KRİSTAL YAPILARI VE KRİSTAL GEOMETRİSİ Katı Kristaller [email protected] 1 INS211 Güncelleme 14.12.2019
KRİSTAL YAPILARI VE KRİSTAL GEOMETRİSİ
Katı [email protected]
1
INS211
Güncelleme 14.12.2019
BRAVAİS KAFES YAPILARI
Uzay kafeslerinin kristal sistemlerine göre sınıflandırılması: Bravais, doğadaki 7 kristal sistemine ait
toplam 14 farklı tipte nokta kafesi (Bravais kafesi) bulunduğunu ortaya koymuştur.
Kübik
Tetragonal
Ortorombik
Rombohedral
Hekzagonal
Monoklinik
Triklinik2
3
Her kafes sisteminin kendi içinde
basit atom dizilimi , hacim merkezli
atom dizilimi, yüzey merkezli atom
dizilimi ve taban merkezli atom
dizilimi çeşitleri olabilir.
KAFES PARAMETRELERİ
Birim hücre geometrisi, kenar uzunlukları a, b, c
ve iç açıları α, β, γ dan oluşan 6 parametre
yardımıyla tanımlanır.
4
KÜBİK OhBirbirlerine dik üç eşit eksen
a = b = c , α = β = γ = 90°
5
TETRAGONAL D4hBirbirlerine dik üç eksen, ikisi eşit
a = b ≠ c , α = β = γ = 90°
6
ORTOROMBİK D2h Birbirine dik, eşit olmayan eksenlera ≠ b ≠ c , α = β = γ = 90°
7
ROMBOHEDRAL D3dÜç eşit eksen, eş eğimli
a = b = c , α = β = γ ≠ 90°
8
HEKZAGONAL D6h İki eş eksen 120° , üçüncü eksen dika ≠ c , α = β = 90° γ = 120°
9
MONOKLİNİK C2h Üç eşit olmayan eksen , ikisi dika ≠ b ≠ c , α = γ = 90° ≠ β
10
TRİKLİNİK Cİ Eş olmayan eksenler ve açılara ≠ b ≠ c , α ≠ β ≠ γ ≠ 90°
11
METALLERDE KRİSTAL KAFES YAPILARI
Yapı Malzemesi olarak kullanılan metallerin kristal yapıları daha çok kübik ve hekzagonal
sisteme uymaktadır.
12
HACİM MERKEZLİ KÜBİK
Küpün her köşesinde birer atom ve merkezinde de bir atom bulunur ve köşe
atomları merkez atoma teğettir.
13
ATOM ÇAPI – KAFES BAĞINTISI
Atom yarı çapı R ve kristal kafes köşegen uzunluğu arasında
4R = 3𝑎
Bağıntısı vardır. Buradan hücrenin bir kenarı yarı çap cinsinden
𝑎 =4𝑅
3olarak ifade edilir.
Bağıntı sayını (koordinasyon sayısı) 8 dir.14
HÜCREDEKİ ATOM SAYISI
Gerçekte her köşedeki atom 8 komşu birim hücre arasında paylaşılmaktadır. Bir
köşede her birim hücreye ancak 1/8 lik bir dilim düşer. Bu durumda köşe atomlarının
toplamı 8 X 1/8 = 1 dir. Küpün merkezinde bulunan bir tam atomla birlikte birim
hücredeki toplam atom sayısı 2 olur.
8 ×1
8+ 1 = 2
15
ATOMİK DOLGU FAKTÖRÜ (ADF)
Atomların diziliş sıklığını ifade etmek için atomik dolgu faktörü (ADF) kullanılır. Bufaktör atomların dolu küreler olduğu varsayılarak bulunan birim hücredeki atomlarıntoplam hacmini birim hücre hacmine bölerek elde edilir.
Buna göre (HMK) nın atomik dolgu faktörü:
𝐴𝐷𝐹 =𝑎𝑡𝑜𝑚𝑙𝑎𝑟𝚤𝑛 𝑡𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 ℎ𝑎𝑐𝑚𝑖
ℎü𝑐𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑚𝑖=
2×4
3𝜋𝑅3
𝑎3=
2×43𝜋𝑅3
( Τ4𝑅 3)3= 0,68
Buna göre (HMK) de hacmin %68 i dolu, %32 i boştur.
16*doluluk oranı + boşluk oranı (porozite oranı) = 1
YÜZEY MERKEZLİ KÜBİK
Hacim merkezli kübik yapıdan farklı olarak bu sefer atomlar hücrenin 6 yüzeyinde ve
8 köşesinde bulunmaktadır. Bağıntı sayını (koordinasyon sayısı) 12 dir.
