Kursguide MaB Navet

Innehåll Välkommen till studier Matematik kurs B..............................4

Studietips.................................................................................5

Kursens uppläggning och mål.................................................8

Examination ............................................................................8

Kursmaterial............................................................................9

Webbtips ...............................................................................10

Litteraturtips..........................................................................10

Övrigt om kursen ..................................................................11

Problemlösning .....................................................................12

Studieenhet Sannolikhetslära ................................................14

Studieenhet Linjära modeller ................................................17

Studieenhet Icke-linjära modeller .........................................22

Studieenhet Geometri............................................................25

Studieenhet Statistik..............................................................28

Kursguide Matematik kurs B

4©Nationellt centrum för flexibelt lärande / Kursguide MaB, 030731

Välkommen till studier i Matematik kurs B

Matematik kurs B är ett karaktärsämne inom gymnasieskolan och förutsätter matematikkunskaper från grundskolan och gym-nasiets A-kurs. För dig som inte varit kontakt med gymnasiema-tematiken på ett tag rekommenderar vi att du försöker repetera lite innan du sätter igång med kursen. Låna gärna någon lärobok på biblioteket. Matematik är roligt och tränar logiskt tänkande som man har nytta av inom vardagsliv och yrkesliv. Alla kan lära sig bli bra i matematik men det kräver förstås en del arbete och det finns inga genvägar. Matematik kräver tid för arbete och matematik kräver tid för eftertanke. Arbeta metodiskt, noggrant och mål-medvetet, det lönar sig. Du utvecklas som tänkande människa och om du tänker studera mer matematik lönar det sig än mer. Lycka till önskar matematiklärarna på Nationellt centrum för flexibelt lärande



Studietips Innan du börjar titta på närmare på kursen vill vi att du läser om och reflekterar runt studieteknik, lärande och räknande. Om man läser helt eller delvis på distans är det extra viktigt att man har en studieteknik som fungerar. Därför vill vi poängtera några sa-ker. Din tid är viktig, det gäller att vara "ekonomisk" med tiden och utnyttja den på bästa sätt. Just nu kan det kännas att vägen till kursens slut är lång men du kan göra mycket för att underlätta ditt arbete för att nå dit. Ja, du anar säkert vart vi vill komma? Just det. Man kan planera.

Allmänna tips Skaffa en översikt. Gå igenom läroboken och annat som be-hövs i de olika momenten i denna kurs. Titta i innehållsförteck-ningen. Bläddra igenom några kapitel för att se hur de är upp-byggda. Läs skolverkets kursmål och betygskriterier. Formulera målet med dina studier. Varför vill du lära dig detta? Försök att motivera dig själv på så många olika sätt som möjligt.

Reflektera över dina egna strategier för att lära dig detta ämne. Förlita dig på dina egna resurser och det du faktiskt redan kan! Vilket sätt att lära dig föredrar du till exempel? Lär du dig främst genom att se? Kanske genom att höra eller göra? Eller möjligen kombinationer av dessa? Det kanske t o m är olika för olika ämnesområden. Gör en plan. Lägg upp det hela som ett veckoschema, där du har speciella, fasta tider olika dagar i veckan då du studerar, ing-enting annat. Dina studier måste nämligen få ta tid. Det är en sysselsättning att studera, precis som att jobba. Om man exem-pelvis vill bli en duktig simmare, så måste man naturligtvis trä-na. Det gäller samma sak när man studerar. Försök också att planera när du kan vara ledig. Om man inte har någon studieplan är det lätt hänt att man blir så fixerad vid att plugga att man alltid har det över sig som ett då-ligt samvete. Till sist har man knappt någon fritid och studierna fungera inte heller. Man är mycket aktivare om man tar ett par timmar i taget. Sedan kan man känna att man gjort sitt och kan syssla med något annat.



Dela in ditt mål i konkreta delmål. Bestäm dig till exempel för att du tills på fredag ska ha gjort två delkapitel i boken. Belöna dig själv när du nått ett delmål. Film, en bra bok, umgås med vänner, ett varmt bad, en fisketur? Använd gärna tankekarta. Rita in bilder och egna associationer. Använd olika färger. Allt som underlättar för minnet är bra. Ori-ginella associationer är speciellt effektiva. Använd helst stolpar, tänk dig att du ska göra sammanfattande rubriker på det du läser. Skapa en god studiemiljö. En bra studieplats är trivsam och hjälper dig att vara effektiv. När du väljer plats för dina studier är det bra om

• du kan stänga dörren om dig och vara ifred och koncent-rera dig,

• du har plats för och ordning på dina böcker, miniräknare, formelsamling med mera, så att du inte behöver ödsla tid på att leta saker,

• du har bra belysning så att du inte blir så trött i ögonen en bra stol och ett lagom högt bord,

• du inreder så att det känns inbjudande att gå dit.

Var positiv. Gläd dig åt det du faktiskt gjort.

Repetera! Vad var det du övade nyss? Sitter dina nyvunna kun-skaper från förra veckan kvar?

Försök att hitta någon som du kan studera tillsammans med och bolla idéer och tankar med.



Matematiktips Rita och skriv upp det du känner (vet) i uppgiften på ett papper så klarnar ofta bilden av vad du skall räkna ut. Stryk under dina delresultat och ditt slutresultat. Redovisa till sist svaret separat. På proven bedömer vi inte bara svaren utan också hur figurer ri-tas, hur du tänker, motiverar och räknar uppgifterna.

