kuantum fizi ğ i Stephen Gasiorowicz A.Ü.F.F. Döner Sermaye i ş letmesi Yay ı nlar ı No:1 Stephen Gasiorowicz Mitinesota Universitesi kuant um fizi ğ i Çeviri: Prof. Dr.. Ayla Çelikel Redak siyon: Yrd. Doç. Dr. Hau ash Gür Ankara Üniv. Fen Fakültesi, Firk Müh. Bölümü
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
1970 lerin ilk y ı llar ı nda Ank ara Üniversi tesi Fizik Bölüm ü ö ğ rencileri, Berk eleyÜniversitesi'nde haz ı rlanm ı ş be ş ciltlik diziyi, o zaman ki tüm ö gretim üye leri veyard ı m c ı la r ı n ı n büyü k bir özveri i le t ı pk ı bas ı m ı n ı Türkçe'ye kazand ı rmalar ı sonucunda,bölük pörçük ders notlanndan kurtulup düzeyli ve ken di içinde tutarl ı ders kitaplannakavu ş m u ş lard ı . S. Gasiorow icz'in 1974 y ı l ı nda John Wiley & Sons yay ı nlar ı aras ı ndaç ı kan 2 ~ v e ,. ~ P4oie4 kitab ı , elden geldiğ ince basit tutulmu ş matem atiksel yap ı s ı ilelisans düzeyindeki bo ş luğu doldurmak ü zere, o y ı llar ı n heyacam ile Türkçe'yeçevrilmi ş , ancak telif ücreti ödenemediğ inden uzun y ı llar teksir halinde kullan ı lm ı ş t ı r.İ lk bask ı s ı Ank ara Üniversitesi Fen Fakültesi Döne r Sermaye Yay ı rı lan aras ı nda 1991y ı l ı nda yap ı lan kitap , ögrenciyi ileri düzeydek i konular ı i ş lemeye haz ı rlama ö zelliğ i ilediğ er ünive rsitelerde de kullan ı lmaya ba ş lay ı nca 1995 y ı l ı nda ikinci ve ş imdi 2000y ı l ı nda üçüncü bask ı ya gereksinim do ğmustur.Soyut kavramlann en kolay ki ş inin ana dilinde özümsen diğ i gerçeğ i, geride kalan
çeyrek yüzy ı lda yay ı nlanan pek çok de ğ erli kitab ı n da Türkçe'ye kazand ı nlmasm ı nönem ini or taya koymaktad ı r . Fizik ögrenciler inin uzak olmayan bir gelecekte dünyadaya y ı nlanan k itaplar ı Türkçe okuma olana ğ ı na kavu ş malar ı dileğ iyle...
Bölüm 1: Klasik Fii. ğ in Sı n ı rlar ı Si yah oi ı . 51 mas ı :Wien ve Rayl ei dh eans yasal ar ; P1 arick
ornUlU. Fotoel ek trik ol ay. Compt on olay ı . El ek t r on k 1 r na rraBort:- atomu; postül at 1 ar denel sonuçlar ; Kar şı 1 ı ğı bul unma II -
ket Dal ga -Parç ac ı k pr °bi ft!ri .
2733ö1 bn 2: Dal da paketleri ve Kesinsizi. i k Ba ğ ı . nt ı l ar ı
Gaussi yen dalga pak et,i ; pak.et e'r in yayı lmas ı . ; oruç, n ı . z ı ;De
Brodl le bağı nt.1 s ı Kesi rsizl i k bağı nt 1. ar ; r elek tr onun
konumunun ;31 çUl mesi ; çif t yar ı k deneyi Bohr at. ornundak i yör tingel er i ri gerçek 1 1 ğ i ' ; ener i -zaman k esi nr. , 1 21 i k bağı nt ı s ı
Sayı sal kesti rirkler için ba ğ ı rit..1 lar ı n k ul laru 1 mas ı
45Ekini»: 3: Schrödinger Dalga Denk lerni : •Özgur parçac ı k denk 1 emi Olas ı l ı k yorumu, Ak ı k or unumu. Bek -
1 enen değ er ler Momentum i ş lemcisi Beklenen değeri ri gerçek
I 1 ğ i . Bir potansi yel içindeki parçac ı ğ r denklemi.
BölU 4. Dzforiksiyortlar ve Dzde ğerler7Enerji bzdeğ er denk 1 e ı ni . Kutu içinde parçacı k. özde ğ e r
ve özronksiye.mlar;bzfonksi. yoniar ı n (Ii k .1 ğ i ; aç ı I ı nt pos
',tü atları ve a.ç. ı ll nı katsayı ı ar ı n ı n yorumu. Parite. Momen-tum özfonksi yonlar ı ; boyl and' r 3. 1 amaz durumlar ; katmerl ilikve eş- zarnanl ı l ı k özfonksiyonlar ı .
75Miltim 54 Bir Boyutlu Potansiyeller
Potansiyel basamağ ı ;yans ı ma ve geçi ş katsayı lar ı . Potansiyel
k uyusu ve bağ . 1 ı dur un ı l ar Potansi yel engel i sizi p geçme ; Soğ uk
yayı n:: nce tabak al a.rdan s ı z ı p geçme; alfa bozunumu. Mol ekili 1 er i n
bi r boyutlu modeli ve deita fonksiyonu potansiyeli Kroni g
Penney modeli. Har moni k sal ı ngan.
Bölüm Be. Dalga Mekani ğ inin Genel Yapı s ı11 .
özfonksiyonlar ve aç ı i ı m teoremi;vektör uzaylar ı le
benzeriik.Çizgisel i ş l emc 1 er ; her Itti t i 1.. ş l emci 1 er ; tamil ı k
k atmer 1 il 1 k cieğis edebilen cözlenebilirlerin tam k times' .
Kes ı nsizli k ha ı r,t ı 1ar.Kuantumkuramı n ı n klasik sı n ı r ı
M I kim: 7: Kuant ı un M ekani. ğ ind.e :t ş lentri Yöntemleri27
Harrnonik sal ı ngan problemi ; ar tt r ma ve eksi 1 t meI ş lemci-
leri ; bzdurum ve özdeğer.ler . Dalga fonksiyonunun ol as ı k
genli§i olarak yorumu. içlernciler cinsinden bir sisteminzaman içindeki gel iş imi ;Schrödi nger ve Hei senber d g6rUntil eri.
Ondokuzuncn yüzy ı l ı n sonlar ı ve yirminci yüzy ı l ı n baş lar ı fizikte bir
bunal ı ma tan ı k oldu.Bir dizi deneysel sonuç klasik fizik ile ba ğ da ş mas ı ta-
mam ı yla olanaks ı z kavramlar gerektiriyordu.Sonunda,köklü varsay ı mlar ve par-
lak deneyierin biiyilleyici etkile ş imiyle bu kavramlar ı !' geli ş mesi Kuantum
kuram ı na yol açt ı l .Bu bölümdeki amac ı m ı z,sözünü etti ğ imiz bunal ı m ı n nedenle-
rini anlatmak ve sonradan anla şı lan önemlerin.i gözönünde tutarak,bu yeni kav-
ramlar ı sergilemektir.Tarihsel s ı ra bak ı m ı ndan doğ ru olmamakla birlikte,ser-
gilememiz kuantum knramı na geçi ş ikur için daha az gisemli yapacak-
tir.lanimin parçac ı k özelikleri,maddenin dalga özelikleri ve fiziksel nicelik-
lerin kuantumlanmas ı gibi yeni kavramlar inceleyece ğ imiz aş ağ ı daki olaylar-
dan çakacakt ı r.
A. Siyah Cisim Işı mas ı
Sir cismin, ı s ı t ı ld ı gı nda ışı ma yapt ığı görülür.Denge halinde,yay ı nla-
nan ışı k il frekanslar ı n ı n bütün spektrumunu kaplar; spektrumsal da ğı l ı m hem
frekansa ya da eadeger olarak ı ş ı ğ ı nalgaboyuna,hem de s ı cakl ığ a bağ l ı dı r.
Birim zamanda birim yüzeyden yay ı nlanan . 2 ı dalgaboyundaki enerji olarakl ya-
yı nlama gücü denen bir E( ık,T) niceli ğ i tan ı mlanabilir. > ' dalgaboyundaki ge-
len ı §ln ı mdaa ciamin soğ urduğ u kesir de,A maiiiyrganl ığı larak tanı s lanı r.Is ı l. ışı ma
alan ı ndaki kuramsal ara ş t ı rma 1859'da Kirehhoff'un çal ı ş mas ı yla ba ş lad ı .Kirch-
hoff verilen bir 7 1 için,E yay ı nlama gücünün A sogurganl ı gı na oranı n ı n tüm
cisimler için ayn ı olduğunu gösterdi.K ı rchhoff yay ı nlayac ı ve soğurucu olarak
paralel iki levha gözönüne ald ı ;ve denge ko ş ulundan,yay ı nlanan enerjinin so-
kurulan enerjiye e ş it olduğ unu (her 7 1 için),dolay ı sxyla da E/A oranlar ı n ı n
her iki levha için a y n ı olmas ı gerekti ğ ini gösterdi.Bundan k ı sa bir süre
, Kuantum kuram ı n ı n geli ş iminin ilginç bir öyküsü,M.Jammer,TheConce tual Development of Quantum M e c h a n i c s , McGraw-Hill, New York,19 'da bulunabilir.
2u a n t u m F i z i k is o n r a d a , b i r s i y a h c i s i m i c i n , B ( ->t, T) fonks iyonunun ev r e ns e l bir fonks iyon
oldu ğ u n u gö z l e d i ; s i y a h c i s i m , üs t ü n e d ü ş e n tüm ışı n ı m ı t a m a m e n s o ğu r a n ( y a -
n i A = 1) bi r yüzey ola r ak t an ı m l a n ı r .
B u fon k s i yon u i n c e l e y e b i l m e k i ç i n o l a b i l e c e k e n i y i s i y a h c i s i m ışı nım
ı
k a y n a ğı n ı e l d e e t m e k zo r u n l u du r . B u sor u n u n k ı lg ı n b i r ç ö z ü m ü b i r T s ı c a k l ığı na
k a d a r ı s ı t ı lm ış k a p a l ı b i r h a c i m d a k i k ü ç ü k b i r d e l i k te n ç ı ka n ışı n ı m ı d i k k a t e
a l m a k t ı r . Ko vn ku n i ç yü z e y i n i n pü r ü z l e r i gü n ü n üz e a l ı n d ığı n d a , d e l i ğ e d ü ş e n h e r -
h a n g i b i r ışı n im ı n y e n i d e n o r t a y a ç ı kma ş a ns ı OlMa d ığı n ç ı kt ı r . B ü yl e c e d e l i k -
l e g ö s t e r i m l e n e n yü z e y h e m e n h e m e n b i r "t a m sogu r u c u " du r v e so n uç o l a r a k bu
d e l i k t e n g e l e n ışı n ı n g e r ç e k t e n " s i y a h c i s i m ışı n ı m ı "d ı r .Deli ğ i n y e t e r i n c e
küçük olmas ı ko ş uluyla,bu ışı n ı n kovu ğ u n d u v a r l a r ı n a d ü ş e n ışı n ı n k a d a r o la -
c a k t i r . B u n d a n do l a y ı , ö n c e d u v a r l a r ı T s ı c a k l ığı nd a ol a n bir kovu ğ u n i ç i n d e k i
I ş i n i n d a ğı l ı m ı n ı a n l a m a m ı z zor unludur .
Ki r c hhoff te r modin a mi ğ i n i k i n c i y a s a s ı u y a r ı n c a ko v uk i ç i n d e k i ışı n ı m ı n,
ak ı n ı n g ü n e b a ğ l ı .o lm ay s c a ğı n ı g ö s t e r d i . A y r ı ca ışı n ı m ı n
t e k d i a z e y a n i h e r nokt a d a ay n ı n l a c a ğı n ı ;v e b un l a r ı n tümü nü n, a yn ı s ı c a k l ı ktaki
k ovu k l a r d a h e r d a I g a bo yu i ç i n a y n ı o l a c a ğı n ı g ö s t e r d i .2
Ya y ı n l a m a gü c ü n ü n k o -
vuk içindeki ta( , N , T ) e n e r j i yo ğ un lu ğ u n a b a ğ l ı ol d u ğu, b a s i t g e om e t r i k d ü ş ün -
c e l e r k u ll a n ı l a r a k g ö s t e r i l e b i l i r . B u b a g ı nt ı ,
t t ( >_ ,T)
E(,T)C
d i r . E n e r j i yo ğ unlu ğ u k ur a m s a l i l g i y e k o n u ol a n b i r n i c e l i k t i r v e d a h a i y i a n l a -
şı l a bilmes i,1$9 4 ş d e g e n e l d ü ş ü n c e le r d e n h a r e k e t e d e r e k 3 , e n e rj i yo ğ unlu ğ unun
t ı (? , T) = ?t -5f ►) (1-2)
b i ç i m i n d e o l a c a ğ ı n ı g ö s t e r e n k i e n ' n i n ç a l ış m a l a r ı ile mümkün olmu ş tur.Buradaf
holâ bir tek d egi ş k e n i n b i l i n m e y e n b i r f on k s i yon u d u r , D a h a e l v e r i ş li oldu ğu n d a n ,
y e r i n e f e k a n s ı n fonksiyonu olan 14( ı ),T) en e rji yo ğ unlu ğ u kull a n ı l ı rs a,
,T) = uP,T
ek)
) 2 -
B u ko nu l a r a b i r ç o k m od e r n f i z i k v e i s t a t i s t i k fi z i k d e r s k i t a b ı n-
d a y e r v e r i l mi ş ti r .Kny n alq_ a r b u b ö lümün sonun d a b ulunm akt a d ı r .
3 w .ı e n a d y a b a t i k ol a r a k bü z ü l e n k us u r s u z y a n s ı t ı c ı k ü r e s e l b i r k a v u ğ u
g ö z ö n ü n e a l d ı .on ks i yon u o l a r a k , e n e r j i n i n y e n i d e n d a ğı l ı m ı y a n s ı ma -
d a k i Doppl e r k a ym a s ı n ı n so nu cu n lm al ı yd ı . B a k . F . K . H i c h tmy e r , E . H . K e n n a r d a n dJ.N. Coope r ,Introduc tion to Mod e r n Physice, McGraw-Bill,New York,1969, Bö -lüm V .
Ş ek.1-2. (a) Çe ş itli scakl ı klardaki bir siyah cismin ı s ı d ı g ı gficün diag ı l ı m ı .
(b) 16000K 'deki verilerin,Planek ve Rayleigh-Jeans formiilleri ile kAr şı laş -
t ı r ı lmas ı .
klasik fiziğ in baz ı çok genel kavramlar ı ile uysmuyordn.1900 yı l ı nda Rayleigh,
871 „s>2
a . k ( )),T) -T1-7)C
3
sonucunu ç ı kard ı .Burada k = 1,38 x 10-16
erg/derece Boltzmann sabiti ve
c= 3.00 x 100
cm/sn ışı k h ı z ı d ı r.Formillün ç ı karı lmas ı nda kullan ı lan doya-
naklar ş unlard ı : (I) Enerji e lı filüSfimünün klasik yasas ı ; buna göre, dengede
bulunan sözkonusu dinamik sistem için serbestlik derecesi ba şı na ortalama ener-
ji kT dir4 , ve (2) Bir kovuga hapsedilmi ş N), - ı ) +eh) ) frekans aral ı g ı ndaki
elektromagnetikışı
n. mtn kip sayı
sı
nın (yani serbestlik dereceeri say s
ı
nı
n)hesaplanmas ı
' E ş bölüş üm yasas ı serbestlik derecesi baş ı na enerjinin kT/2 olacagial öngörür.Bir sal ı ngan için-ki elektromagnetik alan ı n le'ipleri. basit harmonik sal ı nganlar-d ı r-kinetik enerjiden gelen kT/2 katk ı s ı na,ayn ı büyüklükte bir potansiyel ener-ji katk s ı elik eder ve sonuç kT olur.
5 .12. • Bu sonuç bize yine gerekecek ve Bol. 23'te çlkaracag ı z.Kip say ı s ı
dür,ve enine elektronagnetik dalgalar ı n iki boyutlu harmonik sal ı ngana karşı l ı k
ışı n ı n enerjisinin,Stafan-Boltzmann ifadesi olan
U(T) =4
( 1 - 1 2 )
:edeedilir;burada a =. 7,56 10-15 erğ /cm3 derece ' dir.Bu sonuç,ba ş taki sa-•
yı sal sabit d ş ı nda termodinamik usiamlama ile çok önceden d e ç ı kart ı lmı ş t r
As ı l ebölüşüm yasas ı ndan uzakla ş ma hiç beklenmedik birş ey de ğ ildi.Bunun bir
sonucu öz ı s ı lar n Dülung-Petit ya saslyd ı .Tüm katilar içia,atom(ya da molekül)-
ağ ı rlı kları ile öz ı s ı lar n çarpı m ı n ın sabit oldu ğ unu deyimleyen bu yasa ile
uyu ş mazl ı kları n gözlenhiesi 1872 y ı l ı na kadar uzan ı yordu.?
Bu uyu ş mazl ı klar öz
ı s ı n ı n alçak s ı c akl ı k l a r d a a z a l d ığı n ı gösteriyordu.8
Formülünün bu kesin ba ş ar ı s ı Planekt ı ,onun 'kaynağı n ı aratı rmaya yöneli-
ti;. ve iki ay içinde,elektromagnetik alan ı n her bikipinekarg l ı k gelen e-
nerjinin(kT ortalama de ğeri ile) sürekli olarak de il,bunun yerine bir E en
küçük enerji kuantumunnn tam katlar ı olaraludeigtiğ i ı ı i varsayaraa,formBlül-
çı karabilece ğ ini buldu.Bu koşullar altı nda,T s ı c a kl ığı n d a d e n g e d e olan bir
-sistem için,
E
Boltzmann olas ı l ı k dağ ı l ı m ı kullanlarak,her bir kipekarşı l ı k gelen ortalama
enerjinin hesab ı .,
E = Z E (E)EnE./kT
nE., e
e-rteikT
O
n1.0l Y 7 --T 4
= n5E ş bölü ş üm yasas ı naöre Nsalıngan1 1 , b i r topluluğun (a:ralar ı nda esnekkuv-vetler olan atomla ı n olu etu r du k Ubi ş r g i i bu ş iekilde düa'*iniilliir) enerjisi 3NkTdir; katı igindeki:.sal ı rganlar,kaPall bir ortaudaki ı şı n ıwgibi iki boyutlu de-
ğ il üç boyutlu oldu ğ undan 3 çarpanı vard ı r.Bir molün öz ı s ı s ı se,T'ye göre tü-rev al ı n ı p N = N Avagadro say ı s ı n ı n konulmas ı yla elde edilir.BbyleceC , „ =3N o k = 3R o?ur,burada R = 8,28 x 107 er derece dir,
8Ö z ı s ı lar,Bölüm 20'de k ı saca tartışı lacakt ı r
ö z d e ş l e m e s i n i y a p m a k v e k i p s a y ı s ı n ı d e ğ i ş tirmemek ko ş uluyla (1-10) ile nyn ş ur .