17
ATOM ÇAPI – KAFES BAĞINTISI
Atom yarı çapı ve kristal kafes kenar uzunluğu
arasında
4R = 2𝑎
Bağıntısı vardır. Buradan hücrenin bir kenarı:
𝑎 =4𝑅
2elde edilir.
18Bir başka çıkarım 2a2=4R2 üzerinden hesaplanabilir, buradan a=2𝑅 2 elde edilir
HÜCREDEKİ ATOM SAYISI
Köşelerdeki ve yüzeylerin merkezindeki atomlar diyagonal boyunca birbirleriyle
temas halindedirler. Bu tür yapıda her köşedeki atom 8 ayrı hücre tarafından
paylaşılır. Yüzeylerdeki atomlar ise 2 ayrı hücre ile paylaşılırlar. Böylece her hücrede
4 atom bulunmuş olur
8 ×1
8+ 6 ×
1
2= 4
19*polimorfizim maddenin birden çok kristal yapıda bulunabilmesidir
ATOMİK DOLGU FAKTÖRÜ (ADF)
Yüzey merkezli kübik yapılarda atomik dolgu faktörü (atomik paketleme):
𝐴𝐷𝐹 =𝑎𝑡𝑜𝑚𝑙𝑎𝑟𝚤𝑛 𝑡𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 ℎ𝑎𝑐𝑚𝑖
𝑏𝑖𝑟𝑖𝑚 ℎü𝑐𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑚𝑖=
4×4
3𝜋𝑅3
𝑎3=
4×43𝜋𝑅3
( Τ4𝑅 2)3= 0,74
Buna göre (HMK) de hacmin %74 i dolu
Buna göre porozite sabiti %26 dır.
20
SIKI DİZİLMİŞ HEKZAGONAL
Hekzagonal yapı içerisinde (altıgen prizma)
12 köşesinde birer atom, alt ve üst yüzey
merkezlerinde 2 ve hücre hacminde 3 atom
bulunmaktadır.
21
SDH KAFES YÜKSEKLİĞİNİN BULUNMASI
22
Kristal örgüye tepeden bakıldığında merkezdeki 3 teğet atomun teğetinin oluşturduğu üçgen (kırmızı)
ile buna dik taban atomla merkez atomların oluşturduğu üçgene (mavi) dikkat ediniz.
SDH KAFES YÜKSEKLİĞİNİN BULUNMASI
23
Mavi üçgenin uzun dik kenarı kristal
kafes yüksekliğinin yarısı kadardır.
Hesaplanmaya çalışılan değer c nin R
cinsinden karşılığıdır.
SDH KAFES YÜKSEKLİĞİNİN BULUNMASI
24
Kırmızı üçgen için:
𝐜𝐨𝐬𝟑𝟎 =𝑅
𝑥=
𝟑
𝟐 𝑥 =
2𝑅
3
𝑐
2
2
+ 2𝑅
3
2
= (2𝑅)2
𝑐2
4+
4𝑅2
3= 4𝑅2
𝑐2
4=
12𝑅2
3−
4𝑅2
3
𝑐2
4=
8𝑅2
3
𝑐 = 2 8
3𝑅
ATOM ÇAPI – KAFES BAĞINTISI
Kristal kenar uzunlukları ve atom
yarıçapları arasında:
a=2R ve 𝑐 = 2 ×8
3𝑅 bağıntıları vardır.
25
HÜCREDEKİ ATOM SAYISI
12 ×1
6+ 2 ×
1
2+ 3 = 𝟔
26
Yapının her köşesinde 6 hücre ile paylaşılan
atomlar vardır. Taban ve tabanda yarımşar 2
atom ve merkezde komşu 3 hücreye taşan 3
atom bulunur. Bu taşma payı diğer kafeslerin
3 tanesinden yine bu hücrenin boşluklarına
girer.
ATOMİK DOLGU FAKTÖRÜ (ADF)
Yüzey merkezli kübik yapılarda atomik dolgu faktörü:
𝐴𝐷𝐹 =𝑎𝑡𝑜𝑚𝑙𝑎𝑟𝚤𝑛 𝑡𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 ℎ𝑎𝑐𝑚𝑖
ℎü𝑐𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑚𝑖=
6×4
3𝜋𝑅3
3 3𝑎2
2×𝑐
=6×
4
3𝜋𝑅3
3 3(2𝑅)2
2×2×
8
3𝑅
= 0,74
Buna göre (HMK) de hacmin %74 i dolu, %26 i boştur.
