L-CS-1-2-3-4-5-6

Carlos Antonio Julio Arrieta

Geometrıa de Superficies

Indice general

1. Curvas regulares elementales 51.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Curvas parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Una nota sobre producto interno y norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5. Curvas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6. Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7. Teorıa local de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.8. Expresion de la curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.9. Vector normal, plano osculador y torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.10. Formula de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.11. Expresiones de la Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.12. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2. Superficies: Teorıa y ejemplos elementales 332.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2. Representacion parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3. Parametrizaciones locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4. Superficies regulares y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5. Superficie regular de dimension k o k−superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.6. Cambio de parametro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.7. Superficies obtenidas por valores regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.8. Funciones diferenciables entre superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3. Vectores tangentes, campos vectoriales y orientacion 593.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2. Vectores tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2.1. La diferencial en superficies regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2.2. Inmersiones, submersiones y encajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2.3. Espacio cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.2.4. Fibrado tangente y cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3

4 INDICE GENERAL

3.3. Campos vectoriales sobre k−superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.3.1. Curvas integrales y flujo local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.3.2. Corchete de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.3.3. Propiedades del corchete de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.4. Superficies orientables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4. Pequena introduccion al algebra multilineal 794.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.2. Una nota sobre espacio dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.3. Algebra tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.3.1. Tensores covariantes y contravariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.4. Algebra exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.4.1. Producto exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.5. Accion de transformaciones lineales sobre tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.5.1. Traspuesta de una transformacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.5.2. Pull-back y push-forward para tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5. Formas diferenciales sobre superficies 955.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.2. Formas diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.2.1. Formas diferenciales sobre Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.3. Traspuesta o Pull-back de una k−forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.4. Forma de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.4.1. Elemento volumen o m−volumen en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.4.2. Forma de volumen para m−superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.4.3. Elemento volumen de una hipersuperficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.4.4. Volumen de una m−superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.4.5. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.5. Derivacion exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.6. Integracion de formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.6.1. Integracion sobre varias parametrizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.6.2. Dominio regular y borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.6.3. Teorema Fundamental del Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6. Primera y segunda forma fundamental 1236.1. Primera forma cuadratica fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.1.1. Angulos de curvas sobre una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.1.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.2. Segunda forma cuadratica fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.2.1. Teorema de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.2.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4 INDICE GENERAL

INDICE GENERAL 5

A. Particiones de la unidad 143A.1. Particiones diferenciables de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Bibliografıa 149

INDICE GENERAL 5

6 INDICE GENERAL

6 INDICE GENERAL

Capıtulo 1

Curvas regulares elementales

§ 1.1. Introduccion

La geometrıa de curvas y superficies tiene dos aspectos: una, que se puede llamar Geometrıa Diferen-cial clasica y usa los principios del Calculo. Hablando a grosso modo, la Geometrıa Diferencial clasicaestudia las propiedades locales de las curvas y superficies. Por propiedades locales de las curvas seentiende que son las propiedades que dependen del comportamiento de las curvas o superficies en unavecindad de un punto; por esto, las curvas y superficies que se consideran en Geometrıa Diferencialseran aquellas que se pueden derivar un cierto numero de veces.

El otro aspecto es la Geometrıa Diferencial global donde se estudia la influencia de las propiedadeslocales sobre el comportamiento de la curva o superficie entera. Posiblemente, la parte mas interesantey representativa de la Geometrıa Diferencial clasica es el estudio de las superficies, por lo tanto algunaspropiedades locales de las curvas aparecen naturalmente en el estudio de las superficies.

§ 1.2. Curvas parametrizadas

Primero se dice que una funcion de una variable real es diferenciable (o suave) si tiene en todos suspuntos, derivadas de todos los ordenes (que son automaticamente continuas). Una primera definicionde curva, no enteramente satisfactoria, pero suficiente para el proposito de este capıtulo es:

Definicion 1.2.1 Una curva diferenciable parametrizada es una funcion diferenciable α : I → R3

de un abierto I = (a, b) de R en R3

La palabra diferenciable en esta definicion significa que α es una correspondencia que envia a cadat ∈ I en un punto

α(t) = (x(t), y(t), z(t)) ∈ R3

en la que las funciones x(t), y(t), z(t) son diferenciables. La variable t se llama parametro de la curva.La palabra intervalo se toma en sentido generalizado, esto es, puede suceder a = −∞ , b = +∞.

Si se denota por x′(t) la primera derivada de x en el punto t y si se usa una notacion similar paralas funciones y, z el vector (x′(t), y′(t), z′(t)) = α′(t) ∈ R3 recibe el nombre vector tangente o (vectorvelocidad) de la curva α en t. La imagen α(I) ⊆ R3 se llama traza de α.

5

6 CAPITULO 1. CURVAS REGULARES ELEMENTALES

Tambien se usa el termino infinitamente diferenciable para funciones que tiene derivadas en todoslos ordenes que no sera el caso de estas notas.

Ejemplo 1.2.1 Sea α : I = (−2, 2) → R3 dada por

α(t) = (1, t, t2 + 1)

cuya grafica en R3 es la curva sobre el paraboloide z = x2 + y2 que se muestra en la Figura 1.1.

x y

z

Figura 1.1

Ejemplo 1.2.2 Una curva diferenciable dada por:

α(t) = (a cos t, a sin t, bt), t ∈ R

tiene como traza en R3 una elice que tiene tiro de 2bπ sobre el cilindro x2 + y2 = 1; ver Figura 1.2

x y

z

Figura 1.2

FAC. DE CIENCIAS Y EDU. - UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS

1.2. CURVAS PARAMETRIZADAS 7

Ejemplo 1.2.3 La funcion

α : R → R2

dada por α(t) = (t3, t2), t ∈ R, una curva parametrizada que tiene la Figura 1.3 como su trazaα′(0) = (0, 0)

1

2

−1

1 2−1−2−3

Figura 1.3

Ejemplo 1.2.4 La funcion α : R → R3 dada por

α(t) = (t3 − 4t, t2 − 4), t ∈ R

es una curva parametrizada diferenciable Figura 1.4

Figura 1.4

Ejemplo 1.2.5 Las dos curvas parametrizadas de manera distinta

α(t) = (cos t, sin t) y β(t) = (cos 3t, sin 3t)

donde t ∈ (−ǫ, 2π+ ǫ), ǫ > 0 tienen la misma traza, esto es, la circunferencia x2 + y2 = 1. Note queel vector velocidad de la segunda curva es el triple que el de la primera curva, ver Figura 1.5

CARLOS A. JULIO-ARRIETA - CARRERA DE MATEMATICAS


α′(t)

β′(t)

Figura 1.5

§ 1.3. Una nota sobre producto interno y norma

Si x, y ∈ Rn x = (x1, ..., xnh) y y = (y1, ..., yn) el producto interno de x con y, notado por 〈x, y〉, sedefine:

〈x, y〉 =n∑

i=1

xiyi (1.1)

Propiedades:

〈x, y〉 = 〈y, x〉

〈λx, y〉 = λ〈x, y〉

〈x, y + z〉 = 〈x, y〉+ 〈x, z〉

〈x, x〉 ≥ 0 ∀x ∈ Rn y 〈x, x〉 = 0 si y solo si x = 0.

Si se define ‖ x ‖=√x21 + x22 + ...+ x2n entonces se tiene:

〈x, y〉 =‖ x ‖ ‖ y ‖ cos θ,

donde θ es el angulo formado entre x e y

Si x, y son funciones vectoriales diferenciables de una variable real de I = (a, b) en Rn, entonces

d

dt〈x, y〉 = 〈x′, y〉+ 〈x, y′〉


1.4. PRODUCTO VECTORIAL 9

§ 1.4. Producto vectorial

Definicion 1.4.1 (Producto vectorial de dos vectores) Dados los vectores a = (a1, a2, a3) yb = (b1, b2, b3) en el espacio definimos su producto vectorial como el vector

a× b =

(∣∣∣∣a2 a3b2 b3

∣∣∣∣ ,−∣∣∣∣a1 a3b1 b3

∣∣∣∣ ,∣∣∣∣a1 a2b1 b2

∣∣∣∣ .)

Una forma de recordar las componentes del vector producto vectorial de a y b es observar quecorresponden al resultado de eliminar la primera, la segunda y la tercera columna, respectivamente,de la matriz

(a1 a2 a3b1 b2 b3

)

teniendo siempre cuidado de que a la segunda componente es necesario cambiarle el signo.Otra forma de recordarlo es la siguiente: sean i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1) los vectorescoordenados unitarios; entonces se puede escribir

a = a1 i+ a2 j + a3 k

y

b = b1 i+ b2 j + b3 k

y por lo tanto de la definicion de a× b se tiene la ecuacion

a× b =

∣∣∣∣∣∣

i j ka1 a2 a3b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣dearrolado por la primera fila. Esto indica, entonces que las propiedades de los determinantes setrasladan naturalmente al producto vectorial entre vectores. Ası, por ejemplo a × b = −b × a. Lasiguiente grafica muestra la posision de a× b en el orden que muestra la Figura 1.6.

b

a

a× b

0

0

b

a

b× a

Figura 1.6



Ejemplo 1.4.1 Hallar el producto vctorial entre a = (1, 0,−1) y b = (2,−1, 1). En efecto,

a× b =

(∣∣∣∣0 −1−1 1

∣∣∣∣ ,−∣∣∣∣1 −12 1

∣∣∣∣ ,∣∣∣∣1 02 −1

∣∣∣∣

)= (−1,−3,−1);

Proposicion 1.4.1 Propiedades del producto vectorial. Cualesquiera que sean los vectoresa, b y c en R3 se tiene:

(a) a× b = −b× a.

(b) Si a y b son no nulos, a× b = 0 si y solo si a y b son paralelos

(c) (a+ b)× c = a× c+ b× c.

(d) Para el producto mixto se tiene

〈a× b, c〉 =

∣∣∣∣∣∣

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣

(e) 〈a× b, a〉 = 0 y 〈a× b, b〉 = 0.

(f) 〈a× b, c〉 = 〈a, b× c〉 = 〈b, c× a〉.

(g) a× (b× c) = 〈a, c〉b− 〈a, b〉c

(h) ||a× b||2 = ||a||2||b||2 − 〈a, b〉2.

Demostracion. Las propiedades (a), (b), (c), (d), (e) y (f) se deducen inmediatamente de la defini-cion de producto vectorial y las propiedades ya conocidas de los determinantes. Las propiedades g) yh) pueden demostrarse directamente utilizando la definicion de producto vectorial, por lo tanto, solose demuestra h) y g) se deja como ejercicio para le lector. En efecto, a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3)y c = (c1, c2, c3)

||a× b||2 =∣∣∣∣a2 a3b2 b3

∣∣∣∣2

+

∣∣∣∣a1 a3b1 b3

∣∣∣∣2

+

∣∣∣∣a1 a2b1 b2

∣∣∣∣2

=(a2b3 − a3b2)2 + (a1b3 − a3b1)

2 + (a1b2 − a2b1)2

=a22b23 + a23b

22 + a21b

23 + a23b

21 + a21b

22 + a22b

21−

− 2[a2b3a3b2 + a1b3a3b1 + a1b2a2b1]

=(a21 + a22 + a23)(b21 + b22 + b23)− a21b

21 − a22b

22 − a23b

23

− 2[a2b3a3b2 + a1b3a3b1 + a1b2a2b1]

=(a21 + a22 + a23)(b21 + b22 + b23)− (a1b1 + a2b2 + a3b3)

2

=||a||2||b||2 − 〈a, b〉2

Lo que termina la demostracion. ♦XLas propiedades del producto vectorial implican los siguientes resultados.


1.4. PRODUCTO VECTORIAL 11

Proposicion 1.4.2 Area de un paralelogramo en el espacio El area A de un parelelogramoen el espacio determinado por dos vectores a y b esta dado por la siguiente formula:

A = ||a× b|| (1.2)

Demostracion. Sea θ el angulo formado entre los vectores a y b como en la Figura 1.7

b

a

θh

a× b

Figura 1.7

Luego,A = ‖a‖h = ‖a‖‖b‖ sen θ. (1.3)

Ademas por la identidad de Lagrange

‖a× b‖2 =‖a‖2‖b‖2 − 〈a, b〉2=‖b‖2‖b‖2(1− cos2 θ)

=‖a‖2‖b‖2 sen2 θ.

(1.4)

Lo que demuestra la proposicion ♦X

Ejemplo 1.4.2 Encontrar el area del triangulo que tiene como vertices los puntos de intersecciondel plano 2x+ y + 3z = 6 con los ejes coordenados.

Solucion. Los puntos de corte del plano 2x+ y + 3z = 6 con los ejes coordenados son (ver, Figura1.8) A = (3, 0, 0, ) B = (0, 6, 0) y C = (0, 0, 2).

A = (3, 0, 0)B = (0, 6, 0)

C = (0, 0, 2)

Figura 1.8



Se toman los siguientes vectores

AB = (−3, 6, 0) y AC = (−3, 0, 2)

con lo queAB × AC = (−12, 6, 18)

y por lo tanto

Area =1

2||AB × AC|| = 1

2[144 + 36 + 324]1/2 =

1

2

√504 = 3

√14.

El problema que ha conducido a los resultados anteriores es el de encontrar una formula para deter-minar el volumen de un paralelepıpedo en R3. Este problema puede ser resuelto ahora de una formaelegante.

Proposicion 1.4.3 Volumen de un paralelepıpedo. El volumen de un paralelepıpedo determi-nado por los vectores a, b y c en el espacio puede calcularse mediante la formula

V = |〈a× b, c〉| =∣∣∣

∣∣∣∣∣∣

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣

donde a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) y c = (c1, c2, c3).

Demostracion. Sea θ el angulo formado por los vectores a× b y c, como en la Figura 1.9.

a

bθ

h c

a× b

Figura 1.9

Por lo tanto, el volumen del paralelepıpedo V es

V = (area de la base)× h = ||a× b|| ||c|| cos θ = |〈a× b, c〉|.

Lo que demuestra la proposicion. ♦X

Ejemplo 1.4.3 El volumen del paralelepıpedo determinado por los vectores a = (1, 2,−3), b =(0, 1, 2) y c = (1,−2,−1) es el valor absoluto de

V =

∣∣∣∣∣∣

1 2 −30 1 21 −2 −1

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣1 2−2 −1

∣∣∣∣+∣∣∣∣2 −31 2

∣∣∣∣ = −1 + 4 + 4 + 3 = 10

Por lo tanto, V = 10u2


1.5. CURVAS REGULARES 13

Proposicion 1.4.4 Seanα(t) = (α1(t), α2(t), α3(t))

yβ(t) = (β1(t), β2(t), β3(t))

curvas parametrizadas diferenciables en un intervalo abierto I. Entonces

d

dt

[α(t)× β(t)

]= α′(t)× β(t) + α(t)× β′(t). (1.5)

para todo t ∈ I

Demostracion. Es un ejercicio simple. ♦X

§ 1.5. Curvas regulares

Sea α : I → R3 una curva parametrizada diferenciable. Para cada t ∈ I donde α′(t) 6= 0 existe unarecta bien definida, que contiene el punto α(t) y el vector α′(t), esta recta recibe el nombre de rectatangente de α en t. Para el estudio de la geometrıa diferencial de una curva es importante que existatal recta tangente en cualquier punto de la curva. Si α′(t) = 0 entonces se dice que t es un puntosingular de α

Definicion 1.5.1 Una curva parametrizada diferenciable α : I → R3 se dice regular si α′(t) 6= 0para todo t ∈ I.

De ahora en adelante se consideran curvas parametrizadas diferenciables regulares y por simplicidadse omite la palabra diferenciable.

§ 1.6. Longitud de arco

Sea t ∈ I, la longitud de arco de una curva parametrizada regular α : I → R3 desde el punto t0 espor definicion:

s(t) =

∫ t

t0

‖ α′(t) ‖ dt (1.6)

donde ‖ α′(t) ‖=√

[x′(t)]2 + [y′(t)]2 + [z′(t)]2.

Es la longitud de arco del vector α′(t). Como α′(t) 6= 0, la longitud de arco s es una funciondiferenciable y si tiene:

ds

dt=‖ α′(t) ‖ (1.7)

Puede suceder que el parametro t ya sea la medida de longitud de arco desde algun punto. En estecaso:

ds

dt=‖ α′(t) ‖= 1



Esto es, el vector velocidad tiene longitud de arco igual a 1. Reciprocamente, si :

‖ α′(t) ‖= 1,

entonces:

s =

∫ t

t0

dt = t− t0. (1.8)

y t es entonces la medida de longitud de arco para α medida desde algun punto t0. En resumen: elparametro t es la medida de longitud de arco desde algun punto si y solo si ‖ α′(t) ‖= 1.

para simplificar la exposicion se restringe a curvas parametrizadas por la longitud de arco, esta es‖ α′(t) ‖= 1. Pero primero veamos:

Teorema 1.6.1 Sea α : I → R3 una curva regualar. Entonces existe una reparametrizacion porlongitud de arco para α definida por

β(s) = α(t(s))

donde t(s) es la funcion inversa de la funcion longitud de arco asociada con α.

Demostracion.Por el teorema fundamental del calculo, cualquier funcion de longitud de arco s de α satisface:

ds

dt(t) = s′(t) =

d

dt

∫ t

t0

‖ α′(t) ‖ dt =‖ α′(t) ‖ (1.9)

Puesto que α es una curva regular α′(t) 6= 0 para todo t y por lo tanto dsdt

es siempre positiva. Elteorema de la funcion inversa del calculo implica que t→ s(t) posee inversa s→ t(s) y

dt

ds

∣∣∣s(t)

=1

dsdt

∣∣t(s)

Ahora, se define β por β(s) = α(t(s)). Entonces por la regla de la cadena:

β′(s) = α′(t(s))dt

ds.

Por lo tanto

‖ β′(s) ‖=‖ α′(t(s))dt

ds‖= dt

ds‖ α′(t(s)) ‖= dt

ds(s)

ds

dt(t(s)) = 1

♦X

Ejemplo 1.6.1 Obtener una reparametrizacion por longitud de arco de la helice

x(t) = (a cos t, a sen t, bt).


1.6. LONGITUD DE ARCO 15

SolucionComo

s = s(t) =

∫ t

0

||x′(t)||dt =∫ t

0

(a2 + b2)1/2dt =√a2 + b2 t,

entonces la funcion inversa de s es

t = t(s) =s√

a2 + b2

y por el teorema anterior la reparametrizacion de x por longitud de arco es

x(t(s)) =(a cos

s√a2 + b2

, a sens√

a2 + b2,

bs√a2 + b2

).

Ejemplo 1.6.2 Dada la circunferencia

x(t) = (a cos θ, a sin θ), −π ≤ θ ≤ π.

Introducir a lo largo de ella el parametro t = tan θ4.

Solucion.

Por las identidades relativas al angulo medio se obtiene

cos θ =cos4θ

4+ sen4 θ

4− 6 cos2

θ

4sen2 θ

4

=1

sec4 θ4

+1

csc4 θ4

− 6tan2 θ

4

sec2 θ4

.

Usando las identidadestan2 t+ 1 = sec2 t y cot2 t+ 1 = csc2 t

se obtiene

cos θ =1

(t2 + 1)2+

t4

(t2 + 1)2− 6t2

(t2 + 1)2=t4 − 6t2 + 1

(t2 + 1)2.

Analogamente

sen θ =4 senθ

4cos3

θ

4− sen3 θ

4cos

θ

4

=4t

(t2 + 1)2− t3

(t2 + 1)2

=4t(1− t2)

(t2 + 1)2.

Por lo tanto

x(t) =(at4 − 6t2 + 1

(t2 + 1)2, b4t(1− t2)

(t2 + 1)2.)



§ 1.7. Teorıa local de curvas parametrizadas por longitud de arco

Se presentan los resultados principales que se usaran posteriormente. Para tal efecto, sea α : I =(a, b) −→ R3 una curva parametrizada por la longitud de arco, Esto es,

1 = ||α′(s)||, (∀s ∈ I),

entonces ||α′′(s)|| mide la razon de cambio en el angulo que hacen los vectores tangentes, en unavecindad, con la tangente en s.

α′(s)

α′′(s)

Figura 1.10

por lo tanto, ||α′′(s)|| proporciona una medida de rapidez con que la curva se aleja de la tangente ens, en una vecindad de s.

Definicion 1.7.1 Sea α : I = (a, b) → R3 una curva parametrizada por la longitud de arco s ∈ I :El numero ||α′′(s)|| = k(s) se llama curvatura de α en s, y el vector k(s) = α′′(s) = k(s)n(s) con‖n‖ = 1 se llama vector curvatura.

Ejemplo 1.7.1 Si α es una linea recta, entonces

α(s) = us+ v

donde u y v son vectores constantes de R3.

Naturalmente, ||u|| = 1 para que la recta este parametrizada por la longitud de arco y ası α′′(s) = 0.

Recıprocamente, si k = 0 = ‖α′′(s)‖, entonces por simple integracion α(s) = us+ v y la curva es unalınea recta.

Notese que por el cambio de orientacion el vector tangente cambia de direccion, esto es si β(−s) =α(s), entonces

dβ

d(−s) =dα(s)

d(−s) = −dα(s)d(s)

,

por lo tanto, α′′(s) y la curvatura son invariantes bajo un cambio de orientacion.


1.8. EXPRESION DE LA CURVATURA 17

Ejemplo 1.7.2 Sea α : I → R2 la circunferencia de radio 1, esto es,

α(s) = (cos s, sin s), s ∈ (−ǫ, 2π + ǫ),

entonces α′′(s) = (− cos s,− sen s), esto es, ||α′′(s)|| = 1 = k.

Ejemplo 1.7.3 Calcular la curvatura de la helice circular de ecuaciones

x = a coss

c, y = a sen

s

c, z =

bs

c

con −∞ < s <∞ , c =√a2 + b2.

Solucion. Como

‖(x, y, z)′‖ =

(a2

c2+b2

c2

)1/2

= 1,

entonces la helice esta parametrizada por la longitud de arco, luego.

(x, y, z)′′ = (−acsen

s

c,a

ccos

s

c,b

c)′ =

(− a

c2cos

s

c,− a

c2sin

s

c, 0)

luego

k =

√a2

c4=

a

c2=

a

a2 + b2.

§ 1.8. Expresion de la curvatura en funcion de un parametro cualquiera

Teorema 1.8.1 Sea α : I → R3 una curva parametrizada regular (no necesariamente por longitudde arco) y β : J → R3 una reparametrizacion de α(I) por la longitud de arco medida desde t0 ∈ I.Sea t = t(s) la funcion inversa de la funcion longitud de arco s. Si dα

dt= α′, d2α

dt2= α′′, etc. Entonces

(a) se tiene que dtds

= 1||α′|| ,

d2tds2

= − 〈α′,α′′〉||α′||4 .

(b) La curvatura

k(t) =‖α′ × α′′‖||α′||3 (1.10)

Demostracion.

(a) Bajo hipotesis (y usando el Teorema de la funcion invesa)

dt

ds=

1dsdt

=1

||α′|| .



Tambien

d2t

ds2=d

ds

(1

||α′||

)=

d

ds

√1

〈α′, α′〉

=1

2

( 1

〈α′, α′〉)−1/2

(−2 〈α′′, α′〉

〈α′, α′〉2)dt

ds

=− ||α′|| 〈α′, α′′〉||α′||4

1dsdt

=− 〈α′, α′′〉||α′||4

(b) Como α admite una reparametrizacion por la longitud de arco medida desde t0 ∈ I, t→ s(t),con inversa s→ t(s). Ver Figura 1.11

t

s

α(t)

α(s)

s = s(t)t = t(s)

Figura 1.11

entonces se escribir α(t) = α(t(s)) = α(s), con lo que α(t) = α(s(t)), luego

α′ =dα

dt=dα

ds

ds

dt

y ası

α′′ =d

dt

[dα

dt

]ds

dt+dα

ds· d

2s

dt2=d2α

ds2·(dsdt

)2+dα

ds· d

2s

dt2.

Ahora,

α′ × α′′ =

[dα

ds· dsdt

]×[d2α

ds2

(ds

dt

)2

+dα

ds

d2s

dt2

]

=

(dα

ds× d2α

ds2

)(ds

dt

)3

,

(1.11)


1.8. EXPRESION DE LA CURVATURA 19

comod2α

ds2= k n y ||n(s)|| = 1

se obtiene

α′ × α′′ =

[dα

ds× n

]k

(ds

dt

)3

, (1.12)

luego

〈α′ × α′′, α′ × α′′〉 = k2(ds

dt

)6

esto es,

k2 =||α′ × α′′||2

||α′||6 .

Lo que muestra que

k(t) =||α′ × α′′||||α′||3

♦X

Ejemplo 1.8.1 Calcular la curvatura de la curva dada por

α(t) = (t2, cos(t), sin(t)), 0 < t <∞

Solucion. Como

α′ = (2t,− sin t, cos t) y α′′ = (2,− cos t,− sin t),

entonces

α′ × α′′ =

∣∣∣∣∣∣

i j k2t − sen(t) cos(t)2 − cos(t) − sen(t)

∣∣∣∣∣∣= (1,2t sin t+ 2 cos t,−2t cos t+ 2 sin t).

(1.13)

Con lo que||α′|| =

√4t2 + 1 y ||α′ × α′′|| =

√4t2 + 5.

Por lo tanto

k(t) =

√4t2 + 5

(4t2 + 1)3/2.

Ejemplo 1.8.2 Calcular la curvatura de la curva plana situada en el plano z = 0 dada por x =x(t), y = y(t).

Solucion.

Sea α(t) = (x(t), y(t), 0), entonces

α′ = (x′, y′, 0), α′′ = (x′′, y′′, 0) y ||α′|| =√x2 + y2,



por lo tanto

α′ × α′′ =

i j kx′ y′ 0x′′ y′′ 0

= (0, 0, x′y′′ − y′x′′),

ası que

||α′ × α′′|| = |x′y′′ − y′x′′|,

con lo que

k(t) =|x′y′′ − y′x′′|(x′2 + y′2)3/2

.

Ejemplo 1.8.3 calcular la curvatura de la curva dada en forma de coordenadas polares r = r(θ).

Solucion.

Derivando con respecto a θ las formulas de cambio de variables

x = r(θ) cos θ, y = r(θ) sen θ

implicandx

dθ=dr

dθcosθ − r sen θ y

dy

dθ=dr

dθsen θ − rcosθ

y volviendo a derivar

d2x

dθ2=d2r

dθ2cos θ − 2

dr

dθsen θ − r cos θ

d2y

dθ2=d2r

dθ2sen θ + 2

dr

dθcos θ − r sen θ.

Como

k(t) =|x′y′′ − y′x′′|(x′2 + y′2)3/2

,

entonces

|xy − yx| =(r′ cos θ − r sin θ)(r′′ sin θ + 2r′ cos θ − r sin θ)−(r′ sin θ − r cos θ)(r′′ cos θ + 2r′ sin θ − r cos θ)

=r2 + 2(r′)2 − rr′′

y

x2 + y2 = (r′ cos θ − r sin θ)2 + (r′ sin θ − r cos θ)2 = (r′)2 + r2,

luego

k =|r2 + 2(r′)2 − rr′′|[r2 + (r′)2]3/2

.


1.9. VECTOR NORMAL, PLANO OSCULADOR Y TORSION 21

§ 1.9. Vector normal, plano osculador y torsion

Considerese de nuevo α : I → R una curva regular parametrizada por la longitud de arco. En lospuntos donde k(s) 6= 0 el vector unitario n(s) en direccion de α′′(s) esta bien definida mediante laecuacion

α′′(s) = k(s)n(s) (1.14)

como 〈α′(s), α′(s)〉 = 1, entonces 〈α′′(s), α′(s)〉 = 0. Lo que muestra que α′′(s) es normal a α′(s). Porlo tanto, n(s) es normal a α′(s) y recibe el nombre de vector normal en s. El plano determinadopor el vector tangente unitario y el vector normal, es decir por α′(s) y n(s), recibe el nombre deplano osculador en s. Ver Figura 1.12

t(s) = α′(s)

n(s)

Figura 1.12

Un plano donde k(s) = 0 el vector normal (y por lo tanto el plano osculador) no esta definido. En loque sigue, las curvas seran parametrizadas por la longitud de arco sin puntos singulares de orden 1(esto es, α′′(s) 6= 0). Se denota con

t(s) = α′(s) (1.15)

el vector tangente unitario de α en s (Obseve que se esta utilizando a t de dos maneras diferentesuna como parametro y ahora como vector tangente unitario). Ası

t′(s) = k(s)n(s). (1.16)

El vector

b(s) = t(s)× n(s) (1.17)

tiene las siguientes propiedades:

(a) b(s) es normal a t(s) y a n(s), por lo tanto, al plano osculador y recibe el nombre de vectorbinormal en s, ver figura 1.13



t(s)

n(s)

b(s)

Figura 1.13

(b) La identidad de Lagrange implica

||b(s)||2 =||t(s)× n(s)||2=||t(s)||2||n(s)||2 − 〈t(s), n(s)〉=1

(1.18)

(c) Como ||b(s)||2 = 1, entonces 〈b(s), b(s)〉 = 1 y ası

〈b′(s), b(s)〉 = 0,

con lo que b′(s) ⊥ b(s).

(d) Puesto que

d

dsb(s) = t′(s)× n(s) + t(s)× n′(s) = t(s)× n′(s), (1.19)

entonces b′(s) ⊥ t(s), ver Figura 1.14.

t(s)

n′(s)

b′(s)

Figura 1.14

(e) Como n(s) ⊥ t(s) y b(s) = t(s)× n(s) se obtiene que

t(s), n(s), b(s)

forman una base de R3 para cada s anclado en α(s), por lo tanto, al expresar

b′(s) = a1 n(s) + a2 t(s) + a3 b(s)


1.9. VECTOR NORMAL, PLANO OSCULADOR Y TORSION 23

resultaa1 = 〈b′(s), n(s)〉a2 = 0a3 = 0

con lo que b′(s) es paralelo a n(s) y se puede escribir

b′(s) = −τ(s)n(s)

Como ||b(s)|| = 1 para todo s, entonces la longitud ||b′(s)|| mide la razon de cambio del planoosculador, en una vecindad de s, con respecto al plano osculador en s. Ası que ||b′(s)|| mide que tanrapido la curva se aleja del plano osculador en s, en una vecindad de s. Esto proporciona la definicionsiguiente.

Definicion 1.9.1 Sea α : I → R3 una curva parametrizada por la longitud de arco, tal que α′(s) 6= 0,s ∈ I. El numero τ(s) definida por b′(s) = −τ(s)n(s) se llama torsion de α en s.

Ejemplo 1.9.1 Por definicion, la torsion de una curva regular contenida en R2 es cero.

Ejemplo 1.9.2 Sea α : I → R3 una curva regular parametrizada por la longitud de arco. α es unacurva plana si y solo si τ = 0 y k 6= 0.

Solucion. Si α es una curva plana, es decir α(I) esta contenida en un plano, entonces el plano dela curva coincide con el plano osculador y ası τ = 0.

Reciprocamente se τ = 0 (k 6= 0) entonces

b′(s) = τn = 0n = 0

con lo que b(s) = b0 (constante en R3), por lo tanto

〈α(s), b0〉′ = 〈α′(s), b0〉

como α′(s) ⊥ b(s) = b0, entonces 〈α′(s), b0〉 = 0. Por integracion

〈α(s), b0〉 = c (constante).

Luego, para todo s1 y s2 se tiene

〈α(s2)− α(s1), b0〉 = c− c = 0.

Lo que demuestra que el vector con puntos externos α(s1) y α(s2) esta contenido en P (planoortogonal a bo) para todo s1, s2 esto es α(I) ⊆ P , es decir α es una curva plana.

Ejemplo 1.9.3 Calcular la torsion de la helice vertical circular de ecuacion

α(s) =

(a cos

s

c, a sin

s

c,b

cs

)

con s ∈ R.



Solucion.

Claramente α esta parametrizada por longitud de arco.

α′(s) =

(−acsen

s

c,a

ccos

s

c,b

c

), α′′(s) =

(− a

c2cos

s

c,− a

c2sen

s

c, 0).

Tambienn = (− cos

s

c,− sen

s

c, 0)

ası que

b(s) = α′(s)× n =

(b

csen

s

c, −b

ccos

s

c,a

c

),

con lo que

b′(s) =

(b

c2cos

s

c,b

c2sen

s

c, 0

)= − b

c2n

por lo tanto

τ(s) =b

c2=

b

a2 + b2

En contraste con la curvatura, la torsion puede ser positiva o negativa. El signo de la torsion tieneuna interpretacion geometrica que sera dada mas tarde.Notese que al cambiar la orientacion, el vector binormal cambia de signo ya que b = t × r. Sigueentonces que b′(s) y por lo tanto, la torsion permanece invariante bajo cambio de orientacion.

§ 1.10. Formula de Frenet

A cada valor de el parametro s, se le ha asociado tres vectores ortogonales unitarios:

t(s), n(s), b(s)

donde t(s) = α(s), α′′(s) = k(s)n(s) y b(s) = t(s) × n(s). Estos tres vectores ortogonales unitarosası formandos se conocen como triedro de frenet en s. Ahora bien (omitiendo el parametro s)

t′ = kn, b′ = −τnAsı que los vectores t′ y b′ quedan expresados en combinacion lineal de la base t, n, b de R3

p ≈ R3

que proporciona informacion geometrıca (curvatura k y torsion τ) sobre el comportamiento de α enuna vecidad de s. Otra informacion geometrica local la proporciona el calculo de n′. Esto es, comon = b× t, entonces en el punto s se tiene

n′ = b′ × t+ b× t′ = (−τn)× t+ b× (kn)

= −τ(n× t) + k(b× n) = −τ(−b) + k(t× n)× n

= τb+ k(−t) = −kt+ τb

Como el producto vectorial satisface x× (y × z) = 〈x, y〉y − 〈x, y〉z entonces

(t× n)× n = −n× (t× n) = [〈n, n〉t+ 〈n, t〉n] = −t.


1.11. EXPRESIONES DE LA TORSION 25

Por lo tanto, t′ = knn′ = −kt + τbb′ = −τn

(1.20)

o bien:

t′

n′

b′

=

0 k 0−k 0 τ0 −τ 0

tnb

se llama Formula de Frenet (por conveniencia se ha omitido la letra s).

Se continua entonces con el estudio de la torsion para posteriormente poder estudiar de maneradirecta e inversa las formulas de frenet.

§ 1.11. Expresiones de la Torsion

Teorema 1.11.1 (Torsion en funcion del parametro arco.) Sea

α : I = (a) → R3

una curva parametrizada por la longitud de arco. entonces:

τ =〈α′, α′′ × α′′′〉

〈α′′, α′′〉Demostracion. Se calcula 〈α′, α′′ × α′′〉. Como α′′ = kn, entonces (omitiendo la letra s)

α′′′ = k′n+ kn′ = k′n+ k(−kt+ τb) = k′n− k2t+ kτb.

