La Modelacin Matemtica: alternativa didctica en la enseanza de
preclculo Dr. Orlando Planchart Mrquez, UIPR-PonceResumenEn el
presente trabajo se analiza, primeramente, la problemtica y el
significado del proceso de aprendizaje relacionado con los sistemas
de representaciones que conducen a la modelacin de las funciones en
cursos de preclculo. En segundo lugar, se identifican algunos
obstculos que surgen al momento de cambiar de registros semiticos
del concepto en estudio. Por ltimo, mediante un proceso de
reflexin, se proponen actividades de simulacin y modelacin como una
alternativa para integrar distintas representaciones de las
funciones en los cursos de preclculo y mejorar la enseanza en este
nivel. Se incluyen las conclusiones de un trabajo de investigacin
(Planchart, 2002) en el cual se analizaron entrevistas y resultados
de actividades de simulacin y modelacin que condujeron a la
construccin de modelos geomtrico-dinmico, tabular-numrico, grfico y
algebraicos.IntroduccinLa resolucin de problemas con informacin y
datos recolectados de fenmenos fsicos adquiere da a da mayor auge
como alternativa de enseanza en los salones de clases. Las
corrientes contextualitas han contribuido a integrar otras reas
(estadstica, geometra, modelacin y simulacin matemtica, etc.) en
los cursos de Preclculo y Clculo. Se ha observado que, durante las
ltimas dcadas, se han incorporado nuevas estrategias en la enseanza
de las funciones y herramientas tecnolgicas en el saln de clases.
El contenido sobre funciones cubre gran parte del contenido del
curso de preclculo, este concepto permite desarrollar el proceso de
la simulacin y modelacin desde situaciones fsica y geomtrica, lo
que tambin permitir que se puedan exponer conocimientos matemticos
en forma gil y atractiva a los estudiantes. Hitt (2000) seal que a
travs de las funciones podemos modelar matemticamente un fenmeno de
la vida real, describir y analizar relaciones de hechos sin
necesidad de hacer a cada momento una descripcin verbal o un clculo
complicado de cada uno de los sucesos que estamos describiendo. La
modelacin relacionada con sistemas de representaciones integra:
smbolos, signos, figuras, grficas y construcciones geomtricas. stos
expresan el concepto y suscriben en s mismos el modelo con el cual
es posible interpretar y predecir comportamientos de fenmenos
fsicos. La simulacin y la modelacin son representaciones de un
objeto matemtico que est vinculado a una situacin fsica o real.
Cuando se logra la simulacin matemtica en el saln de clase, pueden
rescatarse ideas intuitivas que la matemtica formal excluye cuando
se transita de lo concreto a lo abstracto en la enseanza del
conocimiento matemtico. Una simulacin es un intento por imitar o
aproximarse a algo; por su parte, modelar significa construir una
representacin de algo. La diferencia semntica reside en que un
modelo es una representacin de estructuras, mientras que una
simulacin infiere un proceso o interaccin entre las estructuras del
modelo para crear un patrn de comportamiento (Steed M, 1991. p.39).
El trmino modelo se refiere a la generalizacin conceptual que se
abstrae de un grupo de experiencias con el propsito de categorizar
y sistematizar nuevas experiencias (Von Glasersfeld & Steefe,
1987, citado en Steefe, 1991, p.190). Se puede evidenciar que las
actividades de simulacin y de modelacin que se desarrollan con los
estudiantes sern efectivas en el logro del concepto matemtico.
Adems, pueden motivar a quines en el proceso de simular y modelar
construyen el concepto y ste adquiere sentido para ellos. Ball
& Wittrok (1973) [citados en Castro y Castro, 1997, p. 104]
sealaron que "Los sujetos que han dibujado por s mismos un diagrama
para la formacin de un concepto, recordarn dicho concepto con mayor
significacin que cuando se les ha proporcionado el dibujo". Cuando
se modelan situaciones reales u otras que se enmarcan en el proceso
cognitivo de la adquisicin del concepto de funcin, se provoca que
el estudiante, al aproximarse a fenmenos reales, analice y describa
los siguientes elementos matemticos: la significacin de objetos:
simblicos, verbales, grficos, algebraicos y numricos. En el proceso
de simulacin y de modelacin se produce la distincin de variables y
la relacin entre las variables, los cuales a su vez impulsa la
construccin de otros registros de representacin. Monk (1992)
consider que los modelos fsicos proveen a los estudiantes una visin
del procesamiento de la situacin funcional, la cual puede ampliar