Sıkı Dizilmiş Hekzagonal yapının paketleme faktörü YMK yapı ile aynıdır.
27
BİRİM HÜCREDE ATOM YERLERİ, KRİSTAL ÇİZGİ DÜZLEMLERİ VE YÖNLERİ
(hücrede,atom,yerleri) parantez içinde virgülle ayrılmış (kesirli olabilir)
[birim hücrede yön] köşeli parantez (tam sayı yapılır)
(birim hücrede düzlem) parantez (tersi alınır)
˂yönsel aile gösterimleri˃ üçgen parantez
{düzlemsel aile gösterimi} küme parantezi
28
KÜBİK BİRİM HÜCRELERDE ATOMLARIN YERLERİ
Kübik birim hücrelerde atom yerlerini
belirlemek için birbirine dik x y z eksenlerinden
yararlanılır. Atomların yer gösterimi (x,y,z)
şeklindedir.
29
RGB
KÜBİK BİRİM HÜCRELERDE YÖNLER
Kübik birim hücrelerde yönlenmeleri
belirlemek için yine x y z koordinat
sisteminden yararlanılır. Orjinden verilen
koordinat noktasına bir vektör düşünülür.
[xyz] şeklinde gösterilir, tam sayıya
yuvarlanır.
30
UYGULANACAK YÖNTEM
Koordinat sistemini kullanarak doğrunun başlangıç ve bitiş koordinatlarını belirlenir
Bitiş nokta koordinatlarından başlangıç nokta koordinatları çıkarılır.
Çıkartma işlemi dışında doğrultu orjine taşınmış gibi düşünülebilir.
Kesirli değerler tüm koordinat değerleri tam sayı haline gelecek şekilde düzenlenir.
Köşeli parantezleri kullanarak doğrultu düzgün şekilde gösterilir.
Negatif işaretler varsa sayıların üstüne aksan şeklinde yerleştirilir.
31
32
110
33
210
11
20 → 210
Tam sayıya yuvarlanır.
34
ത110
35
ത66ത1
ത11ത1
6→ ത66ത1
Tam sayıya yuvarlanır.
YÖN AİLELERİ
Atomlar arası uzaklıkları aynı olan yönler bir aile olarak sınıflandırılır. Kübik kafeslerde kenar
boyları, yüzey köşegenleri ve hacim köşegenleri yön aileleridir.
Kenar ailesi 100 = 100 , 010 , 001 ; ത100 , [0ത10] , [00ത1]
Hacim köşegen ailesi 111 = 111 , ത111 , 1ത11 , ത1ത11 ; 11ത1 , ത11ത1 , 1ത1ത1 , [ത1ത1ത1]
Yüzey köşegen ailesi 110 = 110 , ത110 , ത1ത10 , 1ത10 ; 101 , ത101 , ത10ത1 , 10ത1 ; 011 , 01ത1 , 0ത1ത1 , 0ത11
36
KRİSTALÇİZGİ DÜZLEMLERİ İÇİN MİLLER İŞARETLERİ VE DÜZLEMLER
Birim hücredeki düzlemlerin kodlanmasında;
düzlemin eksenler hangi noktalarda kestiği bulunur. Kesim noktaları 1 e bölünmüş
olarak yazılır. Bu gösterim miller işareti olarak adlandırılır.
37
38
(001)
RGB = xyz
x eksenini kestiği nokta ꚙ
y eksenini kestiği nokta ꚙ
z eksenini kestiği nokta 1
Miller Gösterimi
1
∞
1
∞
1
1= 001
39
(010)
40
(011)
41
(100)
42
(101)
43
(110)
44
(111)
BİRİM HÜCREDE DÜZLEM DETAYI
Miller işaretleri düzlemleri tanımlarken ekseni kestiği noktaları
tersi olarak yazar. Yani değerin bire bölünmüş halidir. Bu detay
kafesi ara yerlerden kesen düzlemler için atlanmamalıdır.
45
46
(002)
47
(020)
48
(102)
49
(120)
50
(210)
51
(221)
52
(222)
MİLLER İŞERETLERİNDE NEGATİF
Miller işaretlerinde negatif değerler yön belirtir ve ilgili
karakterin üstüne konulan eksi işaretle gösterilir.