Tambien

α′′ × α′′′ = (kn)× k′n− k2t+ kτb

= 0− k3(n× t) + k2τ(n× b)

= −k3(n× t) + k2τ(n× b).

Pero n× t = −b yn× b = n× (t× n) = 〈n, n〉t− 〈n, t〉n = t+ 0 = t,

asi queα′′ × α′′′ = k3b+ k2τt,

con lo que

〈α′, α′′ × α′′′〉 = 〈t, k3b+ k2τt〉= 0 + 〈t, k2τt〉= k2τ〈t, t〉.

Luego

τ =〈α′, α′′ × α′′′〉

〈α′′, α′′〉♦X



Teorema 1.11.2 (La torsion en funcion de cualquier parametro). Si α = α(t), entonces severifica que

τ =〈α′ × α′′, α′′′〉‖α′ × α′′‖2

(1.21)

Demostracion. Para simplificar las expresiones sean

α′ =dα

dt, α′′ =

d2α

dt2, α′′′ =

d3α

dt3

al igual que

α =dα

ds, α =

d2α

ds2,

...α =

d3α

ds3.

Entonces:

α′ = αds

dt, α′′ = α

(ds

dt

)2

+ αd2s

dt2,

con lo que

α′ × α′′ = (α× α)

(ds

dt

)3

Como α = kn entonces:

α′ × α′′ = (α× n)k

(ds

dt

)3

Calculando α′′′, en efecto:

α′′′ =d(α(dsdt

)2+ αd

2sdt2

)

dt

=...α

(ds

dt

)3

+ 2αds

dt· d

2s

dt2+ α

ds

dt· d

2s

dt2+ α

d3s

dt2

=...α

(ds

dt

)3

+ 3αds

dt· d

2s

dt2+ α

d3s

dt2.

Como α = kn, y α× n ⊥ α, entonces

〈α′ × α′′, α′′′〉 = 〈t× n,...α〉k

(ds

dt

)6

(1.22)

Ahora se calcula...α, en efecto (en variable s)

...α =

d(d2αds2

)

ds=d(kn)

ds= kn+ kn

Para clacular n, se observa en el triedo de frenet que

b× t = (t× n)× t = 〈t, t〉n− 〈t, n〉t


1.11. EXPRESIONES DE LA TORSION 27

ası queb× t = n

luego

n =d(n)

ds= b× t+ b× t

Con lo que...α = kn+ k

[b× t+ b× t

].

Como b = −τn, n = b× t; t = kn. Se tiene

...α = k [b× (kn) + (−τn)× t] + kn

= k2(b× n)− kτ(n× t) + kn

= k2(b× n) + kτ(t× n) + kn

como

b× n = (t× n)× n

= −n× (t× n)

= − [〈n, n〉t− 〈n, t〉n]= −t

entonces...α = −k2t+ kτb+ kn

Por lo tanto:

〈α′ × α′′, α′′′〉 = 〈t× n,−k2t+ kτb+ kn〉 k(ds

dt

)6

= 〈b, b〉(k2)τ(ds

dt

)6

.

Esto muestra que

〈α′ × α′′, α′′′〉 = k2τ

(ds

dt

)6

y como dsdt

= ‖α′‖ , se obtiene

τ =〈α′ × α′′, α′′′〉k2 ‖α′‖6

.

Como

k2 =‖α′ × α′′‖2

‖α′‖6,

se obtiene

τ =〈α′ × α′′, α′′′〉‖α′ × α′′‖2

♦X



Ejemplo 1.11.1 Calcular la torsion de la helice dada en un parametro arbitario

α(t) = (a cos t, a sen t, bt), −∞ < t <∞.

Solucion: Como

α(t) = (a cos t, a sen t, bt), α′ = (−a sen t, a cos t, b)α′′ = (−a cos t,−a sen t, 0) α′′′ = (a sen t,−a cos t, 0),

entoncesα′ × α′′ = (ab sen t,−ab cos t, a2)

y por lo tanto‖α′ × α′′‖2 = a2b2 sen2 t+ a2b2 cos2 t+ a4 = a4(a2 + b2).

Tambien〈α′ × α′′, α′′′〉 = a2b sen2 t+ a2b cos2 t = a2b.

Con lo que

τ =a2b

a4(a2 + b2)=

b

a2 + b2.

Teorema 1.11.3 Teorema fundamental de la teorıa local de curvas Dada las funciones di-ferenciables k = k(s) y τ = τ(s), s ∈ I, existe una curva parametrizada α : I → R3 tal que s es lalongitud de arco, k es la curvatura y τ es la torsion de α. Ademas cualquier curva α, que satisfacelas mismas condiciones, difiere de α por un movimiento rigido; esto es, existe una transformacionlineal ortogonal ρ de R3 con determinante positivo y un vector c tal que

α = ρ α + c

Una demostracion completa usa el Teorema de existencia y unicidad de soluciones de ecuacionesdiferenciales ordinarias, ademas que usa otros resultados de Geometrıa de superficies bi-dimensional.Por tal motivo la prueba no se presentara en este momento. Ver, por ejemplo Do Carmo, Geometrıadiferencial de curvas y superficies, pagina 309.

§ 1.12. Ejercicios

Curvas y producto vectorial

1. Encontrar una parametrizacion para cada una de las secciones conicas, las cuales son:

a) Parabola

b) Circunferencia

c) Elipse

d) Hiperbola

2. La cicloide. Una cicloide es un lugar geometrico descrito por un punto fijo de una circunferenciaque rueda, sin resbalar, sobre el eje x del plano xy (en general sobre cualquier recta en el planox, y), como en la Figura 1.15


1.12. EJERCICIOS 29

a

O A B

DC

P

α

θ

Figura 1.15

Observese queOB = arco PB

y que las coordenadas del punto P son

x = OA = OB − AB

y = AP = BC −DC.

Calcular una parametrizacion de la cicloide.

3. Hallar el area de la Figura 1.16, poligono de vertices ABCDE, donde

A = (−2, 0), B = (−1,−2), C = (2, 1), D = (0, 1), E = (−1, 3)

1

2

3

−1

−2

1 2−1−2

A

B

CD

E

Figura 1.16

4. Demostrar que la distancia de un punto A = (x0, y0, z0) al plano ax+ by + cz + d = 0 es

d =|ax0 + by0 + cy0 + d|√

a2 + b2 + c2

5. Calcular el punto A del plano 5x − 14y + 2z + 9 = 0 que este mas proximo al punto B =(−2, 15,−7).



6. Hallar la ecuacion del plano paralelo a 2x − y + 2z + 4 = 0 si el punto (3,2,-1) equidista deambos.

7. Dada la piramide de base ABCD y vertice E, donde A = (2, 0, 0), B = (3, 1, 0), C =(0, 1, 0), D = (−1, 0, 0) y E = (1, 1, 3), hallar:

(a) El area de la cara ABE.

(b) El area de la base.

(c) El volumen del prisma.

(d) La distancia entre las rectas EB y DC.

(e) El valor de la altura.

8. Hallar el volumen del prisma determinado por los vectores

a = (1, 2,−1), b = (0, 1, 2) y c = (1, 2,−3)

9. Demostrar las siguientes propiedades del producto vectorial:

(a) 〈a× b, c〉 = 〈a, b× c〉 = 〈b, c× a〉(b) (a× b)× c = 〈a, c〉b− 〈b, c〉a.

Curvatura, torsion y pano osculador

10. Calcuar curvatura y torsion de

a) γ(t) =(1

3(1 + t)3/2,

1

3(1− t)3/2,

t√2)

b) γ(t) =(4

3cos t, 1− sen t,−3

5cos t)

b) γ(t) =(cos3 t, sen2 t, 0)

en donde el parametro tenga sentido.

11. Demostrar que la curva

γ(t) = (1 + t2

t, t+ 1,−1− t

t)

es planar.

12. Demostrar que en las ecuaciones de Frenet - Serret, t, n y b son ortogonales uno al otro.

13. Sea γ(t) = (a cos t, a sen t, t), t ∈ R.

a) Reparametrizar γ por longitud de arco

b) Calcular la curvatura, torsion y el plano osculador en cada punto de γ.


1.12. EJERCICIOS 31

c) Sea γ(t) una curva con velocidad unitaria en R3, y se asume que la curvatura k(t) esno-cero para todo t. Se define una nueva curva β por

β(t) =d γ(t)

dt.

Demostrar que β es regular y que, si s es la longitud de arco parametro de β, entonces

ds

dt= k

Probar que la cuevatura de β es (1 +

τ

k2)1/2

’

14. Se considera la curva definida en forma implıcita por F (x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0. Hallar laexpresion de la recta tangente en el punto (x0, y0, z0).

15. Hallar la recta tangente y el plano normal a la curva de ecuaciones x2 + y2 + z2 = 3, 9x2 +4y2 − 13z2 = 0 en el punto (1, 1, 1).

16. Hallar la ecuacion del plano osculador de la curva

x = senh t, y = cosh t, z = 4t

en un punto generico a ella.

17. Probar que si todas las rectas tangentes a una curva que pasan por un punto fijo la curva esuna recta.

18. Calcular la expresion de la curvatura de la curva plana, situada en el plano z = 0, cuando suexpresion viene dada en

a) forma explıcita y = f(x),

b) forma polar r = 3 sen θ.

19. Probar que si todas las tangentes a una curva son paralelas a un plano, entonces la curva esplanar.

20. Sea la curva x = x(s), y = y(s), z = 0 donde s es la longitud de arco. Probar que la curvaturak verifica

k2 = (x′y′′ − y′x′′)2

21. Dada la curva x4 − 2x2y2 − xy3 − x2 + y2 + xy = 0, z = 0, hallar la curvatura en x = 1 yordenada racional.




Capıtulo 2

Superficies: Teorıa y ejemplos elementales


Intuitivamente, se considera una superficie, como un conjunto de puntos del espacio que localmentees como una vecindad del plano. Esto ocurre cuando la superficie es localmente la imagen de unafuncion suficientemente suave o diferenciable, es decir, regular desde una vecindad de un punto delplano en puntos del espacio. Como lo que se necesita es extender y aplicar a superficies los metodosdel Calculo, se supone que la funcion es de clase C∞ y ademas que la superficie tiene en cada puntoun plano tangente y por lo tanto, el rango de la matriz jacobiana de la funcion es dos. Como encurvas regulares, las superficies tambien admiten representacion parametrica.

§ 2.2. Representacion parametrica

Definicion 2.2.1 Una representacion parametrica de clase C∞ de un conjunto de puntos M de R3

es una funcion x = x(u, v) de un conjunto abierto U de R2 sobre M,tal que

(a) x es de clase C∞ en U,

(b) Si e1, e2, e3 es una base de R3 y

x(u, v) = x1(u, v)e1 + x2(u, v)e2 + x3(u, v)e3,

entonces para todo (u, v) ∈ U se tiene:

Rango

∂x1∂u

∂x1∂v

∂x2∂u

∂x2∂v

∂x3∂u

∂x3∂v

= 2 (2.1)

Se recuerda que x es de clase c∞(U), si todas sus derivadas parciales existen y son continuas en Uy el rango de una matriz es el orden del menor, no-nulo, mas grande de la matriz. De esta forma, elrango de la matriz anterior es 2, si y solo si uno de los siguientes determinantes:

33

34 CAPITULO 2. SUPERFICIES: TEORIA Y EJEMPLOS ELEMENTALES

∣∣∣∣∣∣∣

∂x1∂u

∂x1∂v

∂x2∂u

∂x2∂v

∣∣∣∣∣∣∣,

∣∣∣∣∣∣∣

∂x1∂u

∂x1∂v

∂x3∂u

∂x3∂v

∣∣∣∣∣∣∣,

∣∣∣∣∣∣∣

∂x2∂u

∂x2∂v

∂x3∂u

∂x3∂v

∣∣∣∣∣∣∣(2.2)

es no nulo.

A las variables u y v se las denomina parametros. Ademas se denota una representacion parametricamediante x = x(u, v) y sus derivadas parciales con los simbolos:

xu =∂x

∂u, xv =

∂x

∂v, xuu =

∂2x

∂2u, xuv =

∂2x

∂v∂u, · · · (2.3)

Proposicion 2.2.1 Sea U un conjunto abierto de R2, entonces x = x(u, v), es una representacionparametrica regular de U sobre M si y solo si:

(a) x es de clase C∞ en U

(b) xu × xv 6= 0, ∀(u, v) ∈ U

Demostracion.

xu × xv =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

∂x1∂u

∂x2∂u

∂x3∂u

∂x1∂v

∂x2∂v

∂x3∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣

∂x1∂u

∂x1∂v

∂x2∂u

∂x2∂v

∣∣∣∣∣∣∣e3 −

∣∣∣∣∣∣∣

∂x1∂u

∂x1∂v

∂x3∂u

∂x3∂v

∣∣∣∣∣∣∣e2 +

∣∣∣∣∣∣∣

∂x2∂u

∂x2∂v

∂x3∂u

∂x3∂v

∣∣∣∣∣∣∣e1

Las componentes de xu × xv difieren de los menores de orden 2× 2 de la matriz jacobiana para x, alo sumo en un signo; por lo tanto el rango de la matriz jacobiana de x es dos si y solo si xu× xv 6= 0.Lo que demuestra la proposicion. ♦X

Ejemplo 2.2.1 La ecuacion

x(u, v) = (u, v, u2 + v2)

es una funcion de R2 sobre el paraboloide z = x2 + y2. Se observa que x tiene derivadas parcialescontinuas de todos los ordenes. Tambien :

‖xu × xv‖ = ‖det

e1 e2 e31 0 2u0 1 2v

‖ =

√4u2 + 4v2 + 1 6= 0

Con lo que x es una representacion parametrica regular de clase c∞ para el paraboloide z = x2 + y2


2.2. REPRESENTACION PARAMETRICA 35

Ejemplo 2.2.2 Cuando se estudia geometrıa, una de las reflexiones importantes, es ver que sucedeen la esfera. Para tal efecto, se define

S2 =(x, y, z) : x2 + y2 + z2 = 1

(2.4)

y por coordenadas esfericas se puede escribir (ver Figura 2.1):

x = (cos θ sinφ, sin θ sinφ, cosφ) (2.5)

senφ

x

y

z

S2

φ

θ

Figura 2.1

define una funcion del plano R2 de coordenadas (θ, φ) sobre la esfera: x2 + y2 + z2 = 1. Al igual queel ejemplo 1, x tiene derivadas parciales de todos los ordenes. Pero:

‖xθ × xφ‖ =∥∥∥

∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

− sin θ sinφ cos θ sinφ 0

cos θ cosφ sin θ cosφ − sinφ

∣∣∣∣∣∣∣

∥∥∥

= ‖(− cos θ sin2 φ,− sin θ sin2 φ,− sinφ cosφ)‖

=

√cos2 θ sin4 φ+ sin2 θ sin4 θ + sin2 φ cos2 φ

=√| sin4 φ+ sin2 φ cos2 φ|

= |sinφ|

que es cero en φ = nπ, n ∈ Z. Esto es, x no es regular a lo largo de las rectas φ = nπ, n ∈ Z. Por lotanto, el dominio de x se debe restringir a la franja

−∞ < θ <∞, 0 < φ < π

para que sea una representacion parametrica regular de clase C∞ de S2−N,S, donde N es el polonorte y S el polo sur. (Ver Figura 2.2.)



π

φ = φ0

θ = θ0

0

φ

θ x

φ = φ0

z

yθ = θ0

Figura 2.2

La familia de curvas φ = φ0, de parametro θ se obtiene claramente z = cosφ0 = constante dandocomo resultado una circunferencia paralela al plano xy. Esta familia de curvas en S2 reciben el nombrede: paralelos de latitud. La familia de curvas θ = θ0 de parametro φ se llaman : meridianosde longitud.

Los meridianos de longitud son las intersecciones de la esfera con la familia de planos quecontienen el eje z. Para calcular la ecuacion de este plano, se calcula primero su vector normal,esto es:

→n =

∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

0 0 1

cos θ0 sin θ0 sinφ cosφ

∣∣∣∣∣∣∣∣= (sin θ0 sinφ, cos θ0 sinφ, 0)

Como la ecuacion del plano buscado es⟨→n, (x, y, z)

⟩= 0, esto es,

x sin θ0 sinφ+ y cos θ0 sinφ = 0,

es decir:

x sin θ0 + y cos θ0 = 0

Los paralelos de latitud y los meridianos de longitud se cortan en angulos rectos ya que:

xθ × xφ = 〈(− sin θ sinφ, cos θ sinφ, 0), (cos θ cosφ, sin θ sinφ,− sinφ)〉=− sin θ sinφ cos θ cosφ+ cos θ sinφ sin θ cosφ

=0

§ 2.3. Parametrizaciones locales

Es necesario observar que una representacion parametrica regular de clase C∞ puede solamente cubriruna parte de la superficie que se desea estudiar. Como resultarıa excesivo restringirnos a considerarunicamente representaciones parametricas que sean inyectivos. Por tal motivo se presenta la siguiente


2.4. SUPERFICIES REGULARES Y EJEMPLOS 37

Definicion 2.3.1 Parametrizacion Local. Sea U un conjunto abierto en R2, yM ⊆ R3, la funcion

α : U →M, o el par (U, α)

se llama una parametrizacion local de M si

(a) α es de clase C∞(U)

(b) α es un homeomorfismo. Esto es x es inyectiva, continua con inversa continua.

(c) αu × αv 6= 0, ∀(u, v) ∈ U.

α(U) recibe el nombre de vencidad coordenada.

La condicion (c), es equivalente a que dα es 1− 1 en cada punto p ∈ U. Ya que para α = (x, y, z) ladαp es 1− 1 si y solo si los vectores columnas de

∂x

∂u

∂x

∂v∂y

∂u

∂y

∂v∂z

∂u

∂z

∂v

(2.6)

son linealmente independientes (imagen directa e inversa de una transformacion lineal 1− 1), equi-valentemente, a que el producto vectorial.

∂α

∂u× ∂α

∂v6= 0

Lo que proporciona el siguiente

Lema 2.3.1 Sean U un conjunto abierto en R2 y α : U → M una funcion. Entonces α es unaparametrizacion local de M si y solo si


(b) α es un homeomorfismo. Esto es x es inyectiva, continua con inversa continua.

(c) La diferencial de α es uno a uno para todo (u, v) ∈ U.

§ 2.4. Superficies regulares y ejemplos

Definicion 2.4.1 Se dice que un conjunto M ⊆ R3 es una superficie regular si cada punto p ∈ Mexiste un conjunto abierto de V de R3 y una parametrizacion α : U → V ∩M de un conjunto abiertoU de R2 sobre V ∩M ⊆ R3 tal que (ver Figura 2.3)


(b) α es un homeomorfismo. Esto es α es inyectiva, continua con inversa continua.



(c) Para cada q, la diferencial dαq : R2 → R3 es uno a uno.

Es decir, un conjunto M ⊆ R3 es una superficie regular si cada punto p ∈M admite una parametri-zacion local de clase C∞.

α(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

U

v

(u, v)•

u x

y

M

p•

z

α(u, v)

Figura 2.3

1. Sea f : U → R una funcion difernciable en un conjunto abierto U de R2, entonces la grafica def, esto es, el subconjunto de R3 dado por

M = (u, v, f(u, v)), (u, v) ∈ U

es una superficie regular.

En efecto, la funcion x : U → R3 definida por

x(u, v) = (u, v, f(u, v))

es una parametrizacion de la grafica de f. Ademas su vencidad coordenada cubre cualquierpunto de M.

La condicion (a) se satisface inmediatamente.

La condicion (c) no es difıcil ya que ∂(x,y)∂(u,v)

= 1, es decir xu × xv 6= 0

Finalmente x claramente es 1− 1 y continua. Como x−1 : Im(f) → R2 esta dada por

x−1(u, v, f(u, v)) = (u, v)

es uno a uno. Tambien es la restriccion a M de la funcion continua π : R3 → R2 dada porπ(u, v, w) = (u, v), por lo tanto x−1 es continua y uno a uno.

2. SeaS2 =

(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1

.

Usar coordenadas rectangulares para verificar que S2 es una superficie regular.

Solucion. Primero, verifiquemos que x1 : U → R3 definida con

x1(x, y) = (x, y,√

1− x2 − y2), (x, y) ∈ U



donde U = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1 , es una parametrizacion local de S2, por ser la imagende una funcion diferenciable.

Se puede ahora terminar de cubrir la esfera S2 con parametrizaciones locales similares comosigue

x2(x, y) = (x, y,−√

1− x2 − y2), (x, y) ∈ U

entonces x1(U) ∪ x2(U) cubre S2 menos el ecuador, usando los planos xz y zy, se define lassiguientes parametrzaciones

x3(x, z) = (x,√

1− x2 − y2, z), x4(x, z) = −(x,√

1− x2 − y2, z)

Con U1 = (x, z) ∈ R2 : x2 + z2 < 1 y

x5(y, z) = (√1− y2 − z2, y, z), x6(y, z) = (−

√1− y2 − z2, y, z)

Con U2 = (y, z) : y2 + z2 < 1. Estas 6 parametrizaciones cubren completamente a S2, verFigura 2.4. Por lo tanto,S2 es una superficie regular.

x

y

z

S2

Figura 2.4

3. El Elipsoidex2

a2+y2

b2+z2

c2= 1

es una superficie regular y se cubre al igual que la esfera S2, por

x1(x, y) = (x, y,c

ab

√a2b2 − b2x2 − a2y2), x2(x, y) = (x, y,− c

ab

√a2b2 − b2x2 − a2y2)

con U1 = (x, y) : b2x2 + a2y2 < a2b2,

x3(x, z) = (x,b

ac

√a2c2 − c2x2 − a2z2), x4(x, z) = (x, y,− b

ac

√a2c2 − c2x2 − a2y2)

con U2 = (x, z) : c2x2 + a2z2 < a2c2 y con

x5(y, z) = (a

bc

√b2c2 − c2y2 − b2z2, y, z), x6(y, z) = (− a

bc

√b2c2 − c2y2 − b2z2, y, z)

con U3 = (y, z) : c2y2 + b2z2 < b2c2.



4. El hiperboloide de dos hojas−x2 − y2 + z2 = 1

es una superficie regular.

En efecto (ver Figura 2.5),

x

y

z

Figura 2.5

comoz = ±

√1 + x2 + y2.

Entonces se toma U = R2 y ası

x1(x, y) = (x, y,√

1 + x2 + y2), (x, y) ∈ U

x2(x, y) = (x, y,−√

1 + x2 + y2), (x, y) ∈ U

Ahora se observa que es un par de parametrizaciones que cubren al hiperboloide de dos hojasya que en ambos casos es la imagen de funciones continuamente diferenciable.

Un Lema que en ocaciones es de gran utilidad es el siguiente

Lema 2.4.1 Sea p un punto de una superficie regular y sea α : U ⊆ R2 → R3 una funcion conp ∈ α(U) que satisface las condiciohnes (a) y (c) de la definicion de superficie regular. Si α es 1− 1,entonces α−1 es continua.

Demostracion. Se escribe

α(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ U

y sea q ∈ U , por la condicion (a) y (c), se puede admitir, intercambiando los ejes coordenados si esnecesario, que

∂(x, y)

∂(u, v)6= 0

Sea π : R3 → R2 la proyeccion π(x, y, z) = (x, y). Entonces π α : R2 → R2 y



J(π α) = ∂(x, y)

∂(u, v)6= 0 (2.7)

y por el teorema de la funcion inversa, se obtiene vecindades V1 de q en U y V2 de π α(q) en R2 talque π α : V1 → V2 es un difeomorfismo sobre V2

Se asume que α es 1− 1. Entonces restringido a α(V1) y como:

α−1 = (π α)−1 π,

entonces α−1 es continua como composicion de funciones continuas. Como q es arbitrario, α−1 escontinua en α(U). ♦X

Ejemplo 2.4.1 Considerese S2 = (x, y, z) : x2 + y2 + z2 = 1 y

ϕ(θ, φ) = (cos θ sinφ, sin θ sinφ, cosφ)

sus coordenaadas esfericas. Ya se sabe que ϕ(U) cubre a S2−N,S si U = (θ, φ) : 0 < θ <∞, 0 < φ < π .

Entonces para que ϕ sea una parametrizacion regular de S2 solo se necesita redefinir el dominio deϕ para que sea 1− 1 y entonces aplicar el Lema anterior. Pero, para que esto suceda se toma

V =(θ, φ) : 0 < θ < 2π, 0 < φ < π

Ademas observese que ϕ(V ) cubre a S2 − C donde C es la semi-circunferencia

C =(x, y, z) ∈ S2 : y = 0, x ≥ 0

.

Se nota que ϕ(u, v) solo omite una semi-circunferencia de S2 (incluyendo los dos polos) y que S2 sepuede cubrir con sus dos vecindades coordenadas de este tipo.

Ejemplo 2.4.2 El elipsoide

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1

Es una superficie regular vista como sigue, se hace X = xa, Y = y

a, Z = z

ay se obtiene

X2 + Y 2 + Z2 = 1

Usando una parametrizacion en coordenadas esfericas se tiene

X = cos θ sinφ, Y = sin θ sinφ, Z = cosφ

Con U = (θ, φ) : 0 < θ < 2π, 0 < θ < πEsto es

(x, y, z) = (a cos θ sinφ, b sin θ sinφ, c cosφ),

con U = (θ, φ) , 0 < θ < 2π, 0 < θ < π . Y como en S2, esta es una parametrizacion local quecube el elipsoide, excepto una semi-elipse incluyendo los polos. Para poder cubrir todo el elipsoidese necesita otra carta similar.



Ejemplo 2.4.3 (El cilindro) En R3 la ecuacion x2 + y2 = a2 para a > 0, representa un cilindro debase circular con generatrices paralelas al eje 0z (ver Figura 2.6).

x

y

z

Figura 2.6

Se puede obtener un sistema de ecuaciones parametricas a partir de las coordenadas polares, ası:como x2 + y2 = a2 entonces:

x = a cos θ, y = a sin θ

Con 0 ≤ θ ≤ 2π. por lo tanto,α(θ, φ) = (a cos θ, a sin θ, φ)

Con 0 < θ < 2π y −∞ < φ < ∞ es una representacion local del cilindro. Para ver que se trata deuna parametrizacion regular del cilindro, se procede ası:

α es de clase c∞, pues sus componentes lo son.

Es facil ver que α es 1− 1 cuando 0 < θ < 2π y −∞ < φ <∞ y que α−1 es continua.

La dierencial de α es 1− 1, ya que

∥∥∥∥∂α

∂θ× ∂α

∂φ

∥∥∥∥ = ‖

∣∣∣∣∣∣∣

i j k

−a sin θ a cos θ 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣‖

=√a2 cos2 θ + a2 sin2 θ

= a2

Ejemplo 2.4.4 (Superficie de Revolucion) SeaM ⊆ R3 el conjunto obtenido al rotar una curvaplana regular C alrededor de un eje en el plano que no intersecta la curva.

Se tomara el plano xz como plano de la curva y el eje z como eje de rotacion. Sea

x = f(v), z = g(v), a < v < b, f(v) > 0

la parametrzacion de la curva regular (ver Figura 2.7)



x

y

z

uParalelo

Meridiano

Eje de rotacion(f(v), g(v))

Figura 2.7

se observa que si (x, y, z) ∈M, entonces

z = g(v), a < v < b

y tambienx = f(v) cosu, y = f(v) senu

Con 0 < u < 2π, v ∈ (a, b). Y si U =(u, v) ∈ R2 : 0 < u < 2π, a < v < b

,

α(u, v) = (f(v) cosu, f(v) cos u, g(v)), ∀(u, v) ∈ U (2.8)

es una representacion parametrica del solido de revolucion generado por la curva C. La idea ahoraes demostrar que (U, α) es una parametrizacion local regular del solido de revolucion M. En efecto.

Claramente α es diferenciable

La diferencial de α, d α es inyectiva. Pues,

∥∥∥∥∂x

∂u× ∂x

∂v

∥∥∥∥ =∥∥∥

∣∣∣∣∣∣

i j k−f(v) sin u f(v) cos u 0f ′(v) cosu f ′(v) sin u g′(v)

∣∣∣∣∣∣

∥∥∥

=∥∥∥(f(v)g′(v) cos u, f(v)g′(v) sinu, f ′(v)f(v)

)∥∥∥

=

√[f(v)g′(v)]2 + [f ′(v)f(v)]2

= |f(v)| ‖(f(v), g(v))′‖ 6= 0

α es un homeomorfismo. En efecto, primero se demostrara que x es 1− 1, como (f(v), g(v)) es unaparametrizacion de la curva regular C, entonces dado z y x2 + y2 = [f(v)]2 , se determina de maneraunica v. esto hace que α sea 1 − 1. Se hace notar que, como (f(v), g(v)) es una parametrizacionregular de C, v es una funcion continua de z y de

√x2 + y2, por lo tanto, una funcion continua de

(x, y, z).

Para demostrar que α−1 es continua solo resta demostrar que u es una funcion continua de (x, y, z).Para ver esto, observese que si u 6= π (y usando que f(v) 6= 0) se obtiene



tanu

2=

senu

2

cosu

2

=2 sen

u

2cos

u

2

cos2u

2

=sen u

1 + cos u

=

y

f(v)

1 +x

f(v)

=y

f(v) + x=

y

x+√x2 + y2

Con lo que

u = z tan−1 y

x+√x2 + y2

Por lo tanto, si u 6= π, u es una funcion continua de (x, y, z).

Usando el procedimiento, inmediatamente anterior, pero con cot u2y u en un intervalo pequeno

alrededor de π, se obtiene

u = 2 cot−1 y

−x+√x2 + y2

ası que, u es una funcion continua de (x, y, z). Esto muestra que α−1 es continua y completa, laverificacion del ejemplo.

§ 2.5. Superficie regular de dimension k o k−superficie

El concepto de superficie regular admite, sin ningun tipo de complicacion, una generalizacion adimensiones mas altas, pero aun manteniendo un espacio ambiente:

Definicion 2.5.1 Un subconjunto M ⊆ Rn es una superficie regular de dimension k o simplementeuna k−superficie regular si para cada p ∈M, existe un conjunto abierto V de p en Rn y una funcion

x : U ⊆ Rk → V ∩M,

de un abierto U de Rk en V ∩M tales que

(a) x es un homeomorfismo diferenciable;

(b) la diferencial, (dx)q : Rk → Rn, es inyectiva para todo q ∈ U.

El par (U, x) recibe el nombre de parametrizacion de M alrededor p; como tambien a x(U) se le diceuna vecindad coordenada de p.

Observaciones

Sea M es una k−superficie y p ∈M.


2.5. SUPERFICIE REGULAR DE DIMENSION K O K−SUPERFICIE 45

(a) En la practica, se dice que (U, x) es una parametrzacion de M en p indicando las coordenadasde U en Rk que se van a usar, por ejemplo, (U, x) es una parametrizacion de M en p concoordenadas x1, · · · , xk.

(b) Como cada punto de p ∈ M esta una vecindad coordenada de M, entonces existe una familiade parametrizaciones F = (Ui, ϕi), tal que

⋃

i

ϕi(Ui) =M

y a la familia F se le conoce con el nombre de Estructura diferenciable para M.

Ejemplo 2.5.1 La imagen de una funcion diferenciable es una k−superficie regular. Enefecto, sea Ω un conjunto abierto de Rk y f : Ω → Rm una funcion diferenciable. Entonces la imagende f es el conjunto:

Im(f) =(x1, · · · , xk, f1(x), · · · , fm(x)) : x = (x1, · · · , xk) ∈ Ω

,

y como se observa ϕ : Rk → Im(f) dada por

ϕ(x1, · · · , xk) = (x1, · · · , xk, f1(x), · · · , fm(x))

es diferenciable con inversa diferenciable y ϕ(Rk) = Im(f). Esto es Im(f) es una k−superficie regularcon una sola parametrizacion.

Ejemplo 2.5.2 La esfera de dimension n. Sea M = Sn, la esfera de radio 1, dada por

Sn = (x1, · · · , xn, xn+1) : x21 + · · ·+ x2n + x2n+1 = 1

y se construira una biyeccion f de la siguiente manera: Se proyectan los puntos de la esfera desde elpolo norte sobre Rn ≈ Rn × 0, entonces a cada punto de la esfera le corresponde un punto sobreRn, con excepcion del polo norte y a cada punto de Rn le corresponde un punto sobre la esfera y solouno. Esta correspondencia se denomina proyeccion estereografica (ver, Figura 2.8, caso n = 2).

•

·

•

Y

N

P

Figura 2.8, caso n = 2



La proyeccion estereografica se puede expresar analıticamente como sigue: sea N = (0, · · · , 1) (polonorte); se conecta cualquier punto Y = (y1, · · · , yn, 0) de Rn con N por medio de una recta y seobserva que esta recta corta a la esfera Sn en un unico punto P = (x1, · · · , xn, xn+1).

La ecuacion de la esfera esx21 + · · ·+ x2n + x2n+1 = 1. (2.9)

Como los puntos N,P y Y son colineales se debe tener→NP = t

→NY para algun numero real t 6= 0,

de donde

x1 = ty1, x2 = ty2, · · · , xn = tyn, xn+1 = 1− t,

y1 =x1t, y2 =

x2t, · · · , yn =

xnt, 1− xn+1 = t,

como x21+· · ·+x2n+x2n+1 = 1 se obtiene que t = 2/(1+y21+· · ·+y2n). Luego la proyeccion esterograficaes la funcion

f : Rn −→ Sn −N; f(y1, · · · , yn) = (ty1, · · · , tyn, 1− t),

y su funcion inversa f−1 esf−1 : Sn − N −→ Rn

dada por la formula

f−1(x1, · · · , xn+1) =1

1− xn+1

(x1, · · · , xn).

Para cubrir el polo norte, se hace necesario proyectar desde otro punto de la esfera, por ejemplo,desde el polo sur, esto es, si S = (0, · · · , 0,−1) y P = (x1, · · · , xn+1) ∈ Sn, con P 6= S, entonces laproyeccion desde el polo sur esta dada por

g : Rn −→ Sn −S; g(y1, · · · , yn) = (ty1, · · · , tyn, t− 1).

con t = 2/(1 + y21 + · · ·+ y2n). Ademas

g−1 : Sn −S−→ Rn; g−1(x1, · · · , xn+1) =

1

1 + xn+1

(x1, · · · , xn).

Tomando V1 = Rn = V2, entonces la coleccion(V1, f), (V2, g)

satisface

(b) S2 = f(V1) ∪ g(V2),(a) f y g son homeomorfismos (y ademas diferenciables)

(c) Inmediatamente se tiene que d f |q y d g|q son 1-1 para todo q ∈ Rn.