en stos las perspectivas que tienen acerca de las funciones.En este
sentido, se considera que la enseanza se dirige a planteamientos ms
dinmicos en la adquisicin del conocimiento. Por lo tanto, la
simulacin y la modelacin son alternativas de transferencia dinmica
del conocimiento desde situaciones fsicas y geomtricas hasta la
estructuracin mental en el proceso de aprendizaje. La simulacin y
la modelacin matemticas, la matemtica en contexto y la incorporacin
de la nueva tecnologa pueden fortalecer el proceso
enseanza-aprendizaje. Los procesos matemticos son complicados en
trmino de aislar el problema que se est tratando dentro de un
contexto. Sin embargo, en la dcada pasada y lo que va de sta, una
corriente de investigadores impulsa el uso de las matemticas
planteadas desde contextos reales en la adquisicin de conceptos. La
simulacin de fenmenos fsicos a travs del uso de la microcomputadora
es imprescindible para la generacin de procesos de la mate
matizacin y formacin de conceptos, Hitt (1993, p.13).La situacin
del concepto de funcin en el entorno de la modelacinLos autores de
la mayora de los textos de Preclculo presentan el tema de las
funciones tomando como referencias situaciones de correspondencias
que se dan en el contexto fsico-real. En el mbito matemtico, esta
relacin se considera como una clase de correspondencia llamada
funcin. La definicin de este concepto, en muchas ocasiones, se
reduce a establecer la relacin entre dos cantidades. Callahan &
Hoffman (1995) afirman que: Una funcin describe cmo una cantidad
depende de otra. De forma general este concepto se presenta en tres
modalidades: como una relacin con lo fsico-real, como
representaciones y como definiciones. La utilidad de las funciones
y el estudio con distintas representaciones llevan a reflexionar
sobre el potencial didctico que se tiene cuando se aborda la
realidad con determinados esquemas mentales o modelos matemticos o
a travs de una simulacin del problema real. Como se mencion
anteriormente, las estrategias que se utilizan para aprender
matemticas a partir de situaciones y fenmenos del mundo fsico han
cobrado fuerza en los ltimos aos. stas incluyen interpretar la
realidad a partir de la identificacin de las variables
participantes, la recoleccin de datos que se generan en las
situaciones reales o simuladas y modelacin de las situaciones. La
perspectiva correcta se da principalmente a partir del medio
ambiente hacia las matemticas y no en la otra direccin. No: primero
hacer las matemticas y despus regresar al mundo real, sino el mundo
real primero, y despus la mate matizacin. El mundo real qu
significa? perdonen esta expresin descuidada. Al ensear a mate
matizar el mundo real est representado por un contexto
significativo que involucra un problema matemtico. Significativo
por supuesto quiere decir significativo para quienes aprenden. Las
matemticas deberan ser enseadas dentro de contextos y a m me
gustara que las matemticas ms abstractas fueran enseadas dentro de
los contextos ms concretos, Freundental (1980, p. 20).El concepto
de funcin responde a diferentes definiciones y etapas histricas.
Las definiciones han sido alteradas conforme a los avances
tecnolgicos que se han promovido en la enseanza de la matemtica
(calculadoras grficas, paquete de programacin de instruccin
interactiva, entre otro). En este sentido, Hitt y Torres (1994)
incluyen en su trabajo cuatro definiciones. La definicin dada en
trminos de variables que seala que: cuando dos variables estn
relacionadas de tal manera que el valor de la primera queda
determinado si se da un valor a la segunda, entonces se dice que la
primera es funcin de la segunda. Muy distinta a la ofrecida en
trminos de conjunto de pares ordenados: una funcin es un conjunto
de pares ordenados de elementos tales que ningunos dos pares
ordenados tienen tiene el mismo primer elemento. El conjunto de los
primeros elementos de los pares ordenados se llama dominio y el
conjunto de los segundos elementos rango de la funcin. La definicin
como una regla de correspondencia se explica de la siguiente
manera: una funcin f de un conjunto A un conjunto B es una regla de
correspondencia que asignan a cada valor de x de cierto subconjunto
D de A un elemento determinado de manera nica f(x) de B. Y por
ltimo, la definicin en trminos de mquina, ms acorde con los
tiempos: una funcin es un procedimiento P que toma una o ms
entradas que salidas, y que tiene la propiedad de que cualesquiera
dos llamadas a P con las misma entrada regresa a la misma salida".
