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LA MATEMATICA DELLARTE
(visione, enumerazione, misurazione, rappresentazioneed
astrazione: dagli oggetti alle forme)
Gemma Faraco1 e Mauro Francaviglia2
1 Dipartimento di Matematica, Universita` della Calabria, Via P.
Bucci, Cubo30/B, Arcavacata di Rende (CS) [email protected]
2 Dipartimento di Matematica, Universita` di TorinoVia Carlo
Alberto 10, 10123 Torino [email protected]
Sommario. La Matematica classica e moderna, la sua storia, le
sue applicazioni, leforti correlazioni tra la Matematica e lArte,
le strutture matematiche presenti nelleopere darte di ogni tempo.
E` questo il filo conduttore del volume LA MATEM-ATICA DELLARTE
(visione, enumerazione, misurazione, rappresentazione ed
as-trazione: dagli oggetti alle forme).Il libro cui si accompagna
un CD-Rom per visualizzare sul proprio PC lavori mul-timediali
esplicativi di alcune teorie chiave della Matematica, e` dedicato a
chi siaccinge a diventare un artista, a chi vuole operare nel mondo
dellIndustria Cul-turale e si confronta quotidianamente con
problemi di visione, enumerazione, mis-urazione, rappresentazione
ed astrazione. Il testo, come recita il sottotitolo ....
daglioggetti alle forme vuole offrirsi come una guida per
conoscere, affrontare, applicarecon efficacia quegli strumenti
della Matematica essenziali per il bagaglio culturale diun artista
moderno (sia esso operatore del cinema, della televisione, della
computergraphics .....) che si prefigge di rappresentare e di
trasmettere con ogni mezzo lanostra realta` quotidiana fatta di
oggetti, di numeri, di geometria. Lobiettivo princi-pale del volume
e` infatti quello di rapportare la matematica, nel suo sviluppo
storicoe nella sua modernita`, alle discipline artistiche siano
esse figurative, plastiche, visive,acustiche o costruttive. Il
linguaggio utilizzato e` semplice e diretto; e` stato ridottoal
minimo il bagaglio di dimostrazioni e luso di formalismi preferendo
ricorrerea dimostrazioni di natura piu` euristica ed intuitiva.
Seppure i destinatari elettivisono studenti di dottorato, di scuole
avanzate e di specializzazione, il libro puo` es-sere utile anche
agli insegnanti delle scuole Medie Superiori che possono trovare
inesso molti spunti per comunicare la matematica in una maniera
diversa, accostan-dola allespressione artistica. E questo puo`
risultare motivante e coinvolgente pergli studenti che possono cos`
guardare alla Matematica non come ad una disciplinaostica, ricca di
formalismi, fine a se stessa bens` come a qualcosa che trova
ap-plicazione in tutti i campi, anche in quelli piu` impensati e
tipicamente lontani dacio` che comunemente viene inteso come
scienza.