När du löser problem - använd dig av dina förkunskaper för att förstå sammanhanget. Gör upp en plan för hur du skall lösa pro-blemet. Följ din plan. Kontrollera att din lösning verkar rimlig. Är den inte det börjar du om med en ny plan.

Bli vän med din miniräknare. Att sitta på ett prov med en räkna-re som man inte är van att använda kan ge dig oväntade pro-blem.

Nya kunskaper innebär ofta nya sätt att tänka. Träna därför främst förståelse, inte en massa "lösryckta regler". Våga testa dina kunskaper genom att delta i diskussioner. Försök att hitta tillämpningar av dina nya kunskaper i ditt vardagsliv.

Att lära sig nya saker är att glänta på porten till en ny kultur! Var nyfiken, ta del av det nya och släng eventuella fördomar om matematik

Traggla inte i timtal om du kör fast på någon uppgift. Lägg bort den ett tag och gör en annan uppgift i stället. Gå till den besvär-liga uppgiften vid ett senare tillfälle. Till sist: Gör små pauser eftersom för långa pass gör dig trött. Ät och drick gärna lite mellan varven; hjärnan arbetar när du tänker. En tur i motionsspåret, en promenad eller annan fysisk aktivitet är också bra avbrott. Kroppen behöver röra på sig och det du läst, skrivit eller räknat faller på plats under tiden.



Kursens uppläggning och mål Kursen består av 5 studieenheter. Två av dessa avslutas med diagnostiska test och tre avslutas med studiearbeten. Studiearbe-tena är obligatoriska och skall skickas till din lärare för bedöm-ning och kommentarer. De är till för din individuella handled-ning i kursen och är inte betygsgrundande.

Examination I kursen ingår ett eller flera skriftliga och eller muntliga prov. Din lärare talar om för dig vad som gäller för just dig.

Tips inför ett prov Börja repetera i god tid. Du har väl tid avsatt för repetition i din studieplanering? Räkna igenom uppgifter du hoppat över tidiga-re. Träna gärna på några gamla prov. När du går till ett prov tar

Studieenhet Handlar om Att göra

Sannolikhetslära Enkla slumpförsök, försök med flera föremål, flerstegs-försök och komplement-händelse

Diagnostiskt test

Linjära modeller

Räta linjens ekvation, ekvationssystem och linjära olikheter

Studiearbetet Sannolikheter och linjära modeller

Icke-linjära modeller

Andragradsfunktioner, andragradsekvationer och icke-linjära olikheter

Studiearbetet Icke-linjära modeller

Geometri Vinklar, yttervinkelsatsen och randvinkelsatsen, likformighet, transversalsat-sen, Pythagoras sats och koordinatgeometri

Diagnostiskt test Anmäl dig till examinationen

Statistik Lägesmått, spridningsmått och statistiska undersök-ningar

Studiearbetet Geometri och stati-stik



du med giltig legitimation, pennor, suddgummi, miniräknare och linjal. Om det är ett skriftligt prov skall du

1. Fylla i personuppgifterna och läsa instruktionerna på för-sättsbladet.

2. Läsa igenom alla uppgifter noga så du vet vad provet in-nehåller och kan disponera tiden väl.

3. Först lösa de uppgifter du tycker är lättast, sedan de ”svårare” uppgifterna.

4. Kontrollera dina lösningar och renskriv dem ifall det be-hövs. Märka alla papper du lämnar in med namn, per-sonnummer och kurs.

Ta gärna med dig lite att äta och dricka till provet. Hjärnan gör av med mycket energi vid tankearbete, detta är ett till-fälle då choklad och godis faktiskt är relativt ”nyttigt” att äta. Kursmaterial Läromedel Matematik 3000 Kurs B för Komvux från Natur och Kultur (ISBN 91-27-51026-3) är en bok vi rekommenderar. I den finns studietips för matematik, en studiehandledning, lösningsförslag till många av bokens uppgifter och i flera fall även ledtrådar till hur man skall komma igång med uppgifterna. Där finns även flera tester där man själv kan prova hur bra man har förstått oli-ka avsnitt. Till denna bok har Nationellt centrum för flexibelt lä-rande utarbetat kompletterande lösningsförslag som finns på kursens webbsidor. Hör efter med din lärare vilken bok han eller hon rekommenderar. Grafritande räknare Du behöver en grafritande räknare av någon sort, till exempel Casio fx-9750G. Köp inte någon "värsting", om du bara tänker läsa mer matematik än kurs B, ftsik eller kemi. Du kan också ha nytta av gratisdataprogrammet Graphmatica. I slutet av denna kursguide finns en bilaga med ett litet instruktionsblad till detta program. Kalkylprogram Något kalkylprogram, t ex Excel, är nödvändigt när du skall göra diagram i den statistik som ingår i kursen. Det kan använ-



das även vid grafisk lösning av matematiska problem. Graphma-tica är dock bättre till sådant. Graphmatica laddar du med fördel hem från kursens webbsidor. Formelsamling Det formelblad som används på det nationella provet i Matema-tik kurs ABC räcker bra. På provet kommer du att få en likadan eller snarlik. Övrigt Du behöver även linjal, gradskiva och passare samt naturligtvis papper och penna. Webbtips Inför Matematik kurs A: www.ur.se/ura/matematik.htm (bra repetition för alla!)