Dubinsky, Schwingendorf & Mathews (1994) incluyeron otras
categorizaciones de las funciones: a) funcin como expresin, b)
funcin como computer function, d) funcin como sucesin. Por otra
parte, algunos investigadores han buscado en la historia de las
matemticas lo relativo a la construccin del concepto de funcin con
la finalidad de lograr ideas que permitan superar dificultades que
se presentan en el proceso enseanza-aprendizaje. El concepto pas
por diferentes etapas histricas, en las que se fueron definiendo
elementos matemticos tales como: cantidad, variable y constante, y
se integran en la definicin de funcin. De manera ms general, cuando
se razona en la relacin que establece una variable en dependencia
de otra, se habla de una variable que est en funcin de otra, es
decir, se simplifica la idea de funcin. Formalmente, usamos el
trmino funcin de una manera ms precisa: una variable y se dice que
es funcin de otra variable x si cada valor de x determina un nico
valor de y. Callahan & Hoffman (1995, p.24), sealan que: una
funcin describe cmo una cantidad depende de otra. En la funcin S(t)
la variable t es llamada "input" (entrada) y la variable S,
"output" (salida). Una funcin es una regla que especifica cmo el
valor de una variable, la entrada determina el valor de la segunda
variable, la salida. Larson & Hostetler (2001) explica que: las
funciones comnmente estn representadas en cuatro formas:
verbalmente, por una oracin que describe cmo la variable de entrada
est relacionada con la variable de salida; numricamente, por una
tabla o lista de pares ordenados que hace corresponder un valor de
entrada con un valor de salida; grficamente, por puntos sobre una
grfica en un plano coordenado en el cual los valores de entradas
son representados por el eje horizontal y los valores de salida por
el eje vertical y, algebraicamente, por una ecuacin de dos
variables. Es nuestro inters de este trabajo que se aborde la
simulacin y la modelacin como un proceso que conduce al concepto de
funcin y de su aplicacin en diferentes escenarios. En el desarrollo
del estudio se detectan diversos elementos que participan en la
simulacin y modelacin. Entrevistas y anlisis En esta seccin
mostraremos fragmentos de las entrevistas realizadas a estudiantes
(JR., S.R. y C.B.) de Preclculo y se analizarn las respuestas y los
resultados del proceso de exploracin conducente al concepto de
funcin. En una segunda parte se hace un anlisis reflexivo de las
actividades de modelacin, fragmentos de reportes de trabajo y se
resalta la importancia de la integracin de distintos sistemas de
representacin.algunas ideas intuitivas y asociacin de imgenes
determinan respuestas errneas en la definicin de funciones El
siguiente episodio, pertenece a la entrevista a S.R.. Nos conduce a
reflexionar acerca del papel de las ideas intuitivas y la asociacin
de imgenes. A S.R. se le presentan tres grficas (vase). Se le pide
que responda cul de ellas es funcin. A continuacin describimos el
fragmento. O.P: En esta segunda, es funcin o no?SR.: S.R.: Se
repite en el eje y, est tocando el eje y. Sera x cero aqu, tiene
punto aqu (interseccin arriba) y este punto aqu (interseccin
abajo). O.P: O.P.: Si eliminramos el punto arriba y el punto bajo,
sera funcin?SR: S.R.: No, porque all es que termina. Si fuera una
lnea que no termina y no fuera un segmento, podramos decir que es
una funcin lineal. O.P: Quitando la de abajo o dejando la de
abajo?S.R:Cualquiera. Despus que no sea un segmento. O.P: Si yo
elimino la de abajo y queda la de arriba, es una funcin?SR.: Si,
sera esa lnea de este valor a este valor... . O.P: Sera
funcin?S.R.: S, pero bien limitado.O.P:Si la amplo?S.R.: Si, es
sta.S.R.: Igual.O.P.: Entonces t dices que un segmento es una
funcin?S.R.: S, de nmeros limitados.
Figura 1La percepcin visual es una de las vas de acercamiento a
los objetos, pero en algunas ocasiones, sta puede perturbar la
aprehensin del objeto, el cual puede estar determinado por los
tipos de imgenes mentales que tengan establecidas los individuos.
En este episodio se observ que SR. asoci la imagen de una recta
infinita con la definicin de funcin. Tal idea puede considerarse
intuitiva, pues surgi al momento de querer dar una respuesta sin
sta estar dentro de una estructura de conocimiento. Para S.R., la
grfica de un segmento (por supuesto, acotado) no es una funcin,
haciendo la salvedad, al decir que si lo es, pero es de nmeros
limitados. La idea intuitiva de S.R. se reafirma cuando la
estudiante seala que: no, porque all es que termina. Si fuera una
lnea que no termina y no fuera un segmento, podramos decir que es
una funcin lineal. Al final, concluye que podra ser funcin siempre
que no sea un segmento. Los resultados de investigaciones han
concluido (EVIDENCIADO?) que los procesos visuales intuitivos no
son suficientes para alcanzar los niveles de abstraccin que
permitan las representaciones semiticas. Hunt (1961) [citado en
Resnisck y Ford, 1990, p.224] seal que el conflicto cognitivo es lo
que suele acabar impulsando a los individuos a adoptar formas de
pensamientos nuevas y ms poderosas. Hitt (dem) seala que: la
dificultad de una tarea provoca que durante el proceso de resolucin
emerjan ideas intuitivas (algunas de ellas errneas) sin que el
individuo tenga conciencia de ello. (p. 251).Otro escenario que
puede conducir a dar respuestas incorrectas es cuando se aprehende
el objeto localmente y no globalmente. Monk (1992) seala que
algunos estudiantes, quienes no tienen dificultades para entender
datos representados grficamente de una manera puntual, pero
presentan serias dificultades para el entendimiento global.
Predominio de las funciones continuas sobre las funciones discretas
Qu lleva a los estudiantes a unir los puntos? Ser la inclinacin a
una imagen continua? o un condicionamiento en la enseanza?. Los
psiclogos de la corriente Gestaltistas sostienen que la mente
humana interpreta todas las sensaciones y experiencias de entrada
segn ciertos principios organizativos. En ese sentido, Resnick
& Ford (1990, p.159) sealan que: la teora de la Gestalt,
muestra que la percepcin de los puntos est dominada por nuestra
tendencia a verlos en agrupamientos que podemos reconocer como
formas: rombos, tringulo, cuadrado, hexgono.... La percepcin tiende
a buscar el cierre en tales figuras. La tensin que se origina por
la incogruencia visual se resuelve en la percepcin de un todo
unificado.
