La geometria del compasso

LA GE,OME,TRIAD E L

COMPASSO

LORE.b{ZO

D I

MASCHERONI .

P A V I A anno V della Repubblica Francese.

Presso gli Eredi di Pietro Galeqzzi( r z?z )

F'x

G

P a

PROBLEMA.

Dirrid.r. un qualunque arco BC in due parti eguali in G.

S!/oo*t Col.raggio AB, col quale è stato descritto I'arco BC, che si deve dividere, e coi centri B, e9,_ú. s_o1o r due punti estremi dell'arco, si descrivano gli archi AD, AE Si faccia a BC = AD:AE ( . 10. ). Poi coi centri P, . E, e col raggto DC: BÈ si descrivano due archi, che si taglino inI Oll col raggio AF, e cogli stessi centri D,ed E si descrivano due altri archi, che si ta$inlo in G.Sarà il punto G nella circonferenz4 e sarà I'arco BG = ff"

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D

PROBIEMA.

D"ti i due punti A, e B; trovare un punto D in guisa, che la DA sia perpendicolare alla AB.

Soluzione. Preso un raggio arbitrario (per esempio la stessa AB); con esso, e coi due centri A, e B sidescrivano due archi, che si taglino in C Con questo stesso raggio e col centro C si descriva la se-micirconferenza BAD ( .64. ). Sarà D il punto cercato.

PROBLEMA.

Di.rd.r. in due parti eguali la distanza AB, ossia trovare il punto M che è sulla retta AB allasua metà

Solryione L Descritta la semicirconfercnza BCDE ( .64.); col centro E raggio EB si descriva unarco indefinitg Inp.Col-centro_!,Iggt" BA si descrivala semicirconfere?apApn.Col centroP, raggio PB si descrival'arco Bl\{- si làccia apm =BM sarà M il punto ..r."rol

PROBLEMA.

D,.pli.^r., triplicarg quadruplicare ec ì"ln angolo dato BAC ( .113.).

Solazione. Col centro A, e coi raggi AB, AC si descrivano due archi indefiniti BDF, CE. Si faccia aCB = CD. Sarà l'angolo BAD duplo di BACSi faccia a CD = DE Sarà I'angolo BAE triplo di BACSi faccia a DE = EF. Sar. BAF quadruplo di BAC ec.Per quadruplicado si poteva ̂ ncoî^fare a BD = DF.

a

PROBLEMA,

Drrrid.r. la circonfer enza delcerchio BD / in quatrro parti eguali

Soluzione. Nella stessa circonferenza sifaccra aJ ragglo AB = Br= BC = CD : DE :El colprimocompasso ( . 10. 8. ). Sarà dc= cB = BA ( 15. lih 4. ).-Si facciaa BD = Ba=Fz col 2* comPasso ad Aa=BF = B/col 3." compasso. Si avrà divisa lactrconfercnzain quattro parti eguali BF, FE, ry,J&.

-

M

E

Kz

K

B

PROBLEMA.

Dirrid.r.la circonfer enzaBDd rncinque parti eguali

SotuZione.Stanti le cose come nel Problema . 31; si facciaaù A4= N&= Oft, compasso 3.'Si faccia a Bú=BQ.Sarà farco BQ la quinta parte'della ctrconferenza"

rì PROBLEMA.

òopt^ un lato dato AB costruire un poligono regolare qualunque tra quelli, che si possono in-scrivere al cerchio ( .128.).

Solnztone' Col raggio AB si descriva un cerchio BD/.In esso si iscriva un poligono regolare simileI quello, che si vuole costruire sul lato AB, cioè di un egual nurnero di lati ( . nA.); . .i^ B/ unlat^o-dique^s!.

P"lig.:"^-scritto. A questo lato.Bl, e al ríggjoAB si trovi la ì.o^própdronale (' 87" 89--90.,9L,92 ). Con essa presà per raggio, e coi ceilri A, e B si segnino due archi, che si ta-

glino in V. Collo stesso raggio VA, centro VJ descriv" o.r....hio agri,rN, ec, e si facciaad AB= BL = LM = M\ ec I punti A, B, L, M, N, ec. saranno i vertici del poligono..r."ro.

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c :,.I

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a a a a . a a a ! a - - . -I r

I

PP\OBI,EMA.