Fråga Lund om matematik: www.maths.lth.se/query/

Nationella prov i matematik: www.umu.se/edmeas/np/information/np-tidigare-prov.html

Gamla högskoleprov: www.umu.se/edmeas/hprov/

Litteraturtips Ibland kan det vara en fördel att se saker förklarade på andra sätt eller mer ingående. Nedan följer några tips på böcker att låna och läsa. Läromedel

• Räkna med Vux Kurs B, Danielsson m fl, Gleerups För-lag.

Formelsamling • .Tabeller och formler, Ekbom, L., Lillieborg, S. och

Bergström, L., Liber AB, Böcker om matematik och matematiker Matematikhistoria ingår i kursmålen.

• Matematikens kulturhistoria, John McLeish, Forum • Människorna bakom matematiken, Jan Unenge, Student-

litteratur • Om mått och män, Sten von Friesen, Bra Böcker • Liten guide för matematiska problemlösare, Bengt Ulin,

Natur och Kultur



• Matematik med kalkylprogram, D. Sjöstrand och P. Me-lander, YD Science&Arts

• Matematiska nedslag i historien, Stig Olsson, Ekelunds Förlag AB

• Matematiska nedslag i talens värld, Stig Olsson, Eke-lunds Förlag AB

Att känna till något om hur dagens matematiska kunskap växt fram i olika kulturer och veta lite om de människor som bidragit till detta är dessutom både intressant och allmänbildande. Låna gärna böcker på biblioteket eller stöd en lokal bokhandel ifall du vill köpa böcker. Om de inte har bo-ken hemma kan de beställa hem den. Du kan även be-ställa själv direkt från förlag. Prova gärna prisjämförel-setjänsten på www.bokfynd.nu. Nätbokhandel Akademibokhandeln www.akademibokhandeln.se Internetbokhandeln 08-618 32 60,

www.internetbokhandeln.se Förlag

Ekelunds Förlag AB 08-82 13 20, www.ekelunds.se Forum 08 - 696 83 68, www.forum.se Gleerups AB 040-20 98 00, www.gleerups.se Natur och Kultur 08-453 86 00, www.nok.se Studentlitteratur 046-31 20 00, www.studentlitteratur.se Övrigt om kursen Din lärare Din lärare är en av de viktigaste personerna för dina studier. Du är alltid välkommen att kontakta med din lärare. Det gäller både om du vill ha hjälp med enstaka uppgifter eller om det är större avsnitt som känns svåra. Telefonnummer och epost-adress finns på välkomstbrevet från din lärare. Är din lärare inte tillgänglig och hjälpbehovet är stort kan du ringa till dagtid och be att få prata med en annan lärare. Studievägledning och studiestödsinformation Har du funderingar kring studietakt, studieupplägg med mera tar du kontakt med en studievägledare.



Problemlösning Att bli bra i matematik handlar mycket om att ha en bra tanke-teknik. Därför är det bra att börja med några tips om hur man angriper ett matematiskt problem. Om du har boken Matematik 3000 kurs A kan du läsa de första sidorna i kapitel 5.6 som handlar om problemlösning och studera exemplen där.

1. Förstå problemet. Vad söker man? Vad är givet? Verkar problemet rimligt? Rita en figur om det går. Inför lämpliga beteckningar.

2. Gör upp en plan. Har du sett detta tidigare? Har du sett eller löst något liknande förut? Kan du dela in i delproblem? Kan du lösa eventuella delproblem? Vilka fakta saknas? Var får du tag på fakta som saknas?

3. Genomför planen. Kontrollera varje steg. Fungerar det inte gör du upp en ny plan.

4. Se tillbaka. Glöm inte detta steg! Är resultatet rimligt? Kan man lösa problemet på ett an-nat sätt? Är resultatet eller metoden användbar i andra sammanhang?

Ovanstående tips är användbara inom fler ämnesområden än matematik. Läs dem noga och fundera på hur du själv brukar göra när du löser problem.



Studieenheter På de följande sidorna presenteras kursen studieenheter lite mer ingående. Öva du så mycket du behöver på motsvarande avsnitt i läroboken, Därefter gör du det studiearbete som hör till och skickar det till din lärare. Följ de anvisningar som finns på för-sättsbladet på studiearbetet. Ett tips är att jobba med studiearbetet som om det är ett prov: lägg undan läroboken, ta fram formelsamling, papper, penna, miniräknare med mera och lös uppgifterna. Du be-höver inte ha rätt på alla uppgifter för att skicka in studie-arbetet men du bör ha försökt lösa dem. Du kommer väl ihåg detta? Gällande siffror: Med hur många siffrors noggrannhet kan man ange ett svar egentligen? Det beror på hur många siffrors noggrannhet man har i talen man arbetar med. Till vardags arbetar vi ofta med närmevärden, inte med exakta tal. De tumregler som gäller är: Addition och subtrak-tion:

Lika många decimaler i svaret som termen med minst antal decimaler. EX 1,02 14,4431 15,4631 15,46+ = ≈

Multiplikation och division:

Lika många gällande siffror i svaret som i talet med det minst antal gällan-de siffror EX 4, 2 13,63 57,246 57⋅ = ≈

