LÝ THUY Â T X ÁSU ¨ T V À TH Ô KÊ TOÁ H Ð Cmeteo.edu.vn/~tanpv/Lectures/Chg 2 - Xac suat.pdf · 2.1 Phép th ... o Ng m ág Ñi ÿlà ÿ Ïngh su ©ni Ëm ÿ ×ng kh § n

10:07:2910:07:29

LÝ THUYLÝ THUYӂӂT T XXÁÁC SUC SUҨҨT VT VÀÀ THTHӔӔNG KÊ NG KÊ

TOTOÁÁN HN HӐӐCC

Phan Văn TânPhan Văn TânBBӝӝ mô Khmô Khíí tѭ tѭӧӧngng

10:07:2910:07:29

Chѭѫng Chѭѫng 2.2. SӴ KIӊN VÀ XÁC SUҨT

2.1 Phép thӱ, sӵ kiӋn và xác suҩt sӵ kiӋn• Các khái niӋm ÿѭӧc gһp ÿҫu tiên trong lý thuyӃt xác suҩt

là “phép thӱ” và “sӵ kiӋn”• “phép thӱ” ÿѭӧc hiӇu là mӝt bӝ ÿiӅu kiӋn xác ÿӏnh, nó có

thӇ lào mӝt thí nghiӋm cө thӇo mӝt lҫn quan sát (quan trҳc) sӵ xuҩt hiӋn mӝt hiӋn tѭӧng nào ÿó

• Mӝt phép thӱ có thӇ có nhiӅu kӃt cөc khác nhau, o các kӃt cөc này là các “sӵ kiӋn” có thӇ xҧy rao Sӵ kiӋn thѭӡng ÿѭӧc ký hiӋu bӣi các chӳ in A,B,C, v.v... ÿôi

khi có kèm theo chӍ sӕ.

10:07:2910:07:29


2.1 Phép thӱ, sӵ kiӋn và xác suҩt sӵ kiӋn• Ví dө:

o Khi gieo mӝt ÿӗng tiӅn tӭc là ta ÿã tiӃn hành mӝt phép thӱ. • KӃt quҧ nhұn ÿѭӧc là hai kӃt cөc: Ĉӗng tiӅn xuҩt hiӋn mһt sҩp hoһc

xuҩt hiӋn mһt ngӱa• NӃu nhұn ÿѭӧc mһt sҩp ta nói “sӵ kiӋn” ÿӗng tiӅn xuҩt hiӋn mһt sҩp ÿã

xҧy rao Gieo mӝt con xúc xҳc (tiӃn hành mӝt phép thӱ)

• Phép thӱ này có 6 kӃt cөc ÿѫn: xuҩt hiӋn mһt 1 chҩm, 2 chҩm, 3 chҩm, 4 chҩm, 5 chҩm, 6 chҩm

• Các kӃt cөc này cǊng có thӇ cҩu thành kӃt cөc phӭc hӧp: xuҩt hiӋn mһt có sӕ chҩm là chҹn, xuҩt hiӋn mһt có sӕ chҩm bӝi 3 v.v...

• NӃu mӝt trong các kӃt cөc xuҩt hiӋn ta nói “sӵ kiӋn” (nào ÿó) ÿã xҧy ra

10:07:2910:07:29



o Mѭa là mӝt hiӋn tѭӧng khí tѭӧng. ViӋc quan trҳc hiӋn tѭӧng này cǊng là mӝt phép thӱ.

• Sӕ kӃt cөc cӫa phép thӱ này có thӇ lào 2 kӃt cөc: “không mѭa” hoһc “có mѭa”o 3 kӃt cөc: “không mѭa”, “mѭa dҥng lӓng” hoһc “mѭa hӛn hӧp” (lӓng và

rҳn)

• Nói chung cҫn phân biӋt rõ ba khái niӋm: “Phép thӱ”, “kӃt cөc” và “sӵ kiӋn”

10:07:2910:07:29


2.1 Phép thӱ, sӵ kiӋn và xác suҩt sӵ kiӋn• TuǤ theo tính chҩt xuҩt hiӋn cӫa các sӵ kiӋn trong phép

thӱ mà ta có thӇ chia chúng ra ba loҥi:o Sӵ kiӋn tҩt yӃu (hay sӵ kiӋn chҳc chҳn) là sӵ kiӋn nhҩt thiӃt

xҧy ra khi phép thӱ ÿѭӧc thӵc hiӋno Sӵ kiӋn bҩt khҧ (hay sӵ kiӋn không thӇ có) là sӵ kiӋn nhҩt thiӃt

không xҧy ra khi thӵc hiӋn phép thӱo Sӵ kiӋn ngүu nhiên là sӵ kiӋn có thӇ xҧy ra nhѭng cǊng có thӇ

không xҧy ra khi thӵc hiӋn phép thӱ

• Ký hiӋu: o U là sӵ kiӋn tҩt yӃuo V là sӵ kiӋn bҩt khҧo A là sӵ kiӋn ngүu nhiên

10:07:2910:07:29



o Gieo mӝt ÿiӇm ngүu nhiên lên mһt phҷng, khi ÿó:• ĈiӇm ÿó nҵm trong mһt phҷng là sӵ kiӋn tҩt yӃu• ĈiӇm ÿó không nҵm trong mһt phҷng là sӵ kiӋn bҩt khҧ• ĈiӇm ÿó rѫi vào mӝt miӅn hình chӳ nhұt cho trѭӟc trên mһt phҷng là sӵ

kiӋn ngүu nhiêno TiӃn hành ÿo nhiӋt ÿӝ ӣ Hà Nӝi vào mӝt ngày mùa hè:

• NhiӋt ÿӝ ÿo ÿѭӧc có giá trӏ >0oC là sӵ kiӋn tҩt yӃu• NhiӋt ÿӝ ÿo ÿѭӧc có giá trӏ <0oC là sӵ kiӋn bҩt khҧ• NhiӋt ÿӝ ÿo ÿѭӧc nҵm trong khoҧng 25-30oC là sӵ kiӋn ngүu nhiên

10:07:2910:07:29


2.1 Phép thӱ, sӵ kiӋn và xác suҩt sӵ kiӋn• Quan sát các sӵ kiӋn ngүu nhiên ta thҩy:

o khҧ năng xuҩt hiӋn cӫa chúng nói chung không ÿӗng ÿӅu, o mӝt sӕ sӵ kiӋn thѭӡng hay xҧy ra, o mӝt sӕ khác thѭӡng ít xҧy ra.

• Ví dө, vӅ mùa ÿông ӣ khu vӵc vùng núi phía Bҳc “nhiӋt ÿӝ thѭӡng dѭӟi 15 ÿӝ”, nhѭng “rҩt ít khi xuҩt hiӋn sѭѫng muӕi”

• Î nҧy sinh vҩn ÿӅ tìm cách ÿo lѭӡng “ÿӝ chҳc chҳn”cӫa mӝt sӵ kiӋn

o Tìm cách gán cho mӛi sӵ kiӋn mӝt sӕ P(A) không âm. o Sӕ này ÿѭӧc gӑi là xác suҩt cӫa sӵ kiӋn A.

10:07:2910:07:29


2.1 Phép thӱ, sӵ kiӋn và xác suҩt sӵ kiӋn• ĈӇ phù hӧp vӟi nӝi dung thѭӟc ÿo “ÿӝ chҳc chҳn” cӫa

sӵ kiӋn, xác suҩt P(A) phҧi ÿѭӧc xây dӵng sao cho thoҧmãn các ÿòi hӓi hӧp lý sau:

o Xác suҩt cӫa sӵ kiӋn tҩt yӃu U bҵng 1: P(U) = 1 (vì sӵ kiӋn chҳc chҳn 100% xҧy ra).

o Xác suҩt cӫa sӵ kiӋn bҩt khҧ V bҵng 0: P(V) = 0 (chҳc chҳn 100% không xҧy ra).

o Xác suҩt cӫa sӵ kiӋn ngүu nhiên A bӏ kҽp giӳa 0 và 1: 0dP(A)d 1

10:07:2910:07:29


2.2 Cách tính xác suҩt theo quan niӋm ÿӗng khҧ năng• Xét ví dө:

o Trong mӝt thùng kín ÿӵng n quҧ cҫu giӕng nhau vӅ mӑi mһt vàchӍ khác nhau vӅ màu sҳc, trong ÿó có m quҧ trҳng và n-m quҧ ÿen. Thӵc hiӋn phép thӱ: rút hú hoҥ 1 quҧ. Hӓi xác suҩt rút ÿѭӧc quҧ trҳng là bao nhiêu?

