Краевая задача типа задачи Карлемана для многосвязной ...

1964 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СБОРНИК Т. 64 (106), № 4

Краевая задача типа задачи Карлемана для многосвязной области

Э. И. Зверович (Ростов-на-Дону)

Пусть D —конечная (т + 1)-связная область, ограниченная контуром Ляпунова L, состоящим из кривой L0, охватывающей кривые Ьъ . . . , Lm. Через (o(2, Lk), k = 0 , . . . , m, обозначим гармонические меры [(см. [1]) граничных кривых Lk относительно области Д а через Do , . . . , D~m — допол-

т нение области D + L до полной плоскости. Пусть а (/) = S\ со (t, Lk) <xk (0» гДе

•а* (0 — сохраняющий ориентацию гомеоморфизм контура Lk на себя, удовлетворяющий следующим двум условиям: 1) ak[ak(t)] = t (условие Карлемана), 2) функция a'k (t) Я-непрерывна. Пусть G(t)=f=0 и g (t) — заданные на L Я-непрерывные функции. Рассмотрим следующую задачу.

Найти функцию Ф (z), однозначную и аналитическую в D, Я-непрерыв^ ную в D по одному из следующих условий на L:

Ф + И ' ) ] = О ( 0 Ф + ( 0 . (1)

ф+[а(0] = О(0Ф+(/) + г(0- (2) Интерес представляет лишь тот случай, когда выполнены условия ([2], [3]):

G[*(t)]G(t)=l, G[a(t)]g(t) + g[a(t)]~0. (3)

Случай, когда D — односвязная область, изучен в работе [3]. Если a (t) ~t и числа x^=ind G (t) \ L (k = 0,. . . , т) — четные, то мы имеем хорошо изученную задачу Римана — Гильберта для многосвязной области <[4], [5], [6]).

В настоящей статье дается решение задачи (1) с помощью метода, близкого к методам, использованным И. Н. Векуа и Б. В. Боярским [4] при решении задачи Римана — Гильберта.

Л е м м а 1. Функция Ф(-г), однозначная и аналитическая в D, Н-не-прерывная в D, может быть представлена в виде*'.

Ф (z) = — \ ф [ а ( т ) ] dx + i U ( t , Lm)<p(x)[do + йвЛ], (4)

где da и daa — элементы дуги L, вычисленные, соответственно, в точках х и а(т), а плотность ф[а(т)] удовлетворяет условию ф(т) + ф[^(^)]=0

* Все интегралы берутся по контуру L.

Краевая задача типа задачи Карлемана для многосвязной области 619

и определена с точностью до слагаемого вида i V [х&со (t, Lk), где |я& —

произвольные вещественные постоянные. Д о к а з а т е л ь с т в о . Считая, что функция Ф (г) задана, воспользуемся

формулой (4) для нахождения плотности, удовлетворяющей условиям леммы. Используя формулы Сохоцкого, условие ср (*)-]-<р [а (£)] = 0 и условие Карлемана, получим*:

2ф (0 = Ф+ [а (*)] - Ф~ [а (*)] = WJtj - WJT), (5) откуда

Ф~ [а (/)] + Ф ^ ) = ф+ [а (*)] + Out). (6) Так как функция Ф+(f) задана, то из формулы (6) можно найти функцию Ф~(г), а из формулы (5) — искомую плотность. Равенство (6) представляет собой краевое условие задач типа задачи Карлемана для областей D Q , . . . , D ^ . Так как эти области односвязны, то можно воспользоваться известными результатами Г. С. Литвинчука и Э. Г. Хасабова [3]. Для областей D[,..., Dm задачи (6) безусловно разрешимы, и решение каждой из них линейно зависит от произвольной мнимой константы. В области Do равенство (6) определяет краевое условие внешней задачи типа Карлемана для этой области. Как известно [3], последняя безусловно разрешима, если искать решение, ограниченное на бесконечности; при этом ИеФ" (сю) =\i0

однозначно определяется условиями задачи, a Im Ф~ (сю) = ^0 можно задавать произвольно. Определив таким образом Ф"(г), и подставив его в (5), найдем плотность, удовлетворяющую условию ф(£) + ф[ос(£)] = 0, причем плотность будет определена с точностью до слагаемого вида

т т i 2 |4<*> (t, Lk) или, учитывая зависимость ^ ® (*» £*) = 1 > Д° слагаемого

т вида i V kk(d(t, Lk), где ^ — произвольные вещественные постоянные.

