KOORDİNAT HESAPLARI

KOORDİNAT HESAPLARI

Küçük Nokta Hesabı Yan Nokta Hesabı Dik Koordinatlardan Dik Ayağı ve Dik Boyu Hesabı (Ters Koordinat Hesabı) İki Doğrunun Kesim Noktasının Koordinatlarının Hesabı Kutupsal Alım Ölçülerinden Dik Koordinatların Hesabı Kutupsal Aplikasyon Elemanlarının Hesabı

KÜÇÜK NOKTA HESABIİki poligon noktasını birleştiren doğru üzerindeki noktalara küçük nokta denir. Poligon kenarı üzerinde bulunan küçük noktalar, genellikle ölçü doğrusu oluşturmak amacıyla tesis edilirler. Küçük noktaların koordinatlarının hesabı için, yalnızca bu noktalar arasındaki uzunlukların ölçülmesi yeterlidir.

Bilinenler: Ölçülenler: İstenenler:

A(Y,X) s1 1(Y,X)=?

B(Y,X) s2 2(Y,X)=?

.

.

sb

KÜÇÜK NOKTA HESABI22 )()( ABAB XXYYABS

111

1

111

1

sABXX

XABXX

sX

sABYY

YABYY

sY

ABAB

ABAB

bABXXa

ABYY ABAB

Y1 = a s1 X1 = b s1

Y2 = a s2 X2 = b s2

YB = a sb XB = b sb

Y1 = YA + Y1 = YA + a s1 X1 = XA + X1 = XA + b s1 Y2 = Y1+ Y2 = Y1 + a s2 X2 = X1 + X2 = X1 + b s2

YB = Y2 + YB = Y2 + a sb XB = X2 + XB = X2 + b sb

KÜÇÜK NOKTA HESABI

d = S - [s] Fd = 0.006 [s] + 0.02

ölçülen s1, s2, sB kenarları; S / [s] oranı ile çarpılarak düzeltilmiş kenarlar bulunur ve küçük nokta hesabı, düzeltilen bu kenarlarla yapılır.Kontrol:YB - YA = [a s]XB - XA = [b s]

22 )()( ABAB XXYYABS

s1 + s2 + sB = [s]

KÜÇÜK NOKTA HESABINokta Y X A 1151.46 m 928.29 m B 1107.03 1008.42

İstenenler: 1, 2 ve 3 noktalarının koordinatları.

ÖRNEK :

87456.0623.9113.80

48492.0623.91

43.44 623.9113.8043.44 2222

SXXb

SYYa

mXXYYS

AB

AB

ABAB

d = S - [s] = 91.623 - 91.64 = - 0.017 m = -1.7 cm

Fd = 0.006 [s] + 0.02 = 0.006 91.64 + 0.02 = 0.057 + 0.02 = 0.077 m = 7.7 cm

d < Fd ( 1.7 cm < 7.7 cm ) olduğu için kenarlara düzeltme getirilir.

99981.064.91623.91

sSm

KÜÇÜK NOKTA HESABIa = - 0.48492 b = + 0.87456 m = S / [s] = 0.99981

Nokta

No

Ölçülen Dik

Ayakları

Ölçülen

Kenarlar

s'n

Düzeltilmiş

Kenarlar

sn=m * s'n

Y = a * sn X = b * sn Y X Nokta

No

A 0.00 m 1151.46 928.29 A

13.55 13.55 -6.57 11.85

1 13.55 1144.89 940.14 1

33.23 33.22 -16.11 29.05

2 46.78 1128.78 969.19 2

19.02 19.02 - 9.22 16.64

3 65.80 1119.56 985.83 3

25.84 25.83 -12.53 22.59

B 91.64 [s’]=91.64 [s]=91.62 1107.03 1008.42 B

[∆Y]=-44.43 [∆X]=80.13 -44.43 80.13

YAN NOKTA HESABIİki poligon noktası arasında, fakat bu iki noktayı birleştiren doğru üzerinde bulunmayan noktalara yan nokta denilir. Yan nokta hesabı, özellikle prizmatik olarak ölçülen detay noktalarının koordinatlarının hesaplanmasında kullanılır.