P l a n c k k a v u k d u v a r l a r ı n d a k i atomlarin.bilinmeyen bir nedenle', (11 = 1,2,3,...)
e n e rj i li " ku antuml a r" h ali n d e ışı m a y a p t ığı s a v ı n ı ö n e s ü r d ü . B i r k a ç y ı l sonra
Einstein •amanetilgsjn ı m ı n J l Eçilieneriiektt (u"t"n"r""bir"-
luluğu g i b i d a v r a n d ığı n ı orta y a koydu.9
Planck' ı n say ı n ı n tutarill g ı da böyle-
c e s a ğ l a n d ı .
Ku antum b as ı n a t a şı n a n e n e r j i s o n d e r e c e k ü ç ü k tü r . Op t i k b ö l ge d e k i l ı f ı k,
ö r e e g ı1= 6000 A ° i ç i n ,
in) = h
d i r .Buna g ö r e,100 w a tt'llk bir k a yn a g ı n y a y ı n l a d ığı b u d a l g a b oy u n d a k i ışı k kuan-,
d ı r.Bu kadar çok say ı d a kua ntum bulundu ğ und an, ışığı n p a r ç a c ı k do ğ as ı n ı o ğ r u d a n
do ğ r u y a g ö r e m e y i ş imizin ş a ş ı l a c a k b i r y a n ı olma s a g e r e ki r ; ma k roskopik boyut-
l a r d a k l a s i k o pt i k te n b i r s a p m a n ı n b e k l e n e m i y e c e ğ ini g ö r e c c ğ i s.Yi n e d e , P l a n ck' ı n
k e n d i fo rmülün e v e r d i ğ i a n l am, b i z im ışı n ı m konusun d ak i g ö r ü ş l e r i mi z i k ö k ün d e n
de ğ i ş tiriyor.
B. F a toel ektr ik Ol a y
P l a n c k f o r m ül ü n e k a d a r b a ş ar ı l ı ol duys a ,bunun sonuc u ol a n ışı n ı m ı n ku an-
tumlu do ğ a s ı n ı a n l a m a k d a o ka d a r z o r o l d u . % k a v r a m ı n b e n i m s e n m e s i n e ö n e m l i b i r
katk ı Al b e r t E i n s t e i n' ı n ç a l ı ş ma s ı nd a n g el d i ; Einstein 1905' d e,g ö r ü nü r ve ı ı ;or.-
V e r i l e n bir r e k a n s ı n d e i s t e n e n h e r t a m s a y ı k a d a r k u a n tum b u l u n a b i l i r , d o -la y ı s ı yl a n = 0,1,2,3,. . . . . olma k üzere e n e rj i nb ı )e ğerlerini alabilir.
Daha yedin bir ışı k kayna ğı daha çok foton yay ı nlar ve bunlar da daha çok elekt
ron aç ığ a ç ı kar ı rlar.
Kapsaml ı deneyler yapan Hillikan,Einstein'in formülönün do ğ rulu ğuna kana .
(Şek.1-3).Hillikan deneyleri ve daha önceki deneyler
şu gerçe
ği gösterdi:
I şı k bazen bir parçaelklar toplulu ğ u gibi davran ı r ve bu "parçae ı klar" bireysel
olarak davran ış gösterebilirler.Bilyie olunca,tek bir fotnnun varl ığı n ı dü ş fine-
bilme ve özeliklerini ara ş t ı rma olana ğı do ğmaktad ı r,Ba deneylerin bir yan ü-
rünü ise metaller konusunda elde edilen bilgiler oldu.k.nin birkaç elektron
volt(1 eV = ı ,6 x 10 -12 erg) basama ğı nda olduğ u ve bunun metallerin öteki öze-
likleri ile uygunluk sağ lad ığı bulundu.
C. Compton Olayı
I şı n ı m ı n parçac ı k do ğ a s ı : konusunda en dolays ı z kan ı t ı veren deney Compton
olay ı denilen deneydir.Compton verilen bir dalgaboyundaki ışı n ı m ı n(X- ışı nlarl
bölgesinde),hir metal yapraktangeçirildi ğ inde,klasik ışı n ı n kuram ı yla ba ğ da ş mayan
bir ş ekilde saç ı ld ığı ni bulgulad ı .Klasik kurama göre olay ı n i ş leyi ş i,gelen ış ı -
n ı mla zorunlu sal ı n ı ma geçen elektronun yeniden I ş inin yapmasidir ; ve bu
yi ş ,bir Fl aç ı s ı nda,gelen ışı n ı m ı n dalgaboyuna ba ğ l ı olmayan ve (1 + CO22o) gi-
bi de ğ i ş en bir ye ğ inlik gözlenmesini iingörür.Compton verilen bir aç ı dan saç ı lan
ı ş ı n ı m ı n iki bile ş eni oldu ğ unu buldu: Bunlardan birinin dalgaboyu gelen i ş ini-
m ı nki ile avn ı ,öbürünü n dalgaboyu gelen ışı n ı m ı n dalgaboyuna göre aç ı ya ba ğ l ı
bir miktar kadar kaym ış t ı r ( Ş ek.1.4).Compton,gelen ışı nim ı 1 1 - . )nerjili foton-lar ı n bir demeti olarak ald ı ; ve saç ı lan ışı n ı m ı n "de ğ i ş mi ş " bile ş enini,tek
tek fetonlar ı n tek tek elektronlarla esnek saç ı lma yapt ığı n ı dü ş ünerek aç ı kla-
yabildi.Eenek bir çarp ış mada enerji gibi momentum da korunmal ı d ı r ve dolay ı s ı y-
la önce foton için bir momentum tan ı mlanmal ı d ı r.Cöreli parçac ı k kinemati ğ ine
benzeterek,
= h/ c1-1 7)
oldu ğ unu kan ı tlayal ı m.Bu de ğ er,enerji ve momentum aras ı ndaki göreli ba ğı ntidan
ç ı kar:
E<,„ 2 ) 1 4- (T
1-18)
Burada rn. parçac ığ ı n durgun kütlesidir.Bu momentumdaki h ı z
pc ag2 C1-19)v = dp - - ( n , , , , ; c 4 + ?ı c al1/
j l ı r.Fotonun h ı z ı her zaman G oldu ğ una göre e fotonun durgun kütlesi' s ı f ı r olma -
p2 c 2 = ( i n ) - h ) > ' ) 2 + 2(h ı ))(b4 ' )(1-cos 0 )1-24)d emektir ;bur a d a 0,fotonun s a ç ı l ma a ç ı s ı d ı r.BOylece
( ı -coso) = rn c'
N)')
v ey a e ş de ğ e r ol a r a k,
- (1- cos 0)1-25)c
e l d e e d i l i r . D e ğ i ş mi ş bil e ş e n i n ö l ç ü m l e r i y u ka r d a k i ö n g ö r ü , ile ç ok iyi uyu ş ur .
De ğ i ş memi ş çizginin atomun bütiinünden saç ı larak olu ş tuğu sanı l ı r.Çünkü bir a-
tom e l e k t r o n d a n b i n l e r c e k e z d a h a k ü t l e l i ol d u ğ u n d a n , m yerine atom kütlesinikoyacak olursak dalgaboyundaki kayma çok kfigük olocakt ı r.Uzunluk boyutunda olar
k/ f r a c ni c e l i ğ ine e l ektronun Compton d a l g a boyu d e n i r v e büyüklü ğ ü
h2.4 x 10
-10e m
m c(1-26)
d i r 4 l e k t r o n u n g e r i t e p m e s i d e ö l ç ü l m ii ş v e k a r a r a il e uy ı t u k u g ö r ü l m ü ş tür.Bun-
d a n b a ş k a, ç ı k a n foton v e g e r i t e p e n e l e k t ro nun e ş z a m a nl ı olarak ortaya ç ı ktığ ı
da,yüksek z a m a n ç ö z m e g üç l üü ş i j a d e ş d e n e y l e r l e - b e li r l e n mi ş t i r . b yl e y s e ç a r -
p ışma n ı n b ay a ğı " b i l a r d o top u" t i pi n d e b i r ç a r p ış ma olarak yo ruml anm as ı n d a , y a -
ni f otonun parçac ı k g i b i d a v r a n ışı ko n us u n d a h e r h a n g i b i r ş üphe yoktur .Anc a k
ışı n ı n d a l g a ö z e l i k l e r i d e g ö s t e r d i ğ i n d e n , v e k ı r ı n ı m v e g i r i ş im olu ş turdu ğ un-
d a n b a z ı k a v r a m s a l g ü ç l ü k l e r i n ç ı kmas ı n ı b e k l e m e l i yi z . G e r ç e k t e n v a r o la n b u
g ü çlük l e r i b ö lümün so nun d a t a rt ı ş e c a ğı s .
Kl a s i k F i z i ğ i n S ı n ı r l a r ı3tomun boyutIar ı n a g ö r e k ü ç ü k o l a n b i r b ö l g e d e ,y a n i a to m u n c e k i r d e g i n d e
oplan ı yor d u . b i r 1 / r2
k uv v e t i i l e ç e k i r d e ğ e d o g r u ç e k i l e n . e l e k t r o n la r , ç e k i r d e k
s i n d e g e z e g e n s e l y ür ü n g e l e r d e d o l a n l y or d u . N o d e l h e r n e k a d a r o C pa r ç a cıg
ı
ı l m a s i n t n i c e l o l a r a k a ç ı kl a d ı y a a d a i k i a ş ı l m a z g ü ç l ü k l e k a r şı k a r ş ı y a i d i .
d e l e l e k t r u n l a r için periyodik bir h a r e k e t ö n g ö r d llg ün d e n l atsralari rün ışı n ı n
sp ektr uml a r ı n i n n e d e n i n i a ç ı kl ı ya m ı yor d u . Sp e k t r u m l a r b e k l e n e n h a r mo n ik y a p l y ı
(titre ş e n bi r y a y gibi) ta şı m ı yor d u , b u n u n y e r i n e
ı/ t.1-29)1a p ı s ı n ı g ö s t e r i y o r d u , b u r a d aı i ve ni tam sayı l a r d ı r .Ay r ı c a a to mla r a d a y a -
ı k l ıyap ı
k a z a n d ı r a c a k b ir i ş leyi ş t e n d e yo k s u n d u : Da i r e s e l y a d a e l i pt i k b i r
ı r , v e e l e k t r o m a g n e t i k k u r a m a g ö r e , 1 ş ı ma
ı d ı r . B ö y l e c e d o ğ a n s a bit en e rji Yiti ğ i yü zü nd e n, çok k ı s a b i r z a m a n d a
(10-"e n b a s a m a g ı n d a ) , e l e k t r o n l a r ı n ç e k i r d e g e g ö m ü l m e s i y le a tom ç ö k m e l i d i r .
Bu mod el in önerilmesinden ta m iki y ı l somra,1913'cle N iel s Bohr bir d i z i
ost ü l a t i l e r i s ü r d ü . B u po stü l a t l a r k l a s i k f i n i ğ e : k e s i n o l a r a k uy m a m a k l a b i r l i k t e ,
s p e k t r um y a p ı s ı n ı a ç ı klad ı v e a to m u n d a y a n ı k l ı l ığı k on u s u n d a k i p r o bl em i o r t a d a n
ı r d ı . Bob r i u n ö n e r i l e r i ş u n l a r d ı :
1. E le kt ro n-l a r y al r r i z c a, b e lli yo-rü z rg r l~ e -do lmn nb i l r r± e r r - b n - y ö r ü n g e l e r -e a ç ı sal momentum, l ı /2 T1 'ni n t am k at ı olmal ı d ı r , Y a n i , r y a r l ç a p l ı d a i r e s e l y ö -
r ü n g e l e r i ç i n e l e k t r o n h ı z ı
nhr r ı r =1-30)2 . T l
ile k ı s ı ll a n m ı ş t ı r , v e ay r ı c a b u y ö r i i n g e l e r d e k i e l e k t r on l a r i v m e l e r i n e k a r ş ı n
ş ı m a y a pm a z l a r . B u e l e k t r o n l a r ı n k a r a r l ı d u r u m l a r d a o l du k l a r ı s ö y l e n i r .
2 . E l e k tr o nl a r i z i n v e r i l e n y ö r ü n g e l e r i n b i r i n d e n ö b ü r ün e k e s i kl i g e ç i ş -
l e r y a p a b i l ir l e r v e e n e r j id e k i E - E ' d e g işimi,
= E - E(1-31)
f r e k a n s l ı ışı n ı n o l a r a k o r t a y a ç ı k a r . A y r ı c a b i r a to m,e l e k t r o n l a r ı n ı d a h a y ü k s e k
ışı n ı m aogu r ab i li r .
D a i r e s e l y ö r ü n g e l e r l e i l g i l e n i yo r s a k ,h i d r o j e n ,b i r d e f a i yo n l a ş m ı ş h e l yu m
e bu n u n g i b i b i r e l e k t r on l u a to ml a r i ç i u ,bu post ü l a t l a r ı n s o n u ç l a r ı çok kolay-
c a ç ı karilabilirNekirde ğ i n y ü k ü Z e , e l e k t r o n u n ki - e v e y ö r ü n g e n i n y a r ı ç a p ı r
13El i pt ik y ö r ü n g e l e r i ç i n ç o k d a h a z e n g i n b i r y a p ı o r t a y a ç ı kar.Bölfim
2 'd e b u n u n ü s tü n d e d u r u l a c a k t ı r .
2. Aç ı sal momentumun kuantumlanmas ı öteki•darnalarda.dö•geçarlidir.Bunnn
eliptik yörfingelere uygulanmas ı ,hidrojen gibi atomlar ı n spektrumunun daha tam
bir anlat ı m ı ni verir.Aç ı sal momentummn kuantumlu olu ş u,1922'de Stern ve Gerlach i6L
indeneylerinde doğ rudan gözlenmi ş tir.
F. Dalga-Parçac ı k Problemi
I şı n ı m ı nAalga ve parçac ı k özeliklerinden ikisini de , sergilemesi gerçe ği,
a ş a ğı daki düş üncelerden görülecnği gibi,derin bir kavramsal güçlükdoğ urur:
1. Fotoelektrik olay üzerindeki incelememiz,rizellikle yay ı nlanan elektron
say ı s ı ileışı n ı m ye ğ inliğ i aras ı ndaki ili ş ki,elektromagnetik ışı n ı m ı n yeğ inliğ i-
nin kaynağ ın ya~ladğı foton say ı s ı ileorant l ı olduğ unu kuvvetle öngörür. ş im-,
di bir D ü ş ünce Deneyi lizerindd diı relı m.Ru deneyde ışı n ı m,bir çift yarı k sisteMin-
de k ı rı n ı ma uğ raaı n.Kaynağı n Ye ğinliğ inin,ekrana ortalamo, olorak,saat ba şına bir
foton ula ş acak biçimde azalt ıld ı -gın ı varsayallw.hülönmemi ş fotonlarle u ğ raş mam ı z
ğerekti ğ ini , belirtelim: Compion'olay ı da,fotoelektrik olay gibi hir fotonu, r ı ı
frekansl ı fakat enerjisiw i dan küçük olan parçalara ay ı rman ı n olanaksı z ol-
duğunu gösterir.üelen ışı n ı m ı n yeğ inli ğ ini azaltmak,klasik kı rı n ı m desenini at-
kilernomelidir,Çünkil asl ı nda,kaynaktan foto ğ raf levhas ı na çok büyük say ı da foton
gelecek biçimde,yaln ı zca zaman ülçe ğ ini uzatmış oluyoruz.Levhaya bir saat ara ile
gelen fotonlar aras ı nda bir ili ş ki olamaz,onun için bu süreçte,herhangi b i r anda
bir foton bulundu ğ unu dü ş tinebiliriz.Bir fotonun,bir parçac ı k olarak,yar ı kları n
birinden ya da öbüriinden geçeceğ
i sanı
lı
r.Düş
iince Deneyi aygı
timı
za fotonan
15 El ptik yörüngeler için böyle geçi ş ler oluabilir(burada gözönüne a-l ı nmad ı ); ve bu,karşı l ığ r bulunma ilkesi ile uyu ş ur.
16Bu konular,her modern fizik ders kitabı nda tart ışı l ı r(buu-
nundaki kaynaklara bak ı n ı s).17
Bir Dü ş ünce Deneyi,tasarlanabilen bir deneydiraoknik yönden yap ı lama-sa da,bilinen fizik yasalar ı ile uyuş ur.iihylece,güne ş yüzeyindeki çekim ivmesi-nin dlçülmesi bir Düş ünce Deneyidir; oysa, ışı k h ı z ı n ı n iki kat ı hzla giden biruzay gemisinden görünen,güne ş şığı n ı n Doppler kaymas ı nin ölçülmesi saçmad ı r.Bö-lüm 2'de bir Düş ünce Deneyi kurarken,bunun fizik yasalar ı yla tutarl ı olması na ne
Klasik i'izi ğ in S ı n ı r l a r ı3Kuantum Ile kaui ğ i n i n m od e r n k u r a m ı 1 9 2 5' d e B e i s e n b e r g , Bor n , S c h r b d i n g e r v e
D ı r a c ' i n ç a l ı ş m a l a r ı i l e b a ş l a d i . B n k u r a m , k l a s ı k d ü ş f i n ü ş ü n b i r k ı sm ı n ı b i r y a n a
b ı r a k m a k k a r ş ı l ığı n d a , ç e k i ş m e l i k a v r a m l a r ı n tümünü u z l a ş ti r m a n i n b i r yolunu b ulu r .
i fizik ü ğ r e n c i s i o l ma n ı n s e v i n i l e c e k y a n l a r ı n d o n b i r i , b n g ü z e l k u r a m ı v e o n u n a r a -
c ı l ığı i l e m a d d e n i n ö z e l i k l e r i n i a n l a m a d a k i Or k e m l i i l e r l e m e l e r i d e ğ e r l e n d i r e b i l -
m e kt i r .
P r ob lemle r
1. Bir koukdaki enerji yo ğ unlu ğ u i l e y a y ı n i a m a g ü c ü a r a s ı n d a ki (i - 1) ba ğı n-
ti ai n i ta n ı tlay ı n ı z . [Y a r d ı m.A ş a ğı d a k i ş e k l e b a k ı n ı z . G ü l ge l i h a c i m e l e m a n ı n ı n bü-
d A
yüklü ğ il r 2 d r c i n A c 1 9 (10 = d V 'd i r ; b u r a d a r , d A a l a n ı aç ı kli ğ ı n i n b a ş l a n g i c a
uz akl ı l d i r ; A d i 4 e y l e y a p ı la n a ç ı v e 5 6ç ı kl ı k b oy u n c a d i k e k s e n i l e y a p ı la n
ba ş ucu aç ı sid ı r .11a cim eleman ı u d a k i e n e r j i ,d V i l e e n e r j i y o ğ unlu ğ u n u n ç a r p ı m ı d ı r .