Ha med så många siffror som möjligt i dina beräkningar. Av-runda till ett lämpligt antal gällande siffror i svaret. Hur vet man hur många gällande siffror det är i ett tal? Närmevärde Gällande siffror Kommentar 23,6 3 Alla siffror gäller 3,0034 5 Nollor inuti gäller 0,0095 2 Nollor i början gäller ej 0,04500 4 Decimalnollor i slutet gäller



Studieenhet Sannolikhetslära Denna studieenhet handlar om enkla sannolikheter, försök med flera föremål, flerstegsförsök och komplementhändelser. På kur-sens webbplats finns en förtest som du kan göra innan du börjar lösa uppgifterna i boken, några interaktiva övningar att jobba med allt eftersom du arbetar dig framåt i avsnittet och ett dia-gnostiskt test att göra innan du börjar med nästa avsnitt. Mål för avsnittet:

• Kunna beräkna sannolikheter vid enkla slumpförsök och slumpförsök i flera steg samt uppskatta sannolikheter genom att studera relativa frekvenser

Exempel på frågeställningar och uppgifter

• Du singlar slant, hur stor är sannolikheten att få krona?

• Du kastar en tärning, hur stor är sannolikheten att få en fyra?

• Du kastar två tärningar samtidigt, hur stor är chansen att få en femma och en etta?

• I källaren finns 5 burkar hallonsylt och 3 burkar blåbärs-sylt. Din syster går ner och hämtar en burk sylt som hon lämnar på köksbordet. Sedan går även du ner och hämtar en burk sylt, utan att kolla vilken sort du tar. Hur stor chans är det att ni tagit en burk av varje sort?

• Sannolikheten för att vinna i ett visst lotteri är 0,08. Hur stor är chansen att inte vinna?

Enkla sannolikheter Se till att Du uppfattar betydelsen av begreppen slumpförsök, utfallsrum, händelse och sannolikhet ordentligt. För beräkning-arna av sannolikheter är det viktigt att Du håller ordning på vilka utfall som är gynnsamma i den aktuella situationen. Det är na-turligtvis viktigt att ha klart för sig vilka utfall som är möjliga också.

Vad som här behandlas är likformig sannolikhetsfördelning, vil-ket innebär att alla utfall (händelser) har samma sannolikhet el-ler med andra ord är lika troliga.



Försök med flera föremål och flerstegsförsök Den klassiska introduktionen till försök i flera steg är kast med två tärningar. Utfallsrummet kommer här att bestå av 36 ele-ment, nämligen alla kombinationer av vad tärningarna kan visa. Oberoende av vad tärning nummer 1 visar kan ju tärning num-mer 2 visa 1, 2, 3, 4, 5 eller 6.

Träddiagram är en smidig metod att grafiskt avbilda ett händel-seförlopp om det inte är alltför mångförgrenat. Hur skulle Du rita ett träddiagram för kast med två tärningar? Komplementhändelser Komplementhändelse är – som namnet anger – komplementet till en händelse, d.v.s. att händelsen inte inträffar.

Betrakta som ett enkelt exempel att Du skjuter att skott med ett eldhandvapen. Det finns då en viss sannolikhet för träff, P(träff) och en viss sannolikhet för bom, P(bom). Det måste ju med na-turnödvändighet bli antingen eller, vilket medför att

P(träff) + P(bom) = 1.

Detta kan, som Du säker inser, i vårt exempel utvecklas till

P(träff) = 1 - P(bom), eller språkligt uttryckt :

Sannolikheten för en händelse är lika med 1 minus sannolikhe-ten för komplementhändelsen. Om du har tillgång till Internet skall du göra diagnostiskt test på sannolikhet som finns på kursens webbplats. I annat fall tar du kontakt med din lärare så skickar hon eller han ett motsvarande test till dig.

Förklara med egna ord Utfallsrum ......................................................................................

.......................................................................................................

Händelse ........................................................................................

.......................................................................................................

Sannolikhet ....................................................................................

.......................................................................................................

Träddiagram...................................................................................

.......................................................................................................

Komplementhändelse ....................................................................

………………………………………………………………….



Reflektera över vad du lärt dig, hur du lärt dig, vad som var svårt och så vidare i detta avsnitt. Skriv gärna ner det på raderna här under. Kontakta din lärare om du vill diskutera något.



Studieenhet Linjära modeller Denna studieenhet handlar om räta linjens ekvation, att lösa ek-vationssystem och linjära olikheter. På kursens webbplats finns en förtest som du kan göra innan du börjar lösa uppgifterna i boken, några interaktiva övningar att jobba med allt eftersom du arbetar dig framåt i avsnittet. När du arbetat klart med avsnittet gör du studiearbete 1 och skickar det till din lärare. Mål för avsnittet:

• Kunna arbeta med räta linjens ekvation i olika former samt lösa linjära olikheter och ekvationssystem med gra-fiska och algebraiska metoder


I. Var skär linjen y=2x-10 y-axeln respektive x-axeln?

II. Vilken lutning (riktningskoefficient) har en linje som går genom punkterna (2, 7) och (5, 19)?

III. Att hyra en viss bil och köra 30 mil kostar 450 kr och kör man 45 mil kostar det 615 kr. Skriv en ekvation för kost-naden y kr om man kör x mil.

IV. Vad är x och y i ekvationssystemet

V. Att köpa två liter mjölk och fem kg potatis kostar 39 kr, att

köpa fyra liter mjölk och tre kg potatis kostar 43 kr. Vad kostar det att köpa fem liter mjölk och fyra kg potatis?

VI. För vilka x är 3x + 5 > 8x - 9?

VII. Ett visst företag ABC har telefonabbonemang med må-nadsavgift 80 kr och samtalsavgift 2 kr/min. Konkurrenten KLM har månadsavgiften 110 kr och samtalsavgiften 1,50 kr/min. Hur mycket skall man ringa för per månad för att KLM-alternativet skall bli billigare?



Funktionsbegreppet Se till att du uppfattar betydelsen av begreppen funktion, defini-tionsmängd och värdemängd ordentligt. Att y är en funktion av x brukar man uttrycka som y = f(x), och ofta skriver man f(x) i stället för y i funktionsuttrycken.

Man talar om oberoende och beroende variabler. Den oberoende variabeln, som ofta betecknas med x, förfogar man över fritt frånsett eventuella begränsningar till intervall. Ett valt värde på den oberoende variabeln ger direkt ett värde på den beroende, och det värdet (funktionsvärdet) räkna man fram med hjälp av funktionsuttrycket.

En graf (”kurva”) är en bild av en funktion och visar hur funk-tionsvärdena varierar med värdena för den oberoende variabeln.

Tänk på att beteckningen x för den oberoende variabeln inte är självklar. Många andra beteckningar är vanliga i tillämpade sammanhang, t.ex. t för tider.

Räta linjens ekvation Det vanligaste sättet att ange en linjär funktion är den s.k. k -formen, d.v.s.: y kx m= + , men lägg märke till en linjär funktion kan anges även på annat sätt, t.ex.: 0ax by c+ + = .

De flesta problemställningar du möter i detta avsnitt kan lö-sas både grafiskt eller algebraiskt. En grafisk lösning innebär att du ritar grafer i koordinatsy-stem och avläser skärningspunkter. Det är en snabb metod, i synnerhet om du använder dig av en grafritande räknare el-ler något datorprogram, men ger ofta inte tillräckligt nog-granna svar. En algebraisk (analytisk) lösning innebär att du räknar dig fram till svaret. Denna metod kan vara lite arbetsammare men ger mer noggranna svar. Gör gärna en grafisk lösning på din miniräknare för att kolla om du har räknat rätt. Om du löser ett ekvationssystem algebraiskt och den första variabeln blir ett bråktal så måste du använda detta bråktal då du skall lösa ut den andra variabeln. Gör du inte utan sät-ter in ett avrundat värde, t ex 0,33 istället för bråktalet 1/3, blir den andra variabeln fel. Det avrundade talet är ju behäf-tat med ett litet fel och detta fel kommer att följa med i de fortsatta beräkningarna. Träna därför på att använda bråktal istället för decimaltal.



Säkert inser du att två parallella linjer måste ha samma k-värde. Det är ju k-värdet som anger lutningen. För linjer som är vinkel-räta mot varandra måste rimligen gälla att om den ena är stigan-de så måste ju den andra vara fallande, eller m.a.o. ha negativ lutning. Om kvoten y-skillnad/x-skillnad för den ena linjen är lika med 4 så måste motsvarande kvot för den andra linjen vara lika med −1/4. Här har bara längdmåtten angivits utan hänsyn till tecken.

Mycket som Du stöter på i vardagslivet kan beskrivas med en linjär funktion. El-räkningen till exempel innehåller ju en fast avgiftsdel (som motsvarar m) och pris per kWh (som motsvarar k). Antalet använda kilowattimmar motsvarar x, och totalkost-naden kan då beräknas med ett uttryck av typen y kx m= +

Telefonräkningen och taxiresor är ju också prissatta på motsva-rande sätt.

I många situationer måste man komma ihåg att funktionens defi-nitionsmängd i praktiken är begränsad.

Ett drastiskt exempel: Anders tänker banta inför sommaren och gör följande studie av utvecklingen under ett antal veckor :

Vecka 12 13 14 15

Vikt (kg) 98 95 92 89

Om den här utvecklingen fortsätter linjärt kommer Anders att helt försvinna, vilket knappast inte är hans målsättning.

Ekvationssystem Det förekommer att man ibland har två okända variabler att lösa ut. För att lyckas med det måste man i så fall ha två ekvationer. Har man två eller fler ekvationer som hör ihop bildar dessa ett ekvationssystem. När man löser dessa kan man välja att göra det grafiskt (med hjälp av grafer) eller analytiskt (med hjälp av be-räkningar).

Grafisk lösning: Rita graferna till de ekvationer du har och avläs skärningspunk-ten. Det skall också nämnas att det inte nödvändigtvis måste vara räta linjer (förstagradsekvationer) det handlar om. Även ekvationer av högre grad kan lösas grafiskt – mera om detta längre fram i kursen.

Den grafiska lösningsmetoden är snabb – Du behöver ju bara två punkter för att rita en rät linje, men den är i praktiken ofta inte exakt. För att göra en grafisk lösning med tillräckligt hög preci-sion kan man rita i flera steg. Först en ”grov lösning” som visar ungefär var den sökta skärningspunkten ligger. Därefter ritar man en förstorad bild av det området med en skala t.ex. 1 dm =



1 enhet. Det här medför ju att 1 mm på pappret motsvarar 0,01. Förstoringen kan naturligtvis drivas ännu längre om det är nöd-vändigt.

Analytiska metoder: Det handlar om substitutionsmetoden och additionsmetoden. Hur det fungerar förklaras bra i läroböckerna. Substitutionsme-toden fungerar bra med två olika ekvationer inblandade och kan väl i de flesta fall vara hanterbar även med tre ekvationer. Med efterhand fler och fler ekvationer tenderar den här metoden att ge väldigt komplicerade och svåröverskådliga uttryck. Så man kan med viss generalisering säga att ju större ekvationssystem man har desto säkrare ska man använda additionsmetoden.

Linjära olikheter Olikheter kan i stort sätt lösas på samma sätt som ekvationer om man håller tungan rätt i mun. Vad man behöver komma ihåg är att ifall man multiplicerar eller dividerar med ett negativt tal måste man byta olikhetstecken. Från > till < eller tvärtom bero-ende på uppgiften. Nu är det dags att göra studiearbete 1, Sannolikheter och linjära modeller, och skicka till din lärare.

Förklara med egna ord k-värde...........................................................................................

.......................................................................................................

Räta linjens ekvation på k-form.....................................................

.......................................................................................................

Räta linjens ekvation på allmän form............................................

.......................................................................................................

Substitutionsmetoden ....................................................................

.......................................................................................................

Additionsmetoden..........................................................................

.......................................................................................................



Reflektera över vad du lärt dig, hur du lärt dig, vad som var svårt och så vidare i detta avsnitt. Skriv gärna ner det på raderna här under. Kontakta din lärare om du vill diskutera något.



Studieenhet Icke-linjära modeller Denna studieenhet handlar främst om andragradsfunktioner, andragradsekvationer och icke-linjära olikheter. På kursens webbplats finns en förtest som du kan göra innan du börjar lösa uppgifterna i boken, några interaktiva övningar att jobba med allt eftersom du arbetar dig framåt i avsnittet. När du arbetat klart med avsnittet gör du studiearbete 2 och skickar det till din lärare. Mål för avsnittet:

• Kunna tolka, förenkla och omforma uttryck av andra graden samt lösa andragradsekvationer och tillämpa kun-skaperna vid problemlösning.

• Kunna förklara vad som kännetecknar en funktion samt kunna ställa upp, tolka och använda några icke-linjära funktioner som modeller för verkliga förlopp och i sam-band därmed kunna arbeta både med och utan dator och grafritande hjälpmedel

Exempel på frågeställningar och uppgifter I. Lös ekvationen 2( 4)( 36) 0x x+ − =

II. Låt 2( ) 3 2f x x= + . Förenkla uttrycket ( ) ( )f x h f x+ − så långt som möjligt.

III. För vilket värde på x är inte 142

yx

=−

definierad?

IV. Lös ekvationen x2 + 4x − 21= 0.

V. Banan för en fotboll kan beskrivas med funktionen y=0,75x-0,020x2 där y m är fotbollens höjd över marken och x m är avstån-det i x-led från utsparken. Hur högt når bollen och hur långt från utsparkspunkten slår den ner?

VI. För vilka x är 3x2 + 6> 6x + 15?

VII. Pia tjänar 144 000 kr i år. Hon skall nu välja mellan två al-ternativ till löneförhöjning. Alt 1: 4800 kr/år under en följd av år. Alt 2: 3% per år under en följd av år. Hur många år skall det nya löneavtalet gälla för att alterna-tiv 2 skall vara förmånligare?



Lär Dig begreppen polynom, variabelterm, konstantterm, koeffi-cient, exponent och gradtal mycket noga. Det är oerhört viktigt att Du är klar över deras betydelse, då Du annars inte behärskar det matematiska språket i fortsättningen. Andragradsfunktioner En andragradsfunktion kan skrivas som 2( )f x ax bx c= + + där a inte får vara noll. Rita några grafer med olika värden på a, b och c och se hur grafernas utseende ändras. Vad händer när c blir större? Vad händer när a byter tecken? ….. Använd gärna din grafritande miniräknare till detta eller data-programmet Graphmatica som kan hämtas gratis från kursens webbplats.

Polynommultiplikation Avsnittet behandlar multiplikation av polynom, eller som det också kallas, multiplikation av parentesuttryck. Det handlar ock-så om tre av de viktigaste reglerna som du stöter på i kursen, nämligen kvadreringsreglerna och konjugatregeln.

Andragradsekvationer En andragradsekvation brukar kallas fullständig om den innehål-ler x2-termer, x-termer och siffertermer. Om x-termer eller siffer-termer saknas talar man om en ofullständig andragradsekvation. Ofullständiga Fullständig I) 2 0ax c+ = II) 2 0ax bx+ = III) 2 0ax bx c+ + = Lösningsmetoder Vilken lösningsmetod man väljer beror på vilken andragradsek-vation man har, se tabellen ovan.

FallI I) Variabeltermen är noll (”x-termen saknas”) är enklast Ex: 25 80 0x − =

2

2

1,2

5 8016

16 4

xx

x

=

=

= ± = ±

Världens enklaste andragradsfunktion ser ut så här : y = x2.

