Kleine Formelsammlung zu Signale und Systeme 2siflfran/uni/IuK/Semester3/SiSy2/Formelsammlung.pdf · Kleine Formelsammlung zu Signale und Systeme 2 2.3 Entzerrer Ein Signal, das durch
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Modulation e−atx(t) X(s− a) um Rea nachrechts verschoben
”Multiplikation mit t“,
Differentiation im Fre-quenzbereich
tx(t) − ddsX(s) unverandert
Differentiation im Zeit-bereich
ddtx(t) sX(s) Kb ⊇ KbX
Integration∫t
−∞ x(τ)dτ1sX(s) Kb ⊇ KbX ∩ s :
Res > 0
Achsenskalierung x(at) 1|a|X
(
sa
)
Kb mit Faktor a
skalieren
7
Tabelle 3: Einige bekannte Reihenentwicklungen
Reihe Formel Konvergenz
Harmonische Reihe∑∞
n=11n
divergiert
Geometrische Reihe∑∞
n=0qn 1
1−qfalls |q| < 1
∑∞n=1
(−1)n
nln 1
2
∑∞n=1
1n2
π2
6
∑∞n=1
1nα fur α > 1
∑mn=1n
m(m+1)2
∑mn=0q
n 1−qm+1
1−q
2.2 Symmetrien im Spektrum
x(t)reell
⇐⇒
X(jω) = X∗(−jω)
Re X(jω) = Re X(−jω)
Im X(jω) = −Im X(−jω)
|X(jω)| = |X(−jω)|
arg X(jω) = − arg X(−jω)
x(t) = Re xg(t) + Re xu(t) + jIm xg(t) + jIm xu(t)
X(jω) = Re Xg(jω) + jIm Xu(jω) + jIm Xg(jω) + Re Xu(jω)
8
Kleine Formelsammlung zu Signale und Systeme 2
2.3 Entzerrer
Ein Signal, das durch ein System mit der UbertragungsfunktionH(jω) ubertragen wurdesoll durch ein weiteres System mit der Ubertragungsfunktion HE(jω) entzerrt werden.
HE(jω) =1
H(jω)
2.4 Parsevalsches Theorem∫∞
−∞f(t) ∗ g(t)dt =
1
2π
∫∞
−∞F(jν) ·G∗(jν)dν
Energie eines Signals:
Ef =
∫∞
−∞f(t) · f∗(t)︸ ︷︷ ︸
|f(t)|2
dt =1
2π
∫∞
−∞F(jω) · F∗(jω)︸ ︷︷ ︸
|F(jω)|2
dω
3 Korrelation deterministischer Signale
3.1 Kreuzkorrelationsfunktion
ϕfg(τ) =
∫∞
−∞f(t+ τ)g∗(t)dt
3.2 Autokorrelationsfunktion
ϕff(τ) =
∫∞
−∞f(t + τ)f∗(t)dt
4 Diskrete Signale
4.1 Fourier-Transformation von Folgen
x(t) =
∞∑
µ=−∞
x0(t − µT) = x0(t) ∗1
T⊥⊥⊥
(
t
T
)
X(jω) = X0(jω) ⊥⊥⊥ ωT
2π=2π
T·
∞∑
µ=−∞
δ
(
ω −2π
Tµ
)
X0(jω)
4.2 Komplexe Fourier-Koeffizienten
Aν =1
TX0
(
j2πν
T
)
9
Tabelle 4: Korrespondenzen der Fourier-Transformation
x(t) X(jω) = Fx(t)
δ(t) 1
1 2πδ(ω)
δ(t) jω
1T⊥⊥⊥
(
1T
)
⊥⊥⊥(
ωT2π
)
ε(t) πδ(ω) + 1jω
rect(at) 1|a|
si(
ω2a
)
si(at) π|a|
rect(
ω2a
)
1t
−jπsign(ω)
sign(t) 2jω
ejω0t 2πδ(ω −ω0)
cos(ω0t) π[δ(ω +ω0) + δ(ω−ω0)]
sin(ω0t) jπ[δ(ω +ω0) − δ(ω−ω0)]
e−α|t|;α > 0 2αα2+ω2
e−a2t2√
πae
− ω2
4a2
10
Kleine Formelsammlung zu Signale und Systeme 2
Tabelle 5: Satze der Fourier-Transformation
x(t) X(jω) = Fx(t)
