L. Zavala Sans on - CICESE

Apuntes de Oceanografıa Fısica

TURBULENCIA

L. Zavala Sanson

Luis Zavala SansonDepartamento de Oceanografıa FısicaCentro de Investigacion Cientıfica y de Educacion Superior de EnsenadaBaja California, Mexico

Apuntes de Oceanografıa Fısica. TurbulenciaLuis Zavala Sanson - CICESEVersion beta 8 de febrero de 2021

Contenido

Pagina

Prefacio 1

1. Introduccion 5

1.1. Sobre las definiciones de turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Inercia y viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3. Vorticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4. Promedios de variables en turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Turbulencia clasica 19

2.1. Descomposicion de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2. Esfuerzos de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3. Viscosidad turbulenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4. Energıa cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3. Turbulencia en presencia de fronteras 29

3.1. Flujos confinados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2. Capa viscosa y velocidad de friccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3. Capa logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4. Friccion del fondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4. Turbulencia en flujos estratificados 41

4.1. Efectos de estratificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2. Flujo de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.3. Numeros de Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.4. Escala de Monin-Obukhov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5. Difusion turbulenta 49

5.1. Ecuacion de adveccion-difusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2. Teorıa Lagrangiana de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.3. Teorıa Lagrangiana de Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

i

6. Turbulencia isotropica 556.1. Mediciones Eulerianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.2. Teorıa de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.3. Razon de disipacion de energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.4. Decaimiento de la turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.5. Tensor de correlacion entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7. Teorıa de Kolmogorov 737.1. Fenomenologıa de la turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.2. Rangos y escalas de turbulentas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757.3. Espectro de energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.4. Funciones de estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

8. Turbulencia en dos dimensiones 858.1. Dinamica 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858.2. Evolucion de cantidades globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878.3. Espectros de energıa y enstrofıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.4. Fenomenologıa de la turbulencia 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938.5. Turbulencia forzada vs. libre decaimiento . . . . . . . . . . . . . . . . 97

9. Turbulencia geostrofica 1039.1. Dinamica del plano β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039.2. Turbulencia zonostrofica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069.3. Dinamica Q2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099.4. Turbulencia sobre topografıa variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Bibliografıa 117

ii

Prefacio

El contenido de estas notas se basa en el curso de Turbulencia que se ha impartidoen los posgrados de Oceanografıa Fısica del CICESE desde el ano 2003. Se tratadel segundo libro de la serie Apuntes de Oceanografıa Fısica [el primero fue sobreDispersion y Difusion en el Oceano, Zavala Sanson (2019)]. Por supuesto, el materialdel curso ha variado desde la primera vez que se impartio, al igual que el enfoque delautor, pues no se deja de seguir aprendiendo al tratar de ensenar. El texto se basaen conceptos y teorıas bien conocidas sobre Turbulencia en general, ademas de estarorientado hacia la Mecanica de Fluidos Geofısicos. Buena parte de los capıtulos secomplementan con desarrollos y explicaciones propias adecuadas al entorno academicode nuestros estudiantes. Esperamos que las notas tambien puedan ser utiles en otrasinstituciones y circunstancias.

El Capıtulo 1 comienza con la presentacion de conceptos basicos, destacando lacompetencia entre la inercia de los fluidos y los efectos de la viscosidad, ası comoalgunos ejemplos poco convencionales. El resto de la presentacion sigue en formaaproximada una lınea cronologica como se muestra en la lınea de tiempo adjunta. Seconsideran cuatro periodos del desarrollo de las ideas en turbulencia. El Capıtulo 2expone algunos temas relevantes de esta primera etapa llamada Turbulencia clasica.El periodo se inaugura con la publicacion del clasico experimento de Reynolds en1883 y continua con la exposicion de la descomposicion de Reynolds formulada en1895.

La segunda etapa es la “adolescencia”, en la que los estudios sobre turbulenciaapenas comienzan a adquirir coherencia y conciencia sobre su relevancia teorica ypractica. El periodo comienza en 1904 con la primera teorıa de capa lımite de Prandtly culmina con la capa logarıtmica propuesta por von Karman en 1930. La capa lımiteturbulenta en presencia de fronteras se presenta en el Capıtulo 3, junto con unadiscusion sobre friccion lineal y no lineal en fluidos atmosfericos y oceanograficos. ElCapıtulo 4 aborda la turbulencia en ambientes estratificados con un enfoque hacia losfluidos geofısicos. En el Capıtulo 5 se discute brevemente los efectos dispersivos de laturbulencia mediante las teorıas Lagrangianas de Taylor (1922) y Richardson (1926).

Los estudios de turbulencia entran en una tercera etapa de madurez en 1930 alperfeccionarse las mediciones experimentales de las variables turbulentas en tunelesde viento. Otro aspecto fundamental es el desarrollo del formalismo estadıstico y lasmatematicas de variables aleatorias. En el Capıtulo 6 se hace una minuciosa presen-

1

Prefacio Prefacio

tacion de las teorıas de turbulencia isotropica propuestas por Taylor (1935a) y porvon Karman & Howarth (1938). Mas adelante aparecerıa la teorıa mas completa ycoherente de Kolmogorov (1941b), tema que tratamos en el Capıtulo 7.

En la ultima etapa, que comprende los Capıtulos 8 y 9, se tratan temas mas mo-dernos en turbulencia bidimensional y planetaria. La turbulencia en dos dimensionescobro importancia desde la decada de los 1950s con los estudios de Batchelor y Fjot-fort, pero no serıa hasta los 60s que el fenomeno de la cascada inversa de energıa fueraclaramente postulado por Kraichnan (1967). Algunas aplicaciones a escala planetaria,como la turbulencia en el plano β y los efectos de la topografıa fueron formuladas enlos 1970s.

Lınea de tiempo para el curso

Turbulencia clasica(Cap. 2)

1883 1904

“Adolescencia” dela turbulencia

(Caps. 3,4,5)

1930

Teorıas estadısticas(Caps. 6,7)

1953

Turbulenciaplanetaria(Caps. 8,9)

1976

1975

Turbulencia geostrofica

1967

Cascada inversa

1953

Turbulencia 2D

1926

Dispersion de Richardson

1920

Turbulencia atmosferica

1904

Capa lımite

1941

Teorıa de Kolmogorov

1935

Turbulencia isotropica

1930

Tuneles de viento

1895

Descomposicion de Reynolds

1883

Experimento de Reynolds

2

Prefacio Prefacio

Lınea de tiempo para Mecanica de Fluidos

Ecs. de movimiento

1642 1738

Fluidos ideales

1808

Fluidos viscosos

1883

1895

Descomposicion de Reynolds

1883

Exp. de Reynolds

1845

Stokes

1837Saint Venant

1829Poisson

1823

Cauchy

1821Navier

1788Lagrange

1776

Ecs. de Laplace

1752

Ecs. de Euler

1738

Hidrodinamica de Bernoulli

1687

Principia de Newton

1642

Muere Galileo, nace Newton

3

Prefacio Prefacio

4

Capıtulo 1

Introduccion

En este capıtulo introductorio se discute las caracterısticas esenciales de la turbulenciaque permiten esbozar una definicion del fenomeno. Tambien se hace un recordatorio de losconceptos de inercia y viscosidad, cuya comparacion se resume en el numero de Reynolds.Despues se hace un breve recuento de algunos conceptos dinamicos sobre la vorticidad delflujo. Por ultimo, se presenta la forma de calcular promedios de variables turbulentas.

1.1. Sobre las definiciones de turbulencia

Es conveniente iniciar un texto definiendo el tema de estudio. Sin embargo, la turbulenciaes un tanto elusiva, quiza debido a su complejidad y a que a final de cuentas es un problemasin solucion definitiva. Por esta razon, la mayorıa de los textos sobre turbulencia ofrecendefiniciones diferentes, incluso contradictorias. Con frecuencia lo que se hace es mas biendescribir las caracterısticas de algunos flujo turbulentos. Generalmente se mencionan lassiguientes:

Los movimientos turbulentos son caoticos, azarosos, desordenados, irregulares.

La turbulencia es difusiva: se tiene una intensa mezcla macroscopica, que implica altatransferencia de masa, calor, momento.

Se compone de fluctuaciones altas de vorticidad que consisten en estructuras irregu-lares (eddies) identificables en distintas escalas espaciales y temporales.

La turbulencia de los fluidos se caracteriza por la presencia de diversas escalas espacia-les (cada una con una escala temporal asociada), las cuales interaccionan entre sı. Dichasinteracciones pueden consistir en intercambios de energıa, momento o propiedades termo-dinamicas. Las estructuras de diferentes escalas se deforman y se advectan unas a otras,experimentando procesos de fusion y fision. Es difıcil determinar todas estas interaccionespor separado, por lo que el estudio de la turbulencia requiere un uso intensivo de herra-mientas estadısticas para su descripcion sistematica.

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1.1 Sobre las definiciones de turbulencia Introduccion

Ejemplos y aplicaciones

Vamos a presentar algunos ejemplos no triviales de flujos turbulentos que tienen relaciondirecta con el material de estas notas.

Turbulencia planetaria. La turbulencia de gran escala tiene como ingredientes principalesla rotacion del planeta y su estratificacion vertical. Por supuesto, es un problema que atanedirectamente a los oceanos de la Tierra y su atmosfera pero tambien concierne a otrosplanetas. La imagen en la Figura 1.1 es una fotografıa de Jupiter, planeta gaseoso quepresenta una gran actividad turbulenta en su atmosfera. Se pueden identificar al menoscuatro caracterısticas relevantes: (i) La formacion de estructuras coherentes de gran tamano,como la bien conocida Gran Mancha Roja (al lado derecho), conocida desde tiempos deGalileo en el siglo XVII. (ii) Hacia la parte sur se observa una fila de remolinos de menortamano, cuyo origen parece ser el flujo zonal oscilante que se aprecia en la parte sureste.(iii) En la parte norte tambien se puede ver un flujo altamente irregular que fluye hacia eloeste, pero que no forma remolinos bien definidos. (iv) Por ultimo, la region intermedia (encolor blanco) esta compuesta por movimientos turbulentos de escalas mucho menores queson adyacentes a los flujos zonales de otras latitudes. En los Capıtulos 8 y 9 se presentanlas bases teoricas para abordar la turbulencia en fluidos geofısicos. Algunas preguntas queson tema de investigacion son:

¿Como se forman las estructuras de gran escala y porque tienen un tiempo de vidatan largo? ¿Bajo que procesos se intensifican o debilitan?

¿Como es la dinamica de las corrientes zonales y sus inestabilidades?

¿Cuales son los procesos de interaccion entre las diferentes escalas planetarias?

Figura 1.1: Fotografıa de Jupiter tomada por la sonda espacial Juno (NASA) el 12de febrero de 2019 desde aproximadamente 35,000 km de altura. La imagen originalfue descargada del sitio oficial www.nasa.gov/mission pages/juno/main/index.html ymodificada para resaltar las caracterısticas turbulentas de interes.

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Introduccion 1.1 Sobre las definiciones de turbulencia

Figura 1.2: Izquierda: Fotografıa aerea de una granja de molinos de viento en el Mardel Norte. Imagen tomada de Boon et al. (2018). Derecha: Fotografıa satelital quemuestra las plumas de sedimento generadas por una granja de molinos en el oceano.El flujo predominante es de la parte inferior de la imagen hacia arriba. Imagen delNASA Earth Observatory.

Turbulencia en presencia de fronteras y en fluidos estratificados. Otro problema de in-teres en fluidos geofısicos es la turbulencia generada por las granjas de molinos de vientogeneradores de energıa electrica, como muestran las fotografıas de la Figura 1.2. La turbu-lencia puede ser en la atmosfera debido a la accion de los molinos (imagen izquierda) o bienen el oceano (imagen derecha) por la presencia de la base de los molinos. En el caso oceani-co, la fotografıa satelital muestra las plumas de sedimento que se forman en la direccion dela corriente dominante. Algunas preguntas en relacion a este ejemplo son:

¿Que consecuencias tiene para la dinamica regional la generacion de turbulencia de-bida a los molinos?

¿Como influye la presencia de la granja en el transporte de sedimentos en la zona?¿Genera impactos ambientales?

¿Como es la dinamica del flujo y de los sedimentos en relacion a la estabilidad estruc-tural de la base de los molinos?

En buena medida estos problemas se relacionan con la capa lımite turbulenta en el lechomarino, o bien, entre la estructura del molino y el flujo circundante. El Capıtulo 3 abordala dinamica de la turbulencia en presencia de fronteras y en el Capıtulo 4 se estudia losefectos de la estratificacion del fluido.

Experimentos con turbulencia. Las primeras teorıas solidas sobre turbulencia se comen-zaron a formular desde la decada de los 1930s, cuando se adopto un enfoque estadıstico yse desarrollaron metodos experimentales eficaces para medir fluctuaciones turbulentas conprecision. Estos temas son tratados en los Capıtulos 6 y 7. Entre las herramientas masrelevantes estan los tuneles de viento y la anemometrıa de hilo caliente, los cuales se siguenutilizando en la actualidad para diversos fines. Por ejemplo, la Figura 1.3 describe algunosaspectos de un estudio experimental en el que se analiza la estabilidad de vuelo de un colibrıante diferentes regımenes de turbulencia. El esquema A muestra un tunel de viento en el que

7

1.1 Sobre las definiciones de turbulencia Introduccion

Figura 1.3: Estudio experimental sobre la estabilidad de vuelo de un colibrı en un flujoturbulento generado en un tunel de viento (ver descripcion en el texto). El esquemaA muestra el diseno experimental. Las curvas en B presentan las caracterısticas de laturbulencia. Tomado de Ravi et al. (2015).

se genera un flujo turbulento de derecha a izquierda por medio de una rejilla. A la mitad deltunel se coloca un comedero y se induce al colibrı a que consuma su contenido (fotografıa).Las curvas en B muestran los espectros de potencia en un flujo turbulento (curva roja) yun flujo sin turbulencia (curva azul). Experimentos de este tipo se siguen realizando confrecuencia tanto en estudios de la fısica fundamental de la turbulencia como en numerosasaplicaciones practicas.

Turbulencia idealizada

Dado el caracter irregular e impredecible de los flujos turbulentos, las variables que de-terminan su movimiento (como las componentes de velocidad) se consideran como aleatoriasen el sentido que se discute en la ultima seccion de este capıtulo. Esto obliga a estudiarla complejidad de la turbulencia mediante modelos que describen la estadıstica de dichasvariables. Las siguientes situaciones idealizadas se utilizan con frecuencia como hipotesispara facilitar el estudio de un flujo turbulento:

Homogeneidad. Las caracterısticas de la turbulencia son invariantes ante traslacionesespaciales. Es decir, la turbulencia se comporta estadısticamente igual en cada regiondel espacio.

Estacionareidad. Las caracterısticas de la turbulencia son invariantes ante traslacionesen el tiempo.

Isotropıa. Significa la invarianza de las caracterısticas turbulentas ante rotaciones, esdecir, no hay direcciones preferenciales.

Ademas de ser la base de las teorıas fundamentales de la turbulencia, estos hipotesis sirvencomo marco de referencia conceptual para estudiar flujos turbulentos inhomogeneos, no

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Introduccion 1.2 Inercia y viscosidad

estacionarios o anisotropicos.

1.2. Inercia y viscosidad

Para tener una idea mas clara sobre lo que caracteriza a los fluidos turbulentos es utilrecordar dos conceptos fısicos clave. La inercia se refiere a la tendencia de cualquier cuerpocon masa a mantener su movimiento de reposo o rectilıneo uniforme. O bien, es la resistenciaa cambiar su velocidad (direccion y magnitud de su movimiento) ante la aplicacion de unafuerza. El concepto de inercia se formaliza dinamicamente en la mecanica Newtoniana: laaceleracion de los cuerpos (es decir, el cambio de su velocidad) se debe al conjunto de fuerzasque actuan sobre el mismo (segunda Ley de Newton).

Por otro lado, la viscosidad de un fluido se relaciona con la friccion interna en los fluidosque los lleva a perder su movimiento. Conforme las partıculas de agua se mueven existe unainteraccion entre ellas que transmite movimiento de unas a otras. Gracias a este mecanismose puede transmitir el movimiento de una porcion de fluido hacia otra que se encuentre enreposo. Dado el minusculo tamano de las parcelas fluidas, esta transferencia de movimientose da de manera inelastica, lo que significa que en cada interaccion hay una perdida deenergıa en forma de calor. Por lo tanto, aunque el movimiento se transfiere dentro delfluido, se tiene una perdida neta de energıa cinetica.

La forma mas sencilla de evaluar la friccion en un fluido fue propuesta por Newton enel segundo libro de los Principia. En terminos modernos, el argumento consiste en postularque el esfuerzo tangencial τ (fuerza por unidad de area) aplicado a un fluido es proporcionala “la velocidad con la que las partes del fluido se separan entre sı”, concepto que ahora seconoce como rapidez de deformacion e. La Figura 1.4 muestra el caso mas elemental deun elemento de fluido cuadrado que es deformado en la direccion x al aplicar un esfuerzoτ en el lado superior. Para pequenos tiempos δt el lado superior se desplaza con rapidez∆u = δx/δt. La rapidez de deformacion es el cambio temporal del angulo, δα/δt. De lafigura es facil mostrar que

δα

δt≈ δx

δt

1

∆y=

∆u

∆y, o bien, e = lım

δt→0

δα

δt=du

dy. (1.1)

Los fluidos Newtonianos son aquellos que cumplen una relacion lineal entre τ y e:

τ = µe = µdu

dy. (1.2)

La constante de proporcionalidad µ entre los dos tensores es el coeficiente de viscosidaddinamica asociado con el fluido (con unidades de Kg/ms). Este es el caso de los fluidosgeofısicos mas importantes en la atmosfera y los oceanos: el aire y el agua. Ambos cumplenla misma relacion lineal entre esfuerzos y razones de deformacion, pero con una viscosidadµ diferente. La viscosidad es, entonces, una propiedad de cada fluido derivada de su com-posicion microscopica, por lo que se le conoce como viscosidad molecular. El valor de laviscosidad puede tener variaciones con la temperatura, pero su interpretacion como pro-piedad friccional del fluido se mantiene mientras la relacion lineal entre esfuerzo y rapidezde deformacion sea valida. Cuando se divide la viscosidad entre la densidad del fluido ρ

9

1.2 Inercia y viscosidad Introduccion

Figura 1.4: Elemento infinitesimal de fluido deformado por un esfuerzo τ . La rapidezde deformacion e es el cambio temporal del angulo α.

se tiene la viscosidad cinematica, ν = µ/ρ (con unidades de m2/s). Considerando que elesfuerzo y la razon de deformacion son tensores de orden dos, la relacion general de unfluido Newtoniano es

τ ij = µijklekl, (1.3)

donde la viscosidad es un tensor de orden cuatro.

La relacion anterior es la ecuacion constitutiva de los fluidos Newtonianos. Pero notodos los fluidos tienen la misma respuesta ante la aplicacion de un esfuerzo. Ademas deresistencia, el medio puede presentar efectos elasticos, es decir, recuperar parte de su estadoanterior a la aplicacion del esfuerzo, o de “memoria” cuando se deforman y recuperan suestado inicial en un tiempo finito de retardo. Esto significa que la relacion lineal entreesfuerzo y rapidez de deformacion ya no es valida y se necesita reformular. Dichos fluidos sedenominan no Newtonianos y existen en forma natural (miel, lava) o sintetica (polımeros,algunos combustoleos, etc.).

Numero de Reynolds

Los fluidos turbulentos son aquellos que tienen mucha inercia respecto a los efectosviscosos. Para un fluido homogeneo con velocidad u, densidad ρ y viscosidad ν, la turbulen-cia se puede caracterizar por medio del numero de Reynolds que resulta de las ecuacionesde Navier-Stokes adimensionales. Utilizando una escala de velocidad U , de longitud L, detiempo L/U y de presion p = ρU2, las ecuaciones de movimiento son

∂u

∂t+ u · ∇u = −∇p+

1

Re∇2u, (1.4)

donde Re = UL/ν es el numero de Reynolds, que compara el movimiento del fluido con losefectos de la viscosidad. Como todo numero adimensional, se puede escribir de diferentes

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Introduccion 1.3 Vorticidad

Figura 1.5: Perfil de velocidad U(z) generado en dos fluidos con diferente viscosidadcuando la frontera solida inferior se mueve hacia la derecha. ¿Cual fluido es masviscoso?

maneras. Por ejemplo, como la razon de aceleraciones o como la razon de escalas temporales:

Re =LU

ν=

U2/L

Uν/L2

ainercialaviscosa

(1.5)

=L2/ν

L/U

tviscosotinercial

(1.6)

Cuando Re >> 1 significa que la escala temporal asociada a los efectos viscosos es muchomayor que la debida a los efectos inerciales; o bien, que la aceleracion por efectos viscososes muy pequena comparada con los efectos inerciales. El fluido tiene mucha inercia porquetiende a mantener su movimiento. En estos casos, el flujo tiende a ser turbulento. CuandoRe << 1 la escala temporal viscosa es muy pequena comparada con la relacionada con elmovimiento del fluido; es decir, el fluido es relativamente viscoso y responde rapidamenteante cualquier esfuerzo aplicado. En efecto, la transferencia de momento entre parcelas delfluido es muy eficente y el flujo tiene un comportamiento laminar.

Un ejemplo ilustrativo de la competencia entre inercia y viscosidad se muestra en laFigura 1.5. Se tienen dos fluidos con diferente viscosidad sobre una frontera solida en z = 0.Los paneles muestran el perfil vertical del campo de velocidad U(z) que se genera en cadafluido cuando la frontera se mueve a cierta velocidad hacia la derecha. La respuesta delfluido es diferente. ¿Porque?

1.3. Vorticidad

La dinamica de los fluidos se puede analizar en terminos de la vorticidad en lugar de lavelocidad. La vorticidad se define como el rotacional del campo de velocidad

ω = ∇× u. (1.7)

Esta cantidad se puede interpretar como una medida de la rotacion que puede provocar elflujo en cada punto del dominio. La vorticidad contiene la informacion dinamica del fluido,

11

1.3 Vorticidad Introduccion

ya que al invertirla de manera adecuada se obtiene el campo de velocidad. Algunos efectosdinamicos son mas evidentes desde el punto de vista de la vorticidad, como veremos envarios casos en los capıtulos siguientes.

La evolucion temporal de la vorticidad se obtiene aplicando el rotacional a las ecua-ciones de Navier-Stokes. Consideremos primero un fluido homogeneo. En forma vectorial yutilizando las identidades apropiadas se obtiene:

∂ω

∂t+ (u · ∇)ω − (ω · ∇)u = ν∇2ω. (1.8)

En los terminos no lineales del lado izquierdo se ha utilizado la ecuacion de continuidad

∇ · u = 0, (1.9)

que representa la incompresibilidad del flujo, y ademas que ∇ · ω = 0. En el lado derechoel rotacional del gradiente de presion y del potencial de las fuerzas conservativas son cero.Reescribiendo:

Dω

Dt= (ω · ∇)u+ ν∇2ω, (1.10)

con D/Dt = ∂/∂t+ u · ∇ la derivada material.

Efectos de estiramiento

El primer termino del lado derecho de (1.10) representa los efectos de estiramientoy compresion (stretching), ası como los de ladeo (tilting) de las lıneas de vorticidad. Pararecordar este concepto se considera un sistema coordenado (m,n, s) que describe a las lıneasde vorticidad localmente (s es a lo largo de la lınea, n es paralelo al radio de curvatura,y m es perpendicular a ambas), tal que la vorticidad tiene componentes (ωm, ωn, ωs) y lavelocidad (um, un, us). Si suponemos que los cambios de vorticidad solamente se deben a losterminos de ladeo y estiramiento [argumento de Kundu & Cohen (1990), p. 139], entoncesse verifica que

Dω

Dt= (ω · ∇)u ≡ ω

∂u

∂s,

(DωmDt

,DωnDt

,DωsDt

)= ω

(∂um∂s

,∂un∂s

,∂us∂s

)(1.11)

donde ω es la magnitud del vector vorticidad. La tercera componente, ω∂us/∂s, son losefectos de estiramiento: cuando la velocidad cambia a lo largo de la lınea de vorticidadentonces la vorticidad en esa direccion (ωs) cambia. Las otras dos componentes de vorticidadcambian conforme las componentes de velocidad varıan en s.

Efectos de rotacion y estratificacion

Los fluidos geofısicos se caracterizan por estar afectados por la rotacion de la Tierra ypor la estratificacion del medio ρ. La ecuacion de vorticidad 3D en un sistema en rotacioncon velocidad angular constante Ω es (Pedlosky, 1987)

Dω

Dt= (ω + 2Ω) · ∇u+

∇ρ×∇pρ2

+ ν∇2ω. (1.12)

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Introduccion 1.4 Promedios de variables en turbulencia

El segundo termino del lado derecho representa los efectos baroclınicos debidos a la estra-tificacion, que se anulan cuando los gradientes de densidad son paralelos a los de presion(flujo barotropico) o bien para flujos homogeneos.

El termino 2Ω · ∇u representa efectos de estiramiento y de ladeo de las lıneas de vorti-cidad en la direccion de Ω. Vamos a suponer que los cambios de vorticidad se deben solo aeste termino en un sistema Cartesiano (x, y, z), en el que Ω es paralelo a z y la velocidades u = (u, v, w). La ecuacion de vorticidad se reduce a

Dω

Dt= (2Ω · ∇)u ≡ 2Ω

∂u

∂z,

(DωxDt

,DωyDt

,DωzDt

)= 2Ω

(∂u

∂z,∂v

∂z,∂w

∂z

), (1.13)

donde Ω = |Ω|. En este caso se genera vorticidad cuando cualquier componente de lavelocidad varıa en z. Los efectos de estiramiento en dicha direccion son proporcionales a∂w/∂z que, por continuidad, estan dados por la divergencia horizontal:

∂w

∂z= −

(∂u

∂x+∂v

∂y

). (1.14)

Los efectos de estiramiento son fundamentales para un flujo turbulento en tres dimensio-nes, porque son los responsables de generar estructuras fluctuantes en las direcciones en lasque se estira el fluido. A su vez, la ausencia de estiramiento en flujos bidimensionales implicaque la fenomenologıa de la turbulencia cambiara radicalmente. Ambos tipos de turbulenciase tratan separadamente en los capıtulos subsiguientes.

1.4. Promedios de variables en turbulencia

Las variables fısicas en turbulencia son variables aleatorias a las que se les puede asig-nar una probabilidad de que tengan un cierto valor despues de realizar un experimento uobservacion. La descripcion de la turbulencia se basa en el calculo de las estadısticas dedichas variables. En esta seccion vamos a describir la forma de construir promedios a partirde una o mas series de datos de una variable aleatoria. Parte del material se basa en laseccion 13.3 de Kundu & Cohen (1990), en el capıtulo 3 de Pope (2001) y en el capıtulo 2de Zavala Sanson (2019).

Procesos aleatorios

Es util definir primero lo que es un proceso aleatorio. Un fenomeno azaroso puededepender de una o mas variables aleatorias, las cuales adquieren valores conforme dichoproceso ocurre. Es decir, las variables dependen de un parametro que puede ser, por ejemplo,el tiempo. Ası, un proceso aleatorio o estocastico es un conjunto de variables aleatorias cuyosvalores estan indexados a un parametro.

Sea t el parametro tiempo y u(t) una variable aleatoria que queremos analizar en unflujo turbulento. Esta serie de tiempo puede ser alguna componente de la velocidad en un

13

1.4 Promedios de variables en turbulencia Introduccion

punto fijo del espacio, o bien, a lo largo de la trayectoria de una partıcula (por ejemplo, enla direccion x). Tambien puede ser una serie de temperatura en un punto fijo o el nivel delmar durante una temporada. El promedio de la variable se puede obtener en dos formasdistintas, como se describe a continuacion.

Promedio del ensamble

Se pueden realizar k = 1 . . . N diferentes experimentos en condiciones similares y mediren cada uno de ellos la serie de u(k)(t). Si la variable no es estacionaria entonces las seriesexperimentales pueden tener una forma como se muestra en la Figura 1.6 (panel superior),mientras que si es estacionaria entonces fluctua aleatoriamente alrededor de un promedioconstante (panel inferior). Para tener una estadıstica robusta es deseable que haya suficientesexperimentos, N >> 1.

El promedio del ensamble consiste en promediar los resultados para cada tiempo, lo cualse puede expresar en forma discreta o continua como⟨

u(k)(t)⟩

=1

N

N∑k=1

u(k)(t) =

∫ ∞−∞

u(t)PU (u, t)du. (1.15)

La funcion PU (u, t) en el ultimo termino es la funcion de distribucion de probabilidad (PDF)de la variable al tiempo correspondiente. La igualdad entre la expresion discreta y continuase deriva al reescribir la sumatoria como N1u1 + N2u2 + N3u3 + . . ., donde cada Ni esel numero de veces que la variable adquiere el valor ui, con −∞ < ui < ∞. Al dividirentre N , cada valor de velocidad ui queda multiplicado por la correspondiente probabilidadpi = PU (ui)du (la probabilidad de que el valor de la variable este en el intervalo ui y ui+du).Por ultimo, esta nueva sumatoria se extiende en todo el espacio muestral como una integral:

1

N

N∑k=1

u(k)(t) =1

N(N1u1 +N2u2 + . . .)

= p1u1 + p2u2 + . . .

= [P (u1)u1 + P (u2)u2 + . . .]du

=

∫ ∞−∞

u(t)PU (u, t)du. (1.16)

El termino ’ensamble’ subraya que esta construido con un grupo de mediciones inde-pendientes. Se debe recordar que se obtiene una funcion de t porque el calculo se realizapara cada tiempo (por ejemplo, al tiempo indicado con la lınea vertical discontinua en lospaneles de la Figura 1.6).

Promedio temporal

Otra forma de medir las estadısticas es mediante promedios temporales. En este casose considera el numero de registros n en cada serie de tiempo y se promedia sobre todos

14

Introduccion 1.4 Promedios de variables en turbulencia

Figura 1.6: Panel superior: Series de tiempo de una variable aleatoria no estacionariaen cuatro experimentos k = 1, . . . 4. Cada serie tiene su eje vertical independiente,pero por simplicidad se presentan en un solo eje pero desfasadas. El promedio delensamble se calcula a cada tiempo, mientras que el promedio temporal se calcula de0 a T . Panel inferior: Igual, pero ahora para una variable estacionaria.

