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Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 1
Titel: Darstellung und Analyse abgetasteter Signale
Titel-Kürzel: ABT
Autoren: Niklaus Schmid, sni
Koautor: U. Gysel, gys
Version: v2.0 31. Dezember 2005
v2.1 7. Januar 2006
Korrekturen von G. Lekkas verarbeitet
v2.2 10. Januar 2006
kleinere Korrekturen ausgeführt
v2.3 4. Februar 2006
kleinere Korrekturen auf den Seiten 2, 11, 20, 27 und 28
ausgeführt
v2.4 30. Januar 2007
kleiner Korrekturen
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Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 2
Darstellung und Analyse abgetasteter Signale
1. EINSTIEG: BERÜHRUNGSLOSE ÜBERWACHUNG VON PATIENTEN
....................................................................3
2. ABTASTUNG ZEITKONTINUIERLICHER SIGNALE
................................................................................................4
2.1 Der
Abtastvorgang......................................................................................................................................4
2.2 Das Spektrum des abgetasteten Signals
....................................................................................................7
2.3 Übergang zur idealen Abtastfunktion
......................................................................................................10
2.4 Übergang zur
Zahlenfolge........................................................................................................................11
3. DIE DISKRETE
FOURIERTRANSFORMATION......................................................................................................13
3.1 Das Linienspektrum eines abgetasteten Signals
.....................................................................................13
3.2 Die inverse diskrete Fouriertransformation
(IDFT)...............................................................................16
3.3 Der Fast-Fourier-Transformations (FFT)-Algorithmus
........................................................................18
4. FREQUENZANALYSE ABGETASTETER PERIODISCHER
SIGNALE.......................................................................20
4.1 Problemstellung
........................................................................................................................................20
4.2 Die Auswirkungen des Zeitfensters
..........................................................................................................21
4.3 Auswirkungen einer Fensterfunktion
.......................................................................................................22
4.4 Parameterwahl zur Spektrumsberechnung einer periodischen
Zeitfunktion .....................................24 4.5 Ein
zweiter Blick auf das Zeitfenster
.......................................................................................................25
4.6 Vergleich zweier gebräuchlicher Fensterfunktionen
..............................................................................27
4.7 Praktische Hinweise zur Spektrumsberechnung
.....................................................................................31
5. FREQUENZANALYSE ABGETASTETER APERIODISCHER SIGNALE
....................................................................33
5.1 Problemstellung
........................................................................................................................................33
5.2 Die Fouriertransformation aperiodischer
Zahlenfolgen........................................................................34
5.3 Ein Vergleich der vier Fouriertransformationen
....................................................................................36
5.4 Anwendung der DFT als Approximation der FTD
.................................................................................38
6. ZUSAMMENFASSUNG
........................................................................................................................................41
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Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 3
Lernziele
Digitale Signale können auf geeigneten Medien (Fest- und
Wechselplatten, Compact Disc, DVD etc.) ohne Informationsverlust
abgespeichert und mit Rechnern automatisierbar verar-beitet werden.
Deshalb wollen wir lernen, analoge Signale in eine von Rechnern
lesbare Form zu bringen und sie zu analysieren.
Insbesondere wollen wir
• Die mathematische Abtastung verstehen
• Das Abtastintervall richtig wählen können
• Die Auswirkungen der Abtastung im Frequenzbereich (Spektrum)
erkennen
• Bei periodischen und nichtperiodischen Signalen das Spektrum
mit dem Computer berechnen können
• Wissen, wann eine Fensterfunktion bei der Spektrumsbeurteilung
sinnvoll ist
Voraussetzungen
Sie benötigen zum Verständnis dieses Kapitels fundiertes Wissen
über
• Die komplexe Fourierreihe
• Das Linienspektrum von periodischen Funktion, insbesondere von
Impulsfolgen
• Die Definition der Deltafunktion (x), inkl. Dimension
• Die Fouriertransformation von Impulsen und Impulsfolgen
• Die Stossantwort und Frequenzgangfunktion
1. Einstieg: Berührungslose Überwachung von Patienten
Am Institut für Hygiene und Arbeitsphysiologie der ETHZ wurde
vor einigen Jahren ein Dormograph entwickelt. Dieses Gerät erlaubt,
Körperbewegung sowie Herz- und Atemfre-quenz einer schlafenden
Person aufzuzeichnen. Entscheidender Vorteil des Dormographen
gegenüber herkömmlichen, in der Schlafforschung eingesetzten
Instrumenten ist der Um-stand, dass die Messung berührungsfrei
geschieht. Dazu wird unter jedem Bettpfosten ein Drucksensor
angebracht, der die äusserst kleinen, durch den Schlafenden
verursachten Bewe-gungen des Bettes misst. Durch geeignete analoge
Schaltungen mit anschliessender digitaler Datenverarbeitung lässt
sich aus den Rohsignalen die gewünschte Information gewinnen.
Fig. 1 zeigt das Prinzipschema des Dormographen. Die
Drucksensoren messen optisch die Bewegungen des Bettfusses und
erzeugen ein analoges elektrisches Signal. Ein typisches
Sen-sor-Rohsignal zeigt Fig. 2. Die Daten einer ganzen Nacht müssen
gespeichert werden. Anschliessend sollen daraus Körperbewegungen
sowie Herz- und Atemfrequenz in Funktion der Zeit extrahiert
werden.
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Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 4
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Fig. 1 Prinzip des Dormographen
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Fig. 2 Typisches Sensor-Rohsignal des Dormographen
Zwei Fragen interessieren uns hier am Dormographen
besonders:
• Wie wandeln wir das analoge Sensorsignal in eine Zahlenfolge
oder Zeitreihe um, d.h. in eine Signalbeschreibung, welche ein
Rechner speichern und verarbeiten kann, ohne wesentliche
Information im Signal zu verlieren?
• Wie analysieren wir dieses Signal mit einem Rechner, damit wir
daraus die gesuchten Informationen finden können.
Ähnliche Fragestellungen ergeben sich in sehr vielen anderen
Anwendungen und sind daher von zentraler Bedeutung in der Erzeugung
und Verarbeitung digitaler Signale. In diesem Kapitel wollen wir
uns zuerst mit der Abtastung analoger Signale befassen und uns
anschlies-send intensiv mit der Frequenzanalyse solcher digitaler
Signale auseinandersetzen.
2. Abtastung zeitkontinuierlicher Signale
2.1 Der Abtastvorgang
Ein Rechner ist nicht in der Lage, kontinuierliche Signale
aufzuzeichnen. Er kann nur Zahlen-werte oder andere Informationen
in Form von Bitmustern speichern. Wir sind daher gezwun-gen, das
kontinuierlich anfallende Signal in eine Folge von diskreten
Zahlenwerten, in der Regel zu äquidistanten Zeitpunkten tn = n T
mit n = ... , -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... zu wandeln.
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Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 5
Bereits im Kapitel Signalformen und Systemtypen haben wir diese
Signalart als digitale Signale kennen gelernt.
Entnehmen wir von einem analogen Signal zu diskreten Zeitpunkten
Signalwerte oder Stichproben, nennen wir diesen Vorgang Abtastung
(englisch sampling). In der Praxis wer-den fast ausschliesslich
elektrische Spannungen abgetastet. Nichtelektrische Signale, wie
z.B. die mechanische Bewegung des Bettfusses, müssen also zuerst in
eine elektrische Spannung umgewandelt werden.
Den Abtastvorgang stellen wir uns so vor, dass ein für kurze
Zeitmomente periodisch schliessender Schalter verwendet wird, Fig.
3. Damit werden schmale Ausschnitte aus dem kontinuierlichen Signal
herausgeschnitten.1
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Fig. 3 Prinzip der Abtastung eines analogen Signals mit kurzen
Impulsen
Mathematisch lässt sich die Abtastung mit einer Multiplikation
beschreiben:
u
s(t) = u(t) r(t) (1)
Dabei besteht die Abtastfunktion r(t) aus einer Folge von kurzen
Impulsen der Dauer T0 und mit dem Pulsabstand Ts. Damit wird die
Abtastfrequenz fs (englisch sampling frequency)
fs =
1
Ts
(2)
Die Form des abgetasteten Signals lässt erkennen, dass man der
idealen Abtastung zum einzelnen Zeitpunkt am nächsten kommt, wenn
T0 des Abtastimpulses möglichst klein ist.
Die entscheidende Frage lautet, wie oft das Eingangssignal
abgetastet werden muss, damit es genügend genau durch seine
Abtastwerte dargestellt wird. Dazu betrachten wir Fig. 4, welche
zwei Sinussignale mit einer Frequenz von fe1 = 2.5 Hz im Teil a)
und von fe2 = 8.6 Hz im Teil b) zeigt. Beide Signale werden mit
einer Abtastfrequenz von fs = 10 Hz abgetastet.
1 In der Praxis führt man den Abtastvorgang mit einer sog.
Sample-and-Hold-Schaltung, auch S/H-Schaltung genannt, aus, welche
die Momentanspannung zu Zeitpunkten im Abstand von Ts festhält.
Diese während eines Teils von Ts
festgehaltene Spannung wird anschliessend im sog.
Analog-Digital-Wandler, kurz A/D-Wandler, in ein digitales Wort
umgewandelt. Etwas ungenau bezeichnet man mit A/D-Wandler meist
die Kombination von S/H-Schaltung und
eigentlichem A/D-Wandler.
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Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 6
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Fig. 4 Zur minimalen Abtastfrequenz eines Signals, fe1 = 2.5 Hz,
fe2 = 8.6 Hz, fs = 10 Hz
Ob bei der Abtastung nichts an Information des kontinuierlichen
Signals verloren geht, er-fahren wir bei der sog. Rekonstruktion.
