Konsep Dasar Statistika untuk Rancangan Percobaan · saling bebas dan masing-masing memiliki nilai rata-rata ... • Langkah-langkah pengujian hipotesis: 1) ... Menentukan statistik

Konsep Dasar Statistika untukKonsep Dasar Statistika untukRancangan Percobaan

Arum Handini Primandari, M.Sc.

Operator Penjumlahan

• Operator penjumlahan:

• Sifat:

1 21

...n

i ni

x x x x

n

1

1 1

1 1

1 1 1

n

i

n n

i ii i

n n

i ii i

n n n

i i i ii i i

k nk

kx k x

a bx na b x

x y x y

• Operator penjumlahan ganda:

• Sifat:

1 2 11 1 1

11 21 1 12 22 2 1 2

...

... ... ... ...

n m n

ij i i mi j i

n n m m nm

x x x x

x x x x x x x x x

• Sifat:

1 1 1 1

1 1 1 1

)

)

n m m n

ij iji j j i

n m n m

i j i ji j i j

a x x

b x y x y

1 1 1 1 1 1

2

2

1 1

)

) 2

n m n m n m

ij ij ij iji j i j i j

n n n

i i i ji i i j

c x y x y

d x x x x

Operator Perkalian

• Operator perkalian:

1 21

n

i ni

x x x x

Variabel Acak dan Nilai Harapan

• Variabel acak (random variabel):– Kejadian (event) yang dinyatakan dalam bentuk bilangan nyata.– Fungsi yang menetapkan setiap hasil dari percobaan ke dalam bentuk

bilangan nyata.

• Variabel acak:a) Variabel diskrita) Variabel diskritb) Variabel kontinu

• Contoh:– Pengamatan produksi minuman kaleng suatu mesin dalam 1 jam,

maka banyaknya produksi: 0, 1, 2, 3, …dst. Variabel acak: produksiminuman kaleng.

– Konsumsi beras seseorang dalam 1 bulan berkisar 9 – 10 kg. Variabelacak: konsumsi beras.

– Pelambungan koin, nilai 1 untuk huruf dan nilai 0 untuk gambar.Variabel acak: 1 dan 0.

Nilai Harapan

• Variabel acak Diskrit:

• Variabel acak kontinu:

( )xx

E X xf x

( )E X xf x dx

• Sifat:

( )xE X xf x dx

2 2 2

) ( )

) ( ) ( )

) ( ) ( )

a E b b

b E aX b aE x b

c E aX a E X

) ( ) ( ) ( )

) ( ) ( ) ( )

a E XY E X E Y

b E X Y E X E Y

Jika X dan Y adalah variabel acakindependent:

Variansi

• Jika X adalah variabel acak dan E(X) = μ, maka variansidirumuskan:

• Sifat:

22 2 2XVar X E X E X

• Sifat:

Jika X dan Y variabel bebas maka:

2

) ( ) 0

) ( ) ( )

a Var b

b Var aX b a Var X

Var X Y Var X Var Y

Kovarians

• Jika X dan Y adalah variabel acak yang masing-masingmempunyai nilai harapan μX dan μY, maka kovarians:

, X Y

X Y

Cov X Y E X Y

E XY

• Jika X dan Y variabel independen, maka:

) , 0

) , ,

a Cov X Y

b Cov bX dY bdCov X Y

Koefisien Korelasi

• Terdapat hubungan antara variansi dan kovarians dengankoefisien korelasi, yang dinotasikan ρ, yaitu:

, ,

X Y

Cov X Y Cov X Y

Var X Var Y

• ρ mengukur hubungan linier antara dua variabel, nilainya:

X YVar X Var Y

1 1

Distribusi Peluang yang Penting

1. Distribusi Normal

• Suatu variabel acak kontinu X dikatakan berdistribusi normal,jika memiliki fungsi kepadatan peluang:

2

2

1( ) exp ;

22

xf x x

• Distribusi normal baku yaitu distribusi normal dengan μ = 0

dan σ2 = 1. Transformasi normal baku:

• Fungsi kepadatan peluang normal baku:

22

XZ

21 1( ) exp

22f z z

2. Distribusi Chi-Square

• Fungsi kepadatan peluang dari variabel acak chi-square, X2,dengan derajat bebas v, adalah:

2 12 2 2 2

2

1exp 2 ;0

2 2

v

vf

v

• Nilai harapan = v, variansi = 2v

• Teorema 1: Jika dengan derajat bebas v1, v2,…,vk, maka:

memiliki distribusi chi-square dengan derajat bebas:

2 2v

2 2 21 2, ,..., k

2 2

1

k

ii

1

k

ii

v v

• Teorema 2: Jika Z adalah normal baku, dimana Z~N(0,1), makaZ2 berdistribusi chi-square dengan derajat bebas v = 1.

