La evocación en la clase de Matemática

8/16/2019 La evocación en la clase de Matemática

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Dirección de Gestión Curricular – Mejorar los aprendizajes – Área Matemática

SSuubbsseeccrreettaarriiaa ddee EEdduuccaacciióónn

DDiirreecccciióónn PPrroovviinncciiaall ddee EEdduuccaacciióónn PPrriimmaarriiaa

DDiirreecccciióónn ddee GGeessttiióónn CCuurrrriiccuullaarr

MMee j joorraarr llooss aapprreennddiizzaa j jeess

ÁÁrreeaa:: MMaatteemmááttiiccaa

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PPaattrriicciiaa GGaarrccí í aa

GGlloorriiaa RRoobbaalloo

IInnééss SSaanncchhaa

MMaarrí í aa CCeecciilliiaa WWaallll

AAnnddrreeaa NNoovveemmbbrree ((ccoooorrdd..))


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GGAACCEETTIILLLLAA 11:: LLaa eevvooccaacciióónn ddee ccoonnoocciimmiieennttooss eenn uunnaa ccllaassee ddee SSeexxttoo

ggrraaddoo11 2

IInnttrroodduucccciióónn::

En esta gacetilla reproducimos algunos fragmentos del registro de

una clase de repaso llevada a cabo en un Sexto grado, después del

adelantamiento y extensión del receso de invierno de 2009 que ocasionó

que las escuelas estuvieran un mes sin clases.

No estamos proponiendo una clase “ideal” que los maestros deberán

intentar imitar con sus alumnos, se trata de una clase que, como las detodos los docentes, tiene aspectos a destacar y otros a mejorar, y que nos

sirve como ejemplo para empezar a pensar algunas cuestiones en torno a la

enseñanza.

¿Por qué proponemos analizar el extracto de una clase?

Poder poner la lupa sobre algunos hechos de la clase permite ubicarla

como objeto de reflexión. Esto da lugar, entre otras cuestiones, a pensar en

el tipo de interacciones que promovemos y en sus consecuencias, anticiparcuál es el tipo de actividad matemática que nuestros alumnos pueden

desarrollar frente a un problema, pensar intervenciones que consideramos

más eficientes en función del grupo, etc.

EEll ttrraabbaa j joo rreeaalliizzaaddoo ppoorr eessttooss aalluummnnooss

Como trabajo para hacer durante el receso, la maestra preparó una serie de

actividades, entre las que estaban las siguientes:

Repaso

Realiza las siguientes actividades:

Hacé un listado de los temas que aprendiste hasta ahora.

Para cada tema, escribí un problema que te haya resultado fácil y

1 Agradecemos especialmente a Beatriz Moreno.2 Queremos agradecer muy especialmente a Giselle Tallone, Silvana Botazzini y GladysTedesco.


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otro que te haya parecido difícil.

Escribí para cada uno por qué te resultó fácil o difícil.

Explicá de qué manera se pueden resolver los fáciles y de qué

manera los difíciles.

Volvé a leer todos los problemas que se resolvieron y armá grupos de

problemas parecidos. Explicá en qué se parecen.

Consultá todos los problemas que resolvieron e inventá una

evaluación que tenga un problema de cada tipo. Resolvela.

Creemos importante aclarar que ni los alumnos, ni la maestra3 habían

trabajado con actividades de este tipo anteriormente. Los fragmentos de

registro de clase seleccionados para analizar corresponden a lo trabajado entorno al ítem 1 de las actividades de repaso.

¿¿CCóómmoo aannaalliizzaarreemmooss eell rreeggiissttrroo??

Hay muchísimas cuestiones que merecen ser analizadas en un

registro, pero en este caso nos detendremos en aquellos aspectos

vinculados con el estudio de los alumnos. Para ello, retomaremos la

reflexión sobre la evocación4

, una de las estrategias de enseñanza quepermite volver a hacer presentes en las aulas contenidos que han sido

trabajados con anterioridad. Se trata de situaciones que dan una

oportunidad a los alumnos para revisar, recordar, repensar, estabilizar y

familiarizarse con conceptos que ya han aprendido y que los introduce en la

práctica de estudiar matemática, como un tipo de trabajo personal y

autónomo.