Som Du ser kommer x-värdet 0 att ge funktionsvärdet 0. Alla andra funktionsvärden blir > 0 eftersom x2 = (-x)2.

Grafen blir symmetrisk kring y-axeln av samma skäl.



Fall II) Konstanttermen är noll (”siffertermen saknas”), löses problemet med lättast med hjälp av faktorisering. Ex 23 12 0x x− =

1

2

3 ( 4) 004

x xxx

− ===

Om en produkt är 0 är minst en faktor = 0. x och (x−a) kan inte vara 0 samtidigt eftersom (x−a) all-tid är a enheter mindre än a. Därför är både 1 2 och x x lösningar.

Fall III) En fullständig andragradsekvation löser man enklas ge-

nom att tillämpa den så kallade pq-formeln. Läs om den i din lärobok.

Icke-linjära olikheter Det gäller samma sak för icke-linjära olikheter som för linjära olikheter: Att tänka sig för när det gäller tecknen. Det är till stor hjälp att rita graferna till funktionerna när man skall lösa olikhe-terna. Varför?

Nu är det dags att göra det andra studiearbetet, Icke-linjära modeller, och skicka till din lärare. Förklara med egna ord Polynom.........................................................................................

.......................................................................................................

Konjugatregeln ..............................................................................

…………………………………………………………………...

Kvadratkommplettering.................................................................

…………………………………………………………………...

pq-formel .......................................................................................

…………………………………………………………………... Reflektera över vad du lärt dig, hur du lärt dig, vad som var svårt och så vidare i detta avsnitt. Kontakta din lärare om du vill diskutera något.



Studieenhet Geometri Denna studieenhet handlar om vinklar, några geometriska satser och koordinatgeometri. På kursens webbplats finns en förtest som du kan göra innan du börjar lösa uppgifterna i boken, några interaktiva övningar att jobba med allt eftersom du arbetar dig framåt i avsnittet och ett diagnostiskt test att göra innan du bör-jar med nästa avsnitt. Mål för avsnittet:

• Kunna förklara, bevisa och vid problemlösning använda några viktiga satser från klassisk geometri


I. Medelpunktsvinkeln är 50 grader. Hur stor är randvinkeln?

II. I en likbent triangel är en vinkel 30 grader. Hur stora är de andra vinklarna? (Det finns två fall)

III. Triangeln T1 har sidlängderna 14 cm, 28 cm och 36 cm och i triangeln T2 är sidlängderna 2 m, 4 m och 5 m. Är trianglarna likformiga?

IV. Är en triangel med sidorna 8 m, 11 m och 17 m rätvink-lig?

V. Punkten A ligger i (2, 19) och punkten B i (-3, 7). Hur långt är det mellan punkterna A och B?

VI. Var ligger mittpunkten på den linje som går mellan (8, 9) och (2, 11)?

Att vinkelsumman i en triangel är 180° vet du säkert redan. I det här sammanhanget bör kanske nämnas att vinkelenheten grader (°) inte på något sätt är av naturen given. Att dela upp varvet i 360° är människors påfund och det finns även andra vinkelen-heter, t.ex. s.k. nygrader (c) där varvet delas upp i 400c.

När du skall lösa geometriproblem är det extra viktigt att rita figurer till de uppgifter du skall lösa och att som vanligt införa lämpliga beteckningar för det du skall räkna ut.



Vinkelsatser Yttervinkelsatsen har du troligen stött på i A-kursen. Den är mycket användbar i många lägen. Försök att själv kunna bevisa den. Kontakta din lärare om du behöver hjälp med den.

Randvinkelsatsen är även den mycket användbar. Läs mer om den i din lärobok. Några geometriska satser Topptriangelsatsen kan du nog ganska snart inse som självklar.

Transversalsatsen – rent språkligt uttryckt - säger att motsva-rande storheter i likformiga figurer är proportionella mot var-andra. Jämför med proportionalitet i linjära funktioner.Satsen ger betydelsefulla möjligheter i många fall vid problemlösning.

Pythagoras sats kommer Du säkert ihåg från A-kursen, och här kommer den som repetition med ett av alla de bevis som finns för satsen. Koordinatgeometri Det som är speciellt i detta avsnitt är att de sträckorna som be-handlas är inlagda i koordinatsystem, det vill säga att sträckor-nas ändpunkter anges i koordinatform.

Avståndsformeln Det är i princip Phytagoras sats som tillämpas. Skillnaden mel-lan sträckans ändpunkter i x- resp. y-led utgör ju två längder som är vinkelräta mot varandra och avståndet mellan ändpunkterna kommer då att utgöra hypotenusan i en rätvinklig triangel.

Mittpunktsformeln Mittpunktens koordinater utgör helt enkelt medelvärdet av ändpunkternas koordinater. Här måste man na-turligtvis också räkna x-riktningen och y-riktningen var för sig.

Nu är det dags att göra diagnostiskt test i geometri på kur-sens webbplats. Saknar du tillgång till Internet kontaktar du din lärare som skickar hon eller han dig ett test. Anmäl dig också till den avslutande examinationen om du tror att du är klar med kursen om ca en månad.

Förklara med egna ord Vinkelsumma.................................................................................

.......................................................................................................

Yttervinkelsatsen ...........................................................................

.......................................................................................................



Randvinkel .....................................................................................

.......................................................................................................