Bilinenler: Ölçülenler: İstenenler:

A(Y,X) Dik ayakları P(Y,X)=? B(Y,X) Dik boyları

YAN NOKTA HESABI

22 )()( ABAB XXYYABS

ADB ve PFC benzer üçgenleri yardımıyla

hABYY

XXABYY

hXX

hABXX

YYABXX

hYY

ABCP

ABCP

ABCP

ABCP

bABXXa

ABYY ABAB

YP -YC = b * hXP -XC = a * h

yazılır. YP = YA + a * s + b * hXP = XA + b * s - a * h

Kontrol:[a * h] = 0 [b * h] = 0[a * sn] = YB –YA [b * sn] = XB -XA

YAN NOKTA HESABIÖRNEK:

Nokta Y X A 500.00 500.00 B 551.62 537.50

803.6350.3762.51 2222 ABAB XXYYS

058775803.6350.37

80905.0803.6362.51

ABXX

b

ABYY

a

AB

AB

d = S - [s] =63.803 - 63.84 = - 0.037 m = - 3.7 cm

Fd = 0.006 S + 0.02 = 0.006 63.84 +0.02 = 0.048 + 0.02 = 0.068 m = 6.8 cm

d < Fd ( 3.7 < 6.8 )

99942.084.63803.63

sSm

YAN NOKTA HESABIa = + 0.80905 b = + 0.58775 m = S / [s] = 0.99942

Nokta

No

Ölçülen UzunluklarKenarlar

s'n

Düzeltilmiş

Kenarlar

sn=m * s'n

h a * sn

b * h

b * sn

-a * h

Y=a *sn+b*h

Y

X=b*sn-a *h

XNokta

NoDik

Ayakları

Dik Boyları

(h)

A 0.00 m 500.00 500.00 A

12.47 12.46 -11.60 10.081 7.323 3.263 16.708

1 12.47 -11.60 m -6.818 9.385 503.26 516.71 1

12.67 12.66 29.18 10.243 7.441 27.394 -16.167

2 25.14 17.58 17.151 -23.608 530.66 500.54 2

7.04 7.04 -3.23 5.696 4.138 3.798 6.751

3 32.18 14.35 -1.898 2.613 534.45 507.29 3

13.58 13.57 -23.92 10.979 7.976 -3.080 27.328

4 45.76 - 9.57 -14.059 19.352 531.37 534.62 4

18.08 18.07 9.57 14.620 10.621 20.245 2.878

B 63.84 [s’]=63.84 [s]=63.80 5.625 -7.743 551.62 537.50 B [a * sn]=51.619 [b * sn]=37.499 YB -YA=51.62 XB –XA=37.50 [b * h]=0.002 [-a * h]= -0.001

Dik Koordinatlardan Dik Ayağı ve Dik Boyu Hesabı (Ters Koordinat Hesabı)

Bilinenler : A, B ve P noktalarının koordinatları.

İstenenler : s dik ayağı =? h dik boyu = ?

Burada amaç, koordinatlarıyla bilinen noktaların, belirli bir doğruya göre dik ayak ve dik boylarının hesaplanmasıdır. Genellikle, koordinatlarıyla bilinen noktaların dik koordinat yöntemine göre aplikasyonunda kullanılır.

αΔXsin DEΔXDEsinα üçgeninde PED

α ΔYcosEFΔYEFcosα üçgeninde AFE

cosα ΔXFCPDΔXPDcosα üçgeninde PED

αsin ΔYAFY

AF sinα üçgeninde AFE

s = AC = AF + FC s = Y sin + X cos h = EF – ED h = Y cos - X sin


ABX-X

α cos b

αsin a

AB

ABYY AB

s = a Y + b Xh = b Y - a X

s = AC = AF + FC s = Y sin + X cos h = EF – ED h = Y cos - X sin


ÖRNEK :

Nokta Y XP1 518.43 m 920.15 mP2 592.34 968.711 547.83 912.562 540.96 957.643 552.35 974.884 587.63 948.10

P1P2 ölçü doğrusuna göre 1,2,3 ve 4 noktalarının dik ayak ve dik boylarını hesaplayınız.