o Nhұn thҩy: Khi tiӃn hành rút hú hӑa mӝt quҧ, mӑi quҧ cҫu bҩt kǤ trong sӕ n quҧ ÿӅu có thӇ ÿѭӧc rút trúng, không phân biӋt màu sҳc

o Nói cách khác: Do tính ÿӕi xӭng hoàn toàn cӫa các quҧ cҫu nên mӛi quҧ ÿӅu có cùng khҧ năng ÿѭӧc rút nhѭ nhau

10:07:2910:07:29


2.2 Cách tính xác suҩt theo quan niӋm ÿӗng khҧ năngo NӃu gӑi A là sӵ kiӋn rút ÿѭӧc quҧ có màu trҳng thì trong sӕ n

kӃt thúc ÿӗng khҧ năng cӫa phép thӱ có m kӃt cөc thuұn lӧi cho A

o Khi ÿó xác suҩt P(A) cӫa sӵ kiӋn A sӁ ÿѭӧc tính bӣi:• Ĉӏnh nghƭa: Giҧ sӱ mӝt phép thӱ có tҩt cҧ n kӃt cөc ÿӗng khҧ

năng, trong ÿó có m két cөc thuұn lӧi cho sӵ kiӋn A. Khi ÿó xác suҩt cӫa A là tӹ sӕ giӳa sӕ kӃt cөc thuұn lӧi cho A trên tәng sӕ kӃt cөc ÿӗng khҧ năng cӫa phép thӱ

o Ngѭӡi ta gӑi ÿây là ÿӏnh nghƭa xác suҩt theo quan niӋm ÿӗng khҧ năng, hay “ÿӏnh nghƭa cә ÿiӇn” cӫa xác suҩt vì nó rҩt thông dөng trong thӡi kǤ ra ÿӡi cӫa lý thuyӃt xác suҩt

nmAP )(

nm

năănkhaÿôngcuckêtsôTôngnAcholoithuâncuckêtSômAP

)()()(

10:07:2910:07:29


2.2 Cách tính xác suҩt theo quan niӋm ÿӗng khҧ năngo NӃu A là sӵ kiӋn chҳc chҳn U thì mӑi kӃt cөc ÿӗng khҧ năng cӫa

phép thӱ ÿӅu thích hӧp cho A nên m = n, do ÿóo NӃu A là sӵ kiӋn bҩt khҧ V thì không có kӃt cөc thích hӧp nào

cho A nên m = 0, do ÿóo NӃu A là sӵ kiӋn bҩt kǤ thì 0 d m d n nên

o Cách tính xác suҩt theo công thӭc cә ÿiӇn có ѭu ÿiӇm là ÿѫn giҧn và trӵc quan

o Tuy nhiên phҥm vi áp dөng rҩt hҥn chӃ vì công thӭc này chӍ dùng ÿѭӧc cho loҥi phép thӱ gӗm mӝt sӕ hӳu hҥn kӃt cөc và mӑi kӃt cөc ÿӗng khҧ năngxuҩt hiӋn.

o Khi vұn dөng ÿӇ tính m và n, trӯ các trѭӡng hӧp giҧn ÿѫn, thѭӡng phҧi dùng công cө giҧi tích tә hӧp

1)( nnUP

00)( n

VP

1)(0 dd AP

10:07:2910:07:29


2.2 Cách tính xác suҩt theo quan niӋm ÿӗng khҧ năngMӝt sӕ ví dө:• VD1: Gieo mӝt con xúc xҳc. Hӓi xác suҩt xuҩt hiӋn: a). Mһt 6

chҩm; b). Mһt bӝi cӫa 3o Giҧi: Gӑi A là sӵ kiӋn xuҩt hiӋn mһt 6 chҩm, B là sӵ kiӋn xuҩt

hiӋn mһt bӝi cӫa 3, o Î Sӕ kӃt cөc khҧ năng n = 6, o sӕ kӃt cөc thuұn lӧi cho A là m = 1, sӕ kӃt cөc thuұn lӧi cho B là

m = 2 (mһt 3 và mһt 6). o Do ÿó

P(A) = 1/6; P(B) = 2/6 =1/3

10:07:2910:07:29


2.2 Cách tính xác suҩt theo quan niӋm ÿӗng khҧ năng•• VD 2: VD 2: Trong mӝt thùng có 3 quҧ cҫu trҳng và 5 quҧ cҫu ÿen giӕng

hӋt nhau vӅ kính thѭӟc. Rút hú hoҥ 2 quҧ tӯ thùng ÿó. Tính xác suҩt xuҩt hiӋn: a) 2 quҧ trҳng; b) 1 quҧ trҳng và 1 quҧ ÿen

o Giҧi: Gӑi A là sӵ kiӋn xuҩt hiӋn 2 quҧ trҳng, B là sӵ kiӋn xuҩt hiӋn mӝt quҧtrҳng và mӝt quҧ ÿen

o Tәng sӕ quҧ cҫu trong thùng là: 3+5 = 8. Coi các quҧ cҫu này nhѭ 8 phҫn tӱ ÿã cho.

o Mӛi cách rút 2 quҧ cҫu ӭng vӟi viӋc chӑn mӝt tә hӧp chұp 2 tӯ 8 phҫn tӱ. Vұy có tҩt cҧ n = C8

2 kӃt cөc ÿӗng khҧ năng. o Sӕ kӃt cөc thuұn lӧi cho A là nhӳng cách chӑn 2 trong sӕ 3 quҧ trҳng. Vì vұy

mA = C32. Tӯ ÿó P(A) = mA/n = C3

2/C82 = 3/28

o Sӕ cách chӑn quҧ trҳng là C31, sӕ cách chӑn quҧ ÿen là C5

1. Do ÿó sӕ kӃt cөc thuұn lӧi cho B là mB = C3

1.C51. Vұy P(B) = mB/n = C3

1.C51/C8

2 = 15/28

10:07:2910:07:29


2.2 Cách tính xác suҩt theo quan niӋm ÿӗng khҧ năng•• VD 3: Trong sVD 3: Trong sӕӕ N bN bàài thi ci thi cóó M bM bàài ÿi ÿҥҥt tt tӯӯ ÿi ÿiӇӇm khm kháá trtrӣӣ lên. Rlên. Rúút t

ngngүүu nhiên u nhiên nn bbàài ÿi ÿӇӇ nhnhұұp ÿip ÿiӇӇm. Tm. Tíính xnh xáác suc suҩҩt ÿt ÿӇӇ trong trong nn bbàài ÿѭi ÿѭӧӧc c rrúút ct cóó mm (m<n) b(m<n) bàài ÿi ÿҥҥt tt tӯӯ ÿi ÿiӇӇm khm kháá trtrӣӣ lên.lên.

o Giҧi: Gӑi A là sӵ kiӋn trong sӕ n bài ÿѭӧc rút có m bài ÿҥt tӯ ÿiӇm khá trӣ lên.

o Sӕ kӃt cөc ÿӗng khҧ năng chính là sӕ cách chӑn n tӯ N bài: CNn

o Sӕ kӃt cөc thuұn lӧi cho A chính là tích cӫa sӕ cách chӑn m (bài ÿҥt ÿiӇm khá trӣ lên) tӯ M kӃt hӧp vӟi sӕ cách chӑn n-m (bài không ÿҥt ÿiӇm khá) tӯ N-M tӭc CM

m.CN-Mn-m

o Vұy P(A) = CMm.CN-M

n-m/ CNn

10:07:2910:07:29


2.3 Ĉӏnh nghƭa xác suҩt theo tҫn suҩt• Ĉӏnh nghƭa cә ÿiӇn cӫa xác suҩt chӍ áp dөng ÿѭӧc khi

phép thӱ có mӝt sӕ hӳu hҥn kӃt cөc ÿӗng khҧ năng• Thӵc tӃ thѭӡng gһp nhӳng phép thӱ không có tính chҩt ÿó• Chҷng hҥn phép thӱ bҳn mӝt phát ÿҥn vào bia thì các kӃt

cөc trúng bia hay trѭӧt không thӇ coi là ÿӗng khҧ năng xuҩt hiӋn

• ĈӇ khҳc phөc hҥn chӃ ÿó cӫa ÿӏnh nghƭa cә ÿiӇn và ÿӇtính ÿѭӧc xác suҩt cӫa sӵ kiӋn cho mӝt phép thӱ rӝng lӟn, ngѭӡi ta ÿѭa vào ÿӏnh nghƭa xác suҩt theo quan ÿiӇm thӕng kê

