Chöông 2: ÑAÏI SOÁ BOOLE – COÅNG LOGIC I. Caáu truùc ñaïi soá Boole: Laø caáu truùc ñaïi soá ñöôïc ñònh nghóa treân 1 taäp phaàn töû nhò phaân B = {0, 1} vaø caùc pheùp toaùn nhò phaân: AND (.), OR (+), NOT (’). x y x . y (x AND y) 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 x y x + y (x OR y) 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 x x’ (NOT x, x ) 0 1 1 0
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Chöông 2: ÑAÏI SOÁ BOOLE – COÅNG LOGIC
I. Caáu truùc ñaïi soá Boole:
Laø caáu truùc ñaïi soá ñöôïc ñònh nghóa treân 1 taäp phaàn töû nhò
phaân B = {0, 1} vaø caùc pheùp toaùn nhò phaân: AND (.), OR (+),
NOT (’).
x y x . y (x AND y)
0 0
0 1
1 0
1 1
0
0
0
1
x y x + y (x OR y)
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
1
1
x x’ (NOT x, x )
0
1
1
0
2
1. Caùc tieân ñeà (Axioms):
a. Tính kín (Closure Property)
b. Phaàn töû ñoàng nhaát (Identity Element):
x + 0 = 0 + x = x
x . 1 = 1 . x = x
c. Tính giao hoaùn (Commutative Property):
x + y = y + x
x . y = y . x
d. Tính phaân boá (Distributive Property):
x + ( y . z ) = ( x + y ) . ( x + z )
x . ( y + z ) = x . y + x . z
e. Phaàn töû buø (Complement Element):
* Thöù töï pheùp toaùn: theo thöù töï daáu ngoaëc (), NOT, AND, OR
x + x = 1 x . x = 0
3
2. Caùc ñònh lyù cô baûn (Basic Theorems):
b. Ñònh lyù 2: x + x = x x . x = x
c. Ñònh lyù 3: x + 1 = 1 x . 0 = 0
d. Ñònh lyù 4: ñònh lyù haáp thu (Absorption)
x + x . y = x x . (x + y) = x
e. Ñònh lyù 5: ñònh lyù keát hôïp (Associative)
x + (y + z) = (x + y) + z x . (y . z) = (x . y) . z
a. Ñònh lyù 1: x = x
f. Ñònh lyù 6: ñònh lyù De Morgan
x + y = x . y x . y = x + y
Môû roäng: x1
+ x2 + .. + x
n= x
1. x
2.. x
n
x1
. x2
.. xn
= x1
+ x2
+ .. + xn
4
II. Haøm Boole (Boolean Function):
1. Ñònh nghóa:
* Haøm Boole laø 1 bieåu thöùc ñöôïc taïo bôûi caùc bieán nhò
phaân vaø caùc pheùp toaùn nhò phaân NOT, AND, OR.
* Vôùi giaù trò cho tröôùc cuûa caùc bieán, haøm Boole seõ coù giaù
trò laø 0 hoaëc 1.
* Baûng giaù trò:
F (x, y, z) = x . y + x . y . z
x y z F
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0
1
0
0
0
0
1
1
5
2. Buø cuûa 1 haøm:
- Söû duïng ñònh lyù De Morgan:
- Laáy bieåu thöùc ñoái ngaãu vaø laáy buø caùc bieán:
* Tính ñoái ngaãu (Duality): Hai bieåu thöùc ñöôïc goïi laø ñoái
ngaãu cuûa nhau khi ta thay pheùp toaùn AND baèng OR,
pheùp toaùn OR baèng AND, 0 thaønh 1 vaø 1 thaønh 0.