En el siguiente episodio de la entrevista con J.R., el
estudiante no concibe grficas de funciones no continuas ni
discretas. J.R. dibuja una serie de puntos provenientes de un
problema de datos discretos, se le pregunt por qu los uni. O.P: Y
por qu t uniste las lneas [puntos], Cul es la razn de que t unas
todas las lneas [puntos]?J.R: Pues para como me dice que
grafique... O.P: Grafique qu?J.R: La funcin de r (x)O.P: La
funcinJ.R: Pues si no se unieran los puntos qu va a dar eso un
chorrito de puntos y eso no va ser una grfica. Figura 2Duval (1993)
expresa que graficar (x,y) de una ecuacin y = x no es suficiente
para determinar trazos continuos, para ello se debe interpolar y
aceptar la pertinencia de la "ley gestaltista de contigidad.El
modelo tabular y la idea de continuidad de las funciones En el
siguiente dilogo, J.R. reconoci la representacin tabular como una
funcin, pero no concibi que la representacin grfica-discreta ni una
grfica segmentada fueran funcin. En esta oportunidad el estudiante
hace la conversin de tabla a grfica, pero no accede trasladar las
propiedades que estn inmersas en la representacin grfica. En el
siguiente episodio, el profesor inicia la entrevista al mostrar la
Figura 3 y luego le propone la Figura 4 para observar si desde all
podra dar una respuesta adecuada. O.P: Por ejemplo, tienes esta
tabla podemos considerarla como una funcin?xy
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Figura 3J.R: Puede que s S, porque le diste un valor a x y te
dio y. O.P: Fjate ahora: y si tuviramos, por ejemplo, algo
as...(Vase figura 4). J.R: Ms que este segmento [sealando el
segmento horizontal] O.P: Los dos segmentos Figura 4 J.R: Mmm, cmo
funcin? O.P: Como funcin. J.R: No. O.P: Cul es la idea de
funcin?J.R: La grfica de una funcin tiene que ser continua o dos
segmentos no hacen una sola funcin.Hitt (1996), en estudios
realizados con treinta profesores de matemticas de enseanza media,
observ que hubo una tendencia de considerar el concepto de funcin
ligado a la idea de funcin-continuidad expresada por una nica
frmula. Hitt (1996, p.252) en una de sus conclusiones dice que:
"Los resultados muestran que los profesores tienen una marcada
preferencia en las funciones continuas definidas exclusivamente con
una frmula". Por su parte, S.R, otro estudiante de preclculo, en el
siguiente episodio, mostr que tiene la prueba geomtrica
desconectada de la definicin. En el dilogo se refleja que no tiene
problema con la discontinuidad, cuando en la segunda grfica de la
Figura 5, ella afirma: "sta segunda es funcin". Reconoci la funcin
por la prueba geomtrica y tambin a travs de la definicin: "Es que
para x hay dos valores, eso no sera funcin". Figura 5
O.P: Cul de esas grficas) son funciones y cules No?,Por qu no
son funciones? Cul de stas es funcin? SR: La primera no es funcin,
porque aqu toca y aqu toca, si hacemos una recta vertical, tocara
en dos puntos. sta s es funcin (se refiere a la segunda). O.P: Y el
problema en este punto ac (en la discontinuidad)? (la segunda
figura) S.R: Este punto est vaco y este punto est sombreado. ste
no, porque igual si trazamos lneas verticales tocara aqu y aqu.
O.P: De qu otra manera t veras si es funcin o no? S.R: (Piensa).
Pues s, otra manera para ver si es funcin o no? Es que para x hay
dos valores, eso no sera funcin.Los estudiantes, en su mayora, no
tienen dificultad para decidir si es funcin o no en aquellas
grficas donde puedan acomodar la recta vertical como lo hicieron
los estudiantes entrevistados.
Necesidad de patrones para identificar las funciones en tablasEn
otro episodio de la entrevista se trat la definicin con respecto a
tablas. S.R intent hallar patrones que condujeran a ecuaciones
lineales. Se le mostr la tabla de la figura 6 y se desarroll el
dilogo como se presenta a continuacin.xY
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O.P: Ahora, con esta tabla, sta sera funcin? Sera funcin esta
tabla? S.R. Estoy tratando de buscarle la ecuacin. O.P: Si no
consigues la ecuacin? S.R. Si no consigo la ecuacin, pues no....no
es funcin. Figura 6S.R. explic en la entrevista que si los valores
no se comportaban dentro de un patrn que respondiera a una ecuacin
lineal y si no poda encontrar, entonces no sera funcin.
