Kompletný prehľad matematiky zo základnej školy Nové!

Materiál zo študentského portálu ZONES.SK – Zóny pre každého študenta www.zones.sk

1

Jednoducho o matematike Prehľad matematiky zo základnej školy

Spracoval: Vladimír Rýs (voľne prístupná práca o matematike základnej školy)


2

1. Úvod Prečo vlastne chcem napísať tento prehľad?

Dôvod je úplne jednoduchý pri doučovaní detí v deviatom ročníku základnej školy som zistil

niektoré nedostatky. Tieto nedostatky by som chcel odstrániť vysvetlením učiva základnej

školy. Toto vysvetlenie by nemalo byť ani tak matematické, ako jednoduché, logické a

pochopiteľné.

Štruktúra by mala byť zhruba podľa postupu výučby v jednotlivých ročníkoch na základnej

škole.

2. Čísla Prirodzené čísla: 1,2,3,4,5 ... nie je tam nula a záporné čísla označenie N

Celé čísla ...-3,-2,-1,0,1,2,3 ... je tam nula záporné a kladné čísla označenie Z

Racionálne čísla sú tam prirodzené čísla +celé čísla +desatinné čísla + zlomky označenie Q

Reálne čísla sú tam prirodzené čísla+ celé čísla+ racionálne čísla+ iracionálne čísla

(nerozumné) napríklad p =3,14159 označenie R

K tomuto netreba žiadny komentár to je axioma nedokazuje sa preto, lebo je to zrejmé.

3. Sčítavanie a odčítavanie Skúsme sčítať dve ľubovoľné čísla napríklad 2+3 každý povie 5 úplne samozrejme, ale ako

k tomu prišiel. Úplne jednoduchá odpoveď je tak ma to naučili. Dve jablká plus tri jablká to je

spolu päť jabĺk. To je jasné.

Dajme si však zložitejší príklad: -10+6 čo teraz ?

Skúsime použiť číselnú os.

záporné čísla - nula kladné čísla +

čísla vynesieme na číselnú os

-10

-10 -4 0

+6 -4

+6


3

Príklad -10+6= -4

Na číselnú os vynesieme čísla tak, ako ich budeme sčítavať najprv -10 smerom doľava podľa

konvencie pre záporné čísla a vyznačíme -10 na osi (fialové číslo). K tomuto bodu potom

vynesieme číslo +6 do od bodu -10 smerom doprava (zelené číslo). Výsledok je -4 (červené

číslo).

Ideme skúsiť ďalšie príklady bez vysvetlenia: -25-60=-85, -25+60=+35, 25+45=70

Ak sú znamienka čísiel rovnaké čísla vždy sčítame z pred výsledok dáme také znamienko ako

mali čísla.

Ak sú znamienka rôzne čísla odčítame a výsledné znamienko je to, ktoré stojí pri väčšom

čísle.

4. Základné pojmy, ktoré sa často mýlia

Súčet operácia sčítanie znak +

Rozdiel operácie odčítanie znak –

Súčin operácia násobenie znak . (krát)

Podiel operácia delenie znak : (delenie); (delenec : deliteľ= podiel) alebo v zlomku

��ľ = ��

5. Aritmetika a algebra

Najprv začneme s rozdielom medzi aritmetikou a algebrou : Aritmetika používa čísla algebra

používa písmená symboly.

Vysvetlíme si jednoduché pojmy

5.1 Komutatívny zákon hovorí o zámene môžeme ho použiť pri sčítaní a odčítaní

3-5+6-8=-5-8+6+3

a+b=b+a, -a-b=-b-a

3+6=6+3 -5-9=-9-5


4

pozor neplatí a-b≠b-a vyjadrenie v číselnej forme 6-9≠9-6=>-3≠3 to znamená že to nie je

správna úprava.

Znak =>vyplýva

Pozor ďalej neplatí a/b≠b/a a:b≠b:a vyjadrenie v číselnej forme 5/2≠2/5=>2,5≠0,4

5.2 Asociatívny zákon hovorí o združovaní v podstate o používaní zátvoriek

(a+b)+c=a+(b+c) v číselnej forme (5+3)+9=5+(3+9)=>17=17

5.3 Distributívny zákon hovorí o roznásobovaní

a.(c+d)=a.c+a.d

používame pravidlá pre násobenie + . + = +

- . - = +

+ . - = -

- . + = -

Príklad : -2.(5+7) tento príklad môžeme riešiť dvoma spôsobmi a to tak, že vypočítame

zátvorku a vynásobíme mínus dvoma. =>-2.12=-24 alebo to môžeme vyriešiť roznásobením

čo vyzerá nasledovne =>(-2).5+(-2).7=-10+(-14)=-24. Čo nás môže viesť k zovšeobecneniu že

a.(b+c)=a.b+a.c

a máme všeobecný vzorec pre výpočet.