I ş ı n ı m e ş y ö n s e l d i r , bOy l e c e ç ı ka n ışı n ı m, d A cos A / 4 nr/ :: ka t ı a ç ı s ı n ı n e n e r ji
i l e ç a r p ı m ı o l a r a k v e r i l i r . 4 Bu nicelik G ve 0 ap.ları üzerinden tümlenecektir.
E ğ e r , M a m a n a r n l ığı n d a k i ışı n ı m a k ı s ı aran ı yo r s a , d r ü z e r i n d e n de O'dan
c Q 1 'y e k a d a r tümlenecektir, b u r a d a c6k , verilen zaman a r a l ığı nd a ışı n ı m ı n
g i d e c e ğ i uzaklikttr.)
2. ( 1 - 1) v e ( 1 -1 2 )'yi k u l l a n a r a k , b i r s i y a h c i s m i n b i r i m alan ı ba şı na top-
l a m ışı ma h ı z ı i ç i n b i r f o r m ü l b u l u n uz . G ü n e ş i n b i r siy a h c i c im g ib i ışı d ığ ı a l
244 x proton kütlegi) için gerekli enerjinin büyüklük bosama ğ ı nedir?
-15. Bir mikroskobun çbzetileee ğ i en küçük aral ı k kullan ı lan dalgaboyununo bbviiklük basamag ı nded ı r.(a) 150 A 'l ı k,(b) 5 Alik areiklar bir elektron mik-
roskobunda ey ı rmek için hangi enerjili elektronlar gereklidir?
1 4 . Hidrojen ntomnnun durakta bir durnmunda,elektronun tam say ı da dalga-
boyuna karşı l ı k gelen dairesel bir yörüngeye oturdu ğ u varsay ı l ı rsa,Bohr kuramı -
nın annaçlar
ıyeniden elde edilebilir.ln
ınu göster
ıniz.
17 . Bir kristalde komş u diizlemler arnal uzakl ı k ülçülecektir. 5 ° 'lik bir
a ç ı da 0,5 1 dalgaboyandaki X ışı nlar ı güzlenmi ş se,aral ı k ne kadard ı r? Hangi
aç ı da ikinci. Maksimum ortaya ç ı kar?
18 . Bohr kuantumlama kurallar ı n ı kullanarak,bir harmonik sal ı ngan ı n ener-
ji ddseylerini hesaplay ı n ı z; harmoiiik sal ı ngan için enerji p2/2m t ranu 2 r2/2 dir;
yani kuvvet m 0 . 4 ) 2 r 'dir.Kendinizi dairesel yörüngelere kle ı tlay ı n ı z.Rydberg for-
mülünnenzeri nedir? Aç ı sal momentuman knantumlanmas ı nda kullan ı lan n knantum
aayin ı n ı n bütün de ğ erleri için kara ı liğ i bulunma likeainin sağ land ığı n ı gbateri-
niz.19 . Çok büyük k iç i(r ) n Vo (--F)leverilen bir potansiyel için
Bohr kuantumiama kuralları n ı kullanarak enerji durumlar ı n ı heaaplay ı niz.Potenai-
yelin biçimini çiziniz ve enerji de ğerlerinin E e r : en 2 'ye yakl a ş t ı ğ ı n ı gdateri-
niz.
20. ivmeli bir e yükünün yay ı nlad ığ ı enerji demek olan güç.klasik olarak
22 a erğ/sn
e
ile verilir,burada Il ivmedir.Dairesel bir yörüngede ak.= ı ır/r 'dir.n kunnium sa-
y ı s ı ile belirtilen bir Bohr yörüngesindeki bir elektronun yay ı nladığı gücü bulu-
nuz.Bulunan sonnç,karş ilığ ı bulunma ilkesine gore,n çok büyük oldu ğunda dz kaaı ı -
tum sonuçla nyınlikal ı d ı r.
21 . Bir yörBilgedeki bir elektronun b zunnm h ı zi,p ışı n ı m gününün boannum-
da yay ı nlanan enerjiye bölümü. ile ton ı mianabilir.4 ı n ı m enerjisi için Bohr kura-
m ı ndnki ifadeyi ve P için problem 20'deki ifadeyi kullanerak,elektran n yörünge-
ainden ı ı -1 yöriingesine bir gegi ş yapt ı ğ ı zaman.bozunum h ı z ı n ı n "karşı l ı k gelen"
de ğ erini hesaplay ı n ı z. Bn hoz ın ı um h ı z ı n ı n de ğ eri n = 2 iken nedir?Nuantum say ı -
ları n ı n böyle küçük de ğerleri için karşı l ığ ı bulunma ilkesi geçerli oimAyara ğı ndan
Ş e k . 2- . İ z l e y i c i s i b u l u n a n ç i f t y a r ı k d e n ey i .
Belirsizlik Bahnt ı la r ı5m a nt ı k b a k ı m ı n d a n u y m a d ığı n ı o r t a y a k a y m u ş t u k. B b y le b i r b i l g i d e s e n i n , y a r ı kl a r ı n
b i r i n d e n v e y a ö b ü r ü n d e n g e l e n e l e k t r on l a r ı n bir ü st ü st e g e lm e s iyl e olu ş a c a g ı n ı
s ö y l ü y o r d u a a k a t b u b i r g i r i ş i m d e s e n i v e r m e z . B l e k t r on l a r ı n h a n g i y a r ı kt a n g e ç t i ğ i-
n i b e l i r l e y e n b i r " i z l e y i c i " n i n , g i r i ş i m d e s e n i n i y ı kt ığı n i g ö s t e r m e k i ç i n L ı e l i r s i z -
lik b a g ı nt ı s ı n ı k u l l a n a b i l i r i z . Y a r ı k l a r a r a s ı u z a k l ı k ot ve yar ı kl a r ı n ekran a il-
z a k l ı g ı d o l s u n . Y a p ı c i g i r i ş im ko ş ulu
sin 0 = n"›.
( 2-9)
d ı r , b ö y l e c e e k r a n d a b i t i ş i k m a k s i m um l a r a r a s ı n d a k i u z a k l ı k d s i n A n+1 - d s i n O n =
d ; k j a d i r . Ş i m d i b i r e l e k t r o n u n y e r i n i , e k r a n ı n h e m e n a r k a s ı n d a , b i r Ay < : a / 2 k e s i n -
li ğ i y l e b e l i r l e y e n b i r i z l e y i c i n i n b u l u n d u ğu n u d ü ş tin e lim; b u b i z e e l e kt ronun h a ng i
ya r ı k t a n g e ç t i ğ i n i söy le r ( Ş e k.2-3). Bu d u ru m , e l e kt ronu n y do ğ r u ltusun d a k i mom e n-
tumuna
py> 2h_-_-
a
büyüklü ğf i n d e b i r b e l i r s i z l i k v e r m e l i d i r . B ö y l e c e
Qph
Y > — - ,1
Pp (2-30)
(t-31)
o l u r . B ö y l e b i r b e l i r s i z l i k e l e k t r o n u n e k r a n d a k i y e r i n d e , e n a z ı ndan 2',Xd/a bu-
y ö k l ü ğ ü n d e b i r b e l i r l e n e m e z l i k v e r i r . V e b u , m a k si m um l a r a r a s ı uzakl ı kt a n d a h a
) E ------ )1 -r 32&bn e l d e e d i l i r , b u d e n k l e m
2r =
2mec O f
v e r i r , v e k a r şı l ı k g e l e n E e n e r j i d e ğ e r i
2
E =ca(2
d i r . E n e r j i n i u g e r ç e k d e ğ e r i n i e l d e e t m e mi z o l g us u
r i n e r a h a t l ı k la p rya ı a b i l i r d i k v e o z a m a n d e ğ i ş i k b i r s on u ç e l d e e d e r d i k .
G e n e d e E , d o ğ r u d e ğ e r i n d e n y a l n ı z c a b i r s a y ı l a l s a b i t k a d a r a y r ı l ı r d ı v e g e n e l b ü -
yüklü k b as am a ğı y i n e a y n ı o l ur d u . Ö n e m l i o l a n k l a s i k k u r a m ı n t e r s i n e , b e l i r a i z l i k
i l k e s i n e d e n i y l e e n e r j i n i n a ş a ğı d a n s ı n ı r l a n m ış olmas ı d ı r: -r'yi küçülte rek,yani
e l e k t r o n u ç e k i r d e ğ i n d a h a y a k ı n ı n a ko y a r a i g e k s i) p o ta n s i y e l e n e r j i d e b i r a r t m a
e l d e e d i l i r ; f a k a t b u , k e n d i s i y l e b i r l i k t e k i n e t i k e n e r j i n i n a r t m a s ı z o ru nlu lu ğ unu
d a t a şı r.
Ba ş k a b i r ö r n e k o l a r a k ç e k i r d e k k u v v e tl e r i p r o b l e mi n i g ö z ö n ü n e a l a l ı m.Bun-
la r ı n e r i m l e r i b i r f e r m i , y a n i 1 0 -13 e m b a s a m a ğ i n d a d ı r .Bu *ı /Ir ~10 1 4 gi em/e
olmas ı d e m e k t i r . B u m o m e n t um a k a r şı l ı k o l a n k i n e t i k e n e r j i ,
2P0 -28
d i r . Bu r a d a M nf ik leon(p roton y a d a n öt ron) kütle si 1, 6 X 10 -24 gr'd ı r . Pot a n s i y e l
bunu k a r şı la d ığı g i b i b a ğ l a n m a y ı d a s a g l a m a l ı d ı r , b u y üz d e n
Ni "J 3 X 10 -5 erg "ı 20 MeV2-44)olmal ı d ı r . G e n e b u , k a b a c a b i r b ü y ü k l ü k b a s a m a ğ ı d ı r ; f a k a t p o ta n s i y e l e n e r j i n i n a -
t om l a r d a k i g i b i e V i l e d e ğ i l , M e V i l e ö l ç ü l e c e ğ i n i g ö s t e r i r .
Bi r b a ş k a a ç ı k l a m a d a ç e k i r d e k k u v v e t l e r i n i n Y u k a w a m e z o n u k u r a m ı n d a n g e -
l i r . 1 9 3 5' d e Y uk a w a ç e k i r d e k k u v v e tl e r i n i n , n ü k l e o n l a r d a n b i r i n i n y e n i b i r k u a n t u m
ya y ı n l a m a s ı ve ö bü rü nü n bu nu so ğ u r m a s ı i l e d o ğ a c a ğı n ı ö n e sü r d ü; b u y e n i ku a ntur n,
p i-m e zonu(p ion d a d e n i le n)du r . 8 Bu k u a n t u m u n k ü t l e s i o . i l e g ö s t e r i l i r e e , o z a m a n
8Bu k ı s a c a , Oz e l K onu l a r ' d a k i Y u k a w a k u r a m ı i l e i l g i l i o l a n kesim 5'de
S c h r ö d i n g e r D a l g a D e n k l e m i1y(x,t)= . dp0(p,t)C 4:rx3-28)
l li
ilea n ı m l a y a b i l i r i z . G e r ç e k t e n , g e n e l o l a r a k % (p , t )' n i n ( 3 - 2 6)'y ı ,(3-27)'yi ya
d a o n l a r ı n yo rumu nu d e ğ i ş t i r m e y e n b i r z a m a n b a g ı ml ı l ığı vard ı r .Oku r , x- v e p -u z a y ı
a r a s ı n d a k i b u b a k ışı m a k a r şı n,p = ( .K/i)( )'in bir i ş lem c i oldu ğ unu,oysa
x'in i ş l e m c i o l m a d ığı n ı dü ş i i nm e si n d iy e, x'in d e g e r ç e k t e n b i r i ş lem c i oldu ğunu
s ö v l e y e l i k . x - n z a y ı n d a ö z e l l i k l e b a s i t b i r b i ç i m or t a y a ç ı kar,fakat «(x) ,),o-m e ntum uz a y ı n d a h e s a p l a m a k i s t e r s e k , y u k a r d a k u l l a n ı l a n l a r a ç o k b e n z e r y ö n t e m l e r l e
<f (x)> --fdp0 * ( p, t) f ( 14,21-) 0pt)
ap
(3-29)
oldu ğ u n u g ö s te r e b i l i r i z . D a ş k a b i r d e y i ş le,x i ş l e m c is inin mom e ntum u z ay ı n d a k i g ö s -
terimi
x =3-30)ap
olur.
i ş l e m e i l e r i n , k u a n t um m e k a n i ğ i n d e t e m e l b i r r o l oy n a d ı k la r ı n ı b u l a c a ğı i,ve
yava ş y a v a ş o n la r l a i l g i l i b i r ç o k ş e y ö ğ r e n e c e ğ iz.11u noktad a,ya ln ı z c a ş u n l a r ı b e -
l i rt e c e ğ iz:
1. Al ışı lm ış sayı la r ı ') tera ine,i ş lemciler her zaman s ı r a d e ğ i ş t i rm e z l e r .
1A,B) = AB — BA3 - 3 1 )
'y ı ta n ı m l a r s a k , o z a m a n
olu r , y a n i
[p,x1y(x,t ) .y x,t> xP(x,t)) l ,d
(
,t) (3-32)
(3-33)
d e ğ i ş m e b a ğı nt ı sin ı e l d e e d e r i z . B u , k l a s i k b i r f ( x , p) fo n k s i y onu n u i ş lem c i b i ç imi n-
d e y a z a r k e n b i r b e l i r s i z l i k v e r i r . 1 1 i z , f (x , p)i y i x v e p ' y e g ö r e b a k ışı mla ş t ı r m a ku-
r a l ı n ı b e n i m s e y e c e ğ iz.Bilylece,
xp(xp+px)2/ 2 ,\
x+ -e x p x r p x (3-34)
ve , b e n z e r l e r i , b u l u n u r .D a h a s on r a g ö r e c e ğ i m i z g i b i , x v e p d e ğ i ş k e n l e r i n i b a ğ l a y a n b e l i r s i z l i k b a ğı nt ı sln ı n
a r k a s ı n d a d a , b u i k i d e ğ i ş kenin sirsde ğ i ş ti r em ey i ş l e r i v a r d ı r .
Ü z l on k s i y on l a r v e ü z d e k e r l e r 5 9
Ş e k . 4 - 1 . T ü m v e k t ö r l e r i , b i r i m k ü r e ü z e r i n d e b u l u n a n v e k t ö r l e r y a r d ı m ı i l e , 3 0 ° d ö n -
d ü r e n i g l e m c i n i n b i r g i z i m l e b e t i m l e n m e s i : E k v a t o r ü s t ü n d e k i v e k t ö r l e r'),b i r o r t a a n l a m ü s tü n d e k i l e r i ç i n ( B - e , B'),ve birkutuptakibir rektör için
(C'= C)'dir.o l a r a k y a z ı l a b i l i r . B u d e n k l e m , ö z e l b i r f on k s i y on l a r s a n ı f ı n a etk iy e n H B a miltoni e n
i g l e m c i a i n i n , e t k i d i ğ i fonksiyonu bir s abit l e ç a rp ı lm ı g ol a r a k g e r i v e r e c e ğ i n i a ö y-
l e r . B u s a b i t e ö z d e ğ e r d e n i r . D e n k l e m i n ç ö z ü m ü E' y e b a ğ l ı d ı r , v e b u n d a n d o l a y ı ç ö z ü m ü
b i r E i l e e t i k e t l i y o r u z . H i gl e m c i a i n i n E ö z d e ğ e r i n e k a r şı l ı k g e l e n u B (x) çö zümüne
ezionksâyon d e n i r . ö z d e ğ e r l e r i n s ü r e k l i v e y a k e s i k l i ol a b i l d i k l e r i n i g ö r e c e ğ iz.
(4-2) çö zümü il B x)e biçimindedir.(4-1) çizgisel bir denklem oldu-
ğ u n d a n , Ei n i n i z i n v e r i l e n d e ğ e r l e r i i ç i n b u b i ç i m d e k i ç ö z ü m l e r i n b i r t o pl a m ı d a b i r
O z iim d ü r .Bö yl e c e (4-1)'in e n g e ne l ç ö z ü m ü,
(x,t) =- ( ZE) c(E) u E (x)e (4-11)
olu r .Bu r a d a, C(E) ö z d e ğ e r l e r in ist e ks e l bir fonkaiyonu d u r v e topl am E'nin ke s ikl i
d e ğ e r l e r i ü z e r i n d e n , t ü ml e v i s e s ü r e k l i ö z f t e ğ e r l e r i ü z e r i n d e n a l ı n ı r.H i ş l e m c i s i n i n
d z fonk a iy - o n l a r v e d z d e ğ e r l e r3Ş e k . 4 - 2 B i r k u tu i ç i n d e k i p a r ç a c ığı n ö z ç ö z ü m l e r i . .
b u l u r u z . O z g ü r d a l g a p a k e t i t a r t ış ma m ı z d a k i g i b i , bu i s t e k s e l b a ş la ng ı ç p a k et i n i n z a -WIAa n g e li ş i m i n i h e s a p l a y a b i l i r i z . 0 (±)
( ı ) ç b zümle r i n i n h e r b i r i'Pr z a m a nb ığı ml ı l ığı n ı k o z a n d ığı n d a n [Bk z . 1( 1 4 -11)] , ge ne l ol a r a k
(-)4- A(-) (x) e 4 - 3 2 )(x, t = ( ) u ( + )4E(+4A
rı =4 ‘r".e l d e e d e r i z . A (±) k a t s a y ı la r ı n ı n f i z i k s e l a n l a m ı ko nu s u n d a b i r d ü ş ü n c e k a z a n m a k i ç i n ,
e n e r j i n i n b i r i s t e k e e l d u r u m d a k i b e k l e n e n d e ğ e r i n i Imasplayı llam.Kıtıms igiadı rIffia olduhadsm,sı , klı ts-dı iı sdalwAl4bir~Mnı -4.1~14tindsa vs
Bux). 2(* t) (;) (. u,)oldu ğ u nd a n,(4-25) d ike yboylu lu k b a ğı nt ı la r ı n ı k u l l a n a r a k
sürekli bir spektrumu vard ı r deriz.(4-25)'e benzer olerak,özfonkStyonlar ı n dikey-
boyluluk konollar ı na uymas ı n ı bekleyebiliriz.
fx u;ı (x) u p (x) = IC12 r dz eLtr_r")..h
= 271 I C 1 2 . kp-p')4-56)oldu ğunu göz önüne alal ı m.
1 İ^u P ( I ) ‘f2-r4ı
e4 - 5 7 )
seçimiyle,(4-56) denklemi
ron
dx uP, (x) u
P (x) = d (P — P') (4-58)
'verir.Bu denklemin (4 -25)'ten tek de ğ i ş ikli ğ i,kesikli indisler için uygun olan S mnKroenecker deltas ı yerine,sürekli indisler içinp-p') Dirac delta fonksiyo-nunun gelmesidir.