Итак, мы показали, что для Ф(г) существует интегральное представление

0 ( z ) = JLCj!lI«Wl r f t + Flet (7)

где ф0(т) + ф0[а(т)] = 0, функция ф0(0 определена с точностью до слага-т

емого вида iS* Xk®(t, Lk), [x0 — фиксированная вещественная константа.

Покажем теперь, как из (7) получить формулу (4). С этой целью возьмем новую плотность (f(t) = ф0(0 + iXm(u(t, Lm)\ подставив ее в правую часть равенства (4), получим:

J_ С jPjSLM-dt + i[<* (t, Lm) [ф0 (t) + am(o (t, Lm)\ [da + daa]. Jit J t — Z J

* Второе слагаемое в правой части равенства (4) — вещественное, поэтому оно в равенства (5) не входит.

620 Э. И. Зверович

Потребуем теперь, чтобы

/ С со (т, Lm) [ф0 (т) + ikm(o (t, Lm)] [da + da отсюда

i \ со (т, Lm) Фо (t) [ds + d<5a] — Цо К =--J : . (8>

2дл. Lm

Полученное значение для Хт вещественно:

/ { со (т, Lm) ф0 (т) [da + doа] = — / С со (т, Lw) ф0 [a (t)] [daa + dcr] =

= / С со (т, Lm) ф0 (т) [da + daa].

Таким образом, взяв в качестве плотности функцию ф (/) = ф0 (0 + + /Xwco (t, Lm), где Хт определено формулой (8), получим интегральное представление (4). Лемма доказана.

Л е м м а 2. Общим решением задачи

Ф+[<х(0] = Ф+(9 (9>

является произвольная вещественная константа. Д о к а з а т е л ь с т в о . Воспользовавшись представлением (4), сведем

задачу (9) к нахождению таких решений интегрального уравнения

Ф(0 + — \ Г — ^ ^-Л Ф(Т)Л = 0, 2яг J I а (т) — a (t) X — t]

(10>

которые удовлетворяют условию ф (t) + ф [a (t)] = 0. Каждому такому решению уравнения (10) будет соответствовать некоторое решение задачи (9). Поэтому число решений задачи (9) конечно. Если предположить, что задача (9) имеет решение Ф (z), отличное от константы, то функции: {<b(z)}k, k=ly 2 , . . . , также будут решениями задачи (9); они линейно независимы и их счетное число. Поэтому Ф (z) ~ с, и лемма доказана.

Легко показать, далее, что функции /со (t, L i ) , . . . , /со(/, Lm) являются собственными функциями уравнения (10), удовлетворяющими дополнительному условию. Функциям /со (/, Lk), & = 1 , . . . , т — 1, соответствует тривиальное решение задачи (9), а функции /со (t, Lm) — вещественная константа. Отсюда видно, что уравнение (10) имеет т решений, а функции /со(̂ , Lk)r k = 1 , . . . , т, — образуют его фундаментальную систему решений,

Рассмотрим уравнение

1 с

2ш J

af (t) Т'Ъ u |^(T)dT = 0, (11)

а (т) — a (0

сопряженное к уравнению (10). Используя тождество

t;m-t' =a'(0[a'(flP (12>


легко убедиться, что если г|; (t) — решение уравнения (11), то if» [a (t)] а' (t) t,2t

также является решением уравнения (И). Отсюда следует, что фундаментальную систему решений tyi(t),. . . ,г|)т(/) уравнения (И) всегда можно выбрать так, чтобы выполнялись условия

ЫО — % МО! <*'(*)''* = 0 , / = l , ' . . . , m . (13) Общим решением уравнения (11), удовлетворяющим условиям (13), будет

т

vCJDyHKUM 2 Vktykify, где \ik — произвольные вещественные числа. k=i

Рассмотрим задачу

Ф+ [а (0] = Ф+ (0 + g (t) (g (t) f g [a (/)] = 0). (14)

