KLASIK EKTRODİNAM1K

A.Ü.F.F. Döner Sermaye Iş letmesi Yay ınları

No: 36

KLASIK EKTRODİNAM1K

(iKiNCI BASKI)

Yazan JOHN DAVID JACKSON

Fizik Profesörü, Kaliforniya üniversitesi, Berkeley

ANKARA

Çeviren Prof. Dr. Zeki Zekeriya AYDIN

A.C. Fen Fakültesi

A.U.F.F. Döner Sermaye iş letmesi 'Yay ınları

No: 36

KLASİK ELEKTROD İNAMİK

(İ Kİ NCİ BASKİ )

Yazan JOHN DAVID JACKSON

Fizik Profesörü, Kaliforniya Üniversitesi, Berkeley

ANKARA

Çeviren Prof. Dr. Zeki Zekeriya AYDIN

A.Ü. Fen Fakültesi

Bu çeviri, 1962'de yaz ı lan ve daha sonra geni ş letlerek 1975'de yeniden bas ı lan [John David Jackson, Electrodynamics, John Wiley and Sons, New York (1975)] adl ı kitabın ilk yedi bölümünü kapsamaktad ır. Aslında kitabın tamamı , ikinci bas ımda eklenen Giri ş bölümüyle birlikte 18 bölümden oluşmakta ve yazarının da dediğ i gibi, bir bütün olarak daha çok lisans-üstü ö ğrencilere hitap etmektedir.

Elektromanyetik teori, klasik mekanik ve kuantum mekani-ğiyle birlikte, lisans ve lisans-üstü düzeyde günümüz fizik eğitiminin temelini oluş turmaktadı r. Bu nedenle, tipik bir fizik lisans program ında, temel fizikten sonra iki yarı-yı llı k bir elektromanyetizma dersi olmal ı ; bu derste temel yasalar ve sonuçları , bunların laboratuvar gerçeklemeleri, devre analizi, basit dalga olaylar ı ve ışı maya önem verilmelidir. Kullanılacak matematik, vektör hesap, sabit katsayı lı diferan-siyel denklemler, Fourier serileri ve belki de Fourier ya da Laplace dönüşümleri, parçalı diferansiyel denklemler, Legendre çok-terimlileri ve Bessel fonksiyonlar ı gibi konuları içer-melidir.

Türkiye'deki fizik bölümlerinin çoğunda 2. yarlyı lda bir elektrik ve manyetizmaya giri ş dersi okutulmakta, 4. yarly ı lda da Berkeley Fizik Program ı 'nın "Elektrik ve Manyetizma" cildi ya da benzeri bir ders verilmektedir. Bu iki dersin üzerine, dördüncü yı lda iki yar ı-yı l halinde bu yedi bölümlük temel elektromanyetik teori anlat ılabilir. Bu program, uzun y ı llar-dan beri. Ankara Fen Fakültesi Fizik Bölümünde uygulanm ış ve az ımsanmayacak bir baş arı elde edilmiş tir. Kitabın geri kalan kı smını (özellikle 11. bölümden sonras ını ) lisans-üstü s ınıf-larda okutmakta olduğumuz için, akademik hayata haz ı rlanan öğrencileri İngilizce okumaya zorlamak dü şüncesiyle bu k ı s ım-ları çevirmekten özellikle kaç ındığı mı z ı belirtmeliyim. Döndüncü s ınıfa, Berkeley ile bu çeviri aras ında yer alan orta-karar düzeyde bir ders koyup, Jackson' ın elektrodinamik kitabını tümüyle lisans-üstüne kayd ırmak düşünülebilir. Bu durumda da programda çok fazla say ıda elektromanyetizma dersi bulunduğu ileri sürülecektir.

Elektromanyetizma'n ın Maxwel teorisini sunmayı amaçlayan bu çeviri, geleneksel olarak elektrostatikle ba ş lar. Gerekli matematiksel araçlar yeri geldikçe kurulur; özellikle Bölüm 2 ve 3'de, s ınır-değer problemleri enine-boyuna tart ışı l ır. Türetmeye E elektrik alan ı ve B manyetik indüksiyonu cinsinden baş lanır; makroskobik D ve H nicelikleri ise atom ve molekül

iv

toplulukları üzerinden uygun ortalamalar ş eklinde ortaya at ı l ırlar. Dielektriklerin tart ışı lmas ında, atomik kutuplan ı r-lı k için basit klasik modeller betimlenir; fakat manyetik maddeler için buna giri ş ilmez. Çünkü manyetik al ınganl ık için klasik modeller olas ı değ ildir. Ayrıca ilginç bir konu olan ferromanyetizma olay ının aydınlat ı lması neredeyse kendi taşı na ayr ı bir kitap oluş turur.

Elektromanyetik olaylara bir örnek olarak, ışığı n elekt-romanyetik teorisi Bölüm 7'de incelenmektedir. Bu bölümde ayrıca dielektriklerin, iletkenlerin ve plazmalar ın frekans dağı tma karakteristikleri birle ş tirilmiş biçimde tart ışı lmak-ta; neden-sonuç ilişkisi (kozalite) ile Kramers-Kronig da ğı tma bağı ntıları ele al ınmakta ve nihayet dağı tıcı bir ortamda bir sinyalin hedefine yarışı ile ilgili klasik Sommerfeld-Bril-louin problemi basitleş tirilmiş , fakat geni ş bir biçimde sunulmaktad ı r. İ kinci bas ımda eklenen bu kesimler lisans öğrencilerine anlat ı lmayabilir.

Birimler ve boyutlar üzerine olan Ek'te, bir birim siste-mini kurarken izlenecek mant ıksal basamaklar gösterilmektedir. Yararl ı olacağı sanı lan tablolardan birinde denklemlerin ve sembollerin, diğerinde ise verilen bir niceli ğ in Gaussiyen birimlerden MKS birimlerine çevrilmesi yer almaktad ı r.

V

IÇINDEKILER

ÖNSÖZ

BÖLÜM O. GİRİŞ VE GENEL BAKIŞ 1

G.1. Boş lukta Maxwell Denklemleri, Alanlar ve Kay-naklar 2

G.2. Ters Kare Yasas ı ya da Fotonun Kütlesi 6

G.3. Çizgisel Üstüste Gelme 10

G.4. Makroskopik Ortamlarda Maxwell Denklemleri 15

G.5. Farkl ı Ortamlar ın Arakesit Yüzeylerinde Sını r Koşulları 20

G.6. Elektromanyetizmadaki Soyutlamalar Üzerine Baz ı Uyarmalar 26

Kaynaklar ve Önerilen Okuma Parçaları 30

BÖLÜM 1 ELEKTROSTATİĞ E GİRİŞ 33

1.1. Coulomb Yasas ı 33

1.2. Elektrik Alanı 33

1.3. Gauss Yasas ı 37

1.4. Gauss Yasas ının Diferansiyel Ş ekli 40

1.5. Elektrostatiğ in Bir Baş ka Denklemi ve Skaler Potansiyel 40

1.6. Yüzeysel Yük ve Çift-kutup Dağı lımları ,Elekt- rik Alanı ve Potansiyeldeki Süreksizlikler 43

1.7. Poisson ve Laplace Denklemleri 48

1.8. Green Teoremi 50

1.9. Dirichlet ya da Neumann S ınır Koşulları ile Çözümün Tekliğ i 52

1.10. Elektrostatik Sını r-değer Problemlerinin Green Fonksiyonuyle Çözümü 54

1,11. Elektrostatik Potansiyel Enerji ve Enerji Yoğunluğu, Sığ a 57

Kaynaklar ve Önerilen Okuma Parçalar ı 62

VI

Sayfa

Problemler

63

BÖLÜM 2 ELEXTROSTATİKTE SINIR-DEĞER PROB-

LEMLERİ • ı 69 2.1. Görüntü Yükleri Yöntemi 69

2.2. Topraklanm ış İ letken Küre Karşı s ında Noktasal Yük 70

2.3. Yal ı tı lmış , Yüklü Bir İ letken Küre Karşı s ında Noktasal Yük 74

2.4. Sabit Potansiyeldeki İ letken Küre Yak ınında Noktasal Yük 76

2.5. Görüntü Yükleri Yöntemiyle Düzgün Elektrik Alanında İ letken Küre 76

2.6. Küre için Green Fonksiyonu, Potansiyelin Genel Çözümü 78

2.7. Yarı -küreleri Ayr ı Potansiyelde Tutulan İ letken Küre 80

2.8. Dik Fonksiyonlar ve Aç ı l ımlar 82

2.9. Değ iş kenlerin Ayrı lmas ı , Dik Koordinatlarda Laplace Denklemi 86

2.10. İ ki-boyutlu Bir Potansiyel Problemi, Bir Fourier Serisinin Toplanmas ı 90

2.11. İ ki-boyutlu Köşe ve Kenarlarda Alanlar ve Yük Yoğunlukları 94

Önerilen Kaynaklar ve Okuma Parçalar ı 99

Problemler 100

BÖLÜM 3 ELEKTROSTATİKTE SINIR-DEĞER PROB-

LEMLERİ • 2 108

3.1. Küresel Koordinatlarda Laplace Denklemi 108

3.2. Legendre Denklemi ve Legendre Çok-terimlileri 110

3.3. Eksensel Simetrili S ını r-değer Problemleri 117

3.4. Bir Konisel Oyukta ya da Sivri Bir Konisel Uç Dolayında Alanlar ı n Davran ışı 121

V İİ

Sayfa

3.5. Bağ l ı Legendre Fonksiyonlar ı ve Y m (O,o) Küresel Harmonikleri 126

3.6. Küresel Harmenikler İçin Toplama Teeremi 130

3.7. Silindirik Koordinatlarda Laplace Denklemi, Bessel Fonksiyonlar ı 133

3.8. Silindirik Koordinatlarda S ı nır-değer Prob- lemleri 140

3.9. Green Fonksiyonlar ının Küresel Koordinatlarda Açı l ımı 143

3.10. Potansiyel Problemlerinin Küresel Green Fonksiyonu Aç ı lımıyla Çözümü 147

3.11. Silindirik Koordinatlarda Green Fonksiyon- larının Aç ı lan' 151

3.12. Green Fonksiyonlar ı İ çin Özfonksiyon Aç ı l ım- ları 154

3.13. Kar ışı k Sını r Koşulları , Dairesel Deliği Olan İ letken Düzlem 158

Kaynaklar ve Önerilen Okuma Parçaları 166 Problemler 166

BÖLÜM 4. ÇOK-KUTUPLAR, MAKROSKOBİK ORTAMLARDA ELEKTMSTATİK,DİELEKTRİKLER 178

4.1. Çok-kutup Aç ı lımı 178 4.2. Dış Alan İ çinde Bulunan Bir Yük Dağı l ımının

Enerjisinin Çok-kutup Aç ı lımı 185

4.3. Maddesel Ortamlarda Elektrostatik 187

4.4. Dielektrikli S ınır-değer Problemleri 192 4.5. Molekülsel Kutuplanırlık ve Elektriksel

Al ınganl ı k 199

4.6. Molekülsel Kutuplanı rl ık İ çin Modeller 203

4.7. Dielektrik Ortamlarda Elektrostatik Enerji 207

Kaynaklar ve Önerilen Okuma .Parçalar ı 214 Problemler 214

yin

Sayfa

BÖLÜM 5. MANYETOSTATİK 221

5.1. Giri ş ve Tanımlar 221 5.2. Biot ve Savart Yasas ı 222 5.3. Manyetostatiğ in Diferansiyel Denklemleri ve

Ampere Yasas ı 227

5.4. Vektör Potansiyeli 230

5.5. Dairesel Ak ı m Halkas ının Vektör Potansiyeli ve Manyetik İndüksiyonu 232

5.6. Yerleş ik Bir Akım Dağı lımının Manyetik Alan- ları , Manyetik Moment 237

5.7. Bir D ış Manyetik Alan İ çinde Yerleş ik Akım Dağı l ımına Uygulanan Kuvvet, Burulma ve Bu Dağı l ımın Enerjisi 242

5.8. Makroskobik Denklemler, B ve H Üzerindeki S ı nı r Koşulları 246

5.9. Manyetostatikte S ını r-değer Problemlerini Çözme Yöntemleri 251

5.10. Düzgün Mı knatıslanmış Küre 256 5.11. Bir Dış Alan İçinde Bulunan M ıknatıslanm ış

Küre, Sürekli M ı knat ı slar 259 5.12. Manyetik Perdeleme, Düzgün Bir Alan İ çinde

Geçirgen Maddeden Küresel Kabuk 261

5.13. Bir Taraf ında Asimtotik Olarak Düzgün Bir Teğetsel Manyetik Alan Bulunan Yetkin Bir İ letkerı Düzlem Üzerindeki Dairesel Deliğ in Etkisi 265

Kaynaklar ve Önerilen Okuma Parçalar ı 269

Problemler 269

BÖLÜM 6. ZAMANLA DEĞİŞ EN ALANLAR, MAXWELL DENKLEMLERİ , KORUNUM YASALAR İ

276

6.1. Faraday' ın İndüksiyon Yasas ı .......... 276

6.2. Manyetik Alandaki Enerji 281

6.3. Maxwell'in Yerde ğ iş tirme Akımı , Maxwell Denklemleri 286

ix

Sayfa

6.4. Vektör ve Skaler Potansiyeller 289

6.5. Ayar Dönüşümleri, Lorentz Ayar ı , Coulomb Ayarı 291

6.6. Dalga Denklemi İ çin Green Fonksiyonları 294 6.7. Makroskobik Elektromanyetizma Denklemlerinin

Türetilmesi 298

6.8. Poynting Teoremi ve Yüklü Parçac ıklarla Elektromanyetik Alanlardan Olu ş an Bir Sistem İçin Enerjinin ve Momentumun Korunumu 311

6.9. Makroskobik Ortamlar için Korunum Yasalar ı 316 6.10. Harmonik Alanlar İ çin Poynting Teoremi, İmpe -

dans ve Admitans' ın Alan Tanımları 318 6.11. Elektromanyetik. Alanlar ın ve Kaynaklar ın

Dönmeler, Uzaysal Yans ımalar ve Zaman Ters - lenmesi Alt ındaki Dönüşüm özellikleri 323

6.12. Manyetik Tek -kutuplar Sorunu üzerine 331

6.13. Dirac Kuantumlama Koşulunun Tartışı lmas ı 334 Kaynaklar ve Önerilen Okuma'Parçalar ı 341 Problemler 343

BÖLÜM 7. DÜZLEM ELEKTROMANYETIK DALGALAR VE DALGANIN YAYILMASI 354

7.1. İ letken Olmayan Ortamda Düzlem Dalgaları 354

7.2. Çizgisel ve Dairesel Kutuplanma, Stokes Parametreleri 360

7.3. Dielektrikler Aras ındaki Düzlemsel Arayüzeyde Elektromanyetik Dalgaların Yans ımas ı ve Kı rı lmas ı 366

7.4. Yans ımayla Kutuplanma ve Tam İ ç Yans ıma 371

7.5. Dielektrikler, İ letkenlerin ve Plazmaların Frekans Dağı tma özellikleri 374

7.6. İyonosferde ve Manyetosferde Basitleş tirilmiş Yayı lma Modeli 383

7.7. İ letken ya da Kayıplı Bir Ortamda Dalgalar 387

X

Sayfa

7.8. Tek-boyutta Dalgalar ın Üstüste Binmesi, Grup Hı zı 391

7.9. Dağı tmall Bir Ortamda İ lerlerken Bir Atman ın Geniş lemesinin Bir Örnekle Anlat ı lmas ı 395

7.10. D ve E Aras ındaki Bağ lantıda Neden-Sonuç iliş kisi, Kramers-Kronig Bağı ntı ları 400

7.11. Bir Sinyalin Da ğı tı c ı Ortamda İ lerledikten Sonra Hedefine Ulaşmas ı 409

Kaynaklar ve Önerilen Okuma Parçalar ı 427

Problemler 429

BİRİMLER VE BOYUTLAR ÜZERİNE EK 440

BİBLİYOGRAFYA 453

VEKTÜR FORMÜLLERİ 458

VEKTÜREL HESABA ILI ŞKIN TEOREMLER 459

VEKTÖREL İŞ LEMLERIN AÇIK BİÇİMLERi 460

GİRİŞ VE GENEL BAKIŞ

Kehribar ve mıknat ı s taşı eski Yunanl ı lardan beri bilindiğ i halde, elektrodinamik, nicel olarak bir yüzy ı ldan daha k ısa bir süre içerisinde geli ş tirilmiş tir. Cavendish'in göze çarpan elektrostatik deneyleri 1771 ile 1773 y ı lları arasında yapı lmış -tır. Coulomb gösteri ş li araş tırmalarını 1785'de yay ı nlamağ a baş lamış tır. Bu, elektrik ve manyetizmada evrensel nitelikli nicel araş tırmaların baş langı cı nı gösterir. Elli y ı l sonra, Faraday, zamanla değ işen akımların ve manyetik alanlar ın etkile-rini inceliyordu. Maxwell, elektromanyetik alan ın dinamik kuramı üzerine olan o ünlü makalesini 1864'de yay ınlamış tı .

Elektrik ile manyetizmay ı ve ışığı anlamamı zın geliş im öyküsü, kuşkusuz ki bir yüzy ı ldan birkaç isim vermenin ötesinde, çok daha uzun ve daha zengindir. Okuyucu, bu büyüleyici tarihin ayrıntı ları için, Whittaker'in * güvenilir ciltlerine bakmal ıdı r. Optik olaylar ına önem veren daha k ısa bir öykü ise, Born ve Wolf'un baş langı cında yer al ı r.

Bu kitap kendi kendine yeterlidir; gerçi vektör hesab ına ve türevli denklemlere dayanan bir matematiksel temel ister, fakat elektrodinamik konusu, elektrostatikteki temellerinden baş lana-rak geliş tirilmektedir. Bununla beraber okuyucular ın çoğu bu konuyla ilk kez karşı laşmıyorlar. Dolay ısiyle bu giri şin amacı , Coulomb yasas ı ve diğ er temellerin tartışı lmasına sahne haz ırla-mak değil, klasik elektromanyetizmayı özet biçiminde gözden geçirmektir. Bu arada, kuvvet için ters kare yasas ının bugünkü doğruluk derecesi (fotonun kütlesi), üstüste gelme ilkesinin geçerlilik limitleri, yükün ve enerji farklar ının kesikli oluş larının etkileri gibi sorular tart ışı lacakt ır. Farkl ı ortamlar arasındaki yüzeylerde ve iletkenlerde makroskobik alanlar için s ı nır koşulları gibi. "peynir ekmek" cinsinden konulara da değ inilecektir. Amaç, klasik elektromanyetizmayı yerli yerine oturtmak, geçerlilik bölgesini göstermek ve kapsa-dığı idealleş tirmelerin baz ı larını aydınlatmaktır. Tartış ma süresince, kitapta daha sonra ç ıkarı lan baz ı sonuçlar ve klasik olmayan baz ı düşünceler kullanılacakt ır. Kuş kusuz elektromanye-tizmaya ilk kez baş layan bir okuyucu kan ı tlamaların tümünü izleyemiyecek, ya da onlar ın önemini anl ıyamıyacaktır. Bununla beraber, diğerleri için bu giri ş , kitabın 5. Bölümünden sonraki kı s ımlarına bir s ıçrama tahtası rolü oynayacak ve ayrıca bir deneysel bilim olarak konunun nas ı l ayakta durduğunu anımsata-caktı r kanı sındayı z.

* Koyu harflerle yaz ı lan soyadlar ı , Bibliyografya'da tam olarak verilen kitaplar ı göstermek için kullan ı lmaktad ı r.

2

G.1- Boşlukta Maxwell Denklemleri, Alanlar ve Kaynaklar

Elektromanyetik olayları yöneten denklemler Maxwell denklem-leridir; bunlar boş luktaki kaynaklar için

...4. --4, V . E = 4115)

.4, -ir 1 ---. 4n 'T''7 x B - - J

c - t c

-», x E + --> 1 ---F3 = o V

c at

. B = O

şeklindedirler. Yük yoğunluğu ve ak ım yoğunluğu için süreklilik denklemi dediğimiz

+ v . J.... 0 (G.2) at

bağı ntı s ı Maxwell denklemlerinde kapal ı olarak bulunmaktad ı r. (G.l)'deki ilk denklemin zamana göre türevi ile ikinci denklemin ıraksamas ını birleş tirince bu bağı ntı ortaya çı kar..Yüklü parça-c ı k hareketinin ele al ı nışı nda temel olan bir denklem de, elektromanyetik alanlar ın varl ığı halinde, noktasal bir q yüküne etkiyen kuvveti veren

-) - 1 P -ıı , F = q (E + v x B) (G.3)

ş eklindeki Lorentz kuvvetidir. Bu denklemler Gauss birimleri cinsinden yaz ı lmış tır; bu

kitapta kullan ı lan elektromanyetik birim sistemi budur (Birimler ve boyutlar, kitab ın sonundaki Ek'te tart ışı lmaktadır). Maxwell denklemleri, sözü edilen Ek'teki Çizelge 2'de çeşitli birim sistemleri cinsinden de sergilenmektedir. Bu denklemler, ve 1.r alanlar ı ile p ve jr kaynaklarından başka, bir de c parametresi kapsamaktad ır. Bu nicelik h ı z boyutunda olup, ışığı n boşluktaki hı zıdı r. Işı k hı z ının tüm elektromanyetik ve relâtivistik olay-lar için temel bir önemi vardır. Ek'te tart ışı ldığı gibi, son yı llarda iki farkl ı atomik geçiş cinsinden ayr ı ayrı tanımlanan uzunluk ve zaman birimlerimize dayal ı olarak, bu parametre

(G.1)

c = 299,792.456,2 ± 1,2 metre/saniye*

deneysel değerine sahiptir. Bu sonuç, son derece kararl ı bir helyum-neon laseri kullan ı larak (metanın 3,39imrı,'lik çizgisinde kararl ı kı l ınmış ) hem frekans ın hem de dalgaboyunun ölçüldüğü bir deneyden elde edilir. Bu noktada şuna iş aret edelim ki, burada metrenin bugünkü tanımı yerine, c'yi ve saniyeyi kullanan bir tanım konmuş gibi bir kesinlik vard ır. Başka bir kanı t (Kesim 11.2 (c)'ye bak ını z), çok alçak frekanslardan en az ından t110 24 Hz ilik çok yüksek frekanslara (4:GaV'lik fotonlara)

kadar, büyük bir doğ rulukla, ışığı n boş luktaki hı zının frekans-tag bağı msı z olduğunu gösterir. Pek çok pratik araç için, c 3x 10 m/sn ya da daha kesin olan c = 2,998 x 10 m/sn yaklaşı k değeri alı nabilir.

.4> .4 (G.1)'deki E ve B elektrik ve manyetik alanlar ı , ilk olarak

(G.3) kuvvet denklemi arac ı l ığı yla ortaya at ı lmış tı r. Coulomb'un deneylerinde, yerleşik yük dağı lımları arasında etkiyen kuvvet ler gözlenmi ş ti. Burada birim yük başı na düş en kuvvet olarak E elektrik alanını ortaya atmak yararlıdır (1.2 Kesimine bak.). BenZer ş ekilde, Ampere'in deneylerinde ise, ak ım taşı yan halka-lar aras ındaki karşı lıklı kuvvetler incelenmi ş ti (5.2 Kesimine bak.). Birim hacminde -Nİ hı zlı N tane yük taşı yıcı sı bulunan A kesit alanl ı bir iletkenden geçen ak ımı NAg' olarak saptamakla, (G.3)'teki büyüklükçe, birim akım başı na düşen kuvvet olarak tan ımlanabileceğini görürüz. lır ile B baş langıçta sadece yük ve akım dağı lımları tarafından oluş turulan kuvvetlerin yerine konan yararl ı yardımcı lar gibi gözüktüğü halde, onlar ın başka önemli özellikleri de vard ır. Birinci olarak, alanlar ın ortaya atılmasıyle, kavramsal aç ıdan kaynaklar, elektromanyetik alanları gören teet cisimlerinden ayr ı lmış lardı r. İki kaynak dağı lımının E ve B alanlar ı uzayın verilen bir noktas ında aynı iseler, kaynak dağı l ı mları ne kadar farkl ı olursa olsun, bu noktadaki bir test yüküne ya test akımına etkiyen kuvvet aynı olacakt ır. Bu, (G.3)'teki E ve B alanları na, kaynaklar ından bağı ms ı z olarak, kendi haklar ı olan anlamı verir. İkinci olarak, elektromanyetik alanlar, kaynaklar ın bulunmadığı uzay bölgele-rinde de var olabilirler. Enerji, momentum ve aç ısal momentum taşı rlar ve böylece yüklerden ve ak ımlardan tümüyle bağı msı z olarak bir varlığ a sahiptirler. Gerçekten de, yüklü parçac ı kla, rın etkileşmesini uzaktan-etki ş eklinde anlatmay ı yeğleyen ve dolayısiyla alanlara aç ı kça baş vurmayı kaldı rmağ a çal ış an yineli giriş imler var olmas ına karşı n, elektromanyetik alan kavram ı , hem klasik hem de kuantum mekaniksel olarak, fiziğ in en verimli düşüncelerinden biridir.

. Evenson et al., Phys.Rev. Letters 2,2, 1346 (1972).

4

Al ışı lmış alanlar olarak E ve B klasik bir kavramd ı r.Gerçek ve sanal fotonlar cinsinden yap ı lan kuantum mekaniksel anlat ı -mın klasik limiti (büyük kuantum say ı ları limiti) gibi dü şünü-lebilir. Makroskobik olaylar bölgesinde ve hatta baz ı atomik olaylarda, elektromanyetik alan ın kesikli foton görünümü çoğu kez önemsenmiyebilir, ya da en az ı ndan törpülenebilir. Örne ğ in, 100 wat'l ık ışı k ampülünden 1 metre ötede, elektrik alan ı nın kare ortalamas ı 2kökü (kHaca k.o.k.) 0,5 volt/cm dolayındad ı r ve saniyede8 cm °ye 10 kadar görünür foton gelir. Benzer ş ekilde, 10 Hz'de 100 wat gücünde izotropik bir FM anteni, 100 km'lik bir uzakl ıkta ancak 5 mikrovolt/cmWk bir kir k. elektrik alan ı oluş turur; fakat bu gene de 10 foton/cm x s'lik bir ak ıyag ya da bu uzakl ıktaki 1 dalgaboyu küpünün (27 m ) hacminde 10 dolayında foton bulunmas ına karşı gelir. Alışı ldığı gibi, aygıt, fotonlara tek tek duyarl ı olmayacak; yayı nlanan ya da soğurulan birçok fotonun toplu etkisi, makros-kobik olarak gözlenebilen sürekli bir yan ı t olarak görünecektir.

Elektromanyetik alanlar ın klasik anlat ımının ne zaman uygun olacağı na önsel olarak nas ı l karar verilecektir? Bazen biraz karmaşı kl ık gerekir; fakat genellikle şu yeterli bir ölçüttür: i şe karış an foton say ı sının büyük al ınması yanında, ayrıca bir tek fotonun ta şı dığı momentum da maddesel sistemin momentumuna göre küçük ise, o zaman maddesel sistemin yan ı tı , elektromanyetik alanlar ın klasik anlat ımıyla yeterince geptana-bilir. Örneğin, FM antenimiz taraf ında] yayınlanan 10 Hz'lik herbir foton, antene sadece 2,2 x 10 newton-saniye'lik bir itme verir. Klasik iş lem kuşkusuz yeterlidir. Işığı n serbest elektron taraf ından saç ı lmas ı , alçak frekanslarda klasik Thom-son formülüyle (Kesim 14.7) verilir; fakat gelen fotonuntd/c momentumu mc'ye göre önemli hale gelince Compton etkisi yasala-rı yürürlüğe girer. Fotoelektrik olay maddesel sistem için klasik olmayan bir olgudur; çünkü metal içindeki yar ı -serbest elektronlar kendi enerjilerini soğurulan fotonlar ın enerjileri-ne eş it miktarda değ iş tirirler; fakat fotoelektrik ak ım, elekt-ronlar için kuantum mekaniksel biçimde, elektromanyetik alanla-rın klasik anlat ımı kullanı larak hesaplanabilir.

Diğ er taraftan elektromanyetik alanların kuantumlu niteliğ i, atomların ya da herhangi bir sistemin kendili ğ inden ışı nım yayınlamas ında (ki burada baş langıçta hiç foton yoktur, sonunda ise sadece az say ıda foton vardı r) hesaba kat ı lmalıdı r. Ortala-ma davranış , temelde enerji ve momentumun korunumu nedeniyle, hâlâ klasik terimlerle anlat ı labilir. Bir çekici potansiyelin yörüngeleri üzerinde basamak basamak daha içtekilere atlayan yüklü bir parçac ığı n klasik anlat ımı (Kesim 17.2) buna bir örnektir. Yüksek parçacı k kuantum sayı larında parçacık hareke-tinin klasik anlat ımı yeterlidir, enerji ve momentumdaki değ iş -

meler ışı nım tepkimesinden klasik olarak hesaplanabilir; çünkü ardı ardına yayınlanan fotonların enerjileri, dolanan parçac ı -ğı n kinetik ya da potansiyel enerjisine göre küçüktür.

(G.1)'deki kaynaklar yükü yoğunluğu j?(Zt) ve elektrik akım ı yoğunluğu 3( .X.,t)'dir. Klasik elektromanyetizmada kaynaklar t'in sürekli dağı lımları olarak düşünülür; gene de zaman zaman noktasal yaklaşı klığ a uğratacağı mız yerleşik dağı -lımlardan söz edeceğiz. Bu noktasal yüklerin büyüklükleri tümüyle keyfi kabul edilir; fakat gerçekte kesikli de ğ erlere s ını rlanm ış olduğu bilinir. Temel yük birimi, elektron üzerin-deki yükün büyüklüğüdür:

. 4,803250(21) x 10 -10 esb

= 1,6021917(70) x 1619 coulomb

Burada son iki ondal ık basamağı ndaki hatalar parantez içinde gösterilmi ş tir. Proton üzerindeki ve şu anda bilinen tüm parça-cıklar ya da parçac ı k sistemleri üzerindeki yükler, bu temel birimin tam katlarıdırlar. Katl ı lığı n kesinlikle tam 26ayı olduğu konusundaki deneysel doğruluk olağanüstüdür (10 'de l'den daha Yükün Lorentz de ğ işmezliği sorusunu da i ş leyen bu deneyler, Kesim 11.9'da tartışı lMaktadı r.

Makroskobik uygulamalar ın çoğunda, elektrik yükünü kesikli saymak - gerekli değ ildir. Örneğin, 150 voltluk gerilim alt ınR 1 mikrofaradlık bir s ığ anın bir plâkas ında toplam olarak 10 tane temel yük vardır. Birkaç bin elektronun fazlalığı ya .19 azlığı hissedilmez. 1 mikroamperlik ak ım, saniyede 6,2 x 10 temel yüke karşı gelir. Kuş kusuz yükün kesikli oluşunun i ş e karış tığı baz ı duyarl ı makroskobik ya da nerdeyse makroskobik deneyler vard ı r. Millikan' ın ünlü yağ dam34as ı deneyi bunlardan biridir. Onun damlaları tipik olarak 10 cm yar ıçapında idi ve üzerlerinde birkaç tane, bilemediniz yirmi-otuz tane temel yük vardı .

(G.1) Maxwell denklemlerinde kaynak terimlerinin görünü şün-de bir simetri eksikliğ i vardır. ilk iki denklem kaynakl ıdı r ; kalan ikisi ise kaynaks ı z. Bu, manyetik yüklerin ve akımların deneysel olarak bulunmadıklarını yans ı tır. Kesim 6.12'de göste-rileceği gibi gerçekte parçac ıklar hem elektrik hem manyetik yüke sahip olabilirler. Eğer doğ adaki tüm parçac ıkların manye-tik yükü bölü elektrik yükü oranları aynı olsaydı , alanlar ve kaynaklar uygun ş ekilde yeniden tan ımlanarak (G.1)'deki olağ an Maxwell denklemleri ortaya ç ıkardı . Bu anlamda, manyetik yük ve akımların var olmad ığı nı söylemek, bir bakıma bir anlaşma

6

sorunudur. Bu kitabın çoğu yerinde, Maxwell denklemlerinde sadece elektrik yüklerinin ve akımlarının rol oynadıkları varsayı lacaktır; bununla beraber farkl ı manyetik yük bölü elektrik yük oran ına sahip bir parçac ığı n, örneğ in bir manyetik tek-kutubun varl ığı nın getireceği baz ı sonuçlar Bölüm 6'da anlatı lacaktı r.

G.2- Ters Kare Yasası ya da Fotonun Kütlesi

Elektrostatik kuvvet yasas ının uzaklığ a olan bağ l ı lığı , nicel olarak Cavendish ve Coulomb taraf ından ters kare yasas ı biçiminde saptanmış tı . Bu, Gauss yasas ı ve ı raksama teoremi yardımiyle (Kesim 1.3 ve 1.4'e bak.) (G.l)'deki Maxwell denk - lemlerinin ilkine yol açm ış tı . İ lk deneyler ancak yüzde birkaç - lık bir kesinliğe sahiptiler ve üstelik bir laboratuvar boyu ölçeğ indeydiler. Y ı llar sonra daha büyük kesinlikte ve farkl ı ölçeklerde deneyler yap ı ldı . Ters kare yasas ı üzerine yap ı lmış olan sınamaları , aş ağı daki iki yoldan biri içinde aktarmak art ık al ış kanlık haline gelmi ş tir:

(a) Kuvvetin 1/r2*5 şeklinde değ iş tiğini varsayınız ve

£ için bir değer ya da bir limit veriniz. (b) Elektrostatik potansiyelin r -1 e 14r "Yukawa" yap ı s ına

sahip olduğunu varsayını z ve /44 veya /Z' için bir değer ya da bir limit veriniz. m fotonun varsay ı lan kütlesi

olmak üzere,,4= m y c/tı olduğundan, ters kare yasas ının doğru-luk derecesi bazen m için bir üst limit cinsinden ifade edile-bilir. Laboratuvar deneyleri çoğu kez Ç, ve belki de, ya da m x

yi verirler; jeomanyetik deneyler ise j.k ya da my 'yı verirler. Cavendish* taraf ından 1772 I de eşmerkezli kürelerle yapı lan ilk deney,£ için Ili 40,02'lik bir üst limit vermi ş ti. Cavendish:- in aygı tı Sek.G.1 17de görülmektedir. A ş ağı yukarı 100 yı l sonra, Maxwell CaMbrigelgelde+ buna çok benzeyen bir deney yaptı ve 11E1 4: 5 x 10 'lik bir üst limit ortaya koydu. Gauss yasas ına dayanan diğer iki önemli laboratuvar deneyi, t1E1 G 2 x 10 veren Plimpton ve Lawton'un deneyi ile son.y ı llarda yapı lmış olan Williams, Faller ve Hill'in deneyidir 5 . Son deneydeki aygı tın şematik bir çizimi, Ş ek.G.2'de y96r almaktadı r. Statik bir deney olmamakla birlikte (V = 4 x 10 Hz), temel dü şünce hemen hemen Cavendish'inkiyle ayn ıdır. Cavendish, yüklü d ış

x H.,Cavendisk, Electrical Researches, editör: I. C.Maxwell, Cambridge Univer-sity Press (1879), sayfa 104-113.

+ Ayni kitap, bak. not 19.

t S.J.Plimpton and W.E Lawton, Phys.Rev. 50, 1066 (1936).

J.E.Faller and H.A.Hill, Phys.Rev. Letters 26, 721 (1971).

7

küreyi elektriksel olarak iç küreyle değmeye getirip tekrar ayı rdıktan sonra, iç küre üzerinde yük aram ış ; hiç bulamamış tı . Williams, Faller ve Hill ise,d ış küre kabuğuna toprağ a göre + 10 kV luk bir dalgal ı gerilim uygulayarak, e şmer zli ikı küre kabuğu aras ında bir gerilim farkı aradılar. 10 Volttan daha küçük bir gerilim fark ını ölçebilecek bir duyarl ı lığ a sahip olmalar ına karşı n, hiçbir gerilim fark ı gözleyemediler. Bu boş sonuç, Proca denklemleri . (Ksim 12.9) arac ı lığı yla yorumlandığı nda, = (2,7 + 3,1) x 10 'l ık bir limit verir.

Uydularla hem yeryüzü üzerinde hem de yeryüzü d ışı nda yerin manyetik alan ı ölçülerek, E. için ya da eşdeğer olarak m r foton kütlesi için en iyi limitlerin bulunmas ı sağ lanır. Bu giriş in sonundaki listede yer alan Kobzarev ve Okun ile Goldhaber ve Nieto'nun gözden geçirme nitelikli uzun yaz ı larında, hem jeo-fiziksel hem de laboratuvar gözlemleri tart ışı lmaktad ı r. Yerin manyetik alanı nı n yüzeydeki ölçümleri en iyi de ğeri (bak: Prob-lem 12.14) verir:

yada m <4 x 10-48 gr

)471 >101° cm

Karşı laş tırma için, elektron kütlesinin m = 9,1 x 10-28 gr. olduğunu söyleyelim. Wliams, Faller ve e Hill'in laboratuvar deneyi, mr < 1,6 x 10 gr 'l ık bir limit koymaktadır; bu ise jeomanyetik limitten sadece 4 gibi bir çarpan kadar daha kötü-dür.

Yer küresi ile iyon küresi aras ında kalan rezonans oyuğu (cavity) içinde çok alçak frekans kiplerinin var olduğuna (Kesim 8.9'da tart ışı lan Schumann rezonanslar ı ) dikkat edilerek, foton kütlesi üzerine kolayl ıkp kaba bir limit konabilir2. Çift Einstein bağı nt ısı hV= m yc , foton kütlesinin mv<hNI/C gibi bir eş itsizlik sağ lamas ı v gerektiğ ini akla getirir; burada ö herhangi bir elektromanyetik rezonans frekans ıdır. En alçzlş Schumann rezonans ı için V t". 8 Hz 'dir. Buradan m y < 6 x 10 gr. hesapları z; ki bu, en iyi limitin sadece bir mertebe üze-rinde olan çok küçük bir de ğerdir. Bu kan ıt kaba bir geçerlili-ğe sahip olmakla beraber, daha dikkatli bir inceleme (Kesim 12.9'a ve orada ıyerilen kaynaklara bak.) gösterir ki, bu limit yaklaşı k (R/H) 11 :.:10 kez daha büyüktür; burada yerin yar ıçapı olarak R '6400 km ve iyon küreş inin yerden yüksekliği olarak

8

Ş ekil G.1— Elektrostati ğ in ters kare yasas ı n ı kurarken Cavendish'in kulland ığı ayg ı t. Üstte, Cavendish'in kendi çiziminin tam kopyas ı ; altta ise bir teknik ressam taraf ı ndan çizilmi ş i. İ ç kUre 12,1 inç çap ı ndad ı r; içleri bo ş mukavva yar ı kUreler ise biraz daha büyükçedir. "Onlar ı daha yetkin elektriksel iletkenler yapmak için", hem iç kfire hem de yar ı kUreler kalay kâ ğı tlarlyle kaplanm ış t ı r ( Ş ekiller, Campridge Oniver-sity Press'in izniyle bas ı lmış t ı r).

Calibration signal

2

Comparator and buffe ı amp

Phase shifter reference shifts ı ineany 360°

per hour

Crystal and o en

H ı gh Q coil water cooled

Photo source

Fiber \optics

Low pass biter

Voltage to frequency

Photo source

Fiber// Calibration opticS capacitor

Copper icosahedrons

Aluminum icosahedrons

Fourier analyze for signal with 3.-hour period

Scaler 50 sec. counting

cycle

Oscilloscope

Ali electronics ins ıde are battery

powered

9

Photo dinde

Ş ekil G.2— Williams, Faller ve Hill'in "Cavendish" deneyinin ş ematik bir çizimi. E şmerkezli yirmiyüzlüler iletken kabuklard ı r. 5 ve 4 kabuklar ı aras ı na 10 kV doruklu 4 MHz:lik bir gerilim uygulan ı r. 4 kabu ğ u ile yak ı n ı ndaki 2 ve 3 kabuklar ı yakla şı k 1,5 metre çap ı nda olup 1 kabu ğ unu tam içlerine al ı rlar. 1 ve 2 kabuklar ı aras ı ndaki gerilim fark ı (eğ er versa), 1 kabu ğ un—da saatin 8 çizgisinde gösterilen indüksiyon makaras ı nda ken-disini gösterir. Yükseltici ve optik sistemler, gerilim haberini d ış dünyaya ç ı karmak için gereklidir. Bunlar, Caven-dish'in ayg ı t ı ndaki mente şeli yar ı küreleri otomatik olarak açan ve iç kürede yük olup olmad ığı n ı saptayan mürver özü toplar ı n ı yakla ş t ı ran ip sistemine e ş de ğ erdirler (Bu ş ekil yazarlar ı n izni ile bas ı lmış t ı r).

10

H2..!60 kmidir. * Bu hafifletici çarpa karşı n, Schumann rezo-nanslarının varlığı ile konan 10 gr'llk limit gene de oldukça iyi bir değ erdir.

Laboratuvar denemeleri ve jeofiziksel testler, 1 ile 109

cm mertebesindeki uzunluk ölçeklerinde, ters kare yasas ının aşı rı derecede kesin olduğunu göstermektedir. Daha küçük uzakl ıklarda, ek varsay ı mlar gerektiren daha dolayl ıca kanı tla-ra başvurmallyı z.. Örneğin, alfa parçac ıklarının ince levhalar taraf ından saçaimas ı deneyi gibi... Alfa parçac ıklarını ve çekirdeğ i statik olarak etkileş en klasik noktasal yükler gibi ele alarak ve elektronların yük bulutunu önemsemiyerek, bu deneyin Rutherford taraf ından yapı lan tarihsel çözümlemesi, Coulomb kuvvet yasas ının geçerliliğ ini 10-11 cm mertebesindeki uzakl ıklara kadar indirmi ş tir. Bu varsay ımları n tümü s ınanabi-lir ve kuş kusuz s ınanmış tır da; fakat ancak kuantum mekani ğ inin üst üste gelme ilkesinin (aş ağı ya bakını z) ve diğer (akla yakın) varsaylmlar ın geçerliliği çerçevesinde... Daha da küçük uzakl ıklarda, göreli kuantum mekaniği gereklidir; ayr ıca hem soruları hem de yan ı tları buland ı racak olan kuvvetli etkile şme-ler i ş e karışı r. Gene de kütle merkezi enerjileri 5 GeV t ye kadar ç ıkan pozitif ve negatif elektronlarla yap ılan esnek saç ı lma deneyleri göstermektedir ki, kuantum elektrodinami ğ i (kütlesiz folpnlarla etkileşen noktasal elektronlar ın göreli teorisi) 10 cm mertebesindeki uzakl ı klara kadar geçerlikte-dir. Sonuç olarak, klasik uzakl ık bölgesinin tamamında ve kuantum bölgesinin derinliklerine kadar, foton kütlesinin s ı f ır al ınabileceğini (ters kare kuvvet yasas ının geçerli olduğunu) söyleyebiliriz. Uzunluk ölçeğinin en az ından 24 büyüklük mertebesi üzerinde, ters kare yasas ının geçerli olduğu bilinmektedir.

G.3- Çizgisel Üstüste Gelme

Boş luktaki Maxwell denklemleri E ve B alanlar ına göre çizgiseldir. Bu çizgisellikten s ık s ık yararlanmaktayı z. Örneğin bir tek mikrodalga bağ lant ı sında yüzlerce farkl ı telefon konuş ması yapabilmemizi bu özelli ğe borçluyuz. Böylesi-ne sık yararlanı lan bu çizgisellik özelli ği artık gerçek sayı lmaktadır. Kuşkusuz çizgisel olmayan etkilerin ortaya

x(- Temel nokta ş udur: H/R'nin önemsenmedi ğ i a ş amada, ELF yay ı lmas ı , temel TEM kipinde bir paralel plakal ı iletim hatt ı ndakiyle ayn ı d ı r. Bu yay ı lma, birim boya dü ş en statik sa ğ a ve indüktanstaki de ğ i ş meler d ışı nda, sonlu foton kütlesinden etkilenmez. Foton kütlesinin aç ı k etkileri (H/R) mertebesinde ortaya ç ı kar.

çıktığı durumlar vard ır. Bunlar manyetik maddelerde, şiddetli laser ışı nlarına yanıt veren kristallerde, hatta telefon konuşmalarını mikrodalga demetine yükleyen ve geri alan araç-larda görünür. Fakat biz burada boş luktaki alanlarla, ya da atom ve çekirdeklerin içindeki alanlarla ilgilenece ğ iz.

Çizgisel üstüste gelme dü şüncesini destekleyen ne gibi kanıtlarımı z var? Makroskobik düzeyde her çe ş it deney, çizgisel üstüste gelme ilkesini Tb °,1 doğrulukla desteklemektedir: Yük ve akım kümeleri, çizgisel üstüste gelmeyle hesaplanabilen elektrik ve manyetik alanlar doğurmakta, transformatörler beklendiği gibi iş lemekte, iletim hatlar ında durakl ı dalgalar gözlenmektedir - okuyucu bunlardan uzun bir liste yapabilir. Optikte, yar ık sistemleri k ı rınım desenleri gösterir; beyaz ışı k bir prizma ile k ırı larak gökkuş ağı nın renklerine ayrı lı r vebu renkler sonra tekrar beyaz ışı k içine toplanır. Çizgisel üstüste gelme ilkesi, makroskobik ve hatta atomik düzeyde görülmemi ş derecede geçerlidir.

Çizgisel üstüste gelme ilkesinden sapmalar, yasalara uygun olarak, atomaltı bölgede görünmeğe baş lar. Yüklü parçacıklar birbirlerine iyice yaklaşı nca, elektrik alan şiddetleri çok büyük hale gelir. Yüklü bir parçac ığı s ınırlı bir yük dağı lımı olarak düşünürsek, yükün yerle şme bölgesi küçüldükçe elektro-manyetik enerjisi büyür. Noktasal parçac ıkların sonsuz öz -ener-jilerinden kurtulmak için, bir cins, doymanın varolduğunu, yani alan şiddetlerinin bir üst s ını rının bulunduğunu ortaya atmak doğ aldı r. Bu cinsten klasik çizgisel olmayan kuramlar eskiden inceienmi ş tir. İ yi bilinen bir örnek Born ve Infeld'in kuram ı -dır. Boş luk

e=

4

b2 (G.4)

ile belirlenen elektrik ve manyetik geçirgenliklerdir; burada b bir maksimum alan ş iddetidir. (G.4) denklemi, gerçekte daha önce Born taraf ından tek başı na önerilen basitle ş tirilmiş bir ş ekildir. Ama genel düşünceyi anlatmak bakımından yeterlidir. Alanların kı sa uzakl ıklarda düzeltildi ğ i aç ıktır; tüm elektro-manyetik enerjiler sonludur. Fakat böyle kuramlar çizgisel olmayışı n ortaya çıkış biçimindeki keyfilik nedeniyle güçlük içindedirler; ayrıca kuantum kuramına geçişteki önemli sorun-lardan da kurtulamazlar. Üstelik bu cinsten klasik çizgisel olmayış a ilişkin hiçbir kanı t yoktur. Çok elektronlu atomlar ın

M.Born ve L.Infeld, Proc.Roy.Soc. A144, 425 (1934). Yal ı n bir tart ış ma için, M.Born, Atomic Physics Blackie, London, Ek VI'ya bak ı n ı z.

12

kuantum mekaniği, çekirdek ile elektronlar aras ındaki ve elektronlar ın kendi aralarındaki ikili potansiyellerin (ya da ince etkiler için gecikmi ş göreli etkileşmelerin) çizgisel biçimde üstüste getirilmesiyle olu şturulan etkileşmeleri alarak normal kuantum kuram ı ile büyük bir doOrulukbetimle-nir. Atomlardaki elektron yörüngelerinde 10 - 10 volt/cm basamağı nda alan ş iddetleri yyd ır; oysa bir ağı r çekirdeğ in kenarındaki elektrik alan ı 10 volt/cm basamağı ndadır. Helyum gibi hafif atomlarda elektromanyetik etkile şmelerin çizgisel biçimde üstüste getirilmesiyle hesaplanan enerji düzeyi farkla-rı , milyonda bire varan kesinliklerle deney ile uyuşmaktadı r. Ve ağı r çekirdeklerin Coulomb enerjileri, elektromanyetik etkilerin çislisel olarak üstüste binmesiyle uygunluk içindedir. Kuşkusuz 10 volt/cm'den daha büyük alan ş iddetleri için çizgisel olmayan etkilerin ortaya ç ı kabilmesi olas ıdı r. Böyle etkiler aşı rı ağı r çekirdeklerde (Z > 110), bunlar ın atomik eneri düzeylerinde ve çekirdeksel Coulomb enerjisinde aranabi-lir. Fakat şu-anda, k ısa uzakl ıklarda boş luk alanlar ının klasik anlamda çizgisel olmayan herhangi bir davran ışı üzerine hiçbir kan ı t yoktur.

Şekil G.3- Işığı n ışı k tarafından saçı lması . Foton-fo-ton saçı lması sürecinin şematik diyagram ı .

Born-Infeld tipi çizgisel olmay ışı n, a şı r ı a ğı r elementlerdeki atomik enerji düzeylerine yapabilece ğ i etki ş u çal ış mada incelenmi ş tir: J.Rafelski, W.Gre-iner and L.P.Fulcher, Nuovo Cimento 13B, 135 (1973).

13

Elektromanyetik alanlar kuantum mekaniksel çizgisel olmay ış özelliğ ine sahiptirler; çünkü kesinsizlik ilkesi, Ş ekil G.3'te ş ematik olarak gösterildiği gibi, iki foton taraf ından bir elektron-pozitron çiftinin birdenbire yarat ı lmas ına ve sonra bu çiftin iki farkl ı foton yay ını ile yokolmas ına izin verir.

i--'(› Bu sürece ışığı n ışı k taraf ı ndan saçı lmas ı denir. e k I- x-

ii» k

ve eik2.x- i<:42t gibi gelen iki düzlemsel dalga, çizgisel üstüs-te gelme ilkesi uyarı nca beklendiğ i gibi, sadece birbirleriyle tutarl ı biçimde toplanmazlar; ayr ıca etkileş irler ve (küçük bir olas ı l ı kla) dalga vektörleri k, ve k, olan farkl ı iki düzlemsel dalgaya dönüşürler. Kuantum elektrodinamiğ inin bu cizgisel olmayış özelliği, en azından yavaş değ iş en alanlar için, boş luğun elektrik ve manyetik geçirgenlik tensörleri cinsinden ifade edilebilir:

D. =2:E. ı ikE k Bi = )1/4,kikHk

Burada k k

^'ik + [2(E2 - B2 ) gi k + 7BiBk +...

4511m4c7

(G.5)

» ik = (S ik + e45

[2(B2 - E2 )S ik +

45nm4c7.

c

olup, e ve m elektronun yükü ve kütlesidir. Bu sonuçlar ilk olarak Euler ve Kockel taraf ından 1935'de elde edildiler. **

Çizgiş el olmayan bu etkilerin, klasik limitte (h -4.0) s ı fı ra gittikleri görülür. (G.4)°deki klasik Born-Infeld ifadesiyle yapı lan karşı laş tırma gösterir ki, küçük çizgisel olmay ış lar için,

45W e2 e e

2 tıc r2 0,51

r2 o o

değerindeki kuantum mekaniksel alan ş iddeti, Born-Infeld'in

Ş ekil G.3'deki fotonlardan ikisi, statik bir gekirdeksel Coulomb alan ı yle ikinci mertebeden etkile ş meyi gösteren sanal fotonlar oldu ğ unda, bu sürece Delbrück saç ı lmas ı denir. J.M.Jauch and F. Rohrlich, The Theory of Photons and Electrons, Addison-Wesley, Reading, Mass. (1955) kitab ı nda 15.8 Kesimi-ne bak ı n ı z.

** H.Euler and B.Kockel, Naturviss. 23, 246 (1935).

14

b parametresine benzeyen bir rol oynamaktadır. Burada r° = e

2/

2 mc2 x 10-13 cm klasik elektron yar ıçapıdır; e/r, = 1,8 x 1018 volt/cm ise böyle bir klasik elektronun yüzeyindeki elektrik alanıd ı r. Bu noktada şu aç ı klamalar ı da yapalı m: (a) (G.5)'deki Eik ve» k' . alan ş iddetleri bk'ya yakla şı rken ya da alanlar uzay veya zaırna göre aşı rı hı zl ı değ iş irken (tı/cm kritik uzakl ı k ve " ı/mc kritik zaman ölçeğ ine var ı rken) g9çer-liliklerini yitiren yaklaş tırmalardır. (b) bk ile e/2ro 'nin sayısal olarak çakış mas ı düşündürücü olmakla beraber, )ç 'nın içinde Planck sabiti ı bulunduğundan, bu çak ış ma herhalde pek ciddiye al ınmamal ıdı r.

P = (D - E)/47x kutuplanmas ı ile benzeş tirerek, (G.5)'deki alanlara bağ l ı terimlere boş luk kutuplanması etkileri deriz. Işığı n ışı k taraf ından saçı lmasına ya da Delbrück saç ı lmas ına ek olarak, boş luk kutuplanmas ı da atomik enerji düzeylerinde çok küçük kaymalara neden olur. Burada bask ın katkı , Ş ekil G.3'dekine benzeyen fakat dört yerine sadece iki fotonu kapsa-yan sanal bir elektron-pozitron çiftinden gelmektedir. Fotonlar gerçel ise, bu süreç fotonun kütlesine katk ıda bulunur ve s ı fır olmas ı gerekir. Bununla beraber, çekirdek ile yörüngesin-de dolanan elektron aras ı ndaki elektromanyetik etkileşmede ya da uygulanan her d ış alanda olduğu gibi, eğer fotonlar sanal ise, yarat ı lan ya da yokedilen sanal elektron-pozitron çifti zaman zaman gözlenebilen etkilere yol açar. İ lk etki, çekirde-ğ in gözlenen yükünde etkile şmesiz haldeki değerine göre bir azalmanın olmas ıdı r. Çıplak yükün bu şekilde yeniden ölçülen-mesi (renormalization), basit elektrostatik terimleri cinsinden anlaşı labilir. Oluş an çiftin elektronu çekirdeğ in pozitif yükü taraf ından çekilirken, pozitronu da itilir. Boş luğun bu kutup-lanma etkisi, çekirdek yükünün perdelenmesine ve büyüklükçe öncekinden daha az görünmesine yol açar. Yüklü parçac ıklar her zaman için bu sanal elektron-pozitron çiftleri bulutuyla sarı lı olduklarından, gözlenen yükleri, yeniden ölçülenmiş yükleri olarak" yorumlanmal ıdır. Yükün yeniden ölçülenmesi gözlenemez; fakat boş luk kutuplanmas ının gözlenen etkileri de vardır. Örneğin boş luk kutuplanmas ının :/2mc basamağı nda ya da daha küçük uzaklıklarda oluş turduğu yük yoğunluğu, iki yük aras ındaki elektrostatik potansiyel enerjinin salt olarak Coulomb potansiyel enerjisinden daha büyük olmasına yol açar. Bu ise atomik enerji düzeylerinde, artan bağ lanma yönünde, çok küçük kaymalara neden olur. Eklenen en dijük mertebeli potansi- yeloçqd ile orantı lıdır; burada ok= e /43c = 1/137 ve qd , dış olan doğuran yüktür. Dolay ısiyle bu eklenen terim dş alana göre çizgiseldir ve Maxwell denklemlerinde küçük bir çizgisel düzeltmeye yol açar. Bu terim şu anlamda çizgisel değ ildir: Etkinin ş iddeti, ince yap ı sabiti kere d ış alana bağ l ıdır ve bu nedenle eklenen potansiyelde yükün üçüncü

15

kuvveti görünür. Ş ekil G.3'deki fotonlardan üçünün d ış alan ın üçüncü kuvvetine kar şı gelmesi halindeki gibi, daha yüksek mertebeli etkiler ise, art ık tamamiyle çizgisel olmayan bo ş luk kutuplanmas ı etkileri verirler.

Elektronik atomlardaki bo ş luk kutuplanmas ı etkileri, toplam ışı masal düzeltmelerin küçük bir k ı smıdı r; fakat gene de gözlenebilirler. Müyonik atomlarda ise, atomik yörüngeler, potansiyelin düzeltildiği bölgenin daha çok iç k ı s ımlarında yer aldıklarından, bu etkiler oldukça büyüktür. Bu durumda boş luk kutuplanmas ı etkileri kendi ba ş larına önemlidirler.

Boş luktaki alanlar ın çizgisel biçimde üstüste gelmeleri hakkında sonuç olarak şunları söyleyebiliriz: Klasik boyutlar bölgesinde ve eri ş ilebilen alan ş iddetlerinde, çizgisel üstüste gelme ilkesinin geçerlili ği üzerine yığı hla kanı t vardır ve karşı t hiçbir kan ı t yoktur. Atomik ve atomalt ı bölgede, neden-leri yüklü parçac ıklarla elektromanyetik alan aras ındaki çiftleminde yatan, kuantum mekaniksel çizgisel olmayan küçük etkiler görülür. Bunlar yüklü parçac ı klar aras ındaki etkileşme-leri değ iş tirirler ve fiziksel parçacıklar olmasa bile, elekt-romanyetik alanlar aras ında etkileş melere yol açarlar.

G.4- Makroskopik Ortamlarda Maxwell Denklemleri

Şimdiyedek boş luktaki elektromanyetik alanları ve kaynakla- rı ele ald ık. elektrik ve manyeitik alanlar ı nın sağ ladığı (G.l) Maxwell denklemleri, tüm jı ve J kaynakları belirtilmek koşuluyla, uzayın her yerinde alanlar ı veren deklemler olarak düşünülebilir. Ancak az say ı da belirli kaynak için, alanların saptanmas ı kolay çözülebilen bir problemdir; fakat makroskobik madde yığı nlar ı için denklemlerin çözümü hemen hemen olanaks ı z-dı r. Burada iki görünüm vard ı r. Biri şudur: Her atom ve çekir - dekte kesikli kaynaklar ın, yani yüklü parçac ıkların sayı sı gözümüzü korkutacak kadar büyüktür. Di ğ er görünüm ise rahatla-tıc ıdır: Makroskobik gözlemler için, alanlar ın ayrıntı lı davranış ları , yani atomik uzakl ıklar ölçeğinde alanlar ın ş iddetli uzaysal değ iş imleri önemli değildir. Önemli olan, bir alanın ya da kaynağı n bir tek atom ya da molekül hacmine oranla büyük bir hacim üzerinden al ınan ortalamas ıdır. Bu ş ekilde ortalamas ı al ınmış niceliklere makroskobik alanlar ve makroskobik kaynaklar diyoruz. Kesim 6.7'de makroskobik Maxwell denklemlerinin

V . D = 47t ?

