Kuliah Hidraulika

Kuliah Hidraulika

Wahyu WidiyantoTeknik Sipil

Universitas Jenderal Soedirman

(Metode Integrasi Numerik, Integrasi Grafis, Langkah Langsung)

Persamaan Aliran Berubah Lambat Laun

• Kedalaman aliran di sepanjang saluran dapat dihitung dengan menyelesaikan persamaan diferensial untuk aliran berubah lambat laun.

3

2

0

1gA

TQ

II

dx

dy f

y : kedalaman aliran

x : jarak

I0 : kemiringan dasar saluran

If : kemiringan garis energi

Q : debit aliran

T : lebar bagian atas saluran

g : percepatan gravitasi

A : luas tampang saluran

Penyelesaian Persamaan

• Ada beberapa metode untuk menyelesaikan persamaan di atas, di antaranya:

1. Metode integrasi numerik

2. Metode integrasi grafis

3. Metode langkah langsung (direct step)

4. Metode langkah standar (standar step)

Metode Integrasi NumerikPersamaan aliran berubah lambat laun dibawa ke dalam bentuk sbb:

3

2

3/42

22

0

1gA

TQRAQn

I

dx

dy

Selanjutnya persamaan tersebut akan diselesaikan secara numerik dan ditulis sbb:

3

2

3/42

22

0

1gA

TQRAQn

If

iii

ii xff

yy

2

11dan

dengan f = dy/dx

Ingat…!!!

3

2

3/42

22

0

1gA

TQRAQn

If

iii

ii xff

yy

2

11

……………………..... (a)

……………………..... (b)

Lambang I boleh diganti S

Lambang y boleh diganti h

Langkah-langkah Penyelesaian

1. Berdasarkan nilai yi awal yang diketahui, dihitung nilai fi dari persamaan (a)

2. Pertama kali dianggap fi+1 = fi

3. Hitung nilai yi+1 dari persamaan (b) dengan menggunakan nilai fi+1 yang diperoleh dalam langkah 2 atau nilai fi+1 yang diperoleh dalam langkah 4

4. Hitung nilai baru yi+1 dengan menggunakan nilai fi+1 yang dihitung dari nilai yi+1 dari langkah 3

5. Apabila nilai yi+1 yang diperoleh dalam langkah 3 dan 4 masih berbeda jauh, maka langkah 3 dan 4 diulangi lagi

6. Sesudah nilai yi+1 yang benar diperoleh, dihitung nilai yi+2 yang berjarak x dari yi+1.

7. Prosedur di atas diulangi lagi sampai diperoleh nilai y di sepanjang saluran

Contoh hitungan

• Suatu saluran lebar dengan tampang segiempat dengan debit tiap satuan lebar 2,5 m3/d/m. Kemiringan dasar saluran 0,001 dan koefisien Manning n = 0,015. Pada suatu titik diketahui kedalaman air adalah 2,75 m. Berapakah kedalaman air pada jarak setiap interval 200 m dari titik tersebut ke arah hulu? Gunakan metode integrasi numerik.

Penyelesaian

igA

TQ

iRA

QnS

f i

3

2

3/42

22

0

1

igh

q

ih

qnS

f i

3

2

3/10

22

0

1

Untuk saluran lebar R ≈ h sehingga:

21

32

21

32 11

SRn

BhSRn

AQ nnnn

21

321SR

nhq nn 2

1

)001,0(015,0

15,2 3/5

nh

hn5/3 = 1,186 → hn = 1,1076 m

Kedalaman kritik :

m 8605,081,9

5,23

2

3

2

g

qhc

Karena hn > hc maka aliran adalah subkritis, dan hitungan profil muka air dilakukan dari hilir ke hulu.

Kedalaman normal :

Untuk i = 1 :

0009818,0

75,281,9

5,21

75,2

5,2015,0001,0

3

2

3/10

22

1

f

Pertama kali dianggap f2 = f1 sehingga dengan persamaan (b) dapat dihitung h2 :

121

12 2x

ffhh

m 5536,22002

0009818,00009818,075,2

Kedalaman air pada jarak 200 m ke arah hulu.

iii

ii xff

yy

2

11 Untuk aliran subkritis Δx bernilai negatif

Dihitung kemiringan profil muka air di titik i = 2 :

0009755,0

5536,281,9

5,21

5536,2

5,2015,0001,0

3

2

3/10

22

2

f

Kedalaman air di titik i = 2 dengan memperhitungkan kemiringan profil muka air di titik 1 dan 2, yaitu f1 dan f2, adalah :

m 5543,22002

0009755,00009818,075,22

h

Kemiringan profil muka air di titik i = 2, yaitu f2, dihitung berdasarkan kedalaman h2, yaitu :

0009756,0

5543,281,9

5,21

5543,2

5,2015,0001,0

3

2

3/10

22

2

f

h3 = h2 – f2∆x2 = 2,5543 – 0,0009756 x 200 = 2,3592 m

Kemiringan profil muka air di titik i = 3 :

0009664,0

3592,281,9

5,21

3592,2

5,2015,0001,0

3

2

3/10

22

3

f

Kedalaman air pada jarak 400 m ke arah hulu.

232

23 2x

ffhh

m 3601,22002

0009664,00009756,05543,2

Hitungan selanjutnya dikerjakan dengan langkah yang sama dan hasilnya diberikan dalam tabel dan gambar berikut ini.

Titik i xi+1 – xi (m) Jarak kumulatif

(m) hi (m)

1 0 2.7500 200 2 200 2.5543 200 3 400 2.3601 200 4 600 2.1681 200 5 800 1.9796 200 6 1000 1.7966 200 7 1200 1.6223 200 8 1400 1.4625 200 9 1600 1.3268 200

10 1800 1.2268 200

11 2000 1.1673

Tabel hasil hitungan profil muka air.

12345

y1=2,75

y2

hc=0,86hn=1,1

M1

GKN

GKK

Sketsa profil muka air M1 (pembendungan)

GKN : garis kedalaman normalGKK : garis kedalaman kritik

Metode Integrasi Grafis

3

2

0

1gA

TQ

II

dx

dy f

Persamaan semula

Ditulis menjadi:

fIIgA

TQ

dy

dx

0

3

2

1

Ruas kanan persamaan di atas hanya merupakan fungsi dari y untuk bentuk saluran tertentu, sehingga dapat ditulis sebagai f (y) dan dapat ditulis menjadi:

dx = f(y) dy

………………………. (a)

………………………. (b)

y1

y2

x1 x=x2-x1

x2

x

y

Profil aliran

y

y1

y2

1

dy

dx2

dy

dx

dy

dx

dy

dx

dy

dydy

dxx

y

y

2

1

O

Sketsa integrasi grafis

O

Dari gambar di atas• Dipandang suatu pias saluran yang dibatasi dua tampang lintang

yang berjarak x1 dan x2 dari titik O yang mempunyai kedalaman y1 dan y2.

2

1

2

1

2

1

)(y

y

y

y

x

x

dydy

dxdyyfdx

x = x2 – x1

Dengan menggunakan persamaan (b) untuk setiap nilai y dapat dihitung nilai dx/dy dan selanjutnya dapat digambar grafik hubungan antara dx/dy dan y seperti terlihat dalam gambar. Nilai x adalah sama dengan luasan yang diarsir. Dengan menghitung luasan tersebut maka dapat diperoleh nilai x.

…………. (c)

Contoh Hitungan

• Suatu saluran segiempat dengan lebar dasar B = 10 m. Kedalaman air normal yn = 2,71 m dan kedalaman air di batas hilir adalah 4,87 m. Kemiringan saluran Io = 0,0005. Koefisien kekasaran Chezy C = 50 m2/d. Koefisien Coriolis = 1,11 dan percepatan gravitasi g = 9,81 m/d2. Hitung profil muka air dengan metode integrasi grafis.

PenyelesaianMenghitung debit aliran

Luas tampang basah: A = 10 x 2,71 = 27,1 m2

Keliling basah: P = 10 + 2x2,71 = 15,42 m

Jari-jari hidraulis: R=A/P = 1,76 m

Menghitung profil muka air

2

1

2

1

2

1

)(y

y

y

y

x

x

dydy

dxdyyfdx

Debit aliran: Q=AC√(RI) = 27,1 x 50 √(1,76 x 0,0005) = 40,2 m3/d

ff IIA

IIgA

TQ

yf

0

3

2

0

3

2

81,9102,4011,1

11)(

fIAyf

0005,0

5,18281

)(3

Dimana nilai If dapat dihitung dengan rumus Chezy:

Q = A C R1/2 If1/2

atau

222

2

22

2 6464,0

50

2,40

RARACRA

QI f

………………………. (1)

Hitungan selanjutnya berdasarkan persamaan (1), dilakukan dengan menggunakan tabel di bawah.

Profil y B A P R If f(y)

(m) (m) (m2) (m) (m)

0 2,71 10 27,1 15,42 1,757 0,000501 ∞

I 3,00 10 30,0 16,00 1,875 0,000383 7972

II 3,50 10 35,0 17,00 2,059 0,000256 3928

III 4,00 10 40,0 18,00 2,222 0,000182 3053

IV 4,50 10 45,0 19,00 2,368 0,000135 2683

V 4,87 10 48,7 19,74 2,467 0,000110 2527

Tabel Hitungan profil muka air dengan metode integrasi grafis

Nilai y pada kolom kedua dari tabel tersebut ditentukan secara sembarang kecuali nilai pada batas hulu dan hilir yang telah diketahui.

7972

252726833053

3928

y

f(y)

2,71 3,0 3,5 4,0 4,5 4,87

0 I II III IV V

x0 - x1 = x01 = ( ∞ + 7972 ) ∙ 0,29/2 = ∞

x1 – x2 = x12 = (7972 + 3928 ) ∙ 0,50/2 = ….. m

x2 – x3 = x23 = (3928 + 3053) ∙ 0,50/2 = ….. m

x3 – x4 = x34 = (3053 + 2683 ) ∙ 0,50/2 = …… m

x4 – x5 = x45 = (2683 + 2527 ) ∙ 0,37/2 = ……. m

xmax – x4 = ….. m

xmax – x3 = ….. m

xmax – x2 = ….. m

xmax – x1 = …... m

xmax – x0 = ∞

Jarak kumulatif:

1

2

3

45

y5=4,87

M1

GKN

yn=2,71 y1=3,0

y2=3,5

y3=4,0y4=4,5

x1

x3

x4

xmax

x2

Profil muka air hasil hitungan dengan metode integrasi grafis

Metode Langkah Langsung(Direct Step Method)

• Metode langkah langsung dilakukan dengan membagi saluran menjadi sejumlah pias dengan panjang x. Mulai dari ujung batas hilir di mana karakteristik hidraulis di tampang tersebut diketahui, dihitung kedalaman air pada tampang di sebelah hulu. Prosedur hitungan tersebut diteruskan untuk tampang di hulu berikutnya, sampai akhirnya didapat kedalaman air di sepanjang saluran. Ketelitian tergantung panjang pias, semakin kecil x semakin teliti hasil yang diperoleh.

Garis energig

V

2

21

y1

g

V

2

22

y2

hf = If ∆x

∆z = Io ∆x

∆x

fhg

Vyz

g

Vyz

22

22

22

21

11Persamaan energi (Persamaan Bernoulli)

Mengingat:

z1 – z2 = Io ∆x

hf = If ∆x

dan

maka:

fhg

Vyz

g

Vyz

22

22

22

21

11

xIg

Vy

g

VyxI fo

22

22

2

21

1

fo II

gV

yg

Vy

x

22

21

1

22

2

fo

ss

II

EEx

12

atau

fo

ss

II

EEx

12

Dengan mengetahui karakteristik aliran dan kekasaran pada satu tampang maka kecepatan dan kedalaman aliran di tampang yang lain dapat dihitung dengan menggunakan persamaan di atas. Kemiringan garis energi If adalah nilai rerata di tampang 1 dan 2, yang dapat didasarkan pada persamaan Manning atau Chezy. Apabila karakteristik aliran di kedua tampang diketahui maka jarak antara tampang dapat dihitung dengan rumus di atas.