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2 Gemma Faraco e Mauro Francaviglia
1 Introduzione
Molte teorie matematiche nascono e si sviluppano dallesigenza di
quantifi-care, misurare, descrivere e razionalizzare aspetti della
realta` quotidiana. Uninsegnamento moderno della Matematica non
puo` ignorare i legami che essapresenta con il mondo reale; bisogna
insegnare a riconoscere la Matematicaimplicita nelle diverse
situazioni, contenuta in oggetti apparentementelontani come quadri,
sculture, opere architettoniche realizzate spesso seguendoapposite
geometrie, rapporti numerici, proporzioni, in una parola,
strutturematematiche. La Matematica puo` e deve essere considerata
come uno stru-mento essenziale non solo per le discipline
scientifiche e tecnologiche ma ancheper le discipline umanistiche
ed in particolare per quelle artistiche, e propriodallarte si puo`
partire per proporre un nuovo approccio allinsegnamentodella
Matematica e delle sue applicazioni. Il percorso didattico che il
volumepresenta nasce dalla convinzione che lo sviluppo delle
discipline matematichee` avvenuto in maniera parallela, e in alcuni
casi ha anticipato, un analogosviluppo non solo della filosofia e
della scienza, ma anche del nostro mododi percepire, descrivere e
rappresentare il mondo sensibile attraverso larte. Ilpassaggio
dalla Geometria Euclidea del mondo greco alla Geometria
Prospet-tiva del Rinascimento, alla Geometria non Euclidea del
diciottesimo e deldiciannovesimo secolo, alla Geometria delle forme
topologiche nel ventes-imo secolo, puo` e deve essere letto come
parallelo al passaggio dalla staticita`dellarte e dellarchitettura
antica, alla giusta rappresentazione spaziale e allaperfezione
delle opere rinascimentali, allevoluzione delle forme artistiche
neldiciottesimo secolo (divisionismo, espressionismo,
impressionismo) fino allacompleta rottura della simmetria nelle
forme darte moderne e contempora-nee. Oggigiorno la Matematica
assume un ruolo importante in tutte le formedarte, siano esse
figurative, plastiche, visive, acustiche o costruttive; teoriee
metodi anche sofisticati dellAnalisi e della Geometria sono
utilizzate pergenerare arte e musica con lausilio di calcolatori e
di dispositivi elettron-ici. Un ruolo particolare e` ricoperto in
questo campo dai metodi topologicimoderni, basati sulla rinuncia
alle figure predefinite ed anche sul concetto difrattale inteso
come entita` dotate di proprieta` di autosimilarita`.Il percorso
delineato persegue lobiettivo di rapportare la Matematica, nel
suosviluppo storico e nella sua modernita`, alle discipline
artistiche. Esso partedalla Geometria Euclidea per arrivare fino
alla Geometria Riemanniana. Con-cetti elementari sui Frattali, la
Teoria dei Nodi, la Teoria del Suono e dei col-ori vengono
introdotti e integrati nel percorso principale a piu riprese
senzaper questo e con questo rinunciare ad una omogeneita` del
percorso stesso.Pur preferendo un linguaggio non eccessivamente
matematico (non sono stateintrodotte dimostrazioni ne` pesanti
formalismi), e` stato fatto ricorso a di-mostrazioni di natura piu`
euristica ed intuitiva allo scopo di sottolineare ilsenso estetico
della Matematica stessa (Fig. (1)).La trattazione dei diversi
argomenti vuole essere al contempo rigorosa ed ele-mentare,
fornendo al fruitore quanti piu` strumenti possibili per
comprendere
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LA MATEMATICA DELLARTE 3
Fig. 1. Un esempio di dimostrazione effettuata utilizzando la
multimedialita` (Lafigura e il corrispondente filmato sono stati
realizzati da D. Fiorelli)
il profondo intreccio tra Matematica ed Arte (anche nelle loro
piu` moderneaccezioni) ma riducendo al minimo il bagaglio di
dimostrazioni e di calcoli,per i quali opportuni percorsi di
approfondimento sono di volta in volta sug-geriti attraverso schede
o richiami bibliografici. Analogamente si e` cercatodi enucleare
quelle incidenze in campo artistico che appaiono piu`
significa-tive od emblematiche, riservando - con il medesimo taglio
- schede e riferi-menti bibliografici per ulteriori estensioni ed
approfondimenti. Nel presentarele interazioni tra Matematica ed
Arte si e` cercato di mantenere per quantopossibile unatteggiamento
storicista, di cogliere cioe` il sottile parallelismoche, seguendo
il progresso del pensiero e delle conoscenze, ha visto evolverenel
tempo - talora in modi apparentemente slegati ma, invero, sempre
pro-fondamente interconnessi - il pensiero matematico, la nostra
percezione delmondo fisico ed il nostro modo di concepire o
sviluppare larte come mezzoper riempire armonicamente, o descrivere
e rappresentare esteticamente, op-pure trascendere e trasfigurare
il mondo sensibile e percepito.Il volume consta di 14 moduli
didattici ognuno dedicato ad un argomentomatematico ben definito e
si articola su due diversi livelli: uno di base e laltrodi
approfondimento. Ogni modulo infatti e` corredato da schede di
richiamo e diapprofondimento oltre che da riferimenti bibliografici
sia di carattere storico-matematico che artistico. Nelle sezioni
seguenti presenteremo alcuni spuntisignificativi del forte
parallelismo tra la Matematica e lArte e nel dettaglio,indicheremo
gli argomenti matematici presenti nel volume, riportandone
(perintero) lindice.