Repensar los problemas que han sido resueltos en clases anteriores

en torno a un concepto o a un campo de problemas permite evocar accionessin realizarlas. Al buscar la forma de decir colectivamente qué sucedió, qué

problemas fueron tratados, qué se estudió, qué tareas y actividades se

propusieron y realizaron, los alumnos vuelven a pensar sobre los problemas

y procedimientos de resolución utilizados. Esta actividad reviste una

significación diferente a la de resolver: los alumnos tienen que pensar en el

sentido de los problemas más que en los detalles de su resolución, tienen

3 La docente está comenzando a trabajar con los lineamientos del Diseño Curricular vigente.4

Retomamos algunas consideraciones sobre la evocación que han sido desarrolladas en:DGCyE. Pcia. Bs. As., DPEP, (2009): “Cómo pensar la enseñanza en el segundo cuatrimestre2009. Primera parte”. Disponible en www.abc.gov.ar


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que pensar por qué algunas estrategias de resolución son válidas más que

en el resultado5.

LLaa eevvooccaacciióónn eenn eell aauullaa::

Con la intención de retomar el trabajo realizado, la docente propone a

los alumnos, en una primera instancia armar un listado con los temas

aprendidos, para luego elaborar un “machete” que contenga los aspectos

fundamentales de cada contenido. En la primera parte de la clase sucede el

siguiente intercambio:

M: maestra Al/Als: alumno/alumnos (en caso de desconocerse elnombre).

M: Vamos a empezar. ¿Se acuerdan

que yo les pedí que hicieran el

listado de los temas que habíamos

aprendido desde principio de año

hasta ahora? ¿Tienen el listado?

Als: ¡Si!

M: ¿Qué vamos a hacer hoy? Vamosa hacer un machete.

Al: ¡Vamos! (Risas)

M: ¿Para qué sirve un machete?

Al: ¡Para las pruebas!

(Risas)

M: ¡Para las pruebas! Tomemos

eso… Para las pruebas sirven, pero

¿para qué?

Al: Para estudiar…

M: Para estudiar. El machete me

sirve a mí para aprender a armarlo y

que me sirva después como una

guía de estudio. Entonces, vamos a

aprender a hacer un machete para

tener todos los contenidos quenecesito saber para mi prueba y con

ejemplos para no olvidarme. Con

esto puedo evitar tener que buscar

cada tema por la carpeta, por el

libro, por todos lados y lo tengo en

una hoja. ¿Estamos?

Als: Sí…

Disponer de un tiempo anterior a la clase para que comiencen a

preparar este trabajo genera mejores condiciones para que todos los

alumnos puedan participar del intercambio que sucede en el momento de la

evocación. Recordemos que el objetivo de la docente se centra en que los

5 Para ampliar el estudio sobre las situaciones de evocación, remitimos a la lectura de:Sadovsky, Patricia; Sessa, Carmen; Napp, Carolina; Novembre, Andrea: “La formación de los

alumnos como estudiantes. Estudiar Matemática, serie: Apoyo a los alumnos de primer añoen los inicios del nivel medio.” Documento curricular de la Secretaría de Educación del GCBA.Disponible en: www.buenosaires.esc.edu.ar/areas/educacion/curricula/d2web01.pdf


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alumnos recuerden y repasen los contenidos que estudiaron durante la

primera mitad del año. Estos niños nunca realizaron una tarea de ese tipo,

por lo que no tenían muy claro qué hacer ni cómo se iba a usar lo que iban

a traer de tarea. De hecho, no parecía a primera vista, un trabajo

interesante porque para muchos de los alumnos alcanzaba con hacer una

lista copiada de los títulos de la carpeta.