Herhangi bir -y(x) dalga paketinin,özfonksiyonlar ı n bir tam kümesi türün den
aç ı labilmesi burada da geçerlidir.Burada (4 -30) denkleminin benzeri,sürekli bir p
indisi üzerinden toplam yapt ığı m ı z ı yans ı tmal ı d ı r,böyleceIfx/IN
(x) = j dP (P)6 - 1 ; W4 - 5 9 )yazar ı z.(4-5 7).deki kapal ı yoruma göre0(p)1 2 ,isteksel bir y(x) paketi için
bir ~atom ölçümünün p özde ğ erini vermesi olas ı ll ğı d ı r,burada
l"4\'*(p)x ( z) (4-60)
dir.Böylece,Bölüm 3'de,6(p) için yap ı lan vareay ı mı do ğ rulam ış oluruz(Bkz.Denk.
3-30).
Ş imdi özgür parçac ı k Bamiltonien'ine dönelim.V(x) her yerde a ı f ı r'olunca,e-
nerji özde ğ er de ı klemi
d2u(x)
- I - k2u(x) = 04-61)dx
2kx.ikaverir,burada k 2=2mE/AN 2 dir.Çözümler e e veya bunlar ı n çizgisel
birle ş tirimidir,örne ğ in cos kx ve sin kx biçimindmair.Bu çözümlerin tümünü n güçlü-
= 1ü ş udur: Bunlar ı n kareleri tümlenemez;çünkü jr dx A eika
h ı z ı ve ak ı a r a s ı n d a k i b e ğı nt ı ;a k ı ,h ı z a d i k bir b i r im
y ü z ey d e z ı b i r i m z a ma n d a g e ç e n p a r ç a c ı k s a y ı s ı d ı r.
Taci ı zneale
teçmeen
1 4 z r 4 a x I k k a r
Ş e k i l 4 -4 . P a r ç a c ı kl a r ı n
İ nd sanede
?Esen perçae ı k İ ar)
a yr ı m ş hyl e d ir : Bu nl a r mom e ntum i ş l e m e i s i n i n ö z f o n k a i y on l a r ı d ı r ,v e
p .€ ± j'/"'4‘keN
op x47o)
olduğundan farkl ı m om e n t u a ö z d e ğ e r l e r i n e k a r şı l ı k g e l i r l e r . B e n z e r o la r a k , (c o e k z ,
s i n k z ) ç i f t i i s e , p e r i t e i ş l e m c i s i n i n f a r k l ı ö z d e ğ e r l e r i n e k a r şı l ı k g e l e n ö z i o n ks i -
yonl a r ı d ı r :
P c os kz = cos kx
P s i n kx = - cin kx4-71)Her iki halteddel,katmerli ü z fonke iyonl a r ı e y l r a n , o n l a r ı n a y n ı z a m a n d a b a ş k a b i r h e r -
m it ie n i ş l e a c i n i n d e d e f on k s i y on l a r i o lm a l a r ı d ı r . İ > op v e P i ş l e m c i l e r i n i n i k i s i n i nı
d e ,bu p robl e m d e kiı, / 2 m H a m i l ton i e n ' i i l e d e ğ i ş a e ö z e l i ğ i v a r d ı r . i l e r d e b u nu n ,
ortakAZtonksiyonları n v a r l ığı i ç i n g e r e k l i b i r k o ş ul oldu ğ u n u gö r e c e ğ iz.5rn e ğ in,fa r
i ş m e ö z e l i ğ i yoktu r ç ü nkü (4 i/ i)(d / d x),zx alt ı n d a i ş aret d e ğ i ş t i r i r
v e b u y ü z d e n b h'i ş l e m c i l e r d e n b i r i n i n ö z f on k s i y on l a r ı h i ç b i r z a m e n , ö b ü r ü n ü nz -fonksiyonl a r ı o l a m a z .
İ n c e l e d i ğ i m i z b u i k i b a s i t p r o bl e m d e n k n a n t u a a e k a n i ğ i konusun d a p e k çok ş e y
ö ğ r e n m i ş ol d u k.Bu konulara i l e r d e ki b ö l ü m l e r d e . d ö n e h e ğ l i v e b u n l a r ı g e n e l l e ş t i r e c e -
ğ i z . B ö l ü m 5'te g e n e b a z ı ç o k b a s i t p r ob l e m l e r i g ö z ö n ü n e alacağ ı z,faket bu k e z m a t e -
m a t i k e e l ö z e l i k l e r d e n ç o k f i z i k s e l s i s t e m l e r üzerinde d u r a c e ğı z ; öy le ki,bu p rob lem-
l e r i b u f i z i k s e l s i s t e m l e r i n b a s i t m o d e l l e r i o l a r a k i m e e l e y a c e ğ iz.
1. A ş a ğı d a k i i ş l e m c i l e r v e r i l i y o r :
(a) O ı y(x) = x3 "y(x)
(e) 0 3 y(x) =17(x)(e) 0
5.y(x)-4/(x) 4- a
dx
(b) 8 2 - 1/(x) - xd x y(x)
(d) 0 4 1) (x)
06 -\/(x).
Bu n l a r d a n h a n g i l e r i ç i z g i s e l i ş l e m c i d i r ?
2.0 6 sf(x) =>k 1p(x)ö z d e ğ e r p r o bl e m i n iö z ü n ü z . i l ö z d e ğ e r i n i n h a n g i d e ğ e r l e r i i k a r e s i t ü m l e n e b i l e n ö z -
fonk siyonla r a g öt ö r u r ?( İ p u e u: D e n k l e m i n i k i y a n ı n ı n x ' e g ö r e t h r e v i n i a l l n ı z)
3. A ş a ğı d a k i d e ğ i ş me ba ğ ı n t ı la r ı n ı h e s a p l a y ı n ı z :
(a)
(b)
[A, B l e y i h a s a p l a m a n ı n yolu,A(B'y )-B(ANy ) . yi C•f bi ş i m i n d e y a z m a k t ı r.
4. (4-21 J v e (4-2 4) d a nkl e m l e r iyl e v e r il e n u (i)' ( x ) - için,
=< 2x
y i b e s a p l a y l n i z . ( 4 - 28 )'d e v e r i l e n < p 2 Y y i k u l l a n a r a k ,
Ap Axi hesaplay ı n ı z.Bu,daha ü s t d ur u m l a r i ç i n b e l i r s i z l i ğ i n n i l e a r t t ığı n ı b e l i r t e n ö z e -
liktir.
5. K e n a r l a r ı x = 0 v e r = L' d e ola n b i r k ntu d a k i b i r , p a r ç a c ı k i ç i n S c h r ö d i n - _
g e r d e n k l e m i n i
N(o) a r
( L )s ı n ı r ko ş ulu ile çözünhz.Üzde ğ e r l e r v e b oy l a n d i r ı lm ış ö z f o n k s i y o n l a r n e l e r d i r ?
b . B i r pa r ç a c ı k , k e n a r l a r ı x = ± o . 'd a ol a* bir kutu d a t ab a n d u ru mu nd a bu lu-
n u yor . K u t u n un k e n a r l a r ı birden bire z = ± b 'ye (b a ) gidiyor.Yeni potansiyel
i ç i n , p a r ç a c ığ ıs t a b a n d u r u m un d a b u l ma o l a s ı l ığı n e d i r ? İ lk uy a r ı lm ış d u ru m d a bu lm a
olas ı l ı ğ ı n e d i r ? I k i n c i d u r u m d a k i b a s i t y a n ı t ı n b a s i t b i r a ç ı k l a m a s ı vard ı r . Bu n e d i r ? . _. A ,
7. B i r n a r ç a c ığ ı n , k e n a r l a r ı z = ± c i ' d a o l a n k ıltunun sol yar ı s ı n d a y e r e l l e ş -
mis oldu ğ u biliniyo r .E ğ e r s o l y a r ı d a k i tüm x d e ğ e r l e r i e ş it olas ı l l ki lys a,
ı 2(5-5)n i c e l i ğ i n i d e t a n ı m l ay a l ı m .V(x)= 0 ol ch a lt ı .X.(0 için,(5I-3)'ün en genel çözümü
u(x) eikx
Re56
b i ç i m i n d e d i r . B u , a r t ı x d o ğ r u ltusun d a giden b i r a k ı y a k a r şı l ı k g e l i r , v e b u a k ı n ı n
b üy ük lü ğ ü
- r ,.kxx . Litz( eR e(ik e -ikR e) - karmel eglenigij
Y , ki1 2 )5-7)
d i r . ei,•kı s ı NI r /M ola n b i r g e le n d a lg a ola r a k g ö r e b i li r i z .R i ç b i r po a n si-l km
y el olm a s a y d ı , ei b ü t ü n x 'l e r i ç i n ç ö z ü m o l a r a k s e ç e b i l i r d i k , b u yü z d e n R'yipota n siy e li n v a r l ığı n a b a ğ la r ı z .Bu pot ans iy e l,R e - 1 . 1 " ' y a n s ı y a n d a l g a s ı n ı a d o ğma s ı -
n a n e d e n o l ur ; y a n s ı y a n a k ı i s es kIR1 2 /m'di r.
x >O için,çözümü
u(x) = T e.41>45-8)Ll ı c .
o la r a k y a z a l ı m . * >0 i ç i n e a g e n e l ç ö z ü m , e,e e 1i n b i r ç i z g i s e l b i r l e ş -
tirimidir;fakat .. £ 1 1 ' <" 'in bulundu ğu bir terimi+ 0 0 'd a n e k s i y ö n d e g e l e n b i r dal-
ga y ı b e t i m l e y e e e k t i r . O y s a , k u r d u g u m u z " d e n e y " d e , s a g y a n d a k i d a l g a y a l n ı z c a g e ç e n d a l -
g a ola b ili r .(5-8)' e k a r şı l ı k o l a n a k ı ,
J -+IQ
1 25 - 9 )
d i r . P r o b l e m d e z a m a n a b a ğ l ı l ı k olm a d ığı nd a n,(3-11) koru nu r y as a s ı j(X)'in x'd e n b a -
ğı ms ı z olmas ı n ı i ç e r i r . D u y ü z d e n s ol d a k i a k ı s a k d a k i a k ı ya e ş it olmal ı d ı r , b ö y l e c e
v e r i r . E n e r j i ,e n g e l i n t e p e s i n d e n a ş a ğı d a b i l e b u l u n sa g e ç i r i m v a r d ı r .Bu bi r dalga ola-
ya d ı r , v e k u a n t u m m e k a n i g î n d e p a r ç a c ı k l a r d a b u o l a y ı g ö s te r i r i e r . B i r p a r ç a c ığı n bir
e n g e l i , t ü n e l oluı i l e g e ç m e s i n e s ı k s ı k r a s t l a n ı r ; b u y ü z d e n b i z , ba z ı u y g u l a m a l a r ı
t a r t ış a c a ğı z .A y r ı ca tta büyük iken,geçen ak ı n ı n g e l e n a k ı y a o r a n ı n ı n ,
1 T 1 2 1°')2 _ 45-49)
k' 4-K -
oldu ğu n u d a b e l i r t e l i m .
2/22 mtrka, [ —4‘ 2v)5-50)oldu ğu n d a n 1 T1 2 ç o k d u y a r l ı o l a r a k , e n g e l i n g e n i ş li ğ i n e v e e n g e l i n g e l i r i e n e rj i s i n d e n
n e k a d a r b ü y ü k ol d u ğ un a b a ğ l ı b i r f on k s i y o n d u r .
G e n e l o la r a k , f i z i k s e l o la y l a r d a k i e n g e l l e r k e r e s e l d e ğ i l d i r ; b ö y l e c e b a z ı uy-
gula m a l a r ı tart ış m a k i ç i n , ö n c e b i ç i m i d ü z g ü n ol m a y a n b i r e n g e l i ç i n 1 1 1 2 g e ç i r i m k a t -
sa y ı s ı n ı n y a k l a ş ı k b i r i f a d e s i n i e l d e e t m e l i y iz . Ç e g u p ot a n s i y e l i ç i n t a m ç ö z ü m l e r o l
am/a ğı n a g ö r e , g e ç i r i m k a t s a y ı s ı n a h e s a p l a m a n ı n yolu,Want z e l-K r a m e r s-Brill ouin(WKB)
y akl a şı m t e kni ğ i n i kulla nm a kt ı r l .T a rt ış ma m ı z çok m at e m at iks e l olm ay a ckkt ı r .
(5-4 9)'u n iki g a r p a nd a n olu ş tu ğ u n u ve b u n l a r d a n i k i n c i s i n i n ç o k d a h a ö n e m l i
oldu ğ unu gözliiyoruz.E ğ e r
log111 2 ", 2 il, (2 a ) + 2 log(kC ı )(Ket)
(km.) 2+ ( › t a ,_ ) 2
y a z a r ı ak, K . c ı e n ı n a k l a y a t k ı n d e ğ e r l e r i i ç i n , b i r ç o k d u r u md a i l k t e r i m i» i k i n c i d e n
bask ı n oldu ğu nu gö r ü yo ru z .Yumu ş a k b i r e ğ r i e n g e l i ,k a r e , J a i ç i e l i e n g e l l e r i y a n y a n a
koy a r a k olu ş tu r m a y ı ye ğ liyoruz.e ç i r i m k a t w a y l l a t ı küçük olduğu zaman,bun-
l a r b i r b i r i n i' ç a r p ı mı olu rl a r 2 (g e r ç e k t e n , a k ı a ı n ç o ğ u y a n s ı d ı g ı n d a n , h e r b i r d i l i m d e k i
g e ç i r i m b a ğı ms ı z v e o l a s ı l ığı ç o k ç o k k ü ç ü k b i r o l a y d ı r ) „ Bö y l e c e y a k l a ş ı k ola r a k ,
12log 1Ti
2ogT r v ç ap ı rçeariterars:etler
-2 L li =<K>
1WKB yakla şı m ı i ç i n , b k z . ö z e l K on u l a r k e s i m 3 .
2
Bu s ö y l e n e n l e r , y a l nız c a e n ö n e m l i o l a n ü s te l k
ıs
ım i ç i n d o
ğr u du r . Bh y le ol-
dug u, e ng e l g e n i ş li ğ i ik i k a t y a p ı ld ığı nda,1112 g e ç i r i m k a t s a y ı s ı n ı n k a r e s i n i n e l d e
y a z a r ı z ,v e d a lg a fonksiyonu nu n sürekliliğ i
- b i cıec o e h K a ı5-73)v e r i r . B a k ışı m n e d e n i y l e ,t hr e v I e r i n s i i r e k a i z l i k k o ş u l u n n y a l n ı z c a x = ı l l d a u g a l a m a k
yeterlidir.x =—cx 'da uygulanmas ı n d a n y e n i b i r ş e y g e l m a y e c e k t i r . B h y l e c e ,
- tc.cx —?ter(A sinhe5-74)c ı
e l d e e d e r i z ; v e h z d e ğ e r k o ş ulu,
t a n k K,a= ı5-75)
olur . Bu ko ş u l ç i z g e l o la r a k Ş e k.5 -15't e g ö st e r ilm i ş tir.ta nh y ve ( 21 /y)-1 e ğ r i l e r i -
nin y a l n ı z c a b i r k e e i ş im nokt a s ı vard ı r . y = îh oldu ğ u z a m a n s a ğ ya n ı n s ı f ı r oldu ğ u
a ç ı kt ı r,oysa tanh y > O'd ı r .11öylec e kesi ş im noktas ı için y < i1 'biu ı yr ı c a
tanh y < 1 oldu ğu n d a n k e s i ş im noktas ı nda (÷) < 2 olmel ı d ı r , b u ise
>5-76)2 c ı
d e m e k t i r . B u n u ( 5 -7 0 ) i l e k a r şı la ş t ı r ı r s a k , ç i f t k uy u i ç i n e n e r j i n i n d a h a b ü y ü k b i r
n e g y t i f s a y ı oldu ğ unu görürtiz;'bbylece ç i f t p o t a n s i y e l i ç i n e n e r j i d a h a a ş a ğı d a d ı r.
Bi r pot a n siy e l ç if ti n i n y e ğ inli ğ i n i n b i r t e k p ot a n s i y e l i n k i n d e n b ü y ü k ol m a s ı b u r a d a n
g e lm e z .I ki p rotona b a ğ l ı b i r e l e k t r o n i l e b i r p r o t on a b a ğ l ı b i r e l e k t r o n u n k a r şı la ş t ı -
Ş e k . 5 - 1 5. t a n h yYz d e g e r k o ş u l u n un ç ö z ü m ü .
Ş ek. 5-17. tanh y = ( il /y — 1) -1 d z d e ğ e r k o ş ulunun ç ö z ümü.
o l u r . I k i s i n i n birle ş tirilmesi,
coth r t a 4 r ~ .-- 5 -8 0)c 1 / 4 -
ozde ğ e r k o ş ulunu ve r i r . Ş e k . 5 - 17 ' d e b u d e n k l e m i n t e r s i n i n e ğ r i s i ç i z i l m i ş tir,bu
tanh y'nin ( 5 N / y 7 1 ) - 1 ' e g ö r e gizimidir.Bu fou k s i y on l a r d a n b i r i n c i s i n i n b a ş lang ı ç
noktas ı n d a k i e ğ imi 1k4l ı c i d e n b ü yü k e e , y a l n ı z c a b i r k e s i ş im noktas ı b u l u n a c a k t ı r; bunun
i ç i n d e ,
:k > i5- 8 1 )
olmal ı d ı r. y = 21/4/2 iç in ( 22/y-1) -1 t e r i m i 1 v e r d i ğ i n d e n, k e si şme y < 9/ 4 / 2 i ç i n
ol u ş ma l ı d ı r ; b u d a ,
, •Na5-82)
d e m e k t i r . B ö g l e c e , e ğ e r b i r b a ğ l ı d u r u m v a r s a tek ç ö z ü m , ç i f t ç ö z ü m d e n d a b a z a y ı f ba ğ -
l a n m ış t ı r .S ı f ı r d a n g e ç m e s i g e r e k e n d a l g a f o n k s i y onu k u yu l a r a r a s ı n d a d i k olm a y a zor -
ta n ı r ; v e b u y ü z d e n a n c a k , d a h a y a v a ş a z a l a n b i r ü s t e l f on k s i y o n l i uz l a şabilinn
b üy ük lü ğ ün e b a ğ l ı o l a r a k uyar ı lm ış bir durum bulun a b i li r v ey a b ulunm a y a b i li r .