Buø caùc bieán:
F = x . y + x . y . z
F = x . y + x . y . z
= ( x . y ) . ( x . y . z )
F = ( x + y ) . ( x + y + z )
F = x . y + x . y . z
Laáy ñoái ngaãu: ( x + y ) . ( x + y + z )
F = ( x + y ) . ( x + y + z )
6
III. Daïng chính taéc vaø daïng chuaån cuûa haøm Boole:
1. Caùc tích chuaån (minterm) vaø toång chuaån (Maxterm):
- Tích chuaån (minterm): mi(0 ≤ i ≤ 2
n-1) laø caùc soá haïng tích
(AND) cuûa n bieán maø haøm Boole phuï thuoäc vôùi quy öôùc
bieán ñoù coù buø neáu noù laø 0 vaø khoâng buø neáu laø 1.
- Toång chuaån (Maxterm): Mi(0 ≤ i ≤ 2
n-1) laø caùc soá haïng
toång (OR) cuûa n bieán maø haøm Boole phuï thuoäc vôùi quy
öôùc bieán ñoù coù buø neáu noù laø 1 vaø khoâng buø neáu laø 0.
x y z
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
minterm Maxterm
M0
= x + y + zm0
= x y z
m1
= x y z
m2
= x y z
m3
= x y z
m4
= x y z
m5
= x y z
m6
= x y z
m7
= x y z
M1
= x + y + z
M7
= x + y + z
M2
= x + y + z
M3
= x + y + z
M4
= x + y + z
M5
= x + y + z
M6
= x + y + z
mi
= Mi
7
2. Daïng chính taéc (Canonical Form):
a. Daïng chính taéc 1:
laø daïng toång cuûa caùc tích chuaån (minterm) laøm cho
haøm Boole coù giaù trò 1
x y z F
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0
1
1
0
0
1
1
1
F(x, y, z) = + x y z
= m1
+ m2
+ m5
+ m6
+ m7
= m(1, 2, 5, 6, 7)
b. Daïng chính taéc 2:
laø daïng tích cuûa caùc toång chuaån (Maxterm) laøm cho
haøm Boole coù giaù trò 0
F(x, y, z) = (x + y + z)
= M0
. M3
. M4
= M(0, 3, 4)
= (1, 2, 5, 6, 7)
= (0, 3, 4)
x y z + x y z + x y z + x y z
(x + y + z) (x + y + z)
8
* Tröôøng hôïp haøm Boole tuøy ñònh (don’t care):
Haøm Boole n bieán coù theå khoâng ñöôïc ñònh nghóa heát
taát caû 2n
toå hôïp cuûa n bieán phuï thuoäc. Khi ñoù taïi caùc
toå hôïp khoâng söû duïng naøy, haøm Boole seõ nhaän giaù trò
tuøy ñònh (don’t care), nghóa laø haøm Boole coù theå nhaän
giaù tri 0 hoaëc 1.
x y z F
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
X
1
1
0
0
1
1
X
F (x, y, z) = (1, 2, 5, 6) + d (0, 7)
= (3, 4) . D (0, 7)
9
3. Daïng chuaån (Standard Form):
a. Daïng chuaån 1:
laø daïng toång caùc tích (S.O.P – Sum of Product)
F (x, y, z) = x y + z
* F (x, y, z) = x y + z
= m6
+ m7
+ m1
+ m5
+ m3
= (1, 3, 5, 6, 7)
* F (x, y, z) = x y + z
= (x + z) (y + z)
= M2
. M0
. M4
= (0, 2, 4)
= x y (z + z) + (x + x) (y + y) z
= x y z + x y z + x y z + x y z + x y z + x y z
= (x + y y + z) (x x + y + z)
= (x + y + z) (x + y + z) (x + y + z) (x + y + z)
10
= (x + y + z) (x + y + z)
(x + y + z)(x + y + z)(x + y + z)(x + y + z)
= x y z + x y z + x y z + x y z
