LA METHODE DES ELEMENTS FINIS - freddy.univ-tln.frfreddy.univ-tln.fr/enseignement/ef/ef_2007.pdf · LA METHODE DES ELEMENTS FINIS Golay Frédéric ANAM/MNC Université de Toulon.

1/51

LA METHODE DES ELEMENTS FINIS

Golay FrédéricANAM/MNC

Université de Toulon

2/51

Calcul Scientifique: Photothèque de l’INRIA

Écoulement stationnaire Eulerien autour d'une géométrie de Falcon JJ. Visualisation des pressions.

Visualisation d'un maillage de matériau composite (fibres entrelacées et de résine).

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Écoulement de fluides : optimisation de forme sans contrainte sur un multi-corps en régime subsonique.Objectif : réduction de la trainée et augmentation de la portance pour une aile développée en position d'atterrissage. La forme et les positions sont changées par l'optimisation.Optimisation sur maillage à connectivité et nombre de points variables (maillage adaptatif par contrôle de métrique).

Représentation de la densité d'un fluide autour d'une aile multicorps.

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Visualisation de l'onde d'un radar diffractée sur le corps d'un avion. Équations de Maxwell.

Optimisation de forme appliquée au formage électromagnétique.Visualisation de la distribution des forces magnétiques créées par des courants de haute fréquence, sur la surface d'une boule de métal liquide en équilibre (état final).

5/51

Prédictibilité des courants Océaniques.Visualisation des régions de l'Atlantique Nord où les prévisions sont les plus sensibles aux données d'observation

Localisation de la pollution à l’ozone.Méthode multi-échelle.

6/51

Biomécanique : Code Radioss

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Ministère de l’écologie et du développement durablePrévision des crue (Loire)

8/51

9/51

10/51

11/51

Modélisation multi-phasique

Suivi de front

12/51

Déferlement de vague

13/51

Liquid motions and sloshing

Ariane V

LNG Tank

14/51

Simulation thermochimique

15/51

ΩΩΩΩ

+1

+1

+1

?

ux=0uy=0 x

y

ux=0

+1/2

+1

P=0,2,4399 nœuds130 éléments




Optimisation topologique de forme

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… et raffinement de maillage

17/51

Exemple de stage Master/Isitv

Alexandre DAMIENSSpécialité CS promo 2005

18/51

Exemple d’étude à l’ISITV: T-Foil sur navire

Florent VERTALLIERFabien CHAILLANOption Mathématique promo 2002

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Faisabilité: Calcul des structures

Géométrie: Calcul RDM simpliste

Configuration 2 jambes

Moment maximal en fonction de α

Configuration 3 jambes

Moment maximal en fonction de α

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Dimensionnement: Calcul EF

• Profil NACA012

• Raidisseurs transversaux tous les 50cm

• Raidisseurs longitudinaux: cylindrique (1)ou droit (1,2 ou 3)

Optimisation des épaisseurs

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Exemple d’étude à l’ISITV: Aerodynamique

Elodie CANNONEThomas VITTEOption Mathématique promo 2001

Objectif: battre le record du monde de vitesse343.92 Km/h en 1971

322.460 Km/h

22/51

Etude numérique

Maillage

Evolution de la traînée en fonction du Reynolds

0

0,002

0,004

0,006

0,008

0,01

0,012

0,014

0 500 000 1 000 000 1 500 000 2 000 000 2 500 000

ReynoldsT

raîn

ée

MH 33MH 32MH 30MH 23MH 22MH 20MH 24MH 43

M H 2 4M H 2 3M H 2 0

M H 2 2

M H 3 2

M H 4 3M H 3 0

M H3 3

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Exemple de stage à l’ISITV: Société Nymphea

Nathanael MACREZOption Mathématique promo 2004

Tulipe

Flexible

Fontaine

Source

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Etude des efforts hydrodynamiques et résistance de la structure immergée

e = 4 mm

Cône 1 (e=3 mm)

Demi-sphère (e=3 mm)

Cylindre (e=3 mm)

Cône 2 (e=3 mm)Courant+ Houle2nds < V < 4nds

20000 N

Courantomètre (e=8 mm)