Şi m d i d e , e n e r j i si
l a n u ç (x) t ab a n d u ru mu il e , e ne rjisi E t ola n u t (x) uyari l-m ı ş d u r u m u n un b i r ü s t üs t e g e l M e s i n i 4 d ü ş ö n e l i m ( ç v e t , ç i f t v e t e k d e m e k t i r ) ;
1 1 . , (x).= u ç (x)( U t (X)5-83)
ı - °Bu r a d ak'n ı n s e ç i m i , J d x14 , (x)1
1 2'yi ol abil d i ğ i n c e k ü ç ü k y a p a c a k b i ç i m d e -
-4 od ir; bu is e ," e l e kt ron"u n ol abil d i ğ i n c e s a ğ y a n d a y e r e l l e ş m e s i d e m e k t i r . B i r t z a m a n ı
biçimini alacağ ı kolayca görüliir.Bu büyük bir basitle ş me gibi gözükmez,fakat sonsuz-
daki davranışı açklamış oluruz,ve ş imdi y = Oyekı n ı ndakidavranı ş a bakabiliziz.Bunun
için, C O P
21
h(y) == 5-117)rü=0
kuvvet serisi aç ı liminı deneyelim.Bu,denklemde yerine konursapy" 2 **im 1atem ş1 1 . 1 . 1 c . $ 1 1 1 m
1 ) ( ; h 1 4 . - 2 ) c ı m+2.2 2 1 —E+1)0: (5-118)
indirgeme bağ ı nt ı s ı n ı salamas ı gerekir.Böylece, a o ve e l i ve ırildiğ inde,tek ve çiftseriler ayr ı ayrı türeilebilir.Bunlar n karış mamas ı ,Hamiltonien'in yans ı malar alt ı n-
daki değ i ş mezliğ inin bir aonucudur.iateksel E için,m'Jitbüyük de ğ erlerinde(örnetin
m > fl"),
Q (5-119)
buluruz.Böylece çözüm yakLa şı k olarak,
(INN+22h(y)=(y'ye göre bir çokterim101-N+ 4
N(N +2)
2 3 +6y N(N + 2)(N + 4)
dı radmrada,basit olsun diye yaln ı z çift çözümleri ald ı k.Buradakk seri,
a052" N)1Y2)N/2-1 4- %3
,2,N/2--L (N/2 -I)!N / 2 ) !N/ 2) !biçiminde yez ı labilir;bu,bir çokteriali4- bir sabit X y' e yiçimindedir.Bu,
(5-115)'de yerine konursa,sonauzda s ı f ı r olmayan bir çözüm elde ederiz.indirgerne
bağ ı nt ı s ı bir yerde son bulunsa,yani
E : . - - - 2 N 4 . 1 (5-20 )
olursa geçerli bir çözüm bulunabilir. e 'nun bu özel de ğ eri için indirgeme %a ğ ı n -tas,
o la r a k ç e v r i l e b i l i r . B u a l ı ş ı lm ış b i r b i ç i m d i r ; ç ü n k ü e n e r j i ve f r e k a n s a r a s ı n d a k i b u
ba ğı nt ı , P l a n c k e ı n ışı n ı m a l a n ı k i p l e r i i ç i n b u l d u ğu bağı nt ı i l e a y n ı d ı r . B ö y l e o l m a s ı
r a s t l a n t ı d e ğ i l d i r ; ç ü n k ü e l e k t r o m a g n e t i k a l a n ı n 414 ıb ı a k i p le r e a y r i l m a s ı ,asl ı n d a
ç i f t l e n i m s i z h a r m o n i k s a l ı n g a n l a r a a y r ı lm a s i d i r .
2 . h( y) ç o k t e r i m l i l e r i b oy l a n d ı r m a s a b i t l e r i d ışı nda 11 1 1 (y) Be rm it e çokt e r im li-
l e r i d i r , v e b u n l a r ı n ö z e l i k l e r i b i r ç o k d e r s k i t a b ı n d a b u l u n a b i l i r . A s l ı n d a b i z b u a y r ı n -
t ı l a r l a i l g i l e n m i yo r u z ,v e h a r m on i k s a l ı ng a n p rob lemit ı i y i n e ç ö z e c e ğ i z ; b u y ü z d e n ş im-
d i l i k b u ko nu l a r ı k e s i y or u z . A y r i c a , h a r m o n i k s a l i n g a n ı n k l a s i k m e k e n d k t e o l d u ğ u gibi
k u a n t u m m e k a n i ğ i n d e d e ö n e m l i o l ma s ı n ı n n e d e n i n i b e l i r t m e ğ e d e ğ e r i . B i r si st emi n d e ng e
d u r u m u n d a n h e r h a n g i k ü ç ü k b i r t e d i r g e n m e s i k ü ç ü k s a l ı n ı m l a r d o ğ u r u r , b un l a r d a h e r z a - ,
ma n 41400aa k i p l e r e , b a ş k a d e y i ş le ba ğı ms ı z s a l i n g e n l a r a a y r ı la b i li r .
3. (5-1 25)'d e n g ö rü l d ü ğ ü g i b i e n a l t d u r u m u n b i l e b i t e n e r j i s i v a r d ı r.Buna
s ı f ı r - no kt a e n e r j i si d e n i r . B u e n e r j i n i n v a r l ığı b ü t ü n ü y l e k u a n t u m m e k a n i k s e l b i r e t -
k i d i r v e b e l i r s i z l i k i l k e s i n e d a y a n a r a k y or u m l a n a b i l i r . l i e l y u mu n a şı r ı a l ç a k s ı c a k l ı k-
l a r d a " donm am as1 ",f akat ol a ğ an baainçlarda 103 K e l v i n d e r e c e s i b a s a m a ğ a n a k a d a r s ı v ı
k a l m a s ı olg u su n d a n d ' a s ı f ı r -nokt a ' e n e r jisi aor umlu du r . B a f if a tomla r d a uj f r e k a n s ı bü -
y ü k t ü r , b u n e d e n l e ö r n e ğ i n a z o tt a b u e t k i g ö r ü l m e z . B u e a e r j i , a y r ı c a d a a t Om la r a r e a l
k u v ve t l e r i n m y r i n t ı l l ö z e l i k l e r i n e b a ğ l ı d ı r , v e » a v ı h i d r oje n i n d o n ma e l b u y i i ; d e n d i r .
P r o b l e m l e r
1. x-eksenininsonln bir bölgesinde yerene ş mi ş i s t e k s e l b i r p o t a n s i y e l i g ö z ö n ü n e
el ı n ı z . P o t a n s i y e l b ö l g e s i n i n s o l u n d a k i v e s a h i l d e k i ç ö z ü m l e r a ı r a y l a ,
zk x .4.kxAe + B e+De.
i l e v e r i l m i ş o l s u n l a r .
C = S11
A +12
D
B= S21
A + S2 2
D y a z a r s a k , y a d a b a ş k a d e y i ş l e , " g i d e n " d a l g a l a r ı " g e l e n " d a l g a l a r a
s ama olduğ u amma bağ l ı ~ar toguıaa verdiğ ini kaalliklayı n ı ..(au durum,-
Valwiaca ı1<'° ı gia eı lagacaktı r.)
8. Parçac ı k olabildiğ ince ba§lang ı cin :tak yanı nda yrerekle ş tirecek olan,
Denk.-83'deki C›< 'yi hesaplay ı n ı z.
9. Ilarmonik sal ı ngan ı n en alt üç özfonk;siyonn için ı ialga fonksiyonları n ı
ayrı nt ı l ı olarak hesaplay ı n ı z.
10 . Rarmonik sal ı ngan potansiyelinin küçük bir ktibil terim ile terdirgen-
di ğ ini dusunUnüz,oyle ki,
V(X).-72BALAJ (3 )c ip
olsun. Q büyükse l( 1 /mua ) 1/2 belirtgen boyatu ile kar§Alat ı rı nca], taban du-rumdaki bir parçac ı gı n en sakdaki bölgeye "s ı zmas ı "n ı n ne l adar zaman ald ı ğ ı n ı kes-
tiriniz.Yaln ı z bu tedirgenme varken,hiçbir en dü ş ük enerji durumu bulunmad ığ ı na dik-
kat ediniz; çünkü yeterince büyük x için,potansiyel istendi ğ i kadar derin olur.
11 . A ş a ğı da gösterilen,
V(x) — 4,2 2mx2> R
o
potansiyelini. gözönüne al ı n ı z
\ -leav
E enerjili bir parçaclk ı n bu potansiyeldeki yar ı ömrünü ke ı tiriniz(d ı staki potansi-
yel üç boyutlu bir dünyadaki aerkezkag bir engeli göaterirl.Sonuçlar ı n ı z ı kRboyntsnz oran ı cinsinden ifade ediniz,burada E .41i2k2/2m 'cli: ıs. I » alivz.
12 .
3n
olan Kronig-Penney potansiyelini gözönüne al ı n ı z.
v a r d ı r : i s t e k s e l b i rV(x) fonksiyonu,H'nin ö z fonksiyonls r inın bir t am küm e s i t ü-
r ü n d e n a ç ı l a b i l i r ; y a d a b a ş k a d e y i ş le,
11, (x) = Z C-l (x)E E6-6)
o l a r a k y a z ı l abil ir .Eg e r HWin ö z fonksiyonl a r ı n ı bo v l a n d ı r ı lm ı ş o l a r a k s e ç e r v e E ' n i n
f a r kl ı de ğ e r l e r i n e k a r ş ı l ı k gelen ö zfonksiyonlai r ı n d i k o l d u ğ u n u gö z ö n ü n e a l ı r s a k,o za -
man
Jr l Et (x) uz„.(x) Slx = SEev,6-7)
olur; bu sonu ç Ek B'd e ka n ı t l a n m ış t ı r . B ur a d a n d a a ç ı lm a k a tsa y ı la r ı ,
dx nE ,(x) y(x) mmCEE ,(x) E (x) dx
C EE'= C E'6-)
o l a r a k b e l i r l e n i r . ş i m d i , h e r b i r e n e r j i ö z io n ks i y on n i ç i n z a m a n b a ğ l ı l ı k:1min,
u E (x,t)= nE (x)6-9)
b i ç i m i n d e o l d u ğ u n u gö z ö n ü n e a l a l ı m . B ö y l e o l d u ğ u,(6-9).u n (6-5)'t e y e r ine konm as ı yla
kol a y c a g ö r ü l e b i l i r ; v e b ur a d a n ,
y(x,t) mmE eE (x)Eı E 4 c / 4 : ,6-18)
olu r .Çok s a y ı d a ö r n e ğ i n i n c e l e n m e s i n d e n ö ğ r e n d i ğ i m i z g i b i , e n e r j i ö z d e g e v l e r i k e s i k l i
v e / V e y a s ü r e k l i d e ğ e r l e r lik a b i li r . Bu y ü z d e n, ö z d e ğ e r l e r i n şpektrumunun k e s i k l i v e / v e y s
s ü r e k l i o l d uğu nu s ö yl e r iz .hyl e ys e (6-6) as l
ın d a , b u i k i d u r u m a k a r
şıl
ı
k g e l m e k ü z e r e ,
e n u ED 00 -4- f am(E)y,6-1)
olmal ı d ı r ; v e (6-7),k e sik li d e ğ e r l e r i ç i n
Jr uZ(x) nEn (x) dx =m6-12)
v e s ü r e k l i d e ğ e r l e r i ç i n ,
jr u:(x) m E ,(x) dx = cS . (E — E')
6-13)
v e r i r . O l a b i l e n t e k s e ç i m b n d e ğ i l d i r . P o t a n s i y e l k u r u s u v e y a e n g e l i p r o U e ml e r i n i n
ç ö z ü m le r i n d e g ö r d ü ğ ü m ü z g i bi , e n e r j i ö z d e g e r d e n k l e m i n i n ç ö z ü m l e r i ö y l e f lo n ks i y on l a r d e n
o l a r a k y e n i . b i r v e k t ö r v e r i r , v e b i r v e k t ö r l e b i r s a y ı n ı n ç a r p ı m ı g e n e b i r v e k t ö r d ü r ;
bu d u ru mu n t am b e nz e r i ol a r a k,ka r e s i t üm l e ne bil ir h e rh a ngi iki fonksiyonu n topl am ı ,
v e k a r e s i t ü m l e n e b i l i r b i r f on k s i y onu n u n i s t e k s e l b i r s a y ı (k a r m a l ) i l e ç a r p ı m ı d a g e -
n e k a r e s i t ü m le n e b i l i r b i r f on k s i y on d u r . S k a l e r g a r p ı m k a v r a m ı n ı , b i r du r um i ç i n
- a<: A i B „) = A.B6-20)o l a r a k , v e ö b ü r d u r u m i ç i n
<ıy>a fdx % * . (x) yx)6-21)ola r a k t a n ı m l a r s a k , h e r i k i d u r u m d a d a ç i z g i s e l b i r v e k t ö r u z a y ı m ı z olu r .Tek f a r k , ku-
antum mekani ğ i n d e k i v e k t ö r u z a y ı n ı n sonsuz boyutlu olmas ı d ı r .(6-21)'d e ki sü r e k li x
etiketi,N
Â.â = Z X. 6 -6-22)1 . = . 1
d e k i i i n d i s i n i n r o l ü n ü o yn a d ığı i ç i n , g e r ç e k t e n b u u z a y s ü r e k l i b i r b i ç i m d e s o n s u z -
d u r . B u d u r u m ,h ö y l e b i r v e k t ö r u z a y ı n ı n g e r ç e k b i r m a t e m a ti k s e l i n c e l e n m e s i n i n ç o k d a -
- 1 F a - k a r m a şı k olmas ı d e m e k t i r . Ç ün k ü ( 6 - 2 1) g i b i t ü m l e v l e r i n y a k ı n s a kl ı k sorunu ç ı k a r ,v e
sonlu boyutlu b i r u z a y ı n t e r s i n e t a m l ığ ı ka n ı t l a m a k ç o k d a h a z o r d u r . M a t e m a t i ks e l s ö y -
leyi ş l e , k a r e s i t ü ml e n e b i l e n f on k s i y on l a r b i r H i l be r t u z a y ı k u r a r l a r , v e e n e r j i ö z f o n k -
siyonları
t e m e l v e k t ö r l e r i n i n b i r t a m k ü m e s i n i ol uşt u ru r l a r .
Sonlu boyut lu ve y a d ah a g e ne l v e kt ö r u z ayl a r ı n d a b i r i ş l e m c i , b i r v e k t ö r ü b a ş -
k a b i r v e k t ö r e , v e y a b u r a d a k i d u r u m d a k a r e s i t ü ml e n e b i l i r b i r f on k s i y onu k a r e s i t ü ml e -
n e b i l i r b i r b a ş k a fonk siyon a d ö n ü ş t ü r e n b i r ş e y o l a r a k t a n ı m l a u ı r . B i z a sl ı n d a ,
c<f 1 +P7 2) =o" V 26-23 )
ö z e l i ğ ini ta şı y a n ç i z g i s e l i s l e m c i l e r l e i l g i l e n i y or u z . B ö l ü m 4 't e t a r t ışı la n b a sit
örnek,R'nin
<J ^ (x)Hdx6-24)ile tan ı m l a n a n b e k l e n e n d e ğ e r i n i n g e r ç e l o l d u ğ unu g ö st e r m i ş t i . F i z i k s e l ol a r a k ö l ç ü -
leb i le n b i r n it e lik ig i n, b öy le olm a s ı b e k l e n i r , v e b u ş ö y l e g e n e l l e ş t i r i l i r : G ö z l e n e -
b ili r b i r n it e li ğ i g ö s t e r i m l e y e n b i r i ş lem e i n i n, tüm Ny -Weler için beklenen emteri
g e r ç e l o lma l ı d ı r . Bu ö z e li ğ i ta ş ı y a n i ş l e m c i l e r ö h e r m i t i e n d e n i r .
İ s t e k s e i b i r ç i z g i s e l A i ş lem c i si i ç i n,
Dalga MekanUinin Genel Yap ı s ı15ol~,unu biliyoroz.At iş lemeisikunur),
t. / [A -Nr(x),.14/(x) dx •=1-1 7 ( x ) Ay(xba g ı nt ı s lyl a t a n ı mla n ı r , v e h e r m i t i e n e ş l e n i k i ş l e m c i a d ı n ı a l ı r . b r n e ğ in,
(6-27)
ba ğı nt ı s ı ,
f dx 1 Y*Y) —fd,c.\/at.Ox
( dt—xoldu ğ unu ğ ö s t e r i r . B e n z e r o l a r a k ,
(2d x2
Lx
— O.<
i ş lem c i si n i n h e r m iti e n e ş leni ğ inin,
(d2–Z ı t
ci ed x
2
ol a c a ğı k ol a y c a g ö s t e r L l i r . 1 1e r m i t i e n b i r i a l e m c i icin,
(11> fiy(x)]*
y<x)
=Nıx )Ht
y(x) dx
. . . . . . j r s ii(x) H y(x) dx
olu r ;v e b n, tüm(x)iler için doğ r u oldu ğ u n d a n ,
H t = H
(6-2s)
(6-29)
oldu ğ unu s ıö y l e r i z . i a l e a c i l e r i d e k a p s a y a n s ka l e r ç a r p ı m ı n D i r a c y a z ı m ı ,
(x) A
x) dx < N I / > 6-30)
olur.Bliylece l ,% I A I y> * .j- [ A - N 4 , (x ) 3 *(x) d.
ıA.'in (6 -27)'deki ta n ı m ı ,yeln ı z A'n ı n beklenen de ğerini kapsar. A isteksel
bir karmel sa y ı olm ak üzere lf(x)=.- u(x) -4- ı1 ‘Y(x) yaza r ak (6-27)enin,(6-31) 1 d e k i
b i r i n c i v e i k i n c i sai ı raras ı nda bir basamak gerektirdi ğ i k ol a y c a g ö r ü l ü r .
Ge n e l l i ğ e y ö n e l m e m i z i n n e d e n i ş udur: Ş i m d i y e d e k g ö r d ü ğ ümüz g ib i, ilg i n ç ola n
i ş l e m c i y a l n ı z c a R d e ğ i ld i r . 10,4 omentum i ş l e m e i s i , p a r i t e , ye r v . b . g i b i ö b ü r
f i z i k s e l g ü z l e n e b i l i r l e r d e h e r m i t i e n i ş l e m c i l e r l e g ö s t e r i m l e n i r . i ş lemc ı l e r i ç i n
B , C , . . . . b a r f l e r i n i k u l l a a s c a g ı z .Y a l n ı z e a , g ö z l e n e b i l i r l e r i g ö s t e r e n i ş l e m c i l e r l e i l -
gilen diğimi z d e n, b unla r
ın t ü m ü h e r m i t i e n o l a c a k t
ı r :
A = Af
B = B t6-32)
v e öb ü r le r i .
B ütün h e r m iti e n i ş l e m c i l e r i n h z f on k s i y on l a r ı vard ı r . Y a d a b a ş k a d e y i ş le,üyle
b i r v e k t e r l e r k ü m e s i v a r d ı r k i , b n v e k t or l e r e e t k i y e n i ş l e m c i , b i r o r a n t ı a a b i t i d ı -
şı n d a g e n e a y n ı v e k t ö r l e r i v e r i r ; b u r a d a k i o r a n t ı s a b i t i ö z d e ğ e r d i r ;
Au (x) = e l u o , (x)
6-33)
Özde ğ e r l e r in sp e kt ru mu,Ham iltonie n iç in ol d u ğu g i b i , k e s i k l i v e / v e y a s ü r e k l i o la b i l i r .