Ademas, se oserva que si f(V1) ∩ g(V2) = Sn −N,S

= W es no vacıo y es un conjunto abierto en

la Topologıa de subespacio sobre Sn, tambien f−1 g esta dada por

f−1 g(y1, · · · , yn) =1

y21 + · · ·+ y2n(y1, · · · , yn)

que es una funcion diferenciable de Rn −(0, · · · , 0)

sobre Rn −

(0, · · · , 0)

. Esta propiedad se

trata en la siguiente seccion.


2.6. CAMBIO DE PARAMETRO 47

§ 2.6. Cambio de parametro

En la mayorıa de los casos los puntos de una superficie regular estan en varias parametrizaciones ovecindades coordenadas, por ejemplo, esto sucede en el caso de la esfera S2. Cada punto del interior delprimer octante pertenece, por lo menos, a dos vecindades coordenadas. Por lo tanto, se hace necesarioque los puntos de una superficie no dependan de la escogencia de una parametrizacion. Esto es, si unpunto p de una superficie esta en dos vecindades coordenadas se debe tener un procedimiento parapasar de una parametrizacion a la otra. Esto es asegurado por la siguiente proposicion.

Teorema 2.6.1 (Cambio de parametro) Sea p un punto de una k−superficie regular M, y seanx : U ⊆ Rk →M, y : V ⊆ Rk →M dos parametrizaciones de M en p tal que p ∈ x(U)∩y(V ) = W.Entonces el cambio de coordenadas

h = y−1 x : x−1(W ) → y−1(W )

es un difeomorfismo (ver Figura 2.9). Esto es h es diferenciable y tiene funcion inversa h−1 diferen-ciable.

x y

h = y−1 x

W

x−1(W ) y−1(W )

U V

x(U) y(V )

M

R

Rk−1

R

Rk−1

Figura 2.9

De esta forma x = y h e y = x h−1.

Demostracion. Es una aplicacion del Teorema de la Funcion Inversa. En efecto, h = y−1 x es unhomeomorfismo, ya que es compuesta de dos homeomorfismos. Situacion que no se puede concluir,por argumento analogo, que h sea diferenciable, ya que y−1 no necesariamente esta definida en unsubconjunto abierto de algun RN y aun no se conoce cual es el significado de una funcion diferenciablesobre M.

El procedimiento es como se muestra a continuacion. Sean r ∈ x−1(W ) y q = h(r). Si

(u1, · · · , uk) ∈ V ⊆ Rk, (v1, · · · , vn) ∈ Rn



y sea

y(u1, · · · , uk) = (v1(u1, · · · , uk), · · · vn(u1, · · · , uk))una parametrizacion de M, entonces la diferencial de y en cualquier punto de su dominio tiene rangok y por lo tanto, se puede asumir, renombrando los ejes si es necesario, que

∂(v1, · · · , vk)∂(u1, · · · , uk)

(q) 6= 0.

Se extiende y a la funcion F : V × Rn−k → Rn definida por (por comodidad se escribe u =(u1, · · · , uk)):

F (u1, · · · , uk, tk+1, · · · , tn) = (v1(u), · · · , vk(u), vk+1(u) + tk+1, · · · , vn(u) + tn),

donde (u1, · · · , uk) ∈ V, ti ∈ R. Es claro que F es diferenciable y que la restriccion F |V×0 = y, ypor un calculo simple, se obtiene

det dFq =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂v1∂u1

· · · ∂v1∂uk

0 · · · 0

......

......

∂vk∂u1

· · · ∂vk∂uk

0 · · · 0

∂vk+1

∂u1· · · ∂vk+1

∂uk1 · · · 0

......

......

∂vn∂u1

· · · ∂vn∂uk

0 · · · 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣q

=∂(v1, · · · , vk)∂(u1, · · · , uk)

(q) 6= 0.

En estas condiciones es posible entonces aplicar el Teorema de la Funcion Inversa, que garantiza laexistencia de un par de conjuntos abiertos V1 de y(q) en Rn y V2 de q × 0 en Rn tal que F es undifeomorfismo.

Por la continuidad de x, existe un conjunto abierto U1 de r ∈ V tal que x(U1) ⊆ V1. Notese que,sobre U1, h|U1 = F−1 x|U1 es una composicion de funciones diferenciables. De esta manera, se puedeaplicar la regla de la cadena para concluir que h es una funcion diferenciable en r : Como r esarbitrario, entonces h es diferenciable sobre x−1(W ).

El mismo argumento se le puede aplicar para demostrar que h−1 es una funcion diferenciable y ası hes un difeomorfismo. ♦X

Observaciones

Sea M una k−superficie contenida en Rn y F = (Ui, ϕi) una estructura diferenciable sobre M.

(a) Si (Ui, ϕi) y (Uj, ϕj) son elementos de F con p ∈ ϕi(Ui) ∩ ϕj(Uj) = W, entonces el teorema decambio de parametro dice que

h = ϕ−1i ϕj : ϕ−1

i (W ) → ϕ−1j (W )


2.7. SUPERFICIES OBTENIDAS POR VALORES REGULARES 49

es un difeomorfismo. Es decir, si las coordenadas de (Ui, ϕi) y (Uj, ϕj) son x1, · · · , xk y y1, · · · , ykrespectivamente, entonces h se representa por las funciones

y1 =y1(x1, · · · , xk)...

yk =yk(x1, · · · , xk)(2.10)

y para cada q en el dominio de h,

∂(y1, · · · , yk)∂(x1, · · · , xk)

6= 0.

(b) La prueba del teorema de cambio de parametro, garantiza que para cada una de las parame-trizaciones (Ui, ϕi), existe un subconjuntos abiertos de la forma Ui×Rn−k del espacio euclideoRn y una funcion Fi : Ui ×Rn−k → Rn tal que Fi es un difeomorfismo de una vecindad abiertade ϕ−1

i (p) ∈ Ui × Rn−k sobre una vecindad abierta de p ∈ M ⊆ Rn, con Fi∣∣Ui

= ϕi. Lo que

indica que cada ϕ−1i es diferenciable.

(c) A la familia (Vi, ψi), donde Vi = ϕi(Ui) y ψi = ϕ−1i , se conoce un atlas para M y al par

(Vi, ψi) una carta.

(d) En general se puede trabajar con atlas o estructura diferenciable, o bien, con parametrizacioneso cartas, siempre que exista la suficiente claridad de la forma como se desea trabajar.

§ 2.7. Superficies obtenidas por valores regulares

Definicion 2.7.1 Una funcion diferenciable

F : A ⊂ Rn → Rm

definida en un conjunto abierto A de Rn se dice que tiene en p ∈ A un punto critico si dFp : Rn → Rm

no es sobreyectiva. La imagen F (p) ∈ Rm de un punto critico se llama valor critico. Un punto deRm se dice valor regular si no es un valor critico.

La teminologıa se motiva desde el caso particular en que f : A ∈ R → R es una funcion de valorreal en una variable real. Un punto p ∈ A es critico si f ′(p) = 0, esto es, la diferencial dfp enviatodo vector de R en cero, lo que implica que la dfp no es sobreyectiva. Tambien notese que cualquiera 6∈ f(A) es trivialmente un valor regular.

Si f : A ⊂ Rn → R es una funcion diferenciable y p = (p1, · · · , pn), entonces la diferencial dfpaplicado al vector ei = (0, · · · , 0, xi, 0, · · · , 0) se obtiene calculando el vector tangente en f(p) a lacurva

xi → f(p1, · · · , pi−1, xi, pi+1, · · · , pn)



y entonces

dfp(ei) =∂f

∂xi(p),

Se concluye que la matriz asociada con dfp relativo a la base

e1 = (1, 0, · · · , 0), · · · , en = (0, · · · , 0, 1)

es dada por

dfp =( ∂f∂x1

, · · · , ∂f∂xn

)p

Notese, por lo menos en este caso, que la dfp no es sobreyectiva es equivalente a que

∂f

∂x1(p) = · · · = ∂f

∂xn(p) = 0

Por lo tanto, a ∈ f(A) es un valor regular de f : A ⊂ R3 → R si y solo si

∂f

∂xi6= 0, para algun i = 1, · · · , n

en cada uno de los puntos de la imagen inversa

f−1(a) = (x1, · · · , xn) ∈ A : f(x1, · · · , xn) = a.

De igual manera, si f = (f1, · · · , fm) : A ⊆ Rn → Rm y a ∈ A es un valor regular de f (con lo quen ≥ m), p ∈ f−1(a) e indicando con

q = (x1, · · · , xk, y1, · · · , ym) ∈ Rn=m+k,

entonces si a es un valor regular de f implica dfp es sobreyectia, con lo que se puede suponer (haciendouna reordenacion de las variables si es necesario) que

∂(f1, · · · , fm)∂(y1, · · · , ym)

(p) 6= 0,

ya que el rango de de la diferencial de f en p es m.

Teorema 2.7.1 Si f : A ⊂ Rn → Rm es una funcion diferenciable y a ∈ f(A) es un valor regularde f, entonces f−1(a) es una superficie regular de dimension k = n−m.

Demostracion. Sea p ∈ f−1(A). Se hace la siguiente notacion

x = (x1, · · · , xk), y = (y1, · · · , ym), a = (a1, · · · , am)(x, y) = (x1, · · · , xk, y1 · · · , ym)

y f(x, y) = (f1(x, y), · · · , fm(x, y)) denota a la funcion f.

Como a es un valor regular de f. se asume, reordenando los ejes si es necesario, que

∂(f1, · · · , fm)∂(y1, · · · , ym)

(p) 6= 0



en p. Se define la funcion F : A ⊂ Rn → Rn por

F (x, y) =(x1, · · · , xk, f1(x, y), · · · , fm(x, y)

),

entonces

det(dFp) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 · · · 0 0 · · · 0...

......

...0 · · · 1 0 · · · 0∂f1∂x1

· · · ∂f1∂xk

∂f1∂y1

· · · ∂f1∂ym

......

......

∂fm∂x1

· · · ∂fm∂xk

∂fm∂y1

· · · ∂fm∂ym

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=∂(f1, · · · , fm)∂(y1, · · · , ym)

(p) 6= 0

El teorema de la funcion inversa garantiza la existencia de conjuntos abiertos U de p y V de F (p)tal que F : U → V es un difeomorfismo. Y sigue que F−1 : V → U tambien es un difeomorfismo ytiene la forma

F−1(x1, · · · , xk, t1, · · · , tm) = (x1, · · · , xk, g(x1, · · · , xk, t1, · · · , tm)),donde (x, t) = (x1, · · · , xk, t1, · · · , tm) ∈ V y

g(x1, · · · , xk, t1, · · · , tm) = (g1(x, t), · · · , gm(x, t))Se denota la funcion proyecion de Rn sobre Rk por π, esto es π(x, y) = x.

Ahora, cualquier punto (x, y) ∈ f−1(a) ∩ U tiene la forma

(x, y) =F−1 F (x, y) = F−1(x1, · · · , xk, f(x, y))=F−1(x, a) = (x, g(x, a))

(2.11)

con x en el abierto π(U) de Rk. Sea h(x) = g(x, a), entonces

f−1(a) ∩ U = (x, h(x)) : x ∈ π(U) = grafh ∩ U (2.12)

Lo que muestra que f−1(a)∩U es una carta local de p, por ser la grafica de una funcion diferenciabley po lo tanto cualquier punto p ∈ f−1(a) se puede cubrir con una carta local; ası f−1(a) es unasuperficie regular. ♦X

Ejemplo 2.7.1 El elipsoidex2

a2+y2

b2+z2

c2= 1

es una superficie regular ya que es el conjunto f−1(0) donde

f(x, y, z) =x2

a2+y2

b2+z2

c2− 1

es una funcion diferenciable y 0 es un valor regular de f. puesto que las derivadas parciales

fx =2x

a2, fy =

2y

b2, fz =

2z

c2

que se anulan simultaneamente en el punto (0, 0, 0), que no esta en f−1(0). Este ejemplo incluye laesfera como un caso particular cuando a = b = c = 1.



Ejemplo 2.7.2 (El Toro)

(a) El toro se puede realizar especificando las orientaciones de pegamiento de los lados opuestosde un rectangulo, como se muestra en la Figura 2.10.

Figura 2.10

(b) El toro de revolucion T 2. Sea S1 la circunferencia en el plano yz con centro (0, a, 0). EntoncesS1 tiene por ecuacion cartesiana

(y − a)2 + x2 + z2 = r2, (r < |a|).

Los puntos de la figura obtenida al rotar este circulo alrededor del eje z recibe el nombre detoro de revolucion y se denota con T 2. Como en la Figura 2.11 y observese AB =

√r2 − z2;

x

y

z

P = (x, y, z)

O

AB

r

r

Figura 2.11

O

x

y

A

B

•

OA = a, AB =√r2 − z2

con lo que se deduce

OB = OA+ AB = a+√r2 − x2

por lo tanto,

x2 + y2 = (a+√r2 − z2)2

y despejando r2 se tiene

r2 = z2 + (√x2 + y2 − a)2. (2.13)



Por lo tanto, T 2 es la imagen inversa de de r2 bajo la funcion

f(x, y, z) = z2 + (√x2 + y2 − a)2 (2.14)

Esta funcion es diferenciable para (x, y) 6= (0, 0), y como

fx =2x(√x2 + y2 − a)√x2 + y2

, fy =2y(√x2 + y2 − a)√x2 + y2

, fz = 2z,

r2 es un valor regular de f. Y queda demostrado que el toro T 2 es una superficie regular.

(c) Un sistema de parametrzaciones. El Toro de revolucion T 2 se puede pensar como unasuperficie generada al rotar una cirunferencia de radio r > 0 alrededor de una lınea recta queesta en el plano que contiene la circunferencia y la recta esta a una distancia a > r del centrode la circunferencia (ver Figura 2.12).

Sr

u0 x

y

z

C

C

a

v

Figura 2.12

A continuacion se procede a calcular un sistema de parametrizaciones del toro T 2. En efecto,supongase que la circunferencia S ha rotado un angulo u manteniendo su centro sobre lacircunferencia C, como muestra la Figura 2.13

S

r

u0x

y

z

C

av(x, y, z)

r cos vFigura 2.13



primero, se observa quez = r sen v (2.15)

y en segundo lugar, cuando S se ha rotado con centro en C un angulo u, en el plano x0y, seforma un triangulo como el que se presenta en la Figura 2.14

x

yu

a+ r cos v

Eje x

Eje y

Figura 2.14

y por lo tanto:x = (a+ r cos v) cos u, y = (a+ r cos v) senu

donde 0 < u < 2π, 0 < v < 2π. Por lo tanto, si

U =(u, v) ∈ R2 : 0 < u < 2π, 0 < v < 2π

yα(u, v) = ((a+ r cos v) cos u, (a+ r cos v) sen u, r sen v)

Con (u, v) ∈ U, entonces α es una representacion local del toro.

Ahora se debe mostrar que (U, α) es una parametrizacion local del torro T 2.

La condicion (a) se observa facilmente ya que las componentes de α en U son de clase C∞.

Para mostrar la condicion (c) procedemos ası

∥∥∥∥∂α

∂u× ∂α

∂v

∥∥∥∥ =∥∥∥

∣∣∣∣∣∣∣

i j k

−(a+ r cos v) sen u (a+ r cos v) cosu 0−r sen v cosu −r sen v sen u r cos v

∣∣∣∣∣∣∣

∥∥∥

=‖(−r(a+ r cos v) cosu cos v,−r(a+ r cos v) cos v sen u,

− r(a+ r cos v) sen v)‖=r2(a+ r cos v)2

La ultima expresion es diferente de cero para todo u ∈ (0, 2π), ya que r > 0 y a > r. Estoprueba la condicion (c).

Para probar que α es 1-1. Primero se observa que sin u = zr; Tambien si

√x2 + y2 < a,

entonces π2≤ u ≤ 3π

2, y si

√x2 + y2 ≥ a, entonces 0 < u ≤ π

2o 3π

2≤ u < 2π. Ası dado

(x, y, z), u se determina de manera unica para 0 < u < 2π. Al conocer u, x, y se puedeencontrar cos v y sin v. Esto determina a v, de manera unica si 0 < v < 2π, luego α es1− 1.


2.8. FUNCIONES DIFERENCIABLES ENTRE SUPERFICIES 55

Ahora se puede observar inmediatamente que el toro T 2 se puede cubrir por 3 parametrizacionessimilares.

Ejemplo 2.7.3 Una prueba relativamente simple de que

Sn = (x1, · · · , xn) : x21 + · · ·+ x2n = 1 ⊂ Rn+1

es una superficie regular es como sigue: sea f : Rn+1 → R definida con

f(x1, · · · , xn) = x21 + · · ·+ x2n.

Como f−1(1) = Sn y como x = (x1, · · · , xn+1) ∈ Sn, entonces x 6= 0 y para algun i = 1, · · · , n+ 1

∂f

∂xi= 2xi 6= 0

con lo que 1 es valor regular de f, por lo tanto Sn es una superficie regular.

§ 2.8. Funciones diferenciables entre superficies

En esta seccion se extiende la nocion de funciones diferenciables a superficies regulares.

Definicion 2.8.1 Sean Mm y Nn superficies regulares. Entonces una funcion f : M → N se dicediferenciable en p ∈ M si dada una parametrizacion (Uj, ϕj) en f(p), existe una parametrizacion(Ui, ϕi) en p tal que f(ϕi(Ui)) ⊆ ϕj(Uj) y la funcion

ϕ−1j f ϕi : Ui → Uj (2.16)

es una funcion diferenciable (ver, Figura 2.15).

La funcion ϕ−1j f ϕi recibe el nombre de expresion de f en coordenadas respecto a las parametri-

zaciones (Ui, ϕi) y (Uj, ϕj); su dominio es el conjunto Ui.

ϕi

ϕ−1j f ϕi

Ui

f

·ϕi(p) ϕj(f(p))

·

·

Mϕi(Ui)

·p

Uj

ϕj

ϕj(Uj)N

Rm Rn

Figura 2.15



Esta definicion esta bien hecha ya que es independiente del sistema de coordenadas escogidas para p yf(p). En efecto, sean (U ′

i , ϕ′i) y (U ′

j, ϕ′j); otras parametrzaciones con p ∈ ϕ′

i(U′i) y f(ϕ

′i(U

′i)) ⊆ ϕ′

j(U′j).

Entoncesϕ′−1

j f ϕ′i = (ϕ′−1

j ϕj) (ϕ−1j f ϕi) (ϕ−1

i ϕ′i)

es compuesta de funciones diferenciables. Por lo tanto, ϕ′j f ϕ′ −1

i es diferenciable.

SeanM y N superficies regulares de la misma dimension. Entonces una funcion biyectiva f :M → Ntal que f y f−1 son funciones diferenciables se llama un difeomorfismo y las dos superficies sedicen difeomorfas si existe un difeomorfismo de una a la otra; las superficies son necesariamentede la misma dimension.

§ 2.9. Ejercicios

1. Tomaru =

x

3− y

4, v =

x

3+y

4

para encontrar una parametrizacion que cubra el paraboloide hperbolico

x2

9− y2

16= z

2. ¿Cuales de las siguientes superficies cuadricas son regulares?

a) z =x2

a2+y2

b2, (a, b > 0). ( Praboloide)

b)x2

a2+y2

b2− z2

c2= 1, (a, b, c > 0). ( Hiperboloide de una hoja )

c)z2

c2− x2

a2− y2

b2= 1, (a, b, c > 0). ( Hiperboloide de dos hojas )

d) x2 + y2 = a2z2, (a > 0). ( Cono circular )

3. A cada una de las superficies cuadricas regulares del punto 2 encontrarles dos estructurasdiferenciables.

4. Probar que cada conjunto abierto de una k−superficie es una k−superficie.

5. Hallar la superficie de revolucion que se obtiene al girar alrededor de la recta x = y = z lacurva de ecuaciones y = x2, x+ y = 0. Encontrar un sistema de parametrizaciones.

6. Sea T : R3 → R3 invertible, probar entonces que T envia superficies regulares en superficiesregulares.

7. Probar que si Mm y Nn son superficies regulares, entonces M ×N es una (n+m)−superficie.

8. Probar que todo espacio vectorial de dimension finita n, es una n−superficie.

9. Probar que T n = S1 × S1 × · · · × S1, llamado toro plano n−dimensional es una n−superficieregular.


2.9. EJERCICIOS 57

10. Probar que S2 × S3 es una 5−superficie regular. Encontrar una estructura diferenciable paraesta superficie.

11. Demostrar que el espacio de todas las matrices de tamano n× n es una n2−superficie.

12. Sea Gl(n), el conjunto de todas las matrices invertibles con entradas reales. Demostrar queGl(n) es una n2−superficie.

13. Sea 0(n), el conjunto de todas las matrices ortogonales, esto es, el conjunto de las matrices detamano n× n que satisfacen la ecuacion A× At = I, donde I es la matriz identidad. Probar

a) 0(n) es unan(n− 1)

2−superficie regular.

b) 0(n) ⊆ Sn × · · · × Sn, (n−factores de Sn).

14. ¿Son las matrices simetricas de tamano n× n una superficie regular?. Justificar la respuesta.

15. ¿Son las matrices anti-simetricas de tamano n×n una superficie regular?. Justificar la respuesta.

16. Sea T : Sn → Sn definida por T (x) = −x (funcion antipodal). Demostrar que T es un difeo-morfismo de Sn sobre Sn.

17. Sea A una transformacion lineal de Rn y b ∈ Rn. Demostrar que la funcion T : Rn → Rn dadapor T (x) = Ax+ b es un difeomorfismo de Rn si y solo si A es no- singular.

18. Banda de Mobius. Una forma de definir esta superficie es como sigue: se considera unacircunferencia S1 dada por x2 + y2 = 9 y un segmento abierto AB dado en el plano yz pory = 3, |z| < 1. Se hace mover el centro C de AB a lo largo de S1 y se va girando AB alrededorC en el plano CZ de tal manera que si c ha recorrido un angulo u, entonces AB tenga unarotacion de un angulo de u

2como se muestra en la siguiente Figura 2.17.

A

A

B

B

Cu

u2

C

x

y

z

D

0

E

Figura 2.17

Observese que, cunando C complete una vuelta alrededor de S1, AB ha regresado a su posicioninicial con los puntos extremos invertido. La superficie ası obtenida recibe el nombre de Bandade Mobius.

Sia E = (x, y, z) es un punto de la Banda de Mobius y v la distancia del punto (x, y, z) sobreAB al centro AB. Entonces



(a) Bajo estas condiciones, calcular una estructura diferenciable para la Banda de Mobius.

(b) Como la banda de Mobius se cubre con la imagen de dos parametrizaciones, calcular enton-ces, dominio, imagen y el determinante Jacobiano de la funcion de cambio de parametro.

19. El espacio proyectivo real RP2. Se indica con RP2 al conjunto de todas las rectas de R3

que pasan por el origen 0 = (0, 0, 0); esto es, RP2 es el conjunto de todas las direcciones de R3.Introducir una estructura diferenciable para RP2.

Sugerencia. Considerar (x1, x2, x3) ∈ R3 y observar que RP2 es el espacio cociente

[R3 − 0

]/ ∼,

donde ∼ esta definida por

(x1, x2, x3) ∼ (λx1, λx2, λx3), λ ∈ R, λ 6= 0;

indicar los puntos de RP2 por [(x1, x2, x3)] y si xi 6= 0,

[x1, x2, x3] =[1,x2x1,x3x1

], x1 6= 0

[x1, x2, x3] =[x1x2, 1,

x3x2

], x2 6= 0

[x1, x2, x3] =[x1x3,x2x3, 1], x3 6= 0

y definir en RP2 los subconjuntos V1, V2 V3 por

Vi =[x1, x2, x3] : xi 6= 0

, i = 1, 2, 3.

Usar estos conjuntos para proporcionar una estructura diferenciable a RP2 y encontrar lasfunciones de cambio de parametro.

20. Generalizar el problema anterior a RPn, es decir, proporcionar una estructura diferenciaciableal espacio de todas las rectas que pasan por el origen de Rn+1


Capıtulo 3

Vectores tangentes, campos vectoriales yorientacion


Se presentaran los conceptos de vectores tangentes, campos vectoriales sobre una n−superficie demanenra introductoria y luego orientacion sobre superficies y su relacion con los campos vectoriales.Estos temas fundamentales en el estudio de la Geometrıa t Topologıa de superficies y variedades.

§ 3.2. Vectores tangentes

Para presentar la definicion de vector tangente sobre una superficie que permita manipularlo comoun operador diferencial, primero se hace la traduccion de lo que sucede en Rk a esta terminologıa.

(a) Caso Rk. Sea α : (−ε, ε) → Ω ⊆ Rk una curva regular en el conjunto abierto Ω con α(0) = p,entonces

α(t) = (α1(t), · · · , αk(t)),por lo tanto,

α′(0) =(dα1

dt(0), · · · , dαk

dt(0))= (v1, · · · , vk) = v ∈ Rk;

sea f una funcion a valor real derivable en Ω, entonces se puede restringir f a la curva α y ası

d

dt

(f α

)∣∣∣t=0

=n∑

i=1

∂f(α(t))

∂xi

∣∣∣t=0

d

dtαi(t)

∣∣∣t=0

=n∑

i=1

vi∂f

∂xi

∣∣∣∣p

esta ultima expresion por Calculo elemental en Rn es la derivada direccional de f en direcciondel vector v en el punto p, que se denota con

f ′(v, p), o v(f)|p.

Se observa que v actua como un operador sobre el espacio vectorial de las funciones diferencia-bles. Especıficamente, si f es una funcion diferenciable sobre un conjunto abierto de p en Rn,

59

60 CAPITULO 3. VECTORES TANGENTES, CAMPOS VECTORIALES Y ORIENTACION

entonces v asigna a f el numero real v(f) que es la derivada direccional de f en la direccion dev en el punto p. Esto es,

v(f) =d

dt

(f α

)∣∣∣t=0

= v1∂f

∂x1

∣∣∣∣p

+ · · ·+ vk∂f

∂xk

∣∣∣∣p

(3.1)

Observaciones

Al presentar a Ω como una superficie regular, la parametrizacion natural es (Ω, i) donde i :Ω → Ω es la funcion identidad i(x1, · · · , xk) = (x1, · · · , xk) para toda (x1, · · · , xk) ∈ Ω, por lotanto se tienen cada una de las siguientes afirmaciones triviales

(1) si e1 = (1, 0, · · · , 0), · · · , ek = (0, · · · , 0, 1), entonces

e1 =∂i

∂x1

∣∣∣∣p

, · · · , ek =∂i

∂xk

∣∣∣∣p

;

es decir cada ej, elemento basico de Rk, vectores tangente en p, se encuentra derivandoparcialmente la parametrizacion en p respecto al parametro xj del sistema de coordenada,que omitiendo la parametrizacion y el punto p, por ser obvio que estan presentes, se escribe

e1 =∂

∂x1, · · · , ek =

∂

∂xk;

(2) los operadores basicos dados en la parte (1), actuan de la siguiente forma

ej : C∞(Ω) → R

es el operador diferencial que para toda f ∈ C∞(Ω)

ej(f) =∂

∂x1(f) =

∂i

∂x1(f) =

∂f i∂xk

=∂f

∂xk;

(3) la accion del vector v se se escribe como

v(f) =[v1

∂

∂x1+ · · ·+ vn

∂

∂xn

](f)

con lo que

v = v1∂

∂x1+ · · ·+ vn

∂

∂xn(3.2)

y ∂/∂xj actua como la derivada respecto a xj del sistema de coordenadas;

(4) la operacion del vector v sobre funciones diferenciables satisface dos propiedades impor-tantes

v(f + λg) = v(f) + λv(g)

v(fg) = g(p)v(f) + f(p)v(g),(3.3)


3.2. VECTORES TANGENTES 61

donde f y g son funciones diferenciables alrededor de p. y λ es un numero real. La primerapropiedad dice que v actua linealmente sobre funciones diferenciables y la segunda diceque v satisface la regla del producto o regla de Leibniz. Lo que proporciona que cada vectortangenta, en subconjuntos abiertos no vacios de Rk, se puedan ver como una derivacion.Estas observaciones motiva la definicion de vector tangente sobre una superficies regularescomo derivadas direccionales o bien derivaciones sobre funciones diferenciables.

(b) Caso superficies regulares. Sea Mm una superficie regular y U un conjunto abierto enM, entonces el conjunto de todas las funciones de clase C∞ definidas sobre U, C∞(U), es unalgebra conmutativa sobre R con las opraciones de suma, producto por escalares y productoentre funciones como en los cursos de Calculo y se denota por C∞(U).

Sea ahora α : (−ǫ, ǫ) → M una curva diferenciable, llamada una curva diferenciable sobre M.Se supone que α(0) = p ∈ M, el vector tangente a la curva α en t = 0, y por lo tanto a M, esla funcion (realmente operador diferenciable) α′(0) : C∞(U) → R dada por

α′(0)f =d

dt

(f α

)∣∣∣t=0. (3.4)

Un vector tangente en p ∈ M es el vector tangente en t = 0 de alguna curva α : (−ǫ, ǫ) → Mcon α(0) = p. El conjunto de todos los vectores tangentes a M en p se denota con TpM.

Se espera pues, que se mantengan las propiedades observadas en caso de Rk; en efecto, se escogeuna parametrizacion (U, x) en p = x(0), y se puede entonces expresar la curva α y la funcionf en terminos de esta parametrizacion, para q = (x1, · · · , xk) ∈ U

x−1 α(t) = (x1(t), · · · , xk(t))

y

f x(q) = (x1, · · · , xk)respectivamente. Por lo tanto, usando regla de la cadena,

α′(0)f =d

dt

(f α

)∣∣∣t=0

=d

dt

(f x(x1(t), · · · , xk(t))

)∣∣∣t=0

=k∑

i=1

x′i(0)∂(f x)∂xi

∣∣∣0

(3.5)

como de costumbre, tomando el operador

ei =∂

∂xi=

∂x

∂xi

∣∣∣0: C∞(U) → R, f → ∂F

∂xi(3.6)

donde F = f x. se puede escribir

α′(0)f =k∑

i=1

x′i(0)∂

∂xi(f) =

[ k∑

i=1

x′i(0)∂

∂xi

](f) (3.7)



de donde

α′(0) =k∑

i=1

x′i(0)∂

∂xi(3.8)

Observaciones

(1) El vector∂

∂xies el vector tangente en p ∈M a la curva coordenada (ver Figura 3.1)

xi → x(0 · · · , 0, xi, 0, · · · , 0).

xi

xn ∂

∂xi

p

0 M

x

•

•

Figura 3.1

(2) La expresion 3.8 demuestra que el vector tangente a una curva α en p solo depende de lasderivadas de un sistema de coordenadas

(3) La expresion 3.8 tambien demuestra que el conjunto TpM, con las operaciones usualesentre funciones, forma un espacio vectorial.

(4) Al escoger una parametrizacion (U, x) alrededor de p ∈M, inmediatamente se determinaun conjunto de vectores tangente en p,

∂

∂x1, · · · , ∂

∂xk

que generan a TpM. Este conjunto resulta tambien linealmente independiente, para veresto, basta tomar una combinacion lineal igualadas a cero y hacerla actuar sobre cadafuncion coordenada para obtener que los coeficientes de dicha combinacion son todosnulos. Por lo tanto ∂

∂x1, · · · , ∂

∂xk

(3.9)

forma una base para TpM.

(5) Es inmediato que la estructura lineal de TpM no depende de la parametrizacion x.

(6) Tambien se observa que 3.8 proporciona las caracterısticas naturales de que cada vectortangente es un operador diferencial de C∞(U) en R.



3.2.1. La diferencial en superficies regulares

Sean Mm y Nn superficies regulares y sea ϕ : M → N una funcion diferenciable. La diferencialϕ∗ (o dϕ) de ϕ en p ∈M es la funcion (ver Figura 3.2)

ϕ∗ : TpM → Tϕ(p)N

u ϕ∗u

R

M p ϕ ϕ(p) N

f ϕ f

Figura 3.2: Diferenciabilidad

definida de la siguiente forma: sean u ∈ TpM y f ∈ C∞(N), entonces

ϕ∗(u)(f) = u(f ϕ) o dϕ(u)(f) = u(f ϕ).

Para que esta definicion quede bien hecha se debe demostrar que ϕ∗(u) es un vector tangente de Nen ϕ(p). Esto es, se debe demostrar que la funcion ϕ∗(u) : C

∞(N) → R es lineal y satisface la regladel producto. Sean u, v ∈ TpM y λ, µ ∈ R. Entonces de la definicion de suma de vectores tangentes,

ϕ∗(λu+ µv)(f) = (λu+ µv)(f ϕ) = λu(f ϕ) + µv(f ϕ) = λϕ∗u(f) + µvϕ∗(f)

lo que muestra la linealidad. Para ver que satisface del producto, sean f, g ∈ C∞(N), entonces

ϕ∗(u)(fg) =u((fg) ϕ

)= u[(f ϕ) · (g ϕ)]

=g(ϕ(p))u(f ϕ) + f(ϕ(p))u(g ϕ)=g(ϕ(p))ϕ∗(u)(f) + f(ϕ(p))ϕ∗(u)(g).

Lo que termina la demostracion.

El caso especial N = R, es importante y proporciona la justificacion del uso del terminoDiferencial.

Si ϕ : M → R es diferenciable y f ∈ C∞(R), entonces se tiene por definicion de diferencial que(ver Figura 3.3):

[dϕ(u)](f) = u(f ϕ).Como superficie regular, R tiene asociada la unica parametrizacion (R, id) donde id es la funcionidentidad con una sola componente. Ademas Tϕ(p)N = Tϕ(p)R es uni-dimensional, y por lo tantodϕ(u) y ∂/∂x (en R) son linealmente dependientes y ası

u(f ϕ) = [dϕ(u)](f) = k∂

∂x(f)



u ϕ∗u

R

M p ϕϕ(p)

N = R

f

Figura 3.3: Diferencial, caso particular

donde k ∈ R. Tomando f(x) = id(x) = x se tiene u(ϕ) = k, por lo tanto,

[dϕ(u)](f) = u(ϕ)∂

∂x(f),

es decir, la unica componente del vector dϕ(u) es u(ϕ). Con lo que se puede establecer entonces unisomorfismo natural entre Tϕ(p)N y R identificando cada vector tangente con su unica componente;con lo que se escribe

dϕ(u) = u(ϕ). (3.10)

Teorema 3.2.1 Sean M, N, P superficies regulares y ϕ : M → N, ψ : N → P funciones diferen-ciables. Entonces para cualquier p ∈M

ψ∗ ϕ∗ = (ψ ϕ)∗.