.99396248.5673.91atn

920.15968.71518.43592.34atn

ΔXΔYatn

XXYY

atn)P(P g

P1P2

P1P221

88.43548.5673.91ΔXΔYXXYYPP 22222P1P2

2P1P221

0.54910488.43548.56

PPXX

b

0.83575588.43573.91

PPYY

a

21

P1P2

21

1P2P


a = 0.835755 b = 0.549104

Nokta sn = a Yn+b Xn hn = b Yn-a Xn Nokta

No Y X Yn=Yn-Yn-1 X =Xn-Xn-1 sn = sn-1 + sn hn = hn-1 + hn No

P1 518.43 920.15 0.00 0.00 P1

29.40 -7.59 20.40 22.49

1 547.83 912.56 20.40 22.49 1

-6.87 45.08 19.01 -41.45

2 540.96 957.64 39.41 -18.96 2

11.39 17.24 19.99 -8.15

3 552.35 974.88 58.40 -27.11 3

35.28 -26.78 14.78 41.75

4 587.63 948.10 73.18 14.64 4

4.71 20.61 15.25 -14.64

P2 592.34 968.71 [Y] = 73.91 [X] = 48.56 88.43 0.00 P2

YP2-YP1=73.91 XP2-XP1=48.56


KUTUPSAL ALIM ÖLÇÜLERİNDEN DİK KOORDİNATLARIN HESABI

Bilinenler : A, B, C noktalarının koordinatları.Ölçülenler : AB, AC, s1, s2, s3, ...,sn uzunlukları.

rB, rC, r1, r2, r3, ...., rn doğrultuları.İstenenler : 1, 2, 3, ..., n noktalarının dik koordinatları.


AC

AC

AB

AB

X-XY-Y

atn(AC)

X-XY-Y

atn(AB)

(AC) = (AB) + rC - rB = (AB) -rB + rC

(AB) - rB = 0 (0, aletin sıfır doğrultusunun açıklık açısı olmaktadır.)

(AC) = 0 + rC

(AC) açıklığının koordinatlardan hesaplanan değeri ile karşılaştırılır. Bu iki değer arasındaki fark kabul edilebilir bir değer ise, yani ölçümlerde bir hata olmadığı anlaşıldıktan sonra, A noktasından 1, 2, 3, ..., n noktalarına olan açıklık açıları,


1 = (A1)= (AB)+r1-rB = (AB) - rB + r1 = 0 + r1

2 = (A2)= (AB)+r2-rB = (AB) - rB + r2 = 0 + r2

.

.n =(An) = (AB)+rn-rB = (AB)- rB + rn = 0 + rn

Y1 = YA + s1 * sin1 X1 = XA + s1 * cos1

Y2 = YA + s2 * sin2 X2 = XA + s2 * cos2

. . . .Yn = YA + sn * sinn Xn = XA + sn * cosn

hesaplandıktan sonra, birinci temel ödevden 1, 2, 3, ..., n noktalarının koordinatları,

hesaplanır.


P1 noktasında durularak, P2, P3 poligonlarına ve 1, 2, ...,9 detay noktalarına bakılarak doğrultu açıları ve uzunluklar ölçülmek suretiyle kutupsal alım yapılmıştır. Bakılan 1, 2,..., 9 detay noktalarının koordinatları bulunacaktır.

ÖRNEK:

Nokta Y X P1 1000.00 m 1000.00 m P2 985.64 1063.75 P3 1055.95 1061.55

.544236718.3510385.8952r)P(Pβ

9682.4655.6195.55

100055.1061100095.1055)PP(

8952.38575.6336.14

1000-1063.751000-985.64)P(P

g2P210

31

21

g

g

atnatn

atnatn


Durulan Bakılan Yatay Y. Doğrultu Açıklık Açısı Bakılan

Nokta Nokta Uzunluk rn n = 0 + rn Y X Y X NoktaP1 P2 (985.64 1063.75) P2

65.35 m 18g.3510 385g.8952 -14.96 63.75 985.64 1063.75

P3 ( 46.9627 ) (1055.95 1061.56) P3

83.18 79.4185 46.9682 55.95 61.56 1055.95 1061.55

1 41.16 307.8160 275.3602 -38.12 -15.54 961.88 984.46 1

2 47.39 333.4810 301.0252 -47.38 0.76 952.62 1000.76 2

3 31.13 368.4170 335.9612 -26.29 16.66 973.71 1016.66 3

4 28.64 2.1530 369.6972 -13.12 25.46 986.88 1025.46 4

5 48.73 38.6145 6.1587 4.71 48.50 1004.71 1048.50 5

6 41.20 43.7460 11.2902 7.27 40.55 1007.27 1040.55 6

7 42.75 50.1825 17.7267 11.75 41.10 1011.75 1041.10 7

8 35.63 59.9640 27.5082 14.92 32.36 1014.92 1032.36 8

9 49.81 68.3320 35.8762 26.61 42.11 1026.61 1042.11 9

0 =367g.5442

Not : Parantez içinde italik olarak yazılan değerler, ölçülerden hesaplanmış olup kontrol amacıyla gösterilmiştir. Bilinen koordinatlar ve bilinen koordinatlardan hesaplanmış değerler, kırmızı olarak yazılmıştır.