b. Daïng chuaån 2:
laø daïng tích caùc toång (P.O.S – Product of Sum)
= m4
+ m5
+ m0
= (0, 4, 5)
= M3
. M1
. M7
. M6
. M2
= (1, 2, 3, 6, 7)
F (x, y, z) = (x + z) y
* F (x, y, z) = (x + z) y = x y + y z
= x y (z + z) + (x + x) y z
* F (x, y, z) = (x + z) y
= (x + y y + z) (x x + y + z z)
11
x
IV. Coång logic:
1. Coång NOT:
xxx
t
2. Coång AND:
x
y
z = x.y
x
y
z
Vôùi coång AND coù nhieàu ngoõ vaøo,
ngoõ ra seõ laø 1 neáu taát caû caùc ngoõ vaøo ñeàu laø 1
x y z
0 0
0 1
1 0
1 1
0
0
0
1
12
3. Coång OR:
x y z
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
1
1
x
y
z = x+y x
y
Vôùi coång OR coù nhieàu ngoõ vaøo,
ngoõ ra seõ laø 0 neáu taát caû caùc ngoõ vaøo ñeàu laø 0
z
4. Coång NAND:
x
y
z = x.y
x y z
0 0
0 1
1 0
1 1
1
1
1
0
x
y
z
Vôùi coång NAND coù nhieàu ngoõ vaøo,
ngoõ ra seõ laø 0 neáu taát caû caùc ngoõ vaøo ñeàu laø 1
13
5. Coång NOR:
x y z
0 0
0 1
1 0
1 1
1
0
0
0
x
y
Vôùi coång NOR coù nhieàu ngoõ vaøo,
ngoõ ra seõ laø 1 neáu taát caû caùc ngoõ vaøo ñeàu laø 0
z
x
y
z = x+y
6. Coång XOR (Exclusive_OR):
x
y
z = xy
x y z
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
1
0
x
y
z
Vôùi coång XOR coù nhieàu ngoõ vaøo, ngoõ ra seõ laø
1 neáu toång soá bit 1 ôû caùc ngoõ vaøo laø soá leû
z = xy = x y + x y = (x + y)(x + y)
14
7. Coång XNOR (Exclusive_NOR):
x y z
0 0
0 1
1 0
1 1
1
0
0
1
x
y
z
Vôùi coång XNOR coù nhieàu ngoõ vaøo, ngoõ ra seõ laø 1
neáu toång soá bit 1 ôû caùc ngoõ vaøo laø soá chaün
x
y
z = xy
z = xy = x y + x y = (x + y)(x + y)
15
V. Ruùt goïn haøm Boole:
Ruùt goïn (toái thieåu hoùa) haøm Boole nghóa laø ñöa haøm Boole
veà daïng bieåu dieãn ñôn giaûn nhaát, sao cho:
- Bieåu thöùc coù chöùa ít nhaát caùc thöøa soá vaø moãi thöøa soá
chöùa ít nhaát caùc bieán.
- Maïch logic thöïc hieän coù chöùa ít nhaát caùc vi maïch soá.
1. Phöông phaùp ñaïi soá:
Duøng caùc ñònh lyù vaø tieân ñeà ñeå ruùt goïn haøm.
F (A, B, C) = (2, 3, 5, 6, 7)
= ABC + ABC + ABC + ABC + ABC
= AB(C + C) + AC(B + B) + AB(C + C)
= AB + AC + AB
= (A + A)B + AC
= B + AC
16
A
B
F0 1
0
1
2. Phöông phaùp bìa KARNAUGH:
a. Caùch bieåu dieãn:
- Bìa K goàm caùc oâ vuoâng, moãi oâ vuoâng bieåu dieãn cho toå
hôïp n bieán. Nhö vaäy bìa K cho n bieán seõ coù 2n
oâ.
- Hai oâ ñöôïc goïi laø keà caän nhau khi toå hôïp bieán maø chuùng
bieåu dieãn chæ khaùc nhau 1 bieán.
- Trong oâ seõ ghi giaù trò töông öùng cuûa haøm Boole taïi toå hôïp
đoù. ÔÛû daïng chính taéc 1 thì ñöa caùc giaù trò 1 vaø X leân caùc oâ,
khoâng ñöa caùc giaù trò 0. Ngöôïc laïi, daïng chính taéc 2 thì chæ ñöa
giaù trò 0 vaø X.