Darunter versteht man die Wiederherstellung des analogen Signals
aus seinen Abtastwerten. Ohne Kenntnisse der technischen
Realisierung kann man sich vorstellen, man könne das analoge Signal
durch Verbinden der Abtastwerte zurückgewinnen. Beim
niederfrequenteren von Fig. 4a) scheint dies ohne weiteres möglich
zu sein. Beim höherfrequenteren von Fig. 4b) ist dies nicht der
Fall. Wenn man nur die Abtast-werte kennt, würde man ohne
Vorkenntnisse des ursprünglichen Signals das gestrichelt
ge-zeichnete rekonstruieren. Man spricht bei diesem Vorgang von
Unterabtastfehler oder eng-lisch Aliasing, wobei auch im Deutschen
fast ausschliesslich der englische Ausdruck ge-braucht wird. Die
unerwünschten Signale, die man bei der Rekonstruktion des
ursprünglichen Signals erhält, werden Aliassignale oder einfach
kurz Alias' genannt. Die Schlüsselfrage lautet
Wie soll man die Parameter T0 und Ts der Abtastfunktion wählen,
damit im abgetasteten Signal genügend Information zur
Rekonstruktion vorhanden ist?
Wir beantworten diese Frage, indem wir einen Blick auf das
Spektrum des abgetasteten Sig-nals werfen, das wir im nächsten
Schritt berechnen.
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Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 7
2.2 Das Spektrum des abgetasteten Signals
Wir führen die Berechnung beispielhaft mit einem analogen
Eingangssignal bestehend aus zwei Cosinusanteilen der Frequenzen
fe1 und fe2 durch (Fig. 5). Die Parameter des Eingangssignals u(t)
und des Abtastsignal r(t) lauten:
u1(t) = 1V cos(2 fe1t) fe1 = 1 Hz u(t) = u1(t) + u2(t) mit
u2(t) = 1V cos(2 fe2t) fe2 = 2 Hz
r(t) mit Ts = 125 ms T0 = 12.5 ms fs = 8 Hz
Das Produkt von Eingangs- und Abtastsignal ist in Fig. 5 links
unten dargestellt.
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Fig. 5 Links die Zeitsignale und rechts die Spektren von
Eingangssignal, Abtastsignal
und abgetastetem Signal.
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Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 8
Achtung
Die Spektren in Fig. 5 sind mit Diracstössen (Pfeilen)
dargestellt, da es sich hier um dis-
krete Spektrallinien in Funktion der kontinuierlichen
Frequenzvariablen f handelt, also die
Darstellung eines Dichtespektrums (siehe dazu das Kapitel
Fouriertransformation). Im Gegensatz dazu erfolgt die übliche
Darstellung von diskreten Spektren mit Zahlenfolgen
in Funktion des Laufparameters k der Harmonischen, die wir mit
vertikalen Geraden mit
einem Punkt als Ende in eine grafische Darstellung eintragen.
Allerdings ist es für dis-
krete Spektren oft sinnvoll, als Argument der Abszisse die
Frequenz und nicht den Lauf-
parameter anzugeben. Dies gilt vor allem für die Präsentation
von praktischen Berech-
nungen und Messungen. Dies bedeutet eine kleine Inkonsequenz,
erleichtert aber oft die
Lesbarkeit der Spektren.
Das Spektrum des abgetasteten Signals lässt sich, wie im Kapitel
Fouriertransformation gezeigt, elegant als Faltung der Spektren von
Eingangs- und Abtastsignal berechnen. Es gilt:
z(t) = x(t) y(t) Z( ) =
1
2X ( )* Y ( ) (3)
oder z(t) = x(t) y(t) Z(f ) = X (f )* Y (f ) (4)
Neben dem Spektrum von u(t) brauchen wir noch jenes von r(t).
Letzteres kennen wir aus dem Kapitel Fourierreihen. Für Impulse der
Breite T0, der Periodendauer Ts und mit dem Spitzenwert A besteht
es aus Spektrallinien im Abstand von fs mit den Werten
2
R[k] = AT0
Ts
sin(k T0
/Ts)
k T0
/Ts
(5)
Wendet man die Faltung auf die zweiseitigen Spektren des
Eingangssignals und der Abtast-funktion (A = 1) an, so erhält man
das in der rechten Spalte von Fig. 5 unten abgebildete Spektrum.
Dabei fällt auf, dass das zweiseitige Spektrum des Eingangssignals
periodisch mit dem Frequenzabstand fs wiederholt wird. Die
Amplituden des nach k·fs verschobenen Ein-
gangsspektrums sind mit dem Faktor R[k] gewichtet, nehmen also
gemäss Gl. (5) ab. Diese
Abnahme wird erst bei einem anderen Massstab der Frequenzachse
deutlich erkennbar.
Dieses Resultat liefert uns die entscheidende Antwort auf die
brennende Frage nach der minimalen Abtastfrequenz, auch
Abtasttheorem, Nyquist-Kriterium oder Shannon-Theorem genannt:
2 Die konsequente Schreibweise für Spektrallinien eines
kontinuierlichen, periodischen Signals x(t) in Funktion des
Laufparameters k ist X[k]. Dies steht im Gegensatz zur
Schreibweise im Kapitel Fourierreihen, wo wir die Schreibweise
X
k bzw. c
k verwendet haben. Wir werden die alte Schreibweise weiter
verwenden, wenn dies zur
Unterscheidung von anderen hilfreich ist.
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Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 9
Das abgetastete Signal enthält immer noch das unverfälschte
Spektrum des Eingangssignals, falls die Abtastfrequenz grösser als
das Doppelte der maximalen Eingangsfrequenz ist, oder
fs > 2 f
e,max
Wir erkennen nun aus dem Spektrum des abgetasteten Signals, Fig.
5, auch den notwendigen Schritt zur Rekonstruktion: Man gewinnt das
ursprüngliche Signal aus dem abgetasteten wie-der zurück, indem man
alle Frequenzkomponenten unterhalb fs/2 mit einem geeigneten
Tief-passfilter herausfiltert. Da realisierbare Filter nicht
unendlich steile Flanken besitzen, ist man
in der Praxis auf maximale Eingangsfrequenzen fe,max < 0.8
... 0.9 fs/2 beschränkt. Als Bei-
spiel sei die Abtastung eines Audiosignals in CD-Qualität
erwähnt mit fe,max = 20 kHz und
fs = 44.1 kHz oder fe,max = 0.907 fs/2.
Verletzt man das Abtasttheorem, so kommt es zu einer Überlappung
des Eingangsspektrums mit solchen, die um k·fs verschoben sind. Es
entsteht ein unerwünschtes Aliassignal
3 im zuläs-sigen Band des Eingangssignals. Es braucht also
bereits vor der Abtastung ein Tiefpassfilter mit einer
Grenzfrequenz bei fs/2. Wegen seiner Funktion wird es auch
Antialiasfilter genannt.
Beispiel 1: Aliasfrequenzen im Beispiel von Fig. 4
Betrachtet man das Spektrum der abgetasteten Signale von Fig. 4
(siehe Fig. 6), so erkennt man die Spektrallinien der beiden
Eingangssignale, aber auch die durch die Abtastung entstehenden
gefalteten Spektren. Da fe2 > fs/2 ist, kommt ein Alias bei
fs-fe2 = 1.4 Hz unterhalb von fs/2 = 5
Hz zu liegen. Es ist diese Frequenz, welche man bei der
Rekonstruktion ohne weitere Vorkenntnisse aus den vorhandenen
Abtastwerten gewinnt (siehe gestrichelte Sinusschwingung in Fig.
4b)
3 Aliassignale kennt jeder Laie, weiss aber nicht immer genau,
wie sie entstehen. Ein typisches Beispiele sind die
berühmten rückwärts oder nur langsam drehenden Speichenräder im
Film. Sie entstehen aufgrund der Wiedergabe des
Films mit einer diskreten Anzahl von Einzelbildern, welche einer
Abtastung entspricht. Dreht sich das Rad von Bild zu
Bild näherungsweise um den Winkel, der zwischen zwei Speichen
gebildet wird (oder Vielfache davon), so steht das
Rad für den Filmbetrachter nahezu still (ev. dreht es leicht
vor- oder rückwärts).
Ein zweites Beispiel betrifft stroboskopische
Drehzahlkontrollen, wie sie teilweise bei alten Plattenspielern
eingebaut
waren. Dort wird ein Strichmuster auf dem Rand des Drehtellers
mit einer Stroboskoplampe beleuchtet (abgetastet).
Stimmt die Drehzahl, so scheint das Strichmuster
stillzustehen.
In beiden Fällen ist die Eingangsfrequenz näherungsweise oder
völlig identisch mit der Abtastfrequenz und man
beobachtet einen Alias, der näherungsweise oder exakt bei f = 0
liegt.
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Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 10
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Fig. 6 Spektrum zu den Signalen im Beispiel von Fig. 4
2.3 Übergang zur idealen Abtastfunktion
Die Gewichtung der Spektrallinien des abgetasteten Signals mit
R[k] vermindert die
Amplituden aller Frequenzkomponenten im abgetasteten Signal. Die
Abschwächung um den Faktor T0/Ts lässt sich verhindern, wenn wir
die Abtastfunktion mit A = Ts/T0 "verstärken". Der Abtastimpuls
erhält dadurch die Fläche Ts (Fig. 7a). Schliesslich lassen wir die
Impuls-dauer gegen null streben und erhalten so im Grenzfall als
Abtastfunktion eine periodische Folge von Diracstössen mit dem
Gewicht Ts (Fig. 7b).
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Fig. 7 Übergang von Abtastimpulsen endlicher Breite zur idealen
Abtastfunktion und
zugehörige Spektren
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Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 11
Diese ideale, dimensionslose Abtastfunktion lässt sich als
r(t) = Ts
t nTs( )
n=
+
(6)
schreiben und führt zu folgender mathematischen Beschreibung des
Abtastvorganges:
us(t) = u(t) r(t) = T
su(t) t nT
s( )n=
+
= Ts
u(nTs) t nT
s( )n=
+
(7)
Das Spektrum der idealen Abtastfolge erhalten wir ebenfalls als
Grenzübergang für
1 / T
0 aus dem Spektrum der Impulsfolge endlicher Breite (Fig. 7c).
Das Ergebnis ist
eine periodische Folge von Spektrallinien mit dem Wert 1 bei den
Frequenzen k·fs (Fig. 7d). Dieses Spektrum liesse sich natürlich
auch direkt aus der Definition der Fourierreihen gewin-nen.