15

1.4 Promedios de variables en turbulencia Introduccion

ellos, es decir, sobre la duracion de la serie. De nuevo, para tener una estadıstica confiablese requiere que haya suficientes datos, n >> 1, de forma que el promedio temporal en suversion discreta y continua es

u(k)(t) =1

n

n∑j=1

u(k)(tj) =1

T

∫ T

0u(k)(t)dt. (1.17)

donde T es la duracion de la serie (Figura 1.6). El caso continuo se puede escribir como unaintegral a partir de la sumatoria discreta considerando la variable t = tj y que n = T/dt,donde dt es el diferencial de tiempo entre cada registro de la serie.

Conmutacion con derivadas e integrales

Se puede mostrar que tanto el promedio del ensamble como el temporal cumple propie-dades conmutativas con derivadas e integrales. Por ejemplo, el promedio del ensamble parala derivada es ⟨

du(k)

dt

⟩=

1

N

[du(1)

dt+du(2)

dt+ . . .

]

=d

dt

[1

N

(u(1) + u(2) + . . .

)]=d⟨u(k)

⟩dt

. (1.18)

Analogamente, el promedio temporal de la integral de una serie es∫u(t)dt =

1

n

[∫u(t1)dt+

∫u(t2)dt+ . . .

]=

∫1

n[u(t1) + u(t2) + . . .] dt =

∫u(k)dt. (1.19)

Estas reglas son utiles en algunos desarrollos posteriores.

Ergodicidad

El promedio del ensamble es una funcion del tiempo t, mientras que el promedio temporaldepende del experimento escogido k. Si ambos promedios son iguales el proceso se definecomo ergodico: ⟨

u(k)(t)⟩

= u(k)(t), para todo t y k. (1.20)

¿Cuando se cumple que los dos tipos de promedio son iguales? De la Figura 1.6 esevidente que, para variables aleatorias no estacionarias, el promedio del ensamble y el tem-poral son diferentes en general. Por ejemplo, al inicio del proceso el promedio del ensamblees mayor que el temporal, pero al final es al contrario. Pero si la variable es estacionaria y encada experimento fluctua alrededor del mismo valor, entonces el promedio del ensamble esigual al temporal. Mas formalmente, se dice que si el proceso es ergodico, entonces la varia-ble aleatoria es estacionaria. Pero si la variable es estacionaria no implica necesaritamente

16

Introduccion 1.4 Promedios de variables en turbulencia

ergodicidad. Por ejemplo, si cada experimento fluctua alrededor de un promedio diferente,entonces el promedio del ensamble es diferente del temporal.

Si el sistema es ergodico entonces el promedio se puede interpretar como el del ensambleo el temporal. Mas importante aun: una sola serie de tiempo (es decir, un solo experimento)es suficiente para describir el promedio de la variable. El promedio temporal es util cuandose tiene una sola serie de tiempo en algun experimento del que sea difıcil obtener masrealizaciones.

17

1.4 Promedios de variables en turbulencia Introduccion

18

Capıtulo 2

Turbulencia clasica

Las ecuaciones de Navier-Stokes se establecieron durante la primera mitad del sigloXIX. La incorporacion de los efectos de la viscosidad en las ecuaciones hidrodinamicaspermitio el desarrollo de las primeras teorıas sobre turbulencia a fines de ese siglo. Elmaterial de este capıtulo analiza la descomposicion del flujo en una parte media y unafluctuante, procedimiento que se conoce como la descomposicion de Reynolds. Este metododio lugar al problema de cerradura y su solucion mediante parametrizaciones. Ademas deestos conceptos, en la ultima seccion se analiza las ecuaciones de energıa cinetica del campomedio y el perturbado.

2.1. Descomposicion de Reynolds

Sea un sistema coordenado xi, donde i = 1, 2 son las direcciones horizontales (per-pendiculares a la gravedad g) mientras que i = 3 es la direccion vertical (antiparalela ala gravedad). Vamos a considerar un fluido homogeneo e incompresible con densidad ρ0 yviscosidad cinematica ν. Las ecuaciones de gobierno son

∂ui∂t

+ uj∂ui∂xj

= − 1

ρ0

∂p

∂xi+ ν

∂2ui∂xj∂xj

(2.1)

∂ui∂xi

= 0, (2.2)

donde ui(xi, t) es la velocidad instantanea y p(xi) es la presion reducida conformada por lasuma de la presion instantanea y el potencial gravitacional ρ0gx3 (lo cual es valido solo parael caso homogeneo). La primera expresion (vectorial) son las tres ecuaciones de movimientoy la segunda representa la conservacion de masa. La solucion de estas ecuaciones proporcionalas variables del flujo para todo tiempo y en todo lugar, lo que significa que la mecanica delproblema ha sido resuelta. Sin embargo ¿es posible solucionar dicho sistema de ecuaciones?

Dificultades para resolver los campos instantaneos

Vamos a suponer que nos interesa conocer la circulacion en el Golfo de Mexico, quetiene escalas horizontales de unos mil kilometros (digamos, de Veracruz a Louisiana, y de

19

2.1 Descomposicion de Reynolds Turbulencia clasica

Tamaulipas a Florida) y verticales de alrededor de 4,000 m de profundidad (por supuesto,cerca de las costas es mucho menor). Para ello se tendrıan que resolver las ecuaciones deNavier-Stokes aplicadas a esta porcion del oceano. Esto significa que se deberıa resolver losmovimientos a todas las escalas espaciales y temporales del flujo: desde las mas pequenas,que son del orden de milımetros y que corresponden a las ondas capilares que se producenen la superficie, hasta las escalas mayores de corrientes que recorren decenas o cientosde kilometros o los grandes remolinos con diametros de 100 o 200 km que lentamente sedesplazan a lo largo del Golfo. Y faltarıa aun describir los movimientos en la escala vertical,hacia el fondo del mar.

Aun mas, en las ecuaciones (2.1) habrıa que anadir los forzamientos atmosfericos debidosal viento, a la evaporacion y precipitacion de agua, el efecto de las mareas, etc. Todos estoselementos adicionales tambien tienen sus escalas temporales y espaciales, algunos entrancomo forzamientos directamente en las ecuaciones o bien como condiciones de frontera.Por ejemplo, La influencia del viento sobre la superficie del mar se puede dar en tiemposcortos, del orden de segundos, y afectar las ondulaciones capilares. Las rachas de vientoque pueden durar varios minutos y afectar grandes zonas de la superficie del mar. A escalasde dıas puede haber “nortes” o ciclones tropicales y en terminos de semanas a meses losmovimientos de mesoescala.

Una solucion limitada serıa tratar de resolver numericamente la circulacion solamenteen la superficie del oceano en todo el rango de escalas posibles, desde un milimetro (10−3 m)hasta 1,000 kilometros (106 m), suponiendo que contamos con una expresion adecuada paratodos los forzamientos en las ecuaciones de movimiento. Para discretizar las ecuaciones entodo el espacio se requiere una malla de 1,000 km por 1,000 km, es decir, con 109 × 109 =1018 puntos de malla separados cada milımetro. Si se requiere una resolucion temporalde 1 s, entonces se deben hacer 1018 calculos para resolver el movimiento cada segundo.Nos podemos dar cuenta que desde un punto de vista practico es imposible resolver lasecuaciones de Navier Stokes en un sistema como este. De hecho, en muy escasos problemasde mecanica de fluidos se pueden resolver las ecuaciones de Navier Stokes considerandotodas las escalas posibles. Cuando se logra en sistemas relativamente simplificados se lesconoce como Simulaciones Numericas Directas o DNS (Direct Numerical Simulations). Anivel oceanico o atmosferico no es posible hacer DNS, ni se espera que sea factible en elcorto ni el mediano plazo). En su lugar, lo que se puede hacer es un filtrado de las escalasmas pequenas y mas rapidas en el flujo y resolver las escalas mayores en mallas menosfinas (en nuestro ejemplo, en mallas de decenas de km). Bajo esta aproximacion, el efectode las escalas menores se anade de forma artifical mediante parametrizaciones, conceptoque discutiremos mas adelante. Algunas simulaciones de este tipo se suelen denominar LES(Large Eddy Simulations).

Flujo medio y flujo perturbado

La dificultad para describir la estructura de la turbulencia fue abordada por Reynoldsmediante la separacion del flujo instantaneo en dos partes: un flujo medio y un campo de

20

Turbulencia clasica 2.1 Descomposicion de Reynolds

perturbaciones fluctuantes que representa al conjunto de escalas que interaccionan entre sı:

ui = Ui + ui,

(2.3)

p = P + p,

donde el flujo medio tiene velocidad Ui y presion P , y los respectivos campos de la pertur-bacion son ui y p. Las variables promedio se definen como

Ui = 〈ui〉 , P = 〈p〉 , (2.4)

donde los brackets indican promedios de ensambles. Al hacer el promedio de la descomposi-cion (2.3) y aplicando la propiedad distriutiva es inmediato demostrar que las perturbacionestienen promedio cero

〈ui〉 = 〈p〉 = 0. (2.5)

Ecuaciones promedio

Con las definiciones (2.3) se buscan las ecuaciones de gobierno promediadas: primerose aplica la descomposicion de Reynolds en las ecuaciones completas y despues se toma elpromedio de ensamble. Usando las propiedades de los promedios, el resultado en la ecuacionde continuidad (2.2) es⟨

∂(Ui + ui)

∂xi

⟩=∂Ui∂xi

+∂ 〈ui〉∂xi

= 0 =⇒ ∂Ui∂xi

= 0, (2.6)

ya que el promedio de las fluctuaciones es nulo. Ademas, dado que ui = ui−Ui entonces ladivergencia de las perturbaciones tambien es cero:

∂ui∂xi

= 0. (2.7)

Al aplicar el mismo procedimiento en las ecuaciones de movimiento (2.1) se encuentraque todos los terminos lineales corresponden al termino del flujo medio:⟨

∂(Ui + ui)

∂t

⟩=

∂Ui∂t⟨

∂(P + p)

∂t

⟩=

∂P

∂t⟨∂2(Ui + ui)

∂xjxj

⟩=

∂2Ui∂xjxj

.

Pero esto no sucede con los terminos no lineales, los cuales se expresan de la siguiente forma:⟨(Uj + uj)

∂(Ui + ui)

∂xj

⟩= Uj

∂Ui∂xj

+ Uj∂ 〈ui〉∂xj

+ 〈uj〉∂Ui∂xj

+

⟨uj∂ui∂xj

⟩,

21

2.2 Esfuerzos de Reynolds Turbulencia clasica

donde se han aplicado las propiedades de los promedios. El segundo y tercer termino dellado derecho son cero porque contienen promedios de fluctuaciones. Pero el cuarto terminono es necesariamente cero; es conveniente reescribirlo como:⟨

uj∂ui∂xj

⟩=

⟨∂(uiuj)

∂xj

⟩−⟨ui∂uj∂xj

⟩=∂ 〈uiuj〉∂xj

.

Las ecuaciones de momento promediadas resultan:

∂Ui∂t

+ Uj∂Ui∂xj

+∂ 〈uiuj〉∂xj

= − 1

ρ0

∂P

∂xi+ ν

∂2Ui∂xj∂xj

. (2.8)

Podemos que la expresion tiene la misma forma que en el caso del flujo instantaneo, peroahora la variable es el flujo medio Ui. La diferencia es que en los terminos no lineales apareceuno nuevo que involucra el promedio del producto de perturbaciones, ∂ 〈uiuj〉 /∂xj .

Pensando en la discretizacion del apartado anterior, la malla computacional puede sermucho menos fina (digamos, de algunos kilometros en lugar de milımetros) y tratar deresolver el flujo medio Ui. Por supuesto, los nuevos terminos representan los efectos asociadoscon las interacciones entre escalas menores a la resolucion del modelo propuesto. En lo quesigue vamos a indagar el significado de estos nuevos terminos y la forma de resolverlos.

2.2. Esfuerzos de Reynolds

Las ecuaciones de momento (2.8) se pueden reescribir como

∂Ui∂t

+ Uj∂Ui∂xj

=1

ρ0

∂τij∂xj

, (2.9)

lo cual expresa que la aceleracion del flujo se debe al gradiente del tensor de esfuerzos:

τij = −Pδij + 2ρ0νSij − ρ0 〈uiuj〉 . (2.10)

El primer termino son los esfuerzos normales debidos a la presion. El segundo son losesfuerzos viscosos escritos en terminos del tensor de rapidez de deformacion:

Sij =1

2

(∂Ui∂xj

+∂Uj∂xi

). (2.11)

El tercer termino en (2.10) son los esfuerzos debidos a las fluctuaciones de la turbulencia,llamados esfuerzos de Reynolds.

Si se define ui = (u, v, w), el tensor de Reynolds en forma explıcita es la matriz simetrica

−ρ0 〈uiuj〉 = −ρ0

⟨u2⟩〈uv〉 〈uw〉

〈vu〉⟨v2⟩〈vw〉

〈wu〉 〈wv〉⟨w2⟩

. (2.12)

22

Turbulencia clasica 2.2 Esfuerzos de Reynolds

Usando xi = (x, y, z), las componentes del gradiente del tensor en las ecuaciones de movi-miento para el flujo promedio Ui = (U, V,W ) son

∂U

∂t+ Uj

∂U

∂xj= − 1

ρ0

∂P

∂x+ ν

∂2U

∂xj∂xj−∂⟨u2⟩

∂x− ∂ 〈uv〉

∂y− ∂ 〈uw〉

∂z

∂V

∂t+ Uj

∂V

∂xj= − 1

ρ0

∂P

∂y+ ν

∂2V

∂xj∂xj− ∂ 〈uv〉

∂x−∂⟨v2⟩

∂y− ∂ 〈vw〉

∂z

∂W

∂t+ Uj

∂W

∂xj= − 1

ρ0

∂P

∂z+ ν

∂2W

∂xj∂xj− ∂ 〈uw〉

∂x− ∂ 〈vw〉

∂y−∂⟨w2⟩

∂z

Los esfuerzos de Reynolds tienen en promedio un efecto similar al de los esfuerzosviscosos. Para discutirlo se puede considerar un flujo U(y) en el plano x−y que se mueve deizquierda a derecha con un perfil parabolico (ver Figura 2.1). Vamos a considerar primerola parte inferior, en la que dU/dy > 0. Si una parcela de fluido experimenta una fluctuaciondel flujo v > 0 entonces es llevada a una altura mayor, en la cual sentira una perturbacionu < 0 (porque la parcela viene de una altura con menor velocidad). Por el contrario, si v < 0la parcela se mueve a un nivel inferior y la perturbacion de la velocidad en x es positiva,u > 0 (porque la parcela viene de arriba con mayor velocidad). En ambos casos el productode perturbaciones es negativo uv < 0. En promedio, por lo tanto, se espera que 〈uv〉 < 0y que el esfuerzo de Reynolds sea positivo −ρ0 〈uv〉 > 0. Este es el resultado que se esperapara el caso de los esfuerzos viscosos, en los que un elemento de fluido se deforma como semuestra en el dibujo (parche rojo). Si se aplican los mismos argumentos en la parte superioren la que dU/dy < 0 se obtienen los signos opuestos, lo que significa que el esfuerzo tieneun signo contrario porque se deforma en la direccion opuesta (parche azul).

Figura 2.1: Vectores de velocidad horizontal U(y) con perfil parabolico. Los parchesrojo y azul indican la deformacion que experimenta las parcelas de fluido por efectode los esfuerzos de Reynolds (ver texto).

23

2.3 Viscosidad turbulenta Turbulencia clasica

El efecto neto de los esfuerzos de Reynolds es el de transferir momento en x en ladireccion y. En el ejemplo anterior, si el momento en x es ρ0(U + u), el promedio del flujode dicho momento en y es:

ρ0 〈(U + u)v〉 = ρ0 〈uv〉

> 0 parte superior con dU/dy < 0

< 0 parte inferior con dU/dy > 0

(2.13)

La consecuencia directa es que el esfuerzo tiende a atenuar el gradiente dU/dy, tal comohacen los esfuerzos viscosos.

2.3. Viscosidad turbulenta

La nocion de que el movimiento turbulento genera un efecto disipativo rondaba desdefines del siglo XVIII y principios del XIX, cuando ingenieros hidraulicos italianos y francesesya discutıan el papel de los pequenos eddies en la comunicacion lateral de movimiento(Venturi y Poncelet, por ejemplo). Probablemente las primeras ideas formales al respectofueron formuladas por Saint-Venant en 1834 y posteriormente por su alumno Boussinesq(Darrigol, 2005).

Problema de cerradura

Las ecuaciones de gobierno del flujo instantaneo son cuatro (tres de momento y lade continuidad), mientras que las variables tambien son cuatro (las tres componentes develocidad y la presion, ui y p). El sistema esta completo. Sin embargo, para el flujo promediose tienen cuatro ecuaciones nuevamente, pero hay siete variables (Ui, P y ui), ya que lasperturbaciones son desconocidas. El sistema esta indeterminado y por lo tanto no se puederesolver. Este es el problema de cerradura en turbulencia.

Parametrizaciones

Una forma parcial de resolver el problema de cerradura consiste en escribir los esfuerzosde Reynolds en funcion del flujo promedio. A este procedimiento se le llama parametrizar,porque se pueden incluir parametros que modulen las funciones propuestas. Sin embargo, setrata de una solucion incompleta y en buena medida arbitraria porque las parametrizacionesno se derivan de principios fundamentales, sino mas bien de argumentos heurısticos, datosempıricos o simplemente de la experiencia que se tiene sobre el fenomeno. En ocasiones sepuede tratar de artificios que convengan para el analisis de resultados.

El siguiente modelo de cerradura para los esfuerzos de Reynolds se usa con frecuenciaen problemas oceanicos. Supongamos un flujo medio (U, V,W ) tal que los movimientos

24

Turbulencia clasica 2.3 Viscosidad turbulenta

horizontales son mucho mayores que los verticales U, V >> W . Se propone que

−ρ0 〈uiuj〉 = ρ0

2AH∂U

∂xAH

(∂V

∂x+∂U

∂y

)AV

∂U

∂z+AH

∂W

∂x

AH

(∂V

∂x+∂U

∂y

)2AH

∂V

∂yAV

∂V

∂z+AH

∂W

∂y

AV∂U

∂z+AH

∂W

∂xAV

∂V

∂z+AH

∂W

∂y2AV

∂W

∂Z

. (2.14)

Los parametros del modelo son las constantes AH y AV . Con estas expresiones el sistema deecuaciones para el flujo medio ya se puede resolver. Solo falta por determinar los parametros.

Interpretacion de los parametros

El significado de los nuevos parametros se hace evidente al calcular las componentes delgradiente de los esfuerzos:

i = 1 : AH

(∂2U

∂x2+∂2U

∂y2

)+Av

∂2U

∂z2

i = 2 : AH

(∂2V

∂x2+∂2V

∂y2

)+Av

∂2V

∂z2

i = 3 AH

(∂2W

∂x2+∂2W

∂y2

)+Av

∂2W

∂z2.

Comparando con los terminos del operador Laplaciano vemos que AH y AV juegan elpapel de una viscosidad equivalente al de la viscosidad molecular. En efecto, bajo estaparametrizacion se puede pensar que las fluctuaciones turbulentas tienen un efecto disipativoanalogo. AH y AV son coeficientes de viscosidad turbulenta en las direcciones horizontal yvertical, respectivamente, con unidades de L2/T .

El caracter arbitrario de las parametrizaciones implica que el valor de los coeficientes esdesconocido y no es posible medirlo, ya que es una propiedad de la turbulencia en cuestiony no del fluido (a diferencia de la viscosidad molecular, la cual sı es una cualidad del fluidoy no del flujo). Por lo tanto, seleccionar su valor es una cuestion de experiencia, calculoaproximado, o bien, ensayo y error. En problemas oceanograficos es comun utilizar valoresen los siguientes rangos:

AH ∼ 105 − 108cm2/s, AV ∼ 1− 103cm2/s.

La viscosidad turbulenta horizontal es mucho mayor que la vertical, y ambas son muchomayores que la viscosidad molecular del agua a 20, ν = 0.01 cm2/s. Por esta razon laviscosidad molecular se desprecia en la mayorıa de problemas oceanograficos (otra forma deverlo es verificando que el numero de Reynolds basado en ν es varios ordenes de magnitudmayor que el basado en AH o AV ). Otro punto importante a notar es que los rangos devalores de los coeficientes turbulentos son muy grandes: de hasta tres ordenes de magnitud.Por lo tanto, queda la incertidumbre de cual valor utilizar. La respuesta dependera, comoya se menciono, del problema en cuestion y de la experiencia previa que se tenga sobre elmismo.

25

2.4 Energıa cinetica Turbulencia clasica

2.4. Energıa cinetica

Dada la presencia de los esfuerzos de Reynolds en las ecuaciones de gobierno ¿queimplicaciones tiene para la energıa cinetica?

Energıa del flujo medio

Para derivar la ecuacion de energıa del flujo medio se multiplica las ecuaciones de mo-mento (2.9) por Ui. Despues de algunas manipulaciones sencillas se encuentra que

∂(12U2i )

∂t+ Uj

∂(12U2i )

∂xj=

1

ρ0

∂(Uiτij)

∂xj− τijρ0

∂Ui∂xj

. (2.15)

Por supuesto, el lado izquierdo de indica la evolucion de la energıa del flujo medio U2i /2.

Usando D/Dt = ∂/∂t + Uj∂/∂xj y sustituyendo el tensor de esfuerzos τij de la expresion(2.10) resulta:

D

Dt

(1

2U2i

)=

∂

∂xj

(− 1

ρ0PδijUi + νSijUi − 〈uiuj〉Ui

)+

1

ρ0Pδij

∂Ui∂xj− 2νSij

∂Ui∂xj

+ 〈uiuj〉∂Ui∂xj

. (2.16)

Notese que el tercer termino del lado derecho es cero: δij∂Ui/∂xj = ∂Uj/∂xj = 0. Ademas,el cuarto termino se puede reescribir al tomar en cuenta que Sij es la parte simetrica delgradiente de velocidad, el cual a su vez se puede descomponer como:

∂Ui∂xj

= Sij +Aij ,

donde Aij = −Aji es la parte antisimetrica. Entonces,

Sij∂Ui∂xj

= SijSij + SijAij

= SjiSji − SjiAji= SijSij − SijAij = SijSij ,

ya que SijAij = −SijAij implica que dicho termino es cero. Por lo tanto, la ecuacion deenergıa es

D

Dt

(1

2U2i

)= − ∂

∂xj

(1

ρ0PUj − νSijUi + 〈uiuj〉Ui

)−2νSijSij + 〈uiuj〉

∂Ui∂xj

. (2.17)

O bien, definiendo el vector de flujo de energıa Fj en el primer termino de la derecha setiene

D

Dt

(1

2U2i

)= −∂Fj

∂xj− 2νSijSij + 〈uiuj〉

∂Ui∂xj

, (2.18)

26

Turbulencia clasica 2.4 Energıa cinetica

donde

Fj =1

ρ0PUj − νSijUi + 〈uiuj〉Ui. (2.19)

La divergencia de Fj representa el transporte de energıa dentro del volumen que ocupael fluido. La relevancia de este termino es secundaria porque no implica ganancia o perdidade energıa. Esto se verifica facilmente al calcular la energıa sobre un volumen de control Venvuelto por una superficie A y aplicando el teorema de Gauss:

d

dt

∫∫∫1

2U2i dV = −

∫∫FjnjdA−

∫∫∫2νSijSijdV +

∫∫∫〈uiuj〉

∂Ui∂xj

dV (2.20)

donde nj es el vector unitario normal al elemento de area dA. La integral de superficierepresenta las fuentes y sumideros de energıa, ası como el trabajo realizado sobre el volumende control, pero no implica disipacion. La misma interpretacion aplica si la integral se hacesobre todo el espacio ocupado por el fluido y considerando condiciones de frontera adecuadas(por ejemplo, de cero flujo normal a la frontera).

Por el contrario, los dos ultimos terminos en el lado derecho de (2.18) o (2.20) sı generancambios en la energıa cinetica. El primero representa los efectos viscosos y significa unaperdida de energıa porque es negativo (ya que es proporcional a SijSij , que es positivo). Elsegundo termino representa los cambios de energıa debidos a las fluctuaciones turbulentas.Su signo tiende a ser negativo ya que, como hemos visto, el promedio 〈uiuj〉 sera negativo(positivo) cuando el corte de velocidad ∂Ui/∂xj sea positivo (negativo), es decir:

〈uiuj〉∂Ui∂xj

< 0.

En otras palabras, el flujo medio pierde energıa por los esfuerzos de Reynolds. Este resul-tado es congruente con la parametrizacion que formula a dichos esfuerzos como si fueranequivalentes a los viscosos.

Energıa de las fluctuaciones

Cabe preguntarse el destino de la energıa perdida por efecto de los esfuerzos de Reynolds.Para averiguarlo es util derivar la ecuacion de energıa de las fluctuaciones turbulentas. Unprocedimiento consiste en restar las ecuaciones de movimiento del flujo instantaneo de lasdel flujo medio, multiplicar por ui y hacer el promedio. Despues de varias manipulacionesse puede llegar a una forma equivalente a (2.17):

D

Dt

(1

2

⟨u2i⟩)

= − ∂

∂xj

(1

ρ0〈puj〉 − 2ν 〈uisij〉+

1

2

⟨u2iuj

⟩)−2ν 〈sijsij〉 − 〈uiuj〉

∂Ui∂xj

, (2.21)

donde ahora se tiene el tensor de deformacion para las fluctuaciones

sij =1

2

(∂ui∂xj

+∂uj∂xi

). (2.22)

27

2.4 Energıa cinetica Turbulencia clasica

El lado izquierdo en (2.21) representa la evolucion de la energıa del flujo turbulento, inclu-yendo los terminos advectivos debidos a Ui. Los primeros tres terminos del lado derechonuevamente son la divergencia de un vector de flujo de energıa, cuyo efecto neto en todo elfluido es nulo. El termino viscoso es por supuesto negativo y representa la disipacion de laenergıa turbulenta. Se suele denotar como

ε = 2ν 〈sijsij〉 . (2.23)

Se debe enfatizar que depende de la viscosidad ν y de la distribucion instantanea de lasfluctuaciones contenidas en sij .

Por ultimo, el termino turbulento en (2.21) es positivo porque se trata de la produccionpor corte

P = −〈uiuj〉∂Ui∂xj

> 0. (2.24)

En otras palabras, la energıa que perdio el flujo medio fue ganada por el flujo turbulento.De aquı el nombre del termino: implica la produccion de turbulencia en presencia de cortesdel flujo medio.

Estimaciones

Es util analizar la relevancia de los efectos turbulentos en comparacion con los viscosos.En el caso del flujo medio se puede aproximar el cociente

2νSijSij

〈uiuj〉∂Ui∂xj

∼ 1

Re(L)

(U

urms

)2

, (2.25)

donde U y urms son velocidades representativas del flujo medio y turbulento, respectiva-mente, y Re(L) = UL/ν es el numero de Reynolds basado en la escala L. Para numeros deReynolds altos Re >> 1 y velocidades que no difieran mucho U ∼ urms, es evidente quela produccion por corte es mucho mayor que los efectos viscosos. Esto significa que para elflujo medio la turbulencia es mucho mas importante que la viscosidad.

Analogamente, para los terminos de las fluctuaciones turbulentas caracterizadas por laescala de longitud ` se tiene

2ν 〈sijsij〉

〈uiuj〉∂Ui∂xj

∼ 1

Re(`), (2.26)

con Re(`) = U`/ν. Si este numero de Reynolds sigue siendo alto, entonces la turbulenciagana mas energıa que la que pierde por efectos viscosos. ¿Hasta cuando pueden acumularenergıa las fluctuaciones? Se puede intuir que hasta que la escala ` sea tal que Re(`) ∼ 1.En ese caso significa que la viscosidad es importante y la energıa sera disipada en calor.Todos estos argumentos dan lugar al concepto de cascada de energıa que se formaliza conla teorıa de Kolmogorov.

28

Capıtulo 3

Turbulencia en presencia defronteras

La necesidad de resultados practicos (para productos tecnologicos, comerciales, perosobre todo militares) estimulo el desarrollo de metodos y teorıas empıricas sobre turbulenciaen presencia de fronteras. En la primera mitad del siglo XX destacaron, entre otros, lasaportaciones de Ludwig Prandtl en Alemania y de su discıpulo Theodore von Karman,hungaro emigrado en EEUU. Lo que se presenta en este Capıtulo es la descripcion clasicade las capas lımite turbulentas [Kundu & Cohen (1990), seccion 13.11], ası como algunasparametrizaciones para representar efectos friccionales en el flujo lejano a la frontera.

3.1. Flujos confinados

Para resolver las ecuaciones dinamicas de los fluidos se requieren condiciones de frontera.En esta seccion nos interesa estudiar dichas condiciones sobre fronteras solidas.

Condiciones de frontera

Sea D el dominio espacial que contiene al fluido y ∂D su frontera. Las ecuaciones deEuler para fluidos ideales son de primer grado, por lo que se requiere solo una condicion defrontera. Lo que generalmente se usa para la velocidad es la condicion de impenetrabilidad

u⊥ = 0 en ∂D, (3.1)

donde el sımbolo ⊥ indica la componente pependicular de u. Si bien el fluido no atraviesa lafrontera, la velocidad paralela a la misma no tiene ninguna restriccion, por lo que tambiense conoce como condicion de libre deslizamiento (free-slip). La presencia de una pared solidaredirecciona al flujo pero no lo frena en absoluto.

En contraste, las ecuaciones de Navier-Stokes son de segundo grado debido a los termi-nos viscosos. La condicion adicional que se requiere es la de no deslizamiento (no-slip): lavelocidad del flujo en la frontera es la velocidad de la frontera. Si la pared esta inmovil,entonces la velocidad es cero sobre la misma

u = 0 en ∂D, (3.2)

29

3.1 Flujos confinados Turbulencia en presencia de fronteras

Figura 3.1: Izquierda: Esquema de la capa lımite asociada con el flujo horizontal Uuniforme lejos de la frontera. Derecha: Superficies de vorticidad de un fluido confinadoen un dominio cuadrado con paredes de no deslizamiento.

La consecuencia es drastica, porque el vector velocidad tiene que tender a anularse cerca dela frontera. A esta zona de transicion se le conoce como capa lımite. En la Figura 3.1 (panelizquierdo) se muestra un esquema de la capa lımite que se genera en un flujo horizontalconstante: a cierta distancia de la pared (lınea gruesa inferior) el campo de velocidad tiendea cero.

Un efecto notable y facil de entender es la generacion de vorticidad en una fronterainmovil de no deslizamiento. Esta se debe al corte generado cuando la velocidad tiende acero cerca de la pared. Por ejemplo, si existe un remolino con vorticidad de algun signocerca de la frontera, entonces se genera vorticidad de signo opuesto desde la capa lımite.Esta situacion se ejemplifica en la Figura 3.1 (panel derecho), en donde se presenta el campode vorticidad de un fluido confinado en un cuadrado con paredes de no deslizamiento. Notesela generacion de filamentos de vorticidad en las paredes asociados con los remolinos en elinterior.

