-
MATEMATİK
KPSS2016
KPSSGenel YetenekGenel Kültür
*
konu anlatımlı
pratik bilgiler
sınavlara en yakın
özgün sorular ve açıklamaları
çıkmış sorular ve açıklamaları
29.Eğitimde
yıl
Pegem Akademi Sınav Komisyonu;
2015 KPSS’ye Pegem Yayınları
ile hazırlanan adayların,100'ün üzerinde soruyu
kolaylıkla çözebildiğini
açıkladı.
-
Editörler: Kenan Osmanoğlu / Kerem Köker
KPSS Matematik Konu Anlatımlı
ISBN 978-605-318-483-6
Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.
© Pegem AkademiBu kitabın basım, yayım ve satış hakları
Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ye
aittir.Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da
bölümleri,kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik,
kayıtya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz,
dağıtılamaz.
Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile
satılmaktadır.Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar
hakkında
yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınlarısatın
almamasını diliyoruz.
“Bu kitapta yer alan geçmiş yıllarda ÖSYM'nin yapmış olduğu
sınavlardaki ÇIKMIŞ SORULAR'ın her hakkı ÖSYM'ye aittir. Hangi
amaçla olursa olsun, tamamının veya bir kısmının kopya edilmesi,
fotoğraflarının çekilmesi, herhangi bir yolla çoğaltılması ya da
kullanılması, yayımlanması ÖSYM'nin yazılı izni olmadan yapılamaz.
Pegem Akademi Yayıncılık telif ücreti ödeyerek bu izni
almıştır.”
34. Baskı: 2016, Ankara
Yayın-Proje: Elif Turanlıoğlu BultanDizgi-Grafik Tasarım: Didem
Kestek
Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı
Baskı: Vadi Grup Ciltevi A.Ş.İvedik Organize Sanayi 28. Cadde
2284 Sokak No:105
Yenimahalle/ANKARA(0312 394 55 91)
Yayıncı Sertifika No: 14749Matbaa Sertifika No: 26687
İletişim
Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50
- 430 67 51
Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54
08
Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38Hazırlık Kursları: 0312 419 05
60
İnternet: www.pegem.netE-ileti: [email protected]
-
Değerli Adaylar;
Bu kitap Kamu Personeli Seçme Sınavı (KPSS) Genel Yetenek
Testinde önemli bir yer tutan “Matematik” kapsamındaki 26 veya 27
soruyu etkili bir şekilde çözebilmeniz amacıyla hazırlanmıştır.
Kitap, sorulmuş ve sorulması olası soruların titizlikle
incelenmesiyle meydana getirilmiş olup;
MATEMATİK
- Temel Kavramlar,- Sayılar,- Bölme-Bölünebilme Kuralları,- Asal
Çarpanlara Ayırma EBOB – EKOK,- Birinci Dereceden Denklemler,-
Rasyonel Sayılar,- Üslü Sayılar,- Köklü Sayılar,- Çarpanlara
Ayırma,- Eşitsizlik – Mutlak Değer,- Oran – Orantı,- Problemler,-
Kümeler,- İşlem - Modüler Aritmetik,- Permütasyon – Kombinasyon –
Olasılık - Tablo ve Gra�kler - Sayısal Mantıkbölümlerinden
oluşmaktadır.
Kitapta; bölümlerin sınav formatına uygun ve soru çözümünü
kolaylaştıracak bir şekilde ele alınmasına ve bilgilerin açık ve
anlaşılır bir dille ifade edilmesine özen gösterilmiştir. Her
ünitenin sonunda, - çıkmış sorular
- çözümlü testler ve
- cevaplı testlere;
yer verilmiştir. Bu kitabın hazırlanmasında yardım, destek ve
katkılarını esirgemeyen Pegem Akademi Sınav Komisyonuna, PEGEM
AKADEMİ yayınevi ve dershanesi çalışanlarına ve öğrencilerine
teşekkürü bir borç biliriz. Bu kitap, uzun bir birikimin ve yoğun
bir emeğin ürünüdür. Kitapla ilgili görüş ve önerileriniz bu ürünün
niteliğini daha da arttıracaktır. Değerli görüş ve önerilerinizi
lütfen bizimle [email protected] aracılığıyla paylaşınız.
