Küresel tri̇gonometri̇

KÜRESEL TRİGONOMETRİKÜRESEL ÜÇGENDE SİN VE COS TEOREMLERİ

SİN TEOREMİ

sin a sin b sin c

--------- = -------- = ---------

sin A sin B sin C

A

B Ca

c b

COS KENAR TEOREMİ

cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos A

cos b = cos a · cos c + sin a · sin c · cos B

cos c = cos a · cos b + sin a · sin b · cos C

COS AÇI TEOREMİ

cos A = cos B · cos C + sin B · sin C · cos a

cos B = cos A · cos C + sin A · sin C · cos b

cos C = cos A · cos B + sin A · sin B · cos c

KÜRESEL ÜÇGENDE KENARLAR, AÇI DERECESİ CİNSİNDEN DEĞERLENDİRİLİR.

KÜRESEL ÜÇGENDE HAVERSINE FORMÜLLERİ

A

c

a

b

B C

VERSINE A = 1 - cos A .

HAVERSINE A = ½ (1- cos a)

cos A = 1- 2 Hav A

AÇI 180 DEN BÜYÜK OLURSA 360 DAN ÇIKARILIR.

Hav a = Hav (b – c) + sin b · sin c · Hav A

Hav b = Hav (a – c) + sin a · sin c · Hav B

Hav c = Hav (a – b) + sin a · sin b · Hav C

KÜRESEL DİK ÜÇGENDE NAPIER’S KURALLARI

A

a

c b

B C

a

b90 - A

90 - c

90 - B

ÖNCE DİK AÇI KÖŞESİNE KOMŞU OLAN KENARLAR YAZILIR (a ve b), SONRA SIRA İLE DİĞER AÇI VE KENARLARIN 90 DAN FARKI YAZILIR (A, c, B).

I. KURAL : İSTENİLEN ELEMANIN sin Ü KOMSU ELEMANLARIN tan LARININ ÇARPIMINA EŞİTTİR.

ÖRNEK : sin b = tan (90 – A) tan (90 - a) sin (90 – A) = tan (90 – c) tan (b)

II. KURAL : İSTENİLEN ELEMANIN sin Ü KARŞI ELEMANLARIN cos LERİNİN ÇARPIMINA EŞİTTİR.

ÖRNEK : sin b = cos (90 – c) cos (90 - B) sin (90 – A) = cos (90 – B) cos (a)

MESAFE VE KALKIŞ ROTA AÇISININ BULUNMASI P

d long

dist

90 – lat2 90 – latı

K V

latı lat2

longı long2

P’

PKV KÜRESEL ÜÇGENİ İÇİN cos KENAR BAĞLANTISINI YAZARSAK

cos p = cos v . cosk + sin v . Sin k . cos P

cos D = cos (90-latı) . Cos(90-lat2) + sin (90-latı) . Sin (90-lat2 . cos d long

sin In Co sin d long sin d long . cos lat2

sin (90-lat2) sin D sin In co = -----------------------------

sin D

cos D = sin latı. sin lat2 + cos latı . cos lat2 . Cos d long MESAFE FORMÜLÜ

PKV KÜRESEL ÜÇGENİ İÇİN sin BAĞLANTISINI YAZARSAK

sin K sin P

sin k sin p

=

=

Kalkış rotası (In co) formülü

MESAFE VE KALKIŞ ROTA AÇISININ BULUNMASI P

d long

dist 90 +lat2

90 – latı

K

V

latı

P’

PKV KÜRESEL ÜÇGENİ İÇİN cos KENAR BAĞLANTISINI YAZARSAK

cos p = cos v . cosk + sin v . Sin k . cos P

cos D = cos (90-latı) . Cos(90+lat2) + sin (90-latı) . Sin (90+lat2) . cos d long

sin In Co sin d long sin d long . cos (-lat2)

sin (90-lat2) sin D sin In co = -------------------------------

sin D

cos D = sin latı. sin (-lat2) + cos latı . cos (-lat2) . cos d long MESAFE FORMÜLÜ

PKV KÜRESEL ÜÇGENİ İÇİN sin BAĞLANTISINI YAZARSAK

sin K sin P

sin k sin p

=

=

Kalkış rotası (In co) formülü

lat2

VERTEKS NOKTASININ KOORDİNATLARININ (latv, longv) BULUNMASI

P

d long k-v

T

90 – lat2 90 – latı

K V

latı lat2

longı long2

P’

90-latv

lat v

PKT KÜRESEL DİK ÜÇGENİ İÇİN

Dk-v

90-latv

Dk-v

90-d longk-v

90-(90-latı)

90-Ksin (90-latv) = cos (90-(90-latı)) . cos (90-K)

cos latv = cos latı . cos In co latv FORMÜLÜ

sin (90-K) = cos (90-latv) . cos (90-dlongk-v)

cos (90-dlongk-v) = sin (90-K) / cos (90-latv)

sin dlongk-v = cos In co / cos latv d long k-v FORMÜLÜ

VERTEKS NOKTASININ KOORDİNATLARININ (latv, longv) BULUNMASI

P

d long k-v

T

90 + lat2 90 – latı

K

V

latı

lat2

P’