Si se quiere utilizar la condicion de libre deslizamiento en un fluido con viscosidad serequiere otra condicion ademas de (3.1), ya que las ecuaciones dinamicas incluyen segundasderivadas. Generalmente se puede formular al considerar que la frontera no ejerce ningunesfuerzo sobre el fluido, ya que este se “desliza” libremente. Por lo tanto,

(n · τ )|| = 0 en ∂D, (3.3)

donde τ es el tensor de esfuerzos viscosos, n es el vector unitario normal a la frontera y ||denota la componente paralela a la pared. A esta condicion se le llama libre de esfuerzos(stress-free). En general, es una condicion poco utilizada en fluidos en tres dimensiones,pero muy util en el caso bidimensional (Maassen, 2000; van Heijst et al., 2003).

30

Turbulencia en presencia de fronteras 3.1 Flujos confinados

Flujo de Poiseuille

Un problema practico en el estudio de los fluidos durante el siglo XIX era la caıda depresion entre dos puntos de una tuberıa de agua. La relevancia del problema es que susolucion permitirıa conocer la resistencia que se debe vencer para bombear un fluido de unextremo de la tuberıa al otro. En un flujo laminar, dicha resistencia se debe a la friccioninterna del fluido (su viscosidad) y a la friccion que ejerce la misma tuberıa en su rocecon el fluido. Entre 1840 y 1850, Gotthilf Hagen y Jean Louis Marie Poiseuille estudiaronempıricamente el flujo resultante en tubos capilares de seccion circular (con diametro muchomas delgado que su longitud) al aplicar una diferencia de presion en sus extremos (Darrigol,2005). La ley de Poiseuille-Hagen dice que el flujo (cantidad de fluido por unidad de tiempo)es Q = −πR4∆p/(8µ∆X), donde R es el radio del tubo, ∆p la diferencia de presion entrelos extremos del tubo separados una distancia ∆X y µ la viscosidad dinamica del fluido.

Antes de 1850 todavıa no se contaba con una explicacion dinamica del fenomeno obser-vado, pues las ecuaciones de movimiento (Navier-Stokes) aun eran poco conocidas. Antes definales de siglo se encontro que la formula de Hagen-Poiseuille se deriva de una de las escasassoluciones particulares que tienen las ecuaciones de Navier-Stokes, como ahora discutiremos.Se considera una tuberıa horizontal en la direccion x de seccion circular con radio R porel que circula un fluido a temperatura constante (con densidad ρ0 constante), de modo quesu viscosidad no varıa. Se supone que el flujo resultante se debe a un gradiente de presionconstante ∂p/∂x que hace que el fluido se mueva solamente en la direccion creciente de x,por lo que ∂p/∂x < 0. Se ignora el movimiento transversal. Usando coordenadas cilındricas(r, θ, x), la velocidad es estacionaria y de la forma [0, 0, U(r)]. Bajo estos supuestos, solo senecesita la ecuacion de movimiento a lo largo del eje x:

0 = − 1

ρ0

∂p

∂x+ ν

1

r

∂

∂r

(r∂U

∂r

). (3.4)

Esto significa que la aceleracion debida al gradiente de presion se equilibra con los efectosviscosos inherentes al fluido. Notese que se han despreciado los terminos no lineales. Lascondiciones que debe cumplir el flujo son

U = Umax en r = 0, U = 0 en r = R. (3.5)

La ecuacion se integra facilmente y resulta en un flujo que tiene un perfil de velocidadparabolico:

U(r) =1

4µ

∂p

∂x(r2 −R2), (3.6)

donde µ es la viscosidad dinamica. Integrando la cantidad de fluido que pasa por la seccionde la tuberıa se puede entonces calcular la formula de Hagen-Poiseuille

Q ≡∫ 2π

0

∫ R

0U(r)rdrdθ = −πR

4

8µ

∂p

∂x(3.7)

(recordar que Q > 0 ya que el gradiente de presion es negativo).La formula funciona muy bien para flujos laminares, pero no para los turbulentos, en los

que el gasto se reduce o, equivalentemente, hay una caida de la presion. La forma sinuosa de

31

3.2 Capa viscosa y velocidad de friccion Turbulencia en presencia de fronteras

Figura 3.2: Flujo laminar entre placas paralelas.

la turbulencia explica el motivo: la serie de pequenos remolinos y estructuras que interactuanentre sı de manera desordenada ejercen una resistencia sobre el flujo dominante y lo frenan,causando una caıda adicional de presion.

Flujo entre dos placas paralelas

Un problema equivalente es el del flujo entre dos placas separadas una distancia L. Encoordenadas cartesianas el flujo es [U(y), 0, 0]. En este caso se usa la ecuacion de movimientopara la componente x, en la que el balance entre el gradiente de presion y el termino viscosoes

0 = − 1

ρ0

∂p

∂x+ ν

∂2U

∂y2(3.8)

Las condiciones son

U = 0 en y = 0, U = 0 en y = L. (3.9)

La solucion es de nuevo un flujo parabolico (Figura 3.2)

U(y) =1

2µ

∂p

∂x(y2 − yL) (3.10)

El esfuerzo en el interior del fluido es simplemente

τ ≡ µ∂U∂y

=1

2

∂p

∂x(2y − L). (3.11)

Es decir, τ es lineal con pendiente negativa: en la placa inferior es positivo y en la placasuperior es negativo. Recordar que el signo del esfuerzo indica la manera en la que se deformael fluido, como se mostro en la Figura 2.1.

3.2. Capa viscosa y velocidad de friccion

Cuando el flujo es turbulento no es posible obtener soluciones analıticas como en losproblemas anteriores. Sin embargo, al utilizar la descomposicion de Reynolds se puede

32

Turbulencia en presencia de fronteras 3.2 Capa viscosa y velocidad de friccion

parametrizar el perfil de velocidad del flujo medio en la capa lımite. Sea un flujo horizontalU(y) con una frontera solida en y = 0. Al considerar los esfuerzos de Reynolds en la ecuacionde movimiento se tiene

0 = − 1

ρ0

∂p

∂x+ ν

∂2U

∂y2− ∂(uv)

∂y

= − 1

ρ0

∂p

∂x+∂τ

∂y, (3.12)

donde ahora el esfuerzo es

τ = µdU

dy− ρ0uv. (3.13)

Esta cantidad sigue siendo lineal en y porque el gradiente de presion es constante. Lo que esdiferente ahora es que el esfuerzo esta compuesto por la parte viscosa y la turbulenta. Cercade la pared se puede intuir que la parte turbulenta es muy pequena porque la velocidad (ypor lo tanto las fluctuaciones) tiende a cero en esa region. Lejos de la pared los esfuerzosturbulentos se vuelven mas importantes, mientras que los viscosos incluso se anulan entrelas placas.

De lo anterior se deriva que la capa lımite cerca de la frontera es solamente viscosa.Aproximando el valor del esfuerzo con el ejercido por la frontera τ(y ∼ 0) = τ0, se tiene que

τ0 = µdU

dy. (3.14)

Usando U(0) = 0 la solucion lineal es inmediata

U(y) =τ0µy. (3.15)

La velocidad de friccion se define como

u∗ =

√τ0ρ0

⇒ τ0 = ρ0u2∗. (3.16)

La solucion se puede expresar de las formas siguientes:

U(y) =u2∗νy o

U(y)

u∗=

y

ν/u∗≡ y+, (3.17)

donde aparece la escala de longitud ν/u∗. Empıricamente se observa que esta relacion esvalida hasta y+ ∼ 5, que es el espesor de la subcapa viscosa; es decir δν = 5ν/u∗.

El punto mas destacado de la discusion interior es la aparicion de la escala de velocidadu∗, asociada con el esfuerzo en la frontera. Por el contrario, el perfil lineal de la capa viscosaes de importancia secundaria en problemas de fluidos geofısicos porque es muy delgada. Suutilidad se restringe a sistemas con escalas milimetricas o de unos pocos centımetros, comoen el tratamiento de ondas capilares en la superficie del mar. En general, para problemasoceanicos y atmosfericos es de mayor relevancia la capa logarıtmica, en la cual entran enjuego los terminos turbulentos.

33

3.3 Capa logarıtmica Turbulencia en presencia de fronteras

3.3. Capa logarıtmica

Despues de la subcapa viscosa (y+ > 5) la capa lımite debe contener el efecto de losesfuerzos viscosos y los turbulentos como se expresa en (3.13). No existen teorıas biendefinidas que den cuenta de ambos terminos en dicha region. Lo que se conoce mejor esla teorıa de la capa logarıtmica basada en la parametrizacion de los esfuerzos turbulentos,como se explica a continuacion.

Lejos de la frontera se desprecian los esfuerzos ejercidos por la viscosidad molecular ysolo quedan los de Reynolds, los cuales se parametrizan como

τ = −ρ0uv = ρ0AdU

dy, (3.18)

donde nuevamente se tiene solo el flujo U(y) cerca de la pared y A es el coeficiente deviscosidad turbulenta. Dado que el esfuerzo esta asociado con la presencia de la pared, separametriza τ ∼ τ0 ≡ ρ0u2∗ y, por lo tanto, se tiene

u2∗ = AdU

dy. (3.19)

Ahora se requiere parametrizar el coeficiente turbulento para poder resolver la velocidadU(y). Se utiliza

A = kyu∗, (3.20)

donde k ∼ 0.41 es la constante de von Karman, que fue quien propuso esta parametrizacion.La expresion indica que entre mayor sea la distancia a la frontera sera mayor el efectoturbulento representado por A. Sustituyendo en (3.19) e integrando de una yc a cualquiery se encuentra

U(y) =u∗k

log

(y

yc

)+ Uc (3.21)

con Uc = U(yc). La formula se puede reescribir sin dimensiones introduciendo nuevamentela escala de longitud ν/u∗:

U(y)

u∗=

1

k

[log

(y

ν/u∗

)− log

(ycν/u∗

)]+Ucu∗

=1

klog

(y

ν/u∗

)+ C (3.22)

donde la constante C depende de yc y Uc (ademas de ν/u∗). Experimentalmente se hadeterminado como C ≈ 5. Por lo tanto, la subcapa logarıtmica es

U(y)

u∗=

1

klog y+ + 5, (3.23)

la cual se considera valida entre 30 < y+ < 300.La Figura 3.3 muestra los perfiles de las capas viscosa y logarıtmica dentro de la capa

lımite. En el rango 5 < y+ < 30 se tiene una zona de amortiguamiento en la que no dominanni los efectos viscosos ni los turbulentos.

34

Turbulencia en presencia de fronteras 3.3 Capa logarıtmica

Figura 3.3: Perfiles de velocidad en las capas lımite cerca de una frontera solida.

Longitud de mezcla

La parametrizacion (3.20) describe el coeficiente de viscosidad turbulenta. Detras dela idea subyace la teorıa cinetica de los gases de fines del siglo XIX. En dicha teorıa laviscosidad molecular de un fluido determinado es

ν ∝ urmsλ, (3.24)

donde el primer termino es la velocidad rms de las moleculas del fluido y λ es el llamado ca-mino libre medio (la distancia promedio recorrida por las moleculas entre colisiones mutuasen las que pierden momento).

En el contexto de la turbulencia, Taylor aplico un concepto analogo para el coeficientede viscosidad turbulenta

A ∝ ulm, (3.25)

donde u es la fluctuacion de la velocidad y lm es la llamada longitud de mezcla. En principio,se trata de la escala de longitud en la que un elemento de fluido pierde su identidad alintercambiar momento con las parcelas con las que interacciona. Posteriormente, Prandtlextendio el concepto a partir de sus estudios empıricos de la capa lımite y propuso expresarque lm debıa ser proporcional al producto de la velocidad de friccion por la distancia a lafrontera, es decir, la parametrizacion (3.20). Segun Kundu & Cohen (1990) (seccion 13.12),esta aproximacion tuvo cierta aceptacion por su significado simple y su utilidad para explicarla capa logarıtmica, pero cayo en desuso por tener pocas bases analıticas.

35

3.4 Friccion del fondo Turbulencia en presencia de fronteras

La ley de la pared

El perfil de velocidad en la capa lımite se puede postular en general como funcionde tres variables, la velocidad de friccion, la viscosidad y la distancia a la frontera: U =U(u∗, ν, y). Esta expresion se conoce algo exageradamente como la “ley de la pared”. Enforma adimensional se puede escribir como una funcion f tal que

U(y)

u∗= f

(u∗yν

)≡ f(y+). (3.26)

Hemos visto que, en efecto, tanto la subcapa viscosa como la logarıtmica son funcion de y+.Cerca de la frontera hemos visto que esta funcion es lineal. Lejos de la frontera, la subcapalogarıtmica se puede anticipar suponiendo que el gradiente de velocidad debido al esfuerzode la pared disminuye en forma inversa a la distancia de la misma:

d(U/u∗)

dy+=

1

ky+, (3.27)

donde la constante de proporcionalidad se ha escogido como 1/k. La solucion general es,nuevamente,

U(y) =u∗k

log y + c. (3.28)

Otra forma de derivar el mismo resultado es el de considerar el gradiente de velocidaddimensional como funcion de la velocidad de friccion y de la distancia y:

dU

dy∝ ua∗yb =⇒ dU

dy=u∗ky, (3.29)

La integracion arroja nuevamente la subcapa logarıtmica.

Fondo rugoso

Cuando la rugosidad de la frontera y0 es mayor que el espesor de la subcapa viscosaque habrıa en una pared lisa δν , entonces dicha capa viscosa no existe porque la turbulenciagenerada por la rugosidad la inhibe. Las dos suposiciones basicas son que la velocidad entrelas rugosidades de la frontera es muy baja, y que arriba de las rugosidades (y > y0) elgradiente de velocidad se puede aproximar con (3.29). Al integrar resulta que el perfil develocidad es tambien logarıtmico, pero ahora de la forma

U(y) =u∗k

log

(y

y0

). (3.30)

3.4. Friccion del fondo

Hasta ahora hemos discutido la estructura de la capa lımite que se forma cerca de lafrontera. Ahora veamos los efectos que tiene dicha estructura en los flujos adyacentes a lacapa lımite.

36

Turbulencia en presencia de fronteras 3.4 Friccion del fondo

Fuerza de arrastre

Cuando un objeto se mueve en un fluido siente una fuerza de resistencia que se oponeal movimiento, la cual se conoce como fuerza de arrastre. A mediados del siglo XIX Stokesderivo la fuerza de arrastre que siente una esfera inmersa en un flujo laminar (una de lasaplicaciones a la entonces no tan conocida idea de la condicion de no deslizamiento en lafrontera del cuerpo solido). El analisis consiste en resolver el balance entre el gradiente depresion y la fuerza viscosa ∇p = µ∇2u, con u el vector velocidad. Aplicando condicionesde simetrıa y de frontera se encuentra la forma del flujo resultante y, ademas, el arrastreque experimenta la esfera:

FD = 6πµaU, (3.31)

donde a es el radio de la esfera.Esta famosa Ley de Stokes indica que el arrastre es proporcional a la velocidad. En

resultado analogo se obtiene para cualquier otro problema si se considera que FD debe serfuncion de las escalas relevantes del problema para numeros de Reynolds bajos: (µ,L, U),donde el objeto tiene una longitud L expuesta al flujo. En efecto, el analisis dimensionalarroja que

FD ∝ µaLbU c =⇒ FD ∝ µLU, (3.32)

que es equivalente al arrastre de Stokes.Sin embargo, el problema es muy diferente si se trata de un flujo con numero de Reynolds

alto. Como vimos en el caso del flujo en la tuberıa, la turbulencia va a modificar el arrastre.Supongamos que ahora las escalas relevantes son (ρ, L, U), es decir, la viscosidad del fluidoya no se considera. En cambio, la densidad se debe tomar en cuenta porque se requiere quehaya unidades de masa para construir la fuerza de arrastre. El analsis dimensional indicalo siguiente

FD ∝ ρaLbU c =⇒ FD ∝ ρL2U2. (3.33)

En este caso el arrastre depende del area L2 expuesta al flujo y de la velocidad al cuadrado.Al dividir entre el area se infiere que el esfuerzo sobre el objeto es

τD ≡FDL2

=1

2ρCDU

2 (3.34)

donde CD es una constante adimensional denominada coeficiente de arrastre y el 1/2 se usapor conveniencia, o bien se puede omitir.

La expresion anterior se puede derivar heurısticamente de otras maneras. Por ejemplo,se puede interpretar que el esfuerzo es proporcional a una fraccion de la presion dinamicasobre la cara del objeto contra el flujo pdin = (1/2)CDρU

2 = τD.

Friccion cuadratica

El esfuerzo en la frontera τ0 = ρu2∗ en (3.16) es indicativo de la parametrizacion dela friccion del fondo en terminos de una velocidad al cuadrado. En un modelo de flujobarotropico horizontal u = (u, v), los terminos de friccion debida al fondo en las ecuacionesde momento horizontales son del tipo

1

ρ0

∂τ 0

∂z−→ 1

ρ0

τ 0

H(3.35)

37

3.4 Friccion del fondo Turbulencia en presencia de fronteras

donde τ 0 = (τx0 , τy0 ) son los esfuerzos sobre el fondo y H es la profundidad total. La

parametrizacion mas comun es la friccion cuadratica

τx0 = ρ0CD|u|u, τy0 = ρ0CD|u|v, (3.36)

con lo que los terminos de friccion son

−CD|u|uH

,−CD|u|v

H. (3.37)

El valor tıpico de CD es alrededor de 10−3. Este valor cobra sentido si se considera unfondo rugoso y se aplica la definicion de la velocidad de friccion y del perfil logarıtmico:

τ0 ≡ ρ0u2∗ ∼ ρ0CDU2 = ρ0CD

[u∗k

log

(H

z0

)]2=⇒ CD =

k

log(Hz0

)2

Notese que se uso la profundidad total H. Si se utilizan valores diferentes tanto de H comode la rugosidad z0 se encuentra que, en efecto, CD ∼ O(10−3). En modelos tridimensionalesen los que el flujo es dependiente de la vertical el coeficiente puede depender tambien de z:

CD(z) =

k

log(zz0

)2

.

Friccion lineal

Para flujos mas debiles es util considerar parametrizaciones de la friccion como funcionlineal de la velocidad. Como en el caso de flujos laminares, aquı tambien se debe tomar encuenta el valor de la viscosidad. La aproximacion de los esfuerzos del fondo son

1

ρ0

∂τ 0

∂z−→ 1

ρ0

∂

∂z

[µ

(∂u

∂z

)]−→ ν

( π

2H

)2u (3.38)

(el factor (π/2)2 es por conveniencia). Los terminos de friccion lineal en las ecuaciones demovimiento horizontales tienen la forma

−λu, −λv, (3.39)

con el coeficiente λ proporcional a ν/H2, es decir, con unidades de tiempo−1. Esta es lallamada friccion de Rayleigh. La parametrizacion tambien se usa en modelos para flujoscon estructura vertical, en cuyo caso simplemente se usan las velocidades en el nivel masprofundo.

La friccion lineal es muy conveniente para el caso de flujos barotropicos en rotacion(Zavala Sanson & van Heijst, 2014). Los efectos de la rotacion inducen al flujo a comportarseen forma de columnas verticales y la capa lımite en el fondo (capa de Ekman) es sumamentedelgada en comparacion con el resto de la columna. El flujo dentro de la capa de Ekman sepuede solucionar para flujos debiles y tiene un espesor

δE =√

2ν/f0, (3.40)

38

Turbulencia en presencia de fronteras 3.4 Friccion del fondo

Figura 3.4: Panel superior: Esquema del bombeo de Ekman en un fluido con vorticidadrelativa ω y vorticidad planetaria f . Panel inferior: Esquema de la succion de Ekman.Ambos procesos se deben a la convergencia o divergencia del flujo en la capa lımitedel fondo, respectivamente, asociados con el signo de la vorticidad de la columna deagua afuera de la capa lımite. Tomado de Zavala Sanson (2000).

donde f0 es el parametro de Coriolis. El campo de velocidad en el interior de la capa divergecuando la vorticidad exterior es positiva y converge cuando es negativa. El resultado es que el“bombeo de Ekman” asociado con estas convergencias o divergencias conlleva el decaimientode la vorticidad de la columna de fluido (ver Figura 3.4). El termino lineal de friccion en laecuacion de vorticidad es

−1

2

δEHf0ω ≡ −

1

2E

12 f0ω, (3.41)

con ω = vx − uy la componente vertical de la vorticidad relativa en el exterior y E =2ν/(f0H

2) el numero de Ekman (E << 1, ya que el tiempo asociado con el efecto de laviscosidad ν/H2 es mucho mayor que el del periodo de rotacion 2/f0). A esta expresion sele conoce como friccion de Ekman.

39

3.4 Friccion del fondo Turbulencia en presencia de fronteras

40

Capıtulo 4

Turbulencia en flujos estratificados

En este Capıtulo se estudia los efectos de la estratificacion en la direccion vertical.Primero se analiza la ecuacion de energıa y los terminos turbulentos que resultan, y despuesse presentan los numeros de Richardson para clasificar y cuantificar la turbulencia. Al finalse discute sobre la estructura de la capa lımite estratificada.

4.1. Efectos de estratificacion

Medios estables e inestables

Se tiene un fluido estratificado en el espacio (x, y, z), donde z es la direccion verticalantiparalela a la componente local de la gravedad. El fluido esta en reposo tal que solo hayvariaciones de la densidad en z. Se dice que el medio es estable si la densidad ρ(z) disminuyecon la altura z. Esto es intuitivamente obvio: el fluido mas denso se encuentra en las capasinferiores. Por el contrario, El medio es inestable si la densidad aumenta con z (curvas rojasen la Figura 4.1). La estabilidad se refiere al comportamiento que tendrıa el fluido cuandosea perturbado. Se espera que en el caso estable la estratificacion inhiba el movimiento,mientras que en el inestable se puede desarrollar movimiento al hundirse las parcelas defluido mas densas. Cuando la densidad depende solo de la temperatura T lo hace de formainversa (mayor densidad implica menor temperatura y vice-versa); entonces las curvas detemperatura tienen un comportamiento inverso en los esquemas de la Figura 4.1.

Al tener estratificacion es conveniente pensar en terminos de la energıa potencial dispo-nible. ¿Cual de los medios en la figura anterior se tiene mayor energıa potencial? Se puederesponder utilizando la posicion vertical del centro de masa, la cual es mayor en el casoinestable que en el estable. Por lo tanto, el medio inestable tiene mayor capacidad de ge-nerar energıa cinetica (movimiento) que el medio estable. Una pregunta equivalente resultade considerar el siguiente caso. Se tiene un medio estable linealmente estratificado, el cuales mezclado hasta que su densidad sea homogenea y el fluido quede en reposo nuevamente.¿Como cambio el centro de masa del fluido? ¿subio o bajo?

41

4.1 Efectos de estratificacion Turbulencia en flujos estratificados

Figura 4.1: Perfiles de densidad (curvas rojas) en un medio estable (izquierda) einestable (derecha). Los perfiles correspondientes de temperatura se muestran en azul.

Ecuaciones de gobierno

Las variables dinamicas de un flujo instantaneo 3D estratificado son la velocidad ui, lapresion p y la densidad ρ, la cual es independiente de la presion (es decir, el fluido siguesiendo incompresible). La densidad se puede obtener de la ecuacion de estado, la cual indicala relacion entre las variables termodinamicas del fluido en equilibrio. Vamos a suponer quela densidad solo depende de la temperatura T , de modo que ρ = ρ(T ). Las variacionesde la densidad se pueden introducir en las ecuaciones de movimiento con la aproximacionde Boussinesq, es decir, que solo se reflejen en el termino de gravedad. Las ecuaciones degobierno del flujo instantaneo son (Kundu & Cohen, 1990)

∂ui∂t

+ uj∂ui∂xj

= − 1

ρ0

∂p

∂xi+ ν

∂2ui∂xj∂xj

− g [1− α(T − T0)]︸ ︷︷ ︸ρ/ρ0

δi3, (4.1)

∂ui∂xi

= 0, (4.2)

∂T

∂t+ uj

∂T

∂xj= κ

∂2T

∂xj∂xj. (4.3)

El termino nuevo en las ecuaciones de movimiento muestra la dependencia de la densidadcon la temperatura. Se trata de la aproximacion lineal de la ecuacion de estado respecto auna densidad de referencia ρ0 a temperatura T0:

ρ(T ) ≈ ρ0 +∂ρ

∂T

∣∣∣∣T0

(T − T0)

=⇒ ρ

ρ0= 1− α(T − T0), con α = − 1

ρ0

∂ρ

∂T

∣∣∣∣T0

. (4.4)

42

Turbulencia en flujos estratificados 4.2 Flujo de calor

La constante α es el coeficiente de expansion termica. La otra novedad es que ahora se tieneuna ecuacion para la temperatura (4.3), en la que κ es el coeficiente de difusividad termica.Si la densidad dependiera de la temperatura y la salinidad ρ = ρ(T, S) (como sucede en eloceano), se requerirıa una ecuacion adicional para la evolucion de la salinidad.

4.2. Flujo de calor

Para analizar la turbulencia se puede aplicar la descomposicion de Reynolds incluyendoal campo de temperatura:

ui = Ui(xi, t) + ui(xi, t),

p = P + p,

T = T + T ′,

con T el campo medio y T ′ sus perturbaciones turbulentas con promedio cero T ′ = 0. Lasecuaciones promedio son

∂Ui∂t

+ Uj∂Ui∂xj

+∂(uiuj)

∂xj= − 1

ρ0

∂P

∂xi+ ν

∂2Ui∂xj∂xj

− g[1− α(T − T0)]δi3,

∂Ui∂xi

= 0,

∂T

∂t+ Uj

∂T

∂xj+∂(ujT ′)

∂xj︸ ︷︷ ︸ = κ∂2T

∂xj∂xj

En los terminos no lineales de la ecuacion de la temperatura aparece el promedio del pro-ducto de perturbaciones, ujT ′ (de hecho, su divergencia). En forma analoga a lo que vimoscon las ecuaciones de momento, este nuevo promedio representa el efecto de la turbulenciaen el flujo medio. Por supuesto, el problema de cerradura sigue vigente, por lo que el nuevotermino tambien requiere ser parametrizado.

Flujos de energıa

La ecuacion (4.5) se puede escribir en terminos de flujos de calor. Para ello, se multiplicapor ρ0Cp (con Cp el calor especıfico a presion constante), se usa la conductividad termicak = ρ0Cpκ en el termino de difusion y se reescribe como

ρ0Cp

(∂T

∂t+ Uj

∂T

∂xj

)= − ∂

∂xj

(−k ∂T

∂xj+ ρ0CpujT ′

). (4.5)

El lado izquierdo representa los cambios de energıa en forma de calor dados por los flujosdentro del parentesis del lado derecho. El primer termino es el flujo de calor por efectosmoleculares. El segundo es el flujo de calor por efectos de las fluctuaciones, ρ0CpujT ′.

En fluidos geofısicos con estratificacion en la vertical, lo que interesa mayormente sonlos flujos en esa direccion. Sea la direccion vertical x3 = z y la fluctuacion de la velocidadu3 = w. Entonces

ρ0CpwT ′ ≡ flujo vertical de calor (4.6)

43

4.3 Numeros de Richardson Turbulencia en flujos estratificados

Figura 4.2: Signo del promedio del producto de fluctuaciones wT ′ en un medio estable(izquierda) y uno inestable (derecha). Los perfiles de temperatura se muestran en azul.

El signo depende de si el medio es estable o inestable. En el caso estable se tiene dT/dz > 0(Figura 4.2 panel izquierdo). Si una parcela de fluido es desplazada hacia arriba (w > 0), laperturbacion de la temperatura es positiva (T ′ > 0), de modo que el promedio del productoresulta wT ′ < 0. El resultado es igual si la perturbacion de la parcela es hacia abajo. Por lotanto, el flujo de calor es negativo en los medios estables. Usando los mismos argumentospara un medio inestable, dT/dz < 0, se encuentra que el flujo de calor por fluctuacionesturbulentas es positivo (Figura 4.2 panel derecho). Resumiendo

ρ0CpwT ′

> 0 medio inestable dT/dz < 0, flujo hacia arriba

< 0 medio estable dT/dz > 0, flujo hacia abajo.

(4.7)

4.3. Numeros de Richardson

Ahora se pueden discutir los numeros adimensionales que caracterizan a la turbulenciacon estratificacion. Pero antes se requiere derivar la ganancia o perdida de energıa cineticade las fluctuaciones.

Produccion y destruccion por flotacion

Al tomar en cuenta la densidad variable en la ecuacion de energıa de las fluctuaciones,resulta lo siguiente

∂(12u2i )

∂t+ Uj

∂(12u2i )

∂xj=

∂

∂xj

(1

ρ0p0uj − 2νuieij +

1

2u2iuj

)− 2νeijeij − uiuj

∂Ui∂xj

+ gαuiT ′δi3︸ ︷︷ ︸ . (4.8)

44

Turbulencia en flujos estratificados 4.3 Numeros de Richardson

La expresion es identica a (2.21), excepto por el termino senalado que se reduce a gαwT ′.De la discusion anterior sobre el signo del flujo vertical de calor, vemos que este termino esuna fuente de energıa cinetica de las fluctuaciones (gαwT ′ > 0) si el medio es inestable, o unsumidero (gαwT ′ < 0) si el medio es estable. El significado fısico es que en el medio establelas fluctuaciones pierden energıa: la estratificacion del medio no permite que la turbulenciase desarrolle. Por el contrario, en el medio inestable las fluctuaciones ganan energıa cineticaporque al peturbar el sistema los hundimientos de parcelas mas densas generan turbulencia.Resumiendo, la definicion de gαwT ′ depende de su signo:

gαwT ′

> 0 medio inestable dT/dz < 0, ≡ produccion por flotacion

< 0 medio estable dT/dz > 0 ≡ destruccion por flotacion.

Podemos notar en (4.8) que la produccion por corte −uiuj∂Ui/∂xj (un efecto mecanico)siempre es una cantidad positiva que alimenta a las fluctuaciones. En contraste, el terminoasociado a la estratificacion gαwT ′ (efecto termodinamico) puede ser positivo o negativo, ypor lo tanto ‘produce’ o ‘destruye’ turbulencia segun la estabilidad del medio.

