La geometria analitica nello spazio: punti, vettori, rette e piani esercizi 1 prof. D. Benetti Risolvere i seguenti esercizi (le soluzioni sono alla fine di tutti gli esercizi). Esercizio 1. Determina due vettori di modulo 5 paralleli al vettore ! v 1; 2; − 1 ( ) . Esercizio 2. Determina due vettori ! w 1 e ! w 2 paralleli al vettore ! v 1; − 1; 1 ( ) e tali che ! w i − ˆ i , i = 1, 2 , abbia modulo 3 (attenzione: nell’esercizio i è un indice, mentre ˆ i il versore di x). Esercizio 3. Determina un vettore di modulo unitario perpendicolare ai vettori ! v 1; 2; 3 ( ) e ! w 1; 1; − 1 ( ) . Rappresenta il tutto sullo spazio cartesiano Oxyz. Esercizio 4. Sono dati i vettori ! v 3; 4; − 2 ( ) e ! w 3; − 3; 2 ( ) . i. Determina l’angolo tra i due vettori e rappresentali sullo spazio cartesiano Oxyz. ii. Determina la proiezione ortogonale del primo vettore sul secondo. Esercizio 5. Sono dati i vettori ! v 2; 0; 3 ( ) e ! w 0; 0; − 3 ( ) . i. Determina modulo e direzione dei vettori ! u = ! v × ! w e ! w × ! v . ii. Determina il volume del parallelepipedo rettangolo di lati v x , u y e w z . iii. Determina il valore del prodotto misto ! w × ! u ( ) • ! v .
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i =1,#2 ,abbiamodulo3(attenzione:nell’esercizioièunindice,mentre i ilversoredix).Esercizio 3. Determina un vettore di modulo unitario perpendicolare ai vettori
i. Determinaperimetro,areaelecoordinatedelbaricentrodeltriangoloABC.ii. Determinal’equazionedelpiano individuatodaipuntiA,BeC.iii. Determinal’equazionedellarettaperpendicolarealpiano passanteperA.
Esercizio2.Sonodatiilpunto eilpiano .
i. DeterminaladistanzadelpuntoPdalpiano .ii. Determinal’equazionedellarettarperpendicolarealpiano passanteperP.iii. Individuaunarettain chesiasghembaconlarettar.
Esercizio3.Sonodatiilpunto eilpiano .
i. Determinalecoordinatecartesianedelpiano .ii. Determinal’equazionedelpiano paralleloalpiano passanteperP.iii. Determinaladistanzatraiduepiani.
Esercizio4.Sonodatiipunti e .
i. Determinalecoordinatecartesianedellarettarpassanteperiduepunti.ii. DeterminacentroeraggiodellasferadidiametroPQ.iii. Determinaladistanzadelpunto dallarettar.
Esercizio5.Sonodatiipunti , e .
i. Determinalecoordinatedelleproiezioni , , deitrepuntisulpianoOxy.ii. Calcolal’areadeltriangolo .iii. Determina l’equazione del luogo geometrico individuato dall’intersezione del pianoOxy
→ x2 +y2 + z2 +2x 3−2y+8z 3+2=0 quindi C −1 3;1;−4 3( ) e r =2 2 3 ; si nota
che rk −1 0 −1−4 3 0 −4 3
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟=1 ; 3x+3z+1=0 e x+ z+3=0 .
4. L’eserciziorichiededideterminareipiani !Γ e lacuidistanzadalcentroCdellasferaSè
paria4(perché?).Quindi x−2y+2z−8=0 e x−2y+2z+16=0 .
5. x−3y−z+1=0 ; basta considerare i piani passanti per i punti medi di AB e BCperpendicolaririspettivamenteallerettepassantiperAeBeperBeC.Intersecoallafinequestiduepianiconilpianotrovatonelpuntoprecedenteperottenerelecoordinatedel
centro K −13 3;−1 3;−7 3( ) e quindi il raggio r =CK = 426 3 ; Basta intersecare il