Das Spektrum eines abgetasteten Eingangssignals verändert sich
durch die ideale Abtastung insofern, dass nun alle nach k·fs
verschobenen Eingangsspektren genau gleich gross werden.
2.4 Übergang zur Zahlenfolge
Die mathematische Beschreibung der Abtastung von Gl. (7) hat den
Vorteil, dass sie eine auf der Zeitachse kontinuierliche Funktion
darstellt. Auf sie kann die Fouriertransformation an-gewendet
werden. Mit den Deltafunktionen der mathematischen Beschreibung
kann ein Rechner natürlich nichts anfangen: er benötigt Zahlen. Für
die Bearbeitung mit dem Rechner sind nur Zahlenfolgen geeignet.
Dazu wird die Impulsfolge us(t) mit Hilfe des eigentlichen
A/D-Wandlers in eine Zahlenfolge bzw. eine Zeitreihe u[n]
umgewandelt (Fig. 8). Die Zuordnung der Zahlen u[n] zum
abgetasteten Signal us(t) erfolgt in der Regel so, dass der
quantisierte Signal-Momentanwert zum Zeitpunkt der Abtastung als
Zahl verwendet wird, also
u[n] = u(t = nTs) (8)
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Fig. 8 Das vollständige Schema des idealen Abtasters und
A/D-Wandlers
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Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 12
Achtung
Die Zahlenfolge u[n] unterscheiden wir sowohl grafisch als auch
in der Schreibweise klar
von us(t). Letztere ist als Funktion der kontinuierlichen
Zeitvariablen mit Diracstössen
dargestellt, während die Zahlenfolge u[n] in Funktion des
Laufparameters n mit Geraden
mit Punkten dargestellt wird. Dies ist analog zur Unterscheidung
der Linienspektren in
Funktion des Laufparameters k von Dichtespektren in Funktion von
f.
Die Analyse der Zahlenreihe u[n] und die Beschreibung des
Verhaltens von digitalen Syste-men ist nicht mehr mit den bekannten
Methoden für kontinuierliche Signale und Systeme möglich. Dazu
werden wir in einem späteren Kapitel neue Verfahren kennen lernen,
zum Bei-spiel die Differenzengleichungen und die
z-Transformation.
Beispiel 2 Zeitbeschreibung von diskreten Signalen
Es ist das abgetastete Signal von Fig. 9 mathematisch und als
Zahlenfolge zu beschreiben.
Fig. 9 Beispiel eines abgetasteten
Signals
Mathematische Formulierung:
us(t) = T
su(nT
s) (t nT
s)
n= 1
3
= 0.2 mVs t + 0.1 ms( ) + 0.2 mVs t( ) + 0.2 mVs t 0.1 ms( )0.1
mVs t 0.2 ms( ) 0.1 mVs t 0.3 ms( )
Zahlenfolge:
u[n] = 2 2 2 -1 -1 0 V mit n = -1, 0, 1, 2, 3, 4
Beispiel 3 Abtastung eines Sinussignals
Die analoge Funktion u(t) = 3V cos 100s
1t( ) werde mit einem idealen Abtaster mit der
Abtastfrequenz fs = 1 kHz abgetastet (Ts = 1 ms).
Wie lautet die mathematische Formulierung des abgetasteten
Signals us(t) allgemein und zum
Zeitmoment t = 3 Ts =3 ms ?
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-
Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 13
us(t) = T
su nT
s( ) t nTs( )n=
+
= Ts
3V cos 1001
nTs( ) t nTs( )
n=
+
= 3mVs cos 100s1
n Ts( ) t nTs( )
n=
+
und u
s(3T
s) = u
s(3ms) = 2.87 mVs (3 ms 3 ms) = 2.87 mVs (0)
3. Die diskrete Fouriertransformation
3.1 Das Linienspektrum eines abgetasteten Signals
Im letzten Abschnitt haben wir das Spektrum des abgetasteten
Signals über die Spektren der Eingangssignale und der
Abtastfunktion berechnet. In der Praxis verläuft der Weg aber
an-ders. Im Beispiel des Dormographen werden die anfallenden
Signale digitalisiert und an-schliessend geht es darum, aus den
Zahlenreihen sichtbare oder versteckte Periodizitäten, z.B. die
Atmungs- oder Herzfrequenz herauszulesen. Wir haben also keine a
priori Kenntnisse über mögliche Frequenzanteile in unserer
Zahlenreihe. Es geht um die Fourieranalyse des abgetasteten
Signals.
Im Folgenden verwenden wir für diskrete Signale, also
Zahlenreihen, analog zu den kontinu-ierlichen die allgemeinen
Bezeichnungen u n[ ] für Eingangsgrössen, und x n[ ] oder y n[ ]
für
Ausgangsgrössen. Das Subskript s für "abgetastet" lassen wir
immer dann weg, wenn aus dem Zusammenhang klar hervorgeht, dass es
sich um abgetastete Signale handelt oder dass es sich um die
Abtastperiode T = Ts handelt. Wir gehen aus vom mathematisch
beschriebenen, abgetasteten Signal
xs(t) = x(t) r(t) = T x(nT ) (t nT )
n=
+
(9)
Als nächstes stellt sich die Frage, welche Anzahl von
Abtastwerten wir für unsere Analyse verwenden wollen. Für die
Fourieranalyse kontinuierlicher Signale haben wir eine Periode der
Grundschwingung des zu analysierenden Signals gewählt. Bei
digitalen Signalen sind wir in der Regel durch die feste
Abtastfrequenz gezwungen, Abtastwerte zu definierten Zeiten zu
wählen. Im Moment gehen wir davon aus, dass wir nur N Abtastwerte
verwenden. Unser Analyseintervall, auch Fensterbreite oder
Zeitfenster genannt, ist daher
T
1 = N T (10)
und die Grundkreisfrequenz der Fourieranalyse
1=
2
NT (11)
Gl. (9) setzen wir ein in die Berechnungsformel für die
Fourierkoeffizienten
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Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 14
X k =1
T1
xs(t) e
jk1t
dt
0
T1
= 1
T1
T x(nT ) (t nT )
n=0
N 1
ejk
1nT
dt
0
T1
=1
T1
T x n
n=0
N 1
ejk
1nT
(t nT ) dt
0
T1
1 für jedes n 0,N 1
Dabei haben wir die Werte x(nT ) der kontinuierlichen Funktion
x(t) ab der Stelle in dieser
Herleitung, wo sie zu den diskreten Abtastzeitpunkten nT vor das
Integral bewegt werden,
nach Gl. (8) durch die Zahlenfolge x n ersetzt. Der
resultierende Ausdruck kann
übersichtlicher geschrieben werden, wenn T
1 und 1 durch die Gl. (10) bzw. (11) ersetzt
werden. Wir erhalten so die diskrete Fouriertransformation
(DFT)
X k =1
Nx n e
j2 kn
N
n=0
N 1
(12)
Achtung
Wie schon bei der kontinuierlichen Fourierreihe sind auch hier
alle Fourierkoeffizienten
Spitzenwerte der zugehörigen Sinuskomponenten. Um die
Schreibweise nicht zu über-lasten, wird aber meist das
Spitzenwertzeichen weggelassen. Wir schreiben also statt
X̂ k[ ] nur X k[ ] .
Für den Teilausdruck s
nk = e
j2 kn
N , der in Gl. (12) auftritt, gilt der Zusammenhang:
s
nk + N = e
j2 (k+N )n
N = ej2 kn
N ej2 Nn
N = ej2 kn
N = sn
k (13)
Die Folge s
nk ist also periodisch mit der Periode N. Aus Gl. (12) und (13)
folgt daraus für
die Fourierkoeffizienten:
X k + N =1
Nx n e
j2 (k+N )n
N
n=0
N 1
= 1
Nx k e
j2 kn
N
n=0
N 1
= X k (14)
Die Fourierkoeffizienten sind also selber periodisch mit der
Periode N. Es genügt daher, wenn die ersten N Koeffizienten
berechnet werden. Zudem fällt auf, dass genau gleich viele
Koef-fizienten vorhanden sind wie Abtastwerte.
-
Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 15
Falls die Abtastwerte x n[ ] reell sind, gilt weiter
X k = 1
Nx n e
+ j2 kn
N
n=0
N 1
= 1
Nx n e
j2 kn
N
n=0
N 1*
= X*
k (15)
Die Fourierkoeffizienten mit negativem Laufparameter sind
konjugiert komplex zu denjeni-gen mit positivem Laufparameter.
Kombiniert man diese Eigenschaft mit der Periodizität der
Fourierkoeffizienten, so findet man
X k = X
*N k (16)
Es genügt also bei reellen Abtastwerten, die Hälfte aller
Koeffizienten X[k] gemäss Gl. (12) zu berechnen.
Beispiel 4 DFT einer gegebenen Zahlenfolge
Gegeben sei die folgende Zahlenfolge von 20 Abtastwerten, die
mit einer Abtastperiode T = 1 ms gewonnen wurde (Fig. 10a):
x n = 0.900 0.775 0.702 0.873 0.752 0 -0.752{ -0.872 -0.702
-0.775
-0.900 -0.775 -0.702 -0.873 -0.752 0 0.752 0.873 0.702
0.775}
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Fig. 10 Beispiel 4: Abtastwerte und zugehöriges Spektrum
Diese Werte setzen wir in Gl. (12) ein und berechnen so die
Fourierkoeffizienten
X k = 0 0.5 0 0.15 0 0.1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1 0 0.15 0 0.5{
}
Aus T = 1 ms und N = 20 folgt f1 = 1/(N T ) = 50 Hz . Das
Spektrum enthält Signalanteile bei
der Grundfrequenz f1 und den Vielfachen f3 und f5 sowie oberhalb
von fs/2 die verschobenen Spektren aus dem Band -fs/2 < f <
fs/2.
Betrachtet man die Abtastwerte etwas genauer, so erkennt man
eine hohe Symmetrie. Tatsäch-lich entstand die Zahlenfolge durch
Abtastung von exakt einer Periode des periodischen Signals
x(t) = 1 cos(2 50t) 0.3 cos(2 150t) + 0.2 cos(2 250t)
-
Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 16
(siehe Umhüllende der Abtastwerte in Fig. 10a). Die DFT liefert
uns die im abgetasteten Signal steckenden drei Frequenzanteile
|X[1]| = 0.5, |X[3]| = 0.15 und |X[5]| = 0.1.