Numero de Richardson de flujo

Los numeros de Richardson comparan los efectos turbulentos en la ecuacion de energıa(4.8). El numero de Richardson de flujo es la razon entre la energıa cinetica que produce odestruye la flotacion y la produccion por corte:

Rf =−gαwT ′

−uwdUdz

. (4.9)

Notese que por simplicidad se usa la produccion por corte debida al flujo horizontal U(z)cuya fluctuacion es u. El denominador es positivo, mientras que el signo del numeradordepende de la estabilidad del medio. Este es uno de los pocos numeros adimensionales quetienen signo. Los valores extremos e intermedios son los siguientes:

1 < Rf < ∞. Corresponde a un medio estable porque el numerador es positivo.Hay destruccion de turbulencia, la cual es mayor que la produccion por corte. Laestabilidad del medio impide que la produccion por corte alimente las fluctuaciones.Al perturbar el flujo este tendera a regresar al equilibrio estable.

0.2 < Rf < 1. Conforme disminuye Rf se llega a un valor crıtico en el que el com-portamiento estable deja de cumplirse; es decir, la destruccion de turbulencia por laestratificacion deja de superar a la produccion por corte. Segun evidencia teorica yexperimental, el valor crıtico de Rf al se encuentra en el intervalo indicado (Galperinet al., 2007). Sin embargo, el problema del Rf crıtico no esta zanjado: los mismosautores plantean que puede depender del modelo que se utilice o incluso no existir.Otro estudios consideran el valor crıtico simplemente como 0.25 [Kundu & Cohen(1990), p. 542].

45

4.3 Numeros de Richardson Turbulencia en flujos estratificados

−∞ < Rf < 0.2. El flujo desarrollara turbulencia al ser perturbado. El pequenointervalo en el que Rf > 0 es de un medio estable pero en el que la produccionpor corte supera mas de cinco veces a la destruccion por flotacion. Cuando Rf < 0,se tiene un medio inestable porque el numerador es negativo. Hay produccion porflotacion, la cual es ademas reforzada por la produccion por corte. Por lo tanto,cualquier perturbacion del flujo generara turbulencia.

Numero de Richardson gradiente

El principal problema con Rf es que depende de los promedios de productos de per-turbaciones, que a final de cuentas son cantidades desconocidas. Si se cuenta con la ins-trumentacion suficientemente precisa, las fluctuaciones se pueden medir directamente (cosaque pocos estudios pueden lograr). Una cantidad alternativa es el numero de Richardsongradiente que se define como

Ri =N2(dU

dz

)2 ≡− g

ρ0

dρ

dz(dU

dz

)2 , (4.10)

donde N2 es la frecuencia de Brunt-Vaisala asociada con la estratificacion. La ‘frecuencia’ alcuadrado en el denominador se relaciona con el corte del flujo medio. La densidad promediose obtiene de (4.4), ρ = ρ0[1− α(T − T0)], y su gradiente vertical es

dρ

dz= −ρ0α

dT

dz. (4.11)

Por lo tanto, el numero de Richardson gradiente se puede escribir como

Ri =gαdT

dz(dU

dz

)2 , (4.12)

Ası, la competencia entre la estratificacion y el corte se puede estimar a partir de medicionesdel flujo medio.

El numero de flujo y gradiente se pueden relacionar porque intentan representar lomismo. Los terminos fluctuantes en Rf se pueden parametrizar como

−wT ′ = κedT

dz, −uw = νe

dU

dz. (4.13)

En la primera expresion se aproxima el termino turbulento como el gradiente de temperatu-ra, donde κe juega el papel de difusividad termica. En el caso de los esfuerzos de Reynoldsse usa la parametrizacion usual de flujo newtoniano, con νe la viscosidad turbulenta. Deaquı resulta

Rf =κegα

dT

dz

νe

(dU

dz

)2 ≡κeνeRi, o bien, Ri =

νeκeRf

El cociente νe/κe se conoce como el numero de Prandtl.

46

Turbulencia en flujos estratificados 4.4 Escala de Monin-Obukhov

4.4. Escala de Monin-Obukhov

El numero de Richardson de flujo es util para evaluar los terminos turbulentos en pre-sencia de una frontera. En particular, es de interes para las teorıas de capa lımite en laatmosfera en la que se puede suponer un flujo U(z) con perfil logarıtmico cuyo corte verti-cal es

dU

dz=u∗kz, (4.14)

donde hemos visto que u∗ es la velocidad de friccion asociada al esfuerzo que ejerce lafrontera y k es la constante de von Karman. Una suposicion adicional es parametrizar losesfuerzos turbulentos como −uw = u2∗. Al sustituir en Rf se obtiene

Rf =−gαwT ′

−uwdUdz

=−gαwT ′

u3∗kz

=z

u3∗−kgαwT ′

≡ z

LM. (4.15)

La distancia en el denominador se conoce como la escala de Monin-Obukhov, la cual puedeser positiva o negativa

LM ≡ −u3∗

kgαwT ′

> 0 medio estable wT ′ < 0

< 0 medio inestable wT ′ > 0.

El valor absoluto de LM se puede interpretar como la altura a la cual son comparables losefectos mecanicos (el esfuerzo debido a la frontera que genera el perfil logarıtmico) y termo-dinamicos (la estratificacion). Por lo tanto, se puede inferir cual de estos dos mecanismoses mas relevante a la altura z (Figura 4.3):

z >> |LM | =⇒ |Rf | >> 1. Significa que son alturas en las que los efectos de estra-tificacion son mas importantes que la produccion por corte. Si el medio es estable(z >> LM ) entonces la estratificacion suprime la generacion de turbulencia. Cuandoel medio es inestable (z >> −LM ) entonces hay una fuerte generacion de turbulenciay un intenso flujo de calor hacia arriba en forma de plumas de conveccion. Se tratade una zona de conveccion libre, sin influencia de la frontera.

z << |LM | =⇒ |Rf | << 1. Estas son alturas mas cercanas a la frontera. Los efectosde estratificacion son debiles en un medio estable o inestable, y la turbulencia segenera por efectos mecanicos debidos al perfil logarıtmico del flujo. Es una zona deconveccion forzada.

z ∼ |LM | =⇒ |Rf | ∼ 1. Esta es la altura de transicion entre las dos zonas descritasarriba: la produccion de turbulencia por corte y por flotacion son comparables. Pero enel medio estable ambos mecanismos se anulan: lo que produce el esfuerzo mecanicolo destruye la estabilidad de la estratificacion y se esperarıa ver poca turbulencia.En el medio inestable ambos mecanismos contribuyen en forma similar a generarturbulencia.

47

4.4 Escala de Monin-Obukhov Turbulencia en flujos estratificados

Figura 4.3: Turbulencia con estratificacion estable (panel superior) e inestable (panelinferior) en presencia de una frontera de acuerdo a la escala de Monin-Obukhov LM .

48

Capıtulo 5

Difusion turbulenta

Una de las aplicaciones fundamentales de la turbulencia es la dispersion y difusion decualquier material inmerso en un flujo turbulento. En la decada de los 1920s hubo diversosintentos sistematicos de entender los fenomenos dispersivos y difusivos. Los mas relevantes sebasaron en los metodos estadısticos Lagrangianos que se presentan en este capıtulo. Se tratade las teorıas formuladas por Taylor (1922) y Richardson (1926). Vamos a examinar en formabreve ambas teorıas. Las derivaciones completas y varios otros detalles se discuten en losApuntes sobre dispersion Lagrangiana (Zavala Sanson, 2019). Algunas ideas de Richardsonadelantaron el concepto de la cascada directa de energıa que serıa formulado formalmentehasta 15 anos despues por Kolmogorov.

5.1. Ecuacion de adveccion-difusion

La cantidad clave para describir fenomenos de dispersion es la difusividad. Supongamosque la funcion escalar C(x, t) es la concentracion de una sustancia con unidades de masapor unidad de volumen. La difusividad es la propiedad que indica la rapidez con la quela sustancia se dispersa en el espacio, es decir, la que determina la evolucion de C(x, t).En el contexto Euleriano la concentracion obedece las leyes de Fick de las que se deriva laecuacion de adveccion-difusion:

∂C

∂t+ u · ∇C = Kν∇2C, (5.1)

donde u es la velocidad del fluido dispersor y Kν es la difusividad con unidades de distanciaal cuadrado sobre tiempo [Kν ] = L2/T . La estructura de la ecuacion es la misma que la deNavier-Stokes, pero no se debe olvidar que ahora se trata de una ecuacion escalar y que ladifusividad juega el papel de la viscosidad (que mide la difusion de momento).

La difusividad de una sustancia es producida por el movimiento aleatorio de las molecu-las del fluido dispersor. La aplicacion de la ecuacion de adveccion-difusion es valida bajo lahipotesis de la separacion de escalas, la cual supone que hay una clara diferencia entre lasescalas del movimiento molecular y la de cualquier otra escala, aun la mas pequena, del me-dio que dispersa a la sustancia. Esta suposicion permite la formulacion de las leyes de Fick,que en esencia indican que la difusion opera de regiones de mayor a menor concentracion(Zavala Sanson, 2019, Cap. 3).

49

5.2 Teorıa Lagrangiana de Taylor Difusion turbulenta

Difusion turbulenta

La difusividad de una sustancia puede ser turbulenta (al igual que la viscosidad, comoya se vio en capıtulos anteriores). En el caso turbulento la difusion es un proceso mecanicorealizado por los movimientos azarosos del fluido. La analogıa permite aplicar la descompo-sicion de Reynolds C = 〈C〉+C ′ y u = Ui + ui, donde las fluctuaciones nuevamente tienenmedia cero C ′ = u′ = 0. La ecuacion (5.1) es:

∂ 〈C〉∂t

+ Ui∂ 〈C〉∂xi

=∂

∂xi

(Kν

∂ 〈C〉∂xi

−⟨uiC

′⟩) . (5.2)

El promedio del producto de fluctuaciones 〈uiC ′〉 que proviene de los terminos advectivos es,en general, diferente de cero. Por supuesto, este termino es una nueva variable desconocida,analoga a los esfuerzos de Reynolds.

Para cerrar la ecuacion es conveniente hacer las siguientes dos suposiciones

Kν∂ 〈C〉∂xi

<<⟨uiC

′⟩ , ⟨uiC

′⟩ = −K∂ 〈C〉∂xi

, (5.3)

donde K es un coeficiente de difusion turbulenta. La primera expresion indica que los efectosde difusion molecular son despreciables en comparacion con los asociados con la turbulencia.Esta hipotesis es muy razonable en problemas de fluidos geofısicos. La segunda suposiciones una parametrizacion del termino turbulento en terminos de la primera ley de Fick, esdecir, que el flujo de masa es proporcional al gradiente de la concentracion media.

Considerando K constante y regresando a la notacion vectorial, vemos que la concen-tracion media cumple con la ecuacion de adveccion-difusion:

∂ 〈C〉∂t

+ U · ∇ 〈C〉 = K∇2 〈C〉 . (5.4)

Esta ecuacion de transporte se utiliza con mucha frecuencia en la solucion numerica deproblemas oceanograficos y atmosfericos.

5.2. Teorıa Lagrangiana de Taylor

Las teorıas Lagrangianas de difusion turbulenta establecen la forma de la difusividaden mediante estadısticas del comportamiento de un numero grande de partıculas advec-tadas por el fluido. Lo importante es que la difusividad se obtiene como funcion de lascaracterısticas estadısticas de la turbulencia.

Sea u(t) una componente de la velocidad de una partıcula inmersa en un fluido tur-bulento. Por lo tanto, toma diferentes valores, positivos o negativos a cada instante. Elpromedio sobre diferentes partıculas o “realizaciones” es cero 〈u〉 = 0, el cual tambien sepuede interpretar como un promedio temporal bajo la hipotesis ergodica. Sin embargo, lavarianza

⟨u2⟩

no es cero. La teorıa de Taylor tiene dos componentes esenciales. Primerosupone que la turbulencia es homogenea, de forma que la varianza de la velocidad de lapartıcula

⟨u2⟩

es constante. Esta es la “firma” del campo turbulento dispersor.

50

Difusion turbulenta 5.2 Teorıa Lagrangiana de Taylor

Figura 5.1: Izquierda: Funcion de autocorrelacion (5.5) para retrasos positivos y ne-gativos. Derecha: Escala integral basada en la funcion de autocorrelacion.

La segunda componente es la funcion de autocorrelacion de la velocidad

R(τ) =〈u(t)u(t+ τ)〉

〈u2〉, (5.5)

donde τ es un tiempo arbitrario de retraso lag. Esta operacion no es mas que la multiplica-cion de la serie de tiempo por sı misma, pero recorrida un tiempo τ . Tiene dos propiedadesbasicas:

R(0) = 1, lımτ→±∞

R(τ) = 0. (5.6)

La primera propiedad indica que para retrasos cortos τ ∼ 0 la autocorrelacion es R ∼ 1,lo que significa que la velocidad de la partıcula es muy similar a su valor inicial. En estesentido se dice que R es una medida de la “memoria” que la partıcula tiene sobre suvelocidad original. La segunda propiedad indica que para retrasos largos (de cualquier signo)los productos de la velocidad u(t)u(t + τ) son cantidades positivas y negativas (debido ala sinuosidad de la turbulencia), y por lo tanto su promedio tiende a cero. Es decir, lapartıcula ha olvidado por completo su velocidad. La Figura 5.1a muestra la forma tıpica dela autocorrelacion.

Formula de Taylor

La teorıa de Taylor considera la posicion de la partıcula, x(t) =∫u(t)dt, para calcular

la difusividad definida como

K =1

2

d

dt

⟨x2⟩, (5.7)

donde la varianza de las posiciones⟨x2⟩

es la dispersion, la cual mide la separacion cuadrati-ca media de un conjunto grande de partıculas con respecto a su posicion inicial (si todascomienzan en el mismo lugar, se tiene la dispersion desde una fuente puntual). La desvia-

cion estandar⟨x2⟩1/2

indica la separacion promedio del punto inicial. La formula para la

51

5.2 Teorıa Lagrangiana de Taylor Difusion turbulenta

Figura 5.2: Fuente puntual de humo advectado en la direccion horizontal por un flujoconstante de izquierda a derecha. La dispersion de Taylor se aplica en la direccionradial del chorro (ver texto). Tomado de Richardson (1921).

difusividad esta basada en la autocorrelacion:

K(t) =⟨u2⟩ ∫ t

0R(τ)dτ. (5.8)

Los detalles de la derivacion se pueden consultar en (Zavala Sanson, 2019, Cap. 4).

Lımites asintoticos y la escala integral de tiempo

Un resultado mas informativo son los lımites para tiempos cortos y largos:

K(t) =⟨u2⟩t t→ 0 (5.9)

K =⟨u2⟩TL t→∞ (5.10)

Para tiempos muy cortos se tiene el regimen de dispersion balıstico, en el que la difusividadcrece linealmente con el tiempo (la dispersion

⟨x2⟩

crece como t2 y la desviacion estandares lineal). Para tiempos largos aparece la escala integral de tiempo

TL =

∫ ∞0

R(τ)dτ, (5.11)

en donde la integral converge porque R tiende a cero conforme el tiempo transcurre, esdecir, la velocidad de la partıcula se decorrelaciona. (Figura 5.1b). Este segundo regimen esequivalente al de la caminata aleatoria, en el que la difusividad es constante, la dispersioncrece linealmente en el tiempo y la desviacion estandar como t1/2.

52

Difusion turbulenta 5.3 Teorıa Lagrangiana de Richardson

Taylor considero que los resultados de la teorıa tenıan comprobacion empırica a partirde algunos experimentos cualitatitvos de Richardson (1921). El experimento consistıa enfotografıas de larga exposicion de una fuente de humo que es advectada en forma horizon-tal por un flujo constante (Figura 5.2). La forma del chorro indica el valor de la desviacionestandar de las partıculas en la direccion radial (direccion vertical en la figura). A distanciascortas de la fuente, el chorro es de forma conica, lo que indica que la desviacion estandares proporcional al tiempo, como en el regimen balıstico. A distancias mayores, que significaa tiempos mas largos, el chorro es un paraboloide, por lo que la desviacion estandar esproporcional a la raız del tiempo, como en el regimen de caminata aleatoria. Esta “compro-bacion” experimental fue muy ingeniosa (tıpico de los trabajos de Richardson) pero a la vezbastante cruda o cualitativa. Sin embargo, al paso de los anos los regımenes de dispersionque predice la teorıa han sido demostrados fehacientemente.

Lo relevante de la teorıa de Taylor para la discusion posterior es la definicion de R(τ) yel significado de la escala de tiempo TL. Si vemos la definicion (5.11) vemos que TL indica eltiempo durante el cual la velocidad de la partıcula aun esta correlacionada consigo misma; esdecir, su movimiento aun esta influenciado por la velocidad original. Dado que es razonablesuponer que la correlacion persiste cuando la partıcula se encuentra en un remolino o eddy,entonces TL es una escala de tiempo asociada con las estructuras turbulentas. Para tiemposmayores la partıcula abandona dicha estructura, la correlacion tiende a cero y la partıculaha olvidado por completo su velocidad inicial.

Escala de longitud Lagrangiana

Recordemos que Taylor derivo los resultados anteriores en 1922. En 1935 Taylor propusouna nueva teorıa estadıstica (que se vera con detalle en el Capıtulo 6) en la que retomo losresultados Lagrangianos para subrayar que la forma de caracterizar a la turbulencia es porsus propiedades estadısticas. En efecto, de la teorıa Lagrangiana se desprende en formatrivial la definicion de la escala integral de longitud:

l1 =⟨u2⟩1/2

TL =⟨u2⟩1/2 ∫ ∞

0R(τ)dτ. (5.12)

Esta escala representa una medida de la distancia en la cual la partıcula recuerda su velo-cidad original, y por lo tanto se puede interpretar como la escala de los eddies turbulentosasociados con la dispersion. Taylor (1935a) insistio en que el papel de esta longitud essimilar al de la longitud de mezcla de Prandtl, pero que en el fondo eran cosas muy dife-rentes, porque l1 solo depende de la turbulencia y no tiene nada que ver con los procesosmoleculares de mezcla.

5.3. Teorıa Lagrangiana de Richardson

Poco tiempo despues de la publicacion de la teorıa de Taylor, Richardson propuso unaforma alternativa y mas ilustrativa de calcular la difusividad turbulenta. El punto de partidafue que la difusividad medida o estimada en diferentes sistemas fısicos aumenta conforme lasestructuras turbulentas aumentan de tamano. En efecto, los valores de difusividad conocidosen ese tiempo podıan variar desde 0.2 cm2/s en tubos capilares hasta 1011 cm2/s en flujos

53

5.3 Teorıa Lagrangiana de Richardson Difusion turbulenta

atmosfericos de gran escala. Richardson senalo que la teorıa de Taylor no era capaz deexplicar este fenomeno y procedio a formular su propia teorıa estadıstica.

El metodo Lagrangiano de Richardson se basa en la estadıstica de pares de partıculas,en lugar de partıculas individuales como hizo Taylor. En efecto, en lugar de utilizar laposicion x(t) de las partıculas respecto a su posicion original lo que habıa que considerarera la separacion r(t) entre dos partıculas conforme se dispersan. La suposicion de fondoes que los remolinos turbulentos que apartan a las partıculas una de otra son aquellos detamano r. En ese sentido es una teorıa “local” de la turbulencia: si se conoce la estadısticade las separaciones de un conjunto de partıculas, entonces se conoce la estructura de laturbulencia.

La teorıa se basa en la distribucion de separaciones a cada tiempo, q(r, t) (que Richardsonllamo distance-neighbour graph), la cual juega el papel equivalente al de una funcion dedensidad de probabilidad que cambia en el tiempo. Las estadısticas de los pares son losmomentos definidos por las integrales 〈rn〉 =

∫rnqdr. La estadıstica principal es el segundo

momento n = 2, que corresponde a la separacion cuadratica media o dispersion relativa⟨r2⟩, en contraparte con la dispersion absoluta de Taylor

⟨x2⟩. En general, ambas cantidades

miden cosas muy diferentes: la dispersion relativa mide la evolucion de una nube de partıulas(es decir, la separacion entre las partıculas que la conforman), mientras que la dispersionabsoluta mide la separacion de las partıculas de dicha nube respecto a la posicion de la quefueron liberadas.

Para obtener q, Richardson dedujo una ecuacion de evolucion de tipo difusivo:

∂q

∂t=

∂

∂r

[Y (r)

∂q

∂r

], (5.13)

en donde la funcion Y (r) es la difusividad relativa

Y =1

2

d

dt

⟨r2⟩. (5.14)

Lo importante es que dicha difusividad depende de la escala de separacion r. Con base enmuy diversas observaciones de difusividad a diferentes escalas, aunado a mucha intuicionfısica, Richardson dedujo que la forma de Y es

Y (r) ≈ 0.4r4/3. (5.15)

Esta es la llamada ley de los 4/3. El resultado es fundamental, porque refleja el aumento dela capacidad dispersiva de la turbulencia conforme la escala de separaciones aumenta. O,en forma inversa, si se mide la dispersion relativa se conoce la estructura de la turbulencia.La teorıa de Richardson influyo en esa direccion las teorıas posteriores de Kolmogorov yObukhov en los 1940s, como veremos en el siguiente capıtulo.

54

Capıtulo 6

Turbulencia isotropica

En este Capıtulo se discute la llamada turbulencia isotropica desarrollada en la segundamitad de los 1930s, sobre todo por G. I. Taylor. La presentacion se concentra en las he-rramientas experimentales que permitieron la formulacion de la teorıa y los intentos paraponerla a prueba, mas que en los detalles analıticos.

6.1. Mediciones Eulerianas

Las teorıas Lagrangianas de Taylor (1922) y Richardson (1926) tuvieron una aceptacionmarginal durante el resto de la decada, ya que en ese entonces la mayorıa de las investigacio-nes estaban centradas en analizar la turbulencia en terminos de los esfuerzos de Reynolds ysus parametrizaciones. Pero, ademas, habıa al menos dos razones practicas que inhibieron eldesarrollo de teorıas estadısticas: (a) el hecho de que las matematicas probabilıisticas se en-contraban aun en desarrollo, y (b) la falta de datos experimentales precisos. Esta situacioncomenzo a cambiar en la decada de los 1930s ante los avances de la maquinaria matematicade variables aleatorias, pero sobre todo de las nuevas herramientas experimentales paramedir fluctuaciones turbulentas en puntos fijos del espacio. Al generar mediciones precisasfue posible formular teorıas susceptibles de ser sometidas a prueba.

Tuneles de viento

Desde principios del siglo XX los laboratorios dedicados al estudio de la dinamica defluidos comenzaron a utilizar tuneles de viento. El principio basico consiste en hacer circularaire en forma controlada a traves de un conducto. Las dimensiones y los disenos de los tunelesvarıan desde algunas decenas de centımetros hasta decenas de metros. Un recuento de losprimeros aparatos de este tipo se describe en Prandtl & Tietjens (1934) (pp. 252-261).

Los primeros tuneles de viento utilizados para investigar formalmente la turbulenciafueron construidos en el National Physics Laboratory de Londres en 1903, con diametro de0.6 m y flujo de unos 10 m/s, y en Moscu, con 1.2 m de diametro, flujo variable entre 1-6 m/sy 15 m de largo. En 1909 se construyeron versiones mejoradas en Gottingen (Prandtl) y enParis (Eiffel). Al poco tiempo el uso de tuneles de viento se generalizo en otros laboratoriosde Europa (Viena, Delft) utilizando dimensiones y flujos cada vez mayores (mas de 2 m

55

6.1 Mediciones Eulerianas Turbulencia isotropica

de diametro y flujos del orden de 50 m/s). Los primeros tuneles relevantes en EstadosUnidos se instalaron hasta fines de los 20s y principios de los 30s en el Langley Field, elprimer laboratorio de investigaciones aeronauticas, con dimensiones de 5 y hasta 12 m dediametro. Hacia 1928 von Karman dirigio el diseno del primer tunel de viento de Caltechen Pasadena, California, a donde emigrarıa en 1930. Hoy en dıa es comun la construccionde tuneles de viento en donde se experimenta con automoviles en escala real o aeronavesa escala aproximada. Evidentemente, el aumento de la seccion transversal de los tuneles,su longitud y el flujo inyectado permiten incrementar el numero de Reynolds, pre-requisitopara estudiar la turbulencia.

“Grid turbulence”

La generacion de turbulencia en los tuneles de viento consiste en un procedimientocasi trivial: colocar una rejilla frente a un ventilador que genera el flujo (grid turbulence).El problema es, por supuesto, caracterizar las propiedades turbulentas a cierta distanciamas alla de la rejilla. La Figura 6.1 muestra un esquema simplificado en el que el airefluye de izquierda a derecha, pasa por una rejilla cuadrada y se genera turbulencia. Losejes Cartesianos que tradicionalmente se usan son la direccion x a lo largo del tunel y ladireccion y transversal al flujo. Cerca de la rejilla hay una zona de transicion en la que sepuede establecer un flujo medio variable asociado con el tamano y la forma de la rejilla. Elcorte del flujo medio en esta region puede generar esfuerzos de Reynolds y, por lo tanto,produccion de turbulencia por corte. A cierta distancia mas alla de la rejilla el flujo mediopierde su variabilidad y lo que queda es un flujo turbulento cuya caracterıstica principal esla isotropıa. A distancias aun mayores, la turbulencia decae. La turbulencia isotropica y sudecaimiento son temas que dieron lugar a nuevas teorıas estadısticas, como se vera en lasiguiente seccion.

La turbulencia generada tiene relacion con las caracterısticas de la rejilla. Por esta razon,numerosas investigaciones se han dedicado a estudiar el tamano y la geometrıa del obstaculoque encuentra el flujo. En la epoca que nos ocupa fue comun utilizar rejillas cuadradas, o bienen forma hexagonal (honeycomb). En tiempos mas recientes se utilizan rejillas “fractales”,tanto para experimentos de laboratorio como para simulaciones numericas DNS . La Figura6.2 muestra algunos ejemplos de rejillas cuadradas y fractales. Notese que ademas del areapor la que pasa el fluido, otra variante a considerar es la fraccion de area bloqueada porla rejilla. Tambien se suelen usar rejillas activas, las cuales tienen la capacidad de abrirseo cerrarse en funcion del tiempo. Otra variante puede ser la de colocar dos o mas rejillas adiferentes distancias.

Anemometrıa de hilo caliente

Una de las principales innovaciones experimentales a finales de la decada de los 1920sfue la anemometrıa de alambre o hilo caliente (hot-wire), la cual permitio medir con ineditaprecision las fluctuaciones de velocidad en los tuneles de viento. El metodo consiste encolocar en el fluido un alambre muy delgado (con diametro de algunos µm y longituddel orden de 1 mm) que es calentado al hacer pasar una corriente electrica. El sistemaesta en equilibrio cuando el calor generado es igual al advectado por el fluido. Cuando la

56

Turbulencia isotropica 6.1 Mediciones Eulerianas

Figura 6.1: Esquema de la turbulencia generada con una rejilla (grid turbulence).El flujo de aire se inyecta desde la parte izquierda y se hace pasar por una rejilla.A cierta distancia la turbulencia es uniforme en la direccion transversal y al flujo(igualmente en z) y decae en la direccion longitudinal x. Los puntos A1, A2, B1 y B2

simbolizan ubicaciones arbitrarias de sondas de hilo caliente para medir fluctuacionesde velocidad (ver texto).

Figura 6.2: Ejemplo de rejillas cuadradas (hilera superior) y fractales (hilera inferior).Imagen modificada de Laizet & Vassilicos (2014).

57

6.2 Teorıa de Taylor Turbulencia isotropica

velocidad del flujo cambia, tambien se altera el calor que genera el alambre (proporcionala la resistencia) y se establece rapidamente un nuevo equilibrio. Ası, las fluctuaciones de lavelocidad del fluido se traducen en la senal electrica que se obtiene al cambiar la resistenciadel alambre. Algunos de los materiales que se utilizan para construir los alambres son eltungsteno y el platino, los cuales son conductores lo suficientemente sensibles para registrarcambios de temperatura (y por lo tanto de velocidad del flujo) a muy altas frecuencias, delorden de cientos o miles de Hz.

La tecnica fue desarrollada desde la decada de los 1910s, pero comenzo a ser aplicadaen flujos turbulentos hasta la los 20s por J. M. Burgers en su laboratorio en Delft. Taylorestaba al tanto de estos progresos desde 1924 por su correspondencia con Burgers (Sree-nivasan, 2011, pp 155-156). Para 1929, H. Dryden y su equipo lograron avances tecnicosimportantes en el tunel de viento del National Bureau of Standards estadounidense, aunqueaun se encontraban muy lejos de proponer avances teoricos. En forma paralela los labora-torios de Prandtl en Gottingen y el National Physical Laboratory britanico ya realizabanexperimentos con hot-wires en sus tuneles de viento.

Los experimentos para medir turbulencia se suelen disenar con una o mas sondas, yasea en la direccion del flujo o en cualquiera de las direcciones transversales. Por ejemplo, elesquema de la Figura 6.1 muestra la posicion de cuatro hipoteticas sondas de hilo caliente,dos de ellas colocadas en los puntos A1, A2 en un plano perpendicular a la direccion x a ciertadistancia de la rejilla, y otras dos en B1, B2 a una distancia mayor. Las lneas verticalesmagenta sirven para simbolizar el soporte de cada transductor, el cual toma medicionespuntuales en el fluido. La disposicion de las sondas permite medir las velocidades y suscorrelaciones con las cuales se puede caracterizar la turbulencia en los planos indicados.Dichas correlaciones son tema fundamental de las teorıas estadısticas que se describen acontinuacion.

6.2. Teorıa de Taylor

En la decada de los 1930s Taylor propuso una nueva teorıa estadıstica de la turbulencia,pero ahora desde el punto de vista Euleriano. Su trabajo se dividio en cinco artıculospublicados en 1935 y otros tres en el periodo de 1937-38, todos apoyados en las tecnicasexperimentales descritas y en otros avances en la maquinaria matematica de funcionesaleatorias. En esta seccion y las dos siguientes se hace un recuento de las ideas principalesde la teorıa original de la turbulencia isotropica. Se le dara preferencia al contenido y laforma en que dichas ideas se fueron presentando, dejando en segundo plano el desarrollomatematico.

Micro-turbulencia e isotropıa

El paso conceptual importante en la teorıa estadıstica Euleriana fue el de considerar laturbulencia isotropica, es decir, que las estadısticas del flujo son invariantes ante rotacionesde los ejes coordenados. En un sistema Cartesiano se tiene el campo de velocidad u(x, t) = uicon i = 1, 2, 3 de un flujo turbulento isotropico. Por isotropıa se tiene que las componentestienen promedio nulo y el promedio del cuadrado de cada componente es el mismo (por

58

Turbulencia isotropica 6.2 Teorıa de Taylor

ejemplo, u2)〈ui〉 = 0,

⟨u2i⟩

= u2(t), (6.1)

donde los brackets indican nuevamente el promedio de un ensamble de experimentos. Porhomogeneidad esto se cumple para las componentes de velocidad en cualquier punto del

espacio x′, en donde nuevamente se tiene 〈u′i〉 = 0 y⟨u′2i

⟩= u2.