Se recuerda que por notacion ϕ∗ = dϕ. Ademas que ϕ∗ toma valor en p, ψ∗ en ϕ(p) y (ϕ ψ)∗ en p(ver Figura 3.4)

u ϕ∗u

R

M p ϕϕ(p)

N

ψP

f

ψ(ϕ(p))

ψ∗(ϕ∗(u))

Figura 3.4: Compuesta de Diferenciales

Demostracion. Sean p ∈ M, u ∈ TpM y f ∈ C∞(P ), (Figura 3.4), entonces por definicion de unafuncion diferenciable

ψ∗(ϕ∗(u))(f) = ϕ∗(u)(f ψ) = u(f ψ ϕ) = (ψ ϕ)∗(u)(f).



Luego

ψ∗ ϕ∗ = (ψ ϕ)∗

Lo que termina la demostracion. ♦X

3.2.2. Inmersiones, submersiones y encajes

Definicion 3.2.1 Sea Mm y Nn superficies regulares.

(a) Una funcion diferenciable ϕ :M → N es una inmersion si

dϕp : TpM → Tϕ(p)N

es inyectiva para todo p ∈M, en cuyo caso m ≤ m.

(b) Si ϕ, ademas de satisfacer (a) es un homeomorfismo sobre ϕ(M) ⊆ N, donde ϕ(M) se consideracon la topologıa de de subconjunto, se dice que ϕ es un encaje.

(c) Una funcion ψ :M → N es una submersion si

dψp : TpM → Tψ(p)N

es sobreyectiva para todo p ∈M en cuyo caso m ≥ n.

Ejemplo 3.2.1 La funcion ϕ : R → R3 dada por

ϕ(t) = (t3 − 4t, t2 − 4), t ∈ R

es una inmersion que posee una autointerseccion para t = ±2, Figura 2.16, por lo tanto no es unencaje ni submersion.

Figura 2.16



3.2.3. Espacio cotangente

De nuevo se considera una superficie regular M de dimension k y una parametrizacion (U, x) consistema de coordenadas (x1, · · · , xk) de un punto p ∈M con x(p) = 0, entonces una base para TpMasociada a esta parametrizacion es

∂

∂x1, · · · , ∂

∂xk

.

Cada vector ∂/∂xi es una derivacion de la forma

f → ∂(f x)∂xi

, con f ∈ C∞(M).

Como

df( ∂∂xi

)=

∂

∂xi(f) =

∂(f x)∂xi

.

entonces se puede tomar f como la funcion coordenada xi = πi x, y por lo tanto, su expresion encoordenadas, xi x−1(x1, · · · , xk) = xi con lo que

dxi( ∂

∂xj

)=∂xi∂xj

= δij,

por lo tanto, la base dual de

∂∂x1, · · · , ∂

∂xk

esdx1, · · · , dxk

en (TpM)∗ que se denotara con T ∗

pMy para cada punto de U. El espacio T ∗

pM se conoce como espacio cotangente en el punto p. Ası,un vector cotangente tiene la forma

ω =k∑

i=1

ai(p) dxi∣∣p, p ∈ U (3.11)

o simplemente, cuando no existe confusion

ω =k∑

i=1

ai dxi, p ∈ U (3.12)

se puede escribir

ω =k∑

i=1

ω( ∂∂xi

)dxi. (3.13)

En particular,

1. si f :M → R es una funcion diferenciable, entonces

df =k∑

i=1

df( ∂

∂xi

)dxi =

k∑

i=1

∂

∂xi(f) dxi =

k∑

i=1

∂(f x)∂xi

dxi.

2. Si u = (u1, · · · , uk) entonces

df(u) =k∑

i=1

∂(f x)∂xi

dxi(u) =k∑

i=1

ui∂(f x)∂xi

.

3. Como TpM y T ∗pM son espacios vectoriales de dimension finita y con igual dimension, son

algebraicamente isomorfos.



3.2.4. Fibrado tangente y cotangente

Sean M una k−superficie y TM el conjunto

TM =(p, u) : p ∈M y u ∈ TpM

, (3.14)

entonces TM recibe el nombre de fibrado tangente de M. De igual manera, el conjunto T ∗M es

T ∗M =(p, u) : p ∈M y u ∈ T ∗

pM, (3.15)

entonces T ∗M recibe el nombre de fibrado cotangente de M.

Se demostrara que TM y T ∗M son 2k−superficies.

Teorema 3.2.2 TM y T ∗M son superficies regulares de dimension 2k.

Demostracion. Se demostrara con detalle que TM es una superficie regular de dimension 2k. Enefecto, sea (p0, u0) ∈ TM, entonces p0 ∈ M y u0 ∈ TpM, por lo tanto, existe una parametrizacionde M, (Ui, ϕi), con p0 ∈ Vi = ϕi(Ui) y con sistema de coordenadas (x1, · · · , xk). Se considera laproyeccion π : TM →M definida por π(p, u) = p, y tambien

π−1(Vi) =(p, u) : p ∈ Vi

.

Sea (p, u) ∈ π−1(Vi), entonces p tiene coordenadas (x1, · · · , xk) es decir

ϕ−1i (p) = (x1, · · · , xk)

y u es de la forma

u =k∑

i=1

ai∂

∂xi.

La funcion βi : ϕ−1i (Vi)× Rk ⊆ R2k → π−1(Vi) definida por

βi(x1, · · · , xk, a1, · · · , ak) = (p, u)

es una funcion inyectiva del abierto ϕ−1i (Vi)× Rk sobre el subconjunto abierto π−1(Vi) de R2k.

Se toman los conjuntos π−1(Vi) como las vecindades coordenadas sobre TM y las biyecciones apro-piadas (ϕ−1

i (Vi)×Rk, βi) forman unsistema de parametrizaciones cuyas imagenes cubren a TM. Parademostrar esta afirmacion se debe probar la compatibilidad de las parametrizaciones. En efecto, sea(Uj, ϕj) otra parametrizacion para M con Vj = ϕj(Uj) tal que p ∈ Vi ∩ Vj y con sistema de coorde-nadas (yi) (i = 1, · · · , k) y por lo tanto, las (xi) (y sus derivadas) se relacionan con las (yi) ( y susderivadas) difeomorficamente. Entonces (p, u) ∈ π−1(Vi ∩ Vj),

u =k∑

i=1

ai∂

∂xi=

k∑

j=1

bj∂

∂yj

y como ∂/∂xi se puede expresar en terminos de ∂/∂yi, esto es,

∂

∂xi=

k∑

j=1

cj∂

∂yj,



calculando esta expresion en yk (k = 1, · · · , n) se obtiene

∂

∂xi=

k∑

j=1

∂yj∂xi

∂

∂yj

de donde

bj =k∑

i=1

ai∂yj∂xi

Como cada ∂yj/∂xi es una funcion diferenciable de xi, entonces cada bj es una funcion diferenciablede (a1, · · · , ak, x1, · · · , xk) y puesto que los yi son funciones diferenciables de las xi, se concluye quelas coordenadas

(x1, · · · , xn, a1, · · · , ak) y (y1, · · · , yn, b1, · · · , bk)estan relacionadas difeomorficamente. Con lo que TM es una superficie regular de dimension 2k.

La demostracion de que T ∗M es una superficie regular de dimension 2k es paso a paso similar, porlo tanto se deja como ejercicio.

♦X

§ 3.3. Campos vectoriales sobre k−superficies

Sea M una k−superficie de Rn y TM su fibrado tangente. Un campo vectorial X sobre M esuna funcion

X :M → TM : p→ X(p) = Xp ∈ TpM.

El campo se dice diferenciable si la funcion X : M → TM es diferenciable. Al considerar unaparametrizacion (U, x) de M, centrada en p ∈M, con funciones de coordenadas x1, · · · , xn es posibleescribir el campo X en esta parametrizacion

X(p) =k∑

i=i

X ip

∂

∂xi(3.16)

donde cada X i : U → R con X i : p → X ip es una funcion en U y ∂

∂xies la base asociada con

X, (i = 1, 2, · · · , k). Es claro que X es diferenciable si y solo si las funciones X i son funcionesdiferenciables para alguna (por lo tanto, para toda) parametrizacion.

Como cada campo vectorial se comporta tambien como una derivacion X : D → F del conjunto D

de las funciones diferenciables en M en el conjunto F de las funciones en M, definidas por

(Xf)(p) = Xp(f) =k∑

i=1

X ip

∂F

∂xi

∣∣∣0

(3.17)

donde F = f x es la expresion de f en la parameteizacion (U, x). Es inmediato verificar que, lafuncion Xf en 3.17 no depende de la escogencia de la parametrizacion.


3.3. CAMPOS VECTORIALES SOBRE K−SUPERFICIES 69

Se observa que si ϕ : M → M es un difeomorfimo y f : M → R una funcion diferenciable en unavecindad de ϕ(p), entonces

[dϕ(v)](f)∣∣∣ϕ(p)

= v(f ϕ)∣∣∣p

o dϕ(v)f(ϕ(p)) = v(f ϕ)(p) (3.18)

En efecto, sea α : (−ε, ε) →M una curva diferenciable tal que α(0) = p, v = α′(0). Entonces

[dϕ(v)](f)∣∣∣ϕ(p)

=d

dt(f ϕ α)

∣∣∣p= v(f ϕ)

∣∣∣p

3.3.1. Curvas integrales y flujo local

Como una k−superficie es localmente difeomorfa a un Rk, el Teorema fundamental de existencia,unicidad y dependencia de las condiciones iniciales de las ecuaciones diferenciables ordinarias, quees un Teorema local, se extiende naturalmente a las k−superficies. Es necesario enunciarlo explicita-mente para usarlo posteriormente. ver por ejemplo [??????], pag. .

Sea X un campo vetorial diferenciable sobre una k−superficie M y sea p ∈ M. Entonces existenuna vecindad U ⊆M de p, un intervalo (−δ, δ), δ > 0 y una funcion diferenciable ϕ : (−δ, δ)×U →Mtales que la curva

t→ ϕ(t, q), t ∈ (−δ, δ), q ∈ U

es la unica curva que satisface∂ϕ

∂t= X(ϕ(t, q))

con ϕ(0, q) = q.

Una curva α : (−δ, δ) → M que satisface la condicion α′(t) = X(α(t)) con α(0) = q se llamatrayectoria o curva integral del campo X que pasa por el punto q cuando t = 0.

Tambien se garantiza que por cada punto de cierta vecindad pasa una unica curva integral del campovectorial X; la funcion ası obtenida depende diferenciablemente t y de la condicion inicial q. Es comunutilizar la notacion ϕt(q) = ϕ(t, q) y llamar ϕt : U →M el flujo local de X.

Ademas, existe δ > 0 tal que

(a) ϕs ϕt = ϕt ϕs = ϕs+t (|s| < δ, |t| < δ, |s+ t| < δ),

(b) ϕr (ϕs ϕt) = (ϕr ϕs) ϕt = ϕr+s+t, (|r| < δ, |s| < δ, |t| < δ, |r + s+ t| < δ),

(c) ϕ0 es la funcion identidad,

(d) ϕ−1t = ϕ−t.

La prueba de (a) y (b) se obtienen como aplicaciones directa del Teorema fundamental de existencia,unicidad y dependencia de las condiciones in iniciales de las ecuaciones diferenciales ordinarias, (c)es inmediato y (d) se deducen de (a).

Finalmente, esta coleccion de transformaciones ϕt se conoce como el grupo local 1−parametricodel campo X.



3.3.2. Corchete de Lie

La interpretacion de un campo vectorial X sobre una variedad diferenciable como un operadordiferenciable en D permite considerar iteraciones de X. Por ejemplo, se X e Y son campos vectorialessobre una k−superficie, M y f :M → R es una funcion diferenciable, se puede considerar para cadap ∈ M, Xp(Y f) y Yp(Xf). En general, estas operaciones no conducen a campos vectoriales por quecontienen derivadas de orden dos, pero el siguiente Lema proporciona una salida.

Lema 3.3.1 Sea X, Y campos vectoriales diferenciables sobre una k−superficie M. Entonces existeun unico campo vectorial Z sobre M tal que, para todo f ∈ D y para cada p ∈M,

Zpf = Xp(Y f)− Yp(Xf).

Demostracion.Primero se demuestra la unicidad bajo el supuesto que existe. Por lo tanto, sea p un punto de M y(U, x) con cordenadas (x1, · · · , xn) una parametrizacion de M centrada en p ∈ U.

(a) Unicidad. Si

X =∑

i

X i ∂

∂xi, Y =

∑

j

Y j ∂

∂xj

las expresiones de X e Y en esta parametrizacion. Entonces para todo f ∈ D, con expresionen coordenadas F = f x y omitiendo el punto p, se tiene,

XY f =X(∑

j

Y j ∂F

∂xj

)=∑

i,j

X i∂Yj

∂xi

∂F

∂xj+∑

i,j

X iY j ∂2F

∂xi∂xj

Y Xf =Y(∑

i

X i ∂F

∂xi

)=∑

i,j

Y j ∂Xi

∂xj

∂F

∂xi+∑

i,j

X iY j ∂2F

∂xi∂xj.

(3.19)

Por lo tanto, Z, en esta parametrizacion, esta dado por

Z(f) =XY f − Y Xf =∑

i,j

(X i∂Y

j

∂xi

∂F

∂xj− Y j ∂X

i

∂xj

∂F

∂xi

)

=∑

i

∑

j

(Xj ∂Y

i

∂xj− Y j ∂X

i

∂xj

)∂F∂xi

(3.20)

Con lo que

Zi =∑

j

(Xj ∂Y

i

∂xj− Y j ∂X

i

∂xj

)(3.21)

(b) Existencia. Se define Zα en cada vecindad coordenada Uα de la estructura diferenciable (Ui, xi)deM por la expresion anterior. Por la unicidad, Zi = Zj en xi(Ui)∩xj(UJ) 6= ∅, lo que permitedefinir Z en toda la variedad M.

♦XDefinicion 3.3.1 [Corchete de Lie]. Sean X < Y campos vectoriales diferenciables sobre unak−superficie M. Se define el campo vectorial [X, Y ], lamado Corchete de Lie de X e Y por

[X, Y ]p(f) = Xp(Y f)− Yp(Xf)

para todo p ∈M y toda funcion diferenciable f :M → R.


3.4. SUPERFICIES ORIENTABLES 71

3.3.3. Propiedades del corchete de Lie

La operacion corchete de Lie tiene las siguientes propiedades

Proposicion 3.3.1 Sean X, Y y Z campos vectoriales diferenciables sobre una k−superficie M,a, b ∈ R y sean f, g :M → R funciones diferenciables , entonces

(a) Anticonmutatividad[X, Y ] = −[Y,X].

(b) Linealidad[aX + bY, Z] = a[X,Z] + b[Y, Z]

(c) Identidad de Jacobi[[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z,X], Y ] = 0

(d) [fX, gY ] = fg[X, Y ] + fX(g)Y +−gY (f)X.

Demostracion. Son inmediato (a) y (b). Para demostrar (c), se observa que

[[X, Y ], Z] =[XY − Y X,Z] = XY Z − Y XZ − ZXY + ZY X

[[Y, Z], X] =[Y Z − ZY,X] = Y ZX − ZY X −XY Z +XZY

[[Z,X], Y ] =[ZX −XZ, Y ] = ZXY −XZY − Y ZX + Y XZ

al sumar estas igualdades miembro a miembro y usando (a) se concluye (c).

Finalmente, se demuestra (d)

[fX, gY ] =fX(gY )− gY (fX) = fgXY + fX(g)Y − gfY X − gY (f)X

=fg[Y, Y ] + fX(g)Y − gY (f)X

♦X

§ 3.4. Superficies orientables

Dos sistemas de coordenadas (xi), (yi) en Rn se dicen consistentemente orientadas o simple-mente consistentes si el Jacobiano del cambio de parametro

∂(y1, · · · , yn)∂(x1, · · · , xn)

es positivo en donde este definido.

1. En R2 los sistemas coordenados relacionados por

y1 = x1 cos θ + x2 sen θ, y2 = −x1 sen θ + x2 cos θ,

es decir, relacionados por una rotacion, son consistentes.



2. En R2 el sistema de coordenadas relacionados por

y1 = x1, y2 = −x2,

es decir, relacionados por una reflexion, no son consistentes.

Definicion 3.4.1 Una k−superficie regular se dice orientable si posee una estructura diferenciabletal que para cualquier par de parametrizaciones (U, x), (V, y) en donde x(U) ∩ y(V ) = W 6= ∅,los sistemas de coordenadas asociados (xi), (yi) son consistentes, es decir, la funcion de cambio decoordenadas

y−1 x : x−1(W ) → y−1(W )

tal que (x1, · · · , xk) → (y1, · · · , yk) se verifica que

det d(y−1 x) = ∂(y1, · · · , yk)∂(x1, · · · , xk)

> 0

en cada punto x−1(W ).

Dos estructuras diferenciables tal que cualquier parametrizacion de la primera estructura se relacionapor un determinante jacobiano negativo con cualquier parametrizacion de la otra se dice que tienenorientacion opuesta para la superficie. Una estructura consistentemente orientada se puede obtenerde un atlas con orienteacion opuesta cambiando el signo de una coordenada en particular, por ejem-plo, cambiando el signo en la primera coordenada en cada sistema de coordenadas o tomando unapermutacion impar en cada sistema.

Cada una de las superficies:

Rk, k = 1, 2, · · · ,

subconjuntos abiertos de Rk,

imagen de una funcion diferenciable f : U → Rm, U subconjunto abierto de Rk,

se pueden cubrir por una sola carta y por lo tanto son orientables.

El Teorema que sigue demuestra que, toda n−superficie orientable implica que para cualquierpar de parametrizaciones (U1, x) (U2, y) el determinante Jacobiano del cambio de parametro tiene elmismo signo sobre toda la interseccion U1∩U2. Situacion que resulta de gran utilidad para demostrarque algunas variedades no son orientables.

Teorema 3.4.1 Sea M una k−superficie orientable, entonces para todo par de parametrizaciones(U1, x) y (U2, y) de M con coordenadas (xi), (yi), respectivamente, U1 y U2 conexos, x(U1)∩ y(U2) =W 6= ∅, implica que

∂(y1, · · · , yk)∂(x1, · · · , xk)

tiene el mismo signo sobre x−1(W ).



Demostracion. Como U1 y U2 heredan la orientacion de M, entonces existe una estructura diferen-ciable (Vi, ψi) sobre U1 para el cual el determinante Jacobiano es positivo sobre la interseccion decualquier par de cartas. Entonces segun U1, que es conexo, es o no consistentemente orientado conel atlas (Vi, ψi) y

∂(x1, · · · , xk)∂(z1, · · · , zk)

es mayor o menor que cero en cada punto de U1 y en particular, en cada punto de U1∩U2, donde (zi)son las funciones de coordenadas para la parametrizacion (Vi, ψi) apropiada a los puntos en asunto.De la misma forma,

∂(y1, · · · , yk)∂(z1, · · · , zk)

es mayor o menor que cero en cada punto de U1 ∩ U2 de acuerdo como (U2, y) sea consistente o deorientacion opuesta a la estructura diferenciable (Vi, ψi). Como

∂(y1, · · · , yk)∂(x1, · · · , xk)

=∂(y1, · · · , yk)∂(z1, · · · , zk)

÷ ∂(x1, · · · , xk)∂(z1, · · · , zk)

entonces que

∂(y1, · · · , yk)∂(x1, · · · , xk)

es positivo sobre U1 ∩ U2 si (U1, x) y (U2, y) son ambos consistentemente orientados o ambos opues-tamente orientados a (Vi, ψi); sera negativo sobre todo U1 ∩ U2 si la orientacion (U1, x) y (U2, y) conrespecto a (Vi, ψi) son diferentes. ♦X

Ejemplo 3.4.1 Ahora, se esta en condiciones para presentar un ejemplo de una 2−superficie que noes orientable, se trata de la famosa Banda de Mobius que se obtiene siguiendo la idea elementalque proporciona la construccion de un cilindro a partir de un rectangulo de papel y pegando doslados paralelos, es decir, identificando estos lados. Se puede, por ejemplo, dar una media vuelta auno de estos lados en el proceso para entonces obtener como resultado la Banda de Mobius.

Siguiendo la idea anterior, se puede definir la Banda de Mobius como el cociente X/ ∼, donde X esla banda

(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 2, −1 < y < 1

y ∼ es la relacion definida por (x, y) ∼ (z, w) si y solo si z = x + 2 y w = −y; con lo que (x, y) ∼(x+ 2,−y) (ver, Figura 3.5),



1

−10 1 2·q

·p

πϕ1 ϕ2

Figura 3.5

tambien,(−1,−1) ∼ (1, 1), (−1, 1) ∼ (1,−1), p ∼ q.

Sea π : X → X/ ∼ tal que π(x, y) sea la clase de equivalencia de (x, y) bajo la relacion ∼ .Entonces X/ ∼ se puede cubrir con la imagen de dos parametrizaciones (U1, ϕ1) y (U2, ϕ2) donde

U1 =(x, y) : −1 < x < 1, −1 < y < 1U2 =(x, y) : 0 < x < 2, −1 < y < 1,

ϕ1 : U1 → X/ ∼ definida por ϕ1(x, y) = π(x, y), (x, y) ∈ U1. De igual manera, ϕ2 es la funcion

ϕ2 : U2 → X/ ∼ .

definida tambien por ϕ2(x, y) = π(x, y),

Se puede escribir entonces

W = ϕ1(U1) ∩ ϕ2(U2) = π((−1, 1)× (−1, 1)

)∪ π((1, 2)× (−1, 1)

)

que es union de dos conjuntos abiertos disyuntos. Como los puntos de (0, 1) × (−1, 1) estan uno auno relacionados con (1, 2)× (−1, 1), entonces

ϕ−12 ϕ1 :

((0, 1) ∪ (1, 2)

)× (−1, 1) → R2

dada por

ϕ−12 ϕ1(x, y) =

(x, y) si (x, y) ∈ (0, 1)× (−1, 1)(x− 2,−y) si (x, y) ∈ (1, 2)× (−1, 1)

claramente es una funcion diferenciable. Por lo tanto,

det d(ϕ1 ϕ−12 (x, y) =

1 si (x, y) ∈ (0, 1)× (−1, 1)

−1 si (x, y) ∈ (1, 2)× (−1, 1)

Lo que muestra que la Banda de mobius no es orientable.



Ejemplo 3.4.2 Una k−superficie que admite un atlas de dos parametrizaciones (U1, x), (U2, y) parala cual U1 ∩ U2 es conexo, es orientable.

Demostracion. Se supone que las parametrizaciones (U1, x), (U2, y) tienen sistemas de coordenadas(xi, ) (yi) (i = 1, · · · , k). Entonces, como U1 ∩ U2 es conexo,

∂(y1, · · · , yk)∂(x1, · · · , xk)

tiene signo constante sobre U1 ∩U2. Si el signo es positivo, entonces los sistemas de coordenadas sonconsistentes y la superficie es orientable. Si el signo es negativo, entonces los sistemas de coordenadas(x1, · · · , xk) y (−y1, · · · , yk) son consistentemente orientados y de nuevo la k−superficie es orientable.♦XEjemplo 3.4.3 Como caso particular del ejemplo anterior se tiene que cada una de las esferas Sn,n = 1, 2, 3, · · · es una variedad orientable, ya que mediante la proyeccion esterografica Sn, para cadan = 1, 2, 3, · · · admite un atlas con dos cartas y la interseccion de las dos vecindades coordenadas esconexo.

Teorema 3.4.2 Sea M ⊆ Rn una superficie regular, de dimension m; si existen n − m camposvectoriales normales continuos v1, · · · , vn−m :M −→ Rn linealmente independientes en cada p ∈M,entonces M es orientable.

Demostracion. Sea P el conjunto de todas las parametrizaciones ϕ : U0 → U ⊆M tales que

i) U0 es convexo, por ejemplo bolas centradas en el origen, y

ii) Para todo x ∈ U0, la matriz de tamano n× n,

Φ(x) =

[∂ϕ

∂x1(x), · · · , ∂ϕ

∂xm(x), v1(ϕ(x)), · · · , vn−m(ϕ(x))

]

cuyas columnas son los vectores indicados tiene determinante positivo.

Para cada x ∈ U0, Note que Φ(x) es invertible ya que sus primeras m columnas forman una basepaqra Tϕ(x)M y las restantes forman una base pata el complemento ortogonal de ese subespacio enRn. Como Φ(x) depende continuamente de x, su determinante no cambia de signo en el conjuntoconexo U0.

Si para una cierta parametrizacion Φ(x) < 0 se puede cambiar el signo de ϕ y obtener ϕ1 ∈ P , conla misma imagen U. Por lo tanto P es un atlas para M. Para demostrar que P es coherente, sean

ϕ : U0 → U, ψ : V0 → V

pertenecientes a P y p = ϕ(x) = ψ(x) ∈ U ∩ V. Si (ψ−1 φ)′(x) = (Aij) = A, entonces

∂ϕ

∂xj(x) =

m∑

i=1

Aij∂ψ

∂yj(y).

Esto indica, en terminos de matrices, que Φ(x) = Ψ(y)×A, con A =(A 00 I

), donde I indica la matriz

identidad de orden n−m. Como detΦ(x) > 0 y detΨ(x) > 0, resulta entonces que

0 < detA = detA = det(ψ−1 φ)′(x).Y la demostracion se ha terminado. ♦X



Ejemplo 3.4.4 Sea U un subconjunto abierto de Rn y f : U −→ Rm una funcion diferenciable conn ≥ m, entonces M = f−1(c) es una superficie orientable, si c es un valor regular de f, (dimM =n−m).

Solucion. En efecto, sea c = (c1, · · · , cm) entonces M ⊆ f−1i (ci) para cada i = 1, · · · ,m. Ası, para

cada p ∈M y cada v ∈ TpM, sea λ : (−ǫ, ǫ) −→M un camino diferenciable, con λ(0) = p, λ′(0) = ventonces fi(λ(t)) = ci para todo t y cada i = 1, 2, · · · ,m y por lo tanto,

0 = 〈grad fi(p) , λ′(t)〉 (i = 1, 2, · · · ,m)

lo que muestra que grad fi ⊥M. Ademas grad f ∈ C∞(M).

Como c es valor regular de f en cada punto p ∈M = f−1(c), la derivada

f ′p : R

n → Rm

es sobreyectiva. Por lo tanto, las m−filas de la matriz de f ′p son linealmente independientes y esas

filas son los vectores grad fi|p. Lo prueba el ejercicio en virtud del Teorema anterio.

§ 3.5. Ejercicios

Vectores tangentes y campos vectoriales

1. Calcular una base para el espacio tangente TpM cuando

a) M = S2, p = (12, 12,√22)

b) M = (x, y, x2 + y2) : x, y ∈ R, p = (2, 0, 4)

2. Sea M una k−superficie, verificar entonces que TpM y T ∗pM son k−superficies

3. Demostrar que si (U, ϕ) es una parametrizacion de una k−superficie M, con coordenadasx1, · · · , xk, entonces [ ∂

∂xi,∂

∂xj

]= 0

sobre U.

4. Sea M una k−superficie. Demostrar que T ∗M es una superficie regular de dimension 2k.

5. Un campo vectorial se dice completo si el dominio de cualquier curva integral se puede extendera todo R. Determinar si los campos vactoriales

a) X = −x2∂

∂x1+ x1

∂

∂x2,

b) X = (x1 − x2)∂

∂x1+ x2

∂

∂x2

son completos sobre R2

Orientacion


3.5. EJERCICIOS 77

6. Demostrar que RP1, es decir el conjunto de todas las rectas que pasan por el origen de R2, esorientable.

7. Demostrar que el

M =(x1, x2, x3) ∈ R3 :

x21a2

+x22b2

+x23c2

= 1

con a > 0, b > 0 y c > 0 es orientable.

8. Demostrar que el toro T 2 de revolucion es orientable.

9. Demostrar que RP2, es decir, el conjunto de todas las rectas que pasan por el origen de R3, es

a) una 2−superficie;

b) no orientable.

10. Probar que toda k−superficies que es difeomorfa a una superficie orientable es orientable.

11. Demostrar que el fibrado tangente de una k−superficie es orientable.

12. Demuestrar que si una 2−superficie regular M de R3 contiene una Banda de Mobius, entoncesM no es orientable.

13. Usar campos vectoriales normales para dar otra demostracion de la no orientabilidad Bandade Mobius.




Capıtulo 4

Pequena introduccion al algebramultilineal


En este capıtulo se revisaran algunos temas de Algebra Lineal y Multilineal que ya de por sı sonde gran interes en la Matematica y en la tecnica. Ası que se presentaran los conceptos funcionesmultilineales, tensores sobre espacios vectoriales, espacios vectoriales de formas y elemento volumenentre otros necesarios para presentar resultados importantes del Calculo en varias variables y enk−superficies.

Todos los espacios vectoriales V,W,U usados en este capıtulo son de dimension finita y L(V ;W )representa el espacio vectorial de todas las transformaciones lineales T : V → W con las operacionesusuales entre funciones.

§ 4.2. Una nota sobre espacio dual

Sea V un espacio vectorial real. Como es usual, V ∗ denotara el espacio vectorial dual de V, estoes, el espacio vectorial formado por todas las transformaciones (o funcionales) lineales T : V → R.Ademas si e = ei : i = 1, ·, n es una base para V, es decir cualquier elemento de V es combinacionlineal de estos elementos, entonces su base dual asociada (de V ∗) es e∗ = ej : j = 1, ·, n es tal que

ei(ej) =

1, si i = j

0, si i 6= j.

Se observa que si x = x1e1 + · · ·+ xnen ∈ V, entonces ej(x) = xj esto es, ej actua como el funcionallineal proyeccion en la j−esima componente.

En la teorıa de tensores los elementos con superındices siempre estaran en el dual. por ejemplo

vi ∈ V ∗, uj ∈ U∗

Ademas, observese que si v ∈ V, entonces

v =n∑

i=1

ei(v)ei

79

80 CAPITULO 4. PEQUENA INTRODUCCION AL ALGEBRA MULTILINEAL

y para cada α ∈ V ∗,

α =n∑

i=1

α(ei)ei.

Empleando la convencion, en donde la suma esta invocada cuando un ındice esta repetido inferior ysuperiormente, estas expresiones se convierten en

v = ei(v)ei y α = α(ei)ei.

Se puede enviar V en V ∗∗ = L(V ∗,R) en donde a cada v ∈ V se le asocia v∗∗ ∈ V ∗∗, definido porv∗∗(α) = α(v) para todo α ∈ V ∗. En el caso en que V tiene dimension finita V ∗∗ y V tienen la mismadimension y como la funcion V → V ∗∗ es uno a uno es por lo tanto un isomorfismo. Por identificacionse tiene que

ej(ei) = e∗∗j (ei) = ei(ej) =

1, si i = j

0, si i 6= j

§ 4.3. Algebra tensorial

Si V1, · · · , Vn son espacios vectoriales sobre un campo K, donde K = R o K = C, existen muchasfunciones

t : V1 × · · · × Vn → K

con caracterısticas muy especiales y de gran utilidad en la Matematica segun el caso. En esta seccionse estudiara el caso cuando t es una funcion multilineal, esto es, lineal en cada componente. Enparticular para n = 2, t debe satisfacer:

t(x1 + x2, y) = t(x1, y) + t(x2, y)

t(x, y1 + y2) = t(x, y1) + t(x, y2)

t(cx, y) = ct(x, y) = t(x, cy)

Para todo x, x1, x2 en V1 y todo y, y1, y2 en V2.Por comodidad este estudio se presentara sobre R (es decir cuando K = R). El conjunto de todaslas funciones multilineales en V1 × · · · × Vn forman un espacio vectorial con suma y producto porescalares las naturalmente definidas entre funciones.

4.3.1. Tensores covariantes y contravariantes

Definicion 4.3.1 Para un espacio vectorial V de dimension n, sea

T rs (V ) = Lr+s(V ∗, · · · , V ∗, V, · · · , V ;R)

r copias de V ∗ y s copias de V, el espacio vectorial de todas las funciones multilineales de la forma

t : V ∗ × · · · × V ∗︸︷︷︸

r-copias

×V × · · · × V︸︷︷︸s-copias

−→ R.

Los elementos de T rs (V ) se llaman tensores de tipo(rs

)sobre V, contravariante de orden r y covariante

de orden s.


4.3. ALGEBRA TENSORIAL 81

Definicion 4.3.2 (Producto tensorial) Sea V un espacio vectorial, si

t1 ∈ T r1s1 (V ) y t2 ∈ T r2s2 (V ),

el producto tensorialt1 ⊗ t2 ∈ T r1+r2s1+s2

(V )

esta dado por

t1 ⊗ t2(β1, · · · , βr1 , γ1, · · · , γr2 , f1, · · · , fs1 , g1, · · · , gs2)= t1(β

1, · · · , βr1 , f1, · · · , fs1)t2(γ1, · · · , γr2 , g1, · · · , gs2)

donde βj, γj ∈ V ∗ y f1, g2 ∈ V.

Reemplazando R por un espacio F se obtiene T rs (V ;F ), el espacio tensorial con valores en F de tipo(rs

).

Ahora observese que el producto tensorial no es conmutativo y satisface las siguientes propiedades:

t1 ⊗ (t2 ⊗ t3) = (t1 ⊗ t2)⊗ t3,

(t1 + t2)⊗ t3 = t1 ⊗ t3 + t2 ⊗ t3,

t1 ⊗ (t2 + t3) = t1 ⊗ t2 + t1 ⊗ t3,

(ct1)⊗ t2 = c(t1 ⊗ t2) = t1 ⊗ (ct2)

para todo t1, t2, t3 tensores y c ∈ Rn. Ademas,

(a) T 01 (V ) = V ∗,

(b) T 10 (V ) = V ∗∗,

(c) T 02 (V ) = L(V ;V ∗)

Por convencion se toma T 00 (V ;F ) = F.

Teorema 4.3.1 Sea V un espacio vectorial tales que si ei : i = 1, · · · , n es una base para V,ej : j = 1, · · · , n su la base dual para V ∗. Entonces una base para T rs (V ) esta dada por

ei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs

∣∣ ik, jk = 1, · · · , n. (4.1)

En particular, T rs (V ) tiene una estructura de espacio vectorial con dimension nr+s.

Demostracion.

Se debe demostrar que los elementos ei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs de T rs (V ) son linealmenteindependientes y general a T rs (V ).

(a) Se supone una suma finita

ti1···ir j1···jsei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs = 0.

Entonces al aplicar esta ecuacion a (ek1 , · · · , ekr , el1 , · · · , els) y usando la identificacion ei(ej) =

ej(ei) se obtieneti1···ir j1···js = 0.