Textualmente, ella dijo: si no consigo la ecuacin, pues no... es
funcin. Este caso tiene particularidades similares a los resultados
de la investigacin que llev a cabo Hitt (dem), donde para un tercio
de la poblacin, la existencia de una expresin algebraica estaba
asociada a una curva (p. 256). Estas respuestas, tanto la de S.R.
como la de los maestros participantes de la investigacin citada,
coinciden en que hay una fijacin y asociaciones a ciertas imgenes
memorsticas de frmulas que se van estabilizando en el proceso de
aprendizaje y que perturban, en algunos momentos, el proceso de
aprendizaje. D Dificultades en la traslacin de tabla a grfica En el
siguiente episodio se muestra que el entrevistador influy en la
estudiante para que recapacitara en la manera de responder a la
pregunta que se le haba formulado y a la cual haba dado una
respuesta incorrecta. Se trat que la estudiante relacionara la
tabla con la representacin grfica donde el estudiante haba
comprobado con la prueba geomtrica que no era funcin. Sin embargo,
no se le hizo fcil conectar estas representaciones. En el dilogo
que se presenta a continuacin se evidencia esta problemtica.O.P: T
no relacionas este concepto de funcin con ste [Se presenta la
grfica donde aplic la recta vertical]
Figura 7xY27314667109
S.R: sta no es funcin [tabla].O.P: Entonces no la relacionas con
sta?.(Al lado de la tabla se puso la funcin que anteriormente ella
haba negado que fuera funcin con la idea de contrastarlas y ver si
esta grfica poda ser interpolada con la tabla) O.P sta sera
funcin?xy
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(segunda tabla)
Figura 8
O.P: No hay una relacin entre tabla y grfica? O.P: Esta segunda
tabla sera funcin? O. P: T dijiste que sta no era funcin, y ests
viendo esta tabla por el lado de la ecuacin o si puedes hacer una
funcin algebraica. Entonces, hay una similitud entre tabla y
grfica? S.R: Estoy tratando de buscarle el jueguito a esto. El
episodio anterior muestra cmo la estudiante incurri en una
contradiccin cuando utiliz la definicin de funcin y la prueba
geomtrica para tratar de decidir si las grficas representaban una
funcin. SR dijo que: "para x hay dos valores y eso no sera funcin."
Esta respuesta muestra que vincul la tabla con las grficas en el
plano cartesiano, pero no pudo trasladar esta aseveracin a la
tabla, e incluso, provoc que se equivocara en la definicin de
funcin. Se puede concluir que la estudiante no estableci el vnculo
entre la prueba geomtrica y la definicin de funcin en la tabla
propuesta. Definicin de funcin en el contexto vivencial versus la
expresin algebraicaLas preguntas de la parte de la entrevista que
se presenta a continuacin, tenan como objetivo conocer la idea del
estudiante acerca de la definicin de funcin. La pregunta se expres
en forma abierta. SR. respondi con una expresin algebraica
explicada y apoyada con situacin ficticia O.P: Para ti qu es una
funcin? SR.: Una funcin... SR.: Una funcin es una ecuacin que se
utiliza cuando uno tiene una tienda, y uno quiere saber las
ganancias. Vamos a suponer que en la ecuacin tuya la ganancia es
tal, es que si vendes tantas cosas, vendas tres. Vamos a suponer
que mi funcin imaginariamente, vamos a suponer, vendo tres libros
..F(x) = x2+ 18 S.R: Vendo tres libros y sustituyo. Vendo tres
libros y tengo en total 27. Pero si no vendo nada y me sale el
total negativo, me doy cuenta que estoy perdiendo. Esto es una
ayuda. Si vendo 10,000 libros no voy a estar contando todos los
chavos[1], quizs pierda el tiempo en eso, hago una ecuacin y salgo
ms rpido, hago una grfica y le puedo demostrar a un superior
mo.Este texto mostr que la estudiante S.R. imagin una situacin y la
traslad a una expresin simblica. Conjug esta operacin de tipo
comercial con una frmula matemtica y profundiz en la capacidad que
posee la frmula para inferir respuestas a nuevas situaciones, que
no es otra cosa que el modelo matemtico. Definicin de funcin en
trminos de la regla de correspondencia A otro estudiante
entrevistado, C.B., se le presentaron cuatro grficas para que
escogiera cules eran funciones. Como se pudo percibir, los
elementos de anlisis que l tena estaban relacionados con la prueba
geomtrica y con la definicin de funcin en trminos de
correspondencia. OP: Cules de stas son funciones? El estudiante
identificado como C.B., seal con mucha seguridad dos grficas que lo
son. Tambin explic porqu las otras grficas no eran funciones.