El razonamiento de Taylor fue que los flujos turbulentos pueden estar en un estado demicro-turbulencia, que consiste en la existencia de pequenos eddies cuyo tamano e intensidadpueden ser marginales pero que juegan un papel relevante en la disipacion de energıa enel flujo. La definicion es bastante ambigua pero le permitio abordar el problema desde elpunto de vista energetico. Recordemos que la ecuacion de energıa de las fluctuaciones (2.21)es

D

Dt

(1

2

⟨u2i⟩)

+∂φj∂xj

= −ε+ P, (6.2)

donde se ha reescrito en el lado derecho la divergencia del vector de flujo de energıa φj . Enel lado izquierdo se tiene la razon de disipacion de energıa y la produccion por corte, ambosdefinidos en el Capıtulo 2:

ε = 2ν 〈sijsij〉 , P = −〈uiuj〉∂Ui∂xj

. (6.3)

La isotropıa implica la ausencia de produccion por corte, P = 0, debido a que lasfluctuaciones de velocidad no estan correlacionadas, 〈uiuj〉 = 0; ademas, la variabilidad delflujo medio es nula y, por ende, sin gradientes. Por lo tanto, el unico termino que generacambios netos en la energıa es la razon de disipacion ε. El objetivo de Taylor era encontrarpor medios estadısticos la forma de ε y derivar condiciones adicionales que se pudieranverificar experimentalmente. El sistema optimo para estudiar este fenomeno disipativo esla turbulencia isotropica generada en los tuneles de viento a cierta distancia de la rejilla(recordar de nuevo el esquema de la Figura 6.1).

La turbulencia isotropica estudia el flujo turbulento per se y libre de influencias externas,ya que se tiene la ausencia de esfuerzos de Reynolds. En buena medida se trata de un estadoatıpico y poco frecuente en la naturaleza, pero que dio pie al desarrollo de una teorıa quecontribuyo a mejorar el entendimiento de la turbulencia.

Escala integral Euleriana

Dado que la nueva teorıa estadıstica trata la turbulencia en forma Euleriana, continuoel razonamiento de Taylor, es posible definir una escala de longitud en terminos Eulerianos,analoga a la escala Lagrangiana l1 (5.12). Teniendo en cuenta que en 1935 ya era posiblemedir las fluctuaciones de velocidad en un punto fijo del espacio en los tuneles de viento,propuso la correlacion espacial de la velocidad entre dos puntos separados una distancia Y

Ry =〈u(y)u(y + Y )〉

〈u2〉, (6.4)

donde ahora Y representa un “retraso espacial”, equivalente al de la definicion (5.5). Deesta forma se puede definir una escala integral de correlacion Euleriana

l2 =

∫ ∞0

Rydy, (6.5)

59

6.3 Razon de disipacion de energıa Turbulencia isotropica

que se interpreta como una medida del tamano promedio de los eddies turbulentos. Tayloradopto la variable y basado en el experimento de la Figura 5.2, en la que dicha direccion estransversal al flujo. Las nuevas mediciones en los tuneles de viento tuvieron a grosso modouna configuracion similar.

6.3. Razon de disipacion de energıa

El siguiente procedimiento muestra la forma de escribir la razon de disipacion ε en formasimplificada utilizando la isotropıa del flujo. El objetivo ultimo de Taylor (1935a) fue el deproponer relaciones analıticas que pudieran ser medidas en experimentos de laboratorio.El razonamiento es bastante largo e innecesario de reproducir completo porque se puedeobtener en forma mas directa con la notacion tensorial. Sin embargo, es util seguir parte desu metodo porque ayuda a entender las simplificaciones que se derivan de la isotropıa.

Relaciones de isotropıa

Sea el vector de velocidad ui = (u, v, w) y de posicion xi = (x, y, z). Al desarrollar eltensor de deformacion sij (2.22), la razon de disipacion para un fluido tridimensional enforma explıcita es:

ε = 2ν

⟨1

4

(∂ui∂xj

+∂uj∂xi

)2⟩

= ν

⟨2

(∂u

∂x

)2

+ 2

(∂v

∂y

)2

+ 2

(∂w

∂z

)2

+

(∂v

∂x+∂u

∂y

)2

+

(∂w

∂y+∂v

∂z

)2

+

(∂u

∂z+∂w

∂x

)2⟩. (6.6)

La isotropıa implica relaciones entre los promedios del producto de derivadas de las compo-nentes de velocidad. Consideremos que hay derivadas asociadas con la rapidez de deforma-cion lineal, como ∂u/∂x, y otras derivadas que se relacionan con la rapidez de deformacionde corte, como ∂u/∂y. Por lo tanto, hay cuatro tipos de productos de derivadas cuyo valorpromedio es el mismo en condiciones de isotropıa y que se definen como cuatro constantesa1, a3, a6, a8:

a1 =

⟨(∂u

∂x

)2⟩

=

⟨(∂v

∂y

)2⟩

=

⟨(∂w

∂z

)2⟩, (6.7)

a3 =

⟨(∂u

∂y

)2⟩

=

⟨(∂u

∂z

)2⟩

=

⟨(∂v

∂x

)2⟩

=

⟨(∂v

∂z

)2⟩

=

⟨(∂w

∂x

)2⟩

=

⟨(∂w

∂y

)2⟩,

(6.8)

a6 =

⟨∂u

∂x

∂v

∂y

⟩=

⟨∂v

∂y

∂w

∂z

⟩=

⟨∂w

∂z

∂u

∂x

⟩. (6.9)

60

Turbulencia isotropica 6.3 Razon de disipacion de energıa

a8 =

⟨∂v

∂x

∂u

∂y

⟩=

⟨∂w

∂y

∂v

∂z

⟩=

⟨∂u

∂z

∂w

∂x

⟩. (6.10)

El subındice es un numero arbitrario de acuerdo a la nomenclatura usada por Taylor. Larazon de disipacion (6.6) solamente contiene terminos de las relaciones de isotropıa (6.7),(6.8) y (6.10). Una de las formas de reescribir dicha ecuacion es:

ε = 6ν

⟨(∂u

∂x

)2

+

(∂u

∂y

)2

+∂v

∂x

∂u

∂y

⟩= 6ν(a1 + a3 + a8). (6.11)

Por supuesto, puede haber otros productos de derivadas escogiendo otros terminos de lasrelaciones de isotropıa, pero esta fue la forma escogida por Taylor teniendo en mente suutilizacion posterior en mediciones experimentales.

Lo importante del argumento es que las constantes a1, a3, a8 (y tambien a6) no sonindependientes, por lo que ε se puede escribir en funcion de una sola de ellas. La relacionentre las constantes se puede derivar mediante operaciones con tensores isotropicos y conauxilio de la ecuacion de continuidad [ver la ultima seccion de este capıtulo o consultarPope (2001), ejercicio 5.28]. Por ejemplo, dada la constante a1 se tiene que

a3 = 2a1 y a6 = a8 = −1

2a1. (6.12)

Con estas expresiones aplicadas en (6.11) la razon de disipacion se puede escribir de variasformas diferentes escogiendo los valores de a1, a3, a8 de las relaciones de isotropıa (6.7)-(6.10). Por ejemplo:

ε = 15νa1 = 15ν

⟨(∂v

∂y

)2⟩, (6.13)

=15

2νa3 =

15

2ν

⟨(∂u

∂y

)2⟩, (6.14)

= −30νa8 = −30ν

⟨∂v

∂x

∂u

∂y

⟩. (6.15)

De esta forma se ha logrado simplificar a un solo termino la elaborada expresion (6.6).

Microescalas de Taylor

Las derivadas de las fluctuaciones de velocidad son difıciles de medir. Por lo tanto, esconveniente buscar una forma alternativa de calcular los terminos cuadraticos en (6.13)-(6.15). Para ello vamos a considerar mediciones puntuales de las componentes de velocidadu y v en dos puntos separados una distancia r a lo largo de la direccion y. Dada la isotropıase puede escoger cualquier par de componentes y cualquier direccion; lo importante es queuna componente sea en la direccion escogida y la otra componente sea perpendicular. Conlos valores obtenidos se definen las correlaciones espaciales

f(r) =〈v(y)v(y + r)〉

〈u2〉, g(r) =

〈u(y)u(y + r)〉〈u2〉

. (6.16)

61

6.3 Razon de disipacion de energıa Turbulencia isotropica

Notese que g(r) = Ry fue definida en (6.4). La funcion f(r) se conoce como la correlacionlongitudinal y g(r) como la correlacion transversal o lateral (Batchelor, 1953). Ambas sonfunciones par normalizadas con

⟨u2⟩

=⟨v2⟩

y cumplen f(0) = g(0) = 1, que es su valormaximo en r = 0 (cuando los dos puntos de medicion coinciden).

De la definicion de la correlacion transversal podemos expandir u(y+r) para r pequena:

g(r) =1

〈u2〉

⟨u(y)

[u(y) + r

∂u(y)

∂y+r2

2!

∂2u(y)

∂y2+ . . .

]⟩. (6.17)

El promedio del segundo y tercer termino contiene los siguientes productos:⟨u∂u

∂y

⟩=

1

2

∂⟨u2⟩

∂y= 0 (6.18)

⟨u∂2u

∂y2

⟩=

⟨∂

∂y

(u∂u

∂y

)−(∂u

∂y

)2⟩

= −

⟨(∂u

∂y

)2⟩. (6.19)

Por lo tanto

g(r) = 1− r2

2 〈u2〉

⟨(∂u

∂y

)2⟩

+ . . . (6.20)

Notemos que el ultimo factor del segundo termino es la constante a3 de la segunda relacionde isotropıa (6.8). En el lımite para r pequena quedan solo los dos primeros terminos. Aldespejar el promedio cuadratico se obtiene⟨(

∂u

∂y

)2⟩

= 2⟨u2⟩

lımr→0

1− g(r)

r2≡ 2

⟨u2⟩

λ2g, (6.21)

donde se ha definido la microescala transversal de Taylor λg:

1

λ2g= lım

r→0

1− g(r)

r2=⇒ λg =

[lımr→0

1− g(r)

r2

]−1/2. (6.22)

Los calculos anteriores son identicos si se expande v(y + r) en la definicion de la corre-lacion longitudinal f(r) en (6.16), de donde resulta⟨(

∂v

∂y

)2⟩

= 2⟨u2⟩

lımr→0

1− f(r)

r2≡ 2

⟨u2⟩

λ2f, (6.23)

donde la microescala longitudinal es

1

λ2f= lım

r→0

1− f(r)

r2=⇒ λf =

[lımr→0

1− f(r)

r2

]−1/2. (6.24)

Las microescalas de Taylor se pueden interpretar por medio de las parabolas invertidas,

1− r2

λ2fy 1− r2

λ2g, (6.25)

62

Turbulencia isotropica 6.3 Razon de disipacion de energıa

Figura 6.3: Microescalas de Taylor. (a) Correlacion longitudinal f(r). (b) Correlaciontransversal g(r). Las lıneas discontinuas indican la parabola invertida 1 − r2/λ2f y1− r2/λ2g, respectivamente.

graficadas con las respectivas funciones de correlacion (Figura 6.3) Es evidente que λfy λg son la distancia al origen de la interseccion de las parabolas con el eje r. Taylorsolamente derivo la microescala transversal λg y la interpreto como la estructura turbulentamas pequena posible. Sin embargo, a los pocos anos se encontro que este concepto eraerroneo cuando aparecio la teorıa de Kolmogorov. Aun ası la microescala de Taylor se sigueusando en experimentos de laboratorio por estar basada en correlaciones medibles con elhilo caliente.

Medicion experimental de ε

La razon de disipacion se puede escribir en terminos de las microescalas de Taylor. Unaforma es mediante la correlacion longitudinal al sustituir (6.23) en la ecuacion (6.13)

ε = 30ν

⟨u2⟩

λ2f. (6.26)

O bien, mediante la correlacion transversal sustituyendo (6.21) en (6.14):

ε = 15ν

⟨u2⟩

λ2g. (6.27)

Los resultados anteriores permiten calcular la razon de disipacion en forma experimental.Para facilitar la explicacion es util considerar el sistema experimental de la Figura 6.1, querepresenta un flujo turbulento generado en un tunel de viento. A cierta distancia de la rejillase tienen mediciones puntuales de las componentes de velocidad u y v en los puntos A1 yA2 separados una distancia r a lo largo de la direccion y, transversal al flujo inyectado. Lascorrelaciones se contruyen tal como indica la expresion (6.16): se toman mediciones de uy v a una distancia fija r y se promedia el resultado. Dichos registros se toman mediante

63

6.4 Decaimiento de la turbulencia Turbulencia isotropica

Figura 6.4: Medicion experimental de la funcion de correlacion transversal (puntossobre la lınea continua) reportada por Taylor (1935b). La lınea discontinua indica laparabola invertida que define la microescala.

la anemometrıa de hilo caliente durante intervalos cortos de tiempo (algunos segundos odecenas de segundos) pero que contienen miles de datos. El procedimiento se repite paradiferentes separaciones hasta obtener las correlaciones f(r) y g(r). Por ultimo, ε se calculacon (6.26) o (6.27).

Este fue el procedimiento propuesto por Taylor (de hecho enlisto algunos otros meto-dos alternativos) y discutido con resultados experimentales en su segundo artıculo de 1935(Taylor, 1935b). La Figura 6.4 muestra uno de los resultados sobre la correlacion transversalg(r) (las separaciones son Y en su notacion). La correlacion es, en efecto, una curva quedecae conforme aumenta Y . La grafica tambien muestra superpuesta la parabola invertidaque determina el valor de la microescala. Es interesante anotar algunos de los valores ex-perimentales. La malla de la rejilla utilizada fue de M = 0.9′′ de lado (∼ 2.3 cm) y el flujoinyectado fue de unos 7.5 m/s. Las separaciones van de 0 a Y = 0.38′′ (∼ 1 cm), lo cualilustra el nivel de precision requerido para identificar la microescala λg ∼ 0.143′′ (∼ 0.36

cm). Tambien se reporta la escala Lagrangiana l2 =∫ 0.5′′

0 g(r)dr = 0.175′′ (∼ 0.44 cm).Podemos notar que λg < l2 < M , dando sustento aparente a la interpretacion de Taylor (enel sentido de que la microescala es la longitud mas pequena posible en el flujo).

6.4. Decaimiento de la turbulencia

Taylor abordo un problema adicional basado en el mismo sistema experimental de laFigura 6.1: el decaimiento de la turbulencia generado por la rejilla en la direccion x. Losargumentos utilizados son bastante sencillos pero algo arbitrarios. Primero, reconocio quela teorıa isotropica no se puede aplicar en la region cercana a la rejilla porque el flujomedio es variable al depender de la forma y tamano del obstaculo; es decir, en dicha zonahay esfuerzos de Reynolds. Segundo, postulo que la turbulencia en la region isotropica se

caracteriza por una escala de longitud l y una escala de velocidad u′ ∼⟨u2⟩1/2

. Entonces

64

Turbulencia isotropica 6.4 Decaimiento de la turbulencia

la razon de disipacion es del orden ε ∼ u′2/(l/u′) = u′3/l, ya que esta cantidad indica laperdida de energıa por unidad de tiempo. Al considerar la formula (6.27) se tiene que

ε ∼ u′3

l∼ 15ν

u′2

λg. (6.28)

La relacion se puede reescribir como

λ2gl2

= Cν

lu′, (6.29)

con C constante. En tercer lugar, Taylor supuso que para la turbulencia generada por unarejilla cuyo tamano de la malla sea M , la escala de longitud debe ser l ≈M . Por lo tanto

λgM

= A( ν

Mu′

)1/2. (6.30)

Lo relevante de esta aproximacion es que la constante A es la misma para cada tipo de rejillaen particular (cuadrada, hexagonal o cualquier otra). En terminos modernos podemos notarque la expresion anterior indica que la razon entre λg y M es proporcional a 1/

√Re con Re

el numero de Reynolds.

La ecuacion de energıa por unidad de volumen es

1

2

d

dt

(⟨u2⟩

+⟨v2⟩ ⟨w2⟩)

= −ε. (6.31)

En la direccion x el flujo medio U es practicamente constante, por lo que la derivadatemporal es aproximadamente −d/dt = Ud/dx. Ademas, dado que el flujo es isotropico⟨u2⟩1/2

=⟨v2⟩1/2

=⟨w2⟩1/2

se tiene que

3

2Ud(u′2)

dx= −ε. (6.32)

Al igualar con (6.28) y sustituir λg de (6.30) se tiene una ecuacion diferencial ordinaria parau′:

−3

2Ud(u′2)

dx= 15ν

u′2

λg=⇒ −2

U

u′2du′

dx=

10

A2M. (6.33)

La solucion es directaU

u′=

5x

A2M+ cte. (6.34)

Se debe subrayar que esta prediccion indica el decaimiento de la turbulencia expresado enu′ ya que la razon U/u′ crece linealmente con x. Taylor afirmo que “ esta expresion debeser aplicable a todos los casos en los que la turbuelncia es de una escala determinada [porla constante M ]”. En Taylor (1935b) se reportan mediciones experimentales en diferentestuneles de viento y con diferentes rejillas en las que la relacion lineal (6.34) se satisfacerazonablemente.

65

6.5 Tensor de correlacion entre dos puntos Turbulencia isotropica

6.5. Tensor de correlacion entre dos puntos

Al poco tiempo de haber aparecido la teorıa de la turbulencia isotropica y las com-probaciones experimentales de Taylor surgio una formulacion alternativa por parte de vonKarman (von Karman, 1937; von Karman & Howarth, 1938). Este pasaje de la historiade las ideas es interesante porque revela una disputa academica entre los dos personajesque, sin embargo, nunca se dejaron de comunicar en buenos terminos. Sin duda Taylor llegoprimero, pero tambien es cierto que la teorıa de von Karman es mas formal y compacta,quiza por la colaboracion del matematico Leslie Howarth.

En esta seccion vamos a considerar la generalizacion de la correlacion Euleriana entrecomponentes de velocidad en un flujo turbulento homogeneo e isotropico.La discusion quesigue se basa en buena medida en el artıculo de Robertson (1940) y los libros de Batchelor(1953) y Pope (2001), seccion 6.5.1.

Tensor Rij

Sean dos puntos cualesquiera en la posicion x y el otro en x′ = x+r, es decir, separadosuna distancia |r| = r. Al igual que en la teorıa de Taylor, el promedio de las componentes develocidad al cuadrado en en x son iguales por isotropıa; ademas, por homogeneidad tambienson iguales a los valores correspondientes en x′:

⟨u21⟩

=⟨u22⟩

=⟨u23⟩

=⟨u′21⟩

=⟨u′22⟩

=⟨u′23⟩≡

⟨u2⟩. (6.35)

La correlacion de las componentes de velocidad medidas simultaneamente entre los dospuntos (two-point, one-time) se define como

Rij(r) = 〈ui(x)uj(x+ r)〉 =⟨uiu′j

⟩, (6.36)

la cual solo depende de r por homogeneidad. La posible dependencia temporal se omite porsimplicidad. En forma matricial con i, j = 1, 2, 3:

Rij =

〈u1u′1〉 〈u1u′2〉 〈u1u′3〉〈u2u′1〉 〈u2u′2〉 〈u2u′3〉〈u3u′1〉 〈u3u′2〉 〈u3u′3〉

. (6.37)

La Figura 6.5 muestra un esquema de dos puntos arbitrarios y las correspondientes compo-nentes de velocidad utilizadas para calcular Rij .

66

Turbulencia isotropica 6.5 Tensor de correlacion entre dos puntos

Figura 6.5: Esquema de las componentes de velocidad en los puntos x y x′ = x + rusados para calcular el tensor de correlacion (6.36).

La correlacion tiene unidades de velocidad al cuadrado y no depende de x por la homo-geneidad de la turbulencia. Cuando r = 0 entonces u′j = uj , lo que implica

Rij(0) = 〈uiuj〉 =⟨u2⟩δij . (6.38)

Por el contrario, Rij tiende a cero cuando la separacion r es muy grande, en cuyo casolas componentes ui y u′j en ambos puntos estan decorrelacionadas. Otra propiedad de laisotropıa es que el tensor de correlacion es simetrico

Rij = Rji. (6.39)

Forma general bajo isotropıa

La definicion de isotropıa implica que existe una forma general del tensor de correlaciontal que sea invariante ante cualquier rotacion de los ejes de referencia, como se explica acontinuacion. Vamos a considerar dos vectores fijos y arbitrarios a = ai y b = bi. Se puededefinir una funcion escalar contrayendo Rij con los vectores ai y bi:

R(r;a, b) = Rijaibj (6.40)

Dado que se trata de un escalar, esta cantidad debe ser invariante ante cualquier rotaciondel tensor Rij (es decir, del vector ri) y los vectores ai, bi. La llamada teorıa de invariantes entres dimensiones (Robertson, 1940) senala que cualquier funcion escalar construida con losvectores ri, ai, bi puede ser expresada con los escalares independientes asociados con dichosvectores. Dichos escalares son siete: las longitudes (al cuadrado) r ·r, a ·a, b ·b, los angulosentre los vectores r · a, r · b, a · b y la orientacion del conjunto r · (a× b) (Lesieur, 2012).Pero los terminos que componen (6.40) solo contienen productos de las componentes de a yb multiplicados por funciones de r, lo cual descarta la dependencia en escalares como a · ay b ·b, ya que estos numeros contienen los productos a21, a

22, a

23, b

21, b

22, b

23 que son inexistentes

en R(r;a, b). Por lo tanto, el escalar tiene que ser de la forma

R(r;a, b) = A(r)(riai)(rjbj) +B(r)(aibi) + C(r)εijkaibjrk, (6.41)

67

6.5 Tensor de correlacion entre dos puntos Turbulencia isotropica

donde hemos escrito r·(a×b) como εijkaibjrk. Las funciones A(r), B(r) y C(r) son funcionespar arbitrarias de (riri)

1/2 = r. La notacion tensorial permite reescribir la funcion escalaren forma trivial como

R(a, b) =[Arirj +Bδij + Cεijkrk

]aibj . (6.42)

Comparando con la expresion original (6.40) el tensor de correlacion es:

Rij = Arirj +Bδij + Cεijkrk. (6.43)

Pero la propiedad de simetrıa (6.39) implica que C = 0 porque el tensor εijk no es simetrico.Por lo tanto el tensor es

Rij = A(r)rirj +B(r)δij = A(r)

r21 r1r2 r1r3r2r1 r22 r2r3r3r1 r3r2 r23

+B(r)

1 0 00 1 00 0 1

. (6.44)

Relacion entre A(r) y B(r)

Ahora bien, la velocidad ui en x cumple la ecuacion de continuidad ∂ui/∂xi = 0. Almultiplicar por u′j , la cual es independiente de xi, y tomar el promedio se obtiene:⟨

u′j∂ui∂xi

⟩=

⟨∂(uiu

′j)

∂xi

⟩= 0 =⇒ ∂Rij

∂xi= 0. (6.45)

Sustituyendo ∂/∂xi → −∂/∂ri (ya que xi = x′i − ri):

∂Rij∂xi

= −∂Rij∂ri

= 0 =⇒ ∂Rij∂ri

= 0. (6.46)

Al sustituir (6.44):

∂Rij∂ri

= A∂(rirj)

∂ri+∂A

∂r

∂r

∂ririrj +

∂B

∂r

∂r

∂riδij = 0. (6.47)

En el primer termino se tiene ri∂rj/∂ri+3rj = 4rj ; en el segundo y tercero se usa ∂r/∂ri =ri/r. Por lo tanto,

∂Rij∂ri

= A(4rj) +∂A

∂r

rirrirj +

∂B

∂r

rirδij

= rj

(4A+ r

∂A

∂r+

1

r

∂B

∂r

)= 0 (6.48)

Dado que esta ecuacion se cumple para todo r entonces

4A+ r∂A

∂r+

1

r

∂B

∂r= 0. (6.49)

Es decir, A y B no son independientes, por lo que solo se requiere especificar una de ellaspara construir Rij .

68

Turbulencia isotropica 6.5 Tensor de correlacion entre dos puntos

Funciones de correlacion longitudinal y transversal

El tensor de correlacion (6.44) es valido en cualquier eje coordenado. Vamos a redefinirlas funciones de correlacion longitudinal y transversal (6.16) que se vieron en la teorıa deTaylor:

f(r) =

⟨upu

′p

⟩〈u2〉

, g(r) =〈unu′n〉〈u2〉

, (6.50)

donde el subındice p indica la componente de velocidad que es paralela a la lınea que unex y x′ (es decir, a lo largo de r), mientras que n se refiere a una direccion normal. Usando(6.37) y (6.44) vemos que ⟨

upu′p

⟩= A(r)r2 +B(r) =

⟨u2⟩f(r) (6.51)

⟨unu

′n

⟩= B(r) =

⟨u2⟩g(r). (6.52)

Para facilitar la discusion de este paso se puede considerar un marco de referencia en elque r = (r, 0, 0) de modo que x1 esta en la direccion longitudinal y x2, x3 en direccionesnormales a r (notese que este sistema es ortogonal al utilizado en la teorıa de Taylor). Eltensor de autocorrelacion es

Rij = A(r)

r2 0 00 0 00 0 0

+B(r)

1 0 00 1 00 0 1

=

〈u1u′1〉 〈u1u′2〉 〈u1u′3〉〈u2u′1〉 〈u2u′2〉 〈u2u′3〉〈u3u′1〉 〈u3u′2〉 〈u3u′3〉

. (6.53)

De aquı vemos que, en efecto, R11 es equivalente a (6.51) y R22 = R33 a (6.52). Al combinarlas dos expresiones se tiene que

A(r) =⟨u2⟩ [f(r)− g(r)

r2

](6.54)

por lo que el tensor de correlacion es

Rij =⟨u2⟩ [f(r)− g(r)

r2rirj + g(r)δij

]. (6.55)

La relacion entre f y g se calcula facilmente al sustituir (6.54) en (6.49)

2[f(r)− g(r)] + rdf(r)

dr= 0 =⇒ g(r) = f(r) +

r

2

df(r)

dr. (6.56)

Como vimos, estas funciones tienen forma de campana simetrica respecto a r = 0 y convalor maximo 1 en r = 0. Por lo tanto, se pueden definir las escalas integrales longitudinaly transversal de longitud com el area bajo las respectivas curvas:

L11 =

∫ ∞0

f(r)dr, L22 =

∫ ∞0

g(r)dr. (6.57)

La escala transversal L11 es precisamente de la forma (6.5), como Taylor la calculo origi-nalmente. Notese de (6.56) que g se puede escribir como

g(r, t) =1

2

[f(r, t) +

d[rf(r)]

dr

]. (6.58)

69

6.5 Tensor de correlacion entre dos puntos Turbulencia isotropica

Al integrar de 0 a ∞ se encuentra que L22 = L11/2.

Resumiendo, (i) el tensor de correlacion se puede escribir en terminos de las funciones fy g mediante (6.55), y (ii) solamente se requiere una de estas funciones, ya que se encuentranrelacionadas por la expresion (6.56).

Aplicaciones

En cuanto Taylor tuvo conocimiento de la relacion (6.56) obtenida por von Karman(1937) de inmediato trato de verificarla experimentalmente en el tunel de viento. La compro-bacion la realizo midiendo por separado f y g y comparando los resultados con la prediccionanalıtica (Taylor, 1937).

Una segunda aplicacion del uso del tensor de correlacion es la de obtener las relacionesde isotropıa (6.7)-(6.10) y, ademas, sus interdependencias expresadas en las constantes en(6.12). Para ello se requiere expandir f y g en valores cercanos a r = 0.

f(r) = f0 + f ′0r +1

2!f ′′0 r

2 +1

3!f ′′′0 r

3 + . . . , (6.59)

g(r) = g0 + g′0r +1

2!g′′0r

2 +1

3!g′′′0 r

3 + . . . , (6.60)

donde las comillas representan derivadas y el subındice 0 indica que las funciones estanevaluadas en r = 0. Por supuesto, la forma par de estas funciones implica que todas lasderivadas impares son cero y recordemos que f0 = g0 = 1. Al sustituir en (6.55) y despreciarlas derivadas de orden cuarto y superiores, el tensor de correlacion en terminos de lassegundas derivadas es:

Rij =⟨u2⟩ [f ′′0 − g′′0

2rirj +

(1 +

1

2g′′0r

2

)δij

]. (6.61)

Al derivar dos veces g de (6.56) se observa que g′′0 = 2f ′′0 . Por lo tanto, el tensor en funcionde f ′′0 es

Rij =⟨u2⟩ [−1

2f ′′0 rirj +

(1 + f ′′0 r

2)δij

]. (6.62)

Ahora bien, se requiere analizar los productos de derivadas de la velocidad. Para ello sepueden hacer las siguientes manipulaciones con derivadas en los puntos x y x′ partiendo dela correlacion 〈uku′l〉: ⟨

∂uk∂xi

u′l

⟩=

∂

∂xi

⟨uku

′l

⟩=∂Rkl∂xi

= −∂Rkl∂ri

(6.63)

donde se ha usado ∂u′l/∂xi = 0 en el primer paso y, nuevamente, ∂/∂xi = −∂/∂ri en elultimo. Al derivar respecto a x′j en ambos lados:

∂

∂x′j

⟨∂uk∂xi

u′l

⟩= − ∂

∂x′j

(∂Rkl∂ri

)= − ∂

2Rkl∂ri∂rj

(6.64)

70

Turbulencia isotropica 6.5 Tensor de correlacion entre dos puntos

donde ahora se ha usado ∂/∂x′j = ∂/∂rj . Por ultimo, para r pequena se obtiene⟨∂uk∂xi

∂ul∂xj

⟩= −

(∂2Rkl∂ri∂rj

)r→0

. (6.65)

Con el lado izquierdo de esta cantidad se pueden analizar los productos de derivadasrequeridos, mientras que el lado derecho se calcula con (6.62). Lo mas conveniente es fijarlos valores relativos de los ındices i, j, k, l, con lo que las cuatro relaciones de isotropıa(6.7)-(6.10) en funcion de f ′′0 son:

k = l = i = j =⇒ a1 =

⟨(∂uk∂xk

)2⟩

= −(∂2Rkk∂r2k

)r→0

=⟨u2⟩f ′′0 (6.66)

k = l 6= i = j =⇒ a3 =

⟨(∂uk∂xi

)2⟩

= −(∂2Rkk∂r2i

)r→0

= 2⟨u2⟩f ′′0 (6.67)

k = i 6= l = j =⇒ a6 =

⟨∂uk∂xk

∂ul∂xl

⟩= −

(∂2Rkl∂rk∂rl

)r→0

= −1

2

⟨u2⟩f ′′0 (6.68)

k = j 6= l = i =⇒ a8 =

⟨∂uk∂xl

∂ul∂xk

⟩= −

(∂2Rkl∂rl∂rk

)r→0

= −1

2

⟨u2⟩f ′′0 (6.69)

De aquı vemos que, en efecto, las relaciones (6.12) se satisfacen: a3 = 2a1 y a6 = a8 = −a1/2.Por ultimo, se puede definir nuevamente la microescala longitudinal como:

1

λ2f= −1

2f ′′(0), (6.70)

la cual es equivalente a (6.24). Con esta expresion la razon de disipacion se puede calcularcomo se establecio con el metodo de Taylor; por ejemplo, con la relacion (6.26).

