Integralai:
1. Apibrkite pirmykts funkcijos ir neapibrtinio integralo
svokas, uraykite neapibrtinio integralo pagrindines savybes.
2. Sudarykite funkcijos integralin (Rymano) sum atkarpoje .
Apibrtinio integralo apibrimas. Paaikinkite apibrtinio integralo
geometrin prasm. )
Apibrtinio integralo samprata
Duota funkcija , Tolydi ir apibrta intervale [a, b]. 1. Atkarp
[a, b] padalijame n dali (nebtinai lygi)
.2.
Kiekvienoje dalyje parenkame po tak :
3. Suskaiiuojame funkcijos reikmes pasirinktuose takuose .4.
Sukonstruojame sandaugas (intervalo ilg padauginame i funkcijos
reikmi pasirinktuose takuose)
, .
5. Gautas sandaugas susumuokime
.6.
Gautoji suma priklausys nuo intervalo padalinimo. Tam, kad
nepriklausyt, pareikalaukime , arba jeigu ir jeigu , tai gauta suma
nebepriklausys nuo padalinim kiekio ir gausime . i suma vadinama
integraline suma.
Apibrtinio integralo geometrin prasm
Kreivins trapecijos plotas:
3. Apibrtinio integralo savybs. (Prasm mokti pakomentuoti).
Sakykime, kad ir - integruojamos atkarpoje funkcijos. Tuomet
teisingi ie teiginiai:
1) Tiesikumo savyb: , - bet kokie realieji skaiiai.
2) .
3) Kai , tai .
4) Adityvumo savyb. Kad ir kokie bt skaiiai teisinga lygyb
,jei tik visi trys integralai egzistuoja.
5) Pastovaus enklo savyb.
1) Jei atkarpoje , tai .
2) Jei atkarpoje , tai .
6) Palyginimo savyb. Jei atkarpoje , tai .7) Apibrtinio
integralo vertis.
Tarkime, kad ir . Tada .
8) Vidutins reikms teorema.
Jei funkcija tolydi atkarpoje , tai egzistuoja tos atkarpos
takas c, kuriame
.
vadinama vidutine funkcijos reikme atkarpoje .
4. Suformuluokite ir rodykite teorem apie integral su kintamu
virutiniu riu.
Teorema. Jei funkcija tolydi atkarpoje , kiekvienam atkarpos
take x.
rodymas: Kintamajam x suteikiame pokyt ir apskaiiuojame pokyt
:
.
Integralui taikome vidutins reikms teorem:
;
ia c yra tarp x ir . Tuomet
.Pasinaudoj ivestins apibrimu:
.
Kadangi , kai , tai dl tolydumo
.Taigi
.
I ia seka, kad yra funkcijos pirmykt atkarpoje .
Taigi, kiekviena tolydi atkarpoje funkcija turi pirmykt funkcij
.
5. Iveskite Niutono-Leibnico formul.
Teorema. Jei funkcija tolydi atkarpoje ir kuri nors jos pirmykt
funkcija ioje atkarpoje, tai
.
rodymas. Remiantis ankstesne teorema galima teigti, kad tolydi
atkarpoje funkcija turi pirmykt, lygi . Kadangi pagal slyg irgi yra
funkcijos pirmykt, tai jos turi skirtis tik konstanta, todl .
Jeigu , gautume , .
Taigi, .
Jeigu , gautume
i formul vadinama Niutono Leibnico formule. Skirtum prasta ymti
. Tada
.
6. Netiesioginio integralo su begaliniais integravimo riais
svoka. Paaikinkite jo geometrin prasm.
7. Netiesioginio integralo su begaliniais integravimo riais
konvergavimo ir divergavimo poymiai (be rodym). Itirkite integralo
konvergavim. Mokkite j taikyti, nustatant kit integral konvergavim
,
Dvilypiai integralai:
8. Sudarykite funkcijos dvimat integralin sum udaroje srityje D.
Dvilypio integralo apibrimas. Geometrin prasm. Savybs. )
Rymano integralins sumos baigtin riba, kai , vadinama funkcijos
dvilypiu integraluapibrtoje srityje D.
Integralin suma:
Savybs:
9. Dvilypio integralo skaiiavimas staiakampje ir polini
koordinai sistemose (be rodym).
Kreiviniai integralai:
10. Sudarykite pirmojo tipo kreivinio integralo integralin sum.
Pirmojo tipo kreivinio integralo apibrimas.
11. Uraykite formules pirmojo tipo kreiviniam integralui
apskaiiuoti, kai kreivs lygtis:
Kai , tai
Kai , tai
Kai , tai
12. Uraykite materialiosios kreivs lanko mass ir lanko ilgio
apskaiiavimo formules bei mokkite jas taikyti.