Lineariat Ax1(t) + Bx2(t) AX1(jω) + BX2(jω)
Verschiebung x(t − τ) e−jωτX(jω)
Modulation ejω0tx(t) X(j(ω −ω0))
Differentiation im Frequenzbereich tx(t) −dX(jω)
d(jω)
Differentiation im Zeitbereich dx(t)dt
jωX(jω)
Integration∫t
−∞ x(τ)dτ1
jωX(jω) + πX(0)δ(ω)
Ahnlichkeit x(at) 1|a|X
(
jωa
)
; a ∈ R \ 0
Faltung x1(t) ∗ x2(t) X1(jω) · X2(jω)
Multiplikation x1(t) · x2(t)12πX1(jω) ∗ X2(jω)
Dualitatx1(t)
x2(jt)
x2(jω)
2πx1(−ω)
Symmetrienx(−t)
x∗(t)
x∗(−t)
X(−jω)
X∗(−jω)
X∗(jω)
Parsevalsches Theorem∫∞
−∞ |x(t)|2dt 12π
∫∞−∞ |X(jω)|2dω
11
Tabelle 6: Korrespondenzen der Fourier-Transformation von Folgen
x[k] X(ejΩ) = F∗x[k]
δ[k] 1
ε[k] 11−e−jΩ + 1
2⊥⊥⊥
(
Ω2π
)
1 ⊥⊥⊥(
Ω2π
)
ejΩ0k ⊥⊥⊥(
Ω−Ω0
2π
)
cosΩ0k12
[
⊥⊥⊥(
Ω−Ω0
2π
)
+ ⊥⊥⊥(
Ω−Ω0
2π
)]
sinΩ0k12
[
⊥⊥⊥(
Ω−Ω0
2π
)
− ⊥⊥⊥(
Ω−Ω0
2π
)]
x[k] =
1 fur 0 ≤ k ≤ N
0 sonst
e−jΩN−12 · sin(NΩ
2 )sin(Ω
2 )
akε[k] 11−ae−jΩ
Tabelle 7: Satze der Fourier-Transformation von Folgen
Eigenschaft x[k] X(ejΩ) = F∗x[k]
Linearitat ax1[k] + bx2[k] aX1(ejΩ) + bX2(e
jΩ)
Verschiebungssatz x[k− κ] e−jΩκX(ejΩ); κ ∈ Z
Modulationssatz ejΩ0kx[k] X(ej(Ω−Ω0)); Ω0 ∈ R
Faltungssatz x1[k] ∗ x2[k] X1(ejΩ)X2(e
jΩ)
Multiplikationssatz x1[k]x2[k]12πX1(e
jΩ) ⊛ X2(ejΩ)
Parsevalsches Theorem∑∞
k=−∞ |x[k]|2 12π
∫π
−π|X(ejΩ)|dΩ
12
Kleine Formelsammlung zu Signale und Systeme 2
Tabelle 8: Abtastfrequenz fur kritische Abtastung
Signal Abtastfrequenz
Basisbandsignal ωa = 2ωg
komplexes Bandpaß-Signal ωa = ∆ω
reelles Bandpaß-Signal ωa = 2∆ω
4.3 F∗-Transformation
X(ejΩ) = F∗ x[k] =
∞∑
k=−∞
x[k]e−jkΩ
x[k] =1
2π
∫π
−π
X(ejΩ)ejkΩdΩ
4.3.1 Inverse F∗-Transformation
x[k] =1
2π
∫π
−π
X(
ejΩk)
dΩ
4.3.2 Zusammenhang zwischen Fxa(t) und F∗x[k]
Xa(jω) = X(ejωT)
4.3.3 Periodizitat des Spektrums
X(
ej(Ω+2π))
= X(
ejΩ)
4.3.4 Hinreichende Voraussetzung fur Existenz des Spektrums
∑
k
|x[k]| < ∞
4.3.5 Diskrete Faltung
y[k] = x[k] ∗ h[k] =
∞∑
κ=−∞
x[κ]h[k− κ] = h[k] ∗ x[k]
13
Tabelle 9: Korrespondenzen der zweiseitigen z-Transformation
x[k] X(z) = Zx[k] Kb
δ[k] 1 z ∈ C
ε[k] zz−1
|z| > 1
akε[k] zz−a
|z| > |a|
−akε[−k− 1] zz−a
|z| < |a|
kε[k] z(z−1)2 |z| > 1
kakε[k] az(z−a)2 |z| > |a|
sin(Ω0k)ε[k]zsinΩ0
z2−2zcos Ω0+1|z| > 1
cos(Ω0k)ε[k]z(z−cos Ω0)
z2−2zcos Ω0+1|z| > 1
14
Kleine Formelsammlung zu Signale und Systeme 2
Tabelle 10: Satze der zweiseitigen z-Transformation
4.4.2 Zusammenhang zwischen z- und F∗-Transformation