KUTUPSAL APLİKASYON ELEMANLARININ HESABI

Bilinenler : A, B, C, 1, 2, 3,..., n noktalarının koordinatlarıİstenenler : s1, s2, ..., sn uzunlukları

1, 2, ..., n doğrultuları

KUTUPSAL APLİKASYON ELEMANLARININ HESABI(AB), (AC), 1, 2, ..., n açıklık açıları ile AB, AC, s1, s2, ..., sn uzunlukları hesaplanır.

2An

2Ann

An

Ann

2A2

2A22

A2

A22

2A1

2A11

A1

A11

2AB

2AC

AC

AC

2AB

2AB0

AB

AB

XXY-YAns X-XYYatn(An)α

.

XXY-YA2s X-XYYatn(A2)α

XXY-YA1s X-XYYatn(A1)α

XXY-YAC XXYYatn(AC)

XXY-YAB XXYYatn(AB)

KUTUPSAL APLİKASYON ELEMANLARININ HESABI1 = 1 - (AB) = 1 - 0

2 = 2 - 0

.

.n = n - 0

Alet A noktasına kurularak, B noktasına sıfırla bakılırsa, diğer noktalara i doğrultu açısıyla bakılarak bu doğrultu üzerinde si uzunluğu kadar işaretlenerek istenen noktaların yerleri belirlenmiş olur.

KUTUPSAL APLİKASYON ELEMANLARININ HESABIÖRNEK :

Koordinatlarıyla verilen 1, 2, ..., 9 noktalarının, bölgede bulunan P2, ve P3 poligonları yardımıyla P1 noktasından kutupsal olarak aplikasyonu yapılacaktır. Gerekli olan açıları ve uzunlukları hesaplayınız.Nokta Y X Nokta Y X

P1 1000.00 m 1000.00 m 4 986.88 1025.46

P2 985.64 1063.75 5 1004.71 1048.50

P3 1055.95 1061.55 6 1007.27 1040.55

1 961.88 984.46 7 1011.75 1041.10

2 952.62 1000.76 8 1014.92 1032.36

3 973.71 1016.66 9 1026.61 1042.11

KUTUPSAL APLİKASYON ELEMANLARININ HESABIİkinci temel ödevden üzerine alet kurulacak P1 noktasından diğer noktalara olan, açıklık açıları ve uzunluklar hesaplanır. P1P2 doğrultusu sıfır alınarak P1 noktasından, P3 noktası ile diğer 1, 2, ..., 9 noktalarına olan doğrultu açıları i ler hesaplanır. Hesaplanan açıklık açılarını, i doğrultu açılarını ve uzunlukları ve bir çizelge üzerinde gösterelim.

KUTUPSAL APLİKASYON ELEMANLARININ HESABIDurulan Nokta ( P1 ) Y=1000.00 X=1000.00 0=(P1P2)= 385g.8952

DN BN Bakılan Nokta Koord.

Y XY=Yi-Y1

(m)

X=X i-X1

(m)

Açıklıklar

i = ( P1 i )

Doğrultular

βi =i - 0

Kenar

S

BN

P1 P2 985.64 1063.75 -14.36 63.75 385g.8952 0g.0000 65.35 m P2

P3 1055.95 1061.55 55.95 61.55 46.9682 61.0730 83.18 P3

1 961.88 984.46 -38.12 -15.54 275.3569 289.4617 41.17 1

2 952.62 1000.76 -47.38 0.76 301.0211 315.1259 47.39 23 973.71 1016.66 -26.29 16.66 335.9583 350.0631 31.12 34 986.88 1025.46 -13.12 25.46 369.7079 383.8127 28.64 45 1004.71 1048.50 4.71 48.50 6.1631 20.2679 48.73 56 1007.27 1040.55 7.27 40.55 11.2936 25.3984 41.20 67 1011.75 1041.10 11.75 41.10 17.7273 31.8321 42.75 78 1014.92 1032.36 14.92 32.36 27.5030 41.6078 35.63 89 1026.61 1042.11 26.61 42.11 35.8772 49.9820 49.81 9

KUTUPSAL APLİKASYON ELEMANLARININ HESABI1, 2, ..., 9 noktalarının aplikasyonu için alet, P1 noktasına kurulur ve P2 noktasına yöneltilerek doğrultu açısı sıfıra ayarlanır. Alet döndürülerek P3 açısı kadar döndürülerek, bu doğrultu üzerinde P1P2 uzunluğu kadar işaretlenir. İşaretlenen bu noktanın bilinen P3 noktası ile aynı olması gerekir. Bilinen bu noktanın aplikasyonu işlem kontrolü için yapılmıştır. Eğer, bilinen P3 noktasının üzerine birkaç cm hata ile yaklaşılamıyorsa, işlem hatalıdır. Diğer noktalar işaretlenmeden önce, hatanın bulunması ve düzeltilmesi gerekir. Burada hata, hesaplamada olabileceği gibi, hesaplama doğru fakat alet kurulan nokta ya da başlangıç doğrultusunun sıfırlandığı nokta yerine başka bir nokta kullanılmış olabilir. P3 noktası üzerine birkaç cm ile yaklaşılmışsa, diğer noktaların işaretlenmesine devam edilir. 1, 2, ..., 9 noktalarının arazide işaretlenmesi için alet, hesaplanan i doğrultusuna yöneltilir ve bu doğrultu üzerinde si uzunluğu kadar alınarak noktalar işaretlenir.

KUTUPSAL APLİKASYON ELEMANLARININ HESABIi açıları hesaplanmadan doğrudan i açıklık açılarına göre de aplikasyon yapılabilir. Bunun için alet, P1 noktasına kurulur ve P2 noktasına yöneltilerek doğrultu açısı 0 ra ayarlanır. Diğer noktaların aplikasyonu için alet, hesaplanan i açıklık açısı kadar döndürülür ve bu doğrultu üzerinde si kadar işaretlenerek diğer noktaların aplikasyonu yapılır. Yine burada da P3 noktasına bakılarak kontrol işleminin öncelikle yapılması gerekir.

İki Doğrunun Kesim Noktasının Koordinatlarının Hesabı

Bir doğrunun genel denklemi: Y = m X + nm : doğrunun eğimi,n : doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatıdır.

AB doğrusunun denklemi Y = m1 X + n1 (1)CD doğrusunun denklemi Y = m2 X + n2 (2)

AB ve CD doğrularının kesim noktasının koordinatları, (1) ve (2) nolu eşitlikleri sağlayacağı için,

Yk = m1 Xk + n1 = m2 Xk + n2 (3)yazılabilir.

İki Doğrunun Kesim Noktasının Koordinatlarının HesabıYk = m1 Xk + n1 = m2 Xk + n2 (3)

m1 Xk+n1 = m2 Xk+n2 Xk (m1-m2) = n2-n1 Xk = (n2-n1) / (m1-m2) (4)

Xk bulunduktan sonra bu değer, (3) eşitliğinde yerine konularak Yk kontrollü olarak elde edilir. Uygulamada genellikle m ve n değerleri değil de, doğruların uç noktalarının koordinatları verilir. Böyle durumlarda, öncelikle m ve n sabitlerinin hesaplanması gerekir.

CD

CD

AB

AB

XXYY

CDm

XXYY

ABm

)tan(

)tan(

2

1n1 ve n2 değerleri ise,

YA = m1 XA + n1 n1 = YA - m1 XA

YC = m2 XC + n2 n2 = YC - m2 XC

m1, m2, n1 ve n2 değerleri hesaplandıktan sonra, AB ve CD doğrularının kesim noktalarının

koordinatları için, önce (4) eşitliğinden Xk sonra da (3) eşitliğinden Yk hesaplanır.


ÖRNEK : Nokta Y X A 619.81 512.95 B 650.15 548.34 C 613.34 540.13 D 643.75 517.20

İstenen : AB ve CD doğrularının K kesim noktasının koordinatları

326210.193.22

41.3013.54020.51734.61375.643)tan(

857304.039.3534.30

95.51234.54881.61915.650)tan(

2

1

CD

CD

AB

AB

XXYY

CDm

XXYY

ABm

YA = m1 XA + n1 n1 = YA - m1 XA = 619.81 -0.857304 * 512.95

= 619.81 - 439.754 =180.056YC = m2 XC + n2 n2 = YC - m2 XC = 613.34 - (-1.326210) * 540.13

= 613.34 + 716.326 =1329.666


495.526183514.2

61.1149)326210.1(857304.0

056.180666.1329

21

12

mmnn

X K

YK = m1* XK+ n1 = 0.857304*526.495+180.056=451.366+180.056= 631.422 m

Kontrol :

XK = 526.50 mYK = 631.42 m

YK = m2 *XK + n2 = -1.326210 * 526.495 + 1329.666 = -698.243 + 1329. 666 = 631.423 m

KOORDİNAT HESAPLARI

Documents