Veamos el episodio siguiente: C.B: De estas cuatro, son funciones
la segunda y la terceraOP: Por qu la primera no es funcin?C.B: No
es funcin porque como todos sabemos, toda x puede tener un solo
valor en y, sta tiene dos valores en y, sta tiene tres y sta tiene
tres; en la tercera parece que aqu le correspondieran dos, pero le
corresponde uno.O.P: Y la otra (crculo) la descartas?C.B: Al ser un
crculo y al trazar desde el eje x una recta ocupa dos espacios.C.B.
utiliz la regla de correspondencia de la funcin A cada elemento de
X le corresponde un solo elemento en Y. En otro momento, C.B.
relacion la unicidad con la prueba geomtrica. El entrevistado cambi
la estrategia y utiliz la prueba de la recta vertical cuando tuvo
que trabajar con el crculo.Cuando se le pregunt acerca de una
definicin de funcin en forma abierta, el estudiante, a diferencia
del entrevistado anterior -SR-, consider una tabla de valores como
una primera alternativa de funcin. Su primera referencia fue una
expresin simblica (F(x) = x2+ 18) y su segunda opcin fue la
descripcin verbal de una situacin real.OP: Qu es una funcin para
ti? En los puntos la vimos pero, ahora, como t crees que sea?
Puedes hacer grfica si quieres.El entrevistado, CB, escribe valores
en una tabla y dice: "En x tiene estos valores, en y
estos..."Figura 9
C.B: Un valor para cada uno. Para que sea funcin le tiene que
pertenecer un lugar (un valor). Y explic que "a esto no le
pertenece ste y ste". El estudiante, a pesar de que construy una
tabla, no identific los pares ordenados, prefiere relacionarlos
como conjuntos por separados, y dibujar una flecha que va de un
conjunto al otro. Es decir, estaba presente la regla de
correspondencia. De esta misma manera, S.R trabaj con las tablas,
tal vez, fue ms lejos, la escribi como conjuntos (diagrama
sagital).
Cmo predomina el modelo algebraico con respecto al modelo
grficoEl diagrama que presenta la figura 10 describe el proceso que
concluy en un error y la negacin de la grfica correcta que haba
propuesto C.B. ste logr en su primer intento, construir la grfica
correcta, pero cuando obtuvo la frmula algebraica, acept que haba
cometido un error y no estuvo de acuerdo con la grfica anterior. No
se detuvo a reflexionar en el error y no le confiri ninguna
confiabilidad a su pensamiento visual-geomtrico. El episodio
siguiente confirma su inclinacin por las ecuaciones algebraicas.
O.P: Ahora, cul es la ecuacin de la funcin que determina el
movimiento de este punto?,Cul va a ser esa funcin?C.B: Decimos que
AP es igual a 8 AP = AB - BP AP = 8 BP O.P: Vamos a llamar AP como
x y PB como y. Entonces escribes nuevamente lo que escribiste all.
Figura 11O.P: Cul de sta ser la variable dependiente y la variable
independienteC.B: x se est moviendo e y sera la variable
dependiente, la y depende de x.O.P: Cmo escribimos la ecuacin?El
estudiante responde de esta forma: x = 8 y -y = x + 8 [aqu comete
un error] (-1)(-y) = x + 8 (-1) y = -x - 8
O.P: Grafica sta para ver si funciona como aqulla que hiciste
all.....................................................................................
C.B: Si x vale 0 y sera 8 y = -(0) 8 = -8 Cuando x es igual a cero
y es igual a - 8, cuando x es 8 y es igual a 16.
Figura 12O.P: Aj, grafica eso con estos dos valores, para ver si
coincides con la que t hiciste primero. En el episodio siguiente se
observa cmo el estudiante muestra su preferencia por la expresin
algebraica.O.P: Cul t crees que tiene razn: aqulla o sta?C.B: sta
[seala la de abajo].C.B: Porque a sta la analic ms a fondo, busqu
la frmula.O.P: Crees ms en sta porque es frmula?C.B: [Piensa]. Por
lo menos tiene algo que acert, que iba descendiendo Vinner (1989),
en uno de sus trabajos, reconoci la preferencia que tienen los
estudiantes por una representacin algebraica. Pudo comprobar la
preferencia por las argumentaciones algebraicas de los estudiantes
que cursaban el curso Clculo I. Zimmerman & Cunningham (1991),
han advertido las preferencias que tienen los estudiantes por las
representaciones algebraicas, en los resultados de sus
investigaciones. Vinner (1989) seala que podra haber dos razones
para la preferencia del tratamiento algebraico. La primera razn es
que: "la creencia que la prueba algebraica es ms matemtica y para
un examen final es preferible tener la seguridad que arriesgarse
por la claridad, simplicidad, inmediatez de la prueba visual.
Mientras que la segunda es que: "la preparacin para un examen final
es a menudo por enseanza memorizada. Los estudiantes dan y
prefieren la memorizacin de frmulas y tcnicas algebraicas, lo cual
es una receta efectiva para tener xito en los exmenes." (p.92)Una
experiencia de simulacin y modelacinEn la resolucin de las cuatro
actividades desarrolladas en el curso de preclculo se esperaba que
los estudiantes simularan cada problema con el programa Cabr Gomtre
II. De la simulacin geomtrica respectiva recogieron datos en la
tabla, graficaron los puntos, y hallaron la representacin simblica
de la grfica. La tabla 1, abajo, muestra el nmero y porcentaje de
estudiantes que respondieron a cada modelo.ModeloActividad 1:X vs.
YActividad 2: Long. vs. reaActividad 3:Distancia vs.