* Bìa 2 bieán:
0
1
2
3
F (A, B) = (0, 2) + d(3) = (1) . D(3)
A
B
F0 1
0
1
1 1
X
A
B
F0 1
0
1 0 X
17
* Bìa 3 bieán:
AB
C
F
0
1
00 01 11 10
0
1
2
3
6
7
4
5
AB
C
F
0
1
00 01 11 10
F (A, B, C) = (2, 4, 7) + d(0, 1) = (3, 5, 6) . D(0, 1)
X
X
1
1
1
AB
C
F
0
1
00 01 11 10
X
X 0
0
0
18
* Bìa 4 bieán: AB
CD
F
00
00 01 11 10
01
11
10
0
1
4
5
8
9
3
2
7
6 1014
15
13
12
11
* Bìa 5 bieán:
30
31
29
28
BC
DE
F
00
00 01 11 10
01
11
10
10 0011 01
A 0 1
0
1
4
5
8
9
3
2
7
6 1014
15
13
12
11
18
19
17
16
22
23
21
20
26
27
25
24
19
b. Ruùt goïn bìa Karnaugh:
- Lieân keát ñoâi: Khi lieân keát (OR) hai oâ coù giaù trò 1 (OÂ_1)
keà caän vôùi nhau treân bìa K, ta seõ ñöôïc 1 soá haïng tích maát ñi 1
bieán so vôùi tích chuaån (bieán maát ñi laø bieán khaùc nhau giöõa 2 oâ).
Hoaëc khi lieân keát (AND) hai oâ coù giaù trò 0 (OÂ_0) keà caän vôùi
nhau treân bìa K, ta seõ ñöôïc 1 soá haïng toång maát ñi 1 bieán so vôùi
toång chuaån (bieán maát ñi laø bieán khaùc nhau giöõa 2 oâ).
* Nguyeân taéc:
AB
C
F
0
1
00 01 11 10
1 1
B C
AB
C
F
0
1
00 01 11 10
0
0
A +B
20
- Lieân keát 4: Töông töï nhö lieân keát ñoâi khi lieân keát 4
OÂ_1 hoaëc 4 OÂ_ 0 keà caän vôùi nhau, ta seõ loaïi ñi ñöôïc 2 bieán (2
bieán khaùc nhau giöõa 4 oâ)
AB
C
F
0
1
00 01 11 10
1
1
1
1
B
AB
C
F
0
1
00 01 11 10
0 0 0 0
C
21
- Lieân keát 8: lieân keát 8 oâ keà caän vôùi nhau, ta seõ loaïi ñi
ñöôïc 3 bieán (3 bieán khaùc nhau giöõa 8 oâ)
AB
CD
F
00 01 11 10
00
01
11
10
1 1 1
1 1 1
1
1
D
AB
CD
F
00 01 11 10
00
01
11
10
0
0
0
0
0
0 0
0
B
- Lieân keát 2k: khi ta lieân keát 2
kOÂ_1 hoaëc 2
k OÂ_0 keà caän
vôùi nhau ta seõ loaïi ñi ñöôïc k bieán (k bieán khaùc nhau giöõa 2k
oâ)
00 01 11 10
F
AB
CD
00
01
11
10
1 1
00 01 11 10
F
AB
CD
00
01
11
100
0
Các ví dụ về 2 ô kế cận
00 01 11 10
F
AB
CD
00
01
11
100
0
00 01 11 10
F
AB
CD
00
01
11
101 1
00 01 11 10
FAB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
FAB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
FAB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
FAB
CD
00
01
11
10
1 1 1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
1
1
DC
DA
DA
DB
Các ví dụ về 4 ô kế cận
00 01 11 10
FAB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
FAB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
FAB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
FAB
CD
00
01
11
10
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0
DC
DA
DA
DB
Các ví dụ về 4 ô kế cận
00 01 11 10
FAB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
FAB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
FAB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
FAB
CD
00
01
11
10
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0
DC
CA
DB
CB
Các ví dụ về 4 ô kế cận
00 01 11 10
FAB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
FAB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
FAB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
FAB
CD
00
01
11
10
1 1 1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
1
1
DC
CA
DB
CB
Các ví dụ về 4 ô kế cận
00 01 11 10
FAB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
FAB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
FAB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
FAB
CD
00
01
11
10
1 1 1 1
0 0
0 0
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
C
DD
A
Các ví dụ về 8 ô kế cận
28
* Caùc böôùc thöïc hieän ruùt goïn theo daïng S.O.P:
- Bieåu dieãn caùc OÂ_1 leân bìa Karnaugh
- Thöïc hieän caùc lieân keát coù theå coù sao cho caùc OÂ_1 ñöôïc
lieân keát ít nhaát 1 laàn; moãi lieân keát cho ta 1 soá haïng tích.