При a(t) = t она переходит в задачу Шварца. Задача (14), вообще говоря, неразрешима. Для ее разрешимости необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

~ \ g (0 Ч>/ ( 0 ^ = 0, / = 1, .. ., /и, (15)

где % (t) — система решений уравнения (11), удовлетворяющих условию (13). Имеем:

$ g (0 % (0 dt = jj g [a (01 % [a (0] *'{t)t'*dt = -^g (t) % (/) dt,

следовательно, выражения, стоящие в левых частях равенств (15),—вещественные.

В дальнейшем будет показано, что если ввести функцию х+(0 с помощью равенства %+(0 = ^[<x(t)\ a' (f), где г|)(t) — решение уравнения (11), удовлетворяющее условию (13), то %(z) будет однозначной аналитической функцией, удовлетворяющей на L условию

ГИ01 = -,—Г(0- (16) ОС (Г)

Задача (16) называется с о ю з н о й к з а д а ч е (9); она имеет т решений, и ее индекс равен 2т —2.

Рассмотрим теперь задачу, переходящую при a (t) = t в видоизмененную задачу Дирихле: подобрать вещественные постоянные съ . . ., ст так, чтобы задача

Ф+ [a (t)] = Ф+ (/) + g (t) + i 2 c*fi> (t, Lk) (17) k=i

была, разрешима. Покажем, что условиями вида (15) константы Ck однозначно определя

ются; при этом достаточно рассмотреть случай, когда g(t)~0. С помощью представления (4) задача (17) сводится к решению уравнения

Ф(0 + — [ \—— - " - - 1 Ф(т)dx = i V cka>(U Lk). (18) a (t) — a (0 t — t k=i


Так как /со(̂ , L^, . . . , m{t, Lm) — собственные функции уравнения (10), то левая и правая части равенства (18) взаимно ортогональны, откуда следует, что уравнение (18) разрешимо только тогда, когда сх = . . . = ст =0 .

Таким образом, в (17) постоянные Ck определяются однозначно и решение Ф(г) задачи (17) определяется с точностью до слагаемого — вещественной константы.

Рассмотрим, далее, задачу:

2m"2 c^(t9Lk)\o^). (19) / 5 = 1

Ф+ [a (t)] = ехр

Если Ck = 0 (mod l), k = 1, . . . , m, то мы имеем задачу (9), и ее общим решением будет вещественная константа.

Л е м м а 3. В случае, когда не все Ck~ 0(modl), задача (19) неразрешима.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Не ограничивая общности, можно считать, что 0<^с&<^1, fe == 1, . . ., т . Если все Ck — рациональные числа, то найдется целое число п, такое, что

{Ф+[а(0]}" = {ФМ0>. (20>

Таким образом, для Фп (z) мы имеем задачу (9), откуда Фп (z) = const, (b(z) = c и, учитывая (19), получим O(z) = 0.

Рассмотрим случай, когда среди чисел ck есть иррациональные. Используя (4), сведем задачу (19) к решению интегрального уравнения

1 + ехр 2ш ^ cku> (t, Lu) k=i

Ф(0

ni j OLr(X)

a (t) — a (t)

r - e x p | 2 m ' 2 ckM ('• Lk) Ф (т) dx

+ i J1 — exp 2ш 2 ^co (*. £*) j f w (*> Lm) Ф (т) [da + daa] = 0. k=\

(21)

Это уравнение имеет т — 1 собственных функций /со (£, L^,. . . , /со (t, Lm-i). В случае, когда все ck рациональны, других собственных функций уравнение (21) не имеет. Достаточно доказать, что это же утверждение имеет место и в том случае, когда хотя бы одно из чисел Ck — иррациональное. Уравнение (21) можно, как известно, равносильно регуляризовать, т. е. свести к равносильному ему уравнению Фредгольма:

Ф (0 + [k (t, т, съ . . . , ст) Ф (т) dx = 0. (22V

Резольвента уравнения (22) непрерывно зависит от ядра k (t, т, съ . . . , ст) и, следовательно, при малых изменениях чисел съ . . . , ст собственные значения* этого ядра мало смещаются. Отсюда следует, что в достаточно

* Каждое собственное значение считается столько раз, какова его кратность.