90-latv

lat v

PTK KÜRESEL DİK ÜÇGENİ İÇİN

Dk-v90-latv

Dk-v

90-d longk-v

90-(90-latı)

90-(180-K)

sin (90-latv) = cos (90-(90-latı)) . cos (90-(180-K))

cos latv = cos latı . sin In co latv FORMÜLÜ

sin (90-(180-K)) = cos (90-latv) . cos (90-dlongk-v)

cos (90-dlongk-v) = sin (90-(180-K)) / cos (90-latv)

sin dlongk-v = cos In co / cos latv d long k-v FORMÜLÜ

VERTEKS NOKTASININ KALKIŞ NOKTASINA MESAFESİNİN (Dk-v) BULUNMASI

P

d long k-v

T

90 – lat2 90 – latı

K V

latı lat2

longı longv long2

P’

90-latv

lat v

PKT KÜRESEL DİK ÜÇGENİ İÇİN

Dk-v

90-latv

Dk-v

90-d longk-v

90-(90-latı)

90-K

sin Dk-v = cos (90- d longk-v) . cos (90-(90-latı))

Sin Dk-v = sin d longk-v) . cos latı Dk-v FORMÜLÜ

VERTEKS NOKTASININ KALKIŞ NOKTASINA MESAFESİNİN (Dk-v) BULUNMASI

P

d long k-v

T

90 + lat2 90 – latı

K

V

latı

lat2

P’

90-latv

lat v

PTK KÜRESEL DİK ÜÇGENİ İÇİN

Dk-v90-latv

Dk-v

90-d longk-v

90-(90-latı)

90-(180-K)

sin Dk-v = cos (90- d longk-v) . cos (90-(90-latı)

sin Dk-v = sin d longk-v . cos latı latv FORMÜLÜ

ARA NOKTALARIN KOORDİNATLARININ (latx, longx) BULUNMASI

P

d long x-v

T

90 – lat290 – latı 90-latx

K V

latı lat2

longı longx longv long2

P’

90-latv

lat v

PXT KÜRESEL DİK ÜÇGENİ İÇİN

X

90-latv

Dx-v

90-d longx-v

90-(90-latx)

90-X

sin (90-d longx-v) = tan (90- (90-latx)) . tan (90-latv)

tan latx = cos d longx-v / ctan latv = cos d longx-v . tan latv latx FORMÜLÜ

GENEL OLARAK ARA NOKTALAR ARASI d long 5° ALINDIĞI İÇİN

longx = longı ± 5°

DİĞER ARA NOKTALARDA BENZER ŞEKİLDE BULUNUR.

ARA NOKTALARIN KOORDİNATLARININ (latx, longx) BULUNMASI

P

d long x-v

T

90 – lat2

90 – latv

K V

latı

longv longı longx long2

P’

90-latı

lat v

PTX KÜRESEL DİK ÜÇGENİ İÇİN

X

90-latv

Dx-v

90-d longx-v

90-(90-latx)

90-T

sin (90-d longx-v) = tan (90- (90-latx)) . tan (90-latv)

tan latx = cos d longx-v / ctan latv = cos d longx-v . tan latv latx FORMÜLÜ

GENEL OLARAK ARA NOKTALAR ARASI d long 5° ALINDIĞI İÇİN

longx = longı ± 5°

DİĞER ARA NOKTALARDA BENZER ŞEKİLDE BULUNUR.

90-latx

laytx

lat2

FORMÜLLERİN HEPSİ BİRLİKTE

MESAFE (D) VE KALKIŞ ROTA AÇISI (Inco) ( latı ve lat2 AYNI YARI KÜREDE

cos D = sin latı. sin lat2 + cos latı . cos lat2 . Cos d long

sin In co = sin d long . cos lşat2 / sin D

MESAFE (D) VE KALKIŞ ROTA AÇISI (Inco) ( latı ve lat2 AYRI YARI KÜREDE

cos D = sin latı. sin (-lat2) + cos latı . cos (-lat2) . Cos d long

sin In co = sin d long . cos (-lat2) / sin D

VERTEKS NOKATASININ KOORDİNATLARI (latv, longv)

cos latv = cos latı . cos In co

sin dlongk-v = cos In co / cos latv

VERTEKS NOKTASININ BAŞLANGIÇ NOKTASINA MESAFESİ (Dk-v)

sin Dk-v = sin d longk-v . cos latı

ARA NOKTA KOORDİNATLARI (latx, longx)

tan latx = cos d longx-v . tan latv longx = longı ± 5°

ÖRNEK - 1

P

d long

dist

90 - lat2 90 – latı

K V

d longBAŞLAMA NOKTASI latı = 36° 24 ‘ N

longı = 60° 30 ‘ W

VARIŞ NOKTASI lat2 = 35° 36 ‘ N long2 = 05° 48 ‘ W

latı

longı long2

P’

lat2

ÖRNEK - 2

P

d long

dist

90 + lat2

90 – latı

K

V

d longKALKIŞ NOKTAS latı = 25° 18 ‘ N longı = 60° 30 ‘ W

VARIŞ NOKTASIlatı = 22° 18 ‘ S longı = 10° 06 ‘ E

latı

longı long2

P’

lat2