KÜMELERDE İŞLEMLER

KÜMELERDE İŞLEMLER

KÜMELERDE BİRLEŞİM İŞLEMİ

KÜMELERDE KESİŞİM İŞLEMİKÜMELERDE FARK İŞLEMİ

KÜMELERDE TÜMLEME İŞLEMİ

1

TuvaletBanyo

Fırat’ınOdası

Hol

Mutf

ak Cengiz’

inOdası

Salon

Üniversite öğrencisi olan Fırat ve Cengiz aynı evde kalıyorlar. Evin planı yandaki gibidir. İki arkadaştan her biri şekildeki gibi birer odayı kendilerine alarak yerleşmişlerdir. Buna göre evde ortak kullanılan bölümler hangileridir?

Sadece Fırat’a ait olan bölümleri ve sadece Cengiz’e ait olan bölümleri söyleyiniz. Evde Fırat’ın yada Cengiz’in kullandığı tüm bölümleri söyleyiniz.2

Aysel hanım misafirleri için yemek hazırlayacaktır. Mutfağa gittiğinde elindeki malzemelerle sadece patlıcan ve fasulye yemeği pişirebileceğini görür. Çünkü evdeki domates, soğan ve biber bir yemek için yeterlidir. evde bulunan malzemeler patlıcan yemeği için fasulye için gerekli gerekli malzemeler malzemeler patlıcan, domates, soğan, patlıcan, domates fasulye, domates, biber,Biber, fasulye, dolmalık biber biber, soğan, sarımsak soğan, yağ,sarımsak, salatalık, yağ yağ

a) Listeye göre ortak kullanılabilecek malzemeler hangileridir?b) Her iki yemek için gerekli olan tüm malzemeler hangileridir?c) Patlıcan yemeğinde kullanılıp fasulye yemeğinde kullanılmayan

malzemeler nelerdir?d) Aysel hanımın evindeki malzemelerden patlıcan veya fasulye

yemeğinde kullanılmayan malzemeler hangileridir?

3

Yukarıdaki örnekte mutfakta bulunan malzemelerin kümesi E ile patlıcan yemeği için gerekli malzemeler A ile, fasulye yemeği için gerekli malzemeler B ile gösterilmiştir. Bu kümenin elemanlarını yandaki tabloda uygun yerlere yerleştiriniz.

A B

E

.

.domates..biber

.

. .

. .

İki kümenin birleşimi bu iki kümenin tüm elemanlarından oluşur. Birleşim işlemi “∪” sembolüyle gösterilir. A ve B gibi iki kümenin birleşimi sembolle “A ∪ B” biçiminde gösterilir, “A birleşim B” diye okunur.

İki kümenin ortak elemanlarının oluşturduğu küme, bu kumelerin kesişim kümesidir.Kesişim işlemi “∩” ile gösterilir. A ve B gibi iki kümenin kesişimi sembolle “A ∩ B” biçiminde gösterilir, “A kesişim B” diye okunur.

4

Örnek: C = {z, t} ve D = {3, t, z} kümeleri veriliyor. C ∪D ve D∪C kümelerini bulup karşılaştıralım.

Çözüm: C ve D’ nin ortak elemanları vardır. Bu elemanlar birleşim kümesine yalnız bir kez yazılmalıdır. O halde;C ∪ D = {z, t} ∪ {3, t, z} = {z, t, 3} olur.D ∪ C = {3, t, z} ∪ {z, t} = {3, t, z} olur. Buradan, C ∪ D = D ∪ C olduğu görülür. Buradan şu sonuç çıkmaktadır;Kümelerde birleşim işleminin değişme özelliği vardır.

KÜMELERDE BİRLEŞİM İŞLEMLERİ

5GERİ

Örnek: kümelerinin birleşim işlemini inceleyelim:

Çözüm:B ∪ (C ∪ D)= {2, 3, 4} ∪ ({1, 2, 5} ∪ {5, 6}) = {2, 3, 4} ∪ {1, 2, 5, 6}= {2, 3, 4, 1, 5, 6} olur.(B ∪ C) ∪ D= ({2, 3, 4} ∪ {1, 2, 5}) ∪ {5, 6}= {1, 2, 3, 4, 5} ∪ {5, 6}= {1, 2, 3, 4, 5, 6} olur. Buradan,B ∪ (C ∪ D)= (B ∪ C) ∪ D olduğu görülür.