• Khái niӋm cѫ bҧn ÿѭa tӟi ÿӏnh nghƭa này là khái niӋm tҫn suҩt

10:07:2910:07:29


2.3 Ĉӏnh nghƭa xác suҩt theo tҫn suҩt• Giҧ sӱ tiӃn hành N phép thӱ cùng loҥi, trong mӛi phép thӱ có thӇ

xuҩt hiӋn sӵ kiӋn A, • Gӑi M là sӕ các phép thӱ quan sát thҩy A xuҩt hiӋn• Khi ÿó tӹ sӕ M/N ÿѭӧc gӑi là tҫn suҩt xuҩt hiӋn sӵ kiӋn A trong

loҥt phép thӱ ÿã ÿѭӧc tiӃn hành

• Ví dө: ĈӇ ÿánh giá chҩt lѭӧng sҧn phNm cӫa mӝt phân xѭӣng, ngѭӡi ta lҩy hú hӑa tӯ kho 100 sҧn phNm và tiӃn hành kiӇm tra. KӃt quҧ là có 7 sҧn phNm không ÿҥt tiêu chuNn chҩt lѭӧng. Vұy tҫn suҩt xuҩt hiӋn phӃ phNm cӫa phân xѭӣng là p(A) = 7/100 = 0.7

NMAP )(

10:07:2910:07:29


2.3 Ĉӏnh nghƭa xác suҩt theo tҫn suҩt• Tính chҩt:

o Trӏ sӕ cӫa tҫn suҩt nói chung phө thuӝc vào sӕ lѭӧng N phép thӱ ÿѭӧc tiӃn hành.

o Khi N bé, tҫn suҩt thay ÿәi rõ rӋt nӃu ta chuyӇn tӯ loҥt N phép thӱ này sang loҥt N phép thӱ khác.

o Tuy nhiên thӵc nghiӋm chӭng tӓ rҵng, tҫn suҩt có tính әn ÿӏnh, nghƭa là khi sӕ phép thӱ N khá lӟn thì trӏ sӕ cӫa tҫn suҩt biӃn thiên rҩt ít xung quanh mӝt hҵng sӕ xác ÿӏnh nào ÿó

o Ĉӕi vӟi các phép thӱ thuӝc mүu “thùng kín”, hҵng sӕ này trùng vӟi xác suҩt tính theo công thӭc cә ÿiӇn

• Ĉӏnh nghƭa thӕng kê cӫa xác suҩt: Xác suҩt cӫa sӵ kiӋn là trӏ sӕәn ÿӏnh cӫa tҫn suҩt khi sӕ phép thӱ tăng lên vô hҥn

10:07:2910:07:29


2.3 Ĉӏnh nghƭa xác suҩt theo tҫn suҩt• Tính әn ÿӏnh cӫa tҫn suҩt khi sӕ phép thӱ ÿӫ lӟn ÿѭӧc xác minh

bҵng nhiӅu thí nghiӋm công phu cӫa các nhà nghiên cӭu:o Laplace (thӃ kӹ XVIII) theo dõi các bҧng thӕng kê ӣ toàn nѭӟc Pháp và các

thành phӕ London, Peterbur, Berlin, ÿã tìm thҩy tҫn suҩt sinh con trai bҵng 22/43|0,542

o ĈӃn thӃ kӹ XX, nhà toán hӑc Thuӷ ÿiӇn Crame cǊng nhұn thҩy trӏ sӕ này rҩt gҫn vӟi tҫn suҩt sinh con trai năm 1935 tҥi Thuӷ ÿiӇn

• Ӭng dөng:o Xác ÿӏnh kích cӥ quҫn áo may sҹn hoһc các ÿӗ dùng gia ÿìnho Xác ÿӏnh qui luұt hoҥt ÿӝng cӫa tӝi phҥm trong ÿiӅu tra hình sӵo Chӑn thӡi ÿiӇm phát sóng truyӅn tin qua các tҫng ÿiӋn lyo N ghiên cӭu công hiӋu cӫa thuӕc men chӳa bӋnho Trong Khí tѭӧng Thӫy văn ?

10:07:2910:07:29


2.3 Ĉӏnh nghƭa xác suҩt theo hình hӑc• Ĉӏnh nghƭa thӕng kê cӫa xác suҩt ÿã khҳc phөc ÿѭӧc mӝt sӕ hҥn

chӃ cӫa ÿӏnh nghƭa xác suҩt cә ÿiӇn:o Các kӃt cөc không ÿӗng khҧ năng xuҩt hiӋno Sӕ kӃt cөc quá lӟn

• Tuy vұy trong trѭӡng hӧp sӕ kӃt cөc là vô hҥn thì ÿӏnh nghƭa này cǊng không phù hӧp

• Bӣi vұy, ngѭӡi ta ÿѭa vào ÿӏnh nghƭa xác suҩt theo hình hӑc

10:07:2910:07:29


2.3 Ĉӏnh nghƭa xác suҩt theo hình hӑc• Xét phép thӱ có vô hҥn kӃt cөc ÿӗng khҧ năng • Giҧ sӱ có thӇ biӇu thӏ tұp hӧp kӃt cөc này bӣi mӝt miӅn hình hӑc G

nào ÿó: o mӝt ÿoҥn thҷng mӝt miӅn phҷng, o mӝt mҧnh mһt cong hay mӝt khӕi không gian v.v...;

• Giҧ sӱ có thӇ biӇu thӏ nhӳng kӃt cөc thuұn lӧi cho sӵ kiӋn A bӣi các ÿiӇm thuӝc miӅn g � G

• Khi ÿó, xác suҩt cӫa sӵ kiӋn A ÿѭӧc tính nhѭ sau:P(A) = (Kích thѭӟc cӫa miӅn g)/(Kích thѭӟc cӫa miӅn G)

10:07:2910:07:29


2.3 Ĉӏnh nghƭa xác suҩt theo hình hӑc• Ví dө (Bài toán gһp gӥ): Hai ngѭӡi hҽn gһp nhau tҥi mӝt ÿӏa ÿiӇm

xác ÿӏnh trong khoҧng tӯ 0 giӡ ÿӃn 1 giӡ và qui ѭӟc vӟi nhau rҵng ngѭӡi ÿӃn trѭӟc chӡ ngѭӡi kia quá 20 phút thì sӁ bӓ ÿi. Tính xác suҩt ÿӇ hӑ gһp nhau, biӃt rҵng mӛi ngѭӡi có thӇ ÿӃn chӛ hҽn vào mӝt thӡi ÿiӇm bҩt kǤ trong khoҧng thӡi gian trên.

o Giҧi: Gӑi A là sӵ kiӋn hai ngѭӡi gһp nhauo Gӑi x và y (phút) tѭѫng ӭng là thӡi ÿiӇm ÿӃn ÿiӇm hҽn cӫa ngѭӡi thӭ nhҩt và

ngѭӡi thӭ hai o Sӕ kӃt cөc ÿӗng khҧ năng chính là mӑi cһp sӕ (x,y) mà 0 d x d 60, 0 d y d 60o Tұp hӧp này ÿѭӧc biӇu diӉn bӣi mӝt hình vuông có cҥnh bҵng 60 o Các kӃt cөc thuұn lӧi cho A là nhӳng cһp (x,y) sao cho |x-y|d20, hay

o Tұp hӧp này ӭng vӟi miӅn con cӫa hình vuông gӗm giӳa các ÿѭӡng thҷng y = x + 20 và y = x - 20

¯®

�t�d

�d�d�2020

2020xyxy

yx

10:07:2910:07:29


2.3 Ĉӏnh nghƭa xác suҩt theo hình hӑc

O P

QR

H

I

J

K

20� xy

20� xy

2020 d�d� yxOPQR

OHIQJK

SS

AP )(

95

36002000

360016003600

606040406060)(

�

u

u�u AP

10:07:2910:07:29


2.3 Ĉӏnh nghƭa xác suҩt theo hình hӑcChú ý: • Vӟi ÿӏnh nghƭa xác suҩt này, mӝt sӵ kiӋn có xác suҩt bҵng 0 vүn có

thӇ xҧy ra• Ví dө: Trên mһt phҷng ngang vӁ mӝt vòng tròn trong ÿó ÿánh dҩu

mӝt ÿiӇm M. Ĉӭng tӯ xa phóng lao vào miӅn vòng tròn. Tính xác suҩt ÿӇ lao phóng trúng ÿiӇm M.

o Trong trѭӡng hӧp này, diӋn tích cӫa miӅn g bҵng 0, do ÿó xác suҩt tính ÿѭӧc sӁ bҵng 0. N hѭng trên thӵc tӃ vүn có thӇ phóng trúng ÿiӇm M ÿã cho, tӭc sӵkiӋn vүn có thӇ xҧy ra.