(b) Sea t ∈ T rs (V ). SiX1 = x1i1ei1 , · · · , Xr = xrire

ir en V ∗, y tomando tambien Y1 = y1j1ej1 , · · · , Ys =ysisejs en V, entonces

t(X1, · · · , Xr, Y1, · · · , Ys) =t(x1i1ei1 , · · · , xrireir , y1j1ej1 , · · · , ysjrejs)=t(ei1 , · · · , eir , ej1 , · · · , ejs) x1i1 · · · xriry1j1 · · · ysjs

Como

x1i1 · · · xriry1j1 · · · ysjs =ei1(X1) · · · eir(Xr)ej1(Y1) · · · ejs(Ys)=ei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs(X1, · · · , Xr, Y1, · · ·Ys),

todo esto muestra que

t = t(ei1 , · · · , eir , ej1 , · · · , ejs) ei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs . (4.2)

Lo que demuestra el Teorema. ♦XEl espacio tensorial T rs (V ) tiene, por Teorema anterior, tiene otra notacion mas intuitiva dada por:

V ⊗ · · · ⊗ V ⊗ V ∗ ⊗ · · · ⊗ V ∗ (4.3)

donde se presentan r copias de V y s copias de V ∗.

§ Ejemplos

Ejemplo 4.3.1 Sean

e1 = (1, 0, · · · , 0), e2 = (0, 1, 0, · · · , 0), · · · , en = (0, · · · , 0, 1)los vectores de la base canonica de Rn y ei, 1 ≤ i ≤ n base para (Rn)∗ dual a e1, · · · , en.Son

(02

)tensores sobre Rn :

t = e1 ⊗ en, t = e1 ⊗ e2 + 5e2 ⊗ en.

Un tensor de tipo(03

)es

t = en ⊗ e2 ⊗ e3

Por ultimo un tensor de tipo(12

)es

t = 2e1 ⊗ e1 ⊗ e2 + 4e2 ⊗ e1 ⊗ e1 + 6e3 ⊗ e2 ⊗ e3

Ejemplo 4.3.2

(a) Si t es un(02

)tensor sobre V, entonces t tiene componentes

tij = t(ei, ej),

es decir una matriz de tamano n× n. Esta es la forma usual de asociar una forma bilineal conuna matriz. Por ejemplo, en R2 la forma bilineal

t(x, y) = Ax1y1 + Bx1y2 + Cx2y1 +Dx2y2

(donde x = (x1, x2) y y = (y1, y2)) esta asociada a la matriz(A BC D

)


4.4. ALGEBRA EXTERIOR 83

(b) Si t es un(02

)tensor sobre R2, entonces tiene sentido decir que t es simetrico si

t(e1, e2) = t(e2, e1).

Esto es equivalente a decir que la matriz tij es simetrica. Un(02

)tensor simetrico se puede

recuperar de su forma cuadratica Q(e) = t(e, e) por

t(e1, e2) =1

4

[Q(e1 + e2)−Q(e1 − e2)

]

y t tiene como matriz asociada (A BB D

)

entonces Q(x) = Ax21 + 2Bx1x2 +Dx22

(c) En general, un(0s

)tensor simetrico se define con la condicion

t(v1, · · · , vs) = t(vσ(1), · · · , vσ(s))

para toda permutacion σ de 1, · · · , s, y para todos elementos v1, · · · , vs ∈ V. Se le puedeasociar a t un polinomio homogeneo de grado k :

P (v) = t(v, · · · , v)

y como en el caso s = 2, P y t determina uno al otro. Tambien se puede hacer una definicionsimilar para el caso de

(r0

)tensores. Es claro que un tensor es simetrico si y solo si todas sus

componentes en cualquier base son simetricos.

(d) Un producto interior 〈 , 〉 sobre V es un(02

)tensor y su matriz se escribe generalmente con

gij = 〈 ei, ej 〉. Ası gij es simetrico y defido positivo. La matriz inversa se escribe con gij.

§ 4.4. Algebra exterior

Esta seccion trata fundamentalmente de un ejemplo importante de tensores sobre espacios vec-toriales, llamado tensores alternados que son usados en muchos apartes de la Geometrıa Diferencialy en integracion sobre variedades. Sea V un espacio vectorial de dimension finita n sobre el campoF, un elemento

t ∈ T 0k (V ;F ) = Lk(V ;F );

es decir, una funcion k−lineal de V × · · · × V → F se dice anti-simetrica cuando

t(x1, · · · , xi, · · · , xj , · · · , xk) = −t(x1, · · · , xj , · · · , xi, · · · , xk).

para todo x1, · · · , Xk ∈ V. Esto es equivalente a decir que

t(x1, · · · , xk) = (sigσ)t(xσ(1), · · · , xσ(k)).

donde σ es cualquier elemento de Sk, el grupo de permutaciones de k elementos. El subespacio deLk(V ;F ), formado por todos los elementos anti-simetricos con valores en F, se denota con Λk(V ;F ) y



recibe el nombre de k−formas exteriores con valores en F ; si el campo F es naturalmente concebido,solo se dira k−formas exteriores o simplemente k−formas. Por definicion, Λ0(V ;F ) = F. CuandoF = R, se escribe Λ0(V ) = R Λ1(V ) = V ∗ y Λk(V ) al subespacio vectorial de Lk(V ;R) formado porlos elementos que son anti-simetricos.

Si v1, v2 · · · , vk son funcionales lineales se puede obtener un elemento v1∧· · ·∧vk de Λk(V, F ) definidopor

v1 ∧ v2 ∧ · · · ∧ vk(w1, · · · , wk) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

v1(w1) · · · v1(wk)v2(w1) · · · v2(wk)

... · · · ...vk(w1) · vk(wk)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣para todo w1, · · · , wk ∈ V.

La funcion de determinante implica que v1∧v2∧· · ·∧vk es k−lineal y alternada y si vi = vj, entoncesv1 ∧ · · · ∧ vk = 0.

Teorema 4.4.1 Sea e = (e1, · · · , en) una base para V y e∗ = (e1, · · · , en) base dual de e para V ∗,entonces

(a) ei ∧ ej = ei ⊗ ej − ej ⊗ ei.

(b) El conjunto ei1 ∧ · · · ∧ eik : 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n,

(4.4)

donde ij ∈ 1, 2, · · · , n, forma una base para Λk(V, F ).

(c) dimΛk(V ) =(nk

)

Demostracion. La parte (a) se obtiene de manera inmediata al aplicar la definicion de determinantede orden 2 × 2. Para demostrar (b) primero se observa que los elementos del conjunto dado sonlinealmente independientes ya que si

∑

i1<···<ik

Ai1···ikei1 ∧ · · · ∧ eik = 0, ij ∈ 1, 2, · · · , n,

es aplicado a (ej1 , · · · , ejk), con j1 < · · · < jk y jl ∈ 1, 2, · · · , n se obtiene que

∑

i1<···<ik

Ai1···ikei1 ∧ · · · ∧ eik(ej1 , · · · , ejk) = 0,

lo que implica que Ai1···ik = 0.

Para mostrar que el conjunto genera a Λk(V, F ), se considera f ∈ Λk(V, F ) y sea

∑

i1<···<ik

f(ei1 · · · eik)ei1 ∧ · · · ∧ eik = g

entonces g ∈ Λk(V ;F ). Ademas,

g(ei1 , · · · , eik) = f(ei1 , · · · , eik),


4.4. ALGEBRA EXTERIOR 85

para todo i1, · · · , ik. lo que forza que f = g. Haciendo f(ei1 , · · · , eik) = Ai1···ik se obtiene

f =∑

i1<···<ik

f(ei1 · · · eik)ei1 ∧ · · · ∧ eik . (4.5)

(c) es consecuencia inmediata de (b). ♦X

Si w es una k−forma lineal y ϕ una k−forma, es decir,

w =∑

i1<···<ik

ai1···ikei1 ∧ · · · ∧ eik , ϕ =

∑

i1<···<ik

bi1···ikei1 ∧ · · · ∧ eik , (4.6)

es natural tener el siguiente par de operaciones:

(a) La suma

w + ϕ =∑

i1<···<ik

(ai1···ik + bi1···ik)ei1 ∧ · · · ∧ eik , (4.7)

(b) El producto por escalares

αw =∑

i1<···<ik

α ai1···ikei1 ∧ · · · ∧ eik , (4.8)

4.4.1. Producto exterior

Sean

w =∑

i1<···<ik

ai1···ikei1 ∧ · · · ∧ eik , θ =

∑

j1<···<jk

bj1···jsej1 ∧ · · · ∧ ejs (4.9)

el producto exterior w∧θ, es la (k+s)−forma definida de la siguiente manera: para entonces

w ∧ θ =∑

i1<···<ikj1<···<js

ai1···ikbj1···jsei1 ∧ · · · ∧ eik ∧ ej1 ∧ · · · ∧ ejs

Es inmediato verificar que la operacion de producto exterior goza de las siguientes propiedades:w ∈ Λk(V ), ϕ ∈ Λs(V ) y θ ∈ Λr(V ), entonces

(w ∧ ϕ) ∧ θ = w ∧ (ϕ ∧ θ),w ∧ ϕ = (−1)ksϕ ∧ w,(cw) ∧ ϕ = c(w ∧ ϕ) = w ∧ (cϕ),

(w + ϕ) ∧ θ = w ∧ θ + ϕ ∧ θ, (si k = s),

w ∧ (ϕ+ θ) = w ∧ ϕ+ ϕ ∧ θ, (si s = r).



El producto exterior ∧, junto con con las operaciones usuales entre funciones, inducen en la sumadirecta

Λ(V ) = Λ0(V )⊕ Λ1(V )⊕ · · · ⊕ Λn(V ),

la estructura de algebra no conmutativa con elemento unidad, el 1 de Λ0(V ), llamada Algebraexterior o Algebra de Grassman de V ∗. y

dimΛ(V ) =

(n

0

)+

(n

1

)+ · · ·+

(n

n− 1

)+

(n

n

)= 2n

§ 4.5. Accion de transformaciones lineales sobre tensores

Primero se observa un efecto que tienen las transformaciones lineales sobre espacios vectorialesduales.

4.5.1. Traspuesta de una transformacion lineal

Si ϕ ∈ Hom(V,W ) la traspuesta de ϕ, denotada con ϕ∗ ∈ Hom(W ∗, V ∗) se define por: para todoβ ∈ W ∗, ϕ∗(β) ∈ V ∗ y para v ∈ V

ϕ∗(β)(v) = β(ϕ(v)) o (ϕ∗(β), v) = (β, ϕ(v)).

Se analizara entonces la matriz de ϕ y de ϕ∗. Como es costumbre en algebra lineal, los vectores enuna base dada se representan por columnas cuyas entradas son las componentes del vector. Seanϕ ∈ Hom(V,W ) y v = (v1, · · · , vn), w = (w1, · · · , wm) bases ordenadas de V y W respectivamente.Como existen escalares Aai tales que

ϕ(vi) = Aaiwa

donde se colocan ındices diferentes en la sumatoria para no confundirse con los ındices enW, entoncesla matriz de ϕ es

A =(Aai)m×n =

A11 · · · A1

n...

...Am1 · · · Amn

El ındice superior proporciona el ındice de las filas y el ındice inferior proporciona el ındice de lascolumnas.Tambien observese que si x = xivi ∈ V,

ϕ(x) = xiϕ(vi) = xiAaiwa,

las componentes de ϕ(x)a = Aai xi. Luego pensando x y ϕ(x) como vectores columnas, esta formula

muestra que ϕ(x) se calcula multiplicando a x a la izquierda por A, la matriz de ϕ, como en algebraLineal Elemental, esto es,

ϕ(x) = A · x.Consecuentemente, ϕ(vi) representa la i-esima columna de la matriz de ϕ.


4.5. ACCION DE TRANSFORMACIONES LINEALES SOBRE TENSORES 87

Ahora se estudia la matriz de ϕ∗ ∈ Hom(W ∗, V ∗). En efecto, si v∗ = (v1, · · · , vn) y w∗ = (w1, · · · , wm)son las bases duales ordenadas de v y w respectivamente, entonces

ϕ∗(wa)(vi) = wa(ϕ(vi)) = wa(Abi wb) = Abi (wawb) = Abiδ

ab = Aai

Por lo tanto, ϕ∗(wa) en la base v∗ de V ∗ es

ϕ∗(wa) = Aai vi

En este caso, se observa que la variacion de los subındices en Aai es como sigue: el ındice superiorees el ındice de las columnas y el inferior es el de las filas, esto es, la matriz de ϕ∗ respecto a las basesv∗ y w∗ es

A1

1 · · · Amn...

...A1n · · · Amn

= At

donde t esta indicando traspuesta. Si β = βawa ∈ W, entonces

ϕ∗(β) = βaϕ∗(wa) = βaA

ai v

i.

La i-esima fila componente de ϕ∗(β) es igual βaAai. Observese que los elementos en el dual se

presentan como filas cuyas entradas son sus componentes en la base dual, la conclusion inevitable enlos calculos es que ϕ∗(β) se calcula multiplicando β a derecha por A, la matriz de ϕ, otra vez comoen Algebra Lineal, esto es,

ϕ∗(β) = β · (Aai),o bien

ϕ∗(β) = (Aai)tβ

donde At indica la matriz traspuesta de A.

4.5.2. Pull-back y push-forward para tensores

Ahora, se puede trabajar el efecto que tienen las transformaciones lineales sobre tensores.

Definicion 4.5.1 Sea ϕ ∈ Hom(V,W ),

(a) se define el pull-back (regreso) de ϕ : ϕ∗ ∈ Hom(T 0s (W ), T 0

s (V )) por

ϕ∗t(v1, · · · , vs) = t(ϕ(v1), · · · , ϕ(vs))

donde t ∈ T 0s (W ) y v1, · · · , vs ∈ V.

(b) Si ϕ es un isomorfismo, se define el push-forward (empuje) de ϕ :

T 0s ϕ = ϕ∗ ∈ Hom(T 0

s (V ), T 0s (W ))

porϕ∗t(w1, · · · , ws) = t(ϕ−1(w1), · · · , ϕ−1(ws))

donde t ∈ T 0s (V ) y w1, · · · , ws ∈ W (ver, Figura 4.10).



ϕ∗ = push forward

ϕ∗= pull back

Objetos sobre V Objetos sobre W

ϕV W

Figura 4.10

Estas figuras proporcionan la razon de los nombres de pull back (o traspuesta) y push forward.

El push-forward y el pull back de ϕ se pueden presentar para tensores mixtos, en efecto, seempieza con el push-forward, si ϕ ∈ Hom(V,W ) es un isomorfismo, entonces se define

T rsϕ = ϕ∗ ∈ Hom(T rs (V ), T rs (W )) (4.10)

se define por

ϕ∗t (w1, · · · , wr, w1, · · · , ws) = t (ϕ∗(w1), · · · , ϕ∗(wr), ϕ−1(w1), · · · , ϕ−1(ws))

para todo t ∈ T rs (V ), y todo wi ∈ W ∗, wj ∈ W. Tambien, Como la funcion (ϕ−1)∗ actua enviandohacia “atras”, o traspone hacia atras, este es pull-back de ϕ y se denota con ϕ∗ (recuerde que latraspuesta de ϕ coincide con esta idea y este sımbolo). En tal caso y por definicion se debe tener:para ϕ ∈ Hom(V,W ) un isomorfismo ϕ∗ ∈ Hom(T rs (W ), T rs (V )) si y solo si

ϕ∗t(v1, · · · , vr, v1, · · · , vs) = t(ϕ−1∗(v1), · · · , ϕ−1∗(vr), ϕ(v1), · · · , ϕ(vs))

Notese que T 01 ϕ = (ϕ−1)∗. Si V y W son de dimension finita entonces

T 10 (V ) = V y T 1

0 (W ) = W

ademas, en lo sucesivo se identifica ϕ con T 10 ϕ.

El Siguiente par de teorema aseguran que ϕ∗ y ϕ∗ son compatibles con la composicion y el producto

tensorial. Su prueba es inmediata.


4.5. ACCION DE TRANSFORMACIONES LINEALES SOBRE TENSORES 89

Teorema 4.5.1 Sean ϕ ∈ Hom(V,W ), ψ ∈ Hom(W,G). Entonces

(a) (ψ ϕ)∗ = ϕ∗ ψ∗.

(b) Si i : V → V es la identidad, entonces tambien lo es i∗ ∈ Hom(T 0s (V ), T 0

s (V )).

(c) Si ϕ es un isomorfismo, entonces tambien lo es ϕ∗.

(d) Si t1 ∈ T 0s1(W ) y t2 ∈ T 0

s2(W ), entonces ϕ∗(t1 ⊗ t2) = ϕ∗(t1)⊗ ϕ∗(t2).

Demostracion. Se demuestra (a) y se deja como ejercicio (b), (c) y (d). En efecto, bajo hipotesis

(ψ ϕ)∗t(v1, · · · , vs) =t(ψ ϕ(v1), · · · , ψ ϕ(vs))=t(ψ(ϕ(v1)), · · · , ψ(ϕ(vs)))=ϕ∗ ψ∗t(v1, · · · , vs)

Lo que termina la prueba. ♦X

Teorema 4.5.2 Sean ϕ : V → W, ψ : W → G isomorfismos. Entonces

(a) (ψ ϕ)∗ = ψ∗ ϕ∗.

(b) Si i : V → V es la identidad, entonces tambien lo es

i∗ : Trs (V ) → T rs (V ).

(c) ϕ∗ : Trs (V ) → T rs (V ) es un isomorfismo y (ϕ∗)

−1 = (ϕ−1)∗.

(d) si t1 ∈ T r1s1 (V ) y t2 ∈ T r2s2 (V ), entonces

ϕ∗(t1 ⊗ t2) = ϕ∗(t1)⊗ ϕ∗(t2).

Demostracion. Para demostrar (a), primero se observa que es un ejercicio de Algebra Lineal Basicaverificar que la traspuesta de una composicion de transformaciones lineales satisface (ψϕ)∗ = ϕ∗ψ∗.Luego

ψ∗(ϕ∗ t)(f1, · · · , f r, g1, · · · , gs) =

= ϕ∗t(ψ∗(f 1), · · · , ψ∗(f r), ψ−1(g1), · · · , ψ−1(gs)

)

= t(ϕ∗ψ∗(f 1), · · · , ϕ∗ψ∗(f r), ϕ−1ψ−1(g1), · · · , ϕ−1ψ−1(gs)

)

= t((ψ ϕ)∗(f 1), · · · , (ψ ϕ)∗(f r), (ψ ϕ)−1(g1), · · · , (ψ ϕ)−1(gs))

)

= (ψ ϕ)∗ t(f 1, · · · , f r, g1, · · · , gs),

donde f 1, · · · , f r ∈ G∗, g1, · · · , gs ∈ G y t ∈ T rs (V ).

La parte (b) es una consecuencia inmediata de la definicion y el hecho que i∗ = i e i−1 = i. Para(c) observese que por (a) y (b) se tiene ϕ∗ (ϕ−1)∗ = i∗, la identidad en T rs (W ); similarmente,(ϕ−1)∗ ϕ∗ = i∗ la identidad en T rs (V ), y ası (c) es verdadero. Finalmente (d) es una consecuenciade la definicion. ♦X



§ Observaciones

Sean V y W espacios vectoriales (de dimension finita). Si ϕ : V → W es una transformacion linealcon

vi : i = 1, · · · , n, wj : j = 1, · · · ,mbases para V y W respectivamente y sus bases duales

vi : i = 1, · · · , n, wj : j = 1, · · · ,m

respectivamente. Entonces

(a) ϕ∗(wj)(v) = wj(ϕ(v)), es decir, ϕ∗ actua sobre elementos basicos como la traspuesta de ϕ.

(b) Si ϕ es un isomorfismo, entonces

ϕ∗(vi) = T 0

1 (vi) = (ϕ−1)(vi),

ya que por definicionT 01 (v

i)(w) = vi(ϕ−1(w)) = (ϕ−1)∗vi(w)

(c) ϕ∗(vi) = T 10ϕ(vi) = ϕ(vi). Ya que de nuevo por definicion

T 10ϕ(vi)(w

∗) = vi(ϕ∗(w∗)) = ϕ∗∗(vi(w

∗)) = (ϕ(vi))(w∗)

(d) ϕ∗(wj) = ϕ−1(wj). Ya que

ϕ∗(wj)(v) = T 01ϕ

−1(wj)(v) = wj((ϕ−1)∗v) = (ϕ−1wj)v.

Ejemplo 4.5.1 Sobre R2 se toma la base estandar e1, e2. Si y t = e1 ∧ e2 y w = e1 ⊗ e2. Calcularϕ∗t, ϕ∗w cuando ϕ : R2 → R2 con

ϕ(x, y) =

(2 11 1

)(xy

).

Solucion. Primero se observa que si

A =

(2 11 1

)

entonces,

A =

(2 11 1

)= At y A−1 =

(1 −1−1 2

)= (A−1)t,

con lo que

ϕ∗(e1) =

(1 11 2

)(10

)= e1 + e2,

y

ϕ∗(e2) =

(1 11 2

)(01

)= e1 + 2e2.


4.6. EJERCICIOS 91

Por lo tanto,

ϕ∗t = ϕ∗(e1) ∧ ϕ∗(e2) = (2e1 + e2) ∧ (e1 + e2) = e1 ∧ e2.Y como

ϕ∗(e1) = ϕ−1(e1) =

(1 −1−1 2

)(10

)= e1 − e2,

entonces

ϕ∗w = (e1 − e2)⊗ (e1 + 2e2) = e1 ⊗ e1 + e1 ⊗ e2 − e2 ⊗ e1 − e2 ⊗ e2.

§ 4.6. Ejercicios

1. Sea e = (1, 0, · · · , 0) e2 = (0, 1, 0, · · · , 0) en = (0, · · · , 0, 1) base para Rn con base dual e1, · · · , enpara (Rn)∗. Probar que

t = e1 ⊗ e1 + · · ·+ en ⊗ en

es un(02

)−tensor sobre Rn y que coincide con el producto interior usual (o canonico) de Rn.

¿Cual es su representacion matricial?.

2. Probar que todo producto interno sobre un espacio vectorial V es un(02

)−tensor sobre V.

3. Sea V un espacio vectorial de dimension finita n. Probar:

a) T 10 (V )=V ∗∗ c) T 0

2 (V )=L(V, V ∗)

b) T 01 (V )=V ∗ d) T 1

1 (V )=L(V, V ∗∗)

4. Sea V un espacio vectorial de dimension finita n. Si w ∈ Λk(V ), ϕ ∈ Λs(V ) y θ ∈ Λr(V ),entonces demostrar que

a) (w ∧ ϕ) ∧ θ = w ∧ (ϕ ∧ θ), d) w ∧ (ϕ+ θ) = w ∧ ϕ+ ϕ ∧ θ, (si s = r),b) (cw) ∧ ϕ = c(w ∧ ϕ) = w ∧ (cϕ), e) (w + ϕ) ∧ θ = w ∧ θ + ϕ ∧ θ, (si k = s),c) w ∧ ϕ = (−1)ksϕ ∧ w.

5. Probar que si v1, ..., vn son elementos de Rn, entonces el volumen del paralelepıpedo formadopor estos y el origen, es decir, el volumen de

p(0; v1, ..., vn) = v ∈ Rn : v = t1v1 + ...+ tnvn, t ∈ [0, 1]

es el valor absoluto del determinante la matriz cuyas columnas son las componentes de losvectores v1, ..., vn.

Sugerencia: usar integracion multiple bajo un cambio de coordenadas adecuado.



6. m-volumen: Sean a1, ..., am vectores linealmente independientes en Rn, m ≤ n. Probar que elm−volumen del paralelepıpedo, sobre el m−espacio vectorial, formado por los a1, · · · , am y elorigen esta dado por

vol(p(0; a1, ..., am)) = det

〈a1, a1〉 ... 〈a1, am〉

......

〈am, a1〉 ... 〈am, am〉

7. En el problema (6), se considera Rn con base canonica

e = e1 = (1, 0, · · · , 0), · · · en = (0, · · · , 0, 1)con base dual e∗ = e1, · · · en para

[Rn]∗. Si Ω = a1 ∧ · · · ∧ am, donde cada ai, i = 1, · · · ,m

es el vector correspondiente a ai en [Rn]∗ bajo el isomorfismo ϕ : Rn → [Rn]∗ dado por, six = x1e1 + · · ·+ xnen ∈ Rn, entonces

ϕ(x) = x1e1 + · · ·+ xnen.

Probar entonces que[vol(p(0; a1, · · · , am))]2 = Ω(a1, · · · , am),

donde Ω = a1 ∧ · · · ∧ am. Ω recibe el nombre de Elemento volumen.

8. Bajo las hipotesis del ejercicio 7, probar

a1 ∧ · · · ∧ am(a1, · · · , am) =∑

i1<···<imdet

ai11 · · · aim1

ai1m · · · aimm

donde a1 = (a11, · · · , a1n), · · · am = (am1, · · · , amn) con m ≤ n.

9. Sean V, W y Q espacios vectoriales de dimension finita. Si ϕ : V → W y ψ : W → Q sontransformaciones lineales, entonces probar

a) (ψ ϕ)∗=ϕ∗ ψ∗

b) Si t1 ∈ T 0s1(W ), t2 ∈ T 0

s2(W ), entonces

ϕ∗(t1 ⊗ t2) = (ϕ∗t1)⊗ (ϕ∗t2)

c) Sea e1=(1, 0, 0), e2=(0, 1, 0), e3=(0, 0, 1) base usual de R3 y (e1, e2, e3) base dual para[R3]∗. Si ϕ : R3 → R3 esta dada por

ϕ(x, y, z) =

1 1 10 1 10 0 1

xyz

Calcular:


4.6. EJERCICIOS 93

(i) ϕ∗(e1 ⊗ e2)

(ii) ϕ∗(e1 ⊗ e3)

(iii) ϕ∗(t) si t = e1 ∧ e2 + 2e1 ∧ e3

10. Sean V y W espacios vectoriales con bases ei : i = 1, · · · , n, wj : j = 1, · · · ,m con basesduales ei : i = 1, · · · , n, wj : j = 1, · · · ,m respectivamente para V ∗ y W ∗.

a) Expresar en funcion del producto tensorial la expresion e1 ∧ (e2 ∧ e3).b) Sean T ∈ Λk(W ) y ϕ : V → W una transformacion lineal. Demostrar

(i) ϕ∗(T ∧ S) = (ϕ∗T ) ∧ (ϕ∗S), ∀S ∈ Λr(W )

(ii) Si ϕ : V → V (transformacion lineal, dim V = n), entonces para cada T ∈ ∧n(V ) setiene que ϕ∗T = (detϕ)T , en particular

ϕ∗(e1 ∧ · · · ∧ en) = (ϕ∗e1) ∧ · · · ∧ (ϕ∗en) = (detϕ)e1 ∧ · · · ∧ en

11. Sea V un espacio vectorial de dimension finita 2n. Sea e1, · · · , en, f1, · · · , fn una base paraV, con base dual e1, · · · , en, f 1, · · · , fn para V ∗. Si

ω = e1 ∧ f 1 + · · ·+ en ∧ fn

y se defineωk = ω ∧ · · · ∧ ω︸︷︷︸

k−factores

, (k = 1, 2, · · · , ).

Demostrar que

a) ei ∧ f i conmuta con ej ∧ f j,b) ωn = n! e1 ∧ f 1 ∧ · · · ∧ en ∧ fn




Capıtulo 5

Formas diferenciales sobre superficies


La idea central de este capıtulo es presentar la formas diferenciales sobre n−superficies para lugohacer integracion sobre este tipo de objetos y posteriormente obtener resultados geometricos. SeaMn una n−superficie, entonces para cada punto p ∈ M, existe un espacio TpM de dimension n ysu espacio dual T ∗

pM tambien es de dimension n. Cada vez que se toma un elemento de TpM (oen T ∗

pM) en cada punto p ∈ M, se obtiene un campo vectorial (o covectorial) sobre M y tomandoproducto exterior en estos espacios se puede entonces definir un campo vectorial de formas de caractercovariante o contravariante o mixto sobre M. Este capıtulo estudiara de manera introductoria estostipos de campos vectoriales, llamados formas diferenciales.

El proposito es extender las ideas elementales del Algegra Multilineal a superficies regulares y coneste argumento extender poseriormente los conceptos fundamentales del Calculo en Rn o mejor delCalculo Euclideo a estos objetos geometricos.

Se denota con

(a) Λ∗k(M) =

⋃

p∈MΛk(T

∗pM) (k−fibrado exterior sobre M)

(b) Λ∗(M) =⋃

p∈MΛ(T ∗

pM) (fibrado del Algebra exterior sobre M)

Cuando k = 0 y(rs

)=(00

), entonces la union en (a) y (b) son uniones disyuntas de copias de R

(una copia por cada punto deM). Naturalmente que Λ∗k(M) es una (n+

(nk

))-superficie y Λ∗(M) una

(n+ 2n)-superficie.

En lo que sigue se considera la proyeccion canonica π : Λ∗k(M) →M definida por π(p, ωp) = p.

95

96 CAPITULO 5. FORMAS DIFERENCIALES SOBRE SUPERFICIES

§ 5.2. Formas diferenciales

Definicion 5.2.1 Una funcion de clase C∞ de M en Λ∗k(M), o Λ∗(M) cuya composicion con la

proyeccion caonoca es la funcion identidad recibe el nombre de k−forma diferencial o suave

sobre M, o forma diferencial sobre M , respectivamente.

Como las formas diferenciales que se usaran siempre seran de clase C∞ o suaves, entonces se puedeomitir el adjetivo suave y diferencial al menos que se necesite por enfasis.

Nota Una funcion α : M → Λ∗k(M) es una k−forma si y solo si para cada sistema de coodenadas

(U, x1, · · · , xn) sobre M,

α|U =∑

i1<···<ik

αi1···ikdxi1 ∧ · · · ∧ dxik (5.1)

donde los αi1···ik ∈ C∞(U).

Definicion 5.2.2 Se denota con Ωk(M) el espacio de todas las k−formas de clase C∞(M)

α :M → Λ∗k(M)

y Ω∗(M) al conjunto de todas las formas sobre M de clase C∞. Tambien se tienen las siguientesidentificaciones

Ω0(M) ≡ C∞(M)

Ω1(M) ≡ X∗(M)

Ademas, la superficie regular Λ∗0(M) es simplemente M × R y los levantamientos de M en M × R

son simplemente la grafica de funciones de clase C∞ sobre M.

Las formas se pueden sumar, multiplicar por escalares y tienen un producto esterior (∧) que serealizan punto a punto, esto es, si ω, ϕ ∈ Ω∗(M), c ∈ R y m ∈M, entonces

(ω + ϕ)m = ωm + ϕm

(cω)m = cωm

(ω ∧ ϕ)m = ωm ∧ ϕm.

En el caso de que f sea una 0−forma y ω ∈ Ω∗(M) se escribe f ∧ ω simplemente como fω; Ω∗(M)tiene estructura de modulo sobre el anillo C∞(M) y es un algebra graduada sobre R con la multipli-cacion exterior (∧).

Definicion 5.2.3 Sea ω ∈ Ωk(M). Entonces ωm ∈ Λk(TmM) y es una funcion multilineal alternadasobre TmM. Por lo tanto si X1, · · · , Xk son campos vectoriales sobre M, ω(X1, · · · , Xk) tiene sentido- y es la funcion cuyo valor en m es

ω(X1, · · · , Xk)(m) = ωm(X1(m), · · · , Xk(m)) (5.2)


5.2. FORMAS DIFERENCIALES 97

5.2.1. Formas diferenciales sobre Rn

Si M es un abierto de Rn y f :M → R con f diferenciable, entonces

Df(x) : Rn → R

es una funcion lineal (es decir, un 1-tensor alternado) sobre Rn, que es el espacio tangente a M en x,con valores reales. Por lo tanto, la funcion x → Df(x) es una 1-forma sobre M, que se denota condf.

La base dx1, · · · , dxn

de [Rn]∗ dual de la base canonica e1, · · · , en de Rn, es tal que toda 1-forma ω sobre Rn puedeexpresarse por:

ω = α1dx1 + · · ·+ αndxn,

lo que implica que df tiene la forma df = α1dx1 + · · ·+ αndxn y como

αj = df(ej) =∂f

∂xj

entonces

df =∂f

∂x1dx1 +

∂f

∂x2dx2 + · · ·+ ∂f

∂xndxn

ademas, si I es una sucesion estrıctamente creciente de ındices,

I = (i1, i2, · · · , ik)

y denotando con dxI la k−forma sobre Rn dada por

dxI = dx1t ∧ · · · ∧ dxik

entonces, para cada espacio vectorial individual

Λk(TxM) = Λk(Rn),

se tiene el siguiente resultado:

Lema 5.2.1 Cada k−forma sobre un abierto U de Rn puede escribirse de manera unica como

∑

I

fIdxI

donde I recorre las sucesiones crecientes de ındices

1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n,

y siendo, para cada I, fI una funcion real definida en U.



§ 5.3. Traspuesta o Pull-back de una k−forma

Sean M una una superficie regular contenida en Rn, f : Rm →M una funcion diferenciable y seaω una k−forma sobre M. ProbarSe define una nueva k−forma sobre Rm. Si x = f(y), sabe que

Df(y) ∈ L(Rm, TxM).

Puesto que ω(x) es un k−forma sobre TxM se define entonces

(f ∗ω)(y) = [Df(y)]∗ω(f(y)),

esto es, si v1, · · · , vk son elementos de Rn,

(f ∗ω)(y)(v1, · · · , vk) =[ω(f(y))](Df(y)(v1), · · · , Df(y)(vk)) (5.3)

es claro que, para cada y ∈ Rm, se trata de un k−tensor alternado sobre Rm, espacio tangente a Rm

en y, por lo cual f ∗ω es una k−forma sobre Rm, llamada transpuesta (o pull-back ) de ω por fsobre M.

Si ω es una 0−forma sobre M, entonces

f ∗ω = ω flas siguientes propiedades son de facil comprobacion (en donde las operaciones indicadas tienensentido):

f ∗(ω1 + αω2) = f ∗ω1 + αf ∗ω2, (α ∈ R)

f ∗(ω ∧ θ) = (f ∗ω) ∧ (f ∗θ),

(f h)∗ω = h∗f ∗ω.

(5.4)

Seanf : Rm → Rn,

con f ∈ C1(Rm), (x1, · · · , xn) las coordenadas de Rn, (y1, · · · , ym) las de Rm y f1, · · · , fn las compo-nentes de f, es decir, seran f y Df las siguientes:

x1 = f1(y1, · · · , ym)...

xn = fn(y1, · · · , ym)

Df(y) =

∂f1∂y1

· · · ∂f1∂ym

......

∂fn∂y1

· · · ∂fn∂ym

y

(5.5)

Ahora se comprueba que

f ∗dxi = dfi =n∑

j=1

∂fi∂yj

dyj. (5.6)

Sean v = (v1, · · · , vm) e y m+ 1 vectores de Rm, entonces

[(f ∗dxi)(y)](v) = [dxi(f(y))][Df(y)v]

= [dxi(f(y))](m∑

j=1

∂f1∂yj

vi, · · · ,m∑

j=1

∂fn∂ym

vj)

=m∑

j=1

∂fi∂yj

vj

= dfi(v)


5.4. FORMA DE VOLUMEN 99

Lo que prueba el resultado buscado.

