La divisione

CAMPI D’ESPERIENZA• Il se e l’altro;• I discorsi e le parole;• La conoscenza del mondo.

CONTESTO,DURATA E LUOGO•Scuola primaria, classe terza;• 1 \ 2 mesi scolastici;• Aule scolastiche.

OBIETTIVI• individuare l’idea di divisione nei bambini;•far approcciare gli alunni ad una prima forma di divisione con attività ludiche;• sapersi confrontare con gli altri e collaborare;•Passare dalla rappresentazione quantitativa alla rappresentazione grafica dell’operazione;• saper individuare e utilizzare l’operazione nelle varie situazioni problematiche della realtà.

La divisione tra numeri naturali

INTRODUZIONE:Il progetto presentato è finalizzato all’acquisizione del concetto di divisione tra due numeri naturali, attraverso fasi e attività ludiche allo scopo di far familiarizzare il bambino con questa operazione,a livello pratico e teorico.

Il progetto sarà suddiviso in varie fasi:1. FASE PREOPERATORIA: comunicazione tra bambino – insegnante e tra pari;2. SITUAZIONE A DIDATTICA: divisione tra due numeri tramite un’attività ludica;3. SITUAZIONE B DIDATTICA: passaggio dalla moltiplicazione alla divisione;4. SITUAZIONE C DIDATTICA: arrivare alla scrittura formale della divisione;5. SITUAZIONE D DIDATTICA: proprietà della divisione;6. SITUAZIONE E DIDATTICA: calcolo della divisione in colonna con divisore di una

cifra;7. SITUAZIONE F DIDATTICA: divisione con divisore di due cifre;8. VERIFICA E VALUTAZIONE.

FASE PREOPERATORIACaratterizzata dalla comunicazione che avviene tra l’insegnante e il bambino e tra pari,tramite domande - stimolo. La comunicazione si basa su un’indagine rivolta al bambino con lo scopo di comprendere se egli ha un’idea del significato di dividere.

Ad esempio si chiederà: “qualcuno sa che cosa vuol dire dividere?” I bambini,naturalmente, avranno diverse considerazioni riguardante questo concetto:-Dividere un pacchetto di caramelle tra amici;- Dividere la stanza con il proprio fratello \ sorella;- Separare i vestiti invernali da quelli estivi;

Dall’indagine si noterà che i significati più comuni che i bambini attribuiscono al concetto di dividere sono: separare e condividere, ma non fanno riferimento al dividere in “parti uguali”. Quindi,il compito dell’insegnante,in questo caso, è quello di proporre una serie di circostanze di tipo problematiche in cui si presenta l’occasione di fare parti uguali.

SITUAZIONE A DIDATTICA

L’insegnante per rappresentare un rapporto tra due numeri deciderà di effettuare un’attività ludica con i propri alunni. L’attività si svolgerà in classe con l’ausilio del materiale didattico. L’insegnante dividerà gli alunni in gruppi da quattro, che utilizzeranno dei colori e dei contenitori. Ogni gruppo riceverà diverse consegne.Così, i bambini si avvicineranno ad una prima situazione problematica di divisione di RIPARTIZIONE poiché sembra il modo più naturale per iniziare aparlare di tale operazione.

1° attività

1. GRUPPO : riceve 10 matite colorate da distribuire in parti uguali in 2 contenitori.2. GRUPPO : riceve 12 matite colorate da distribuire in parti uguali in 3 contenitori. 3. GRUPPO: riceve 8 matite colorate da distribuire in parti uguali in 4 contenitori.4. GRUPPO: riceve 2 matite colorate da distribuire in parti uguali in 2 contenitori.

I bambini, consultandosi tra di loro arriveranno a queste conclusioni:5. GRUPPO: la quantità di 10 matite divise in 2 contenitori darà 5 matite in ciascun

contenitore;6. GRUPPO: la quantità di 12 matite divise in 3 contenitori darà 4 matite in ciascun

contenitore;7. GRUPPO: la quantità di 8 matite divise in 4 contenitori darà 2 matite in ciascun

contenitore;8. GRUPPO: la quantità di 2 matite divise in 2 contenitori darà 1 matita in ciascun

contenitore;

Partendo dal presupposto che i bambini sanno già raggruppare e che in un certo senso raggruppare significa dividere,la prima attività si svolgerà in questo modo:

1° GRUPPO

2° GRUPPO

3° GRUPPO

4° GRUPPO

SITUAZIONE B DIDATTICAIn tutti i discorsi affrontati è fondamentale, tramite esempi, richiamare il fatto che tale operazione è l'inversa della moltiplicazione.Per questo è necessario creare un’ulteriore situazione problematica che rappresenti una divisione di CONTENENZA, bisogna portare il bambino a capire “quante volte” un numero “sta” o “è contenuto” in un altro. L’insegnante provvederà così a creare un’altra attività ludica con l’utilizzo dei regoli, già conosciuti e utilizzati in precedenza.

2° attivitàL’insegnante mostra agli alunni i regoli e inizierà a porre una serie di domande ai vari gruppi:1. “ Quante volte il regolo arancione contiene il regolo giallo?”

I bambini attraverso la manipolazione dei regoli e il loro utilizzo troveranno una soluzione..

2. “ Quante volte il regolo verde scuro contiene il regolo rosso?”

“ il regolo arancione contiene 2 volte il regolo giallo!”

“ il regolo verde scuro contiene 3 volte il regolo rosso!”

3. “ Quante volte il regolo blu contiene il regolo bianco?”

4.“ Quante volte il regolo marrone contiene il regolo rosa?”

“ il regolo blu contiene 9 volte il regolo bianco!”

“ il regolo marrone contiene 2 volte il regolo rosa!”

VerificaDISTRIBUISCI O RAGGRUPPA

Le automobiline e i parcheggi

I gettoni e le conchiglie

3° attivitàUn altro metodo per spiegare ai bambini che l’operazione della divisione deriva dalla moltiplicazione è quello di presentare due situazioni problematiche apparentemente diverse ma che si riveleranno analoghe.1° PROBLEMAUn giorno, la principessa Anastasia decide di riordinare la sua collezione di pietre preziose in 8 cofanetti d’oro. In ogni cofanetto vengono riposte 7 pietre preziose. Quante pietre preziose ha in tutto la principessa?

x 87 56 La principessa ha in tutto 56 pietre preziose.

2° PROBLEMALa principessa Anastasia, ha 56 pietre preziose che decide di suddividere in parti uguali in 8 cofanetti d’oro. Quante pietre preziose ci sono in ogni cofanetto?

:856 7 In ogni cofanetto ci sono 7 pietre preziose.

Mettendo a confronto i due problemi possiamo osservare che la divisione è l’operazione inversa rispetto alla moltiplicazione,infatti:

X 87 56

: 8

56 7

Per consolidare questo nuovo concetto, si può utilizzare la tabella della moltiplicazione.ESEMPIO Il rapporto 15:3=…-15= 3 x … nella tabella cerchiamo nella riga del 3 la casella che contiene il numero 15; vedremo che il 5 è il numero mancante.- 15= ... x 3 nella tabella si cerca la colonna del 3 e la casella che contiene il numero 15; vedremo che il 5 è il numero mancante.

Verifica n° 2DIVISIONI IN FATTORIA

Moltiplicazione o divisione?

Le due attività proposte dall’insegnante rappresentano la divisione esatta, ovvero quelle situazioni in cui non vi è la presenza del resto. Compito dell’insegnante,dunque, prima di passare alla scrittura formale della divisione, è quello di presentare altre attività che aiutino i bambini a comprendere il significato di questa parola.Prendendo come esempio la prima attività, la maestra disegnerà alla lavagna 10 matite e chiederà ai bambini di distribuirle in parti uguali in 3 contenitori. I bambini, eseguendo la divisione mediante i raggruppamenti non danno importanza alle matite che “avanzano”, finché il fenomeno non viene messo in evidenza dall'insegnante, la quale spiega che la matita avanzata rappresenta il RESTO della divisione.

RESTO“Come viene chiamata la matita gialla?”

SITUAZIONE C DIDATTICADopo aver avuto un primo approccio con la divisione da un punto di vista manipolativo,ora è necessario che l’alunno venga guidato verso un aspetto più formale di tale operazione. Si passa così alla scrittura in “riga” della divisione. Se prendiamo come esempio la coppia (6,3) attraverso l’operazione di divisione verrà associata a questa il numero 2. divisione(6,3) 2

L’insegnante spiegherà ai bambini che la freccia qui illustrata rappresenta un legame \ rapporto che si crea tra i numeri in parentesi e il numero associato.Nel linguaggio matematico però la freccia viene sostituita dal segno “ : “ che si legge DIVISO. In conclusione la scrittura formale di tale rapporto sarà:

6:3=2Nel caso in cui si presenta una divisione con resto, l’insegnante dovrà spiegare che questo non deve essere rappresentato nella scrittura in riga della divisione, ad esempio:

10:3= 3 GIUSTO 10:3=3 con resto 1 SBAGLIATO

SITUAZIONE D DIDATTICAAssodati i concetti precedentemente presentati, la maestra spiegherà agli alunni che la divisione,come le altre operazioni, gode di diverse proprietà: la proprietà invariantiva e distributiva. Quest’ ultima verrà affrontata nell’anno scolastico successivo per la sua particolare complessità.Proprietà invariantiva:Per comprendere questa proprietà si può far riferimento a delle situazioni problematiche di vita quotidiana. ESEMPIO:Alla festa di compleanno di Mario,sono stati invitati 15 amichetti che vengono suddivisi in 5 bambini per ogni gruppo per partecipare ad una serie di giochi organizzati dal clown Buddy. Quanti gruppi si sono formati?15 : 5 = 3

Il mese successivo, alla festa di compleanno di Sofia,gli invitati raddoppiano,infatti sono stati invitati 30 compagni che vengono divisi in 10 bambini per ogni gruppo per partecipare al gioco della fatina Stellina.Quanti gruppi si possono formare ora?30 : 10 = 3

Che cosa osserviamo? Lasciamo che gli alunni esprimano le loro osservazioni e successivamente l’insegnante le raccoglierà e utilizzando un linguaggio più matematico arriverà a questo concetto: la proprietà invariantiva della divisione afferma che se si moltiplica o divide per lo stesso numero entrambi i termini della divisione, il risultato non cambia.

Verifica n° 3 Come applicare la proprietà invariantiva?

SITUAZIONE E DIDATTICAUn passaggio importante, ma allo stesso tempo complicato è quello della messa in colonna della divisione, per questo motivo il compito dell’insegnante è quello di renderlo più familiare e semplice al bambino. In questo caso si deciderà di raccontare una simpatica storia che riguarda le vicende del cantiere “ Numerale” incaricato di costruire nuove case per la città di Numeropoli.

LA CITTÀ DI NUMEROPOLIC’era una volta, in una terra molto lontana una piccola cittadina abitata da tanti numerini. Il sindaco Tondino, decide di abbellire la propria città. Ordina così, al cantiere Numerale di costruire nuove case sulla collina di Divisione.

Il capo cantiere distribuisce così i vari lavori, dicendo che:“Il materiale su cui lavorare sarà l’ “8”,che assume il ruolo di DIVIDENDO, e il compito più importante, quello del costruttore sarà del “2” . Il 2 viene nominato così DIVISORE e costruirà la prima casa usando le colonne della loro città: le divisioni in colonna.Il 2 arrivato sulla collina traccia la prima colonna e crea una terrazza sulla sua destra,poiché vi era una vista meravigliosa di tutta la città, e mette tutto il materiale alla sua sinistra. Ora,essendo lui il divisore si pone una domanda: “ quante volte ci sto nell’8?” Il 2 inizia così a pensare e arriva alla conclusione che nell’8 ci sta 4 volte,e così mette il risultato, che prende il nome di QUOZIENTE sotto la sua terrazza, e poi scrive il numero della tabellina che corrisponde al numero di volte che c’è stato sotto il numero sul quale ha lavorato e così costruisce per bene la casa. Ora inizia a costruire il pavimento tracciando una riga e come fondamenta mette il risultato della sottrazione dei due 8, che sarà 0.

Il 2 rappresenta la prima casetta

“Il 2 finalmente ha costruito la sua casa,ma piacerà al sindaco?”

Il sindaco Tondino decide di andare a vedere il lavoro svolto dai suoi operai, ma vedendo che la casa era molto piccola decide di convocare altri lavoratori più grandi e con una forza maggiore per costruire una casa ancora più bella e grande della prima. Viene chiamato così il numero “3”, che assume il ruolo di divisore,e il suo materiale sarà il “ 150”.Il 3 arrivato sulla collina traccia la prima colonna più lunga e crea una terrazza sempre sulla sua destra e mette tutto il materiale alla sua sinistra. Ora,essendo il divisore si pone la stessa domanda del suo precedente collega: “ quante volte ci sto nel 150?” Il 3 inizia così a pensare e arriva alla conclusione che per costruire una casa più grande ha bisogno di un ascensore per far scendere il “15”. Dopo aver riflettuto un po’ il 3 capisce che nel 15 ci sta 5 volte e così mette il risultato sotto la sua terrazza, e poi scrive il numero della tabellina che corrisponde al numero di volte che c’è stato sotto il numero sul quale ha lavorato. Ora inizia a costruire il pavimento del primo piano tracciando una riga e come fondamenta mette il risultato della sottrazione dei due 15. Dopo aver compiuto questa operazione fa scendere sempre con l’ascensore lo “0” , e senza pensarci troppo capisce che nello 0 non ci può stare e prosegue fino alle fondamenta.