10:07:2910:07:29


2.4 Quan hӋ giӳa các sӵ kiӋn• Các sӵ kiӋn trong mӝt phép thӱ thѭӡng liên

quan vӟi nhau bӣi các quan hӋ sau ÿây:o Quan hӋ kéo theo: Sӵ kiӋn A xuҩt hiӋn nhҩt thiӃt sӵ

kiӋn B xuҩt hiӋn. Trong trѭӡng hӧp này ta nói sӵ kiӋn A kéo theo sӵ kiӋn B, hoһc A là trѭӡng hӧp riêng cӫa B. Ký hiӋu A � B, hay A là tұp con cӫa B

o Quan hӋ tѭѫng ÿѭѫng: Ĉӗng thӡi sӵ kiӋn A kéo theo sӵ kiӋn B và B kéo theo A, tӭc A�B và B�A. Ta nói A và B là các sӵ kiӋn tѭѫng ÿѭѫng. Ký hiӋu A=B

o Tәng cӫa hai sӵ kiӋn: Tәng cӫa hai sӵ kiӋn A và B làmӝt sӵ kiӋn ÿѭӧc ký hiӋu là A�B (hay A + B), sao cho (A+B) xҧy ra khi và chӍ khi hoһc A xҧy ra hoһc B xҧy ra (nói cách khác: khi và chӍ khi ít nhҩt mӝt trong hai sӵ kiӋn A và B xҧy ra)

o Tích cӫa hai sӵ kiӋn: Tích cӫa hai sӵ kiӋn A và B làmӝt sӵ kiӋn ÿѭӧc ký hiӋu là A�B (hay AB), sao cho sӵ kiӋn tích AB xҧy ra khi và chӍ khi cҧ A và B cùng xҧy ra

A B

A B

AB

A+B

AB

10:07:2910:07:29


2.4 Quan hӋ giӳa các sӵ kiӋno Hai sӵ kiӋn xung khҳc: A và B ÿѭӧc gӑi là xung khҳc

nӃu A xuҩt hiӋn thì B không xuҩt hiӋn và ngѭӧc lҥi, hay AB = V

o HiӋu cӫa hai sӵ kiӋn: HiӋu cӫa sӵ kiӋn A và sӵ kiӋn B, ký hiӋu là A\B, là sӵ kiӋn xҧy ra khi A xҧy ra nhѭng B không xҧy ra

o Sӵ kiӋn ÿӕi lұp: Trong trѭӡng hӧp hiӋu cӫa hai sӵkiӋn A và B, nӃu A là sӵ kiӋn chҳc chҳn, A=U thì sӵkiӋn A\B=U\B ÿѭӧc gӑi là sӵ kiӋn ÿӕi lұp cӫa sӵ kiӋn B, ký hiӋu là

• N hұn xét: Ta có thӇ mӣ rӝng các khái niӋm trên cho trѭӡng hӧp nhiӅu sӵ kiӋn, chҷng hҥn tәng cӫa nhiӅu sӵ kiӋn, tích cӫa nhiӅu sӵ kiӋn,…

A B

BA

A\BBBUB \

10:07:2910:07:29


2.4 Quan hӋ giӳa các sӵ kiӋno Các sӵ kiӋn A1, A2, A3,....An ÿѭӧc gӑi là hӧp thành nhóm ÿҫy ÿӫ nӃu chúng

xung khҳc tӯng ÿôi mӝt và nhҩt thiӃt mӝt trong chúng phҧi xҧy ra (tӭc tәng cӫa chúng là sӵ kiӋn chҳc chҳn):

AiAj = V, �i�zjA1+A2+…+An = U

• Ví dө: o Gӑi Ei là sӵ kiӋn xuҩt hiӋn mһt i trong phép thӱ gieo mӝt con xúc xҳc (i = 1,

2, 3, 4, 5, 6). Khi ÿó các sӵ kiӋn Ei (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) hӧp thành nhóm ÿҫy ÿӫ các sӵ kiӋn

o Hai ngѭӡi cùng bҳn vào mӝt mөc tiêu, mӛi ngѭӡi bҳn mӝt phát. Gӑi Ai là sӵkiӋn ngѭӡi thӭ i bҳn trúng mөc tiêu, ta có:

- Sӵ kiӋn chӍ ngѭӡi thӭ nhҩt bҳn trúng: - Sӵ kiӋn có mӝt ngѭӡi bҳn trúng:- Sӵ kiӋn có ít nhҩt mӝt ngѭӡi bҳn trúng:- Sӵ kiӋn cҧ hai ngѭӡi bҳn trúng:- Sӵ kiӋn không có ai bҳn trúng:

21AA

2121 AAAA �

21 AA �

21AA

21AA

10:07:2910:07:29


2.5 Xác suҩt cӫa tәng các sӵ kiӋn (Công thӭc cӝng XS)

o Ĉӏnh lý: Xác suҩt cӫa tәng hai sӵ kiӋn A và B ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

o Chӭng minh: Sӱ dөng ÿӏnh nghƭa xác suҩt cә ÿiӇn.

• Giҧ sӱ sӕ kӃt cөc ÿӗng khҧ năng (sӕ trѭӡng hӧp cóthӇ có cӫa phép thӱ) là n.

• Sӕ kӃt cөc thuұn lӧi cho A là nA

• Sӕ kӃt cөc thuұn lӧi cho B là nB

• Sӕ kӃt cөc thuұn lӧi cho AB là nAB

• Î Sӕ kӃt cөc thuұn lӧi cho A+B sӁ là nA+nB-nAB

• Vұy

AB

A+B

AB

)()()()( ABPBPAPnn

nn

nn

nnnnBAP ABBAABBA ��

��

)()()()( ABPBPAPBAP ��

10:07:2910:07:29


2.5 Xác suҩt cӫa tәng các sӵ kiӋn (Công thӭc cӝng XS)o N Ӄu A và B xung khҳc vӟi nhau: AB=V, do ÿó P(AB)=P(V)=0Î P(A+B) = P(A) + P(B)o Ĉӕi vӟi hai sӵ kiӋn ÿӕi lұp:

o Trong trѭӡng hӧp tәng cӫa ba sӵ kiӋn:P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

o N Ӄu các sӵ kiӋn A, B, C xung khҳc vӟi nhautӯng ÿôi mӝt:

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)

)(1)(

1)()()()(

APAP

UPAPAPAAP

� �

� �

10:07:2910:07:29


2.5 Xác suҩt cӫa tәng các sӵ kiӋn (Công thӭc cӝng XS)• Ví dө: Mӝt kho vǊ khí cӫa ÿӏch gӗm 3 nhà: nhà sӕ 1 chӭa bom,

nhà sӕ 2 chӭa xăng và nhà sӕ 3 chӭa các vǊ khí không gây cháy. Xác suҩt bҳn trúng nhà sӕ 1, 2, 3 cӫa mӝt phát ÿҥn pháo tѭѫng ӭng là 10%, 15%, 20%. Tính xác suҩt phá huӹ toàn kho bӣi phát ÿҥn pháo ÿó, biӃt rҵng muӕn phá huӹ toàn bӝ kho chӍ cҫn bҳn trúng vào nhà sӕ 1 hoһc nhà sӕ 2.

• Giҧi: Gӑi Ai là sӵ kiӋn bҳn trúng nhà sӕ i (i = 1, 2, 3,...). - Theo ÿҫu bài, sӵ kiӋn A1 + A2 là sӵ kiӋn phá huӹ toàn bӝ kho bӣi

phát ÿҥn. - Vì A1, A2 xung khҳc nên:

P(A1 + A2) = P(A1) + P(A2) = 0,10 + 0,15 =0,25

10:07:2910:07:29


2.6 Xác suҩt có ÿiӅu kiӋn. Công thӭc nhân XS• Ví dө dүn:

o Mӝt bӝ vé sӕ gӗm 5 vé, trong ÿó có 2 vé trúng thѭӣng. Hai ngѭӡi mua lҫn lѭӧt rút mӛi ngѭӡi mӝt vé. Xác suҩt trúng thѭӣng cӫa mӛi ngѭӡi?

