m)γρ(/p+m)
= Tr
γα/pγβ/pγρ/p
+ Tr
mγα/pγβγρ/p
+ Tr
mγαγβ/pγρ/p
+ Tr
m2γαγβγρ/p
+ Tr
mγα/pγβ/pγρ
+ Tr
m2γα/pγβγρ
+ Tr
m2γαγβ/pγρ
+ Tr
m3γαγβγρ
,
(4.81)
tal que se obtiene, teniendo en cuenta que ademas εβρηεαβρ = 2δαη :
εαβρ Trγα(/p+m)γβ(/p+m)γρ(/p+m)
= −2im
(2pαp
ηδαη − 2pµpρδρµ−
− 2pβpµδβµ + 4pµpρδ
ρµ − 2p2δρρ − 2pαp
ηδαη + 2pβpµδβµ − 2pρp
µδρµ + 2m2δρρ).
(4.82)
Por tanto el factor de llenado, considerando δρρ = 3 es:
ν = − 1
24π2
∫d3p
12im(p2 −m2)
(p2 −m2)3= − 1
24π2
∫d3p
12im
(p2 −m2)2. (4.83)
Empleando a continuacion,
∫ddp
(p2 − s2)n= (−1)niπd/2
Γ(n− d/2)
Γ(n)sd/2−n (4.84)
se obtiene
ν = − im2π2
(−1)2iπ3/2 Γ(2− 3/2)
Γ(2)
(m2)−1/2
=1
2. (4.85)
Este resultado, que fue previamente obtenido en [48], no se corresponde con un entero ni
con una fraccion de denominador impar, por lo que en principio no deberıa corresponderse
con el efecto Hall cuantico entero ni con el fraccionario.
Para interpretar este resultado inicialmente se propuso que era necesario multiplicar por
dos debido a la degeneracion de espın de las partıculas [48], [49], de forma que se con-
seguirıa el factor de llenado ν = 1 caracterıstico del efecto Hall cuantico entero. Sin
embargo mas tarde se demostro que no existe degeneracion debida al espın [50], ademas
de encontrar experimentalmente el valor1
2para el factor de llenado [51].
Ademas el factor de llenado ν =1
2se ha calculado a campo magnetico externo nulo, por
lo que en un principio no debe corresponder al efecto Hall cuantico entero ni al efecto
Hall cuantico fraccionario.
El factor de llenado ν =1
2se ha encontrado en sistemas que tienen un pozo de potencial
muy ancho, con la peculiaridad de que es necesario temperaturas del orden del milikelvin
56
CAPITULO 4. CORRECCIONES RADIATIVAS A UN LAZO. POLARIZACIONDEL VACIO
para observarlo. Ademas, teniendo en cuenta que se aprecia mejor cuanto menor sea la
temperatura, el campo magnetico que es necesario aplicar tambien disminuye. De esta
forma, el fenomeno fısico al que corresponde el factor de llenado1
2es el efecto Hall
cuantico a campo cero [41], [36].
57
Capıtulo 5
Conclusiones
Las conclusiones mas destacadas del desarrollo de este trabajo fin de master son:
Una vez conocida la electrodinamica cuantica en el caso mas estandar de (3+1)-
dimensiones espaciales, se ha realizado un estudio de la electrodinamica cuantica en
(2+1)-dimensiones, con especial enfasis en la densidad Lagrangiana y en los terminos
de los que esta se compone. De este modo cabe destacar el termino de la densidad
Lagrangiana de Chern-Simons, que es un resultado propio del caso especial que se
trata en este trabajo.
Ademas se ha realizado una analisis dimensional para la electrodinamica cuantica
en (2+1)-dimensiones en comparacion con el caso en (3+1)-dimensiones, poniendose
de manifiesto algunas de las diferencias fundamentales.
Por otro lado se ha expuesto la teorıa de perturbaciones y el elemento de matriz
para la electrodinamica cuantica bidimensional, finalizando con la exposicion de las
reglas de Feynman para el caso estudiado.
En el capıtulo 3 se ha planteado el estudio de algunos procesos de scattering al orden
mas bajo en teorıa de perturbaciones. De esta manera se ha comenzado realizando
un analisis de la longitud eficaz diferencial ası como de las diferencias que surgen
en el estudio de la suma en el espın y las polarizaciones en (2+1)-dimensiones res-
pecto al caso de tres dimensiones espaciales. Una vez realizado este estudio, se han
llevado a cabo los calculos para el scattering Møller y para el scattering Compton,
encontrandose diferencias con el resultado mas habitual cuadridimensional. En par-
ticular, el hecho de que la traza de un numero impar de matrices gamma en QED2+1
sea distinta de cero, se traduce en un considerable aumento de la complejidad de los
calculos de las trazas para obtener la longitud eficaz diferencial para estos procesos
en el plano.
58
CAPITULO 5. CONCLUSIONES
En el capıtulo 4 se ha abordado el estudio de las correcciones radiativas a un loop o
lazo.
De esta forma se ha realizado un estudio comparativo del grado superficial de di-
vergencia en electrodinamica cuantica en (2+1) y en (3+1)-dimensiones.
Posteriormente, tras introducir las correcciones radiativas a un loop en QED2+1, se
ha estudiado el proceso de polarizacion de vacıo, utilizando en particular el metodo
de regularizacion de Pauli-Villars previo a la renormalizacion de la teorıa.
Finalmente se ha introducido una posible aplicacion del tensor de polarizacion del
vacıo en electrodinamica cuantica bidimensional a traves de la formula de Kubo
para la obtencion de la conductividad Hall.
De esta forma se han presentado las propiedades fundamentales del efecto Hall
cuantico entero y fraccionario como procesos de materia condensada que ocurren en
plano, sirviendo ası de introduccion al caso estudiado por su relevancia teorica.
Posteriormente se ha empleado la formula de Kubo, la cual se ha relacionado con el
tensor de polarizacion del vacıo con el objetivo de obtener el factor de llenado para
el efecto Hall cuantico.
Para finalizar, una vez hallado el valor para dicho factor de llenado, se ha realizado
un analisis de este con el objetivo de dar una interpretacion fısica a dicho resultado.
59
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