53
xതyx
54
(ത101)
55
DÜZLEMLERİN VE DÜZLEMLERİ GÖSTEREN MİLLER İNDİSLERİNİNKULLANIMINDA DİKKAT EDİLECEK NOTLAR
1. Düzlemler ve negatifleri aynıdır. Bu özellik doğrultularda bu şekilde değildir.
020 = 0ത20
2. Düzlemler ve düzlemlerin onların katları aynı düzlemi göstermezler.
100 ≠ 200
3. Kübik sistemlerde birbirine dik olan düzlem ve doğrultular aynı indislere sahiptirler.
[100] ⊥ (100)
56
DÜZLEM AİLELERİ
Kristal örgüde aynı özellikleri taşıyan düzlemler aile olarak sınıflandırılır.
Yüzey düzlem ailesi 100 = 100 010 001
Köşegen düzlem ailesi 110 = 110 101 011 ത110 ത101 0ത11
Diagonal aile 111 = 111 ത111 1ത11 11ത1
57
HEKZAGONAL BİRİM HÜCREDE YÖNLER
5858
a1
a2
a3
i
h
k
59
[11ത20]
[0001]
[1ത100]
Hekzagonal kristal örgü için 4 parametreli Miller
Bravais koordinat sistemi 3 lü koordinat
sisteminden türetilebilir.
ư𝑢 ư𝑣 ư𝑤 → 𝑢𝑣𝑡𝑤
𝑢 =1
32 ư𝑢 − ư𝑣
𝑣 =1
32 ư𝑣 − ư𝑢
𝑡 = − 𝑢 + 𝑣
𝑤 = ư𝑤
HEKZAGONAL BİRİM HÜCREDE DÜZLEMLER (hkil)
6060
Hekzagonal kristal örgüde düzlemler Miler Bravais Gösterimi için (a1a2a3z) koordinat
sistemi kullanılır. Eksenlerin kesişim noktaları 0 kabul edilir ve öncesi için negatif değer
kabul edilir.
61
0001
62
01ത10
63
10ത10
64
1ത100
65
0ത110
66
ത1010
67
ത1100
68
10ത11
69
2ത201
HACİMSEL YOĞUNLUK
Birim hücrenin yoğunluğu hücredeki atomların ağırlığının hücre hacminebölümüdür. Zaten yoğunluğun tanımı da birim hacim ağırlığıdır.
ℎ𝑎𝑐𝑖𝑚𝑠𝑒𝑙 𝑦𝑜ğ𝑢𝑛𝑙𝑢𝑘 =𝑏𝑖𝑟𝑖𝑚 ℎü𝑐𝑟𝑒 𝑘ü𝑡𝑙𝑒𝑠𝑖
𝑏𝑖𝑟𝑖𝑚 ℎü𝑐𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑚𝑖=
ℎü𝑐𝑟𝑒𝑑𝑒𝑘𝑖 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑙𝑎𝑟𝚤𝑛 𝑡𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 𝑎ğ𝚤𝑟𝑙𝚤ğ𝚤
𝑏𝑖𝑟𝑖𝑚 ℎü𝑐𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑚𝑖
70
DÜZLEMSEL ATOM YOĞUNLUĞU
Seçilen bir düzlemde düzlemi kesen atom merkezleri sayısıdır.
𝑑ü𝑧𝑙𝑒𝑚𝑠𝑒𝑙 𝑎𝑡𝑜𝑚 𝑦𝑜ğ𝑢𝑛𝑙𝑢ğ𝑢 =𝑎𝑡𝑜𝑚𝑙𝑎𝑟𝚤𝑛 𝑘𝑎𝑝𝑙𝑎𝑑𝚤ğ𝚤 𝑎𝑙𝑎𝑛
𝑠𝑒ç𝑖𝑙𝑒𝑛 𝑑ü𝑧𝑙𝑒𝑚 𝑎𝑙𝑎𝑛𝚤
71
DOĞRUSAL ATOM YOĞUNLUĞU
72
𝜌𝑙 =𝑑𝑜ğ𝑟𝑢𝑙𝑡𝑢𝑑𝑎𝑘𝑖 𝑎𝑡𝑜𝑚 ç𝑎𝑝𝚤
𝑑𝑜ğ𝑟𝑢𝑙𝑡𝑢 𝑏𝑜𝑦𝑢
İZOTROPİK VE ANİZOTROPİK YAPILAR
Bazı malzemelerin tek kristallerinde fiziksel özellikler, ölçümün gerçekleştirildiği kristal
doğrultulara göre değişir.