Kitabın çalışmalarınızda yararlı olması dileğiyle, KPSS’de ve
meslek hayatınızda başarılar.
Kenan Osmanoğlu – Kerem Köker
SUNU
-
1. BÖLÜMTEMEL KAV RAMLAR
...............................................2Küme..........................................................................2Kümenin
Elemanı ve Eleman Sayısı .......................2 Kümelerin G
sterilişi ...............................................2Boş Küme
..................................................................3Sayı
Kümeleri
............................................................3Tek -
Çi t Tamsayılar
.................................................4Tam Sayılarda
İşlemler .............................................4İşlem Ön
eliği
...........................................................6Rasyonel
Sayılar
.......................................................6Rasyonel
Sayılarda İşlemler ....................................6Har i İ
adeler.............................................................8Denklemler
................................................................9Ç
züm Kümesi Bulma
..............................................9Birin i Dere eden
İki Bilinmiyenli Denklemler
......10İkili..............................................................................10Sıralama.....................................................................10Eşitsizlik
....................................................................11Oran
–
Orantı.............................................................11Ortak
Paranteze Alma ..............................................12Ç
zümlü Test – 1
......................................................13Cevaplı
Test – 1
.........................................................17Cevaplı
Test – 2
.........................................................19
2. BÖLÜMSAYILAR
....................................................................22Sayı
Kümeleri
............................................................22Doğal
Sayılar
.............................................................23Tam
Sayılar
................................................................26Tek
ve Çi t Tam Sayılar
.............................................27Poziti ve Negati
Sayılar ..........................................29Ardışık
Sayılar...........................................................31Asal
Sayı....................................................................36Aralarında
Asal Sayılar ............................................36Basamak
Analizi
.......................................................37Çözümleme
...............................................................42Fakt
riyel...................................................................44Sayma
Sistemleri
......................................................47Ç zümlü
Test – 1 ......................................................54Ç
zümlü Test – 2
......................................................58Ç zümlü
Test – 3
......................................................62Cevaplı
Test – 1
.........................................................66Cevaplı
Test – 2
.........................................................68Cevaplı
Test – 3
.........................................................70Cevaplı
Test – 4
.........................................................72Cevaplı
Test – 5
.........................................................74Cevaplı
Test – 6
.........................................................76Çıkmış
Sorular
..........................................................78
3. BÖLÜMBÖLME – BÖLÜNEBİLME K RALLARI
..................82Bölme.........................................................................82B
lünebilme Kuralları
..............................................86
2 ile Bölünebilme
................................................863 ile Bölünebilme
................................................864 ile Bölünebilme
................................................875 ile Bölünebilme
................................................887 ile Bölünebilme
................................................898 ile Bölünebilme
................................................899 ile Bölünebilme
................................................8910 ile
Bölünebilme ..............................................9111 ile
Bölünebilme ..............................................91
Ç zümlü Test
...........................................................93Cevaplı
Test - 1
.........................................................97Cevaplı
Test - 2
.........................................................99Çıkmış
Sorular
..........................................................101
4. BÖLÜMASAL ÇARPANLARA AYIRMA EBOB – EKOK .......104Asal
Çarpanlara Ayırma ...........................................104Bir
Tam Sayının B lenleri
........................................105
Bir Tam Sayının B lenleri Toplamı ....................107En
Büyük Ortak B len (EBOB) ..........................108En Küçük
Ortak Kat (EKOK) ..............................111
Ç zümlü Test
...........................................................116Cevaplı
Test - 1
.........................................................120Cevaplı
Test - 2
.........................................................122Cevaplı
Test - 3
.........................................................124Çıkmış
Sorular
..........................................................126
5. BÖLÜMBİRİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
