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La fonction Partie Entière � Notion de continuité
Laurent ZAMO
Lycée Déodat de Séverac � Céret
(Lycée Déodat de Séverac � Céret) Partie Entière � Continuité 1 / 4
Le graphique
1
1
La partie entière d'un nombre x est le plus grand entier inférieur ou égal à
x . On la note Ent(x).Par exemple, Ent(2, 1) = 2.
(Lycée Déodat de Séverac � Céret) Partie Entière � Continuité 2 / 4
Le graphique
1
1
La partie entière d'un nombre x est le plus grand entier inférieur ou égal à
x . On la note Ent(x).Pour x ∈ [0; 1[, Ent(x) = 0.
(Lycée Déodat de Séverac � Céret) Partie Entière � Continuité 2 / 4
Le graphique
1
1
La partie entière d'un nombre x est le plus grand entier inférieur ou égal à
x . On la note Ent(x).Pour x ∈ [1; 2[, Ent(x) = 1.
(Lycée Déodat de Séverac � Céret) Partie Entière � Continuité 2 / 4
Le graphique
1
1
La partie entière d'un nombre x est le plus grand entier inférieur ou égal à
x . On la note Ent(x).Pour x ∈ [−1; 0[, Ent(x) = −1.(Lycée Déodat de Séverac � Céret) Partie Entière � Continuité 2 / 4
Le graphique
1
1
La partie entière d'un nombre x est le plus grand entier inférieur ou égal à
x . On la note Ent(x).Pour x ∈ [−2;−1[, Ent(x) = −2.(Lycée Déodat de Séverac � Céret) Partie Entière � Continuité 2 / 4
Variations
1
1
Si a ≤ b alors Ent(a) ≤ Ent(b) quels que soient les réels a et b. Donc la
fonction partie entière est croissante sur R.
(Lycée Déodat de Séverac � Céret) Partie Entière � Continuité 3 / 4
Variations
1
1
Si a ≤ b alors Ent(a) ≤ Ent(b) quels que soient les réels a et b. Donc la
fonction partie entière est croissante sur R.
(Lycée Déodat de Séverac � Céret) Partie Entière � Continuité 3 / 4
Continuité
n + h
0 < h < 1n + h
−1 < h < 0n
Si n ∈ Z et 0 < h < 1, alors
n < n + h < n + 1,
donc Ent(n + h) = n
ainsi limh→0+
Ent(n + h) = n.
(Lycée Déodat de Séverac � Céret) Partie Entière � Continuité 4 / 4
Continuité
n + h
0 < h < 1n + h
−1 < h < 0n
Si n ∈ Z et 0 < h < 1, alors
n < n + h < n + 1,
donc Ent(n + h) = n
ainsi limh→0+
Ent(n + h) = n.
(Lycée Déodat de Séverac � Céret) Partie Entière � Continuité 4 / 4
Continuité
n + h
0 < h < 1n + h
−1 < h < 0n
Si n ∈ Z et 0 < h < 1, alors
n < n + h < n + 1,
donc Ent(n + h) = n
ainsi limh→0+
Ent(n + h) = n.
(Lycée Déodat de Séverac � Céret) Partie Entière � Continuité 4 / 4
Continuité
n + h
0 < h < 1n + h
−1 < h < 0n
Si n ∈ Z et −1 < h < 0, alors
n − 1 < n + h < n,
donc Ent(n + h) = n − 1
ainsi limh→0−
Ent(n + h) = n − 1.
(Lycée Déodat de Séverac � Céret) Partie Entière � Continuité 4 / 4
Continuité
n + h
0 < h < 1n + h
−1 < h < 0n
Si n ∈ Z et −1 < h < 0, alors
n − 1 < n + h < n,
donc Ent(n + h) = n − 1
ainsi limh→0−
Ent(n + h) = n − 1.
(Lycée Déodat de Séverac � Céret) Partie Entière � Continuité 4 / 4
Continuité
n + h
0 < h < 1n + h
−1 < h < 0n
Si n ∈ Z et −1 < h < 0, alors
n − 1 < n + h < n,
donc Ent(n + h) = n − 1
ainsi limh→0−
Ent(n + h) = n − 1.