(Neáu OÂ_1 khoâng coù keà caän vôùi caùc OÂ_1 khaùc thì ta coù lieân
keát 1: soá haïng tích chính baèng minterm cuûa oâ ñoù).
- Bieåu thöùc ruùt goïn coù ñöôïc baèng caùch laáy toång (OR) cuûa
caùc soá hạng tích lieân keát treân.
F(A, B, C) = (0, 1, 3, 5, 6)
AB
C
F
0
1
00 01 11 10
1
1 1
1
1
A C
A B
B C
A B C
= A B + A C + B C + A B C
29
* Caùc böôùc thöïc hieän ruùt goïn theo daïng P.O.S:
- Bieåu dieãn caùc OÂ_0 leân bìa Karnaugh
- Thöïc hieän caùc lieân keát coù theå coù sao cho caùc OÂ_0 ñöôïc
lieân keát ít nhaát 1 laàn; moãi lieân keát cho ta 1 soá haïng tổng.
- Bieåu thöùc ruùt goïn coù ñöôïc baèng caùch laáy tích (AND) cuûa
caùc soá hạng tổng lieân keát treân.
F(A, B, C, D) = (0, 4, 8, 9, 12, 13, 15)
AB
CD
F
00 01 11 10
00
01
11
10
(C + D)(A + C)
(A + B + D)
00
0 0 00
0
= (C + D) (A + C) (A + B + D)
Ru t gon ha m sau
00 01 11 10
FAB
CD
00
01
11
10
1
11
1
1
1
1
),,,( DCBAF BA CBDCBA
Ru t gon ha m sau
)15,14,7,6,5,4,1,0()D,C,B,A(F
00 01 11 10
FAB
CD
00
01
11
10
1
1
1
1
1
1
1
1
)D,C,B,A(F CA CB
32
* Tröôøng hôïp ruùt goïn haøm Boole coù tuøy ñònh: thì ta coù theå coi
caùc OÂ tuøy ñònh naøy laø OÂ_1 hoaëc OÂ_0 sao cho coù lôïi khi lieân keát
(nghóa laø coù ñöôïc lieân keát nhieàu OÂ keà caän nhaát)
F(A, B, C, D) = (0, 4, 8, 10) + d (2, 12, 15)
1 1 1
X 1
X
X
AB
CD
F
00 01 11 10
00
01
11
10
C D
B D
= B D + C D
33
F(A, B, C, D) = (0, 2, 3, 4, 6, 10, 14) . D (8, 9, 11, 12, 13)
D
(B + C)
0 0 X
0 0
X
X
0
0
X
X
0
AB
CD
F
00 01 11 10
00
01
11
10
= D (B + C)
34
* Chuù yù:
- Öu tieân lieân keát cho caùc oâ chæ coù 1 kieåu lieân keát (phaûi laø lieân
keát coù nhieàu oâ nhaát).
- Khi lieân keát phaûi ñaûm baûo coù chöùa ít nhaát 1 oâ chöa ñöôïc lieân
keát laàn naøo.
- Ta coi caùc tuøy ñònh nhö laø nhöõng oâ ñaõ lieân keát roài.