71

6.5 Tensor de correlacion entre dos puntos Turbulencia isotropica

72

Capıtulo 7

Teorıa de Kolmogorov

Hemos visto que hasta los anos 1930s hubo diversos intentos sistematicos de entender laturbulencia. Ciertamente hubo avances en el conocimiento de la estructura de la capa lımite,en el desarrollo de nuevas tecnicas de medicion y en la formulacion de teorıas estadısticas.Pero como dirıa Prandtl en un congreso de 1938: “se ha logrado conjuntar un gran conjuntode ladrillos y otros materiales, pero todavıa no es claro como sera el edificio que se construyacon ellos” (Eckert, 2019, p. 35). El siguiente paso que destrabarıa este estancamiento vinoen los anos 40s desde una esfera academica diferente por medio de A. N. Kolmogorov,quien perfecciono el formalismo de las variables aleatorias, lo aplico a la turbulencia ypostulo el mecanismo de la cascada de energıa. En este capıtulo se presentan las hipotesis deKolmogorov y algunas herramientas principales para describir a la turbulencia (el espectrode energıa y las funciones de estructura).

7.1. Fenomenologıa de la turbulencia

La teorıa de Kolmogorov describe la fenomenologıa de la turbulencia, es decir, el com-portamiento del fenomeno. Antes de detallar las ideas principales, es util puntualizar algu-nos aspectos generales y proporcionar una descripcion cualitativa de la caracterıstica masimportante de la turbulencia en tres dimensiones (3D): la cascada directa de energıa.

Sistemas en equilibrio vs. sistemas en libre decaimiento

Aunque los efectos viscosos son debiles en los fluidos con inercia, a la larga la disipacionviscosa juega un papel importante. Por lo tanto, para mantener un flujo turbulento serequiere inyectar energıa que equilibre la perdida por viscosidad. La turbulencia de unflujo continuamente forzado que cumple con dicho balance se dice que es estadısticamenteestacionaria (Figura 7.1a). De hecho, la mayor parte de las teorıas turbulentas se basan ensistemas en los que el equilibrio entre forzamiento y disipacion se presenta.

Pero tambien es util considerar sistemas en los que se parte de un estado de movimien-to determinado y no se aplica ningun forzamiento externo. En ese caso la energıa inicialdisminuye paulatinamente mientras el flujo turbulento evoluciona. Se trata de sistemas enlibre decaimiento, cuyo estado final es el reposo (Figura 7.1b).

73

7.1 Fenomenologıa de la turbulencia Teorıa de Kolmogorov

Figura 7.1: Esquemas de turbulencia: (a) estadısticamente estacionaria (inyeccion deenergıa igual a la disipacion), y (b) en libre decaimiento debido a la disipacion.

Cascada directa de energıa

La fenomenologıa de la turbulencia 3D consiste en el proceso conocido como cascadade energıa. Para explicarlo vamos a considerar un flujo con alto numero de Reynolds, elcual se compone de diversas escalas de movimiento que interactuan entre sı. A cierta escalaintermedia se inyecta energıa mecanica de manera continua, la cual se disipa a la mismarazon por efectos de la viscosidad molecular. Como se discutio arriba, este balance entreforzamiento y disipacion significa que la turbulencia es estadısticamente estacionaria. Tam-bien vamos a suponer homogeneidad e isotropıa. Ademas, se puede calcular un numero deReynolds “local” asociado con cada escala de longitud y velocidad.

La cascada es el proceso mediante el que la energıa cinetica inyectada se distribuye prin-cipalmente hacia escalas progresivamente menores de movimiento. Mientras el numero deReynolds asociado con dichas escalas sea alto, el proceso continua en cascada hacia estruc-turas cada vez menores. Cuando la energıa llega hasta los eddies cuyo Re local es del ordende la unidad o menor, entonces la energıa se disipa por efectos viscosos. En la Figura 7.2se presenta un esquema de la cascada de energıa. Las escalas de movimiento se representancomo estructuras separadas de tamano progresivamente menor de izquierda a derecha. Laflecha vertical hacia arriba indica la inyeccion de energıa en alguna escala de movimiento(que no es la mayor). El comportamiento de las escalas espaciales “grandes” depende delas caracterısticas del dominio que contiene al fluido y de las condiciones de frontera. Perohacia escalas menores se presenta la transferencia de energıa hacia los movimientos cada vezmas pequenos, representada por las flechas horizontales hacia la derecha. La flecha verticalhacia abajo indica la disipacion de energıa en las escalas mas pequenas posibles.

La cascada de energıa se presenta en todo el rango de escalas con numero de Reynoldsalto, es decir, para los movimientos con inercia. Por lo tanto, es un proceso debido a interac-ciones no lineales. Concretamente, los efectos de estiramiento en 3D favorecen la generacion

74

Teorıa de Kolmogorov 7.2 Rangos y escalas de turbulentas

Figura 7.2: Esquema de la cascada de energıa. Las escalas de movimiento que confor-man al fluido se representan en formas irregulares por separado. Las flechas indicanla direccion en la que se transfiere energıa (ver texto).

de escalas menores. Por ejemplo, los cortes de velocidad a cierta escala pueden generarnuevos movimientos en la parcela o columna que se ha estirado en alguna direccion.

7.2. Rangos y escalas de turbulentas

El esquema anterior se desprende de la teorıa de Kolmogorov (1941b), la cual se basaen tres hipotesis fundamentales (Pope, 2001, Sec. 6.1). Para explicarlas, se considera unflujo turbulento homogeneo y estadısticamente estacionario en un dominio de tamano l0con escala de velocidad u0 y viscosidad ν, tal que Re = l0u0/ν >> 1. Los movimientosde dicha escala espacial estan influenciados por la forma del dominio y las condiciones defrontera (“scalas grandes” en el esquema de la Figura 7.2). Las hipotesis de Kolmogorov sepueden formular informalmente como sigue.

Hipotesis de isotropıa local. La ‘estadıstica’ de escalas pequenas l << l0 es uni-versal, es decir, la misma para todo flujo turbulento. A este intervalo de escalas se leconoce como el Rango universal de equilibrio (ver Figura 7.2).

La hipotesis se aplica a escalas suficientemente pequenas para que esten libres de losefectos de las fronteras. La ‘estadıstica’ se refiere a todos los momentos estadısticos quese calculen con las variables aleatorias del problema (velocidad, temperatura, etc.). Lasuposicion de que la turbulencia es estadısticamente estacionaria implica el escenario de lacascada de energıa. La razon de transferencia de energıa de las escalas mayores a las mas

75

7.2 Rangos y escalas de turbulentas Teorıa de Kolmogorov

pequenas es del orden de u20/(l0/u0) = u30/l0 (energıa cinetica por unidad de tiempo). Estacantidad se considera constante y del orden de la razon de disipacion de energıa en lasescalas mas pequenas ε, por lo que

ε =u30l0. (7.1)

Se debe recordar que las unidades de esta importante cantidad son [ε] = L2/T 3. Por su-puesto, se trata de la misma cantidad que vimos en los Capıtulos 2 y 6.

La universalidad de la hipotesis se refiere literalmente a cualquier flujo turbulento, yasea en un vaso de agua, un tunel de viento o a nivel galactico. Evidentemente se trata deuna hipotesis muy fuerte. La posibilidad de comparar sistemas de escalas muy diferentes dalugar a las hipotesis de similaridad.

Primera hipotesis de similaridad. La ‘estadıstica’ de escalas pequenas l << l0esta determinada unicamente por ε y ν.

De aquı se desprenden consecuencias practicas al derivar escalas de longitud, velocidady tiempo que dependan de ε y ν. Por ejemplo, la escala de longitud se supone de la formaη = cεaνb, donde a y b son exponentes a determinar haciendo el analisis dimensional dela expresion y c es una constante adimensional de orden 1 (sea c = 1 de aquı en adelan-te). Haciendo lo mismo para la velocidad y el tiempo se obtienen las llamadas escalas deKolmogorov:

η =

(ν3

ε

)1/4

longitud

uη = (εν)1/4 veocidad (7.2)

tη =(νε

)1/2tiempo.

El significado de estas escalas se hace evidente al calcular el numero de Reynolds conellas

Reη =ηuην≡ 1. (7.3)

Es decir, las escalas de Kolmogorov representan a las escalas pequenas en las cuales laenergıa se disipa, ya que los efectos viscosos son importantes. Es util comparar estas escalascon las mas grandes del flujo

η

l0=

(ν3/ε)1/4

l0≡ 1

Re3/4

uηu0

=(εν)1/4

u0≡ 1

Re1/4(7.4)

tηt0

=(ν/ε)1/2

t0≡ 1

Re1/2.

Se puede apreciar que las escalas de Kolmogorov son mucho menores cuando Re >> 1.La segunda hipotesis de similaridad supone que el rango universal de equilibrio se divide

en dos partes.

76

Teorıa de Kolmogorov 7.3 Espectro de energıa

Segunda hipotesis de similaridad. La ‘estadıstica’ de escalas pequenas tales queη << l << l0 esta determinada unicamente por ε y es independiente de la viscosidad.A este intervalo de escalas se le conoce como subrango inercial (Figura 7.2).

El nombre indica que los efectos inerciales a estas escalas son mas importantes que losviscosos, es decir, que Re(l) >> 1 para cualquier l en el subrango inercial. Las escalas delongitud, velocidad y tiempo son

η << l << l0

u(l) = (εl)1/3 = u0

(l

l0

)1/3

(7.5)

t(l) =

(l2

ε

)1/3

= t0

(l

l0

)2/3

,

que evidentemente son menores que las escalas grandes del flujo.

Las escalas pequenas l ≥ η fuera del intervalo inercial constituyen el Subrango disipativo,en el cual el numero de Reynolds tiende cada vez mas a la unidad y la energıa se disipa porviscosidad.

7.3. Espectro de energıa

¿Cuanta energıa tiene cada escala de movimiento? La teorıa de Kolmogorov predice laforma en la que la energıa se distribuye en el rango inercial mediante el llamado espec-tro de energıa. Para explicarlo con mayor claridad primero vamos a utlizar un argumentosimplificado y despues uno mas formal.

Argumento dimensional simple

Por conveniencia, se considera la distribucion de energıa para cada numero de ondak asociado a cada longitud l, ya que k ∝ 1/l. Notese que k = |k| es la magnitud delvector numero de onda tridimensional. Sea E la energıa total del flujo turbulento, la cualse compone de la suma de las energıas a cada numero de onda:

E =

∫ ∞0

S(k)dk. (7.6)

La funcion S(k) es el espectro de energıa, el cual contiene la energıa por unidad de numerode onda, es decir, asociada a cada longitud. Las unidades del espectro son de [S] = L3/T 2.La energıa total es simplemente la suma de todas las S(k). Utilizando la segunda hipotesisde similaridad se puede deducir la forma del espectro de energıa en el rango inercial. Enefecto, basta suponer que S ∝ εakb, lo cual arroja que

S(k) = Cε2/3k−5/3. (7.7)

77

7.3 Espectro de energıa Teorıa de Kolmogorov

Figura 7.3: Espectro de energıa en turbulencia 3D (izquierda) y 2D (derecha, discutidoen el Capıtulo 8). La flecha vertical hacia arriba (abajo) indica la escala de inyeccion(disipacion) de energıa. Las escalas son logarıtmicas para resaltar las leyes de potenciaque obedecen los espectros en los respectivos rangos inerciales.

donde C es una constante universal sin dimensiones (aproximadamente C ∼ 1.5). Esta esla “ley de los -5/3” de Kolmogorov, y postula que en el rango inercial el espectro de energıadecae en k elevado a esta potencia, como se indica en la Figura 7.3 (panel izquierdo). Algraficar con logaritmos el espectro en el rango inercial (escalas intermedias) es una rectacon pendiente -5/3.

Definicion del espectro por descomposicion de Fourier

Partimos de un flujo turbulento homogeneo contenido en un dominio cubico de lado L yvolumen L3. Sea u(x, t) ≡ ui el vector de velocidad del flujo turbulento tal que su promedioes cero 〈ui〉 = 0. La velocidad se puede descomponer en una serie compleja de funciones

oscilatorias en el espacio, eik·x (senos y cosenos), que son los modos de Fourier con numerode onda k:

u(x, t) =∑k

eik·xu(k, t). (7.8)

La suma se realiza para k = (2π/L)n, donde n es un vector cuyas entradas son numerosenteros. La representacion de Fourier es conveniente por la ortogonalidad de las funcionestrigonometricas, la cual se puede expresar como la integral de volumen del producto de dosmodos arbitrarios con numero de onda k y −k′:

1

L3

∫∫∫eik·xe−ik

′·xdx = δk,k′ (7.9)

con δ la delta de Dirac. Se recomienda verificar este calculo para el caso unidimensional[ver, por ejemplo, el ejercicio 6.12 o el Apendice E de Pope (2001)]. Usando esta propiedad,

78

Teorıa de Kolmogorov 7.3 Espectro de energıa

es facil verificar que los coeficientes u(k) se calculan mediante la integral de volumen

u(k, t) =1

L3

∫∫∫e−ik·xu(x, t)dx. (7.10)

Es decir, se trata de la transformada de Fourier del campo de velocidad. Por la forma enque lo hemos definido sus unidades son tambien de velocidad.

Dichos coeficientes tienen dos propiedades fundamentales si el fluido es turbulento. Pri-mero, contienen la variabilidad asociada con la turbulencia ya que los modos de Fourier

eik·x son funciones estacionarias; es decir, al igual que el campo u(x, t) son funciones alea-torias con promedio cero 〈u(k, t)〉 = 0. Segundo, son vectores complejos que satisfacen lacondicion de simetrıa

u(k, t) = u∗(−k, t), (7.11)

donde u∗ es el complejo conjugado. Esta propiedad se deriva del hecho de que el campou(x, t) es real (Pope, 2001, p. 684).

El campo u(k, t) en el espacio de numero de onda contiene la informacion del campo develocidad original. Por lo tanto, la energıa cinetica se puede calcular con los coeficientes deFourier. Para mostrarlo primero definimos la energıa cinetica total (por unidad de masa)contenida en el volumen

E(t) =1

2〈uiui〉 =

1

2L3

∫∫∫|u(x, t)|2dx. (7.12)

Utilizando la descomposicion (7.8) junto con la condicion de simetrıa (7.11) se puede mostrarel teorema de Parseval que relaciona el cuadrado del campo de velocidad (i.e. la energıa)con el cuadrado de los coeficientes de Fourier (Lesieur, 2012, p.179):

E(t) =1

2〈uiui〉 =

1

2

∑k

〈u∗i (k, t)ui(k, t)〉 . (7.13)

La sumatoria en el lado derecho indica que cada termino es la contribucion de los modosde Fourier con numero de onda k. Es decir, la energıa asociada a las escalas con numero deonda k es

E(k, t) =1

2〈u∗i (k, t)ui(k, t)〉 ≡

1

2

⟨|u(k, t)|2

⟩. (7.14)

Si se grafica este campo escalar en el espacio tridimensional k se tiene la distribucion de laenergıa de los modos, en la que el origen corresponde a una escala de longitud infinita. Porla simetrıa (7.11) la energıa por modos tambien cumple que

E(k, t) = E(−k, t). (7.15)

La magnitud del numero de onda k = |k| es la coordenada “radial” en este espacio.Vamos a reescribir la energıa total (7.13) como

E(t) =∑k

1

2

∑C(k)

⟨|u(k, t)|2

⟩ 1

dk

dk, (7.16)

79

7.4 Funciones de estructura Teorıa de Kolmogorov

donde dk = 2π/L es un incremento finito de k. La sumatoria sobre el conjunto C(k) serefiere a los valores de

⟨|u(k, t)|2

⟩tales que

k − dk/2 < |k| < k + dk/2. (7.17)

En otras palabras, el termino en el parentesis cuadrado en (7.16) es la energıa contenidaentre las esferas con radios k− dk/2 y k+ dk/2 dividida entre dk. Dicha expresion es de lamisma forma que (7.6), por lo que podemos identificar al espectro de energıa como

S(k, t) =1

2dk

∑C(k)

⟨|u(k, t)|2

⟩. (7.18)

Notese que, en efecto, las unidades son [S] = L3/T 2. Por supuesto, la energıa asociada conlas escalas cuyo numero de onda tiene magnitud k es S(k, t)dk.

La expresion de la energıa (7.16) se puede calcular en forma integral. Vamos a suponerque se tiene un vector k cuya magnitud cambia continuamente en pequenos incrementosdk << k, lo cual es equivalente a suponer que el campo de velocidad esta muestreado enforma muy fina. La energıa se escribe como

E(t) =1

2(dk)3

∫∫∫ ⟨|u(k, t)|2

⟩dk =

∫ ∞0

[1

2(dk)3

∫∫|k|=k

⟨|u(k, t)|2

⟩ds

]dk, (7.19)

donde usamos dk = dsdk, con ds el elemento de area de cada esfera con radio k. Es decir, laintegral de volumen se realiza calculando las integrales de superficie en cada esfera de radiok y despues sumando sobre k. Vemos que la version continua del espectro de energıa es:

S(k, t) =1

2(dk)3

∫∫|k|=k

⟨|u(k, t)|2

⟩ds. (7.20)

Se puede detallar el calculo si se utiliza el elemento de area en coordenadas esfericas comods = (kdθ)(k sinφdφ), con 0 ≤ θ ≤ 2π y 0 ≤ φ ≤ π:

S(k, t) =1

2(dk)3

∫ 2π

0

∫ π

0

⟨|u(k, t)|2|k|=k

⟩k2 sinφdφdθ (7.21)

=2πk2

(dk)3

⟨|u(k, t)|2|k|=k

⟩. (7.22)

O bien, recordando que dk = 2π/L:

S(k, t) = 2πk2(L

2π

)3 ⟨|u(k, t)|2|k|=k

⟩. (7.23)

7.4. Funciones de estructura

Desde sus trabajos iniciales sobre turbulencia de los anos 40s, Kolmogorov y su equipo deestudiantes vieron la necesidad de proponer formas empıricas de poner a prueba sus teorıas.En forma analoga a la escuela de Taylor, una de sus propuestas mas poderosas fue la dededucir nuevas funciones basadas en sus hipotesis que fueran medibles en el laboratorio.Para ello se introdujo el concepto de las funciones de estructura de la velocidad en dospuntos de un fluido turbulento.

80

Teorıa de Kolmogorov 7.4 Funciones de estructura

Correlacion de diferencias de velocidad en dos puntos

Consideremos de nuevo la turbulencia homogenea e isotropica. La funcion de estructurade segundo orden de la velocidad es la covarianza de las diferencias de velocidad ui y uj enlos puntos x y x+ r [Pope (2001), seccion 6.2]:

Dij(r, t) = 〈[ui(x+ r, t)− ui(x, t)][uj(x+ r, t)− uj(x, t)]〉 . (7.24)

Al igual que el tensor de correlacion Rij visto en el Capıtulo 6, esta metrica se obtiene demediciones en dos puntos del espacio (como en el arreglo experimental del tunel de viento,Figuras 6.1 y 6.5). La analogıa entre ambos tensores es multiple debido a la isotropıa delflujo. En efecto, el tensor Dij no depende de x sino solo de la separacion r entre ambospuntos.

Ademas, es posible definir la funcion de estructura longitudinal DLL(r, t) al utilizar lascomponentes de velocidad en la direccion del vector r, y las funciones de estructura trans-versales DNN (r, t) usando las componentes perpendiculares a r. Ambos tipos son analogosa las funciones de correlacion longitudinal y transversal, f y g, dadas en (6.50) pero sinnormalizar. Por ejemplo, si se escoge el sistema de referencia tal que la separacion entre losdos puntos esta en la direccion x1 las funciones de estructura son:

S2(r, t) ≡ DLL(r, t) = D11(r, t) =⟨[u1(x+ r, t)− u1(x, t)]2

⟩(7.25)

DNN (r, t) = D22(r, t) = D33(r, t). (7.26)

Por isotropıa el tensor Dij se puede escribir como

Dij(r, t) = [DLL(r, t)−DNN (r, t)]rirjr2

+DNN (r, t)δij , (7.27)

que es equivalente a (6.55). Por isotropıa y por continuidad las funciones de estructura serelacionan como

DNN (r, t) = DLL(r, t) +r

2

d

drDLL(r, t), (7.28)

la cual es una expresion analoga a (6.56). Esta ultima relacion implica que es suficientedeterminar DLL para encontrar DNN .

Funcion de segundo orden

A diferencia de las funciones de correlacion, S2 no necesariamente tiende a cero en formarapida al aumentar r, porque se trata del promedio de numeros positivos. La forma de lafuncion se obtiene para el rango inercial por medio de la segunda hipotesis de similaridad:Kolmogorov supuso que la variacion de la componente de la velocidad longitudinal entrelos dos puntos separados la distancia r se debe en promedio a las escalas turbulentas de esetamano. Por lo tanto, propuso que S2 es funcion de ε y r, es decir, S2 ∝ εarb. Haciendoel analisis dimensional (recordar que las unidades de S2 son de velocidad al cuadrado) seobtiene

S2(r, t) = C2(εr)2/3. (7.29)

81

7.4 Funciones de estructura Teorıa de Kolmogorov

Esta expresion se conoce como la “ley de los 2/3” de Kolmogorov. La constante C2 es delorden de 2± 0.4.

De la expresion (7.28) es facil verificar que las funciones de estructura transversales son

DNN =4

3S2. (7.30)

El tensor completo (7.27) en el rango inercial se puede ahora calcular como

Dij(r, t) = C2(εr)2/3

(−1

3

rirjr2

+4

3δij

). (7.31)

Al igual que el espectro de energıa, S2 es una prediccion que se deriva de las hipotesis basicasy que se puede poner a prueba en forma experimental. (Pope, 2001, p. 194) presenta unejemplo experimental de 1994 que verifica hasta cierto punto las hipotesis de Kolmogorov.

Funcion de tercer orden

Es natural preguntarse si se pueden generalizar las funciones de estructura. De hecho,si suponemos que Sp ∝ εarb para una p arbitraria se obtiene que

Sp(r, t) = Cp(εr)p/3. (7.32)

Kolmogorov considero la funcion de tercer orden p = 3, que es en realidad una triplecorrelacion de diferencias de velocidades:

S3(r, t) ≡ DLLL(r, t) =⟨[u1(x+ r, t)− u1(x, t)]3

⟩. (7.33)

La prediccion para S3 se baso en algunos resultados previos de von Karman & Howarth(1938), quienes habıan definido diferentes tipos de correlaciones triples entre las compo-nentes de velocidad en dos puntos, como se muestra en la Figura 7.4. Podemos reconocerlas funciones longitudinal y transversal f y g, ası como tres tipos de correlaciones tri-ples h, k, q. Utilizando las ecuaciones de Navier-Stokes, los mismos autores dedujeron unaecuacion que describe la evolucion de f e involucra a la triple correlacion k (ecuacion deKarman-Howarth):

∂

∂t(u′2f)− u′3

r4∂

∂r(r4k) =

2νu′2

r4∂

∂r

(r4∂f

∂r

), (7.34)

donde u′ es la velocidad r.m.s. del flujo.

Las funciones de estructura se relacionan con la correlacion longitudinal f y con la triplecorrelacion k de la siguiente manera (Pope, 2001, p. 203):

u′2f(r, t) = u′2 − 1

2DLL(r, t), (7.35)

u′3k(r, t) =1

6DLLL(r, t). (7.36)

82

Teorıa de Kolmogorov 7.4 Funciones de estructura

Figura 7.4: Dobles y triples correlaciones entre las componentes de velocidad u1 y u2en dos puntos. Tomado de von Karman & Howarth (1938).

Al sustituir en la ecuacion de Karman-Howarth, usando la razon de disipacion de energıaε = d(u′2)/dt, y considerando DLL = DLL(r) estacionaria, Kolmogorov obtuvo

4ε+

(dDLLL

dr+

4

rDLLL

)= 6ν

(d2DLL

dr2+

4

r

dDLL

dr

). (7.37)

Reescribiendo como

4εr4 +d

dr(r4DLLL) = 6ν

d

dr

(r4dDLL

dr

), (7.38)

e integrando en r se obtiene

4

5εr5 + r4DLLL = 6νr4

dDLL

dr. (7.39)

En el rango inercial el termino viscoso del lado derecho es despreciable, por lo que la funcionde estructura de tercer orden es:

DLLL = −4

5εr. (7.40)

El resultado es consistente con (7.32) para p = 3. Lo sobresaliente es que la constante quedadeterminada C3 = −4/5. Esta es una de las pocas ecuaciones en turbulencia que no tieneun parametro ajustable (Jimenez, 2004).

83

7.4 Funciones de estructura Teorıa de Kolmogorov

84

Capıtulo 8

Turbulencia en dos dimensiones

Existen varios sistemas fısicos en los que alguna restriccion fısica obliga al fluido a tenerun comportamiento bidimensional (2D). Por ejemplo, se puede tratar de una capa muydelgada (como en una pompa de jabon) o el movimiento en un nivel determinado de un fluidofuertemente estratificado. Algunos plasmas sometidos a intensos campos electromagneticosson practicamente 2D. En los fluidos geofısicos oceanicos y atmosfericos tambien hay unapredominancia de los movimientos horizontales (perpendiculares a la gravedad) sobre losverticales. La relevancia de la turbulencia 2D es que es fenomenologicamente muy diferentea la 3D. En este capıtulo vamos a estudiar la turbulencia bidimensional para comprenderesas diferencias, y en el siguiente se abordaran problemas geofısicos.

8.1. Dinamica 2D

Recordemos que la ecuacion de vorticidad para un flujo incompresible 3D es

∂ω

∂t+ (u · ∇)ω − (ω · ∇)u = ν∇2ω (8.1)

En un sistema Cartesiano (x, y, z) vamos a considerar un fluido barotropico estrictamentebidimensional en el plano x − y (el plano “horizontal”), por lo que se tiene solamente unacomponente de vorticidad en la direccion z (“vertical”):

u = (u(x, y, t), v(x, y, t), 0) =⇒ ω = (0, 0, ω(x, y, t)). (8.2)

Los terminos de ladeo y estiramiento son identicamente cero, (ω ·∇)u = 0. Esto implica queno hay produccion de vorticidad en ninguna direccion por este efecto. Al combinar el nuloestiramiento en la direccion z, ω(∂w/∂z) = 0, con la ecuacion de continuidad, ∇ ·u = 0, seencuentra que la divergencia horizontal es cero y, por lo tanto, se cumple que

∂w

∂z≡ −

(∂u

∂x+∂v

∂y

)= 0. (8.3)

La ecuacion de vorticidad se reduce a la de la componente vertical ω:

∂ω

∂t+ (u · ∇)ω = ν∇2ω, (8.4)

85

8.1 Dinamica 2D Turbulencia en dos dimensiones

donde ahora los operadores y la velocidad son en 2D. Notese que en el lımite sin viscosidadse tiene la conservacion material de vorticidad.

Dado que la divergencia horizontal es cero, se puede definir una funcion corriente ψ talque

u =∂ψ

∂y, v = −∂ψ

∂x. (8.5)

Notese que ambas componentes se pueden definir con el signo contrario. El hecho queu · ∇ψ = 0 indica que las isolıneas de ψ son lıneas de corriente. La ecuacion de vorticidadse puede escribir entonces como

∂ω

∂t+ J(ω, ψ) = ν∇2ω, (8.6)

donde J es el operador Jacobiano [J(a, b) = axby − aybx, con los subındices indicandoderivadas parciales]. Ademas, se puede mostrar que la vorticidad y la funcion corriente serelacionan mediante una ecuacion de Poisson

ω = −∇2ψ. (8.7)

Esta relacion junto con la ecuacion de vorticidad conforman la formulacion ω−ψ (vorticidad-funcion corriente) para fluidos 2D. Si las velocidades horizontales (8.5) se definen con lossignos al reves, resulta que ω = ∇2ψ y el Jacobiano en (8.6) es J(ψ, ω).

Condiciones de frontera

La condicion de libre deslizamiento en un dominio cerrado A se puede satisfacer impo-niendo la funcion corriente ψ constante en la frontera ∂A:

ψ = 0 en ∂A. (8.8)

Dado que la ecuacion de evolucion de la vorticidad incluye segundas derivadas se requierede otra condicion de frontera. Como se describio en el Capıtulo 3, se puede formular lacondicion libre de esfuerzos (van Heijst et al., 2003)

(n · τ )|| = 0 en ∂A, (8.9)

donde τ es el tensor de esfuerzos viscosos, n es el vector unitario normal a la frontera y ||denota la componente paralela del vector n · τ .

Por otro lado, la condicion de no deslizamiento requiere simplemente que el vector develocidad se anule en la frontera

u = 0 en ∂A. (8.10)

Para satisfacer esta condicion se requiere la condicion de impermeabilidad (8.8), y ademasque la velocidad a lo largo de las paredes sea cero

∂ψ

∂n= 0, en ∂A. (8.11)

con n la direccion perpendicular a la frontera.

86

Turbulencia en dos dimensiones 8.2 Evolucion de cantidades globales

Flujo en columnas por efectos de rotacion

Consideremos de nuevo un fluido barotropico 3D en un sistema en rotacion con rapidezangular constante Ω = (0, 0,Ω). Si el fluido es muy lento (numero de Rossby pequeno)y poco viscoso (numero de Ekman tambien pequeno), en las ecuaciones horizontales demomento predomina el balance geostrofico y en la vertical el balance hidrostatico (ZavalaSanson & van Heijst, 2014). Ademas, la ecuacion completa de vorticidad

Dω

Dt= (ω + 2Ω) · ∇u+ ν∇2ω (8.12)

se reduce a

2Ω∂u

∂z= 0. (8.13)

Este es el teorema de Taylor-Proudman (van Heijst & Clercx, 2009). Las componentes dela velocidad son independientes de z, por lo que los terminos de ladeo son cero, ∂u/∂z =∂v/∂z = 0. Tampoco hay terminos de estiramiento porque ∂w/∂z = 0, lo cual se refleja enla divergencia horizontal igual a cero, como en el caso puramente 2D (8.3).