Medelpunktsvinkel ........................................................................

.......................................................................................................

Topptriangelsatsen.........................................................................

.......................................................................................................

Transversalsatsen...........................................................................

.......................................................................................................

Avståndsformeln............................................................................

.......................................................................................................

Mittpunktsformeln .........................................................................

………………………………………………………………. Reflektera över vad du lärt dig, hur du lärt dig, vad som var svårt och så vidare i detta avsnitt. Kontakta din lärare om du vill diskutera något.



Studieenhet Statistik

Denna studieenhet handlar om lägesmått, spridningsmått och att göra statistiska undersökningar. På kursens webbplats finns ett förtest som du kan göra innan du börjar lösa uppgifterna i bo-ken. När du arbetat klart med avsnittet gör du studiearbete 3 och skickar det till din lärare.

Mål för avsnittet:

• Med omdöme använda olika lägesmått för statistiska ma-terial och kunna förklara skillnaden mellan dem samt känna till och tolka några spridningsmått.

• Kunna planera, genomföra och rapportera en statistisk undersökning och i detta sammanhang kunna diskutera olika typer av fel samt värdera resultatet.

Exempel på frågeställningar och uppgifter I. Temperaturen i Stockholm mättes kl 12.00 varje dag under en

vecka i december. Dag Må Ti Ons To Fre Lö Sö

Temp. 0 2 -1 -1 3 4 1 Temperaturen är angiven i grader Celsius. a) Beräkna medeltemperaturen. b) Bestäm medianvärdet. c) Bestäm typvärdet

II. Två arbetslag gick på kurs och hade samma prov på ett kurs-

moment. Deras resultat finns nedan.

Grupp 1 10 11 11 15 15 15 16 20 22 23 23 23 23 23 24 24 25 25 26 40

Grupp 2 11 11 11 14 15 15 17 20 20 24 24 27 27 28 29 29 30 30 31 41

a) Beräkna variationsbredden för båda grupperna. b) Beräkna kvartilavståndet för båda grupperna.



III. Inom en stor kommun (150 000 inv) finns krafter som ver-kar för en delning av kommunen. Därför vill man undersöka invånarnas intresse för detta inför en eventuell lokal folk-omröstning. Vilken av följande urvalsmetoder är lämpli-gast?

a. Fråga 2000 slumpmässigt valda människor på en stor-

marknad.

b. En totalundersökning.

c. Besök en gymnasieskola och fråga 400 elever i åk 1, 400 elever i åk 2 och 400 elever i åk 3.

d. Ringa 500 kvinnor och 500 män som slumpmässigt valts ut ur telefonkatalogen.

IV. På ett större företag med 290 män och 764 kvinnor vill man ta reda på personalens inställning till den nya internposthan-teringen. Man frågar 84 män och 98 kvinnor. Av männen är 58% positiva och 35% av kvinnorna är positiva. Hur många procent av hela personalen kan förväntas vara positiv?

Lägesmått Lägesmåtten medelvärde och median har du stött på i kurs A, och förmodligen kommer Du ihåg hur de definierades. Om inte repeterar du lite innan du går vidare. Spridningsmått Medelvärde och median ger inte alltid all information om en sta-tistisk fördelning som det kan vara värt att veta.

Man måste även ha metoder att ange hur stor spridningen är inom fördelning. Ett sätt att ange spridningen är att ange varia-tionsbredden, ett annat sätt är att ange kvartilavståndet.

Kvartilavstånd som spridningsmått hör naturligt ihop med me-dian som lägesmått. Medianen anger ju vilket värde (tal) som ligger i mitten, det vill säga att man delat upp materialet i två hälfter. Med hjälp av kvartiler delar man fyra delar och kvartil-avståndet är hur ”långt” det är mellan den först och den tredje kvartilen.



Statistiska undersökningar Lär dig förstå och att använda begreppen population, totalunder-sökning, stickprovsundersökning, obundet slunpmässigt urval, systematiskt urval, stratifierat urval, urvalsfel, bortfall, fel ur-valsram, mätfel, bearbetningsfel och felmarginal. Normalfördelning Det är en frivillig fördjupningsdel. Nu är det dags att göra studiearbete 3, Geometri och stati-stik, och skicka till din lärare. Därefter repeterar du kursen. Har du anmält dig till examinationen? Om du inte har gjort det är det hög tid att göra det nu. Alla studiearbeten skall vara bedömda innan du kan delta i examinationen!

Förklara med egna ord Medelvärde ....................................................................................

.......................................................................................................

Median...........................................................................................

.......................................................................................................

Typvärde........................................................................................

.......................................................................................................

Variationsbredd .............................................................................

.......................................................................................................

Kvartilavstånd................................................................................

.......................................................................................................

Population......................................................................................

.......................................................................................................

Obundet slumpmässigt urval .........................................................

.......................................................................................................

Stratifierat urval.............................................................................

.......................................................................................................

Bortfall...........................................................................................

.......................................................................................................



Mätfel.............................................................................................

.......................................................................................................

Bearbetningsfel ..............................................................................

.......................................................................................................

Felmarginaler .................................................................................

.......................................................................................................

Reflektera över vad du lärt dig, hur du lärt dig, vad som var svårt och så vidare i detta avsnitt. Kontakta din lärare om du vill diskutera något.

Kursguide MaB Navet

Documents