- Xác suҩt ngѭӡi thú nhҩt trúng thѭӣng: P(A) = 2/5- Xác suҩt ngѭӡi thӭ hai: Phө thuӝc vào kӃt quҧ cӫa ngѭӡi thӭ

nhҩt:- N Ӄu ngѭӡi thӭ nhҩt không trúng thѭӣng: Xác suҩt = 2/4- N Ӄu ngѭӡi thӭ nhҩt trúng thѭӣng: Xác suҩt = 1/4

• Ĉӏnh nghƭa. Xác suҩt cӫa sӵ kiӋn A ÿѭӧc tính vӟi giҧthiӃt sӵ kiӋn B ÿã xҧy ra ÿѭӧc gӑi là xác suҩt có ÿiӅu kiӋn cӫa A vӟi ÿiӅu kiӋn B, ký hiӋu là P(A/B)

- Các xác suҩt P(A), P(B) ÿѭӧc gӑi là xác suҩt không ÿiӅu kiӋn

10:07:2910:07:29


2.6 Xác suҩt có ÿiӅu kiӋn. Công thӭc nhân XS• Ví dө:

o Mӝt bӝ vé sӕ gӗm 5 vé, trong ÿó có 2 vé trúng thѭӣng. Hai ngѭӡi mua lҫn lѭӧt rút mӛi ngѭӡi mӝt vé. Xác suҩt trúng thѭӣng cӫa mӛi ngѭӡi?

- Gӑi sӵ kiӋn ngѭӡi thӭ nhҩt trúng thѭӣng là A, ngѭӡi thӭ hai là B- Xác suҩt ngѭӡi thӭ nhҩt trúng thѭӣng: P(A) = 2/5- Xác suҩt ngѭӡi thӭ hai:

2/14/2)/(

4/1)/(

ABP

ABP

10:07:2910:07:29


2.6 Xác suҩt có ÿiӅu kiӋn. Công thӭc nhân XS• Ĉӏnh lý nhân xác suҩt: Xác suҩt cӫa tích hai sӵ kiӋn bҵng tích xác

suҩt cӫa mӝt trong chúng nhân vӟi xác suҩt có ÿiӅu kiӋn, vӟi giҧthiӃt sӵ kiӋn kia ÿã xҧy ra

P(AB) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B)o Chӭng minh: Gӑi

• Sӕ kӃt cөc ÿӗng khҧ năng là n• Sӕ kӃt cөc thuұn lӧi cho B là nB

• Sӕ kӃt cөc thuұn lӧi cho cҧ A và B (sӵ kiӋn AB) là nAB

• Vì B ÿã xҧy ra nên sӕ kӃt cөc ÿӗng khҧ năng cӫa sӵ kiӋn A/B sӁ là nB, do ÿó:

o Î

)()(

//)/(

BPABP

nnnn

nnBAP

B

AB

B

AB

)/()()( BAPBPABP )/()()( ABPAPABP

10:07:2910:07:29


2.6 Xác suҩt có ÿiӅu kiӋn. Công thӭc nhân XS• Tính chҩt cӫa xác suҩt có ÿiӅu kiӋn

o 0 d P(A/B) d 1o P(B/B) = 1o NӃu AC = V thì P(A+C/B) = P(A/B) + P(C/B)o

• Các sӵ kiӋn ÿӝc lұp: Hai sӵ kiӋn A và B ÿѭӧc gӑi là ÿӝc lұp vӟi nhau nӃu sӵ xuҩt hiӋn cӫa sӵ kiӋn A không ҧnh hѭӣng ÿӃn xác suҩt xuҩt hiӋn cӫa sӵ kiӋn B và ngѭӧc lҥi

P(A/B) = P(A) hoһc P(B/A) = P(B)• HӋ quҧ: Xác suҩt cӫa tích hai sӵ kiӋn ÿӝc lұp bҵng tích xác suҩt cӫa

chúng: P(AB) = P(A).P(B)

)/(1)/( BAPBAP �

10:07:2910:07:29


2.6 Xác suҩt có ÿiӅu kiӋn. Công thӭc nhân XS• Tәng quát:

o Ĉӏnh nghƭa 1. Các sӵ kiӋn A1, A2,...An ÿѭӧc gӑi là ÿӝc lұp tӯng ÿôi mӝt nӃu P(Ai/Aj) = P(Ai) (i, j = 1,2,3,...n; i z j), nói cách khác, nӃu mӛi cһp sӵ kiӋn trong chúng là ÿӝc lұp

o Ĉӏnh nghƭa 2. Các sӵ kiӋn A1,A2,....An ÿѭӧc gӑi là ÿӝc lұp trên toàn thӇ (ÿӝc lұp tѭѫng hӛ) nӃu mӛi sӵ kiӋn trong chúng ÿӝc lұp vӟi tích cӫa mӝt sӕ bҩt kǤtrong các sӵ kiӋn còn lҥi, tӭc là:

P(Ak/Ai1 Ai2,...Air) = P(Ak) trong ÿó Ai1,..., Air là r sӵ kiӋn khác Ak trong sӕ n sӵ kiӋn ÿã choo Xác suҩt cӫa tích n sӵ kiӋn:

P(A1A2...An) = P(A1)P(A2/A1) P(A3/A1A2)...P(An/A1A2...An-1)o Khi các sӵ kiӋn Ai (i = 1,2, ...n) ÿӝc lұp tѭѫng hӛ

P(A1A2...An) = P(A1)P(A2)...P(An)

10:07:2910:07:29


2.6 Xác suҩt có ÿiӅu kiӋn. Công thӭc nhân XS• Ví dө 1. Trong thùng có 10 quҧ cҫu, trong ÿó 3 quҧ màu trҳng, 7

quҧ màu ÿen. Bӕc hú hoҥ hai lҫn, mӛi lҫn mӝt quҧ. Tính xác suҩt ÿӇlҫn thӭ nhҩt bӕc ÿѭӧc quҧ trҳng, lҫn thӭ hai ÿѭӧc quҧ ÿen.

o Giҧi: Gӑi A là sӵ kiӋn lҫn thӭ nhҩt bӕc ÿѭӧc quҧ trҳng, B là sӵ kiӋn lҫn thӭhai bӕc ÿѭӧc quҧ ÿen. Ta phҧi tính xác suҩt P(AB). Ta có

P(AB) = P(A)P(B/A) = 3/10 x 7/9 = 7/30• Ví dө 2. Hai ngѭӡi cùng bҳn vào mӝt mөc tiêu. Xác suҩt ngѭӡi thӭ

nhҩt bҳn trúng ÿích là 0.7, ngѭӡi thӭ hai là 0.8. Tính xác suҩt ÿӇ ít nhҩt có mӝt ngѭӡi bҳn trúng ÿích.

o Giҧi: Gӑi A là sӵ kiӋn ngѭӡi thӭ nhҩt bҳn trúng ÿích, B là sӵ kiӋn ngѭӡi thӭhai bҳn trúng ÿích. Sӵ kiӋn có ít nhҩt mӝt ngѭӡi bҳn trúng ÿích sӁ là A+B. Ta phҧi tính xác suҩt P(A+B).

- Ta có: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). Theo giҧ thiӃt, P(A)=0.7, P(B)=0.8, mһt khác vì A và B là hai sӵ kiӋn ÿӝc lұp nên P(AB)=P(A).P(B)=0.56.

- Vұy: P(A+B) = 0.7 + 0.8 - 0.56 = 0.94

10:07:2910:07:29


2.6 Xác suҩt có ÿiӅu kiӋn. Công thӭc nhân XS• Ví dө 2. Hai ngѭӡi cùng bҳn vào mӝt mөc tiêu. Xác suҩt ngѭӡi thӭ

nhҩt bҳn trúng ÿích là 0.7, ngѭӡi thӭ hai là 0.8. Tính xác suҩt ÿӇ ít nhҩt có mӝt ngѭӡi bҳn trúng ÿích.

o Mӝt cách giҧi khác: Sӵ kiӋn “ít nhҩt có mӝt ngѭӡi bҳn trúng ÿích” là ÿӕi lұp vӟi sӵ kiӋn “cҧ hai ngѭӡi ÿӅu bҳn trѭӧt”. N ghƭa là

o Mһt khác:

o Vұy P(A+B) = 1-0.06 = 0.94

)(1)(

\

BAPBAP

hayBAUBA

� �

�

06.02.03.0)(

))(1))((1()()()(

u

��

BAP

BPAPBPAPBAP

10:07:2910:07:29


2.7 Công thӭc xác suҩt toàn phҫn và công thӭc Bayes• Giҧ sӱ A1, A2,...,An là mӝt nhóm ÿҫy ÿӫ các kiӋn kiӋn xung khҳc và

B là mӝt sӵ kiӋn bҩt kǤ nào ÿó xxҧҧy ra trên ny ra trên nӅӅn cn cáác sc sӵӵ kikiӋӋn An Aii, n, nóói i ccáách khch kháác B xc B xҧҧy ra chy ra chӍӍ khi mkhi mӝӝt trong ct trong cáác Ac Aii xxҧҧy ra.y ra.

