Klasyczny rachunek zdań

Klasyczny rachunek zdańKlasyczny rachunek zdań

Na gruncie KRZ zdefiniujemy pojęcie WYNIKA LOGICZNEGO.

Pojęcie wynikania służyć nam będzie do analizy i klasyfikacji czynności poznawczych związanych z ROZUMOWANIEM.

Klasyczny rachunek zdań posłuży w szczególności do analizy poprawności (a w szczególności: dedukcyjności) wnioskowań subiektywnie pewnych (tj. takich, w których wniosek uznawany jest równie stanowczo co przesłanki), które zbudowane są ze zdań złożonych za pomocą SPÓJNIKÓW PRAWDZIWOŚCIOWYCH.

Wnioskowanie dedukcyjne to takie, w którym z przesłanek LOGICZNIE WYNIKA wniosek.

Zdaniowy spójnik prawdziwościowy jest to wyrażenie, które łącząc dwa zdania (albo łącząc się z jednym zdaniem), tworzy zdane złożone, którego wartość logiczna zależy wyłącznie od wartości logicznej zdań łączonych.

• Alfabet klasycznego rachunku zdań– Zmienne zdaniowe: p, q, r, s,… , p1, p2, ...

– Stałe logiczne: , , , , określane mianem funktorów: negacji, koniunkcji, alternatywy, implikacji, równoważności

– znaki pomocnicze: {, [, (, ), ], }

Definicja wyrażenia sensownego krzWyrażeniem sensownym krz nazywamy TAKI I TYLKO TAKI skończony ciąg symboli alfabetu języka krz, który jest zbudowany zgodnie z następującymi regułami:

1) Każda pojedyncza zmienna zdaniowa jest wyrażeniem sensownym krz;

2) Jeżeli i są wyrażeniami sensownymi krz, to , ( ), ( ), ( ), ( ) są wyrażeniami sensownymi krz.

Jak rozumieć wprowadzone symbole?• Spójnikiem głównym formuły nazywamy ten z jej

spójników, który nie występuje w argumencieżadnego innego spójnika w tej formule.Zmiennym zdaniowym odpowiadają proste zdania w sensie logiki (tj. te, które nie zawierają jako swej części właściwej zdań). Stałym logicznym KRZ odpowiadają prawdziwościowe zdaniowe spójniki języka polskiego:

Znak symbolizuje funkcję prawdziwościową Neg : {0, 1} |→ {0, 1} określoną przez równości:(i) Neg(1) = 0,(ii) Neg(0) = 1Funktorowi negacji odpowiada spójnik „nieprawda, że...”, np. zdanie „Nieprawda, że wszystkie twierdzenia filozofii są sensowne” zapisać można: p (uwaga na zdania: „Żaden logik nie jest filozofem Nieprawda, że wszyscy logicy są filozofami”, Nie lubię kotów Nieprawda, że lubię koty, Nie chcę się żenić = chcę się nie żenić nieprawda, że chcę się żenić;

Znak symbolizuje funkcję prawdziwościową K: {0, 1} x {0, 1}|→ {0, 1} określoną przez równości (i) K(1, 1) = 1,(ii) K(1, 0) = 0,(iii) K(0, 1) = 0,(iv) K(0, 0) = 0Funktorowi koniunkcji odpowiada dwuargumentowy spójnik „... i ___”, np. zdanie „Jan był w kinie a Mariola u sąsiada”, „Warszawa jest stolica Polski a Helsinki – Finlandii”, „Murarz domy buduje, krawiec ubrania szyje” zapisać można: (p q). Nie można: „Jan i Mariola pobrali się”. Zdania (lub zmienne) łączone spójnikiem (lub stałą) nazywać będziemy: członami koniunkcji (koniunktami);

Znak symbolizuje funkcję prawdziwościową D: {0, 1} x {0, 1}|→ {0, 1} określoną przez równości (i) D (1, 1) = 1,(ii) D(1, 0) = 1,(iii) D(0, 1) = 1,(iv) D(0, 0) = 0

Funktorowi alternatywy odpowiada dwuargumentowy spójnik „... lub ___”, np. zdanie „Marysia okłamała Kasię względnie to Kasia okłamała Marysię”, „Rozpoznasz Mariana po poplamionych farba spodniach albo po dziurawych butach”, „PiS podpisze umowę koalicyjną z Samoobroną względnie z PSL” zapisać można: (p q). Zdania (lub zmienne) łączone spójnikiem (lub stałą) nazywać będziemy: składnikami alternatywy;

Znak symbolizuje funkcję prawdziwościową I: {0, 1} x {0, 1}|→ {0, 1} określoną przez równości (i) I (1, 1) = 1,(ii) I (1, 0) = 0,(iii) I (0, 1) = 1,(iv) I (0, 0) = 1 Funktorowi implikacji odpowiada dwuargumentowy spójnik „jeżeli..., to ___”, np. zdanie „Jeżeli Jan był w Paryżu, to widział wieżę Eiffla”, „Wystarczy przeczytać podręcznik B. Stanosz, by zdać egzamin z logiki”, zapisać można: (p q). Zdania (lub zmienne) łączone spójnikiem (lub stałą) nazywać będziemy: poprzednikiem i następnikiem okresu warunkowego/implikacji

Znak symbolizuje funkcję prawdziwościową R: {0, 1} x {0, 1}|→ {0, 1} określoną przez równości (i) R (1, 1) = 1,(ii) R (1, 0) = 0,(iii) R (0, 1) = 0,(iv) R (0, 0) = 1. Funktorowi równoważności odpowiada dwuargumentowy spójnik „... zawsze i tylko wtedy, gdy ___”, np. zdanie „Marysia chwali Jana zawsze i tylko wtedy, gdy Jan chwali Marysię”, „Liczba dzieli się przez 3, gdy suma jej cyfr dzieli się przez 3” zapisać można: (p q). Zdania (lub zmienne) łączone spójnikiem (lub stałą) nazywać będziemy: lewą i prawą stroną równoważności.

Rola interpunkcji i nawiasów Wypowiedź:Premier kłamał lub był naiwny i osłaniał układy. jest amfibolią: Premier kłamał lub jednocześnie kłamiąc, osłaniał układy, albo Premier kłamał względnie był naiwny, a przy tym osłaniał układy.Podobnie wypowiedź:Nieprawda, że Jan zostanie w Polsce, jeśli Mariola wyjedzie do Anglii. Jan połozy nową glazurę w łazience i Jan pomaluje na czerwono korytarz, o ile Mariola mu na to pozwoli(„zarazem p i q, o ile Mariola mu na to wszystko pozwoli” lub „p, a zarazem o ile r, to q”)

Wartościowaniem nazywamy każdą funkcjęv: FORM |→ {0, 1} taką, że:(i) dla każdej zmiennej zdaniowej z: v(z) = 1 albo v(z) = 0;(ii) v(¬A) = 1 wtw v(A) = 0;(iii) v(A B) = 1 wtw v(A) = 1 oraz v(B) = 1;(iv) v(A B) = 1 wtw v(A) = 1 lub v(B) = 1;(v) v(A B) = 1 wtw v(A) = 0 lub v(B) = 1;(vi) v(A B) = 1 wtw v(A) = v(B).

Związek między zdefiniowanymi wyżej funkcjami prawdziwościowymiNeg, D, K, I, R a wartościowaniami jest następujący:Niech v będzie dowolnym wartościowaniem krz.(i) v(¬A) = Neg(v(A)),(ii) v(A B) = D(v(A), v(B)),(iii) v(A B) = K(v(A), v(B)),(iv) v(A → B) = I(v(A), v(B)),(v) v(A ↔ B) = R(v(A), v(B)).Aby obliczyć wartość formuły A przy danym wartościowaniu v, nietrzeba znać wartości wszystkich zmiennych zdaniowych przy tym wartościowaniu: wystarczy znać wartości logiczne przyporządkowane przez v zmiennym występującym w analizowanej formule A.

FORMUŁA jest spełniona przez wartościowanie v (wartościowanie v spełnia formułę ) ztw v() = 1.ZBIÓR formuł X jest spełniony przez wartościowanie v (symbolicznie v(X) {1}) ztw każdemu elementowi należącemu do zbioru X wartościowanie v przypisuje wartość 1.

Niech vk będzie wartościowaniem krz określonym tak, że:vk: p1 {1}

p2 {0}

p3 {1}czyli: pi {1}, jeśli i jest liczbą nieparzystą

pi {0}, jeśli i jest liczbą parzystąRozpatrzmy teraz formułę (*) (p11 (p13 p4)). Czy wartościowanie vk spełnia formułę (*)? Rozpatrzmy teraz zbiór Z = {p9, p4 p7, (p1 p5)}. Czy zbiór ten jest spełniony przez wartościowanie vk?

Warto zauważyć, że:1. Nie istnieje takie wartościowanie v, że v(p q) = 1 i v(p q) = 1Formuły, które przy żadnym wartościowaniu nie są jednocześnie prawdziwe to formuły, które się logicznie wykluczają.2. Nie istnieje takie wartościowanie v, że v(p q) = 0 i v(p q) = 0Formuły, które przy żadnym wartościowaniu nie są jednocześnie fałszywe to formuły, które się logicznie dopełniają.3. Nie istnieje wartościowanie v takie, że v(p q) = 1 i v(p) = 0Z formuły wynika logicznie (na gruncie krz) formuła (╞krz ) ztw nie ma takiego wartościowania krz v, że: v() = 1 i v() = 0; każde wartościowanie spełniające formułę spełnia formułę .A ogólniej:Ze zbioru formuł X wynika logicznie (na gruncie krz) formuła (X╞krz ), ztw każde wartościowanie spełniające zbiór X spełnia i formułę .

Tautologia krz to formuła spełniona przez każde wartościowanie krz. Tautologia to – mówiąc swobodniej – formuła, która nie może być fałszywa. Tautologia to schemat zdań wyłącznie prawdziwych.Gdy chcemy sprawdzić, czy formuła jest tautologią, najłatwiej sprawdzić to nie wprost szukając takiego wartościowania krz, by v() = 0.PrzykładCzy (p (q r)) ((p q) (p r)jest tautologią?

Ważna obserwacja: Każda tautologia wynika ze zbioru pustego, tj. jeśli ╞krz , to jest tautologią.Ważnym twierdzeniem, które teraz pozostawimy bez dowodu jest tzw. twierdzenie o dedukcji.

X {}╞KRZ ztw X╞KRZ ( )Czyli:

Jeżeli z pewnego zbioru przesłanek (wśród których jest formuła ) wynika formuła , to ze zbioru przesłanek (<<pomniejszonego>> o jedną z przesłanek ) wynika implikacja, której poprzednikiem jest ta przesłanka a następnikiem formuła .

Zastosowanie twierdzenia o dedukcji:

Czy (pq) ╞ (pq)?

Na mocy twierdzenia o dedukcji mamy:

(pq) ╞ (pq) ztw ╞ (pq) (pq).

Czyli z formuły (pq) wyniakć logicznie będzie formuła (pq), gdy (pq) (pq) będzie tautologią

Ważniejsze prawa rachunku zdań:prawo tożsamości (każde zdanie implikuje siebie) p pprawo podwójnego przeczenia p pprawo przemienności koniunkcji (pq) (qp)prawo przemienności alternatywy (pq) (qp)prawo łączności koniunkcji [(pq)r] [p(qr)]prawo łączności alternatywy [(pq)r] [p(qr)]prawo idempotentności koniunkcji p (pp)prawo idempotentności alternatywy p (pp)

prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy [p(qr)] [(pq)(pr)]posprzątam jak i czy to popiorę czy poprasuje czy to posprzątam i popiorę, czy też posprzątam i poprasujęprawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji [p(qr)] [(pq)(pr)]kupię dom lub jednocześnie kupię samochód a sprzedam działkę jednocześnie kupię dom lub samochód, jak też kupie dom względnie sprzedam działkęprawo wyłączonego środka (z dwóch zdań: zdania lub jego zaprzeczenia jedno zawsze jest prawdziwe) p pprawo to jest odpowiednikiem reguły tertium non datur (łac. trzeciej możliwości nie ma) prawo niesprzeczności (nie może być jednocześnie prawdziwe zdanie i jego zaprzeczenie) (p p)prawa pochłaniania p (pq); (pp) p

• pierwsze prawo De Morgana (prawo zaprzeczenia alternatywy) • drugie prawo De Morgana (prawo zaprzeczenia koniunkcji) • prawo Claviusa (jeżeli zdanie wynika ze swojego zaprzeczenia, to jest prawdziwe) (pp)p• prawo Dunsa Szkota (jeżeli zdanie jest fałszywe, to wynika wynika z niego każde inne zdanie)

p (pq)• prawo symplifikacji (jeżeli zdanie jest prawdziwe, to wynika ona z każdego innego) p(qp)• prawo sylogizmu, prawo przechodności implikacji (jeżeli z jednego zdania wynika drugie i z

drugiego trzecie, to z pierwszego wynika trzecie) • prawa transpozycji jeżeli z jednego zdania wynika drugie, to z zaprzeczenia drugiego wynika

zaprzeczenie pierwszego • modus tollendo tollens (łac. sposób zaprzeczający przy pomocy zaprzeczenia) [(pq) q]

p• modus tollendo ponens (łac. sposób potwierdzający przy pomocy zaprzeczenia) [(pq) p]

q• modus ponendo tollens (łac. sposób zaprzeczający przy pomocy potwierdzenia) [(pq) p]

q• modus ponendo ponens: [(pq) p] q• prawo eliminacji implikacji (pq) (p q)• prawo zaprzeczenia implikacji (pq) (p q)• prawo redukcji do absurdu (reductio ad absurdum) [(pq) (pq)] p• prawo Fregego [p(qr)] [(pq) (pr)]