малой окрестности каждой рациональной точки (съ . . . , ст) число собственных функций уравнения (21) равно т— 1. Так как множество рациональных точек плотное, то лемма 3 доказана.

Рассмотрим теперь задачу (1). Пусть кк = ind G (t) \L , k —0, . . ., m* m

Число к = У) Kk назовем и н д е к с о м задачи.

Л е м м а 4. Пусть щ = кг = . . . = х т =0 . Существует система вещественных констант съ . . . , ст, такая, что задача

X+[a(0] = G(0x+(0exp 2га 2 ck<a (t, Lk) (23).

имеет решение, нигде не обращающееся в нуль. Д о к а з а т е л ь с т в о . Логарифмированием условия (23) вопрос сводится

к задаче (17). Из разрешимости задачи (17) видно, что лемма 4 справедлива. Т е о р е м а 1. При х < 0 задача (1) неразрешима. Д о к а з а т е л ь с т в о . Не ограничивая общности, будем считать, что

все %k — четные числа (кк=2кк), так как в противном случае мы рассмотрели бы задачу

Ф Г М 0 ] = [С(0]2ФГ(0>

из неразрешимости которой следует неразрешимость задачи (1). В каждой из областей Dx , . . . , Dm возьмем точку Zk^D~k, k = 1 , . . . , т. Имеем'-

G(t) х\(0 п К0 k=l

I а (0 — Ч \~*k / t \-*'k МО. (24)

где ind Gi (t) \L = 0, & = 0 , . . . , m. Согласно лемме 4,

m

2m 2 c*a> (*, £*) Gi (/) = л ехр x+w fc=l

(25)

где %(z) нигде не обращается в нуль. Учитывая (24) и (25), условие (1) можно привести к виду:

Ф+[а (/)][] (a(0-z,)^ k=i

Х+ [а (/)] [а (*)]

Ф+(ОП(^-^У и*

k=i

Х+ (t) t

ехр 2ш 2 с*<*> (f, Lft) • (26>

Если бы задача (1) была разрешима при х < 0 , то относительно аналитической функции, стоящей в фигурных скобках равенства (26), мы получили бы задачу вида (19), решением которой может быть только по-


стоянная, равная нулю, если не все с& = 0 (modi). Так как во всех случаях из формулы (26) следует, что Ф (г) = О, то теорема 1 доказана.

Из (26) видно, что при х =0.. задача (1) либо неразрешима, либо имеет одно линейно независимое решение.

Т е о р е м а 2. При к^>2т— 2 задача (1) имеет I = к — т + 1 линейно независимых решений (в смысле линейных комбинаций с вещественными коэффициентами).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Используя (4), формулы Сохоцкого и условие Карлемана, сведем задачу (1) к интегральному уравнению:

ш J L а (т) — а М т — * Ф (т) dt +

+ i[\-G{t)] jj со(т, Lm) Ф (т) [da + daa] - 0, (27)

Это сингулярное уравнение, индекс которого равен х. Если ф(/) удовлетворяет уравнению (27), то, как нетрудно убедиться, ф [a (t)] также удовлетворяет этому уравнению. Пусть ф (/) —некоторое решение уравнения (27), а <pi (0> • • • > <Pv (0 — его фундаментальная система решений. Тогда

V V

Ф (о = 2 (А* + *>*) Ф* (о = 2 (** + /'x*) ̂ ф1/е ̂ + / ф 2 * ^ где

<Pi* (0 = - у [ф* (0 - Ф7[а (ОТL Ф2* (0 = ~т- [Ф* (0 + ф/е [а (01:

причем, очевидно, Ф1* (0 + Ф1А (а (0) = 0, ф2Л (0 + ф2 , (а (0) =0 . (28)

Таким образом, любое решение уравнения (27) представимо в виде линейной комбинации решений, удовлетворяющих условию (28). Поэтому и фундаментальную систему решений фх (f), . . ., q>v (0 можно выбрать так, чтобы выполнялось условие ф/ (t) + фу- [а(/)] =0 . Общее решение задачи (1) имеет

V

вид (4), где ф(£)= 2 ХкЩ(£), ^ — вещественные коэффициенты, а q>i(t)> • •.