• Teorema 3: Jika X1, X2, …, Xk adalah variabel acak normal yangsaling bebas dan masing-masing memiliki nilai rata-rata μi dansaling bebas dan masing-masing memiliki nilai rata-rata μi danσ2

i, untuk i = 1, 2, …, k, maka:

memiliki distribusi chi-square dengan derajat bebas v = k

22 2

1

k

ii

x

Distribusi t-Student

• Jika Z merupakan variabel acak normal baku Z~N(0,1) serta χ2

adalah variabel acak chi-square dengan derajat bebas v, makavariabel t didefinisikan sebagai rasio keduanya:

2

Zt

v

• Fungsi kepadatan peluangnya:

dinyatakan sebagai distribusi t dengan derajat bebas v.

v

1 22

1

12; 1 ;

2

vv

tf t v t

v vv

• Nilai harapan E(t) = 0, dengan var(t) = v/(v-2)

• Teorema 4: jika x1, x2, …, xn adalah data pengamatan dalamsampel acak berukuran n yang ditarik dari populasi normal,maka rasio:maka rasio:

akan berdistribusi t-Student dengan derajat bebas (v-1)

Xt

s n

Distribusi F (Fisher’s F Distribution)

• Jika terdapat dua variabel chi-square yang bebas, dimana χ12

berdistribusi chi-square dengan derajat bebas v1 serta χ22

berdistribusi chi-square dengan derajat bebas v2, maka rasiokeduanya:

21 1v

F

akan berdistribusi F dengan derajat bebas v1 dan v2

1 122 2

vF

v

• Teorema 5: apabila ada dua sampel acak berukuran n1 dann2, yang masing-masing dipilih dari dua populasi normal,maka rasio dari:

2 21 1

2 2

s

s

akan memiliki distribusi F dengan derajat bebas v1 = n1 – 1 danv2 = n2 – 1.

2 22 2s

Pengujian Hipotesis

• Dalam pengujian hipotesis akan dijumpai:

Keadaan sesungguhnya dalam populasi

H0 benar H0 salah

Terima H0 Tepat Kesalahan Jenis II (β)

Tolak H Kesalahan jenis I (α) Tepat

• Langkah-langkah pengujian hipotesis:1) Merumuskan hipotesis

2) Memilih taraf nyata α

3) Menentukan statistik uji

4) Perhitungan

5) Keputusan dan kesimpulan

Tolak H0 Kesalahan jenis I (α) Tepat

Uji Hipotesis1. Uji hipotesis nilai tengah untuk satu populasi

• Terdapat 3 bentuk:

1 2 3

0 0

1 0

:

:

H

H

0 0

1 0

:

:

H

H

0 0

1 0

:

:

H

H

• Jika variansi populasi diketeahui (σ2) diketahui atau ukuran sampel (n)besar, maka statistik ujinya adalah normal baku:

• Jika variansi tidak diketahui maka menggunakan statistik ujinya adalah t-student

1 0:H 1 0:H 1 0:H

0 0hitung

x

x xz

n

0 0hitung

x

x xt

s s n

2. Uji beda nilai tengah dua populasi

• Dibedakan menjadi dua kasus: saling bebas dan berpasangan.

• Kedua kasus tersebut dibedakan oleh metode pengambilan sampelnya.– Dua sampel dikatakan saling bebas jika pemilihan unit-unit sampel pertama tidak

tergantung pada bagaimana unit-unit sampel kedua dipilih dan sebaliknya.

– Dua sampel dikatakan berpasangan jika pengambilan unit-unit sampel– Dua sampel dikatakan berpasangan jika pengambilan unit-unit sampelpertamamemperhatikan bagaimana unit-unit sampel kedua dipilih. Keterkaitan keduasampel tersebut ditentukan oleh variabel kontrol, misal: lokasi, kemiringan lahan,tingkat pendidikan, kondisi sosial ekonomi, dll.