- Coù theå coù nhieàu caùch lieân keát coù keát quaû töông ñöông nhau
Vd: Ruùt goïn caùc haøm
F1(A, B, C, D) = (1, 3, 5, 12, 13, 14, 15) + d (7, 8, 9)
F2(A, B, C, D) = (1, 3, 7, 11, 15) . D(0, 2, 5)
F1(A, B, C, D, E) = (1, 3, 5, 7, 12, 14, 29, 31)
+ d (13, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23)
F2(A, B, C, D, E) = (0, 8, 12, 13, 16, 18, 28, 30)
. D(2, 6, 10, 14, 15, 24, 26)
35
VI. Thöïc hieän haøm Boole baèng coång logic:
1. Caáu truùc coång AND _ OR:
Caáu truùc AND_OR laø sô ñoà logic thöïc hieän cho haøm Boole
bieåu dieãn theo daïng toång caùc tích (S.O.P)
F(A, B, C, D) = A B D + C D
F(A, B, C, D)
A
B
C
D
AND 0R
36
2. Caáu truùc coång OR _ AND :
Caáu truùc OR_AND laø sô ñoà logic thöïc hieän cho haøm Boole
bieåu dieãn theo daïng tích caùc toång (P.O.S).
F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C+ D)
OR AND
F(A, B, C, D)
A
B
C
D
37
3. Caáu truùc coång AND _ OR _ INVERTER (AOI):
Caáu truùc AOI laø sô ñoà logic thöïc hieän cho haøm Boole bieåu
dieãn theo daïng buø (INVERTER = NOT) cuûa toång caùc tích.
F(A, B, C, D) = A D + B C
A
B
C
D
F(A, B, C, D)
AND NOR
38
4. Caáu truùc coång OR _ AND _ INVERTER (OAI):
Caáu truùc OAI laø sô ñoà logic thöïc hieän cho haøm Boole bieåu
dieãn theo daïng buø cuûa tích caùc toång.
A
B
C
D
F(A, B, C, D)
OR NAND
F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C)
39
5. Caáu truùc toaøn coång NAND:
Caáu truùc NAND laø sô ñoà logic thöïc hieän cho haøm Boole coù
bieåu thöùc laø daïng buø cuûa 1 soá haïng tích.
- Duøng ñònh lyù De-Morgan ñeå bieán ñoåi soá haïng toång thaønh tích.
- Coång NOT cuõng ñöôïc thay theá baèng coång NAND
F(A, B, C, D) = A B D + C D
= A B D . C D
A
B
C
D
F(A, B, C, D)
NANDNAND
40
F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C+ D)
= A D . B C D
A
B
C
D
F(A, B, C, D)
41
- Trong thöïc teá ngöôøi ta chæ söû duïng 1 loaïi coång NAND 2 ngoõ vaøo;
khi ñoù ta phaûi bieán ñoåi bieåu thöùc sao cho chæ coù daïng buø treân 1 soá
haïng tích chæ coù 2 bieán
F (A, B, C, D) = A B D . C D
= A B D . C D
A
B
C
D
F(A, B, C, D)
42
6. Caáu truùc toaøn coång NOR:
Caáu truùc NOR laø sô ñoà logic thöïc hieän cho haøm Boole coù
bieåu thöùc laø daïng buø cuûa 1 soá haïng toång.
- Duøng ñònh lyù De-Morgan ñeå bieán ñoåi soá haïng tích thaønh toång
- Coång NOT cuõng ñöôïc thay theá baèng coång NOR
F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C+ D)
= (A + D) + (B + C+ D)
A
B
C
D
F(A, B, C, D)
NOR NOR
43
F(A, B, C, D) = A B D + C D
= (A + B + D) + (C + D)
A
B
C
D
F(A, B, C, D)
44
F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C) (C + D)
= (A + D) + (B + C) + (C + D)
= (A + D) + (B + C) + (C + D)
A
B
C
D
F(A, B, C, D)
Related Documents