En este primer momento de la clase, la maestra deja en claro qué

van a hacer y por qué: “Entonces, vamos a aprender a hacer un machete

para tener todos los contenidos que necesito saber para mi prueba y con

ejemplos para no olvidarme. Con esto puedo evitar tener que buscar cada

tema por la carpeta, por el libro, por todos lados y lo tengo en una hoja” .Situar a los niños en la tarea a resolver es fundamental para que el control

no quede sólo del lado del docente sino que sea compartido. Los alumnos

saben qué se va a hacer y por qué, no son ajenos a su aprendizaje.

La confección del “machete” planteada por el docente permite a los

niños organizar el repaso. Este no necesariamente se realiza siempre antes

de una prueba, sino que puede proponerse en cualquier momento del

proceso de enseñanza e irse completando a medida que van resolviendo

diferentes problemas en torno a un concepto. Su función es que losalumnos resuman los aspectos más importantes de un contenido o de un

conjunto de problemas tratados en clase, desde una elaboración personal;

en él pueden incluir definiciones, ejemplos y aclaraciones. En su producción

escrita el alumno también puede anticipar ciertos errores, por ejemplo “no

se puede descomponer el divisor en una suma”, dicho en palabras o con

ejemplos. Se trata de que cada niño pueda escribir su “machete” de la

forma en que le resulte más fácil y clara de entender.

La clase continuó de la siguiente forma:

M: Bien. Sacamos el listado de los

temas que hicieron y los vamos

anotando.

(Los chicos buscan en sus carpetas y

la maestra se prepara para escribir

en el pizarrón).

M: A ver… ¿quién me dice quéaprendieron?

M: Vivi.

Vivi: Sistema de numeración y

operaciones.

M: ¿Sistema de numeración?

Vivi: Y operaciones.

M: Ceci.

Ceci: Potencias de 10.Al: ¡Ya lo dijeron, seño!


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A medida que los alumnos dictan a la maestra qué aprendieron, van

leyendo títulos de la carpeta: Lectura y escritura de números, potencias de

diez, cálculos mentales, etc .

Estos primeros enunciados aún no están formulados en términos deaprendizajes, los niños se valen de los títulos de las tareas como

herramientas de organización de los conocimientos que fueron

construyendo en la actividad de resolver problemas. Pero la organización

que viene dada por los títulos representa una clasificación preestablecida de

los contenidos y no da cuenta de los aprendizajes personales que los niños

pudieron realizar sobre ellos, por ejemplo, “aprendí que para multiplicar por

diez, cien y mil, es más rápido agregar un cero, dos ceros o tres ceros al

número que querés multiplicar” .

(Comienzan a levantar las manos).

M: Dafne.

Dafne: Lectura y escritura de

números.

(M lo escribe en el pizarrón)

Al: ¿Lo anotamos, seño?

M: No. Primero en el pizarrón.

Vamos anotando todo el listado y

vemos desde el principio cuáles nos

faltan.

Al: Potencias de diez.

M: ¿Quién más? Aldana.Aldana: Cálculos mentales.


Al: ¡Yo, seño!

M: Facu.

Facu: Estrategias de cálculos.


M: ¿Quién más? ¡Matías!

Matías: Problemas y propiedades.

M escribe en el pizarrón lo que ledice cada alumno, armando una

lista.

M: Lo dijeron pero no lo anotamos.

M: Cami.

Cami: Traslación de ángulos con

regla y compás.

Als: ¡Sí! ¿Se acuerdan de las

últimas actividades que resolvimos?

M: ¿Qué más? A ver, Lucas.

Lucas: Múltiplos y divisores.

M: ¿Qué más? Rodrigo.

Rodrigo: Números naturales y

operaciones.

Als: Seño, operaciones ya está.Al: Aprendimos a usar bien la

calculadora.

M: Eh, Matías.

Matías: Criterios de divisibilidad.

M: Yamila.

Yamila: Cálculos mentales.

M: Cálculos mentales… Ya está.


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Todo el trabajo propuesto no puede llevarse adelante si el docente no

prevé la instalación de títulos o registros escritos que remitan al nombre

matemático del contenido que se está tratando. Es decir, los títulos como

“Yo solito” o “Resolvemos sin mirar” no dan pistas a los niños sobre lo que

trabajaron. Algunos títulos, que explicitan el contenido que se trabaja,

presentan el riesgo de sugerir a los niños la estrategia o la operación que

resuelve los problemas propuestos. En ese caso puede optarse por escribir

el título luego de la resolución o escribir una conclusión al finalizar que dé

cuenta de los contenidos matemáticos puestos en juego.

En un pasaje posterior, la docente va interviniendo para que puedan

identificar qué aprendizajes se incluyen en algunos de esos grandes títulos:M: Camilo.

Camilo: Los triángulos.

M: Nuria.

Nuria: Ángulos.

M: ¿Qué de ángulos? A trasladarlos

vimos, y eso ya está.

M: Lola.

Lola: Cómo construir un triángulo.

M: A ver, puse triángulos y ahorapongo construcción.

M: ¿Algo más?

A: Polígonos.

Juana: Traslación de figuras con

regla y compás.

M: Sí, pero tiene que ver con los

ángulos.

(Juana asiente).

M: Brian.

Brian: Ángulos interiores de un

polígono.

M: Rodri.

Rodrigo: Justificación.

M: ¡¡Justificación!!

Los chicos revisan sus carpetas y

cuadernos mientras la maestra

escribe en el pizarrón.

M: Dani.

Dani: Propiedades conmutativa,

asociativa y distributiva.

M: Propiedades conmutativa…

Vamos a poner propiedades.

As: Pero ya está eso…

M: Bueno, lo dejamos ahí incluido.

¡Facu!

Con la pregunta ¿qué de ángulos? , la maestra promueve que Nuria

especifique qué aspectos retuvo de las actividades matemáticas resueltas

bajo ese título o qué resultó importante para ella. La maestra también

realiza intervenciones que apuntan a que los niños establezcan relaciones

entre los aprendizajes que van identificando. Al decir: “puse triángulos,

ahora pongo construcción” , está informando a sus alumnos que la actividad

de construcción es un conocimiento que se vincula con el contenido

triángulos. Lo mismo ocurre cuando Juana propone “traslación de figuras


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con regla y compás” , la docente informa que es un contenido que se

relaciona con los ángulos.

Hay también algunos “aprendizajes” sobre los que la maestra no

decide intervenir, pues no es su propósito en ese momento. Cuando Brian

dice haber aprendido “ángulos interiores de un polígono”, no puede saberse

a qué se refiere, sin embargo, la docente no indaga en ese momento. Si lo

hiciera a propósito de cada afirmación, este momento de la clase se

extendería demasiado en el tiempo.

Resulta interesante analizar cómo a medida que transcurre el

intercambio, algunos niños van “despegándose” de los títulos de las tareasque proponían en el comienzo de la clase, para dar lugar a la identificación

de aprendizajes que constituyen prácticas propias del trabajo matemático.

Es así como Rodrigo puede reconocer a la justificación como uno de los

aprendizajes realizados. La “justificación” no corresponde a ningún

contenido que pueda identificarse con un título de la carpeta. Se trata del

reconocimiento de un aprendizaje acerca del quehacer matemático en esa

clase: “para hacer matemática tenemos que justificar y aprendimos a

hacerlo”.

A medida que los niños van apropiándose de este trabajo de

evocación de lo aprendido, la docente puede promover la reorganización de

los contenidos propuestos por los alumnos, seleccionando sobre cuáles va a

trabajar con mayor nivel de profundización. Por ejemplo, discutir si las

potencias de 10 y la justificación son contenidos parecidos o diferentes,

distinguiendo los contenidos matemáticos, como las potencias de 10, de los

que se refieren al trabajo que es propio de la matemática, como la

justificación.