PopulasiSampel 1

Sampel 2

Pasangan 1 O11 O12

Pasangan 2 O21 O22

…

Pasangan n On1 On2

POPULASI

Pengambilan sampel bebas Pengambilan sampel berpasangan

a) Dua sampel bebas

• Bentuk hipotesis

1 2 3

0 1 2 0

1 1 2 0

:

:

H

H

0 1 2 0

1 1 2 0

:

:

H

H

0 1 2 0

1 1 2 0

:

:

H

H

• Statistik uji:

1) Variansi sama:

dengan derajat bebas sebesar n1+n2-2

1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0

1 2

1 2 0hitung

x x

x xt

S

1 2 1 21 1gx x

s s n n

2 2

1 1 2 2

1 2

1 1

2g

n s n ss

n n

2) Variansi beda

dengan derajat bebas efektif:

1 2

1 2 0

hitung

x x

x xt

S

1 2

2 21 1 2 2gx x

s s s n s n

2 21 2

1 2

2 22 21 2

1 2

1 21 1

s s

n ndb

s s

n n

n n

b) Dua sampel berpasangan

• Ukuran sampel berpasangan harus sama yaitu sebesar n.

Pasangan 1 2 … n

Sampel 1 (X) x1 x2 … xn

Sampel 2 (Y) y1 y2 … yn

D = X – Y d d … d

• Jika dimisalkan beda nilai tengah populasi dinotasikan dengan

maka penduga tak bias adalah nilai tengah dari beda dua sampel:

D = X – Y d1 d2 … dn

1 2d

1

n

ii

d

dn

21id

d

d d nss

n n

Dengan galat baku:

• Hipotesis

1 2 3

0

0

0

1

:

:

d d

d d

H

H

0

0

0

1

:

:

d d

d d

H

H

0

0

0

1

:

:

d d

d d

H

H

• Statistik Uji:

0d

hitung

d

dt

s n

Latihan 1

Dari suatu populasi normal diambil sampel acak berukuran 15,diperoleh nilai tengah dan variansi sampel adalah 10.366 dan1.946. Apabila kita mengetahui bahwa data tersebutdibangkitkan dari populasi normal dengan variansi 2. Apakahpopulasi tersebut masih memiliki nilai tengah 10?populasi tersebut masih memiliki nilai tengah 10?

Latihan 2

• Seorang mahasiswa Agromet menemukan suatu alat baruuntuk mengukur tingkat curah hujan. Untuk mengetahuiefektifitas alat tersebut, kemudian mahasiswa tersebutmelakukan uji coba pada 10 lokasi dengan menggunakan alatbaru dan sebagai pembanding, tingkat curah hujan jugabaru dan sebagai pembanding, tingkat curah hujan jugadicatat menggunakan alat biasa. Tingkat curah hujan (mm)pada ke 10 lokasi tersebut diperoleh sebagai berikut:

Lokasi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Lama 110 120 135 101 80 95 70 130 115 120

Baru 105 115 140 110 90 80 75 125 110 125

Latihan 3

• Berdasarkan suatu survei pada rumah tangga, diperoleh hasilbahwa rata-rata pendapatan perkapita (per orang) sebesar Rp550.000,00/ bulan dengan simpangan baku sebesar Rp200.000,00. Jika diasumsikan pendapatan perkapitaberdistribusi normal dan diperkirakan jumlah pendudukberdistribusi normal dan diperkirakan jumlah pendudukIndonesia 180 juta orang, maka:a) Kira-kira berapa banyak penduduk yang berpendapatan di antara Rp

500.000,00 hingga Rp 600.000,00?

b) Jika ditetapkan batas kemiskinan adalah yang berpendapatan Rp375.000,00 ke bawah, maka ada berapa banyak penduduk Indonesiayang tergolong miskin?

Referensi

• Gaspersz, Vincent, 1991, Teknik Analisis Dalam PenelitianPercobaan, Tarsito, Bandung.

• Mattjik, Ahmad Anshori., dan Sumertajaya, Made I,Perancangan Percobaan dengan Aplikasi SAS dan Minitab, IPBPerancangan Percobaan dengan Aplikasi SAS dan Minitab, IPBPress, Bandung.

• Montgomery, Douglas C., 2001, Design and Analysis ofExperiments 5th Ed, John Wiley & Sons, Inc., USA.