.....................128Birin i Dere eden Bir Bilinmeyenli
Denklemler ....128Birin i Dere eden İki Bilinmeyenli Denklemler
.....131Denklem Sistemi
.......................................................131
Yok Etme Metodu
................................................131Yerine Koyma
Metodu ........................................132
Özel
Denklemler........................................................133Ç
zümlü Test
...........................................................136Cevaplı
Test - 1
.........................................................140Cevaplı
Test - 2
.........................................................142Çıkmış
Sorular
..........................................................144
İÇİNDEKİLER
-
vi
6. BÖLÜMRASYONEL SAYILAR
...............................................146Kesir ve Kesir
Türleri ...............................................146
Kesir.....................................................................146Basit
Kesir
...........................................................146Bileşik
Kesir
........................................................146Tam
Sayılı Kesir
..................................................147Sabit Kesir
...........................................................148Denk
Kesir
...........................................................148
Rasyonel Sayılarda D rt İşlem
................................149Toplama İşlemi
....................................................149Çıkarma
İşlemi
....................................................150Çarpma
İşlemi .....................................................150B
lme İşlemi
.......................................................150Kuvvet
Alma
........................................................150İşlem Ön
eliği .....................................................151
Ondalık Kesir
............................................................154Ondalık
Sayılarda D rt İşlem ...................................155Devirli
Ondalık Açılımlar
..........................................157Rasyonel Sayılarda
Sıralama...................................158İki Rasyonel Sayı
Arasındaki Sayıları Yazma .........160Ç zümlü Test - 1
.......................................................161Ç zümlü
Test - 2
.......................................................165Cevaplı
Test - 1
.........................................................169Cevaplı
Test - 2
.........................................................171Çıkmış
Sorular
..........................................................173
7. BÖLÜMEŞİTSİ LİK – M TLAK DE ER
...............................176Basit Eşitsizlikler
......................................................176
Özellikleri.............................................................176Reel
(Gerçel) Sayı Aralıkları
.....................................179
Kapalı Aralık
........................................................179Yarı
Açık Aralık
....................................................179Açık Aralık
...........................................................180
Birin i Dere eden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
....180Eşitsizlikler ve İşaret İn elemesi
.............................181Mutlak Değer
.............................................................183
Özellikleri.............................................................185Ç
zümlü Test – 1
......................................................189Ç zümlü
Test – 2
......................................................193Cevaplı
Test – 1
.........................................................197Cevaplı
Test – 2
.........................................................199Cevaplı
Test – 3
.........................................................201Çıkmış
Sorular
..........................................................203
8. BÖLÜMÜSLÜ SAYILAR
.........................................................206
Özellikleri.............................................................206Üslü
Sayılarda D rt İşlem
........................................209
Toplama – Çıkarma
.............................................209Çarpma
................................................................210Bölme...................................................................212
Ç zümlü Test - 1
.......................................................215Ç zümlü
Test – 2
......................................................219Cevaplı
Test - 1
.........................................................223Cevaplı
Test - 2
.........................................................225Çıkmış
Sorular
..........................................................227
9. BÖLÜM
KÖKLÜ SAYILAR
......................................................230
K klü Sayıların
Özellikleri........................................230K klü
Sayılarda D rt İşlem ......................................234
Toplama-Çıkarma
................................................234Çarpma
................................................................235Bölme...................................................................236
K k Dışındaki Bir Sayının K k İçine Alınması .......238Eşlenik
.......................................................................239İç
İçe Sonlu K kler
...................................................241İç İçe Sonsuz
K kler.................................................242
A 2 B I adesinin K k Dışına Çıkarılması ............244K klü