(Lycée Déodat de Séverac � Céret) Partie Entière � Continuité 4 / 4
Continuité
n + h
0 < h < 1n + h
−1 < h < 0n
Conclusion :
Si n est un entier,
limh→0−
Ent(n + h) 6= limh→0+
Ent(n + h).
On dit que la fonction Ent n'est pas
continue en n.
On remarque que, à chaque point
d'abscisse entière, on doit "lever le
crayon" pour tracer le graphe.
(Lycée Déodat de Séverac � Céret) Partie Entière � Continuité 4 / 4
Continuité
n + h
0 < h < 1n + h
−1 < h < 0n
Conclusion :
Si n est un entier,
limh→0−
Ent(n + h) 6= limh→0+
Ent(n + h).
On dit que la fonction Ent n'est pas
continue en n.
On remarque que, à chaque point
d'abscisse entière, on doit "lever le
crayon" pour tracer le graphe.
(Lycée Déodat de Séverac � Céret) Partie Entière � Continuité 4 / 4
Continuité
n + h
0 < h < 1n + h
−1 < h < 0n
Conclusion :
Si n est un entier,
limh→0−
Ent(n + h) 6= limh→0+
Ent(n + h).
On dit que la fonction Ent n'est pas
continue en n.
On remarque que, à chaque point
d'abscisse entière, on doit "lever le
crayon" pour tracer le graphe.
(Lycée Déodat de Séverac � Céret) Partie Entière � Continuité 4 / 4
Continuité
n + h
0 < h < 1n + h
−1 < h < 0n
Conclusion :
Si n est un entier,
limh→0−
Ent(n + h) 6= limh→0+
Ent(n + h).
On dit que la fonction Ent n'est pas
continue en n.
On remarque que, à chaque point
d'abscisse entière, on doit "lever le
crayon" pour tracer le graphe.
(Lycée Déodat de Séverac � Céret) Partie Entière � Continuité 4 / 4
Continuité
Dé�nition :
Lorsqu'on peut tracer le graphe d'une fonction f sur un intervalle I "sans
lever le crayon", on dit que la fonction est continue sur I .
Cela signi�e que, pour tout a ∈ I , limx→a
f (x) = f (a).
Par exemple, la fonction partie entière est continue sur [0; 1[,mais n'est pas continue sur R.
(Lycée Déodat de Séverac � Céret) Partie Entière � Continuité 4 / 4
Continuité
Dé�nition :
Lorsqu'on peut tracer le graphe d'une fonction f sur un intervalle I "sans
lever le crayon", on dit que la fonction est continue sur I .
Cela signi�e que, pour tout a ∈ I , limx→a
f (x) = f (a).
Par exemple, la fonction partie entière est continue sur [0; 1[,mais n'est pas continue sur R.
(Lycée Déodat de Séverac � Céret) Partie Entière � Continuité 4 / 4
Continuité
Dé�nition :
Lorsqu'on peut tracer le graphe d'une fonction f sur un intervalle I "sans
lever le crayon", on dit que la fonction est continue sur I .
Cela signi�e que, pour tout a ∈ I , limx→a
f (x) = f (a).
Par exemple, la fonction partie entière est continue sur [0; 1[,mais n'est pas continue sur R.
(Lycée Déodat de Séverac � Céret) Partie Entière � Continuité 4 / 4
Continuité
Dé�nition :
Lorsqu'on peut tracer le graphe d'une fonction f sur un intervalle I "sans
lever le crayon", on dit que la fonction est continue sur I .
Cela signi�e que, pour tout a ∈ I , limx→a
f (x) = f (a).
Par exemple, la fonction partie entière est continue sur [0; 1[,mais n'est pas continue sur R.
(Lycée Déodat de Séverac � Céret) Partie Entière � Continuité 4 / 4
Continuité
Dé�nition :
Lorsqu'on peut tracer le graphe d'une fonction f sur un intervalle I "sans
lever le crayon", on dit que la fonction est continue sur I .
Cela signi�e que, pour tout a ∈ I , limx→a
f (x) = f (a).
Par exemple, la fonction partie entière est continue sur [0; 1[,mais n'est pas continue sur R.
(Lycée Déodat de Séverac � Céret) Partie Entière � Continuité 4 / 4
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