Conociendo el comportamiento de f ∗ respecto a las 0−formas y a las 1−formas, mediante las relacio-nes descritas anteriormente queda ya determinado su comportamiento respecto de cualquier forma,pues, si se tiene una forma ω sobre Rn y escribiendola como

ω =∑

I

aIdxI

queda que

f ∗ω =∑

I

(f ∗aI)dfI

donde dfI denota a dfi1 ∧ · · · ∧ dfik .En la siguiente seccion se muestra como la traspuesta se comporta con el elemento volumen, situacionque permite, de cierta manera, definir la integral de formas.

Si Mm es una superficie regular y ω una forma sobre M, entonces se dice que ω es de clase C∞

si para cada parametrizacion (U, ϕ), los coeficientes de ϕ∗(ω), que son funciones reales definidas enU ⊆ Rm, son de la clase C∞. No es dificil comprobar que, si lo son los coeficientes de ϕ∗(ω) y (V, ψ)es otra parametrizacion de M, con ϕ(U) = ψ(V ), entonces tambien los coeficientes de ψ∗(ω) son declase C∞. Si ω es de clase C∞, se llama regular.

§ 5.4. Forma de volumen

Se presenta el concepto de forma (o elemento) de volumen en subespacios vectoriales de dimensionm inmerso en otro de dimension n (m ≤ n) y en m−superficies usando sus espacios tangentes.

5.4.1. Elemento volumen o m−volumen en Rn

Si v1, · · · , vn son elementos de Rn, el volumen del paralelepıpedo formado por ellos y el origen, esdecir, del conjunto

P (0; v1, · · · , vn) = v ∈ Rn : v = t1v1 + · · ·+ tnvn, 0 ≤ ti ≤ 1

es el valor absoluto del determinante de la matriz cuyas columnas son las componentes de los vectoresv1, · · · , vn respecto de la base canonica βe1 = (1, 0, · · · , 0), · · · , en = (0, · · · , 1), como se compruebaal efectuar el cambio de variable por T : Rn → Rn con T (ei) = vi en la correspondiente integral.

Si los vectores v1, · · · , vn constituyen una base positivamente orientada respecto a la canonica,entonces el determinante es positivo, y no es necesario tomar valor absoluto. Ademas, dado quelas transformaciones ortogonales, es decir, las dadas por las matrices T, con T−1 = T t, tienen pordeterminante | detT | = 1, estas no alteran el volumen, por lo que el del paralelepıpedo citado es igualal valor absoluto del determinante de la matriz que tiene por columnas las respectivas componentesde v1, · · · , vn respecto de cualquier base ortonormal.

De modo mas general, si v0, v1, · · · , vn ∈ Rn, se llama paralelepıpedo formado por v1, · · · , vn y convertice v0 al conjunto dado por

P (v0; v1, · · · , vn) = v ∈ Rn : v = v0 + t1v1 + · · ·+ tnvn



con 0 ≤ ti ≤ 1, i = 1, · · · , n. Claramente,

v(P (v0; v1, · · · , vn)) = | detT |

siendo T la transformacion lineal de Rn en Rn originalmente citada, es decir, para cada i, T (ei) = vi,ya que P (v0; v1, · · · , vn) es el transformado de P (0; v1, · · · , vn) mediante la aplicacion afın τ conτv = v0 + Tv.

Sean a1, · · · , am elementos de Rn linealmente independientes, entonces el espacio vectorial generadopor estos vectores es isomorfo a Rm, pues tienen la misma dimension finita. Entonces el m− volumendel m−paralelepıpedo P (0; a1, · · · am) (considerado como elemento de Rm) se puede calcular comosigue: se encuentra una base ortonormal em+1, · · · , en del espacio ortogonal al subespacio generadopor a1, · · · , am y tal que a1, · · · , am, em+1, · · · , en sea una base positivamente orientada para Rn,y hallar el determinante de la matriz cuyas columnas (o filas) son las componentes de estos vectoresrespecto a la base canonica de Rn.

Entonces el m−volumen generado por esos m vectores esta dado por

Vm(0; a1, · · · , am) = det

a11 a12 · · · a1m e1,m+1 · · · e1n...

......

......

am1 am2 · · · amm em,m+1 · · · emn...

......

......

an1 an2 · · · anm en,m+1 · · · enn

donde ai = (a1i, · · · , ani) para i = 1, · · · ,m y ei = (e1i, · · · , eni), i = m+ 1, · · · , n. Y si

A =

a11 a12 · · · a1m e1,m+1 · · · e1n...

......

......

am1 am2 · · · amm em,m+1 · · · emn...

......

......

an1 an2 · · · anm en,m+1 · · · enn

entonces

[Vm(P (0; a1, · · ·, am))]2 = det(A) det(A) = det(A× At)

= det

〈a1, a1〉 · · · 〈a1, am〉...

... 0〈am, a1〉 · · · 〈am, am〉

1 · · · 0

0...

...0 · · · 1

=det

〈a1, a1〉 · · · 〈a1, am〉...

...〈am, a1〉 · · · 〈am, am〉

(5.7)



Esta ultima expresion de [Vm(P (0; a1, · · · , am))]2 es el valor del m−tensor alternado S = a1∧· · ·∧am,evaluado en la coleccion ordenada de vectores a1, · · · , am, donde ai es el correspondiente elementodual de ai, por el isomorfismo existente entre Rn y (Rn)∗. Esto es, si e1, · · · , en es la base canonicade Rn y e1, · · · , en su base dual para (Rn)∗, entonces se puede escribir:

ai = ai1e1 + · · ·+ ainen si y solo si ai = ai1e

1 + · · ·+ ainen

Con lo queS(a1, · · · , am) = a1 ∧ · · · ∧ am(a1, · · · , am) = det

(ai(aj)

).

Prero,

ai(aj) =( m∑

k=1

aikek)( m∑

r=1

ajrer)=

m∑

k,r=1

aikajrem(er)

=m∑

k=1

aikajk = 〈ai, aj〉 .

Lo que muestra el siguiente

Lema 5.4.1 El m−volumen en Rn, m < n, satisface

[Vm(P (0; a1, · · · , am))]2 = a1 ∧ · · · ∧ am(a1, · · · , am) (5.8)

y ademasa1 ∧ · · · ∧ am(a1, · · · , am) = det

(ai(aj)

)= det

(〈ai, aj〉

)(5.9)

en particular,

[Vm(P (0; a1, · · · , am))] =√

det(〈ai, aj〉

)(5.10)

5.4.2. Forma de volumen para m−superficies

Se extendera el concepto de forma de volumen a m−superficies regulares. En efecto, como Rn esla n−superficie dotadad de la estructura diferencial con la unica carta (Rn, i), donde i(x1, · · · , xn) =(x1, · · · , xn) indica la funcion idetidad de Rn en Rn, entonces cada una de las funciones coordenadasse pueden observar como funciones definida por

πi : Rn → R

tales que πi(r1, · · · , rn) = ri para cada i, es decir, cada una se observa como funcion proyeccion en lai−esima componente. Por lo tanto, como diferencial, dπi = πi, que por comodidad se denotara pordπi = πi = dxi. Ahora bien, si e1, · · · , en es la base canonica de Rn, entonces

dxi(ej) = ej(xi) =∂xi∂xj

=

1 si i = j0 si i 6= j

con lo quedxi : i = 1, · · · , n



es base dual de e1, · · · , en para cada (Rn)∗ en el sistema de coordenadas para Rn dada anterior-mente. Resultado que vale en cada punto p de Rn para su tangente TpR

n y su dual T ∗pR

n.

La n−forma diferencialdx1 ∧ · · · ∧ dxn

asocia a cada coleccion de n vectores ordenados v1, · · · , vn el volumen del paralelepıpedo determi-nado por el origen y dichos vectores, si estos son linealmente dependientes o constituyen una basepositivamente orientada respecto de la canonica y el citado volumen precedido de un signo menossi forman una base negativa. Por esta razon, a dicha n−forma se le da el nombre de forma devolumen (o elemento volumen) para Rn y se denota dV o dVRn aunque no es la diferencialexterior de una (n− 1)−forma sobre Rn.

Si M es una m−superficie orientada en Rn, se va a definir una m−forma sobre M, elemento devolumen de M, a la que se denotara dVM aunque no se tratara de la diferencial exterior de ninguna(m− 1)−forma sobre M. Por definicion, dVM sera la funcion que para cada x de M y cada coleccionordenada v1, · · · , vm de m vectores en TxM, asocia el numero que mide el m−volumen del correspon-diente m−paralelepıpedo formado si son linealmente dependientes o constituyen una base positivade TxM ; y el m−volumen precedido de un signo menos, si constituyen una base con orientacionnegativa.

Para calcular dVM(x)(v1, · · · , vm) se puede proceder como en el Lema 5.4.1.

Si la parametrizacion (Ω, ϕ), con sistema de coordenadas t = (t1, · · · , tm), y suponiendo que ϕ(Ω) =M y la orientacion de M es la inducida por dicha parametrizacion, se tiene que si

v1, · · · , vm

es base de Rm, entoncesDϕ(t)v1, · · · , Dϕ(t)vm

es base para Tϕ(t)M ; ambas positivas o ambas negativas; suponiendo ambas positivas

(ϕ∗dVM)(t)(v1, · · · , vm) =dVM(ϕ(t))(Dϕ(t)v1, · · · , Dϕ(t)vm)

haciendo el cambio de variable en el respectivo calculo de volumen que se presenta, se tiene

dVM(ϕ(t))(Dϕ(t)v1, · · · , Dϕ(t)vm) =[detDϕ(t)] dVRm(v1, · · · , vm)

Procediendo de modo analogo, si v1, · · · , vm es base negativa para Rm, queda que, para ambos casos,es

ϕ∗dVM = [detDϕ] dVRm (5.11)

lo que pone de manifiesto que dVM es una m−forma diferencial continua.

Nota. Observe que Dϕ∣∣pes la transformacion lineal que envia la base ei : i = 1, · · · ,m de Rm en

la base Dϕ∣∣p(ei) =

∂

∂ti: i = 1, · · · ,m de TpR

m ⊆ Rn y ϕ(t0) = p ∈ M, entonces el Lema 5.4.1



garantiza que el volumen generado por los vectores Dϕ(ei) para cada i = 1, · · · ,m esta dado por

detDϕ =

√det

[⟨∂

∂ti,∂

∂tj

⟩]

en cada punto p ∈M en la parametrizacion (Ω, ϕ).

5.4.3. Elemento volumen de una hipersuperficie

SeaM =Mm una superficie regular contenida en Rn. Si m = n−1, el espacio normal aM en x es dedimension uno, por lo que solo hay dos vectores unitarios n y n′ normales a M en x. De ellos, uno,por ejemplo, ne, es tal que, si (e1, · · · , en−1) es una base ortonormal positiva para TxM, entonces sea(ne, e1, · · · , en−1) una base ortonormal positiva para Rn. Al vector se le llama vector normal exteriora la superficie orientadaM en el punto x. Si se cambia la orientacion deM, tambien cambia el vectornormal exterior.

Por ejemplo, si M es la esfera de dimension dos, S2 de R3, puede orientar esta superficie para que elvector normal exterior a M en cada punto se dirija al centro de la esfera.

Para entrar en materia, seaM =Mn−1 una superficie contenida en Rn orientada que por simplicidadse supone que (Ω, ϕ) es una parametrizacion para M tales que

1. ϕ(Ω) =M

2. ϕ(t) = (ϕ1(t), ϕ2(t), · · · , ϕn(t)) con t = (t1, · · · , tn−1) ∈ Rn−1.

3. las coordenadas de Rn son (x1, · · · , xn−1, xn).

Ademas, sea α = (α1, · · · , αn) un vector normal exterior a M, definido por

α =∂ϕ

∂t1× · · · × ∂ϕ

∂tn−1

o lo que es lo mismo (desarrollando por la primera fila) que

α =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 · · · en∂ϕ1

∂t1

∂ϕ2

∂t1· · · ∂ϕn

∂t1...

......

∂ϕ1

∂tn−1

∂ϕ2

∂tn−1

· · · ∂ϕn∂tn−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

, (5.12)

donde (e1, · · · , en) es la base canonica de Rn, esto es,

α1 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂ϕ2

∂t1· · · ∂ϕn

∂t1...

...∂ϕ2

∂tn−1

· · · ∂ϕn∂tn−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

, · · · , αn = (−1)1+n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂ϕ1

∂t1· · · ∂ϕn−1

∂t1...

...∂ϕ1

∂tn−1

· · · ∂ϕn−1

∂tn−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(5.13)



y observe que

det(α, ∂1ϕ(t), · · · , ∂n−1ϕ(t)) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

α1 α2 · · · αn∂ϕ1

∂t1

∂ϕ2

∂t1· · · ∂ϕn

∂tn−1...

......

∂ϕ1

∂tn−1

∂ϕ2

∂tn−1

· · · ∂ϕn∂tn−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= α21 + · · ·+ α2

n, (5.14)

De esta definicion para α se tiene de manera inmediata las siguientes propiedades

1. α⊥ ∂iϕ para cada i = 1, 2, · · · , n y por tanto a α es ortogonal a TxM,

2. (α, ∂1ϕ(t), · · · , ∂n−1ϕ(t)) es una base positivamente orientada para Rn,

3. M tiene como vector normal exterior unitario a

ne =α

||α|| = (n1, · · · , nn)

y si v1, · · · , vn−1 forman una base positivamente orientada para TxM, entonces el volumengenerado por estos vectores esta dado por

det(ne, v1, · · · , vn−1).

Lema 5.4.2

(a) El elemento volumen sobre M satisface (el sımbolo significa que el termino se ha quitado)

dVM =n∑

i=1

(−1)1+inidxi ∧ · · · ∧ dxi ∧ · · · ∧ dxn,

(b) se verifica para cada x de M, sobre TxM, i = 1, 2 · · · , nnidVM(x) = (−1)i+1dx1 ∧ · · · ∧ dxi ∧ · · · ∧ dxn

Demostracion.

(a) Sean v1 = (v11, · · · , v1n), · · · , vn−1 = (vn−1,1, · · · , vn−1,n) son elementos linealmente indepen-dientes de TxM, entonces

dVM(v1, · · · , vn−1) = det(ne, v1, · · · , vn−1)

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

n1 · · · nnv11 · · · v1n...

...vn−1,1 · · · vn−1,n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=n∑

i=1

(−1)1+i ni

∣∣∣∣∣∣∣

v11 · · · v1i · · · v1n...

......

vn−1,1 · · · vn−1,i · · · vn−1,n

∣∣∣∣∣∣∣

=n∑

i=1

(−1)1+inidxi ∧ · · · ∧ dxi ∧ · · · ∧ dxn(v1, · · · , vn−1).



(b) Dando a β analogo significado al de α, esto es,

β = v1 × · · · × vn−1 (= (β1, · · · , βn−1))

y notando por C a la matriz que tiene por filas las respectivas componentes de

ne, v1, v2, · · · , vn−1

respecto de la base canonica de Rn, por lo que β es ortogonal a todos los vi, i = 1, · · · , n− 1,y por lo tanto, se tiene que β = λne, luego

dVM(x)(v1, · · · , vn−1) = detC =n∑

i=1

niβi = 〈ne, β〉 = 〈ne, λne〉 = λ

lo que muestra queβ = dVM(x)(v1, · · · , vn−1) ne

y haciendo uso de esta expresion, resulta

ni dVM(x)(v1, · · · , vn−1) = 〈ei, ne〉 dVM(x)(v1, · · · , vn−1)

= 〈ei, dVM(x)(v1, · · · , vn−1)ne〉 = 〈ei, β〉 = βi

=(−1)1+i

∣∣∣∣∣∣∣

v11 · · · v1,i · · · v1n...

......

...vn−1,1 · · · vn−1,i · · · vn−1,n

∣∣∣∣∣∣∣=(−1)1+idx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn(v1, · · · , vn)

que es el resultado buscado. ♦X

5.4.4. Volumen de una m−superficie

La definicion de volumen de una m−superficie regular se dara aproximando M localmente, mediantesu espacio tangente.

Sea M = Mm una superficie orientada de la que se supone temporalmente, que admite una solaparametrizacion (Ω, ϕ), siendo ademas la orientacion de M la inducida por (Ω, ϕ). Sea x0 = ϕ(t0)un punto de M :

t0 t0 + ae1

t0 + ae2

x0 + h1

x0 + h2

ϕ(I)

A(I)

ϕ

Figura 5.1



Se considera en Rm el cubo I de vertice t0 y aristas de longitud a (ver Figura 5.1). Sean k1 =ae1, · · · , km = aem, donde e1, · · · , em es la base canonica de Rm. La aplicacion afın A de Rm en Rn,dada por

A(t) = ϕ(t0) +Dϕ(t0)(t− t0)

aproxima a ϕ y transforma Rm en el espacio tangente a M en ϕ(t0) = x0, y al cubo I en elm−paralelepıpedo K de Rn determinado por x0 como vertice y los vectores

h1 = Dϕ(t0)k1, · · · , .hm = Dϕ(t0)km

Para a pequeno, el numero vm(K) es la aproximacion del m−volumen vm(ϕ(I)). Como ademas es(por cambio de varible en una integrla multiple):

vm(K) =[detDϕ(t0)

]v(I).

Este razonamiento nos lleva a adoptar la siguiente definicion, se llama volumen de M al numerov(M) dado por la relacion

vm(M) =

∫

Ω

[detDϕ]dVRm (5.15)

en donde, como antes [Dϕ(t0)

]2= det

(⟨∂ϕ(t0)∂ti

, ∂ϕ(t0)∂tj

⟩)

Como detDϕ es continua y positiva, dicha integral existe y es no negativa, aunque puede ser +∞.

Por ultimo observe que

vm(M) =

∫

Ω

ϕ∗[dVM ] (5.16)

en donde la integral de una forma diferencial definida sobre subconjuntos abiertos y conexos cuyaclausura es compacta en Rm se entiende como la integral multiple de Riemann.

5.4.5. Ejemplos

(1) La esfera bidimensional de radio a, M = S2(a), admite la parametrizacion

α(θ, ϕ) = (a senϕ cos θ, a senϕ sen θ, a cosϕ)

donde (θ, ϕ) ∈ Ω = (0, 2π)× (0, π). Calcular α∗(dAM) y el Area(M).

Solucion. En efecto,∂θ = (−a sen θ senϕ, a cos θ senϕ, 0),

∂ϕ = (a cos θ cosϕ, a sen θ cosϕ,−a senϕ)entonces

〈∂θ, ∂θ〉 = a2 sen2 ϕ, 〈∂ϕ, ∂ϕ〉 = a2, 〈∂θ, ∂ϕ〉 = 0,

con lo queα∗(dAM) = a2 senϕdAR2 = a2 senϕ dθ ∧ dϕ.



Ahora se encuentra el area de M :

Area(M) =

∫

Ω

α∗(dAM) = a2∫ 2π

0

∫ π

0

senϕ dθ dϕ = 4πa2

(2) Sea M la 3−superficie parametrizada dada por

α(r, θ, ϕ) = (r cos θ senϕ, r sen θ senϕ, r cosϕ)

donde U = (r, θ, ϕ) : 0 < r < a, 0 < θ < 2π, 0 < ϕ < 2π. Calcular α∗(dVM) y el volumen deM.

Solucion. En efecto

∂1 = ∂r = (cos θ senϕ, sen θ senϕ, cosϕ)

∂2 = ∂θ = (−r sen θ senϕ, cos θ senϕ, 0)∂3 = ∂ϕ = (r cos θ cosϕ, r sen θ cosϕ,−r senϕ)

Ası

v3(M) =

∫

U

√det(〈∂i, ∂j〉

)dr ∧ dθ ∧ dϕ

=

∫ π

0

∫ 2π

0

∫ a

0

∣∣∣∣∣∣

1 0 00 r2 sen2 ϕ 00 0 r2

∣∣∣∣∣∣

1/2

dr dθ dϕ

=

∫ π

0

∫ 2π

0

∫ a

0

r2 senϕdr dθ dϕ

=4

3πa2

(3) Si M es orientada y de dimension uno en R3 (puede probarse que toda superficie diferenciablede dimension uno es orientable), llamando, como antes, (x, y, z) a las coordenadas de R3, enun abierto de cada punto de M existe una parametrizacion ϕ : (−ε, ε) → R3 (ε > 0) dadapor x = x(u), y = y(u), z = z(u) y manteniendo en Dϕ la orientacion de M. Probar que sit = (t1, t2, t2) es el vector tangente unitario, en cada punto, a M, entonces

(a) ds = t1dx+ t2dy + t3dz,

(b) ϕ∗(ds) =√(x′)2 + (y′)2 + (z′)2du,

(c) t1ds = dx, t2ds = dy, t3ds = dz.

Solucion. En efecto, la l-forma diferencial elemento de volumen de M, llamada elemento delongitud y denotada con ds es tal que, si w es tangente a M en (x, y, z), correspondiente alvalor u del parametro, entonces, w = λ(ϕ′(u)/||ϕ′(u)||) y se tiene que

ds(w) = λ ds( ϕ′(u)

||ϕ′(u)||)=λ ds(ϕ′(u))

||ϕ′(u)|| = λ



y como

t = (t1, t2, t3) =(x′(u), y′(u), z′(u))

||ϕ′(u)||es el vector unitario positivo de T(x,y,z)M, entonces y para todo v ∈ T(x,y,z)M se tiene

ds(v) =ds(||v||t) = ||v|| = 〈t, ||v||t〉 = 〈t, v〉=t1v1 + t2v2 + t3v3 = (t1dx+ t2dy + t3dz)(v)

luego ds toma en M la forma

ds = t1dx+ t2dy + t3dz (5.17)

y por lo tanto

ϕ∗(ds) =t1ϕ∗(dx) + t2ϕ

∗(dy) + t3ϕ∗(dz)

=√

(x′)2 + (y′)2 + (z′)2du(5.18)

y ademas, como

t1 =x′(u)

||ϕ′(u)|| , t2 =y′(u)

||ϕ′(u)|| y t3 =z′(u)

||ϕ′(u)||es decir,

t1 =dx/du

ds/du, t2 =

dy/du

ds/du, t3 =

dy/du

ds/du

se obtiene

t1ds = dx, t2ds = dy, t3ds = dz. (5.19)

Lo que termina la solucion del ejemplo.

§ 5.5. Derivacion exterior

Si M es una n−superficie, ya se ha definido la funcion d : Ω0(M) → Ω1(M) por f → df,df =

∑ ∂f∂xidxi, la diferencial de una funcion diferenciable sobre M. se desea extender esta nocion a

una funcion

d : Ωk(M) → Ωk+1(M)

para cualquier k ∈ N. Este operador produce propiedades algebraicas maravillosas. Despues dedesarrollarlas se demostrara como d esta relacionada con las operaciones basicas de div, grad, ellaplaciano entre otras. Por lo tanto, primero la concentracion es sobre la derivada exterior d queextiende la diferencial de una funcion.

Teorema 5.5.1 Sea M una n−superficie. Entonces existe una unica familia de funciones

dk(U) : Ωk(U) → Ωk+1(U), (k = 1, 2, · · · , n)

y U un abierto sobre M, que se denotara por d, llamada derivada exterior sobre M, tal que


5.5. DERIVACION EXTERIOR 109

(a) d es una anti-derivacion, esto es, d es R−lineal; para cada α ∈ Ωk(U) y β ∈ Ωl(U),

d(α ∧ β) = (dα) ∧ β + (−1)kα ∧ dβ

(b) Si f ∈ C∞(U), entonces df es la diferencial de la funcion f presentada entre variedades.

(c) d2 = d d = 0, ( dk+1(U) dk(U) = 0 )

(d) d con respecto a restricciones. Si U ⊂ V ⊂ M son abiertos y α ∈ Ωk(M), entonces d(α|U) =(dα)|U , es decir, el siguiente diagrama conmuta

Ωk+1(V )

Ωk(V )

Ωk(U)

Ωk+1(U)

|U

|U

d d

Como es usual la propiedad (d) significa que d es un operador local.

Demostracion. Primero se establece la unicidad bajo existencia. Sea (V1, ϕ) una para-metrizacion alrededor de p ∈ ϕ(V1) = U1 ⊆M con ϕ−1(p) = (x1, · · · , xn) y α = αi1···ikdx

i1 ∧· · ·∧dxik(notacion Einstein) en Ωk(U1), i1 < · · · < ik. Cuando k = 0 se tiene Ω0(U1) = C∞(U1) y entonces la

parte (b) proporciona que

dα =( ∂α∂xi

)dxi

y aplicada a las funciones coordenadas xi, (i = 1, 2, · · · , n) muestra que la diferencial de xi es la1−forma diferencial dxi.

De (c), se tiene que d(dxi) = 0, que con (a) muestran

d(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik) = 0.

Tambien por (a),

dα = d(αi1···ik) ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik + (−1)0αi1···ikd(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik)

Por lo tanto, se debe satisfacer

dα =

[∂αi1···ik∂xi

dxi]∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik (5.20)

y ası d se determina de manera unica sobre U1 por la propiedades (a), (b), (c) y (d) sobre cualquiersubconjunto abierto coordenado de M.

Existencia. Se define para cualquier parametrizacion (V1, ϕ) de M el operador d por la ecuacion5.20. Entonces (b) se satisface de manera inmediata ya que 5.20 es R−lineal.



A continuacion se verifica (a). En efecto, si β = βj1···jsdxj1 ∧ · · · ∧ dxjs en Ωs(U1), entonces

d(α ∧ β) =d(αi1···ikβj1···jsdxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjs)

=[∂αi1···ik

∂xiβj1···js + αj1···js

∂βj1···js∂xi

]dxi ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjs

=(dα) ∧ β + (−1)kα ∧ dβ

lo que muestra que (a) se satisface.

Para demostrar (c) se usara la simetrıa de las derivadas parciales, en efecto,

d(dα) =d

[∂αi1···ik∂xi

dxi ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik]

=∂2αi1···ik∂xj∂xi

dxj ∧ dxi ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik .

Como∂2αi1···ik∂xj∂xi

=∂2αi1···ik∂xi∂xi

y dxj ∧ dxi = −dxi ∧ dxj

se tiene entonces qued2(α) = d(dα) = 0.

Por lo tanto, en cualquier carta (U, ϕ), la ecuacion 5.20 define un operador d que satisface (a), (b) y(c).

Resta demostrar que estos d ′s locales definen un operador d sobre cualquier conjunto abierto, para quese satisfaga (d). Para continuar entonces es suficiente demostrar que esta definicion es independientede las parametrizaciones que se tomen. En efecto, sea d′ el operador definido por la ecuacion 5.20sobre la parametrizacion (V ′

1 , ϕ′) con U1 ∩ U ′

1 6= ∅, y U ′1 = ϕ′(V ′

i ).

Como d′ satisface (a), (b) y (c) y ademas tiene unicidad local (demostrada en la primera parta deesta prueba), entonces

d′α = dα sobre sobre U1 ∩ U ′1

y con esto, el Teorema queda demostrado. ♦XEn muchos casos es conveniente expresar una k−forma sobre una superficie M como restriccion

a M de una k−forma sobre Rn, o sobre un abierto de Rn que contiene a M.

Teorema 5.5.2 Sean M y N superficies regulares de dimension m y n respectivamente, ϕ :M → Nuna funcion diferenciable y w una p−forma diferencial sobre N. Entonces

d(ϕ∗w) = ϕ∗(dw)

Demostracion. La demostracion resulta por Induccion Matematica, se empieza, bajo sistema decoordenadas, con el caso p = 0. Sea x ∈ M, v ∈ TxM y f ∈ C∞(N). Entonces df ∈ T ∗

ϕ(x)N,ϕ∗df ∈ T ∗

xM y por definicion de ϕ∗, df y ϕ∗,

ϕ∗df(v) = df(ϕ∗v) = ϕ∗v(f) = v(f ϕ) = v(ϕ∗f) = d(ϕ∗f)(v).


5.5. DERIVACION EXTERIOR 111

Se asume ahora que el teorema es verdadero para formas de grado p − 1 (p ≥ 1) y observeseque es suficiente demostrar el teorema para el grado p localmente y considerar la forma monomialw = a(x1, · · · , xn)dxi1 ∧ · · · ∧ dxip , donde a es una funcion diferenciable, por lo tanto

d(ϕ∗w) =d[ϕ∗[(a dxi1 ∧ · · · ∧ dxip−1) ∧ dxip ]]=d[ϕ∗(a dxi1 ∧ · · · ∧ dxip−1) ∧ ϕ∗dxip ]

=d[ϕ∗(a dxi1 ∧ · · · ∧ dxip−1)] ∧ ϕ∗dxip+ (−1)p−1ϕ∗(a dxi1 ∧ · · · ∧ dxip−1) ∧ d(ϕ∗dxip)

=d[ϕ∗(a dxi1 ∧ · · · ∧ dxip−1)] ∧ ϕ∗dxip

ası que, por hipotesis de induccion,

d(ϕ∗w) = ϕ∗[d(a dxi1 ∧ · · · ∧ dxip−1)] ∧ ϕ∗dxip .

Ası que

d(ϕ∗w) =ϕ∗[d(a dxi1 ∧ · · · ∧ dxip−1) ∧ dxip ]=ϕ∗[d a ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxip−1 ∧ dxip ]=ϕ∗ dw.

Lo que muestra el teorema para p−forma. ♦X

Ejemplos

1. Se considera el caso particular de n = 3 y M un abierto G de R3 y sean a, b, c y f funcionesdiferenciables de G en R. Sean

(a) ω0 = f,

(b) ω1 = adx+ bdy + cdz;

(c) ω2 = ady ∧ dz + bdz ∧ dx+ cdx ∧ dy;(c) ω3 = adx ∧ dy ∧ dz,

Entonces sus respectivas diferenciales exteriores son:

(a) dω0 =∂f∂xdx+ ∂f

∂ydy + ∂f

∂zdz.

(b) dω1 =(∂c∂y

− ∂b∂z

)dy ∧ dz +

(∂a∂z

− ∂c∂x

)dz ∧ dx+

(∂b∂x

− ∂a∂y

)dx ∧ dy.

(c) dω2 =(∂a∂x

+ ∂b∂y

+ ∂c∂z

)dx ∧ dy ∧ dz

(d) dω3 = 0

2. Teniendo como referencia el ejemplo anterior, se observa que las 0−formas y las 3−formas seidentifican con funciones de G en R, y las 1−formas y las 2−formas con funciones de G en R3,es decir, con campos vectoriales.



Desde este punto de vista, la funcion de diferenciar una 0-forma equivale a asociar, a cadafuncion f : G→ R, de clase C1, el campo vectorial:

(∂f

∂x,∂f

∂y,∂f

∂z

)

que recibe el nombre de campo vectorial gradiente de f, y que se denota con

grad f ≡(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)f

De modo analogo , la operacion de diferenciar una 1−forma equivale a asociar al campo vectorial

V (x, y, z) = (a(x, y, z), b(x, y, z), c(x, y, z))

el nuevo campo vectorial

W =

(∂c

∂y− ∂b

∂z,∂a

∂z− ∂c

∂x,∂b

∂x− ∂a

∂y

)

que recibe el nombre de rotacional del campo V , y se denota por rotV, y es tal que

rotV =

∣∣∣∣∣∣

i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

a b c

∣∣∣∣∣∣

La operacion de diferenciar una 2−froma equivale a asociar el campo

V (x, y, z) = (a(x, y, z), b(x, y, z), c(x, y, z))

la funcion escalar∂a

∂x+∂b

∂y+∂c

∂z

recibe el nombre de divergencia del campo V , y se denota por div V, y

div V =

⟨( ∂∂x,∂

∂y,∂

∂z

),(a, b, c

)⟩

Se observa que si f ∈ C∞(R3), entonces

rot (grad f) = div (rot f) = 0.

3. Si V a un campo vectorial diferenciable sobre R3 y f ∈ C∞(R3) tienen sentido expresionescomo div (grad f) y rot (rotV ) y si llamamos

Lap f =∂2f

∂x2+∂2f

∂y2+∂2f

∂z2

se tiene quediv (grad f) = Lapf

yrot(rotV ) = grad (div V )− LapV.


5.6. INTEGRACION DE FORMAS 113

§ 5.6. Integracion de formas

Para iniciar, sea M una n−superficie orientable. El soporte sop f de una funcion f definida de Men un espacio vectotial es la clausura del conjunto de puntos p ∈ M para el cual f(p) 6= 0 y cuandosop f es compacto se dice que f es de soporte compacto. Como M es orientable existe una n−formadiferenciable θ que no se anula sobre M y cualquier otra n−forma w se puede escribir como w = fθ.Se toma f como una funcion continua, acotada y de soporte compacto. Para considerar la definicionde ∫

M

w

se asume que w es de soporte compacto denotado con C y que esta enteramente contenido en elimagen de ϕ(U) donde (U, ϕ), es una parametrizacion con sistema de coordenadas (x1, · · · , xn). Seaahora la expresion en coordenadas, ϕ∗(w), para w :

f(x1, · · · , xn)dx1 ∧ · · · ∧ dxn.

En este sentido, se define

(a) En el caso de M = Rn (w es una forma definida sobre un conjunto abierto U ⊆ Rn):∫

U

w =

∫

U

f dx1 · · · dxn (5.21)

donde el lado derecho es la integral multiple de Riemann en Rn.

(b) En general, sobre la superficie M∫

M

w =

∫

ϕ(U)

w =

∫

U

ϕ∗w =

∫

U

f dx1 · · · dxn, (5.22)

la integral existe por las condiciones sobre f.

Ahora se debe demostrar que la integral ası definida es buena, es decir, es independiente de laescogencia de la parametrizacion. En efecto, se toma C = sop f en la imagen de otra parametrizacion(V, ψ) con sistema de cooredenadas (y1, · · · , yn); entonces colocando

ψ∗(w) = F (y1, · · · , yn)dy1 ∧ · · · ∧ dynse tiene por definicion que

∫

M

w =

∫

ψ(V )

w =

∫

V

F (y1, · · · , yn)dy1 · · · dyn. (5.23)

Se vera que 5.22 implica 5.23. Por la ley de transformacion para las componentes de una n−formase tiene

f(x1, · · · , xn) = F (y1, · · · , yn)∂(y1, · · · , yn)∂(x1, · · · , xn)

donde ∂(y1, · · · , yn)/∂(x1, · · · , xn) es el determinante del difeomorfismo

ψ−1 ϕ :ϕ−1(W ) → ψ−1(W )

(x1, · · · , xn) → (y1, · · · , yn)



y W = ϕ(V ) ∩ ψ(V ) 6= ∅. Entonces por la regla para el cambio de variable en una integral multiplese tiene

∫

M

w =

∫

U

f(x1, · · · , xn)dx1 · · · dxn

=

∫

V

F (y1, · · · , yn)∂(y1, · · · , yn)∂(x1, · · · , xn)

∣∣∣ ∂(y1, · · · , yn)∂(x1, · · · , xn)

∣∣∣dy1 · · · dyn

Como los determinantes Jacobianos tienen el mismo signo positivo ya que a M se le ha asignado unaorientacion, se tiene que ∫

M

w =

∫

V

F (y1, · · · , yn)dy1 · · · dyn.

lo que muestra que 5.22 y 5.23 tienen el mismo valor, es decir, la definicion de integral dada nodepende del sistema de coordenadas escogido y por lo tanto se tiene una buena definicion.

5.6.1. Integracion de m−formas definidas sore varias parametrizaciones

Ahora se considera el caso general cuando C, el soporte de w, no esta contenido en una imagencoordenada de una parametrizacion de M. Se usara una particion de la unidad sobre M, que exis-te(por el apendice A de este Capıtulo), se expresa w como la suma de formas cada una con soporteenteramente contenido en un dominio coordenado de M, y entonces se define

∫

M

w

como suma de integrales de tipo 5.22.

Sea (Ui, ϕi) una estructura diferenciable para M. Como M admite particiones de la unidad (por elApendice A), se puede tomar gi una particion de la unidad subordinada al cubrimiento abierto Uide M, entonces cada punto de C tiene una vecindad que intersecta a un numero finito de soportesde los gi y estas vecindades cubren a C. Como C es compacto se puede extraer un subrecubrimientofinito y por lo tanto existe k tal que

C ∩ sop gi = ∅para todo i > k, es decir, giw = 0 para i > k; entonces

w =∑

giw (suma finita)

Como giw ⊆ ϕ(Ui) para cada i, se puede usar 5.22 para definir la integral de w sobre M por∫

M

w =∑

i

∫

ϕ(Ui)

giw (suma finita). (5.24)

Por supuesto, que se debe verificar que esta definicion no depende de la particion de la unidadescogida. Sea hj otra particion de la unidad subordinada a otro cubrimiento abierto coordenado Vjde M con funcion de coordenada ψ−1

j : Vj → Rn. Entonces de 5.24

∑

i

∫

ϕ(Ui)

giw =∑

i

∫

ϕ(Ui)

giw∑

j

hj =∑

i

∑

j

∫

ϕ(Ui)

gihjw



como gihj se anulan fuera de ϕ(Ui) ∩ ϕ(Vj) y las sumas son finitas, entonces

∑

i

∑

j

∫

ϕ(Ui)

giw =∑

j

∑

i

∫

ϕ(Ui)∩ψ(Vj)gihjw =

∑

j

∫

ψ(Vj)

hjw.

Lo que demuestra que la definicion dada por 5.24 es independiente de la particion usada.

La siguiente definicion se hace necesaria para continuar.

Definicion 5.6.1 Sean Mn1 , M

n2 superficies regulares, U1, U2 conjuntos abiertos de M1, M2 respec-

tivamente y f : U1 → U2 un difeomorfismo. Entonces se dice que f preserva orientacion si para cadan−forma w que pertenece a la clase de orientacion M2, f

∗w esta en la clase de orientacion dada enM1.

Teorema 5.6.1

(a) La integral ∫

M

w

cambia de signo cuando la orientacion de M es reversada

(b) Se tiene que ∫

M

(λ1w1 + λ2w2) = λ1

∫

M

w1 + λ2

∫

M

w2

donde λ1, λ2 ∈ R y w1w2 ∈ Λn(M).

(c) Sea f : M → N un difeomorfismo que preserva orientacion entre las superficies orientadasN, M y sea w ∈ Λ∗

k(N). Entonces ∫

M

f ∗w =

∫

N

w. (5.25)

donde f ∗ es la traspuesta (pull-back) inducida por f, aplicada a formas.

Demostracion. Por la definicion de integral solo es necesario establecer estas propiedades para for-mas cada una de las cuales con soporte compacto en una sola vecindad coordenada. (a) es inmediato,(b) se obtiene de la correspondiente propiedad de integral sobre Rn. Entonces se demostrara (c).En efecto, sea C = sopw ⊆ ϕ(U), donde (U, ϕ) es una parametrizacion sobre N con sistema decoordenadas (x1, · · · , xn) y sea la expresion en coordenadas ϕ∗w de w

F (x1, · · · , xn)dx1 ∧ · · · ∧ dxn.Entonces (f−1(U), ϕ f−1) es una parametrizacion sobre M,

sop f ∗w = f−1(C) ⊆ f−1(U)

y es compacto. Ahora sigue de la ley de transformacion de una n−forma que f ∗w y w tienen lamisma expresion en coordenadas

F (x1, · · · , xn)dx1 ∧ · · · ∧ dxn.y ası ∫

N

w =

∫

M

f ∗w =

∫

f−1(U)

F (x1, · · · , xn)dx1 ∧ · · · ∧ dxn.

♦X



5.6.2. Dominio regular y borde

El interes de esta seccion son los dominios con frontera (o borde) tales como las bolas unitarias enR3 cuya frontera es S2 o M = S1 × [0, 1] en R3 cuya frontera dos esferas S1. Un ejemplo basico es elsemiplano Hn definido por

Hn = (x1, · · · , xn) : xn ≥ 0.En la teorıa de los dominios con frontera, Hn reemplaza a Rn, y el subespacio dado por

x ∈ Hn : xn = 0

recibe el nombre de frontera de Hn.

Sea M una m−superficie y D ⊂ M. Se dice que D es un dominio regular en M si para cada p ∈ Mse da alguna de las situaciones siguientes:

(a) Existe un conjunto abierto de p que esta contenida en M −D.

(b) Existe un conjunto abierto de p que esta contenida en D.

(c) Existe una parametrizacion (U, ψ) alrededor de p tal que el sistema de coordenadas (ψ(U), ψ−1 =ϕ) satisface ϕ(U ∩D) = ϕ(U) ∩Hm.

En el caso (a), ver Figura 5.2, p ∈ ext(D), en la topologıa de M. Si se da la situacion (b), equivalea que p ∈ int(D), en la topologıa de M, y si se da (c), p ∈ ∂D, por lo que los tres son excluyentes.Ademas, cada punto de ∂D esta en la situacion (c) y para cada parametrizacion en esta situacion,los puntos t ∈ U, con tm = 0, tienen su imagen en ∂D.

p•

D

Caso (a)

p•

D

Caso (b)

Figura 5.2

U

p

ϕ(t)

•

•

ϕ

D

Hm

Caso (c)

Una concecuencia de esta consideracion es que la estructura diferenciable montada sobre M induceuna estructura de superficie regular sobre ∂D de dimension n− 1.

Sea (U, ϕ) una parametrizacion de M tal que ϕ(U) ∩ ∂D 6= ∅. Entonces U = U ∩ Hn y ϕ = ϕ|Udefine una parametrizacion sobre ∂D y el conjunto de estas parametrizaciones

A = (U, ϕ) : (U, ϕ) es una parametrizacion de M

proporciona una estructura diferenciable para ∂D. Lo que da un sistema de coordenadas localespara ∂D que se puede usar para definir funciones diferenciables, campos vectoriales tangentes ycotangentes, etc. sobre ∂D.



Teorema 5.6.2 Sea D un dominio regular con frontera en una n−superficie orientada con ∂D 6= ∅.Entonces ∂D es superficie regular orientable de dimension n− 1.

Demostracion. Sea p ∈ ∂D. Se consideran (U, ϕ) y (V, ψ) parametrizaciones (en M) alrededordel punto p con sistemas de coordenadas (x1, · · · , xn), (y1, · · · , yn) respectivamente. Como p ∈ ∂D,xn = yn = 0 en p y xn > 0, yn > 0 en puntos de D− ∂D. Ası que en todos los puntos de U ∩ ∂D sontales que (en el cambio de coordenadas),

yn(x1, · · · , xn−1, 0) = 0

y∂yn∂x1

=∂yn∂x2

= · · · = ∂yn∂xn−1

= 0

por lo tanto, la matriz jacobiana J de la transformacion de coordenadas

ψ ϕ−1 : (x1, · · · , xn) → (yn, · · · , yn)es

J =

∂y1/∂x1 · · · ∂yn−1/∂x1 0...

...∂y1/∂xn−1 · · · ∂yn−1/∂xn−1 0∂y1/∂xn · · · ∂yn−1/∂xn ∂yn/∂xn

Como J es no singular, sigue entonces que ∂yn/∂xn 6= 0. En realidad, ∂yn/∂xn > 0 en ϕ−1(q),donde q ∈ U ∩ ∂D, ya que, si ϕ−1(q) = (q1, · · · , pn−1, 0), entonces yn(q1, · · · , qn−1, t) > 0, donde testa en un intervalo suficientemente pequeno 0 < t < ε. Ahora sean (U, ϕ) y (V, φ) parametrizacionesconsecuentemente orientadas, entonces det J > 0 y como ∂yn/∂xn > 0, se concluye que

det

∂y1/∂x1 · · · ∂yn−1/∂x1...

...∂y1/∂xn−1 · · · ∂yn−1/∂xn−1

> 0

en ϕ−1(q). Como este es el determinante jacobiano para el cambio de coordenadas de (U, ϕ) a (V , ψ),donde U = U ∩ ∂D, V = V ∩ ∂D, ϕ = ϕ|U y ψ = ψ|V sobre ∂D, se tiene entonces que las cartas(U, ϕ) y (V , ψ), son consecuentemente orientadas. Por lo tanto, ∂D es orientable. ♦XLa orientacion inducida sobre ∂D se define como sigue: la base (∂/∂x1, · · · , ∂/∂xn−1) de Tx(∂D) sedice positivamente orientada si la base (∂/∂xn, ∂/∂x1, · · · , ∂/∂xn−1) es consecuentemente orientadaen la orientacion deM. Esto implica que cuando a Hn se le ha dado la orientacion estandar dx1∧· · ·∧dxn la orientacion inducida de ∂Hn es definida por la clase de equivalencia de (−1)ndx1∧· · ·∧dxn−1.El factor (−1)n ha sido introducido para eliminar un signo desagradable que aparece en el desarrollode la demostracion del Teorema Fundamental del Calculo.

5.6.3. Teorema Fundamental del Calculo

Teorema 5.6.3 Sea M una n−superfice orientada y D un dominio regular con frontera ∂D conorientacion inducida. Si w es una (n− 1)-forma diferenciable de soporte compacto, entonces

∫

∂D

ω =

∫

D

dω (5.26)



Demostracion. En efecto, si m = 1, ω es de grado cero, quedando el Teorema Fundamental delCalculo Integral en una variable.

Como ambos lados de la igualdad a establecer son lineales sobre w es suficiente, en vista de ladefinicion de integral sobre superficies, considerar el caso que w tiene soporte compacto C contenidoen la imagen de U de la parametrizacion (U, ϕ) con sistema de coordenada (x1, · · · , xn). Mas preciso,se asume que C⊂ ϕ(C) donde C es el hipercubo

C = x = (x1, · · · , xn) : 0 ≤ xi ≤ a.

Sea la expresion en coordenadas ϕ∗(w) para w

ϕ∗(ω) =n∑

j=1

(−1)j−1fj(x1, · · · , xn)dx1 ∧ · · · ∧ dxj ∧ · · · ∧ .dxn (5.27)

donde el sımbolo indica que el termino se ha omitido. Entonces por el Teorema 5.5.2

ϕ∗(dω) = d[ϕ∗(ω)] =n∑

j=i

∂fj∂xj

dx1 ∧ · · · ∧ dxn. (5.28)

Y por lo tanto,

∫

M

dω =

∫

C

( n∑

j=1

∂fj∂xj

)dx1 ∧ · · · ∧ dxn =

n∑

j=1

∫ a

0

· · ·∫ a

0

∂fj∂xj

dx1 · · · dxn,

lo que proporciona (integrando respecto a xj)

∫

M

dω =n∑

j=1

∫ a

0

· · ·∫ a

0

[fj(x1, · · · , xj−1, a, xj+1, · · · , xn)−

fj(x1, · · · , xj−1, 0, xj+1, · · · , xn)]dx1 · · · dxj · · · dxn.

(5.29)

Dos posibilidades se necesitan para estudiar (5.26):

(i) C∩∂D = ∅,

(ii) C∩∂D 6= ∅.

En el caso (i), fj = 0 cuando xj = 0, o bien xj = a (j = 1, · · · , n) y ası cada integral en la suma 5.29vale cero. con lo que ∫

D

dw = 0,

tambien, como w = 0 sobre ∂M, entonces

∫

∂D

w = 0.


5.7. EJERCICIOS 119

En el caso (ii) y como C⊂ ϕ(C) se tiene que todas las integrales del lado derecho de 5.29 valen ceroexcepto la ultima y ası

∫

D

= −∫ a

0

· · ·∫ a

0

fn(x1, · · · , xn−1, 0)dx1 · · · dxn. (5.30)

Como xn = 0 en ∂Hn entonces dxn = 0 sobre ∂Hn y por lo tanto sobre ϕ−1(∂D), esto implica que5.27 se transforme (sobre ϕ−1(∂D)) se transforme en

ϕ∗(w) = (−1)n−1fn(x1, · · · , xn)dx1 · · · dxn−1

con lo que (usando el factor de orientacion y 5.30)∫

∂D

w = (−1)n(−1)n−1

∫ a

0

· · ·∫ a

0

fn(x1, · · · , xn−1, 0)dx1 · · · dxn−1 =

∫

D

dw.

Lo que demuestra el Teorema. ♦XCorolario 5.6.3.1 Si M es una n−superficie compacta y w una (n− 1)−forma diferenciable sobreM , entonces ∫

M

dw = 0

§ 5.7. Ejercicios

1. Sea ϕ : R2 → R2 la transformacion dada por Φ(r, θ) = (x, y), es donde x = r cos θ y y = r sen θ.Encontrar Φ∗(dx ∧ dy).

2. Sea Φ : R3 → R3 la transformacion dada por Φ(r, θ, ϕ) = (x, y, z), en donde

x = r sen θ cosϕ,

y = r sen θ senϕ,

z = r cos θ.

Calcular Φ∗(dx ∧ dy ∧ dz).3. Sea M una superficie de Rn y f : Rm → M una funcion diferenciable y ωi, i = 1, 2 k−formas

sobre M. Probar

f ∗(ω1 + αω2) = f ∗ω1 + α f ∗ω2, (α ∈ R),

f ∗(ω ∧ θ) = (f ∗ω) ∧ (f ∗θ),

(f h)∗ω = h∗f ∗ω,

con ω y θ formas sobre M.

4. Sea M una 2−superficie orientada y (x, y, z) las coordenadas en R3, en el entorno de cadapunto de M se tiene una parametrizacion ϕ : Ω ⊂ R2 → R3, dada por

x = x(u, v),y = y(u, v),z = z(u, v),

con Ω conjunto abierto, ϕ diferenciable y con Dϕ(u, v) de rango dos y tal que mantiene laorientacion. Probar



a) Si dA denota el elemento de area para M, entonces

dA = n1dy ∧ dz + n2dz ∧ dx+ n3dx ∧ dy,

donde n = (n1, n2, n3) es el vector unitario normal exterior a M.

b) dA satisface

n1dA =dy ∧ dz,n2dA =dz ∧ dx,n3dA =dx ∧ dy.

c) ϕ∗(dA) satisface

ϕ∗(dAM) =

√∣∣∣∣∂y∂u

∂y∂v

∂z∂u

∂z∂v

∣∣∣∣2

+

∣∣∣∣∂z∂u

∂z∂v

∂x∂u

∂x∂v

∣∣∣∣2

+

∣∣∣∣∂x∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y∂v

∣∣∣∣2

du ∧ dv. (5.31)

d) Si la parametrizacion ϕ es de la forma ϕ : G→ R3, con

ϕ(x, y) = (x, y, f(x, y)),

con G abierto de R2, entonces,

ϕ∗(dA) =√

1 + (fx)2 + (fy)2 dx ∧ dy.

5. Determinar la derivada exterior de de las formas diferenciales dadas por

a) (x2 + y)dx+ (x+ y2 + z)dy.

b) xydx+ (x2 + y3)dz.

c) x3dy ∧ dz + ydz ∧ dx− zdx ∧ dy.d) (x4 − xyz)(dy ∧ dz + dz ∧ dx+ dx ∧ dy).

6. Calcular∫Mw, orientando previamente M, en los casos siguientes

a) M = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1w = y2dy ∧ dz − xdz ∧ dx+ ydx ∧ dy.

b) M = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1,w = y2dy ∧ dz − ydz ∧ dx+ ydx ∧ dy.

c) M = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0,w = y2dy ∧ dz − ydz ∧ dx+ ydx ∧ dy.

d) M = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 − z = 0,w = xdy ∧ dz + ydz ∧ dx− ydx ∧ dy.

e) M = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1, |z| ≤ 1,w = 2xdy ∧ dz + 3ydz ∧ dx+ z2dx ∧ dy.


5.7. EJERCICIOS 121

7. Formula de Green. Sean M = R2 con la oririentacion usual, D un un dominio regularcompacto con borde en M y ∂D con la orientacion borde. Entonces demostrar que

∫

∂D

αdx+ βdy =

∫

∂D

〈v, t〉 ds =∫ ∫

D

(∂β∂x

− ∂α

∂y

)dxdy,

donde v es el vector (α, β) y t es el vector unitario tangente y positivo a ∂D.

8. Formula de Gauss o Divergencia. Sean M = R3 con la orientacion usual, D un dominioregular compacto con borde emM y ∂D la superficie borde con la orientacion borde. Considerarn = (n1, n2, n3) el vector unitario normal exterior a ∂D y v = (a, b, c) un campo vectorial declase uno en R3. Entonces si

ω = a dy ∧ dz + b dz ∧ dx+ c dx ∧ dy,

demostrar cada una de las siguientes formulas

∫

∂D

w =

∫

D

(∂a∂x

+∂b

∂y+∂c

∂y

)dx dy dz.

∫

∂D

〈v, n〉 dA =

∫

D

(div v

)dV.

9. Formula de Stokes o Rotacional. Sean M una 2−superficie orientada contenida en R3 y Dun dominio regular emM conD compacto. Sea ∂D con la orientacion borde. Sea n = (n1, n2, n3)la normal exterior aM y t = (t1, t2, t3) el vector unitario tangente positivo a ∂D. Sea v = (a, b, c)un campo vectorial de clase uno en R3. Demostrar que si ω = a dx+ b dy + c dz, entonces

∫

∂D

ω =

∫

D

(∂c∂y

− ∂b

∂z

)dy ∧ dz +

(∂a∂z

− ∂c

∂x

)dz ∧ dx+

( ∂b∂x

− ∂a

∂y

)dx ∧ dy,

lo que equivale a ∫

∂D

ω =

∫

∂D

〈v, t〉 ds =∫

D

〈rot v, n〉 dA.

10. Sea C la curva de interseccion de la esfera x2 + y2 + z2 = a2 y el plano x+ y+ z = 0. Calcular,

∫

C

ydx+ zdy + xdz.

R. πa2√3

11. Sea C La curva de interseccion del cilindro x2 + y2 = 2y y el plano y = z. Calcular

∫

C

(y + z)dx+ (z + x)dy + (x+ y)dz

R. 0



12. Sea C la interseccion del hemisferio x2 + y2 + z2 = 2ax, z > 0 y el cilindro x2 + y2 = 2bx,donde 0 < b < a. Probar que

∫

C

(y2 + z2)dx+ (x2 + z2)dy + (x2 + y2)dz = 2πab2

13. Calcular el volumen de un elipsoide.

14. Una funcion u se dice armonica en un subconjunto abierto G de R3 si u ∈ C2(G) y en G

∆2u = uxx + uyy + uzz = 0.

Demostrar que

a) la funcion

v(x, y, z) =1

[(x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2]1/2

es armonica sobre R3 − (a, b, c).b) Si u es armonica en un abierto Ω de (a, b, c) y Sr es la esfera de centro (a, b, c) y radio r,

de tal manera que Sr ⊆ Ω, entonces

u(a, b, c) =1

4πr2

∫

Sr

u dA.

Es decir, el valor de u en el centro es igual al valor medio de los valores de u en la superficieesferica

15. Sean g : R3 → R, f : R3 → R funciones diferenciables y M3 ⊂ R3 un dominio diferenciablecompacto con frontera ∂M. Probar que (Primera identidad de Green)

∫

M

〈grad f, grad g〉 v +∫

M

f∆2g v =

∫

∂M

f 〈grad g,N〉 σ

donde v y σ son, respectivamente, el elemento volumen de M y el elemento de area de ∂M yN es el vector unitario normal de ∂M.

Sugerencia: Tomar v = f grad g en la Formula de la Divergencia.

16. Bajo las condiciones del ejercicio 15, probar la segunda identidad de Green

∫

M

(f∆2g − g∆2f) v =

∫

∂M

(f 〈grad g,N〉 − g 〈grad f,N〉)σ.


Capıtulo 6

Primera y segunda forma fundamental

§ 6.1. Primera forma cuadratica fundamental

En esta seccion se introducira la primera forma cuadratica fundamental, expresion que permitecalcular la longitud de curvass sobre superficies. Posteriormente, se analizan algunas de sus propie-dades y se caracteiza el area de una superficie en funcion de su primera forma fundamental.

Sea M una 2−superficie, se restringe el trabajo a una vecindad coordenada (U, x) de M, con lo quese puede suponer, sin perdida de generalidad, que x(U) =M. Ası que M sera la superficie x(x1, x2)con (x1, x2) ∈ U ; y se considera la curva Γ sobre M definida por la imagen bajo x de

x1 = x1(t), x2 = x2(t), t ∈ J = [a, b]

A lo largo de la curva Γ, x es una funcion de t, es decir, Γ es de la forma

x(t) = x(x1(t), x2(t)),

con t en un intervalo J.

La longitud de arco s = s(t) esta relacionado con el parametro t (t en el interior de J) por la formula

s =

∫ t

t0

‖x′(t)‖dt, a < t0 < t (6.1)

entonces

ds2 =‖x′(t)‖2 = 〈x′(t), x′(t)〉

=

⟨∂x

∂x1

dx1dt

+∂x

∂x2

dx2dt,∂x

∂x1

dx1dt

+∂x

∂x2

dx2dt

⟩

=

⟨∂

∂x1dx1 +

∂

∂x2dx2,

∂

∂x1dx1 +

∂

∂x2dx2

⟩

=

⟨∂

∂x1,∂

∂x1

⟩dx1dx1 + 2

⟨∂

∂x1,∂

∂x2

⟩dx1dx2 +

⟨∂

∂x2,∂

∂x2

⟩dx2dx2,

haciendo

E =

⟨∂

∂x1,∂

∂x1

⟩, F =

⟨∂

∂x1,∂

∂x2

⟩, G =

⟨∂

∂x2,∂

∂x2

⟩. (6.2)

123

124 CAPITULO 6. PRIMERA Y SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL

y escribiendo A2 = A · A, entonces

I = ds2 = E dx21 + 2F dx1dx2 +Gdx22 (6.3)

recibe el nombre de primera forma cuadratica fundamental.

Observaciones

1. La primera forma cuadratica fundamental se puede escribir

I = ds2 = (dx1, dx2)

(E FF G

)(dx1dx2

)

la matriz

A =

(E FF G

)

es la matrız asociada a I.

2. La primera forma cuadratica fundamental es definida positiva. En efecto, como

ds2 = (dx1 dx2)

(E FF G

)(dx1dx2

)

y como los puntos de la superficie M son regulares, se tiene

E =

⟨∂

∂x1,∂

∂x1

⟩> 0, G =

⟨∂

∂x2,∂

∂x2

⟩> 0,

entonces por la identidad de Lagrange implica que

|A| = EG− F 2 =∥∥∥ ∂

∂x1

∥∥∥2∥∥∥ ∂

∂x1

∥∥∥2

−⟨

∂

∂x1,∂

∂x1

⟩=∥∥∥ ∂

∂x1× ∂

∂x1

∥∥∥2

> 0

y el criterio de Sylvester, en Algebra Lineal, asegura que la primera forma cuadratica funda-mental es definida positiva1.

3. ds2 es invariante bajo un cambio de parametro.

Es una aplicacion de la regla de la cadena en la forma cuadratica al hacer el cambio de variable.En efecto, Sea M una superficie y x(x1, x2) un sistema de coordenadas locales. Si se realiza elcambio de parametros x1 = x1(α, β), x2 = x2(α, β), entonces la forma cuadratica fundamental

1Ver, por ejemplo, Hernandez E. Algebra y Geometrıa, Adisson-Wesley. 1994. pagina 542


6.1. PRIMERA FORMA CUADRATICA FUNDAMENTAL 125

en los parametros α, β satisface (para simplificar, por un momento, se denotara A2 = 〈A,A〉):ds2 =Edα2 + 2F dαdβ + Gdβ2

=

⟨∂x

∂αdα +

∂x

∂βdβ,

∂x

∂αdα +

∂x

∂βdβ

⟩

=

((∂x

∂x1

∂x1∂α

+∂x

∂x2

∂x2∂α

)dα +

(∂x

∂x1

∂x1∂β

+∂x

∂x2

∂x2∂β

)dβ

)2

=

(∂x

∂x1

(∂x1∂α

dα +∂x1∂β

dβ)+

∂x

∂x2

(∂x2∂α

dα +∂x2∂β

dβ))2

=( ∂x∂x1

dx1 +∂x

∂x2dx2

)2=

⟨∂x

∂x1dx1 +

∂x

∂x2dx2,

∂x

∂x1dx1 +

∂x

∂x2dx2

⟩

=E dx21 + 2F dx1dx2 +Gdx22.

Esto demuestra que ds2 es invariante bajo cambio de parametros.

4. La distancia entre p = x(u(t0), v(t0)) y q = x(u(t), v(t)) sobre la curva Γ puede expresarse enla forma siguiente:

s =

∫ t

t0

√E(dudt

)2+ 2F

du

dt

dv

dt+G

(dvdt

)2dt. (6.4)

5. SeaM una 2−superficie, se supone que la vecindad coordenada (U, ϕ) deM, es tal que ϕ(U) =M. Por lo tanto,

Area (M) =

∫∫

U

ϕ∗(dA) =

∫∫

U

√det(〈∂i, ∂j〉) du dv,

es decir,

Area (M) =

∫∫

U

√EG− F 2 du dv,

por lo tanto, el elemento de area dA, es dado por

dA =√EG− F 2 du dv (6.5)

6. El vector normal exterior a la superficie N = N(x1, x2) o funcion de Gauss esta dado por

N =xx1 × xx2|xx1 × xx2|

, (6.6)

y como

xxi =∂

∂xi= ∂i, i = 1, 2,

entonces por la identidad de Lagrange

|∂1 × ∂2| =√|∂1|2|∂2|2 − 〈∂1, ∂2〉 =

√EG− F 2,

con lo que

N =xx1 × xx2|xx1 × xx2|

=∂1 × ∂2√EG− F 2

, (6.7)

CARLOS A. JULIO-ARRIETA


6.1.1. Angulos de curvas sobre una superficie

Dadas una superficie x(x1, x2) : U ⊂ R2 → R3 y una curva Γ sobre ella, la direccion de la tangenteo direccion tangente, viene asociada a dx2

dx1o (dx1, dx2).

Sean Γ1 y Γ2 dos curvas sobre la superficie con dx2dx1

y δx2δx1

respectivamente sus direcciones tangentes,donde se ha empleado la notacion δx1, δx1 para distinguirlas de dx1, dx2; teniendo en cuenta que δtiene el mismo sentido que d.

Se supone que las curvas tienen un punto p regular comun, sea θ el angulo que forman ambas curvasen el punto p y se define el angulo que forman dos curvas como el angulo que forman dos vectoresen direccion de sus tangentes.

Por medio de E,F,G se puede expresar el angulo θ de dos direcciones tangentes a la superficie,se tiene

dx = ∂1dx1 + ∂2dx2, δx = ∂1δx1 + ∂2δx2

y

cos θ =〈dx, δx〉|dx| |δx|

=〈∂1, ∂1〉 dx1δx1 + 〈∂1, ∂2〉 (dx1δx2 + dx2δx1) + 〈∂2, ∂2〉 dx1δx2

|dx||δx|

=Edx1δx1 + F (dx1δx2 + dx2δx1) +Gdx2δx1√

Edx21 + 2Fdx1 dx2 +Gdx22√Eδx21 + 2Fδx1δx2 +Gδx22

(6.8)

Son particularmente importantes los siguientes casos de la ecuacion 6.8:

1. Para θ = π/2 se tiene la condicion de ortogonalidad de dos direcciones sobre la superficie:

Edx1δx1 + F (dx1δx2 + dx2δx1) +Gdx2δx2 = 0 (6.9)

2. El angulo θ formado por las curvas parametricas x1 =constante (por consiguiente, dx1 = 0, dx2arbitrario) y x2 =constante (esto es, δx1 arbitrario, δx2 = 0) viene dado por

cos θ =Fdx2δx1√Gdx22

√Eδx21

=F√EG

,

sen θ =√1− cos2 θ =

√EG− F 2

√EG

(6.10)

3. Las curvas parametricas en (6.10) son ortogonales si F = 0


6.1. PRIMERA FORMA CUADRATICA FUNDAMENTAL 127

6.1.2. Ejemplos

1. La esfera. Cuando se eligen como parametros la latitud θ y la longitud ϕ sus coordenadasestan dadas por las ecuaciones (ver, Figura 6.1):

x =a cos θ cosϕ

y =a cos θ senϕ, (θ, ϕ) ∈ (−π/2, π/2)× (0, 2π)

z =a sen θ.

(6.11)

x

y

z

θφ

Figura 6.1

Con lo que

∂

∂θ= (−a sen θ cosϕ,−a sen θ senϕ, a cos θ), ∂

∂ϕ= (−a cos θ senϕ,−a cos θ cosϕ, 0)

Resulta entonces que

E =

⟨∂

∂θ,∂

∂θ

⟩= a2, F =

⟨∂

∂θ,∂

∂ϕ

⟩= 0, G =

⟨∂

∂ϕ,∂

∂ϕ

⟩= a2 cos2 θ

con lo queds2 = a2 dθ2 + a2 cos2 θdϕ2. (6.12)

Por ser F = 0 se deduce que los meridianos y paralelos son ortogonales entre sı.

2. Superficie de revolucion Si se elige el eje Z como eje de revolucion de la curva x = f(v), z =g(v) en el plano y = 0 (esta curva es la meridiana de la superficie), la superficie resultante(Figura 2.7 del capıtulo 2) esta dada por las ecuaciones

x = f(v) cos u, y = f(v) senu, z = g(v) (6.13)

a < v < b y 0 < u < 2π. Las curvas v =constante son los paralelos y las u =constante, losmeridianos de la superficie. En este caso

∂1 =(−f(v) sen u, f(v) cos u, 0)∂2 =(f ′(v) cosu, f ′(v) senu, g′(v))



de donde

E = 〈∂1, ∂1〉 = f 2, F = 〈∂1∂2〉 = 0

G = 〈∂2, ∂2〉 = (f ′)2 + (g′)2;

con lo que,

I = ds2 = f 2du2 +[(f ′)2 + (g′)2

]dv2 (6.14)

§ 6.2. Segunda forma cuadratica fundamental

En esta seccion se supone una 2−superficie M y sin perdida de generalida, se supone que M lacubre una sola parametrizacion r : U →M con U abierto de R2 y

r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ U

y el vector unitario normal a M esta dado entonces por

N = N(p) =ru × rv|ru × rv|

.

La geometrıa deM depende de formas diferenciales cuadraticas de las cuales ya se ha dado la primeraque se representa con ds2. La segunda forma fundamental puede obtenerse dando sobre M una curvaΓ que pase por el punto p y tomando el vector de curvatura de Γ en p (ver, Figura 6.2).

kgp

kn k=dt

ds

Figura 6.2

Si t es el vector tangente unitario de Γ, este vector curvatura k es igual a dt/ds. Al descomponganerk en una componente kn normal y otra componente kg tangente a la superficie (Figura 6.1)

kn = knN (6.15)

donde kn es la curvatura normal. El vector kn queda determinado por C (no depende de la eleccionde sentido de t o N); pero el escalar kn depende en cuanto a su signo del sentido de N . El vector kgse denomina vector curvatura tangencial o vector curvatura geodesica.

Esta seccion se ocupa de las propiedades de kn o de kn, mientras que las de kg seran estudiadasposteriormente. En efecto,


6.2. SEGUNDA FORMA CUADRATICA FUNDAMENTAL 129

1. De la ecuacion 〈N, t〉 = 0, se obtiene por derivacion a lo largo de Γ:

⟨dt

ds,N

⟩= −

⟨t,dN

ds

⟩= −

⟨dr

ds,dN

ds

⟩, (6.16)

Por (6.15) se tiene que

kn = 〈knN,N〉 =⟨dt

ds,N

⟩= −

⟨dr

ds,dN

ds

⟩(6.17)

Como

s =

∫ s

s0

|r′(s)|ds

entonces ds2 = 〈dr, dr〉 y ası

kn = −〈dN, dr〉〈dr, dr〉 (6.18)

Se estudia en primer lugar el segundo miembro de esta ecuacion. N y r son ambos funcionesde u y v (que a su vez dependen de Γ). Utilizando las identidades

dN = Nudu+Nvdv, dr = rudu+ rvdv. (6.19)

la ecuacion (6.18) puede escribirse en la forma:

kn = −〈ru, Nu〉 du2 + [〈ru, Nv〉+ 〈rv, Nu〉]du dv + 〈rv, Nv〉 dv2E du2 + 2F du dv +G dv2

o bien

kn =e du2 + 2f du dv + g dv

E du2 + 2F du dv +G dv2(6.20)

En esta ultima ecuacion

e = −〈ru, Nu〉 , 2f = −[〈ru, Nv〉+ 〈rv, Nu〉

], g = −〈rv, Nv〉 (6.21)

son funciones de u y v, que dependen de las derivadas segundas de r respecto a u y v, difiriendoen este aspecto de E,F,G, que solo dependen de las primeras derivadas. Se puede escribir eldenominador y el numerado de la ecuacion (6.20) en la forma siguiente:

I = Ip =E du2 + 2F du dv +G dv2 = 〈dr, dr〉 ,II = IIp = e du2 + 2f du dv + g dv2 = 〈dN, dr〉 . (6.22)

Con lo que

kn =II

I.

I es la primera forma fundamental y II es la segunda forma fundamental.



2. Por ser

〈ru, N〉 = 0 y 〈rv, N〉 = 0, (6.23)

se puede tambien escribir en lugar de e, f, g:

e = 〈ruu, N〉 , f = 〈ruv, N〉 , g = 〈rvv, N〉 (6.24)

e =〈ruu, ru × rv〉√EG− F 2

=

∣∣∣∣∣∣

xuu yuu zuuxu yu zuxv yv zv

∣∣∣∣∣∣√EG− F 2

(6.25)

Analogamente

f =〈ruv, ru × rv〉√EG− F 2

, g =〈rvv, ru × rv〉√EG− F 2

(6.26)

Estas formulas (6.25) y (6.26) permiten, una vez dada las ecuaciones parametricas sobre unavecindad coordenada de la superficie, calcular inmediatamente e, f y g.

3. De la ecuacion (6.23) se deduce tambien que

〈ru, Nv〉 = 〈rv, Nu〉 ,

de forma que la ecuacion (6.21) puede escribirse en esta otra forma mas sencilla:

e = −〈ru, Nu〉 , f = −〈ru, Nv〉 = −〈rv, Nu〉 , g = −〈rv, Nv〉 (6.27)

4. Al definir la forma cuadratica Cp en TpM por

Cp(U) = −〈dN(U), dr(U)〉 , U = U1ru + U2rv ∈ TpM,

entonces las ecuacies (6.22) y (6.19) implican que IIp(U) = Cp(U), esto es,

IIp(U) = −〈dN(U), U〉 , ∀U ∈ TpM. (6.28)

De igual manera

Ip(U) = −〈U,U〉 , ∀U ∈ TpM. (6.29)

5. Volviendo ahora a la ecuacion (6.18) o a su equivalente, ecuacion (6.20), se observa que elsegundo miembro dependen solo de u, v y dv/du. Los coeficientes e, f, g, E, F,G son constantesen p, de manera que kn esta completamente determinada en p por la direccion dv/du. Todaslas curvas que pasan por p y son tangentes a la misma direccion tienen, por lo tanto, la mismacurvatura normal (si el sentido de N es el mismo para todas estas curvas). En lenguaje vectorialse puede decir (ver, Figura 6.3):



kg

kn k =dt

ds

ϕ

Figura 6.3

Todas las curvas que pasan por p tangentes a la misma direccion tienen el mismo vector cur-vatura normal.

Si por un momento se le asigna a N el sentido de kn, y a n el de dt/ds, se puede expresar elteorema anterior de la forma deducida de la ecuacion (6.17):

k cos ϕ = kn, (6.30)

donde ϕ (0 ≤ ϕ ≤ π/2) es el angulo que forman N y n (Figura 6.2). Esta ecuacion puedeescribirse en otra forma para aquellas direcciones t en las cuales kn 6= 0, y por lo tanto, k 6= 0.Dichas direcciones de denominan direcciones no asintoticas. Para las curvas con tales direccionesse puede escribir R = k−1, Rn = k−1

n . Las cantidades R y Rn son positivas en este caso; Rn

representa el radio de curvatura de una curva con tangente t y ϕ = 0. Una de tales curvases la interseccion de la superficie con el plano determinado por la tangente t y la normal a lasuperficie en p; dicha curva se llama seccion normal de la superficie en p en la direccion de Γ.La ecuacion (6.30) adopta ahora la forma

Rn cosϕ = R (6.31)

Se puede, por lo tanto, escribir el enunciado anterior en la forma: El centro de curvatura Γ1 deuna curva Γ en una direccion no asintotica de p es la proyeccion sobre la normal principal delcentro de curvatura Γ0 de la seccion normal que es tangente a Γ en p (ver, Figura 6.4).

Γ1

t

R

p

Rn

Γ0

Figura 6.4



O tambien de esta otra forma:

Si se considera el haz de planos que pasa por la tangente a una superficie en una direccionno asintotica, los cırculos osculadores de sus intersecciones con la superficie estan sobre unaesfera. Este resultado es conocido con el nombre de Teorema de Meusnier, 1785.

Los dos ultimos enunciados del teorema de Meusnier no se verifican para las direcciones en lascuales se anula la segunda forma fundamental II, puesto que en dichas direcciones, segun laecuacion kn = 0. Se tiene que no existen direcciones (reales) para las cuales se anule la primeraforma fundamental I; sin embargo, pueden existir direcciones reales en las que II sea igual acero:

e du2 + 2f du dv + g dv2 = 0 (6.32)

Esto ocurre, por ejemplo, cuando hay rectas sobre la superficie. Las direcciones que satisfacen laecuacion (6.32) se denominan direcciones asintoticas y las curvas que tienen estas direcciones sellaman curvas asintoticas. Cuando se satisface la ecuacion (6.32), las ecuaciones (6.20) y (6.30)indican que una curva no asintotica que pase por P en una direccion asintotica tiene un puntode inflexion en p.

6.2.1. Teorema de Euler

Se estudia ahora el comportamiento del vector curvatura normal cuando varıa la direccion de latangente en p. Su direccion es siempre la de la normal a la superficie, pero su longitud puede variarpara las distintas direcciones. Una vez elegido el sentido de N, el signo de kn expresa si kn tiene elsentido de N o el opuesto.

Por ser I > 0 el signo de k depende unicamente de II y hay tres casos a considerar:

1. II conserva el mismo signo cualquiera que sea la direccion. En este caso II es una forma cuadrati-ca definida, lo que se expresa por la condicion

eg − f 2 > 0

Los centros de curvatura de las secciones normales estan todos del mismo lado de la normal ala superficie; todas las secciones normales son concavas (o bien todas convexas). El punto sellama un punto elıptico de la superficie; por ejemplo, cualquier punto de un elipsoide.

2. II es un cuadrado perfecto

eg − f 2 = 0

La superficie se comporta en el punto como si este fuera un punto elıptico, excepto en unadireccion, donde kn = 0; las curvas en esta direccion tienen un punto de inflexion. El punto sellama parabolico; por ejemplo, cualquier punto de un cilindro.



3. II no conserva el mismo signo en todas las direcciones du/dv. En este caso la forma II esindefinida, lo que se expresa por la condicion

eg − f 2 < 0.

Las secciones normales son concavas si estan determinadas por planos que pasan por rectasinterioes a una region del plano tangente, y convexas en otro caso. Las regiones estan separadaspor aquellas direcciones en las que kn = 0, o direcciones asintoticas (vease ecuacion 6.32 y Figura6.5). El punto se llama hiperbolico (punto de ensilladura); por ejemplo, cualquier punto de unparaboloide hiperbolico; por ultimo el punto se dice planar, si dNp = 0.

p

k > 0

k < 0k < 0

k > 0

k = 0 k = 0

Figura 6.5

Las relaciones eg − f 2 ≤ 0 o eg − f 2 ≥ 0 no dependen de la eleccion de sistemas de coordenadassobre la superficie, ya que expresan propiedades geometricas de la misma superficie. La demostracionanalıtica resulta de la ecuacion 6.31 y de

Nu = Nu∂u

∂u+Nv

∂v

∂u, N v = Nu

∂u

∂ v+Nv

∂v

∂ v

puesto que, de acuerdo con las definiciones 6.21 y la igualdad resultante

eg − f 2 = 〈ru × rv , Nu ×Nv〉las e, f , g definidas en el nuevo sistema de coordenadas verifican la ecuacion (comparese con laEcuacion 6.32):

e g − f 2 =

(u vu v

)2

(eg − f 2)

Se considera la ecuacion de la superficie en expancion de Taylor; n = 3 (se omite el subındice 0 paralas derivadas):

r = r0 + hru+krv +1

2(h2ruu + 2hkruy + k2xyy)

+1

3!

(h∂

∂u+ k

∂

∂v

)3r(u+ θh, v + θk).

(6.33)

La distancia D de un punto q(r) de la superficie, proximo al p(r0), al plano tangente es (Figura 6.6):



N

p

q

D

·

Figura 6.6

D = 〈r − r0, N〉 =1

2[h2 〈ruu, N〉+ 2hk 〈ruv, N〉+ k2 〈rvv, N〉]

+1

3!

(h∂

∂u+ k

∂

∂v

)3〈N, r(u+ θh, v + θk)〉 ,

(6.34)

cuya parte principal es (compare con la ecuacion (6.23)):

Dp =1

2(eh2 + 2fhk + gk2) =

1

2II, (h = du, k = dv) (6.35)

donde Dp es positivo o negativo segun que Q este a uno u otro lado del plano tangente. La ecuacion(6.35) da una interpretacion geometrica de II.Si la segunda forma fundamental no se anula, es igual a 2Dp, siendo Dp la parte principal de ladistancia del punto Q(u+ du, v + dv) al plano tangente en P (u, v).Cuando eg − f 2 > 0, Dp (ası como D) conserva su signo; cuando eg − f 2 < 0, cambia de signo:La superficie, en un punto elıptico, esta por completo de un lado del plano tangente, y en un puntohiperbolico, atraviesa el plano tangente en las direccciones asintoticas.En un punto parabolico existe una direccion (asintotica), en la que el orden de contacto de la tangentecon la superficie es mayor que para las demas direcciones.En un toro de revolucion (superficie obtenidad al hacer girar uan circunferencia alrededor de uanrecta exterior de su plano) proporciona ejemplos de todos los tipos de puntos. Los puntos exteriores(obtenidos al girar BCA) son elıpticos; los interiores (BDA) son hiperbolicos; las circunferenciasengendradas por B y A son de puntos parabolicos (Figura 6.7).

C

A

B

D

Figura 6.7

Se considera ahora, aquellas direcciones para las que la curvatura normal es maxima o mınima. Porsencillez, en lo que sigue de este capıtulo, se escribe k, en lugar de kn.La curvatura normal en la direccion du/dv esta dada por:



k =e du2 + 2f du dv + g dv942

E du2 + 2F du dv +G dv2=

e+ 2fλ+ gλ2

E + 2Fλ+Gλ2= k(λ), (6.36)

siendo λ = dv/du. Los valores extremos de k pueden caracterizarse por dk/dλ = 0 :

(E + 2Fλ+Gλ2)(f + gλ)− (e+ 2fλ+ gλ2)(F +Gλ) = 0

Puesto que

E + 2Fλ+Gλ2 = (E + Fλ) + λ(F +Gλ),

e+ 2fλ+ gλ2 = (e+ fλ) + λ(f + gλ),(6.37)

se puede escribir, en este caso, la ecuacion 6.36 en la forma mas sencilla (usando propiedades deproporcion):

k =II

I=

f + gλ

F +Gλ=

e+ fλ

E + Fλ). (6.38)

Por consiguiente, k satisface las ecuaciones

(e− kE)du+ (f − kF )dv = 0, (f − kF )du+ (g − kG)dv = 0 (6.39)

La eliminacion de k da una ecuacion cuadratica en λ:

(Fg −Gf)λ2 + (Eg −Ge)λ+ (Ef − Fe) = 0 (6.40)

o bien

∣∣∣∣∣∣

dv2 −du dv du2

E F Ge f g

∣∣∣∣∣∣= 0 (6.41)

Esta ecuacion determina dos direcciones dv/du, en las que k toma un valor extremo, salvo que se anuleII, o que II y I sean proporcionales. Estas direcciones se llaman direcciones de curvatura principal,o direcciones principales. Estan determinadas por las ecuaciones (6.39), (6.40) o (6.41). Como lasraıces λ1, λ2, satisfacen la ecuacion (compre con la ecuacion (6.40)):

Gλ1λ2 + F (λ1 + λ2) + E

=1

gF −Gf[G(eF − Ef)− F (eG− Eg) + E(gF −Gf)] = 0,

(6.42)

las direcciones principales son ortogonales (comparar con la ortogonalidad en la PFCF). Tambien severifica esto en el caso de ser gF −Gf = 0, cuando, segun la ecuacion (6.40), una de las direcciones esdu = 0. Las curvaturas normales en las direcciones principales se denominan curvaturas principalesy se designan por k1 y k2.La integracion de la ecuacion (6.40) proporciona las lıneas de curvatura de la superficie, las cualesforman dos sistemas de curvas que se cortan en angulo recto; esto es, dos familias de curvas ortogona-les de la superficie. Del teorema de existencia de soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias



se deduce que estas curvas cubren la superficie una sola vez y sin lagunas en el entorno de cada puntodonde los coeficientes de las formas fundamentales I y II sean continuos, con excepticon de aque-llos puntos en que estos coeficientes son proporcionales. Dichos puntos se llaman puntos cıclicos oumbılicos, que por el momento se consideran excluidos. Se Toman ahora las lıneas de curvatura comocurvas coordenadas; en este caso las ecuaciones (6.40) y (6.41) deben satisfacerse para du = 0, dvarbitrario, y para dv = 0, du arbitrario. Por consiguiente:

gF −Gf = 0, eF − Ef = 0

En estas ecuaciones F = 0 debido a ser ortogonales las curvas coordenadas; por el contrario, ni Eni G pueden anularse (EG− F>0), y, por tanto, obtenemos que, cuando las curvas coordenadas sonlineas de curvatura

F = 0, f = 0 (6.43)

Esta condicion, ademas de ser necesaria, en virtud de la ecuacion (6.41), es tambien suficiente. Laecuacion (6.36) adopta entonces la forma:

k =e du2 + g dv2

E du2 +G dv2= e(duds

)2+ g(dvds

)2. (6.44)

Esta ultima formula puede escribirse de modo mas sencillo. Sustituyendo en la ecuacion (6.44),primero dv = 0, y a continuacion du = 0, se obtiene

k1 =e

E, k2 =

g

G, (6.45)

y si se introduce el angulo α formado por la direccion dv/du con la direccion de curvatura δv = 0,en la ecuacion de angulo entre dos curvas ortogonales, se halla

cosα =E du δu

ds√Eδu2

=√Edu

ds, senα =

√Gdv

ds. (6.46)

Despues de esto la ecuacion (6.44) puede escribirse en la forma

k = k1 cos2 α + k2 sen

2 α (6.47)

Esta relacion, que expresa la curvatura normal en una direccion arbitraria en funcion de k1, k2, seconoce como Teorema de Euler (1707-1783). Junto con la formula de Meusnier da informacioncompleta respecto a la curvatura de cualquier curva de la superficie que pase por P.

En un umbılico los coeficientes de I y II son proporcionales, de modo que la ecuacion (6.45) pro-porciona k1 = k2, lo que significa que todos los vectores curvatura normal coinciden. En un puntoumbilical la ecuacion (6.40) es una identidad. Por consiguiente, todas las direcciones que pasan porel son principales. El numero de umbılicos de una superficie es en general finito; por ejemplo, en unelipsoide hay cuatro umbılicos (reales), si los ejes son distintos. En una esfera todos los puntos sonumbılicos.



6.2.2. Ejemplos

1. Esfera. En este caso,

ds2 =a2dθ2 + a2 cos2 θdϕ2, u = ϕ, v = ϕ,

ruu =(−a cos θ cosϕ,−a cos θ senϕ,−a sen θ),ruv =(−a sen θ senϕ,−a sen θ cosϕ, 0),xvv =(−a cos θ cosϕ,−a cos θ senϕ, 0),

√EG− F 2 = a2 cos θ

e =

∣∣∣∣∣∣

−a cos θ cosϕ −a cos θ senϕ −a sen θ−a sen θ cosϕ −a sen θ senϕ a cos θ−a cos θ senϕ +a cos θ cosϕ 0

∣∣∣∣∣∣a2 cos θ

=a3 cos θ

a2 cos θ= a.

Analogamente, se obtiene

f = 0 g = −a cos2 θ

II = a(dθ2 + cos2 θ dϕ2), (6.48)

k =II

I= +

1

a.

Este es el caso, I y II son proporcionales. Todos los puntos de una esfera son umbılicos y comolas direcciones principales estan indeterminadas en todos los puntos, todas las curvas de laesfera pueden considerarse como lıneas de curvatura. El signo + de k es debido a la eleccion de

N = (− cos θ cosϕ, − cos θ senϕ, − sen θ),

que significa que N esta dirigido hacia el centro de la esfera. Este es tambien el sentido de kNvector curvatura de una seccion normal. Las lıneas asintoticas de la esfera satisfacen la ecuacion

dθ2 + cos2 θ dϕ2 = 0, (6.49)

y son, por consiguiente, curvas imaginarias; debido a ser proporcionales I y II.

2. Superficie de revolucion Se sabe que al tomar el eje Z como eje de revolucion de la curvax = ϕ(v), z = ψ(v) en el plano y = 0, la superficie resultante es una superficie de revolucion ytiene como parametrizacion la dada por las ecuaciones

r : x = ϕ(v) cos u, y = ϕ(v) senu, z = ψ(v) (6.50)



a < v < b y 0 < u < 2π. Las curvas v =constante son los paralelos y las u =constante, losmeridianos de la superficie. En este caso

∂1 =(−ϕ(v) sen u, ϕ(v) cos u, 0)∂2 =(ϕ′(v) cos u, ϕ′(v) sen u, ψ′(v))

de donde

E = ϕ2, F = 0, G = (ϕ′)2 + (ψ′)2;

con lo que,

I = ds2 = ϕ2du2 +[(ϕ′)2 + (ψ′)2

]dv2 (6.51)

El calculo de la segunda forma cuadratica fundamental es como sigue, en efecto, se supone quela curva eata parametrizada por la logitud de arco, esto es,

(ϕ′)2 + (ψ′)2 = 1,

Ası,

I = ds2 = ϕ2du2 + dv2

y

e =〈ruu, ru × rv〉√EG− F 2

=

∣∣∣∣∣∣

−ϕ sen u ϕ′ cos u −ϕ cos uϕ cos u ϕ′ sen u −ϕ sen u

0 ψ′ 0

∣∣∣∣∣∣√EG− F 2

= −ϕψ′

f = 0, g = ψ′ϕ′′ − ψ′′ϕ′.

Como F = f = 0, se concluye que los paralelos (v =constante) y los meridianos (u =constante)de la superficie de revolucion son lıneas de curvaturas de la superficie. Como

eg − f 2 = −ϕψ′(ψ′ϕ′′ − ψ′′ϕ′),

sigue que los puntos parabolicos son dados por ψ = 0 y ψ′ϕ′′ − ψ′′ϕ′ = 0.

§ 6.3. Ejercicios

Primera forma cuadratica fundamental

1. La esfera S2 admite las siguientes ecuaciones parametricas (ver Figura 6.8):

α(θ, ϕ) = (sen θ cosϕ, sen θ senϕ, cos θ), (θ, ϕ) ∈ (0, π)× (0, 2π)


6.3. EJERCICIOS 139

x

y

z

θ

φ

Figura 6.8

Demostrar que E = 1, F = 0, G = cos2 θ y por lo tanto

ds2 = dθ2 + sen2 θdϕ2.

2. Las superficies siguientes se dan en forma parametrica.

a) Paraboloide hiperbolico:

x = au cosh v, y = bu senh v, z = u2.

b) Elipsoide:x = a sen u cos v, y = b sen u sen v, z = c cos u.

c) Hiperboloide de dos hojas:

x = a senh u cos v, y = b senh u sen v, z = c cosh u.

d) Cono:x = a senh u senh v, y = b senh u sen v, z = u2.

e) Paraboloide elıptico:x = au cos v, y = bu sen v, z = u2.

Escribrir las ecuaciones de estas superficies en la forma F (x, y, z) = 0. Calcular la primeraforma cuadratica fundamental.

3. Demostrar que el paraboloide hiperbolico se puede representar tambien por las ecuaciones

x = a(u+ v), y = b(u− v), z = uv,

4. Calcular ds2 para la superficie x = u, y = v, z = uv.

5. Dada una superficie por la ecuacion z = f(x, y).



a) Hallar la primera forma cuadratica fundamental y el campo vectorial unitario normalexterior a la superficie N.

b) Demostrar que el elemento de area de la superficie cuya ecuacion de z = f(x, y) es dA =√1 + p2 + q2dxdy, donde p = ∂z/∂x, q = ∂z/∂y.

6. Calcular la primera forma cuadratica fundamental

a) Toro de revolucion,

b) RP2,

c) RP3,

d) Botella de Klein,

e) T 2 = S1 × S1.

7. Calcular el area de

a) Toro de revolucion,

b) T 2 = S1 × S1.

8. Demostrar que las trayectorias ortogonales de la familia de curvas dada por

M du+N dv = 0

son las determinadas por

(EN − FM)du+ (FN −GM)dv = 0,

y utilızar esta formula para hallar las trayectorias ortogonales de las circunferencias r = a cos θdel plano, para todos los valores de a (utilıcense coordenadas polares).

9. Calcular el angulo que forman las curvas dadas por la expresion diferencial

v2du2 − u2dv2 = 0

sobre la superficie de ecuaciones

x = u+ v, y = u− v, z = uv,

para −∞ < u <∞, −∞ < v <∞ en el punto (2, 0, 1).

10. Hallar la primera forma cuadratica fundamental para la superficie M de ecuacion implıcitaF (x, y, z) = 0, en la que se supone que todos sus puntos son regulares.

Segunda forma cuadratica fundamental

11. ¿Cual es la segunda forma cuadratica fundamental cuando la superficie esta dada por la ecuacionz = f(x, y)?


6.3. EJERCICIOS 141

12. ¿Cual es el significado geometrico de la integral general de cada una de las ecuaciones enderivadas parciales

a) xp+ yq = 0,

b) yp− xq = 0?

13. Hallar la ecuacion de las lıneas de curvatura en el caso de que la ecuacion de la superficie seaz = f(x, y).

14. Probar que en un punto de una superficie, la suma de las curvaturas normales, segun dosdirecciones ortogonales, es constante.

15. Calcular los radios de curvatura principal en un punto de la superficie de revolucion

′x = u cos v, y = u sen v, z = f(u)

e interpretar geometricamente la solucion.

16. Probar que las lıneas asintoticas de la superficie

z =x2

a4− y4

b4

son las curvas de interseccion con las dos familias de cilindros

x2

a2+y2

b2= constante,

x2

a2− y2

b2= constante.

17. Hallar los puntos umbilicales del elipsoide y demostrar que los planos tangentes en dichos puntosson paralelos a las secciones cıclicas de aquel (es decir, a los planos que cortan al elipsoide encircunferencias).

18. Demostrar que las direcciones asintoticas de una superficie, definida por F (x, y, z) = 0, estandadas por

dx dFx + dy dFy + dz dFz = 0, Fx dx+ Fy dy + Fz dz = 0.

19. Demostrar que las direcciones de curvatura de la superficie del ejercicio anterior estan dadaspor

∣∣∣∣∣∣

Fx dFx dxFy dFy dyFz dFz dz

∣∣∣∣∣∣= 0, Fxdx+ Fydy + Fzdz = 0




Apendice A

Particiones de la unidad

§ A.1. Particiones diferenciables de la unidad

En el estudio de diversos temas del analisis global y la geometrıa, es de particular utilidad latacnica de las particiones de la unidad, ya que reduce tal estudio a uno local.

Antes de entrar en materia se recuerda

(a) Si A y B son subconjuntos no vacıos de Rn entonces la distancia entre A y B esta dada por

d(A,B) = ınf|x− y| : ∀x ∈ A, ∀y ∈ B.

En particular, si x ∈ Rn, entonces la distancia de x a B esta dada por

d(x,B) = ınf|x− y| : ∀y ∈ B.

(b) Sea r > 0 y x ∈ Rn. Si la bola abierta de centro x y radio r, B(x, r), es tal que B(r, x) ⊂ Upara algun abierto U de Rn, entonces d(x, U c) > r.

En efecto, claramenta d(x, U c) ≥ r. Si d(x, U c) = r, la definicion ınf muestra que exsiste unasucesion yn ⊂ U c tal que |x− yn| → r, entonces yn esta acotada. Por lo tanto, existe unasubsucesion ynk

de yn que converge y ∈ Rn; como U c es cerrado y ∈ U c, y entonces por

hipotesis y 6∈ B(x, r). Por otro lado,

|x− y| ≤ |x− ynk|+ |ynk

− y|, ∀k

y tomando lımite cuando k → ∞, se tiene que |x − y| ≤ r. Esto demuestra que y ∈ B(x, r),que es una contradiccion.

Lema A.1.1 Dados r, q ∈ R tal que 0 < r < q, entonces existe una funcion diferenciable ϕ : Rn → R

con las siguientes propiedades: para cada x0 ∈ Rn,

(a) ϕ(x) = 1, si x ∈ B(x0, r)

(b) 0 < ϕ(x) ≤ 1, si x ∈ B(x0, q)

143

144 APENDICE A. PARTICIONES DE LA UNIDAD

(c) ϕ(x) = 0, si x 6∈ B(x0, q) (y por lo tanto, ϕ(x) = 0 en el exterior de B(x0, q) )

Demostracion. Se desea construir en Rn una funcion real que, para el caso de R2, se comportecomo la Figura A.1.

1

qr

Figura A.1

para empezar, sean r, q ∈ R con 0 < r < q y se considera la funcion α : R → R, (ver, Figura A.2)dada por

α(t) =

e−

1(t+r)(t+q) , si t ∈ (−q,−r)

0 , si t /∈ (−q,−r)

−q −r 0

Figura A.2

La funcion α es una simple modificacion de la funcion bien conocida e−1/x2 y el hecho importantees que α es C∞ en todos sus puntos (en los puntos −q y −r las derivadas de todos los ordenes sonnulas).

Si se toma ahora la integral (ver, Figura A.3),∫ t

−∞α(s)ds = γ(t)

1

−q −r 0

Figura A.3


A.1. PARTICIONES DIFERENCIABLES DE LA UNIDAD 145

se observa que la funcion γ es diferenciable cuyo valor maximo (en el punto −r) esta dado por

∫ −r

−qα(s)ds = A

Por lo tanto, haciendo

β(t) =γ(t)

A,

Se obtiene una funcion diferenciable β : R → R tal que:

β(t) = 0, si t ≤ −q,0 ≤ β(t) ≤ 1, si t ∈ [−q,−r],β(t) = 1, si t ≥ −r

La funcion pedida ϕ : Rn → R sera finalmente obtenida, haciendo ϕ(x) = β(−|x− x0|), x ∈ Rn. ♦X

Teorema A.1.1 Sea X un subconjunto de Rn y Aα un recubrimiento abierto de X. Entoncesexiste una coleccion Φ de funciones reales ϕ de clase C∞ definidas sobre un conjunto abierto quecontiene a X, con las siguientes propiedades:

(a) Para cada x ∈ X, se tiene 0 ≤ ϕ(x) ≤ 1.

(b) Para cada x ∈ X existe un conjunto abierto V de Rn, con x ∈ V tal que todas las funciones deΦ, excepto un numero finito, se anulan en V.

(c) Para cada x ∈ X, ∑

ϕ∈Φφ(x) = 1

(d) Para cada ϕ ∈ Φ existe α tal que sopϕ ⊂ Aα. Donde

sopϕ = x ∈ Rn : ϕ(x) 6= 0

En virtud de (b) para cada x, la suma en (c) es finita en un conjunto abierto que contiene a x.

(Una coleccion Phi que satisfaga las condiciones (a), (b) y (c) se denomina una bf particion de launidad para X por funciones de clase C∞. Si Φ satisface tambien (d) se dice que la coleccion defunciones Ψ es una particion de la unidad para X subordinada al cubrimiento abierto Aα de X.

Demostracion. SeanA =

⋃Aα

y x1, · · · , xm, · · · , xm, · · · una ordenacion de los puntos de A con coordenadas racionales. Paracada xi existe α tal que xi ∈ Aα y por lo tanto, exsite δxi = δi con B(xi, δi) ⊂ B(xi, 2δi) ⊂ Aα. Seanψi, i = 1, 2, · · · ,m, · · · , la funcion dada por el Lema A.1.1 y asociada con B(xi, 2δi), esto es,

(a) ψi(x) = 1, si x ∈ B(xi, δi)



(b) 0 < ψi(x) ≤ 1, si x ∈ B(xi, 2δi)

(c) ψi(x) = 0, si x 6∈ B(xi, 2δi),

se define entonces

ϕ1 = ψ1

ϕ2 = (1− ψ1)ψ2

...

ϕi+1 = (1− ψ1)(1− ψ2) · · · (1− ψi)ψi+1

...

(A.1)

Por otro lado,

ϕ1 = ψ1 = 1− (1− ψ1)

ϕ1 + ϕ2 = 1− (1− ψ1) + (1− ψ1)ψ2 = 1− (1− ψ1)(1− ψ2)

...

ϕ1 + · · ·+ ϕi+1 = 1− (1− ψ1)(1− ψ2) · · · (1− ψi)(1− ψi+1)

...

(A.2)

La familia ϕ1, · · · , ϕm, · · · cumple con las condiciones pedidas. En efecto, (a) es evidente por laconstruccion de ψi y la definicion de ϕi.

Ahora se supone que x ∈ X, entonces existe j, tal que x ∈ B(xj, δj) y para este ındice ψi(y) = 1 paratodo y ∈ B(xj, δj). Luego, si m > j, las ecuaciones proporcionadas en A.1 implican que ϕm(y) = 0,lo que muestra (b). Tambien, por las ecuaciones dadas en A.2, se tiene entonces que

∞∑

i=1

ϕi(y) =

j∑

i=1

ϕi(y) = 1.

Lo que demuestra (c). Para ver (d) basta tener en cuenta que

sopϕi ⊂ B(xi, δi) ⊂ Aα

para algun α. ♦X

Otra demostracion del Teorema A.1.1

Demostracion. Cada Aα se puede escribir como X ∩ Wα par algun conjunto abierto Wα en Rn.Sea W =

⋃αWα y sea Kj cualquier sucesion encajada de subconjuntos compactos que agoten al

conjunto abierto W, esto es,

⋃Kj = W y Kj ⊆ int (Kj+1)


A.1. PARTICIONES DIFERENCIABLES DE LA UNIDAD 147

La coleccion de todas las bolas abiertas de Rn cuya clausura esta en al menos un Aα es un cubrimientoabierto de W. Se selecciona un numero finito de tales bolas que cubren a K2. Por el Lema A.1.1, acada bola seleccionada se le puede encontrar una funcion diferenciable no negativa sobre Rn que esidenticamente uno sobre esa bola y cero en el exterior de un conjunto cerrado contenido en uno delos Wα. Se denotan estas funciones con η1, η2 · · · , ηr (ver, Figura A.4).

Kj−2

Kj − int (Kj−1)

W

Figura A.4

Se continua construyendo una sucesion de funciones inductivamente. Para j ≥ 3, el conjunto com-pacto Kj − int (Kj−1) esta contenido en el conjunto abierto W −Kj−2.

La coleccion de todas las bolas abiertas suficientemente pequenas que tienen su clausura contenidaen W −Kj−2 y en algun Wα forman un cubrimiento abierto de Kj − int (Kj−1). Por la compacidad,se extrae un subcubrimiento finito y entonces se adiciona a la sucesion ηi una funcion por cadabola; la funcion es igual a uno sobre la bola y cero en el exterior de un conjunto cerrado contenidoen W −Kj−2 y en algun Wα.

Por construccion, para cada j solo un numero finito de funciones ηi son diferentes de cero sobre Kj.Por lo tanto, cualquier punto de W esta en el interior de algun Kj y entonces la suma

∞∑

j+1

ηj

es realmente finita en un conjunto abierto de cualquier punto de W. Ademas, almenos un termino esdiferente de cero en cualquier punto de W y por lo tanto,

ηi∑∞j=1 ηj

es una funcion diferenciable bien definida. Si θi es la restrccion de esta funcion a X, entonces lafamilia de funciones θi es la buscada y el Teorema queda demostrado. ♦X




Bibliografıa

[1] Do Carmo, M., Differential Geometry of Curves and Superfaces. Printece - Hall, New Jersy.1976. Es un libro practicamente clasico, basico y presenta de manera adecuada los temas degeometrıa diferencial en superficies inmersas en R3, hace un buen aprovechamiento de la geo-metrıa intrinsica de las superficies bi-dimensional, ademas deja claro el problema local y globalde las superficies; como temas importantes para entrar a estudiar, con bases solidas, el area dela Geometrıa Diferencial. Este libro esta escrito en 503 paginas y consta de 5 capıtulosbasicos que, naturalmente, deberian ser estudiados en un primer curso introductorio.

[2] Do Carmo, M., Geometrıa Riemanniana. 2a Edicao.Rio de Janeiro. Brasil. 1988. Este libro, de299 paginas relativamente casico, presenta los temas introductorios y basicos de la GeometrıaRiemanniana, es muy ameno en su lectura, pero de cuidado. La Geometrıa Riemanniana esbuena parte del nucleo basico para estudio de la Geometrıa diferencial, es comparable con elAnalisis Funcional en el estudio del Analisis Matematico Teorico y Aplicado.

[3] Fomenko, A. T., Symplectic Geometry. Moscuw. 1998. Es un libro de 387 paginas empieza elestudio de la Geometrıa Simplectica desde los espacios vectoriales reales de dimension par conproductos interiores simplecticos y entra suavemente en el estudio de la Geometrıa Simplecticade Variedades Diferenciables tocando posteriormente los sistemas Hamiltonianos y los meto-dos efectivos de construccion de sistemas completamente integrables entre otros. El autor haceagradable el estudio de la Geometrıa Simplectica y la muestra como una area importante de laMatematica.

[4] Frankel, T., The Geometry of Physics. Cambrige University. 2001. Este libro de 666 paginas,muy interesante para profesionales que desean usar los Metodos de la Geometrıa Diferencialcomo herramienta para modelar los problemas de la Fısica Teorica, en particular, hace un granefuerzo para presentar, de manera adecuada, la combinacion entre el Analisis Matematico, laGeometrıa y la Fısica. Una lectura de este libro serıa muy provechosa si de antemano se estudia[1].

[5] Gallot-Hullin-Lafontaine, Riemannian Geometry. 2a ed., Springer. 1990. Este libro de 284pagina de un buen nivel introductorio basico de la Geometrıa Riemanniana y Analisis Geometri-co, tiene como base previa el estudio de los Fundamentos de Variedades Diferenciables y Gruposde Lie, por ejemplo [8].

149

150 BIBLIOGRAFIA

[6] O’Neill, B., Semi-Riemannianan Geometry: Aplication to Relativity. University of California.Los Angeles California. Academic Press. 1983. 468 paginas. Excelente libro de Geometrıa Semi-Riemanniana con aplicaciones especiales a la Teorıa de la Relatividad y a la Cosmologıa.

[7] Spivak, M., A comprehensive Introduction to Differential Geometry. Publish or Perish.1990. Es una interesante recopilacion, 2.785 paginas en 5 volumenes, de estudios en GeometrıaDiferencial. Todo estudiante de Geometrıa Diferencial ha consultado muchas veces estos cincovolumenes.

[8] Warner F. W., Fundations of Differentiable Manifolds and Lie Grupos. Springer. 1983. Unexcelente libro de 274 paginas, muy importante en el area de la Geometrıa Diferencial, con-tiene de manera muy adecuada y simplificada los temas de Calculo en Variedades necesariospara estudiar y entender comodamente Geometrıa Diferencial y en particular para abordar lasareas de Geometrıa Semi-Riemanniana, Riemanniana, Sub-Riemanniana, Analisis Geometricoy Simplectica entre otras lıneas especıfica de la Geometrıa Diferencial.


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superficies regulares

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angulos de curvas

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curvas regulares131

superficies obtenidas