Sayılarda Sıralama.........................................246K klü
Sayılarda Denklem Ç zme ............................247Ç zümlü Test
-1
........................................................248Cevaplı
Test - 1
.........................................................252Cevaplı
Test - 2
.........................................................254Çıkmış
Sorular
..........................................................256
10. BÖLÜM
ÇARPANLARA AYIRMA
............................................260
Ortak Parantez Y ntemi
.....................................260Gruplandırma Y ntemi
.......................................260ax 2 b i adesinin
Çarpanlara Ayrılması .......261
Özdeşlikler
................................................................263İki
Kare Farkı
.......................................................263Tam Kare
İ adeler ................................................265
III Dere eden Özdeşlikler
........................................268Ç zümlü Test – 1
......................................................270Ç zümlü
Test – 2
......................................................274Cevaplı
Test – 1
.........................................................278Cevaplı
Test – 2
.........................................................280Çıkmış
Sorular
..........................................................282
11. BÖLÜMORAN – ORANTI
......................................................286
Oran
.....................................................................286Orantı
...................................................................286Orantının
Özellikleri............................................286
Orantı Türleri
.............................................................288Doğru
Orantı
.......................................................288Ters
Orantılı Çokluklar
.......................................290Bileşik Orantı
......................................................291
Ortalamalar................................................................292Aritmetik
Ortalama .............................................292Geometrik
Ortalama ...........................................293
Ç zümlü Test - 1
.......................................................295Ç zümlü
Test - 2
.......................................................299Cevaplı
Test - 1
.........................................................303Cevaplı
Test - 2
.........................................................305Çıkmış
Sorular
..........................................................307
-
vii
12. BÖLÜMPROBLEMLER
..........................................................310Denklem
Kurma Problemleri ...................................310Yaş
Problemleri.........................................................316Yüzde
Problemleri
....................................................319Faiz
Problemleri
........................................................321Kâr –
Zarar Problemleri
............................................322Karışım
Problemleri..................................................325İşçi
Problemleri
.........................................................328Havuz
Problemleri
....................................................330Hareket
Problemleri..................................................331Çözümlü
Test - 1
......................................................337Çözümlü
Test - 2
......................................................341Çözümlü
Test - 3
......................................................345Çözümlü
Test - 4
.......................................................349Çözümlü
Test - 5
......................................................353Çözümlü
Test - 6
......................................................357Çözümlü
Test - 7
......................................................361Çözümlü
Test - 8
......................................................365Çözümlü
Test - 9
......................................................369Cevaplı
Test – 1
.........................................................373Cevaplı
Test – 2
.........................................................375Cevaplı
Test – 3
.........................................................377Cevaplı
Test – 4
.........................................................379Cevaplı
Test – 5
.........................................................381Cevaplı
Test – 6
.........................................................383Cevaplı
Test – 7
.........................................................385Cevaplı
Test – 8
.........................................................387Çıkmış
Sorular
..........................................................389
13. BÖLÜMKÜMELER
..................................................................398Küme..........................................................................398
Kümelerin Elemanı ve Eleman Sayısı ...............398Kümelerin
Gösterimi ..........................................398Küme
Çeşitleri
....................................................399Kümelerde
İşlemler ............................................400Alt Küme
..............................................................403Küme
Problemleri ...............................................405
Çözümlü Test
...........................................................407Cevaplı
Test
..............................................................411Çıkmış
Sorular
..........................................................413
14. BÖLÜMFONKSİYON - İŞLEM – MODÜLER ARİTMETİK .....415Bağıntı
.......................................................................416Fonksiyon
..................................................................416İşlem
..........................................................................417
İşlem Tabloları
.....................................................419İşlemin
Özellikleri ...............................................419
Modüler Aritmetik
.....................................................423Modüler
Aritmetiğin Özellikleri ..........................424Modüler
Aritmetikte Denklem Çözümü .............428
Çözümlü Test – 1
......................................................429Çözümlü
Test – 2
......................................................433Cevaplı
Test – 1
.........................................................437Cevaplı
Test – 2
.........................................................439Çıkmış
Sorular
..........................................................441
15. BÖLÜMPERMÜTASYON – KOMBİNASYON – OLASILIK ....444Saymanın
Temel Kuralları ........................................444
Toplama Kuralı
....................................................444Çarpma Yolu
ile Sayma ......................................444Saymanın Temel
İlkesi .......................................444
Permütasyon (Sıralama)
..........................................446Tekrarlı Permütasyon
.........................................447Dairesel Permütasyon
........................................448
Kombinasyon (Gruplama)
.......................................449Olasılık
.......................................................................454
Olasılık Fonksiyonu
...........................................454Olasılık Hesabı
....................................................455Koşullu
Olasılık...................................................459Bağımsız
ve Bağımlı Olasılık .............................460
Çözümlü Test – 1
......................................................461Çözümlü
Test – 2
......................................................465Çözümlü
Test – 3
......................................................469Cevaplı
Test – 1
.........................................................473Cevaplı
Test – 2
.........................................................475Çıkmış
Sorular
..........................................................477
16. BÖLÜM
TABLO VE GRAFİKLER
............................................480Tablo ve Yorumlama
.................................................480Grafik ve
Yorumlama ................................................484
Çizgi
Grafik..........................................................484Sütun
Grafiği
.......................................................486Daire
Grafiği
........................................................486
Çözümlü Test – 1
......................................................489Çözümlü
Test – 2
......................................................492Cevaplı
Test – 1
.........................................................496Cevaplı
Test – 2
.........................................................499Çıkmış
Sorular
..........................................................501
-
TEMEL KAVRAMLAR� KÜME
� KÜMENİN ELEMANI VE ELEMAN SAYISI
� KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ
� BOŞ KÜME
� SAYI KÜMELERİ
� TEK - ÇİFT TAMSAYILAR
� TAM SAYILARDA İŞLEMLER
� İŞLEM ÖNCELİĞİ
� RASYONEL SAYILAR
� RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER
� DENKLEMLER
� ÇÖZÜM KÜMESI BULMA
� İKİLİ
� SIRALAMA
� EŞİTSİZLİK
� ORAN ORANTI
� ORTAK PARANTEZE ALMA
“Eksi çarpı eksi, artı edecek, böyle yazılacak, böyle bilinecek,
kimse “neden?” demeyecek.”
John Von Neumann
Yıllara Göre Çıkmış
Soru Analizleri
2012-
2011-
2010-
2009-
2008-
2007-
2006-
2005-
2013-
2014-
2015-2016
-
-
2
KÜME
Net olarak tanımlanmış canlı veya cansız varlıkların oluşturduğu
topluluğa küme denir.
Kümeler A, B, C, D, E,… gibi büyük harflerle isimlendirilir.
Örnek
“Pegem” kelimesinin harfleri bir küme oluşturur
Örnek
“Haftanın bazı günleri” cümlesi bir küme oluşturmaz. Çünkü
kümeyi oluşturacak günler net olarak söylenme-miştir.
KÜMENİN ELEMANI VE ELEMAN SAYISI
Kümeyi oluşturan canlı ve cansız varlıklara küme-nin elemanları
denir. Kümenin elemanı olan nesneler “! ” sembolü ile kümenin
elemanı olmayan nesneler ise “! ”sembolü ile gösterilir.
Bir kümeyi oluşturan elemanların sayısına kümenin ele-man sayısı
denir ve s ( ) ile gösterilir.
Kümeyi oluştururken ortak elemanlar bir kez yazılır.
Örnek
1 sayısı A kümesinin elemanı ise A1 d
2 sayısı A kümesinin elemanı değil ise A2!
şeklinde gösterilir.
KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ
1) Liste Yöntemi
Kümenin elemanlarının aralarına “,” konarak { } parante-zi içine
yazılmasına kümelerin liste biçiminde gösterilişi denir.
Liste yönteminde virgülle ayrılan her nesne kümenin bir
elemanıdır.
Örnek
, , , , ,A a b c d e f= " "" , , , kümesinin eleman sayısı
kaçtır?A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
Çözüm:A kümesinin elemanlarını yazacak olursak
, , , , ,a A b A c A d e A f A! ! ! ! !" ", ,olmak üzere A
kümesinin eleman sayısı 5 dir.
Dolayısıyla ( )s A 5= bulunur.
Örnek
”PEGEM” kelimesinin harflerinin oluşturduğu küme-nin eleman
sayısı kaçtır?
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
Çözüm:
“PEGEM” kelimesinin oluşturduğu küme A kümesi olsun.Küme
yazılırken ortak olan elemanlar bir kez yazılacağından
, , ,A P E G M= " ,olur. Dolayısıyla ( )s A 4= bulunur.