M om e n t u m ö z d e g e r l e r i s p e k t r u m n n u n s ür e k l i , p a r i t e ö z d e e r l e r i s p e k t r u m u n un i s e ± 1
de ğ e r l e r i y l e k e s i k l i ol d u ğ u bulunmu ş tu .Ene rji ö z lonksiyonl a r ı n d a k i g ib i, a .' n ı n f a r k -
l ı d e ğ e r l e r i n e k a r ş ı l ı k g e l e n ö z f o n k si y on l e r d i k t i r , v e b u n l a r b oy l a n d ı r ı lm ı ş o l a r a k
s e ç i l e b i l i r l e r . B ö y l e c e ,
ju*(x) le .t.) Jx..6-34)
v e y a y e n i y a z ı m ı m ı zl a,
I A d a !s ( 0., 016-35)olu r ,Bu r a d a g (, h z d e g e r i e r k e s i k l i y s e b ir Q â Kr o e n e c k e r d e l t a s ı ,sürek-
liyse bi r( o.-- cı ') Dir a c d e lt a fonksiyone d u r .(6-33) ve (6-3 4) d e nkl e m l e r ind e n,
yani,
O L . , - - - .x ) A t i « (x) dx (6-36)
(6-37)
so n uc u ç a k a r . B ö y l e c e , b e r m i t i e n b i r işl e m e i n i n ö z d e g e r l e r i g e r ç e l o l m a l
ıd
ır .A y r
ıc a „ A
ile b etimle n e n g i i z l e n eb i li r i n b i r t e k ö l ç i imünüp sonuc u ö z d e g e r l e r d e n b i r i olm a l ı d ı r ,
b u yü z d e n d e h z d e ğ e r l e r i n g e r ç e l o l m a s ı g e r e k i r ,
D a l g a M e k a n i S i n i n G e n e l Y a p x s ı21n lu r , v e b u
d tı ,A< (6-58)
d e m e k t i r . B u n u ç ı ka r ı r k e n H`nin h e r m it e n bi r i ş lem c i oldu ğ u n u k u l l a n d ı k . A a ç ı k ç a z a -
m a n a b a ğ l ı d e ğ i l s e , h e r h a n j ğ i bir du rum i çin Atn ı n b e k l e n e n d e ğ e r i n d e k i d e ğ i ş menin,
d t<A> =--<tli ,A1>6-59)
oldu ğ unu ğ b r k y or u z . i g l e m e i H i l e s l r a d e ğ i s t i r i y or s a , b e k l e n e n d e ğ e r i h e r Z a m a n s a b i t -
t i r , b u d ur u m d a g ö z l e n e b i l i r i n b i r h a r e k e t s a b i t i o l d u ğ u n u s h y l e y e b i l i r i z . H a m i l ton i e n ,
s ı r a d e ğ i s t i r e n g ö z l e n e b i l i r l e r i n tam kiimesinin bir ii ğ esi iseibiirlerinin tiiı ı ii h a r e k e t
sa b iti d i r .
S ı r a y l a A = x a e A = p g i i z l e n e b i l i r l e r i n i i n e e l e y e l i m . Ön e e ,
(1<x>=i< "'x j>
([22m V(x),xi>
oldu ğ u nu bu lu ru z .x i ş l e m e is i,x*in h e rh a ngi bir fonksiyonu il e s ı r a d e ğ i ş t i r d i ğ in d en,
[ v(x) r x 3 = . O
olur; bn yüzden b i z im, y a ln ı z e a ş u ba ğı ntly ı h e s a p l a m a m ı Z g e r e k i r :
[p 2 ,x1= p [p,xj +.[Ptx] p
2'k
Bk;ylece,
d<x > =< ÷)dt
e l d e e d e r i z . P , u n d a n s on r a p i s l e m e i s i i ç i n , p 2 ve p s ı r a d e ğ i ş t i r d i ğ i n d e n ,
2
d tk 2m
<[p,V(x)]>
bulu r u z . Son d e ğ i ş t ı r i e i y i h e s a p l a m a k i ç i n ,
D a l g a m e k a n i ğ i n i n g e n e l y a p ı s ı n ı n t a r t ışı lmas ı n d a , g ö z l e n e b i l ir l e r i g ö s te r e n
i ş l e m c i l e r e v e o n l a r ı n ö z fonk a iyonla r ı n a e ş it a ğı r l ı k v e r i lmi ş t i.Öz fonksiyonl a r bir
ba k ı m a N boyut lu ve kt ö r u z ay ı n d a k i b i r i m v e k t ö r l e r i n d i k e y b o y l u b i r t e m e l i n e b e n z e r
ol a r a k b e t im l e nm i ş ti,--ku ş ku su z bu d u ru m onl a r ı n ön emini, az alt ı r.--% yüzden Bölüm
5 'd e k i f i z i k s e l p r o b l e m le r l e i l g i l i t a r t ı ş ma m ı z d a , ö z f o n k s i y on l a r i ş l e m e i le r d e n d a h a
ö ne m l i bir r ol oynuyormu ş g i bi g ö r ü n ü y o r d u . % b ö l üm d e , b a s i t b i r ö r n e k ü z e r i n d e ş un-
la r ı g ö s t e r e c e ğ i z : (a) Ya ln ı z c a i ş l e m c i l e r i k u l l a n a r a k ö z d e ğ e r s p e k t r u m u n u bu l a c a k
k a d a r i l e r i g i d e b i l i r i z , v e ( b) Öz f o n k s i y on l a r ı n b i r t e m e l o l a r a k b e t i m i e n m e s i n i b i r a z
d a h a soyutla ş t ı r a b i l i r i z . B u n l a r d a n i k i n c i s i , ş i m d i y e k a d a r y a l n ı z c a x v e y a L p'ye ba ğ l i
ol an fonksiyonl a r ı i n c e l e d i ğ i m i z i ç i n ö n e m l i d i r . t l e r d e , x - ı ı z a y ı ile doğ r u d a n h i ç b i r
ba g ı nt ı s ı o l m a y a n g ö z l e n e b i l i r l e r i n b u l u n d u ğu n u ,v e b u n l a r i ç i n ç o k d a h a , so y ut b i r ö z -
d u r u m k a v r a m ı n ı n g e l i ş t i r i l m e s i n i n g e r e k t i ğ i n i g ö r e c e ğ i z . B u s b y l e d i k l e r i m i z , ö r n e k o -
l a r a k s e ç t i ğ i m i z h a r m o n i k s a l ı n g a n p r o bl e m i n i n ç ö z ü m ü n ü y a p a r k e n bi r a z d a h a a ç ı kl ı k
k a z a n a c a k t ı r1
.
H a r m o n i k s a k ı ng a n ı n
2P12-4-- si . o . ) x2
2m
b i ç i m i n d e d i r , b u r a d a x v e p i ş l e m c i l e r d i r . p ' ni n (i) (d / d x ) •i i e g ö s t e r i l m e s i ü z e r i n -d e ç ok du r muyor u z .B ö li im 3'd e e l d e etti ğ imiz a ç ı k g ö s t e r i m i n t e k y a r a r ı ,
P /7-2)
1 İ s t e r d i f e r e n s i y e l d e n k l e m l e r i s t e r i ş l e m c i b i ç i m i n d e o ls u n , ta m o l a r a k ç ö -
z ö l e b i l e n p r o b l e ml e r i n s a y ı s ı a z d ı r . B u ö r n e k e n b a s i ti d i r , v e b ö y l e c e b i z i m amac ı n ı z
t e m e l d e ğ i ş me ba ğı nt ı s ı d ı r .K l a s i k ol a r a k fl am i lton ie n ,
H = c . k . > P — x— i m )'07 -L o
o la r a k ç a r p a n l a r a a y r ı l a h i l i r , f a k a t p v e x a ı r a d e ğ i ş t i rm e d i ğ in d en,
(
v f m . ? " x — i"""-"" a >2mtı ı2 x 2
Pu . . )2
2a ı+ ,l )P )2m 2
( 7-3)
bulu r u z . Ş imdi,
A=
At2,,
r ) +2mu ı
P
2 r o u 3
(7-4)2
ya z ı m ı n l g e t i r e l i m . x v e p h e r m i t i e n i ş l e m c i l e r o l d u ğ u n d a n , i k i n e i i ş l e m e i n i n h a ç i l e
gö st e r ilm e s i u ygu nd u r .Bu iki i ş l e m e i s ı r a d e ğ i ş tirmez;
ra
-P2mu.11-512) xi[AAT. =4,7-5)
oldu ğ u n u h e s a p l a y a b i l i r i z ; v e I l a m i l t on i e n ' i y e n i i ş l e m c i l e r t ü r ü n d e n ,
AtA7-6)o l a r a k y e n i d e n y a a a b i l i r i z .
H am iltonie n'in h as it li ğ i ,A ve A t 'In R i l e d e ğ i ş m e b a ğı nt ı la r ı n ı n b a sitli ğ in-
d e d e k e n d i n i g ö s t e r i r . B u ha ğı nt ı lar 'için 2 ,
[13,A]= [wAtA ,A]=W[At ,A] A
=iuu A7-7)ve
[11,A1= [wAt4,A 1]AtA t . ]
= wAt (7-8)
2S ı r a d e ğ i ş t i r i c i l e r i ç i n , E k B' d e v e r i l e n k u r a l l a r ı a ı k s ı k k u l l a m a e a ğ ı z :
[A+B,C]=4A,CHB,C) ve [AB,C]= A [B,C]A,C] BRu ş ku su z ,i ş l e m e i l e r i n s ı r a l a r ı n ı n k a r ı ş tir ı lmamns ı ç o k ö n e m l i d i r .
b i r s o n u c u d u r . Hi ç b i r b a ş l a n g ı c ı n bu lu nm a d ığı n ı , y a d a b a ş k a d e y i ş le, b e lli b i r u-
zakl ı k k a d a r y e r d e ğ i ş t i r m e a l t ı n d a f i z i k y a s a l a r ı n ı n , de ğ i ş mez oldu ğu n u s ö y l e m e k ,
b i r kor unum y a s a sın a g ö t ür ü r . P a r ç a c
ı
k f i z iği n d e b u r a d a i n c e l e d i
ğ
imi z b i ç im d e po-t a n s i y e l l e r y ok t ur ; b u n un l a b i r l i k t e , yu k a r d a s ö y l e n d i ğ i g ib i, d e ğ i ş m e z l i k i l k e s i
ge ne ko ru na n bir topl am mom e ntum ve r ir .
Ba ş l ı c a a m a c ı m ı z , h e m e n i n c e l e y e c e ğ imiz iki-p a r ç a c ı k sistemi o l a c a k t ı r .Et -
ki l e ş m e y e n i k i pa r ç a c ı g ı n b as it bir H am iltonie n'i v a r d ı r :
2 P ı2 (8-20)Fl= 2m ı 4- 2m
2
İ k i p a r ç a c ı k a r a s ı n d a h i ç b i r i l i ş k i olm a d ı g ı n d a n , b i r i n i a l : d e v e ö b ü r ü n ü x 2 ' ı l e
b a l m a o l a s ı l ığı n ı n,iki ba ğı ms ı z ola s ı l ığı n ç a r p ı m ı o l a c a ğı n ı b e k l e y e b i l i r i z :
P( xl , x 2)= P ( x l ) P(z 2 )
8-21)
B ö y le c e d e ,
4 27 6 . 2
2 ı ıx 2a 22(I İ :I2 ) = Eu(x l ,z 2 )8-22)1 d e n k l e m i n i n ç ö z ü m ü n ün ,
11(x l ' x 2 ) = P 1 ( x l ) %2(x2)8-23)o l a r a k a y r ı l abilm e s ini b e kl e r iz .Bu nu (A-22)I d e y e r ine koya r,v e u(x i ,x 2 ) i l e b ö -
l e r s e k,
-( 412/ 1 9 1 1)(d 2 01(xi)/ax1 2 )( s , 2 / 2 . 2 ) ( d 2 o 2 ( . 2 ) / d . 2 2 )E8 _ 2 4 )o l ( c i )2 ( = 2 )
e l d e e d e r i z . D e n k l e m d e k i i k i t e r i m f a r k l ı d e ğ i ş k e n l e r e b a ğ l ı d ı r , v e b n n e d e n l e i k i -
s i n i d e s ı r a y l a E l ve E2 s a b i t l e r i n e e ş itleriz:
E El
E2
t . , 22 1 (
x1 21 0 1
(xl
)
2m ıx 1
e l d e e d e r i z . B ur a d a2
2m1E
1 m E2k
i 22m(8-27)
d 2 02x 2 )
2'2 'tx 2 '275,2 (8-25)
(8-6)
B u i k i d e n k l e m k o l a y c a ç b z ü l ü r , v e "(xı ,z2)=i, e
koordinatlar ı n ı kullanarak,çözümü yeniden yazal ı m; bunlar,parçac ı klar aras ı ndaki
aral ı k ve kütle merkezi koordinat ı d ı r .
a l1
ı c14-*
' 2x2
k 1 z 1 + k2ı 2 avo((x i2 ) ' 4 . 1 3
yazareak,
fi = k ı 2 Km2k
1— m
1k2
o( skm ı +buluruz; bu yüzden çözümün biçimi,
£KX ı kX" (x ı ' x 2 ).' (8-9)
olur.Burada K m:k i 4 k 2 , toplam momentuma kar şı l ı k alan dalgâ saYs ı ve k ba ğ l ı ma-
mentuma kar şı l ı k olan dalga say ı s ı d ı r.ilk çarpan kütle merkezinin hareketini gös-
terimler,ve ikinci çarpan "iç" dalga fonksiyonudur.Enerji
4,2K2It2 1 )8-30)m4 - k .1 - t -ı 2(m i + m2 )-olarak yaz ı labilir. İ lk terim i toplam mnmentumla ve al l 4 • 2 kütlesi ile özgürce ha-
reket•eden iki parçac ı k sisteminin enerjisi,ve ikinci terim iç enerjidir.
= 1 8-31)t 'ı1 1 2
ile tan ı mlanan to. indirgenmi ş kiitlesini getirirsek,o zaman 4 ı 2k 2/2/Aerimietkin olarakütleli ve 'tak momentumln özgür par çac ığı n enerjisidir.
(8-20)Ideki Bamiltonien,yaln ı zea x,-- ı r ,eye ba ğ l ı olan bir potansiyel e k-
b u l n r u z . B i r a z c e b i n e (8 -3 2) d e n k l e m i ,
. ) 2, 2 +V ( 1 ))11(x,X ) = En(x,X)
2(m i + l e 2 )X2f r►
b i ç i m i n i a l ı r .KX
u(s,X) ( x )
(8-35)
(8-36)
yazarsak,000 için
d 2d( x ‘4- V(a) 0(x) sm £. 0(x)8- 37)
2tead e n k l e m i n i b u l u r u z ; b u , b i r b i r - p a r ç a c ı k 8 c h r ö d i n g e r d e n k l e m i d i r . H u d r m k l e m d e k ü t -
l e , i n d i r g e n m i ç k ü t l e d i r , v e e n e r j i
.h2 1 £ 2
C -.E2(m ı 4- 4 2 1
d i r . Hö lüm 9'd a b n a y r ı lm ay ı b i r a z d a h a k a r ışı k b i r y o l d a n
ö z d e ş parçaseı p r o b l e m i n e dijnAji ı ı ı -
E l e k t r o n l a r ı n a y i e d e d i l m m e z o l d u ğ u nu gö st e r e n gü ç
olm a s a y d ı ,bir atomun,örne ğ in h e lyumu n sp e kt ru mu,d e ne y d e
n ı n bu lu nd u ğ u n a b a ğ l ı o l a r a k d e n e y d e n d e n e y e d e ğ içirdi.13
z a m a n g ö z l e n m e m i ş t i r . B e n z e r o la r a k , ç e k i r d e k s p e k tr u m la r ı
d a p roton ve nö t ronl a r ı n a y ı r d e d i l e m e z o l d u ğ u nu gö st e r ir
n e y l e r i n in b e n z e r k a n ı tla r ıl a r a k ö b ü r p a rm e z o n l a r i ny ı r d e d i l e m e z o l d u ğ u n u g ö s te r m e k t e d i r . B n t a
ae bir özeliktir : K l a s i k m e k a n i k t e ( ilke oI
naern:::: ı is a r
l e n e b i l i r ; b u y üz d e n , g e r ç e k t e n o n la r h e r z a m a n a y ı r d e d i l
E l e k t r o n l a r a n , s p i n d e n i l e n b i r i ç k
r e n e c e ğ i z ; v e b ö y l e c e e l e k t r on l a r ı n b e t i ml e m m e s i n d e , d u r u
k a p sa m a l ı d ı r . Bunun a y ı r d e d i l e m e z l i ğ i n sonu ç l a r ı ü z e r i n d e
d ı r , b u n u d a h a s o n r a i n c e l e y e c e ğ iz.
Ay ı r d e d i l e m e z p a r ç a c a k l a r i ç i n , H a m i l t o n i e n p a r ç a c
g ö r e t a m o l a r a k b a k ışı ml ı olm e l ı d ı r . i k i - p a r ç a c ı k si st emi
V(z 3 , x 2 ) ş = V(x2 ,x 1 )8-40)di r.Bu br ı k ışı m ı s i m g e s e l o l a r a k ,
H(1,2)= U(2,1)8-41)b i ç i m i n d e y a z a b i l i r i z . H a mi l t on i e n p a r ç a e l k l a r ı n s p i n i n e b a ğ l ı ise,o zaman "1",'Y2"
e t i k e tl e r i s p i n l e r i d e k a p s a m a l ı d ı r . T ö m p a r ç a e l k l a r ı n ö z d e ş olduğ u b i r N - P a r ç a c ı k
s i s t e m i n ö n b i r d a l g a f o n k s i y onu ı 4J(1,2) i l e g ö s t e r i l e c e k t i r v e b u , o' i e l e r
a p i n d u r u m l a r ı n ı b e t i ml e m e k ü z e r e , d a h a a ç ı k olan y(x l , c ? 1 ;x 2, 0
2 ;. . .;x 1 4 1 , Or N).nin
y e r i n i t u ta c a k t ı r.