Skúsme zložitejší príklad: (a+b).(c+d)=a.c+a.d+b.c+b.d odvodili sme vzorec a skúsme či

funguje

Príklad: (2+6).(9+4)=2.9+2.4+6.9+6.4=18+8+54+24=104 riešenie roznásobením

(2+6).(9+4)=8*13=104 riešenie najprv vykonané matematické úkony v zátvorkách.

�í�� ∶ (� + �)� = �� + 2. �. � + �� dôležité �� !�é ∶ (� + �). (� + �) = �. � + �. � + �. � + �. � = �� + 2. �. � + ��


5

Geometrické odvodenie:

�í�� ∶ (� − �)� = �� − 2. �. � + ��

�� !�é: (� − �). (� − �) = �. � − �� − �� + �. � = �� + 2. �. � + ��

Geometrické odvodenie:

K týmto obrázkom nie je nutné ďalšie vysvetlenie.

Ešte skúsme odvodiť jeden vzorec, ktorý bude potrebný pre naše ďalšie úvahy:

(� + �). (� − �) = �. � − �. � + �. � − �. � = �� − �� potom platí vzťah

(� + �). (� − �) = �� − ��

a

b

a b

��

�� . �

a.b

a

b

a

b

��

��

�. �

a.b

��

��


6

Napíšme zlomok

−�� = �

−� = − ��

Platí ako pre násobenie aj delenie teda aj pre zlomky nasledovné

+ : + = +

- : - = +

+ : - = -

-. + = -

Ešte jednu poznámku, aby sa nezabudlo a to mínus pred zátvorkou.

Dôležité : Ak je pred zátvorkou mínus v zátvorke sa menia znamienka na opačné

Ak je pred zátvorkou plus v zátvorke zostanú pôvodné znamienka

Príklad: -(-5a+3ab-9b+2b+6ab+b)=+5a-3ab+9b-2b-6ab-b=+5a-9ab+6b

Príklad: +(-5a+3ab-9b+2b+6ab+b)=-5a+3ab-9b+2b+6ab+b=-5a+9ab-6b

Príklad: (% − 1). (% + 1) = %. % + % − % − 1.1 = %� − 1� = %� − 1


7

6. Zlomky

Zlomok je časť celku. zlomková čiara

č ��ľ ��ľ

Zlomok je pravý ak je čitateľ menší ako menovateľ (), �

(* , (,- (

Nepravý zlomok je keď má zlomok čitateľa väčšieho ako menovateľa a vždy je ho možné

upraviť na zmiešané číslo a to na celé číslo a zlomok.

.í��: /- = 2 (

- ako sme dostali tento výsledok => 7:3=2 zvyšok 1 (2x3=6 a zvyšok 1)

zvyšok zapíšeme vo forme zlomku (-, lebo sme delili trojkou.

.�í�� ∶ ((- = 3 �

- =>11:3=3 zvyšok 2 zapíšeme ako �-

Tieto dva príklady nám ukazujú ako dostať z nepravého zlomku zmiešané číslo.

Skúsme aplikovať opačný postup ako získať zo zmiešaného čísla zlomok:

Príklad: 3 �- =

-.-1�- = ((

- popis výpočtu: čitateľ = menovateľ vynásobený celým číslom pred

zlomkom spočítame s čitateľom zlomku ; menovateľ =opíšeme pôvodný

Príklad : 2 (-=

�.-1(-

/-

6.1 Desatinné čísla a zlomky

Ak vydelíme čitateľa zlomku menovateľom získame desatinné číslo: (� = 1: 2 = 0,5

34 = 3: 4 = 0,75

227 = 22: 7 = 3,1429

6.2 Sčítavanie a odčítavanie zlomkov

Zlomky sčítavame tak, ak majú spoločný menovateľ ( to znamená v menovateli rovnaké

číslo) potom sčítame iba čitatele a menovateľa opíšeme. To platí aj pri odčítani.

Ak nemáme zlomok z rovnakým menovateľom potom ich musíme upraviť na spoločného

menovateľa a až potom sčítať.