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4 Gemma Faraco e Mauro Francaviglia
2 Matematica e Arte: due mondi paralleli
E` universalmente riconosciuto il forte legame tra la
Matematica, mezzo per lascoperta e la descrizione della realta` e
lArte che questa stessa realta` vuole raf-figurare. La storia della
civilta` e` testimone delle forti influenze che la Matem-atica ha
avuto ed ha sullArte. Larte classica obbedisce a regole su misure
eproporzioni, gli artisti (in senso lato: pittori, scultori,
architetti) utilizzano ilrettangolo aureo, fanno ricorso alla
sezione aurea, alla teoria delle proporzioniche era alla base della
Geometria e della Scienza Greca. Nella civilta` Grecauno dei
criteri per lArte e` proprio la teoria delle proporzioni. Oggetti
matem-atici, creati da filosofi e matematici greci, sono stati
considerati essere i simbolidella bellezza classica. Ci riferiamo
ad esempio, ai solidi platonici (esaedro,tetraedro, ottaedro,
icosaedro e dodecaedro) definiti da Platone nel Timeocome gli
oggetti piu` belli delluniverso. Nel Rinascimento lartista si
presentacome un intellettuale completo: e` pittore, scultore,
architetto, matematico,uomo di scienza e non solo dipinge,
scolpisce, progetta, ma pubblica operedi argomento matematico e
geometrico di interesse. Tanto e` vero che Pierodella Francesca,
Durer, Brunelleschi e Alberti possono essere considerati trai
matematici dellepoca. Lesigenza dei pittori di rappresentare
fedelmente ilmondo tridimensionale su tele a due dimensioni finisce
con il mettere in crisila geometria introdotta e formalizzata da
Euclide e porta alla nascita di nuoveteorie geometriche che diano
ragione dei punti di fuga. Da questo intreccio traMatematica e Arte
nasce la geometria proiettiva.Nella seconda parte del
diciannovesimo secolo muta lidea di spazio e dellasua descrizione;
la negazione del V postulato di Euclide porta alla
geometriaiperbolica e in campo artistico allaffermarsi
dellimpressionismo. Si scopreche lo spazio visivo non e esattamente
euclideo, ma iperbolico (Rudolf Lunen-berg, 1947) e gli artisti
cominciano a mettere su tela cio che locchio effetti-vamente vede e
non cio che esso dovrebbe vedere. Lintroduzione del tempocome
quarta dimensione da affiancare ad altezza, larghezza e profondita
at-tribuisce dinamicita agli oggetti. E il problema della loro
rappresentazionesu tele bidimensionale sembra insormontabile.
Eppure artisti come GiacomoBalla (Dinamismo di un cane al
guinzaglio), Umberto Boccioni (Dinamismo diun ciclista) e Marcel
Duchamp (Nudo che scende le scale) riescono a dare
unarappresentazione pittorica del movimento. Il dinamismo viene poi
coronatocon e dalle sequenze cinematografiche e dunque con
lintroduzione del tempocome quarta dimensione su cui far scorrere
immagini tridimensionali. E questaidea di far scorrere sezioni a
n-1 dimensioni per rappresentare oggetti a n di-mensioni e
utilizzata anche nelle arti figurative. Il grande Picasso (Ritratto
diAmbroise Voilard) raffigura una immagine (tre dimensioni) come
riflessa intante schegge di vetro (due dimensioni). Dal (Corpus
Hypercubicus) raffigurauna croce di otto cubi ottenuti sezionando
un ipercubo quadridimensionale inmodo da aprirlo nello spazio
tridimensionale.A questo salto di tipo culturale segue, alla fine
degli anni 60, un salto di tipotecnologico: si sviluppa la Computer
Graphics e, con essa, si intensificano
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LA MATEMATICA DELLARTE 5
le interazioni tra Matematica e Arte. Gli artisti cominciano ad
utilizzare ilcomputer per realizzare e riprodurre opere darte. Si
pensi ad esempio allariproduzione da parte dellartista
contemporaneo Vila della bellissima cestadi frutta del Caravaggio,
realizzata interamente con tecniche di ComputerGraphics sfruttando
le potenzialita` di moderni programmi di grafica bi e
tridimensionali.La storia della civilta` e` dunque testimone delle
influenze che la matematica haavuto sullarte e sugli artisti. Lo
stesso M. C. Escher indiscusso inventoredi oggetti impossibili e di
mondi immaginari fu influenzato, nel realizzare lesue opere piu`
belle e note, dalle teorie matematiche di Poincare` e Penrose.Da
una analisi delle influenze della Matematica nellArte e` inoltre
possibilededurre che nel corso del tempo e` cambiato il modo stesso
di utilizzare laMatematica da parte degli artisti. Nellarte
classica e anche in quella Ri-nascimentale la Matematica e` stata
utilizzata come strumento tecnico. Conlutilizzo di canoni
matematici ben precisi, quali ad esempio le misure e le
pro-porzioni, gli artisti dellepoca rappresentano forme
caratterizzate dallessererigide ed immutabili, rispondenti a canoni
di invarianza metrica. Cio` e` evi-dente in opere come la Venere di
Botticelli, lUomo Vitruviano di Leonardoo il Battesimo di Cristo di
Piero della Francesca(cfr. Fig. 2). Osservando laVenere, possiamo
ad esempio osservare lutilizzo della sezione aurea consid-erata la
chiave mistica dellarmonia: lombelico e` posto ad una altezza chee`
in rapporto aureo con laltezza della figura rappresentata. Lopera
di Pierodella Francesca (attualmente alla National Gallery) e`
realizzata su una tavolacostituita da due quadrati sovrapposti
sormontati da un semicerchio il cuicentro geometrico coincide con
la Colomba posta sulla testa del Cristo. IlCristo stesso e` posto
sullasse centrale dellopera. Guardando infine allUomoVitruviano,
uno dei disegni piu` noti di Leonardo, e` possibile osservare
chelartista sdoppia la figura umana in due posizioni: una rispetto
al quadratoe laltra rispetto al cerchio. Luomo risulta cos` sospeso
tra queste due figuregeometriche.
Fig. 2. Luso della Matematica nellarte figurativa classica
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6 Gemma Faraco e Mauro Francaviglia
In campo architettonico, se si guarda alla pianta del Partenone
(cfr. Fig. 3) sipuo` notare in essa un rettangolo con lati di
dimensioni tali che la lunghezza siapari a radice di 5 volte la
larghezza e nellarchitrave in facciata il rettangoloaureo e`
ripetuto piu` volte.
Fig. 3. Luso della Matematica nellArte Architettonica
Mentre nellarte classica la Matematica e` utilizzata come
strumento tecnico,nellarte contemporanea essa diventa uno strumento
creativo, gli artisti silasciano ispirare da essa, le opere
ricordano oggetti matematici ben precisie codificati. Si pensi ad
esempio ad opere come Numeri Innamorati di Gia-como Balla la quale
raffigura, tra gli altri, alcuni numeri che compaiono
nellasuccessione di Fibonacci e alla bellisima scultura di Max Bill
che raffigura ilNastro di Moebius, uno degli oggetti topologici
piu` affascinanti.
3 I moduli didattici
Il volume, come annunciato, contiene 14 moduli didattici, ognuno
dedicatoad un ben preciso argomento matematico affrontato con
dovizia di partico-lari e con un linguaggio accessibile anche a chi
non fa il matematico dimestiere. Come si puo` osservare scorrendo
lindice del volume non mancanoapprofondimenti e alcuni fugaci ma
emblematici riferimenti specifici allArte,alla sua storia e alle
interazioni con la Matematica e lo sviluppo del pensiero.Il primo
modulo e dedicato a richiami di geometria elementare del piano e
dellospazio. Si parte dalla geometria intesa come arte del misurare
e il metododeduttivo con lintroduzione del come nasce e si sviluppa
questa disciplinaidentificata con il nome di geometria euclidea;
del concetto di spazio a cui vieneassegnato un ruolo di entita`
immateriale conosciuta a priori, arena allinternodella quale si
svolgono tutti i fenomeni fisici visibili ed esperimentabili;
del
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concetto intuitivo di dimensione e di osservatore; di come viene
percepito unpunto osservato, di oggetti reali o fenomeni reali; del
concetto di realta` matem-atica assegnando alla parola reale una
valenza para-oggettiva o, perlomeno,non eccessivamente soggettiva e
valida, quasi universalmente, per una interaclasse di soggetti, di
fenomeni e loro possibili modellizzazioni. Lo strumentogeometrico
euclideo viene affrontato con spirito critico e non dogmatico,
es-sendo esso limpianto logico deduttivo secondo il quale - per gli
antichi e inbuona misura ancora oggi - si potevano analizzare,
descrivere e comprenderegli oggetti dotati di estenzione spaziale.
Vengono introdotti via via la strut-tura dello spazio euclideo, il
parallelismo di rette, gli angoli, i triangoli, il Vpostulato di
Euclide, la misura degli angoli, i poligoni, il primo (noto) e
ilsecondo (meno noto) Teorema di Pitagora, le funzioni
trigonometriche e ilTeorema di Talete.Il secondo modulo e dedicato
a richiami di teoria elementare dei numeri, conlintroduzione dei
numeri naturali, degli interi, dei razionali e dei reali. Cisi
sofferma sullirrazionalita di alcuni numeri come
2,3,5 dando indi-
cazioni su come dimostrare lirrazionalita degli stessi. Si
introduce la misura ingradi e in radianti per gli angoli e si
raccontano la teoria delle proporzioni,la sezione aurea, le
successioni.Il terzo modulo volge lo sguardo alla Meccanica
Classica. Una delle chiavidi lettura con cui si vuole percorrere il
cammino di sviluppo parallelo tra laMatematica e lArte e` una sua
visione in parte anche meccanicistica, legatacioe`, se pur
debolmente, ai concetti di movimento e di accelerazione tempo-rale.
Nellintrodurre nozioni elementari della geometria euclidea non a
casosi fa uso - seppure a livello embrionale - del concetto di moto
rigido, che e`in effetti una delle basi di comprensione della
struttura euclidea stessa. Nonva poi dimenticato che - se nellarte
classica pittura e architettura rappresen-tano un mondo
sostanzialmente statico, gia` la scultura si pone il problema
delmovimento, seppure congelato; mentre le arti visive moderne
(fotografia,cinematografia, grafica computerizzata) non possono,
nel loro sviluppo e nellaloro comprensione, prescindere da un
minimo di basi fisico-matematiche. Eper questo che un modulo e`
dedicato alla Meccanica Classica di cui viene pre-sentato un breve
excursus richiamandone i concetti fondamentali.Il quarto modulo
discute delle basi della geometria sintetica introducendola teoria
degli insiemi, gli spazi astratti e strutturati, i morfismi, le
trasfor-mazioni tra spazi usando il linguaggio elementare delle
categorie. Sono in-trodotti oggetti privi di forma - o meglio, la
cui forma non segue i canoniestetici del nostro occhio euclideo.
Viene in questo modo a crearsi un con-tatto con la matematica
moderna: spazi non-strutturati e loro trasformazioni,spazi con
strutture generiche, il concetto di gruppo come chiave principale
dilettura della Matematica moderna. Anche la topologia viene qui
introdottacome parte della Matematica che si interessa a figure
strane, bizzarre. Lacostruzione degli oggetti impossibili (oggetti
che non possono essere disegnatio modellati per costruirne modelli
tridimensionali) viene presentata e propostaagli artisti prima
ancora di definire formalmente cosa si intende in Matemat-
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8 Gemma Faraco e Mauro Francaviglia
ica per topologia e spazio topologico. Questa parte culmina con
la trattazionedel programma di Erlangen, gli studi di Klein quindi
che guardano alla ge-ometria in una maniera diversa definendo quale
oggetto della geometria leproprieta` inverianti rispetto al gruppo
delle trasformazioni.Nel quinto modulo sono discusse le strutture
astratte piu` semplici che si in-contrano nel contesto euclideo,
sia nel piano P ' IR2 che nello spazio euclideotridimensionale E '
IR3, ovvero la struttura lineare e la struttura affine aquesta
associata. Nella fattispecie, le strutture algebriche individuate
dai con-cetti di vettore, di retta, di piano e di traslazione,
unitamente alle categorieda esse individuate e dai morfismi in
esse, che esprimono cio` che in linguaggiocomune corrisponde alla
linearita`.Nel sesto modulo didattico prendendo le mosse dalla
struttura euclidea diun qualunque IRn (che generalizzi quella
pitagorica del piano e dello spazioeuclideo IR2 ed IR3,
rispettivamente) si spiega in maniera piu` approfonditacosa
significhi la nozione generale di conservare la lunghezza (e quella
piu`debole di conservare gli angoli). I casi di maggiore interesse
diretto - quellidi IR2 ed IR3 - sono qui affrontati con dovizia di
particolari (piu` approfondi-tamente il caso bidimensionale e piu`
superficialmente il caso tridimensionale),pervenendo alle strutture
dei corrispondenti gruppi di rotazione (euclidea).En passant, si
introduce la struttura complessa del piano e si accenna a quelladi
quaternione (di IR4). Il naturale completamento di questo modulo e`
miratoa far comprendere - in modo elementare - come si debba
ricorrere ad unospazio con una dimensione in piu` (IRn+1) per
comprendere la struttura affinee la struttura asintotica di uno
spazio IRn, attraverso il concetto elementaredi spazio proiettivo e
di punti impropri di uno spazio IRn.Il settimo modulo, dedicato
alla simmetria nel piano e nello spazio e` quellopiu` vicino
allArte. In esso viene rivisitato il ruolo che le simmetria
euclideesvolgono nella descrizione e nella visualizzazione di forme
geometriche pianee anche solide. Si parla dei poligoni regolari, di
poliedri regolari e delle lorogeneralizzazioni in dimensioni piu`
alte (quarto o piu`). Il modulo e` conclusoda alcune schede di
approfondimento piu` propriamente artistico dedicate adopere
architettoniche e figurative che utilizzano dimensioni piu` alte;
si pensiad esempio a Corpus Hypercubicus di Salvator Dal` e allArc
De La Defence.Nellottavo modulo si affronta in modo succinto e
necessariamente schematicoil problema di come cio` che e` visto e
percepito si rapporta - matematicamente- a cio` che viene
rappresentato o descritto dallimpianto geometrico del dis-egno,
della pittura e dallarte visuale in genere. Vengono introdotte le
illusioniottiche (viste comunque nel contesto matematico e non
psico-cognitivo) (cfr.Fig. 4) e la teoria dellOttica Euclidea,
considerata come elemento preparato-rio allimpianto prospettico che
viene ad essere introdotto nella parte inizialedel modulo 9
successivo, in cui vengono affrontate in modo piu` sistematico
lastruttura e le proprieta` degli spazi proiettivi, prendendo lo
spunto ed avendoin mente la loro genesi storica ed il loro
effettivo ruolo nella piena compren-sione delle regola della
rappresentazione prospettica, anche attraverso luso di
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LA MATEMATICA DELLARTE 9
punti allinfinito (con regole formali e di calcolo che
permettono di considerarlialla stregua di punti ordinari dello
spazio).
Fig. 4. ..... Parallelismo? ..... Curvatura? (la figura e il
corrispondente video sonostati realizzati da M. Cirelli e D.
Fiorelli)
Il modulo 10 dedicato alle curve speciali nel piano e nello
spazio; geometriaelementare delle superfici e` invece di carattere
piu` tecnico. In esso si affrontabrevemente lo studio di alcune tra
le principali curve elementari del piano esuperfici elementari
dello spazio, scelte fra quelle che piu` frequentemente
siincontrano nelle applicazioni artistiche (in pittura, scultura ed
architettura,in campo classico - ma anche nelle moderne forme di
arte generativa). Ilmodulo si conclude con alcune proprieta`
analitiche delle curve e delle super-fici, secondo la visione
ottocentesca di Gauss, preludendo cos` agli sviluppi chefaranno
capolino nel Capitolo 14, che concludera` lopera con lintroduzione
deimoderni concetti della Geometria Differenziale.Il modulo 11
presenta ulteriori cenni di ottica e acustica. Ci si sofferma
sulleleggi elementari della propagazione luminosa, sulla
riflessione e la rifrazione.Si accenna alle sorgenti luminose e
allattenuazione luminosa, alle lenti e aglispecchi. Si introduce
lequazione della curva vibrante, la soluzione dellequa-zione delle
onde e la frequenza di una vibrazione. Si termina con la luce
elet-tromagnetica e il metodo dello sviluppo in serie di Fourier.Il
modulo 12 introduce le tassellazioni e strutture spaziali regolari
e contes-tualmente i lavori di Escher, con riflessioni sulla
classificazione delle operedello stesso Escher come gruppi
cristallografici. Si conclude con gli specchi ei gruppi di
Coxeter.Il modulo 13 introduce nodi e frattali. Si comincia con una
breve introduzionealla teoria elementare dei nodi e si prosegue con
la teoria matematica deimedesimi definendo in maniera formale i
nodi torali e i nodi semplici. Viene poianalizzata la grande
rilevanza che questi hanno rivestito nelle diverse epochestoriche.
Sono introdotti ed evidenziati i nodi presenti nelle opere
artistiche diogni tempo. Viene poi introdotto il concetto di
frattale e di dimensione frat-tale. Sono costruiti e raffigurati
molti frattali classici (Fig. 5) ed analizzatii frattali
nellarchitettura e nella pittura.Il modulo 14 - conclusivo - e`
dedicato a complementi di geometria differenzialee riemanniana. In
esso sono introdotti alcuni cenni elementari alla moderna
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10 Gemma Faraco e Mauro Francaviglia
teoria delle varieta` differenziabili, che completa in senso
generale gli studidi Gauss e Riemann sulle possibili geometrie di
superfici non euclidee esulla loro generalizzazione in dimensione
arbitraria. Ci si limita, in verita`,a pochissimi cenni, e ci si
dedica soprattutto alle definizioni fondamentali ead una breve
introduzione al problema della classificazione Riemanniana.
Siconclude quindi con larte non euclidea e non riemanniana.
Fig. 5. Linsieme di Julia (la figura e` stata realizzata da A.
Gabriele)
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LA MATEMATICA DELLARTE 11
4 La matematica dellarte: lindice degli argomenti
Le figure che seguono mostrano lindice del volume dal quale si
evincono gliargomenti affrontati che, come indicato nella sezione
precedente abbraccianotutta la matematica classica, quella moderna
e le sue applicazioni soprattuttoin campo artistico.
Fig. 6. La Matematica dellArte - Indice degli argomenti
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12 Gemma Faraco e Mauro Francaviglia
Fig. 7. La Matematica dellArte - Indice degli argomenti
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LA MATEMATICA DELLARTE 13
Fig. 8. La Matematica dellArte - Indice degli argomenti
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14 Gemma Faraco e Mauro Francaviglia
Fig. 9. La Matematica dellArte - Indice degli argomenti
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LA MATEMATICA DELLARTE 15
Fig. 10. La Matematica dellArte - Indice degli argomenti
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16 Gemma Faraco e Mauro Francaviglia
Fig. 11. La Matematica dellArte - Indice degli argomenti
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LA MATEMATICA DELLARTE 17
Fig. 12. La Matematica dellArte - Indice degli argomenti