900 N1800 N3600 N

500 N1000 N2000 N

3000 N6000 N12000 N

2500 N5000 N10000 N

150 N300 N600 N

Flèche maximale∆2=6 mm∆3=12 mm∆4=24 mm

Contrainte maximale

σmax2=50 Mpa < σeσmax3=90 Mpa < σeσmax4=180 Mpa < σe

Modélisation des efforts Déformée Contraintes

Limite d’élasticitéde l’acier inoxydableσe=200 MPa

La structure est haubanée et une partie a été redimensionnée

9,6 m

8,4 m

7,5 m

3.8 m

0 m

haubanage e = 4 mm

25/51

Modélisation de l’écoulement au sein du système de captage

Interfaceair/eau

surface

26/51

Les éléments finis dans les domaines les plus inattendus …

27/51

Les éléments finis dans les domaines les plus inattendus …

28/51

… ou les plus loufoques

Sur le côté Sur le sommet

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0fdtdT

CTdivK ====++++ρρρρ++++∇∇∇∇

γγγγρρρρ====++++σσσσ fdiv

εεεεµµµµ++++εεεελλλλ====σσσσ 21Tr

Thermique

Mécanique

Du solide élastique

Du fluide newtonien

D21DTr1p µµµµ++++λλλλ++++−−−−====σσσσ

… etc ...

30/51

Lemme Fondamental

)t,t(t,0)t(f

alors

0)t()t(et0)t(

quetellecontinue)t(,0dt)t()t(fsi

21

21

t

t

2

1

∈∈∈∈∀∀∀∀====

====ξξξξ====ξξξξ>>>>ξξξξ

ξξξξ∀∀∀∀====∫∫∫∫ ξξξξ

• Méthode des résidus pondérés

• Principe des travaux virtuels

• Minimisation de l ’énergie

• ……..

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Etape 1: Formulation faibleApplication à l ’équation de la thermique stationnaire

ΩΩΩΩ====++++∇∇∇∇ domaineledans0fTdivK

On cherche le champ de température

T(x, t) tel que pour

toute fonction ϕϕϕϕ (nulle où la température est imposée)

(((( )))) 0dxfTdivK ====∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ϕϕϕϕ++++∇∇∇∇ΩΩΩΩ

or divϕϕϕϕ A ==== ϕϕϕϕdiv

A ++++ gr

a dϕϕϕϕ ⋅⋅⋅⋅

A , d'où la formulation faible

(((( )))) (((( )))) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ϕϕϕϕ++++∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∇∇∇∇ϕϕϕϕ∇∇∇∇−−−−∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∇∇∇∇ϕϕϕϕ====∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ϕϕϕϕ++++∇∇∇∇ΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ

fdxTdxKdxTKdivdxfTdivK

puis par application du théorème de la divergence

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ϕϕϕϕ++++∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∇∇∇∇ϕϕϕϕ∇∇∇∇−−−−∫∫∫∫∫∫∫∫ ∇∇∇∇ϕϕϕϕΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ∂∂∂∂

fdxTdxKdSn.TK

soit en définitive

∫∫∫∫∫∫∫∫ ∇∇∇∇ϕϕϕϕ++++∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ϕϕϕϕ====∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∇∇∇∇ϕϕϕϕ∇∇∇∇ΩΩΩΩ∂∂∂∂ΩΩΩΩΩΩΩΩ

dSn.TKfdxTdxK

32/51

Etape 2: « Découpage »

ΩΩΩΩ Nœud

Elément

On approche le champ continu T(x) par un champ discret dont les inconnues nodales sont notées Ti

∑∑∑∑========

N

1iii T)x(fct)x(T

On choisit des fonctions définies sur un élément et nulles ailleurs, appelées fonctions de formes

∑∑∑∑========

Ne

1iii T)x(N)x(T

33/51

Linéaire Quadratique incomplet

Quelques types dQuelques types dQuelques types dQuelques types d’é’é’é’élllléééémentsmentsmentsments

34/51

Maillage conforme ?Maillage conforme ?Maillage conforme ?Maillage conforme ?

35/51

Etape 2 bis: Formulation éléments finis

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ϕϕϕϕ====∇∇∇∇ϕϕϕϕ∇∇∇∇ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ

dxfTdxK

On décompose l’intégrale sur le domaine en une sommed’intégrales sur chacun des éléments Ve

(car ΩΩΩΩ====∪e

Ve et j,i,VV je

ie ∀∀∀∀∅∅∅∅====∩ )

∑∑∑∑ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ϕϕϕϕ====∑∑∑∑ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∇∇∇∇ϕϕϕϕ∇∇∇∇e Vee Ve

dxfdx)x(TK

Sur chaque élément le champ de température est approximépar les fonctions de forme

∑∑∑∑ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ϕϕϕϕ====∑∑∑∑ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∇∇∇∇ϕϕϕϕ∇∇∇∇e Vee Ve

ii dxfdxT)x(NK

On choisit comme fonction ϕϕϕϕ chacune des fonctions de formeNj attachée à l’inconnue nodale du nœud j (méthode deGalerkine).