D"ti i vertici d'un qualunque poligono regolare iscritto al cerchio; trovare i d'unpoligono regolare circoscritto.

Soluzione. Sieno i punti B, C, D, E vertici del poligono iscritto al cerchio. Con uno di essi C preso

I>er centro, e colla distarza di due d'essi CB presa per raggjo si descriva la semicirconferenza BDP( .64. ). Coi centri B, e C, e col raggio BD si segnino due archi, che si taglino in V (Nel caso del

pentagono Fig. 61. il punto V coincide col punto E). Con questo stesso r^gglo BD, e col centro V

si tagli la circonferenza BDP in1. Col raggio Pp; e coi centri B, C, D, E ec vertici dell'inscritto si

descrivano degli archi, che si taglino nei punti b, c, d, e, ec. Questi saranno i vertici del poligono re-

golare circoscritto.

torenzo Mascheronl eeeta geometrla d,et compassort

Lorenzo Mascheroni nacque a castagneta in provincia di BergamoneI1750. Nel lz?g comp^iuti gfi stud.iuniveréi-tariio troviamo mae_stro di etoquenza e oi fitosolia prima, di fGió;; marcmatica poi,nel seminario di Bergamo che Èscera nerizàé ler u cattedra di*g-.Plqg geometria presso I'università, d.i pavia. -Nef t?85 pubblica iI trattato ,,Nuove ricerche sull,equilibrio d.e1levolte".e pegu anni l?go-ge lavora al calcoto aeu;inìegrale di Eulerodi cui determina ta trentaduesima cifrà O*i-ni"f". pubblica le"Adnotationes ad calculum integrale Eu1eri,,.Nel r79? da arre stampe la sua"opera piu nota: ,,La geometria d,elcomp-asso", dedicanlgB. N_aporeone r di cui é fèrrrioo-ammir-Jtorà.Membro derla Repybbuca ci-satpina <ri-e?t G;; clriamato a pa_{€1 per far parte deu.a commisiione napoióonicà per Ia revisionedelle unità di misura e di conto, ove rimase finó ar1a morte nel1800. vincenzo lvloqti _compose in suo onore r.'ode encomiastica"Mascheroniana" e carro po-rta in una srra poesi" iofÀ-ùGffi;i;colloca in un improbabile parad.iso popolato ai iitùministi, liberalie massoni.Evidentemente il nostro, nonostante Ia forma,zione ecclesiastica,non era conosciuto come conformista.Figfure di scienziati-artisti o artisti-scienziati non sono rare nel1agtgria; basti pensare a pitagora, a Lucrerió,àigrand.i .,eclettici,, delB,inascimento, a Goethelo_,_ qq" Iimitarói-Jiìàpporto poesia-*^algqatica, alf indiano ARyaBH4JTA ""r pe*si"rrì orvran KIrAy_YAM che noi conosciamo quasi esclusiva-"t t" "óme autore dellefamose "Quartine".

Taql"rt",n4Tg d3i _co_mpressi e affascinanti connorati si colrocaclegnamente, fatte Ie debitè proporzioni, il oórt* rvrascnÀroni-cnèfir si, come abbiamo visto, iniigne scienziato, Àà ancne apprezzatopoeta e letterato. Notevole il suo poemetto i.rnvito a Lesbia cido_li?"r elegante modello di poesia aròadica.Dobbiamo proprio credeie_che questo connubio fra poesia e mate_matica sia un fatto casuale e rion piuttosto ii sèsno d.i naturaliquanto disconosciute affinità.

NeI 1938 in una libreria di Copenhagen venne alla luce per caso unlibro pubblicato neL 1672 con il titolo "Euclid-es Dartictls" ne). qualeil matematico danese Georg Mohr d.imostrava, esattamente comeil Mascheroni I35 anni piu tardi, I'inutilità, della ri$a nella costru-zione di qualsiasi figfurapiana.NeI 1823 Ponoelet, traendo ispiraaione dalle ricerche del Masche-roni, suggeriva I'ipotesi cl.e tutte Ie costruzioni del1a geometriapiana euclidea potessero venire effettuate con I'uso della sola ri$ad.ata una circonfererTza, ed il suo centro. Questo teorema fu succes-sivamente dimostrato da claJrob Steiner (1796-1865) uno dei piugla;ndi studiosi di $eometria di tutti i tempi.