Al finalizar la memoria colectiva de lo aprendido durante la primera

parte del año, la maestra propone a los niños que copien la lista. El listado

así confeccionado no es suficiente para evocar los aprendizajes que los

niños realizaron, es necesario introducirlos en el análisis de alguno o todos

los contenidos enunciados, según la decisión del docente. El nombre de un

concepto no contiene los conocimientos que de él se desprenden,

principalmente porque éstos son personales. No se trata de que vuelvan a

resolver los problemas de cada contenido, sino de volver a mirar lo que


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hicieron. Con este propósito, la docente indica que trabajen en parejas para

escribir sobre uno de los contenidos de la lista, estrategias de cálculo:

“Van a tener que escribir una oración chica donde diga qué es una

estrategia de cálculo… Van a escribir qué es una estrategia, cómo se

resuelve un cálculo mental y un ejemplo”.

Para responder a la consigna, los alumnos trabajan mirando sus

libros y carpetas6:

Pareja 1:

Una de las alumnas dicta y las dos

escriben:“Una estrategia es una forma más

fácil de hacer una cuenta.”

Pareja 2:

Dos alumnas charlan. Una le dice a

la otra: “Descomponés el número

para que la cuenta se te haga más

fácil.” Van a escribir y se detienen.

La que habló dice: “¿Cómo seresuelve? Podés poner,

descomponés el número para que se

te haga más fácil.”

La otra nena acota: “…alguno de los

números…”

Pareja 3:

M: Chicas, ¿ustedes ya pensaron

qué es una estrategia de cálculo?Al1: Una estrategia de cálculo es

una forma más rápida de resolver

un cálculo.

M: Ah. ¿El ejemplo ya lo tienen?

Al2: Por ejemplo descomponiendo el

número para que la cuenta se haga

más fácil.

Pareja 5:

Al1: Para nosotros la estrategia de

cálculo es una forma de facilitar lacuenta haciendo una o más cuentas

y descomponiendo el número. Y

ahora estamos haciendo cómo se

resuelve… y estamos hablando.

(Hablan entre ellos)

Al1: Se resuelve…

Al2: Descomponiendo los números.

Pareja 6:Están hablando.

Al: Entonces ponemos…

Al: …ponemos 60 por 10 y 60 por 20

igual a esto… Acá da 600 y acá 1200

(lo dicen entre los dos) y sería…

1200 más 600, 1800.

(En la carpeta tiene escrito

60 × 10 = 600 60 × 20 = 1200

60 × 30 = 600 + 1200 = 1800)

Al: Era fácil.

Al: Claro. Podemos poner otro

número más complicado…

Pareja 7:

Al1: La estrategia se resuelve…

Al2: desarmando, descomponiendo

6 Recomendamos la lectura del documento “Cálculo Mental y Algorítmico”, disponible enwww.abc.gov.ar


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M: Aha… ¿y el ejemplo?

Se sonríen y miran en el libro.

Al1: Por ejemplo… (le muestran un

ejercicio que tienen resuelto en el

libro, donde calcularon 1520 × 12)

1520 por 12 es lo mismo que hacer

20 por 12 y 1500 por 12 y después

lo sumás y te da el resultado.

Pareja 4:

M: ¿Qué están pensando?

Al: Cálculos mentales… eh…estrategias de cálculo es cuando

descomponés un número para hacer

una distinta estrategia pero siempre

te va a dar el mismo resultado que

hacer la cuenta común.

los números. Por ejemplo 24 por 12

es 24 por 6 más 24 por 6.

Al1: O si no 520 por 24. Tenés que

ir descomponiendo el 24. Hacés 520

por 20, después 520 por 4 y a lo

último sumás todos los resultados.

M: ¡Muy bien! ¡Bien, Matías!

Pareja 8:

Al: Usando una distinta estrategia

siempre te va a dar el mismo

resultado.…

Es interesante observar cómo los niños pueden reflexionar sobre los

cálculos sin volver a resolverlos, los miran con el propósito de inferir quéhay de general en la resolución de todos ellos y producir una definición de

estrategia de cálculo lo suficientemente sintética como para incluirla en el

“machete”. Cuando buscan ejemplos, tampoco se centran en la resolución

misma, intentan encontrar el cálculo que mejor “muestra” la explicación del

concepto que han escrito: “Era fácil. Claro, podemos poner otro número

más complicado”.