8

Príklady:

() + �

) = -) Na koľko zlomky majú spoločného menovateľa, ktorým je číslo 8 , sčítame

čitatele 1+2 a opíšeme menovateľ.

(, + �

- = (, + �.�

, = (, + 7

, = *,

Popis výpočtu: Tieto dva zlomky nemajú spoločného menovateľa musíme určiť spoločného

menovateľa v tomto prípade číslo 6, lebo číslo 6 je deliteľné číslom 6 a číslom 3. Prvý zlomok

ostane v pôvodnom stave a druhý upravíme na šestiny a to tak, že menovateľa číslo 6

podelíme číslom 3 čo je číslo 2 a týmto číslom vynásobíme číslo dva v čitateli 2.2=4 čo je

nový čitateľ zlomku. Teda nový druhý zlomok je 7, a teraz, keď už máme zlomky z rovnakým

menovateľom môžeme sčítať čitatele 1+4=5 a opísať menovateľa číslo 6 výsledok je *,.

Ak máme viac zlomkov musíme určiť spoločný menovateľ pre všetky zlomky:

Ak sa nevieme rozhodnúť ktorý je spoločný menovateľ jednoducho vynásobíme menovatele

medzi sebou a máme spoločného menovateľa.

Príklad:

18 + 3

6 = 1.6 + 3.86.8 = 6 + 24

48 = 3048 = ��í � č ��ľ� � ��ľ� �� = 30: 2

48: 2 == 15

24

Iné riešenie

() + -

, = (.-1-.7�7 = -1(�

�7 = (*�7 v tomto prípade sme našli najmenšieho spoločného

menovateľa čo je v tomto prípade 24 a ako vidíme výsledok máme v základnom tvare

zlomku. (Základný tvar zlomku definícia: Ak čísla v čitateli a menovateli majú najväčšieho

spoločného deliteľa jednotku to znamená že sú nesúdeliteľné.

Ak máme viac zlomkov napríklad:

16 + 1

12 + 324 − 2

3 = 1.4 + 1.2 + 3.1 − 2.824 = 4 + 2 + 3 − 16

24 = −724

6.3 Násobenie zlomkov

Násobenie zlomkov je pomerne jednoduché definícia je nasledovná zlomok zlomkom

násobíme tak, že čitateľa vynásobíme čitateľom a menovateľa vynásobíme menovateľom.

Príklad: -) . �

* = -.�).* = ,

7: ;��í � �� <á��ý �� ,:�7::� = -

�:


9

Príklad: − -) . �

* = − ,7: = -

�:

Príklad: 3

−8 . 25 = 6

−40 = 3−20 = 3: (−20) = −6,6777 = − 3

20 ako narábať s mínusovým

znamienkom v menovateli zlomku.

Príklad: −38 . 2

5 = −640 = −3

20 = (−3): 20 = −6,6777 = − 320 ako narábať s mínusovým

znamienkom v čitateli zlomku.

Podľa čl. 5.3 Distributívny zákon ako narábať zo znamienkami pri násobení a delení.

6.4 Delenie zlomkov

Definícia delenia zlomkov : Zlomok zlomkom delíme tak, že prvý zlomok opíšeme

a vynásobíme prevrátenou hodnotou druhého zlomku. Prevrátená hodnota zlomku znamená

, že vymeníme čitateľa za menovateľa.

Príklad: �:* : ,

- = (20: 5): (6: 3) = 4: 2 = 2 Ten istý príklad, ale podľa definícii delenia zlomkov: �:

* : ,- = �:

* . -, = ,:

-: = 60: 30 = 2

Príklad je možné napísať aj ako takzvaný zložený zlomok:

?@ABC

= �:* . -

, = ,:-: = 60: 30 = 2

6.5 Rozširovanie a krátenie zlomkov

Rozšírenie zlomku znamená vynásobiť čitateľa aj menovateľa tým istým číslom rôznym od

nuly.

(Hodnota zlomku sa rozšírením nezmení)

Príklad: 34 = ��<ší� � ℎ� ��í�� číF�� 2 = 3.2

4.2 = 68 => -

7 = 0,75 ...... ,) = 0,75

Vidíme, že rozšírením sa hodnota zlomku nemení

Krátiť zlomok znamená deliť čitateľa aj menovateľa tým istým číslom rôznym do

nuly.(Hodnota zlomku sa nemení)

Príklad: 68 = ��á� � ℎ� číF�� 2 = 6:2

8:2 = 34


10

6.5 Porovnávanie zlomkov

Zlomky porovnávame krátením:

Príklad : porovnajte 34 a

2432 zlomok

34 G� � <á�� upravme na základný tvar

zlomok 2432 = 24:2

32:2 = 12:416:4 = 3

4 môžeme napísať, že 34 = 24

32

Použitím krížového pravidla :

Príklad: porovnajte 34 a

2432 ;

34

2432 násobíme v smere šípok 3.32=96; 4.24=96 tým že

máme rovnaké výsledky pri násobení zlomky sa rovnajú ak by sme dostali rôzne výsledky

zlomky sa nerovnajú.