B={2,3,4} , C={1,2,5} , D={5,6}

Kümelerde birleşim işleminin birleşme özelliği vardır.

6

Örnek: M = {m, n} ve P = { } kümeleri veriliyor. M∪P kümesini bulalım.

Çözüm: M∪ P = {m, n} ∪ { } = {m, n} olur.

Bir kümenin boş kümeyle birleşimi, o kümeye eşittir.

Örnek: K = {x, y, z} olsun K ∪ K kümesini bulalım.

Çözüm: K∪ K= {x, y, z} ∪ {x, y, z}= {x, y, z} olur.

Bir kümenin kendisi ile birleşimi, o kümenin kendisine eşittir.

7

Kümelerde kesişim işleminin değişme özelliği vardır.

Örnek: L = {s, t, u} ve K = { k, t, p, s} kümeleri veriliyor. L∩K ve K∩L kümelerini bulalım. Bu kümeleri karşılaştıralım.

Çözüm: L∩K = {s, t, u} ∩{k, t, p, s} = {s, t} olur.K∩L = {k, t, p, s} ∩{s, t, u} = {t, s} olur. Buradan,L∩K = K∩L olduğu görülür. Buradan;

.u

L K

.t .p .s .k

.t

.s

KÜMELERDE KESİŞİM İŞLEMLERİ

8GERİ

Örnek: A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 4, 6} ve C = {4,5, 6} kümeleri verilsin. A∩(B∩C) ve (A∩B)∩C kümelerini bulalım.

Çözüm: A∩(B∩C) = {1, 2, 3, 4} ∩ ({2, 3, 4, 6} ∩ {4, 5, 6})= {1, 2, 3, 4} ∩ {4, 6}= {4} olur.(A∩B)∩C = ({1, 2, 3, 4} ∩ {2, 3, 4, 6}) ∩ {4, 5, 6}= {2, 3, 4} ∩ {4, 5, 6}= {4} olur. Buradan,A∩(B∩C) = (A∩B)∩C olduğu görülür. Buradan;

Kümelerde kesişim işleminin birleşme özelliği vardır.

9

Ortak elemanı olmayan kümelere ayrık kümeler denir.Ayrık kümelerin kesişim kümesi boş kümedir.

Örnek: A = {a, b, c} ve B = {e, f} kümeleri verilsin. A∩ B kümesini bulalım:Çözüm: A ∩ B = {a, b, c} ∩ {e, f}

= ø olur. Buradan;

Örnek: C = {c, d} ve D = { } verilsin. C∩D kümesini yazalım.

Çözüm: C∩D = { c, d} ∩ { } = ø olur.C ve D ’nin ortak elemanı yoktur. Buradan;

Bir kümenin boş küme ile kesişimi, boş kümedir.

10

Örnek: A = {a, b} kümesinin kendisiyle kesişimini bulalım.

Çözüm: A∩A = {a, b} ∩ {a, b} = {a, b} olur.

Bir kümenin kendisiyle kesişimi, bu kümeye eşittir.

11

Yandaki resmi inceleyerekaşağıdaki soruları cevaplayınız.Masanın üzerinde neler var?Odada masanın üzerindeolmayan neler var?Odanın içinde neler var?

12

Bu örnekte kümeler konusunu düşünerek oda neyi temsil eder?Masanın üzerindeki eşyalar neyi temsil eder?Odanın içinde bulunup masanın üzerinde olmayanlar neyi temsil eder?Odayı temsil eden kümeye E diyelim. Masanın üzerindeki elemanlara A diyelim.

EA Odada olup masada

olmayan elemanlar A kümesinin tümleyenidir. Yada A kümesinin farkıdır. (E/A) diye gösterilir.

13

KÜMELERDE FARK İŞLEMİ

14GERİ

15

İki kümenin fark kümesi, bir kümede olup diğerinde olmayan elemanlardan oluşur.Kümelerde fark işlemi “ \” sembolüyle gösterilir.

Fark işleminin değişme özelliği yoktur.

Örnek: Yandaki şemaya göre K \ D kümesini bulalım.