N,...,1jpour,dx)x(fNdxT)x(NK)x(Ne Ve

je Ve

iij ====∑∑∑∑ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫====∑∑∑∑ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∇∇∇∇∇∇∇∇

36/51

Soit

N,...,1jpour,dx)x(fNTdx)x(NK)x(Ne Ve

je

iVe

ij ====∑∑∑∑ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫====∑∑∑∑

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∇∇∇∇∇∇∇∇

N,...,1jpour,FTKe

ej

ei

eij ====∑∑∑∑====∑∑∑∑

Soit un système de N équations à N inconnues

Etape 3: Résolution

• Méthode itérative: Gauss-Seidel, Jacobi, GMRES, …• Méthode directe: LU• Stockage creux, ligne de ciel, …

37/51

Exemple Pas à Pas: un problème de thermique

xk1

k2

T=0°C

T=10°C

X=0 X=1/2 X=1

====∇∇∇∇ 0TdivK

On effectue un maillage éléments finis simple

1

2 6

53

4

Elément n°1: nœuds 1 3 4 2Elément n°2: nœuds 3 5 6 4

Pour une conductivité constante dans le cas monodimensionnel la solution est une droite

On prend k1=1 et k2=2

x

T

0

10

20/3

xTk

xTk 21 ∂∂∂∂

∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂∂∂

à l’interface

38/51

On choisit un élément à interpolation linéaire

S1

S4

S2

S3

x

y

a

b

On définit les fonctions de forme sur l’élément telle que:T(x,y) = NS1(x,y) TS1 + NS2(x,y) TS2 + NS3(x,y) TS3 + NS4(x,y) TS4

On prendNS1(x,y) =(a/2-x)(b/2-y)/abNS2(x,y) =(a/2+x)(b/2-y)/abNS3(x,y) =(a/2+x)(b/2+y)/abNS4(x,y) =(a/2-x)(b/2+y)/ab

Ce qui nous donneabNS1,x(x,y) =-(b/2-y) et abNS1,y(x,y) =-(a/2-x)abNS2,x(x,y) = (b/2-y) et abNS2,y(x,y) =-(a/2+x)abNS3,x(x,y) = (b/2+y) et abNS3,y(x,y) = (a/2+x)abNS4,x(x,y) =-(b/2+y) et abNS4,y(x,y) = (a/2-x)

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ϕϕϕϕ====∇∇∇∇ϕϕϕϕ∇∇∇∇ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ

dxfTdxK Tdx)x(NK)x(Ne

iVe

ij = 0= 0= 0= 0∑∑∑∑

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∇∇∇∇∇∇∇∇ N,...,1jpour, ====

dx)x(NK)x(NVe

ij∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∇∇∇∇∇∇∇∇

Calcul de la matrice de rigidité

39/51

Calcul de la matrice de rigidité

S1

S4

S2

S3

x

y

a

b

T(x,y) = NS1(x,y) TS1 + NS2(x,y) TS2 + NS3(x,y) TS3 + NS4(x,y) TS4

[[[[ ]]]]

========∇∇∇∇

4

3

2

1

4321

4321

S

S

S

S

y,Sy,Sy,Sy,S

x,Sx,Sx,Sx,S

T

T

T

T

NNNN

NNNNTB)y,x(T

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]]∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ηηηηξξξξ====∫∫∫∫∫∫∫∫====−−−− −−−−

1

1

1

1

T

élément

Te ddBB4ab

kdxdyBkBK

∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ηηηηξξξξ

ξξξξ−−−−++++ηηηη++++ξξξξ−−−−++++ηηηη++++−−−−ξξξξ−−−−−−−−ηηηη−−−−−−−−ξξξξ−−−−−−−−ηηηη−−−−

ξξξξ++++++++ηηηη++++ξξξξ++++−−−−ηηηη−−−−ξξξξ−−−−−−−−ηηηη−−−−−−−−

ξξξξ++++++++ηηηη−−−−ξξξξ−−−−++++ηηηη−−−−−−−−

ξξξξ−−−−++++ηηηη−−−−

−−−− −−−−

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

dd

b

)1(

a

)1(

b

)1(

a

)1(

b

)1(

a

)1(

b

)1(

a

)1(b

)1(

a

)1(

b

)1(

a

)1(

b

)1(

a

)1(b

)1(

a

)1(

b

)1(

a

)1(b

)1(

a

)1(

16ab

k

40/51

++++++++====∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ηηηηξξξξηηηηξξξξ