F∗x[k] = Zx[k]|z=ejΩ
X(z) = X(
rejΩ)
=∑
k
x[k](
rejΩ)−k
=∑
k
x[k]r−kejΩk = F∗x[k]r−k
4.4.3 Konvergenzbereich
1. Der Konvergenzbereich von X(z) besteht im allgemeinen aus einem Kreisring umden Ursprung der z-Ebene bei z = 0.
2. Wenn x[k] ein rechtsseitiges Signal ist, dann liegt der Konvergenzbereich außerhalbeines Kreises durch die am weitesten vom Ursprung entfernt liegende Singularitat.
3. Wenn x[k] ein linksseitiges Signal ist, dann liegt der Konvergenzbereich innerhalbeines Kreises durch die dem Ursprung am nachsten liegende Singularitat.
4. Ist x[k] zweiseitig bzw. die Summe einer linksseitigen und einer rechtsseitigen Folge,dann ist der Konvergenzbereich ein Kreisring zwischen zwei Singularitaten, fallssich der linksseitige under der rechtsseitige Konvergenzbereich uberlappen.
5. X(z) ist im gesamten Konvergenzbereich analytisch.
6. Wenn die Folge x[k] von endlicher Dauer ist, dann konvergiert X(z) in der gesamtenz-Ebene, außer moglicherweise fur z = 0 und z → ∞.
1. Das diskrete System mit der Systemfunktion H(z) =P(z)
Q(z)ist stabil, wenn das
Zahlerpolynom von Q(s) = Q(
s+1s−1
)
ein Hurwitz-Polynom ist und Q(1) 6= 0 ist.
22
Kleine Formelsammlung zu Signale und Systeme 2
2. Ein Diskretes LTI-System ist genau dann stabil, wenn alle Pole der SystemfunktionH(z) im Inneren des Einheitskreises der z-Ebene liegen.
3. Ein diskretes LTI-System ist genau dann stabil, wenn seine Impulsantwort absolutsummierbar ist.
∞∑
k=−∞
|h[k]| < M < ∞ ⇒ stabil
Kontinuierliche Systeme
1. Ein kontinuierliches LTI-System ist genau dann stabil, wenn seine Impulsantwortabsolut integrierbar ist.
∫∞
−∞|h(t)|dt < M < ∞ ⇒ stabil
2. Eine System ist dann stabil, wenn sein Nennerpolynom ein Hurwitz-Polynom ist.
Bringe H(s) auf die Form
H(s) =P(s)
Q(s)
so daß Q(s) die Form
Q(s) = sN + a1sN−1 + a2s
N−2 + · · · + aN−1s+ aN
hat und als Koeffizienten der hochsten Potenz sN eine Eins besitzt.
3. Bei einem kausalen, stabilen, kontinuierlichen LTI-System liegen alle Singularitatender Systemfunktion H(s) in der offenen linken Halbebene der s-Ebene.
Hurwitz-Polynom
• Notwendige Bedingung:
Alle Koeffizienten an sind positiv. Fur N = 1; 2 ist dies bereits hinreichend.
• Hinreichende Bedingung:
Fur N > 2: Stelle Hurwitz-Determinanten fur µ = 1; 2; . . . ;N mit anu = 0 furν > N auf: