La logica proposicional

LOGICA COMPUTACIONALLA LOGICA PROPOSICIONAL

Ing. Celso Javier Rodriguez Pizza

Contenido Introducción al cálculo proposicional (Álgebra de Boole) Expresiones lógicas Tablas de verdad (Conjunción, Disyunción, Negación, Implicación) Aplicación de la lógica en el diseño de circuitos electrónicos.


LOGICA PROPOSICIONALINTRODUCCION AL CALCULO

PROPOSICIONAL


Proposiciones La lógica utiliza un lenguaje exacto que no da lugar a imprecisiones,

para tal fin toma como elemento básico de análisis a la proposición.

Proposición, es un enunciado del cual se puede dar un valor de verdad. Para simplificar la escritura de argumentos lógicos complicados, crea un lenguaje simbólico artificial.

Es importante tener en cuenta que las proposiciones representan oraciones declarativas, las cuales contienen un sujeto perfectamente definido o dado por el contexto, un predicado y una conjugación del verbo ser.


Proposiciones Simples Las proposiciones se representan simbólicamente mediante el uso

de letras minúsculas del alfabeto, las cuales reciben el nombre de letras o variables proposicionales, de esta forma, el lenguaje proposicional se hace más simple y exacto que el lenguaje natural.

Ejemplos: p : Hoy es sábado. q : Yo estudio Ingeniería. r : New York es llamada la capital del mundo. s : 1 no es un número primo. x : 4 + 3 = 10.


Proposiciones Compuestas En el lenguaje cotidiano se encuentran expresiones como:

Las rosas son rojas y tienen espinas. ¿La selección Colombia ganó o perdió? En el país no hay violencia. Si estudio lógica computacional entonces seré un destacado ingeniero 4 es un número par si y sólo si se puede dividir por 2.

Estas expresiones se denominan oraciones y para su formación se utilizaron las letras y, o, no, si … entonces, sí y sólo si, que sirvieron para unir o enlazar los enunciados.


Conectores lógicos Los anteriores términos de enlace reciben el nombre de conectores

lógicos y al igual que a las proposiciones, también se les asignan un lenguaje simbólico, así:

Lenguaje Natural

Lenguaje Formal

Descripción

y Λ Conjunción

o V Disyunción

No ~ Negación

Si…entonces Implicación oCondicional

Si y solo si Doble implicación oBicondicional


Conectores lógicos: Ejemplos p : Las rosas son rojas. q : Las rosas tienen espinas. p Λ q : Las rosas son rojas y tienen espinas.

r: La selección Colombia ganó?. s: La selección Colombia perdió?. r V s : La selección Colombia ganó o perdió?.

t : En el país hay violencia. ~ t : En el país no hay violencia.


Conectores lógicos: Ejemplos x : Estudio lógica computacional y : Seré un destacado ingeniero x y : Si estudio lógica computacional entonces seré un destacado

ingeniero.

u : 4 es un número par. v : 4 es divisible por 2. u v : 4 es un número par si y sólo si es divisible por 2.


LOGICA PROPOSICIONALTABLAS DE VERDAD


Tablas de verdad Una tabla de verdad es una representación esquemática de las

relaciones entre proposiciones; sirve para determinar los valores de verdad de proposiciones compuestas, las cuales dependen de los conectivos utilizados y de los valores de verdad de sus proposiciones simples.

En la elaboración de una tabla de verdad, los términos de enlace tales como la negación (~), la disyunción (V) y la conjunción (Λ) se consideran conectores fundamentales; por tal razón, sus valores de verdad constituyen base para establecer bajo qué condiciones una proposición compuesta es verdadera o falsa.


Tablas de verdad


Tablas de verdad

Para simbolizar los valores de verdad de una proposición, se utiliza el sistema binario, mediante el cual se le asigna 1 al valor verdadero y 0 al valor falso. La siguiente tabla resume los valores de verdad de los conectivos lógicos:


Construcción de tablas de verdad Para determinar el valor de verdad de una proposición compuesta

es necesario elaborar la correspondiente tabla de verdad; para tal fin y mediante el siguiente ejemplo se enuncian los pasos a seguir:

Ejemplo 1. Construir la tabla de verdad para la proposición ~(p Λ q)

Paso 1. Se hace un recorrido de izquierda a derecha teniendo en cuenta los paréntesis.

Paso 2. Se identifica el conectivo que aparece dentro del paréntesis, en este ejemplo la conjunción.


Construcción de tablas de verdad Paso 3. Se precisa el término de enlace que precede al paréntesis,

en el ejemplo la negación. Paso 4. Se elabora la tabla con el número de columnas

determinado por: Proposiciones que intervienen Conectivos utilizados dentro del paréntesis Conectivo utilizado fuera del paréntesis.

La siguiente tabla ilustra el paso 4:


Construcción de tablas de verdad Paso 5. Se fijan los valores de verdad en las columnas de las

proposiciones p y q. Se ilustra en la siguiente tabla:

Paso 6. Se completa la tabla por columnas, teniendo en cuenta el conectivo y el valor de verdad de cada proposición simple. La finalización de la elaboración de la tabla de verdad es:


Construcción de tablas de verdad

Ejemplo 2. Construir la tabla de verdad para la proposición (p V q) Λ (p Λ q)

Solución:


Tautologías y Contradicciones Entre las proposiciones compuestas existen unas muy importantes

por ser siempre verdaderas, independientemente del valor de verdad de las proposiciones que la conforman, este tipo de proposiciones reciben el nombre de tautologías.

Ejemplo 1. Demostrar que la proposición ( p V q ) (~ q p ) es verdadera.


Tautologías y Contradicciones Ejemplo 2. ¿Es ( p Λ ~ q ) Λ q una tautología?

Para responder la pregunta se hace necesario hacer la tabla de verdad, así:

Por lo tanto esta proposición no es una tautología, es una contradicción.


Leyes del cálculo proposicional Las siguientes son las leyes de la lógica. Se caracterizan porque

todas son tautologías: Ley del tercio excluido:

p v ~p Ley de separación:

( p Λ ( p q ) ) q Ley de simplificación:

( p Λ q ) p Ley de la adición:

p ( p V q )


Leyes del cálculo proposicional Ley de la disyunción por casos:

( p q ) Ley de separación:

( p Λ ( p q ) ) q Ley de simplificación:

( p Λ q ) p Ley de la adición:

p ( p V q )


LOGICA PROPOSICIONALEXPRESIONES LOGICAS


Expresiones Lógicas Una expresión lógica es una proposición (simple o compuesta) en

la cual se establece una comparación entre datos, utilizando: Operadores de relación: >, <, >=, <=, =, <> (Proposiciones simples) Operadores lógicos: Y, O, NO (Proposiciones compuestas)

Ejemplo 1: Escriba una proposición que permita conocer si una persona es mayor de edad

Solución: Se creará un dato denominado EDAD el cual representa la edad de una persona p: EDAD >= 18


Expresiones Lógicas Ejemplo 2: Escriba una proposición que permita conocer si una

persona gana mas de un salario mínimo.

Solución: Se creará un dato denominado SALARIO el cual representa el salario que devenga una persona q: SALARIO >= 496900

Ejemplo 3. Escriba una proposición que permita determinar si una variable a tiene un valor mayor a b y c.


Expresiones Lógicas Solución:

p: a > b q: a > c p Λ q: a > b Y a > c

Prueba. Suponga que a = 20, b = 10, c = 15 p: 20 > 10 (V) q: 20 > 15 (V) p Λ q: (20 > 10) Λ ( 20 > 15 ) (V Λ V = V)


Expresiones Lógicas Ejemplo 4: Escribir una proposición que permita conocer si 3 lados

de un triángulo (LADO1, LADO2 y LADO3 ) forman un triángulo equilátero

Solución. Se creará tres datos denominado LADO1, LADO2 y LADO3 el cual representa los lados de un triángulo p: LADO1 = LADO2 q: LADO2 = LADO3 p Λ q: ( LADO1 = LADO2 ) Λ ( LADO2 = LADO3 )


Expresiones Lógicas Ejemplo 5: Escribir una proposición que permita conocer si 3 lados

de un triángulo (LADO1, LADO2 y LADO3 ) forman un triángulo isóceles.

Solución. Se creará tres datos denominado LADO1, LADO2 y LADO3 el cual representa los lados de un triángulo p: LADO1 = LADO2 q: LADO2 = LADO3 r: LADO1 = LADO3 p V q V r: ( LADO1 = LADO2 ) V ( LADO2 = LADO3 ) V

( LADO1 = LADO3)


Expresiones Lógicas Ejemplo 6: Escribir una proposición que permita conocer si un

número se encuentra en el intervalo [-5, 7]

Solución. Se creará un dato denominado NUM el cual representa el número a evaluar p: NUM >= -5 q: NUM <= 7 p Λ q: ( NUM >= -5 ) Λ ( NUM <= 7 )


Expresiones Lógicas Ejercicios:

Escribir una proposición que permita conocer si un número está en el intervalo [-5, 7] o en el intervalo [9, 11].

Escriba una proposición que determine si tres variables llamadas DIA, MES y AÑO son valores correctos.

Escriba una proposición que determine si dos variables llamadas RAIZ1 y RAIZ2 corresponden a la solución de la ecuación (x2+3x+5=0).

Escriba una proposición que permita determinar si un carácter pulsado es alfabético.

Escribir una proposición que permita determinar si en una elección entre 3 candidatos, alguno obtuvo la mayoría absoluta (más del 50% de los votos).


LOGICA PROPOSICIONALAPLICACIONES DE LA LOGICA EN EL

DISEÑO DE CIRCUITOS ELECTRONICOS


Circuitos electrónicos Circuito lógico es aquel que maneja la información en forma de "1"

y "0", dos niveles lógicos de voltaje fijos. "1" nivel alto o "high" y "0" nivel bajo o "low".

Los circuitos lógicos están compuestos por elementos digitales como la compuerta AND (Y), compuerta OR (O), compuerta NOT (NO)...... y combinaciones poco o muy complejas de los circuitos antes mencionados.

Estas combinaciones dan lugar a otros tipos de elementos digitales como los compuertas, entre otros.


Circuitos electrónicos La electrónica moderna usa electrónica digital para realizar muchas

funciones. Aunque los circuitos electrónicos podrían parecer muy complejos, en realidad se construyen de un número muy grande de circuitos muy simples.

En un circuito lógico digital se transmite información binaria (ceros y unos) entre estos circuitos y se consigue un circuito complejo con la combinación de bloques de circuitos simples.


Circuitos electrónicos La información binaria se representa en la forma de:

"0" o "1", "abierto" o "cerrado" (interruptor), "On" y "Off", "falso" o "verdadero", etc.


Compuerta AND La compuerta AND o Y lógica es una de las compuertas más

simples dentro de la Electrónica Digital.

Su representación es la que se muestra en las siguientes figuras. La primera es la representación de una compuerta AND de 2 entradas y la segunda de una compuerta AND de 3 entradas.

La compuerta Y lógica más conocida tiene dos entradas A y B, aunque puede tener muchas más (A, B, C, etc.) y sólo tiene una salida.


Compuerta AND La compuerta AND de 2 entradas

tiene la siguiente tabla de verdad:

Se puede ver claramente que la salida X solamente es "1" (1 lógico, nivel alto) cuando la entrada A como la entrada B están en "1". En otras palabra: La salida X es igual a 1 cuando la entrada A y la entrada B son 1.

Esta situación se representa en el álgebra booleana como: X = A*B o X = AB.


Compuerta AND Una compuerta AND de 3 entradas se puede implementar con

interruptores, como se muestra en el siguiente diagrama.

La tabla de verdad se muestra al lado derecho donde: A = Abierto y C = Cerrado.


Compuerta AND Una compuerta AND puede tener muchas entradas. Una AND de

múltiples entradas puede ser creada conectando compuertas simples en serie.

Si se necesita una AND de 3 entradas y no una hay disponible, es fácil crearla con dos compuertas AND en serie o cascada como se muestra en el siguiente diagrama.


Compuerta OR La compuerta OR o O lógica es una de las compuertas más simples

dentro de la Electrónica Digital.

Su representación es la que se muestra en las siguientes figuras. La primera es la representación de una compuerta OR de 2 entradas y la segunda de una compuerta OR de 3 entradas.

La compuerta OR lógica más conocida tiene dos entradas A y B, aunque puede tener muchas más (A, B, C, etc.) y sólo tiene una salida.


Compuerta OR La compuerta OR de 2 entradas

tiene la siguiente tabla de verdad:

Se puede ver claramente que la salida X solamente es "1" (1 lógico, nivel alto), cuando en cualquiera de sus entradas haya un "1".

Esta situación se representa en el álgebra booleana como: X = A+B o X = B+A.


Compuerta OR Una compuerta OR de 3 entradas se puede implementar con

interruptores, como se muestra en el siguiente diagrama.

La tabla de verdad se muestra al lado derecho donde: 0 = Abierto y 1 = Cerrado.


Compuerta OR Una compuerta OR puede tener muchas entradas. Una OR de

múltiples entradas puede ser creada conectando compuertas simples en serie.

Si se necesita una OR de 3 entradas y no una hay disponible, es fácil crearla con dos compuertas OR en serie o cascada como se muestra en el siguiente diagrama.


Compuerta NOT La compuerta NOT o NO lógica (inversora) es una de las

compuertas más simples dentro de la Electrónica Digital.

La compuerta NOT entrega en su salida el inverso (opuesto) de la entrada. El símbolo y la tabla de verdad son los siguientes:

La compuerta NOT lógica tiene una sola entrada A y sólo tiene una salida. La salida de una compuerta NOT tiene el valor inverso al de su entrada. En el caso del gráfico anterior la salida X = A.


Compuerta NOT Esto significa que si a la entrada tenemos un "1" lógico, a la salida

hará un "0" lógico y si a la entrada tenemos un "0" a la salida habrá un "1"

El apóstrofe en la siguiente expresión significa "negado": X = A’ y es igual a X = A. Las compuertas NOT se pueden conectar en cascada, logrando después de dos compuertas, la entrada original.


Otras Compuertas: NAND Una compuerta NAND (NO Y) de dos entradas, se puede

implementar con la concatenación de una compuerta AND o "Y" de dos entradas y una compuerta NOT o "No" o inversora.

Al igual que en el caso de la compuerta AND, ésta se puede encontrar en versiones de 2, 3 o más entradas.


Otras Compuertas: NAND Ejemplo de una compuerta NAND de 3 entradas:

Como se puede ver la salida X sólo será "0" cuando todas las entradas sean "1".


Otras Compuertas: NAND Una forma alternativa de lograr el mismo resultado de una

compuerta NAND, es utilizar las leyes de D’Morgan:


Otras Compuertas: NOR Una compuerta NOR (NO O) de dos entradas, se puede

implementar con la concatenación de una compuerta OR o “O" de dos entradas y una compuerta NOT o "No" o inversora.

Al igual que en el caso de la compuerta OR, ésta se puede encontrar en versiones de 2, 3 o más entradas.


Otras Compuertas: NOR Ejemplo de una compuerta NOR de 3 entradas:

Como se puede ver la salida X sólo será “1" cuando todas las entradas sean “0".


Otras Compuertas: NOR Una forma alternativa de lograr el mismo resultado de una

compuerta NOR, es utilizar las leyes de D’Morgan:


Otras Compuertas: XOR La compuerta XOR representa a la compuerta OR Exclusiva. A

diferencia de la compuerta OR, la compuerta XOR tiene una salida igual a 0 cuando sus entradas son iguales a 1.

Si se comparan las tablas de verdad de ambas compuertas se observa que la compuerta XOR es uno ("1") a su salida cuando la suma de los unos "1" a las entradas es igual a un número impar.

La ecuación se puede escribir de dos maneras:


Otras Compuertas: XOR Ejemplo de una compuerta

XOR de 2 entradas:

Ejemplo de compuerta XOR de 3 entradas:

Se puede ver como se cumple que X = 1 sólo cuando la suma de las entradas en "1" es impar.


Circuitos Combinacionales Un circuito combinacional, como su nombre lo sugiere es un circuito

cuya salida depende solamente de la "combinación" de sus entradas en el momento que se está realizando la medida en la salida.

Analizando el circuito, con compuertas digitales, que se muestra a continuación, se ve que la salida de cada una de las compuertas que se muestran, depende únicamente de sus entradas.


Circuitos Combinacionales La salida F (salida final o total del circuito) variará si alguna de las

entradas A o B o las dos a la vez cambian.

Los circuitos de lógica combinacional son hechos a partir de las compuertas básicas compuerta AND, compuerta OR, compuerta NOT. También pueden ser construidos con compuertas NAND, compuertas NOR, compuerta XOR, que son una combinación de las tres compuertas básicas.

La operación de los circuitos combinacionales se entienden escribiendo las ecuaciones booleanas y sus tablas de verdad.


Ejercicios Determinar la función combinacional de los siguientes circuitos

combinacionales:


Algebra Booleana Cuando se trabaja con circuitos digitales es muy común que al final

de un diseño se tenga un circuito con un número de partes (compuertas y otros) mayor al necesario.

Para lograr que el circuito tenga la cantidad de partes correcta (la menor posible) hay que optimizarlo (reducirlo).

Un diseño óptimo causará que: El circuito sea más simple El número de componentes sea el menor El precio de proyecto sea el más bajo


Algebra Booleana La demanda de potencia del circuito sea menor El mantenimiento del circuito sea más fácil. Es espacio necesario (en el circuito impreso) para la

implementación del circuito será menor.

En consecuencia que el diseño sea el más económico posible.

Una herramienta para reducir las expresiones lógicas de circuitos digitales es la matemáticas de expresiones lógicas, que fue presentada por George Boole en 1854, herramienta que desde entonces se conoce como álgebra de Boole.


Algebra Booleana Las reglas del Algebra Booleana son:

. (punto): significa producto lógico + (signo de suma): significa suma lógica


Algebra Booleana Las reglas del Algebra Booleana son:

. (punto): significa producto lógico + (signo de suma): significa suma lógica


Bibliografía Impresa:

GONZÁLEZ Acevedo, Georffrey. Lógica Matemática LIPSCHUTZ, Seymour. Matemáticas para computación.

En Internet: http://www.unicrom.com http://profesormolina1.webcindario.com/electronica/componentes/int/co

mp_log.htm

http://www.unibague.edu.co/~gustavo.martinez/cursos/lc/generalidades.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Circuito_combinacional

http://www.unicrom.com/

http://profesormolina1.webcindario.com/electronica/componentes/int/comp_log.htm

http://profesormolina1.webcindario.com/electronica/componentes/int/comp_log.htm



http://es.wikipedia.org/wiki/Circuito_combinacional

La logica proposicional

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