Die DFT ergibt in diesem Beispiel exakt die
Fourierkoeffizienten, die wir auch von einer Fourieranalyse des
kontinuierlichen Signals erhalten hätten. Zusätzlich kommen die
gefalteten Spektren dazu. Das Spektrum wird periodisch, wie wir das
schon im ersten Abschnitt gesehen haben.
Neu bei der DFT ist die Tatsache, dass wir nur N Spektrallinien
erhalten, nämlich aus-schliesslich Vielfache von
f1= 1/(N T ) . Welche Folgen dies auf die Analyse eines
Signals
hat, dessen Spektrum nicht nur Vielfache von f1 enthält, wollen
wir später betrachten.
3.2 Die inverse diskrete Fouriertransformation (IDFT)
Nach der Theorie der Fourierreihen lässt sich das Zeitsignal
wieder aus den komplexen Spektralkomponenten regenerieren, wenn man
alle Harmonischen zusammenzählt, also eine Fouriersynthese
durchführt:
x(t) = X k ejk
1t
k =
Bei einem periodischen Linienspektrum erhalten wir
x nT( ) = X k e jk 1nTk=
+
= X k e
j2 kn
N
k=
+
(17)
Da unser Spektrum aber periodisch ist, genügt es, für einen
Zeitwert die N Koeffizienten einer Spektrumsperiode zu addieren.
Zusätzlich schreiben wir die Signalwerte, die wir nur für die
ursprünglichen Abtastzeitpunkte berechnen, als Zahlenfolge. So
erhalten wir die inverse diskrete Fouriertransformation (IDFT)
x n = X k e
j2 kn
N
k=0
N 1
(18)
Dass nur N Summanden nötig sind, um einen Zeitwert wieder zu
erhalten, wird deutlich, wenn in der Gl. (18) die
Fourierkoeffizienten X[k] durch die DFT-Summe von Gl. (12)
ausge-drückt werden:
x m = X k e
j2 km
N
k=0
N 1
= 1
Nx n e
j2 kn
N
n=0
N 1
e
j2 km
N
k=0
N 1
(19)
Diese Doppelsumme kann umgeschrieben werden zu
-
Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 17
x m = x n1
Ne
j2 k( m n )
N
k=0
N 1
P
n=0
N 1
(20)
Dabei nimmt der hintere Teil "P" der Summe die folgenden Werte
an:
P =0, falls m nN ,falls m=n{
Der 2. Fall kann an einigen Beispielen einfach gezeigt werden.
So gilt für N = 4 und m-n = 1
P = e0+ e
j2 + e j + e
j3
2 = 0
Es entstehen vier Einheitszeiger, die sich gesamthaft aufheben,
da sie einen regelmässigen Stern ergeben. Dies gilt für alle
denkbaren Kombinationen von N, m und n.
Von Gl. (20) bleiben also nur die folgenden Summanden übrig:
x m = x n1
NN =
n=m
x n = m
Weiter ist es unwesentlich, welchen Ausschnitt aus dem
periodischen Spektrum wir für die IDFT verwenden. Wir könnten auch
schreiben
x n = X k e
j2 kn
N
k=l
N +l 1
Um dies zu zeigen, tauschen wir in der IDFT Gl. (18) den
Summanden mit X[k] durch jenen mit X[k+N] aus, die nach Gl. (14)
identisch sind.
Beispiel 5 DFT eines periodischen digitalen Signals
Es soll die DFT der periodischen Rechteckspannung von Fig. 11
berechnet und das Spektrum skizzieren werden.
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Fig. 11 Digitale Rechteckspannung mit N = 8 und der abgetasteten
kontinuierlichen Spannung (gestrichelt), Ts = 0.1 s, fs = 10 Hz, T1
= 0.8 s = Periodendauer = Fensterbreite
Es ist immer sinnvoll, sich ein Bild von dem zu erwartenden
Ergebnis zu machen. Dazu skiz-zieren wir die kontinuierliche
Spannung, welche durch Abtastung zu unserer Abtastfolge wird
(gestrichelt in Fig. 11). Dieses kontinuierliche Signal muss
symmetrisch zu den Abtastwerten liegen und ist daher um T1/16
gegenüber einem Rechtecksignal mit positivem Sprung bei t = 0
-
Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 18
verschoben. Das zugehörige Spektrum (siehe Kapitel
Fourierreihen) besitzt ausschliesslich ungerade Harmonische mit den
Koeffizienten
u
0 = A / 2, U
k =
A
k und U
k = 90° + k 22.5°, k = 1, 3, 5, ....
oder in Zahlen
U0= 5 V , U
1 = 3.183 V -67.5°, U
3 = 1.061 V 22.5°
U5 = 0.636 V 22.5°, U
7 = 0.455 V 67.5°
Die Phasenverschiebung erklärt sich aus der Zeitverschiebung des
kontinuierlichen Rechtecksig-nals von -3T1/16 gegenüber dem
zeitlich symmetrischen, geraden Signal.
Nun berechnen wir die DFT des abgetasteten Signals und erhalten
die Fourierkoeffizienten
U 0 = 5 V , U 1 = U
*7 = 3.266 V -67.5° und 3 = U
*5 = 1.353 V 22.5°
Ein Vergleich dieses Ergebnisses mit den ersten sieben Werten
der kontinuierlichen Fourierreihe zeigt markante Unterschiede (Fig.
12).
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Fig. 12 Spektren zu den Spannungen von Fig. 11, a) abgetastete
und b) kontinuierliche
Rechteckspannung
Die Phasen beider Spektren sind identisch. Das
Amplitudenspektrum des digitalen Signals ist periodisch mit der
Periode N = 8, d.h. bereits ab der 5. Harmonischen wiederholt sich
das Spektrum. So ist es nicht überraschend, dass die 3. Harmonische
des digitalen Signals schon merklich von jener des kontinuierlichen
abweicht. Der Grund liegt in der sehr ungenauen Nach-bildung des
kontinuierlichen Signals mit seinen Sprüngen durch nur 8
Abtastwerte. Umgekehrt muss das Spektrum des digitalen Signals nur
in der Lage sein, die 8 Abtastwerte zu rekon-struieren, was es auch
kann.
3.3 Der Fast-Fourier-Transformations (FFT)-Algorithmus
Die in den letzten beiden Abschnitten kennen gelernten
Algorithmen DFT und IDFT zur Be-rechnung des Spektrums von
digitalen Signalen (von sog. Zeitreihen) benötigen bei grossen
-
Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 19
Signalausschnitten (grosser Zahl N von Abtastwerten) viel
Rechenzeit, wie die folgende Überlegung zeigt.
Die DFT-Gleichung (12) besteht aus einer Summe von komplexen
Exponentialfunktionen multipliziert mit den reellen Werten der
Zeitfolge. Für einen Frequenzpunkt sind minimal 2 N
Multiplikationen und 2 ( N 1) Additionen durchzuführen, wenn wir
die vorberechne-
ten N Werte der Exponentialfunktion und den 1/N-Faktor in
Tabellen ablegen. Für ein ganzes Spektrum sind wegen der Symmetrie
der Koeffizienten Gl. (16) N/2 Frequenzlinien zu berechnen. Für ein
ganzes DFT-Spektrum sind also ungefähr N/2 x 2N = N2
Multiplikationen und Akkumulationen nötig (englisch MAC).
Zahlenbeispiel: Wollen wir ein Signal mit 1000 Stützwerten
transformieren, so benötigen wir 1 Million MAC, bei 10'000
Stützwerten bereits 100 Millionen.
Die Mathematiker J.W. Cooley und J.W. Tukey publizierten 1965
ein Verfahren, um den Re-chenaufwand zu reduzieren. Später folgten
von anderen Autoren noch weitere Algorithmen. Alle basieren auf der
Idee, die DFT einer Zahlenfolge in eine Summe von DFT's über Teile
der ursprünglichen Zahlenfolge zu zerlegen. Im einfachsten Fall,
wenn N eine Zweierpotenz
ist, lässt sich so der Rechenaufwand auf nur noch N log
2(N ) reellen MAC-Operationen
reduzieren. Für N = 1000 ergibt dies noch ca. 10000 MAC, eine
drastische Reduktion des Aufwandes.
Diese schnellen Algorithmen werden Fast-Fourier-Transform oder
FFT bzw. in der inver-sen Ausführung IFFT genannt. Implementationen
dieser Algorithmen finden sich nicht nur in allen
Mathematik-Computerprogrammen wie Matlab oder Mathcad, sondern
überall dort, wo rechnerisch und ev. sogar in Echtzeit eine DFT
oder IDFT bestimmt werden muss, z.B. in Messgeräten oder
Analysegeräten. In Matlab lauten die entsprechenden Befehle fft(x)
und ifft(x). Zur Berechnung des Spektrums zum Beispiel 4 (Fig. 10)
genügt folglich das Matlabprogramm:
%ABT Beispiel 4
x=[ 0.9000 0.7747 0.7017 0.8731 0.7517 0 -0.7517 ...
-0.8731 -0.7017 -0.7747 -0.9000 - 0.7747 -0.7017 ...
-0.8731 -0.7517 -0.0000 0.7517 0.8731 0.7017 0.7747]
k=0:1:19;
xf=fft(x,20)/20; %FFT berechnen inkl. Faktor 1/N
xfr=real(xf) %Realteil wählen, da xf rein reell ist,
stem(k,xfr)
grid
Achtung
Matlab fügt den Faktor 1/N der IDFT statt der DFT hinzu. Damit
die mit Matlab be-
rechneten Werte mit unsern theoretischen Resultaten
übereinstimmen, sind bei der DFT
die berechneten Werte noch durch N zu dividieren bzw. bei der
IDFT die Ergebnisse mit
dem Faktor N zu multiplizieren.