Contoh Hitungan

• Suatu saluran segiempat dengan lebar B = 3 m mengalirkan air dengan debit Q = 3 m3/d. Kedalaman air pada suatu titik yang berdekatan adalah 1,3 m dan 1,2 m. Apabila koefisien Manning n = 0,018 dan kemiringan dasar saluran So = 0,0003, hitung jarak antara kedua tampang tersebut. (Metode langkah langsung)

PenyelesaianKarakteristik aliran pada tampang 1.Luas tampang basah : A1 = 3 x 1,3 = 3,9 m2

Keliling basah : P1 = 3 + 2 x 1,3 = 5,6 m

Jari-jari hidraulis : R = 6,5

9,3

P

A = 0,696 m

Tinggi kecepatan :

2

2

21

221

9,381,92

3

22

gA

Q

g

V= 0,03016

Karakteristik aliran pada tampang 2.Luas tampang basah : A2 = 3 x 1,2 = 3,6 m2

Keliling basah : P1 = 3 + 2 x 1,2 = 5,4 m

Jari-jari hidraulis : R = 4,5

6,3

P

A = 0,667 m

Tinggi kecepatan : 2

2

22

222

6,381,92

3

22

gA

Q

g

V= 0,0354

Tampang basah rerata : Ar = 2

6,39,3

221

AA

= 3,75 m2

Jari-jari hidraulis rerata : Rr = 2

667,0696,0

221

RR

= 0,6815 m

Kemiringan garis energi dihitung dengan rumus Manning berdasarkan nilai Ar dan Rr

000345757,06815,075,3

3018,03/42

22

3/42

22

rr

fRA

QnS

Jarak antara kedua tampang adalah :

m 2300

000345757,00003,0

3,10354,02,103016,022 1

21

2

22

fSS

hg

Vh

gV

x

Metode Tahapan Standar(Standar Step Method)

• Metode ini dikembangkan dari persamaan energi total dari aliran pada saluran terbuka.

fhg

Vyz

g

Vyz

22

22

22

21

11

E1 E2

E1 = E2 + hf

Persamaan energi (Persamaan Bernoulli)

Prinsip metode standar step

• Dicoba harga y (kedalaman air) sedemikian hingga memenuhi persamaan:

E1 = E2 + hf

• Jika memenuhi persamaan tersebut maka telah diselesaikan satu tahap perhitungan.

• Cara tersebut diulangi untuk titik-titik selanjutnya.

Contoh

• Suatu saluran berbentuk trapesium dengan kemiringan dinding 1 : 1, lebar dasar 3,0 m dan kemiringan dasar saluran 0,0015. Pemasangan bangunan pintu pengontrol menyebabkan kenaikan kedalaman air di hulu pintu menjadi 4,0 m pada debit 19,0 m3/d. Jika angka kekasaran Manning n = 0,017, maka hitung dan gambarkan profil muka air yang terjadi.

Penyelesaian

21

32

0

1SR

nAQ

Mencari kedalaman normal dengan Rumus Manning

21

32

0212

1)( S

myb

ymyb

nymybQ

21

32

0015,01123

13

017,0

1)13(19

2

y

yyyy

Melalui metode coba-coba diperoleh y = 1,726 m

Mencari kedalaman air kritis

3

2

33

2

)3(81,9

) 123(19

) (

) 2(

c

c

c

cc y

y

ymBg

ymBQy

Harga yc didapat dengan cara coba-coba, diperoleh yc = 0,546 m

y > yn > yc, maka profil aliran adalah M1

Selanjutnya dihitung profil muka air, dimulai dari kedalaman yang sudah diketahui di hulu titik kontrol, y = 4,0 m, bergerak ke arah hulu. Pada titik kontrol ini diberi notasi x = 0.

Hasil perhitungan ditampilkan pada tabel berikut ini

X Z y A V V 2 /2g E 1 R Sf Sf ΔX hf E 2

(10-4) (10-4)

(m) (m) (m) (m2) (m/d) (m) (m) (m) (m) (m) (m)

- 1 - - 2 - - 3 - - 4 - - 5 - - 6 - - 7 - - 8 - - 9 - - 10 - - 11 - - 12 - - 13 -

0 0,00 4,000 28,000 0,679 0,023 4,023 1,956 0,544200 0,30 3,706 24,852 0,765 0,030 4,036 1,843 0,747 0,646 200 0,013 4,036400 0,60 3,416 21,917 0,867 0,038 4,054 1,731 1,045 0,896 200 0,018 4,054600 0,90 3,130 19,187 0,990 0,050 4,080 1,619 1,491 1,268 200 0,025 4,080800 1,20 2,851 16,681 1,139 0,066 4,117 1,508 2,169 1,830 200 0,037 4,117

1000 1,50 2,582 14,413 1,318 0,089 4,171 1,399 3,210 2,689 200 0,054 4,1711200 1,80 2,331 12,427 1,529 0,119 4,250 1,295 4,785 3,997 200 0,080 4,2511400 2,10 2,110 10,782 1,762 0,158 4,368 1,202 7,020 5,902 200 0,118 4,3681600 2,40 1,934 9,542 1,991 0,202 4,536 1,127 9,774 8,397 200 0,168 4,5361800 2,70 1,817 8,752 2,171 0,240 4,757 1,075 12,362 11,068 200 0,221 4,7572000 3,00 1,758 8,365 2,271 0,263 5,021 1,049 13,987 13,174 200 0,263 5,0212200 3,30 1,737 8,228 2,309 0,272 5,309 1,040 14,628 14,307 200 0,286 5,3072250 3,38 1,734 8,209 2,315 0,273 5,382 1,038 14,722 14,675 50 0,073 5,382

Keterangan

Kolom Simbol Keterangan

1 X Lokasi titik di mana kedalaman airnya dihitung

2 z Elevasi dasar saluran, dihitung berdasarkan elevasi dasar yang diketahui (misalnya pada titik kontrol diambil z1 = 0) dan kemiringan dasar saluran, S0, z2 = z1 + S0(X2-X1)


3 y Perkiraan kedalaman air

4 A Luas penampang basah yang dihitung untuk kedalaman y pada kolom 3

5 V Kecepatan aliran, V=Q/A, di mana A luas penampang diambil dari kolom 4

6 V2/2g Tinggi kecepatan


7 E1 Total tinggi energi, merupakan penjumlahan ketinggian dasar saluran, z, pada kolom 2, kedalaman air , h, kolom 3, dan tinggi energi V2/2g, kolom 6, atau E = z + y + V2/2g

8 R Jari-jari hidrolis untuk kedalaman air h adalah R=A/P, di mana A luas penampang basah dari kolom 4, P keliling basah

9 Sf Kemiringan garis energi yang dihitung dengan persamaan di bawah tabel ini


10 Sf Rata-rata Sf pada kedalaman yang bersangkutan dan kedalaman sebelumnya untuk jarak yang ditentukan

11 ΔX Jarak antara titik yang dihitung kedalaman airnya dan lokasi yang telah dihitung kedalaman air sebelumnya

12 hf Kehilangan tinggi energi sepanjang ΔX dihitung dari persamaan, hf = ΔX∙Sf, di mana Sf diambil dari kolom 10 dan ΔX dari kolom 11


13 E2 Merupakan tinggi energi total, yang dihitung dari penambahan kehilangan tinggi energi, hf, dengan tinggi energi total (E1 di kolom 7) pada perhitungan sebelumnya. Jika selisih E1 pada kolom 7 dan E2 pada kolom 13 berada pada kisaran yang dapat diterima, maka perkiraan kedalaman air y pada kolom 3 merupakan kedalaman air yang dicari pada titik tersebut, dan perhitungan dapat dilanjutkan pada titik berikutnya. Sebaliknya, jika selisih masih jauh, maka perlu diulang dengan harga y yang baru.

Kemiringan Garis Energi

3

42

22

RA

nQSf

RAC

QSf

22

2

(Manning)

(Chezy)

12345

y1=4,0 m

y2

hc=0,546hn=1,726

M1

GKN

GKK

Sketsa profil muka air M1 (pembendungan)

GKN : garis kedalaman normalGKK : garis kedalaman kritik

Kuliah Hidraulika

Documents