Se puede interpretar que el flujo existe solo en el plano x− y o que se trata de columnasverticales, siempre paralelas al eje de rotacion (paralelo a z en este caso). Las columnastienen una profundidad H y se deslizan sobre un fondo plano sin friccion, como se indicaen el esquema de la Figura 8.1. Este tipo de movimiento se observa en experimentos delaboratorio con fluidos en rotacion. La fotografıa en la Figura 8.1 muestra varios remolinosy filamentos adyacentes en una capa de fluido que se encuentra en un tanque que rota convelocidad angular constante. Por medio de la tinta verde se puede visualizar la estructura delflujo en laminas o capas verticales paralelas al eje de rotacion. Los primeros experimentos quemostraron este comportamiento fueron realizados por Taylor (1922). Notese que los efectosde rotacion inducen el movimiento en columnas por el teorema de Taylor-Proudman, cosaque no sucede con el caso sin rotacion; es decir, el movimiento columnar sin rotacion noesta bien justificado fısicamente.

Al despreciar los efectos de estiramiento y ladeo podemos apreciar que se tiene la mismaecuacion de vorticidad que para el flujo sin rotacion, (8.4), y de nuevo se cumple la ecuacionde Poisson (8.7) entre la vorticidad y la funcion corriente. Por lo tanto, la formulacion ω−ψaplica igualmente al caso puramente 2D y al movimiento en columnas cuando hay rotacion.La dinamica es identica: las parcelas de fluido (puntos o columnas) conservan su vorticidad.Si hay variaciones espaciales de Ω o de la profundidad H, entonces se pueden generar efectosde estiramiento que implican una dinamica diferente.

8.2. Evolucion de cantidades globales

Para discutir la fenomenologıa de la turbulencia 2D se requiere analizar las cantidadesglobales fundamentales: la energıa y la enstrofıa totales. Su relevancia se debe a que seconservan en un flujo inviscido sin fuentes ni sumideros. Ademas, bajo estos supuestosexiste un numero infinito de integrales de movimiento que son funcion de la vorticidad,como se vera mas abajo.

87

8.2 Evolucion de cantidades globales Turbulencia en dos dimensiones

Figura 8.1: Panel izquierdo: Esquema de una columna de fluido en un sistema enrotacion. Panel derecho: Fotografıa de un fluido en un sistema en rotacion constanteΩ = 0.5 s−1. La capa de fluido es de aproximadamente 20 cm de altura. El flujo sevisualiza con tinta verde fosforescente.

Comencemos definiendo el promedio espacial sobre el area A del dominio que ocupa elfluido 2D como

〈·〉 =1

A

∫∫(·)dr (8.14)

Si ui es la velocidad 2D con i = 1, 2, el campo de energıa cinetica es (1/2)u2i . La energıatotal o global se define como

E =1

2A

∫∫u2i dA =

1

2

⟨u2i⟩≡ 1

2

⟨|u|2

⟩. (8.15)

Notese que de la definicion de las velocidades horizontales (8.5) se tiene u2i = |∇ψ|2, por loque la energıa tambien se puede escribir como

E =1

2

⟨|∇ψ|2

⟩=

1

2〈∇ψ · ∇ψ〉 =

1

2〈ωψ〉 . (8.16)

Para obtener la ultima expresion se uso nuevamente la condicion de frontera (8.8) y el hechode que ω = −∇2ψ. Por otro lado, la enstrofıa global se calcula con la vorticidad al cuadrado:

Z =1

2A

∫∫ω2dA =

1

2

⟨ω2⟩. (8.17)

Vamos a derivar las ecuaciones de evolucion de las cantidades globales, y de ahı mostrarbajo que condiciones se conservan.

88

Turbulencia en dos dimensiones 8.2 Evolucion de cantidades globales

Evolucion de la energıa

Las ecuaciones de movimiento se pueden expresar de la forma

∂ui∂t

+ uj∂ui∂xj

=∂Φ

∂xi+ Fi, (8.18)

donde Φ es el potencial asociado con todas las fuerzas conservativas sobre el fluido (aquıentra, por ejemplo, el gradiente de presion) y F son las fuerzas no conservativas (comola viscosidad). La ecuacion de energıa se deriva en la forma usual: multiplicando por ui yrearreglando las derivadas

∂(12u2i )

∂t+∂(12u

2iuj)

∂xj=∂(Φui)

∂xi+ uiFi, (8.19)

donde se ha usado la ecuacion de continuidad ∂uj/∂xj = 0. Integrando en toda el area deldominio y aplicando el teorema de Gauss en dos dimensiones se obtiene

d

dt

∫∫1

2u2i dA+

∮1

2u2iujnjd` =

∮Φujnjd`+

∫∫uiFidA (8.20)

con nj ≡ n el vector normal al elemento de longitud d` de la frontera del dominio. Lasintegrales de lınea son cero porque no hay flujo a traves de la frontera, ujnj = 0. Al dividirsobre A, en notacion vectorial se tiene

dE

dt=

1

A

∫∫u · FdA, (8.21)

El caso mas relevante de fuerzas no conservativas es la viscosidad Laplaciana. Usandola ecuacion de continuidad, es facil comprobar que F es:

F = ν

(−∂ω∂y,∂ω

∂x

)≡ ν

(∇2u,∇2v

). (8.22)

Ademas, utilizando identidades vectoriales se encuentra:

u · F = ν

(−u∂ω

∂y+ v

∂ω

∂x

)= −νu×∇ω = −ν[−∇× (ωu) + ω∇× u]. (8.23)

La evolucion de la energıa es

dE

dt=

ν

A

∫∫[∇× (ωu)− ω2]dA,

=ν

A

∮ωu · td`− ν

A

∫∫ω2dA, (8.24)

donde se ha aplicado el teorema de Stokes en el primer termino del lado derecho, con t elvector tangente al elemento d`. Esta integral es cero para condiciones de no deslizamiento(u = 0 en ∂D), y tambien para la condicion libre de esfuerzos en un dominio cuadrado(ω = 0 en ∂D), por lo que solo queda la segunda integral:

dE

dt= −2νZ. (8.25)

89

8.2 Evolucion de cantidades globales Turbulencia en dos dimensiones

Evolucion de la enstrofıa

La ecuacion generalizada de vorticidad es

ω∂ω

∂t+ uj

∂ω

∂xj= ∇×F , (8.26)

en la que hemos dejado el rotacional de las fuerzas no conservativas en notacion vectorial.Notese que el rotacional de las fuerzas conservativas es cero. La ecuacion para la enstrofıase obtiene multiplicando por ω, rearreglando, usando continuidad e integrando en todo eldomino

d

dt

∫∫1

2ω2dA+

∮1

2ω2ujnjd` =

∫∫ω∇×FdA (8.27)

La integral de lınea es cero y los terminos restantes son (dividiendo entre A):

dZ

dt=

1

A

∫∫ω∇×FdA. (8.28)

Si de nuevo se escoge F dada por (8.22) se verifica que, efectivamente, se trata de laviscosidad Laplaciana

∇×F = ν

(∂2ω

∂x2+∂2ω

∂y2

)≡ ν∇2ω. (8.29)

Por lo tanto, la ecuacion para la enstrofıa es

dZ

dt=

ν

A

∫∫ω(∇ · ∇ω)dA

=ν

A

∫∫ [∇ · (ω∇ω)dA− |∇ω|2

]dA

=ν

A

∮ω∇ω · nd`− ν

A

∫∫|∇ω|2dA. (8.30)

La primera integral se ignora en ausencia de fronteras (en dominios doblemente periodicos),o bien, se anula para el caso de una frontera libre de esfuerzos en un dominio cuadrado.Pero en general no se puede eliminar en un dominio cerrado. Por ultimo

dZ

dt= 2νG− 2νP (8.31)

donde P se conoce como palinstrofıa

P =1

2A

∫∫|∇ω|2dA =

1

2

⟨|∇ω|2

⟩. (8.32)

Esta cantidad refleja los gradientes de vorticidad, que generalmente se hacen importantescuando hay filamentacion del fluido. La cantidad global que se asocia con los efectos de lasfronteras es

G =1

2A

∮ω∇ω · nd`, (8.33)

la cual ha tenido poca atencion en estudios de turbulencia 2D.

90

Turbulencia en dos dimensiones 8.3 Espectros de energıa y enstrofıa

Leyes de conservacion

En ausencia de fuerzas no conservativas (F = 0) la energıa y la enstrofıa globales seconservan

dE

dt= 0,

dZ

dt= 0. (8.34)

Obviamente este es el caso para fluidos inviscidos ν → 0. Hay otras integrales de movimientoen este lımite. Por ejemplo, la ecuacion de vorticidad representa la conservacion materialde vorticidad

∂ω

∂t+ uj

∂ω

∂xj≡ Dω

Dt= 0. (8.35)

De hecho, cualquier funcion de la vorticidad B(ω) se conserva materialmente, ya que

DB(ω)

Dt= B′

∂ω

∂t+B′uj

∂ω

∂xj= 0. (8.36)

En particular, la enstrofıa local ω2/2 se conserva en cada parcela de fluido. Esto no sucedecon la energıa.

Por otro lado, la conservacion material de B(ω) implica que todas las cantidades globalesque se formen con esta funcion tambien se conservan. La demostracion es inmediata, ya que:

DB

Dt=∂B

∂t+ uj

∂B

∂xj=∂B

∂t+∂(ujB)

∂xj−B∂uj

∂xj= 0, (8.37)

donde el ultimo termino es cero por continuidad. Al integrar en todo el dominio y aplicarlas condiciones de frontera se tiene

d

dt

∫∫B(ω)dA = 0. (8.38)

De particular relevancia es la conservacion de la circulacion

dΓ

dt= 0, con Γ ≡

∫∫ωdA =

∮u · td`. (8.39)

Notese que la circulacion es automaticamente cero si la condicion de frontera es de nodeslizamiento. El otro caso importante es la conservacion de la enstrofıa global Z.

8.3. Espectros de energıa y enstrofıa

La distribucion de energıa y enstrofıa entre las escalas de movimiento se analiza mediantelos respectivos espectros. Aquı lo interesante es que ambos guardan una relacion entre sıdebido a la conservacion de los valores globales E y Z. Vamos a analizar las definiciones delos espectros como se hizo en el caso 3D del Capıtulo 7.

91

8.3 Espectros de energıa y enstrofıa Turbulencia en dos dimensiones

Energıa

La velocidad en dos dimensiones tambien se puede descomponer en modos de Fouriercon coeficientes u(k, t) como en la expresion (7.8), donde ahora el vector de numero deonda k es bidimensional y se considera un cuadrado de lado L. Al repetir los mismos pasosse obtiene nuevamente la energıa total y el espectro de energıa:

E(t) =∑k

1

2

∑C(k)

⟨|u(k, t)|2

⟩ 1

dk

dk, =⇒ S(k, t) =1

2dk

∑C(k)

⟨|u(k, t)|2

⟩, (8.40)

pero ahora el conjunto C(k) se refiere a los valores de la energıa contenida entre los cırculoscon radios k − dk/2 y k + dk/2 dividida entre dk. En forma integral la energıa total es

E(t) =1

2(dk)2

∫∫ ⟨|u(k, t)|2

⟩dk =

∫ ∞0

[1

2(dk)2

∫|k|=k

⟨|u(k, t)|2

⟩ds

]dk, (8.41)

donde ahora ds es un elemento de arco ds = kdθ. Por lo tanto, el espectro es

S(k, t) =1

2(dk)2

∫ 2π

0

⟨|u(k, t)|2|k|=k

⟩kdθ

=πk

(dk)2

⟨|u(k, t)|2|k|=k

⟩. (8.42)

O usando dk = 2π/L:

S(k, t) = πk

(L

2π

)2 ⟨|u(k, t)|2|k|=k

⟩. (8.43)

Esta es la forma del espectro originalmente encontrada por Kraichnan (1967).

Espectro en terminos de la funcion corriente

La funcion corriente ψ(x, t) y su transformada de Fourier ψ(k, t) son tales que:

ψ(x, t) =∑k

eik·xψ(k, t),

(8.44)

ψ(k, t) =1

L2

∫∫∫e−ik·xψ(x, t)dx,

con ψ(k, t) = ψ∗(−k, t). Recordemos que la energıa se puede expresar en terminos de lafuncion corriente como se vio en la ecuacion (8.16). Usando el par (8.44) el teorema deParseval es:

E(t) =1

2

⟨|∇ψ(x, t)|2

⟩=

1

2

∑k

⟨k2|ψ(k, t)|2

⟩. (8.45)

Nuevamente escribimos la energıa en forma integral:

E(t) =1

2(dk)2

∫∫ ⟨k2|ψ(k, t)|2

⟩dk =

∫ ∞0

[1

2(dk)2

∫|k|=k

⟨k2|ψ(k, t)|2

⟩ds

]dk, (8.46)

92

Turbulencia en dos dimensiones 8.4 Fenomenologıa de la turbulencia 2D

y repetimos los pasos de la subseccion anterior para encontrar el espectro de energıa

S(k) = πk3(L

2π

)2 ⟨|ψ(k, t)|2|k|=k

⟩. (8.47)

Espectro de enstrofıa y su relacion con el de energıa

Con la enstrofıa se procede de manera similar: primero se escribe el promedio de lavorticidad al cuadrado en terminos de ψ:

Z(t) =1

2

⟨[−∇2ψ(x, t)]2

⟩=

1

2

∑k

⟨k4|ψ(k, t)|2

⟩. (8.48)

Despues, se reescribe en forma integral como

Z(t) =1

2(dk)2

∫∫ ⟨k4|ψ(k, t)|2

⟩dk =

∫ ∞0

[1

2(dk)2

∫ 2π

0

⟨k4|ψ(k, t)|2

⟩kdθ

]dk, (8.49)

de donde se define el espectro de enstrofıa

Ω(k, t) = πk5(L

2π

)2

|ψ(k, t)|2. (8.50)

Es muy util senalar que el espectro de energıa (8.43) y de enstrofıa (8.50) se relacionan:

Ω(k, t) = k2S(k, t). (8.51)

La energıa E y la enstrofıa Z totales se pueden interpretar como los momentos de ordencero y dos del espectro de energıa S, respectivamente.

8.4. Fenomenologıa de la turbulencia 2D

Vamos a describir el comportamiento de la turbulencia 2D continuamente forzada, cuyafenomenologıa fue descrita por Kraichnan (1967). Este es el ejemplo mas paradigmatico ymejor estudiado desde entonces.

La doble cascada

Se considera un flujo turbulento en dos dimensiones, continuamente forzado y estadısti-camente en equilibrio: la energıa inyectada por el forzamiento es disipada or algun meca-nismo fısico. La energıa se inyecta de manera continua en una cierta escala espacial `f connumero de Reynolds grande, y a partir de ahı se distribuye a otras escalas (que mantie-nen un Reynolds alto). La ausencia de estiramiento, ası como la conservacion de energıa yenstrofıa tienen como consecuencia notable (i) la cascada inversa de energıa hacias escalasinerciales mayores que `f y (ii) la cascada directa de enstrofıa hacia escalas menores que `f .La cascada inversa consiste en la transferencia constante de energıa hacia escalas mayoresque la escala de forzamiento (!). Como resultado, la turbulencia no se descompone en pe-quenos eddies que disipan energıa (como en el caso 3D), sino que alimenta el movimiento de

93

8.4 Fenomenologıa de la turbulencia 2D Turbulencia en dos dimensiones

Figura 8.2: Por claridad aquı se reproduce la Figura 7.3. Espectro de energıa enturbulencia 3D (izquierda) y 2D (derecha). La flecha vertical hacia arriba (abajo)indica la escala de inyeccion (disipacion) de energıa. Las escalas son logarıtmicaspara resaltar las leyes de potencia que obedecen los espectros en los respectivos rangosinerciales.

estructuras con dimensiones mayores. Dado que su Re asociado tambien es mayor, dichosmovimientos son menos disipativos y pueden tener periodos de vida mucho mas largos quelos movimientos en la turbulencia 3D. Algunos autores identifican este comportamiento co-mo viscosidad negativa [Salmon (1998), capıtulo 4]. Por otro lado, la enstrofıa se distribuyeen cascada directa desde la escala de forzamiento hacias las escalas pequenas de movimiento,hasta llegar a un rango disipativo en la que es consumida por efectos viscosos.

Forma del espectro de energıa

Kraichnan (1967) postulo la forma del espectro de energıa S(k) cuando se alcanza unestado estadısticamente estacionario (Figura 8.2, derecha). Sea kf ∝ 1/`f el numero de ondaasociado con la escala caracterıstica de inyeccion de energıa, tal que el numero de Reynoldses alto. Para numeros de onda mayores y menores que kf se tiene un rango inercial connumeros de Reynolds todavıa altos, en el que las escalas de movimiento estan libres deefectos viscosos. Esta parte del espectro 2D se divide en dos subrangos inerciales:

Para k < kf , la energıa fluye en cascada hacia las escalas mayores, proceso que hemosreferido como cascada inversa (por ser contrario al caso 3D). La energıa se transfiere auna razon constante −ε (L2/T 3), mientras que la razon de transferencia de enstrofıaχ (con unidades 1/T 3, es decir, enstrofıa por unidad de tiempo) es cero.

Para kf > k, por el contrario, la enstrofıa se transfiere en cascada hacia las esca-las menores, que es la llamada cascada directa de enstrofıa. La transferencia χ esconstante, mientras que la transferencia de energıa ε tiende a cero.

94

Turbulencia en dos dimensiones 8.4 Fenomenologıa de la turbulencia 2D

Los argumentos dimensionales que se han usado para conocer la forma del espectro enel rango inercial de la turbulencia 3D se pueden aplicar al caso 2D. Si suponemos que elespectro de energıa para numeros de onda menores al de la escala de forzamiento dependedel numero de onda k y de ε, podemos inferir de inmediato que

S(k) ∝ εakb =⇒ S(k) ∝ ε2/3k−5/3, para k < kf . (8.52)

Para k mayores, en los que la enstrofıa se transfiere hacia escalas cada vez menores a unarazon χ, se puede suponer que el espectro depende de k y de χ, lo que resulta:

S(k) ∝ χakb =⇒ S(k) ∝ χ2/3k−3, para k > kf . (8.53)

La existencia de estas dos formas del espectro 2D ha sido sujeta de numerosas investiga-ciones desde el trabajo de Kraichnan. El rango inercial de escalas grandes, k−5/3, ha sidocorroborado mediante simulaciones numericas con altos numeros de Reynolds desde la deca-da de los 70s. Por el contrario, el rango de escalas pequenas, k−3, es mas elusivo, sobre todoen presencia de fronteras o con numeros de Reynolds moderados, por lo que sigue siendotema de investigacion. Algunos autores (Boffetta & Ecke, 2012) consideran que la doble cas-cada es un fenomeno satisfactoriamente comprobado por simulaciones numericas directas(DNS).

Otro tema de discusion vigente es la forma del espectro de enstrofıa. Dada la relacionentre los espectros (8.51), se infiere que el espectro de enstrofıa es de la forma

Ω(k) ∝ χ2/3k−1, para k > kf . (8.54)

Este resultado fue formulado por Batchelor (1969), pero su validez y el rango de numero deonda en el que se puede aplicar es incierto, como lo discuten Dritschel et al. (2007).

Respecto a las regiones del espectro fuera del rango inercial, para escalas muy pequenask >> kf se vuelve a tener un rango disipativo, en el que la energıa es drenada por efectosviscosos (como en el caso 3D). La escala mınima (equivalente a la de Kolmogorov) calculadacomo funcion de χ y ν es

η =

(ν3

χ

)1/6

. (8.55)

Para escalas grandes k << kf , mas alla del rango inercial de los −5/3, el espectro deja deser universal al depender de las condiciones de frontera y de la forma del dominio.

Direccion de las cascadas

Existen varias formas de explicar la fenomenologıa de las cascadas en turbulencia 2D.Vamos a presentar dos argumentos heurısticos bien conocidos para fundamentar la direccionde las cascadas, ambos basados en la conservacion de la energıa y la enstrofıa.

Argumento simple (Salmon, 1998). Supongamos que la energıa del flujo se concentraen las escalas con numero de onda k1, y se transfiere a escalas grandes k0 = k1/2 < k0 ypeque nas k2 = 2k1 > k0. Por conservacion de energıa y enstrofıa se tiene que

S1 = S0 + S2, Q1 = Q0 +Q2

95

8.4 Fenomenologıa de la turbulencia 2D Turbulencia en dos dimensiones

De la enstrofıa se observa que

k21S1 = k20S0 + k22S2 =k214S0 + 4k21S2 =⇒ S1 =

S04

+ 4S2.

Resolviendo los espectros de energıa en terminos de S1 se tiene

S0 =4

5S1, S2 =

1

5S1.

Por lo tanto, la mayor parte de la energıa (80 %) se transfiere al numero de onda menork0, es decir, hacia escalas grandes. Por otro lado, al calcular las enstrofıas con S0 y S2 enterminos de S1 se encuentra que

Q0 = k20S0 =k214

(4

5S1

)=

1

5Q1, Q2 = k22S2 = 4k21

(1

5S1

)=

4

5Q1.

Por lo tanto, la enstrofıa se transfiere preferentemente hacia escalas menores asociadas conk2.

Figura 8.3: Evolucion del espectro de energıa en la cascada turbulenta 2D. Lınea azul:tiempo inicial. Lınea roja: tiempo posterior.

Argumento un poco mas elaborado (Salmon, 1998). Ver tambien variantes de Rhines(1975); Vallis (2017). Una segunda explicacion se basa en el numero de onda que caracterizaa las escalas de movimiento que contienen la mayor parte de la energıa:

kE(t) =

∫kS(k)dk∫S(k)dk

≡ 1

E

∫kS(k)dk.

96

Turbulencia en dos dimensiones 8.5 Turbulencia forzada vs. libre decaimiento

Por ejemplo, kE(0) es el centro de la distribucion al tiempo inicial en la Figura 8.3. Estenumero es variable en el tiempo conforme la distribucion de energıa se distribuye a otrasescalas. Si se supone que la energıa inicialmente esta concentrada cerca del numero de ondak1, el ensanchamiento del espectro de energıa se puede medir con el incremento temporalde la ‘varianza’

d

dt

[1

E

∫(k − k1)2S(k)dk

]> 0.

Esta expresion se puede desarrollar como

d

dt

[1

E

(∫k2S(k)dk − 2k1

∫kS(k)dk + k21

∫S(k)dk

)]

=d

dt

(Z

E− 2k1

E

∫kS(k)dk + k21

)= −2k1

dkEdt

> 0, =⇒ dkEdt

< 0, (8.56)

donde se ha usado Q = k2S y la definicion de kE . Es decir, el numero de onda de las escalasque contienen la mayor parte de la energıa decrece: la energıa se transfiere a escalas mayores(la distribucion en la Figura 8.3 se mueve a la izquierda).

Para la enstrofıa se sigue un argumento equivalente, pero ahora se considera el cuadradodel numero de onda que caracteriza a las escalas que contienen la mayor parte de la enstrofıa

k2Z(t) =1

Z

∫k2Q(k)dk.

La derivada de la varianza se supone de nuevo positiva:

d

dt

[1

Z

∫(k2 − k21)2S(k)dk

]> 0. (8.57)

Desarrollando:

d

dt

[1

Z

(∫k4S(k)dk − 2k21

∫k2S(k)dk + k41

∫S(k)dk

)]

=d

dt

(1

Z

∫k2Q(k)dk − 2k21

Z

∫Q(k)dk + k41

E

Z

)

=d

dt

(k2Z − 2k21 + k41

E

Z

)=

dk2Zdt

> 0. (8.58)

Por lo tanto, la enstrofıa se transfiere a escalas menores.

8.5. Turbulencia forzada vs. libre decaimiento

En esta seccion se presenta algunos ejemplos de flujos turbulentos 2D. El objetivo esvisualizar el comportamiento de la turbulencia en el caso continuamente forzado y el delibre decaimiento, los cuales difieren notoriamente.

97

8.5 Turbulencia forzada vs. libre decaimiento Turbulencia en dos dimensiones

Figura 8.4: Izquierda superior: Vorticidad relativa calculada numericamente para unflujo turbulento 2D a un tiempo arbitrario. Los colores rojo y azul indican vorticidadpositiva y negativa, respectivamente. El dominio es un cuadrado con paredes de nodeslizamiento (con el forzamiento atenuado cerca de las fronteras). Derecha superior:Funcion corriente. Abajo: Evolucion temporal de la energıa y la enstrofıa totales.

Turbulencia con forzamiento continuo

Vamos a considerar la solucion numerica de la ecuacion de vorticidad continuamenteforzada

∂ω

∂t+ J(ω, ψ) = ν∇2ω +∇× τ − λω, (8.59)

donde τ es el forzamiento externo y λ un coeficiente de friccion lineal. Este tipo de disipacion(adicional a la Laplaciana) es un artificio que evita que la energıa se apile en las escalasgrandes. Por supuesto, tiene justificaciones fısicas como vimos con la friccion de Rayleighy la de Ekman. Por ejemplo, en modelos oceanicos es la friccion del fondo. Lo relevante esque la energıa inyectada se equilibra con la disipacion lineal, y no tanto por la viscosidadlateral que solo afecta a las escalas pequenas.

La Figura 8.4 (izquierda superior) muestra el campo de vorticidad a un cierto tiempocalculado al resolver (8.59) por un metodo de diferencias finitas. El flujo esta contenidoen un dominio cuadrado de lado L con una resolucion espacial de 256 × 256 puntos demalla. El numero de Reynolds (basado en L y la velocidad rms del fluido) es del orden de103. La escala de inyeccion de energıa es aproximadamente L/20. Dado que la turbulenciaes homogenea, se puede apreciar que cualquier region del dominio tiene caracterısticassimilares. Pero un analisis cuidadoso permite observar que hay estructuras mas pequenas ymas grandes que L/20 (estas ultimas son estructuras alargadas de signo positivo o negativode vorticidad). En el panel superior derecho se muestra el campo de funcion corriente, que

98

Turbulencia en dos dimensiones 8.5 Turbulencia forzada vs. libre decaimiento

x

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

y

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

k

101

102

103

E(k)

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

105

-1.65 (±0.22)-6.04 (±0.16)

Figura 8.5: Izquierda: Vorticidad relativa calculada numericamente para un flujo tur-bulento 2D a un tiempo arbitrario (similar al de la Figura 8.4). Derecha: Superposicionde 20 espectros de energıa a diferentes tiempos de la simulacion. La lınea vertical con-tinua indica el numero de onda del forzamiento kf . Modificado de Flores Ramırez &Zavala Sanson (2019).

presenta estructuras de tamano notablemente mayor al de la escala de forzamiento. Aunqueestos campos evolucionan y se deforman continuamente, la energıa y la enstrofıa globalespresentan pequenas oscilaciones alrededor de un valor constante (panel inferior).

En este tipo de simulaciones suele ser difıcil reproducir la parte del espectro k−3 enel rango de la cascada directa de enstrofıa. Generalmente se encuentra que la pendientees mucho mas pronunciada, como lo discute Danilov & Gurarie (2000) y las referenciasahı indicadas. Un ejemplo se muestra en la Figura 8.5. En el panel derecho se muestran20 espectros de energıa obtenidos a diferentes tiempos. Los espectros son practicamenteiguales, lo que muestra que el flujo es estadısticamente estacionario. La parte del espectropara escalas grandes k < kf es razonablemente k−5/3, pero en el rango de escalas pequenases aproximadamente k−6.

Turbulencia en libre decaimiento

En ausencia del forzamiento τ en (8.59) se tiene al sistema en libre decaimiento porviscosidad lateral y friccion lineal

∂ω

∂t+ J(ω, ψ) = ν∇2ω − λω. (8.60)

En este sistema la doble cascada se mantiene: dada una condicion inicial aleatoria queconcentra la energıa en un rango estrecho de escalas, esta se transfiere a las escalas mayoresy la enstrofıa hacia las escalas menores. La diferencia mas notable es que la topologıa delsistema cambia sensiblemente con el tiempo conforme la energıa se disipa. Como ejemplo,la Figura 8.6 muestra la evolucion del campo de vorticidad en un dominio cuadrado en unasimulacion numerica realizada con el mismo metodo que en el ejemplo anterior. El flujo

99

8.5 Turbulencia forzada vs. libre decaimiento Turbulencia en dos dimensiones

Figura 8.6: Vorticidad relativa calculada numericamente para un flujo turbulento 2Den libre decaimiento. Los colores rojo y azul indican vorticidad positiva y negativa,respectivamente. El dominio es un cuadrado con paredes de no deslizamiento.

inicial concentra toda la energıa en los remolinos de signo alternado con diametro ∼ L/16.Conforme el flujo evoluciona, los remolinos de signo diferente se auto-propagan en formade dipolos, mientras que los de mismo signo se fusionan y forman estructuras cada vezmayores. Un efecto adicional es la formacion de filamentos de vorticidad en las paredes deno deslizamiento, los cuales son advectados al interior del dominio. Este mecanismo es temavigente de investigacion (Clercx & van Heijst, 2009). Al final de la simulacion, las pocasestructuras que quedan cubren buena parte del dominio. Notese que la barra de colorescambia para poder visualizar los eddies conforme decaen.

Otra diferencia notable respecto al caso forzado es que el espectro cambia de forma yno es estacionario. Sin embargo, la evolucion del espectro reportada en diferentes estudiosvarıa. En algunos casos, el espectro practicamente se comporta como k−3 en todo el rangoinercial (Santangelo et al., 1989) y en otros el exponente cambia en el tiempo a valores aunmas negativos debido a la rapida disipacion en escalas pequenas, proceso conocido comodecaimiento selectivo (Maassen, 2000). Ademas, el espectro decrece y se va recorriendo hacialos numeros de onda pequenos.

Evolucion de las escalas turbulentas

La escala representativa de las estructuras turbulentas se puede definir como

L =

(E

Z

)1/2

. (8.61)

100

Turbulencia en dos dimensiones 8.5 Turbulencia forzada vs. libre decaimiento

El crecimiento de esta longitud se puede rastrear mediante los cambios temporales de laenergıa (8.28) y la enstrofıa (8.21). El vector generalizado de forzamiento es

F = ν

(−∂ω∂y,∂ω

∂x

)− λ(u, v). (8.62)

El primer termino corresponde a los efectos de viscosidad Laplaciana, como ya se vio con(8.22), y el segundo corresponde a la friccion lineal. Sustituyendo en las ecuaciones deevolucion se obtiene:

dE

dt= −2νZ − 2λE,

dZ

dt= 2νG− 2νP − 2λZ (8.63)

[recordar que P es la palinstrofıa (8.32) y G la cantidad asociada a la frontera (8.33)]. Alcombinar ambas expresiones se obtiene

d(L2)dt

=d

dt

(E

Z

)= 2ν

(PE

Z2− 1− GE

Z2

). (8.64)

Notese que el primer termino en el parentesis del lado derecho es positivo porque la palins-trofıa es positiva. Para simplificar la discusion vamos a considerar que la contribucion delas fronteras sea despreciable G → 0 (o bien, G = 0 cuando se tiene un dominio cuadradolibre de esfuerzos), por lo que queda

d(L2)dt

= 2ν

(L2

∆2− 1

), (8.65)

donde aparece una nueva escala de longitud ∆ = (Z/P )1/2. Dado que las estructuras tur-bulentas crecen en el tiempo se tiene que L > ∆ a cualquier tiempo. Lo mas relevantede la expresion (8.65) es que no depende de λ. Este resultado parece sorprendente porquesignifica que el crecimiento de las estructuras turbulentas es igual con o sin friccion lineal,aun cuando el decaimiento de la energıa (y enstrofıa) con friccion sea mucho mayor.

101

8.5 Turbulencia forzada vs. libre decaimiento Turbulencia en dos dimensiones

102

Capıtulo 9

Turbulencia geostrofica

La turbulencia geostrofica se refiere a los sistemas atmosfericos y oceanicos en los predo-mina el balance de los gradientes de presion horizontales y las aceleraciones de Coriolis enlas direcciones horizontales, mientras que en la vertical el fluido se encuentra aproximada-mente en balance hidrostatico (Pedlosky, 1987; Salmon, 1998). Esta condicion se presentacuando los flujos geofısicos son lo suficientemente lentos en comparacion con el periodo derotacion del planeta, es decir, cuando su escala de tiempo es de varios dıas (numero deRossby pequeno). El movimiento que resulta es principalmente horizontal, por lo que sudinamica se estudia mediante modelos bidimensionales (2D) o casi bidimensionales (Q2D).

En este Capıtulo vamos a estudiar el caso en el que, aun cuando el balance geostroficodomine, el fluido tiene la suficiente inercia para presentar un comportamiento turbulento.Se analizara la turbulencia zonostrofica en escalas planetarias, que resulta debido a lasvariaciones del parametro de Coriolis. Luego veremos los efectos de la topografıa del fondoen el caso de turbulencia Q2D.

9.1. Dinamica del plano β

Vamos a considerar un flujo 2D en un sistema en rotacion que represente los movimien-tos turbulentos del oceano o la atmosfera terrestre o de algun planeta gaseoso. Sea Ω larapidez angular constante del sistema. Cuando se quiere estudiar la dinamica del flujo anivel global es conveniente aproximar las ecuaciones de gobierno en coordenadas esfericas,ya que ası se resuelven explıcitamente las variaciones de la vorticidad planetaria en la di-reccion latitudinal (desde cualquiera de los polos hasta el ecuador). Para escalas menores,pero todavıa suficientemente grandes para sentir los efectos de los gradientes latitudinalesde la vorticidad planetaria, las ecuaciones se puedan aproximar en un plano tangente a lasuperficie del planeta.

El caso mas simple es el del plano β en latitudes medias, que es un plano con coordenadaszonal y meridional (x, y) centrado en una latitud de referencia ϕ0. La vorticidad planetaria oparametro de Coriolis es la componente normal al plano del vector de rotacion, f = 2Ω sinϕ.El plano β se caracteriza por la aproximacion lineal de las variaciones latitudinales delparametro de Coriolis

f = f0 + βy, (9.1)

103

9.1 Dinamica del plano β Turbulencia geostrofica

donde f0 es el valor en la latitud de referencia y β su gradiente en la direccion latitudinal:

f0 = 2Ω sinϕ0, β =2Ω

RTcosϕ0, (9.2)

con RT el radio de la Tierra. En la mecanica de fluidos geofısicos es razonable usar el planoβ cuando las escalas horizontales alcanzan el orden de 1000 km, mientras que para escalasmenores, pero todavıa afectadas por la rotacion (por ejemplo ∼ 100 km) se usa el plano fen el que f = f0.

Los flujos geofısicos en este sistema se caracterizan por ser predominantemente hori-zontales en el plano, mientras que se encuentran practicamente en balance hidrostatico enla vertical. La condicion primordial para que se verifique este comportamiento es que elnumero de Rossby Ro = U/f0L sea pequeno (con L la escala de movimiento horizontal yU de velocidad). El numero de Rossby compara las aceleraciones del fluido U2/L con laaceleracion de Coriolis Uf0. En terminos de escalas temporales se tiene que:

Ro =U

f0L=

1/f0L/U

≡ trotaciontinercial

. (9.3)

Ası, el balance geostrofico en la horizontal ocurre cuando los flujos geofısicos son lo sufi-cientemente lentos en comparacion con el periodo de rotacion del planeta, Ro << 1. Paraestudiar movimientos turbulentos geostroficos se deben tomar en cuenta los efectos inercia-les, aun cuando Ro sea pequeno.

Ecuacion de vorticidad

Para un flujo 2D homogeneo e incompresible con velocidad (u, v), la dinamica se puedeexpresar con la formulacion ω−ψ que vimos en el caso 2D, pero con la ecuacion de vorticidadde la forma

∂ω

∂t+ J(ω, ψ)− β∂ψ

∂x= ν∇2ω. (9.4)

Notamos que, a diferencia del caso con rotacion constante, aquı aparece el termino derotacion βv = −β∂ψ/∂x. En el caso inviscido ν → 0 es facil demostrar que se tiene laconservacion vorticidad potencial q = ω + βy:

Dq

Dt≡ D

Dt(ω + βy) = 0. (9.5)

La vorticidad relativa no se conserva porque su magnitud depende de los cambios latitudi-nales de f , lo cual se refleja en la conservacion de vorticidad potencial. Si una parcela defluido se desplaza al norte, entonces su vorticidad relativa debe disminuir para conservar q.Si se mueve al sur entonces ω debe aumentar. Este es el llamado “efecto β”.

Las cantidades globales conservadas en esta dinamica son la energıa total, la enstrofıapotencial (1/2

∫∫q2dA) y cualquier funcion arbitraria de q2. La fenomenologıa de la turbu-

lencia se mantiene (es decir, la cascada inversa de energıa y la directa de enstrofıa). Masabajo veremos como se modifica por la presencia de β.

104

Turbulencia geostrofica 9.1 Dinamica del plano β

Flujos no lineales: desplazamiento de remolinos

El efecto β tiene profundas implicaciones en la evolucion de los fluidos geofısicos. Porejemplo, es el mecanismo que induce a un remolino intenso a viajar largas distancias muchomayores que su propio tamano. Dicho desplazamiento se debe a la redistribucion de vorti-cidad del remolino y sus alrededores generada por la conservacion de vorticidad potencial.La Figura 9.1 ilustra este fenomeno en el caso de un remolino ciclonico idealizado en planoβ. Durante el primer periodo de rotacion del sistema (t/T = 0.33), el movimiento contrarioa las manecillas del reloj de las parcelas de fluido en la periferia del remolino generan vorti-cidad negativa en su esquina noreste (porque el fluido que es advectado al norte), mientrasque se genera vorticidad positiva en la parte suoreste (porque las parcelas se mueven al sur).Esta nueva distribucion de vorticidad resulta en el giro original ligeramente deformado ysobrepuesto con una componente dipolar que lo advecta hacia el noroeste. En tiempos sub-secuentes la evolucion se complica por el giro del remolino, pero el resultado se mantiene:el vortice se desplaza al noroeste. Por el mismo efecto los anticlones se desplazan hacia elsur. Mas en general: los ciclones se desplazan hacia el oeste con una componente hacia lospolos, mientras que los anticiclones tambien se mueven al oeste pero con la componentemeridional hacia el ecuador.

El desplazamiento de remolinos por efecto β se conoce desde los anos 50s, cuando sepropuso como mecanismo del movimiento de los huracanes antes de que pudieran visualizar-se por satelite (Adem, 1956). En el oceano tambien es comun este fenomeno: por ejemplo,los remolinos de la corriente de Lazo en el Golfo de Mexico o los que se desprenden de lacorriente de Aghulas en Sudafrica y cruzan practicamente todo el Atlantico sur. El movi-miento de remolinos planetarios por efecto β es un fenomeno fundamental para estudiar eltransporte de propiedades (fısicas, quımicas, etc.) a lo largo de grandes distancias. No sedebe olvidar que el remolino en cuestion debe ser lo suficientemente grande para que loscambios latitudinales que induce en el parametro de Coriolis sean importantes.

Flujos lineales: ondas de Rossby

Por otro lado, para movimientos lineales o perturbaciones debiles, el efecto β induce lageneracion de ondas de Rossby, tambien llamadas ondas de vorticidad o planetarias. En elcaso barotropico, la frecuencia σ de estas oscilaciones es baja (en comparacion con f0) ycumple la relacion de dispersion

σ =−βkxk2x + k2y

, σ < f0, (9.6)

donde (kx, ky) es el numero de onda horizontal con componentes zonal y meridional, respec-tivamente. Por lo tanto, la rapidez de fase de las ondas es negativa y tienden a desplazarsehacia el oeste (con componente meridional si ky 6= 0). De hecho, el remolino de la Figura(9.1) deja una ‘estela’ de ondas de Rossby durante su desplazamiento: al perturbar el fluidocircundante se generan patrones alternados de circulacion negativa y positiva (en el ultimopanel a t/T = 3.2 se observa la aparicion de la celda positiva).

105

9.2 Turbulencia zonostrofica Turbulencia geostrofica

Figura 9.1: Simulacion numerica de un remolino ciclonico en el plano β en el hemisfe-rio norte (f0 > 0). Los paneles muestran el campo de vorticidad relativa a diferentestiempos normalizados con el periodo de rotacion T [los colores en rojo (azul) repre-sentan vorticidad positiva (negativa)].

9.2. Turbulencia zonostrofica

La turbulencia en los flujos de escalas planetarias (cuya extension es una fraccion signifi-cativa del radio del planeta) se conoce como zonostrofica (Galperin et al., 2006). La palabraviene de la generacion de flujos zonales, como veremos mas adelante, debido a los efectosdel gradiente de vorticidad planetaria en el sistema en rotacion. Este tipo de turbulencia esuna explicacion plausible de las bandas alternadas en la direccion zonal que presentan lasatmosferas gaseosas de los planetas gigantes, como Jupiter y Saturno. El mismo mecanismopuede actuar en el caso de los oceanos y la atmosfera terrestre. Sin embargo, su deteccionpuede ser difıcil en la Tierra porque los efectos de gran escala tienen a su vez tiempos aso-ciados bastante largos y con frecuencia son camuflados por otros fenomenos de frecuenciasmenores.

Escalas de longitud

La turbulencia zonostrofica resulta de la interaccion entre la dinamica del flujo 2D, lacual desarrolla la cascada inversa de energıa hacia escalas grandes, y el efecto β sobre lasestructuras que se van formando. En turbulencia estacionaria forzada a cierta escala, lasestructuras que alcanzan cierta tamano tenderan a moverse hacia el oeste, modificandola fenomenologıa de la turbulencia 2D. En lugar de producir estructuras con orientacionarbitraria, el resultado es una transferencia de energıa de manera preferente hacia la com-ponente zonal del flujo, lo que genera corrientes turbulentas zonales alternadas fluyendo al

106

Turbulencia geostrofica 9.2 Turbulencia zonostrofica

este y al oeste.Para discutir este fenomeno volvemos a la ecuacion de vorticidad, pero ahora con for-

zamiento continuo y ademas un termino de friccion lineal

∂ω

∂t+ J(ω, ψ)− β∂ψ

∂x= ν∇2ω +∇× τ − λω. (9.7)

La turbulencia zonostrofica tiene dos escalas naturales de longitud. La primera resulta deconsiderar la escala a la cual la dinamica de la turbulencia 2D (es decir, la inercia del flujo)se compara con el efecto β. Los terminos correspondientes en la ecuacion de vorticidad son

J(ω, ψ) ≡ u · ∇ω ∼ U2

L2, βv ∼ βU, (9.8)

con U y L las escalas de velocidad y longitud respectivamente. Ambos terminos son com-parables en la llamada escala de Rhines

Lβ ∼(U

β

)1/2

(9.9)

(Rhines, 1975). Notese que Lβ es independiente del forzamiento. Las corrientes zonales quese forman en la turbulencia zonostrofica se encuentran separadas aproximadamente la escalade Rhines Lβ, aunque esta interpretacion no es del todo solida por la inevitable ambiguedadal determinar la escala de velocidad.

Una segunda longitud caracterıstica se deriva al considerar dos escalas de tiempo: (i)la asociada con el subrango inercial en turbulencia 2D con escala de longitud L y razon detransferencia de energıa ε, y (ii) el periodo de las ondas de Rossby:

tε ∼L2/3

ε1/3, tβ ∼

k

β∼ 1

βL. (9.10)

La primera escala de tiempo se obtiene como se hizo en el caso 3D (suponiendo que tε esfuncion de ε y L). En la segunda se ha usado k ∼ 1/L. Al igualar estas expresiones seobtiene la escala de longitud a la cual la dinamica de la turbulencia y la del plano β soncomparables

Lε =

(ε

β3

)1/5

(9.11)

(Vallis & Maltrud, 1993).

Indice zonostrofico

Es razonable suponer que el comportamiento de la turbulencia dependera de la magnitudde las escalas naturales de longitud. El ındice zonostrofico se define como

LβLε

=U1/2β1/10

ε1/5. (9.12)

Cuando esta razon es pequena, significa que la escala de longitud esta determinada por lasescalas turbulentas. La consecuencia es que el regimen de flujo es el de la cascada inversa,

107

9.2 Turbulencia zonostrofica Turbulencia geostrofica

tıpica de la turbulencia 2D. Por el contrario, cuando el ındice zonostrofico es grande el efectoβ induce a las estructuras del flujo a moverse hacia el oeste, inhibiendo los movimientosmeridionales y promoviendo la formacion de los chorros zonales.

Generalmente es difıcil estimar ε y la escala fija de velocidad U . Para evitar uno de estosnumeros es conveniente utilizar el parametro de friccion λ dado en (9.7). Cuando el sistemaha alcanzado el equilibrio estadıstico y el flujo tiene energıa cinetica total E, entonces

ε = 2λE, U = (2E)1/2. (9.13)

La primera expresion indica el balance entre la energıa inyectada y la disipacion por lafriccion lineal, mientras que la segunda se puede asumir como la velocidad rms del fluido.Usando estas escalas el ındice zonostrofico se puede escribir de dos formas

LβLε

=(Uβ)1/10

λ1/5, o bien,

LβLε

=ε1/20β1/10

λ1/4. (9.14)

Formacion de estructuras zonales

Scott & Dritschel (2012) estudiaron numericamente la estructura de los chorros zonalesen turbulencia geostrofica en el plano β. Para caracterizar sus simulaciones utilizaron elındice zonostrofico en terminos de (ε, β, λ), es decir, la segunda expresion en (9.14). (Dehecho, el ındice se calcula a posteriori para obtener la energıa total y de ahı calcular ε =2λE). De acuerdo con sus resultados, cuando Lβ/Lε < 3 el flujo es esencialmente isotropicoy la turbulencia se comporta como en el caso puramente 2D. Para Lβ/Lε > 3, el flujo seorganiza en bandas zonales. Estos comportamientos se muestran en la Figura 9.2, en la quese presenta el campo de vorticidad relativa en cuatro simulaciones numericas. En la primerael ındice zonostrofico es 3 y, aunque se pueden apreciar estructuras zonales, la turbulenciaes bastante isotropica. Al incrementar el ındice en las otras simulaciones se observa que loschorros zonales estan cada vez mas definidos.

La generacion de anisotropıa fue discutida por Vallis & Maltrud (1993). Para ello, serecurre a la relacion entre las escalas de tiempo definidas en (9.10), pero ahora sus recıprocos(frecuencias) se escriben en terminos de las componentes del vector numero de onda

ε1/3k2/3 =βkx

k2x + k2y. (9.15)

Esta relacion determina los pares (kx, ky) posibles en el espacio de numero de onda. Unarelacion analoga se obtiene usando la frecuencia Uk basada en la escala de velocidad, demodo que

Uk =βkx

k2x + k2y. (9.16)

Parametrizando con un angulo θ en el segundo ejemplo se tiene que

kx =1

Lβcos3/2 θ, ky =

1

Lβsin θ cos1/2 θ, (9.17)

con Lβ la escala de Rhines (9.9). La curva geometrica determinada por la ecuacion indica lasregiones permitidas, es decir, las escalas que pueden existir (o no existir) en el flujo. Dicha

108

Turbulencia geostrofica 9.3 Dinamica Q2D

Figura 9.2: Campo de vorticidad relativa en simulaciones numericas de turbulenciazonostrofica (a-d): Tiempos t = 10/r donde r = (256, 64, 8, 1)× 10−4 y Lβ/Lε = 3.0,4.0, 6.5, 10.8, respectivamente. Tomado de Scott & Dritschel (2012).

curva se muestra en la Figura 9.3. Se trata de un par de ovoides ligeramente orientados enla direccion ky. La region interior a estas curvas son los pares (kx, ky) que no cumplen larelacion, mientras que todos los pares externos sı son permitidos. Vallis & Maltrud (1993)realizaron simulaciones numericas en donde inicialmente concentraron la energıa en un anilloalrededor de la curva. Se trata de escalas pequenas (numeros de onda no cercanos al cero).Lo que encontraron es que en tiempos subsecuentes la energıa fluye hacia escalas mayores,pero al tener prohibida la entrada a las regiones interiores a la curva, la energıa se concentrade manera preferente en el eje vertical kx = 0. Esto significa el desarrollo de estructuraszonales.

9.3. Dinamica Q2D

Anteriormente vimos que una capa de fluido homogeneo en un sistema en rotacionconstante se mueve en columnas verticales, paralelas al eje de rotacion, debido al teoremade Taylor-Proudman. Sin embargo, en presencia de topografıa variable las columnas puedenexperimentar efectos tridimensionales que alteren su vorticidad. La topografıa variable serefiere a que el fondo no es plano, sino que tiene la presencia de montanas y valles. Mientrasel flujo siga siendo ‘lento’ (con numero de Rossby pequeno), el flujo mantiene su movimiento

109

9.3 Dinamica Q2D Turbulencia geostrofica

Figura 9.3: Panel izquierdo: Curvas que delimitan las regiones de numeros de on-da (kx, ky) prohibidos (interior de los cuasi-cırculos) y los permitidos (exterior), deacuerdo a la expresion (9.16). Paneles derechos: evolucion del espectro de energıa enel campo de numero de onda en una simulacion numerica de un flujo turbulento. Laenergıa inicial se concentra en un anillo alrededor del origen. Tomado de Vallis &Maltrud (1993).

en columnas: los efectos de ladeo son nulos, pero puede haber efectos de estiramiento al habercambios de profundidad. La dinamica casi bidimensional (Q2D) se refiere a la incorporacionde estos efectos en la dinamica bidimensional (Zavala Sanson & van Heijst, 2014).

Modelo de aguas someras con topografıa

Se considera entonces un fluido homogeneo que se mueve en columnas sobre topografıavariable en el plano β (Figura 9.4). El fluido esta limitado por el fondo z = hB(x, y) yla superficie libre z = H + η(x, y, t), con H la altura hasta la superficie libre en reposoy η la correspondiente desviacion de H cuando hay movimiento. El espesor de la capase define como h(x, y, t) = H + η(x, y, t) − hB(x, y). Las componentes de velocidad delflujo son (u, v, w). Se considera que las componentes horizontales son independientes de laprofundidad, u = u(x, y, t), v = v(x, y, t), y en la vertical se cumple el balance hidrostatico(modelo de aguas someras).

La ecuacion de vorticidad en presencia de efectos viscosos es

∂ω

∂t+ u · ∇ω +

(∂u

∂x+∂v

∂y

)(f + ω) + βv = ν∇2ω. (9.18)

[es facil comprobar que esta es la componente vertical de la ecuacion 3D (8.12)]. Los terminosde estiramiento son proporcionales a la divergencia horizonal, que no se anula como en elcaso 2D. La divergencia horizontal se puede calcular integrando en toda la columna de fluido

110

Turbulencia geostrofica 9.3 Dinamica Q2D

Figura 9.4: Esquema del fluido en rotacion sobre topografıa variable.

la ecuacion de continuidad completa, lo que resulta

∂u

∂x+∂v

∂y= −1

h

Dh

Dt. (9.19)

El significado es evidente: la divergencia del flujo significa un cambio negativo de h, es decir,la columna se comprime al moverse hacia zonas mas someras. Si hay convergencia entoncessignifica que la columna se estira al moverse hacia zonas mas profundas.

La clave de la dinamica Q2D consiste en adoptar la aproximacion de tapa rıgida, la cualsupone que la altura de la columna no depende del tiempo, solo del espacio h = h(x, y). Laconsecuencia es que (9.19) se puede escribir como

∂(hu)

∂x+∂(hv)

∂y= 0. (9.20)

De esta expresion se define una funcion transporte ψ tal que

hu =∂ψ

∂y, hv = −∂ψ

∂x. (9.21)

Sustituyendo u y su divergencia en la ecuacion de vorticidad, se encuentra que

∂ω

∂t+ J(q, ψ) = ν∇2ω, (9.22)

donde J(A,B) = AxBy −AyBx es el operador Jacobiano y la vorticidad potencial es

q =ω + f

h. (9.23)

Ademas, la relacion entre ω y ψ es

ω = −1

h∇2ψ +

1

h2∇h · ∇ψ. (9.24)

111

9.4 Turbulencia sobre topografıa variable Turbulencia geostrofica

Por ultimo, notamos que la ecuacion de vorticidad se puede escribir como

Dq

Dt=ν

h∇2ω, (9.25)

por lo que en el caso inviscido se tiene la conservacion material de vorticidad potencial,Dq/Dt = 0. Otra anotacion: Si la capa de fluido tiene un espesor constante h = H, entoncesse recupera el modelo 2D, con la funcion corriente ψ∗ = ψ/H, la vorticidad potencialq = ω + βy y la relacion ω − ψ∗ es la ecuacion de Poisson ω = −∇2ψ∗.

A pesar de su nombre, el modelo de aguas someras no exige que la profundidad del fluidosea mucho menor que su extension horizontal. Esto se comprueba de manera rutinaria enexperimentos de laboratorio como el mostrado en la Figura 8.1: la profundidad del remolinoque se observa es de unos 20 cm, que es del mismo orden que su diametro. La suposicionbasica es mas bien que el numero de Rossby sea pequeno para que el flujo se mueva encolumnas balanceadas hidrostaticamente a pesar de estar en movimiento (Pedlosky, 1987).

Modelo cuasi-geostrofico

Una dinamica mas restrictiva pero mucho mas utilizada es el modelo cuasi-geostrofico(QG), el cual supone que los cambios de la columna h debidos a la topografıa son muypequenos con respecto a la profundidad total

h(x, y) = H −∆(x, y), con ∆(x, y) << H. (9.26)

Bajo la aproximacion 1/h ≈ (1/H)(1 + ∆/H + . . .) y despreciando los productos ω∆, β∆y menores, la vorticidad potencial es

qqg = ω + βy +f0H

∆. (9.27)

Se puede mostrar de manera directa que la ecuacion de vorticidad tiene la misma forma queen aguas someras

∂ω

∂t+ J(qqg, ψ∗) = ν∇2ω, (9.28)

pero ahora usando la funcion corriente ψ∗ = ψ/H. Ademas, se tiene que ω = −∇2ψ∗, comoen el caso 2D.

9.4. Turbulencia sobre topografıa variable

Cunado se tiene un flujo turbulento en libre decaimiento sobre topografıa variable ocurreun proceso muy singular: la cascada inversa acumula energıa en escalas cada vez mayoreshasta alcanzar el tamano promedio de los accidentes topograficos. Ası como en la turbulenciazonostrofica la cascada inversa se detiene meridionalmente debido al efecto β, en presenciade topografıa se detiene debido a los cambios de profundidad. Vamos a analizar el fenomenoen el contexto cuasi-geostrofico y en el de aguas someras.

112

Turbulencia geostrofica 9.4 Turbulencia sobre topografıa variable

Turbulencia en el modelo QG

El decaimiento de la turbulencia con topografıa fue abordado inicialmente por Bret-herton & Haidvogel (1976) en el contexto de la dinamica QG. Algunos otros estudios lesiguieron al poco tiempo. Los autores resolvieron la ecuacion de vorticidad

∂ω

∂t+ J(ψ, q) = −ν ′∇4ω. (9.29)

Hay dos diferencias respecto a (9.28). Primero, la funcion corriente ψ fue definida consigno contrario al que hemos venido utilizando, por lo que las velocidades horizontales sonu = −∂ψ/∂y, y v = ∂ψ/∂x y el Jacobiano tiene el orden invertido. Segundo, el terminodisipativo es −ν ′∇4ω que se conoce como ‘hiper-viscosidad’ (en lugar del termino Laplacianoν∇2ω). Este es un artificio al que recurren numerosos estudios para atenuar el decaimientoselectivo en escalas pequenas, es decir, para que la hiper-viscosidad actue solo hasta unrango de escalas muy pequenas y permita ampliar el rango inercial del espectro.

Una de las simulaciones numericas mas relevantes es en plano f con una ‘topografıa’∆(x, y) aleatoria (recordar que no es el espesor h(x, y), sino sus desviaciones con respectoa la media H). El dominio es un cuadrado con paredes de libre deslizamiento. La Figura9.5 (panel izquierdo) presenta los contornos de la topografıa, la cual se compone de algunascuencas y elevaciones. El panel izquierdo muestra el estado que ha adquirido la funcioncorriente despues de tiempos muy largos de la simulacion (varios periodos de rotacion delsistema). Lo relevante es que el campo de ψ muestra valores positivos y negativos quecoinciden con las montanas y los valles, respectivamente. El flujo se ha organizado de acuerdoa la forma de la topografıa en: circulaciones anticiclonicas alrededor de las montanas, yciclonicas alrededor de los valles. La configuracion del flujo permanece en ese estado mientrassigue disipando energıa.

Turbulencia en el modelo de aguas someras

El problema anterior fue estudiado por Zavala Sanson et al. (2010) con el modelo deaguas someras (9.22)-(9.24) tambien en el plano f . Recordar que ahora se trata de la funciontransporte ψ [con la definicion del signo de ψ contraria a la de Bretherton & Haidvogel(1976)] y donde se usa viscosidad Laplaciana. Los paneles a-c en la Figura 9.6 muestranla evolucion del campo de vorticidad desde el tiempo inicial y hasta mas de 76 veces elperiodo de rotacion del sistema. El flujo inicial consiste de un conjunto de remolinos designo alternado en un arreglo cuadrado separado de las fronteras de no deslizamiento. En elpanel d se grafican los contornos de la profundidad h(x, y)−H, donde los valores positivos(en negro) indican valles y los negativos montanas (en azul). Al comparar el flujo en el panelb con la topografıa se puede advertir que ya existe una correlacion entre ambos campos,con las circulaciones ciclonicas alrededor de valles y las anticiclonicas alrededor de montanas(siempre con agua somera a la derecha, ya que f0 > 0).

Estados preferentes

El establecimiento de un flujo que toma la forma de la topografıa indica que, sin importarla condicion inicial, el sistema tiende a un estado predecible si se conoce la forma del fondo.Este comportamiento se observa tanto para aguas someras como para QG.

113

9.4 Turbulencia sobre topografıa variable Turbulencia geostrofica

Figura 9.5: Simulacion numerica de flujo QG sobre topografıa aleatoria. Izquierda:Contornos de topografıa ∆(x, y). Las lıneas continuas (discontinuas) son valores posi-tivos, es decir, montanas (valles). Derecha: Contornos de funcion corriente. Las lıneascontinuas (discontinuas) son valores positivos (negativos) e indican circulacion anti-ciclonica (ciclonica) de acuerdo a la definicion escogida del signo de ψ (ver texto).Modificado de la Figura 2 de Bretherton & Haidvogel (1976).

Figura 9.6: Simulacion numerica de aguas someras sobre topografıa aleatoria. Panelesa-c: Contornos de vorticidad ω(x, y, t). Panel d: Contornos de topografıa h(x, y) −H. Los contornos negros (azules) indican valores positivos (negativos) en todos lospaneles. Tomado de Zavala Sanson et al. (2010).

114

Turbulencia geostrofica 9.4 Turbulencia sobre topografıa variable

El estado preferente encontrado en el modelo de aguas someras se puede analizar conayuda de las cantidades integrales de energıa E y enstrofıa potencial Q, definidas como

E =1

2V

∫∫1

h2|∇ψ|2hdxdy, Q =

1

2V

∫∫q2dxdy, (9.30)

con el volumen total V =∫∫

hdxdy (Zavala Sanson et al., 2010). Notese la equivalencia deQ con la enstrofıa Z en 2D (salvo las unidades, por supuesto). En el lımite inviscido ambascantidades se conservan

dE

dt= 0,

dQ

dt. (9.31)

Cuando el flujo se adapta a la topografıa adquiere un estado estacionario, de forma que losterminos no lineales en la ecuacion de vorticidad se anulan, lo que implica que la vorticidadpotencial es una funcion de ψ:

J(q, ψ) = 0, =⇒ q = F (ψ). (9.32)

La funcion F es arbitraria y univaluada a lo largo de los contornos de ψ. Su relevancia esque define la circulacion hacia la que tiende el sistema.

Teoricamente se puede derivar la relacion q vs. ψ mediante el principio variacional demınima enstrofıa

δQ+ µδE = 0, (9.33)

con µ un multiplicador de Lagrange. La interpretacion es que la cascada de enstrofıa obligaa que Q disminuya en el tiempo, y por lo tanto se busca el flujo ψ que minimiza Q dada laenergıa E (que permanece practicamente constante). La condicion para que esto suceda es

q = −µψ + q0, (9.34)

con q0 constante. En las simulaciones de Zavala Sanson et al. (2010) se encuentra que, enefecto, q y ψ estan anticorrelacionadas. Sin embargo, la relacion funcional entre ellas noes lineal en algunas regiones del flujo. Las discrepancias se deben probablemente a que losnumeros de Reynolds utilizados son moderados y los efectos viscosos limitan la validez dela hipotesis del flujo inviscido. El resultado (9.34) es analogo a la relacion entre vorticidadpotencial y funcion corriente en QG encontrada por Bretherton & Haidvogel (1976).

115

9.4 Turbulencia sobre topografıa variable Turbulencia geostrofica

116

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