−−−− −−−− onsin)1j)(1i(

4impairjouisi0

dd1

1

1

1

ji

++++++++−−−−−−−−−−−−−−−−

++++−−−−−−−−−−−−

++++++++−−−−

++++

====

22222222

222222

2222

22

e

b

2

a

2

b

1

a

2

b

1

a

1

b

2

a

1b

2

a

2

b

2

a

1

b

1

a

1b

2

a

2

b

1

a

2b

2

a

2

6abk

K

Dans le cas où a=b

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

====

4121

1412

2141

1214

6k

K e

41/51

1

2 6

53

4


Assemblage

[[[[ ]]]] 0TKe

e ====∑∑∑∑ [[[[ ]]]]

====

44434241

34333231

24232221

14131211

SSSSSSSS

SSSSSSSS

SSSSSSSS

SSSSSSSS

e

kkkk

kkkk

kkkk

kkkk

K

++++−−−−−−−−−−−−−−−−++++−−−−−−−−−−−−−−−−++++−−−−−−−−−−−−−−−−++++

8224

2842

2482

4228++++−−−−−−−−−−−−−−−−++++−−−−−−−−

−−−−−−−−++++−−−−−−−−−−−−−−−−++++

4112

1421

1241

2114

[[[[ ]]]]

====

..

..

..

..

61

K

1 2 3 4 5 61

2

3

4

5

6

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

====

4121

1412

2141

1214

6k

K e

42/51

[[[[ ]]]]

====

xxxx00

xxxx00

xxxxxx

xxxxxx

00xxxx

00xxxx

K

1

2 6

53

4


Importance de la numérotation

12

6 5

3

4


[[[[ ]]]]

====

xx00xx

xxxxxx

0xxxx0

0xxxx0

xxxxxx

xx00xx

K

43/51

Résolution du système

====

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

0

0

0

0

0

0

T

T

T

T

T

T

8224

2842

2412312

4231221

1241

2114

6

5

4

3

2

1

Application des conditions aux limites

++++++++

++++++++

====

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

20

20

20

20

6

5

4

3

2

1

20

20

20

20

10x100

10x100

0

0

10x00

10x00

T

T

T

T

T

T

10+8224

210+842

2412312

4231221

1210+41

21110+4

====++++−−−−====−−−−

60T12T3

60T3T12

43

43

320

TT 43 ========

44/51F. Besnier, T. Quesnel IRCN NantesConf. À l’école des Ponts et Chaussées Oct 2000

Portrait type du bon utilisateur du calculPortrait type du bon utilisateur du calculPortrait type du bon utilisateur du calculPortrait type du bon utilisateur du calcul

«««« Il doit être dIl doit être dIl doit être dIl doit être d’’’’une une une une curiositcuriositcuriositcuriositéééé systsystsystsystéééématique et sans limite: son matique et sans limite: son matique et sans limite: son matique et sans limite: son œœœœil doit sil doit sil doit sil doit s’’’’attacher attacher attacher attacher àààà llll’’’’anormal, au anormal, au anormal, au anormal, au surprenant, surprenant, surprenant, surprenant, àààà llll’’’’inattendu, au paradoxal. En effet, cette curiositinattendu, au paradoxal. En effet, cette curiositinattendu, au paradoxal. En effet, cette curiositinattendu, au paradoxal. En effet, cette curiositéééé lui permettra de comprendre le lui permettra de comprendre le lui permettra de comprendre le lui permettra de comprendre le modmodmodmodèèèèle et derrile et derrile et derrile et derrièèèère le modre le modre le modre le modèèèèle la structure, dons de dle la structure, dons de dle la structure, dons de dle la structure, dons de déééétecter les erreurs ou insuffisances du tecter les erreurs ou insuffisances du tecter les erreurs ou insuffisances du tecter les erreurs ou insuffisances du modmodmodmodèèèèle.le.le.le.