•. -, фу (0 — выбранная фундаментальная система решений. Так как функции /со (/, Lx), . . . , /о) (t, Lm__i) являются решениями уравнения (27), удовлетворяющими условию (28), и им, в силу формулы (4), соответствует тривиальное решение задачи (1), то ясно, что / < v — m+l. Тогда из (4) следует, что / = v — т + 1 . Уравнение, союзное к (27), имеет вид:

[ 1 + О ( 0 Ж 0 - — [ a'(О G(x)t'2 г|) (т) dx +

ш J [ a (т) — a (0 Т — ^ * [? + Таа' (01 со (/, Lm) J [ 1 - G (т)]ф (т) dr =0 . (29)


Пусть v' — число его решений, тогда v — v ' = х. Если ty(t) — одно из его'решений, то функция G[a(t)]ty[a(t)] a' (t) t'2 тоже будет его решением. В|этом"легко убедиться, используя условие (3), условиеКарлемана и/тождество (12). Уравнение (29) (как и уравнение (28)) ведет себя аналогично вещественному интегральному уравнению (см. [6]). Его фундаментальную систему решений г|>1 ( / ) , . . . , i|v (0 можно выбрать так, чтобы для / = 1 , . . . , v' имели] место соотношения % (/) — G [a (t)] % [a (t)] a' (t) Г2 =0 . Общее решение уравнения

V '

(29), удовлетворяющее этому условию, имеет вид V fi/%(/), где \ij

вещественны. Покажем теперь, что уравнение (29) и уравнение

[1 + <?(*)Ж0--М ^-(t) - ° W " 1 ф ( т ) Л = 0 (30) а (т) — а (t)

равносильны. Так как (27) разрешимо, то на основании второй теоремы Нётера имеем:

С [ l -G(t) ] \ | ) ( t )dT=0, (31)

где -ф (т) — решение уравнения (30). Таким образом, условие (31) означает, что решения уравнения (30) являются решениями уравнения (29). Покажем обратное. Если уравнение (29) неразрешимо, то и уравнение (30) неразрешимо: значит, в этом случае уравнения [(29) и (30) эквивалентны. Пусть уравнение (29) разрешимо, a of> (f) — такое его решение, которое не удовлетворяет условию (31). Рассматривая уравнение (29) как неоднородное уравнение (30), проверим, справедлива ли для него вторая теорема Нётера, беря в качестве решения сопряженного однородного уравнения функцию т (t, Lm):

i [ [ 1 - G(x)]q(x)dx \ (F + 7a a' (t))dt = i ^ [l-G(x)]^(x)dx2. дл. Lm=f=0.

Условие (31) не выполнено, следовательно, уравнение (29) неразрешимо. Это противоречие показывает, что уравнения (29) и (30) равносильны, и число решений уравнения (30) равно v'.

Введем в рассмотрение функцию * W (г) =' \ ^-^— dx. Исполь-зуя уравнение (30), получим:

W~ [a (t)] = - — W~ (t) на L. (32) a'(0

Условие (32) представляет собой краевое условие задач типа задачи Карлемана для односвязных областей Do ,. . . , D~m. Ввиду отрицательности их

* Здесь -ф (t) — решение уравнения (30), удовлетворяющее условию -ф (0 •

— G [a (t)] гр [а (/)] ct' (t) / ' 2 = 0 .

10 Математический сборник, т. 64(106), № 4(8)


индексов из (32) следует, что Ч? (г) = 0. Поэтому Ч?+(t) = я|?[а(/)] a' (t). Исключая отсюда г|э (/), получим:

^""«"-Sw™^»- (33)

Полученную задачу назовем союзной к задаче (1). Число ее решений равно /' = v'. Ее индекс определяется формулой х' = 2т—2— х, так как ind a' (t) =0. Если х > 2т — 2, тох ' <Ч), а потому (на основании теоремы 1) имеем Г = 0, т. е. Г = v' =0 . А так как v — v' = х, то v = x, и, вспоминая, что / = v — т + 1 , видим, что теорема 2 доказана.