.�í��: -) � )

-� = -) � ):7

-�:7 = �) ; -

) > �) z uvedeného výpočtu ak máme spoločného

menovateľa porovnáme čitateľe 38 > )

-� keď si nevime pomôcť použijeme kalkulačku

A zlomky vydelíme -) = 3: 8 = 0,375 � )

-� = 8: 32 = 0,250 => že 0,375>0,25 to znamená, že

38 > )

-�.

6.6 Deliteľnosť čísiel

Prirodzené číslo je deliteľné bezozbytku:

2- ak je na konci párne číslo 0,2,4,6,8 ....

3- ak je ciferný súčet čísiel deliteľný tromi

111111111 ciferný súčet čísiel 1+1+1+1+1+1+1+1+1=9/3=3 číslo (11111111) je

deliteľné 3 bezo zvyšku.

4- ak je posledné dvojčíslie deliteľné 4,alebo sa číslo končí dvoma nulami ( číslo končiace

dvoma nulami je vždy deliteľné stovkou a stovka je deliteľná štyrmi 100/4=25 číslo je

deliteľné štyrmi.

5- ak sa číslo končí 5 alebo 0

6- ak je číslo deliteľné dvomi a súčasne tromi

2406- číslo je párne je deliteľné dvomi

2406= ciferný šúčet je 2+4+0+6=12:3=4 deliteľné tromi bez zvyšku znamená že je

deliteľné tromi => číslo 2406 je deliteľné dvoma a troma je deliteľné aj šiestimi.


11

8- ak je posledné trojčíslie deliteľné ôsmimi

9- ak je ciferný súčet deliteľný deviatimi

10- ak sa číslo končí nulou

7. Lomené výrazy Začnime príkladom

7J(,J = 7

(, . JJ = 7:7

(,:7.J J =(

7 . JJ = ( 7

��=1

Môžeme krátiť v zlomkoch len vtedy ak je v čitateli aj menovateli súčin (čiže krát)

Príklad : �+3

6 nemôžeme krátiť ,ale môžeme rozložiť na dva zlomky =�6 + 3

6 = �6 + 3:3

6:3 = �6 + 1

2

Príklad: 2

�−2 nemôžeme krátiť nedá sa rozložiť ani na dva zlomky

Príklad: �+2�+2 = (�+2)

(�+2) = 1

Príklad: 12%K6%K = (12%K): (6%K) = 2

8. Mocniny , odmocniny

Mocniny : príklad 5.5.5.5.5=3125

Výhodnejší je zápis 5* = 3125 čítaj päť umocnené na piatu

Odmocnina opačný proces ako umocňovanie

√3125 = 5A čítaj piata odmocnina z 3125


12

Príklad umocnime desatinné číslo: 0,3� = 0,3.0,3 = 0,09 vynásobíme 3.3=9 a teraz počet

desatinných miest každý člen má jedno desatinné miesto sú dva to znamená jedno desatinné

miesto krát dva rovná sa dve desatinné miesta to znamená, že 9 bude na mieste stotín.

Umocnime desatinné číslo:0,03� = 0,03.0,03 = 0,0009 ; 3.3=9 počet núl 2x2=4

Dve desatinné miesta

Dva činiteľe

Z uvedeného vidíme, že pri umocňovaní (násobení) desatinného čísla sa spočítavajú

desatinné miesta 0,03.0,03 spolu dve +dve desatinné miesta to znamená spolu 4 desatinné

miesta, 3x3=9 a odzadu dáme 4 desatinné miesta výsledok 0,0009

Deviatka je na

štvrtom desatinnom mieste

Príklad: odmocnime desatinné číslo napríklad√0,000008 C =0,02

6 desatinných čísiel deleno 3=2

Príklad:√0,000027 C =0,03

Ak je počet čísiel za desatinnou čiarkou deliteľný číslom odmocniny bezo zvyšku teraz je to 6

desatín za desatinnou čiarkou delené trojkou => 6:3=2 výsledok bude ako √27C=3 ku

ktorému pridáme dve desatinné miesta odzadu, teda trojka bude na druhom desatinnom

mieste výsledok je 0,03.

Príklad: 0,0000001� = 0,00000000000001

7.2=14 14

8.1 Umocňovanie čísiel

.�í��: 3� = 3.3 = 9 kladné čísla

.�í��: (− 3)� = (−3). (−3) = 9 záporné čísla na druhú

Zistili sme zaujímavú skutočnosť: (−3)� = 3� = 9 ale je na mieste otázka čo je potom √92=? Bez

zdôvodnenia napíšeme √92 =|3|

Číslo tri je v absolútnej hodnote : znak |číslo| je absolútna hodnota.


13

Z uvedeného je zrejmé, že druhá odmocnina zo záporného čísla nemôže byť reálne číslo je to

takzvané imaginárne číslo.

.�í��: (− 3)- = (−3). (−3). (−3) = 9. (−3) = −27 záporné čísla na tretiu

8.2 Umocňovanie čísiel

Sčítavať a odčítavať môžeme iba mocniny s rovnakým základom a rovnakým exponemtom

Príklad: �� + �� = 2. ��

Pre súčin mocnín s rovnakým základom platí : �M . �� = �(M1�) a ∈ O ( a patrí do

množiny reálnych čísiel)

m,n ∈ P (m a n patí do

množiny celých čísiel)

Príklad : ��.�7 =a.a. a.a.a.a=��17 = �,

2 + 4 = 6

Pre podiel mocnín s rovnakým základom platí: JQJR = �M ∶ �� = �(MS�)

Príklad: �): �� = J.J.J.J.J.J.J.JJ.J = �)S� = �,

Príklad: ��: �* = J.JJ.J.J.J.J = (

J.J.J = (JC = ��S* = �S-

Príklad: �*: �* = J.J.J.J.JJ.J.J.J.J = �*S* = �: = 1 � ≠0

Príklad: (

JR = J@JR = �:S� = �S�

Ďalšie vzorce : (�. �)� = �� . ��

(JU)� = (�: �)� = �� : �� b≠ 0

.�í�� ∶ (-.JU )- = (-.J)C

UC = �/.JCUC = 27. �-. �S- b≠ 0

(�M)�= �M.�


14

� QR = √��R

a≥ 0

Príklad: √%? = √%(? = % W? x≥ 0

Príklad: √%-C = % CC = %( = %

Príklad: √%.? √%? = %W?. %W

? = %WXW? = %?

? = %( = %

Pozor: √� ∓ � ≠ √� ∓√� neplatí

Príklad:√9 + 16? =√25?

= 5

√�. �R= √�.R √�R

a,b≥ 0

ZJU

R = √JR√UR = √�R : √�R

a,b≥ 0

[ √�RQ = √�Q.R a ≥ 0

Príklad:[√�C\ = Z�W

C\ = �

WC\W = �W.C.

W\ = � W

W? = √�W?

Dôležité: �: = 1 a ≠ 0


15

9 Výrazy (zdroj internet)


16


17


18


19


20

Násobíme každý člen s každým a potom sčítame to čo je rovnaké, pozri príklad hore.


21


22


23

9 Objem a povrch telies (zdroj internet)

Kváder má:

∼ 8 vrcholov – označujeme ich veľkými tlačenými písmenami

∼ 12 hrán – hrany môžu mať tri veľkosti - a, b, c ∼ 6 stien – steny sú tvorené obdĺžnikmi s rozmermi a, b, c

Veľkosti troch hrán vychádzajúcich z toho istého vrcholu sa nazývajú rozmery kvádra,

označujeme ich a, b, c.

Objem V kvádra s rozmermi a, b, c vypočítame

V = a.b.c

Povrch S kvádra vypočítame, ak sčítame obsahy všetkých stien

S = 2.(a.b + b.c + a.c)

Kocka má:

∼ 8 vrcholov – označujeme ich veľkými tlačenými písmenami ∼ 12 hrán – všetky hrany majú rovnakú veľkosť a ∼ 6 stien – všetky steny majú tvar štvorca s hranou dĺžky a

Kocka má všetky rozmery rovnaké, označujeme a.