CableActividad. 4 :Cuadrado y crculo
Dinmico-geomtrico (100 %) (82 %) (93 %) (64 % )
Tabular (95 %) (82 %) (93 %) (58 %)
Grfico (Manual) (95 %) (82% ) (76 %) (58 %)
Grfico (Cabr Gomtre II) (79 %) (33 %) (71 %) (52 %)
Algebraico (41 %) (35 %) (23 %) (17 %)
Tabla I. Resultados obtenidos (en nmeros y porcentajes) con 24
estudiantes. Construyeron cinco modelos para cada
actividadActividad IUn punto que se mueve de izquierda a derecha
sobre un segmento. Al inicio de este episodio, se le hace la
siguiente indicacin a C.B.:O.P: Construye un segmento horizontal,
coloca un punto encima del segmento. Ponle letras a los puntos
extremos A y B y P a este otro punto. Mueve el punto P a travs del
segmento. Vemos que AP aumenta y PB va disminuyendo y hay un valor
AP y otro PB. Ahora, Cul sera la grfica que genera la relacin AP
con PB?C.B: La relacin?O.P: Si, la relacin.Cmo el estudiante
configura este procedimiento? Podemos considerar si ste es un
proceso estable, y qu grado de credibilidad tiene para el
estudiante? El trabajo de Ben-Chaim, Lappan & Houang (1989 p.
49) permiti la interpretacin de este procedimiento. Se toman en
cuenta las afirmaciones de Piaget & Inhelder (1956) y de Bishop
(1983) para ampliar esta explicacin acerca de la visualizacin. Se
considera la necesidad de plantear el anlisis de la visualizacin
desde dos perspectivas: la psicolgica y aqullas que tratan con
aspectos que se toman en cuenta en el campo de la matemtica. En la
primera, se integra el pensamiento figurativo (patrones e imgenes
estticas) y el pensamiento operacional (manipulacin de imgenes y
patrones en el movimiento de los objetos). En la segunda, el campo
de la matemtica educativa comprende la habilidad de interpretar y
entender la informacin figurativa y tambin la capacidad para
conceptualizar y traducir relaciones abstractas e informacin no
figural y cambiarla a trminos visuales.
Figura 13 El entrevistado llamado C.B manej las variables AP y
PB dentro de un patrn que se determina en el contexto geomtrico de
un segmento, e inmediatamente lo traslad a un sistema de
coordenadas cartesianas (vase la figura 13). Consider que la
traslacin se bas en la va del punteo, uno de los tres tratamientos
de las representaciones grficas a las cuales se refiere Duval
(1992). El estudiante distingue las dos variables AP y PB, y le
asigna valores variables y estos valores pasan a ser pares de
nmeros que van ser graficados en el plano cartesiano.Actividad III
Dos postes de alumbrado estn distanciados uno del otro por 30
metros. Los postes miden 12 y 28 metros de altura, respectivamente.
Se pretende tender un cable fijo en un punto P en el suelo, entre
los extremos de los postes. A qu distancia x del poste ms pequeo se
debe fijar el cable para que la longitud del cable que une a los
dos postes sea mnima? En este problema, son varios los elementos
participantes en la modelacin. Sin embargo, 93 % de los estudiantes
pudieron lograr el traslado de la situacin verbal a la simulacin.
Es un problema que adquiere importancia cuando se construye como
una simulacin, se detectan las variables y las constantes, y se
distinguen las variables independientes de las variables
dependientes. En este problema lo visual es una herramienta
fundamental para desarrollar otras representaciones. La gua estaba
complementada de preguntas formuladas de tal manera que los
estudiantes sealaran cules eran variables y cules eran constantes y
cmo se relacionaban las variables.
El programa computarizado que se utiliz es muy til en la
construccin geomtrica. Se puede trabajar en la parte aritmtica con
las medidas de los segmentos y con la manipulacin del punto P.
Estas manipulaciones que se hacen con la figura determinan acciones
que conforman un marco visual en un proceso cognoscitivo con fines
de establecer imgenes mentales en los individuos. Las
representaciones conjugadas con las representaciones geomtricas
acercan a los individuos a conceptualizaciones matemticas.