Örneğin, elastiklik modülü, elektrik iletkenliği ve kırınım indeksi farklı doğrultularında
farklı değerler alabilir. Özelliklerin bu şekilde yöne bağlı olması anizotropi olarak
adlandırılır ve kristal doğrultularda atom veya iyon dizilişlerinin (atom ya da iyonlar
arası mesafenin) farklı olmasından kaynaklanır.
73
74
Özelliklerin yönden bağımsız olduğu, her yöne mekanik, fiziksel, termal ve
elektriksel özelliklerin aynı olduğu malzemeler izotropik olarak adlandırılır.
Aşağıdaki tabloda bazı anizotropik metallerin farklı düzlemlerdeki elastik
modülleri görülebilir.
Metal [100] [110] [111]
Alüminyum 63,7 GPa 72,6 Gpa 76,1 GPa
Bakır 66,7 GPa 130,3 GPa 191,1 GPa
Demir 125,0 GPa 210,5 GPa 272,7 GPa
Volfram 384,6 GPa 384,6 GPa 384,6 GPa
ALLOTROPİK DEĞİŞİM
Isı ve basıncın etkisiyle bazı cisimlerin kristal yapılarında değişimler olabilir. Örneğin,
demirin 0 - 910°C de hacim merkezli kübik kristal yapısı var iken, 910°C - 1400°C
arasında kristal yapısı yüzey merkezli kübik olur. Bu tip kristal yapı değişimine
allotropik değişim denir.
75
Birden fazla kristal türü sergileyen kristal oluşumuna polimorfizim denir
ÖRNEK HESAPLAMALARBakırın kristal yapı yoğunluğunu hesaplayın. YMK; atom yarıçapı: 0,1277nm; Ma:
63,5460g/mol
76
𝜌 =ℎü𝑐𝑟𝑒𝑑𝑒𝑘𝑖 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑙𝑎𝑟ı𝑛 𝑘ü𝑡𝑙𝑒𝑠𝑖
ℎü𝑐𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑚𝑖=
𝑎𝑡𝑜𝑚 𝑠𝑎𝑦ı𝑠ı × 𝑏𝑖𝑟 𝑎𝑡𝑜𝑚 𝑎ğı𝑟𝑙ığı
ℎü𝑐𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑚𝑖=
𝑛 ×𝑚
𝑉𝑘=
𝑛 × ൗ𝑀𝑎
𝑁𝑎3
𝜌 =4 × ൗ63,5460 𝑎𝑣𝑎𝑔𝑎𝑑𝑟𝑜
4𝑅
2
3 =4 × 63,5460
4 × 16𝑅3
2 2× 6,021 × 1023
𝜌 =4 × 63,5460
4 × 16 0,1277 3
2 2× 6,021 × 1023
=254,1840
64 × 2,1 × 10−3
2 2× 6,021 × 1023
𝜌 =254,1840
802,5957
2 2× 1020
=254,1840
284,46754 × 1020= 0,8957559 × 10−20 Τ𝑔 𝑛𝑚3
𝜌 = 0,8957559 × 10−20 × 107 3 = 8,95𝑔/𝑐𝑚3
77
Molibden için kristal yapı yoğunluk hesabı yapınız. HMK, 95,95 g/mol, atom yarıçapı 139pm
𝜌 =ℎü𝑐𝑟𝑒𝑑𝑒𝑘𝑖 𝑎𝑡𝑜𝑚 𝑠𝑎𝑦ı𝑠ı × 𝑏𝑖𝑟 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑢𝑛 𝑎ğı𝑟𝑙ığı
ℎü𝑐𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑚𝑖=
𝑛 ×𝑚
𝑉𝑘ü𝑝=
𝑛 × ൗ𝑀𝑎 𝑎𝑣𝑎𝑔𝑎𝑑𝑟𝑜
𝑎3
𝜌 =2 × ൗ95,95 6,021 × 1023
4𝑅
3
3 =2 × ൗ95,95 6,021 × 1023
16 × 4𝑅3
3 3
𝜌 =ൗ191,9 6,021 × 1023
16 × 4 0,139 3
3 3
=
191,96,021 × 1023
16 × 4 × 2,6856 × 10−3
3 3
𝜌 =191,9 × 3 3
64 × 2,6856 × 6,023 × 1020=
997,1416
1035,2236 × 1020= 0,96321 × 10−20 Τ𝑔 𝑛𝑚3
𝜌 = 0,96321 × 10−20 × 107 3 = 9,6321𝑔/𝑐𝑚3
78
Saf demir 912°C de ısıtılırken HMK yapıdan YMK e çok yapılı bir değişim geçirmektedir. 912°C
de HMK birim hücresi a=0,293nm, YMK birim hücresi ise a=0,363nm dir. HMK den YMK
kristal yapısına geçişte meydana gelen hacim değişimini hesaplayın. Özkütlesi azalır mı artar
mı yorumlayın.