-
Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 20
4. Frequenzanalyse abgetasteter periodischer Signale
4.1 Problemstellung
Zur Überwachung eines Patienten haben wir unter der Matratze
seines Bettes einen Drucksen-sor angebracht. Das Sensorsignal wird
laufend mit einer Taktfrequenz von 200 Hz erfasst und soll digital
ausgewertet werden. In Fig. 13 ist ein ca. 3 Sekunden langer
Signalausschnitt sichtbar. Die deutlich sichtbaren Ausschläge
werden vor allem durch die Herzbewegung erzeugt. Näherungsweise ist
das Signal periodisch mit einer Periodendauer von ca. 1 s.
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Fig. 13 Ausschnitt aus dem Signal eines Bettsensors
Die Auswertung der Messwerte soll laufend Aufschluss über die
Herzfrequenz des Patienten geben. Dazu sollen die Resultate in
regelmässigen Abständen auf einem Monitor dargestellt werden. Es
ist nahe liegend, die abgetasteten Zahlenwerte mit einem
"FFT-Analysator" zu verarbeiten.
Wir machen einen Versuch und nehmen an, der FFT-Analysator sei
so eingestellt, dass sein Zeitfenster ungefähr eine ganze Periode
aus diesem Signal auswähle. Zudem wählen wir in diesem Fenster nur
50 äquidistante Abtastwerte aus, um Rechenzeit zu sparen, also nur
jeden 4. Wert. Die für unsere Analyse massgebende Abtastfrequenz
beträgt damit neu nur noch fs = 50 Hz. Das Resultat ist in Fig. 14
dargestellt, allerdings nur bis zur halben Abtastfre-quenz. Dies
ist bei Messgeräten üblich, da alle DFT-Spektren reeller Signale
symmetrisch bezüglich der halben Abtastfrequenz sind.
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Fig. 14 Anzeige des FFT-Analysators für den Bettsensor bei einer
Fenstergrösse von 1 s und 50 Abtastwerten (fs = 50 Hz, f1 = 1
Hz)
-
Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 21
Dieses Ergebnis scheint in etwa mit einer intuitiven Abschätzung
überein zu stimmen. Es tritt eine kleine Gleichspannung auf. Dann
findet man die 4. bis 9. Harmonische relativ stark aus-geprägt. Von
Auge würde man sagen, es ist die 8. Harmonische, welche am
stärksten auftritt. Zu diesem Ergebnis stellen sich einige
Fragen:
• Haben wir den Zeitausschnitt T1 sinnvoll gewählt? Wie wirkt
sich dieser auf das Ergebnis aus?
• Wie steht es mit der Anzahl der gewählten Abtastwerte in
diesem Fenster? Sollten wir alle oder mindestens einen grösseren
Teil der von der Datenerfassung erzeugten Ab-tastwerte
verwenden?
Um Antworten auf diese entscheidenden Fragen zu finden, wollen
wir im nächsten Abschnitt einen einfachen, im Voraus bekannten Fall
betrachten.
4.2 Die Auswirkungen des Zeitfensters
Wir kehren nochmals zurück zum Beispiel 4. Dort haben wir eine
Folge von 20 Abtastwerten eines periodischen Signals analysiert.
Wir haben dabei bewusst die Abtastwerte exakt aus einer Periode
dieses Signals gewählt. Beim Signal unseres Bettsensors dürfte es
schwierig sein, diese Bedingung immer einzuhalten. Erstens ist die
Abtastrate im Gerät meist fest einge-stellt. Zweitens können wir
nicht annehmen, die Herzfrequenz des Patienten bleibe immer
konstant. Wir müssen also damit rechnen, dass wir nicht genau eine
Periode oder allenfalls ein Vielfaches davon für unsere Analyse
erwischen.
Um uns einen Einblick zu verschaffen in die Auswirkungen einer
Abtastfolge, die nicht genau einer Periode eines periodischen
digitalen Signals entspricht, nehmen wir ein einziges
Cosi-nussignal der Frequenz f0. In Fig. 15a) werden für die DFT
exakt 16 Abtastwerte verwendet, welche genau einer Periode
entsprechen. Wie schon in Beispiel 4 liefert uns die DFT hier exakt
die Frequenz der Sinusschwingung bei f0, welche gleich der
Grundfrequenz f1 = 1/T1 der DFT ist. Verwenden wir für die DFT aber
5/4 einer Periode mit 20 statt 16 Abtastwerten, so erhalten wir das
Spektrum von Fig. 15b).
Da wir eine grösserer Anzahl Abtastpunkte bei gleich bleibender
Abtastfrequenz gewählt haben, ist die Grundfrequenz im neuen
Spektrum kleiner als im alten, nämlich
f1' =1
T1'=
1
1.25 T1= 0.8 f1 = 0.8 f0 = neuer Linienabstand
Weil die DFT aber nur Spektrallinien bei Vielfachen der
Grundfrequenz ergibt, kommt die tatsächlich im digitalen Signal
vorhandene Frequenz im Spektrum nicht vor. Das neue Spektrum ergibt
also nur ungefähr einen Anhaltspunkt, wie die spektrale Verteilung
aussieht. Die beiden Spektrallinien bei f1' = 0.8 f0 und f2' =
1.6f0, welche der tatsächlich vorhandenen Linie am nächsten liegen,
sind am stärksten. Aus der Tatsache, dass die Linie bei f1' stärker
als jene bei f2' ist, können wir schliessen, dass die tatsächlich
vorhandene Spektrallinie näher bei f1' als bei f2' liegt. Weitere
im Spektrum vorhandene Harmonische klingen zunehmend ab. Auch die
Amplituden der stärksten Spektrallinien sind kleiner geworden, da
sich die Leistung des Signals auf mehrere Harmonische verteilt.
-
Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 22
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Fig. 15 DFT eines Cosinussignals, wenn die Fenstergrösse von T1
= Periodendauer auf
T1' =1.25 T1 vergrössert wird
Man spricht hier von einem verschmierten Spektrum, da aus einer
Spektrallinie mehrere werden. Man kann nur noch aus der Grösse und
der Frequenz der stärksten Linien sagen, wo etwa eine einzelne
Spektrallinie liegt. Zusätzlich entstehen viele Nebenlinien, man
spricht vom Lecken. Beide Effekte sind unerwünscht und sollen
reduziert werden.
Die DFT wird also in den meisten Fällen nur eine Approximation
des realen Spektrums liefern, das wir berechnen könnten, wenn die
Funktion analytisch vorliegen würde. Dem Grund dafür wollen wir im
nächsten Abschnitt nachgehen.
4.3 Auswirkungen einer Fensterfunktion
Wir kommen den Fehlern des mit der DFT berechneten Spektrums auf
die Spur, wenn wir uns überlegen, welches digitale Signal x'[n] als
Rücktransformation des Spektrums von Fig. 15d) entsteht. Dieses ist
in Fig. 16b) der ursprünglichen Folge x[n] gegenüber gestellt.
Die DFT mit ihrem periodischen Linienspektrum ist immer die
Transformierte eines periodi-schen Signals. Das im Zeitfenster T1'
abgetastete Signal bildet die Grundperiode für die peri-odische
Fortsetzung von Fig. 15d). Damit erhält das so analysierte Signal
einen Sprung, der zu zusätzlichen Harmonischen führen muss. Diese
Unstetigkeit tritt nicht auf, wenn wir das Zeitfenster exakt als
Vielfaches der effektiv vorhandenen Periodendauer wählen. Wie wir
schon gesehen haben, ist dies in der Praxis oft nicht möglich. Wir
müssen versuchen die Un-stetigkeit ohne Kenntnis der Periodendauer
zu beseitigen. Dies ist realisierbar mit sog. Fensterfunktionen,
mit denen das Signal zu den Fenstergrenzen hin auf null
abgeschwächt
-
Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 23
wird. Eine einfache Fensterfunktion ist eine sin2 -Funktion,
auch Hanning-Fenster genannt
(Fig. 16c)
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Fig. 16 a) Ursprüngliches digitales Signal b) vom FFT-Analysator
mit dem Zeitfenster T1' ausgewertetes Signal, c) Fensterfunktion
und d) gefenstertes Signal
w(t) = 2 sin2(t
T1
) = 1 cos(2 t
T1
) (21)
oder als Zahlenfolge für N Abtastwerte:
-
Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 24
w n = 2 sin2(n
N) = 1 cos(
2 n
N) (22)
Mit dieser Fensterfunktion gewichten wir die Abtastwerte x'[n]
von Fig. 16b) und erhalten so eine an den Fenstergrenzen stetige
Folge xdp'[n] (Fig. 16d)
Das zugehörige Spektrum (Fig. 17) zeigt eine gewisse
Verbesserung, indem die Harmoni-schen ab k = 4 jetzt praktisch
verschwunden sind. Trotzdem ist das Bild noch nicht befriedi-gend,
da die im Spektrum vorhandenen Frequenzen auch jetzt nicht mit der
im Signal vor-kommenden übereinstimmen. Diese Ungenauigkeit lässt
sich nur reduzieren, indem wir die Frequenzauflösung verbessern,
d.h. die Fensterlänge vergrössern.
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Fig. 17 Spektrum der gewichteten Abtastwerte von Fig. 16d)
4.4 Parameterwahl zur Spektrumsberechnung einer periodischen
Zeitfunktion
Aus den vorstehenden Erkenntnissen können wir einige Kriterien
für die Wahl der Abtastfre-quenz und die Anzahl Messpunkte
festgelegen:
- Abtastfrequenz: Um eine Frequenzgang-Unterabtastung zu
vermeiden, muss fs so
gross gewählt werden, dass bei fs/2 die zu erwartende
Frequenz-
komponente vernachlässigbar klein ist (z.B. < 1% der
Grundharmo-nischen). Bei Bedarf ist das Eingangssignal mit einem
Vorfilter (Antialiasfilter) in der Bandbreite auf fs/2 zu
begrenzen.
- Fensterlänge: Die Grundfrequenz der DFT f1 = 1 (N T ) = f
s/N , also der Kehr-
wert der Fensterlänge ergibt die Frequenzauflösung im Spektrum.
Wenn
f1 ca. 5...7 Mal kleiner als die geschätzte Signalgrundfre-
quenz gewählt wird, so haben die Spektrallinien einerseits einen
er-kennbaren Abstand. Andererseits ist die Frequenzauflösung genau
genug, sodass eine starke diskrete Spektrallinie im Spektrum durch
nahe genug liegende Linien erkennbar wird.