Il 3 rappresenta la seconda casa

“E questa bambini,vi piace come casa?”

Il sindaco, vedendo questa nuova casa più grande e più bella rimane soddisfatto di questo lavoro,ma prima di concludere la giornata convoca altri due numeri per costruire la terza casa. Prima di andarsene, chiede all’operaio “4” di non utilizzare tutto il materiale che gli è stato consegnato ma di conservarne dell’altro per adoperarlo in seguito.Il 4 così inizia a lavorare con il materiale “93”. Traccia la prima colonna più lunga della precedente e crea una terrazza sempre sulla sua destra e mette tutto il materiale alla sua sinistra. Ora,essendo il divisore si pone la stessa domanda dei suo precedenti colleghi: “ quante volte ci sto nel 93?” Il 4 inizia così a pensare e arriva alla conclusione che per costruire una casa più grande della seconda ha sempre bisogno di un ascensore per far scendere il “9”. Dopo aver riflettuto un po’ il 4 comprende che nel 9 ci sta 2 volte e così mette il risultato sotto la sua terrazza e poi scrive il numero della tabellina che corrisponde al numero di volte che c’è stato sotto il numero sul quale ha lavorato,cioè l’ “8”. Ora inizia a costruire il pavimento del primo piano tracciando una riga e come fondamenta mette il risultato della sottrazione “1”. Dopo aver compiuto questa operazione fa scendere sempre con l’ascensore il “3” affiancandolo al numero 1. Si verrà così a creare il numero 13. A questo punto,il divisore capisce che nel 13 ci sta 3 volte,con il risultato di 12 e crea un altro piano. Effettua la sottrazione tra il 12 e il 13, ma in questo caso, nota con grande gioia che il volere del sindaco può essere esaudito,infatti dall’ultima operazione rimane una piccola quantità di materiale,1, che viene chiamato RESTO.

il 4 rappresenta la terza casa

“ è rimasto del materiale al numero 4?”

SITUAZIONE F DIDATTICALa messa in colonna della divisione con divisore a più cifre è più complessa perché richiede una serie di calcoli mentali. Questa può essere presentata ai bambini sempre tramite situazioni problematiche, ad esempio:

PROBLEMA: nella biblioteca della città ci sono 450 libri da sistemare in 15 scaffali. Quanti libri verranno sistemati in ogni scaffale?L’operazione da effettuare per la soluzione di questo problema è, ovviamente, la divisione.Scriveremo quindi, l’algoritmo in colonna: 450 15 45 30 - - 0

• il divisore 15 dovrà lavorare sul materiale 450. • il 15 con l’utilizzo dell’ascensore farà scendere il 45 e si porrà la domanda: “ quante volte sto nel 45”.• il 15 inizia,così, ad effettuare una serie di moltiplicazioni: 15 x 1 = 15 NO15 x 2 = 30 NO15 x 3 = 45 SI• il 15 sta 3 volte nel 45.• il 15 con l’utilizzo dell’ascensore farà scendere lo zero e si porrà sempre la stessa domanda: “ quante volte sto nello 0?”• la risposta è immediata perché il 15 nello 0 non ci sta.• il 30,rappresenta il quoziente, ed è la soluzione del problema.

Verifica n° 4PIPPI CALZELUNGHE ALLE PRESE CON LA DIVISIONE!

Verifica n° 5Il pappagallo Cocorito ha perso i suoi colori! Esegui le divisioni in colonna e colora l’immagine in base al risultato ottenuto.

VERIFICA E VALUTAZIONEPremettendo che l’insegnante provvederà a somministrare una serie di schede di verifica man mano che avrà affrontato i vari argomenti, alla fine arriverà alla valutazione finale basata sulla comprensione generale dell’argomento compilando delle schede individuali di ogni alunno divise in vari livelli:

• capacità di apprendimento• capacità di comunicazione• collaborazione e confronto con gli altri• partecipazione e coinvolgimento alle varie attività• comprensione totale dell’argomento.