HMK YMK
a=0,293 nm a=0,363 nm
V = a3 = 0,0251 nm3 V = a3 = 0,0478 nm3
2 atom içeren yapı 4 atom içeren yapı
Yapıda oluşan allotropik değişim esnasında 2 adet HMK yapının atomları (2×2=4 atom) tekrar kristal
düzen kurarak 1 adet YMK kafes yapısına bürünmüşlerdir (4 atom). Dolayısıyla hacimsel değişmeyi
inceleyebilmek için 2 HMK kafes hacmi ile 1 YMK kafes hacmi kıyaslanmalıdır.
2×0,0251 nm3=0,0502 nm3 lük hacim 0,0478 nm3 lük bir hacme küçülmüştür. Orantılanırsa %4,78 lik
bir hacimsel daralma hesaplanır.
79
Hacim merkezli kübik yapı için (100) kesitinin düzlemsel atom yoğunluğunu bulun.
(100) Düzlemi yüzey düzlem ailesi mensubu bir düzlemdir. Yani kristal
örgünün bir yüzeyindeki atom yoğunluğu hesaplanacaktır. Düzlem
yüzeyde 4 çeyrek atomu kesmektedir.
𝜌 =4 ×
14× 𝜋𝑅2
𝑎2=
𝜋𝑅2
4𝑅
3
2 =𝜋𝑅2
16𝑅2
3
=3𝜋
16= 0,589
80
Yüzey merkezli kübik bir yapıda (111) düzlemi için yoğunluğu hesaplayınız.
sin 60 =ℎ
𝑎 2=
3
2𝑣𝑒 ℎ =
𝑎 3 2
2
𝐴 =𝑎 2 × ℎ
2=
𝑎 2 × 𝑎 3 2
2 × 2=
𝑎 2 × 𝑎 3 2
4=
2 3𝑎2
4=
3𝑎2
2
𝐴 =3 4𝑅/ 2
2
2=
3 × 16𝑅2
4= 4 3𝑅2
Atom sayısı: 3 yarım + 3 tane 1/6 =2 atom
ρ =2𝜋𝑅2
4 3𝑅2=
𝜋
2 3= 0,9069
81
SDH kafes örgüsünde (0001) düzlemi için düzlemsel atom yoğunluğunu hesaplayın.
Oluşan altıgen kesitte toplam 3 atom, kesitin alan hesabı için 6 eşkenar üçken
sin 60 =ℎ
𝑎=
3
2
ℎ =𝑎 3
2
𝐴 = 6 ×𝑎 × ℎ
2= 6 ×
𝑎 × 𝑎 3
2 × 2=
3 3𝑎2
2
𝑎 = 2𝑅
𝐴 =3 3 2𝑅 2
2=
3 3 × 4𝑅2
2= 6 3𝑅2
𝜌 =3 × 𝜋𝑅2
6 3𝑅2=
𝜋
2 3= 0,9069
82
HMK α demirinin (110) düzleminin ρp düzlemsel atom yoğunluğunu milimetreye düşen
atom cinsinden hesaplayınız. α demirinin kafes sabitesi 0,278 nm dir.
Düzlemdeki atom sayısı: 1 tam atom + 4×1/4 atom = 2 atom
𝐷ü𝑧𝑙𝑒𝑚𝑖𝑛 𝑘𝑒𝑠𝑖𝑡 𝑎𝑙𝑎𝑛ı = 𝑎 × 𝑎 2 = 𝑎2 2
ρ =2
2(0,278)2= 18,2989𝑎𝑡𝑜𝑚/𝑛𝑚2
1mm=1×106nm yani 1mm2=1×1012nm2
18,2989 × 1012𝑎𝑡𝑜𝑚/𝑚𝑚2
83
YMK platinin [100] [110] [111] yönlerindeki çizgisel atom yoğunluğunu bulunuz.
𝑎 =4𝑅
2
Yön Aile Boy Kaç atom Atom/Boy Atom/Boy Yoğunluk
[100] a 2R 2R/a 2R/4R/ 2 2/2
[110] 𝑎 2 2R+2R 4R/a 2 4R/ 2 ×4R/ 2 1
[111] 𝑎 3 2R 2R/a 3 2R/ 3 ×4R/ 2 2/2 3
84
Bakır atom kafesinde 110 yönünde doğrusal atom yoğunluğunu milimetreye düşen atom
cinsinden hesaplayın. YMK kafes sabiti 0,361 nm dir.