Il doit être dIl doit être dIl doit être dIl doit être d’’’’une une une une mmmmééééfiancefiancefiancefiance totale et maladive. Tout ce qui ntotale et maladive. Tout ce qui ntotale et maladive. Tout ce qui ntotale et maladive. Tout ce qui n’’’’est pas expliquest pas expliquest pas expliquest pas expliquéééé est est est est àààà priori suspect. priori suspect. priori suspect. priori suspect. LLLL’’’’acceptation des racceptation des racceptation des racceptation des réééésultats est plutôt un nonsultats est plutôt un nonsultats est plutôt un nonsultats est plutôt un non----rejet de ceuxrejet de ceuxrejet de ceuxrejet de ceux----ci. Nci. Nci. Nci. N’’’’ayant aucune raison de ayant aucune raison de ayant aucune raison de ayant aucune raison de considconsidconsidconsidéééérer ces rrer ces rrer ces rrer ces réééésultats comme faux, je les accepte.sultats comme faux, je les accepte.sultats comme faux, je les accepte.sultats comme faux, je les accepte.

Il doit être Il doit être Il doit être Il doit être rusrusrusruséééé pour mieux reprpour mieux reprpour mieux reprpour mieux repréééésenter au mieux les phsenter au mieux les phsenter au mieux les phsenter au mieux les phéééénomnomnomnomèèèènes qunes qunes qunes qu’’’’il veut modil veut modil veut modil veut modééééliser, avec les liser, avec les liser, avec les liser, avec les outils dont il dispose, et outils dont il dispose, et outils dont il dispose, et outils dont il dispose, et modestemodestemodestemodeste devant la complexitdevant la complexitdevant la complexitdevant la complexitéééé du rdu rdu rdu rééééel.el.el.el.

Mais toutes ces qualitMais toutes ces qualitMais toutes ces qualitMais toutes ces qualitéééés sont insuffisantes sans une grande s sont insuffisantes sans une grande s sont insuffisantes sans une grande s sont insuffisantes sans une grande expexpexpexpéééérience individuelle et collectiverience individuelle et collectiverience individuelle et collectiverience individuelle et collectiveet celle ci est multiple: expet celle ci est multiple: expet celle ci est multiple: expet celle ci est multiple: expéééérience dans et hors de lrience dans et hors de lrience dans et hors de lrience dans et hors de l’’’’entreprise, confrontation avec les essais, entreprise, confrontation avec les essais, entreprise, confrontation avec les essais, entreprise, confrontation avec les essais, acquis du bureau dacquis du bureau dacquis du bureau dacquis du bureau d’é’é’é’étude.tude.tude.tude.

CCCC’’’’est dest dest dest d’’’’ailleurs cette expailleurs cette expailleurs cette expailleurs cette expéééérience qui le rend rience qui le rend rience qui le rend rience qui le rend mmmmééééfiant, prudent, curieux, rusfiant, prudent, curieux, rusfiant, prudent, curieux, rusfiant, prudent, curieux, ruséééé et modesteet modesteet modesteet modeste, car les , car les , car les , car les calculs restent et doivent rester lcalculs restent et doivent rester lcalculs restent et doivent rester lcalculs restent et doivent rester l’’’’affaire des affaire des affaire des affaire des mmmméééécanicienscanicienscanicienscaniciens.... »»»»

45/51

40 mm

20 cm

25 cm

14 mm

7 cm

20 cm

14 mm

14 mm40 mm

20 cm

25 cm

14 mm

7 cm

20 cm

14 mm

14 mm

Le projet de l’an dernier : Etagère à BDs

7 cm

20 cm

25 cm

25 cm 50 cm

25 mm

7 cm

20 cm

25 cm

25 cm 50 cm

25 mm

On cherche à vérifier la solidité d’une étagère en pin devant supporter des « bandes dessinées » (60kg/m).Caractéristiques du pin : (ν=0.3, ρ=450kg/m3,

E=1000kg/mm2, σ traction=8kg/mm2, σ compression=4kg/mm2.

Hypothèse 1: Loi de comportement élastique linéaire

Hypothèse 3: On ne modélise pas les équerres, on suppose un contact rigide glissant

Hypothèse 2: petites perturbations

46/51

Modélisation n°1: Elasticité 3D p

(((( ))))T1u u

2

div f

ε = ∇ + ∇ε = ∇ + ∇ε = ∇ + ∇ε = ∇ + ∇

σ +σ +σ +σ +

F

0 dans

n p sur

C

= Ω= Ω= Ω= Ωσ = ∂Ωσ = ∂Ωσ = ∂Ωσ = ∂Ωσ = εσ = εσ = εσ = ε

x

y

z

u (x, y, z)

ddls : champ de déplacement u u (x, y, z)

u (x, y, z)