Örnek
A Kerem= " , kümesinin eleman sayısı kaçtır?A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
E) 5
Çözüm:
Liste yönteminde elemanlar virgüllerle ayrılır. Kümeyi
in-celeyecek olursak virgülle ayrılan eleman olmadığı için kümenin
eleman sayısı ( )s A 1= bulunur.
2) Ortak Özellik YöntemiKümenin elemanlarının taşıdıkları ortak
özellikler belirti-lerek { } parantezi içine yazılmasına kümenin
ortak özel-lik yöntemi ile gösterilişi denir.
Örnek
Yüzden küçük doğal sayıların kümesi ,A x lx x N1001 != " ,
şeklinde gösterilir.
Bu bölümde yer verdiğimiz başlıkların bir kısmı KPSS de direkt
olarak sorulan konulara dair değildir. Buradaki amacımız diğer
konuların daha iyi anlaşılabilmesi için bazı temel bilgileri
hatırlatmak ve işlem yete-neğinin gelişmesini sağlamaktır.
Değindiğimiz konuların bir kısmı ilerleyen bölümlerde daha detaylı
bir şekilde işlenecektir.
Bu bölüm daha çok sözel bölümlerden mezun olan arkadaşlarımıza
yönelik hazırlanmıştır.
TEMEL KAVRAMLAR
-
3
3) Venn Şeması
Kümenin elemanlarının yanlarına “.” konarak kapalı bir şeklin
içine yazılmasına kümenin venn şeması ile gös-terilişi denir.
Örnek
, , ,A a b c d= " ,kümesini venn şeması ile gösterilişi
şekil-deki gibidir.
Aa
b
c
d
BOŞ KÜME
Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme Q veya { }
sembolleri ile gösterilir.
Örnek
“Yılın S harfi ile başlayan ayları” cümlesinin oluşturduğu küme
boş kümedir
Not
Bir kümenin elemanlarının yerlerinin değişmesi kümeyi
değiştirmez. Yani kümenin elemanları farklı şekillerde
sıralanabilir.
Örnek
, ,A a b c= " , kümesinin elemanlarının yerleri değiştirilirse A
kümesi değişmez.
. ..., , , , , ,A a b c b a c c a b gibi== = =" " ", , ,
RAKAM:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gibi tek haneli sembollere rakam
denir.
SAYI:
Rakamların tek başlarına veya bir çokluk oluşturacak şekilde bir
araya gelmesiyle oluşan ifadelere sayı denir.
Örnek
3 hem rakam hem de bir sayıdır.
16 iki rakamdan oluşan bir sayıdır.
348 üç rakamdan oluşan bir sayıdır.
-7415 dört rakamdan oluşan negatif bir sayıdır.
SAYI KÜMELERİ
1) Sayma Sayıları Kümesi
, , , .....1 2 3" , kümesine sayma sayıları kümesi ve bu
kü-menin her bir elemanına bir sayma sayısı denir. Sayma sayıları
kümesi " "N+ ile gösterilir.
2) Doğal Sayılar Kümesi
, , , , .....0 1 2 3" , kümesine doğal sayılar kümesi ve bu
kümenin her bir elemanına bir doğal sayı denir. Doğal sayılar
kümesi "IN" sembolü ile gösterilir
3) Tam Sayılar Kümesi
........, , , , , , , .......3 2 1 0 1 2 3− − −" , kümesine tam
sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir tam sayı denir.
Tam sayılar kümesi “Z” sembolü ile gösterilir.
Tam sayılar kümesi üç kümenin birleşimi olarak ifade edi-lir. Bu
alt kümeleri inceleyecek olursak;
a) Negatif Tam Sayılar Kümesi
Sıfırdan küçük (sayı doğrusu üzerinde sıfırın solunda olan)
sayılara negatif tam sayılar bu sayıların oluştur-duğu kümeye
negatif tam sayılar kümesi denir. Negatif tam sayılar kümesi " "Z−
ile gösterilir.
..............., , ,Z 3 2 1= − − −− " , dir.Negatif tam sayılar
sıfıra yaklaştıkça büyürler. Dolayısıy-la en büyük negatif tam sayı
" "1− dir.
b) Pozitif Tam Sayılar Kümesi
Sıfırdan büyük (sayı doğrusu üzerinde sıfırın sağında olan)
sayılara pozitif tam sayılar bu sayıların oluşturdu-ğu kümeye
pozitif tam sayılar kümesi denir. Pozitif tam sayılar kümesi " "Z+
ile gösterilir.
, , , .........Z 1 2 3=+ " , dir.
Pozitif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça küçülürler. Dolayısıy-la
en küçük pozitif tam sayı " "1 dir.
c) Sıfır bir tam sayıdır, fakat işaretsizdir. Yani pozitif ya da
negatif tam sayı değildir.
4) Rasyonel Sayılar Kümesi
a ve b birer tam sayı ve b 0! olsun. İki tam sayının bö-lümü
şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir.
Rasyonel sayılar kümesi " "Q ile gösterilir.
Örnek
, , , , ,...52
1917
136 14 1
−− birer rasyonel sayıdır.
-
4
5) İrrasyonel Sayılar Kümesi
Rasyonel olmayan sayılara yani iki tam sayının bölümü şeklinde
yazılamayan sayılara irrasyonel sayılar denir.
İrrasyonel sayılar kümesi “Q´” ile gösterilir.
Örnek
, , , ...5 2 375 − birer irrasyonel sayıdır.
6) Reel (Gerçel, Gerçek) Sayılar Kümesi
Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin
birleşim kümesine Reel sayılar kümesi denir.
Reel sayılar kümesi " "R ile gösterilir.
'R Q Q,= şeklinde ifade edilir.
TEK VE ÇİFT TAM SAYILAR
a) Tek tam sayılarn bir tam sayı olmak üzere 2n 1− veya n2 1+
şeklinde yazılabilen sayılara tek tam sayı denir. Tek tam sayılar
kümesi ..... , , , , , ,...5 3 1 1 3 5− − −" ,şeklinde ifade
edilir.
b) Çift tam sayılarn bir tam sayı olmak üzere 2n şeklinde
yazılabilen sayılara çift tam sayı denir. Çift tam sayılar kümesi
... , , , , ,....4 2 0 2 4− −" , şeklinde ifade edilebilir.
TAM SAYILARDA İŞLEMLERToplama işlemi
a) Aynı işaretli sayıların toplanması
İşaretleri aynı olan tam sayılar toplanırken önce sayı
de-ğerleri toplanır. Sonra toplama ortak olan işaret verilir.
Örnek
32 14 29+ + işleminde
Sayılarının hepsi pozitif (+) olduğundan sayı değerleri
toplanır. Toplamın işareti “+” olur.
Buradan 32 14 29 75+ + = bulunur.
Örnek
45 11 73− − − işleminde
Sayıların hepsi negatif ( )− olduğundan sayı değerleri toplanır.
Toplamın işareti " "− olur.
Buradan ( )45 11 73 45 11 73 129− − − =− + + =− bulunur.
b) Zıt İşaretli Sayıların Toplanması
İşareti farklı olan tam sayılar toplanırken sayı değeri bü-yük
olandan sayı değeri küçük olan çıkarılır. Toplama, sayı değeri
büyük olanın işareti verilir.
Örnek
65 93− + işleminde
Sayıların biri (−) diğeri (+) işaretli olduğundan sayı değe-ri
büyük olandan yani 93 den sayı değeri küçük olan yani 65 çıkarılır.
Toplamın sonucu 93 652 olduğundan olur.
Buradan 65 93 28− + = bulunur.
Örnek
124 175− işleminde
Sayılar zıt işaretli ve 175 1242 olduğundan 175 den 124
çıkarılır. Toplama, 175 in işareti yani ( )− işareti verilir.
Buradan 124 175 51− =− bulunur.
NotToplama işleminde sayıların yerlerini değiş-tirmek işlemin
sonucunu değiştirmez. Yani
.a b b a d rý− =− +
Örnek
354 195− + işleminde sayıların yerlerinin değişmesi işle-min
sonucunu değiştirmez.
Buradan 354 195 195 354 159− + = − =− bulunur.
Not
İşlemde ters işaretli birkaç sayı varsa önce işare-ti aynı
olanlar kendi aralarında toplanarak ifade düzenlenir.
Örnek
36 73 86 118− + − işleminde
iki tane pozitif ( )+ , iki tane negatif ( )− sayı olduğundan
önce bu sayılar kendi aralarında toplanarak işlem düzen-lenir.
Sonra bulunan zıt işaretli sayılar toplanır.
.bulunur
36 73 86 118 36 86 73 118122 19169
− + − = + − −
= −
=−
Çıkarma İşlemi
Tam sayılarda çıkarma işlemi yapılırken birinci sayı ay-nen
yazılır. İkinci sayının işareti değiştirilerek sayılar
top-lanır.
Örnek
48 19 48 ( 19) 2933 76 33 ( 76) 43141 ( 214) 141 (214) 355
- = + - =- = + - = -- - = + =
-
5
Çarpma İşlemi
Tam sayılarda çarpma işlemi yapılırken önce işaretler çarpılıp
çarpımın işareti bulunur. Sonra sayı değerleri çarpılır.
Uyarı!Aynı işaretli sayıların çarpımı daima pozitiftir.Yani ( )
( )
( ) ( )+ ⋅ + = +- ⋅ - = +
Zıt işaretli sayıların çarpımı daima negatiftir.Yani ( ) ( )- ⋅
+ = -
( ) ( )+ ⋅ - = -
Not
Parantez dışındaki bir işlem parantez içerisine dağıtılırken
işaretler çarpılır.
Örnek
( 5) ( 23) 115( 12) (11) 132(18) (12) 216
- ⋅ - =- ⋅ = -
⋅ =
Bölme İşlemi
Tam sayılarda bölme işlemi yapılırken önce işaretleri bölünüp
bölümün işareti bulunur. Sonra sayı değerleri bölünür.
Not
Aynı işaretli sayıların bölümü daima pozitiftir.Yani ( ) : (
)
( ) : ( )+ + = +- - = +
Zıt işaretli sayıların bölümü daima negatiftir.Yani ( ) : ( )- +
= -
( ) : ( )+ - = -
Örnek
( 68) : (17) 4(120) : (12) 10( 111) : (37) 3( 180) : ( 15)
12
- = -=
- = -- - =
Uyarı!Eğer sayılar tam olarak bölünmüyorsa kesir olarak yazılır
ve ifade sadeleştirilir.
Örnek
84 21( 84) : (16)16 4
- = - = - (pay ve payda 4 ile sadeleştirilirse)
100 20( 100) : ( 35)35 7
- - = = (pay ve payda 5 ile sadeleştirilirse)
Kuvvet Alma
Tabanda yazılan sayı kuvveti (üssü) kadar yan yana ya-zılıp
çarpılır. Yani an sayısında a taban, n kuvvet olmak üzere
an = a ⋅ a ⋅ a ⋅⋅⋅⋅ a şeklinde yazılabilir. n tane
Örnek
24 sayısının değeri hesaplanırken tabandaki 2 sayısı 4 kez yan
yana yazılıp çarpılır.
Buradan 44 tan e
2 2 2 2 2 16= ⋅ ⋅ ⋅ =
bulunur.
Örnek
(-3)3 sayısının değeri hesaplanırken tabandaki -3 sayısı 3 kez
yan yana yazılıp çarpılır.
Buradan 33 tan e
( 3) ( 3) ( 3) ( 3) 27- = - ⋅ - ⋅ - = -
bulunur.
Not1) Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir.
2) Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri
negatiftir.
Örnek
4 4
7 7
( 5) 5 5 5 5 5 625( 2) 2 2 2 2 2 2 2 2 128- = = ⋅ ⋅ ⋅ =
- = - = - ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = -
Örnek
3 2 3( 4) ( 7) ( 5)- + - - - işlemindenegatif sayıların çift
kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri ne-gatiftir.
3 2 3Buradan ( 4) ( 7) ( 5) ( 64) (49) ( 125)64 49 12564 174
110 bulunur.
- + - - - = - + - -= - + += - +=
mat.pdfPage 1