𝜌𝑙 =2 𝑎𝑡𝑜𝑚 ç𝑎𝑝ı
𝑎 2=
2
0,361 2= 3,92 𝑎𝑡𝑜𝑚/nm
3,92 × 106 𝑎𝑡𝑜𝑚/mm
𝜌𝑙 =4 𝑅
4𝑅
22= 1 𝑎𝑡𝑜𝑚/𝑘𝑎𝑓𝑒𝑠
X IŞINIM DİFRAKSİYONU
Difraksiyon x ışınları veya elektronların malzeme ile etkileşimidir.
Yansıyan/difraksiyona uğrayan ışın yararlı bilgiler içerir.
Bragg kanunu Gönderilen X ışınının dalga boyu ile belirli bir düzlemler arası aralığa
sahip kristallografik düzlemlerden yansıyan ışının açısı arasındaki ilişkidir.
Difraktometrelerde hareketli x-ışını dedektörü açıları kaydederek karakteristik bir
difraksiyon paterni oluşturulur.
85
86
KIRINIM
87
Girginlik ve sönümlenme olayı
X IŞINI KIRINIMI
88
X-ışınları A-A‘ ve B-B‘ atom
düzlemleri tarafından kırılır
BRAGG KANUNU
89
nλ = 𝑑ℎ𝑘𝑙 sin 𝜃 + 𝑑ℎ𝑘𝑙 sin 𝜃
nλ = 2𝑑ℎ𝑘𝑙 sin 𝜃
Bragg Kanunu x-ışını, dalga boyu ve atomlar arası
mesafeyi, kırınan ışının açısıyla ilişkilendiren denklemdir.
Denklemin mantığı yansıyan x-ray ışığının girginlik ve
sönümleme gerçekleştirmeden dedektörde
algılanabilmesi için [SQ]+[QT] mesafesinin dalgaboyunun
katı olması gerekmektedir.
n kırınım basamağıdır, çözümlemede genellikle n=1 değerini alır.
KAFES SABİTESİ
90
𝑑ℎ𝑘𝑙 =𝑎
ℎ2 + 𝑘2 + 𝑙2
Kafes sabiti bir örgü sisteminde birim hücrenin bir kenarının uzunluğudur. Düzlemler
arası mesafelerle kafes sabitesi arasında bir bağıntı kurulabilir. İndisleri h, k ve l olan
düzlem için düzlemler arası mesafe:
EK BİLGİ
Yağmurlu zemindeki benzin kalıntısı ve gökkuşağı…
reflection ve refraction olayı (yansıma ve kırılma)
91
92
93
X-ışınlarının kullanım sebebi
Bragg yasasının sağlanması
için kullanılan fotonların
dalga boyunun atomlar arası
uzaklıklara yakın olması
gerekliliğidir. (0,5-2,5 Å)
X-ışınları ile analiz tahribatsız bir analiz metodudur.
94
Bir önek olarak α demiri kırınım spektrumu
95
HMK demirden bir numune λ=0,1514 nm dalga boyunda x-ışınları kullanan bir x-ışını kırınım
ölçerine yerleştirilmiştir. {110} düzleminden kırınım 2θ=44,704° elde edilmiştir. HMK demirin
a kafes sabitesini hesaplayın. (birinci basamak kırınım olduğunu kabul ediniz n=1)
2𝜃 = 44,704° 𝑣𝑒 𝜃 = 22,35°
𝑑110 =1 × 𝜆
2 sin 𝜃=
0,1541𝑛𝑚
2(sin 22,35)=
0,1541
2 × 0,3803= 0,2026𝑛𝑚
𝑑110 =𝑎
ℎ2 +𝑘2 +𝑙2
𝑎 = 𝑑110 12 +12 +02
𝑎 = 0,2026𝑛𝑚 × 1,414 = 0,287𝑛𝑚
96
Bilinmeyen dalgaboylu x-ışınları nikel numunesi üzerinde kırınıma uğramaktadır. 2θ açısı
{220} düzlemleri için 102,072° dir. Kullanılan x-ışınlarının dalgaboyu nedir. (Nikelin kafes
sabitesi 0,352236nm ve n=1)
𝑑220 =𝑎
ℎ2 +𝑘2 +𝑙2=
0,352236
22 +22 +02= 0,124534𝑛𝑚
2𝜃 = 102,072 𝑣𝑒 𝜃 = 51,036
𝑛𝜆 = 𝑑2202 sin 𝜃
𝜆 = 2 sin 51,036 × 𝑑220
𝜆 = 2 × 0,77754 × 0,124534
𝜆 = 0,19366𝑛𝑚
97
HMK yapılar miller işaret değerler toplamı çift sayı
olan düzlemler üzerinden kırınım yaparlar.