Die Fensterlänge soll möglichst genau als Vielfaches der
Signalperi-ode gewählt werden. So bildet ein Aneinanderreihen der
Fensteraus-schnitte am besten die ursprüngliche periodische
Signalfolge nach.
-
Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 25
- Anzahl Messpunkte: Nachdem die Abtastfrequenz und die
Fensterlänge gewählt sind, ist N gegeben. Bei der FFT wird
vorteilhaft auf die nächste Zweierpo-tenz gerundet. In manchen
praktischen Fällen ist dies nicht genau er-reichbar, da die Anzahl
der Messpunkte für N = 2k (mit k = 1, 2, 3 ...) nur grob anpassbar
ist. Dies gilt meistens auch für die Wahl der Abtastfrequenz. In
diesen Fällen wird die gemessene Zeitfunktion mit einer
Fensterfunktion wie gezeigt gewichtet. So werden Signal-sprünge
zwischen den sich periodisch wiederholenden Fensteraus-schnitten
vermieden.
4.5 Ein zweiter Blick auf das Zeitfenster
Nach dieser pragmatischen Einführung in die Auswirkungen des
Zeitfensters auf das mit der DFT berechnete Spektrum, wollen wir
einen genaueren, theoretisch fundierten Blick darauf werfen. Wir
machen dies anhand unseres Sinussignals von Fig. 15. Die Auswahl
der Abtast-werte für die DFT können wir im Zeitbereich als
Multiplikation der periodischen Folge mit einer Fensterfunktion
beschreiben. Diese Multiplikation im Zeitbereich entspricht, wie
bereits gezeigt, einer Faltung im Frequenzbereich. In Fig. 18
verfolgen wir die einzelnen Schritte vom analogen, abgetasteten
Signal xs(t) bis zum Signal xdp(t), welches die DFT analysiert.
Neben den Schritten im Zeitbereich wie in Fig. 16, verfolgen wir
diese hier parallel dazu auch im Frequenzbereich. Bei allen
Darstellungen in Fig. 18 handelt es sich um kontinuierliche
Zeitfunktionen und Dichtespektren. Wir müssen daher die Abtastwerte
im Zeitbereich mit Diracstössen schreiben. Ebenso müssen wir
diskrete Spektrallinien mit Diracstössen darstel-len. Dafür können
wir Zeitfunktionen multiplizieren, was nach Gl. (3) oder (4) einer
Faltung der zugehörigen Spektren entspricht.
Die Auswahl der N Abtastwerte aus dem Zeitfenster der Dauer T1
können wir als Multiplika-tion des abgetasteten Signals xs mit
einer Rechteckfunktion w(t) beschreiben (Fig. 18b). Das Spektrum
der gefensterten Abtastwerte erhalten wir als Faltung der
Einzelspektren (Fig. 18c):
X da (f ) = X s(f ) W (f ) (23)
Das Spektrum des Rechteckfensters hat, abgesehen von einer
zusätzlichen Phasenverschie-bung, den bekannten
sin(x)/x-Verlauf.
Bei Xda(f) handelt es sich um ein periodisches Dichtespektrum.
Wie schon bei den kontinu-ierlichen Funktionen sind auch bei
abgetasteten Signalen die Spektren einmaliger, aperiodi-scher
Vorgänge kontinuierlich, also Dichtespektren. Neu ist nun, dass
durch die Abtastung diese periodisch werden. Man spricht hier von
der Fouriertransformation eines diskreten Signals (FTD) oder
englisch Discrete Time Fouriertransform (DTFT). Wir werden diese im
letzten Teil dieses Kapitels noch genauer ansehen, wenn wir uns mit
der Frequenzanalyse abgetasteter, aperiodischer Signale
befassen.
Der Übergang von diesem Zwischenprodukt zur DFT unseres
abgetasteten Signals beschrei-ben wir als periodische Wiederholung
des ausgeschnittenen Zeitfensters. Im Zeitbereich lässt sich dies
als Faltung von xda(t) mit einer periodischen Folge von
Diracstössen im Abstand von T1 beschreiben (Fig. 18d). Im
Frequenzbereich entspricht dies der Multiplikation der Spektren,
also
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Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 26
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Fig. 18 Zur Entstehung des Spektrums einer DFT: a) Spektrum des
abgetasteten Sig-
nals, b) Reckteckfenster mit seinem Spektrum, c) gefensterte
abgetastete Funk-
tion, d) periodische Diracstösse mit ihrem Spektrum und e)
gefensterte und pe-
riodisch wiederholtes Fenster mit ihrem Spektrum
x
dp(t) = x
da(t) s(t)
X dp (f ) = X da (f ) S(f ) (24)
Wir können diesen Vorgang auch als Abtastung des
kontinuierlichen Spektrums Xda(f) mit der Funktion S(f)
beschreiben.
-
Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 27
Über diesen scheinbaren Umweg erhalten wir das periodische
Spektrum, welches wir mit der DFT berechnen. Wir erkennen nun,
warum das Spektrum bei T1 T0 mehr als die eine ge-wünschte Linie
ergibt. Durch die Fensterung werden die Spektrallinien in Fig. 18a)
mit dem Spektrum des Fensters von Fig. 18b) verbreitert, Fig. 18c).
Im allgemeinen Fall tasten wir mit der DFT dieses Dichtespektrum an
beliebigen Stellen ab. Nur im Falle T1 = m·T0 mit m = ganze Zahl
fallen alle spektralen Abtastfrequenzen von S(f) mit Ausnahme der
in Fig. 18a) gezeigten auf Nullstellen von Xda(f).
Dank dieser Analyse erkennen wir geeignete Massnahmen zur
Reduktion der unerwünschten Spektrallinien in der DFT:
• Eine grosse Fensterlänge verschmälert das sin(x)/x-Spektrum
des Zeitfensters.
• Fensterfunktionen mit einem rasch abklingenden Spektrum
(kleinere Nebenlappen) reduzieren die Nebenlinien in der DFT
weiter.
Unser bereits bekanntes Hanningfenster hat genau diese
Eigenschaft.
4.6 Vergleich zweier gebräuchlicher Fensterfunktionen
Neben dem Reckteckfenster werden zahlreiche andere
Fensterfunktionen verwendet. Wir be-schränken uns hier auf zwei
davon: das Hanning-Fenster und das Kaiser-Bessel-Fenster. Ihre
Graphen sind in Fig. 19 und ihre Funktionen in Tabelle 1
zusammengestellt.
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Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 28
Wie der Name besagt, beruht das Kaiser-Bessel-Fenster auf einer
Approximation von Bes-selfunktionen, womit die Berechnungen
beschleunigt werden. Trotzdem ist der Rechenauf-wand für das
Kaiser-Bessel-Fenster grösser als für das Hanning-Fenster.
Die Spektren der zwei Fenster inkl. des Rechteckfensters sind in
den Figuren Fig. 20a) bis c) wiedergegeben. Dabei sieht man
deutlich die kleinen Seitenlappen insbesondere des
Kaiser-Bessel-Fensters gegenüber dem Rechteckfenster, welche das
Lecken dieser beiden Fenster stark reduzieren. Das Hanning-Fenster
bietet einen guten Kompromiss zwischen Frequenzse-lektion und
Leckrate. Das Kaiser-Bessel-Fenster mit seinen sehr kleinen
Seitenlappen ist gut geeignet, um Frequenzkomponenten mit grossen
Amplitudenunterschieden zu trennen auf Kosten einer etwas
schlechteren Frequenzselektivität (der Hauptlappen ist breiter als
beim Hanningfenster).
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Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 29
der korrekt wiedergegeben wird. Da Abtastwerte am Rande des
Fensters abgeschwächt wer-den, müssen Spektralanteile in der Mitte
des Fensters angehoben werden. So ergeben sich die Maximalwerte von
2.0 und 2.48 der Hanning- bzw. Kaiser-Bessel-Fensterfunktion.
Beispiel 6 Einfluss der Fenster auf die Analyse von
Sinussignalen
In diesem Beispiel zeigen wir den Einfluss der drei
Fensterfunktionen auf die Analyse eines Co-sinussignals von 8 bzw.
8.5 Perioden innerhalb der Fensterlänge von 1 s, also Frequenzen
von 8 Hz bzw. 8.5 Hz. Die Abtastfrequenz beträgt fs = 128 Hz. Im
Falle des linken Signals mit
fe = 8 Hz entspricht die Abtastperiode exakt einem Vielfachen
der Periodendauer. Dann ergibt
das Rechteckfenster die korrekte Spektrallinie (Fig. 21).
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Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 30
Mit den beiden andern Fenstern findet selbst in diesem Fall eine
Verschmierung statt, wie die Bilder c) und d) zeigen. Dies ist der
Preis, den man dafür bezahlt, dass die Spektren für fe = 8.5 Hz mit
dem Hanning- und Kaiser-Bessel-Fenster wesentlich besser die
korrekte Spekt-
rallinie bei 8.5 Hz anzeigen.
Die Amplituden der benachbarten Spektrallinien bei 8 und 9 Hz
sind in allen drei Fällen etwas reduziert. Die richtige Amplitude
des Signals kann man nur abschätzen, indem man die Umhüllende der
vorhandenen Linien einzeichnet.
Neben den beiden gezeigten Fenstern gibt es eine ganze Reihe
anderer Fensterfunktionen mit anderen Vor- und Nachteilen.
Beispiel 7 Einfluss auf die Analyse eines Zweiton-Signals
Durch das Verschmieren der Spektrallinien wird es schwierig,
Sinussignale mit nahe beieinander liegenden Frequenzen und einem
grossen Amplitudenunterschied auseinander zu halten. Wir zei-gen
den Einfluss der drei Fenster auf folgendes Signal:
x(t) = 1 cos(2 f
e1t) + 0.01 cos(2 f
e2t) mit f
e1 = 8.5 Hz und f
e2 = 13.5 Hz
Dieses Signal tasten wir mit fs = 128 Hz ab. Im Spektrum mit dem
Rechteckfenster (Fig. 22a)
verschwindet die schwache Spektrallinie von fe2 völlig in den
verschmierten Linien des starken
Signals bei fe1. Bei den beiden andern Fenstern (Fig. 22b) und
c) wird die schwache Spektralli-
nie sichtbar, besonders beim Kaiser-Bessel-Fenster.