B i r i k i - p a r ç a c ı k s i s t e mi i ç i n e n e r j i ö z d e ğ e r d e n k l e m i ,
I I ( 1 , 2 ) / 1 E (i1,2) = Eu E (1,2)8-42)o l ur . E t i h e t l e m e d e ğ i ş iklik'yapmadl ığ ı n d a n , b u n a
11(2,1) n E (2.1)= EuE (2,1)8-4 3)
o l a r a k d m y a z a b i l i r i z . A y r ı c a d a , C 8 - 4 1 )' i k u l l a n a r a k
11(1,2) ı ı i 5 (2,,1)=Eus (2,1)8-44)b u l u r u z . P a r i t e t a r t ışu n a m ı Z d a ki b i ç i m s e l y'akl a ş i m l i z l e y e r e k , P 12 d e f i ş i o l e a ş iş lem -
cisini i:an ı ta l ı m; bu i ş l e m e i b i r d u r u m a e t k e y i n c e , 1 ve 2 p a r ç a c ı k l a r ı n ı n bütün
ko o r d i n a t l a r ı n ı (uz a y v e sp i n) - d e g ö ş toku ş eder.81 2 i n iu ta n ı m ı ,
P 12 Y (L ' 2)= V2 ' 1)8-45)d e m e kti r , D e n k .(8-44) ; ş ö y le y a z ı la b i li r ;
HP12 1 1 1 1 (14)= E u E (2 ,1)
V e bu , al ışı ld ığı gibi"
= "12ur(1-2)
= P12Efiz(l. 2)
= PuhE (1,2)
{n , P12 (8-46)
( 8 . - 4 7 )
i ş l e m e i b a g ı nt ı s ı n ı o n r i r . B b yl e c e p a r i t e g i b i , P 12 de b i r h a r e k e t s a b i t i d i r . A yr ı ca,
p a r i t e g i b i ,
(P12 ) 2 at/(14).= Y(1/ 2 )8-48)d i r ; b u y ü z d e n , P 12 'nin de dzdeerlerii d i r . 0 z d u r n m l a r , b a k ı ı ş ı m ll v e ka r şı ba k ı -
[ipucu: Denklemi,8-37)'ye götürecek biçimde ay ı r ı n ı z v e P a u l i i l k e s i n i u y g ul a y ı -
n ı z.]
5. H e r b i r i n i n s p i n i 0 o l a n , v e
V(x l ' x 2 ) =( xle ) — ( x2 . 4 - xo ) ] 2
pot a n s i y e l e n e r j i s i i l e e t k i l e ş e n i k i ö z d e ş p a r ç a c ı k d ü ş f i n ü n d z , b ur a d a x o ve
- - x o p a r ç a c ı k l a r ı n d e ng e konum l a r ı d ı r .
İ k i - p a r ç a c ı k s i s t e m i n i n s p e k t r u mu n e d i r ? h z d e ş p a r ç a c ı k l a r ı npinleri1/2 oldu ğ u z am a n,sp e kt ru m ne olu r?
6 .
2= 2(1'11°1)(p2,x2)
e n e r j i i s l e m e i s i i l e b e t i ml e n e n , i k i ö z d e s p a r ç a c ığı g ö z ö n ü n e a l ı n ı z , b u r a d a
2, I
R(P,x)ır --- tk) x2
2m
d i r . K i i t l e m e r k e z i h a r e k e t i n i a y ı r ı n ı z v e s i s t e m i n e n e r j i e p e k t r u m un u e l d e e d i n i z .
Bunun,
2Y(xl'x2)= E Y(xl,x2)
d e n k l e m i n i n O z i l m ü n d e n e l d e e d i l e n l e u y u s t u ğunu göstriniz,burada
Vx l ' x 2 ). ( x ı ) "2( z2)
d i r . E n e r j i e p e k t r u m un u n k a t m e r l i l i ğ i n i t a r t ı s ı n ı z .
K a y n a k l a r
Bö lüm 6 ' n ı n sonun d a k i s ı r a l a n m ış k a y n a k l a r d a n h e r h a n g i b i r i n e v e a y r ı c a a s a ğı d a -
k i l e r e b a k ı n ı z :
D. S. S axon,El e m e nt a ry Qu antum Me ch a nic s, Hol d e n-D ay,I nc ., 1 9 6 8 .
D, P a r k, I nt ro d u e t ton to the Qu antum Theo ry, M eGr aw-Hill Co., 1 964 .
aç ı sal momentum i ş lemcisinin z-bile ş e n i d i r . x - v e y - e k s e n l e r i e t r a f ı n d a k i d ö nm ele-
r i elsa y d ı k,ek ola r a k
[ 1 1 , 1 , x ] =O
[H,LY= 09-31)
bulur duk.Böyl ec e a ç ı sal momentum i ş l em cisinin ü ç bil e ş eni de H ile s ı r a de ğ i ş tirlr,
yani, aç ı s al momentum bir ha r eke t s abit idir . Böyl e olmas ı , ş u kl a s ik so nu c a ko ş uttur:
M e r k e z c i l k u v v e tl e r a ç ı sal momentum korunumunu gerektirir.
M, L , L v e L'nin o r t a k ö z fo nks iyonl a r ı n ı bulmak isteyebiliriz.Falcat bunlar,x y s ı r a d e ğ i ş t i r e n d e ğ i ş kenl er in bir t am küm esini olu ş tu rm a zl a r .Örne ğ i u ,
[Lx , L y j= [yp z - zpy ,z p x - xp z ]
• LYP z' z P x . ) - r z Py' z i 3 x1 - [Y P z ' x r z iz P y' x P z ]
= Y [ P z ' z ] P x[ z ' P z i P Y
t f ı• "r" (Y1', - xP y )
i 1 1 L z9-32)v e b e n z e r o l a r a k
[L ,L J= i411,Y z
[L z , L x ] = i4NLy (9-33)
d i r .B öy le c e,11 ile b i r likte,g ö z le n eb ili r le r i n si r a d e ğ i ş ti r e n kümesini kur m a k üz e r e,
L 'nin yaln ı z b i r b ile ş e n i s e ç i l e b i l i r . B e l k i d a h a i y i b i r s e ç i m y a p a b i l i r i z ; ç ü n-
kü,£9-32) ve (9-33)'e g ö r e L 2 , L 'nin üç bile ş e n i y le d e s ı r a d e ğ i ş tirir:
L4 L - IL L )+-L 2 1._ri, ,L 2 14,,Zz xJ L 'cfLa C L z
, L a^ + f ı ,zx
1 , x + L I Lz, L ) 4 4 L
z,L L
yyy1 4 1 ı Lx L y
4- i4lLyLx' t ' ► t
yLLL
Z y
= O9-34)
v.b. Böylec e a ı r a d e ğ i ş tir en gözl enebilirl er in t am küm esi ol a r ak B,L z (bütünüyle
a n la ş m aya day anan bir s eç im) ve t, 2 i s l e m c i l e r i n i s e ç e b i l i r i z . 4 1 k ç a g ö r ü l d ü ğ ü gibi
Eam iltonien x x, yy ve z -z alt ı nda ie ğ i ş ime z oldu ğ undan,pa rit e-
y i d e b u k ü me y e ko ya b i l i r d i k ; f a k a t i l e r d e g ö r e c e ğ imiz gibi, L 'nin bilinmesi p e r i-
Apxsnl Momentum75Bo Oz fonksiyonie r in boyl anfb r
ıl m s l a r i g e r e k i r . T ü m l e v a r a l i k l a r i O < < H < ir olan küresel aç ı lar ile ugrat ı g ı mi z d a n(Bk z, Ş e k . 9. 1); v e k ü r e y n z e y i
jizerinden(r =
dS1 d J r 53.n 0 ( 1 0
O
( ı o-58)
yazalam ı z gerekir.poradaki tnmlevin usandiric ı d ı r . Bo y ü z d e n uy gun b i ç im d e
boyland ı r : i l m ı l olan Y .e m ( 4 ,1 5 ) ' l e r i , g e l e n e k s e l e v r e l e r i i l e y a z m a k l a y e t i n e c e ğ i z :
1/2
r n 10-59)P , „ ( 0 , ^)- 1 - ) 1 1 iliri+ ra)fe c e.
Bunla r,
Y Q ı_m
= (-) Y L e o10-60)
ö z e l i ğ ini ta şı ula r „B a g'll L eg e n d r e ç okt e r imlile r i,
1 ) , ,t m (u) = (-1) Z+m)11 2 1 r . !a1 2 )10-61)
o la r a k v e r i l i r ; b u ç o k t e r i m l i l e r i n n e g a t i f m i ç i n d e ğ e r l e r i ,
-)! m (+.)!
( 10-62 )
ba g ı nt ı s ı n e l a n e l d e e d i l i r A z f o n k s i y o n l a r d a n b i r k a ç l n ı s i r a l a m a k , b i z i m a m a c ı m ı z i ç i n
(9-40)'da oldu ğ u gibi,r. 2 'nin bir özfonksiyona etkimesiyle £(£44)1N 2 e l d e
e d i l d i ğ ini bildi ğ imiz d en, ş i m d i ,e n e rj i fi z d e g e r l e r ı ni ve fizfonksiyonlar ı n ı b e l i r l e y e n
ışı n s a l d i f e r a n s i y e l d e n k l e m i ya z ı ı h ili r i z .Çe ş i t l i p ot a n s i y e l l e r i ç i n , ç o k a y r ı nt ı l ı
o l a r a k t a r t ı s a c a g ı m ı z d e n kl e m ,
[ 1( 1 ,) 1 1")Rr)rrrr. t ,
V(r) Itr t m(r)s BRE i m (r )10-64)d i r . B n d e n k l e m i n m 'y e h i ç b a
ğl
ıolm a d ığı n
ıb e l i r t e l i m . Bö y l e c e v e r i l e n b i r I i ç i n ,
her zaman 4- 1) katl ı b i r k a t m e r l i l i k o l a c a k t ı r ; çü nkü ol abil e n t üm m- d e ğ e r l e r i
i ç i n e n e r j i a y n ı o l a c a k t ı r .
P r ob lemle r
1. Bir mol e kü l iki ö z d e 1 atom d a n olu ş uyor; bu atom l a r t ab a n d u ru m d a d ı r ve
spi n l e r i s ı f ı rd ı r . Molek ülün ola b ile n uy a r ı lm a l a r ı a r a s ı n d a d ö n e l n y a r ı lmalar da~-
d ı r .Y a l n ı z z - e k s e n i e t r a f ı n d a k i d ö n m e l e r g ö z ö n ü n e a l ı n ı rsa,H= L z 2 /21 olu r;v e atom-
l a r a r a s ı n d a k i u z a k l ı k sa b it a l ı n ı r s a, d ö nm e sp e kt ru mu ne olu r? Atom ia r ı n spini 1 /2
i s e , ve h e r i k i s i d e a y n ı s p i n d u r u m u n d a y s a s p e k t r u m n e d i r ?
2. (10-63)'te s ı ralanan kiiresel harmonikleri x= r sin 0 cosCp ,
y = r 8in H sine z = r c o s H c i n s i n d e nf a d e e d i n i z .3. P z (u)u) L eg e n d r e ç okt e r imlile r i,(10-61)if a d e si c i n si n d e n t a n ı m l a-
n a b i li r . Bu t a n ı m ı k u l l a n a r a k , P „t (n)'nun
(1 - u 2 ) PÇ (u) 24() +N+ 1) P .e (n) mm 0
d e n k l e m i n i s a ğ la d ığı n ı g ö s t e r i n i z .
4 . P , ( u ) L e g e n d r e ç o kt e r i m l i l e r i n i n ,
u . h > ı - u 2 )
4 + 1)! + . 1 )1 - u 2
G e+,.//ptOi n d i rg e m e b a ğ ı nt ı la r ı n ı s a ğ la d ığı n ı g ö s t e r i n i z .
Ş ek.11-1. Asil potansiyelin bir kara kuyu olmas ı durumund8(r)1 , 1 nin ışı n•al
denaklamindak ı etkin potansiyel.
(b) anta(r) I nin tan ımı ve dalga fon ksiyonunun baglaag ı ç noktaveladaki son1u-
u a ta (0)= 011-7)olmas ı n ı garektirir.Bu da problemi daha çok,sol yanda V ,lan bir-boyutlu
probleme benzetir( Ş ak.11.1).
Önceeaklemi baş langı ç noktas ı ak ı n ı nda ı nceleyve kolayl ı k
bakı m ı ndan tüm indisleri düş hrel ı m.r
ldtığunda,denkikaimizdeki bulet terim/er
d2
u?( + 1)
u ( ı ı - s )dr
2r2
çünkü (11-2) sakland ı g ı nda,yeterince küiçtik r'ler için potarn iyeinkatk ı s ı yok-
.Deaklamdep
u(r) ni r •11-9)
deneme çözılmümli yerine-koyaraak,
() — 4- 1) --. O 11-1o)
olmas ı ko ş ulu ile deaklemin •atlanacait ı nx belluruz; bu ko ş ul, 01 ya da- 1 varir.n(0) w 0 koş ulnau satlayan,yami r . 1 1 4 . 1 gibi davranan çünüme düzenli
çözüm, ribi davranan çoInime de düzensir çözüm denir.
düzeyler dolmuş olacakt ı r,ve benzer durum nötronlar için de gegerlidir.Çekirdeklerin
gerçek bir incelemesi,proton ve nötronlar ı n maibirli" say ı ları n ı n 2,8,20,26,50,82,
olduğunn;yani gekirdeklerin,kapale kabuklar veren dolmu ş düzeylere 194:141 özel,
nitelikler sergilediklerini giaarrir.Gerçak meibirli" eayllarla bizim ilkel modeli-
=iltica elde edilenler aras ı ndaki fark,spfne ba ğ l ı olan ve düzeyleri bir p a r ç a k a y d ı -
rarak say ı larl yeniden m ı relayan bir ek potansiyel bulunmas ı ndan gelir.Kebuk modeli
tava anlamı yla kuruluree,gekirde ğ in pek çok özeli ğ ini eg ı klar.Aç ı k olmayan ş ey,
de ğ in neden bir kutu içindeki perçaelkler toplulu ğu gibi devrencli ğı d ı r.
C. Fare 1€uyax,Siirekli Çözümler
E > 0 olduğunda,
2- k -59)
1Bn yaz ı m ı n tar ı bsel kökeni.spektrum çizgilerini Sekin),prineipal
(be ı ş ,beş l ı ca) Diffuae (yeygin),.... olarak nitelonselesine ve btxnleran sonradan be-enmeeine dayan ı r.Dn yaz ı n ı n çok anlamı yoktur,faket yerie ş mietir.Buradaki yazma
atom fisi ğ in d a k in d e n degig ı ktir,Atom fisi ğ inin gole eksel yez ı m ı nde . e - de ğeri indim-lere eklendi ğ inden,s ı ralanış
eri ş iair s 2.3 z 10-13 en elsua.Baglanma enerjisi —2.8 MeV olarak veriliyor,potansi-
yelim deriali ğ iai bulunur.
( 1 p u e u : Problem l'de tart ışı lan sifır ba
ğlaama anejisi durumu çevresinde açil
ım yap
ı
-
3. Nötron-peotea waç ı lmae ı nı gösöaih e
ötron protoa etkile ş m o ı dain,eri-
ş iai 2.8 x 10-13 em vo derinli ğ i 20 Mal( olan bir kere kuyu poteasiyali arac ı l ığı il. o-i
duguau versayı nı s. t = 0 için çok düş ük •nerjilerdeki evre kaymasla ı enerjinin bir
foaksiyoau olarak hesaplay ı nı z.
4. Bir karo kuyu potansiyeli için 1arra kayma ılial hool playı n ı z.Deak.
(11-65)'toı n sonra üzetlenai ş olma i ş lemi kullanarak,çokici ve itici p ısteasiyel
sinir ikisi için de besaplay ı alb.15'nia büyük ve küçük,Ve ' ı n büyük ve küçük elaaml gibi:
çeşitli limtleri tart
ışı
als.5. isteksaleri ş iadeva • deriali ğ indeki bir kare kuyu için t -= 0 saç ı lmas ı nda
evre kaymas ı nin her zaman,
k cot k , = —# 4 ret k2/2 4-0(k4 )
gibi bir acı l ı » olarak yaz ı labilece ğ ini glisterinir.a vo r•tiçin knyuaua parametrele-
ri türünden bir ifadei elde ediniz.
6 r > a'da s f ı r olan istekeel biçimli bir potansiyeli göz önüne al ı niz.Pa-
taasiyel içindeki i şı asal foaksiyoaun
R
R(r)
= f
dr
R)
1
r ı z ı n logaritaik türevi, ımerjinin yavaş değ i ş en bir feaksiyoau
= 0 olduğunu düş ti-
»ürün.
(a ) Petaasiyf liaaerjili bir ba ğ l ı durumu varsa,f0 (1 3,)'ais dağ oMi nedir? (b ) fo (R),Wden bağı ms ı saa,ffimerjiain bir feaksiyaau olarak euro kaymas ı me elimi
(e) Zğer fo(15)= fo (1 1 1 3 ) k (B.1B )fc: fas,f; *yr* !cayman'''s nas ı l girer?
iare kayma.' yerine,(b) ve (c)'yi k cot 6 0 (k) türünden hesaplamak daha basittir,va
aoauçlar ı n ı n ı göstermek bak ı m ı ndan yeğ lonabilir bir yoldur.
7. yklaı ı ,aeden k'a ı n bir tek fanksiy ı sau alacağ i ksausunda genel bir us-
lamlama voriaiz.Kare kuyu için de böyle .1(14~ de ğ rulaylaı s [örne ğ in (11-65) 1 i
kullaaaraki .8, (k), (11-41)'do tan ı alandığ la ı gör*,
St
(—k) a ı St
( k )
olduguau gösterinin.
8. S., (k) faakaiyaauau,
r < a(r) = oo
V(r) = 0> a
biçimindeki bir potansiyel için hesaplayin ı z. t = 0 ser* kaymaala ı gösöaüne alimin.
Bu emri kapsaml ı çak küçük ka için aedirnek büyük ka için nedirUlu potanaiyolin,için
alzı lamayas bir küre için bir model elduguaa dikkat ediniz.