Рассмотрим, далее, особый случай, когда 0<; х <̂ 2/?г —2. Т е о р е м а 3. В случае 0 ^ х ^ 2 / п — 2 имеет место точная оценка

max {0, х — т -f-1} <^ / <J 1. (34)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Левое неравенство в (34) следует из соотношений I — V = т —1 и V > 0 . Для доказательства правого неравенства используем идею Б. В. Боярского [4]. Пусть Фг (z), . . . , Ф/(г) и Wx (z ) , . . . , Wr (z) — фундаментальные системы решений задач (1) и (33) соответственно. Перемножая краевые условия (1) и (33), видим, что функции ф/& (г) — Ф/ (z) Ч^ (z),. j-=l,...,/, k = 1 , . . . , /', удовлетворяют краевому условию (16). Задача (16) имеет, как мы видели, т линейно независимых решений (над полем вещественных чисел). С другой стороны, покажем, что среди функций qjk имеется хотя бы / + Г — 1 линейно независимых. Тогда получим, что / + / ' < ; <; т + 1 , что вместе с равенством / — V = — т + 1 + х дает требуемое неравенство.

Пусть гъ 2 2 , . . . — последовательность точек, являющихся общими нулями (с учетом их кратностей) всех функций Ф&(г) и Wk(z). Заменяя, в случае надобности, функции Фх (z) и х¥1 (z) линейными комбинациями соответствующих систем, можно добиться того, чтобы функции Фх (z) и W± (z) не имели других общих нулей, кроме указанных выше. Функции ф п (z), . . . . . ., фх/ (z), ф21 (z),.. ., фп (z) линейно независимы. Действительно, предположив противное, получим, что существуют вещественные числа Kk и \ik,. не все равные нулю и такие, что

/ Фх (2) 2 V r * (z) = ^ (г) 2 М>* (г). (35)

/ г = 1 /г=2

/ Пусть z — точка, такая, что Фх(г)=0, а V ^Ф/г (г) =f= 0. Такая точка су

ществует, так как в противном случае функция S\ [х̂ Ф^ (z) 1 . , _ , . являлась

/г=2


бы решением задачи (9), а это означало бы, что функции Ф/е(г) линейно зависимы*. В точке z равенство (35) не выполняется, так как х¥1(г)ф0 (в силу выбора этой функции). Таким образом, функции ф п , . . . , фх/, cp2i,...

. . . , ф/'! линейно независимы. Число этих функций равно / + ' ' —1- Итак, оценка (34) установлена. Точность оценки (34) следует из ее точности при a(t) = t и когда все х& — четные. Теорема доказана.

В заключение отметим, что, если известно решение задачи (1), то легко получить условия разрешимости и число решений задачи (2).

(Поступило в редакцию 27/V 1963 г.)

Литература

1. Р. Н е-в а н ли н н а, Однозначные аналитические функции, Москва, ИЛ, 1941. 2. Д. А. К в е с е л а в а, Некоторые граничные задачи теории функций, Труды Тбил.

матем. ин-та, т. XVI (1948), 39—80. 3. Г. С Л и т в и н ч у к .и Э. Г. Х а с а б о в , К теории сингулярных интегральных урав

нений, подчиняющихся альтернативе Фредгольма, ДАН СССР, т. 140, № 1 (1961), 48—51.

4. И. Н. Be к у а, Обобщенные аналитические функции, Москва, Физматгиз, 1959. 5. Ф. Д. Г а х о в , Краевые задачи, Москва, Физматгиз, 1963. 6. Н. И. М у с х е л и ш в и л л и, Сингулярные интегральные уравнения, Москва, Физ

матгиз, 1962.

* П р и м е ч а н и е п р и к о р р е к т у р е . Строго говоря, доказано только существование точки z, где Ф\(г) имеет нуль более высокого порядка, чем 2 М^Ф^ {г). Но и этого достаточно для доказательства теоремы 3.

10*

Краевая задача типа задачи Карлемана для многосвязной ...

Documents