{110} {200} {211} gibi
YMK yapılarda ise temel kırınım düzlemlerinin miller
işaretleri ya tamamı çift ya tamamı tektir.
{111} {200} {220} gibi
DENEYSEL VERİLERİN YORUMLANMASI
𝑑ℎ𝑘𝑙 =𝑎
ℎ2+𝑘2+𝑙2
λ = 2𝑑ℎ𝑘𝑙 sin 𝜃
λ =2𝑎 sin 𝜃
ℎ2+𝑘2+𝑙2
sin 𝜃 =λ ℎ2+𝑘2+𝑙2
2𝑎
𝑠𝑖𝑛2 𝜃 =λ2 ℎ2+𝑘2+𝑙2
4𝑎2
98
d: miler işaretlerinin belirttiği en yakın 2 düzlem arası mesafe
a: kafes sabitesi
h, k, l: ilgili kafesin miller işaretleri
λ: dalga boyu
DENEYSEL VERİLERİN YORUMLANMASI
HMK yapı için temel kırınım düzlemlerinin ilk iki takımı
{100} {200} düzlemleridir. Bu düzlemlerin miller
işaretlerinin eşitlikte yerine konmasıyla 0,5 değeri elde
edilir.
YMK yapı için temel kırınım düzlemlerinin ilk iki takımı
{111} {200} düzlemleridir. Bu düzlemlerin miller
işaretlerinin eşitlikte yerine konmasıyla 0,75 değeri elde
edilir.
99
sin 𝜃 =λ ℎ2 + 𝑘2 + 𝑙2
2𝑎
𝑠𝑖𝑛2 𝜃 =λ2 ℎ2 + 𝑘2 + 𝑙2
4𝑎2
𝑠𝑖𝑛2 𝜃1𝑠𝑖𝑛2 𝜃2
=ℎ12 + 𝑘1
2 + 𝑙12
ℎ22 + 𝑘2
2 + 𝑙22
DENEYSEL VERİLERİN YORUMLANMASI
100
𝑠𝑖𝑛2 𝜃1𝑠𝑖𝑛2 𝜃2
=ℎ12 + 𝑘1
2 + 𝑙12
ℎ22 + 𝑘2
2 + 𝑙22
𝑠𝑖𝑛2 𝜃1𝑠𝑖𝑛2 𝜃2
=12 + 12 + 12
22 + 02 + 02= 0,75
YMK için edinilecek eğer
𝑠𝑖𝑛2 𝜃1𝑠𝑖𝑛2 𝜃2
=ℎ12 + 𝑘1
2 + 𝑙12
ℎ22 + 𝑘2
2 + 𝑙22
𝑠𝑖𝑛2 𝜃1𝑠𝑖𝑛2 𝜃2
=12 + 12 + 02
22 + 02 + 02= 0,5
HMK için edinilecek eğer
DENEYSEL VERİLERİN YORUMLANMASI
101
kübik düzlemler
{hkl}h2+k2+l2 Σ(h2+k2+l2)
Kırınım olan düzlemler
YMK HMK
{100} 12+02+02 1
{110} 12+12+02 2 … 110
{111} 12+12+12 3 111
{200} 22+02+02 4 200 200
{210} 22+12+02 5
{211} 22+12+12 6 … 211
… 7
{220} 22+22+02 8 220 220
{221} 22+22+12 9
{310} 32+12+02 10 … 310
102
HMK mi YMK mi olduğu bilinmeyen bir kristal yapısına sahip elementin x-ışınları
kırınım ölçüm sonuçları 2θ: 40 58 73 86,8 100,4 kübik yapıyı belirleyiniz.
𝑠𝑖𝑛2 𝜃1𝑠𝑖𝑛2 𝜃2
=0,117
0,235= 0,498 ≅ 0,5
Kristal yapı HMK
2θ θ sinθ sin2θ
40 20 0,3420 0,1170
58 29 0,4848 0,2350
73 36,5 0,5948 0,3538
86,8 43,4 0,6871 0,4721
100,4 50,2 0,7683 0,5903