Objem V kocky s hranou dĺžky a vypočítame

V = a.a.a = a3

Povrch S kocky vypočítame, ak sčítame obsahy všetkých jej stien

S = 6.a.a = 6��

Materiál zo študentského portálu

Siete kocky

Hranol

trojboký hranol

Pri výpočte objemu a povrchu hranola je podstatné, aký tvar má jeho podstava.

Vzorce pre rôzne podstavy hranolov nájdete v

Štvoruholníky.

Objem hranola

študentského portálu ZONES.SK – Zóny pre každého študenta

1 liter = 1 dm3

1 ml = 1 cm3

štvorboký hranol šesťboký hranol

povrchu hranola je podstatné, aký tvar má jeho podstava.

Vzorce pre rôzne podstavy hranolov nájdete v dokumentoch Trojuholník alebo

www.zones.sk

24

povrchu hranola je podstatné, aký tvar má jeho podstava.

dokumentoch Trojuholník alebo

Materiál zo študentského portálu

Povrch hranola

Sp – obsah podstavy

v – výška hranola

Spl – obsah plášťa

op – obvod podstavy

Valec

Objem valca

Povrch valca

10 Rovnice (zdroj internet)

Lineárnou rovnicou s neznámou x nazývame každú rovnicu tvaru ax + b = 0, kde a, b sú

reálne čísla a a ≠ 0.

Pri riešení môžu nastať 3 prípady:

ak a≠0, potom ax = -b a rovnica má práve jeden koreň x =

ak a = b = 0, po úprave dostaneme 0 = 0 a to je pravdivý výrok (rovnosť), takže pôvodná

rovnica má nekonečne veľa riešení resp. koreňom tejto rovnice je každ

ak a = 0, b ≠ 0, po úprave dostaneme 0 =

rovnosť - pôvodná rovnica nemá žiadne riešenie.

študentského portálu ZONES.SK – Zóny pre každého študenta

V = Sp.v

S = 2.Sp + Spl

Spl = op.v

V = πr2v

S = 2πr2 + 2πrv

zdroj internet)


Pri riešení môžu nastať 3 prípady:

b a rovnica má práve jeden koreň x = -b/a;


rovnica má nekonečne veľa riešení resp. koreňom tejto rovnice je každé reálne číslo;

≠ 0, po úprave dostaneme 0 = -b, a keďže b ≠ 0, tak sme dostali nepravdivú

pôvodná rovnica nemá žiadne riešenie.

www.zones.sk

25



é reálne číslo;

b, a keďže b ≠ 0, tak sme dostali nepravdivú


26

príklad

riešenie

eda množina riešení danej rovnice je P = {-2}.

Môžeme si po krokoch povedať, ako sme postupovali:

najskôr odstránime zátvorky - v našom prípade vynásobením;

nezabudnite, že násobíme každý člen výrazu v zátvorke;

napr. 2 · (3x - 7) - 5 = 6x - 14 - 5, teda násobím len výraz v zátvorke;

je to akoby sme prečítali „dva krát zátvorka mínus päť“

ale 2 · (3x - 7 - 5) = 6x - 14 - 10 = 6x - 24, násobíme aj číslo -5, lebo sa nachádza v zátvorke

odstránime zlomky (alebo zjednodušíme ľavú a pravú stranu rovnice a zlomky odstránime

neskôr - ako v predchádzajúcom príklade);

zlomky odstránime tak, že ľavú aj pravú stranu rovnice násobíme najmenším spoločným

násobkom všetkých menovateľov (pozrite: hľadanie najmenšieho spoločného násobku dvoch

čísel)

zjednodušíme obe strany rovnice a následne presunieme jednočleny s neznámou na jednu

stranu rovnice ( vyberiem si ľavú alebo pravú ) a čísla na druhú stranu

opäť zjednodušíme a následne celú rovnicu delíme koeficientom pred neznámou, v našom

prípade to bolo číslo -6;

skúšku správnosti prevedieme dosadením výsledku do zadania


27

ak sa Ľ = P, tak zapíšeme riešenie v tvare napr. K={-2} resp. P={-2}.

11 Nerovnice (zdroj internet) je to v češtine


28

12 Percentá (zdroj internet)


29


30


31


32

13 Pytagoorova veta (zdroj internet)


33

14 Goniometricke funkcie (zdroj internet)


34


35

Literatúra a zdroje:

Zdroje voľne prístupne internet..

Poznámka : práca neprešla jazykovou úpravou a je možné že sa v nej vyskytnú chyby ak na

niektoré dôjdete napíšte mailovú adresu: [email protected]

Kompletný prehľad matematiky zo základnej školy Nové!

Documents