13. Sudarykite antrojo tipo kreivinio integralo integralin sum.
Antrojo tipo kreivinio integralo apibrimas.
14. Uraykite antrojo tipo kreivinio integralo apskaiiavimo
formul, kai kreiv apibrta lygtimi:
Jei , tai
P(x,y) dx +Q(x,y) dy = jei f-jai y=f(x) egzistuoja atvirktin
f-ja x=(y) , ir y=f(x) monotinin atkaroje AB.
Jei
P(x,y) dx +Q(x,y) dy =
15. Iveskite formul kintamos jgos darbui apskaiiuoti (mechanin
prasm).
16. Dvilypio ir kreivinio integral ryys. Gryno formul (be
rodymo, mokti pakomentuoti, kada taikoma ir taikyti).
Gryno formul nustato ry tarpdvilypio integralo irkreivinio
integralo antrojo tipo.
Panaudojant Gryno formul, galima apskaiiuoti ploki figr
plotus.
17. Antrojo tipo kreivinio integralo nepriklausomumo nuo
integravimo kelio slygos: (rodykite teorem apie integral udaruoju
kontru; suformuluokite ir mokkite taikyti teorem apie dalini
ivestini lygyb).
Diferencialins lygtys:
18. Uraykite antrosios eils tiesin homogenin diferencialin lygt.
Tiesikai nepriklausomi sprendiniai (apibrimas). Vronskio
determinanto apibrimas, jo taikymas sprendini tiesiniam
priklausomumui nustatyti. Fundamentalioji sprendini sistema.
Antrosios eils tiesin homogenin diferencialin lygtis:
ia - tolydios funkcijos bendrasis sprendinys;ia - laisvosios
konstantos, tiesikai nepriklausomi atskirieji sprendiniaiKai
inomas, tai randamas : Vronskio determinanto radimas:
Kai tai tiesikai priklausomos funkcijos,
Kai tai tiesikai nepriklausomos funkcijos.
Kaiiryra atskirieji lygties sprendiniai, tada jie sudaro
FUNDAMENTALIUJ SPRENDINI SISTEM, jei )0 intervale .Det kurie du
tiesikai nepriklausomi tiesins homogenins dif. lygties sprendiniai
sudaro FUNDAMENTALIJ SPRENDINI SISTEM.
19. rodykite teorem apie antrosios eils tiesins homogenins dif.
lygties bendrojo sprendinio struktr.
Teorema:Jei sudaro lygties fundamentalij sprendini sistem,
tailygtiesbendrasis sprendinys yra lygus: - konstantos.
20. Antrosios eils tiesins nehomogenins dif. lygtys.
Suformuluokite ir rodykite teorem apie antrosios eils tiesins
nehomogenins dif. lygties bendrojo sprendinio struktr.
Tiesin nehomogenin diferencialin lygtis Teorema.Jeiyra bendrasis
homogenins lygties sprendinys,-kuris nors atskirasis nehomogenins
lygties sprendinys, tainehomogeninslygties sprendinys yra
rodymas. Pirmiausia rodysime, kad reikinysyra nehomogenins
lygties sprendinys. Kadangi- homogenins lygties sprendinys, o -
nehomogenins lygties sprendinys, tai jie turi tenkinti atitinkamas
lygtis, todl
Sudj ias lygybes ir pritaik ivestini savybes, gauname
Kadangi
i lygyb rodo, kadyra nehomogenins lygties sprendinys.
Norint isprsti tiesin nehomogenin diferencialin lygt, reikia
rasti j atitinkanios homogenins lygties bendrj sprendin ir bet kur
atskirj nehomogenins lygties sprendin.
21. Antrosios eils tiesini homogenini dif. lygi su
pastoviaisiais koeficientais sprendimas (kai charakteringosios
lygties aknys skirtingos arba sutampa - su rodymais, kai aknys
kompleksins be rodymo, bet mokkite naudotis formule).
Antrosios eils tiesin homogenin diferiancialin lygtis: Tokia
lygtis isprendiama parinkusToliau gauname,
Kadangi nra tokiok, kadbt lygi nuliui, tai
Isprendiant i lygt ir bus gautas diferencialins lygties
sprendinys (arba du sprendiniai). Yra trys atvejai,: kai (
Bendrasis sprendinys: kai, ( Bendrasis sprendinys: kai sprendiniai
yra kompleksiniai skaiiai. ( Bendrasis sprendinys: bendrasis
sprendinys
0
x
y
a
b
0
x
y
a
b