Una cuestión a destacar es que en esta clase se habla de “estrategias

de cálculo” refiriéndose a “estrategias de cálculo mental”, pero claramentees una forma de comunicación compartida entre los alumnos y la docente.

Como parte de la instancia colectiva, donde la maestra propuso una

discusión sobre lo que cada pareja produjo, acordaron escribir un “machete”

común, que tuviese en cuenta las diferentes características importantes

para retener.


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Las estrategias de cálculo mental son formas diferentes para

hacer cuentas. Se usan una o más cuentas. Te da el mismo

resultado sin importar cómo lo hacés. Se hace desarmando losnúmeros y hay muchas maneras de hacerlo.

Por ejemplo, para hacer 1520 × 12 se puede hacer 20 por 12 y

1500 por 12 y después sumás los resultados. También se puede

hacer 1520 × 6 y al resultado multiplicarlo por 2.

Cada pareja de alumnos tuvo la oportunidad de hacer su propio

“machete” y enriquecerlo con lo que los demás produjeron. Las diferentes

experiencias personales y conocimientos de los niños pueden aportar

información no tenida en cuenta o no considerada como un aprendizaje.Esto no se puede dar sin un espacio colectivo de intercambio entre los

alumnos y el docente.

Así, la maestra introduce a los niños en este tipo de práctica de

estudio, de modo que en próximas situaciones cada alumno se encuentre en

mejores condiciones de confeccionar su propio “machete” enunciando los

aprendizajes que ha realizado desde su experiencia personal.

La síntesis que logran hacer los alumnos y los ejemplos de cálculos

que utilizan se corresponden con los conocimientos que han podido

construir hasta este momento. Sin duda, los recursos de cálculo que

dominan se irán ampliando y las definiciones que producen se irán haciendo

más precisas, en clases y años sucesivos. Asumir la provisoriedad y el largo

plazo en la construcción de los conocimientos supone aceptar que, por

ahora, son estos los aprendizajes que los niños pueden explicitar.

AA mmooddoo ddee cciieerrrree

En esta gacetilla hemos propuesto algunas reflexiones sobre la

evocación como situación de enseñanza, que pretende instalar un tipo de

práctica de estudio de la matemática. Sabemos que muchos docentes

proponen a sus alumnos actividades de repaso de los contenidos tratados.

Estas actividades suelen consistir en volver a resolver algunos problemas

seleccionados por el docente, similares a los resueltos en el transcurso de

las clases anteriores, sin un espacio para que los niños reflexionen sobre elconocimiento que han puesto en juego en esa resolución, los errores que


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han sido recurrentes, o los aspectos del contenido importantes para retener.

Por eso, hemos considerado necesario detenernos a analizar algunas

condiciones didácticas que convierten al repaso en una vuelta a lo

aprendido a partir de cierto distanciamiento de las actividades realizadas.

En este caso se trata de una vuelta atrás para no volver a hacer, sino para

reflexionar sobre lo hecho.

La evocación puede ser utilizada por el docente de muchas maneras,

de acuerdo a los objetivos que se plantee. Por un lado, es una estrategia

útil para evaluar la apropiación de contenidos por parte de los alumnos, y

por el otro es una actividad que funciona como herramienta para recuperar

los conocimientos necesarios para encarar el aprendizaje de un nuevocontenido que los involucren.

Del mismo modo, pensamos que el análisis de los fragmentos del

registro de clase nos permite tomar distancia del lugar de quien da la clase

para mirar qué pasa con ella. Esta posición nos da la posibilidad de mirar a

nuestros alumnos en clase y a nosotros enseñando, nos da la oportunidad

de evaluar diversas posibilidades de acción y detectar problemas. Se trata

entonces, de reflexionar sobre los diferentes procesos que ocurren con el

objetivo de mejorar nuestras prácticas de enseñanza.

La evocación en la clase de Matemática

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