La grfica de la relacin x con la longitud del cable fue hecha de
dos maneras. Una, recolectando valores en la tabla (la lograron 76%
de estudiantes) y luego graficando los puntos, la otra, por las
herramientas que provee el programa Cabr Gomtre II (71% de
estudiantes pudieron construirla) para trasladar medidas y proceder
a la grfica. Slo el 23% de estudiantes alcanz a responder
correctamente la representacin algebraica. Figura 14
El proceso de visualizacin que comprende este problema amerita
que se puedan relacionar variables y constantes, y conducir a la
utilizacin del Teorema de Pitgoras. Sin un componente visual del
problema, tal vez resultara ms complicado alcanzar la representacin
algebraica. El ambiente dinmico-geomtrico permiti acceder a imgenes
mentales, una construccin anticipada en la mente, observar cules
son los elementos estticos y cules las variables. La manipulacin
del punto a lo largo del segmento fue de mucho beneficio para el
estudiante, pues permiti ver en forma aproximada cundo la longitud
del cable era menor, calcular la longitud por la va aritmtica (el
programa da la medida de los segmentos) y ver cmo se comporta la
longitud cuando se acercan los postes. Al proponer el Teorema de
Pitgoras, la longitud del cable se divide en dos y pasan a ser
hipotenusas de un tringulo rectngulo, en el cual los postes son los
catetos (con valores fijos) al igual que las distancias del punto P
a los postes. Es decir, que los elementos de la simulacin adquieren
otras categoras en el Teorema de Pitgoras. El estudiante debe ser
capaz de hacer estas interpretaciones para que le sirva este modelo
para la representacin algebraica. Los resultados de la actividad
realizada por los estudiantes as lo confirma. Los estudiantes
trabajaron en esta direccin, compararon la grfica construida punto
a punto con la otra grfica que se construye al trasladar medidas al
plano coordenado y hallar el lugar geomtrico con el programa Cabr
Gomtre II. Con el programa, 17 estudiantes lograron construir la
grfica, 22 estudiantes con el mtodo manual, y slo cinco estudiantes
pudieron proporcionar la expresin simblica de la distancia x vs.
longitud del cable. La construccin dinmica que se hizo con el
programa computadorizado permiti observar cmo se corresponden las
grficas de la hipotenusa con la grfica de la funcin longitud del
cable versus x. Tambin se observ que los estudiantes conjugan lo
tecnolgico con lo manual en los distintos sistemas de
representaciones.Actividad IVLa actividad se desarroll en torno al
siguiente problema: Un alambre se corta en dos piezas. Una pieza se
usa para construir un crculo y la otra para formar un cuadrado.
Exprese la suma de las reas como una funcin de la longitud de x
cortada para formar el crculo.Este problema result difcil para los
estudiantes, pues no les fue claro comprender la estructura global
del problema geomtrico ni establecer la relacin entre las
variables, por lo tanto, muchos no lograron realizar la
representacin geomtrica dinmica. En la construccin de la simulacin
era necesario que establecieran relaciones particulares de
estructuras inherentes al problema.
En la Figura 15 se establecen las relaciones entre las variables
y entre las figuras geomtricas. La estructura del problema se puede
explicar en dos ni-veles. En el nivel superior se relacionan las
variables AP y PB; y en el nivel inferior hay relacin entre el
crculo y el cuadrado y, a su vez, cada figura se encuentra
relacionada con las variables AP y PB. Modelar esta situacin desde
una simulacin geomtrica a una grfica o a una frmula plantea varias
condiciones: el manejo parcial o global de la situacin geomtrica,
la no-conexin entre las variables, la no-congruencia entre las
unidades significantes para producir la conversin, y la necesidad
de unificacin de conocimientos aislados. Figura 15
Cuando se pregunt a los estudiantes: -puedes observar y explicar
cmo se relacionan las variables en este problema?- se obtuvieron
respuesta como las siguientes: "Cuando la medida de x aumenta, el
cuadrado se agranda y PQ disminuye, al mismo tiempo el crculo
disminuye. Cuando se mueve P hacia (a) el crculo (B) aumenta y
cuando P se mueve hacia (b) el cuadrado aumenta (A); a medida que
se desplaza el punto P las reas del crculo y el cuadrado cambian.
Las sumas de stas dan y; fue muy til para m, porque pude construir
y observar cmo se construye el crculo y el cuadrado con este
modelo, y tambin pude comparar que el cuadrado y el crculo son
inversamente proporcionales, es decir que al aumentar el crculo el
cuadrado disminuye." En estas respuestas se puede apreciar la ayuda
que les provey a los estudiantes poder observar lo que pasa en el
contexto dinmico del problema. ste, generalmente, se resuelve con
los instrumentos matemticos del clculo diferencial. Las Figuras 16
y 17 muestran cmo los estudiantes construyeron las grficas en forma
manual y con el programa Cabr Gomtre II. Muchos de ellos no
compararon las grficas punto a punto que obtenan de la tabla con
las construidas con el programa computadorizado. Figura 16
Figura 17Esta actividad result ms difcil que las anteriores por
lo comentado anteriormente: 64% simul el problema, y 17% alcanz a
escribir la frmula algebraica correspondiente a esta situacin. La
representacin algebraica de los problemas de las actividades 3 y 4
reflejan, segn los porcentajes de respuestas correctas, un grado
mayor de dificultad en todo el proceso. El ambiente tecnolgico
puede ayudar, pero se observa que no es significativo, pues slo
cinco estudiantes en la actividades 3 y cuatro en la 4 respondieron
a esta pregunta.Referencias Aspinwal L., Shaw K. & Presmeg
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Dr. Orlando Planchart Mrquez [email protected] Catedrtico
Asociado de Matemticas.Licenciatura, Universidad de Oriente,
Venezuela. M.S., Politcnico Nacional de Mxico. Ph.D., Universidad
Autnoma del Estado de Morelos