====

Soit dans le cas isotrope

(((( ))))1Tr 1

E E+ ν ν+ ν ν+ ν ν+ ν νε = σ − σε = σ − σε = σ − σε = σ − σ

Avec

x

y yx

yx z z z

ux

u uu1( )

2 y x y

uu u u u1 1( ) ( )

2 z x 2 y z z

∂∂∂∂ ∂∂∂∂

∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂∂∂∂ε = +ε = +ε = +ε = + ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂∂∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ ++ ++ ++ +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂

xy

z

yu 0====

xu 0====

zu 0====

Conditions aux limites

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Modélisation n°2: Elasticité Plane 2D

(((( ))))T1u u

2

div f

ε = ∇ + ∇ε = ∇ + ∇ε = ∇ + ∇ε = ∇ + ∇

σ +σ +σ +σ +

F

0 dans

n p sur

C

= Ω= Ω= Ω= Ωσ = ∂Ωσ = ∂Ωσ = ∂Ωσ = ∂Ωσ = εσ = εσ = εσ = ε

x

y

u (x, y)

ddls : champ de déplacement u u (x, y)

??

====

Soit dans le cas isotrope

(((( ))))1Tr 1

E E+ ν ν+ ν ν+ ν ν+ ν νε = σ − σε = σ − σε = σ − σε = σ − σ

Avec

yx x

y yx

uu u1( ) 0

x 2 y x

u uu1( ) 0

2 y x y

0 0 ??

∂∂∂∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ++++ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂∂∂∂ε = +ε = +ε = +ε = + ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

p

xy

yu 0====xu 0====


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Modélisation n°3: Théorie des poutres (plan)

xy

yu 0====

x

z

u 0

0

====θ =θ =θ =θ =


px

y

z

u (x)

ddls : champ de déplacement u u (x)

(x)

==== θθθθ

x x1S ST e dX et M X X e dX= σ = ∧ σ= σ = ∧ σ= σ = ∧ σ= σ = ∧ σ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫

fx,x1fy,x z2

z,x3

a (x) u (x)

a (x) u (x) (x)

(x) (x)

===== − θ= − θ= − θ= − θ

χ = θχ = θχ = θχ = θ

21 1 2

a EST a ES , T

2(1 )= == == == =

+ ν+ ν+ ν+ ν

i i 1 f,x

f,x x

i i i i1

i i i

Pour chaque intervalle x ,x f T 0

c M e T 0

Pour x i 1, , J F T(x ) T(x ) 0

C M(x ) M(x ) 0

++++

+ −+ −+ −+ −

+ −+ −+ −+ −

+ =+ =+ =+ =

+ + ∧ =+ + ∧ =+ + ∧ =+ + ∧ == + − == + − == + − == + − =

+ − =+ − =+ − =+ − =

…………

3 3 3M E I= χ= χ= χ= χ

Déformation

Contrainte

Loi de comportement

Equation d’équilibre

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Modélisation demandée

Hypothèse: Loi de comportement élastique linéaire

Hypothèse: On ne modélise pas les supports rouleaux, on suppose un contact rigide glissant

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Vous effectuerez des simulations par élément finis, avec une modélisation théorie des poutres (« éléments portiques ») et élasticité plane. Pour chaque modélisation, au moins deux maillages seront réalisés. Un rapport de 5 à 6 pages devra être rendu à l’issu du TP. Ce rapport comportera obligatoirement :

• Un descriptif du maillage• Une explication des conditions aux limites• Une analyse des résultats• Un calcul analytique « théorie des poutres »• Un tableau récapitulatif avec confrontation des résultats

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Projet Eléments Finis Mastère Mécanique Numérique

Documentation

Présentation de quelques travaux avec SIChttp://sic.univ-tln.fr/

"Modélisation des structures par éléments finis",Batoz, Dhatt, ed Hermes" La méthode des éléments finis", Taylor, Zienkiewicz, ed AFNOR"Une présentation de la méthode des éléments finis", Dhatt, Touzot, ed Maloines

Cours esm2http://esm2.imt-mrs.fr/gar/ef.htmlCours strasbourghttp://www-ipst.u-strasbg.fr/loic/el-finis/cef.htmCours isitvhttp://freddy.univ-tln.fr/enseignement

LA METHODE DES ELEMENTS FINIS - freddy.univ-tln.frfreddy.univ-tln.fr/enseignement/ef/ef_2007.pdf · LA METHODE DES ELEMENTS FINIS Golay Frédéric ANAM/MNC Université de Toulon.

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