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Fig. 22 Spektren der Überlagerung von zwei nahe beieinander
liegenden Sinusschwingungen
mit 40 dB Amplitudendifferenz (Beträge relativ zur Amplitude des
Signals in dB)
Ein Blick auf das Spektrum des Kaiser-Bessel-Fensters (Fig. 20)
zeigt, dass zwei nahe beieinan-der liegende Spektrallinien im
Abstand f getrennt werden können, falls mindestens 4 oder 5
Spektrallinien der DFT dazwischen liegen. Deren Abstand beträgt
bekanntlich 1/T1. Die Fens-
terdauer T1 muss also folgende Bedingung erfüllen:
-
Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 31
T1 >
1
6 f (25)
4.7 Praktische Hinweise zur Spektrumsberechnung
Bei allen Berechnungen eines Spektrums mit der DFT (bzw. FFT)
ist es sinnvoll, eine Re-chenerwartung (oder Messerwartung, wenn es
sich um ein Messgerät mit FFT handelt) zu erstellen. Mit etwas
Systematik kann dies ohne grossen Aufwand erfolgen.
Weiss man ungefähr, bei welcher Frequenz oder welchen Frequenzen
sich Signalanteile be-finden, so empfiehlt sich folgendes
Vorgehen:
1. Abtastfrequenz fs wählen, so dass das Abtasttheorem erfüllt
ist
2. Anzahl Zeitwerte für die Analyse wählen, für eine effiziente
Berechnung ist eine Zweierpotenz optimal
3. Fensterfunktion wählen auf Grund des ev. bekannten minimalen
Abstandes der Signal-frequenzen, Gl. (25)
4. Skizze des Spektrums vorbereiten, beginnend mit der
Frequenzachse von 0 bis fs/2 und Marken im f1-Raster.
5. Spektrum der Fensterfunktion einzeichnen mit Zentrum bei der
Signalfrequenz oder den Signalfrequenzen.
6. Sichtbare Spektrallinien von 0 bis fs/2 eintragen.
Beispiel 8 Abschätzung und Berechnung eines einfachen
Spektrums
Das soeben skizzierte Vorgehen soll anhand der Berechnung des
Spektrums einer harmonischen Spannung mit fe = 25 Hz und Amplitude
1 V demonstriert werden.
1. fs = 160 Hz oder T
s= 1/160 s
2. N = 16 und damit
T
1= N T
s = 16/160 = 0.1 Hz
Linienabstand im Spektrum
f = f1 = 1/T
1 = 10 Hz
3. Fensterfunktion = Rechteckfenster (keine)
4. Die Skizze für das Spektrum mit der Frequenzachse von 0 bis
80 Hz wird vorbereitet (Fig. 23)
5. In dieses Koordinatensystem wird die Fensterfunktion
eingezeichnet
6. Schliesslich folgt das berechnete Spektrum. Man beachte, dass
das Maximum der Haupt-keule der Fensterfunktion dem halben
Spitzenwert der Amplituden der Spannung ent-spricht, da wir jeweils
nur eine Hälfte des zweiseitigen Spektrums zeichnen.
-
Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 32
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Fig. 23 Spektrum zum Beispiel 8
Bei unbekannten Signalen wird es schwieriger, das zu erwartende
Spektrum zu skizzieren. Dann wird es notwendig, mit den Parametern
Abtastfrequenz, Fensterlänge und Fensterfunk-tion zu
experimentieren. Wählt man allerdings kein Rechteckfenster und eine
genügend grosse Fensterlänge, so erhält man meist auch ohne
Abschätzung des Spektrums interpretier-bare Resultate, wie das
nächste Beispiel zeigt.
Beispiel 9 Signal mit zwei Frequenzen und grosser
Fensterlänge
Das Spektrum von zwei gleich grossen Signalen mit den
Spitzenwerten 1 und den Frequenzen fe1 = 8.5 Hz und fe2 = 13.5. Hz
werde mit einer FFT mit den Parametern fs = 32 Hz, N = 256
und einem Hanning-Fenster analysiert. Das Resultat kann auch
ohne Rechenerwartung
interpretiert werden (
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Fig. 24 Spektrum zum Beispiel 9
-
Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 33
Eine Vergrösserung der Fensterlänge macht allerdings nur dann
einen Sinn, wenn das Signal unverändert bleibt. Dies ist z.B. bei
einem Audiosignal, das von gesprochener Sprache oder einem
Musikinstrument kommt, nicht der Fall. Fig. 25 zeigt ein Beispiel
eines Klarinetten-spiels mit zwei Fensterlängen von 16 ms und 128
ms und einer Abtastfrequenz von 8 kHz.
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Fig. 25 Spektrum eines Klarinettenklangs mit zwei
unterschiedlichen Fensterlängen
In solchen Fällen ist die Frequenzbeschreibung nur sinnvoll,
wenn sie wiederholend über kurze Zeitausschnitte durchgeführt wird.
Man trägt dann das Ergebnis sowohl als Funktion der Frequenz wie
auch der Zeit auf und nennt die Darstellung Kurzzeitspektrum. Bei
Audio-signalen wird üblicherweise mit Zeitfenstern von ca. 10 ms
gearbeitet.
5. Frequenzanalyse abgetasteter aperiodischer Signale
5.1 Problemstellung
In den beiden Kapiteln Stossantwort und Faltung sowie
Stationäres Verhalten haben wir gelernt, lineare Systeme mit der
Stossantwort oder der Frequenzgangfunktion zu cha-rakterisieren.
Die Frequenzgangfunktion misst man mit einer harmonischen Anregung
bei allen interessierenden Frequenzen. Die Stossantwort erhält man
mit einem genügend schma-len Impuls (eigentlich einem Diracstoss)
als Anregung.
Die beiden Systemantworten Frequenzgangfunktion und Stossantwort
sind über die Fourier-transformation miteinander verknüpft (Fig.
26). Die Stossantwort hat den Vorteil, dass sie mit einer Messung
gewonnen werden kann. Die Frequenzgangfunktion kann dafür einfacher
be-urteilt werden. Es sollte nun möglich sein, die gemessene
diskrete Stossantwort auf einfache Weise numerisch zu
transformieren. Dabei stellen sich insbesondere die Fragen:
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Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 34
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Fig. 26 Verknüpfung von Stossantwort und
Frequenzgangfunktion,
min = kleinste Zeitkonstante im System
• Können wir die benötigte Fouriertransformation mit dem
DFT-Algorithmus durchfüh-ren, obwohl die Stossantwort ein
einmaliger Vorgang ist, also eine aperiodische Funk-tion?
• Wenn ja: wie wählen wir die Parameter für die DFT-Berechnung,
d.h. Abtastfrequenz, Fensterfunktion und Fensterlänge?
Um Antworten auf diese Fragen zu finden, wollen wir die
DFT-Eigenschaften mit denjenigen der benötigten
Fouriertransformation eines aperiodischen Vorgangs vergleichen.
5.2 Die Fouriertransformation aperiodischer Zahlenfolgen
Bereits in Abschnitt 4.5, insbesondere in Fig. 18 haben wir
gesehen, dass die Fouriertransfor-mierte einer aperiodischen
Zahlenfolge ein kontinuierliches, aber periodisches Dichtespekt-rum
ergibt. Zuerst soll diese Transformation für eine beliebige
Zahlenfolge x[n] formuliert werden.
In die Definitionsgleichung für die Fouriertransformation dürfen
nur kontinuierliche Signale eingetragen werden. Wir greifen daher
für die Abtastfolge auf die Schreibweise von Gl. (9) zurück. Wenn
xs(t) die zu x[n] gehörende kontinuierliche Abtastfolge bezeichnet,
dann gilt:
X (f ) = xs(t) e j2 f tdt
+
= T x(nT ) (t nT )
n=
+
e j2 f tdt
+
= T
n=
+
x(nT ) (t nT ) e j2 f tdt
+
= T x nT
n=
+
e j2 f nT
In dieser Gleichung haben wir wieder die Summenbildung und das
Integral vertauscht, sowie die Ausblendeigenschaften der
Diracfunktion benützt. Aus mehreren Gründen lässt man den Faktor T
weg und erhält so die Fouriertransformierte des diskreten Signals
(FTD)4
4 Man beachte, dass nur mit dem Faktor T die Einheit des
Spektrums korrekt ist. Es ist nun diese Form der Diskreten
Fouriertransformation, welche z.B. Matlab direkt berechnet,
natürlich beschränkt auf eine endliche Zahlenfolge.
-
Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 35
X (f ) = x n
n=
+
e j2 f nT (26)
Diese Funktion ist periodisch mit fs = 1/T, wie wir schon in
Fig. 18 festgestellt haben. Werten wir nun diese Funktion mit Blick
auf Fig. 18e) bei den Frequenzen
kf
1 = k
fs
N, k = 0, 1, 2, ..... ,N 1 (27)
aus, so erhalten wir
X (kfs
N) = x nT
n=0
N 1
ej2 k
fs
NnT
= x nT
n=0
N 1
ej2 k
fs
NnT
oder wenn wir den Ausdruck vereinfacht nur noch mit den
Laufparametern k und n schreiben:
X k = x n
n=0
N 1
e j2 knT /N , k = 0, 1, 2, ..... ,N 1 (28)
Dieser Ausdruck ist, bis auf den fehlenden Faktor 1/N, identisch
mit der DFT von Gl. (12). Wir erhalten so das wichtige Ergebnis
Die DFT liefert, abgesehen von einem Faktor 1/N, Abtastwerte der
Fouriertrans-formierten eines diskreten Signals (FTD) bei den
Frequenzen kfs/N.
Wir können also die DFT gebrauchen, um numerisch die
Fouriertransformierte eines aperiodi-schen Signals, insbesondere
auch einer Impulsantwort zu berechnen. Dabei müssen wir aller-dings
die Parameter so wählen, dass die Periodizität der FTD keinen
grossen Einfluss hat. Bevor wir diese Aufgabe anpacken, sei noch
die inverse FTD angegeben.
Die Umkehrung von Gl. (26) lautet:
x n = T X (f ) e j2 fnT
fs
/ 2
+ fs
/ 2
df (29)
Den Beweis führt man in gleicher Weise wie jenen für die inverse
DFT, Gl. (19) und (20).
-
Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 36
5.3 Ein Vergleich der vier Fouriertransformationen
Es lohnt sich an dieser Stelle, die verschiedenen
Fouriertransformationen bzw. –reihen, es sind im Ganzen vier,
miteinander zu vergleichen. Wir kennen nun Spektren periodischer
und aperiodischer Signale, sowohl in kontinuierlicher und diskreter
Form.
Zur Illustration der folgenden Darstellung verwenden wir ein
bezüglich t = 0 symmetrisches Signal mit 5 Abtastwerten, wobei
diejenigen auf den Grenzen nur den halben Wert des Recht-ecksignals
aufweisen. Die vier Signale und ihre zugehörigen Spektren sind in
Fig. 27a) bis d) dargestellt. Zur besseren Unterscheidung führen
wir folgende, teils schon früher benützte Be-zeichnungen ein:
1. Zeitkontinuierliches und periodisches Signal mit seinen
Fourierkoeffizienten (FR)
xp (t ) X p k[ ] = ck( )
2. Zeitkontinuierliches und aperiodisches Signal mit seiner
Fouriertransformierten (FT)
xa (t ) Xa( f )
3. Zeitdiskretes und periodisches Signal und seine
Fouriertransformierte (DFT)
xdp n[ ] Xdp k[ ]
4. Zeitdiskretes und aperiodisches Signal und seine
Fouriertransformierte (FDT)
xda n[ ] Xda ( f )
Zusätzlich seien einige Bezeichnungen nochmals aufgeführt:
fs = Abtastfrequenz
T = 1/fs = Abtastintervall
T1 = Periodendauer bei periodischen Signalen
f1 = 1/T1 = Grundfrequenz bzw. Linienabstand der Fourierreihe
und der DFT bei periodischen Signalen
N = Anzahl Abtastpunkte bzw. Spektrallinien pro Periode
-
Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 37
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Fig. 27 Vergleich der Transformationen von kontinuierlichen und
abgetasteten periodi-
schen und aperiodischen Signalen
Die Teilfiguren a) und b) zeigen die bekannte Fourierreihe des
periodischen Rechtecksignals und die Fouriertransformation des
einmaligen Rechteckimpulses. Die Umhüllende der
Fou-rierkoeffizienten des periodischen Signals ist die
Fouriertransformierte des aperiodischen. In unserm Beispiel des
einmaligen Rechteckimpulses xa(t) der Breite T0 ist dies die
bekannte Funktion
Xa ( f ) = X0T0sin( f T0 )
fT0 (30)
Daraus erhalten wir die einzelnen Spektrallinien des
periodischen Signals als
-
Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 38
X p k = 1
T1
X a (k f1) = 1
T1
X a (k
T1
) (31)
Die Figuren c) und d) zeigen nun diesen Zusammenhang nochmals
für diskrete Signale. Beide Spektren sind periodisch mit fs. Zudem
entspricht die Umhüllende des Spektrums des periodi-schen Signals
dem Spektrum des aperiodischen, wie wir in Gl.(28) festgestellt
haben (abgese-hen vom Faktor 1/N). Es gilt also:
U dp k =
1
NU da (k
fs
N) =
1
NU da (
k
NT) (32)
Besonders wichtig ist noch die Ähnlichkeit der periodischen und
aperiodischen Spektren mindestens für Frequenzen f < fs/2. Diese
Ähnlichkeit ist umso ausgeprägter, je grösser die Periodendauer T1
im Vergleich zur Dauer des aperiodischen Signals ist. Wir nützen
diese Eigenschaft aus, um mit Hilfe der DFT die
Fouriertransformierte aperiodischer Signale zu approximieren.
Interessant ist weiter die folgende Dualität, die wir in der
Matrix von Tabelle 2 zusammenfas-sen, aber natürlich auch aus Fig.
27 erkennen.
Signal periodisch aperiodisch
kontinuierlich FR FT aperiodisch
diskret DFT FTD periodisch
diskret kontinuierlich Spektrum
Tabelle 2 Dualität der vier Fouriertransformationen
(-reihen)
Diese Tabelle liest man wie folgt: Die Fourierreihe und ihre
Umkehrung verbindet ein konti-nuierliches und periodisches Signal
mit einem diskreten und aperiodischen Spektrum. Dual dazu verknüpft
die FTD ein kontinuierliches und periodisches Spektrum mit einem
diskreten und aperiodischen Signal.
5.4 Anwendung der DFT als Approximation der FTD
Die Fouriertransformierte eines aperiodischen Signals kann, wie
erwähnt, mit der DFT aus Abtastwerten näherungsweise berechnet
werden. Voraussetzung dafür ist, dass die Fenster-länge TN grösser
als die Signaldauer ist. Der FFT-Analysator interpretiert dabei das
ge-messene, nichtperiodische Signal als Grundperiode einer
periodischen Funktion. Es gilt nä-herungsweise
X a (k
fs
N) TN X dp k , k = 0,1,2,3 ...... N /2 1 (33)
-
Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 39
Den Skalierungsfaktor TN liest man aus Fig. 27 aus den
Spitzenwerten der Spektren ab. Je kleiner T ist bzw. je grösser fs
ist, umso geringer ist die Gefahr von unerwünschten
Alias-signalen.
Der Einsatz der verschiedenen Fensterfunktionen ist in diesem
Falle höchstens schädlich, man setzt also keine Fensterfunktion
(d.h. ein Recheckfenster) ein.
Damit sind wir in der Lage, die in Abschnitt 5.1 aufgeworfene
Aufgabe der numerischen Be-rechnung der Frequenzgangfunktion aus
der Stossantwort mit Hilfe der DFT zu lösen.
Beispiel 10 Berechnung der Frequenzgangfunktion aus der
abgetasteten Stossantwort
Gegeben sei die diskret gemessene Stossantwort eines Systems,
die mit einer Taktfrequenz von fs = 1 kHz abgetastet wurde. Das
System überträgt Spannungen und wurde mit einem Impuls mit
der Höhe 1V und der Dauer
T =T =1
fs
angeregt. Dieser Impuls hat das Gewicht = 1V ·1ms
= 10-3 mVs und ist damit um den Faktor 1000 kleiner als das
Gewicht des Diracstosses, welches für die Stossantwort
definitionsgemäss verwendet werden muss. Das Resultat ist später um
den Faktor 1/ zu korrigieren.
Fig. 28 zeigt die ersten 101 von gesamthaft N = 1024 gemessenen
Abtastwerten der Stossant-wort. Dank der langen Messdauer besteht
keine Gefahr von Aliassignalen und Abweichungen der DFT von der FT
sind vernachlässigbar. Nun führen wir mit allen Messpunkten eine
DFT durch, welche noch mit dem Faktor NT/ skaliert werden muss.
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Fig. 28 Stossantwort eines Systems, gemessen mit einer
Abtastfrequenz fs = 1 kHz
Ein geeignetes Matlabfile, falls die Messdaten in der Datei
'stossbeispiel.dat' gespeichert sind, lautet:
%Frequenzgang
g=dlmread('stossbeispiel.dat','\t');
n1=length(g)
t=0:n1-1;
t1=0:100;
figure(1)
-
Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 40
stem(t1,g(1:101),'ro-') %Darstellung der 101 ersten
Abtastwerte
gf=fft(g); %Berechnung der FFT
figure(2)
stem(t1,abs(gf(1:101)),'bo-') %101 erste Werte des
Amplitudengangs
grid
figure(3)
stem(t1,angle(gf(1:101))*180/pi,'bo-') %101 erste Werte des
Phasengangs
Man beachte, dass in dieser Datei der Faktor N bei der
Berechnung der DFT fehlt. In Matlab fehlt der Faktor 1/N bei der
FFT in Gl. (12). Daher ist das Resultat der FFT-Routine von Matlab,
mit Ausnahme des Faktors T/ , der hier exakt 1 wird, gerade korrekt
(Fig. 29).
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Fig. 29 Via DFT berechnete Frequenzgangfunktion der
Systemantwort, N = 1024, Fenster-
breite T1 = N ·Ts = 1.024 s, Linienabstand
f = f1 = 1/T = 0.977 Hz
Der berechnete Frequenzgang verläuft bis ca. 10·f1 horizontal
und sinkt dann kontinuierlich auf
null ab. Offenbar handelt es sich bei diesem System um einen
Tiefpass mit einer Grenzfrequenz von ca. 20 Hz. Auf Grund des
Phasenganges mit einer totalen Phasendrehung von -360º kann man
noch eine Aussage über die Ordnung des Systems machen: Die Ordnung
des Nennerpoly-noms von G(j ) ist um 4 höher als die des
Zählerpolynoms.
-
Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 41
6. Zusammenfassung
Abtasttheorem
Abtastfrequenz fs und maximale Frequenz des Eingangssignals
fe,max
fs > 2 f
e,max
Diskrete Fouriertransformation (DFT)
X k =1
Nx n e
j2 kn
N
n=0
N 1
Inverse Diskrete Fouriertransformation (IDFT)
x n = X k ej2 kn
N
k=0
N 1
Fouriertransformation eines diskreten, aperiodischen Signals
(FTD)
X (f ) = x n
n=
+
e j2 f nT
Inverse Fouriertransformation eines diskreten, aperiodischen
Signals (IFTD)
x n = T X (f ) e j2 fnT
fs
/ 2
+ fs
/ 2
df
-
Signale + Systeme Abgetastete Signale
Version 2.4 42
Fensterfunktionen
Fensterfunktion w(t) für 0 t T
1 = N T bzw.
w(n) für 0 n N 1
Hanning
2 sin2(t
T1
) = 1 cos(2 t
T1
)
2 sin2(n
N) = 1 cos(
2 n
N)
Kaiser-Bessel
1 1.24cos2 t
T1
+ 0.244cos4 t
T1
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