E lekt ronle r ı n El e kt rom any e t ı k Alan ll.e Etkile ş meai 211
baiOnt ı s ı n ı n y a ln ı z c a k a r t e z i ye n boordinatlarda g e ç e r l i olmns ı dir.Biiyieee ba ğı ut . da
g ö r ü n e n7 '3 '1(i%t),x,y v e z t ü r ü n d e n h e a s p l a u m a l ı d ı r .
kütlesi r. alan naktssel b i r e l e k t r o n un b i r e l e k t r o ma n y e t i k f i l a n ile etkile ş -memini betimleyen denklem klasik Lor e nt z kueveti d e n k lemi d i r :
x ; ( ; , t ) ]13-14)
Alanlar olmad ığı zaman,elektronun klasik Ham iltonie n'i
op . -
13-15)
d ü r;bu Bum iltonie n 'd e ,
ep 7- A(r,t) (13-16)
d esi yapı l ı ve-e0(i- ) po t a n s i y e l i e k l e n i r s ez d u r g u n a k a l e r p o t a n s i ye l -l e r l e ç a l ış a c a ğ ı z ),
R2. (. ] < I >3-17)1 4
bulnnor. ş im d i,(13-] 4)'ün b u y a n i li a m iltoni e n' d e n e l d e e d i l e c e gini ileri sUruyoruz.Bil
sa y ı n k a n ı tla nm a s ı n i b i r a l l ş t ı r m a o l a r a k okura b ı r a k ı yoruz1-Buna kar şı lik olan
S e h r d d i n g e r denklemi,
1- e
V + -!--- - -2) ,44;,t) ,--- [E + e O (r)]_ _ _ . . . _
(;-',t)13-18)2frx o l ur : b u r a d a , d u r g u n p ot a n s i y e l s a g y a n a a l ı nm ı ş t ı r.S01 van i ş lenirse,
ıi*-1> . :s \ % . %et e Aj
21-,r - t - e
, k 2 e k _. -. =-- -V. , . . . ..57 ,i,ek ( <j:iht. + e 2 A z
2t," ct,e .1,ek2 e 7 'ek ... . ... . " N v-- A . 1 7 y - I -2 -.2
Ay)-
2t,' ' ct,e 23-19-e r i r . D ü z g ün b i r s a b i t 1 ; m a n y e t i k a l a n ı için
1 rA-- ---B13-20)2
a l a b i l i r i z2. Bun a g ö r e , A'n ı n ü ç b i l e ş e ni
1 Bkz . d ipnot 4,s .21 6.
2*d r
d t'+
2Bn seçimin tek olmad ı ğ ı na d i k k a t ediniz;çnakü B'yi d e g i ş ti r m e k si z i n, A'ya h e r -
h a n g i b i r f o n k s i y o nun g r a d i e n t i n i e k l e y e b i l i r i z . A n e a k b u s e g i m , ç o k uy g u n d u r .
El e kt ronl a r ı n Bl e kt rom any e t ik A l a n il e Et kil e ş m e s i 213
i n a n ı l ı r ; v e b u, a tomla r ı n y a p ı s ı n ı k ö k t e n d e ğ i ş tir ı r 3 . 1(a r e li t e r im e le kt ronun b i r
d ı ş a l a n d e a k i m a k r o s k op i k h a r e k e t i g ö z ö n ü n e al ı ndığ ı nda da ö n e m l i d i r .
Ünce yalnı
z ba ş ı n a ç i z g i s e l t e r i m i d üşürielim ve z-do
ğrultusunu 113'nin do
ğrultu-
su ile ş a k ış a c a k b i ç i m d e s e g e l i a . B n y l e c e B = 0 o l d u ğ u z am a nki Ram iltonie n,
e
] i l OLz13-25)2 p ı c
t e r i m i n i n e k l e n m e s i i l e d e ğ i ş mi ş o l u r . L a r m o r f r e k a n s ı d e n e n ,
eB= L A . >L
2 h e(13-26)
f r e k a n a ı n ı ta n ı mla y a l ı n ; L2ve L 'nin ortak özdurumlar ı o la n e n e r j i ö z d u r u m l e r ı i l e
ç a l ışı yortm ı k , (1 3 -2 5 ) e k t e r i m i b i r ö z d u r u m ü z e r i n e e t k i e t t i ğ i n d e b i r s a y ı v e r i r :
1 1 1 11, 1,M.nta(7)1 3-7 )
B u r a d a m , a p s a l m om e n t m m un z - b i l e ş e n i n i n ö z d e ğ S r i d i r ; - I Ğ mt d i r . V e r o l a n(21) k m s k a t m e r l i e n e r j i d ü z e y l e r i b ö y l e c e , (2 k . +1) h i l e e e y a r ı l ı r ; b u n l e r e -
ş i t a r a l ı kk ı d ı r , e n e r j i l e r i
(Ze<) 21
B =ı c
n 24\4.4k Lm
i l e v e r i l i r . Y a r ı lman ı n b üy ük lü ğ ü,
e B ' t ' ıi g ı l-----
2 1 . , , , ct . . . . c /aQo e
. 24,, ( t4c ° <
/
[ B
2 r, C /A4)
2 \ - t‘c /
/a 2
(13-28)
( 2 , 4 X 1 0) X 1 3 ,6 e v
du r.
S e ç i m k u r a l l a r ı n a ( i l e r d e t a r t ışı l a c a kt ı r ) g ö r e y a l n ı z c a m - d e ğ e r i n i n e ı f ı r ya
d a b i r b i r i m d e ğ i ş ti ğ i g e ç : i ş l e r i z i n l i d i r . B n y ü z d e n , Ş e k . 1 3 . 1 'd e g ö r ü l d ü ğ ü gibi,li = 0
oldu ğ u sem a n k i g e ç i ş i ğ ö s t e r i m l e y e n t e k ç i z g i § s ç i z g i y e y a r ı l ı r . Bupola ğ a n Z e e m a n
olay ı d ı r . G e r ç e k t e n , a t om d a k i e l e k t r on u n s p i u i s ı f ı r d u r u m un d a o l ma d i k ç a , e l e k t r on
R . C o h e n , L . L o d e n g n a i- Rodermau,Phys.Rev.Letters '35,467(1970).
Ş e k.1 3-1 . Ol a ğ a n Z e e m a n o l a y ı : M a n y e t i k a l a n d a y a r ı lm ış1 4 = 2 ve1d u ru m l a r ı s r a s ı n d a , o l a b i l e n 1 5 g e ç i ş t e n y a ln ı z c a 9 tanesi ol u ş u r .Bu n i a r , i i ç e r ç i z -
gi olaraki m = m i-a s = -1 , O , l'e ka r ş ı l ı k g e l i r l e r .
spininin manyetik olanla e tk ile ş m e s i y uk a r d a ö n g ö r ü l e n d e s e n i d e k i s t i r i r . D a h a g e -
nel a l a n ola ğ a nd ışı Z e e m e n o l a y i , s p i n i ö ğ r e n d i ğ i m i z z a m a n t a r t i s i l a c a k t ı r.
2B , l i t e r i n i n ö n e m l i , v e C o u l om b p ot a n s i y e l i n i n ö n e m s i z o l d u ğu ko ş u l l a r d a ,
s a b i t m a n y e t i k a l a n d a k i b i r e l e k t r o n u n ç ö z ü m ü n ü t a r t ış m a k o l d u k ç a i l g i n ç t i r . B u ko -
ş u l l a r a l t ı ndayine z-do ğ r u l t u s n n u t a n i m l a y s c a k b i ç i m d e s e ç i l i r s e , S c h r ö d i n g e r
d e n k l e n i
olu r; bu r a d a (13-1 9), (13-21) ve (13-22) ku ll a n ı ln ı st ı r.(x 2 + y 2 ) "pot ans iy e l innin
v a r l i k i , d e k l sk e n l e r i n a y r ı lmas ı için s i l i n d i r i k koo r d i n a t l a r ı n kulla n ı lmas ı n ı esin-I
k l e k t r o n l a r : n hlektromanyetik Alan I l e E t k i l e s m e s i 2 2 3 .
u h a r e k e t d n k l e m l e r ı o verdiost e r i n ı s :
V
D emiltoni e n' in i n,
e2
-r1d t2[E(7,t)-f-—Xe t
e
L o r e n t z ko vv e t i d e a k l e m i n i v e r d i ğ i n i t h a t e r i n i z 4 N o t : I l e s a p l a r ı n ı z d a ,
di ya% ,d;(i.".',t),„ _____---- -__------d tZtxt • ?yt.oldu ğ unu kulla n ı a ı z ; ç ü n k i i h a r e k e t d e n k l e m l e r i n e ( v e B a m i l t on i e n ' e ) gi r e n a l a n l a r a n ,
p a rg a c ı t ı n b ulun du ğ u ko num d a d e ğ e r l e n d i r i l m e s i g e r e k i r . ]
3. 104
gaul ı s l u k b i r a l a n d a k i b i d r o j e u i n 3 D - a • 2 P g e g i ş i n d e k i ü ç Z e e m a n ç i z -
g i s i n i n d a l g a b oy u n u b e s a p l a yın
ız .
4. S ı r a s ı y l a y a r ı ç a p l a r ı a v e b olan-iki silindir aras ı ndaki bökkeys*kapat ı l-
Nil bir elektro.» daliinünüz(b>a).(a) S c h r ö d i n g n r d e n k l e m i n i s i l ı n d i r i k ko or d i n a t -
l e r d e a y ı r ı n ı z (D e n k . 1 3 -3 2 i l e k a r a l l a ş t ı r in ı z ),ve d e nkl e m in Be ss e l fonksiyonl a r ı
ile göztilebilecetini g ö s t e r i n i z . E n e r j ı ö z d e ğ e r i n i n b e l i r l e n m e s i n d e k i ko ş u l l a r n e l e r -
d ir ? (b) Ene rji ö z fonksiyonl a r ı n ı n k a t m e r l i l i t i n i t a r t ı a ı n ı z . B u k a tm e r l i l i k n e r e d e n
i l e r i g e l i r ? B e s s e l f o n k s i y on l a r ı için,Problaa 8'clan sonraki nota hakim.
5. Bu p robl e m d e kap at ı lm ış b i r m a n y e t i k a k ı n ı a , a k ı tüpöniin d ışı n d a b i r b ö l g e -
d e k i b i r p a r ç a c ığı n ag ı sal momentosunwnasilfdraistirdigini-gbateren-hir..örna ğ i.0-
sece ğ iz.< a s i l i n d i r i k b ö l g e si n e kapat ı lmış i r m a uy etik alan d i i ş ününü z . Ak ı ,l
olsun. 5b ö l g e s i n d e m a n y e t i k a l a n y ok t ur , v e b n y ü z d e n v e k t ö r p ot a n s i y e lA( s ,o,z) ac , , z )
biç ı m i n d e d i r .
(a ) 0 a y a r ı n ı n , seçimi,
V2A = O
olmas ı e m e kt ir .Bu d e nkl e m in (13-70)'i s a ğ la y a n b i r ç ö z ümünün,
biçiminde bir c( n initua vektörü olarak yezara ı lk,ve benzarince de
< u n C u l Nr><u21 < u 3 1 • Y >9 3
yazaraak,(14-26)'nla matta goaterimi
ıY "k in c < n
(14-
(14-31)
olur.Büylece satriolar idlemcileri,ve abtun vektörleridurumlarl ğ öaterir.Anlaşma olarak,
<) ; .• ;» a k e l e r çarpimi
* *<R n > 5( 1' °( . 2'(14-32)
biçiminde bir aatir olarnk yazilir;bu yüzden beno ğ in, <.4 NI)> akaler çarp ı m ı
.( 5 1 ‘ 1 , ›01 ur,><%H4'›
/e n
olarak yazilabilir.
Bir özdağ sr dı iklimi,(14-26)'ain özel bir balidir.lbn.
A ; » atli
demaktilk,ve rar4 rix ıl biçiminde
olarak yazilir.Bu,
(1k-33)
(14-34)
(14-35)
A12
A22
— a
A13
A23
a ( 6)
danklomino el e ğ erdir; va'yalnazets 8 ğ 4 r b u matricin deteaminent:, aitir oloraa,bu de
iesain salkâr olmayan bir ç ö z ü m ü vard ı r:
dot'n
ı
, 5
Bu,eonla matr.ialorle ciiaterimleneu hyiemci.ler için üzde ğ erleri (ve ömvulma-n iu iy i bir rolodur,fakat n o yazik ki.00neuz metrialer için ig böyle hardi. de ğ ildir.
çankeiyonIer ve dIK'eranciyellerle alı torimieme aoçeua ğ inin belusimasii
bmnPt -ı r,geüm i4lemT1er:' bu yel)u g:isterileme,Zıa baalt örel ,
1/2 4ıı
eal momeatnmuna kar şı lık gelen lelemeilerdir.Deak.(10-1) ve
blze,
Y. _ J/2el (14-3s)
olduğ umu a s ı yler;ve (10-54),
L_ Y1/2,1/2
coe 4Lçb/.2----=== e
sin
(14-39)
bağ ı nt ı s ı n ı besaplamas ı t ı salar.Fakat bal,Y0_1/2 ile craraf ı ll deılve ayrca
. O va 7( :Afekil1 ı k4r'.14hylece,/2 : için gIç1k1e vard ı r; ve matria ghl ı tarrimlerine damemiz gerekir. t/ 2 'd e n s ö z e t m e k y e r i n e S m 1/2 spininden s ö z ',deo.-
ğ iz erfiral i.x; 'ye kar şı l ı k gelen yrtiageeel aç ı eal momeratum i ç i n k u l l a s a c a -
ğı a.Spin i ş lemellerl Sz ,Sy vs Sz 'dir,ve
oy] 14-40)
v.b. de ğ i ş me bağ ı nt ı ları ileta n ı m l a n ı r l a r .
Bunla r ı , 2 ı 2 ' 1i k m a t r i e l e r l e g h s te r i m l e m e k i s t i y o r u z . ( 14 - 2 0 ) b a ğ ıml ı s ı ,
)
1/2 S_ au
verirler.Bn
(14-41)
(14-42)
S =, cr'
14-43)
olarak yazakellris; buradaki
(14.- 44)
ı ı ı s ı t risl, ri, P*u li ı smtri ele ri di r.Hurile r ı n (14-40)'t sağ lamaları e r e k t i ğ ind en,
[ ( y ) x , cr= 2i 0' z14-45)v.b. doı ğ i ş me ba ğ ıml ı ları n ı salarlar; ayr ca,
buludo*.liermitien i ş lemciler 10.1a beklendi ğ i gibi,bunlar ı n tümünün gerçel olduğuna dik-
kat ediniz.
Daha eonra,bir elektronun apiniala,~1mAkied*ema admmmmum-Mmusiltomeem'kmdo Yö -
rüngaael eg ı sal momentuala çittlenimli olarak ortaya ç ı ktığı n ı gürece ğ iz.hrnağ in bir
elektron bir kristal ergüaünfin kdiesin ı ı yerle ş tiğ inde,çoğu zaman apin,clektronatiAsşx-
d ığ ı tek- özgürlük derecesi dlarak ineelehabilir.Spini nedeniyle •lektronun bir ı .ç man-
yetik 9inkntup-mmus ı ı ti olacakt ı r,v• bu maı pettlimeummti
.(14-57)2mc
dir; burada,g jiromanyetik oran ı 2'ye çok yak ı ndı r;
( I 4- 21x
2.0023192 (1 4- 58 )
ve m elektron
Böyle yerella lmi ş bir •lektron igin,(11, bir B manyetik alan ı n ı » varl ı ğ ıuds,Hanfitosfen
tam olarak
kese
e‘‘i- (t)
- (t)
( 14-59 )
potanziyelonerjisime eqittir.l(t) durumu için Schrödinger denklemi,
L ag ı ds1 mousntumuyla bir daire üzerinde hareket eden"klasik" bir elektron,man-
yetik momenti W o -ehi2mc olan bir akı
n ilmeğ
i oluş
turur-9pin tümüyle kuantum mekanikselbir değ içkon olduğundan,(14-57) ancak bendetme yolu ile tart ı g ı labilir.Bunun doğ rulanma-;s ı için,güreli Dirac denklemine gerek vard ı r; g = 2 olduğu da,bn denklemden ç ı kar.g g. 2-nin düzeltmeleri kuantum elektrodinami ğ inden gelir.Spinin klasik olmayan görünüglerini,onun bulucularl olan S.Gouclamit ve G.Oblenbeck (1925) göstermigtir.
I s l e m e i l e r , M at r i s l e r , v e S p i n39v e r i r .t ==0 a n ı n d a e l e kt ro n u n s p i n ı art ı z-do ğ roltusuno gnsteriyorsa,a(0)= 1 ve
b(0) = 0 oldu ğ u n d a n ,
A + + A- =1
;1/4~A_ =O
e l d e e d i l i r ; b ur a d a n d a ,
bu lun u r .D ah a so n r a ki b i r t a n ı nda spinin eksi z -do ğ rultusund a bulunma olas ı l ığı
14-81( 2 ı .. .ı ı. - u..> ) 2 4- ki.) 1 2 W « tx.>,tt>0 oldu ğ u n d a n y bu n i c e li k k ü ç üktü r .B İ a l a n ı n ı n f r e k a n s ı 2 w 'a ayarlan ı r s ;
olas ı l ı k
1- cos ı ı ı ,tb(t)I 2 -t14-82)2
bi ç i m i n d e ,b i r e y a kl a s a r ."Yuk a r ı " durumun en e rjisi "a ş a ğı " durumunkind en farkl ı ol d u-
ğ und an,d ı s a l a n d a n so ğ u r ula n b öy le b i r e n e r ji f a r k ı r e z e n a n s f r e k a n s ı n ı b eli r l e r ; v e
böyle ce ı ı ıe ,v e bu r a d a n d a g bü yü k bi r k e s i n l i kl e ö l ç ü l e b i l i r .
P r o b l e m l e r
1 . H a r m o n i k s a l i n ğ a n ı n t a b a n d u r u m v e k tü r n ,
d l i ğ i etraf ı ndaki en alçak Bobr yörüngesine indi ğ inde sona erer,ve o zaman çekirdek
kuvvetlerinin etkisiyle yakalan ı r,
71-* n -1-
çekirdek tepkimesinde aç ı sal momentum l'dir; pionun apini a ı f ı rd ı r,en alçak Bohr du-
rumunun yörüngesel aç ı i ı al komentumn s ı f ı rd ı r,bu yüzden tek katk ı döteronun 1 olanaç ı aal somentumundan gelir.Böyliteri e bu iki nntron aç ı sal momentumu 1 olan durumda bu-
lunmal ı d ı r.İ ki nritroann toplam apini 0 iae,yörüngesel açaas1 noan ı ntus 1 olmal ı dı r.
İ ki nötrom duckmunun toplam apini 1 ise yöriimileael açasal moansatum 0,1, ve 2 olabi-
lir; çünkü bir birimlik iki açlaal momentalenn toplam ı 0,1, ve2 verebilir.vebir bi-
(ii) 1 A -16)'diiii ç ı kan hi k ' ; ^ : og ı nt4,
2(x= r,(x --- e) 1-a )A-V)2
,I ı r.Bu,deltu fonka ı yonnu argamaninxnvex=--eı f ı r olmas ı oignanudan ç ı -
kar.13yleQe i ki k at k ı vard ı r :
(x) ++ a!
S (x +
D a h a g e n e l o la r a k ,
[5(x)&(z) : 121a1
(A-19)
df /dx
oldu ğ u g ö s t e r i l e b i l i r : b u r a d a x i eler,f(x)"inikel•mo bölgesindeki kö kl eridir .Delta fon k a i yO nu n n n ( A- I 5 ) g ö s t e r i m i n e e k o l a r a k , y a r a r l ı olabilecek baka
gi i at e r i m l e r d e vu r dır . B n n la r
ın birkaslni t a rt is a c agl z.
(*)kS(x)imk eA-20)b i ç i m i n d e y a z a b i l e c e g i m i z ( A - 15 ) b i ç i m i n i göz driline alal ı m. ku
S( ı )= Li ı L-.Dox= Lim
L
sin Lx (A-21 )
'verir(b)
x <:
1=a <m o
ile t a n im l a n a n6(x,a) fonksiyonunu düs ö nelim .0 zam a n (Ar22)