• Cho biӃt các xác suҩt P(Ai) và P(B/Ai) (i = 1,2...n). Khi ÿó xác suҩt cӫa sӵ kiӋn B ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi:

o Ta gӑi ÿây là công thӭc xác suҩt toàn phҫn hay công thӭc xác suҩt ÿҫy ÿӫo Công thӭc xác suҩt toàn phҫn cho phép tính xác suҩt cӫa B theo các xác suҩt

không ÿiӅu kiӋn P(Ai) và các xác suҩt có ÿiӅu kiӋn P(B/Ai) (i = 1,2,..n)

• Có thӇ chӭng minh công thӭc này nhѭ sau

¦

n

iii ABPAPBP

1

)/()()(

10:07:2910:07:29


2.7 Công thӭc xác suҩt toàn phҫn và công thӭc Bayes• A1, A2,...,An là nhóm ÿҫy ÿӫ các kiӋn kiӋn xung khҳc nên �6Ai = U• B xxҧҧy ra chy ra chӍӍ khi mkhi mӝӝt trong ct trong cáác Ac Aii xxҧҧy ra nên B=BU, hayy ra nên B=BU, hay

B = B(B = B(A1+A2+...+An) = BA1+BA2+…+BAn

• Vì các A1, A2,...,An xung khҳc nên các BA1, BA2,…, BAn cǊng lànhóm ÿҫy ÿӫ các sӵ kiӋn xung khҳc

• Do ÿó:

• Mһt khác:

• Vұy

¦

n

iiBAPBP

1

)()(

)/()()( iii ABPAPBAP

¦¦

n

iii

n

ii ABPAPBAPBP

11

)/()()()(

A1

A2 A3

A4A5

BA1

BA2BA3BA4BA5

B

10:07:2910:07:29


2.7 Công thӭc xác suҩt toàn phҫn và công thӭc Bayes• Ví dө: Sӕ liӋu khí tѭӧng cӫa trҥm X ÿѭӧc ÿo ÿҥc bӣi ba quan trҳc viên

QTV1, QTV2 và QTV3. Do tính chҩt công viӋc, QTV1 chӍ ÿҧm nhұn 20% khӕi lѭӧng công viӋc, QTV2 ÿҧm nhұn 30% khӕi lѭӧng công viӋc, 50% còn lҥi do QTV3 ÿҧm nhұn. Xác suҩt xҧy ra sai sӕ do QTV1, QTV2 và QTV3 ÿo ÿҥc tѭѫng ӭng là 0.4%, 0.3% và 0.1%. Tính xác suҩt xҧy ra sai sӕ chung cӫa sӕ liӋu cung cҩp bӣi trҥm X.

• Giҧi: o Gӑi A1, A2, A3 tѭѫng ӭng là các sӵ kiӋn sӕ liӋu ÿѭӧc tiӃn hành kiӇm tra do

QTV1, QTV2, QTV3 ÿo ÿҥc. o Gӑi B là sӵ kiӋn sӕ liӋu ÿѭӧc kiӇm tra có chӭa sai sӕo Ta có: P(A1) = 0.2, P(A2) = 0.3, PA3) = 0.5, o P(B/A1) = 0.004, P(B/A2) = 0.003, P(B/A3) = 0.001,o Vұy P(B) = P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+ P(A3)P(B/A3) = 0.2x0.004 + 0.3x0.003 + 0.5x0.001 = 0.0008+0.0009+0.0005=0.0022 = 0.22%

10:07:2910:07:29


2.7 Công thӭc xác suҩt toàn phҫn và công thӭc Bayes• Giҧ sӱ A1, A2,...,An là mӝt nhóm ÿҫy ÿӫ các kiӋn kiӋn xung khҳc và

B là mӝt sӵ kiӋn bҩt kǤ nào ÿó xxҧҧy ra trên ny ra trên nӅӅn cn cáác sc sӵӵ kikiӋӋn An Aii, n, nóói i ccáách khch kháác B xc B xҧҧy ra chy ra chӍӍ khi mkhi mӝӝt trong ct trong cáác Ac Aii xxҧҧy ra.y ra.

• Cho biӃt các xác suҩt P(Ai) và P(B/Ai) (i = 1,2...n). Khi ÿó xác suҩt có ÿiӅu kiӋn cӫa sӵ kiӋn Ai vӟi ÿiӅu kiӋn B ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi:

o Ĉây ÿѭӧc gӑi là công thӭc Bayes

• Có thӇ chӭng minh công thӭc này nhѭ sau:

¦

n

iii

iii

ABPAP

ABPAPBAP

1

)/()(

)/()()/(

¦

� n

iii

iiiii

ABPAP

ABPAPBP

ABPAPBAP

1

)/()(

)/()()(

)/()()/()/()()/()( BAPBPABPAP iii

10:07:2910:07:29


2.7 Công thӭc xác suҩt toàn phҫn và công thӭc Bayes• Công thӭc Bayes ÿѭӧc ӭng dөng rҩt nhiӅu trong khí tѭӧng thӫy văn• Có thӇ phát biӇu dҥng bài toán tәng quát nhѭ sau:• Giҧ sӱ A1, A2,...,An là mӝt nhóm ÿҫy ÿӫ các kiӋn kiӋn xung khҳc và

B là mӝt sӵ kiӋn nào ÿó xxҧҧy ra trên ny ra trên nӅӅn cn cáác sc sӵӵ kikiӋӋn An Aii. Bi. BiӃӃt rt rҵҵng ng B B ÿã xÿã xҧҧy ray ra. . Cho biӃt các xác suҩt P(Ai) và P(B/Ai) (i = 1, 2, ..., n).

• Hãy xác ÿӏnh: Trong sӕ các sӵ kiӋn A1, A2,...,An, sӵ kiӋn nào cókhҧ năng xҧy ra nhiӅu nhҩt.

o Giҧi bài toán này ÿӗng nghƭa vӟi viӋc tính các xác suҩt có ÿiӅu kiӋn P(Ai/B) và tìm giá trӏ lӟn nhҩt cӫa chúng

o Lӡi giҧi cuӕi cùng sӁ là MAX {P(Ai/B), i=1,2,…, n}

10:07:2910:07:29


2.7 Công thӭc xác suҩt toàn phҫn và công thӭc Bayes• Ví dө: Trӣ lҥi vӟi bài toán ӭng dөng công thӭc xác suҩt toàn phҫn• Sӕ liӋu khí tѭӧng cӫa trҥm X ÿѭӧc ÿo ÿҥc bӣi ba quan trҳc viên QTV1,

QTV2 và QTV3. Do tính chҩt công viӋc, QTV1 chӍ ÿҧm nhұn 20% khӕi lѭӧng công viӋc, QTV2 ÿҧm nhұn 30% khӕi lѭӧng công viӋc, 50% còn lҥi do QTV3 ÿҧm nhұn. Xác suҩt xҧy ra sai sӕ do QTV1, QTV2 và QTV3 ÿo ÿҥc tѭѫng ӭng là 0.4%, 0.3% và 0.1%. TiӃn hành kiӇm tra ngүu nhiên mӝt tұp sӕ liӋu ngѭӡi ta phát hiӋn thҩy trong tұp này có chӭa sai sӕ. Hӓi khҧ năng tұp sӕ liӋu này do ai quan trҳc?

• Giҧi: o Trҧ lӡi câu hӓi có nghƭa là phҧi tính ÿѭӧc các xác suҩt P(A1/B), P(A2/B),

P(A3/B).

10:07:2910:07:29


2.7 Công thӭc xác suҩt toàn phҫn và công thӭc Bayeso Gӑi A1, A2, A3 tѭѫng ӭng là các sӵ kiӋn sӕ liӋu ÿѭӧc tiӃn hành kiӇm tra do

QTV1, QTV2, QTV3 ÿo ÿҥc. o Gӑi B là sӵ kiӋn sӕ liӋu ÿѭӧc kiӇm tra có chӭa sai sӕo Ta có: P(A1) = 0.2, P(A2) = 0.3, PA3) = 0.5, o P(B/A1) = 0.004, P(B/A2) = 0.003, P(B/A3) = 0.001,o P(B) = P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+ P(A3)P(B/A3) = 0.2x0.004 + 0.3x0.003 + 0.5x0.001 = 0.0008+0.0009+0.0005=0.0022 = 0.22%

o P(A1/B) = P(A1)P(B/A1)/P(B) = 0.2x0.004/0.0022 = 0.0008/0.0022= 8/22o P(A2/B) = P(A2)P(B/A2)/P(B) = 0.3x0.003/0.0022 = 0.0009/0.0022= 9/22o P(A3/B) = P(A3)P(B/A3)/P(B) = 0.5x0.001/0.0022 = 0.0005/0.0022= 5/22o Vұy P(A2/B) = MAX {P(Ai/B), i=1,2,3} = 9/22

KӃt luұn: • Khҧ năng lӟn nhҩt tұp sӕ liӋu có chӭa sai sӕ là do QTV2 ÿo ÿҥc

10:07:2910:07:29


2.8 Dãy phép thӱ ÿӝc lұp (Dãy phép thӱ Bernoulli)• Ĉӏnh nghƭa: TiӃn hành n phép thӱ ÿӝc lұp. Dãy phép thӱ

này ÿѭӧc gӑi là dãy phép thӱ Bernoulli (hoһc lѭӧc ÿӗBernoulli) nӃu nó thӓa mãn các ÿiӅu kiӋn:

o Mӛi phép thӱ chӍ có hai kӃt cөc là A vào Xác suҩt xuҩt hiӋn A ӣ mӛi phép thӱ không ÿәi, bҵng P(A)=p,

và không phө thuӝc vào chӍ sӕ phép thӱ• Ví dө:

o Gieo ÿӗng tiӅn 100 lҫn vӟi cách thӭc nhѭ nhau. Ĉó là mӝt dãy phép thӱ Bernoulli (n=100, A là sӵ kiӋn xuҩt hiӋn mһt sҩp)

o Mӝt ngѭӡi bҳn lҫn lѭӧt 20 viên ÿҥn vào mӝt mөc tiêu bҵng mӝt khNu súng (n=20, A là sӵ kiӋn bҳn trúng mөc tiêu)

o Quan trҳc hiӋn tѭӧng mѭa phùn tӯng ngày trong mӝt tháng giêng (n=31, A là sӵ kiӋn mѭa phùn xuҩt hiӋn trong ngày)

A

10:07:2910:07:29


2.8 Dãy phép thӱ ÿӝc lұp (Dãy phép thӱ Bernoulli)• Bài toán: TiӃn hành dãy n phép thӱ Bernoulli. Tính xác suҩt ÿӇ

trong n lҫn thӱ ÿó sӵ kiӋn A xuҩt hiӋn k lҫn.• Giҧi:

o N Ӄu ӣ lҫn thӱ thӭ i nào ÿó A xuҩt hiӋn ta ghi chӳ A, còn A không xuҩt hiӋn ta ghi chӳ

o N hѭ vұy, kӃt quҧ có thӇ có cӫa n lҫn thӱ là mӝt dãy gӗm k chӳ A và (n-k) chӳ

o Do tính ÿӝc lұp cӫa các phép thӱ, nên vӟi 1 cách sҳp xӃp cӕ ÿӏnh k chӳ A và(n-k) chӳ ta có xác suҩt tѭѫng ӭng là pk.(1-p)n-k

o Vì sӕ cách sҳp xӃp k chӳ A trong n vӏ trí chính bҵng tә hӧp chұp k cӫa n, nên xác suҩt cҫn tìm sӁ là:

��AlânknAlânk

AAAA)(,

...�

A

knkknn ppCkP �� )1()(

A

A

Ngɉ͝i ta g͍i ÿây là công thͩc Bernoulli

10:07:2910:07:29


2.8 Dãy phép thӱ ÿӝc lұp (Dãy phép thӱ Bernoulli)• Sӕ lҫn xuҩt hiӋn chҳc chҳn nhҩt (sӕ có khҧ năng nhҩt):

Ví dө dүn: Ta xét ví dө sauo Gieo mӝt ÿӗng tiӅn 5 lҫn. Gӑi A là sӵ kiӋn ÿӗng tiӅn xuҩt hiӋn mһt sҩp. Vұy

P(A) = 0.5o Sӕ lҫn xuҩt hiӋn mһt sҩp trong 5 lҫn gieo có thӇ là k=0,1,2,3,4,5o Áp dөng công thӭc o ta ÿѭӧc

o N hұn xét: Trong các trѭӡng hӧp trên, xác suҩt xuҩt hiӋn mһt sҩp 2 lҫn và 3 lҫn là lӟn nhҩt

o Các sӕ ÿó ÿѭӧc gӑi là sӕ lҫn xuҩt hiӋn chҳc chҳn nhҩt, hay sӕ có khҧ năng nhҩt

knkknn ppCkP �� )1()(

0.03130.15630.31250.31250.15630.0313P5(k)

543210k

10:07:2910:07:29



o Trong dãy phép thӱ Bernpulli, khi n cӕ ÿӏnh, trӏ sӕ cӫa xác suҩt Pn(k) nói chung phө thuӝc vào k

o Trong tҩt cҧ các trӏ sӕ cӫa k có nhӳng giá trӏ k = k0 mà ӭng vӟi nó xác suҩt Pn(k) ÿҥt giá trӏ lӟn nhҩt

o Sӕ k0 ÿó ÿѭӧc gӑi là sӕ lҫn xuҩt hiӋn chҳc chҳn nhҩt (hay sӕ có khҧ năng nhҩt) cӫa sӵ kiӋn A trong dãy n phép thӱ ÿã cho

o ĈӇ xác ÿӏnh giá trӏ k0 ta xem Pn(k) nhѭ là hàm cӫa ÿӕi sӕ tӵ nhiên k và xét dáng hiӋu biӃn thiên cӫa Pn(k) rӗi tӯ ÿó tìm ra k0

o Lұp tӹ sӕ:

)1)(1()(

)1(!)!(!

)!1()!1(!

)1()1(

)()1( 111

pkpkn

pp

nknk

knkn

ppCppC

kPkP

knkkn

knkkn

n

n

��

�

��

��

�

�

��

10:07:2910:07:29



o Tӯ ÿó:o Pn(k + 1) > Pn(k) khi (n-k)p>(k+1)(p-1), tӭc là khi k<np+p-1; o Pn(k + 1) = Pn(k) khi k = np+p-1; o Pn(k + 1) < Pn(k) khi k > np+p-1o Khi k tăng tӯ 0 ÿӃn n, hàm Pn(k) lúc ÿҫu tăng theo k, sau ÿó ÿҥt cӵc ÿҥi rӗi

giҧm dҫno N Ӄu np+p-1 là mӝt sӕ nguyên thì Pn(k) ÿҥt hai cӵc ÿҥi k0=np+p-1 và k0=np+po N Ӄu np-q không phҧi là sӕ nguyên thì Pn(k) ÿҥt cӵc ÿҥi tҥi k0 là sӕ nguyên bé

nhҩt lӟn hѫn (np+p-1), nghƭa là phҫn nguyên cӫa sӕ np+p = p(n+1)

)1)(1()(

)()1(

pkpkn

kPkPn

n

��

�

10:07:2910:07:29


2.8 Dãy phép thӱ ÿӝc lұp (Dãy phép thӱ Bernoulli)• Mӣ rӝng ӭng dөng cӫa công thӭc Bernoulli:

o Ӭng dөng công thӭc Bernoulli trên ÿây ta tính ÿѭӧc xác suҩt xuҩt hiӋn k lҫn trong n lҫn thӱ, Pn(k)

o Trong nhiӅu trѭӡng hӧp ngoài xác suҩt Pn(k) ta còn phҧi tính xác suҩt sao cho trong n phép thӱ ÿӝc lұp, sӵ kiӋn A xuҩt hiӋn mӝt sӕ bҩt kǤ gӗm giӳa k1 và k2(0 d k1 d k d k2 d n)

o Ký hiӋu xác suҩt này là Pn(k1,k2) ta sӁ xác ÿӏnh công thӭc tính nhѭ sauo Gӑi Bk là sӵ kiӋn trong n lҫn thӱ A xuҩt hiӋn k lҫno Gӑi H là sӵ kiӋn trong n lҫn thӱ A xuҩt hiӋn trong khoҧng k1 ÿӃn k2 lҫno Ta có

o Vì các Bk là xung khҳc nên:

¦

2

1

k

kkkBH

¦¦

�

� 2

1

2

1

)1()()(),( 21

k

kk

knkkn

k

kkk ppCBPHPkkP

10:07:2910:07:29


2.8 Dãy phép thӱ ÿӝc lұp (Dãy phép thӱ Bernoulli)• Mӣ rӝng ӭng dөng cӫa công thӭc Bernoulli:

o Ví dө: Bҳn 5 phát súng vào mӝt mөc tiêu, xác suҩt trúng ÿích cӫa mӛi phát bҵng 0,2. ĈӇ phá huӹ mөc tiêu phҧi cҫn tӯ 3 phát trӣ lên trúng ÿích. Tính xác suҩt ÿӇ mөc tiêu bӏ phá hӫy.

o Giҧi: Sӵ kiӋn A: bҳn trúng mөc tiêu, P(A)=p=0.2o Sӵ kiӋn H, mөc tiêu bӏ phá hӫy, chính là sӵ kiӋn có hoһc 3, hoһc 4, hoһc 5

phát bҳn trúng mөc tiêu, tӭc là hoһc B3 hoһc B4 hoһc B5 xҧy ra (k1=3, k2=5)o H = B3 + B4 + B5

o Do ÿó¦¦

�

� 5

35

5

3

)1()()5,3()(k

knkk

kk ppCBPPHP

0579.0)8.0()2.0()8.0()2.0()8.0()2.0()( 0555

1445

2335 �� CCCHP

10:07:2910:07:29


2.9 Các ÿӏnh lý giӟi hҥn• Ĉӏnh lý giӟi hҥn ÿӏa phѭѫng Moivres–Laplace• N Ӄu trong mӛi phép thӱ Bernoulli sӵ kiӋn A xuҩt hiӋn vӟi xác suҩt

p (0<p<1) thì khi nof ta có

02

1)( 2)( 2

»»¼

º

««¬

ª�

��

fo

npqnpk

nne

npqkP

Slim

N ghƭa là khi n ÿӫ lӟn ta có )(1)( 0xnpqkPn M|

Vӟi2

21

21)(

xex�

S

M npqnpk

x�

0

10:07:2910:07:29


2.9 Các ÿӏnh lý giӟi hҥn• Ĉӏnh lý giӟi hҥn ÿӏa phѭѫng Moivres–Laplace• Ví dө: Thӵc hiӋn 400 phép thӱ Bernoulli. Xác suҩt xuҩt hiӋn sӵ

kiӋn A trong mӛi phép thӱ p=0.2. Tính xác suҩt ÿӇ A xuât hiӋn 80 lҫn

• Giҧi: N hұn thҩy rҵng nӃu sӱ dөng công thӭc Bernoulli sӁ không thӇ tính ÿѭӧc bҵng phѭѫng pháp thông thѭӡng. Ӣ ÿây n khá lӟn do ÿó ta áp dөng ÿӏnh lý Moivres–Lapcae

)(8.02.0400

1)80( 0400 xP Muu

|

3989.021)0()( 0 | S

MM x

08.02.0400

2.0400800

uuu�

�

npqnpk

x

0499.08

3989.08.02.0400

3989.0)80(400 uu

|P

10:07:2910:07:29


2.9 Các ÿӏnh lý giӟi hҥn• Ĉӏnh lý giӟi hҥn trung tâm• N Ӄu trong mӛi phép thӱ Bernoulli sӵ kiӋn A xuҩt hiӋn vӟi xác suҩt

p (0<p<1) thì khi nof ta có

021),(

2

1

2

21

21 »»¼

º

««¬

ª� ³

�

fo

x

x

t

nndtekkP

Slim

N ghƭa là khi n ÿӫ lӟn ta có )()(21),( 12

21

21

2

1

2

xxdtekkPx

x

t

n IIS

� | ³�

Trong ÿó ³�

x

tdtex

0

21 2

21)(S

I

Vӟi npqnpk

xnpqnpk

x�

�

22

11 ,

là hàm Laplace

10:07:2910:07:29


2.9 Các ÿӏnh lý giӟi hҥn• Ĉӏnh lý giӟi hҥn trung tâm• Ví dө: Xác suҩt bҳn trúng ÿích cӫa mӝt xҥ thӫ là p=0.75. Tính xác

suҩt ÿӇ vӟi 100 phát có 81 phát trӣ lên trúng ÿích.

)()()100,81(81,100 12100 xxPkn II �|� Giҧi:

77.525.075.0100

75.0100100,38.1

25.075.010075.010081

21 |uuu�

|uu

u� xx

5.0)77.5(,4162.0)38.1( || II

0838.04162.05.0)38.1()77.5()100,81(100 � �|� IIP

10:07:2910:07:29


2.9 Các ÿӏnh lý giӟi hҥn• Ĉӏnh lý Poisson• N Ӄu trong mӛi phép thӱ Bernoulli sӵ kiӋn A xuҩt hiӋn vӟi xác suҩt

p (0<p<1) thì khi nof mà po0 sao cho np=O=const ta có:

!)(

kekP

k

nn

OO�

fo lim

• Chӭng minh: Tӯ công thӭc Bernoulli knkknn ppCkP �� )1()(

npnp OO �

knk

knk

knk

n

nnk

nnk

nnkn

nn

nn

nn

k

nnkknnnkP

�

�

�

¸¹·

¨©§ �»¼

º«¬

ª¸¹·

¨©§ ��¸

¹·

¨©§ �¸¹·

¨©§ �

¸¹·

¨©§ �

��

¸¹·

¨©§ �¸

¹·

¨©§��

�

OO

OO

OO

111...21111!

1)1(...21!

1!

)1)...(1()(

10:07:2910:07:29


2.9 Các ÿӏnh lý giӟi hҥn• Ĉӏnh lý Poisson

• Lҩy giӟi hҥn khi nof

knk

n nnk

nnkkP

�

¸¹·

¨©§ �»¼

º«¬

ª¸¹·

¨©§ ��¸

¹·

¨©§ �¸¹·

¨©§ �

OO 111...21111!

)(

!!1

111...21111!

)(

! kee

kn

knn

knnk

kP

kkkn

n

kn

n

k

nn

k

OO OOO

OO

O ��

�

fo

�

fofo

¸¹·

¨©§ �

¸¹·

¨©§ �»¼

º«¬

ª¸¹·

¨©§ ��¸

¹·

¨©§ �¸¹·

¨©§ �

lim

limlim

)(!

)( kPkekPk

n {|�OO Tham sӕ O ÿѭӧc gӑi là

trung bình sӕ lҫn xuҩt hiӋn

10:07:2910:07:29


2.9 Các ÿӏnh lý giӟi hҥn• Ĉӏnh lý Poisson• Ví dө: Sau khi kiӇm tra cuӕn sách 1000 trang ngѭӡi ta phát hiӋn ÿѭӧc 20 lӛi chính tҧ. Tính xác suҩt sao cho khi giӣ mӝt trang bҩt kǤsӁ phát hiӋn ÿѭӧc

o Có ÿúng 2 lӛi chính tҧo Có không ít hѫn hai lӛi chính tҧ

000196.02

0004.09802.0!2

02.0)()2(202.0

u

�ekPkP

• Giҧi: Sӕ lӛi trung bình trên mӝt trang sách là: 02.01000

20 O

000197.002.09802.09802.01

02.01!1

02.0!0

02.01

)1()0(1))1()0((1)2(

02.002.0102.0002.0

|u��

��

�� t

��

eeeePPkPkPkP

10:07:2910:07:29


HӂT CHѬѪN G 2

Which one would you like?

LÝ THUY Â T X ÁSU ¨ T V À TH Ô KÊ TOÁ H Ð Cmeteo.edu.vn/~tanpv/Lectures/Chg 2 - Xac suat.pdf · 2.1 Phép th ... o Ng m ág Ñi ÿlà ÿ Ïngh su ©ni Ëm ÿ ×ng kh § n

Documents