Çözüm: Once D ve K’nin elemanlarını listeyöntemiyle yazalım:D = {a, b, t, s, z} ve K = {t, s} olur.K’nin elemanları aynı zamanda D’nin de elemanlarıdır. Yani K’de olup da D’de olmayan eleman yoktur. Böylece K \ D =

ø bulunur.D\K = {a, b, z} Böylece K/D ≠ D/K olur.

K

D

.a

.b.t.s

.z

16

TÜMLEME İŞLEMİ

17GERİ

18

Evrensel kümeyle bir kümenin farkına, o kümenin tümleyeni denir. Bir kümeyle, tümleyeninin birleşimi evrensel kümeyi verir.

19

Örnek: E = {a, b, c, 1, 2, e} ve A = {2, a, e} kümeleri verilsin. Bu iki kümeyi Venn şemasında gösterelim.Çözüm: A kümesinin elemanlarının hepsi E kümesinin içindedir.Buna göre şema şöyle olmalıdır:

Venn şemasında boyalı olarak verilen küme A kümesinintümleyenidir. A kümesinin tümleyeni sembolle “A′” şeklinde gösterilir.

E

A

.2

.a .e .c

.l.b

20

1. A = {1, 3, 5} , B = {8, 4, 1} ve C = {1, 3, 4, 7} kümeleri veriliyor. Buna göre; Aşağıdaki işlemleri liste yöntemi ile yazınız.a) A ∩ B, A\C, B ∪ C, A ∩ B ∩ Cb) s(A ∩ B) = ?c) s(A ∩ B ∩ C) = ?d) s(B\C) = ?

ALIŞTIRMALAR

2. 51 kişinin çalıştığı bir şirkette çalışanlar Fransızca ve ingilizce dillerinden en az birini bilmektedir. 7 kişi hem Fransızca hem ingilizce ,18 kişi ise sadece ingilizce bildi.ine göre Fransızca bilenlerin kaç kişi olduğunu bulunuz.

21

3. 31 kişilik bir sınıfta yapılan matematik ve ingilizce sınavlarının sonuçları aşağıdaki gibidir:- Matematik sınavından 14 kişi geçer not almıştır.- İngilizce sınavından 21 kişi geçer not almıştır.- Matematikten geçer not alanların 2’si ingilizceden geçer not alamamıştır. Verilenlere göre:

a) Yalnız matematikten geçer not alanların sayısı kaçtır?b) Her iki dersten geçer not alanlarla geçer not alamayanlar toplamı kaç kişidir?

22

5. Bir pideci gün sonunda 20 tane Kaşarlı, 16 tane kıymalı pide satmıştır. Toplamda 32 kişiye pide sattığına göre,a) Kac kişi hem kaşarlı hem de kıymalı pide almıştır?b) Kaç kişi yalnızca kaşarlı pide almıştır?c) Kaç kişi yalnızca kıymalı pide almıştır?d) Kaşarlı pide almayan kaç kişi vardır?

4. Bir pastane sahibi iki saat boyunca kahve ve cay içen müşterilerin sayısını 36 olarak bulmuştur. Çay içen müşterilerin sayısı kahve içen müşterilerin sayısının 2 katıdır. 3 müşteri hem çay hem de kahve içtiğine göre;a) Bu durumu gösteren Venn şemasını çiziniz.b) Kaç kişi kahve içmiştir?c) Kac kişi sadece kahve icmiştir?d) Kaç kişi sadece cay içmiştir?

23

DİNLEDİĞİNİZ İÇİN TEŞEKKÜRLER

KAZANIMLAR: KÜMELERDE BİRLEŞİM, KESİŞİM, FARK VE TÜMLEMENİN ANLAMLARINI KAVRAR.KÜMELERLE BİRLEŞİM, KESİŞİM, FARK VE TÜMLEME İŞLEMLERİNİ YAPAR VE BU İŞLEMLERİ PROBLEM ÇÖZMEDE KULLANIR.

KAYNAK: 6. SINIF ÖĞRETMEN KLAVUZ KİTABI 20126. SINIF MATEMATİK DERS KİTABI

24

25

ADI: ÖZGE

SOYADI: ARI

SINIF: 2-B

NUMARA: 110403096

BÖLÜM: İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ (I.ÖĞRETİM)