-4, -3. x H J

(G.6)

16

x E + = 0 c t

-¥ -› . B = 0

ş eklinde olduğu ve D, (G.l)'deki nin ortalamalar ı yereğ iş tirme ve ve H (bu durumda re sahiptir :

ayrıntı l ı biçimde gösterilmektedir; burada E mikroskob ılc ya a boş luk Maxwell denklemleri- al ınmış E ve Ed>, 1 1eridir. Genellikle elektrik zanyetik alan denen iki yeni alan niteli ğ i IT B'ye manyetik indüksiyon denir), şu bileş enle-

1) = E + 47‘ (P - V -bacq3 +

oc ot. 0( 4... .., (3 dxfk I-

Hx = Boc - 4'n (Moc + ...)

...) (G.7)

_# P,M,C‘et nicelikleri ve daha yüksek mertebeden benzer nicelikler, uygulanan alanların varl ığı halinde, maddesel ortamın makrosko-bik olarak ortalamaları al ınmış elektrik çift-kutup, manyetik çift-kutup, elektrik dört-kutup ve daha yüksek moment yo ğunluk - larını göstermektedir. Benzer şekilde, yük ve ak ım yoğunlukları ve J, ortamdaki "serbest" yük ve ak ım yoğunluklarının makros-

kobik ortalamalar ıdı r. Bağ lı yükler ve ak ımlar denklemlerde M ve Q'«N yoluyla görünmektedir.

-> -> (G.6)'daki makroskobik Maxwell denklemleri, E, B, D ve H

gibi dört alanın bileş enlerini kapsayan sekiz denklemli bir cümledir. Homojen olan .zon dört denklem, E ve Aalanlar ı nı skaler potansiyeli ve A vektör potansiyeli cinsinden ifad ederek, ş ekilsel çözülebilir; fakat türetilmi ş olan D ve A> alanları El> '1' ve cinsinden bilinmedikçe, homojen olmayan ilk dört denklem çözülemez. (G.7) 1 de kapal ı biçimde görülen bu

D = D L. E,B 3 rl E E,B1

(G.8)

ilişkilerine bileştirici bağı ntılar denir. Ayrıca iletken ortamlar için

--> J = J . E,B

( G. 8 ' )

ş eklindeki genelleş tirilmi ş Ohm yasas ı da sözkonusudur. Köş eli parantezler, bu ili şkilerin yüzdeyüz basit olmad ıklarını ,

17

geçmi ş e bağ lı olabileceklerini (histeresis), çizgisel olmayabi-leceklerini ve bu gibi özellikleri vurgulamak amaciyle kulla-nı lmış tı r.

Maddelerin çoğunda, (G.7) 1 deki elektrik dört-kutup terimi ile daha yüksek mertebeli terimler tümden önemsizdir. Yaln ı zca elektrik ve manyetik kutuplanmalar, yani ve Ar, önemlidir. Bu bileş tirici bağı ntı ların bu durumda basit olacağı anlam ına gelmez. Dış alanların yokluğunda s ıfı rdan farkl ı P da ye sahip ferroelektrik ve ferromanyetik maddelerden tutun da, çok daha olağ an sayılan dielektrik,diyaman~ ve paramanyetik maddelere kadar, özellikle kristal katı larda, maddenin elektrik ve manyetik özellikleri korkunç bir çeşitliliğe sahiptir.Bu özelliklerin incelenmesi, kat ıhal fiziğinin yetki alanlar ından biridir. Bu kitapta biz sadece baz ı daha temel özelliklere çok kısa ve yüzeysel olarak değ ineceğ iz. Yığı n maddenin elektroman-yetik özelliklerini daha sistemli ve geni ş biçimde iş lemek istiyorsan ı z, Kittel gibi kat ıhal kitaplarına baş vurmanı z gerekir.

Ferroelektrik ve ferromanyetiklerin dışı ndaki maddelerde, yeterince zayıf alanlar için, uygulanan dış elektrik ya da manyetik alan, kendi büyüklüğüyle orant ı l ı bir elektrik ya da manyetik kutuplanmaya yol açar. Bu durumda ortam ın dış alana verdiği yanıt çizgiseldir deriz ve D ile H'nin kartezyen bileş enlerini

Da t‘<tz

E(1 (G.9)

Ha •=1. AA' B 0 ı -10(13

ş eklinde yazarı z. * £00 ve,u'oc0 tensörlerine s ı rasıyla elektrik-sel geçirgenlik ya da dielektrik tensörü ve ters manyetik geçirgenlik tensörü denir. Bunlar ortamın çizgisel yanı tını özetlerler; hem maddenin moleküler ve kristal yapı s ına, hem de yoğunluk ve s ıcakl ık gibi yığı n özelliklerine bağ lıdı rlar. Basit maddeler için çizgisel yanıt çoğukez uzayca izotroptur. Bu durumda ve/1;cp tensörleri kösven olup, her birinin üç elemanı da eşı ttir; dolayısiyle ve H = p' yaz ı labilir.

Genelde doğru olmas ı isteniyorsa, (G.9) denklemlerini, alan niceliklerinin uzay ve zamana göre Fourier4pnüşmü2leri içim yaz ılmış olarak düşünmeliyiz. Bunun nedeni, D ile BT- (ya da H ile B) aras ındaki temel çizgisel ili şkinin yerel olmayabi-

* İ fademize göre B,,A $1 i H.t= yazmam ı z gerekirdi; fakat bu, temel manyetik go alan olarak Pnin ve türetilmi ş nicelik olarak Bnin do ğ al rollerini de ğ i ş -tirir. Bu geleneksel kullan ı ma 5. Bölümde dönece ğ iz.

18

leceğ i gerçeğ idir. Böylece

o( D (,1>

' t) =2fd3x' s dt' ( -ş 1 ,t') Er3( ,',t - t') (G.10)

eq;

yaz ı labilir; burada E,ğ(ş 1 ,t'), = 0, t' = 0 noktas ı dolayı n- da yerelleş miş olabilir; fakat bu noktadan belli bir uzan ıma kadar s ı fı rdan farkl ıdı r.

f(1,(,)) = .1- d3x 5dt f(>,t)e-i17:)7-4- iWt

aracı lığı yle Dk(m)), E0 (k,(4) ve £.to(7,W) Fourier dönüşmüş leri tanımlanı rsa, (G.9) bağı nt ı ları , Fourier dönüş müş leri cinsinden

De( (k ' (.0) =I, E ( İ.L5J) E0 (,t..3) (G.11)

c<( şeklinde yaz ı labilir. H,((k,w)'yı da benzer bir denklemle B(3(k,w)

cinsinden yazabiliriz. Oyleyse geçirgenlik tensörleri genelde frekans ve dalga vektörünün fonksiyonlar ıdı r. Görünür ışı k ya da daha uzun dalgaboylu elektromanyetik ışı nım için, uzayca yerel olmayış çoğukez önemsenmeyebilir. Bu durumda E„, ç3 ve>.1 3 sadece frekans ın fonksiyonları olur. Bölüm 7'de bu durum tartışı lmaktadı r; maddenin yüksek frekans özellikleri basitleş tirilmi ş biçimde i ş lenmekte ve neden-sonuç ili ş kisi (causality) ' nin sonuçlar ı araş tı rı lmaktad ı r. İ letkenler ve aşı rı iletkenler için uzak mesafe etkileri önemli olabilmekte-dir. Örneğ in bir iletkende elektron çarp ış malarına ili şkin ortalama serbest yol deri derinliğine göre büyük hale geldi ğin-de, Ohm yasasını n uzayca yerel ş ekli art ık elveri ş li değ ildir. Bu durumda dalga vektörüne olan bağ l ı l ık da i ş in içine girer. Katı lara iliş kin birçok özelli ğin anlaşı lmas ında, dalga vektörü ve frekansa bağ l ı dielektrik sabiti kavram ı yararlıdır. Bazı örneksel kaynaklar, bu bölümün sonunda önerilen okuma parçala-rında verilmektedir.

Geçirgenliklerin sayisal değerlerine de değ inelim. Düşük frekanslarda (V G 10 Hz) bütün yükler, eylemsizlikleri ne olursa olsun, uygulanan alanlara yan ı t verirler. Bu frekanslar-da kat ı lar tipik olarak €,0( .7z-.. 2 ile 20 aras ında dielektrik sabitlerine sahiptirler; daha büyük değ erlileri de çoktur. Sürekli moleküler çift-kutup momentine sahip sistemlerin çok daha büyük ve s ıcakl ığ a duyarl ı dielektrik sabitleri vard ı r. Örneğ in dam ı tık su, 0° 'de E= 88 ve 100°C'de E= 56 gibi büyük bir durgun dielektrik sabitine sahiptir. Optik frekanslarda ise alanlara sadece elektronlar önemli ölçüde yan ı t verebilir

. -

ler. Bu halde dielektrik sabitleri £, « ~1,7 ile 10 aras ında değ iş ir; birçok kat ı için £...< 2-3'tür. Su, görünür ışı k bölgesinde, s ı caklıktan oldukça bağı msı z olarak O'dan 100 °C'ye kadar E= 1,77-1,80 değ erine sahiptir.

19

Maddelerin uygulanan manyetik alana yan ı t veriş biçimleri, tek tek atomlar ı n ya da moleküllerin özelliklerine ve ayr ı ca bunların etkileşmelerine bağ l ıdır.Dliyamanyetik maddeler, net açı sal momentumlar ı sı fır olan atom ya da moleküllerden oluşur. Bu durumda uygulanan d ış manyetik alana yan ı t veri ş , dolanan atomik akımların yaratı lmas ı şeklinde olur ki, bu ak ımlar, uygulanan alana z ı t, çok küçük bir makroskobik m ıknatı slanma doğurur.)u4 'nın (G.9)'daki tan ımı ve (G.7) uyar ı nca, p'„,,,( > 1 demektir. Bilinen en iyi diyamanyetik madde olan Bizmut -1) = 1,8 x 10 değerine sahiptir. Öyleyse diyamanyetizma çok küçük bir etkidir. Eğer maddenin temel atomik birimi çiftlenme-mi ş elektronlardan ötürü net bir aç ı sal momentuma sahipse, madde paramanyetiktir. Tek elektronun manyetik momenti uygula-nan alana paralel yönelir. Dolay ısiyla

-2 ft',< ,(5.1 1 dir. Tipik

değ erler oda s ıcaklığı nda (1 - 211) = 10 - 10 aral ığı nda-dır; fakat ı sısal uyarı lmaların geliş igüzelliği artt ı rma etkisi nedeniyle, bu değerler yüksek s ıcakl ıklarda daha da küçülürler.

Ferromanyetik maddeler paramanyetiktirler, fakat atomlar aras ındaki etkileşmeler nedeniyle, iyicene farkl ı davranış gösterirler. Curie s ı cakl ığı nın (Demir için 1040°K, Nikel için 630°K) alt ında, ferromanyetik maddeler kendili ğ inden mıknatı s-lanma gösterirler; yani bölge olarak adlandıracağı m ı z mikrosko-bik açıdan büyük say ı lan bir hacim içindeki tüm manyetik momentler bir yöne dizilirler. Dış alanın uygulanmas ı , bu bölgelerin değ işmesine ve farkl ı bölgelerdeki momentlerin beraberce ayni yöne gelmelerine neden olur. Böylece tüm madde yığı nı mı knat ı slanma doygunluğuna eri ş ir. Dış alan ın kald ı rı l-mas ı , momentlerin oldukça büyük bir kesripi hala ayni yönde dizili bı rak ır; böylece B = Lin M > 10 Gauss kadar büyük olabilen bir sürekli m ıknahslanma ortaya çı kar.

Okuyucu, maddelerin dielektrik ve manyetik özelliklerine ili şkin veriler için, baz ı temel fizik elkitaplarına* baş vura-bilir; oralardan çok daha özel ve ayr ınt ı l ı derlemeler yapabi-lir

Zayıf alanlara çizgisel yan ı t veren maddeler, yeterince yüksek alan ş iddetlerinde, Elektronik ya da iyonik titreş icile - rin büyük genliklere sürülmesiyle, art ık çizgisel olmayan davranış göstermeğe baş larlar. Bu durumlarda (G.9) çizgisel bağı ntı ları , örneğ in

,(2)a

E E (G.12) D = E(3 + .< Ag cp. 25.

k Handbook of Chemistry and Physics, editör: R.C.Veast, Chemical Rubber Publis-hing House, Cleveland, Ohio. American Institude of Physics Handbook, editör: D.E.Gray, McGraw Hill, New York, üçüncü bask ı (1972), 5d ve 5f kesimleri.

20

ş eklinde düzeltilirler. Durgun alanlar için, bunun sonuçlar ı heyecan yaratıc ı olmaktan uzakt ır; fakat zamanla değ iş en alanlar halinde durum baş kadır. W ve U), gibi iki frekansa sahip büyük genlikli bir dalga, ortam m içinoae, ilk (J.), ve (.+0 2' den başka, O, 2w 2u) , W İ 4.(kı g ,co i-Gi2 frekansl ı dalgalar dogurur. Kübik ve datıa mertebeden çizgisel olmayan terimler, daha da zengin frekans spektrumlar ı doğurabilirler. Laserlerin geliş tirilmesiyle, bu cinsten çizgisel olmayan davranış , hem çizgisel olmayan optik adı alt ında bir araş tı rma alanı , hem de bir laboratuvar arac ı haline gelmi9_0bulunmaktad ır. Günümüzde laserler, elektrik alan doru ğu 10 hattâ 10 11 volt/cm'ye varan ışı k atmaları yaratma gücündedirler. Hidrojen atomunda yörüngedei elektr?n taraf ından hissedilen durgun elektrik alanı e/a 5 x 10 volt/cm'dir. Böylece görülür ki, günümüzün laser alanlara, üzerinde çal ışı lan örneği gerçekten bozarak, atomik titreşicileri çizgisel olmayan davranış biçimlerine sürükleme gücüne sahiptirler! Bu uzmanl ık alanıyla ilgili eserler, bölümün sonundaki kaynaklar listesinde verilmektedir. Bu kitapta esas olarak çizgisel olaylarla yetinilmi ş tir.

G.5- Farklı Ortamların Arakesit Yüzeylerinde Sınır Koşulları

(G.6) Maxwell denklemleri, yöresel olarak her (X ›,t) uzay-zaman noktas ında uygulanan diferansiyel denklemlerdir. Bunlar, ıraksama teoremi ve Stokes teoremi arac ı lığı yle, integral ş ekle sokulabilir. V uzayda sonlu bir hacim, S bu hacmi s ını r-layan kapalı yüzey (ya da yüzeyler), da bu yüzey üzerinde bir yüzey alan ı eleman ı ve it kapal ı hacimden dış a doğru yönelmi ş da yüzey eleman ına dik bir birim vektör olsun. Bu durumda, (G.6) denklemlerinin birincisine ve sonuncusuna ıraksama teoreminiuygulayarak a ş ağı daki integral bağı ntı ları nı elde ederiz:

D . n da = 4 Ti 1 4d 3x

JJV

-4 B . n

-> da = O

Birinci bağı nt ı Gauss yasas ı nın ta kendisidir: yüzeyden dış a doğru olan toplam ak ı s ı , içerde bulunan yük ile orant ı l ı -dı r. İ kinci bağı nt ı ise bunun manyetik benzeridir: Masnyetik yükler var olmad ığı ndan, kapal ı bir yüzeyden geçen net B ak ı sı sı fırdı r.

Benzer şekilde, C uzayda kapal ı bir i^ri, S' bu kapal ı eğri taraf ından s ınırlanan açı k bir yüzey, clt bu eğri üzerinde bir çizgi elemanı , da ise S' üzerinde bir yüzey eleman ı ve

21

nihayet n' eğri boyunca integral alma ile ilgili sağ -el kura-lınca belirlenen yönde da'ya dik bir birim vektör olsun. Bu kez (G.6)'n ın ortas ındaki iki denkleme Stokes teoremini uygula-yarak aş ağı daki integral bağı ntı lara ulaşı rı z:

=

E . d2, = -

1 .?iD öt

. n' da

. n' da S, -at

(G.15) denklemi, manyetik alanlarla ilgili Ampere-Maxwell yasas ı ve (G.16) ise Faraday' ın elektromanyetik indüksiyon yasas ıdı r.

Maxwell denklemlerinin al ış kın olduğumuz bu integral şekilleri, birbirlerine biti şik farklı ortamların arakesit yüzeyi üzerinde bir yüzeysel yük ya da ak ım yoğunluğu olsun veya olmas ın, bu arakesitin her iki yan ındaki dik ve teğ etsel alan bileşenleri arasında bağı nt ı lar çıkarmada kullan ı labilir. Uygun geometrik düzen Ş ekil G.4'de görülmektedir. Sonsuzküçük bir silindir, farkl ı elektromanyetik özelliklere sahip iki ortam aras ı ndaki s ı nı r yüzeyi üzerine, iki yana basacak ş ekilde oturtulmuş tur. Benzer ş ekilde, sönsuzküçük C dikdörtgeninin uzun kenarlar ı s ı nı rın farkl ı yanlarındadı r ve gerdiğ i düzlemin normali, arakesit yüzeyine te ğet olacak şekilde yönelmi ş tir. Önce (G.13) ve (G.14) integral ifadelerini silindirin hacmine uyguları z. Çok bas ık silindir limitinde, yan yüzey, (G.13) ve (G.14) denklemlerinin sol yan ındaki integrallere katk ıda bulunmaz. Sadece üst ve alt daireler katk ı verir. Arakesit yüzeyine paralel aldığı mı z bu dairelerin alanlar ı Aa ise, (G.13) bağı nt ı s ının solundaki integral

D . n -> da . (D

2 - D) . n da

S

değerine e ş ittir. (G.14) için de benzer bir durum sözkonusudur. f>yük yoğunluğu, cr- gibi idealize bir yüzeysel yük yoğunluğu doğuracak ş ekilde, arakesit yüzeyi üzerinde tekil (singular) ise, (G.13)'ün sağı ndaki integral

4TÇS ? d 3x = 47c cr Aa

değerini verir. Öyleyse D ve B alanlar ı nı n s ınır yüzeyinin iki tarafındaki dik bı leşenleri birbirlerine

22

Şekil G.4- Farklı iki ortam aras ındaki sınır yüzeyinin (kalın çizgi) şematik bir çizimi. S ınır bölgesinin, Cr ve K gibi idealize yüzeysel yük ve akım yoğunlukları taşı dıkları varsa-yılmaktadır V hacmi, yarısı bir ortamda yarısı da diğer ortamda bulunan küçük bir silindirdir; n normali, 1 ortam ından 2 ortamına doğrudur. Dikdörtgensel C eğrisinin yarısı 1 ortamında diğer yarısı 2 ortamında-d ı r ve düzlemi arakesit yüzeyine dik, dolayısiyle t normali arakesit yüzeyine teğet olacak şekilde yönelmi ş tir.

( -10' ) . n = 41-“r (G.17)

- ı ) . n = 0 (G.18)

ş eklinde bağ l ıdı rlar. Sözle ifade etmek gerekirse, s ını r yüzeyinin her noktas ında B'nin dik bile ş eni süreklidir; dik bileş eninin süreksizli ğ i ise 47t kere o noktadaki yüzeysel yük yoğunluğuna eş ittir diyebiliriz.

Benzer ş ekilde, E ve H'nin teğetsel bileş enlerindeki süreksizlikleri saptamak için, sonsuzküçük Stokes halkas ından

23

yararlanı labilir.Bekil G.4'deki C dikdörtgeninin k ısa kenarları önemsenmeyecek kadar. küçük ve ayr ıca uzun kenarlar ı nın herbiri yüzeye paralel ve At uzunluğunda ise, o zaman (G.16) I nın sol yanındaki integral

= x ri) . 2 - ı ) At

C

dir. (G.15)'in sol yanı için de benzer bir bağı ntı vardı r. (G.16)'nın sağ yan ı s ı fırdı r; çünkü yüzey üzerinde ".2 / .-bt'nin sonlu olmasına karşı n, kı sa kenarların uzunluğu sıf ıra giderken dikdörtgenin alan ı s ıfır olmaktadır. Bununla beraber, tam s ınır yüzeyi üzerinde akan 1--Z gibi idealize bir yüzeysel ak ım yoğunluğu varsa, (G.15)'in sağ yan ı sı fır olmaz. Bu gibi durumlarda (G.15)'in sağı ndaki integral

4Tc [

J + -a t da — " K. t At sj, c t •

değerine sahiptir. İ ntegraldeki ikinci terim; biraz önce "?-11%at için verdiğimiz nedenle sı fı r olmaktad ır. Dolayısiyle E ve H alanlarının s ını r yüzeyinin iki taraf ındaki teğetsel bileşenle-ri birbirlerine aş ağı daki gibi bağ l ıdı rlar:

n x (E2 - El ) = 0 (G.19)

n x (H2 "a. c - ) = K (G.20)

(G.20) denkleminde, yüzeysel K). ak ımının her noktada sadece yüzeye paralel bileşenlere sahip olduğu anlaşı lır. Demek ki arakesit_yüzeyini geçerken ''nin teğetsel bileş eni süreklidir; oysa ki filnin teğetsel bileş eninde bir süreksizlik vard ı r ve bu süreksizlik, bilyüklükçe LITÇ/c kere yüzeysel ak ım yoğunluğuna eşit olup, yönce K xrilye parareldir.

(G.17)-(G.20) süreksizlik bağı ntı ları , Maxwell denklemleri-ni farkl ı bölgelerde çözdükten sonra, tüm uzayda alanlar ı elde etmek için, bu çözümleri birbirlerine ba ğlamada çok yararl ıdı r.

Yukarıda verilen süreksizlik bağı ntı ları , iki ortamı ayıran arakesit yüzeyinin zamanca sabit olmas ı halinde geçerli-dir. Baz ı uygulamalarda, hareketli bir s ınır yüzeyi için

24

■ • ■

\ ■ ♦ . \_....... \ \ \ \

\ S \---... \ \ \ \ \

♦

Şekil G.5- İki ortam arasındaki hareketli s ınır. Silin-dirsel hacim ve dikdörtgensel halka Ş ekil G.4'deki gibi olup, her ikisi de laboratuva-ra göre durgundur. Resikli çizgiler, görülen andan çok az önceki ve çok az sonraki arakesit yüzeylerini temsil etmektedir.

süreksizlikleri bilmek yararl ı olabilir* v = ch ı zıyle hareket eden s ı nı r yüzeyine ili ş kin sonuçlar, biraz özen göstermek koşuluyle, temelde önceki gibi elde edilebilir. İki ortam aras ı ndaki hareketli s ı n ır yüzeyi, Gauss silindiri ve Stokes halkasiyle birlikte, Ş ekil G.5'de görülmektedir. Silindir ve halka, laboratuvara göre sabittir. S ı n ır yüzeyi onlar ı "ii h ı zıyle süpürüp geçer. Bu durumda, ff ve sağ layacağı (G.17) ve (G.18) süreksizlik bağı ntı larının türetilmesine giriş irsek, daha önce (G.13) ve (G.14)'den ba ş layarak yapt ıkla-rım ı zın değ iş meyip ayni kald ığı nı görürüz, yeter ki cr' y ı , hareketli yüzey üzerinde laboratuvardan gözlenen yüzeysel yük yoğunluğu olarak yorumlayal ım. Dolay ı siyle D ve B 'nin sağladığı (G.17) ve (G.18) süreksizlik bağı ntıları , hareketli bir arake-sit yüzeyi için de değişmeksizin geçerliktedir.

Bununla beraber, E ve 11'nin sağ ladığı (G.19) ve (G.20) süreksizlik bağı ntı ları değ iş ir. Çünkü (G.15) ve (G.16) denk - lemlerinin sağ yanlarında yer alan ve zamana göre türev içeren

* P.D.Noerdlinger, Am.J.Physics 39, 191(1971).

25

terimler art ık s ı fı r olmamaktadır. Arakesit yüzeyinin durgun C halkas ı nı süpürüp geçmesi bir katk ı verir. Bu katkının değ erini saptamak için, şeklen C'nin aynisi olan, fakat arakesit yüze-yiyle birlikte ii h ı z ıyle hareket eden ve Ş ekil G.5'deki C ile bir an için çakış an aç ık yüzey üzerinden, D/c'nin zamana göre türevinin yüzey integralini ele alal ım. Bu integral şöyledir:

= 1 C (x(t), t) . t da dt

İntegralin hareketli bir yüzey üzerinden al ındığı nı vurgulamak için x koordinat ının zamana göre olan kapal ı bağ l ı lığı nı da gösterdik. Dikdörtgensel C halkas ının kı sa kenarları sı fıra yaklaş tı rı larak aç ık yüzeyin alan ı s ı fır limitine götürüldüğün-de, I integrali s ı fır olur. (Özel görelilik açı s ı ndan, -ii.

hı zıyle hareketli bir eylemsizlik çerçevesinde oturan bir gözlemci arakesit yüzeyini durgun olarak görür ve arakesit üzerinde tekil olmayan Lorentz-dönü şmüş alanlar gözler). Bununla beraber, I integrali, (G.15)Ide yer alan integrale dik türevi açarak bağ lanabilir:

ı ait o ç (x,> (t), t) . da j c dt

1 = c . t da + daı .

Bir vektör özdeş liği kullanarak ikinci terim daha uygun hale dönüş türülür ve aranan integral şu ş ekle gelir:

f 1 c ---t* da = U'x(Ox 3) . da -z> t •

Sağdaki ilk terim Stokes teoremi arac ı lığı yle kapal ı bir çizgi integraline dönüş türülebilir; ikinci terim ise j) yük yoğunluğu cinsinden yaz ı labilir. Böylece (G.15) denklemini Şekil G.5'deki C halkas ına uygulayarak şu bağı ntıya ulaşı l ı r:

H- x i5> .dQ= cı41 . tda

(G.19) ve (G.20) öncesindeki basamaklardan geçerek, bu ba ğı ntı -dan

26

x [172

- 1--?1 - (-3 x ( İ.".2

- = 4" v) . C

süreksizlik formülü elde edilir; buradaki tüm nicelikler laboratuvar sisteminde değerlendirilmiş tir. Birkaç vektörel iş lemin yan ı s ıra (G.17)'nin kullanı lmas ı bizi

-4 -4 .4 -4 4u -", t . n x (H2 - H1 ) + n .(3(D2 - D ı )1 = c K . t (G.21)

lsoağı nt ı s ına götürür. Tümüyle benzer i ş lemler sonucunda, E (ve B)'nin teğ etsel bileşenlerinin süreksizlikleri olarak, (G.16)1- dan

x — ı ) — ( 1-3'2 —) 1 . o

(G.22)

bağı ntı s ı bulunur. (G.21) ve (G.22) denklemleri, (G.19) ve (G.20)'nin iki ortamı n hareketli arakesit yüzeyi haline genel-leş tirilmi ş biçimleridir.

Basit bir durum olarak her iki ortamda .f*, z E ve -H' İ-3-1. ise (ya da bir ortam bu özellikte ve di ğer ortam, içinde tüm alanların s ı f ır olduğu yetkin bir iletken ise), yüzeysel ak ıml ı bağı ntı büyük ölçüde basitle ş ir. (G.22) denklemi, yaklaş tı rma yapmaks ı z ın

(E2 ı - teğ = - x ( *B'>2 - Bi ) (G.23)

-p -4 biçiminde yaz ı labilir. (G.21) denkleminde H -* B ve D -4 E değ iş tirmelerini yapt ıktan sonra (G.23) kullan ı l ı rsa

L l - x (g.2 Bi ) = c (G.24)

bulunur. Ortamlar aras ındaki ar eqt yüzeyinin hareketi, (G.20)'ye sadece bir çarpan, yani v /c basama ğı nda bir düzelt-me, getirir.

G.6- Elektromanyetizmadaki Soyutlamalar Üzerine Bazı Uyarmalar

Önceki kesimde yüzeysel yük ve ak ım dağı l ımı düşüncesini

27

kullandık. Bunlar fiziksel dünyada bulunmayan matematiksel soyutlamalardı r. Elektromanyetizman ın her bölümünde ortaya çıkan baş ka soyutlamalar da vard ır. Örneğ in, elektrostatikte cisimleri, çoğunlukla "toprak" dediğimiz sı fır potansiyele göre sabit bir potansiyelde tuttuğumuzu söyleriz. Bu soyutlama-ların gerçek dünyayla olan bağ lantı s ı , deneyimli kiş iler için apaçık olsa bile, san ı r ı z ki biraz tart ış mağ a değ erdir.

Önce bir iletken cismi, bir referans değ erine göre sabit bir elektrostatik potansiyelde tutma sorununu ele alal ım. Buradaki kapal ı düşünce, çevrenin, yük ve alanlar ın istenen biçimleniş ini önemli ölçüde bozmamas ıdır. Bir cismi sabit potansiyelde tutabilmek için, cisimden çok uzaktaki ("sonsuzda-ki") bir yük kaynağı na uzanan bir iletken yola (hiç olmazsa zaman zaman) gerek vard ı r; öyle ki cismin yak ı nına başka yüklü ya da yüksüz cisimler getirildiğinde, potansiyelin hep o istenen değerde durmas ı için, yük kaynağı ndan cisme ya da cisimden yük kaynağı na yük akabilsin. Daha karmaşı k olanaklar bulunmakla birlikte, iletken yol olarak genellikle metal teller kullanı lmaktad ır. Sezgilerimiz ince tellerin kal ın tellere göre daha az bozucu olacaklar ı nı söylerler. Bunun nedeni şöyle aç ıklanır: "Belirli potansiyelde tutulan bir telin herhangi bir parças ı üzerinde bulunan elektrik miktar ı telin çapı küçültüldükçe azalacağı ndan; büyükçe boyutlu cisim-ler üzerindeki elektrik dağı l ımı , bu cisimler ile yer ya da bir elektriksel araç veya bir elektrOmetre aras ında elektriksel bağ lantı lar kurmak için kullan ı lahFok ince metalik tellerden duyulur biçimde etkilenmeyecektir". İnce telin hemen yak ının-daki elektrik alan ı kuşkusuz çok büyüktür. Bununla beraber, "büyükçe boyutlu cisimler"in boyutlar ı basamağı ndaki uzakl ık-larda bu etkiler küçük yap ı labilir. Maxwell'in sözlerine önemli bir tarihsel kanı t, 200 yı l önce Henry Cavendish tara-fından yapı lmış olan çalış madır. Babas ının evindeki ah ı rda yapt ığı deneylerde, yük kaynaklar ı olarak Leyden ş iş eleri ve iletkenler olarak ince teller kullanan Cavendish, sabit potan-siyelde tuttuğu tavana as ı lı cisimler (silindirler, diskler vb...) üzerindeki yük miktarlar ını ölçmüş ve bunları aynı potansiyelde tutulan bir küre ( Şekil G.l i deki ayni küre) üzerindeki yükle karşı laş tırmış t ı r. Bu yolla ölçtüğü sığ a değerleri yüzde basamağı na kadar doğrudur. Örneğin, bir kürenin sığ asının ayni yarıçapl ı ince bir dairesel diskin s ığ asına oranı olarak 1,57 değerini bulmuş tur; ki bunun teorik değ eri zaten n/2'dir!

- J.C.Maxwell, A Treatise on Electricity and %gnetism, Dover, New York, bask ı (1891i'shin 1954 tekrari, Cilt I, sayfa 96.

28

Gitgide ince teller kullanman ın bir pratik s ınırı vardı r. Birim boydaki yük ancak logaritmik olarak azal ır (Bu azalma tn(d/a) 'n ın tersi biçimindedir; burada a telin ortalama yar ı çapı , d ise telin bir iletken yüzeyden olan tipik uzaklığı dı r). Sistemin tedirgin oluşunu belirli bir düzeyin alt ına indirmek için, potansiyelleri koruyacak ba şka yollara, örneğin aral ı yüklü parçac ık demetlerinin kullan ı ldığı karşı laş tırma yöntem-lerine baş vurmak gerekir.

Bir iletken cismin topraklanmış olduğu söylendiğ inde, potansiyelin genel s ı fırı olarak hizmet gören uzak bir yük deposuna çok ince bir tel ile ba ğ lanmış olduğu anlaşı l ı r. Sabit potansiyellerde tutulan cisimler, benzer ş ekilde, batarya gibi bir gerilim kaynağı nın bir ucuna bağ lıdı rlar; bataryan ın diğer ucu ise "toprak" ile birle ş tirilmiş tir. Bu durumda, baş langıçta elektriklenmiş olan cisimler, elektrik dağı l ımları değ işecek fakat potansiyelleri sabit kalacak biçimde birbirle-rine göre hareket ettiklerinde, bitmeyen bir kaynak olarak düşünülen yük deposundan sözkonusu cisimlere ya da tersine uygun miktarda yük akacakt ır. Bir iletkeni topraklama dü şüncesi, zamanın etken olmadığı elektrostatikte iyi-tan ıml ı bir kavram-dır; fakat titre ş en alanlar için, sonlu yay ı lma h ı z ı bu kavramı bulandı rır. Başka bir deyi ş le, ikdüktans ve s ığ a etkileri önemli ölçüde işin içine girebilir. bu durumda "iyi bir toprak-lama" sağ lamak için büyük bir özen gerekir.

Makroskobik elektromanyetizmada bir ba şka soyutlama, yüzeysel yük yoğunluğu ya da yüzeysel akım yoğunluğu düşüncesi-dir. Buradaki fiziksel gerçek, yükün ya da ak ımın yüzeyin biti ş ik komşuluğuna s ını rlanmış olmas ıdır. Eğer bu bölgenin kal ınl ığı ilgilenilen uzunluk ölçeğine göre küçükse, gerçek durumu, sonsuzküçük kal ı nl ık soyutlamas ıyla yaklaş tırmaya uğratır ve yüzeysel dağı lımdan sözederiz. İki farkl ı limitin ayı rdedilmesi gerekir. Bir limitte "yüzey" da ğı l ımı , makrosko-bik olarak küçük, fakat mikroskobik olarak büyük sayılan yüzeye yak ın bir bölgeye s ını rlanır. Zamanla değişen alanların, çok iyi, fakat mükemmel olmayan bir iletken içine i ş lemesi buna bir örnektir (Kesim 8.1). Orada alanlar ın, deri derinliğ i denen $ kalınl ığı na s ını rlandığı ve yeterince yüksek frekans-larla yeterince iyi iletkenlikler için S 'nın makroskobik anlamda çok küçük olabilece ği gösterilmektedir. Bu durumda,

,., gibi etkin bir yüzeysel ak ım yoğunluğu elde atmak için, 5`' alM' yoğunluğunun yüzeye dik doğrultu üzerinden integralini almak uygundur.

Diğer limit gerçekten mikroskdbiktir ve maddelerin atomik yapı sındaki kuantum mekaniksel etkilerle kurulur. Örnek olarak, elektrostatikte iletken bir cismin fazlal ık yüklerinin dağı ll-mını ele al ını z. Bilindiği gibi bu yük tamamiyle iletkenin

29

yüzeyi üzerinde yer al ır. Bu durumda Tyüzeysel yük yoğunluğun-dan sözederiz. İ letkenin içinde elektrik alan yoktur; fakat (G.17) uyarınca yüzeyin hemen dışı nda elektrik alanının bir dik bileş eni vardı r. Mikroskobik anlamda yük tamamen yüzeyde değ ildir ve alan süreksiz biçimde değ işmez. Basit bir inceleme, geçiş bölgesinin birkaç atomik çap geni ş liğinde olduğunu gösterir. Metaldeki iyonlar ın oldukça hareketsiz bulunduklar ı ve 1 angstromluk ya da daha az bir boyuta s ınırlandıkları düşünülebilir; daha hafif olan elektronlar ise daha fazla serbesttirler. Modelsel hesaplamalar ın sonuçları* , Ş ekil G.6'da görülmektedir. Bunlar çok elektronlu problemin kuantum mekaniksel çözümünden ortaya ç ıkarlar; bu problemde iletkenin iyonlar ı , x < 0 için sürekli bir sabit yük yoğunluğu ile yaklaşı kl ığ a uğ rat ı l ır. Elektron yoyğunluğu (r = 5) kabaca bakıra ve daha ağı r alkoli metallere uygundur. Fazlal ı k elekt-ronik yükün, iyonik dağı l ımın nyüzeyiunde ±2 angstromluk bir bölgeye s ınırlandığı görülür. Elektrik alanı bu bölge boyunca düzgün bir

-ş ekilde artarak iletkenin "dışı ndauki 4110' değerine

ulaşı r. 10 cm nin önemsenmedi ğ i makroskobik durumlarda, yük yoğunluğunu ve elektrik alanın davranışı nı y(x) = 0- 8(x) ve E ( x) = 4n0-0(x) ile soyutlayabiliriz; birincisi gerçek yüzey- sel yoğunluğ a, ikincisi ise alan ın basamak fonksiyonu biçimin-deki s ıçrayışı na karşı gelir.

Görüyoruz ki klasik elektromanyetizmanın teorik olarak incelenmesi, çeş itli soyutlamalar içerir; bunlar ın bazı ları teknik, baz ı ları ise fizikseldir. Kitab ın ilk bölümlerinde tart ışı lan elektrostatik konusu, elektromanyetizman ın diğ er konularında da yapı ldığı gibi, büyük-boyuttaki elektriksel olayların deneysel bilimi olarak geliştirilmiş tir. Bu makrosko-bik yasalar ın (hatta boşluktaki yükler ve ak ımlar için geçerli olanların) mikroskobik bölgeye geni ş letilmesi, çoğunlukla doğ rulanmamış uzatmalardı r. Şunu vurgulamak gerekir: Geri baktığı mı zda görüyoruz ki, kaynaklar ı kuantum mekaniksel olarak ele almak ko şuluyle, klasik elektromanyetizma yasalar ı -nın birçok yönleri atomik bölgeye de uygulan ı r. Elektromanyetik niceliklerin çok sayıda molekülü içeren hacimler üzerinden ortalamaları , hı zl ı dalgalanmalar ı öylesine yumuş at ıp düzleş ti-rir ki uygulanan durgun alanlar madde içinde durgun ortalama yanı tlar doğurur; fazlal ı k yük, makroskobik anlamda bir iletke-nin yüzeyi üzerinde yer al ır. Demek ki Coulomb ve Ampre'in makroskobik gözlemleri ve bizim bunlardan ç ıkardığı nı z matema-tiksel sovutlamalar, a şı rı çekingen bir fizikçinin tasarlayabi-leceğinden çok daha geni ş bir uygulanabilirliğ e sahiptir. Havanın önemli bir elektrik ya da manyetik geçirgenliğ inin olmamas ı sorunları kuş kusuz basitleş tirmektedir!

* N.I.Lang and W.Kohn, Phys. Rey. 131, 4555 (1970); B3, 1215(1971; V.E.Kenner,

R.E.Allen and W.M.Saslow, Phys. Letters 38A 255 (1972).

0,4

0,2 ?<Ak

O

-0,2 0-8 2 4 6

X (10 cm )

30

1,0

x)/4n er 0,8

0,

Şekil G.6- Bir iletkenin yüzeyindeki fazlal ı k yükün ve elektrik alanı nın dik bileşeninin dağı lımı . Kat ı nı n iyonlar ı x <, o bölgesine s ı nı rlandı -rı lmış ve içinde elektronlar ın hareket etti ğ i sabit sürekli bir yük dağı l ı mı olarak yakla ş -tı rmaya uğrat ı lmış t ı r. Fazlal ı k yükler, "yü-zey"in angstromluk bölgesine s ı kış mış tı r.

KAYNAKLAR VE ÖNERILEN OKUMA PARÇALARI

Elektrik ve manyetizmanı n tarihi, büyük ölçüde bilimin kendi tarihidir. Bununla ilgili olarak, ilk cildi 1900'e kadarki dönemi kapsayan,

Whittaker'in iki ciltlik eserine daha baş langıçta değinmi ş ; optiğe önem veren daha k ısa bir öykünün ise

Born ve Wolf'un kitab ında bülunabı leceğ ini telirtmi ş tik. İ lk deneylerin tart ışı lmas ına yer veren bir baş ka okunakl ı eser şudur:

31

N.Feather, Electricity and Matter, University Press, Edinburgh (1968). Coulomb yasas ı nı n ters kare niteli ğine, ya da modern deyi ş le, fotonun kütlesine ili ş kin deneysel s ınamalar aş ağı daki makale - lerde bir daha gözden geçirilmi ş tir:

I.Yu.Kobzarev and L.B.Okun, Uspekhi Fiz.Nauk, 95, 131 (1968) E İngilizce çevirisi: Sov.Phys.Uspekhi 11, 338

(1968)] ve A.S.Goldhaber and M.M.Nieto, Rev.Mod.Phys. 43,277 (1971).

Makroskobik Maxwell denklemleri ve bunlar ın mikroskobik denk-lemlerden türetilmeleri üzerine önerilen okuma parçalar ı 6. Bölümün sonunda verilmektedir. Dielektriklerin, ferromanyetik - lerin ve manyetik maddelerin temel fiziğ i, örneğin aş ağı daki kitaplar ın yanı s ı ra, birçok kat ıhal fiziği kitabında buluna-bilir:

Beam, Kittel, Wert and Thomson, Wooten.

Bunların birincisi elektrik mühendisleri için olup, yar ı ilet - kenler gibi uygulamal ı konulara önem verir. Son kitap daha çok optik özellikler üzerinedir. Metallerin yüzey impedans ı nı (anormal deri etkisini) i ş lerken uzaysal yerel olmayış a duyulan gereksinme, şu kitaplar ın çeş itli yerlerinde tart ışı lmaktadı r:

A.B. Pippard, Advances in Electronics and Electron Physics, Cilt VI, editör: L.Marton, Academic, New York (1954), sayfa 1-45; Reports on Progress in Physics, Cilt XXIII, sayfa 176-266 (1960); The Dynamics of Conduction Electrons, Gordon and Breach, New New York (1965).

Dalga vektörii ve frekansa bağ lı dielektrik sabiti .(r,<",)) kavra-mı şu kitaplarda geli ş tirilmiş tir:

Kittel, Advanced Topic D. D.Pines, Elementary Excitations in Solids, W.A. Benjamin, New York (1963), Bölüm 3 ve 4. F.Stern, Solid State Physics, Cilt 15, editörler: F.Seitz and. D.Turnbull, Academic, New York, sayfa 299-408.

Çizgisel olmayan optik h ı zla geli ş en bir alan olup, bu konuda kitaplar yaz ı lmada baş lanmış t ı r. Fakat ş imdilik yaz ı ların çoğu daha araş tırma dergilerinde ve yaz okulu raporlar ındadı r. Giriş anlam ında bilgiler

J.A.Giordmaine, Physics Today 22 (1) 38 (1969), N.Bloembergen, Am.J.Phys. 35 989 (1967), G.C.Baldwin, Introduction to Nonlinear Optics, Plenum, New York (1969).

da yer al ı r; daha ileri düzeyde tart ış malar ise şu eserlerde

32

bulunur: S.A.Akhmanov and R.V.Khokhlov, Usp.Fiz.Nauk. 88, 439 (1966); 95, 231 (1968), L İngilizce çevirisi: Sov.Phys. Uspekhi 9, 210 (1966); 11, 394 (1968) J , N.Bloembergen, Nönlinear. Optics, W.A.Benjamin, New York (1965), Quantum Optics, Proc.Int.School of Physics "Enrico Fermi", Varenna, Course XLII, 1967, editör: R.J.Glauber, Academic, New York (1969), J.Ducuing, Y.R.Shen ve J.A.Giordmaine tarafından yaz ı lm ış makaleler, P.S.Pershan, Progress in Optics, Cilt V, editör: E.Wolf, Nord-Holland, Amsterdam (1966), sayfa 83-144.

33

1 ELEKTROSTATİĞ E GİRİŞ

Elektrodinamiğ in tartışı lması na, zamandan bağı msı z yük ve alan dağı lımlarını kapsayan olaylarla, yani elektrostatik konusu ile baş lıyoruz. Bu kısım okuyucuların çoğu için bir tekrar niteliğindedir. Bu bölümde fazla birşey yapmayı p, ilerdeki tart ış malarda gerekli olan kavram ve tan ımları ortaya koyacak ve baz ı temel matematiksel araçlar ı vereceğiz. Daha sonraki bölümlerde matematiksel teknikleri geli ş tireceğiz ve uygulayacağı z.

Fiziğ in şu yanına değinilmelidir. Tarihsel açıdan elektaz-tatik büyük-boyuttaki (makroskobik) olaylar ın bilimi olarak geliş tirilmiştir. Giri ş 'in sonunda da belirtildiği gibi, noktasal yük ya da bir noktadaki elektriksel alan gibi soyutla-malar, büyük-boyuttaki olaylar ı n anlatı lmasına yarayan matema-tiksel yapı lar olarak görülmeli ve bunlar ın küçük-boyuttaki (mikroskobik) düzeyde anlamlar ını yitirebilecekleri unutulmama-lıdır.

1.1- Coulomb Yasası

Elektroatatiğ in tümü, birbirlerine göre duran iki yüklü cisim aras ındaki kuvvetin nicel ifadesini veren Coulomb yasa-sından çı kmaktadır. Coulomb, yapt ığı deneyler sonucunda, hava içerisinde kendi boyutlar ına göre birbirlerinden çok uzakta bulunan yüklü iki küçük cisim aras ındaki kuvvetin,

(1)her bir yükün büyüklüğüyle doğru orantı lı olduğunu, (2)aradaki uzakl ığı n karesiyle ters orant ı lı olarak

değ iş tiğ ini, (3)yükleri birleş tiren çizgi boyunca yöneldi ğini ve (4) cisimler z ıt olarak yüklüyseler çekici, ayni yükle

yüklüyseler itici olduğunu göstermi ş tir. Gene deneysel olarak gösterilmi ş tir ki, yüklü bir küçük cisim üzerine dolayında bulunan diğer yüklü küçük cisimlerin uygulad ı kları toplam kuvvet, her çift aras ın-daki Coulomb kuvvetlerinin vektörel toplamına eşittir.Kesin olarak söylemek gerekirse, Coulomb'un sonuçlar ı , boş luktaki ya da geçirgenliği (susceptibility) önemsenmeyen ortamlardaki yüklere uygulanı r. Dielektriksel ortamlardaki yüklerin ele alınışı nı 4. bölüme b ı rakı yoruz.

1.2- Elektrik Alanı

Ölçülen nicelik kuvvet olmakla birlikte, kuvvetten bir basamak ötede bulunan bir kavram;„ yüklü cisimler toplulu ğunun

34

elektrik alanı kavram ı nı tanımlamak yararl ıdı r. Ş imdilik elektrik alanını , verilen bir noktada birim yük başı na etkiyen kuvvet olarak ,,tan ımlayabiliriz. Yerin fonksiyonu olan bir vektördür ve E ile gösterilir. Bununla birlikte, elektrik alanını n tanımında dikkatli olunmal ıdır. Bunun zorunlu olarak bir balmumu yuvarlağı üzerine yerleş tirilen birim yükün sözko-nusu noktaya getirilmesiyle ölçülen kuvvet olmas ı gerekmez. Nedeni aç ı ktır. Bir birim yük öylesine büyük olabilir ki, orada bulunmas ı yüklü cisimler topluluğunun alanını önemli ölçüde değ iş tirebilir. Bu nedenle bir limit süreci kullan ı lma-l ıdır, yani küçük bir s ınama cismine etkiyen kuvvetin bu s ınama cismi üzerindeki yüke oran ı , iyice küçük yükler için ölçülmelidir* . Deneysel olarak, s ınama yükü gitgide küçültül-dükçe, bu oran ve kuvvetin yönü sabitle şmeğe yüz tutacakt ı r. Büyüklüğün ve yönün bu limit değerleri, elektrik alan ı nın sözkonusu noktadaki büyüklüğünü ve yönünü tan ımlar. Elektriksel alanın tanımı nı simgelerle ş öyle yazabiliriz:

F = qE

Burada F kuvveti, Eelektriksel alan ı ve q yükü göstermektedir. Bu eş itlikte q yükünün bir noktaya sı kış tı rı ldığı , kuvvet ve alanın da bu noktada değerlendirildiğ i varsayı lmaktad ı r.

Coulomb yasas ı da benzer ş ekilde yazı labilir. it noktas ı na s ı kış t ı rı lmış q noktasal yükü üzerine -2' noktas ı na sı kış t ı rı l-mış baş ka bir d; noktasal yükü taraf ı n an uygulanan kuvvet F olmak üzere, Cou'lomb yasas ı

(i - x2 )

_ iC ı 2 )-? 13 ( 1 . 2 ) I ı - x21

ş eklinde simgelenir. q ı ve q2 'nin pozitif ve negatif değerler alabilen cebirsel nicelikler olduğuna dikkat ediniz. k orant ı katsayı s ı ise kullan ı lan birim sistemine bağ l ıdı r.

x1 noktas ındaki q noktasal yükünün x noktas ı nda doğurduğu elektrik alan ı , Şekil 1.1 de gösterildi ğ i gibi, doğ rudan doğruya elde edilebilir:

* Elektrik yükünün kesikli niteli ğ i (G.1 kesimine bak ı n ı z), bu matematiksel li-mitin fiziksel aç ı dan olanaks ı zl ığı n ı gösterir. Bu, bilyük-boyuttaki elektros-tatikte yap ı lan bir mateffiatiksel soyutlama örne ğ idir!

35

E(x) = kg

ı 13 I İ

k sabiti seçilen yük birimi taraf ından belirlenir, Elektrosta-tik birimler (esbrde birim yük, bir santimetre ötesine konan kendine eş it yüke 1 dyne'lik kuvvet uygulayan yük olarak seçilir. Buna göre CGS birimleriyle birlikte, k = l'dir ve yük birimine "stat - coulomb" den. MKSA sisteminde k = (4'n ; D ) -1

olup, buradaEo( = 8,854 x l0 farad/metre) bo ş uzayı n elekt- riksel geçirgenliğ idir. Biz esb'i kullanacağı z.

Şekil 1.1 Çok sayıda yük taraf ı ndan oluş turulan kuvvetlerin deneysel

olarak gözlenen çizgisel üst-üste gelme ilkesi, -;'( noktalar ı nda bulunan q.(i = 1,2,..,n) noktasal yükler sisteminin X' › noktas ı n-da oluş tujfduğu elektrik alanı nın

(; - ;?.)

E(x) = qi 3 (1.4)

X — X. ı

ş eklinde vektörel bir toplam olarak yaz ı labileceğ ini söylemek-tedir. Eğer yükler çok küçük ve p(X`') yük yo ğunluğuyle anlatı -labilecek kadar çok sayıda iseler [3?' noktas ındaki bx'hy'daz' küçük hacmi içinde Ag yükü varsa,Ag âx'Ay'z' yaz ı la-bilir], bu durumda üstteki toplam yerine bir integral gelir:

= 9(3 , ) (x x) d3x, (1.5) J I ; -; 1 1 3

*. Birimler, Ek'de ayr ı nt ı l ı olarak tart ışı lmaktad ı r.

(1.3)

36

Burada d 3x' = dx' dy' dz', x' noktas ı nda üç-boyutlu bir hacim elemanıdı r.

Bu noktada Dirac delta fonksiyonunu tan ımlamak yararlı dı r. Bir boyutta 8(x - a) ş eklinde yaz ı ları delta fonksiyonu, matema-tiksel açıdan dürüst bir fonksiyon olmayı p aş ağı daki özellikle-re sahiptir:

(1)x # a için S(x - a) = O'd ı r. (2) İ ntegrasyon bölgesi x= a'yı kaps ı yorsa SS(x - a) dx =

l'dir, kapsamıyorsa bu integral s ı fırdı r. Delta fonksiyonuna, güçlü olmamakla birlikte, sezgisel bir anlam verilebilir. Çan eğrisi gibi doruklu bir eğrinin, alt ın-daki alanı sabit tutmak koşuluyla, doruğu yükseltilirken geniş liğ i gitgide azaltı l ırsa limit durumda delta fonksiyonuna varı l ı r. Delta fonksiyonlarına ve kullan ımlarına kapsaml ı ve güçlü bir matematiksel yaklaşı m, Schwartz' ın dağı lımlar teori- sidir *.

Yukar ıdaki tan ımlardan açı kça görüleceğ i gibi, keyfi bir f(x) fonksiyonu için

(3)Sf(x) 6(x - a) dx = f(a) d ı r.

Delta fonksiyonunun iyi-davran ış lı fakat çok keskin doruklu bir fonksiyon olduğu düşünülürse, f(x) fonksiyonu ile delta fonksiyonunun türevinin integrali kolayca kurulabilir. Buna değgin tanım şudur:

(4)Sf(x) < ' (x - a) dx =-f' (a)

Burada üs i ş areti argümana göre türevlendirmeyi göstermektedir. Delta fonksiyonunun argümanı , bağı ms ı z x değ iş keninin bir

f(x) fonksiyonu ise, bu delta fonksiyonu şu kurala göre dönü ş -türülebilir:

(5) S(f(x))= 1

df

dx

(x j )1

f(x)'in sadece basit sı fı rlara sahip olduğu ve bu s ı fı rların (yani f(x) = 0 denkleminin köklerinin) x = xi noktaları nda

,* Dirac delta fonksiyonuna de ğ gin yararl ı ve güçlü bilgiler Ilghthill'in kitab ı nda verilmektedir. Ayr ı ca Dennery ve Krzywicki'nin 111.13 kesimine de bak ı n ı z. (Metinde ya da dipnotlarda koyu harflerle sadece yazar ad ı belirtilerek verilen kaynaklar Bibliyografya k ı sm ı nda bulunmaktad ı r.)

37

bulunduğu varsayı lmaktadı r. Birden fazla boyut halinde, basitçe her boyuta de ğgin

delta fonksiyonlar ı nın çarpımını al ırı z. Örneğin üç boyutta, dik koordinatlarla çal ış tığı mı zda

(6)S(X'- = 8(x ı x ı )5(x2 X2)8(X3 - X3 ),

x = X noktas ı nı n dışı nda her yerde s ı fı r olan bir fonksiyondur ve şu koşulları Sağ lar:

f

.- --, (7) s ()->,73x. 1, eğer AV hacmi x=X noktas ını kaps ı yorsa,

JJ -4 --., 0,eğer AV hacmi x=X noktas ını kapsamı yorsa,

,(W

Uzayın boyutu ne ise, delta fonksiyonunun da buna uygun hacmin tersine eş it bir boyuta sahip olduğuna dikkat ediniz.

Noktasal yüklerin kesikli bir cümlesi, delta fonksiyonlar ı kullanı larak bir yük yoğunluğu ile betimlenebilir. Örneğin

S)(>."'() = qı 5(>R7 - Xiı ), (1.6)

•=1 -> x. noktalarına yerleş mi ş n tane' q. noktasal yükünün bir 1_ ı dağı l ımı nı göstermektedir. (1.6)' daki bu yük yo ğunluğunu (1.5) ifadesinde yerine koyduktan sonra, delta fonksiyonunun özelliklerini kullanarak integrali al ırsanı z, (1.4)'deki kesikli toplamı elde edersiniz.

1.3- Gauss Yasası

(1.5) integrali, elektrik alan ını hesaplamak için en uyğun şekil değ ildir. Baz ı durumlarda çok daha yararl ı olan ve ayrı ca "E"(5?») için bir diferensiyel denkleme yol açan ba ş ka bir integral sonuç Gauss yasası 'dir. Gauss yasas ı nı elde etmek için, Ş ekil 1.2'de gösterildiğ i gibi, önce noktasal bir q yükü ve kapal ı bir S yüzeyi alal ım. q yükünden yüzey üzerindeki bir noktaya olan uzakl ık r, bu noktada yüzeye dik d ış a doğru yönelmi ş birim vektör n ve yüzey elemanı da olsun. q yükünün yüzey üzerindeki noktada oluş turduğu E elektrik alan ı n ile Q açı s ı yapıyorsa, bu durumda E'nin yüzeye dik bile şeni çarpı yüzey eleman ı ş u olur:

E. 1 .1> d a q cos 9

da (1.7) r2

q,S'nin içinde :

q,S'nin d ışı nda :

q

38

Şekil 1.2- Gauss yasası . Elektrik alanının yüzeye dik bileşeni, kapalı S yüzeyi üzerinden integre edilir. Yük S'nin içinde (d ışı nda) ise, q yükünden yüzeyi gören toplam kat ı açı 47C (sı fır)'dir. q yükünden yüzeyin içini gören katı açı pozitif alınırken, yüzeyin dışı nı gören katı açı negatif al ınmal ıdır

39

E vektörü q yükünü yüzey 91eman ına birleş tiren çizgi boyunca yöneldiğ inden cos €) da = r d.D'_dır; burada dIL, q yükünden da-yı gören katı açı elemanıdı r. Buna göre

;". . -ida= q dS1 (1.8)

yaz ı labilir. Şimdi E'nin yüzeye dik bileşenini tüm yüzey üzerinden integre edersek, kolayca ş unu buluruz:

E . n da = 0q, eğer q, S e nin içinde ise, (1.9)

S O, eğer q, S e nin dışı nda ise.

Bu sonuç, bir tek noktasal yük için Gauss yasas ı ldı r. Bir kesikli yükler cümlesi için bu yasan ın

S 7.rda = 4-rt.

Zqı (1.10)

şeklinde olacağı açıkt ı r; burada E tüm yükler taraf ından oluş turulan alan olmakla birlikte, toplamda sadece S yüzeyi içindeki yükler yer almaktad ı r. Sürekli bir J7(7) yük yo ğunluğu için Gauss yasas ı , V,S tarafı ndan kapatı lan hacim olmak üzere, şu şekle gelir:

S v

(1.11) denklemi, elektrostati ğ in temel denklemlerinden biridir. Bu denklemin,

(1)yükler aras ındaki kuvvet için ters kare yasas ı na, (2)kuvvetin merkezcil niteli ğ ine, (3) farkl ı yüklerin etkilerinin çizgisel olarak üst-üste

gelmesine bağ l ı olduğuna dikkat ediniz. öyleyse yük yoğunluğu yerine madde yoğunluğunu koymak koşuluyla, Gauss yasas ı 'nın Newtoniyen kütle-çekim alanlar ı için de geçerli olduğu aç ı ktı r.

Bununla ilgili olarak şu ilginç noktay ı da belirtelim. Cavendish ve Coulomb'un deneylerinden bile daha önce, Priestley, Franklin'in bir gözlemine yani yüklerin bir metal barda ğı n içinde değ il de dışı nda yerleş eceğ i olgusuna dayanarak Newton 1 - un evrensel kütle-çekim yasas ı ile bir benzetmeden esinJenmi ş ve elektrostatik kuvvetin, uzakl ığı n karesinin tersiyle de ğ iş me-si gerektiğ ini düşünmüş tü. Ters-kare yasas ı nın bugünkü durumu G.2 kesiminde tartışı lmış t ı r.

E . n da = 41-t S j)(') d3x (1.11)

40

1.4- Gauss Yasasının Diferensiyel Şekli

Gauss yasas ı , elektrostatiğin integral formülasyonu olarak düşünülebilir. Iraksama teoremini kullanarak bir diferensiyel şekil (yani bir diferensiyel denklem) de elde edebiliriz. Iraksama teoremi der ki, S kapal ı yüzeyi tarafı ndan s ınırlanan bir V hacmiçerisinde iyi-davran ış lı herhangi bilr7) vektör alanı için, A'n ı n ıraksamas ının hacim integrali ile A nın dış a doğru yönelmi ş dik bileş eninin yüzey integrali aras ında

. n da = d3x

ş eklinde bir bağı nt ı vardı r. Bu denklem gerçekte ıraksamanı n tanımı olarak kullan ı labilir (bak. Stratton, sayfa 4). Bu teoremi Gauss yasaslin ı n (1.11)'de verilen integral ş ekline uygulayabiliriz. Böylece (1.11) denklemini

V 4Tçy) d3x = 0

(1.12)

ş eklinde yazma olanağı doğar. S kapal ı yüzeyini ve dolay ı siyle V hacmini istedi ğimiz gibi seçebileceğ imizden, (1.12)'deki integralin içini s ı fı ra eş itleyebiliriz:

V . E = 4Try

(1.13)

Böylece elektrostatiğin Gauss yasası tnın diferensiyel ş eklini elde etmi ş oluruz. Bu denklemin kendisi elektrostatikteki problemleri çözmek için kullan ı labilir. Bununla birlikte, bazen yerin skaler fonksiyonlariyle u ğraşmak vektör fonksiyon-lariyle uğraşmaktan daha basitttir; gerekliyse sonunda gene vektörel niceliklere geçilebilir. Gelen kesimde bunu i ş leye-ceğ iz.

1.5- Elektrostatiğin Bir Başka Denklemi ve Skaler Potansiyel

(1.13) denklemi tek başı na E(x) elektrik alanının üç bileş enini de tam olarak belirtmeğe yeterli değ ildir. Belki de baz ı okuyucular bilirler; uzayın her yerinde ı raksamas ı ve

41

dönülü+ verilirse, ancak o zaman bir vektör alan ı hemen hemen* tam olarak belirtilebilir. Bu nedenle E'nin dönülünü yerin

fonksiyonu olarak veren bir denklem arıyoruz. Böyle bir denk-lem, yani

-,, V x E = 0 (1.14)

denklemi doğrudan doğruya (1. 5)'deki genelle ş tirilmiş Coulomb yasas ından ç ı kar. Hat ı rlarsanı z, bu genelleş tirilmiş yasa

E(x) = 1(;t P ) d

3x'

ş eklinde idi. İntegralin içindeki vektör çarpan ı , 1/ 13.1( — X 1 1 skalerinin x değ iş kenine göre al ınmış gradyeninin eksilisidir:

(;t — ;° ) ı 1t — 13 = s — —)?, 1 )

Gradyen operatörü kapsayı p integrasyon değ iş kenini kapsama- dığı ndan, integral i ş aretinin dışı na al ınabilir. Buna göre alan ifadesi şu ş ekilde yaz ı labilir:

- ()7) = - 77' S f;'(') d3x' U(—

(1.15)

Yerin iyi-davranış l ı her skaler fonkslyonunun gradyeninin dönülü daima s ı f ır olduğundan (her N}' için V x V1/ = 0), (1.15) ifadesi derhal (1.14) denklemine yol açar.

Dikkat ederseniz V x E = 0 bağı ntı sı , yükler aras ındaki kuvvetin merkezcil niteliğ ine ve kuvvetin sadece bağı l uzakl ı -ğı n Fonksiyonu oluşuna bağ l ı olup ters-kare yasas ına bağ l ı değ ildir.

Bir vektör olan elektrik alanı , (1.15) denkleminde gradyen operatörü yarmd ımiyle bir skalerden türemektedir. Yerin bir tek fonksiyonuyle uğraşmak üç fonksiyonuyle uğ raşmaktan daha kolay olduğundan, dikkatimizi skaler fonksiyona toplayıp ona bir isim vermek yararl ıdı r. Bu nedenle

* Bu belirleme, Laplace denklemini gerçekleyen bir skaler fonksiyonun gradye- ni kadar farkedebilir. Çözümün tekli ğ ini tart ış an 1.9 Kesimine bak ı n ı z. Dönül = Rotasyonel.

42

E = - Cp

(1.16)

denklemi ile 011>( - skaler potansiyelini tan ımları z. Bu skaler potansiyel (1.15) denklemine göre yük yo ğunluğu cinsinden

1/() = P ( x ') d3x1 ix -

(1.17)

ş eklinde verilir; burada integrasyon evrendeki tüm yükler üzerinden alınmaktadır ve (1.17)'nin sağı na bir sabit eklenebilecek kadar keyfidir.

Ş ekil 1.3'de görüldü ğü gibi, "El'() elektrik alanı içinde bir q deneme yükünü bir (A) noktas ı ndan diğer bir (B) noktas ı na götürmekle yapı lan iş e bakarak, skaler potansiyele fiziksel bir anlam verilebilir. Herhangi bir noktada yük üzerine etkiyen kuvvet

F = qB

dir; böylece yükü Adam B'ye hareket ettirmekle yap ı lan i ş

W - SB . -gSB . al. A A (1.18)

olur. Alanı n etkisine karşı yük üzerine yapı lan iş i hesapladi-ğı mı z için eksi i ş aretini kulland ı k. (1.16) tanımı yardı miyle, bu iş i

W = q SA Ğ '913 . d/ = q SA d£3 = q(9313 - £5A ) (1.19)

şeklinde de yazabiliriz. Buna göre 4», elektrostatik alan içinde q deneme yükünün potansiyel enerjisi olarak yorumlana-bilir.

Şekil 1.3

43

(1.18) ve (1.19)'dan görülebileceği gibi, elektrik alan ının iki nokta aras ındaki çizgi integrali yoldan bağı msı z olup, bu iki nokta arasındaki potansiyel farkının eksilisine eş ittir:

- (1.20)

Bu sonuç süphesiz (1.16) tan ımından doğrudan doğruya çı kar. yol kapal ı ise bu çizgi integrali s ı fırdı r:

^

E.âe=o (1.21)

Bunu da doğrudan doğruya Couloffib yasasından elde etmek olas ıdı r. Bu sonuca Stokes teoremi'ninuygulanmas ı , bizi derhal V x E = 0 denklemine geri götürür. Stokes teoremi: Z(7(') iyi-davran ış lı bir vektör alanı , S keyfi bir açı k yüzey ve C de S'yi s ını rla-yan kapal ı eğri olmak üzere,

A . d2,= ^ (D x A) . n da

dır; burada 4, , C'nin çizgi eleman', n ise S'ye dik birim vektördür, C yolunun dolan ım yönü, -ıri'ye paralel tutulan vidanın ilerleme yönüdür.

1.6- Yüzeysel Yük ve Çift kutup Da ğı lımları , Elektrik Alanı ve Potansiyeldeki Süreksizlikler

Elektrostatikteki en genel problemlerden biri, verilen bir yüzeysel yük dağı lımı nın oluş turduğu elektriksel alan ın ya da potansiyelin bulunmas ıdır. (1.11) Gauss yasas ı , kısmi sonucu doğrudan doğruya yazmamı za izin verir. Bir S yüzeyi 0( -X) yüzeysel yük yoğunluğuna (santimetre kare başı na statcoulomb cinsinden ölçülür) sahip ise, Şekil 1.4'de görüldüğü gibi, yüzeyin 1. yüzünden 2. yüzüne yönelen dik birim vektör -ii ve yüzeyin her iki tarafı ndaki elektrik alanları E ve E2 olmak üzere, Gauss yasas ı bize derhal

-› (E2 - E ) . n = 4rtcr (1.22)

olduğunu söyler. Bu, baş ka alan kaynaklar ı yoksj, ve 0-"nın geometrisi ile biçimi özellikle basit de ğilse E ve ›;'yi belirtmeğe yetmez. (1.22)'nin tüm olarak söyledi ği suaur: Yüzeysel yük yoğunluğu o- olan bir yüzeyi 7-1' doğrultusunda geçerken elektrik alanı nın yüzeye dik bileş eninde 4'ner kadar bir süreksizlik vardır.

44

1. yüz

Şekil 1.4- Bir yük yüzeyini geçerken elektrik alan ının dik bileşenindeki süreksizlik.

Şekil 1.5- Bir çift-kutup tabakas ının oluşturulmasında içerilen limite gitme süreci.

45

Kapalı bir yol boyunca E'nin çizgi integrali için (1.21) denklemini kullanarak, elektriksel alanın teğet bileş eninin s ını r yüzeyini geçerken sürekli olduğu gösterilebilir. Bunun için gereken tek şey, karşı l ı kl ı uzun kenarlar ı yüzeyin birer tarafında bulunan ve diğer iki kenar ı önemsenmeyecek kadar küçük olan bir dikdörtgensel yol almakt ı r.

Tam yüzey üzerinde olmamak koşuluyle, uzayın herhangi bir noktas ındaki potansiyeli dolay ısiyle türev alarak alan ı ) bulmak icin, (1.17)'de ?d x yerine Orda koymak yeterlidir:

0(-t) Ç 6(>-ts ) da' (1.23)

S ix - I

Yüzeysel ya da hacimsel yük dağı lımları için potansiyel her yerde, yük dağı l4m ı nın içinde bile, süreklidir. Bu gerçek, (1.23)'den ya da E'nin s ı nırlı olmas ından (yüzeysel yük dağı l ı -mını geçerken süreksiz olsa da) gösterilebilir. Derhal görüle-ceği gibi, noktasal ya da çizgisel yükler ile çift-kutup tabakalar ı için potansiyel sürekli değildir.

İ lgileneceğ imiz bir baş ka problem ise, bir S yüzeyi üzerin-deki bir çift-kutup tabakas ı dağı lımının oluş turduğu potansi-yeldir. Şekil 1.5'de gösterildiğ i gibi, yüzeysel yük yoğunluğu IIITZ) olan bir S yüzeyinin iyice yak ı nına eş it ve z ı t yük yoğunluklu başka bir S' yüzeyi getirilerek bir çift-kutup tabakası nın oluş turulduğu düşünülebilir. Çift-kutup da ğı lımının 1)(3) ile gösterilen ş iddetini tanımlamak için, S' yüzeyi S'ye sonsuz küçük derecede yaklaş t ı rı lı rken crM yüzeysel yük yoğunluğu sonsuza götürülür, öyle ki 47 -(?) ile S ve S' aras ında-ki yerel d(X) uzakl ığı nın çarpımı D(X>) limitine yaklaşs ı n:

lim Cr(x) d(X.) = D(1) (1.24)

d( ş )->o

Tabakanın çift-kutup momenti S yüzeyine dik olup, ekSi yükten artıya doğru yönelmektedir.

Bir çift-kutup tabakas ına ait potansiyeli bulmak için, önce bir tek çift-kutup ele al ır, sonra bunlar ın bir yüzey yoğunluğunu üst-üste getiririz. Ya da ayni sonucu, (1.23)'deki yüzey yoğunluğu ifadesinden hemen önce sözle betimlenen matema-tiksel limit alma iş lemini yaparak da elde edebiliriz. Birinci yol belki daha basittir, fakat ikincisi bize vektör hesapta beceri kazandırır. Bu nedenle limit sürecini izleyece ğiz. Ş ekil l.6'da görüldüğü gibi, S'den S 'ye yönelen ve S yüzeyine

46

dik olan birim vektör n olmak üzere, bu iki yakın yüzeye ait potansiyel

-,

^(x) = f Cr(>7' ) da' ( Cr(x' ) da"

S ı x - x'` S' 1)--(' - 3'c'+-rid

dir. Küçük d'ler için lx-> ->

- x' + -nd L' ifadesini açabiliriz. l a -. -.., 1-1 1 «. r;'c' ->olmak üzere, x+a genel ifadesini ele alal ı m.

Bunun için

1 1

+ \,(x 2 + a2 +

-4 -

1 a . 2x (1 + ...)

x

1 1

+ a . V( ) +x x

yazabiliriz. Bu, şüphesiz ki üç boyutta Taylor serisine aç ın-= ta kendisidir. Bu açı l ımı uygulayı p (1.24) limitini de al ıncapotansiyelin aş ağı daki ş ekle geldiğ ini görürüz:

=-> -> --> (x')n.V' ( ) da'

Jl 1>c - 7' (1.25)

(1.25) denklemi basit bir geometrik yoruma sahiptir. Bunun için

n . V' ( 1 ) da , . cos da'--- dSi

- >7' \ )- < > \ 2

olduğuna dikkat edelim. Burada dik, ş ekil 1.7'de gösterildiğ i gibi, gözlem noktas ından da' yüzey eleman ı nı gören kat ı açı elemanıdır. O bir dar aç ı ise, yani gözlem noktas ı çift-kutup tabakas ın ın "iç" yüzünü görüyorsa, dn!nın art ı iş arete sahip olacağı na dikkat ediniz. Böylece potansiyel

= - S> D()7' ) an. (1.26)

ş eklinde yaz ı labilir. Sabit bir D yüzeysel çift-kutup momenti

47

Şekil 1.6- Çift-kutup tabakas ının geometrisi.

yoğunluğu için potansiyel, bu moment ile gözlem noktas ından yüzeyi gören (yüzeyin ş ekli ne olursa olsun) kat ı açı nın çarpı m ına eş ittir.

Şekil 1.7- da' yüzey elemanı üzerindeki D çift-kutup tabakasının P(gözlem) noktas ında oluş turdu-ğu potansiyel, D ile P noktasından da' yü gören dn, katı açı elemanının çarpımı= eksi iş aretlisidir.

Bir çift-kutup tabakas ını geçerken potansiyelde bir sürek-sizlik vard ı r. Bu durum, gözlem noktas ı nı çift tabakaya sonsuz küçük derecede yakla ş tirarak görülebilir. Bu durumda, gözlem noktas ı nın tam alt ında olan küçük bir disk ile geri kalan parça olmak üzere, çift tabakan ın iki parçadan olu ş tuğu düşünü-lebilir. Disk öylesine küçük al ınabilir ki, yeterince düz olduğu ve sabit bir D yüzeysel çift-kutup momenti da ğı l ı mına sahip bulunduğu kabul edilebilir. diskin potansiyeliyle geri kalan kı smı nı n potansiyelinin üst-üste getirilmesiyle toplam

48

potansiyelin elde edilebileceğ i bellidir. Sadece diskin potan-siyeli, iç yüzden d ış yüze geçerken 4rt D'lik bir süreksizli ğe sahiptir; çünkü (1.26)'dan aç ı kça görüleceğ i gibi, potansiyel iç yüzde -2TrD, dış yüzde ise +27‘D'dir. Diskin ç ıkarı ldığı bir boş luğu bulunan geri kalan parçan ın kendi başı na potansiyeli, boş kı sımdan geçerken süreklidir. Sonuç olarak yüzeyi geçerken potansiyeldeki atlama

252 - 251 = 4 ırD (1.27)

kadardır. Bu sonuç, bir yüzeysel yük dağı lımı nı geçerken elektrik alandaki süreksizliği gösteren (1.22) denklemin.in benzeridir. (1.27) denklemi "fiziksel aç ıdan" çift-kutup tabakas ının "içinde" meydana gelen bir potansiyel dü ş mesi olarak yorumlanabilir ve iki yüzeysel yük tabakas ı aras ındaki alan ile limit al ınmadan önceki aral ığı n çarpımı olarak hesap-lanabilir.

1.7- Poisson ve Laplace Denklemleri

1.4 ve 1.5 Kesimlerinde, elektrostatik alan ın davranışı nın aş ağı daki iki diferansiyel denklemle betimlenebilece ğ i göste-rilmiş tir:

= 4Tt

-> VxE= 0

(1.13)

(1.14)

İ kinci denklem özdeş olarak, E, bir skaler fonksiyonun (yani skaler potansiyelinin) gradyenidir der:

E = - V2.3

(1.16)

(1.13) ve (1.16) denklemleri, bir tek £6(;) fonksiyonunu içeren bir kısmi diferansiyel denklem içine toplanabilir:

V223 = - 4105>

(1.28)

Bu eş itliğe Poisson denklemi denir. Yük yoğunluğu olmayan uzay bölgelerinde, skaler potansiyel Laplace denklemini sa ğ lar:

172.3-_ 0 (1.29)

C = lim Ç42 ) d3x

ck.4o \)fr2 + a2

İ yi-davranış lı (r2 + a2 )-1/2 fonksiyonunun Laplasiyeni ş udur:

49

Skaler potansiyelin bir çözümüne, yani (1.17) ifadesine zaten daha önceden sahibiz:

75(5t) =S P(xl) d3 x' ix x'l

(1.17)

Bunun gerçekten de (1.28) Poisson denklemini sa ğ ladığı nı doğrulamak için, her iki tarafa Laplasiyen operatörünü uygula-rı z:

1 p(?, ) S --). V2

13 = 17 d3 x'= px')V2 1

( )d3x' (1.30)

IX' - ,?'1 IX' - X 1 1 , - -. -, 4 . . Ş imdi V2

(1/x - xl)'nun değerini hesaplamallyı z. Koordinat b9ş langıcını X'gye ötelemek uygun (ve olas ı )°dır; böylece V (1/rryi ele al ı rı z,2 burada r, İc'in büyüklüğüdür. Doğrudan . hesap ile r 0 için V (l/r) = 0 olduğunu buluruz:

,2, 1 , 1 v k

r

d2

1 d 2

2 (r

1 )_ (1) = 0 2 '

dr - r r dr

Fakat r2 = 0 da ifade tan ı mlanmamış tır. Bununla beraber, r # 0 için V (1/r) e nin s ı fı r olmas ı , (1.30) bağı nt ı s ının aş ağı daki ş ekilde yaz ı labileceğ ini ifade eder:

v 2 = C x ) ,

c S v2 ( 1 ) d3 x

C sabitini geliş tirmek için a ş ağı daki limit sürecini kullan ı rlz:

r

02 ( ) - d2 3a

2

r + a dr2

r2 + a

2 (T

2+ a

2)5/2

Böylece,

50

C - lim a40

oo -3a2 1. dS1 r

2dr

o (r2+ a2 )

5/2

00

= -121T x2dx

(x2 + 1)5/2 - 4 -rt

bulunur. C'nin bu değeri gösterir ki, (1.17)'nin Laplasiyeni gerçekten de (1.28) Poisson denklemini sa ğ lar.

1/runin Laplasiyeninin singüler niteliğ i, şekilsel olarak Drac delta fonksiyonu cinsinden gösterilebilir. r 0 için V2 (l/r) = 0 olduğundan ve bunun hacim integrali -47kverdi ğ inden Ni (1/r) = - 41x5(x) veya daha genel olarak

v2 ( ) = - 4 -rr S(7- 7'(') I ->"7'

ş ekilsel denklemini yazabiliriz.

1.8- Green Teoremi

(1.31)

Elektrostatik problemlerinde, belli bir bölgeye s ı kış mış kesikli ya da sürekli yük da ğı lımları dışı nda hiçbir s ı nı r yüzeyi bulunmasayd ı , o zaman (1.17) genel çözümü her problem için en uygun ve doğru çözüm olurdu. Poisson ya da Laplace denklemine gerek kalmazd ı . Asl ında elektrostatiğin -en çok değ ilse bile-birçok probleminde, içlerinde yük bulunan ya da bulunmayan ve s ı nı r yüzeylerinde s ınır koşulları verilen sonlu uzay bölgeleri vard ır. Bu s ınır koşulları , ilgili bölge-nin dışı na (belki de sonsuza) konan uygun bir yük da ğı lımiyle benzeş tirilebilir; fakat gene de basit haller (yani hayali yükler metodu) dışı nda, (1.17) çözümü potansiyel hesaplamada uygun bir araç olmaktan çıkar.

Sınır koşullarını ele almak için bazı yeni matematiksel araçlar, yani George Green'e (1824) ait özdeslikler ya da teoremler geli ş tirmek gereklidir. Bunlar ıraksama teoreminin basit uygulamaları olarak ortaya ç ı karlar.

_N, V . A d

3 x =f) -A* . -1-7 d a

V S

şeklinde ifade edilen ı raksama teoremi, kapal ı bir S yüzeyi tarafı ndan s ı nı rlanan bir V hacmi içinde tan ıml ı olan iyi-dav-

51

ranış l ı her A vektör alan ına uygulanabilir. 0 ve keyfi skaler fonksiyonlar olmak üzere, --A" y ı A' = 4.1Pbiçiminde alalı m. Bu vektör alan ı için

4. (4k) = 95v2"1'+ ?93, . (1.32)

ve (1.33)

..8r1

dir, burada '- / -bn, S yüzeyindeki dik türevdir (V hacminin içinden d ış arı ya doğru. yönelmiş tir). (1.32) ve (1.33) ifadeleri ıraksama teoreminde yerlerine konduklar ı nda, birinci Green özdeş liği ortaya ç ı kar:

-4 5(0V2 + V0 . V.,k) d3x =; "") da

-bn V

(1.34)

(1.34) özdeş liğ ini 0 ve 11•Iyi yerdeğ iş tirerek tekrardan yazar ve sonra bunu (1.34) den ç ı karı rsak, V0. -Niterimleri birbirle-rini yok ederler ve böylece ikinci Green özdeş liğ i ya da Green teoremini elde ederiz:

jr(4' - 1, V2)S) d3x 0 ] da an (1.35)

Volarak 1/R = 1/\ - ">-?>1 özel ş eklini seçersek, potansiyelin sağ ladığı Poisson differansiyel denklemini bir integral denklem haline çevirebiliriz; burada X'gözlem noktas ı , x' ise entegras-yon değ işkenidir. Bunun için Ofonksiyonu olarak 6 skaler potansiyelini almak ve V 20 = - 4TTsı ba ınt ı s ını yete‘-- cektir. (1.31)'den biliyoruz ki V (1/R) = -4,1:5() dür. Böylece (1.35) şu ş ekle gelir:

j[414()-(''' ) + LiTc )] d3x' V • R

Eğer 7noktas ı V hacminin içinde bulunuyorsa,

(2__, R a

,

[sr "'n"R'

()-2) SQ()-»(' ) d3x , 4.

v R 4ıt 3IT" da' (1.36)

52

ifadesini elde ederiz. Eğer -). 'noktas ı S yüzeyinin d ışı nda yer al ı yorsa, (1.36) denkleminin sol tarafı s ı fı rdı r* . [Dikkat ederseniz, (1,36)'daki yüzey integralini, (1~ ( .gl>tan') değerindeki bir yüzeysel yük yoğunluğu ile D = -(1/41-4değe-rindeki bir çift-kutup tabakas ı nı n potansiyeli olarak yorumla-yabiliriz. Bu durumda, elektriksel alan ın ve potansiyelin yüzeydeki süreksizlikleri (1.22 ve 1.27 ba ğı ntı ları ), V hacmi-nin dışı ndaki alan ı ve potansiyeli s ı fı r olarak verirler .

(1.36) sonucu hakk ında iki noktaya dikkat çekilebilir. İ lk olarak, eğer S yüzeyi sonsuza gider ve elektrik alan ı S üzerin-de R-1 'den daha h ı zlı düş erse, yüzey integrali s ı fır olur ve (1.36) ifadesi (1.17) ® deki meşhur sonuca indirgenmi ş olur. İkinci olarak da şunu diyebiliriz: içerisinde yük bulunmayan bir hacim için, hacmin her yerinde potansiyel (yani Laplace denkleminin bir çözümü), sadece hacmi s ınırlayan yüzey üzerin-deki potansiyel ve dik türevi cinsinden (1.36)'daki gibi ifade edilir. Oldukça hayret uyand ıran bu sonuç, bir s ı nı r-değer problemi için bir çözüm olmayı p sadece bir integral ifadedir; çünkü hem 5,in hem de -4/- n'nin keyfi._ olarak belirtiliş i (Cauchy s ınır koşulları ), problem için yapı lmış fazla bir belirtmedir. Bu nokta, bundan sonraki kesimlerde ayr ı tı l ı biçimde tart ışı lacaktır; orada uygun s ınır koşulları için çözümleri veren teknikler, (1.35) Green teoremi kullan ı larak geli ş tirilecektir.

1.9- Dirichlet ya da Neumann Sınır Koşulları ile Çözümün Tekliğ i

Soru şudur: S ınır bölgesinin içinde tek ve iyi-davran ış lı (yani fiziksel olarak akla yatk ın) bir çözümün varolmas ı için Poisson (ya da Laplace) denklemi hangi uygun s ı nı r koşullarını sağ lamalıdı r? Fiziksel kazanı larımı zın götürdüğü inanca göre, kapal ı bir yüzey üzerinde potansiyelin belirtilmesi (örneğin farklı potansiyellerde tutulan iletkenler sistemi), tek olan bir potansiyel problemi tanımlar. Buna Dirichlet problemi ya da Dirichlet sınır koşulları denir. Ayni ş ekilde diyebiliriz ki yüzey üzerinde (verilen bir yüzeysel yük yoğunluğuna karşı gelen) elektriksel alan ın (ya da potansiyelin dik türevinin) belirtilmesi, gene tek olan bir problem tan ımlar. Dik türevin belirtilmesi, Neumann sınır koşulu olarak bilinir. Fiziksel

1/ ̀fonksiyonu V hacmi içinde iyi—davran ış l ı olmad ığı için, okuyucu, (1.36)' n ı n geçersiz bir yolla elde edildi ğ inden yak ı nabilir. Fakat önceki kesimde sözü edilen limit—i ş lemini, kullanarak, ya da bu yak ı nd ı r ı c ı 7 noktas ı n ı etraf ı na çizilen küçük bir küre ile d ış arda b ı rakarak bu pürüz giderilebilir. Sonuç gene (1.36)'d ı r.

53

koşullarımı z yard ımiyle ulaş tığı mı z bu sonuçları , ş imdi (1.34) deki birinci Green özde ş liği yardımiyle ispatl ıyacağı z.

Kapal ı S sını r yüzeyi üzerindeki Dirichlet ya da Neumann s ı nır koşulları bulunan bir V hacmi içerisinde (1.28) Poisson denkleminin çöziimlerinin tekliğ ini göstermek istiyoruz. Tersine, ayni sınır koşullarını sağ layan 4 ve^2 gibi iki çözümün bulunduğunu varsayal ı m.

diyelim. Bu durumda V hacminin içinde V 2U:1:0;S üzerinde ise Dirichlet sını r koşulu için U = 0, Neumann koşulu için - U/an = O'dı r. 4 =14,4yfflarak, (1.34) birinci Green özdeş liğinden şunu buluruz:

S (UV2U + 7(7U . -'3b) d3x =U -<11 da (1.38)

V -bn

U'nun yukar ıda belirtilen özellikleriyle bu bağı ntı (her iki tip s ınır koşulu için de)

1.1 2 d3x = 0

V ş ekline indirgenir; ki bu 4t3 = O'olduğunu ifade eder. Sonuç olarak V hacmi içinde U sabittir. Dirichlet s ını r koşulu için S üzerinde U = O'dı r; öyle ki V içinde 4,i _ kdir; yani çözüm tektir. Benzer olarak Neumann s ı nı r koşulu içı n de, keyfi olan önemsiz bir eklenen sabit d ışı nda, gene çözüm tektir.

(1.38) l in sağ tarafından aç ı kça anlaşı lacağı gibi, karışı k s ınır koşulları (yani S yüzeyinin bir k ısmında Dirichlet, kalan kı smı nda Neumann ko şulları ) taşı yan bir problemin çözümü de tektir.

Su noktaya i ş aret etmek gerekir. Kapal ı bir sı nır üzerinde hem hem de -4/..an keyfi olarak belirtilirse (Cauchy s ınır koşulları ), bu durumda Poisson denkleminin çözümü yoktur; çünkü Dirichlet ve Neumann koşulları için ayrı ayrı tek çözüm-ler vardı r ve bunlar genel olarak uyarl ı olmayacaklard ı r. Bu durum (1.36) ile doğrulanabilir. Sağ tarafa q ve -dtbn °nin keyfi değerleri konduğunda, gösterilebilir ki 4 .)(5) ve VOP(5t)'in değerleri, 5t yüzeye yaklaş tı rı lınca, baş ta varsayı lan s ını r değerleriyle genel olarak uyumlu ç ıkmayacakt ı r. Açık bir yüzey üzerine konan Cauchy s ınır koşulları tek bir elektrostatik problem tanımlar mı sorusu ise burada yap ı labilecekten daha çok tartış ma ister. Bu sorular hakkında ayr ıntı lı tartış ma için, okuyucuya, Mbre ve Feshbach' ı n kitabı (kesim 6.2, sayfa

U = tyi>2 -

1 (1.37)

54

692-706) ya da Sommerfeld'in "Partial Differential Equations in Physics" kitabı (bölüm II) sal ı k verilebilir. Sonuç olarak diyebiliriz ki, elektrostatik problemleri, sadece kapal ı bir .s ınır yüzeyi ( şüphesiz yüzeyin bir k ısmı , ya da tümü sonsuzda olabilir) üzerindeki Dirichlet ya da Neumannn s ınır koşulları taraf ından belirtilir.

1.10- Elektrostatik Sınır-değer Probleminin Green Fonksiyo-nuyle Çözümü

Gerek Dirichlet gerekse Neumann s ınır koşulları için Poisson ya da Laplace denkleminin sonlu bir V hacmi içerisindeki çözümü, (1.35) Green teoremi ve "Green fonksiyonlar ı " yardımiy-le elde edilebilir.

(1.36) sonucunu - çözüm de ğil - elde ederken,I, fonksiyonu-nu 1/1)7' - olarak seçmi ş tik; bu, bir noktasal birim yükün potansiyelidir ve aş ağı daki denklemi sağ lar:

(1.31)

1/IX - ;2. 1fonksiyonu, (1.31) denklemini sağ layan ve Green fonk-siyonlar ı denen X> ve 3?' değ işkenlerine bağ l ı fonksiyonlar s ı nı-fından sadece bir fonksiyondur. Genel olarak Green fonksiyon-ları

-.4 V'

2 G( x , x ' ) = - - ;r1 )

ş eklinde tanımlanır; burada

F(X4, -;(>') - x'

(1.39)

(1.40)

dir, F fonksiyonu ise V hacminin içinde Laplace denklemini sağlamaktadı r:

-› V' 2 F(x , x') = O (1.41)

için veya ?4ı n için sözkonusu s ını r koşullarını sağlayan bir problemle kar şı laşı nca, (1.36) sonucunu ele alarak bir çı kış yolu bulabiliriz. Fakat daha önce vurgulandığı gibi, yüzey integralinde hem hem de "W"an gözüktüğü için, bu, s ınır koşulları ndan uygun olan ı nı sağlayan bir çözüm değ ildir. Olsa olsa 56 için bir integral ba ğı ntıdı r. Gene de genelleş ti-

(1)( 3n )G1:,(3t,)7')d3x , 1

V S

.(3Gn SZ'') D da' (1.44)

-d n ı qs

55

rilmiş Green fonksiyonu kavramı ve , X!'') aracı lığı yla buna eklenen serbestiyle, sözkonusu Green teoreminin kullan ı labilme olanağı ortaya çı kar. 'Vi= G(›? , 7:?') al ıp, F(3? , iki yüzey integralinden birini ya da di ğerini yok edecek ş ekilde seçeriz; böylece sadece Dirichlet ya da Neumann s ınır kovlunu içeren bir sonuç elde ederiz. Şuras ı kuş kusuzdur ki, G(x,'), s ını r koşullar ı nın tam yapı sı üzerine ayr ı ntı l ı biçimde bağ l ı olsaydı , bu yöntem hiç de genelliğe sahip olmazdı . Fakat hemen göreceğiz ku buna gerek yoktur ve G(3?,7') fonksiyonu S üzerinde oldukça basit sinir ko şulları sağ lar.

(1.35) Green teoreminde 0 = (/) ve = G(t,5n) koyup G'nin (1.39)'da belirtilen özelliklerini kullan ınca, (1.36) nın genelleş tirilmiş biçimini elde etmek i ş ten bile değildir:

1)( ıi) =5?(:7' )c(jt,2».)d3x• + rrt [G()7,k"') â - 4)(7' ) d(1. 42 ) V S

G'nin (1.40) tanımında bulunan serbesti nedeniyle, yüzey integ-rali, yalnı zca seçilen tipteki s ını r koşuluna bağ lı hale geti-rilebilir. Böylece Dirichlet s ınır koşulları için şunu isteriz:

GD (x,x') = 0

S üzerindeki -;r' ler için (1.43)

Bu durumda (1.42)'deki yüzey integralinde ilk terim s ı fı r olur ve çözüm

ş eklinde ortaya çı kar. Neumann s ı nır koşulları için daha dikkatli olmalıyı z.

Bunun için G( >,X1.') üzerindeki s ı nır koşulunun apaçı k seçimi

GN ()7>7' ) = 0 , S üzerindeki x' ler için

gibi görünür; çünkü bu, arzuland ığı gibi, (1.42)'deki yüzey integralinin ikinci terimini s ı fı r yapar. Fakat Gauss teoremi-nin (1.39)'a uygulanmas ı gösterir ki

".G da' - 47t

-an'

56

dir Sonuç olarak, GN üzerine konulabilecek en basit s ın ı r koşulu

--?)GN ()c ' )7' ) 4 -, = )x ;S üzerindeki x' ler için (1.45)

in ı S

dir; burada S, s ı nır yüzeyinin tüm alanıdı r. Buna göre çözüm

qs(R'.) =«1», + j- 1>(;?')GN ( .)- d3x' 71-Fic o ân GN da' (1.46)

v

şeklindedir; burada <4> potansiyelin tüm yüzey üzerinden ortalama değeridir. Al ışıS lagelen Neumann problemi, "d ış sal problem" denendir: bu problemde V hacmi, biri kapalı ve sonlu olan, diğeri ise sonsuzda bulunan iki yüzey taraf ından sınır-lanmaktad ır. Bu durumda S yüzey alan ı sonsuzdur; dolayı siyle (1.45) s ınır koşulu türdeş (homojen) hale gelir ve <CW)rtalama değeri s ı f ı r olur.

Şuna dikkat edelim: Green fonksiyonlar ı , Dirichlet ya da Neumann s ınır değerlerinin ayrı ntı lı yapı larına bağ l ı olmayan (1.43) ya da (1.45) gibi basit s ı nır koşulları sağlarlar. Böyle olsa bile, çoğunlukla G(',3?')'yü saptamak, S yüzeyinin biçimine bağ lı l ığı nedeniyle, (eğer temelli olanaks ı z değilse) oldukça karışı ktır. 2. ve 3. Bölümlerde böyle problemlerle karşı laş acağı z.

G(;) = G( ' ) matematiksel simetri özelliği, (1.43) Dirichlet s ı nır koşulunu sağlayan Green fonksiyonlar ı için, Green teoremi yard ı mıyle = G(it,Y) ve '4, = G(5?',7) alarak kanı tlanabilir; burada 7' integrasyon değ iş kenidir. Green fonksiyonu, değişkenlerinden birinin fonksiyonu olarak, bir birim noktasal yükün potansiyeli olduğundan, sadece simetri bile, kaynak ve gözlem noktalar ının fiziksel olarak değ iş tiri-lebilineceklerini gösterir. Neumann s ı nır koşulu için simetri kendiliğinden görülmemektedir; fakat ayr ı bir gereksinim olarak koşulabilir.

Son ve önemli bir uyar ı olarak F(X',b'nün fiziksel anlamına dikkat çekelim. F, Laplace denkleminin V içindeki bir çözümüdür ve dolayı siyle V hacminin dışı ndaki yükler sisteminin potansi-yelini gösterir. F'yi öyle bir d ış yük dağı l ımının potansiyeli olarak düşünebiliriz ki, bu potansiyel ile kaynak noktas ın-daki noktasal yükün potansiyeli birleş tirildiğ inde S yüzeyi

57

üzerinde potansiyeli (ya da yüzeye dik türevini) s ı fı r yapan türdeş s ını r koşulları sağ lansı n. Noktasal yükün yüzey üzerin-deki 5' noktasında oluş turduğu potansiyel kaynak noktasını n konumuna bağ lı olduğundan, dış yük dağı lımı nı n F(7,31(>') potansi-yeli rc'' "parametreusine bağ l ı olmalıdır. Bu açıdan bakı ldığı n-da, Bölüm 2'de tart ışı lacak olan görüntü yöntemi, (1.43) ya da (1.45) s ı nı r koşulları nı sağ layan uygun F(X", -;') fonksiyonunu saptaman ın fiziksel e şdeğeridir. İ letkenli Dirichlet problemi halinde, F(52.,!''), -;<!' kaynak noktas ında bir noktasal yükün varl ığı nedeniyle, iletkenler üzerinde olu ş an yüzeysel yük dağı lımı nı n potansiyeli olarak yorumlanabilir.

1.11- Elektrostatik Potansiyel Enerji ve Enerji Yo ğunluğu, Sığ a

Kesim 1.5'de, bir noktasal cismin yükü ile skaler potansi-yelin çarpımının potansiyel enerji olarak yorumlanabileceğ i gösterilmi ş ti. Daha kesin söylemek gerekirse, sonsuzda s ı fı r olan ÇS skaler potansiyeliyle anlat ı lan elektrik alanlar ının bulunduğu bir bölgede, bir q. noktasal yükü sonsuzdan bir x. noktas ına getirilirse, yük 'üzerine yap ı lan iş (dolayısiyla potansiyel enerjisi)

W. = qi (1.47)

ş eklinde verilir. potansiyeli, x. konumlar ına yerleşmiş (n-1) tane q. yükü (j = 1,2,... n-1) 3 tarafından oluş turulmuş gibi düşünülebilir. Buna göre

n -1 qj

+(i. ) = ›.-

ı I -> I

j -..:1 I x. - x 1

ı i

dı r; öyle ki qi yükünün potansiyel enerjisi

n -1 W. = q. İ İ

7. - ;7.1 ı

(1.48)

(1.49)

ş ekline gelir. Aralar ında etkiyen tüm kuvvetler nedeniyle, tüm yüklerin toplam potansiyel enerjisi, en kolay şekilde, her yükü ard arda ekliyerek bulunur:

w ZX qi qj 2

xi

58

w = (1.50)

i ve j üzerinden s ını rlanmamış toplamlar al ı p 2'ye bölerek çok daha simetrik bir ifade bulunur:

(1.51)

i = j terimlerinin (sonsuz "öz-enerji" terimleri) çift toplam-da atiandığı bilinmelidir.

Sürekli bir yük dağı l ımı için ya da, genel olarak, (1.6) daki Dirac delta fonksiyonlar ı nı kullanarak potansiyel enerji şu ş ekli al ı r:

w = d3 x d3 x' (1.52)

Buradaki integrallerden biri (1.17) skaler potansiyelinin ta kendisidir; bundan yararlanarak (1.52)` ye e şdeğer başka bir ifade daha yaz ı labilir:

w = ("(')d 3x (1.53) 2

(1.51), (1.52) ve (1.53) denklemleri, elektrostatik potansiyel enerjiyi yüklerin konumlar ı cinsinden anlat ı rlar ve dolayısiyla yükler aras ındaki etkileşmeleri Coulomb kuvvetleri yoluyla vurgularlar. Çok verimli bir baş ka yaklaşı m, elektrik alan ına önem vermek ve enerjiyi, yükleri saran elektrik alan ında depo edilmiş olarak yorumlamaktı r. Enerjinin bu biçimdeki ifadesini elde etmek için, (1.53)'den yük yoğunluğunu yoketmek amaciyle Poisson denklemini kullanir ı z:

w = 1 472 d3x

8TC J

Parçal ı integral al ımı şu sonuca yol açar:

59

w B1 5( -412. d 3x = it I

1 51-12 d 3x 8n- i (1.54)

Burada integral tüm uzay üzerinden al ınmaktadır. (1.54) denkle-minde yiiklere olan aç ık bağ lı l ık kalkmış ; enerji, elektrik alanı nın karesinin tüm uzay üzerinden integrali haline gelmi ş -tir. Art ı k burada integrant ı ,w enerji yoğunluğu olarak saptamak doğaldı r:

w = 1 1- 12

8Tf (1.55)

Bu enerji ifadesi sezgisel olarak akla yak ındır; çünkü yüksek alan bölgelerinde daha çok enerji olmal ıdı r.

(1.55)' de ş aşı rtıcı bir nokta vard ır. Enerji yoğunluğu pozitif belirlidir. Sonuç olarak, bunun hacim integralinin negatif olmamas ı gerekir. Bu ise (1.51)'den edindi ğimiz ters iş aretli iki yükün potansiyel enerjisinin negatif olacağı izlenimiyle çeli ş ir gibi görünmektedir. Görünü ş teki bu çeliş ki-nin nedeni şudur: (1.54) ve (1.55),'enerji yoğunluğuna öz-ener-ji katkı larını kapsamakta, oysa (1.51) I deki çift toplam bu katkı ları kapsamamaktad ır. Bunu bir örnekle anlatmak için,

Şekil 1.8

60

=>. Şek.1.8'deki gibi, x ve x2 'ye yerleşmiş q ve q2 değerli iki .1 noktasal yükü gözönüne alal ım. x konumlu P noktas ındaki elekt-rik alanı

-÷ -.Ş -Ş -Ş) q (x - x ) q2 (x - x2 --> ı ı E - +

I x - ;ı 1 3 rx - -4x2 r

tür; öyle ki (1.55) enerji yo ğunluğu

2 2 -Ş -, „-Ş -Ş

qı q2 qıq2 (x-x ).(x-x2 ) ı w - + + ı -N -N \4 14 -N t3 ı , '''', 13

(1.56)

8-Rix-x 87X1 >-;:2 4Nix-x I ıx - x2 ı ı ı şeklinde ortaya çı kar. İ lk iki terimin öz-enerji katk ı ları oldukları aç ı ktı r. Etkileşme potansiyel enerjisi için, onu tüm uzay üzerinden integre edelim:

-, -Ş -Ş -Ş (x - x ) (x -x qı c12 .S. ı ' - 2

) . . . a3 W X (1.57)

etki -Ş -Ş i3 i --N -Ş 13

41X x-x x - ıl 1 x21

İ ntegral değ işkenini -Ş (x-Ş - x )/x-Ş - x -Ş i ş eklinde değ iş tirerek I ı 2 şunu buluruz:

- clı cl2 .x 1 S* 53 .( -f1 +71.› ) d3? (1.58) Wetki.

" 1 -71 1 3 .4.

Burada n, (xl - 2) yönünde bir birim vektördür. (I+ n)/}f+ . -V (1/rf+ aerçeğini kullanarak, boyutsuz integralin 47c değerine sahip olduğu kolayca gösterilebilir; böylece etkile şme enerjisi beklenen değerine indirgenmiş olur.

Yüklü cisimler aras ında etkiyen kuvvetler, küçük sanal yerdeğ iş tirmeler alt ında sistemin toplam elektrostatik enerji - sindeki değ işme hesaplanarak elde edilebilir. Bunun örnekleri problemlerde tartışı lmaktadır. Bu amaç için enerji o ş ekilde yazı lmalıdı r ki, sistemin ş ekillenimindeki bir de ğ işme sonucun-da değ i ş en ve sabit kalan çarpanlar aç ı kça görünsün.

Basit bir örnekleme olarak, Cr(X) yüzeysel yük yo ğunluğuna sahip bir iletkenin yüzeyi üzerinde birim alan ba şı na kuvveti hesaplayal ım. Yüzeyin iyice yak ı nında enerji yoğunluğu şudur:

1 1 -12 = 21 E 1.er w = 8Tr (1.59)

j=ı Qi C. . V. 13 ı (i= 1,2,...,n) (1.61)

61

Ş imdi iletken yüzeyin Aa alan eleman ı nın dış a doğru küçük bir Ax yerdeğ iş tirmesi yapt ığı nı tasarlayal ım; elektrostatik enerji, w enerji yoğunluğu ile dış arlanan AxAa hacminin çarp ımı kadar azalacakt ı r:

dw = - 2ro-2 da Ax (1.60)

Bu, iletkenin yüzeyinde birim alan ba şı na 2Tta'2 =w'ya eş it dış a doğru bir kuvvetin varolduğunu gösterir. Bu sonuç, do ğal biçimde, yüzeysel yük yoğunluğuyle elektrik alan ını çarpı p, elektrik alanı yerine, onu oluş turan yüzeysel yük yoğunluğu cinsinden değeri konarak türetilir.

Boş uzayda her biri V. potansiyelinde bulunan ve toplam yükleri Q.(i = n iletkenli bir sistem için, elektrostatik potansiyel enerji, sadece potansiyeller ve s ığ a katsayı ları denen baz ı geometrik nicelikler cinsinden ifade edilebilir. Potansiyelin yük yo ğunluğuna olan çizgisel bağ lı lı -ğı , iletkenlerin verilen bir yerle ş imi için, i'yinci iletkenin potansiyelinin

V. = p, . Q. 1 L3 3

(i= 1,2,...,n)

ş eklinde yaz ı labileceğini içerir; burada p. .'ler iletkenlerin geometrisine bağ l ıdır. i'yinci iletken ükrindeki yükü tüm potansiyeller cinsinden elde etmek için, bu n denklem tersine çevrilebilir:

Cii katsayı ları na s ığ a denir; i j için Ci ı 'ler ise indüksiyon katsayı ları adını alırlar. Dolayısiyle bir iletkenin s ığ ası , kendisi birim potansiyelde ve tüm diğer iletkenler sıfır potansiyelde tutulurken, üzerinde bulundurduğu toplam yüktür. Bazen bir iletkenler sisteminin s ığ ası da tanımlanabilir. Örneğ in, başka toprakl ı iletkenlerin varl ığı nda, eşit ve karşı t yükler taşı yan iki iletkenin s ığ ası , biri üzerindeki yükün aradaki potansiyel fark ına oranı olarak tanımlanır. Bu sığ ayı C.. katsayı ları cinsinden ifade etmek için, (1.61) denklemlal kullanı labilir.

İ letkenler sistemi için (1.53) potansiyel enerjisi

62

1 n 1 w = 2 Qivi = 2

CiiViVi 1=1 ı=ı j=ı

(1.62)

şeklindedir. Enerjinin V. potansiyelleri ve C. 'ler, ya da Q. yükleri ve p. 'ler cinsinden ifadesi, s ığ Jlar ın yaklaşı k değerlerini elM etmek için değ iş im yöntemlerinin uygulanmas ına izin verir. C..'lerin üst ve alt sını rları nı veren değ iş im ilkelerinin vaVblduklar ı gösteriIehilir(Problem 1.17 ve 1.18'e bak.). Bu ilkeler, iletkenlerin oldukça karışı k yerleş imleri için s ığ aları nı bilinen hata s ı nırları içinde kestirmeğe yararlar. Yüksek hı zl ı hesaplama teknikleri, çeş itli parametre-ler kapsayan, özenle haz ırlanmış deneme fonksiyonları kullanma-ya izin verir. Bununla beraber, şuna i ş aret edilmelidir ki, alt sı nırda Dirichlet s ını r koşullarını sağlayan bir Green fonksiyonuna olan gereksinim hatayı kestirmeyi zorlaş tı rı r. Sığ aların hesaplanmas ı için bu teknik üzerine daha fazla inceleme, bu ve gelecek bölümlerin sonundaki problemlere bırakı lmaktad ı r.

KAYNAKLAR VE ÖNERİ LEN OKUMA PARÇALAR'

Delta fonksiyonları konusu, matematiksel yönden basit, fakat tam olarak şu yazarların kitapları nda iş lenmektedir:

Lighthill,

Dennery ve Kryzwicki.

Farkl ı tiplerde kı sml türevli denklemleri ve her tip için uygun s ınır koşulları nı tartış an eserler ş unlard ı r:

Morse ve Feshbach, Bölüm 6,

Sommerfeld, Partial Differential Equations in Physics, Bölüm II,

Courant ve Hilbert, Cilt II, Bölüm III, IV, V ve VI.

Green fonksiyonlar ı nın genel teorisi ayr ı ntı l ı olarak şu kitaplarda i ş lenmektedir:

Friedman, Bölüm 3,

Morse ve Feshbach, Bölüm 7.

Elektrostatiğin genel teorisi, eski kitaplar ın çoğunda geniş ölçüde tart ışı lmaktad ı r. Baz ı modas ı geçmi ş gösterimleri olsa da, tanı nmış ları şunlardı r:

Maxwell, Cilt 1, Bölüm II ve IV,

Jeans, Bölüm II, VI, VII,

63

Kellogg.

Birçok yeni kitap içinden, Stratton'unki (III. Bölüm ile II. Bölümün baz ı kı sımları ) genel teorinin i ş lenmesi yönünden önerilebilir. Elektromanyetik problemlere uygulanan değ iş im yöntemleriyle ilgilenen okuyucular şu kitaplara baş vurabilirler:

Cairo ve Kahan,

Collin, Bölüm 4.

Güçlü matematiksel teknikler için Polya ve Szegö'nün eseri salı k verilebilir.

PROBLEMLER

1.1- Gauss teoremini (ve gerekliyse 1.21 denklemini) kullanarak şunları kanı tlayı nı z:

(o) Bir iletken üzerine konan her fazlal ı k yük, tamamiyle iletkenin yüzeyine yayı lmal ıdır (Bir iletken, tan ım gereğ i, uygulanan elektrik alanlar ı nın etkisi alt ında serbestçe hareket eden yüklere sahiptir).

(b) içi boş kapal ı bir iletken kabuk, iç bölgeyi d ış ardaki yüklerin alanlarına karşı perdeler; fakat d ış bölgeyi içaiy konacak yüklerin alanlar ı na karşı perdeleyemez.

(e) Bir iletkenin yüzeyindeki elektrik alan ı yüzeye dik olup, 47urdeğerine sahiptir; burada er, yüzeyin birim alan ı na düş en yük yoğunluğudur.

1.2- Üç-boyutta Dirac delta fonksiyonu

D(o(;x,y,z) = (211:') -3/2 ot 3 exp (x2 + y

2 + z

2)

o(2

ş eklindeki Gauss fonksiyonunun 0( -40 limiti olarak al ınabilir. Uç dik doğrultudaki uzunluk elemanları du/U, dv/V, dw/W sabit, v =. sabit, w = sabit yüzeyleriyle belirlenen genel bir dik koordinat sistemi dü şününüz. Üstteki Gauss fonksiyonunun limitini i ş in içine katarak gösteriniz ki;

= 8(u - u') 8(v - v') S(w - w') . UVW

dir.o<->“) yaparken, e üzerindeki noktalar -aras ı uzakl ı k için sadece sonsuzküçük uzunluk eleman ının kullanı lmas ı gerektiğ ine dikkat ediniz.

1.3- Dirac delta fonksiyonunu uygun koordinatlarda kullana-rak, aş ağı daki yük dağı lımlarını , üç -boyutluy(t) yük yoğunluk-ları olarak ifade ediniz:

64

(a) Küresel koordinatlarda, R yar ı çapl ı küresel bir kabuk üzerine düzgün şekilde dağı tı lmış bir Q yükü.

(b) Silindirik koordinatlarda, R yar ı çapl ı silindirik bir yüzey üzerine birim uzunluk başı na 7. değerinde düzgün dağı tı l-mış yük.

(c) Silindirik koordinatlarda, kal ı nl ığı önemsenmeyen R yarı çapl ı dairesel bir disk üzerine düzgün olarak da ğı t ı lmış bir Q yükü.

(d) Küresel koordinatlarda, (c) şı kkındaki ayni dağı lı m. 1.4- a yarıçaplı yüklü üç kürenin her biri toplam O, yükün

sahip olup; biri iletkendir, birinin hacimsel yük yo ğunluğu düzgiindür, üçüncüsünün ise rn (n > -3) ile değ iş en küresel simetrik bir yük yoğunluğu vardır. Gauss yasas ını kullanarak, her kürenin hem içindeki hem de d ışı ndaki elektrik alanlarını bulunuz. İ lk iki küre için, yarlçap ı n fonksiyonu olarak alanla-rın davranışı nı çiziniz. Ayni çizimi n = -2 ve +2 halinde üçüncü küre için yap ı /11z.

1.5- Yüksüz Hidrojen atomunun zaman-ortalamal ı potansiyeli

e -em c (1 + <r r 2

ş eklinde verilmektedir; burada q elektronik yükün büyüklüğü ve oc = a /2 olup, a Bohr yar ıçapıdı r. Bu potansiyeli verecek yük dağı liMını (sügkli ve kesikli) bulunuz ve sonucunuzu fiziksel olarak yorumlay ı nı z.

1.6- Basit bir s ığ a, birbirlerine yak ın yal ı tı lmış iki iletkenden oluş an bir düzenektir. İ letkenler üzerine eş it ve karşı t yükler konduğunda, aralarında belirli bir potansiyel farkı var olacakt ı r. Bir iletken üzerindeki yükün potansiyel farkına oranı, salt değer olarak, s ığ a adı nı al ı r (elektrosta-tik birimlerde, santimetre -cinsinden ölçülür). Gauss yasas ını kullanarak aş ağı daki s ığ aları hesaplayı nı z:

(a) Küçük bir d uzakl ığı yle ayrı lmış , alanları A olan geniş düzlemsel iki paralel iletken levha.

(b) Yarı çapları a ve b (b>a) olan eş -merkezli iki iletken küre.

(c)a ve b (b>a) yar ı çaplarına göre çok büyük L uzunluğunda olan eş -eksenli iki iletken silindir.

(d)İ ç iletkeni 1 mm çapl ı silindirik tel olan, aras ı hava dolu bir eş -eksenli kablonun s ığ as ı 0,5 mikromikrofarad/cm ve 0,05 mikromikrofarad/cm olduğunda, dış iletkenin iç yarı çapı nedir?

= q

65

1.7- a ve a2 yarı çapl ı iki .uzun silindirik iletken, yarlçaplaral göre büyük olan bir d uzakl ığı nda paralel durmakta-dırlar. Birim uzunluk başı na düş en s ığ anın yaklaşı k olarak

C (4 ln d ) -1 a

ş eklinde verildiğ ini gösteriniz; burada a iki yar ıçapın geomet-rik ortalamas ıdı r.

Aralar ındaki uzakl ık 0,5 cm, 1,5 cm ve 5,0 cm olacak ş ekilde 0,1 )ıpf/cm s ığ alı iki-telli bir iletim hatt ı yapmak için, yaklaşı k olarak kaçar milimetre çapl ı tellere gerek vardır?

1.8- (a) Problem 1.6 I daki üç sığ a geometrisi için toplam elektrostatik enerjiyi hesaplayını z ve bunu ayr ıca iletkenler üzerindeki eş it ve karşı t Q ve -Q yükleri ile aralar ı ndaki potansiyel fark ı cinsinden ifade ediniz.

(b) Elektrostatik alan ın enerji yoğunluğunu, her hal için, uygun çizgisel koordinat ın fonksiyonu olarak çiziniz.

1.9- Paralel düzlemsel s ığ anın (Problem 1.6a) ve paralel silindirik s ığ anın (Problem 1.7) iletkenleri aras ındaki çekici kuvveti,

(a)her iletkendeki yükün sabit tutulmasa;

(b)iletkenler arasındaki potansiyel fark ı= sabit tutul-mas ı halinde hesaplayı nı z.

1.10- Şu ortalama değer teoremini kan ı tlayı nı z: Yüksüz uzayda, herhangi bir noktadaki elektrostatik potansiyelin değeri, bu noktayı merkez kabul eden herhangi bir küre yüzeyi üzerinde potansiyelin ortalamas ına eş ittir.

1.11- Yüklü bir eğrisel iletkenin yüzeyinde, elektrik alanı nın yüzeye dik bileş eninin

1 öE

E R R2

ş eklinde verileceğ ini kan ı tlamak için Gauss yasas ını kullanı-nı z; burada R ve R2 yüzeyin ana eğrilik yarlçaplar ıdır.

1.12- Green'in karşı lıklılık teoremini kanı tlayı nı z: Bir V hacmi içindekijp hacimsel yük yo ğunluğu ile bu hacmi s ını rlayan S iletken yüzeyi üzerindeki a' yüzeysel yük yo ğunluğu tarafı ndan oluş turulan potansiyel<P, ba şka bir 9. ve or , yük dağı lımı tarafından oluşturulan potansiyel ise,

66

d3x +S4' da --594d 3x +.5çydjda V S V S dı r. 1.13- Topraklanm ış , sonsuz geniş likte iki paralel iletken

düzlem aras ı nda d uzaklığı vardır. Düzlemler aras ına noktasal bir q yükü yerle ş tirilmiş tir. Green'in karşı l ı kl ı l ı k teoremini kullanarak kan ı tlayı n ı z ki, düzlemlerden biri üzerinde beliren toplam yük, (-q) kere noktasal yükün diğer düzleme olan dik uzaklı k kesridir (Yardım: Ayni yüzeyli elektrostatik karşı laş-t ırma problemi olarak, yük yoğunluklar ı ve potansiyelleri bilinen ve basit olan bir problem seçiniz).

1.14- İçinde yük bulunmayan bir V hacmi dü şününüz, öyle ki bu hacmi s ı nı rlayan kapal ı S yüzeyi, her biri V. potansiyelinde tutulan birçok ayr ı S. (iletken) yüzeylerinden olu ş muş bulunsun. ^M'), V içinde ve üzerinde iyi-davran ış lı bir fonksiyon olmakveherS.yüzeyinde V. değerine eş it bulunmak koşulu yle

w uji,l_ 1 11 1.N2 d3x

sn ş eklinde enerjiye benzer bir nicelik tan ımlay ı nı z ve aş ağı daki teoremi kanı tlayı nı z:

^4/fonksiyonu V içinde Laplace denklemini sağ lıyor ve S. yüzeyleri üzerinde belirli V. değerlerini al ı yorsa, ancak ve ancak bu durumda, tan ım uyar ı nca negatif olmayan 1A7[24,1 durakl ı ve bir salt minimumdur.

1.15- Thomson teoremini kanı tlayı nı z. Belirli sayıda iletken yüzeyin yerleri sabitle ş tirilmiş ve her bir yüzey üzerine belirli bir toplam yük konmu ş ise; bu yüzeylerce s ını rlanmış olan bölgedeki elektrostatik enerji < yükler, her yüzey bir eş-potansiyel olacak ş ekilde yerleş tirı lmek koşuluy-le, bir salt minimumdur.

1.16- Aş ağı daki teoremi kanı tlayı nı z: Her birinin üzerinde belirli bir toplam yük bulunan belirli say ıda iletken yüzeyin yerleri sabitleş tirilmi ş ise, bu yüzeylerce s ını rlanmış olan bölgeye yüksüz yal ı tı k bir iletkenin getirilmesi elektrostatik enerjiyi azalt ı r.

1.17- Problem 1.14'deki iletkenler yerle ş imini gözönüne al ı nı z; sadece burada bir iletken birim potansiyelde, tüm geri kalanlar s ı fı r potansiyelde tutulsunlar.

(o) Birim potansiyelli iletkenin s ığ ası nın

67

ş eklinde verileceğini gösteriniz; burada 4§(7) potansiyel için çözümdür.

(b) Problem 1,14'deki teoremi kullanarak gösteriniz ki, gerçek C sığ ası , her zaman için

c = 1 1NI2 d3x 47i V

niceliğinden küçük ya da ona eş ittir; burada 1, , iletkenler üzerindeki s ınır koşulları nı sağlayan herhangi bir deneme fonksiyonudur. Bu, s ığ a için bir üst s ınır veren bir değ iş im ilkesidir.

1.18- Problem 1.17'deki iletkenler yerleş iminde, S dışı n- daki tüm iletkenlerin s ı fır potansiyelde tutulduğunu valtsayı nı z.

(a)V . hacmiiçindeheryerdeveS.yüzeylerinin her biri üzerinde f(x) potansiyelinin

:$(;t) = o ()-?' ) G(3?,)-?' ) d3x' St

ş eklinde yaz ı labileceğ ini gösteriniz; burada 17(R/P1 ), S üzerin-deki yüzeysel yük yoğunluğudur; G(X›,:k. ') ise, s ı fı r potânsiyelde tutulan tümyüzeylerin varl ığı nda (fakat S yok) bir noktasal yükün Green fonksiyonu potansiyelidir. Ayr ıca elektrostatik enerjinin

W = 1

2 sı a da' • c()G(?:.;?') or(') ı

ş eklinde olduğunu gösteriniz; burada integraller sadece S yüzeyi üzerindendir.

(b) 0"(7), S üzerinde tanımlanmış keyfi, fakat integre edilebilir bir foriksiyon olmak üzere,

da f's da' or(3.(!) G( >, «X)44r(X'''') c-ı {trl = ı

cr(2) da 1 2

değ iş im ifadesinin, ()"nin 0 - 'den olan küçük değ iş imleri için durakl ı olduğunu gösteriniz. iThomson teoremini kullanarak, C -iter]

'nın tersinin, S iletkeninin gerçek s ığ as ı için bir alt sınır oluş turduğunu anı tlayı nı z.

68

1.19- Problem 1.6 (c)'deki silindirik s ığ a için, N(f) = (b-F)/(b-a) gibi basit bir deneme fonksiyonu alarak, Problem 1.17 (b)'deki değ iş imsel üst s ı nıra bir değer biçiniz. b/a = 1,5, 2 ve 3 için bu değ i ş imsel sonuç ile kesin sonucu kar şı laş -tı r ını z. Sonuçlarını z ın davranışı nı ,'y 'in fonksiyonel ş ekli cinsinden anlat ını z. Daha iyi bir deneme fonksiyonu Collin'in kitabı nda, sayfa 151-152'de i ş lenmektedir.

1.20- İ letkenler sisteminin verilen bir yerleş imi için s ığ ayı kestirmede, çoğu kez bilinen s ığ alarla karşı laş tı rma yararl ı olur. n tane iletkenin iki yerle ş imini ele alı nı z; s ı fı r potansiyelde tutulan (n - 1) iletken her iki yerle ş imde ayni, fakat sığ as ını bilmek istediğimiz bir iletken farkl ı olsun. Özel olarak, bir yerle ş imdeki iletken kapal ı bir Sl

yüzeyine, diğer yerleş imdeki iletken ise tamamiyle S 'in içinde yer alan bir S' l yüzeyine sahip bulunsun.

(a)Problem 1.14'deki teoremi ve Problem 1.17'deki de ğ iş im ilkesini kullanarak kanı tlayı nı z ki, S' yüzeyli iletkenin C' s ığ as ı , S"yü kapatan S yüzeyli iletkenin C sığ as ı ndan küçük ya da ona eş ittir.

(b) a kenarl ı iletken bir kiibün s ığ as ı için üst ve alt limitleri saptay ı nı z. Iimitlerinizi ve ayr ıca ortalamaları nı , Cs.20,665a sayısal değeriyle karşı laş tı rını z.

69

2 ELEKTROSTATİ KTE SINIR-DEĞER PROBLEMLERI: 1

Birçok elektrostatik probleminde, üzerlerinde ya potansi - yelin ya da yüzeysel yük yoğunluğunun belirtildiği s ını r yüzeyleri yer al ı r. Green fonksiyonlar ı yöntemini kullanarak, bu tür problemlerin biçimsel çözümlerini 1.10 kesiminde vermi ş - tik. Uygulamaya elveri ş li durumlarda (ya da uygulamaya elveri ş-li durumlara yapı lan soyut yaklaş tırmalarda) doğru Green fonksiyonunun bulunmas ı kimi kez kolay kimi kez zordur. Bu nedenle elektrostatikteki s ını r-değer problemleri için çeş itli yaklaşı mlar geli ş tirilmiştir; bunlardan baz ı larının Green fonksiyonlar ı yöntemiyle olan ili şkileri yok denecek kadar azdır. Bu bölümde bu özel tekniklerden şu ikisini inceleyeceğ iz: (1) Görüntü yükleri yöntemi. 2) Dik fonksiyonlar cinsinden açı lım. Birincisi Green fonksiyonlarının kullanımıyla s ı kı sı kıya ilgilidir; ikincisi ise doğrudan doğruya diferansiyel denklem çözmeğe dayal ı bir yaklaşı m olup, Green fonksiyonu kurma yöntemine iyice uzakt ı r. İ ki boyutlu problemlerin ince-lenmesinde, konform donüşümü de kapsayan, karmal (complex) değ işken tekniklerinin kullan ımı atlanm ış t ı r. Bu konu önemlidir; fakat yer darlığı ve diğer kitaplarda kendi içlerinde tutarl ı tartış maların bulunmas ı , bu atlamaya neden olmu ş tur. ilgilenen okuyucu, bu konuda bölümün sonundaki kaynaklara baş vurabilir.

2.1- Görüntü Yükleri Yöntemi

Görüntü yükleri yöntemi, bir ya da daha fazla noktasal yük ile, örneğ in topraklanm ış ya da sabit potansiyelde tutulan iletkenler gibi, s ını r yüzeyleri kapsayan problemlerde kullanı -l ır. Uygun koşullar alt ında, problemin geometrisinden esinlene-rek, ilgilenilen bölgenin d ışı na uygun yerlere uygun büyüklükte az sayıda yük yerleş tirerek verilen s ı nı r koşullarını n aynı sını oluş turmak olas ıdı r. İş te bu yüklere görüntü yükleri ve s ını r yüzeyli gerçek problem yerine, s ınırları n kaldı rı larak görüntü yükleriyle geni ş letilmi ş bölgenin konmas ına görüntü yükleri yöntemi denir. Görüntü yükleri ilgilenilen hacmin d ışı nda yer almalıdı r; çünkü onlar ın potansiyelleri Laplace denkleminin ha-cim içindeki çözümleri olmal ıdı r. "Özel integral" (yani Poisson denkleminin çözümü) ise hacmin içindeki gerçek yüklerin potan - siyellerinin toplam ı ile verilir.

Basit bir örnek, Şekil 2.1'de görüldüğü gibi, s ı f ı r potan-siyelli sonsuz geni ş likteki bir iletken düzlemin önünde duran

70

14,-- =

-I»

q -q 1 q ı ı

Şekil 2.1- Görüntü yükleri yöntemiyle çözüm. Gerçek Potansiyel problemi solda, eşdeğer görüntü problemi ise sağdadır.

bir noktasal yüktür. Bu gerçek problemin e şdeğerinin, ilk yük ile iletkenin yerinde düş ünülen geometrik düzlemin arkas ındaki ayna-görüntüsü noktas ına konan eş it ve kar şı t yüklü problem olduğu aç ı kt ı r.

2.2- Topraklanm ış İ letken Küre Karşı sında Nöktasal Yük

Görüntü yükleri yöntemini aç ı klamak için, ş ekil 2.2' de resimlenen a yar ı çapl ı topraklanmış bir iletken kürenin karşı -s ına merkezden y uzakl ığı na konmu ş noktasal q yükü problemini ele alal ım. 01 = a) = 0 olacak ş ekilde 141)(5n potansiyelini arı yoruz. Simetri nedeniyle q' görüntü yükünün (sadece bir tek görüntü yükünün gerekli olduğunu varsayı yoruz) baş lang ı çtan q yüküne uzanan ışı n üzerinde olacağı aç ı kt ı r. q yükünün küre

Şekil 2.2- a yarıçaplı iletken küre karşı sında q yükü ve q' görüntü yükü.

71

dışı nda bulunduğunu varsayarsak, y' görüntü yeri küre içinde olacakt ı r. q ve q' yüklerince olu ş turulan potansiyel

4).()-n

(2.1) x - y I " I

ş eklindedir. q' ve I71'yü o ş ekilde seçmeğe çalış acağı z ki, bu potansiyel 11= a'da s ı fır olsun. x yönündeki birim vektör ve y yönündeki birim vektör ri' olmak üzere,

(.;t) = q q' (2.2)

- -y'Fi'l

yazabiliriz. Birinci terimde x'i, ikinci terimde y''yü mutlak değer iş aretinin d ış arı sına çı kardıktan sonra, potansiyelimiz x = a'da şu duruma gelir:

= o) = qi

a Y' IaY'

(2.3) bağı ntı sının biçiminden görüleceğ i gibi,

q y a

a y' a Y'

seçimi, "i9;:ilr' nün her değ eri için)(x = a) = 0 yapacakt ı r. Dola-yı siyle görüntü yükünün büyüklü ğü ve yeri

q' a q y ı a2 (2.4)

Y Y

şeklinde olmal ıdır. q yükü küreye yaklaş tı rı ldıkça, görüntü yükünün mutlak değerce büyüdüğüne ve merkezden dış a doğru uzaklaş tığı na dikkat ediniz. q küre yüzeyinin hemen dışı nda ise, görüntü yükü buna eş it ve karşı t iş aretli olup yüzeyin hemen içindedir.

Görüntü yükünü hesaplad ığı mı za göre, artı k topraklanm ış iletken küre dışı nda duran q yükü biçimindeki esas problemimize dönebilir ve çe şitli etkileri ele alabiliriz. Küre yüzeyi üzerinde beliren gerçek yük yoğunluğu, yüzey üzerinde ıib'nin yüzeye dik türevinden hesaplanabilir:

(2.3) n

2 (I - a2 ) Y (2.5)

2

a2 Y (1 + -2 cos.6)

3/2 '2.-

Y

4T x=a 4na2 cr = ( a )

Y

72

Burada S', x ile y aras ı ndaki aç ıdı r. bu yük yoğunluğu, -q/4na2 cinsinden, ş ekil 2.3'de y/a'n ı n iki değeri için nı n fonksiyo-

nu olarak çizilmi ş tir. Bu yük dağı l ımı nın, özellikle y/a = 2 için, q noktasal yüküne yak ın yerlerde birikmesi do ğ aldı r. Doğrudan doğruya integre ederek kolayca gösterilebilir ki, küre üzerinde oluş an toplam yük, görüntü yükünün büyüklü ğüne

41(a 20' -q

2

C) C) 11A

Şekil 2.3- a yarıçaplı topraklanmış küre yüzeyi üzerin-de, küre merkezinden y uzakl ığı nda bulunan noktasal bir q yükünün varlığı nedeniyle oluşan o' yüzeyselyük yoğunluğu. Bu yoğunluk, 'açısal konumunun fonksiyonu olarak y = 2a ve 4a için -q/4 -rta cinsinden çizilmiş tir.

eş ittir; Gauss yasas ı na göre de zaten bu böyle olmal ıd ı r. q yüküne etkiyen kuvvet çe ş itli yollardan hesapianabilir.

Ş ekil 2.4

73

En kolay yol, q yüküyle q' görüntü yükü a2raşlındaki kuvveti yazmakt ı r. Aralar ındaki uzakl ı k y-y' = y(1 -a /y )'dir. Dolay ı -siyle Coulomb yasas ına göre, bu çekici kuvvet

2 FI =

a2 y (!. )3 (1 - 2

Y

dir. Bu kuvvet, büyük aral ı klar için ters küp yasas ıdır; fakat küreye yakın durumlarda, küre yüzeyinden olan uzakl ığı n kare - siyle ters orant ı lıdı r.

Kuvveti elde etmenin bir ba ş ka yolu ise küre yüzeyi üzerine etkiyen toplam kuvveti hesaplamakt ır. Her da yüzey elemanı üzerine etkiyen kuvvet, Şekil 2.4'de gösterildiği gibi,211:•

o'Zda'd ır; burada 0- yoğunluğu (2.5) ile verilmektedir. Fakat simetriden aç ı kça görüleceği gibi, sadece küre merkezinden q yükün uzanan yarıçap vektörüne paralel bileşen toplam kuvvete katkıda bulunur. Böylece küre üzerine etkiyen toplam kuvvet (ki bu q'ya etkiyen kuvvete e ş it ve karşı ttı r) şu integralle verilir:

2 dF 2nCT da

.. q

, q2 ( a )2(l a2 ) z cos (Y

8na2 y2

(1+ a2 2a coss6)3

Y Y

d.Q. (2.7)

İ ntegrasyon hemen (2.6) sonucuna yol açar. Tüm tartış ma, küre dışı ndaki noktasal q yükü varsayımı na

dayand ı rı ldı . Gerçekte sonuçlar ımı z ı olduğu gibi küre içindeki q yükü haline de uygulayabiliriz. Gerekli tek de ğişiklik (2.5)'deki yüzeysel yük yoğunluğunda ortaya ç ı kar; İletkenden dış a doğru olan dik türev bu kez içeriye do ğru olup bir iş aret

(2.6)

74

değ iş ikliğ i getirir. Okuyucu bu durumda y4a olduğunu gözönünde tutarak tüm formüllerin aynilerini kopya edebilir. Yüzeysel yükün açısal dağı l ı mları Ş ekil 2.3'dekilere benzer; olu ş an toplam yüzeysel yük y'den ba ğı ms ı z, fakat bu kez -q'ya e ş ittir.

2.3- Yalı tı lmış , Yüklü Bir İ letken Küre Karşı sında Noktasal Yük

Önceki kesimde topraklanmış bir küre karşı s ında noktasal q yükü problemini ele alm ış ve küre üzerinde bir yüzeysel yük yoğunluğu oluş tuğunu görmüş tük. Bu yükün toplam ı q' = -aq/y idi ve tüm kuvvetlerin etkisi alt ında dengede olacak biçimde yüzey üzerine dağı lmış tı .

Eğ er üzerinde toplam Q. yükü bulunduran yalı t ı lmış bir iletken küre karşı sında noktasal q yükü problemini ele al ı rsak, potansiyeli çizgisel üstüste gelme ilkesi yard ımiyle bula-biliriz. İş lemsel anlamda, üzerinde yüzeyine dağı lmış q' yükü bulunan topraklanmış iletken küre ile ba ş ları z. Sonra toprakla-ma telini kesip, küre üzerine (Gt - q') tutar ında yük ekleriz. Bu, küre üzerindeki toplam yükü Q' yaç ı karı r. Potansiyelini bulmak için şuna dikkat etmemiz yeter: q noktasal yüküyle ilgili elektrostatik kuvvetler q' yükü taraf ından dengelendik - lerinden, eklenen (Q - q') yükü yüzey üzerine düzgün olarak dağı lacaktır. Dolayısiyle eklenen bu (Q - q') yükünün potansi-yeli, en az ı ndan küre d ışı ndaki noktalar için, merkeze konan ayni büyüklüklü noktasal bir yükün potansiyeliyle ayni olacak-tı r.

Aradığı m ı z potansiyel, (2.1)'deki potansiyel ile merkezdeki noktasal (Q - q') yükünün potansiyelinin üstüste getirilmiş idir:

aq G, q Y (!p(Z) = q

1 5t 1 ı 3>< y

ylx (2.8)

q yüküne etkiyen kuvvet doğrudan Coulomb yasas ından yazı labilir. q'ya uzanan yar ı çap vektörü yönünde olup, aş ağı daki gibidir:

F q [Q

Y

qa3 (2y2 _a2 )

y(y2-a

2)2 2

Y

(2.9) Y

Bu kuvvet, y » a limitinde, yüklü iki küçük cisim için her zamanki Coulomb yasas ı na indirgenir. Fakat küreye yak ın q için, küre yüzeyinde olu ş an yük dağı lımı nedeniyle, kuvvetin şekli değ iş ir. Bu kuvvet, çe ş itli Oiq oranları için, Şekil 2.5'de

75

uzakl ığı n fonksiyonu olarak görülmektedir. Kuvvet, q2/y

2

birimiyle ifade edilmi ş tir; pozitif değerler itmeye, negatif

FY 2. A

9 2 4 3 2

O

-1

-2.

-3

-4 -5

019=

•

Şekil 2.5 Toplam Q yükü ta şı yan a yarıçaplı yalı tı lmış iletken bir kürenin noktasal bir q yükün uyguladığı kuvvet. Pozitif değerler itmeyi, nertg değerler çekmeyi ifade etmektedir. Fy /q niceliği, Q/q =-1, 0,1,2,3 için y/a nın fonksiyonu olarak çizilmiştir. Q nun değeri ne olursa olsun, oluşan yüzey yükü nedeniyle, kuvvet, kısa uzaklıklarda daima çekicidir.

değerler çekmeye kar şı gelir. Küre ya göre karşı t yüklü ya da yüksüz ise, kuvvet tüm uzakl ı klarda çekicidir. Bununla beraber, Gı yükü q ile ayni i ş aretli olsa bile, çok yak ı n uzakl ı klarda kuvvet çekici hale gelir. O, >>q limitinde, s ı fı r kuvvet noktas ı (yarars ı z denge noktas ı ) küreye çok yak ı nd ı r; yani y 52 a (1 + --,:flicı/Q)'dad ır. q yükünün küreden üç-be ş yarıçap ötede olmas ı halinde, kuvvetin asimtotik de ğerine eriş tiğ ine dikkat ediniz.

76

Bu örnek, ayrı ayrı yüklerin karşı lı kl ı itmesi nedeniyle, yüzey üzerindeki fazlal ı k yükün neden yüzeyi b ı rakı p gitmediğ i-ni aç ı klayan genel bir özelli ğ i ortaya koyar. Bir yük eleman ı yüzey üzerinden ayr ı lmağ a kalkışı r kalkış maz, görüntü kuvveti onu geri çekmeğe baş lar. Yeterli i ş yapı l ı rsa, kuş kusuz yük yüzeyden sonsuza taşı nabilir. Bir metalin i ş fonksiyonu da, daha çok bir elektronu yüzeyden ay ı rmak için çekici görüntü kuvvetine karşı yapı lan iş tir.

2.4- Sabit Potansiyeldeki İletken Küre Yakınında Noktasal Yük

Kolayca tart ışı labilen bir baş ka problem, sabit bir V potansiyelinde tutulan iletken bir kürenin yak ınında bulunan noktasal yük problemidir. Potansiyel yüklü küreninkiyle aynidir; tek fark, merkezdeki (Q-q') yükü yerine (Va) gibi bir yükün gelmesidir. Bu, (2.8)' den görülebilir; çünkü 13h= a'da ilk iki terim birbirlerini yokedecek ve son terim gerekti ğ i gibi V ye eş it olacakt ı r. Buna göre, potansiyel şudur:

4)()•- ) _ q aq Va

I - ylx a2 .-",[ 2 Y İ

Y

(2.10)

Sabit potansiyeldeki kürenin q yükü üzerine uygulad ığı kuvvet ise

F .

Y

qay3 Y ( 2 .11 )

2 (y

2 -a

2)2 Y

dir. Va/q ve Wernun birbirlerine karşı gelen değerleri için, bu kuvvet, Şekil 2.5'de görpen yüklü kürenin kuvvetine çok benzemektedir; sadece (Vaq/y ) asimtotik değerine yaklaşı m çok daha yalvaş tır. Va >>q için, karars ı z denge noktası ayniy:2 a(1 +-7-sA77,â) konumuna sahiptir.

2.5- Görüntü Yükleri Yöntemiyle Düzgün Elektrik Alan ında iletken Küre

Görüntü yükleri yöntemine son örnek olarak, düzgün bir E elektrik alanı içine konan a yarı çaplı iletken bir küreyi elee alacağı z. Düzgün elektrik alan ı , sonsuzda varsayı lan uygun büyüklüklü art ı ve eksi i ş aretli iki yük taraf ından olu ş turul-muş gibi düşünülebilir. Örneğ in, Şekil 2.6a'da görüldüğü gibi, z = TR konumlar ına yerleş miş ± Q gibi iki yük varsa, o zaman baş langıç noktas ı dolayında R'ye göre çok küçük boyutlu bir

77

. bölgede, z eksenine paralel E 2Q/R

2 değerli yaklaşı k olarak

sabit bir elektrik alanı vardr. Q/R2 sabit kalmak ko şuluyla R ve Q-!Poolimitinde bu yakla şı kl ı k kalkar.

Eğer a yarıçaplı iletken bir küre ba ş langıç noktas ına yerleş tirlirse, dış bölgedeki potansiyel, .TR'deki ±Giyükleriy-le z =7.a /Rideki .74a/R görüntü yüklerinin olu ş turduğu potansi-yellerin toplam ı olacakt ı r:

2 (T +R

2 +2rRcosO)

1/2

(r2+R

2-2rRcose)1/2

aQ

aQ (2.12)

R(r2+

a R 1- 2a2 r cos8)

1/2 R(r2+

a4 2a2 rcose)

1/2 2 R

R2 R

Buradac.5 , gözlem noktas ının küresel koordinatları cinsinden ifade edilmi ş tir. İ lk iki ı erimde, R, varsayım olarak r' den çok büyüktür. Dolay ı siyle R 'yi çarpan olarak dış arıya çı kar-dıktan sonra karekökleri serir açabiliriz. Benzer ş ekilde, üçüncü ve dördüncü terimlerde r 'yi d ış arı çı karı p, karekökleri seriye açarı z.Sonuç ş u olur:

(4) = 2Q r cose + —

a3 cose;1+

R2

R r2

(2.13)

Burada at ı lmış olan erimler limitinde s ı fı r olurlar. Anı lan limitte 2a/R uygulanan düzgün alan haline gelir; böylece potansiyel aş ağı daki gibi elde edilmi ş olur:

3 = -E0 (r a ) cose (2.14)

r2

Kuşkusuz ilk terim (-E z) düzgün E alan ını n potansiyelidir; (2.12)'deki ilk iki terim yerine döğrudan bu yaz ı labilirdi. İ kinci terim, olu ş an yüzeysel yük yoğunluğunun, ya da özdeş olarak görüntü2 yüklerini9 potansiyelidir. Görüntü yüklerinin D = (Qa/R) x (2a /R) = E a ş iddetinde bir çift-kutup olu ş turdu-ğuna dikkat ediniz. 018ş an yüzeysel yük yoğunluğu

= , 8> 31 Eo

cose (2.15) Or

4Tc r r = a

78

(a)

( b )

Şekil 2.6- Düzgün elektrik alanında iletken küre probleininin görüntü yükleri yöntemiyle çözümü.

dir. Bu yük yoğunluğunun yüzey integralinin s ı fır ettiğini belirtelim; buna göre topraklanmış bir küre ile yal ı tı lmış bir küre aras ında fark yoktur.

2.6- Küre İçin Green Fonksiyonu, Potansiyelin Genel Çözümü

Önceki kesimlerde, bir noktasal yükün varl ığı halinde iletken küre problemi görüntü yükleri yöntemiyle tart ışı ldı . 1.10 kesiminde değ inildiğ i gibi, bir birim yük ile homojen s ını r koşullarını sağlamak üzere seçilen görüntünün (ya da görüntülerinin) potansiyeli, Dirichlet ya da Neumann s ını r koşullarına uygun Green fonksiyonunun (1.43 ya da 1.45) ta kendisidir. G(7,3?')'de değ iş keni birim yükün P' konumunu gösterir; 5(' değ iş keni ise potansiyelin hesapland ığı P noktas ı -dır. Bu koordinatlar ve küre ş ekil 2.7'de görülmektedir. a yarı çapl ı küre üzerinde Dirichlet s ı nı r koşulu için birim yük ve görüntüsünün potansiyeli, q = 1 olmak üzere (2.4) bağı ntı -siyle birlikte (2.1) ile verilir. Değ iş kenleri uygun ş ekle dönüş türerek Green fonksiyonunu elde ederiz:

x' x'\ x x'

G (;? 5( , ) = 1 a (2.16)

a2

.4.

1

1 2 ,2

(x2fx'

2-2xx' cos6)

1/2 (x 2 x 4a2_2 xx'cos02 a

G ()7, = (2.17)

79

Şekil 2.7

Küresel Koordinatlar cinsinden bunu ş öyle yazabiliriz:

Burada S', x ile x' aras ındaki açıdı r. G'nin x ve x' değ iş kenle-rine göre simetrik olduğu (2.17) ş eklinden aç ı kça görülmektedir; ki bu, ister 3.‹." değ işkeni isterse değ iş keni küre yüzeyi üzerine getirilsin G = 0 olacak demektir.

Poisson denkleminin (1.44) çözümü için sadece G'ye de ğ il, ayr ıca)G/n 1 ye de gerek duyarı z. ri'nün ilgilendiğimiz hacimden dış arıya doğru, yani ^2'' boyunca içeriye ba ş langıca doğru uzanan yüzeye dik birim vektör olduğunu anımsayarak şunu yazarı z:

i)G (x2

- a2

) n'

x'=a a(x2+a

2-2axcos r 3/2 (2.18)

Dikkat edilirse, bu, temelde (2.5) yüzeysel yük yo ğunluğudur.1

80

Böylece yüzeyi üzerinde potansiyelin belirtildi ğ i kürenin dışı nda Laplace denkleminin çözümü, (1.44)'e göre, ş öyledir:

oi()7) 1 a(x2 - a2 ) dft. (2.19)

41X (x2fa2 2a xcos'/0 3/2

Burada d2, (a,e',(1)') noktas ı ndaki kat ı açı elemanı ve

cos' = cos8 cos8' + sin8 sin9 1 cos(-*')1) ı

dür. Kürenin iç bölgesindeki potansiyel problemi için yüzeye dik türev dış a doğrudur, öyleJi "iWpn' nün i ş areti (248)'n tersidir. Bu ise (2.19)'da (x - a ) çarpan ı yerine (a -x ) koymağ a denktir. Yük dağı l ımlı problem halinde, (2.19) potansi-yeline, (1.44)'deki ilgili integrali (2.17) Green fonksiyonu ile eklemeliyiz.

2.7- Yarı-küreleri Ayrı Potansiyellerde Tutulan İletken Küre

Yüzeyi üzerinde potansiyel değerleri verilmiş bir kürenin dışı ndaki potansiyelin (2.19) çözümüne örnek olmak üzere, küçük bir yal ı tkan kuş ak ile ayrı lmış iki yar ı küreden oluş an a yarı çapl ı iletken küreyi ele alal ım. Yarıküreler ayr ı potansi-yellerde tutulmaktadır. Potansiyelleri ± V olarak almak yeter; çünkü tüm yüzeyi sabit potansiyelde tutulan bir küreye ili şkin çözüm eklenerek keyfi potansiyelleri içeren problem çözümlene-bilir. Şekil 2.8' de görüldüğü gibi, yal ı tkan kuşak z = 0 düzleminde yerleş miş olup, üst (alt) yarı küre +V(-V) potansi-yelindedir.

Şekil 2.8

81

(2.19)' dan 4-,(.,9,0p) çözümü aş ağı daki integralle verilir:

[i

r° 2 2 1(x,e,(1)) = -,-1 \11 . 2.11.dcb' j!).d(cos8') -,L ıd(cose') 2 a(x-a)

3/2 (a+x-2axcos)

İ kinci integralle u~ bir değ iş ken değ iş tirme ile (2.20)

(8L41t-9 1 , + ıx) üstteki ifade şu biçime sokulabilir:

4, 4: 5 (x,, 0 ) Va(x 2-a2 ) !Ön _ a ,51 d(cos9') [, (a2+x2 - 2ax coss6) -3/2 41T (2.21)

-(a2 + x2 + 2axcosW 3/21

cos ş nın (8',0') ve (8,) açı larına olan karmaşı k bağ lı lığı nedeniyle (2.21) denklemi genel olarak kapal ı biçimde integre edilemez.

Özel bir hal olarak, art ı z ekseni üzerindeki potansiyeli hesaplayal ım. Bu durumda 8 = 0 olduğundan, cos)ç = cos8' 'dür. İntegral basittir ve potansiyelin

s( z) = (z2-a

2)

z ■İ z 2+a2

(2.22)

olduğu hemen gösterilebilir. z = a' da umduğumuz gibi < 5 = ye2 indirgenir; büyük uzaklı klarda ise asimtotik olarak:t3Va /2z

biçiminde davranı r. (2.21) * deki integraller için kapal ı ifadeler yoksa, payday ı

kuvvet sersie aç ı p terim terim integre ederiz. Her bir paydadan (o +x )‘yi çarpan olarak çı kararak, şunu elde ederiz:

2 2 (x,e, İ)) Va(x-a) Söz c19(ı ' d(cose')[(1-20Ccos) -3/2

41C(x2+a

2)3/2

—(1 + 20(co) -3/2 1 (2.23)

Burada o( = ax/(a2

+ x2)'dir. Köklerin aç ı lımı nda c<cos'6 'n ı n

sadece tek kuvvetlerinin kalaca ğı nı gözleriz:

(1-2a<cos) -3/2-(1 + 210(cos) -3/2 1 = 6«cosX+35o(2"cos 3 +

(2.24) Ş imdi cosY'n ı n tek kuvvetlerini diı 'd(cose') üzerinden integre etmek gerekir:

21t

dq' f J 3 IT 2 o d(cos9 1 ) cos = — cos9 (3 - cos 9) 4

(2.25)

o

82

2n 1 d4 fo d ( cose ) cos'tç = ncos8

O

(2.24) ve (2.25) sonuçlar ı (2.23)'te yerine konduğunda, potan-siyel

4), (xe,) = „iva2 ( x

3 (x

2 -a

2 e[l 35 a

2x2

2x2 (x2+a

2)5 2 c°8 24

(a2+x

2)2 (3 cos 9)+..]

(2.26 )

ş eklini al ı r. Problemdeki simetrinin gerektirdiği gibi, cos9 nı n sadece tek kuvvetlerinin yer alflığı na dikkat ediniz. Eğer açı l ı m parametresi ıxla değil de (o /x ) ise, üstteki seri şu biçimi alı r:

3Va2

2 3

Ecos9 7a22 2

(-5 cos

3 7 9 - cos9) +

2x 12x

(2.27)

x/a'n ın büyük değerleri için, bu aç ı l ım hı zla yakınsar ve bu nedenle potansiyel için yararl ı bir temsildir. x/a = 5 için bile, serideki ikinci terim ancak yüzde 2 basamağı ndadı r. Kolayca doğrulanabileceğ i gibi, cos9 = 1 için (2.27) ifadesi, eksen üzerindeki (2.22) potansiyelinin aç ı l ım ıyle uyuşur. (2.27)'deki aç ı sal çarpanlar ı özel biçimde gruplarken Legendre çokterimlilerinin tanımları nı gözönüne aldık. Gerçekten de oradaki iki çarpan P (cos9) ve P,(cos9)'dır ve potansiyelin açı lı mı tek mertebell Legendre çökterimlileri cinsinden bir • aç ı lımdı r. Bunu 3.3 kesiminde sistemli bir biçimde kuracağı z.

2.8- Dik Fonksiyonlar ve Açı lımlar

Potansiyelproblemlerinin (ya da herhangi bir matematiksel fizik probleminin) çözümlerini dik fonksiyonlar cinsinden açı lımlarla temsil etmek, güçlü bir teknik olup, geni ş bir problem s ı nı fında kullanı labilir. Seçilen özel dik fonksiyonlar cümlesi, problemde kapsanan tam ya da yakla şı k simetrilere bağ l ıdı r. Dik fonksiyonların ve onlar cinsinden aç ı lımların genel özelliklerini hat ı rlamak için, bir '5. değ iş keninin (a,b) aralığı nı ve bu aral ı kta kareleri integre edilebilen birbirle-rine dik U ( Ş ), n = 1,2,... gibi bir gerçel ya da karmal

-

83

fonksiyonlar cümlesini ele alal ım. U () fonksiyonlar ı üzerin-deki diklik koşulu ş öyle ifade

Sa b Un (`?)Urn (f) d = O, m n (2.28)

n = m ise integral s ıfı r değ ildir. Bu integral bire e ş it olacak ş ekilde fonksiyonlar ın boylandı r ı ldığı nı (normalize edildiğ ini) varsayal ım. Bu durumda fonksiyonlara birim boylu dik fonksiyon-lar denir ve şu bağı nt ıyı sağ larlar:

,b ) u- (y) ön,a n m

(2.29)

(a,b) aralığı nda karesi integre edilebilen keyfi bir f( >.q) fonksiyonu, birim boylu dik U (;?) fonksiyonlar ını n serisine açı labilir. Serideki terim say ı sı sonlu ise (diyelim ki N); yani

N anun (I.)

n=1 (2.30)

ise, o zaman f( 1F) fonksiyonunun , "en iyi" temsilini verecek olan "en iyi" a

n katsayı ları seçimi nedir? diye sorabiliriz.

"En iyi"yi,

MN - anUn (5?)2

°IŞ (2.31) n=1

ortalama hata karesinin en aza indirilmesi olarak tan ımlarsak, katsayı ların aş ağı daki gibi verileceğ ini göstermek kolayd ı r:

b an = U

n* ( f dş

a (2.32)

Bunun için (2.29) diklik bağı ntı s ı kullanı lmış tı r. Bu, birim boylu dik fonksiyonlara aç ı l ı mdaki katsayı lar için standart sonuçtur. (2.30) serisindeki terim say ı sı N büyüdükçe , sezgi-sel olarak f('g)'nin seri temsilinin de daha iyiye gidece ğ ini umarı z. Birim boylu dik fonksiyonlar cümlesi tam olmak koşuluy-le, bu sezgimiz doğrudur. N>N1 I için MN ortalama hata karesini, istenildiğ i kadar küçük her Pozitif nicelikten daha küçük yapabilecek sonlu bir N sayı s ı varsa, Un (N?) cümlesi tamdı r deriz).Bu duruffida, an 'le? (2.32). ile verilmek üzere,

84

a n Un (f) = f (!)

(2.33) n=1

seri temsili, fe'frye ortalama anlaMda yak ınsamaktadır denir. Fizikçiler genellikle verilen bir fonksiyonlar cümlesinin tamlığı nı kanı tlama iş ini, bu güç iş i, matematikçilere bı rakı r-lar. Matematiksel fizikte normal olarak ortaya ç ıkan tüm fonksiyonlar cümlelerinin tam oldukları kanı tlanmış tı r.

a katsayı larının (2.32) aç ı k ş eklini kullanarak, (2.33) serisini tekrar

f() = n(' )Un )

(2.34)

n=ı

biçiminde yazabiliriz. Bu, (a,b) aral ığı nda her f(l'') fonksiyo-nunu temsil ettiğinden, U*(`T')U (15) ikili terimlerinin toplam ı-nın sadece - ' 'nin kom?uluğuRda var olmas ı gerektiğ i aç ı ktı r. Gerçekten de,

Un ('')Un (') = 8('T' -1 ) (2.35) n=ı

olmalıdı r. Buna tamlık ya da kapatma bağı ntısı denir. (2.29) diklik koşulunun benzeridir; sadece sürekli de ğ iş keniyle kesikli n indisinin rolleri de ğ iş tirilmi ş tir.

En tanınmış dik fonksiyonlar sinüs ve kosinüsler olup, onlar cinsinden bir açı lım Fourier serisi adını al ı r. x'in aral ığı (-a/2, a/2) ise, birim boylu dik fonksiyonlar şunlardı r:

F .21rmx 2 271mx sen ( ) , cos(

Burada m bir tam say ıdır; m = 0 için kosinüs fonksiyonu lAr. " d ı r. (2.33)'e eşdeğer olan seri, al ışı ldığı gibi,

f(x) =1 A 2 ° m=1[Am

cos( 27(mx )4-Bmsin( Znmx )] (2.36)

biçiminde yaz ı lı r; burada

1 ei(2gmx/a) Um (x) =

Nfa (2.40)

85

2 a/2 Am = a f(x) cos ( 2"x ) dx

Bm = 2 (a/2 f(x) sin ( 21[mx ) dx

a /a/2 (2.37)

dir. Eğer dik fonksiyonlar taraf ından gerilen aralık birden

fazla boyuta sahipse, (2.28)-(2.33) formüllerinin genelle ş ti-rilmeleri kolayd ı r. Uzayın iki-boyutlu olduğunu ve '1değ iş keni-nin (a,b) aral ığı nda, değ işkeninin ise (c,d) aral ığı nda uzandığı nı varsayalım. Her bir boyuttaki birim boylu dik fonksiyonlar Un (r ve Vm (1 ) olsunlar. Bu durumda keyfi bir f(,f, /k) fonksiyonunun ac ı l ımı

(2.38) anmUn (r Vifi Cyk )

olup, anm katsayı ları şöyle verilmektedir:

anm =a dld (2.39)

(a,b) aralığı sonsuz olursa, U (r dik fonksiyonlar cümlesi, sayı labilir bir cümle olmaktan ç ı kı p fonksiyonlar ı n bir sürek-liliği haline gelebilir. Bu durumda (2.29)'daki Kronecker deltas ı , bir Dirac delta fonksiyonu haline gelir. Buna önemli bir örnek Fourier integralleridir. (-a/2, a/2) aralığı ndaki

karmal üstel fonksiyonlar ın dik cümlesi ile ba ş layal ım; burada m = O, +1, +2, ...'dir. Bir f(x) fonksiyonunun ac ı lımı

1

Ya

A (23.(mx/a)

m

-oo

f(x) =

(2.41)

ş eklinde olup, Am katsayı ları aş ağı daki gibi verilir:

1 (a/2 e-i(211mx'/a)

A — f (x') dx' Caıl 'a/2

Ş imdi aral ığı sonsuz (a+0,0) yapalım; ayni zamanda 2nm -+k

a

(2.42)

86

S dm = dk 2Tç

(2.43)

Am A(k)

dönüş türmelerini gözönüne alal ım. (2.41)'e eşdeğer olarak ortaya ç ı kan aç ı l ı m Fourier integralidir:

f(x) = 1

S* A(k) e

ikx dk (2.44)

V12-N‘ -oo

+oo

A(k) = 1 S'

e-ikx f(x) dıc (2.45) -00

dir. Diklik koşulu

1 ei(k-k')x dk = 8(k-k') , (2.46)

21-Ç _ 00

taml ı k bağı nt ı s ı ise

27Ç

dür. Bu son integraller, delta fonksiyonunun elveri ş li temsil-leri olarak hizmet görürler. ((2.44)-(2.47)'de x ve k sürekli değ iş kenlerinin tam bir e şdeğ erliğe sahip oldukları na dikkati-nizi çekmek isteriz.

2.9- Değişkenlerin Ayrılması , Dik Koordinatiarda Laplace Denklemi

Matematiksel fizi ğin parçal ı diferansiyel denklemleri, çoğu kez değişkenlerin ayrılması adını alan bir yöntemle uygun biçimde çözülür. Bu i ş lemde çoğu kez dik fonksiyonlar cümleleri oluş turulur. Üç-boyutlu Laplasiyen operatörünü içinde bulundu-ran denklemlerin tam onbir ayr ı koordinat sisteminde ayr ı labil-diğ i bilinmektedir (Morse ve Fesbach, sayfa 509. 655'e bak.). Biz bunlardan sadece üçünü-dik, küresel ve silindirik- ayr ı nt ı -l ı olarak tartış acağı z ve en basiti olan dik koordinatlarla baş layacağı z.

Dik koordinatlarda Laplace denklemi ş öyledir:

Burada

+co S 1 eı k(x-x')

dk = #5(x-x') (2.47)

87

RkD = O -)x

--)y2 öz

(2.48)

Bu parçal ı diferansiyel denklemin bir çözümü, herbiri ayni biçimde olan üç tane adi diferansiyel denklem cinsinden buluna-bilir; yeter ki potansiyeli, herbiri bir tek koordinata bağ l ı üç fonksiyonun çarpı m ı ile temsil edebilece ğ imizi varsayal ı m:

DI(x,y,z) = X(x)Y(y)Z(z) (2.49)

Bunu (2.48)'de yerine koyduktan sonra sonucu (2.49)' a bölünce

1 d2X 1 d2Y d2 Z O (2.50) - X(x) dx

2 Y(y) dy

2 Z(z) dz

2

denklemine varı l ır. Artık parçalı türevler tam türev haline gelmiş tir; çünkü her terim sadece bir tek de ğ iş kenin bir fonksiyonunu içerir. (2.50) bağı nt ı s ı bağı ms ı z koordinatların her keyfi değeri için geçerli olacaksa, üç terimin herbiri ayrı ayr ı sabit olmal ıdı r:

1 d2X 2

= o(

1 d2y

Y dy2

1 d2Z

Z dz2

(2.51)

Burada

2 2 2

o< (3 = o

dir.oe,2 ve (32 'yı keyfi olarak pozitif seçersek, (2.51)'deki üç

adi diferansiyel denklemin çözümleri exp(ti0(x), exp(1...i(3y) ve exp(±V0(2 4(32z) olur. Böylece (2.49) potansiyeli, bunlar ın çarpımından kurulabilir:

(t) = etio(x ei4y

et \(,)(z k (3 2 ' z (2.52)

X dx2

Bu aş amada oc ve (3 tümüyle keyfidir. Sonuç olarak (2.52), çizgisel üstüste gelme arac ı lığı ile, Laplace denkleminin çok

88

geniş bir çözüm s ı nı f ı nı temsil eder. o(ve (3 'yı saptamak için potansiyel üzerine özel s ını r

koşullar ı koymak gerekir. Örnek olarak, ş ekil 2.9'daki gibi yerleş tirilmi ş (x,y,z) doğrultular ında (a,b,c) boyutlu bir dikdörtgensel kutu dü şünelim. Kutunun z = c yüzü bir V(x,y) potansiyelinde, geri kalan tüm yüzleri ise s ı fı r potansiyelinde tutulsun. Kutunun içinde her yerde potansiyelin bulunmas ı isteniyor. x = 0, y = 0, z = 0 için ?= 0 koşulundan baş layarak»

X,Y,Z 'nin gereksenen biçimlerinin

X = sin o(x

Y = sin (3y

(2.53)

Z = sinh ( Ve<2 4_ (3 2' z)

olduğunu görmek kolaydı r. x = a ve y = b'de Q = 0 olmas ı için

Şekil 2.9- Beş yüzünün sıfır potansiyelinde tutul • • altıncı (z =-.c) yüzünün ise verilen bir 4> V(x,y) potansiyeline sahip olduğu içi boş , dikdörtgensel kutu.

o<a = nn ve (3b = mT( olmas ı gerekir.

rı -r

n a

=mi

(2.54)

89

n2

=7( a

m 2

2 b -

tanımlar ı ile, biri d ışı nda tüm s ı nı r koşullar ı nı sağ layan419nm potansiyelini

plbnm ı sin(o(nx) sin(P5y)sinh(Y z) (2.55) m nm

ş eklinde yazabiliriz. Aranan potansiyeli, bu CI) 'ler cinsinden baş langı çta keyfi katsayılarla seriye açabilinz (katsayı lar son s ı nı r koşulunu gerçekleyecek ş ekilde seçilecektir):

00 5(x,y,z) = Anmsin«Xnx) sin ( rly) sinh(Lz) (2.56)

n,m=ı Geriye sadece z = c'deki = V(x,y) s ı nır koşulu kalmış tı r:

00

V(x,y) = A sin(IXx) sin(N n m y) sinh( c) (2.57) nm n,m=ı

Bu, V(x,y) fonksiyonu için bir çift Fourier serisinden ba ş ka birş ey değildir. Sonuç olarak A katsay ı ları aş ağı daki gibi nm verilir.

Anm 4 ça dx Sib dy V(x,y) sin(o( -1x) sin(py) ab sinh( nmc) Jo o

(2.58)

Dikdörtgensel kutu altı yüzü üzerinde de s ı fı rdan farklı potansiyellere sahipse, kutu içindeki potansiyel çözümü, herbiri bir yüz için olan, (2.56) ve (2.58)' e eşdeğer alt ı çözümün çizgisel olarak üstüste bindirilmesiyle elde edilebilir. Poisson denkleminin çözümü problemi, yani içerisinde bir yük yoğunluğu bulunan ve yüzeyi üzerinde s ını r koşulları verilmiş olan kutunun içindeki potansiyel, (1.43) ve (1.44)'e göre uygun Green fonksiyonunun kurulmas ını gerektirir. Bu konunun tartışı lmas ı , küresel ve silindirik koordinatlarda Laplace denkleminin i ş lenmesinden sonraya ertelenecektir. Ş imdilik sadece (2.56) ve (2.58) çözümünün, (1.44) Green fonksiyonu çözümündeki yüzey integraline eşdeğer olduğuna dikkatinizi çekmek yetecektir.

90

2.10- İki-boyutlu Bir Potansiyel Problemi, Bir Fourier Serisinin Toplanmas ı

Ş imdi dik koordinatlardaki iki-boyutlu Laplace denkleminin değ iş kenlerin ayr ı lmas ı aracı l ığı yle çözülmesini kısaca ele alacağı z. Eğ er potansiyel koordinatları n birinden, diyelim ki z'den bağı ms ı z varsayı labilirse, böyle problemlere iki-boyutlu problem deriz. Bu çoğu kez sadece bir yaklaş t ı rmadı r; fakat uzun ve düzgün bir iletim telinde olduğu gibi, büyük bir kesinlikle geçerli olabilir. Potansiyel z"den ba ğı msı z ise, önceki kesimin temel çözümleri +isxx 4

- e<Y e e çarpımları na indirgenir; burada o< herhangi bir gerçel ya da karmal sabittir. Potansiyel üzprine s ı nı r koşulları nın konmas ı , hangi o( değerlerinin izinli olduğunu ve farklı çözümlerin üstüste bindirilme biçimini belirleyecektir.

Değ iş kenlerin ayrı lmas ı tekniğini aç ı klamak ve ayr ıca karmal değ iş kenlerin kullan ımiyle olan ili ş kiyi kurmak için ele al ı nabilecek basit bir problem, Ş ekil 2.10'da gösterilmektedir. 0‘x,‘.a, y > 0 bölgesindeki potansiyel istenmektedir; öyle ki x=0 ve x=a d4=0,x ne olursa olsun y = O'da 0!1-= V ve büyük y ler için 1>-=›0 s ınır koşulları sağ lans ın. Temel çözümlerin gözden geçirilmesi gösterir ki,c< gerçeldir ve tüm y'ler için x = 0 ve x = a'da ve ayrı ca y -4 aolimitinde jıçötansiyelin s ı fır olmas ı için uygun çizgisel kar ışı mlar e.= °(-r sin(o(x)' lerden kurulmalıd ı r; burada 01= nn/a'd ı r. Böylece dört s ını r yüzeyin-den üçü üzerindeki s ı nır koşullarını sağlayan çözümlerin çizgisel.karışı mı şudur:

Cb(x,y) = <30

Anexp(-nny/a) sin(mx/a) n=ı

(2.59)

y = 0,0<x <:a. için gereksiniminden A,„katsayı ları sapta- nı r. Kesim 2.8'de tartışı ldığı gibi, Fourier katsay ı ları

2 a A = so )(x,o) sin(nnx/a) dx n a

01(x,o) = V olmak üzere,

4V n tek ise. An n .nn o n çift ise.

(2.60)

91

bulunur. Dolayı sıyle )(x,y) potansiyeli

15(x • y) = 4V 1

n exp(-n7CY/a)sin(n ıtx/a) (2.61) tek n

olarak saptanm ış olur. y'nin küçük değerleri için serideki birçok terimi almak gerekir; fakat y a/lx için sadece ilk birkaç terim önemlidir. Potansiyel h ı zla ilk terimle verilen

Şekil 2.10- İki-boyutlu potansiyel problemi.

92

asimtotik değerine yaklaşı r:

exp(-iy/a) sin(Rx/a) (2.62)

Bununla ilgili olarak şuna i ş aret edelim ki, bu genel davran ış , serideki ilk terim s ı fı rdan farkl ı olmak koş uluyle, sabit olsun ya da olmas ın, bu tür s ı nı r-değer problemlerinin tümünün belirgin bir özelliğidir. (2.60)'daki A katsay ı s ı problemden probleme farkl ı olacaktı r; fakatk(x,o) 1 111 karmaşı k-lığı ne olursa olsun, asimtotik çözümün x'e göre olan yumu ş ak davranışı y ..)!,a ğ dan sonra art ı k iyice kurulmuş olur. Bu durum, ele aldığı mı z örnek için Ş ekil 2.11'de nicel olarak görülmekte-dir; orada Ş ekil 2.10'daki y/a = 0,1 ve 0,5 de ğerli iki kesikli çizgi boyunca potansiyel çizilmiş tir. Sürekli eğriler tam potansiyeli, noktal ı eğriler ise ilk terimi (2.62 . yi) göster-mektedir. Sınıra yakın durumda (y/a = 0,1) eğriler birbirlerin-den çok ayr ı lırlar; fakat y/a = 0,5 için asimtotik davran ış artık çok iyi bir yakla ş t ı rmadı r.

Birçok Fourier serisi kapal ı bir ifade verecek şekilde toplanabilir. (2.61)'deki seri bunlardan biridir. sinG = San(ele ) olduğunu gözleyerek, (2.61) ° in

CD (x

V San 1 e (in-R/a) . (x+iy) ,y) = 4 > tek n

şeklinde yaz ı labileceğini anları z; burada San sanal k ı s ı m demektir.

Z= e(ilt/a)(x iy)

tanımı yle, bunu esinlendirici bir biçiffie sokabiliriz:

41(x,y) = 4V San > Zn

IT tek n

Bu noktada belki şu ifadeyi anımsayabiliriz: *

(2.63)

44- Öteki yol, d 1

Z Z n n 1

oldu ğ unu gözlemektir. dt n n=o 1-Z n=1

Bunun integrali derhal

(r/n) = - 4(1 - Z) verir.

93

Şekil 2.11- y/a = 0,1 ve 0,5 değerlerinde ( Şekil 2.10 daki kesikli çizgiler boyunca) x/a n ın fonksiyonu olarak potansiyeller. Sürekli eğriler tam çözümdür; kesikli eğriler ise (2.61) deki seri çözümün ilk terimidir.

.en (1 + Z) = Z - 2 ,2

3 ,3

4 Z4

+

Buna göre

-1/47 tek n

n 1 41( 1 + Z 2 1 - Z )

olduğunu ve potansiyelin

(x,y) = 2V It Sann( 1 Z )

1 - (2.64)

94

ş eklinde yaz ı labileceğ i açı ktır. Bir logaritman ı n sanal k ısmı , argümanını n fazına eş it olduğundan, önce

1 z (1+Z) (1-z* ) 1 -IZI+ 2i San Z

ı - z 11 - z 1 2 Il - z 1 2

ifadesine bakal ım. Buna göre logaritman ı zın argümanının fazı ı r tan 12 San Z/(1 - IZI 2 ) 'dir. Artı k Z' nin(2.63) 4 deki açı k ifadesini de yerine koyarak, potansiyelin a ş ağı daki hale geleceğ ini anlar ı z:

. roc s ı n

(x y) - 2,,Vr1- 1

tan ( a

) (2.65)

sinh ıty a

Tanjant eğrisinin dalı , 0 ve 71Z/2 aras ında uzanan aç ı ya karşı gelir. (2.61)'deki sonsuz seri (2.65)'deki kapal ı ifadeye dönüşmüş tür. Sını r koşulları nın sağ landığı nı ve (2.62) asimto - tik ifadesinin basit bir biçimde ortaya ç ı ktığı nı okuyucunun kendisi doğrulayabilir.

Z 'si (2.63) ile verilen (2.64) potansiyeli, açı kça bir karmal değ işkenin fonksiyonları na bağ l ıdır. Bu bağlantı doğru-dan doğruya şu olgunun bir sonucudur: Bir analitik fonksiyonun gerçel ya da sanal k ı sm ı , Cauchy-Riemann denklemlerinin bir sonucu olarak, iki-boyutta Laplace denklemini sağ lar. Bölümün başı nda da değinildiği gibi, karmal değ işkenler tekniğ ini önemsiz olduğu için değ il de yer azlığı nedeniyle ve baş ka kaynaklarda bu konuda tümüyle yeterli tartış malar bulunduğu için atlıyoruz. Bu kaynakları n baz ı ları bölümün sonunda s ı ra - lanmış tı r. Fourier serilerinin toplanmas ı yöntemleri, örnekle - riyle birlikte, Collin'de (EK A.6) anlat ı lmaktad ı r.

2.11- iki-boyutlu Köşe ve Kenarlarda Alanlar ve Ykik Yoğunlukları

Birçok uygulamal ı durumda, iletken yüzeylerin birle ş im yerlerini, hiç olmazsa küçük ölçekte, iki düzlemin arakesiti olarak düşünebiliriz. Şekil 2.9 1 daki kutunun kenarlar ı buna bir örnektir; bir ba ş ka örnek ise Ş ekil 2.10 1 daki x = 0, y = 0 ve x = a, y = 0 köş eleridir. Dolayı siyle bu keskin "köş enlerin ya da kenarları n dolayı nda potansiyelin, alanlar ı n ve yüzeysel

95

yük yoğunluklar ı nın davran ış larını bilmek yararl ıdır. Bu "köş e"lerin son derecede keskin olduklar ı nı , dolayı siyle köş elere iyice yaklaş abildiğ imizi ve alanlar ın davranışı nı , tümden görünümün ayr ınt ı larına inmeksizin sadece "köş ennin özellikleriyle fonksiyonel biçimde belirtebileceğimizi varsaya-cağı z.

iki-boyuttaki genel durum Ş ekil 2.12'de görülmektedir. İ ki iletken düzlem bir (3 aç ı slyle kesi ş mektedir. Düzlemlerin bir V potansiyelinde tutulduğunu varsayal ım. Potansiyel problemini tek olarak belirleyen öbür iletkenler ve belki de yükler, baş langıçtan uzakta ş eklin dışı ndad ı rlar. Alanlar ın ve öbür niceliklerin sadece ba ş langı ç dolayı ndaki fonksiyonel davran ı -şı yle ilgilendiğ imizden, "uzak"taki davran ışı elden geldiğ ince belirtmemeğe çal ış acağı z.

Şekil 2.12'nin geometrisi, dik koordinatlar yerine kutupsal koordinatları n kullanımı nı akla getirir. ( .1›, kutupsal koordi-natlar ı cinsinden iki-boyuttaki Laplace denklemi

1a ( ? I'D ) + I --24) = 0 (2.66)

J' . 5:, ., s,> P 2 cf,a ş eklindedir. Değ iş kenlerin ayr ı lmas ı yaklaşı mı nı kullanarak 4)yerine

‹liD(5),>) = R(?) 44)

Şekil 2.12- (3 açısıyle kesişen iki iletken düzlemin iki boyutta bir köşe oluşturması .

96

koyarı z. Bu bizi, f2 /4ile çarptı ktan sonra,

d2111 (2.67) R dQ d? Y dcl>

denklemine götürür. Birinci terim sadecejp'nun ve ikinci terim sadece clh'nin fonksiyonu olduğundan, her biri sabit olmal ıdı r:

j) d (? dR v2_

R cip d 5,

1 d 2

v (2.68)

d4). 2

Bu denklemlerin çözümleri s ı rasiyle ş öyledir:

-V R (?) = a.? + bp '9)4) = A cos(v<P) + B sin(V4>)

V= 0 özel hali için ise çözümler şunlard ı r:

R (S)) = ao en?

1)(V') Ao + B04)

(2.69)

(2.70)

Çizgisel üstüste bindirme arac ı lığı yle potansiyeli kurarken kullanacağı mı z yapı taş lar ı iş te bunlardı r.

Şu anki amac ı mı z dışı nda bulunmakla birlikte, tüm g5değ er-lerinin izinli olmas ı halinde Laplace denkleMinin iki boyutta-ki genel çözümüne değ inelim. Örneğin s›.. a ve f>= b silindirik yüzeyleri üzerinde ılı 'nin fonksiyonu olarak potansiyel verilir ve ara bölgedeki potansiyel dağı lımı sorulur; ya da içteki silindir olmaks ı zın ayni problemin çözümü istenir. lı üzerinde s ı nı rlama yoksa, potansiyelin tek-değerli çı kmas ı için, v, ya pozitif tam sayı , ya negatif tam sayı , ya da s ı fı r olmal ıdı r. Üstelik y = 0 için, (2.70)'deki B sabitinin ayni nedenle s ı fı r olmas ı gerekir.Dolayı siyle geneP çözüm

00 (1.)( p ,^ ı = ao+ bokınp + 7. an ?nsincr+.0(t+ -n bn ? sin(nOt%)

n=ı

(2.71)

biçimindedir. Eğer çözüm bölgesi (kuşkusuz ki içinde yük yoktur) baş langı cı kapsı yorsa, tüm bn'ler sı fı rdı r. Baş langı ç kapsanmıyorsa, b n 'ler s ı fı rdan farkl ı olabilir. özellikle

97

logaritmik terim, iyi bilindi ğ i gibi, eksen üzerinde birim uzunluktaki yük yoğunluğu = -b

0/2 olan bir eizgisel yüke

eşdeğerdir. Ş ekil 2.12'deki durum için açı s ı 0 < C < (3 bölgesine

s ı nırlanmış t ı r. S ı nı r koşulları , = 0 ve = (3 olduğunda tüm .>..0 değerleri için 4> = V biçimindedir. Bu koş ullar, (2.70) 'de

b = B = 0 ve (2.69) da b = O, A = 0 olmas ını gerektirir. Ü2telil?, yü sin(V(3) = 0 yapan

v = '

m = 1, 2, . mrt

değerlerine s ı nı rlar ve böylece genel çözüm şu ş ekle gelir:

00

1 (mYr/Ç3) (?,0) = V + am sin(mn/(3) (2.72) n=1

Daha saptanmamış olan a katsayı ları , fı = 0 köş esinden uzaktaki potansiyele (uzak sinir ko şullarına) bağ l ıd ı rlar. (2.72)' deki seri .1)1T/P 'nin pozitif kuvvetlerini içerdi ğ inden, yeterince küçük ıp ' lar için sadece serideki ilk terim önemli olacakt ı r. Böylece g = 0 yakınında potansiyel yaklaşı k olarak ş öyledir:

1) (?,(D) "=-.* V + ai ?.71/1 sin(7rk(3) ( 2 . 73 )

Elektrik alan ını n bileş enleri ise şunlard ı r:

'g al (IT ) -1 .

Es,(9) u p' s ın(1) - 5:1 .3

(2. 74)

E (p 9 ) _ 1Tl o(r/ P )-1 cos(ıtgVp) — P )

= 0 ve =(3'daki yüzeysel yük yoğunlukları eş it ve yaklaşı k olarak

E (9,0)

cr(g) =

$>")-1 (2.75)

4 ,s

e- Burada uzak s ı n ı r ko ş ullar ı hakk ı nda gerekli bir varsay ı m yapaca ğı z; bun lar a katsay ı s ı n ı n s ı f ı r olmad ığı ko ş ullard ı r. Normal olarak bu bir sorun de ğ ildir; fakat özel simetriler a katsay ı s ı n ı ve hatta a v.s." yi s ı f ı r yapabilirler. Bu al ışı lmam ış ğ rnelder ayr ı olarak incelenmelidir.

1/5 In,==7, 1 Y 4

ııııı ıııı ı I I I I= I=

98

dir. Hem alanı n bileş enlqrı ra ıı hem de yüzeysel yük yoğunluğu, 9=0 gibi dolayı nda, uzakl ıkla m -1 u gıbı degışı r.9'ya olan bağ l ı lı k, bazı özel haller için, Ş ekil 2.13'de görülmektedir. Çok derin bir köş e (küçük /3) için, s> 'nun kuvveti çok büyük olur. Böyle bir köş ede pek yük toplanmaz. (3.-- -R(duz bir yüzey) için, açı kça sezileceği gibi, alan nicelikleri p 'dan bağı msı z hale gelir. P> .K olduğunda, art ı k iki-boyutlu köş e bir s ı rt haline dönüşür ve gerek alan gerekse yüzeysel yük yo ğunluğu ? --,0` da tekil (singular) hale gelir. (3= 27z.

Şekil 2.13- Açıklıkları (3=1T/4, 31x/2 ve 2)t olan "köşe" ya da sırtlarda yüzeysel yük yoğun-luğunun (ve elektrik alanının) 9 uzaklığı y-la değişimi.

(ince bir levhanı n s ı rt ı ) için tekillik jf1/2 gibidir. Gene de bu integre edilebilir; s ı rttan sonlu bir uzakl ığ a kadar dağı l-mış olan yük sonludur; fakat iletken levhalar ın (ya da, gerçek-te, (3>Tt olan her ş ekillenimin) s ı rtlarında alan ş iddetleri çok büyük hale gelir.

Yukardaki iki-boyutlu elektrostatik incelemeler, zamanla değ işen alanlar içerilse bile, birçok üç-boyutlu duruma uygun düşer. Bir kübün bir köş esinden uzaktaki kenar ı gibi sonlu uzunluklu keskin bir s ı rt sözkonusu ise, s ı rta yeterince yak ın yerlerde, potansiyelin s ı rt boyunca değ i şmesi önemsenmeyebilir. (2.75)'deki a katsay ı sı sırt boyunca olan uzakl ıkla değ iş ebil-diği halde, iki-boyutlu inceleme uygundur. Daha da öte, bu elektrostatik tartış malar zamanla değ iş en alanlar için bile geçerlidir. Buradaki özellik, zamana göre değ işim ile bir baş ka uzunluğun, yani dalgaboyunun i ş e karış mas ıdır. S ı rttan öte doğru dalgaboyuna ve di ğer ilgili uzakl ıklara göre küçük uzaklı klarla ilgilenmek koşuluyle, alanlar ın davranışı elekt-rostatik ya da manyetostatik davranış a indirgenir. Örneğ in, ince bir iletken levhadaki bir delikten mikrodalgalar ı n kırı nı -mı nda, alanlar 9 O için .P-1/2 gibi tekildirler;~ ,. de- liğin s ınırı ndan olan uzakl ı ktı r. Bu olgu, k ı rınım probleminin

99

her tam çözümünde hesaba kat ı lmal ıdı r. Paratonerlerin etkinli ğinin nedeni, keskin sırtların

yakınındaki alanların tekil davranışı dır. Burada tart ışı lan idealize durumda, alan ş iddeti 9 -4 0 ile s ını rs ı z bir ş ekilde büyür; fakat s ırtı yuvarlaklaş tı rı lmıs kal ınlı kl ı ince bir levha için yüzeydeki alan ş iddetinin d 11 ile orant ı l ı olacağı çı kartı labilir. Yeterince küçük d için, bu alan çok büyük olabilir. Salt bo ş lukta böyle alanlar olas ıdır; fakat havada alan ş iddetleri belirli bir değeri aş arsa elektriksel çökme ve boş alma ortaya çıkacaktı r. (Bu belirli değer, elektrodun tam şekline, diğer elektrodlara yak ınlığı na v.s. bağ lıdır; fakat havada normal koşullar alt ında 2,5 x 10 volt/cm:den daha büyük, bazen dört kat ı kadardır). Yer ile bulutlar aras ında büyük potansiyel farkları nın oluş tuğu fırt ınal ı havalarda, topraklanm ış bir keskin iletken s ı rt, ya da daha iyisi, iletken bir sivri uç (bak.Kesim 3.4), önce kendi dolay ı nda bir elekt-riksel çökmeye sahip olacak ve sonra havada ışı klı boş almanın izlediği zikzakl ı iletken yolun bir ucunu olu şturacaktı r.

ÖNERILEN KAYNAKLAR VE OKUMA PARÇALARI

Görüntü yükleri yöntemi ve ilgili karşı t nokta tekniği bir çok kitapta iş lenmektedir. Daha iyi ya da daha ayr ıntı lı tart ış malar şu kitaplardadı r:

Jeans, Bölüm VIII, Maxwell, Cilt I, Bölüm XI, Smythe, Bölüm IV ve V.

Yüklü iletken bir ince küresel tas ın iç ve dış yüzeylerin-deki yük dağı lımını elde etmek için 1847'de Lord Kelvin tara-fından karşı t noktalar tekniğinin klasik kullan ımı şu kitaplar-da tartışı lmaktadı r:

Kelvin, sayfa 186, Jeans, sayfa 250-251.

Çok sayıda diyagram ı içeren, her türden örnek için gerçek bir ansiklopedik kaynak

Durand' ın kitabıdır, özellikle Bölüm III ve IV. Sayfa 107-114'de karşı t noktalar i ş lenmektedir. İ ki-boyutlu potansiyel problemlerinin çözümünde karmal de ğ iş - kenler ve konform tasvir a ş ağı daki kitaplarda tart ışı lmaktadı r:

Durand, Bölüm X, Jeans, Bölüm VIII, Kesimler 306-337,

100

Maxwell, Cilt I, Bölüm XII, Morse ve Feshbach, sayfa 443-453, 1215-1252, Smythe, Bölüm IV, Kesimler 4.09-4.31, Thomson, Bölüm 3.

Konform tasvir üzerine yararl ı küçük bir matematik kitab ı ise şudur:

Bieberbach.

Ayrıca bu konuya ayr ı lmış birçok mühendislik kitab ı vard ı r: Gibbs, Rothe, 011endorff ve Polhausen.

Fourier serileri, integralleri ve dik aç ı lı mları n matematiksel teorisi üzerine temel ve aç ı k tartış malar şuralarda bulunabilir:

Churchill, Hildebrand, Bölüm 5.

Fourier serileri ve integrallerinin biraz modas ı geçmiş ş ekilde, fakat bol örnek ve problemli olarak iş leniş i şu kitapta yer alı r.

Byerly.

PROBLEMLER

2.1- Noktasal bir q yükü, s ı fır potansiyelde tutulan sonsuz geniş likteki düzlemsel iletkenden d uzakl ığı na getiril - miş tir. Görüntü yükleri yöntemini kullanarak,

a)iletken üzerinde oluş an yüzeysel yük yoğunluğunu bulunuz ve grafiğini çiziniz.

b) q yükü ile görüntüsü aras ındaki kuvvet için Coulomb yasas ını kullanarak, iletken ile yük aras ı ndaki kuvveti bulunuz.

e) 2n(r2'yi tüm iletken düzlem üzerinden integre ederek, düzleme etkiyen toplam kuvveti elde ediniz.

d) q yükünü ilk yerinden sonsuza götürmek için gerekli i ş i hesaplayını z.

e) q yükü ile görüntüsü aras ı ndaki potansiyel enerjiyi yaz ını z. Yanı tını zı d) ile karşı laş tırını z ve tartışı nı z.

t) Bir elektron ba ş langıçta düzlemden bir angström uzakta iken d) yanı tı nı elektron Volt cinsinden bulunuz.

2.2- İ ç yarı çapı a olan topraklanmış içi boş bir iletken kürenin içerisinde noktasal bir q yükü problemini, görüntü

101

yükleri yöntemini kullanarak tart ışı nı z. a) Kürenin içerisindeki potansiyeli,

b) Oluş an yüzeysel yük yoğunluğunu, c) q üzerine etkiyen kuvvetin büyüklük ve yönünü bulunuz.

Küre sabit bir potansiyelde tutulursa, çözümde herhangi bir değ iş iklik olur mu? Kürenin iç ve d ış yüzeylerinde toplam Q yükü bulunursa ne diyebiliriz?

2.3- z = 0 düzlemi üzerinde (ve sonsuzda) Dirichlet s ını r koşulları ile, z > 0 yar ı -uzayındaki potansiyel problemini ele alını z.

a) Uygun G('',7') Green fonksiyonunu yaz ı nı z. b) z= 0 düzlemi üzerindeki potansiyel, düzlem üzerinde

merkezi baş langıçta bulunan a yar ı çapl ı dairenin içinde C = V ve dışı nda ‹F = 0 olarak verilmi ş olsun. (p,41),z) silindirik koordinatlarıyle belirtilen P noktas ındaki potansiyel için bir integral ifade bulunuz.

c) Dairenin ekseni boyunca (S) = 0) potansiyelin

= v( ı +. z2

biçiminde verildiğini gösteriniz. d) Büyük uzakl ı klarda (f+ z2 )> a2 ), potansiyelin,(,+z 2 )

-1

in kuvvet serisine açı labileceğ ini ve baş ta gelen terimlerin

Va2

2

z

[.1

3a2. 2 2 4 sopa 4. a ) + + 4(522:1-z2 ) 8(?2+z2 ) 2. ( ?fz2 ) 3/2

olacağı nı gösteriniz. (c) ve (d) sonuçlarının ortak geçerlilik bölgesinde birbirleriyle uyuş tuklar ını doğrulayını z.

2.4- Çizgisel yük yoğunluklar ı ve olan birbirlerin- den R uzakl ı klı , sonsuz uzunlukta iki paralel doğrusal yük iki-boyutlu bir potansiyel problemi tanımlamaktadı r.

a) Sabit V potansiyel yüzeyinin dairesel bir silindir (daire, enine boyutlarda) olduğunu doğrudan potansiyeli kurarak gösteriniz ve silindir ekseninin koordinatlar ı nı ve silindirin yarı çapı nı R,9kve V cinsinden bulunuz.

b) Üstteki sonuçları kullanarak, birbirlerinden d > a÷b uzaklığı nda paralel duran a ve b yar ı çapl ı iki dik-dairesel silindirik iletkenin birim uzunluk başı na C s ığ asının

q' =

2 21

el‘/( +d a 1 d2-a2

102

1 2 2 2

2cosh-l ( d -a-b)

2ab

olduğunu gösteriniz. c) Bu sığ anın, uygun limitlerde Problem l.7'deki yan ı t ile

uyuş tuğunu doğrulayı nı z ve a/d ve b/d"nin kuvvetlerine göre s ı fı rdan farkl ı bir sonraki düzeltmeyi saptay ı nı z.

d) Bu s ığ a hesabı nı , iç-içe geçmi ş iki silindir için (d< {b-ap yineleyiniz. Sonucu eş-eksenli (d = O) silindirler için

kontrol ediniz.

2.5- a yarı çapl ı , yal ı t ı lmış , küresel bir iletken kabuk düzgün bir E elektrik alan ı içindedir. bu küre alana dik bir düzlem ile yar ı küreye kesilirse, yar ı kürelerin ayr ı lmas ını önlemek için gereken kuvveti

a) küresel kabuk yüksüz iken,

b) üzerinde Q toplam yükü varken hesaplay ı nı z. 2.6- Geniş paralel plakal ı bir kondansatör, iki düzlemsel

iletken levhadan yap ı lmış olup, levhalar ından biri iç yüzeyinde a yarı çapl ı küçük bir yarı -küresel ç ı kı ntlya sahiptir. C ıkıntı -11 iletken s ı fı r potansiyelinde tutulmakta; diğer iletken ise levhalar aras ında ç ı kıntıdan uzaklarda elektrik alan ı Eo olacak ş ekilde bir potansiyelde bulunmaktad ı r.

a) Düzlem üzerinde ve çı kıntı üzerinde herhangi bir noktada yüzeysel yük yoğunlukları nı hesaplayı nı z ve uzakl ığı n (ya da açı nın) bir fonksiyonu olarak davranış larını çiziniz.

b) Çı kınt ı üzerindeki toplam yükün 3Eoa2/4 büyüklüğüne

sahip olduğunu gösteriniz. c) Diğer iletkeni ayr ı bir potansiyelde tutacak yerde,

yarı -küresel çı kı nt ı nın tam karşı s ı na merkezinden d uzakl ığı na noktasal bir q yükü yerle ş tirilirse, ç ı kı ntı üzerinde oluş an yükün

C =

olacağı nı gösteriniz. 2.7- Yük yoğunluğu 2 olan bir çizgisel yük, sonsuzda

potansiyel s ı fı r olacak ş ekilde sabit bir gerilimde tutulan b yarı çapl ı iletken bir silindirin eksenine paralel olarak eksenden R kadar uzakl ığ a konmuş tur.

103

a) Görüntü yük (leri)'nin konumunu ve büyüklüğünü bulunuz. b) Herhangi bir noktadaki potansiyeli, silindirden uzakta-

ki asimtotik biçimiyle beraber bulunuz (ba ş langıcı silindir ekseninde ve baş lang ı çtan çizgisel yüke doğru olan yönü x-ekse-ni alarak kurulan kutupsal koordinatları kullanı nı z).

c) Oluş an yüzeysel yük yoğunluğunu bulunuz ve bunu, z/2n6 birimiyle, R/b = 2 ve 4 için, aç ı nı n fonksiyonu olarak

çiziniz.

d) Yük üzerindeki kuvveti bulunuz.

2.8- b yarı çapl ı bir silindirin yüzeyi üzerinde belirtil-miş potansiyele sahip iki-boyutlu potansiyel problemi için (2.71) seri çöziiffiüyle baş layarak, katsayı ları geliş tiriniz, sonra onları seride yerine koyup toplayarak silindir içindeki potansiyeli Poisson integrali biçiminde elde ediniz

2 p? 1( ? '9) 94 (1 (b ' (/)') 2 2) o) b + - 2bscos(y6' - O)

d 9S'

Silindir yüzeyi ile sonsuzdan geçen yüzey taraf ından s ı nırlanan bölge içinde potansiyelin bulunmas ı istenirse, ne gibi bir değiş tirme gerekir?

2.9- a) iç yarı çapı b olan içi boş uzun bir iletken silindirin iki yar ı sı her iki taraftan uzunlamas ına küçük aralı klarla ayr ı lmış olup, Vi ve V2 gibi ayr ı potansiyellerde tutulmaktad ı r. içerideki potansiyel ın

cD( Ç6') =

V1+V

2 V1- V2 -1 2b, tan ( cos rp )

2 2 b -5) 2

biçiminde verildiğini gösteriniz; burada 96, aralı klardan geçen düzleme dik bir düzlemden ölçülmektedir.

b) Silindirin her bir yar ı s ı üzerindeki yüzeysel yük yoğunluğunu hesaplayin ı z.

2.10- Bir önceki iki-boyutlu problemin bir başka ş ekli, b yarı çaplı , içi boş , uzun bir iletken silindirin uzunlamas ına

104

eş it dört parçaya ayr ı lmas ıdır. Ard ı ardına gelen parçalar s ı ras ıyle +V, -V, +V, -V potansiyellerinden tutulmaktad ı r.

a) Problemi (2.71) seri çözümü arac ı l ığı yle çözünüz ve silindir içindeki potansiyelin

4(94) ( Q ) 4n+2 sin 4n+2 gS1

n=ı b 2n +

ş eklinde olduğunu gösteriniz. b) Seriyi toplay ı nı z ve aş ağı daki sonucu elde ediniz

_2 4)(94) 2TxV tan- ı (250, b2 sin4 )

b4 - s;)4

c) Alan çizgilerini ve eş -potansiyelleri kabaca çiziniz.

2.11- a) Görüntü yükleri yöntemini kullanarak, b yar ı çapl ı silindirin dış bölgesindeki problem için iki-boyutlu Dirichlet Green fonksiyonunun

c(?,(; 4,,(1),) 4 9,292 -2b Q p'cos(1) - çt,') }

b [?2+sı 'z -2??'cos( ,g6 - )]

In (Q-ip) (f> ta -b2 )+b2 I -;54÷1 1 2

b2

ş eklinde olduğunu gösteriniz; burada jive pdüzlemdeki koordi-nat vektörleridir.

105

15) Bu Green fonksiyonunu kullanarak problem 1.7'nin sonucunu doğrulayı nı z.

c) İ ç bölgedeki problem için, eğer varsa , ne gibi değ i-ş iklikler gerekir?

2.12- a) Problem 2.11'deki Green fonksiyonunu ve (1.44) çözümünü kullanarak, bir çemberin içindeki Dirichlet problemi için Poisson integrali biçimindeki çözümü (problem 2.8) elde ediniz.

b) Cauchy teoremini kullanarak Poisson integral çözümünü bulunuz. Cauchy teoremi şudur : F(z) fonksiyonu kapal ı bir C eğrisiyle s ını rlanan R bölgesinde analitik ise,

1

F(z')dz' F(z) eğer z, R'nin içinde ise, 2 n i z'-z o eğer z, R'nin d ışı nda ise,

Yardım : Çember içindeki noktada hesaplanan çözüm integraline, sı fır olan (görüntü noktas ıyla ilgili) bir integral liriz.

2.13- İ çi boş bir küp x = 0, y,= 0, z = 0 ve x = a, y = a, z = a düzlemleriyle tan ımlanan altı iletken yüze sahiptir. z = 0 ve z = a yüzleri sabit bir V potansiyelinde tutulmakta olup, kalan dört yüz ise s ı fı r potansiyeldedir.

a) Küpün içindeki herhangi bir noktada Cb(x,y,z) potansiye-lini bulunuz.

b) Küpün merkezindeki potansiyeli, say ı sal olarak, virgül-den sonra üçüncü basamağa değ in hesaplayını z. Böylesine bir kesinlik için serinin kaç terimini almak gerekir? Say ı sal sonucunuzu, küpün yüzleri üzerindeki potansiyelin ortalama değeriyle karşı laş t ı rını z. Problem 2.16'ya bak ı nı z.

c). z = a yüzündeki yüzeysel yük yoğunluğunu bulunuz.

2.14- İki-boyutlu 0 < 11'(3 bölgesi, ş ekilde görül- düğü gibi, s ı fır potansiyelde tutulan= 0,9= a veçb= 'daki iletken yüzeylerle s ınırlanmış tı r. Büyük 9 'lardaki potansiyel, belirli ş ekillenime sahip baz ı yükler ve/veya sabit potansiyel-li

iletkenler taraf ından saptanı r. a) Sonlu S> 'lar için s ınır koşullarını sağlayan OD( ,OP)

potansiyelinin bir çözümünü yazını z. b) Sadece sı fı rdan farkl ı en düşük, terimleri tutarak,

elektrik alan ının E s, ve E, bileşenlerı nı ve ayrıca üç s ını r

= o

'//777//////// /////////////

106

yüzeyi üzerindeki alt p, o ) cr( 9, (3) ve CF(a,oiı ) yüzeysel yük yoğun-luklar ı nı hesaplayını z.

Problem 2.14

c) (3=1T (yani düzlemsel bir iletken ve üzerinde a yar ı çap-lı bir yar ı-silindir) al ı nı z. b)'deki en düşük mertebeli terim-lerin, yar ı -silindirden uzaklarda, düzleme dik düzgün bir elektrik alanı vereceğini gösteriniz. Yarı -silindirin üzerinde-ki ve komşuluğundaki yük yoğunluğunu kabataslak çiziniz. Düzlemden uzaktaki sabit elektrik alan ş iddeti için gösteriniz ki, yar ı -silindir üzerindeki toplam yük (gerçekte z -doğrultu - sunda birim uzunluğa düşen yük), yarı -silindirin yokluğu halinde, 2a geni ş likli bir şeritin üzerinde bulunabilecek yükün iki kat ıdır. Düzleme yakın bölgelerden fazlal ık bir kı sım yükün çekileceğini, öyle ki a'ya göre daha geniş bir ş erit üzerindeki toplam yükün, yar ı -silindir orada bulunsun ya da bulunmas ın, aynı olacağı nı gösteriniz.

2.15- Problem 2.14'deki iki-boyutlu kama biçimli bölgeyi bu kez (3 = 2'R olarak düşününüz. Bu durum, pozitif x-ekseni üzerinde x = adam sonsuza uzanan yar ı-sonsuz ince bir iletken levha ile bunun ucuna tutturulmuş a yarı çapl ı iletken bir silindire karşı gelir.

a) En düşük mertebeli çözümü kullanarak, silindir üzerin-deki ve levhan ın üst ve alt ı ndaki yüzeysel yük yoğunluklarını kabaca çiziniz.

b) Silindirin üzerindeki toplam yükü hesaplayını z ve bunu, silindirden uzaktaki yük yoğunluğunun ayn ı olduğunu varsayarak, levhanı n silindire yakın kısmı üzerindeki toplam yük noksanl ığı (yani a = sonlu ve a = 0 için bulunan yükler aras ı ndaki toplam fark) ile kar ş ilaş tırı nı z.

107

2.16- Kapal ı bir hacim, düzgün bir çokyüzlünün n tane iletken yüzü ile s ı n ı rlanmaktad ır (n = 4, 6, 8, 12, 20). Yüzeylerin herbiri ayr ı bir V.(i = 1, 2, ..., n) potansiyelin-dedir. Yapabileceğiniz en basit yoldan kan ı tlayını z ki, çokyüz-lünün merkezindeki potansiyel, n yüz üzerindeki potansiyellerin ortalamas ı na eş ittir. Bu problem, 2.13 Probleminin (b) şı kkına dayanır ve Problem 1.10'un sonucuyla ilginç bir benzerliğ e sahiptir.

108

3 ELEKTROSTATIKTE SINIR-DEĞER PROBLEMLERI : II

Bu bölümde s ı nı r-değer problemlerinin tart ışı lması sürdü-rülecektir. Önce küresel ve silindirik geometriler ele al ınacak ve Laplace denkleminin çözümleri, birim boylu uygun dik fonksi-yonlar cinsinden seriye aç ı l ı mlarla temsil edilecektir. Laplace denkleminden değ işkenleri ayı rarak bulunan çeş itli adi diferan-siyel denklemlerin çözümleri sadece ana çizgileriyle verilecek; buna karşı lı k ayrı fonksiyonlar ı n özellikleri yeterince özetle-necektir.

Çeş itli geometrilerde Poisson denklemini çözmeğe giriş tiğ i-mizde, Green fonksiyonlar ı nın dik fonksiyonlar cinsinden ku-rulmas ı problemi doğal olarak ortaya ç ı kacakt ı r. Green fonksi-yonlarının açı k örnekleri elde edilecek ve özel problemlere uygulanacakt ı r. Ayrıca potansiyel problemlerine de ğ iş ik yakla-şı m yollarının eşdeğerliliğ i tartışı lacaktı r.

3.1 Küresel Koordinatlarda Laplace Denklemi

Laplace denklemi, Ş ekil 3.l'de gösterilen (r, e, 4) küresel koordinatları cinsinden aş ağı daki gibi yaz ı labilir:

1 (rt) 1 (sin8 ..?4')+ 7 1 , - 0

r2sin13 -be - 9 r`sifie )(1) a

(3.1)

Potansiyel için tek değ işkenli fonksiyonlar ı n çarpımı ş eklinde bir yapı varsayı larak

40 U(r) P(e) Q (I)) (3.2) r

yaz ı labilir. Bu yapı (3.1)'de yerine konduğunda, şu denkleme varı lı r:

d2U UQ sine dP ) + UP d20

PQ d ( 2 . - O dr 2 r s ıne de de r2siri2 9 dOg'

109

Şekil 3.1

. . Bu denklem i r

2 s ı n2 e/UPQ ile çarparsak, şunu elde ederiz:

2 2 [1 d2U 1 1 d dP 1 d2Q

(sine j + r sine + - 0

U dr a r2sin e P de de Q d4)2-

(3.3)

Bu aş amada denklemin Obağ lı lığı son terime s ı nı rlanmış tı s. Dolayı siyle o terim bir sabit olmal ı dır. Bu sabite (-m ) diyelim:

1 d2Q - m2

(3.4) Q d 02

Bu denklemin çözümü

Q = e±iml) (3 .5)

ş eklindedir. Eğer 0 ile 2naras ındaki tüm değ erleri alabili-yorsa, Q'nun tek değerli olmas ı için, m bir tam say ı olmalıdı r. Benzer düşüncelerle P(19) ve U(r) için de ayr ı denklemler buluruz:

1 d (sine dP ) + .e+ 1) m. 2 sine de 2 1P = 0 (3.6)

de sın e

110

d2U Q(£4-1)

dr2

r2 U = O

(3.7)

Burada t(9..+1) baş ka bir gerçel sabittir. Işı nsal denklem, biçiminden de anlaşı lacağı gibi, r nin

(kuvvet serisini değ il de) bir tek kuvvetini sağlayacakt ı r. Çözümü

U = Art+i + Br

(3.8)

olarak bulunur; fakat Ldaha saptanmam ış t ı r.

3.2- Legendre Denklemi ve Legendre Çok -Terimlileri

P(9)'nın sağ ladığı denklem, 9'n ın kendisi yerine x = cos9 cinsinden ifade edilir. Bu durumda şu biçimi al ı r:

d (1

2)

dP m2 P 0 (3.9)

al ı r; almadan kuvvet

dx

Bu denklem cözümlei önce, m serisiyle

x dx

genelleş tirilmiş bağ l ı Legendre = 0'11 adi çözümünü kabaca

:Q,(Q.+1) = 2

1-x

Legendre denklemi adı nı fonksiyonlarıdı r. (3.9) 1 u ele

Legendre diferansiyel denkleminin inceleyelim:

d {(1 x2 ) dP +Q( t+ 1)P = O (3.10)

dx dx

Kuzey ve güney kutup ile birlikte, tüm cos9 de ğerlerinin, ilgilendiğimiz bölgede olduğunu varsayal ım. Bu durumda fiziksel bir potansiyeli göstermesi için, arzulanan çözüm, x L ,. 1 aral ığı nda tek değerli, sonlu ve sürekli olmal ıdı r. Çözümün

P (x) =

Vıo

a. x j=o

(3.11)

biçiminde bir kuvvet serisiyle temsil edilece ğ ini varsayacağı z; burada 0C, saptanacak olan bir parametredir. Bunu (3.10)' da yerine koyduğumuzda şu seri elde edilir:

111

\oo

j ) (0(+3-1)a x +i

[(c< +j ) (c< +j+1 )- Q..+1 ).1 a . .x.°(44 = J=0 J

(3.12)

Bu açı l ı mda x'in her bir kuvvetinin katsay ı s ı ayr ı ayrı s ı fı r olmal ıd ı r. Buna göre, j = 0 ve 1 için

ao

O ise 0C(c< - 1) = O

a 0 ise c((o(-+ 1) = 0

sonucunu buluruz; öte yandan genel bir j değeri için

[ a (0:+j) (cK+j+1) - t(Z+ J) . = a. j (0(4-j+1) (0(4j * - 2)

(3.13)

(3.14)

bağı nt ı s ı vardı r. Biraz düşününce, (3.13)'deki iki bağı nt ı n ın eşdeğer olduklar ı anlaşı l ı r; dolayı siyle her ikisini değ il de, ya a ya da a katsayı sını s ı fı rdan farklı seçmek yeterlidir. IlkiRi seçersek, o<= 0 ya da o(= 1 olacaktı r. Kuvvet serisi, (3.14)'den görüleceği gibi, ya x'in sadece çift kuvvetlerini (o(= 0), ya da x'in sadece tek kuvvetlerini (o<= 1) içerecektir.

Gerek o( = 0 serisi, gerekse oC = 1 serisi için a ş ağı daki özellikleri kan ı tlamak olas ıdı r:

a)i'nin değeri ne olursa olsun, seri, x 2 ( 1 için yakı n-saktı r.

b) Sonlu sayıda terime sahip olmad ı kça, seri, x = ±l'de ı raksakt ır. x < 1 için olduğu kadar x =±l'de de sonlu bir çözüm istediğimize göre, serinin belli bir terimde kesilmesi gerekir.o( ve j pozitif tam say ı ya da s ı fır olduğundan, ancak

sıfır ya da pozitif tam sayı ise, (3.14) yineleme bağı nt ı sı bir yerde kesilecektir. Bu durumda bile iki seriden ancak biri x = ±l'de yak ınsak olur. Eğer Q çift (tek) ise, sadece oC= 0 (aC= 1) serisi belli bir terimde kesilecektir. * Her bir

3( Örne ğ in .e= 0 ise, o(= 1 serisi a. =/j + 1 ş ekline (4 = 0,2,4,+...) genel bir katsay ı ya sahiptir. Dolay ı siy1e sec)ria (x + x +--- x + ...) yap ı s ı n- dad ı r. Bu ise, x = +1'de ı raksayan O

o(x) o = --

ı --2n1 + x/1 5- x) fonksiyonunun 2.

kuvvet serisine aç ı lm ış ş eklidir. Her .tde ğ er ı için, iyi-davran ış l ı olan çok terimli çözümün yan ı nda, logaritmal ı benzer bir Q (x) fonksiyonu vard ı r. Magnus ve Oberhettinger, sayfa 59 ya da Magnus, Oberhettinger ve Soni, sayfa 151'e bak ı n ı z. Whitt4ker ve Watson, XV'inci bölümünde bunu analitik fonksi-yonlar kullanarak i ş lemektedir.

P2 (x) = 1 (3x2 - 1)

2 P3 (x) = —(5x

3 -3x) 2

(3.15)

P4 (x) = i (35x4 - 30x2 + 3)

8

112

durumda ok-terimlimizin en yüksek kuvvetli terimi x JL olacakj) bunu x kuvveti izleyecek ve bu ş ekilde 1, çift (tek) için x

(x) 'e kadar inilecektir. Bu çok-terimliler, x = +1 'de bire eş it olacak şekilde boyland ı rı lır ve Z'yinci mertebeden Legend-re çok-terimlileri, PL(x) adını al ırlar. İ lk birkaç Legendre çok-terimlileri şunlardı r:

Po (x) = 1

P (x) = x

(3.11) ve (3.14) kuvvet serisi çözümlerini i ş leyerek, Legendre çok-terimlerinin Rodrigues formülü denen bir toplu gösterimini elde etmek olas ıdı r:

d 2- 2 il-

P(x) = dx 2- (x -1) (3.16)

Bunu baş ka yollardan daha güzel bir şekilde elde edebileceğimiz gibi, doğrudan doğruya (3.10) diferansiyel denklemini -e- kez integre ederek de bulabiliriz .

Legendre çok-terimlileri -1 4x 41 aral ığı nda tam bir dik fonksiyonlar cümlesi olu ş turur:Diklik özelliğini kanı tlamak için, doğrudan (3.10) diferansiyel denklemine ba ş vurabiliriz. Önce PQ (x) için diferansiyel denklemi yaz ı p, bunu P ,(x) ile çarparı z ve aral ı k üzerinden integre ederiz:

1 (x) -c1- [(1 -x2 ) -2--"--IP-91+ (f+1)1:> (x)

dx dx

İ lk terimin parçal ı integralini alarak

r -ıı + .Ukfl ı p,e,(x)p2 (x)] dx = 0 (3.18)

dx dx

elde ederiz. Ş imdi -e ve t yü değ iş tirerek (3.18)'i bir kez daha yazdı ktan sonra, bunu (3.18)'den ç ı karı rsak elde edilecek

113

olan sonuç diklik bağı ntı s ıd ı r:

i£( e+ 1) - t' (e' + 1)11 Pp,(x)P£, (x) dx = 0

1 (3.19)

Q' için integral s ı fı r olmal ıdır. Q= için integral sonludur. Değ erini saptamak için Legendre çok-terimlilerinin açık gösterimini, örneğ in Rodrigues formülünü kullanmak gerekir. Bu durumda integral aç ı k olarak

(. 1 r i

l ı fy 1 x)] 2dx = d'er, (x2 -1) d (x22dx

22e(£1) 2 dx dx'

ş eklindedir. -e-kez parçal ı integrasyon uygulan ı rsa

£ i 2£ N = (-1) f

(x2-1)

£. d (x

2 -1)'edx 222 (!) 2 dx2e

sonucuna var ı l ı r. (x2-1) .Q nin 2k-kez türevi (2Z)! sabitini

verir; böylece

N . (2£)! jr1

(1 - x2

)11 dx

22£ (k!) 2

bulunur. Kalan integral kaba kuvvetle al ınabilir; fakat tüme varım yolu daha ekonomiktir. İ ntegral alt ındaki ifadeyi

(1-x2

)Q

= (1 - x2) (1 - x2 ) .e-1 = (1 x

2 )Q -1 +

x d(1-x2)e

2k. dx

ş eklinde yazal ım. Böylece

2£-1 (2£-1) 1 2 -e 1 N = ( ) N + • ir x d [(1 x ) j

2 k, Q-1 1 22£ (£1)

2

bulunur. Son terime parçal ı integrasyon uygulan ı rsa,

N ( 2£ ) N

2k 2£ N

2

114

yada

(2 2,+ 1) N = 1)N C-1 (3.20)

sonucuna var ı l ı r. Bu bağı ntı , (22. + 1)Ne nin den bağı ms ı z olduğunu gösterir. 12.= 0 için, P (x) = 1 ve dolay ısiyle N = 2 dir. Böylece N£ = 2/(2Q+ 1)'dir? Bunu göre diklik ko şulu

1 2

P (x)P (x)dx = on 2Q+ 1

(3.21)

biçiminde yaz ı labilir ve Kesim 2.8'deki anlamda birim boylu dik fonksiyonlar şunlardı r:

U (x) = + 1 P„(x) 2

(3.22)

Legendre çok -terimlileri dik fonksiyonlar ın bir tam cümle-sini oluş turduklar ı ndan, herhangi bir f(x) fonksiyonu -1 x

aral ığı nda bunlar cinsinden aç ı labilir. Bu Legendre seris ı temsili şöyledir:

4.0

f(x) = Aft(x)

(3.23)

Burada A- 2 Q. + 1

ff(x) Pn (x)dx 2 -1 Z

(3.24)

- İ

Şekil 3.2

115

dir. Örnek olarak, Şekil 3.2'de gösterilen fonksiyonu ele alal ı m:

f(x),= +1 x > O için

_-1 x < O için.

Bu durumda

2£ + 1 ı.o

[ f A e _- J ip (x) dx - ) Pay (x) d>1 o 2

dir. -etek (çift) için pe (x) tek (çift) olduğundan, sadece tek Q. katsayı ları s ı fı rdan farkl ıd ı r. Dolayısiyle tek ler için

ri A2 (22+ 1) ) P (x) dx (3.25)

o

bulunur. Rodrigues formülü arac ı lığı yle bu integral al ı nabilir ve şu sonuca ulaşı lı r:

A = ( - 1 ) (i-l) ı 2 (2e+1) (£-2)!! „ Z 2 £+ 1 2( )!

2

(3.26)

Burada (2n + 1)!! "=, (2n + 1)•(2n -1) ...5.3.1'dir. Böylece aş ağı daki f(x) serisi bulunur:

f(x) = 3 P (x)

7 P3(x) +

11 P5(x) - ... (3.27)

2 1 8 16

Farklı mertebeden Legendre çok-terimlileri aras ında çeş itli yineleme (recurrence)bağı ntı ları vardır; bunlar integralleri almada, düşük mertebeli çok-terimlilerden yüksek mertebelileri türetmede, v.s. de yararl ıdı r. RodriguEs formülünden gösterile-bilir ki

dPE+1

dP (2£ + 1) P = O

dx dx e (3.28)

dı r. Bu sonuç, (3.10) diferansiyel denklemiyle birleş tirilince, çeş itli yineleme formüllerine yol açar. Bunlardan birkaç ını yazal ı m:

116

( .e+ 1)p, +1 _ (2e+ 1) xPe + Pt_ ı = O

dP2 +1

dx x

dP2,

dx ( 2 + 1)132, = 0 (3.29)

(x2-1)--1-1.P£— Qx P +2 P = O 2-1 dx

Bu yineleme formüllerinin kullanı l ışı nı açı klamak için, aş ağı -daki integrali ele alal ı m:

L I = x P

lt (x)P (x) dx (3.30) -1

(3.29)'daki yineleme formüllerinin ilkinden xpri, için bir ifade buluruz. Böylece (3.30)

I - 1 J. PQ'

(x) (Q+1)PZ+1 (x) +JaP£-1 (x) dx 4+1 -1

haline gelir. Bu kez (3.21) diklik integrali kullan ı larak, Q'= £±. 1 olmad ı kça üstteki integralin s ı fı r olacağı ; ve bu değer-ler için ise

x PZ (x) P

£' (x)dx

-1

2(£+1)

, t = (224-1)(2Q+3)

(3.31)

(2Q-1)(2£+1)

olduğu gösterilebilir. £ ve nün rolleri değ iş tirildiğ inde de gerçekten ayn ı sonuç bulunur. Benzer olarak kolayca gösteri-lebilir ki

r2(e+1)(2+2)

e =.€+2

(3.32) ,Q; = t

5 1 x 2P,e(x)P (x)dx=l (2£+1)(2Q+3)(2C+5)

2(2e+ 22- 1)

(2e -1)(2£+1)(2&3)

2Q , t

dir; burada Z' varsayı lmış tı r.

117

3.3- Eksensel Simetrili S ınır-değer Problemleri

Küresel koordinatlarda Laplace denkleminin çözümünden görüleceği gibi, eksensel simetriye sahip bir problem için (3.5) ifadesinde m = 0- 1 d ır. Buna göre böyle bir problemin çözümü şöyledir:

(r-,E)) = + B r-(2+ ı ) j pe (cose) (3.33)

.ık,e, ve B£ katsayı ları s ı nır koşullar ı yard ımiyle saptanabilir. a yarıçapl ı küre yüzeyi üzerinde potansiyelin V(8) olarak belirtildiğini varsayal ım ve kürenin içindeki potansiyeli bulmak istiyelim. Ba ş langı ç noktas ında yük yoksa, potansiyel orada sonlu olmal ıdı r. Bu nedenle tüm e ler için B£ = 0 demek-tir. A2. katsayı ları nı bulmak için, (3.33) ifadesini küre yüzeyi üzerinde değ erlendiririz:

oo V(D) = :E: Aia

QP,Q(cosO)

2,0 (3.34)

Bu tam (3.23) türünde bir Legendre serisidir; dolayı siyle A katsayı ları şunlardı r:

ı c A —

22.4- v(9)P,,(cos8) sin9 de

2a o

(3.35)

Örneğ in V(0) Kesim 2.7'deki eş it ve karşı t potansiyelde tutulan iki yar ı -küreli duruma kar şı gelen fonksiyon ise, yani

V(9) = O G < Tç2

4t-44 < TC

ise; bu durumda katsay ı lar (3.27) dekilerle orant ı lıdı r. Dolayı siyle küre içindeki potansiyel ş öyledir:

(r,9) = V 3 r 7 r 3 Pi (cos 19)--8-(--) P ( e) 11(r)5p a 3 "s + -T-L -a- 5 ( cos 9) -

(3.36)

118

e Küre dışı ndaV potansiyeli bulmak için tek yapı lacak iş (r/a) yerine (a/r)'"+1 koymakt ı r. Çı kan potansiyelin (2.27) ile ayn ı olduğu görülür; sadece değ iş ik yoldan elde edilmi ş tir.

Sı nır koşullarınca saptanan katsayı ları ile birlikte (3.33) serisi, potansiyel için tek olan bir aç ı l ımdı r. Bunun tekliğ i bize ş öyle bir yöntem sağ lar: Sınırl ı bir bölgedeki, yani simetri ekseni üzerindeki potansiyel bilinirse, bundan potansiyel problemlerinin çözümleri elde edilebilir. Simetri ekseni üzerinde (3.33) şu hale gelir:

Olp(z = r) = ,r ( i+ı )] t=o -

(3.37)

Bu pozitif z'lerde geçerlidir. Negatif z' ler için her terim (-1) 51 ile çarpı lmal ıdı r. Ş imdi li[0(z) potansiyelini, herhangi bir yolla, simetri ekseni üzerindeki keyfi bir z noktas ında buldu-ğunuzu varsayı nı z. Eğer bu potansiyel fonksiyonu, bilinen katsayı larla, (3.37) biçiminde z(n

K= )r , nin kuvvet serisine

açı labilirse, o zaman her r I2- ve r kuvvetini pe(cose) ile çarparak uzayın herhangi bir noktas ı ndaki potansiyel çözümü elde edilir.

Okuyucunun belki canı s ı kı lacak ama biz yine eş it ve karşı t potansiyeldeki yar ı -küreler problemine dönelim. İ ki ayrı yoldan [(2.27) ve (3.36) problemin seri çözümünü zaten elde etmi ş tik. Ş imdi söylediğ imiz yöntem üçüncü yolu olu ş turmaktadır. Eksen üzerindeki bir nokta için

415(z r) = V 2

1 r

r jr2

-Fa2

- a2

. kapal ı ifadesini (2.22)J bulmuş tuk. Bu, a2 /r2 'nı n kuvvetlerine açı labilir:

1 ı (2 j ---7)r( j - a ) 2' = r)

xfr

(3.37) aç ı lımıyla karşı laş t ı rı ldığı nda, sadece tek değ erleri- nin (e= 2j- ı ) iş e karış tığı görülür. Dolay ı siyle küre dışı nda-ki tüm noktalarda geçerli olan çözüm

119

4)(r,8) =

j=ı

(-1)3' (2j- 1."(3- ) a 2j

() P2j-1(cos0)

dır. Bu da, daha önce elde etti ğ imiz (2.27) ve (3.36) ile aynı çözümdür.

x' 'deki birim noktasal yük taraf ından x 'de oluş turulan potansiyelin aç ı l ım ı da önemli bir aç ı lımdı r:

0.0

4

L+1 PQ (cosS)

\ L=0 r>

(3.38)

Burada r< (r› ), \-:"? ve 1 7:?lnün daha küçük (daha büyük) olan ı -dı r; )Ç ise -5-(4'ile x aras ındaki a;ıaiiir( Şekil 3.3'e bak ı nı z). Bu açı l ımı kanı tlayabilmek için önce eksenleri döndürerek 'yü z-ekseni üzerine getirelim. Bu durumda potansiyel Laplace denklemini sağlar, eksensel simetriye sahiptir ve x = noktas ı dışı nda, (3.33)'e göre seriye açı labilir:

1

A r2+ Bzr (L+1) ) P

k (cos8) - x =.

x noktas ı z-ekseni üzerinde ise, sağ-taraf (3.37)'ye indirge-nir; sol-taraf ise şu hale gelir:

1 1

T'<1 (r2+ri 2-2rr'cos)j) 1/2 Ir - r'l

Bunu seriye açarak, eksen üzerindeki 7<ger için 0.

1 ( ) Z

r > `=o r>

X Şekil 3.4- z-ekseni çevresine yerle ştirilmiş , merkezi

z = b'de bulunan ve toplam yükü q olan a yarıçaplı yük çemberi.

120

Şekil 3.3

z=r P

ifadesini buluruz. Art ı k eksen dışı ndaki noktalar için, (3.33) ve (3.37) , ye göre, her terimi sadece !e (cosÇ) ile çarpmak gerekir. Böylece (3.38) genel sonucu kan ı tlanmış olur.

Bir baş ka örnek, Ş ekil 3.4'deki gibi yerle ş tirilmi ş (z-ek-

121

senini eksen kabul eden ve merkezi z = b'de bulunan) a yar ı çap-11 bir dairesel yüzük üzerine düzgün biçimde dağı lmış toplam q yükünün oluş turacağı potansiyeldir. Simetri ekseni üzerinde al ınan bir P noktas ındaki potansiyel, q bölü AP uzakl ığı dı r (yine z = r yaz ı yoruz):

CD(z = r)

(r2 + c

2 - 2rc cosi«)

1/2

Burada c2 = tersi, için

(3.38)

-1 a2 + b2 ve o< = tan (a/b) , dir. AP uzakl ığı nın kullanı larak seriye aç ı labilir. Böylece r > c

(I)(z = r

oo

= q c e P (cosoO

rQ1-1

bulunur. r <:c için ise ifade ş öyledir:

(z = T) = q P (coso0

Art ık bu serinin her elemanını P (cos e) ile çarparak uzay ı n herhangi bir noktas ındaki potansiyel elde edilir:

oo r'2 (r,e) = q Pt(cosoĞ PL (cos0)

£=o r2+1

Burada r< (r5), r ve c'nin daha küçük (daha büyük) olan ıdı r.

3.4- Bir Konisel Oyukta ya da Sivri Bir Konisel Uç Dolay ın-da Alanların Davranışı

Çok daha karmaşı k sını r-değer problemlerine dönmeden önce, eksensel simetrili, fakat e n ın sadece s ı nırl ı bir bölgesinde tanıml ı bir problemi ele alal ım. Bu, Kesim 2.11 1 de tart ışı lan durumun üç-boyutlu benzeridir. 0 4 e L. , 0 4 o 4. 2•K ile sını rl ı açısal bölgenin, Ş ekil 3.57de görüldüğü gibi, iletken bir koni yüzeyi ile oluş turulduğunu varsayal ım. Bu bölge, r3 <T1V2 için, bir -1,1tkenin içine açı lmış derin bir konisel oyuk olarak düşünülebilir; (3 > TV2 için ise, uzay bölgesi,

122

sivri uçlu bir iletken koniyi sarmaktad ı r. Legendre diferansiyel denkleminin Kesim 3.2'deki i ş leniş i

burada değ iş iklik gerektirir. Eksensel simetri varsayı m ı nedeniyle (3.10) yine uygulanabilir; fakat ş imdi x = cos9 n ı n cosç34 xz: 1 bölgesinde sonlu ve tek-de ğerli çözümler aramak-tayı z:Ayrica 9 = iletken yüzeyi sabit potansiyelde bulundu-ğundan (bu sabiti s ı fı r alabiliriz), cos9 cinsinden olan çözüm, bu s ı nı r koşulunu sağlamak icin O da s ı f ı r olmal ıd ı r. x = l'de düzgün davranış istediğimizden, (3.11) ile yap ı ldığı gibi, x = 0 yerine x = l'de seri aç ı l ı m ı na baş vurmak yararl ıd ı r. Bu nedenle

- x) 2

değ iş kenini tan ı mlayı p, (3.10) Legendre denklemini bunun cinsinden a ş ağı daki hale getiririz:

d I- (1 )T ay L

dP 1

d ş + V(V+ 1)P = 0 (3.39)

Karışı klığ a yol açmamak için turada 2 yerine Nı konmuş tur. (3.2)udeki U(r)/r ışı nsal çözümlerine karşı gelen çözümler rv ve r 1)- ı dir.

Ş ekil 3.5

a

123

kuvvet serisi çözümünü (3.39)'da yerine koyduktan sonra, Irnin en düşük kuvvetinin katsay ı sını s ı fı ra eş itlediğ imizde oc= 0 olmas ı gerektiğini görürüz. Serideki ardaşı k katsayı lar aras ı n-daki yineleme bağı ntı s ı ise

a. 3+1 (j-V)(j+9+1) (3.40)

a. (j + 1) 2

dir. Ir. 0 (yani cos9 = 1) , de çözümü bire boyland ı rmak amaciyle ao = 1 seçersek,

p = ( -y) +1 ) ( -V) (V+1 ) (Y+1 ) (N)+2 ) 2 (3.41) V 1!1! 2! 2!

seri temsilini elde ederiz. Önce şunu gözleriz: Eğer Y s ı fı r ya da pozitif bir tam say ı ise, seri belirli bir terimde kesilir. Okuyucu, 'Y = Q, = için (3.41) serisinin kesinlikle (3.15) Legendre çok -terimlileri oldu ğunu doğrulaya-bilir. y 'nün tam say ıya eş it olmamas ı halinde, (3.41) bir genellemeyi gösterir; ve birinci tür ve v'yüncü mertebeden Legendre çok-terimlisi ad ı nı al ı r. (3.41) serisi 2F (a,b;c;z) hipergeometrik fonksiyonuna bir örnek olup, seri aç ı lı m ı ş öyledir:

ab z a(a+ ı )b(b+1) z F (a.b.c.z) = 1 + — — + 2 ı " ' c 1! c(c + 1) 2!

(3.41) ile karşı laş tırı ldığı nda, Legendre fonksiyonunun

2

Pv (x) = 2Fg (-V, U + 1; 1; 1 - x )

2 (3.42)

biçiminde yaz ı labileceğ i görülür. Burada tekrar al ış tığı mı z x = cos8 değ i şkenine döndük. Hipergeometrik fonksiyonları n özellikleri çok iyi bilinmektedir. (Bak: Morse ve Feshbach, Bölüm 5; Dennery ve Krzywicki. Kesim IV.16-18; Whittaker ve Watson, Bölüm XIV). 1),> (x) Legendre fonksiyonu x = l'de ve Ix1

1 için düzgün; fakat Y bir tam say ı olmad ıkça, x = -1'de tekil (singular)'dir. N!'nün değerine bağ lı olarak, lx I < 1

124

bölgesinde belirli sayıda s ı f ı ra sahiptir. Pj(x) çok-terimlisi lx1 41 için tane s ı fı ra sahip olduğuna göre, gerçel v'ler için, y büyüdükçe s ı fır sayı sı nın da artmas ı nı bekleriz. Üstelik aralı k üzerinde s ı fırlar aş ağı -yukar ı düzgün biçimde dağı lmış lardır. özel olarak, y büyüdükçe ilk s ı fır x = l'e doğru yaklaşı r.

Şekil 3.5' deki Laplace s ı nı r-değer probleminin temel Çözümü

, Ar PV (cos9)

d ı r; potansiyelin ba ş langıç noktas ı nda sonlu olmas ı için V>0 olmal ıdır. Potansiyelin tüm r'ler için 9 = da s ı fır olmas ı gereğ inden,

Py (cos(3) = 0 (3.43)

koşulunu buluruz. Bu, -9 üzerine konulan bir özde ğer koşuludur. Py 'nün s ı fı rlariyle ilgili olarak az önce söylediklerimizden anlaşı lacağı gibi, (3.43) sonsuz say ıda V= -Vk (k = 1,2,...) çözümüne sahiptir; bunlar ı artan büyüklük s ıras ı nda dizeriz. V= yi için x = cosp, p>(x)'in ilk s ı fı rıdır. V= V için x = co43, P-N5(x)'in ikinci s ı fı rıdı r. v.s...0 L 94.Gölgesinde — eksensel simetrili potansiyel için tam çözüm şudur :

oo

(r,9) = Akr. Pv (cos9) k=ı k

(3.44)

Kesim 2.11'in ruhuna uygun olarak, büyük r 'lerde konulan s ı nı r koşulları nı sağ layan tüm çözümle değ il de, potansiyel ve alanları n r = 0 dolayındaki genel davranış lariyle ilgilenmekte-yiz. Bu nedenle potansiyelin r = 0 yak ınındaki davranışı nı yaklaşı k olarak (3.44)qin ilk terimiyle gösterebiliriz:

(r,e)) (cos9) (3.45)

Burada V, (3.43)'ün en küçük köküdür. Elektrik alan ı bileş enle-ri ve konisel iletken üzerindeki yüzeysel yük yo ğunluğu ş öyle-dir:

Er

= -- V ArV-i P (cose)

n Rk(cos 0) fonksiyonlar ı n ı n cos/3 x < 1 aral ığı ndaki diklikleri, P L (cose) için izlenen yoldan gösterilebilir-bak. (3.17)-(3.19). Taml ı klar ı da göste-rilebilir.

125

E = ı 2,8 _Ar sin9 P' (cose)

r

(3.46)

1A ı) - ı Gir) = E 41-c 811913- 4 ı r r (cos(3)

Burada Pyüzerindeki üs, argümana göre türevi gösterir. Alanlar ve yük yoğunluğu, r -40 olurken r") 1 gibi değ i ş irler.

90 180 f3

Şekil 3.6- Py (cos(3)'nın ilk sı fırı için, (3 'nın (derece cinsinden) fonksiyonu olardk y mertete parametresi. o < O< 90° bölgesi bir konisel oyuğa karşı gelir; 90° 4 4 180° ise bir konisel ucu gösterir. r = o dolay ında alanlar ve yüzeysel yük yoğunluğu rV-- ile orantı lıdır. Kesikli eğriler, (3.48a) ve (3.48b) yaklaşı k ifadeleridir.

126

Pv (cos(3)'nın ilk s ı fı rı için v mertebesi, Ş ekil 3.6'da nın fonksiyonu olarak çizilmi ş tir. (3 « 1 için -J » 1 olduğu açıktı r. Bu bölgede y için yaklaşı k bir ifade, büyük -v 'ler ve 8 <1 için geçerli olap Bessel fonksiyonuna yakla ş tı rma yard ı - miyle elde edilebilir: )

Pv (cos0) = Jo ((2V+ 1) sin e (3.47) 2

Jo

(x)'in ilk s ı fı rı x = 2,405'dedir. Bu bize a ş ağı daki -s)11 yü verir:

9c-2 2 , 405 1 (3.48a)

2

1E1 ve o'niceliklerı r gibi değ iş tiklerinden, (3-ı 0 halinde konisel bir oyuğun dibinde çok küçük alanlar ve çok az yük vardır. P= 1V2 için konisel iletken bir düzlem haline gelir. Bu durumda V= 1 olup, beklendi ğ i gibi, cr oc 1' dir. > 7t/2 için geometri art ık bir konisel ucun geometrisidir. Bu halde v<1 olup, alanımı z r = 0 , da tekildir. (3-3.7t için ise N> oldukça yavaş bir biçimde sı f ı ra gider. (It -(0 'n ın küçük olmas ı halinde bir yaklaşı kl ı k şudur:

v [294-1 ( 2 ) Tr -

(3.48b)

Buna göre Ot -(3) c.-=10° için V .-20,2 ve (T - (3) m 1° için •ı> = 0,1' dir. Her durumda, dar bir konisel uç için, uca yak ın yerlerdeki alanlar r-114"e gibi değ iş irler; burada £. « 1 , dir. Uç nokta dolayında çok büyük alanlar vard ır. Bu tür uçlar ın paratonerlerdeki yararı Kesim 2.11'de tart ışı lmaktadı r.

Bu genel türden potansiyel problemleri üzerine geni ş bir tartış ma R.N.Hall, J.Appl.Phys. 20, 925(1949) makalesinde verilmektedir. Orada (3.43) denkleminin çok sayıda -.1>k kökü

için p'nı n fonksiyonu olarak grafikler vard ı r.

3.5- Bağlı Legendre Fonksiyonları ve Y. xm(0,0) Küresel

Harmonikleri

Şimdiye dek (3.33) biçiminde çözümlere sahip eksensel simetrili potansiyel problemleriyle u ğraş tık. 8' nın değ iş im bölgesi Kesim 3.4' deki gibi s ını rlanmad ıkça, bu çözümler sadece adi Legendre çok-terimlilerini içerirler. Bununla beraber, genel potansiyel problemi 96 değ iş imlerin sahiptir;

* Bessel fonksiyonlar ı Kesim 3.7 de tartışı lacaktı r.

127

dolayı siyle (3,5) ve (3.9)' da m O'd ır. Bu durumda P£(cosO) nı n genelle ş tirilmesine, yani (3.9)'un keyfi R, ve m içeren çözümlerine gereksinim duyar ı z. Temelde adi Legendre fonksiyon- ları için izlenen yöntemle gösterilebilir ki, -1 x L 1 aralığı nda sonlu çözümlere sahip olmak için parametresi sıfır ya da pozitif tür tam sayı olmalıdır ve m tam sayısı sadece -4 -(-2- 1),... O, 1), R, değ erlerini alabilir. Bu özelliklere sahip çözüme, ba ğ l ı Legendre fonksiyonu 41 (x) ad ı verilir ve pozitif m için şu formülle tan ımlanı r:*

m P1;(x) = (-1)m (1 -

x2)m/2 dm yx) (3.49)

dx

P£(x) için Rodrigues formülü kullan ı l ırsa, hem pozitif hem de negatif m için geçerli bir tanım elde edilir:

pm(x) (-1)m (1 x2 ) m/2 cı 2+rn

(x2

- 1) 2

(3.50)

2 £ 2

t!

dxFl-m

(3.9) diferansiyel denklemi sadece m 2 'ye bağ lı ve m bir tam sayı olduğundan, Pj (x) ve Pm (x) birbirleriyle orantı l ıdı r. Bunun

(3.51) (24m)!

ş eklinde olduğu gösterilebilir. Sabit m için Pri(x) fonksiyonlar ı , R indisine göre -1Z.x41

aral ığı nda dik bir cümle oluş tururlar. Legendre fonksiyonlar ıiçin izlenen yoldan diklik bağı nt ı s ı elde edilebilir:

ppx) = (-1)m (2-m ) ! pm(x)

f i m P (x)Pm (x)d 2 o E x = -1 A. 2f41

82: Q (3.52)

Laplace denkleminin çözümü, r,8 ve (1), değ iş kenlerinin her birine tek tek bağ lı üç fonksiyonun çarp ımı olarak yaz ı lmış tı . Oradaki açı sal çarpanları bir araya getirip, birim küre üzerin-de birim boylu dik fonksiyonlar kurmak yararl ıdı r. Biz bu i

fonksiyonlara küresel harmonikler adını vereceğ iz. Qm(<,6) = eimW

Po için faz seçimi, Magnus ve Oberhettinger ile E.0 Condon ve Theory of Atomic Spectra, Cambridge University Press (1953) kitab ı n-

daki seçimdir. Aç ı k ifadeler ve yineleme formülleri için Magnus ve Oberhet-tinger, sayfa 54'e bak ı n ı z.

Y - Q. 0

128

fonksiyonları , m indisine göre, 0 ‘..a1,444 21t aral ığı nda tam bir dik fonksiyonlar cümlesi olu ş tururlar. 13M2,(cos8) fonksiyonlar ı da, her m değ eri için 2 indisine göre -1 cose L 1 aral ığı nda benzer bir cümle meydana getirirler. Dolay ısiyle . 91 çarpımı , ,e ve m indislerinin her ikisine göre, birim küre

111

yüzeyi üzerinde tam bir dik cümle oluş turacakt ı r. (3.52) boyland ırma koşulundan ç ı karı labileceği gibi, Y(e ,0) ile gösterilen ve uygun ş ekilde bire boyland ı r ı lmış m fonksiyon-lar şunlardı r:

yim

(e _ vi 2)2+1 Ge-m)! ‘ Pm (cos9) eimel) 47v (k+m)!

(3.51) den görülebileceğ i gibi,

Y e _m (e, ci5) = (-1)my;m (e4) , dir. Boylandı rma ve diklik koşulları

2/td4,57sine deY2m,(C,4)Y2m(e, 4>) = S , gm'nt o o

(3.53)

(3.54)

(3.55)

biçiminde olup; taml ı k bağı nt ı sı ise, (2.35)'e eşdeğer olarak 00

2

XQm (9',0')Yul (935) = 45(')5(cose-cos9') (3.56) L=0 111.„_

ş eklindedir. Aş ağı daki tabloda, birkaç küçük 2 değeri ve m 0 için Y 2m (E4,4) , lerin açı k biçimleri görülmektedir. Negatif m ler için ise (3.54) kullan ı labilir.

Ykm (O ' 0) Küresel Harmonikleri

= ı Y 11 sin9 e341

%.1 83 •K

Y10 cos

Y31 =

Y30 =

sin8 (5 cos29 - 1) ei

5 3 3 cos8) ( cos - 2 2

m = 0 için şuna dikkatinizi çekelim;

YL0 (0,4) = 2e4.1

P (cose) 4'g

129

Y _ 1 . 2 24) &in 9 e 22 4 2'n

2= 2Y 15

21 = \ir t sıng cos8 ei+

Y20 3

k - COS2 9 - 2 2

= 3

Y = 1 35 sin3e

33 4 4TC

Y32 - ı 10 sn2 8 cos8 e2iclı 5 .

27i

(3.57)

Keyfi bir g(e, ı4o) fonksiyonu, küresel harmonikler cinsinden seriye açı labilir:

o. Q

g(04) = Aim it Ym (e 4))

(3.58)

Buradaki aç ı l ım katsayı ları şunlardı r:

ALm = dn. Y;bil (04) g(0,4)

Gelecek kesimde ilgileneceğ imiz konu, bu aç ı lımın A = O'daki biçimidir. Bunun için, (3.57) tan ı mı ile,

,?( 6,4>) 18=0 = Afi 0

(3.59)

130

buluruz; burada

Aio

= j- dil, P(cose) g (e,4>) (3.60) 41x

dir. Serideki m 0 , 11 tüm terimler 8 = 0 da s ı f ı r olmaktadı r. Sı nı r-değer probleminin küresel koordinatlardaki en genel

çözümü, küresel harmonikler ve r'nin kuvvetleri cinsinden yaz ı labilir:

00 CD(r,e,9S) y- [ N omr 4- 13,emr

Y2m ( 8 -(£4-1)

m=-R. ,4)) (3.61)

Bu, kuş kusuz (3.33)'ün genelle ş tirilmi ş idir. Eğ er potansiyeli-miz bir küresel yüzey üzerinde belirtilmi şse, (3.61) i bu yüzey üzerinde değerlendirip,(3.58)'i kullanarak katsay ı ları saptayabiliriz.

3.6- Küresel Harmonikler İçin Toplama Teoremi

Şimdi de küresel harmonikler için toplama teoremi ad ı nı alan oldukça ilginç ve kullan ış lı bir matematiksel sonuca değ ineceğ iz. Ş ekil 3.7'de görüldüğü gibi, küresel koordinatlar ı s ı rasiyle (r,8,4ı) ve (r',8',4Y) olan 3? ve yer vektörleri aras ı ndaki açı y olsun. Toplama teoremi, açı s ıyla ilgili Vyinci mertebeden bir Legendre çok-terimLisini (8,0) ve (e',41>') adlarına bağ lı küresel harmoniklerin çarpımları cinsinden ifade eder:

Ş ekil 3.7

P (cosX) = 4TC Y;m(9',4') Y,em (0,4') 2L+1 m=- .Q

(3.62)

131

2

Burada cos ö = cos9 cos8' + sin9 sinG' cos(0'7 ıP)'dür. Bu teoremi kanı tlamak için X!'' vektörünü sabit gibi dü şünelim. Bu durumda Pz(cosV çok-terimlisi, aç ı ları parametreler olmak üzere, sadece 9, q) açı ları nın bir fonksiyonu olur ve (3.58) serisine aç ı labilir:

P (cos) =

> A o, m Yi, m (9,4) (3.63)

r2 de9klemini sağ layacağı na dikkat ediniz; burada 7 bu yeni eksenlere göre Laplasiyendif. Ş idi eksenler Ş ekil 3.7'de görülen duruma döndürülürse, V' = V oldu ğu ve r'nin de değ iş mediğ i anlaşı l ı r. * Sonuç olarak pe(cos)f) gene (3.64) biçiminde bir denklem sağlar; yani Q 'yinci mertebeden bir küresel harmoniktir. Bu da onun sadece mertebeli YLm 'lerin bir çizgisel kar ışı m ı olduğu anlam ına gelir:

P (cos) =

Am (8' ,(k ) yzm (eAd)

(3.65)

m=-£ Am (9',0') katsay ı ları ise ş öyle verilir:

Am (8' 0') = f 4m (9,(P) P2 (cosX) dS1

(3.66)

Şimdi de bu katsayı yı geli ş tirelim. Bu katsayı , V4TV(Ze+ 1.)'Y*0 ,,, (9,0) fonksiyonunun Ytm ,(X,P

"- - —

(3.60) uyar ınca )'lar cinsinden

„ * Dönmeler alt ı nda V' 2

V2 degi ş mezli ğ inin en kolay ka

V . r''1 , [3, ir operatör skaler çarp ı m ı olup, tüm skaler alt ı nda de ğ i ş mez kalmaktad ı rlar.

n ı t ı ş udur: V2nl> =

çarp ı mlar dönmeler

Bunu (3.62) ile karşı laş t ı r ı nca, sadece =L 'li terimlerin varolduklar ı anlaşı l ı r. Bunun böyle olduğunu görmek için, eğer koordinat eksenleri vektörü z-ekseniyle çak ış acak biçimde seçilirse, rn ın bildiğ imiz kutupsal açı halinde geleceğ ine ve P.e(cosn ı n

7"2 P2(cos) + £(i+ ı)P (cos)ç) = 0 (3.64)

132

seriye açı l ı mındaki m' = 0 l ı terimin katsay ı s ı olarak düşünü-lebilir; burada Y t ,Of,pPlar, (3.64) ün ünlü eksenine göre yazı lmış harmonikl&dir. Böylece (3.59) ba ğı ntı sından yararla-nı p, sadece bir tek j2, değerinin var olmas ı nedeniyle, (3.66) katsay ı s ını

Am ( 8 ',g5 ') = 47" 2t .ı m 2 o

(3.67)

olarak buluruz. (X,(3)'nın fonksiyonlar ı olan (e4ı ) açı lar ı â =O (8',01 ) açı larına giderler. Böylece (3.62) tWama

teoremi kanı tlanm ış olur. Kimi kez bu teorem Ytm yerine Pt (cose)

Pf2 (cos¥) = Pt (cos8) PQ(cos49')

+ 2 (i-m )! m " Po (cos(9)(cos9')cos[m4-(1,' (3.68) m=1 (t+m)!

Eğ er ö açı s ı s ı f ı ra götürülürse, Yem ,

lerin kareleri için bir "toplam kural ı " elde edilir:

2. lYtm (9,0k)) -

2 2.Q.+ 1

m=-2 (3.69)

x' 'deki birim yükün x ->

de oluş turduğu potansiyelin (3.38) açı l ı m ını en genel biçimine sokmak için toplama teoremi kulla-nı labilir. (3.62) , deki PL(cos) aç ı l ımını (3.38) de yerine koyarak

00 Q

= 4n 1 r< K r2+1 Y£m (19 )Y2m (9, ,P(3.70) .e=o m=_:e 2e+ ı

ifadesini elde ederiz. Bu potansiyel ifadesinde x -> ve x' koordi

natlar ı na olan bağ l ı lı k tam anlamiyle ayr ı çarpanlar biçiminde - dir. Bu durum yük yoğunlukları v.b. üzerinden al ı nan integral-lerde büyük kolayl ı klar sağ lar; çünkü bu gibi integrallerde lerden biri integral değ iş keni ve diğeri ise gözlem noktas ı nı n koordinat ıdı r. Buna karşı l ık ödenecek ücret, bir tek terim yerine bir çift toplamla u ğraş makt ı r.

133

3.7- Silindirik Koordinatlarda Laplace Denklemi, BF'ssel Fonksiyonları

Şekil 3.8'de görülen (9,(,z) silindirik koordinatlar ı nda Laplace denklemi şu biçimi al ı r:

1 -301b 1 *-24?

-5,2 P --"b ? s>2 c1,2 "- z 2 °

Değ iş kenlerinin ayrı lmas ı için yerine

(3.71)

= R(? ) Q(4)Z(z) (3.72)

Şekil 3.8

konur. Bu, olağ an biçimde aş ağı daki üç adi diferansiyel denkle - me yol açar:

2 d Z - k2 Z= O

dz2

d2Q 2 N1 Q = 0

d4i 2R 1 dR »2d2 + (k

2 ) R = 0 j,f2 df

(3.73)

(3.74)

(3.75)

134

İ lk iki denklemin çözümleri basittir: kz

Z(z) = e ±

Q(4)) =

(3.76)

Tüm 4) bölgesi girilebilir iken potansiyel in tek değerli olmas ı için, v bir tam sayı olmal ıd ı r. Fakat z-doğrultusunda bir s ı nı r-koşulu koymadıkça, k parametresi keyfidir. Ş imdilik nın gerçel ve pozitif oldu ğunu varsayacağı z.

Işı nsal denklem x = ky değ iş ken değ iş tirmesiyle standart bir biçime sokulabilir:

d2R 1 dR + (1- 2

)R. O

dx2 x dx x

(3.77)

Bu Bessel denklemi olup, çözümlerine V'yüncü mertebeden Bessel fonksiyonları ad ı verilir. Bessel denklemi için

op R(x) = x°( axj

j=o 3 (3.78)

biçiminde bir kuvvet serisi çözümü varsay ı lı rsa, o zaman

c‹. +

(3.79)

ve j = 1,2,3,... için

a2j = 4j(j+0a2j-2 0

(3.80)

olduğu bulunur. xj 'nın tüm tek kuvvetleri s ı fır olan katsay ı la-ra sahiptir. (3.80) yineleme formülü kendi üzerinde kullan ı la kullan ı la

(-1)3('(0( 1.) a2i = ao . . 22j

,!]-( 3 +.<-1_1)

elde edilir. ao

katsayı s ı için al ışı lagelen seçim . a

o =u'cno‹,_ 1)] -1 dir. Buna göre, bulunan iki çözüm

(3.81)

135

" Jv(x) = ("') > (-1)7 ( x ) 2j

3=0 3!Pj+V+1) 2 (3.82)

J (x) = -v 2

(-l)j ( ) x 2j

(3.83)

j=0 iu-ki_v+ı ) 2

dir. Bu çözümlere, ±V>yüncü mertebeden birinci tür Bessel fonk-siyonları denir. Bu seriler x'in tüm sonlu değerleri için yakı nsaktırlar. Eğer y bir tam sayı değilse, bu iki J tv (x) çözümü, ikinci mertebeden olan Bessel diferansiyel denkleminin çizgisel bağı ms ı z bir çözüm çiftini olu ş tururlar. Bununla beraber, y bir tam say ı ise, bu çözümlerin çizgisel bağı mlı oldukları çok iyi bilinmektedir. Gerçekten de Y = m gibi bir tam sayı için, yukardaki seri gösteriminden görülece ği üzere,

J-m (x) = (-1) m Jm (x)

(3.84)

dir. Sonuç olarak, y bir tam say ı olduğunda, çizgisel bağı ms ı z bir çözüm daha bulmak gerekir. Bu nedenle, y bir tam say ı olmasa bile, Jtv (x) çifti yerine Jv (x) ve Nv(x) fonksiyonlar ını almak al ış kanl ık haline gelmi ş tir. Buradaki Nv(x) fonksiyonuna Neumann fonksiyonu (ya da ikinci tür Bessel fonksiyonu) denir:

J,,(x) cosVn- J..v(x) N ( Vx) = - sin v-rk

(3.85)

Tam sayı olmayan Y 'ler için, N v (x) in Jv (x)'den çizgisel bağı ms ı z olduğu açı kt ı r. -Y -Aptam say ı limitinde, N v (x)Iin JV (x)iden gene de çizgisel bağı ms ı z olduğu gösterilebilir. Umulduğu gibi, N v(x) fonksiyonu logx içerir. Seri temsili kaynak kitaplarında verilmektedir.

Hankel fonksiyonları denen üçüncü tür Bessel fonksiyonları Jv(x) ve N (x)'in çizgisel kar ışı mları olarak tanımlanı rlar:

H (Vi) (x) = Jv (x) + iN V (x)

H (V2) (x) = J

v(x) - iN

v(x)

(3.86)

Hankel fonksiyonları da, t ıpkı Jv (x) ve Nv (x) gibi, Bessel denklemi için temel bir çözüm cümlesi olu ş tururlar.

7t [141(2) + , -9= 0

1-7(v) ( 2 y# O

Nv(x)

(3.90)

136

( 2 Jy , Ny, H y1) , H (v ) fonksiyonlar ının tümü aş ağı daki yineleme formüllerini sağlarlar:

(x) + .0,v+1 X

(x) = - (x) V-1 v (3.87)

i= 2 (x) dDijx)

dx (3.88)

Burada 1.2.v (x) v'üncü merteteden silindir fonksiyonlar ı nın herhangi biridir. Bunlar do ğrudan doğruya (3.82) seri temsilin-den doğrulanabilir.

Kaynak olur düşüncesiyle, çeş itli türden Bessel fonksiyon-larının limit biçimlerini, değ işkenlerinin küçük ve büyük değerleri için vereceğiz. Sadece bask ın terimleri açıkça yazacağı z:

x <<.1 , Vx) 1 ( x ).V

J ( PV+1) 2

(3.89)

x

Bu formüllerde NPnün gerçel olduğu ve negatif olmadığı varsa-yı lmaktad ı r.

x » 1 , TC Jv cos (x — — ) VTc

2 4

N V (x) -3.1 2

sin (x x 2 4

TC (3.91)

Küçük x davran ışı ndan büyük x asimtotik biçimine geçi ş x") v bölgesinde olur.

(3.91) , deki asimtotik biçimlerden açı kça anlaşı lacağı gibi, her Bessel fonksiyonu sonsuz say ıda köke sahiptir. Biz daha çok Jv(x)iin kökleriyle ilgileneceğ iz:

J (xvn

) = O y n = 1,2,3,... (3.92)

137

xvn J,(x)'in n'yinci köküdür. 'nün ilk birkaç tam say ı ' . r .

degerı için, ilk uç kök şunlardı r:

V= 0 , xon

= 2,405 , 5,520 , 8,654 ,

V= 1 , x in = 3,832 7,016 , 10,173 ,

V= 2 ' x2n = 5,136 , 8,417 , 11,620 ,

Yüksek kökler için

xvn nn+ (V 2 2

asimtotik formülü, en az ı ndan üç basamak düzeyinde, yeterince kesindir. Köklerle ilgili tablolar, Jahnke, Einde ve Lösch (sayfa 194) ile Abramowitz ve Stegun (sayfa 409)'da verilmek-tedir.

Laplace denkleminin ışı nsal kı smının çözümünü Bessel fonksiyonlar ı cinsinden bulduğumuza göre, art ı k Bessel fonksi-yonlarının hangi anlamda dik ve tam bir fonksiyonlar cümlesi oluş turduklarını sorabiliriz. Sadece birinci tür Bessel fonksi-yonlarını ele alacağı z ve sabit VO, n 1,2, ... için g■ Jy (x v ?/a) fonksiyonlar ı nı n 0 L.; sş- L. a aral ığı nda bir dik cümle oluş turdukları nı göstereceğ iz. Gösterime Jy (xy n9/a) tara- fı ndan sağ lanan diferansiyel denklemle ba ş layacağı z:

1 d

P cip a

dj. (x t) 2

xvn v vn a

+ ( V22) jv (xvn —a = O

d y> 2

(3.93)

Bu denklemi fj.,> (x vn , 9/a) ile çarpıp O'dan a' ya dek integre edersek

(a (x o dj v (x Vna

)o Jy Vn'a'd? Y d?

2 a x

V - -n V

2 f)J (x ı' )d?= 0

d? So ( a

2 01-114)jV xvn'a v vna J

bağı ntı sını elde ederiz. (9J,,J,', )'nün Q= 0 ( 0 için) ve j>= a'da s ı fır olduğunu kulland ığı mı zda, parçaliintegrasyon bizi şu sonuca götürür:

138

dJ (x dJ (x -)

So a

d? d? V Vn'a v vna P d? + S

a ( -Z)?,1 (x f-)J (x = o

a2

f2 v vn'a V Vna )d? 0

Ş imdi ayni ifadeyi n ve n' yü değ iş tirerek yaz ı p taraf tarafa çı karı rsak diklik koşulunu elde ederiz:

(x2

- x2

) r a

PJ (x - ) J (x Vn Vn v vn' a v Vn

o ) dp = 0 (3.94)

(3.87) ve (3.88) yineleme formülleri ve diferansiyel denklem arac ı lığı yle boyland ı rma integrali

a 2 2

P J (-nn' S 5 ) (x)

V(x Vn d

a v vn ) d? = v+1 (x Vn ) (3.95)

o

olarak bulunabilir. Bessel fonksiyonlar ı cümlesinin tam oldu ğu-nu varsayarak, p'nun keyfi bir fonksiyonunu 0 < Q 4 a aral ı - ğı nda bir Fourier-Bessel serisine açabiliriz:

f(5>) = >-- AVnJV(xVn a n=ı

00 J>

Burada

2 o ?f(5>) Jv (xyn Ja:-) dp

2 2 Sa AVn =

a J (x ) V4-1 Vn

ş ekl ındedir. (3.96) y ı türeti ş imiz sını rlamas ı nı içermek- tedir. Gerçekte bunun tüm değ erleri için geçerli olduğu kanı tlanabilir.

(3.96) ve (3.97) açı l ımı , bildiğ imiz Fourier-Bessel serisi olup, özellikle 9= a da s ı f ır olan fonksiyonlara (örneğ in, bir silindir üzerinde Dirichlet s ını r koşullarına) uygundur (gelen kesime bakı nı z). Fakat dikkat edileceği gibi,4' Jy (yvn

A)/a) fonksiyonları cinsinden baş ka bir seri aç ı lımı da olasf-d ı r; burada y vn , [dJ„)(x)3/dx = 0 denkleminin n'yinci köküdür. Nedeni ise şffiur: Fonksiyonlar ın dikliğ ini kan ıtlarken tüm istenen, sadece ›. 0 ve 5-- a uç noktalar ı nda ?J,,(9■ ?)(d/d5)- J (W?) niceliğ inin s ı f ı r olmas ıdı r. Bu gereksinim ya 9l=x 1 vnıa

(3.96)

(3.97)

139

yada /a ile karşı lanı r; burada Jv(xv ) = 0 ve J,,(yyn ) = O'dı r. ' nrŞ J),(Yv 4/a) cümlesi cinsinden olan aç ı lım, özellikle, p= ada s ı fıl?. eğ imli fonksiyonlar için yararl ıdı r (Problem 3.10'a bakını z).

Fourier-Bessel serisi, Bessel fonksiyonlar ı nı içeren açı l ımlardan sadece biridir. Diğer olanaklardan baz ı ları ise NL...;Fann serisi Cn=o anJ v±n(z) , Kapteyn serisi

a J,((v+ n)z) ve Schlömilch serisi > a Jv (nx)] dir. n BIIİ=Reri%rin özellikleri üzerine ayr ıntı lı fgrtışı ma için, oku- yucuya, Watson'un XVI-XIX. Bölümleri sal ı k verilebilir. Geze-genlerin Kepler hareketi ve h ı zlı hareket eden yüklerin ışı mas ı tartış malarında Kapteyn serisi ortaya ç ı kar (Problem 14.7 ve 14.8'e bakı nı z).

Bessel fonksiyonlar ının özelliklerini bırakmadan önce şuna dikkat edilmeLlidir. Eğer Laplçe denkleminin ayrı lmas ı nda, (3.73) deki k ay ırma sabiti -k olarak al ınmış olsaydı , Z(z) çözümü sinkz ya da cos kz olur ve R( .5) ) denklemi de

d2R 1 dR 2 v2 + (k + ) R = 0

d? 9 5) 2- d5

biçimine girerdi. ksı = x diyerek, bu denklem

(3.98)

d2R 1 dR 'N)2

(1 + ) R= 0 (3.99) 2 x dx dx x

2

haline getirilir. Bu denklemin çözümleri düzeltilmiş Possel fonksiyonları adını al ı r. Bunları n saf sanal argümanl ı Bessel fonksiyonlar ı olduklar ı açı kt ı r. Çizgisel bağı msı z çözümlerin al ışı lagelmiş seçimleri I v (x) ve K

v(x) olarak gösterilir.

Bunlar

Iv(x) = i v Jv(ix)

V K v (x) = R 4V+i. (1) (ix)

---

(3.100)

(3.101)

biçiminde tanı mlanırlar ve gerçel x ve V için gerçel fonksiyon - lardır. Bunlar ın küçük ve büyük x değerleri için davran ış biçimleri, gerçel y > O varsay ı mı altı nda ş öyledir:

x « 1 , I (x) --> ( x v r(v+ 1) 2

(3.102)

, v= 0 (3.102)

•V 0 (3.103)

+ O (--L-)

+ 0(—)1 (3.104)

Lgn(-;,-) + 0,5772 KV (x)

2

x » 1 , V I (x)--). 1

ex

K (x) e x

140

3.8- Silindirik Koordinatlarda S ınır-değer Problemleri

Silindirik koordinatlarda Laplace denkleminin çözümü 4). R(P)Q(4)Z(z) dir; buradaki ayr ı ayr ı çarpanlar önceki kesimde verilmi ş lerdir. Ş imdi Ş ekil 3.9' da görülen özel s ı nır-değ er problemini ele alal ım. Silindirin yar ı çapı a ve yüksekliği L olup, üst ve alt yüzleri z = L ve z = 0' da bulunmaktad ı r. Silindirin yan ve alt yüzleri üzerinde potansiyel s ı fırdı r; üst yüzü ise 4>= V(p,O) gibi bir potansiyele sahiptir. Silindir içindeki herhangi bir noktada potansiyeli bulmak istiyoruz. ('nin tek değerli olmas ı ve z = O'da s ı fır etmesi için

= A sin m4i+ B cos m4 (3.105)

Z(z) = sinh kz

olmal ıdı r; burada y= m bir tam say ı , k ise saptanacak olan bir sabittir.

Işı nsal çarpan R (Ç)) = CJm (k5)) + D Nm (k?) (3.106)

biçimindedir. Potansiyel p= O'da sonlu ise, D = O'd ı r. Potan-siyelin f>. a'da s ı fı r olma gereksinimi, k'yı sadece aş ağı daki özel değerlere s ın ı rlar:

x kmn

= mn n = 1 2 3, (3.107) a

Burada • xmu m

(x mn - ) O' ın kökleridir. ı

Bu koşulların tümünü birleş tirince, çözümün genel biçimini

141

Şekil 3.9

00 00

4)(?,+,Z) => > Jm (kmn f)Sinh(krnn Z){A ronSinrn4 -1- Bmncos41 m=o n=-1

(3.108)

ş eklinde buluruz. z = L'de potansiyel V(?,4i) olarak verilmi ş ti. Dolayı siyle

V(1),0) = sinh(kmn

L)Jm

(k mn

9) A mn

sinr4 mn

+ B cos my6] m,n

yazabiliriz. Bu, g5 , ye göre bir Fourier serisi, p'ya göre ise bir Fourier-Bessel serisidir. Katsay ı lar, (2.37) ve (3.97) ._ den,

2 cosech(k L)

Amn mn /,

d0 s: dp ?v(?,(pJm (kmn? )sin mck - 2 2 Tta Jm+ ı (kmn

a)

(3.109)

2cosech(kmnL)

Bmn

Tta2J

2 (k a) m+ı mn

102/ dy5 Sao d? ?V(?,9S)3m (knin?)cos nts6

olarak bulunur; sadece

(3.108) aç ı lmı nı n

seride m = o için ±- B yazmal ı yı z. 2 °"

özel biçimi, potansiyelin keyfi fı için

142

z = O'da ve keyfi z için ?= a'da s ı fı r olma gereksiniminden ortaya çıkmış tı . Bu açı lım, farklı s ın ır koşulları nda farkl ı biçimler alacakt ı r. Potansiyelin üst ve alt yüzeylerde s ı fıra ve yan yüzeyde V( , ,z) , ye eş it olmas ı örneği, Problem 3.8 olarak okuyucuya bı rakı lmaktad ı r.

(3.108)'deki Fourier-Bessel serisi, p'nun O 4 ? G a gibi sonlu bir aral ığı için uygundur. a-5 oo yap ı l ı rsa, bu seri bir integrale dönüşür; tıpkı bir trigonometrik Fourier serisinden bir Fourier integraline geçildiğ i gibi. Örneğ in, yük olmayan uzayda potansiyel z > 0 için sonlu ve oo için s ı fır ise, z>. 0 bölgesinde çözümün genel biçimi

oo oo q(?4,z) = ZSodk e kzJil(lk?) [Am (k) sinmt. + B (k)cos mcpi

(3.110)

olmal ıdır. Eğer potansiyel tüm z = 0 düzleminde V( ?,ctı) olarak verilmi ş se, katsayı lar aş ağı daki bağı nt ı yardımiyle saptanabi-lirler:

oo coo V(?,(P) = j

o dkJ

m (k?) m (k) sin rrigı + B

m(k) cos msfı>1

O'ye göre değ iş im tam bir Fourier serisidir. Bu nedenle A m (k) ve B (k) katsayı ları ayr ı ayr ı şu integral bağı nt ı larla

roo 1

V(?,(1)) csoi: m( m1) d4, = )0Jm ck r

Am (k' )

Bm(k') dk'

(3.111)

Birinci türden olan bu ışı nsal integral denklemler, Hankel dönfişümlerini içerdiklerinden, kolayl ıkla çözülebilirler. Bu amaçla

oo x Jm (kx)Jm (klx) dx =

1 k g(k ' - k) (3.112)

integral bağı ntı sından yararlanı labilir. (3.111) denkleminin her iki yan ını fJ (k?) ile çarpıp püzerinden integre ettikten sonra (3.112) ' yi mkullanı rsak, katsayı ları , z = 0 düzleminin tüm alanı üzerinden al ınan aşağı daki integrallerle saptamış oluruz:

m=o

'n )-X'--3(1 = 4 £

.0 vol. ,~t 22+1

1 2' ro+1

143

A (k) °° zn

m jr dsı f cicf> V( ?,q))Jm (k?) Bm (k) o 0

sin mc1)

cos m ıl) (3.113)

Alışı ldığı gibi, (3.110) serisinde m = 0 için 2- Bo (k) kullan-mal ı yı z.

3.9-Green Fonksiyonlarının Küresel Koordinatlarda Aç ı lımı

Potansiyelin s ı nı r değ erleri yanında yük dağı lımlarını da içeren problemleri (yani Poisson denkleminin çözümlerini) ele almak için, uygun s ınır koşullarını sağlayan G(x) Green fonksiyonunu saptamak gerekir. Bu sınır koşulları , daha çok ayrı labilen koordinat sistemlerinin yüzeyleri üzerinde, örne ğ in küresel ya da silindirik s ınırlarda belirtilirler. Bu durumda Green fonksiyonunu, sözkonusu koordinatlara uygun fonksiyonla-rı n çarpımları nı n bir serisi olarak ifade etmek yararl ıdı r. Bu açı lım tipini önce küresel koordinatlarda anlatacağı z.

Sonsuzdaki yüzeyler d ışı nda s ını r yüzeyi içermeyen hallerde Green fonksiyonunun aç ı lımı daha önce (3.70) biçiminde zaten elde edilmi ş ti:

Ş imdi de r = a'da bir küresel s ını ra sahip "d ış bölge" proble-mine uygun Green fonksiyonu için benzer bir aç ı lım elde etmek istediğ imizi varsayal ım. Sonucu, (2.16)'daki görüntü biçimli Green fonksiyonundan hemen bulab ıliriz. (2.16) , daki her iki terim için (3.70) aç ı lımını kullanarak

) = 4'11

r e , 2 a x+1 3f I 1

r2+1 a rr t m

(3.114)

ifadesini elde ederiz. (3.114)'ün yapı sını açıkça görmek ve s ı nı r koşullar ını sağ ladığı nı doğrulamak için, ışı nsal çarpan-ları r G;r.' ve r > r' için ayrı ayrı yazal ı m:

ı ( a2 )12+1 a22+1

' r r

(3.11

'

5)

, r ). r'

rl 2.+1

1

rt+1

2 a22+1 [

a rr'

C r re+1 r

{

rQ

144

Herş eyden önce şuna dikkat edelim: Ya r ya da r' anya e ş it olunca, ışı nsal çarpan sı fı r olur. Ayni şekilde, r ya da

o, olurken, ışı nsal çarpan gene s ı f ır olur. r ve r''ye göre simetriktir. Sabit bir r' de ğeri için r nin fonksiyonu olarak bakı ldığı nda, ışı nsal çarpan, Laplace denkleminin (3.7) ışı nsal

- kısmının (t+1) ve r çözümlerinin bir çizgisel kar ışı mıdı r. Fakat bunun t < r' ve r > r' için farkl ı bir çizgisel kar ışı m olduğunu itiraf edelim. Nedeni a ş ağı da açı klığ a kavuş acaktı r; ama ş imdiden şu kadarı nı söyleyelim ki bu, Green fonksiyonumu- zun delta fonksiyonlu Poisson denkleminin bir çözümü olmasiyle ilgilidir.

Bir Green fonksiyonunun ayr ı labilen koordinatlardaki aç ı lı - mı nın genel yap ı s ını gördükten sonra, ş imdi ilk ilkelerden baş layarak bu gibi aç ı lımların sistemli bir biçimde kurulu ş la- rı na geçebiliriz. Bir potansiyel problemi için Green fonksiyonu

-4, V2 G(x,x') =-41"(0(x - x') (3.116)

denklemini sağlar x' için s ı nır yüzeyleri açı lım istiyoruz fonksiyonunun

; burada S sınır yüzeyi üzerindeki x ya da = 0 s ı nı r koşulları sözkonusudur. Küresel halinde, (3.114) genel biçimine sahip bir . Bu nedenle küresel koordinatlarda delta

) = 12 S(r-r' )8(cos8 - cose' ) r

biçimindeki yaz ımı ndan yararlanı rH ; açısal kısmını göstermek için de (3.56) taml ı k bağı nt ı sını kullanı rı z. Böylece S-fonk-siyonunu şöyle buluruz:

x 8(7- 7') . S(x ı -x') S( x 22 -xt) S(x33 -x') fonksiyonunu ' ı (x1'

x2'

x3) 'e J(x.;In

i. Jacobiyeniyle ba ğ l ı olan (1;1 , 2 ,I) 3koordinatlar ı cinsinden ifade

etmek için, anlaml ı yce li ğ in .?.k>- -PY d x oldu ğ una dikkat ederiz. Bu durumda S(7L7') . 8(' -'') ■ (''-...') 8N- -r ), dür. Problem . J(x.,.)1 ı ı 2 2 3 3 1.2'ye bak ı n ı z. ı ı

145

o. 2 8( ı ) = 1 S (r-r') > Y2m (9 , ,(1) , )Y011 (9,4) (3.117)

r2 o m=-£

Green fonksiyonunu ise, X''in fonksiyonu gibi dü şünerek

00

= Aem(rW,014')Y2m (8,) (3.118) .e=o m=-£

biçiminde seriye açabiliriz. (3.117) ve (3.118)' i (3.116) da yerine koyduğumuzda şu sonuçlara ulaşı rı z:

Aızni (r ı r',8',4)') = gfl (r,r')Y;ni (9 1 ,4>') (3.119)

1 d2

r dr2 [rg.e (r,r')] g(i21) g(r,r , ) 2 S(r-r')

r2 (3.120)

Işı nsal Green fonksiyonunun r r' için (3.7) deki homojen ışı nsal denklemi sağ ladığı görülmektedir. Dolayı siyle ışı nsal Green fonksiyonu

Ar + Br- 1 r r' için g£(r

'r') =

'r .e+ B'r-(Q+1)

r > r' için

biçiminde yaz ı labilir. A, B, A', B' katsay ı ları r' ün fonksi-yonlar ı olup; sinir koşulları , (3.120)' deki 8(r-r')' nün getirdiğ i koşul ve g2 (r,r')'nün r ve r'ye göre olan simetrisi ile saptanacaklardı r. Ş imdi s ı nı r yüzeylerinin r = a ve r = b deki eş -merkezli küreler olduklar ını varsayal ım. Yüzey üzerin-deki x'ler için G( -2',.)'nün s ı fı r olmas ı , g Q (r,r')'nün r = a ve r = b için s ı fı r olmas ı nı gerektirir. Bu nedenle g ,e(r,r 1 )

a2e+1

A r P , r < r' g (r,r') = )

(3.121) , 1 r )

r-£±1 b2 Q +1 r > r '

haline gelir. r ve r' ye göre olan simetriklik, A(r') ve

146

13'(r') katsayı lar ı n ı öyle bir ş ekle s ı nı rlar ki g_e(r,r')

2k+1 t

g (r r') = C(re a

_.. ) ( 1 ›)

t ' < r9"4-1 re+1 b22+1

< >

(3.122)

biçiminde yaz ı labilsin; burada rz (r5 ), r ve r' nün daha küçük (daha büyük) olan ıdı r. C sabitini saptamak için (3.120)'deki delta fonksiyonunun etkisini i ş e katmal ı yı z. (3.120)' nin her iki yan ı nı r ile çarp ıp r = r' dam r = r'+£, 7 a kadar (burada C çok küçüktür) integre edersek

d [ rg .e(r,r

dr d r

lrgL(r,r')]3'r ,_E = - r'

(3.123)

bağı nt ı s ı n ı elde ederiz. Buna göre, Ş ekil 3.10'da gösterildiğ i gibi, rg£ fonksiyonunun eğ imi r = r' de bir süreksizliğ e sahiptir.

r = r' +E için r> = r ve r,4 = r' dür. Dolay ısiyle

k4F [rg.e (r,r') 1'

r'+E = C(r' 2 a2e+1

) dr [d (1 r

Q+1

r' Q.+1 'rt b ' --27t7i- r=r'

:-..:--F' l

_q„) 2Q+1 [_i.. (+1)(I. 2 2+1 c

d [rg (r

Q ' r'-E = C i+1+£(.)2L+1

r' fr2Q+1 'b'

dr

dir. Bu türevleri (3.123) de yerlerine koyarak C'yi buluruz:

dir. Benzer olarak

C - 4 -fç (3.124)

(2e+1)[i - (b) 221 (3.124), (3.122), (3.119) ve (3.118) denklemlerinin birle ş ti-rilmesi, r = a ve r = b ile s ı nı rl ı küresel bir kabuk için Green fonksiyonunun aç ı l ı mını verir:

147

roi(r,e)

r'

Şekil 3.10- Işı nsal Green fonksiyonunun eğimindeki süreksizlik.

yPm (01

' e. a 1 0 , )) (e ) 22+1 T 2

/ )

=o m=- (2Q+1) [1- (q;) - -' 1]

(r. - T(2-1-1 ( T.52 +1 1,1 2+1

(3.125) a-4.0,b-›00özel hali için daha önceki (3.70) aç ı lımını yeniden buluruz; b-*00 özel hali ise bize (3.114) açı lımı nı verir. b yarı çaplı bir küresel yüzeyin "iç' bölge"sindeki potansiyel problemi için, sadece a ---> 0 yapmam ı z yetecektir. Tek küre halindeki açı l ım çok kolay bir biçimde görüntü çözümünden elde edilebilmekle birlikte, küresel bir kabuk için (3.125) genel sonucunu görüntü yükleri yöntemiyle elde etmek oldukça zordur; çünkü bu durum sonsuz say ıda görüntü yükü içerir.

3.10- Potansiyel Prohlemlerinin Küresel Green Fonksiyonu Açılımiyle Çözümü

S ı nır yüzeyi üzerinde potansiyelin de ğerleri verilmek koşuluyla Poisson denkleminin genel çözümü şudur (bak: Kesim 1.10):

4), ( -›.() )d 3x' 5(1■(>- ' ) da' 47r S ""n' (3.126)

Örnekle anlatmak amac ıyle, b yar ıçapli bir kürenin içindeki potansiyeli ele alal ım. Önce (3.126)'daki yüzey integralinin, Kesim 3.5'deki yönteme, yani (3.61) ve (3.58) denklemlerine eşdeğer olduğunu göstereceğ iz. (3.125) , de a = 0 koyduktan sonra yüzeye dik türevini al ı p, sonucu r' = b'de değerlendirir-sek şunu buluruz:

r

G (3t, ) = 4Tt

148

G I 4Tc r x "bn' - I r'=b = -5) Y (e' '4 ') Y- (9 ' 4)) b2 2,m 2m £m

(3.127)

Böylece, yüzey üzerinde potansiyel Gb. V(0',93') ş eklinde verilmek koşuluyla, Laplace denkleminin r = b küresi içindeki çözümü, (3.126) uyarınca ş öyledir:

,

cl:>(7) = ZSv(+31,t-k km

)y (e' ' )dft (t)Q. y sem (94) (3.128)

e,rn

Diğer taraftan, burada sözkonusu olan b yar ıçapl ı kürenin içi için (3.61) çözümünde B2 = 0 olup, A katsay ı ları (3.58) ile verilmektedir. Böylece '3.128) ile -(9.61) çözümlerinin ayni biçime sahip oldukları gösterilmiş olur. Küre için, Poisson integrali adını alan (2.19) biçiminde üçüncü bir çözüm tipi daha vardır. Bu çözüm de Green fonksiyonu aç ı lım çözümüne eşdeğerdir. Bunu anlamak için, her ikisinin de (3.126) genel ifadesinden ve görüntü Green fonksiyonundan türetildi ğ ini anımsamak yeter. (2.19) integral çözümü ile (3.61) seri çözümü arasındaki eşdeğerliliğin açık gösterimi ise problemlere bı rakı lacaktı r.

Art ı k dikkatimizi hacim içerisinde yük dağı lımları bulunan problemlere çevirebiliriz; bu durumda (3.126) ' daki hacim integrali iş e karış acakt ır. Sı nı r yüzeyleri üzerinde potansiye - lin s ı fır olduğu problemleri ele almak yetecektir. Çünkü gerektiğinde Laplace denkleminin bir çözümünü çizgisel olarak ekliyerek genel durumu elde edebiliriz. İ lk örnek olarak, b yarı çaplı , içi boş , topraklanm ış bir küre ve bunun içinde toplam yükü Q olan a yar ı çapl ı eş-merkezli bir yük halkas ı problemini ele alal ım. Yük halkas ı , Şekil 3.11'de görüldüğü gibi, x-y düzlemine yerleş tirilmiş olsun. Halkan ın yük yoğun-luğu, açı ve yar ı çapa göre delta fonksiyonlar ı yardımiyle

j>(;) = Q, 8(r' - a) 8(cos8') (3.129) 21ca'

biçiminde yaz ı labilir. Green fonksiyonu üzerinden al ı nan hacim integralinde, eksensel simetri nedeniyle, (3.125) , in sadece m= 0'11 terimleri arta kal ırlar. Öte yandan (3.57) kullan ı lı r ve (3.125) ı de a -+.0 yapı lacağı anımsanı rsa,

=S?()7 1 ) G(),-Xş1)d3x,

149

Şekil

OD

3.11-

P2 (0)

içinde yük

r<e

b yarıçaplı toplam yükü

halkası .

[

topraklanmış iletken küre Q olan a yarıçaplı

P,e (cos(9) (3.130) Q r £1-1 22,+1

)2=0

bulunur; bu kez r<(r > ), r ve a'nın daha küçük (daha büyük) olan ıd ır. P2n+z(0) = 0 ve P (0) = (-1) n (2n-1)!!/2nn!olduğu kullan ı larak, ı i.130) ifadesi 2n

^(x) = 2n n!

r (-1) n (2n-1)!! 2n 1 r2n

< r2n+1 2i1.>-1.:.7.3: P2n (cos8)

n=o b > (3.131)

biçiminde yaz ı labilir. b-4 oc› limitinde (3.130) ya da (3.131) ifadesinin, Kesim 3.3'ün sonunda bo ş uzaydaki bir yük halkas ı için ç ı karı lan ifadeye indirgendiğ i görülecektir. Bu sonucu ve küre ile ilgili görüntü yöntemini kullanarak dayukardakiifadeyi elde etmek olas ıdı r.

Yük yoğunlukları için vereceğ imiz ikinci örnek Ş ekil 3.12 de görülmektedir: içi boş , topraklanm ış bir iletken küre ve bu kürenin kuzey ile güney kutuplar ı aras ında z-ekseni boyunca düzgün dağı lmış ve toplam ı Q olan çizgisel yük. Bu yük dağı l ımı da, gene delta fonksiyonlar ı nı n yard ımiyle hacimsel yük yoğun-luğu olarak

- Q 1 , L&cos9' - 1) + 6(cose' + 1)]

(3.132) 2b 2Txr'L

çizgisel yojunluk Q /2b

150

biçiminde yaz ı labilir. Cose'ya göre yaz ı lmış olan iki delta fonksiyonu, çizgisel yükün x-y düzlemi üspindeki ve alt ı ndaki yarı larına karşı gelir. Paydadaki 2'nr' çarpan ı ise, yük dağı l ı mı nın Q/2b değerli sabit bir çizgisel yoğunluğ a sahip olmas ını garantiler. Bu yoğunluk ile (3.126) 'dan şunu elde ederiz:

Şekil 3.12- b yarıçaplı , topraklanmış iletken bir küre kabuğu içinde, uzunluğu 2b ve toplamı Q olan düzgün çizgisel yük.

6

r e 0i5(3n= [P2 (1)+P2 (-1)] o r

P (cos8) fr 2 ( ) dr' 2b i=0 < 2+1

(3.133)

Buradaki integral 0.0 r'L'..r ve rL.ri Z. b aral ıklarına ayrı l - mal ıdı r. Bu durumda ----

( 1 ce r 6

'Q

f = So r 2+1 22+1 ) .4) x"-- dr' + r (r£+1 b22+ ı ) dr'

22+1 [ 1 - r

2(Q+1) (3.134)

151

sonucunu buluruz. Bu sonuç 2= 0 için belirsizdir. Hospital kuralı n ı uygulayarak, sadece .e= O için, üstteki integralin değerini aş ağı daki gibi elde ederiz:

Cl (1--1 d fb = lin] d2 b

= lim d ,e2n(r/b) = 241(.1).-)

° - dQ e -e->o d 2-¥o

(£) dQ (3.135)

(3.133)'deki integrali Q= 0 için doğrudan doğruyaalarak da bu sonucu doğrulayabilirsiniz. Pt(-1) = (-1)' olgusu kullan ı la-rak, (3.133) potansiyeli şu biçime sokulabilir:

2j(2j+ı ) b 4j+1 {1_,(r.)21_

23 (cos0)

=1 (3.136)

= O için logaritman ın varl ığı , potansiyelin z-ekseni boyunca ı raksayacağı nı anımsatır. Bu durum (3.136) serisinde kendini gösterir; çünkü tam r = b olmad ığı sürece, bu seri cos = ±1 için gerçekten ı raksar.

Topraklanm ış kürenin üzerindeki yüzeysel yük yoğunluğu, (3.136)'nı n türevi al ı narak elde edilir:

00

41T ir=b 4Trb2

Q [ 1 + 4j+ ı j=ı 2j+ ı 23 .(cos 19) P

cr ( 9 ) = 1 = I

(3.137)

İ lk terim, küre üzerinde olu ş an toplam yükün -Q olduğunu gösterir; di ğer terimlerin küre yüzeyi üzerinden al ı nan integ-ralleri s ı fı r verirler.

3.11- Silindirik Koordinatlarda Green Fonksiyonlar ının Açı lımı

Birim noktasal yükün oluş turduğu potansiyelin silindirik koordinatlardaki aç ı l ımı , Green fonksiyonu aç ı l ımlar ına bir başka yararl ı örnektir. İ lk basamakları yeterince genel biçimde vereceğ iz ki, bu yöntem, silindirik s ı nı r yüzeyli potansiyel problemleri için Green fonksiyonlar ını bulmaya kolayl ı kla uyarlanabilsin. Ba ş lama noktas ı , Green fonksiyonunun sağ ladığı denklemdir:

152

V2 G(x

-> -› =

ç. o(5)-5) , ) 8(4-4) ı ) Scz—z' ı x (3.138)

Burada delta fonksiyonu silindirik koordinatlarda ifade edil-miş tir. c ve z delta fonksiyonlar ı , birim boylu dik fonksiyon-lar cinsinden şöyle yaz ı labilir:

00

cS(z-z') = 1

dk eik(z-z') = j C dk cos[k(z-z1 Tc o

- OD

(3.139) s Z°° eı m ( -1 ' )

m=-oo

Green fonksiyonunu da benzer biçimde açabiliriz:

_ 12 > dk e im("i)cos[k(z-z1 gm (p,91 ) 2Tt m=-00 o

(3.140)

Bunlar ın (3.138)'de yerlerine konmas ı , gm ( ? 'J Ç5 ışı nsal Green fonksiyonu için bir denkleme yol açar:

dg 1 d 2 m2

d

47c ( ) (k + - 2 ) gm = - s-T-0( ?' ) ( 3.141) 5--) -

Bu denklem, f> .7 1 için, I (kp) ve K (k?) düzeltilmi ş Bessel fonksiyonlarının sağ ladığı m(3.98) defficleminin ta kendisidir. Şimdi '4(k?)IM ve Km' nin f) <:?' için doğru s ını r koşulları n ı

' .

gerçekleyen bir çizgı sel karışı m ı ; 1P2 (k.p) ise j) ;.?' için uygun s ınır koşulları nı gerçekleyen bir çizgisel ba ğı ms ı z karışı mı olsun. Green fonksiyonunun p ve ye göre olan simetrisi

gm (9,5>') = 1-kı (kf.>( )1(kp,5) (3.142)

olmas ı nı gerektirir. (3.141)'deki delta fonksiyonu, eğ imde

+ 00

d Q d.? P'

477

(3.143)

gibi bir süreksizliğe yol açar; bunun yard ı miyle '4!;1112 çarpımı -

dgm dgm

d [p ı x ı „ dy

dx + g(x)y = 0 dx (3.145)

153

nı n boylandı r ı lmas ı saptan ı r; burada I, i ş areti değ erlendirme-nin 5)= 'da yapı ldığı nı belirtir.(3.142)'den

dgm

d 5) 14. ds) = k(15]:45 — '11)2 1.K) = kwEtli,elp21 (3.144)

olduğu açı ktır; burada üs iş aretleri argümana göre türevi ifade eder; WN,I r4/2-1 ise n4,1 ve `t.' 2 'nin Wronskiyenidir. (3.141) denklemi, Sturm-Liouville tı pinden bir denklemdir:

Böyle bir denklemin çizgisel bağı ms ı z iki çözümünün Wronskiye-ninin [l/p(x)j ile orant ı l ı olduğu bilinmektedir. Böylece y_ nün tüm değerleri için (3.143)' ün sağ lanma olanağı güvence altı na al ı nmış olur. Açı kça görüldüğü gibi, 1. 1 1,1) 2 çarpımı nı öylesine boyland ı rmallyı z ki Wronskiyen

W N(x) , ^4,5(x)] = 4" (3.146)

değerine sahip olsun. Hiç bir s ını r yüzeyi yoksa, g (9,9')'nün Q= O'da sonlu ve

p-ı on'da s ı fır olmas ı gerekir. buna göre V(kp)=AI (k?) ve ..°4"2 (k9)=K (kg) olmal ıdır. A sabiti (3.146-Wronskiyeninden saptanacAt ır. Wronskiyen x' in tüm değerleri için 1/x ile orant ı lı olduğundan, onu nerede de ğ erlendireceğimiz önemli değildir. küçük x'ler için (3.102) ve (3.103) (ya da büyük x ler için (3.104)) asimtotik ifadelerini kullanarak

w [Im (x), Km (x)l - (3.147)

bağı nt ı s ını buluruz; buna göre A = 4W demektir. Böylece 1/1 - 5"?'r nin açı l ımı şu hale gelir:

2

j )-?-)7' eini44')cos[k(z_z,)]i~.(kf )K (ks„,) I

< m > M=- 00

(3.148)

Bu ifade tümüyle gerçel fonksiyonlar cinsinden de yaz ı labilir:

154

1 o.

C _ dk cos [k(z-z1 1 7 I o (k?< )K o (k?>

) ° oo

cos [m(cp4')] I m (k? )Km (k?> )-} (3.149) m= ı

Bu açı l ı mdan birçok yararl ı matematiksel sonuç elde edilebilir. x'-›o yaparsak, sadece m = o terimi arta kal ı r ve şu integral gösterim elde edilmi ş olur:

1 2 _o f coskz Ko

(k?) dk

42-4-z2' T(

(3.150)

2 (3.150)' de f

>2 yerine R

2 ..--- p +5>i2 cos4-(p) koyarsak, sol taraf z' = 0'11 171 -1 ters uzakl ığı haline gelir; bu ise z' = o'll (3.149)' un ta kendisidir. Bundan sonra (3.149) ve (3.150)'nin sağ yanları karşı laş tı r ı lsa (ki bunlar zinin her değeri için geçerli olmal ıdı r), şu bağı nt ı bulunur:

k (k\in2 2 o 4-7 -2m cos(-çb')

= Io (k?( )K0 (k?. ) + 2 cos[m(4-4')] Im (kfı< )Km (k? > ) m=ı

(3.151)

Bu son bağı nt ı da k -->o limitini alabiliriz; böylece (iki-boyut-lu) kutupsal koordinatlarda Green fonksiyonu için bir aç ı lım elde ederiz:

o. .en( ) = brı (4-5-) + > 1

m=3_ m ( - f> ) m cos [m(ç6 - (t,

42+,?' 2-2 Qcos ( ' )

(3.152)

Poisson denkleminin iki-boyutlu Green fonksiyonu, (3.148)' e yol açan basamaklardan geçe geçe sistemli bir biçimim kurularak, (3.152) gösterimi doğrulanabilir.

3.12- Green Fonksiyonları için Özfonksiyon Açılımları

Green fonksiyonlar ının açı l ımlarını elde etmenin bir baş ka tekniği, ilgili problemin özfonksiyonlar ını kullanmakt ı r. Bu yaklaşı m, 3.9 ve 3.11 kesimlerindeki yöntemlerle üstü kapal ı bir biçimde ili ş kilidir.

155

Özfonksiyonlarla ne demek istedi ğ imizi belirtmek için

v2A()-('') [f b-n+ 'xiNV( -t) = 0 (3.153)

biçimindeki eliptik bir diferansiyel denklemi ele alal ım. Eğer çözümleri ilgilenilen V hacminin S yüzeyi üzerinde belirli

sı nı r koşullarını gerçeklemek zorundaysalar, o zaman (3.153) denklemi, X>n ın bazı belirli değerleri dışı nda, genel olarak iyi-davranış lı (örneğin sonlu ve s ınırl ı ) çözümlere sahip olmayacakt ı nı n îk, ile gösterilen bu belirli de ğerlerine özdeğerler (ya da karak6ristik değerler) ve nip(3. ) çözümlerine özfonksiyonlar denir.* Özdeğ er diferansiyel der&lemi

2 V'lin (x

-* ) + + 21ril 4n (R) = 0 (3.154)

biçiminde yaz ı l ır. Legendre ya da Bessel fonksiyonları nı n dikliğ ini kanı tlarken kullan ı lanlara benzeyen yöntemlerle, özfonksiyonlar ın dik olduklar ı gösterilebilir:

'rn Cin ( 34<) d3x = Smn (3.155)

V

Burada fonksiyonların bire boyland ı r ı ldı kları varsayı lmış tı r. il özdeğerler spektrumu ya kesikli bir cümle, ya sürekli, ya da ikisi birden olabilir. Özfonksiyonlar ın tümünün tam bir cümle oluş turduklarını varsayacağı z.

Ş imdi 2 .4. 4 r x G(x,x

-ı 1 ) + [f. (x) +AG(x-4 ,x') = - 4nd(x-x') (3.156)

denklemi için Green fonksiyonunu bulmay ı arzuladığı mı zı varsa-yal ım; burada 2. , genel olarak (3.154)' ün `X özde ğerlerinden biri değildir. Bundan baş ka Green fonksiyonllnun, (3.154)' ün özfonksiyonlariyle ayni s ınır koşullarını gerçeklediğ ini varsayal ım. Bu durumda Green fonksiyonu özfonksiyonlar ın serisine açı labilir:

G(3'cfr ,;t') = (3.157)

n

Dalga denklemini bilen okuyucu, (3.153) ün, potansiyel içindeki bir parçaci-ğı n Schrödinger denklemine esde ğ er oldu ğ unu anlayacakt ı r.

156

Bu aç ı l ı mın ~fonksiyonunca sağ lanan diferansiyel denklemde yerine konmas ı şu sonuca yol açar:

Tam (X''') (Al-k) 1 (X') = (3.158)

m

Son bağı nt ın ın her iki yanını "") ile çarpı p V hacmi üzerin-den integre edersek, (3.155) cWklik ko şulu sol yan ı bir tek terime indirger; böylece an 'yi buluruz:

an(x) = 41-C (3.159)

*- n - ›ı

Sonuç olarak Green fonksiyonunun özfonksiyon aç ı l ımı

) = 4TC n (x1)-4)()

(3.160)

n

biçiminde elde edilmi ş olur. Sürekli spektrum halinde toplam yerine bir integral gelecektir.

Yukardaki düşünceleri Poisson denklemine özelle ş tirmek için (3.156) da f( !:) = 0 ve 'A=.0 koyar ı z. İlk ve basit bir örnek olmak üzere, (3.154) denklemini, tüm uzaydaki dalga denklemi olarak alal ı m:

(72 k2 ) 1)k = O

k özdeğ erleri sürekli olup, özfonksiyonlar şunlard ı r:

1 ik.x

(21c) 3/2 e

(3.161)

(3.162)

Bu özfonksiyonlar delta fonksiyonu boylandırmas ı na sahiptirler:

-,İ)K d3.. _ )

S k' k (3.163)

Bu durumda, (3.160) uyarı nca, sonsuz uzay Green fonksiyonu

1 1 3 eik.(x-x')

d k I x -x' 1 2r2 J k2

(3.164)

,Q2 m2 n2 ,

a b c - -

2 2

GGc,X'') = 32 Wabc k„in,n=ı

oo sin(P-125-)sin(-1-222!')sin(12-7)sinql) a . a

157

aç ı l ımına sahiptir. Bu ifade, 1/1 - .( 'nün üç-boyutlu Fourier integral gösteriminin ta kendisidir.

İ kinci örnek olarak, x = 0, y = 0, z = 0, x = a, y = b ve z = c düzlemleriyle tan ı ml ı dikdörtgensel bir kutu içerisindeki Dirichlet problemi için Green fonksiyonunu ele al ını z. Bu kez aç ı lı m,

(V2 + k

2 min ) 11.) (x y" z) = 0 (3.165)

mn

dalga denkleminin özfonksiyonlar ı cinsinden yap ı lmal ıdı r; burada altı s ı nı r yüzeyinde de s ı fı r olan özfonksiyonlar şunlard ı r:

4 211.1n (x ,y, z ) = Rnx s ı n sin sin(nnz) b c

ve (3.166)

2 2 2.2 m2

n2

kIbm = (

a2

b2 c2

Dolayı siyle Green fonksiyonunun aç ı lımı ş öyledir:

nnz sin( —) sin ( nuz' ) (3.167)

(3.167) aç ı lımını 3.9 ve 3.11 kesimlerinde elde edilen aç ı l ımların tipine, yani küresel koordinatlarda (3.125)' e ve silindirik koordinatlarda (3.148)' e bağ lamak için, dikdörtgen-sel kutu halinde benzer aç ı l ı mı yazarı z. Eğer x ve y koordinat-ları nı sözkonusu hallerde tem ya da (0,z) yerine sayar ve özel olarak i ş leme sokulacak koordinat ı z olarak seçersek, Green fonksiyonunu şöyle elde ederiz:

oo 16 G(x,x') =

Qnx )sin(--mnv=)sin(21!Y-1) abu

L,m=1

158

sinh(K£m z<

) sinh(KQm (c-z > )) (3.168)

IL KLmsinh(Kc)

Burada K £m = 7[(£ İ a2 + m2/b) 1/2 'dir. (3.167) ve (3.168) birbirlerine eş it olacaksa, (3.167)' deki n toplam ı , (3.168) deki z' ye göre olan tek-boyutlu Green fonksiyonunun (O,c) aral ığı üzerinde Fourier serisi gösterimi olmalıdı r:

ıxz')

sinh(Kim z< ) sinh(K ( )) 00

km c-z5.

sin(n

2 y: c i -- ıntrz, c n=ı sin ı-,

K£msinh(K£mc)

K2 £m c

+(nn ı 2 c --

(3.169)

(3.169)'un doğru Fourier gösterimi olmas ı nın gerçeklenmesi, okuyucu için bir al ış t ı rma olarak bırakı lmaktadı r.

Bu yöntemle ilgili diğer örneklemeler, Bölüm sonundaki problemlerde bulunacakt ı r.

3.13- Karışı k Sınır Koşulları , Dairesel Deliğ i Olan İletken Düzlem

Bu bölümde şu ana dek tart ışı lan potansiyel problemlerinde, tüm s ınır yüzeyi üzerindeki tek tip (genellikle de Dirichlet) s ı nı r koşulları sözkonusu edildi. Bununla beraber, Laplace ya da Poisson denkleminin çözümlerinin tekliğini kanı tlarken (Kesim 1.9) değinildiği gibi, s ını rın bir parças ı üzerinde potansiyelin kendisinin ve geri kalan parçası üzerinde potansi-yelin yüzeye dik türevinin belirtildi ğ i karışı k s ını r koşulları da iyi tanımlanmış ve tek olan s ı nır-değer porblemlerine yol açar. Ders kitaplar ında teklik kanı tlamaları yapı l ı rken karışı k sı nır koşulları olanağı na değinmek, fakat sonraki tart ış mada böyle problemleri bir kenara birakmak eğ ilimi vard ı r. Göreceğ i-miz gibi, bunun nedeni, kar ışı k s ınır koşullarını ele almanın normal koşullara göre çok daha zor olmas ıdı r.

Karışı k sinir koşulları halinde karşı laşı lan güçlükleri anlatmak için, üzerinde a yar ıçaplı dairesel bir delik açı lmış , iyice ince, sonsuz geni ş likte, topraklanm ış iletken bir düzlem ve delikten uzaklarda düzleme dik, sabit büyüklüklü, fakat düzlemin her iki yanında farkl ı iki değere sahip elektrik alanı bulunan problemi ele alal ı m. Problemin geometrisi Ş ekil 3.13'de çizilmiş tir. Düzlem z = O' da, deliğ in merkezi ise koordinat baş lang ı cı ndadır. Sı f ırdan farkl ı olan asimtotik

159

Z

elektrik alan bile şenleri, z >O için E =-E ve z ( 0 için E =E ' dir.Protlem uydurukmu ş gibi go/'LneLdlir; fakat E = O yza dd- E = 0 halinde, dalga klavuzlarının duvarlarındaki °küçük delikleiden yayı lan ışı ma problemlerine pekâla uygulanabilir; buradaki "küçük" deyimi dalgaboyuna göre olan küçüklüğü anlat - makta ve böylece elektrostatik dü şünceler kullan ı labilmektedir (Kesim 9.5'e bak ını z).

Elektrik göre, potansiyeli

{

alanı

Eoz + ^(i)

E Z + 4)(1)

delikten uzaklarda

z > O için

z 40 için

belirtilmiş olduğuna

(3.170)

biçiminde yazarı z. Delik olmasaydı , )(1) s ı fı r olurdu. İ letken levhanın üst yüzeyi -E /47I'lik ve alt yüzeyi ise E /4n 'lik di(izsfün birer yüzeysel1).i.k yoğunluğuna sahip olurdu. Buna göre

potansiyeli, deli ğ in dolayındaki yüzeysel yükün yeniden düzenlenmesinden ortaya ç ı kmaktad ı lenebd_lir. Bu yük yoğunluğu z = 0 düzleminde yer aldığı ndan, 1 1 potansiyeli

, ^( ı)(x,y,z) _SCY

(1) ı x',y')dx'dy'

1(x-x')+(y-y') 2+z

2

160

x,(1) biçiminde temsil edilebilir. Bu, ti ı 'in z'ye göre çift oldu-

ğunu gösterir; dolayı siyle E ( ı ) ve E (1) z'ye göre çift, E (1)

( Y ( ise tektir. Dikkat ederseniz,X Ex1) ve EY1) toplam elektrik

alanının x ve y bileş enleridir; oysa ki (3.170)'den dolay ı E(1) toplam z bile ş eni değ ildir. Buna göre, z'nin tek fonksi-

yonu olsa bile, P'1) , z = Oda s ı f ır olmaz. Üstelik orada süreksizdir. Elektfik alanının toplam z-bileş eni z = 0 düzle-mini delik bölgesinden geçerken sürekli olmak zorunda bulundu-ğundan,

-E + E(1)

= -E + E( ı )1

o z,+ z=u z-0-

bağı nt ı s ı zorunludur. E ( ı ) , z'nin tek fonksiyonu olduğuna göre, üstteki bağı nt ı el&trik alan ının yüzeye dik bile ş enini, (x,y) delik içinde bulunmak (yani 0 < P < a olmak) koş uluyla,

Ebil

= -E(1) I 1 k,, r..

o - E )

z I + 2 ı z=o lz=o

olarak belirler. İ letken yüzey üzerindeki noktalar ( yani a L ?<;,.) için, elektrik alan ı bilinmemektedir; fakat potan-siyel varsay ım o(lafak s ı fırd ır. Bu ise (3.1İ70)'den iletken yüzey üzerinde (i) 1 = 0 olduğunu ifade eder. Delik içinde potansiyeli bilmediğimize dikkat ediniz. Bu nedenle aş ağı daki karışı k sınır koşullu elektrostatik s ını r-değer problemi ile karşı -karşı ya bulunmaktay ı z:

?,(].)

z z=o+ 2 (Eo-E)

0<Q<d için

(3.171)

15 (1 tz=o = o a < P < oo için

Problemin geometrisindeki eksensel simetri nedeniyle, .5(1) potansiyeli silindirik koordinatlar cinsinden [(3.110)'dan

oo (1)

(5>z) = fo A(k) ) ek(z1 J

0 (1q)dk (3.172)

biçiminde yaz ı labilir. A(k)'n ın s ınır koş ullar ı yard ımiyle nas ı l saptanacağı nı görmeğ e giri şmeden önce, A(k) ve onun k=0' daki türevlerini potansiyelin asimtotik davran ışı na bağlayal ı m.

161

Büyük f'larda Jo (k?)'nun hı zl ı titreş imleri, ya da büyük (zi lerde e -k z 'nin hı zl ı düşüşü, (3.172) integraline önemli kat-kı ları n k = 0 dolay ındaki bölgeden geleceğini gösterir. Öyleyse (1) . ' ı n asimtotik davran ışı , A(k)'nın küçük k'lardaki davran ı -

şı na bağ lıdı r. A(k)'n ın k = 0 dolayında bir Taylor serisine açı labileceğini varsayal ı m:

A(k) = kL dkA e! -2-(o)

Bu seri (3.172)'de yerine koyulduğunda, ( ı ) potansiyeli

1(1) (9,z) = d A (3.173) (0)Be (?,z)

haline gelir; burada

1 e-k ı z ı jo(k?) B iz (?,z) = e! Socc dk k2

dı r. (3.174) integralinin

(3.174)

B - 1 ( d scP -klzi J

o (k?)

) dk e e .e! dizi o

olarak yaz ı labileceğ i açı ktır. Problem 3.14(c)'deki ilgili sonucu kullanarak da 13'yi.

B t --- = 1 di ( d zi )£ ( 1

) (3.175) -

.

4)2 + z2

biçiminde buluruz. Bunun da

P ((cos81) Be = r2+1 (3.176)

sonucunu vermesine okuyucu ş aşmamalıdır; burada cos8 = z/r ve

r92+ z

2' 'dir. Buna göre (3.173) asimtotik aç ı l ımı , (3.33) küresel harmonik açı l ımı yapı s ı ndad ı r:

oo dA PL(Icos91) 1§(1) _ (0) (3.177)

e=0 dk 2 r2+1

162

Gelecek bölümde tartışı lacağı gibi r-1, in kuvvetleri cinsinden olan bu aç ı lıma çok-kutup aç ı l ı mı denir. e = 0 katsay ı s ı olan A(0) toplam yüktür. L -= 1 katsay ı sı dA(o)/dk ise z-doğrultusun-daki çift-kutup momentidir. v.s. ...A(k) fonksiyonu bilinince, potansiyelin asimtotik davran ışı nı betimleyen bu nicelikler, potansiyelin kendisini aç ık olarak kurmaks ı z ın geliş tirile-bilir.

Artı k karışı k sını r-değer problemini tart ış mağ a haz ı rı z. .4(1) için varsayılan (3.172) ifadesi kullan ı larak, (3.171) s ı nı r koşulları , A(k) , nın gerçeklediğ i birinci tür bir integral denklem çifti haline gelir:

fdk kA(k) Jo(k9) = 1 (E0 - E1) O <9<a için 2

(3.178) 00

fodk A(k) Jo (k?) = 0 a için

Birisi bağı ms ı z değ iş kenin değ iş im bölgesinin bir parças ı , diğeri de geri kalan parças ı üzerinde geçerli olan bu tip integral denklem çiftlerine düal integral denklemler denir. Bu tür denklemlerin genelteorisi karmaşı k olduğu gibi, çok fazla geliş tirilmiş de değildir. Sadece bir as ı r kadar önce H.Weber bununla yak ından ilgili bir problemi, yani yüklü bir dairesel diskin potansiyeli problemini Bessel fonksiyonlarını içeren bazı süreksiz integraller arac ı lığı yle çözmüş tü. Biz Weber'in formüllerinin genelle ş tirilmiş ine baş vuracağı z. Aş ağı daki düal integral denklemlerini ele alal ı m:

r o.

o y dy g(y) Jn(xy) = xn 0 4 x < 1 için

(3.179)

JO dy g(y) Jn (yx) = 0

1 L x < ao için

J (at)Jy (bt)t nın integrali için Sonine ve Schafheitlin'in fO'rmülünün incelenmesi bak. Watson, sayfa 398 ya da Magnus ve Oterhettinger, sayfa 35, Denklem (S ) ve (S 3 ) , g(y) çözümünün

* Yeni say ı labilecek ş u kitap, I.N.Sneddon, Mixed Boundary Value Problems in Potential Theory, North—Holland, Amsterdam and Wiley— İ nterscience, New York (1966), bu konuya ayr ı lm ış t ı r. Ayr ı ca Tranter, sayfa 50 ve Bölüm VIII e bak ı n ı z.

163

1"(n+l) n n+ı )

1"( n+ g(y) = n+1 ( y ) =

2- ) 3 ) I n+ -2- 2

n+3/2 (Y)

(2y)1/2

(3.180 )

olduğunu gösterir. Bu bağı nt ıda J (y), n' yinci mertebeden küresel Bessel fonksiyonudur (Kesim bak.).

(3.178)'deki denklem çiftimiz için n = O, x = f/a, y = ka dı r. Buna göre A(k),

(E -E )a2 (E0 E1 ) -

A(k) = o ı

.5 (ka) = sınka a coska -

It ı It k2 k ....

(3.181) dır. A(k) ifadesi küçük k'lar için

(E -E )a2

(ka) 3 A(k) o ı [ ka

3 ı t 10

_ . biçimini al ı r. Bu, qıp(1) ile ilgili toplam yükün s ı fır olduğunu ve (3.177) asimtotik potansiyelinde ilk terimin Q = 1 katkı sı olduğunu ifade eder:

(E0-E

1)a3 ( z i

r3

(3.182) 3 İx

Bu terim uzakl ıkla r gibi azalmakta olup,

(E-E)a3

0 1 P = + (z O) 3 -rc

(3.183)

gibi bir etkin elektrik çift -kutup momentine sahiptir. Gözlem noktas ı nın düzlemin alt ında ya da üstünde bulunmas ına bağ l ı olarak bu etkin çift-kutup momentinin işaret değ iş tirmesi, gerçek çift-kutup momentinin z'ye göre tek, oysaki (3.182) , nin çift olmas ı nın bir sonucudur. Düzlemsel bir iletken levhada bulunan küçük bir deli ğ in, delikten uzaklarda, yüzeye dik bir çift-kutba eşdeğ er olmas ı düşüncesi, dalga k ı lavuzlarının ve oyuklar ın duvarları ndaki bu tür deliklerin sonuçlar ı nı tartı -şı rken önemlidir. Ş ekil 9.4'de resimlendi ği gibi, alan çizgile-ri daha küçük sabit alanl ı tarafta sona ermek üzere delikten içeri s ı zarlar ve bunun sonucunda çift-kutup benzeri alan or-

164

taya çıkar. Bu resme (3.182) ve (3.183) ile say ı sal anlam verilmi ş tir.

Delik yakı nındaki P-) ek potansiyeli, tam ifade olan

(E -E ) 00 p.)( 9,z ) o 1 a2 dk j ı (ka) e kiz1 J0 (k?)(3.184)

ifadesinden hesaplanmal ıd ır. Baz ı özel hallerle yetineceğ iz. Eksen üzerindeki (f= 0) ek potansiyel ş udur:

(E -E )a (1) o ı (0,z) = 1 _ tan-1 Izi

z1 a için bu ifade r = IzI 'li (3.182) ifadesine iner; oysaki Izi -,0 iirj ilk terim yeterlidir. Deli ğ in bulunduğu düzlemde (z=0) 01) 1 potansiyeli 0 4: 4 4 a için aş ağı daki gibidir (p)a için kuş kusuz s ı f ı rd ı rri.

- cıp.) (9,0) = (E o E ı ) a - p

Delikteki teğetsel elektrik alan bir ışı nsal aland ı r:

(E -E ) o ı E (P,O) = teg. ) \İa2_92

(3.185)

Delik içindeki elektrik alan ı n dik beileseni ise, (3.171)'deki ilk denklemden, düzlemin üstündeki ve alt ı ndaki düzgün alanla-r ı n ortalamas ıdı r:

Ez (?,0) = (Eo + El ) (3.186)

Dikkat ederseniz, elektrik alan ını n büyüklüğü deliğ in kenarında bir kare kök tekilliğ ine (singularity) sahiptir; bu durum Kesim 2.11deki düşüncelerle uyum halindedir. Deli ğ in yak ınla-rı nda iletken düzlemin üst ve alt yüzleri üzerindeki yüzeysel yük yoğunlukları tamamiyle çalakalem hesaplanabilir. Bu aç ı k

*- Burada kar şı la şı lan türden integraller için ş uralara bak ı n ı z: Watson, Bölüm 13; Gradshteyn and Ryzhik; Magnus, Oberhettinger and Soni ya da Bateman Mianuscript Project.

2,0

1, 0

014 ••■•••••.••■■■ ,.

o

0,01

165

hesap problemlere bı rakı lmış t ı r. (3.170)'deki tam potansiyelin dairesel delik yak ı nı ndaki

eş -potansiyel çizgileri E = 0 durumu için, Ş ekil 3.14' de görülmektedir. Deliğ in ikiliiç yar ı çap ötesinde art ı k potansiye- lin varlığı neredeyse hissedilememektedir.

Şekil 3.14- Üzerinde dairesel bir delik bulunan iletken düzlemin bir taraf ında delikten uzaklarda düzleme dik bir E elektrik alan ı vardır; diğer tarafta is8 asimtotik hiçbir alan yoktur (E = 0). Şekilde bu durumun eş -po-tansiyel çizgileri görülmektedir. Say ı lar, 4ı potansiyelinin aE cinsinden değerleri - dir. Dağı lım, deli!ğin merkezinden geçen düşey noktalı çizgi etrafında dönme simet-risine sahiptir.

Klasik bir problem olan yüklü iletken disk, Sneddon tara-

fı ndan ayr ı nt ı l ı olarak tart ışı lmaktadı r. Laplace denklemini eliptik kordinatlarda de ğ i şkenlerine ayırarak, disk ya da delik için kar ışı k s ını r koşulları ndan kurtulabiliriz. Bu halde disk (ya da delik), üstten bas ı k bir elipsoid yüzeyinin limit biçimi olarak al ı nabilir. Bu yaklaşı m için örneğin Smythe, sayfa 124, 171 ya da Jeans, sayfa 244'e bak ı nı z.

166

KAYNAKLAR VE b'fiERİLEN OKUMA PARÇALARI

Matematiksel fizikteki özel fonksiyonlar, adi diferansiyel denklemlerin çözümü, hipergeometrik fonksiyonlar ve Sturm -Liou - ville kuram ı gibi konular birçok kitapta yer almaktadı r. Henüz sevdiğ i kitabi saptayamamış olan okuyucular için baz ı olanaklar şunlardı r:

Arfken; Dennery and Kryzwicki;

Morse and Feshbach; Whittaker and Watson.

İyi seçilmiş örnekleri ve problemleri içeren daha basit bir inceleme

Hildebrand, Bölüm 4,5 ve 6'da bulunabilir.

Legendre çok -terimlileri ile küresel harmoniklerin kuram ı ve uygulamas ı üzerine bol örnek ve problemli, fakat modas ı geçmi ş bir kaynak şudur: Byerly.

Küresel fonksiyonlar ın saf matematiksel özellikleri için en yararl ı tek ciltlik kaynaklardan biri

Magnus and Oberhettinger ve bunun ş imdi Soni ile birlikte düzeltilmi ş biçimidir.

Daha ayrı ntı l ı matematiksel özellikler için şuralara bakını z: Watson : Bessel fonksiyonlar ı için, Bateman Manuscript Project kitapları ; özel fonksiyonların her türü için.

Silindirik, küresel ve diğer koordinatlarda elektrostatik problemleri şu yapı tlarda geni ş biçimde tartışı lmaktadı r:

Durand, Bölüm XI ; Jeans, Bölüm VIII;

Smythe, Bölüm V ; Stratton, Bölüm III.

PROBLEMLER

3.1- Eş -merkezli iki kürenin yar ıçapları a ve b'dir (b>a) ve her ikisi de ayni yatay düzlemle iki yar ıküreye ayrı l-mış tı r. İ ç kürenin üst yarı sı ve dış kürenin alt yar ı sı sabit V potansiyelinde tutulmaktadı r. Diğ er yarı küreler ise sı fı r po-tansiyeldedirler.

a4 r4 b bölgesindeki potansiyeli Legendre çok-terimlile-rinin -Eir serisi olarak bulunuz. Hiç olmazsa i= 4Be kadar

167

olan terimleri al ı niz. Çözümünüzü, b->op ve a -> 0 hallerinde bilinen sonuçlarla kontrol ediniz.

3.2- R yar ıçapl ı bir küresel yüzey, Q/47tR 2 yoğunluğuyle düzgün olarak dağı tı lmış bir yüzeysel yüke sahiptir; sadece kuzey kutupta 8 =o(konisiyle tan ımlanan küresel kapak üzerinde yük yoktur.

a) Küresel yüzey içindeki potansiyelin

o. = L=0 22+1 [ P2+1 (coso() Pe- ı (coscg) P2,(cos

R

biçiminde ifade edilebilece ğini gösteriniz; burada L= 0 için PL-1 (coso() = Küre dışı ndaki potansiyel nedir?

b) Koordinat baş langı cındaki elektrik alanının büyüklüğünü ve yönünü bulunuz.

c) (i) Yüksüz küresel kapak çok küçük hale geldi ğinde, potansiyelin (a) ve elektrik alan ının (b) limit biçimlerini tart ışı nı z. (ii) Ayni tartış mayı , bu kez yüksüz kapağı n büyütü - lerek yüklü bölgenin güney kutupta çok küçük bir kapak haline gelmesi durumunda yap ı nı z.

3.3- R yarıçaplı , ince ve yass ı iletken bir dairesel disk, merkezi baş langıçta olacak ş ekilde x-y düzlemine yerle ş tirilmiş olup, sabit bir V potansiyelinde tutulmaktad ı r. Disk merkezin-den disk üzerindeki bir noktaya olan uzakl ı k p olmak üzere, sabit potansiyelli bir disk üzerindeki yük yoğunluğunun 2 2 (R- -jp Y"'ı /2 ile orant ı ll olduğu verildiğ ine göre,

(a) r > R için potansiyelin aş ağı daki gibi olduğunu göste-riniz:

cpr,e,959 = 2V R (- ı ) (22)22 p 29.(cos8) r £. =o 22+1

b) r < R için potansiyeli bulunuz.

c) Diskin sığ ası nedir?

3.4- İ ç yarı çapı a olan içi boş bir iletken kürenin yüzeyi, ortak arakesit çizgisi z-ekseni olan ve çb aç ı s ına göre düzgün biçimde dağı lmış düzlemlerle çift sayıda eş it parçaya bölünmüş - tür (Parçalar, bir elmanın dilimleri üzerindeki kabuk, ya da ardarda gelen meridyenler.aras ı ndaki yeryüzü parçası gibidir). Bu parçalar sırasiyle sabit +V potansiyellerinde tutulmaktad ı r.

a) 2n parçal ı genel hal için, kürenin içindeki potansiyelin

168

bir seri gösterimini kurunuz ve hangi aç ı l ım katsayı ları n ı n s ı fı rdan farkl ı olduğunu tam olarak saptamak amaciyle serinin yeterince çok sayıda katsayı sını hesaplayınız. S ı f ır olmayan terimler için, katsayı ları , cos9 üzerinden bir integralle gösteriniz.

b) n = 1 (iki yar ı küre) özel hali için, potansiyeli, Q = 3 lü terimlerin tümü ile birlikte .2= 3' e kadar açık olarak saptayını z. Bunun, bir koordinat dönüşümüyle Kesim 3.31 deki (3.36) sonucuna indirgenebileceğini doğrulayinı z.

3.5- İ ç yarı çapı a olan içi boş bir küre, yüzeyi üzerinde 4>. V(8,0) olarak belirtilen bir potansiyele sahiptir. Küre içindeki potansiyel için aş ağı daki iki çözüm biçiminin eşdeğer olduğunu kanı tlayını z.

451 ) 0->) - °°' r2)

V(01,

J dSl

4"Tc (r2 +a

2 -2arcosX)

3/2

Burada cos)ç= cose cos8' + sin8 sin9' cos(ç6-q;') dür.

b) ( .;t) = .Z; ALA) Y .em (9,0)

Burada A.em = ScifY Y;n1 (e' ,0' ) V(9' ,95 1 ) dür.

3.6- (1 ve -q noktasal yükleri z-ekseni üzerine s ı rasiyle z = +a ve z = -a noktalar ı na yerleş tirilmi ş lerdir.

a) Elektrostatik potansiyeli, r)a ve r<a için, küresel harmoniklerin ve r'nin kuvvetlerinin bir aç ı lımı olarak bulunuz.

b) qa çarpımını sabit p/2) tutarak, a limitini al ını z ve r # 0 için potansiyeli bulunuz. Bu, tan ım olarak z-ekseni boyunca bir çift-kutup ve onun potansiyelidir.

c) Şimdi (b).deki çift-kutbun, merkezi ba ş langıçta bulunan b yarı çapl ı , topraklanmış küresel bir kabukla sar ı ldığı nı varsayını z. Üstüste gelme ilkesi yard ımiyle, küresel kabuğun içinde her yerde potansiyeli bulunuz.

3.7- Ş ekilde görüldüğü gibi, b yar ı çapl ı , topraklanm ış iletken bir küresel kabuğun içine, (q, -2q,q) gibi üç noktasal yük, -2q yükü merkezde olacak ş ekilde, bir doğru boyunca a aral ı klariyle yerleş tirilmiş tir.

a)

a) Topaklanm ış küre yokken, bu üç yükün potansiyelini yaz ını z. qa = Q sonlu kalmak koşuluyle, a--->0 olurken potansi-

169

yelin limit biçimini bulunuz. Bu son yanı tını zı küresel koordi-natlarda yaz ını z.

b) b yar ıçapl ı topraklanm ış kürenin varl ığı , r < b'deki potansiyeli değ iştirir. Ek potansiyel, r = b iç yüzeyinde

Problem 3.7

oluş an yüzeysel yük yoğunluğu, ya, da r 1 b'ye yerle ş tirilen görüntü yükleri taraf ından yarat ı lmış gibi düşünülebilir. Sını r koşullarını sağ lamak için üstüste gelme ilkesini kullan ı - nı z ve küre içindeki heryerde r < a ve r > a için potansiyeli bulunuz. a a 0 limitinde

5 2) r

- ) P2 ' (cos(9) r b5

olduğunu gösteriniz.

3.8- b yarı çaplı , içi boş bir dairesel silindirin ekseni z-ekseniyle çakış makta olup, uçları z = 0 ve z = L'dir. Uç yüzeylerinde potansiyel s ı fı rd ır; yan yüzey üzerinde ise potansiyel V(0,z) olarak verilmektedir. Silindirik koordinat-larda değ i şkenlerin ayrı lmas ını uygun ş ekilde kullanarak, silindir içindeki heryerde potansiyel için bir seri çözümü bulunuz.

3.9- Problem 3.8 deki silindirin yan yüzeyi iki e ş it yarı -silindirden yap ı lmış olup, biri V, di ğeri ise -V potansi-yelindedir; öyle ki:

170

V(g5,z

-Tc/2 < < Tc/ 2 için

Z/2 < 0 3)-(/2 için

a) Silindir içindeki potansiyeli tulunuz.

b) L >> b varsayarak, z = L/2'deki potansiyeli 9 ve (;;'nin fonksiyonu olarak ele al ı nı z ve bunu iki-boyutlu 2.9 Problemi ile karşı laş tı rını z.

3.10- Keyfi bir f(x) fonksiyonunun 04C, x aralığı nda

00 f(x) = > A J (y — ) n v vn a

n=ı

düzeltilmiş Fourier-Bessel serisine aç ı labileceğ ini gösteriniz; burada y dJ (x),/ax = O' ın n'yinci köküdür; A katsay ı ları ise şöyleV verilmektedir: n

cı An =

2 f(x) x J y (yvn a ) dx 2 2 a (1-V İYyn2 ) Jy (YVn) o

3.11- Sonsuz geniş likte, ince, iletken bir düzlemsel levha, a yarıçaplı bir deliğe sahiptir. Ayni malzemeden yap ı l-mış biraz daha küçük yar ı çaplı ince bir yass ı disk bu deliğe Yerleş tirilmiş olup, çok dar bir yal ı tkan halka ile levhadan ayrı lmış bulunmaktad ı r. Disk sabit bir V potansiyelinde tutul-makta, sonsuz levha ise sı fı r potansiyelinde durmaktad ı r.

a) Uygun silindirik koordinatları kullanarak, düzlemin yukarı s ındaki noktalarda potansiyel için Bessel fonksiyonlar ını içeren bir integral ifade bulunuz.

b) Disk merkezinin yukarı s ındaki bir z dik uzakl ığı nda potansiyelin aş ağı daki gibi verileceğini gösteriniz:

CD:) (z ) = v 1

V 2 2 a +z

z

c) Diskin kenarını n yukarı s ındaki bir z dik uzakl ığı nda potansiyelin

171

V kz 4:1a (z) 2

.wa

olduğunu gösteriniz; burada k = 2a/(z2 + 4a2 ) 1 / 2 , K(k) ise birinci türden tam eliptik integraldir.

3.12- Problem 3.1' deki potansiyeli, kitapta elde edilen uygun Green fonksiyonu yard ımiyle çözünüz ve bu yolla bulunan yanı tın diferansiyel denklemden elde edilen direkt çözümle uyuş tuğunu doğ rulayı nı z.

3.13- Toplam ı Q olan 2d uzunluklu bir çizgisel yük, (d 2-z

2)

ile değ iş en bir çizgisel yük yoğunluğuna sahiptir; burada z, orta noktadan olan uzakl ı kt ır. Iç yarı çapı b olan (b > d) topraklanm ış iletken bir küresel kabuk, merkezi çizgisel yükün orta noktas ı na gelecek ş ekilde, bu yük dağı l ımını sarmaktadı r.

a) Küresel kabuğun içindeki heryerde potansiyeli, Legendre çok-terimlileri cinsinden bir açı l ım olarak bulunuz.

b) Kabuk üzerinde oluş an yüzeysel yük yoğunluğunu hesapla-yı nı z.

c) Üstteki yan ı tlar ı nı zı d b limitinde tart ışı nı z.

3.14- a) Bessel diferansiyel denkleminden hareketle, (3.112) denklemini, ya da buna eşdeğer olan

1 s (?_ ?, ) _ 00

S k Jm ) (kto) Jm (k?') dk

bağı ntı s ı nı gerçekleyiniz. b) Aş ağı daki açı lımı elde ediniz:

= dk elm(-0') Jni (k ) J m (k ? ,) e -k(z > -z< )

m=-oo o

c) Uygun limit süreçleriyle a ş ağı daki aç ı l ımları kanı tla-yı nı z:

jr e-k!z l Jo(k?) dk

Jp o

+ z2i

0.0 Jo ( k /924.9' 2-2??' cos9;)

=-cıo eimcp

Jm (k?) Jm (k?' )

172

eikycos0 .m imcp ı e JİTI (k?)

d) Sonuncu bağı ntıdan Bessel fonksiyonu için bir integral gösterim elde ediniz:

Jm(x) = 1 .m 521L eixcoset, - imcb cick

2111 o

Bunu standart integral gösterimlerle kar şı laş tı rı n ı z.

3.15- z = 0 ve z = L düzlemleri arası ndaki s ı nırs ı z uzay için kurulan Dirichlet Green fonksiyonu, s ı fı r potansiyelinde tutulan paralel iletken düzlemler aras ındaki noktasal yük ya da yük dağı l ımı problemini tart ış maya elveri ş lidir.

a) Silindirik koordinatlar ı kullanarak gösteriniz ki, bu Green fonksiyonunun bir ş ekli ş udur:

A °° 00 f N

GG-<?' ) = L > > eıM"P-W./Sin(1)Sin(I)Im(N)Km(N) n=1

b) Bu Green fonksiyonunun bir ba ş ka ş eklinin de aş ağı daki olduğunu gösteriniz:

sinh(kz<)sinh [k( L-z > jdk eim(4)-4')Jm (k?)Jm (k?') o sinh(kL)

3.16- Problem 3.11' in geometrisini şöyle değ iş tiriniz. İ çinde bir disk bulunan düzlemin L kadar uzağı na s ı fır potansi-yelinde tutulan paralel bir iletken düzlem koyunuz. Yeni eklediğ imiz bu topraklanm ış düzlemi z = o ' da, disk merkezi z-ekseni üzerinde olan diskli düzlemi ise z = L'de al ını z.

a) Düzlemler aras ındaki potansiyelin, (z,p,) silindirik koordinatlar ı nda

I 5(z,y, ) = V )' d)03 ı CM Joa) / sinh(z/a)

cıo

= M= —0a

sinh(L/a)

biçiminde yaz ı labileceğ ini gösteriniz. b) z,y,L belirli kalmak üzere, oo limitinde (a) şı kkı n-

173

daki çözümün beklenen sonuca indirgeneceğ ini gösteriniz. Sonucunuzun, a-1 'in kuvvetleri cinsinden yap ı lan bir aç ı l ımda en düşük mertebeli yanı t olduğunu düşünerek, a'n ın p ve L'ye göre büyük (fakat sonsuz değ il) olmas ı halinde, bu en düşük mertebeli ifadeye yapı lacak düzeltmeleri ele al ını z.•Güçlükler var m ıdır? Düzeltmeler için aç ı k bir kestirmede (tahminde) bulunabilir misiniz?

c) (L-z), a ve p belirli kalmak üzere, L--). co limitini ele al ını z ve bu limitte Problem 3.11'deki sonuçlar ın bulunacağı nı gösteriniz. 1,7>a (fakat L-). oo değ il) halinde, düzeltmeler için ne diyebilirsiniz?

3.17- Sı f ır potansiyellerinde tutulan sonsuz geniş likte paralel iki iletken düzlem aras ında bir noktasal q yükü düşünü-nüz. Bir silindirik koordinat sisteminde, düzlemleri z = 0 ve z = L'ye yerleş tiriniz; yük ise z ekseni üzerinde z = z'da (04.;z < L) olsun. Problem 1.12 'deki Green'in karşı liLı lı k

. teoremoıni kullanını z; oradaki kar şı laş tırma probleminiz de 3.16 problemi olsun.

a) z = L iletkeninde, merkezi z-ekseni üzerinde bulunan a yarı çapl ı dairesel bölgede oluş an yük miktar ı nın

QL (a) = y(zo'O)

ile verildiğ ini gösteriniz; burada5(z ,0), Problem 3.16'daki potansiyelin z = z , 5) = O'da değ erlendirilmi ş ş eklidir. Üst levha üzerinde ()Aş an toplam yükü bulunuz. Bunu, yöntem ve yanı t bakımından, Problem 1.13'deki çözüm ile karşı laş tı rı nı z.

b) Üst levha üzerinde oluş an yük yoğunluğunun

co sinh(kzo )

=__Q.(?) -9— dk 21T o sinh(kL)

k Jo (ki>)

biçiminde yaz ı labileceğ ini gösteriniz. Bu integral, Ko (ntrp/L) düzeltilmiş Bessel fonksiyonlar ını içeren bir sonsuz seri olarak ifade edilebilir [örneğin, Gtadshteynand Ryzhik, sayfa 728, formül 6.666'ya bakını z]; bu4se o4.4ş an yük yoğunluğunun, büyük ışı nsal uzakl ı klarda, (9) -1' e I PI- ş eklinde azalacağı nı gösterir.

3.18- a) Problem 3.15'in sonuçlar ı ndan ya da ilk ilkelerden yararlanarak gösteriniz ki, s ı fır potansiyelinde tutulan sonsuz geniş likte iki paralel iletken düzlem aras ındaki nokta-sal bir q yükünün potansiyeli

174

15(z,9) = 4q nnz

) . i nnz, sin(

o s ı n K ı

=3: L L o L

biçiminde yaz ı labilir; burada düzlemler z = o ve z = L'de; yük ise z-ekseni üzerinde z = zo noktas ı ndad ı r.

b) Alt ve üst levhalarda olu ş an ö(Q) ve (?) yüzeysel yük yoğunluklar ı nı hesaplayı nı z. °r1.,(P) için sonuç şudur:

00 nnzo ) K

12 4

:j.D cr (?) = -91— (—l)nnsin( L o

( L L

L2

n=ı

Bu ifadenin, Problem 3.17(b) 'deki ifadeyle olan ilgisini tart ışı nı z.

c) Üstteki yan ı ttan, z = L levhas ında oluş an toplam QL yükünü hesaplayını z. Fourier serisini toplayarak, ya da ba şka

bir karşı laş t ırma yoluyla, yanı t ı nı z ı , Problem 1.13 'deki bilinen ifadeyle kontrol ediniz [C.Y.Fong and C.Kittel, Am.J. Phys. 35, 1091 (1967)

3.19- o) L-40p limitinde Problem 3.15 (b)'nin Green fonksi-yonunu kullanarak, topraklanm ış iletken bir düzlemin d kadar yukarı s ı na paralel biçimde yerleş tirilmiş R yarı çapl ı ince ve yass ı bir dairesel iletken diskin s ığ ası nı n

2 00 .5:5),3-0 (kf)(T(p)d? -1 -1 C = dk (1- e

-2kd)

o 5R0 per(?) 2

ile verildiğ ini gösteriniz; burada cr(9) disk üzerindeki yük yoğunluğudur.

b) T(?) = sabit yaklaşı kl ığı ile birlikte üstteki ifadeyi, -1 C için bir değ iş im ilkesi ya da kararl ı l ık ilkesi olarak kullanı nı z. d<<R olduğunda, C 1 için doğru limit değeri elde edeceğ inizi açı k olarak gösteriniz. Yalnı z bı rakı lmış disk (d»R)için C l 'in yaklaşı k bir değ erini saptayı nı z ve bununla tam sonuç olan C 1 = (1W/2)R 1 aras ındaki oranı geliş tiriniz.

c) Cr(p) için daha iyi bir deneme ifadesi olarak, bir sabit

ile (R2 )

-1/2

'nin bir çizgisel kar ışı mı nı al ı n ı z; burada 2 2 -1/2

(R - .5:> ) yaln ı z bı rakı lmış disk için doğru ifadedir. b) şı kkı için aş ağı daki integraller yararl ı olabilir:

175

c. dt r J (t)/t - 4 L , I dt (t)/t = 1

-2-

Problem 3.20

3.20- Ş ekilde de görüldüğü gibi, iki-boyutlu bir potansiyel problemi, kutupsal koordinatlarda = 0, 0 = (3 ve 4 = a yüzeyleriyle tan ımlanmaktadı r.

Kutupsal koordinatlarda değ iş kenlerin ayrı lmas ını kullana-rak, Green fonksiyonunun a ş ağı daki gibi yaz ı labileceğ ini gösteriniz:

00

so

G(5), 0 ;?',.01) = 1

Sin( p"M

[

ii-1 ?"/P ( m 3> 4.)Sin(1 1 ) < n IVa a2mıc113 ı --> Y>

M=1

3.21- z = 0, z = L, p= a yüzeyleriyle tan ımlanan toprak-lanm ış bir silindirik kutu içine, (9',0 1 ,z 1 ) noktas ına bir birim noktasal yük yerle ş tirilmiş tir. Kutu içindeki potansiye-lin aş ağı daki çeş itli biçimlerde ifade edilebileceğ ini gösteri-niz:

X p

co eim(04')sin(k7m)sin(knz')Jm( mn ı )J111()

L L

2 jm+1 (xmn )

,kTÇ ,2 L

.." m=—eo K=1 n=ı 8

= Lal

176

4)(U ,

) = 4

=

co 0,

> > eim( q6-(' )

J (xmn?

)J (xmn?'

)

J

Im (n/L)

ma ma

x J2

(x )sinh( mn m+1 mn

mn z sinh

xL mn

m=-oon=ı

sinh

00 00

xmn (L

a

eim(gb- ı ) sin( "z )sin("z ı )

7 z,) a

;› m=-con=1 L L (nna/L)

[

nn? , ,nixa,, ı 1 , ,nna,

. İ ı ----/I. k---->, - n \----/

mLmL m L

ntr s> I m L ( > )

Son açı lımın (ondaki fazlal ı k toplam ile) diğer iki aç ı l ı ma olan bağ l ı lığı nı tartışı nı z.

3.22- Problem 3.21 'deki silindirik iletken kutunun tüm kenarlar ı s ı f ı r potansiyelinde, sadece üst yüzün üzerinde p= b <:a ile tanımlanan bir disk V potansiyelinde olsun.

a) Green fonksiyonunun Problem 3.21'de elde edilen üç ayr ı biçimini kullanarak, silindirin iç bölgesindeki potansiyel için üç ifade bulunuz.

b) b = L/4 = a/2 alarak, her seri için, p= 0, z = L/2 deki potansiyel ile diskin potansiyeli aras ı ndaki oranı sayı sal olarak hesaplayı nı z. En az ından virgülden sonra iki basamağı kesin bir say ı elde etmeğ e çalışı nı z. Bir' seri diğerlerinden daha yavaş yak ı nsar m ı ? Neden?

(Jahnke, Dinde ve Lösch' ün kitabında J ve JI ve I WTOK0ve (2/"5)K 'in çizelgeleri vard ı r. Çeş tli çi 'zel8eler için Watson'a da bain ı z).

3.23- üzerinde a yar ı çapl ı dairesel bir delik bulunan iletken düzlem problemi Kesim 3.13'de tart ışı lmış t ı . Ş imdi

177

oradaki yüzeysel yük yo ğunluklarını ele al ın ı z. o) Düzlemin üst ve alt yüzlerindeki yük yo ğunluklar ı nı n,

9

için

C1-4 (9) =

Eo + Acr(9)

E Cr (S)) = 41T + AT( ?)

olduklar ını gösteriniz; burada

(E -E ) o ı a - sin 4n2 N/5?_a2

dur. Büyük p 'ler için A.5(p) nas ı l davranı r? 45 (1) cinsinden tanımlanan Acil>) , 4<a için s ı f ı r m ıdı r? Açı klayını z.

b) Doğ rudan integral alarak -1

lim

R+ co 47£ = O

olduğunu gösteriniz. Bunu yorumlay ını z.

178

4 ÇOK-KUTUPLAR, MAKROSKOBİK ORTAMLARDA ELEKTROSTATİK

DİELEKTRİKLER

Bu bölümde önce yerle ş ik (lokalize = sonlu bölgeye s ı nı rlı ) yük dağı l ımları ve bunların çok-kutup aç ı lımları incelenecektir. Açı l ımı küresel harmonikler cinsinden yapmakla birlikte, ilk birkaç çok-kutup için dik koordinatlarla olan ili ş ki de kurula-cakt ı r. Daha sonra bir çok-kuthun bir d ış alan içindeki enerjisi tartışı lacaktır. Bunun ardı ndan elektrostatiğin makroskobik denklemleri basit olarak türetilecek; daha özenli bir türetim Bölüm 6'ya ertelenecektir. Sonra dielektrikler ve uygun s ını r koşulları betimlenerek, dielektriklerin varl ığı halinde birkaç tipik s ı nı r-değer problemi çözülecektir. Atomsal kutuplanma yatkınlığı (polarizability) ve al ınganl ı k (susceptibility) ile ilgili ana özellikleri betimlemek için basit klasik modeller kullan ı lacakt ır. Son olarak da dielektriklerin varl ığı halinde elektrostatik enerji ve kuvvetler sorunu tart ışı lacaktı r.

4.1- Çok-kutup Açılımı

Yerleş ik bir yük dağı lımı , sadece belirli bir baş langı ç dolayındaki R yarıçaplı m kiire içinde s ı fırdan farkl ı olan 9(5P) yük yoğunluğu ile betimlenir. Küre dışı ndaki potansiyel, küresel harmonikler cinsinden bir aç ı lım olarak yaz ı labilir:

p(X) =

47c gjm

Y 2m (O'

(;d)

r2+1 (4.1)

=O 2L+1

Sabit katsayı lar, daha sonra uygun dü ş sün diye bu özel biçimde seçilmiş lerdir. (4.1) denklemine çok-kutup aç ı lımı denir; Z= 0 terimi tek-kutup terimi ad ı nı al ır; Z= 1 terimleri çift-kutup terimleridir, v.s.... Bu isimlendirmelerin nedeni a ş ağı da açı k hale gelecektir.

Çözülecek problem, d iz. sabitlerini j?(;2'') yük yoğunluğunun özellikleri cinsinden sZtamaktad ır. Çözüm, potansiyel için

R yar ı çapl ı küre, sadece uzay ı yüklü ve yüksüz iki bölgeye ay ı rmak için kullan ı lan keyfi bir kavramsal araçt ı r. E ğ er yük yo ğ unlu ğ u uzakl ı k ,ile uzakl ığı n her kuvvetinden daha h ı zl ı olarak dü ş üyorsa, bu durumda çok-kutup aç ı l ı m ı yeterince. büyük uzakl ı klarda geçerlidir.

qoo = ? ( x.-4; ) d3 x' 41T.

ı 4 -rr Ni q

(4 .4)

(4.5)

3 z' f(x') d 3x'

179

1.?( 32') = s'' , d3x' 1)t-;?'1

biçiminde yaz ı lmış olaı (1.17) integralinden kolayca elde edilir; yeter ki burada 1/1-;'(''' yerine (3.70) aç ı lımı kullanı ls ı n. Şu anda yük dağı l ı mı nı n dışı ndaki potansiyel ile ilgilendiğimizden, r = r' ve r = r dir. Böylece potansiyel için

YDre+1

te,9) 4)(7) = 4rt 2k+ İ UYI-n(91,4>' )r' e .g()1 1 ) d3x'l (4.2)

aç ı lımı nı buluruz. Buna göre, (4.1)'deki katsay ı lar şöyledir:

qtrn 4Ern (9',96' ) r "Q" 52( -;' ) d3 x' (4.3)

Bu katsayı lara çok-kutup momentleri denir. Bunlar ın fiziksel anlamı n ı görmek için, ilk birkaçı nı dik koordinatlar cinsinden açı k biçimde yazal ı m:

.1 qıı =

3 S( x l -iY') j>(>7') d 3x' = -

81T -ip )

Y

q22 = --7r 15 5' . 2 3 , _ - (x'-ly') J9(x )d x 17 — (Q -2/C2 -Q ) 21T 11 12 22

c121 = — z (x - ı y ) y(xl)d

3 x' = -1(223 ) (4.6)

_ 1 i5 j„2 ,2 3 , t3z -r ) f(x ) d x = q20 - 4Tz 2 4 İr Q33

180

Sadece m 0'11 momentler verilmi ş tir; çünkü (3.54)°e göre, gerçel bir yükyoğunluğu için m 0 '11 momentler m > 0'11 momentlere

q = (-1) m q* .8.111

(4. 7)

ile bağ l ıd ırlar. (4.4)-(4.6) denklemlerinde q toplam yük ya da tek-kutup momenti olup, 1.-;') ise elektrik çift-kutup momentidir:

( ) d3 x' (4.8)

Q13izsiz dört-kutup momenti tensörüdür:

= (3x 1 .ı x' .3 - r' 25.1 .3 )QC'xi)d3 x' - ı J

Görüyoruz ki £'yinci çok-kutup katsay ı ları + 1 tane), bunları n dik koordinatlardaki kar şı l ı kları nı n çizgisel kar ışı m-larıdır.P(in dik koordinatlardaki aç ı l ı mı ş öyledir:

x.x. (13( - = q +

p.x 1 1 3

rr 2 Qij r5 3

(4.10)

1/ 34(--X1 'nün doğrudan doğruya Taylor serisine aç ı lmasiyle bulunan bu ifadenin geli ş tirilmesi, okuyucuya bir al ış t ı rma olarak bı rakı lmaktadır. (4.10)'daki aç ı l ım ı n dört-kutuptan sonraki terimlerini yazmak a şı r ı biçimde zor ve s ı kıc ıdı r.

Verilen bir çok-kutbun elektrik alan bile şenleri, en kolay ş ekilde küresel koordinatlar cinsinden ifade edilebilir. (4.1) de belirli (2,m) değerli bir terimin eksi gradyeni a ş ağı daki bileş enlere sahiptir:

Ybi (8,0)

r 4n(t+1) E -

q. '2m /-9--1- 2 2Q+1

(4 .9)

4n 1 y ( 9 p EG — 2e+1 cl em r 01-2 Lm

(4.11)

181

4 .n 1 im E =

2+1 q, Y (9 0)

siı ' rZ+2

CY.Cm/ e ve Yi /sin0 , di ğer Y 2.m 'lerin çizgisel karışı mları

olarak yazı labilir; fakat bunu yapman ın özel bir yararı yoktur, dolayı siyle bu i ş e giri şmeyeceğ iz. Bir vektörel çok-kutup alan ı yazmanın özel bir yolu, Bölüm 16'da tart ışı lan vektör küresel harmoniklerdir.

z-ekseni boyunca yönelmi ş bir 77 çift-kutbu için (4.11)'deki alanlar bilinen aş ağı daki biçime indirgenirler:

2p cos8

r3

psin8 E - 3 r

(4.12)

= O

Bu çift-kutup alanlar ı , (4.12) bile ş enlerini biraraya getirerek, ya da doğrudan doğruya (4.10)'daki çift-kutup terimine gradyen iş lemcisini uygulayarak vektör biçimine sokulabilir. x nokta-sındaki bir p çift-kutbunun .;t. noktas ında oluş turdılğu alan olarak sonuç şudur:

= 3r-7(i5" . -p

- 3 c) \3 (4.13)

Burada n -› , x

o 'dan x'e uzanan bir birim vektördür.

Bu noktada iki önemli uyar ı sözkonusudur. Birisi, (4.8) türündeki Kartezyen çok-kutup momentleriyle (4.3) küresel çok-kutup momentleri arasındaki bağı ntıyla ilgilidir. Kartezyen momentler sayı ca (.2+1).(+2)/2 olup, (22+1) tane olan küresel bileşenlerden > 1 halinde daha çokturlar. Ama burada bir çeli ş ki yoktur. Bu fark, söz konusu iki tür çok-kutup momentinin dönmeler alt ındaki ayrı dönüşüm özelliklerinden kaynaklanmakta-dı r-Problem 4.3'e bak ını z. Dikkat ederseniz, z= 2 için (4.9)'da izsiz bir Kartezyen dört-kutup momenti tan ımlayarak bu fark ı açığ a vurmuş tuk.

182

İ kinci uyar ı , (4.1) açı l ımı ndaki çok-kutup momenti katsay ı - ları nın genelde ba ş lang ı ç noktas ı nın seçimine bağ l ı olmaları konusundad ır. Çarp ıc ı bir örnek olarak, x = (r , 9 )'da bulunan noktasal bir e yükünü gözönüne al ın12. Bu 4ç, ç8IÇ-Rutup momentleri

e x q2m . e ro Y2111 (00 ,4,0 )

lar olan (4.1) türünde bir çok-kutup açı l ımına sahiptir. Bu çok-kutup momentleri genel olarak tüm L,m de ğerleri için s ı f ır-dan farkl ıdırlar. Sadece -e= 0 kutbu, q = noktasal yükün konumundan bağı ms ı zdı r. Sı ras ı yla °°ye 5.'(' 'de bulunan +e ve -e gibi iki noktasal yük için çok -kutu Dmomenheri şunlardı r:

q = e r e $m Lm (°o 4o ) rf

Bu kez sistemin L= 0 momenti s ı fı rdır; L= 1 momentleri ise

1-3-1 qlo -TIT- e (zo - z ı )

q11 = e [ (xo - x ı ) - i(yo -y ı )1

dir. Bu momentler sadece iki yükün ba ğı l konumuna bağ l ı olup, baş langıc ın konumundan bağı msı zdırlar; fakat kalan tüm yüksek momentler baş langı ç konumuna da bağ l ıdı rlar. Bu basit örnekler genel teoremin özel halleridir (bak.Problem 4.4): Her yük dağı l ımı nın sıfırdan farklı en düşük çok-kutup momentinin q o

değerleri koordinat haşlangıcının seçiminden bağı msı zdı r; fak daha yüksek tüm çok-kutup momentleri genelde baş langı ç konumuna bağ lıdı r.

Çok-kutuplar ın genel formülasyonunu bırakmadan önce, hem elektrik ve manyetik çift-kutuplar ın aras ındaki temel fark ı aydınlatmada (bak. Kesim 5.6), hem de ba ş ka konularda yararl ı olan bir sonucu gözden geçirelim. Bunun için uzayda bir E(x) elektrik alanı doğuran yerleş ik bir ..1?(5n yük dağı lı mı. ele alalı m. Ş imdi R yar ı çapl ı küresel bir hacim üzerinden bu E'nin integralini hesaplamayı istiyelim. Problemi genel olarak incele-meğe baş layacağı z; fakat sonra Ş ekil 4.1'de görülen iki a şı rı özel hale ineceğiz; öyle ki birinde küre tüm yükü kapsayacak, diğerinde ise tüm yük kürenin d ışı nda bulunacak. Koordinat baş langıc ı nı kürenin merkezinde seçelim. Elektrik alan ının

183

Şekil 4.1- Yük yoğunluğu ile içerisinde elektrik alan ı-nın hacim integralini hesaplayacağı mı z kürenin birbirlerine göre durumlar ını göste-ren iki aşı rı farklı şekillenim.

- jr - Pc13x r<R r<R

(4.14)

biçimindeki hacim integrali, kürenin yüzeyi üzerinden al ınan bir integrale dönüş türülebilir:

E(x) d3x = - R2d,,,,b () n (4.15) r<R

Burada n, d ış a doğru yönelmiş yüzeye dik birim -> x/R). Potansiyel yerine (1.17) ifadesini koyarak

vektördür (ri

f d3x = - R2j-d3 x. jr dil n (4.16) r<R r=R

. bağı ntı s ına ulaşı rı z. Açı sal integrali yapmak için, önce n'nı n (e4) küresel aç ı ları cinsinden

n = ı s ıng cos + j sing sin + k cos8

biçiminde yaz ı labileceğ ini gözleriz. ri'nin farkl ı bileş enlerinin

184

sadece Z= l'li Y t 'lerin çizgisel kar ışı mları olduğu açı ktı r. (4.16) Denkleminde lb.38) ya da (3.70) aç ı l ı m ı yerine konacak olursa, Y o 'lerin dikli ğ i, i= 1 terimi dışı nda, serinin geri kalan tüm"fierimlerini yok edecektir. Böylece

r< -4. S an. n'' = 5 dlln cos

r.7.R t>7-)7'' r2

(4.16')

>

ifadesini bulacağı z; burada cos = cos8 cos9' + sin9 sin8 1 • cos(1-(ffi'dür.

Açı sal integral 4nri'/3 verecektir; burada = -7'/r' dür. Buna göre (4.16) integrali şuna eş ittir:

E(x) d3x = 4RR2 r<

d3x ' — n ' 5)(x ) (4.17) r<R 3 r2

Burada, r' ve R'nin hangisinin daha büyük olduğuna bağ l ı olarak,

' (r< ,r

>) = (r', R) ya da (R, r')'dür.

Ş ekil 4.1a'da görüldüğü gibi, R yarı çapl ı küre yük yoğunlu-ğunu tümüyle içine alı yorsa, o zaman (4.17)'de r, = r' ve r> = R'dir. Bu durumda elektrik alan ı nın küre üzerinden hacim integra-li

S. -4 -) E(x)d

3 x =

Litc

r<R 3 (4.18)

olur; burada P., yük dağı l ımının küre merkezine göre (4.8) elektrik çift-kutup momentidir. Dikkat ederseniz bu hacim integrali, küresel integrasyon bölgesinin boyutundan bağı msı z - dı r, yeter ki tüm yük içerde olsun.

Diğ er taraftan, Şekil 4.1b'de görüldü ğü gibi, tüm yük ilgilenilen kürenin d ışı nda ise, (4.17)'de r = R ve r > = dür. Bu durumda ş u ifadeye sahip oluruz:

d3x - 47TR

3 d3x' 111 2 ?(7(')

r<R 3 r'

(1.5)'deki Coulomb yasas ından, bu integralin, küre merkezindeki elektrik alan ı n ı n eksilisine eş it olacağı anlaşı l ır. Böylece elektrik

hacim integrali

--<)) d3x - 41x -› R3 E(0) (4.19) r<R 3

185

dı r. Baş ka bir deyiş le, elektrik alan ının, içinde yük bulunmayan bir küresel hacim üzerinden hesaplanan ortalama değeri, küre merkezindeki alan değ erine eş ittir.

(4.18) sonucu, bir çift-kutbun elektrik alan ını n (yani 4.13 ifadesinin) düzeltilmesi gerektiğini sezinletir. (4.18) ile tutarlı olmak için çift-kutup alan ı

-> 4n 44 4 .4 E(x) - p ö(x -xo

) P?-)-"c \ 3 3

(4.20)

biçiminde yaz ı lmal ıdır. Eklenen delta fonksiyonu çift -kuttun konumu d ışı ndaki noktalarda alana katk ıda bulunmaz. Delta fonksiyonunun rolü, gerekli olan (4.18) hacim integralini vermektir; kuşkusıw ilk terimin hacim integralinin s ıfır olacatı (açasal) integrasyondan) varsayı lmalıdır, yoksa 3t = x 'daki tekillik belirsiz bir sonuca yol açar. (4.20) denkleginde ve bunun manyetik çift-kutup kar şı t ı olan (5.64)'de çift -kutuplar sanki soyutlanm ış noktasal çift -kutuplar gibidir ve gerçekte sonlu olan yük ve ak ım dağı lımları hakkı ndaki bilgiyi delta fonksiyonu terimleri taşı maktadı r.

4.2- Dış Alan İçinde Bulunan Bir Yük Dağı lımının Enerjisinin Çok-kutup Açı lımı

JX5!) ile betimlenen yerleş ik bir yük dağı l ımı bir dış 1(32') potansiyeli içine konduğunda, sistemin elektrostatik enerjisi

W = 3)(7) , (>7) d3x (4.21)

olur. j>(7)'in s ı fırdan farkl ı olduğu bölgede 14? potansiyeli yavaş değ iş iyorsa, uygun olarak seçilmi ş bir baş lang ı ç dolayı nda Taylor serisine aç ı labilir:

( -)4c. ) = (o). 40) «?2(I> (o) .. (4.22) 2 ii ı J. -axi)x i

Elektrik alanının E - - tanımı kullanı larak son iki terim yeniden yaz ı labilir. Böylece (4.22) şu ş ekle gelir:

-"d E .4(0) -

2 x x 3 (0) +

, . i 3 13 1

186

Dış alan için V . E = 0 olduğundan, son terimden

1 r2

. E(0) 6

yi çı kararak sonuçta aş ağı daki açı lımı elde ederiz:

R)E. 1D(X")=4)(0) E(0) - .. pc3 (0) +..(4.23) i

Bunu (4.21)'de yerine koyduktan sonra, toplam yük ile (4.8)'de-ki çift-kutup momenti ve (4.9)fdaki dört-kutup momenti tan ımla-rı kullanı lı rsa, sistemin enerjisi

E . --> ı w 4 p (0) — . E(0) — xi 3 (0) +

ij (4.24)

ş eklini al ır. Bu açı l ım, çeş itli çok -kutupları n bir dış alanla olan karakteristik etkileşme biçimlerini gösterir-yük potansi-yel ile, çift-kutup elektrik alanı ile, dört-kutup alan gradye - ni ile v.s. etkile şmektedir.

Çekirdek fizi ğ inde dört-kutup etkile şmesine özel bir ilgi duyulur. Atom çekirdekleri elektrik dört-kutup momentlerine sahip olabilirler; bu dört-kutup momentlerinin büyüklükleri ve iş aretleri, hem çekirdeklerin biçimlerini, hem de nötronlar ve protonlar aras ındaki kuvvetlerin niteli ğini yans ı t ır. Bir çekirdeğin enerji düzeyleri ya da durumlar ı , toplam aç ı sal momentum kuantum sayı sı (J), bunun z-ekseni üzerindeki izdü şümü (M) ve genel olarak o( indisiyle göstereceğimiz diğer kuantum sayı ları ile betimlenir. Verilen bir çekirdek durumu, bu (J,MM)

kuantum say ı larına bağl) olan pxvı Uh gibi kuantum mekanik- sel bir yük yoğunluğuna sahiptir ve bu yük yo ğunluğunun z-ekseni etraf ında silindirik bir simetrisi vardir. Dolayı siyle s ı fırdan farkl ı dört-kutup momenti sadece (4.6)'daki q 70 , ya da (4.9)'daki Q3 itürNI PJM4( (X> ) yük yoğunluklu bir gkirdek J

* Problemin kuantumlu yanlar ı konusunda basit bir tart ış ma için Blatt and Weiskopf, sayfa 23'e bak ı n ı z.

**Gerçekte Q ve Q22 s

ı f ı rdan farkl ı , fakat Q33

'den ba ğı ms ı z de ğ ildir; ıı Q ıı

Q 22 1

= - 2 Q 33 dür.

187

durumunun dört-kutup momenti (1/e)Q33 'ün değeri olarak tan ımla-= (burada e proton yüküdür):

QJM0( e - 1- S (3z2 - r2) J-Moc6n d3x (4.25)

Buna göre 2 1.mo< 'n ın boyutu (uzunluk) 2 'dir. Tümüyle kapal ı elektron kablar ına sahip atom çekirdekleri gibi ayr ıcal ı kl ı durumlar d ışı ndaki çekirdekler, dolaylar ı nda alan gradyenlerine sahip elektrik alanlar ı nın etkisine uğrarlar. Bunun sonucunda, (4.24) uyar ınca, çekirdeklerin enerjisi dört-kutup etkile ş me-sinden bir katk ı alacakt ı r. Aynı J fakat ayrı M değerli durum-lar ayr ı Qjmix momentlerine sahip bulunacaklar ve dolayısiyle M değerine göre katmerlilik (dejenerelik), "d ış " elektrik alanıyla (yani kristal örgü, ya da molekül alan ı yla) dört-kuttun etkileş mesi sonucunda kald ı rı lmış olacaktır. Radyo-frekans tekniğiyle bu küçük enerji farklar ının ölçülmes çekirdeklerin dört-kutup momentlerinin saptanmas ını sağ lar.

-4 p ve p2 gibi iki çift-kutup aras ı ndaki etkileşme enerjisi,

(4.203- çift-kutup alan ı kullanı larak doğrudan doğruya (4.24) 1_ den elde edilebilir. Buna göre kar şı lı kl ı potansiyel enerji ş öyledir:

-4 -4 -4, -4 -4 -4. P . p2 - 3(n . pı )(n . p2

(4.26) )

W12 = ) - )12 1 3

Burada n,(x -x,) yönünde bir birim vektördür ve x -> x varsa- yı lmaktad ı r: Ciftkutup-çiftkutup etkile şmesi, ç2ft-kuuplar ı n yönlenmelerine bağ lı olarak, çekici ya da iticidir. Çok-kutup-ların yönelmeleri ve aralar ındaki uzakl ık sabit tutularak birbirlerine göre konumlar ı (yani .71) üzerinden ortalama al ını r-sa, etkileşme değeri s ı fı r çı kar. Momentler birbirlerine para - lelseler, merkezlerini birle ş tiren doğruya aş ağı yukarı paralel olmaları durumunda çekme, dik olmalar ı durumunda ise itme kendini gösterir. Kar şı t-paralel momentler için durum tam tersinedir. Potansiyel enerjinin uç de ğerleri, büyüklükçe eş ittir.

Maddesel Ortamlarda Elektrostatik

Bölüm 1,2 ve 3'de, yük ve iletkenlerin varlığı halindeki elektrostatik potansiyelleri ve alanlar ı ortal ıkta hiçbir maddesel ortam yokken ele alm ış t ı k. Bu nedenle de mikroskopik alanlarla makroskopik alanlar aras ında hiçbir ayı rım yapmamış -

* Bir çekirde ğ in Q ile gösterilen "dört-kutup momenti", Q jm 'n ı n M = J duru-mundaki de ğ eri olarak tan ı mlan ı r. Blatt and Weiskopf'a bakfil ı z.

188

tık. Olsa olsa iletkenleri, soyut bir biçimde yüzeysel yük yoğunluklar ına sahip olarak ele almakla makroskopik anlat ıma ağı rlı k vermiş tik. Hava yeterince seyrek olduğundan, dielektrik özelliklerinin önemsenmemesi büyük bir yanı lgıya yol açmaz; ş imdiye dek elde etti ğimiz sonuçlar havada da geçerlidir. Fakat elektrostatik, daha çok elektriksel yan ı tlarının hesaba kat ı lmas ı gereken maddesel ortamlardaki yük ve alanlarla ilgi-lidir. Makroskobik olaylara ili ş kin Maxwell denklemlerini elde etmek için, makroskobik olarak küçük, fakat mikroskobik olarak büyük bölgeler üzerinden ortalama almaya olan gereksinime Giriş' bölümünde değinmiş tik. Bunu, zaman değ iş imli Maxwell denklemlerini tartış tı ktan sonra, dikkatli bir biçimde Bölüm 6'da yapacağı z. Ş imdilik okuyucuya, yalnı zca kutuplanmayla ilgili.temel tart ış manın ana çizgilerini hat ı rlatacağı z; bunu yaparken, ortalama alma i ş leminin ve makroskobik niceliklerin ortaya at ı lmalarının güç olan ve bazen de incelik isteyen yanlar ı nı üstünkörü geçeceğ iz.

İ lk gözlemimiz şudur: V x Emakra = 0 homojen denkleminin ortalamas ı al ı ndığı nda, ortalama kyani makroskobik) E elektrik alanının da aynı

-4. --Ip VxE= 0 (4.27)

denklemini sağ ladığı görülür. Bu, elektrik alan ının elektrosta- tikte gene bir l'5(5n potansiyelinden türeyece ğini ifade eder.

Çok sayıda atomdan ya da molekülden olu ş an bir ortama bir elektrik alanı uygulanacak olursa, her bir moleküle bağ lı bulunan yükler uygulanan alana yan ı t vererek küçük hareketler yapacaklardır. Molekülsel yük yo ğunluğu değ iş ecektir. Her bir molekülün çok-kutup momentleri, d ış alanın yokluğundaki değer-lerinden farklı olacakt ır. Basit maddelerde, uygulanan alan yokken tüm çok-kutup momentleri, ya da hiç olmazsa bunlar ı n birçok molekül üzerinden al ınmış ortalamaları s ı fırdı r. Uygula-nan alan ile ortaya çıkan Baş at molekülsel çok-kutup, çift -ku - tuptur. Buna göre, ortam içinde

(4.28)

ile verilen bir P elektrik kutupla ► ması (yani birim hacim başı na düşen çift-kutup momenti) olu ş acaktır; burada N., x noktas ı dolayındaki birim hacimde bulunan i yinci tür molakül-lerin ortalama sayı s ı , p, ise ortamda bulunan i 'yinci tür molekülün çift-kutup momenti olup; ortalama, dolay ı ndaki küçük bir hacim üzerinden al ı nmaktad ır. Molelçüller net bir e.

189

yüküne sahipseler ve ayr ı ca makroskobik nitelikte fazlal ık, yani serbest yükler de varsa, makroskobik düzeydeki yük yo ğunluğu

_9(rt.) =1. Ni<ei>+ ?serbest (4.29)

biçiminde olacakt ır. Ortalama molekülsel yük genellikle s ı fı r-dır. Bu durumda yük yoğunluğu, fazlalı k yüklerden, yani serbest yüklerden (uygun biçimde ortalamalar ı al ı nmış ) oluşmaktadı r.

Şimdi ortama makroskobik aç ıdan bakalım. Bu durumda potansi-yeli ya da alan ı , 7' değ iş ken olmak üzere, her bir x' dolay ında yer alan makroskobik derecede küçük AV hacim elemanlarından gelen katkı ların çizgisel olarak üstüste bindirilmesiyle ku4abi-liriz. AWnin yükü p(x)AV olup, AVenin çift-kutup momenti P(7 1 )• AV'dir. Daha yüksek mertebeden makroskobik çok-kutup momenti yoğunlukları yoksa, AV deki momentlerin oluş turduğu A<D(') potansiyelinin, 3t noktas ı AV'nin dışı nda kalmak koşuluyla, yaklaşı ks ı z olarak

_ ) AV + P(x' ) . ) Lv (4.30) ix - x'

biçiminde verileceği (4.10)'dan görülT. AV 'yi (makroskobik düzeyde) sonsuz küçük olarak düşünüp d x' ye eş it alır ve tüm uzay üzerinden integre ederek potansiyeli buluruz:

( 4c. ) 4d3x'[ 1:)(;) + . ( 1 ) (4.31) I k'>->--(1

İkinci terim, (1.25)'deki çift-kutup tabakas ı potansiyeline benzemektedir; daha doğrusu onun hacimsel çift-kutup dağı lımına genelleş tirilmiş idir. Parçal ı integrasyonla bu potansiyel

(b(>- ) .S- c13 x 1 ?(7 , ) - . ı) (4.32)

haline dönüş türülür. Bu, tam olarak (9 - V.P) yük dağı lımınca gluş turulan potansiyelin alışı lagelen ifadesidir. Dolay ı siyle, E = --fAolmak üzere, ilk Maxwell denklemi şu ş ekle girer:

190

V .

-

E = 41t5> - D . (4.33)

--ı Etkin yük yoğunluğunda P'nin ıraksamas ı nın ortaya ç ı kışı nitel biçimde anlaşı labilir. Eğer kutuplanma düzgün değ ilse, Ş ekil 4.2'de ş ematik olarak görüldüğü gibi, herhangi bir küçük hacim içerisinde net bir yük artmas ı ya da azalmas ı olabilir.

- -N D = E + 4ıd

a (4.34)

ş eklinde elektrik yerde ğiştirme diyeceğimiz bir D vektörü tanı mlayarak, (4.33) bağı nt ı s ı n ı al ışı lmış biçime getirebiliriz:

V .

-

D = 4TÇ f (4.35)

(4.27) ve (4.35) denklemleri, Bölüm l'deki (1.13) ve (1.14)'ün makroskobik kar şı l ı klarıdı r.

Şekil 4.2- Kutuplanma yük yoğunluğunun ortaya çıkışı . Wituplanmanın uzaysal değişimi nedeniyle, verilen küçük bir hacimden girene göre daha çok molekül yükü çıkabilir. Yalnı zca sınırın yakınındaki moleküller gösterilmiş tir.

Giriş bölümünde tart ışı ldığı gibi, elektrostatik potansj;yel ya da alanlar için bir çözüm elde etmeden önce, -D ve E'yi birbirine bağlayan bir bağı ntı gereklidir. Bu bölümün geri kalan kesimlerinde, sistemin uygulanan alana çizgisel olarak yan ıt verdiğ ini varsayacağı z. Bu, ferroelektrikliği tart ış ma dışı na ç ı karır; fakat alan ş iddetleri aşı rı büyük olmamak koşuluyla, bunun ötesinde gerçek bir s ını rlama değ ildir. Durumu daha da basitleş irmek için, ortamın izotropik olduğunu varsaya-l ım. Buna göre, P kutuplanmas ı , doğ rultudan bağı msı z bir orant ı katsayı s ı ile Vye paraleldir:

191

- -4 P = ")(eE

(4.36)

e katsayı sı na orZamı n elektrik al ınganlığı denir. Bu durumda D yerdeğ iş tirmesi E ile orant ı l ıdı r:

Burada

-4 -4 D = E E (4.37)

= 1 + 41T):e (4.38)

olup, dielektrik sabiti ya da bağı l elektrik geçirgenliği adını alı r.

Dielektrik ortam yaln ı zca izotropik olmayıp aynı zamanda düzgün ise, bu durumda E yerden ba ğı ms ı zdır. Dolayı sıyla (4.35) ı raksama denklemi

-> -> V . E = 4Tc( 9 ) (4.39)

biçiminde yaz ılabilir. Böyle ortamlardaki tüm problemler, önceki bölümlerde inceledi ğimiz problemlere indirgenirler, yeter ki verilen yükler taraf ından oluş turulan elektrik alanlar ı 1/E çarpanı kadar azalt ı lsın. Bu azalma, atomlar ın kutuplanmas ı cinsinden anlaşı labilir; çünkü atomların kutuplanmas ı , verilen yükün alanı na karşı duran alanlar doğurur. Hemen ortaya ç ıkan bir sonuç şudur: Bir kondansatörün plâkalar ı arasındaki boş luk EFAlitli bir dielektrikle doldurulursa,bu kondansatörün s ığ as ı Eçarpanı ile artar (bu dediğimiz, kuşkusuz, kıyı alanları önemsenmediğ i ölçüde doğrudur).

Elektrik alanlar ının bulunduğu uzayın tümü bu düzgün ortam ile dolu değ ilse, ya da daha genel olarak, yan ı tları çizgisel de olmayabilen yüz yüze değ iş ik ortamlar sözkorwsu ise, bu durumda ortamların arakesit yüzeylerinde D ve E üzerindeki sını r koşulları problemini ele almamı z gerekir. Bu sını r koşul-ları G.5 kesiminde Maxwell denklemlerinden türetilmi ş ti. Sonuç- lar şöyleydi: Ar,akesit yüzeyinin her iki yan ı nda -1'5'nin dik bileşenleri ve E'nin teğet bileşenleri, hem durgun hem de zamanla değ iş en alanlar için,

(D2 -Di ) = 47r(r • (4.40)

(E2 - E1 ) x 21 = O

192

sınır koşullarını sağ larlar; burada Fin , 1 bölgesinden 2 bölge-sine yönelmiş yüzeye dik birim vektör ve cr s ını r yüzeyi üzerin-deki (kutuplanma yükünü kapsamayan) makroskobik yüzeysel yük yoğunluğudur.

4.4- Dielektrikli S ınır-değer Problemleri

Elektrostatikteki s ı nı r-değer problemlerinin çözümü için daha önceki bölümlerde geli ştirilmiş olan yöntemler, dielektrik - leri kapsayan durumlara kolayl ı kla geni ş letilebilir. Bu kesimde dielektriksel ortamlara uygulanan teknikleri aç ıklayıcı nitelik-te birkaç örnek ele alaca ğı z.

Dielektrikli görüntü yöntemini aç ı klamak için, arakesit yüzeyi düzlemsel olmak üzere, uzayın bir yarı sının ı sabitli ve diğer yar ı s ını n £2 sabitli dielektrik maddeyle dolui olduğunu ve birinci ortamda arakesit yüzeyinden d uzakl ığı nda noktasal bir q yükü bulunduğunu varsayal ı m. Ş ekil 4.3'de görüldüğü gibi, arakesit yüzeyi z = 0 düzlemi olarak al ınabilir. Ş imdi

Li V . E = ? , z > O

--> 2 V . E = O z < O (4.41)

VxE= 0 her yerde

denklemlerine, z = O'da

ı z 2Ez

lim

z-ı0+ Ex

E

= lim

z

Ex

E

(4.42)

Y

sınır koşullarını sağlayan uygun çözümler bulmal ıyı z. Her yerde "Ğ".XE:= 0 olduğundan, alanı alışı lmış biçimiyle bir( potansiye - linden türetilebilir. Görüntü yükleri yöntemini kullanma giri-ş iminde, Ş ekil 4.4'deki simetrik A' noktas ına bir q' görüntü yükü koymak doğaldır. Bu durumda, z >O bölgesi için, (p,ck,z) silindirik koordinatlar ı yla belirtilen P noktas ındaki potansiyel

X

Şekil 4.3

P

R

re-- d -----> <---- . d

Şekil 4.4

193

1 ( q + qi , z > O (4.43)

El R ı R2

olacakt ır; burada R = >2. + (d-z)2, R2 = ifa + (d+z) 2 'dir.

Buraya kadarki i ş lem,£2 dielektriği yerine iletken ortam al ı nması problemindeki iş lem ile tümüyle ayn ıdı r. Fakat şimdi z<0 için potansiyeli belirtmeliyiz. z < 0 bölgesinde hiç yük bulunmadığı ndan, bu potansiyel, Laplace denkleminin bu bölgede tekilliksiz bir çözümü olmal ıd ır. En basit varsay ım şudur: z<0 1 daki ~sWel gerçek q yükünün A konumuna yerleş tirildiğ i

düşünülen q" görüntü yükünün potansiyeline eşdeğ erdir:

Rı z < 0 (4.44)

Öte yandan

194

( ı )

l (ı ) d

"bz Rı z=o z R2 L=o (J;22 )3/2

ve ı ı - P = ( R ) 2 2 3/2 P R (JS) 2 (p ) ı z=o z=o

olduğundan, (4.42) s ı nı r koşulları şu gereksinimlere yol açar:

q qi = q.

(q q') =E q" E 2.

Bu bağı ntı lar çözülerek q' ve q" görüntü yükleri bulunur:

q ' - ( q 2

2 q" = ( ) q

E .4 E 2 1

(4.45)

E ves2,2 ‹: £. durumlar ı için kuvvet çizgileri (daha doğrusu çizgileri) nitel olarak Ş ekil 4.5'de görülmektedir. Kutuplanma yük yoğunluğu -V.P ile verilir. Her bir dielekt -

rik içerisindejr= ") ıt E'dir; dolayı siyle q noktasal yükü dışı nda -c7.1,;" = - ")1( —.E=O'd ıre Bununla beraber, z, z = O'dan geçerken, yüzey üzeride 3c bir süreksiz atlamaya sahiptir: 4k = (1/47z)•

'( E -E9 ). Bu, z = 0 düzlemi üzerinde bir kutuplama yüzeysel yük yoğunluğu var olduğunu gösterir:

Cr = - ( E) - P ) n kut. 2 ı • 21 (4.46)

Burada 21' l'inci dielektriten 2'nci dielektriğe yönelmi ş olan yüzeye dik birim vektör; P. ise ilyinci dielektri ğ in z = 0 yüzeyindeki kutuplanmad ı r.

E. -1 -

zi*rc zın

195

Şekil 4.5- Yarı-sonsuz E2 dielektrik madde blokuna yakın olarak E dielektriği içine yerleşmiş noktasal yükün ielektriksel yerdeğiştirme (D) çizgileri.

olduğundan, kutuplanma yük yoğunluğunun

o- . E

2 ı d kut 27,c Eı (E 4_ E ) (92.*d2) 3/2

2 ı (4.47)

olduğunu göstermek basit bir sorundur. £ .>> E limitinde, E 2 dielektriği çok fazla bir iletken daviranır; içindeki

elektrik alanı çok küçük duruma gelir ve (4.47)'deki yüzeysel yük yoğunluğu, bir iletken yüzeye uygun değ ere yaklaşı r.

Dielektrikleri kapsayan elektrostatik problemleriyle ilgili ikinci örneğimiz, baş langıçta düzgün olan bir elektrik alanı içine yerleş tirilen a yar ıçapl ı ve E, sabitli bir dielektrik küredir. Elektrik alan ı küreden çok uzaklarda, Şekil 4.6'da görüldüğü gibi, z ekseni boyunca yönelmi ş olup E büyüklüğüne sahiptir. Kürenin ne içinde ne de d ışı nda hiç bir. serbest yük bulunmamaktad ı r. Bu nedenle problemimiz, Laplace denklemini, r = a'daki özel s ı nı r koşulları nı gerçekleyecek biçimde çözmektir.

196

Problemdeki geometrinin eksensel simetrisi nedeniyle, çözümü aş ağı daki biçimde alabiliriz:

E o

Şekil 4.6

İÇKRDE: (Diç = rt P9, (cos9

(4.48)

DIŞARDA: Ad ıs - r".._ [Bp re + Cr-(2+1) ] P2(cos9) (4.49) e4

. i=o <-

Sonsuzdaki sınır koşulundan 4-›-Ez = -Er cos8), s ı f ı rdan farkl ı tek BE 'nin B = -E olacağı nı

o buluruz

o. Diğ er katsay ı lar

ise r = a'daki sı n ı rl koşul%r ı yard ım ı yla saptanı rlar:

1 .t. iç 1 -.Adış a 1 --a e I a --a g r=a ir=a

s -41Ç ) -br

-'4dış l ""r.

r=a r=a

TEĞETSEL E:

DİK D

(4.50)

(4.48) ve (4.49) serileri (4.50)'de yerlerine konduklar ı nda, Legendre çok-terimlilerinden olu ş an sı fıra eş it iki seri elde edilir. Bunlar tüm e değerleri için s ı fı r olacaklar ı na göre, her Legendre çok-terimlisinin katsay ı s ı ayrı ayrı s ı fır olmal ı -d ı r. Bu, ilk s ı n ı r koşulu için şu bağı nt ı lara yol açar:

di A = - E0 +

a3

197

C2 A - g

aU+1 1 için (4.51)

İ kinci s ını r koşulu ise şunları verir: C

£. Al = -Eo 2 a

(4.52)

.A =- (2+1) 22 Ct 1 için

a +1 '

(4.51) ve (4.52)'deki ikinci denklemler, ancak tüm Q l'ler için Az = C£ = 0 olduğunda birlikte sağ lanabilirler. Geri kalan katsayı lar, uygulanan Eo elektrik alanı cinsinden ş öyle verilir-ler:

3 Eı = ( 2 +E.

) Eo

(4.53)

C = - 1 ) a3 E ı

Dolayı siyle potansiyel

3 J. = ) Eor cos9

(4.54) 3

-E o r cos9 (E- 1 ) E a2 klış = cos9 E+ 2 ° r

biçiminde bulunmuş olur.

->,

Şekil 4.7- Düzgün bir E alanı içinde bulunan dielektrik küre. Solda 9cutuplanman ın kendisi, sağda ise kutuplanma yiikleri ve bunların oluş turduğu karşı koyucu elektrik alanı görülmektedir.

198

Küre içindeki potansiyel, uygulanan alana paralel ve

3 El. ç -

+ 2 E

o (4.55)

Kiyüklük1ü sabit bir elektrik alan betimler; E.:>1 ise Ei ç<E0' dır. Küre dışı ndaki potansiyel ise, uygulanan E o alanı ile alana paralel olarak baş langı çta bulunan

p E£ -4. 12 ) a3 E0 (4.56)

momentli bir elektriksel çift-kutbun alanını n toplamına eşdeğer bir alan verir. Bu çift-kutup momenti, P kutuplanmas ının hacim integrali olarak yorumlanabilir. Kutuplanma şudur:

-> - 1 -4 3 - 1 -4- P ( ) E - 4"R E+ 2

) Eo Lin (4.57)

Bu kutuplanma kürenin hacmi boyunca sabittir ve hacim integrali de gerçekten (4.56)'dı r. (4.46) uyar ınca, yüzeysel kutuplanma yük yoğunluğu 0-kut =

) E cos9 kut 4•R E 2 o (4.58)

Bunun, uygulanan alana kar şı t yönde bir iç alan doğurduğu ve böylece Ş ekil 4.7'de çizildiğ i gibi, küre içindeki alan ı (4.55) değerine indirdiğ i düşünülebilir.

Şekil 4.8'de görüldüğü gibi, z eksenine paralel düzgün bir E0 dış alan ı nın etkisine uğrayan E sabitli dielektrik ortam .. ıçıne açı lmış a yarıçapl ı küresel oyuk problemi de, tümüyle aynı şekilde dielektrik kürede izlenen yoldan çözülebilir. Gerçekten de, (4.50) sınır koşullarının incelenmesi, oyuk ile ilgili sonuçları n, E. ,-.,,, (1/E) yerdeğ iş tirmesiyle dielektrik küre sonuçlar ı ndan elde edilebileceğ ini gösterir. Buna göre, örne ğ in oyuk içindeki alan, düzgün Eo 'a paralel ve

E. lç 2

E0 (4.59)

199

büyüklüğündedir; E>1 ise E. ;>. E 'd ır. Benzer biçimde, d ış taki alanda uygulanan alan ile 15u alana ters olarak yönelmiş ve baş langıçta bulunan

P = ( - 1 ) a 3 Eo + 1

momentli bir çift-kutkun alan ını n toplamıdı r.

(4.60)

Şekil 4.8- Düzgün bir d ış alanın etkisinde bulunan bir dielektrik içinde küresel oyuk.

4.5- Molekülsel Kutuplanırlık ve Elektriksel Alınganlık

Bu kesimle gelecek kesimde, molekülsel özelliklerle makros-kobik olarak tanımlanan elektriksel al ınganlık (X) parametresi aras ındaki ilişkiyi inceliyeceğiz. Gerçek bir inceleme kesinlik-le kuantum mekaniksel düşünceler gerektirdiğ i halde, buradaki tart ış mamı z ı molekülsel özelliklerin basit klasik modelleri cinsinden yapacağı z. Neyse ki dielektriklerin basit özellikleri klasik çözümlemeye uygundur.

Moleküllerin ayrıntı lı özelliklerinin al ınganl ığ a nası l bağlı olduklarını incelemeden önce, ortamdaki moleküller üzerine etkiyen alanlarla uygulanan alan aras ında bir ayı rım yapmal ıyı z. Alınganlık E bağı ntı s ı aracı l ığı yla tanımlanır; burada makroskobik elektrik alanıd ır. Molekül aral ı kların ın büyük olduğu yoğun olmayan ortamlarda, makroskobik alan ile herhangi bir moleküle ya da bir molekül kümesine etkiyen alan aras ında

200

çok az fark vard ı r. Fakat moleküllerin birbirlerine çok yak ı n olduğu yoğun ortamlarda, kom şu moleküllerin kutuplanmas ı , ortalama makroskobik E alan ı na ek olarak, verilen herhangi bir molekül üzerinde bir de E. alanı ,4oğurur; böylece molekül tizerirldekitoplarnalah - E.olur.F.iç alan ı iki terimin fark ı olarak yaz ılabilir: 1

-a -› E. = E

ı yakı n - Ep (4.61)

Burada EakIn' .

verilen moleküle yak ın moleküllerin gerçek ı katkı s ıdı r; E ise P kutuplanmas ıyla anlat ı lan bir ortalama

sürekli yaklajikl ı kta işe kar ış an moleküllerden gelen katk ıdı r. Burada yapt ığı mı z, sözkonusu molekülle yakın moleküllerin özel atomik ş ekillenimini ve konumlar ını bilmeğe özen göstermemiz gerektiğ ini söylemektir. Böylece makroskobik olarak küçük fakat mikroskobik olarak büyük V hacmi içinde, yak ındaki molekülsel katkı ları n düzleş tirilmi ş makroskobik e şdeğerini (E ) çı karlyo- ruz ve bunun yerine kesin biçimde geli ş tirilen katk ıyı

P (-E; ak ı n)

koyuvoruz. Aradaki fark, ek E iç alanıdı r. içerisinde bir yük dağı l ımı bulunan R yarı çapl ı küresel

hacim içindeki elektrik alan ının integrali (4.18) bağı ntı s ını vermiş ti; i ş te o sonucu E yi hesaplamada kullanabiliriz. V hacmi olarak çok say ıda molekülü kapsayan R yarıçapl ı bir küre seçilirse, içerdeki toplam çift-kutup momenti

-› 41(R3 P = 3 p

olur, yeter ki V yi çok küçük seçerek hacmin her yerinde sabit alabilelim. Bu durumda, (4.18)'e göre, küre içindeki ortalama elektrik alan ı (E->

P olarak arzulanan da tam budur).

E

-

= 3 d3x 41T P

P 4nR3 r<R 3

E

dir. Böylece iç alan ı aş ağı daki gibi yazabiliriz:

41-t - = E. 3

P Eyakın

(4.62)

(4.63)

201

Yakın moleküllerin olu ş turduğu alanı saptamak çok daha zordur. Lorentz,_basit bir kübik örgiideki atomlar için, her örgü köşesinde Ealan ının s ı fır olduğunu göstermi ş tir (sayfa 138). Bununna

k riitı , aş ağı da görülebı leceğ i gibi, proble-

min simetrisine dayan ı r. Ş ekil 4.9'daki gibi, çift-kutuplar ın küre içinde kübik bir düzen oluş turduklarını ve tümünün ayn ı yöne yönelmiş sabit büyüklüklü momentlere sahip olduklar ını varsayal ım. Çift-kutupların konumları , (ia, ja, ka) bileşenleri-ne sahip olan x k koordinatlar ıyla verilir; burada a örgü aral ığı dı r; i,j,k;-A ın her biri ise art ı ve eksi tam say ı değ er-lerini al ı r. TUm çift-kutuplar ın baş langı ç noktas ında oluş tur-dukları alan, (4.13)'e göre ş öyle verilir:

-E- /' i,j,k

ı jk ıjk - )( ı jk (4.64) 5

xijk

Alanı n x bileş eni şu biçimde yaz ı labilir:

.2 .2 .2 2

3(1 pi + ijp2 + ikp3 ) - (1 + + k )pg (4.65)

3 .2 .2 2 5/2 a (1 + + k )

E = ı

Şekil 4.9- İç alanın hesaplanışı -basit bir kübik örgiide yakın moleküllerden gelen katkı .

202

İndisler art ı ve eksi değerleri e ş it ölçüde aldı klarından, (ijp2 + ikp3 ) ifadesini içeren çarpaz terimler s ı fı r olurlar. Aş ağı daki üç toplam ın birbirlerine e ş it olduklar ı da simetriden görülür:

.2 2.

.2 .2 2 5/2 = .2 .2 2 5/2 i,j,k (1 + + k ) i,j,k (i2 + + k )

k2

i,j,k

(.12

.2 + k2

)5/2

Sonuç olarak

E Y

i,j,k

+ j 2 + k2)1P

2 + k2)5/2 = 0 (4.66)

dır. y ve z bileş enlerinin s ı fı r olduklar ı da ayni ş ekilde gösterilebilir. Böylece basit bir kübik örgü için E yakın = 0 ise, tümüyle geliş igüzel durumlar için de E k u olmas ı akla yakı ndı r. Buna göre, kristal yap ı sız (VıloW) maddelerin yakı n moleküllerden ileri gelen bir iç alana sahip olmamalar ı beklenir. Basit kübik yapı dışı ndaki örgüler için, E alan ının bileş enleri, örgünün simetri özelliklerini yanXffifi izsiz bir Sezp tensörü arac ı l ığı yla bileş enlerine bağ lıdı r. Bununla beraber, birçok madde için E yakı n 0 al ı nmas ı iyi iş leyen bir varsay ımdı r.

P kutuplanma vektörü, (4.28)'de

r>= N <i:mol>

olarak tanımlanmış tı ; burada < -fi , moleküllerin ortalama çift-kutup momentidir. Bu çift-ku€up momenti yakla şı k olarak molekül üzerine etkiyen elektrik alan ıyla orant ı l ıdı r. Elektrik alanına olan bu bağ lı lığı göstermek için, ortalama molekülsel çift-kutup momenti bölü molekül üzerindeki uygulanan alan olarak, molekülsel kutuplanırlık ( ) diyeceğ imiz bir oran tanımları z. Buna göre, (4.63)'deki iç alana da hesaba katarak şunu yazabiliriz:

< ' Pmol > = b'Mol (E Ei ) (4.67)

203

Uygulanan alana moleküllerin verdi ği yanı t ı belirten genelde elektrik alan ının fonksiyonu olmakla birlikte, geniş bir alan ş iddeti bölgesi için sabittir. (4.67) denklemi (4.28) ve (4.63) ile birle ş tirildiğ inde,

= N )çmo 1 ( + -.13)

(4.68)

bağı ntı sı na yol açar; E ak in 0 varsayı lmış tır. E cinsin- den çözdükten sonra, W-nmaddenin elektriksel al ı nganl ığı nı tanımlayan P kullanı rsak, alınganl ık (makrosko-bik parametre) ve molekülsel kutuplan ırlı k (mikroskobik paramet-re) aras ı ndaki bağı ntı yı buluruz:

')(e = N 4o1

(4.69)

1 3n N mol

E= 1+ 4Tt'X biçiminde verilen dielektrik sabiti `j ol cinsinden

m ya da mofekülsel kutuplanı rl ık dielektrik sabı t ı cinsinden ifade edilebilir:

3 E - 1 = 4RN 2 ) (4.70)

Bu bağı ntı ya Clausius-Mossotti denklemi denir; çünkü Mossotti (1850'de) ve Clausius (1879'da) bağı msı z olarak, verilen herhan-gi bir madde için ( E - 1)/(E+ 2) ifadesinin maddenin yoğunlu-ğuyla orantı lı olmas ı gerektiğ ini bulmuş lardı r. * Bu bağı ntı , en iyi biçimiyle, gazlar gibi seyrek maddeler içinde geçerlikte olmaktadı r. Sı vı lar ve kat ılar için, (4.70) ancak yaklaşı k olarak geçerlidir, özellikle dielektrik sabiti büyük ise. Daha çok ayr ı ntıyla ilgilenen okuyucuya Böttcher, Dellwe ve Fröhlichl in kitaplar ı sal ı k verilebilir.

4.6- Molekülsel Kutuplanırlık İçin Modeller

Atomlar ya da moleküller- kümesinin kutuplanmas ı iki ş ekilde ortaya çı kabilir:

o) Uygulanan alan yük yoğunluklarını değ iş tirir ve böylece her molekülde bir çift-kutup momenti oluş turulmuş olur;

09tik frekanslarda E. n2 'd ı r; burada n k ı r ı lma indisidir. (4.70)'de .yerine

n konarak bulunan denkleme kimi kez Lorentz -Lorenz denklemi (1880) denir.

204

b) Uygulanan alan, moleküllerin ba ş langıçta geli ş igiizel

yönelmiş olan sürekli çift-kutup momentlerini kendine paralel duruma getirmeğe çal ışı r.

Oluş turulan momentleri kestirebilmek için, basit bir modeli, harmonik olarak bağ l ı yükler (elektronlar ve iyonlar) modelini ele alacağı z. Her bir e yükü

2 -¥ F = - mc0

o x (4.71)

gibi bir geri -çağı rıc ı kuvvetin etkisiyle bağ lıdı r; burada m yükün kütlesi, co ise denge konumu dolay ındaki titreş imin frekansı d ır. Bu 4, bir E elektrik alan ı nın etkisi alt ında, denge konumundan

2 --, mcı x = e E

ile verilen bir 7 uzanımı kadar ayr ı l ı r. Bunun sonucunda oluş an çift-kutup momenti şudur:

2 .4

= . e ,-..

= e (4.72)

x E Pmol 2 mc.0

o

Buna göre kutuplan ırl ı k `6= e 2

/mu>2'dir. Eğer her bir molekülde

kütleleri m., titre ş im frekanslar ı olan e yükler cümlesi varsa, molel.ilsel kutuplanı rl ı k

(4)3, i

2 e.

= . 3 \‘mol 2

(4.73) j m.W.

J

dir. büyüklük basamağı üzerine bilgi edinmek için, iki ayrı kestiride bulunabiliriz. hacim boyutuna sahip olmas ı nedeniyle, büyüklüğü, molekülsel boitlar3 basamağı nda ya da daha az olmal ıdır; yani y ^- 10- cm olmal ıdı r. Ikinci kestiri için, atomlardaki elektronlar ın bağ lanma frekanslar ı nın ışı k frekanslar ı basamağı nda olduğuna dikkat edelim. Işığ fi tipik bir dalgaboyunu 3000 angström olarak al ırsak, 6 x 19

1 2 sn buluruz.-24 J

Buna -göre ' )'ya gelen elektronik katk ı s‘ ı ^-, ( e İmw) N, 6 x 10 cm 'tür; bu da molekülsel hacis ı keAı risiyle

uyumludur. Gazlar ilin, normal koşullarda, cm 'deki molekül sayı s4 N = 2,7 x 10 'dur; öyleyse gazlar ın alınganl ı kları

l0 basamağı nda olmal ı d ı r. Bu, dielektrik sabitlerinin l'deR

205

ancak binde birkaç kadar ayr ı ldığı nı ifade eder. Deneysel olarak dielektrik sabitlerinin tipik de ğerleri, hava için 1;00054, amonyak buhar' için 1,0072, metil alkol için 1,0057, hely-99 000068'dis. Kat ı ya da s ı vı dielektrikler için N

' - 10 molekül/cm 'dür. Bunun sonucu olarak al ı nganl ı k 1 basamağı nda (10

x'1 çarpanl ı k yanı lgı payl ı ) olabilir; gözlenen

de zaten budur.

Moleküllerin ı s ı sal hareketiyle (4.73) sonucunun de ğ iş ebilme olanağı incelenmeyi gerektirir. Faz uzay ında (p,g uzay ı ) parça-c ı kları n olas ı lı k dağı l ı m ı , istatistik mekanikte, Hamiltoniyenin bir f(H) fonksiyonu ile verilir. Klasik sistemler için

f(H) = e -H/kT (4.74)

Boltzmann çarpan ıd ır. Uygulanan alan z yönünde olmak üzere, harmonik olarak bağ l ı yük problemi için Hamiltoniyen şudur:

1 ,2 m 2,2 H = p + -T- (.00 x - eEz (4.75) 2m

Burada bu kez yüklü parçac ığı n momentumudur. Çift-kutup momentinin z doğrultusundaki ortalama değeri

.> x(ez) f(H) = Sd p.fd3 c 3 r joi p)d3 x f(H)

dir. x -› ' = x - eEk/mw2 koordinat değ iş imi yapı l ı rsa, o 2

H = 1 ,2 o (>71)2 e2E2

2m P 2 2 2mw o

(4.76)

(4.77)

f 3 ( 3 e2E ) f(H) ) d pid x'(ez' + 2

mWb

d3pfd3x 1 f(H)

haline gelir. H Hamiltoniyeni z' ye göre çift oldu ğundan, ilk integral s ı fır verir. Böylece f(H)'nin yapı s ından bağı ms ı z olarak,

Çe ş itli maddelerin dielektrik sabitleri çizelgeleri için Handbook of Chemistry and Physics, Chemical Rubber Publishing Co., ya da American Institute of Physics Handbook, ed. D.E.Gray, 3 rd edition, MC Grow Hill, New York, (1972)' ye bak ı n ı z.

\,> mol (4.78)

206

e2

<Pmol? 2 E rnw

o

elde ederiz; bu ise ı sısal hareket dikkate al ınmadan (4.72)'de bulunmuş olan sonuçtur.

İ kinci tür kutuplan ı rl ık, olağ an durumda geliş igüzel yönel-miş olan sürekli çift-kutup momentlerinin daha çok belirli bir yöne yönlendirilmesiyle oluş turulur. Bu yönelme kutuplanmas ı , HC1 ve H2O gibi "kutuplu" maddelerde önemlidir ve ilk olarak Debye taraf ından (1912) tart ışı lmış tı r. Tüm moleküllerin uzayda herhangi bir yönde yönelebilen sürekli birer p çift-kutup momentine sahip olduklar ı varsayı lır. Alan yo&en, ı sı sal hareketler molekülleri geli ş igüzel yönlere yöneltir; böylece net bir çift-kutup momenti olmaz. Fakat uygulanan alan ile birlikte, en düşük enerji durumuna karşı gelecek biçimde, çift -kutuplar ın alan boyunca s ıralanma eğ ilimleri ortaya çı kar. Sonuçta ortalama bir çift-kutup momenti olacakt ı r. Bunu hesapla-mak için, molekül Hamiltoniyeninin

H=H o -po .E

(4.79)

olduğuna dikkat etmek gerekir; burada H , yalnı zca molekülün "iç" koordinatlar ının fonksiyonudur. (4.7£) Boltzmann çarpan ını kullanarak, ortalama çift-kutup momentini

p E cose

f d.flpocos0 exp( kT )

< P mol p E cose

S d5l exp( kT )

(4.80)

biçiminde yazabiliriz; burada E, z yönünde seçilmi ş , ilgisiz değ işkenlerin tümü üzerinden integral al ı nmış ve 1-3 'in sadece alana paralel bileşeninin s ı fırdan farkl ı olıLğuna dikkat edilmiş tir. Alçak s ıcakl ı klar d ışı nda, genel olarak (p E/kT) bire göre çok küçüktür. Bu nedenle üslü çarpanlar ı Reriye açabiliriz ve şu sonucu elde ederiz:

2 Po

< Prnol E

3 kT (4.81)

207

Yönelme kutuplanmas ı , beklendiği gibi, s ıcakl ığı n tersiyle orantı l ıdı r; çünkü uygulanan alan ı sısal hareketlerin kar şı koymas ını yenici bir etki yapmalıdı r.

Genel olarak her iki tür kutuplanma, yani hem olu ş turulan elektronsal ve iyonsal kutuplanma hem de yönelme kutuplanmas ı birlikte vardı r ve molekülsel kutuplanmanın genelyapı s ı şöyle-dir:

2

\(ç + 1 Po

mol i 3 kT (4.82)

Bu, (a + b/T) biçiminde bir s ıcaklığ a bağ l ı lı k gösterir; dolay ı -siyle Ş ekil 4.10'da görüldüğü gibi, kutuplanman ın iki türü deneysel olarak ayr ı labilir. HC1 ve H20 gibi "kutuplu" rnolekül-ler için, gözlenen sürekli çift-kutup momentleri, molekülsel

kutuplu

kutuplu olmayan

Şekil 4.10- Kutuplu ve kutupsuz maddeler için, molekül - selkutuplanma yatkınlığı nın sıcaklıkla değ işTgl.

knol' 1"-l 'e göre çizilmiş tir.

-toyutlarla uyumlu olarak, elektron yükü çarp ı 10-8 cm Icasamağı n - dadı r.

4.7- Dielektrik Ortamlarda Elektrostatik Enerji

Boş uzaydaki yükler sisteminin enerjisini Kesim 1.1'de tartış mış t ı k. Orada bir "(x) yük yoğunluğu ile bir ,[1*Ç3t potansi-

w 3 E . ÖD d x

1

4TC (4.86)

208

yeline değgin enerji için elde edilen

w = 1 1 ,(,n 5G-n d3x 2

(4.83)

sonucu, genel olarak dielektrik ortamlar ın makroskobik anlat ı -mında olduğu gibi al ınamaz. (4.83)'ün nas ı l elde edildiğ i anımsanırsa,.bunun nedeni açı klığ a kavuşur. Elemanter yükleri parça parça sonsuzdan al ıp böylece varl ık kazanan elektrik alanının etkisine karşı yerlerine getirerek son yük durumunu oluş turduğumuzu düşünmüş tük. Böylece yapı lan toplam iş (4.83)'e ulaşmış tı . Dielektrik ortamda yaln ı zca gerçek (makroskobik) yükü yerine getirirken i ş yapı lmaz; ayr ıca ortamda belirli bir kutuplanma durumu olu ş turmak için de iş yapı lır. (4.83)'de 9 ve

makroskobik değ iş kenlerse, (4.83)'ün dielektrik üzerine yapı lanla birlikte, toplam i ş i gösterdiği kesinlikle hiç de açı k değildir.

Dielektriklerin anlat ımında genel olmak için, dielektriğin uygulanan alana vereceğ i yanı t ın çizgisel olmas ı , düzgün olmas ı v.b. gibi varsay ımların hiçbirini baş langıçta yapmayacağı z. Şimdi tüm uzayda bulunan makroskobik J) yük yo ğunluğunda bir cins &p. değ iş imi nedeniyle enerjide ortaya çı kan küçük bir SW değ iş imini gözönüne alal ım. Bu değ iş imi oluş turmak için yap ı lan iş

= gjO() (D('-t) d3x (4.84)

dir; burada(D('() başı nda varolan p(x)yük yo ğunluğunun potansi - yelidir. D= 47x? oldu ğundan, Sy değ iş imini yerdeğ iş tirme alan ı ndaki S5. değ iş imı ne bağ layabiliriz:

s --> V. (SD) (4.85)

Bu durumda SW enerji değ iş imi şu biçime sokulabilir:

Burada E= =40 bağı nt ı s ı nı kulland ı k ve j)(x) 'in yerle ş ik bir yük dağı l ımı olduğunu varsayd ık. Artık toplam elektrostatik

209

enerjiyi, en az ından biçimsel olarak, -5'nin bir r'r = 0 ilk değerinden bir D son değ erine getirilmesi durumunda a ş ağı daki gibi yazabiliriz:

W 1 s' d3x ( ıD s-1-5› 4'N

(4.87)

Ortam çizgisel ise,

E . SD = (4.88) 2

olur ve toplam elektrostatik enerji

W= 1 S -> -> 3

E .Ddx 87x

(4.89) Jo.

haline gelir. -E.. = j%)ve V . D = 4Ttp bağı ntı ları kullanı larak, ya da (4.84) 1 e geri dönüp p ve(inin çizgisel bigiirdebqffl ı :olduk-ları varsayılarak, bu son ifade (4.83)'e dönüştürülebilir. Böylece ancak davranış çizgisel ise, (4.83) 1 ün makroskobik düzeyde geçerli olduğu görülür. öbür hallerde, bir son durumun enerjisi (4.87)'den hesaplanmal ıdı r ve bu, akla yak ın olarak, sistemin geçmiş ine bağ lı olabilir (histerezis etkileri).

Oldukça ilginç bir problem vard ır; bu da, kaynakları sabit tutulan bir elektrik alan ı içine çizgisel yan ı tlı bir dielektrik cismin sokulmas ı durumunda enerjide ortaya ç ıkan değ işmedir. Yerin fonksiyonu olabilen E, dielektrik katsay ı l ı bir ortamda, baş langı çta belirli bir jp(5t) yük dağı lımının doğurduğu bir --h" elektrik alanının varoldudûnu dü şününüz. Baş langıçtaki elektros2 tatik enerji şudur:

Wo

= 1 S -> 3 x E .

o D od 87c

Burada D = E 'dı r. Sonra, kaynakları n konumları sabit tutula- o o rak, alan ı n 2).cine V hacimli bir dielektrik cisim sokulur ve

alan al E 'dan E'ye değiş ir. Sözkonusu cismin varl ığı , Z(1. ) gibi bir dielektrik katsayı ile anlat ı labilir; şöyle ki, bu katsayı V 'in içinde E ve V 'in d ışı nda E"o değerine sahip olsun. Matematiksel güçüklerden kaç ınmak için, V hacminin kenarları n-da Sc>t'in S den E a çok h ı zl ı , fakat süekli olarak düş tüğünü tasarlayabiliriz. Bil kez enerji

S 3 (E .Do -D.Eo)dx

81T W =

1 (4.91)

210

W - 1 j. 3 E.Ddx

-4 -4 değerine sahiptir; burada D = E E'dir. Enerjideki fark şöyle yazı labilir:

W = 1 . ) d3x o o 8 -rc

1 ( )d3 x + Scg + E« o ). ( İ7 - o ) d3x (4.90) o o 8 .1x 8/C

Aş ağı daki kanı t aracı lığı yla ikinci integralin s ı fır olduğu gösterilebilir. V x (E + E o ) = 0 olduğundan,

= o

yazabiliriz. Buna göre ikinci integral şu ş ekle girer:

I = 1 S 4.Do) d3x

Bu ise, parçal ı integrasyon yardımı yla

= 8/C

-4 3 V.(D -D

o) d x =O

olur; çünkü dielektrik cismin sokulmas ıyla R(5!), kaynak yük yoğunluğunun değ iş tirilmediğ i varsayı ldığı ndan, 57., (D . o )= o 'dı r. Sonuç olarak, enerji değ iş imi

8 T(

dir. İ ntegrasyon tüm uzay üzerinden görünmektedir, fakat gerçek-te yalnızca cismin V hacmi üzerindendir; çünkü V dışı nda = ŞoE'dir. Dolayı s ıyla

211

1 -> -> 3 w _ (E - E. ) E. Eo d x ı o

8'n f‘7 (4.92)

yazabiliriz. Dielektrij cismi saran ortam boş uzay ise,= l'dir. Bu durumda, P kutuplanmas ı nın tan ımı kullanı la?ak, (4.92) bağı nt ı sı

1 -> -> W = - v P . E0 d

3 x (4.93)

biçiminde ifade edilebilir; burada P dielektriğin kutuplanmas ı -dı r. Buna göre, sabit kaynakl ı bir Eo alanı içine konan bir dielektriğ in enerji yoğunluğu

W = - 1

2 P . Eo (4.94)

ile verilir. Bu sonuç, bir d ış alan içinde bulunan bir yük yoğunluğunun (4.24) enerji ifadesindeki çift-kutup terimine benzerdir. (4.94) ifadesi, sürekli bir çift-kutbun değ il de, bir dış alan içinde bulunan kutuplanabilir bir dielektri ğin enerji yoğunluğunu gösterdiğ i için 1 çarpan ı nı kapsamaktadı r. (4.88)'de görünen de ayn ı 1 'dir.

2 (4.92) ve (4.93) denklemleri, Es > .E. olmak ko şuluyla, bir

dielektrik cismin artan E alan ı bölgesfile doğru hareket etme eğ iliminde olacağı n ı göstecf'.ir. Etkiyen kuvveti hesaplamak için, cismin yaptığı küçük bir genelleş tirilmi ş yerdeğ iş tirmesi düşünelim. Bu durumda enerjide SW gibi bir değ iş im olacakt ı r. yükler sabit tutulduğuna göre, hiç bir d ış enerji kaynağı yoktur ve alan enerjisindeki değ iş im, cismin potansiyel enerji-sinde bir değ iş im olarak yorumlanabilir. Bu, cisim üzerine etkiyen bir kuvvetin var oldu ğu anlam ına gelir:

w F = ( )

-.V> Q (4.95)

Burada alan kaynaklarının sabit tutulduklar ını göstermek için parçalı türeve Q alt indisi konmuş tur.

Dielektriklerin hareketini içeren uygulamal ı durumlarda, elektrik alanları , çoğu kez batarya gibi bir dış kaynağ a bağ la-narak sabit potansiyellerde tutulan belirli ş ekillenimlere sahip elektrotlar yard ım ıyla oluş turulur. Dielektrik dağı l ı mı

212

değ iş tikçe, potansiyelleri sabit tutmak için ya bataryadan elektrotlara ya da elektrotlardan bataryaya yük akacakt ı r. Bu, dış kaynaktan enerji sağ landığı nı gösterir. Bu yolla sağ lanan enerjiyi, alanların sabit kaynakları için yukarda bulUnan enerji değ işimi ile karşı laş tırmak ilginçtir. Bunu yaparken yalnı zca çizgisel ortamlar ı konu edeceğ iz; dolayı s ıyla (4.83) geçerli demektir. Ba ş tan varolan ş ekillenimde küçük değ iş imleri ele _almak yeterlidir. (4.83)'den açıkça anlaşı lacağı gibi, yük yoğunluğu ve potansiyeldeki gf(5t) ve 64,0-n değ iş imlerinin enerjide yaratacağı değ iş im

f S ğ + (1)gp)d3x - (4.96)

dir. (4.84) ile karşı laş tırılarak görülür ki, dielektrik özellikler değ işmiyorsa, (4.96)'daki iki terim birbirine eş ittir. Bununla birlikte, eğer dielektrik özellikler değ iş i-yorsa, yani

.(;•?) --›£().?) t SEcin

(4.97)

ise, (4.96)'daki iki katk ının ille de ayn ı olmaları gerekmez. Gerçekte, kaynakları sabit tutulan (Sq=0) bir elektrik alan ı içine bir dielektrik cisim sokmakla yarat ılan değiş imi daha yeni hesaplad ık. (4.96)'daki katkı ların eş it olmas ı , SW = 0 demek olur; oysaki (4.91) ya da (4.92) genel olarak s ı fı r değildir. Bu farkın nedeni, kutuplanma yüklerinin varl ığı dı r. Dielektrik özelliklerin (4.97) ile anlat ılan değ iş imi, kutup-lanma yük yoğunluğunda bir değ iş im olarak düşünülebilir. Bu durumda, eğer (4.96) hem serbest hem de kutuplanma yük yo ğun-lukları üzerinden bir integral (yani mikroskobik bir denklem) olarak yorumlanırsa, iki katk ı her zaman için e ş ittir. Bununla birlikte, çoğu kez makroskobik niceliklerle uğraşmak daha uygun olur. Bu durumda ancak dielektrik özellikler de ğ işmiyor-sa, eş itlik vard ı r.

Sabit potansiyelli elektrotların varlığı halinde, herhangi bir yolla (örneğin dielektrik cisimleri hareket ettirerek, alınganlıklarını değiş tirerek, v.b.) dielektrik özelliklerin değ iştirilmesi i ş leminin iki basamakta yap ı ldığı düşünülebilir. İ lk basamakta elektrotlar bataryalardan ayr ı lır ve böylece üzerlerindeki yükler sabit tutulur (Sq = 0). Dielektrik özel-liklerdeki (4.97) değ iş imi ile enerjide

213

SW = 5. .p sck d3x

2 (4.98)

kadarl ık bir değ iş im olur; burada SC potansiyelde olu ş an değ işmedir. Bunun (4.92) sonucuna yol âçt ığı gösterilebilir. İkinci basamakta bataryalar yine elektrotlara ba ğ lanarak potansiyellerin ilk değerlere ç ı kmas ı sağ lanır. Bu durumda bataryalardan Sq2 yükü akarak potansiyelde SOk =değ iş imi oluşur. Dolayı s ı yla ikinci basamaktaki enerji değ i şik

W2 - y,SC.2 -F Syz) d3 x = -2 SW -

2 (4.99)

dir; çünkü iki katk ı birbirine eş ittir. İ kinci basamakta, d ış kaynakları n enerjiyi karşı t anlamda ve ilk basamaktakinin iki katı kadar değ iş tirdiğ ini bulmuş oluruz. Sonuçta net değ i şme

SW = - ZSiı sği d3x (4.100)

dir. Simgelerle

Swv = 8wQ (4.101)

yazabiliriz; buradaki alt indisler, o niceli ğ in sabit tutuldu-ğunu gösterir. li bir dielektrik daha yüksek alan ş iddet-li bir bölge içine hareket ederse, enerji azalaca ğı yerde artar. Bu kez genelleş tirilmiş bir d'V yerdeğ iş tirmesi halinde, etkiyen mekanik kuvvet ş udur:

F + ( " ) V V

(4.102)

Sadece elektrotlar üzerinde 8,1) = --54$ oldu ğ unu bilmek gerekir; 2

serbest yüklerin bulunaca ğı tek yer elektrotlard ı r. çünkü

214

KAYNAKLAR VE ÖNERILEN OKUMA PARÇALARI

Makroskobik elektrostatik denklemlerinin atom kümeleri üzerinden ortalama alarak türetilmesi, bu kitabın 6' ıncı bölümünde ve aş ağı daki kitaplarda verilmektedir:

Rosenfeld, Bölüm II, Mason end Weaver, Bölüm I, Kı s ı m III Van Vleck, Bölüm 1.

Rosenfeld, dielektriklerin klasik elektron kuram ını da iş lemek-tedir. Van Vleck'in kitabı elektrik ve manyetik geçirgenliklere ayrı lmış tır. Elektriksel kutuplanma olaylar ı üzerine özel çalış malar şunlardı r:

Böttcher; Debye ; Fröhlich.

Bölüm 2 ve 3'de elektrostatik üzerine verdiğimiz tüm kaynaklarda dielektrikli s ınır-değer problemleri de tart ışı l-maktadı r.

Dielektrik ortamlar ı n varl ığı halinde kuvvetleri ve enerji-yi çok kısa iş ledik. Sı vı ve kat ı dielektrikler üzerindeki kuvvetleri, elektrik gerilim tensörünü, elektrostrik şı nı ve termodinamik etkileri, çok daha ayr ıntı lı olarak, şu kitaplarda bulabiliriz:

Abraham and Becher, Cilt 1, Bölüm V, Durand, Bölüm.VI ve VIII, Landau and Lifshitz, Electrodynamics of Continuous Media, Maxwell, Cilt 1, Bölüm V, Panofsky and Phillips, Bölüm 6, Stratton, Bölüm II.

PROBLEMLER

4.1- (a) ve (b) Aş ağı da görülen yük dağı l ımlarının cı 2 çok-kutup momentlerini hesaplayını z. Tüm -C değerleri içın

geçerli olan s ı fı rdan farkl ı momentlerin ifadelerini elde etmeğe çal ışı nı z; fakat her dağı lım için s ı fırdan farkl ı en az ilk iki momenti bulunuz.

215

Problem 4.1

c) (b)'deki yük dağı l ımınca oluş turulan potansiyelin çok-kutup aç ı l ımı nı yaz ı n ı z. Yalnı zca aç ı lımdaki en düşük mertebeli terimi al ı-koyarak x-y düzlemindeki potansiyeli, a'dan büyük- uzakI ıklar için, baş langıçtan olan uzaklığı n fonksiyonu olarak çiziniz.

,d) (b) dağı l ımı nın x-y düzlemindeki tam potansiyelini doğrudan Coulomb yasas ından hesaplayını z. Bunu uzaklığı n fonksiyonu olarak çiziniz ve (ç)' de bulduğunuz sonuçla karşı laş t ı rı nı z.

Büyük uzakl ı klardaki davranışı daha açık biçimde görmek için, (c) ve (d) şı klarında asimtotik k ı sımları ayı rını z.

4.2- ii momentli bir naktasal_ çift-kutup 3t noktas ında bulunmaktad ır. Dirac delta fonksiyonunun türevinfh özellikle-rinden yararlanarak gösteriniz - ki, bir dış alan içindeki_ bu çift-kutbun 1>potansiyelinin ya da enerjisinin hesaplanmas ı nda, bu çift-kutup,

yetk. () = - r]fr . 70 )

ş eklinde etkin bir yük yoğunluğu ile temsil edilebilir.

4.3- Potansiyelin (4.1)deki çok-kutup aç ılımında 4a]yinci terim, (2.e 1) tane g

-em çok-kutup - momentiyle belirtilir.-

Diğer yandan,

Q (12e) Ç oy3X ?() Xe< y( z d3x

216

şeklindeki Kartezyen çok-kutup- momentleri say ıca ( 2 4- 1)• (£4- 2)/2dir; burada o<,(3,?j"negatif olmayan tam say ı lardır ve

+p sınırlamas ı nı sağ larlar. Böylece .e > 1 için, r'ye -1 bağ l ı lığı r olan potansiyel terimini betimlemede daha çok Kartezyen çok- kutup momenti gerekiyor gibi görünmektedir.

ql 'ler dönmeler alt ında Vyinci merteteden küresel tensör- ler gık dönüş tükleri halde, Kartezyen çok-kutup momentlerinin

mertebeli küresel tensörlere kar şı geldiğ i-ni gösteriniz; bunda Pnin çift ya da tek olmasına göre Q. . 0 ya da l'dir. Farkl ı tensörel bileş enlerin sayı sı niri? Kartezyen tensörlerin toplam say ı sına eş it olduğunu kontrol ediniz. (4.1) aç ı lımı nda neden yalnı zca qtm llere gerek vard ı r?

4.4- (a) Aş ağı daki teoremi kanı tlayını z: Keyfi bir 'Ç() yük dağı l ımı için, s ı fır olmayan ilk çok-ku-

tup momentinin (22+1) bile şeninin değerleri koordinat eksenle-rinin baş langıcı ndan bağı msı zdır; fakat daha yüksek mertebeli tüm momentlerin değerleri genel olarak baş langıcın seçimine bağ lıdır (Sabit E için, farkl ı q

im değerleri eksenlerin yöneli-

mine kuş kusuz ki bağ lıdı r). b) Bir yük dağı l ımı , bir koordinat sistemine göre q,

j ,... ve bir başka koordinat sistemine göre ise çok-kutup momentlerine saahip olsun; burada ikinci

sı stomin eksenleri birincininkilere paralel, fakat baş langıcı birinci sisteme göre R = (X,Y,Z) noktasında bulunmaktad ır. Her iki koordinat sistemindeki tek-kutup, çift-kutup ve dört-kutup momentleri aras ı nda olan ilgiyi aç ı kça saptayını z.

e) q 0 ise, p' = 0 olacak biçimde R bulunabilir mi? q 0 -› ,ID“,Yadaellaz ınclarl P “)ise,(Y ii= 0 olacak biçimde

bir bulunabilir mi?

4.5- Yerleş ik birp(x,y,z) yük yoğunluğu, <'° (x,y,z) potan-siyeliyle betimlenen bir d ış elektrostatik alan içine konuyor. Dış potansiyel, yük yoğunluğunun s ı fırdan farkl ı olduğu uzay bölgesinde yavaş değ iş mektedir.

a) İ lk ilkelerden hareketle, bu yük dağı l ımı üzerine etkiyen toplam kuvveti, çok-kutup momentleri çarp ı elektrik alanın ın türevleri cinsinden bir aç ı lım olarak hesaplayını z; açı l ımın ilk üç terimiyle yetininiz. Bu kuvvetin

ci--->(o) ( o ) j1-,Q. - (o) (o)

jk3k ('')]o

-I-

biçiminde olduğunu gösteriniz. Bunu, w enerjisinin (4.24)'deki

217

açı l ım ı yla karşı laş t ı r ı nı z. (4:24)'ün bir say ı olduğuna dikkat ediniz-3t'in fonksiyonu değ ildir ve türevi al ı namaz! F ile olan ilgisi nedir?

b) Üstteki hesabi toplam kuvvet momenti için yineleyiniz. Basit olmas ı için, kuvvet momentinin yaln ı zca bir tek Kartezyen bileş enini, örneğ in N 'i, geli ş tiriniz. Bu bileş enin aş ağı daki gibi olduğunu gösteriAiz:

N = [-Ix-E")(0) I1.

!)(3 23 (3

0)\ (o) + — (ZQ .E. —( Q .E. +..

"x2 33

4.6- Dört-kutup momenti Q olan bir çekirdek, silindirik simetrik bir elektrik alan ı içinde olup, bu alan, çekirdeğin bulunduğu yerde z-ekseni boyunca CE z/-bz) o

gradyenine sahiptir.

a) Dört-kutup etkileşme enerjisinin

aE

b) Q = 2 x 10-24 cm2 ve W/h = 10 MHz olduğu bilinirse (kurada h Planck sabitidir), (E/...bzt

ı2/me2 =)0 gradyenini e/4> birimi

= cinsinden hesaplay ı nı z; burada ao 0,529 x 10 8 cm hidrojende Bohr yar ı çapıdı r.

e) Çekirdek yük dağı l ımları , yarı -büyük ekseni a ve yarı -küçük ekseni b olan bir elipsoid hacmi boyunca sabit bir yük yoğunluğu ile yaklaşı kl ığ a uğrat ı l ır. Toplam yükü Ze ı?pn böyle bir çekirdeğin dört-kutup momWini 2hesaplay ını z. Eu (Z = 63) çekirdeğ inin Q = 2.5 x 10 9 lik bir dört-kutup momentine ve R = (a + b)/2 = 7 x 10 cm lik bir ortalama yarı çapa sahip olduğu bilindiğine göre, yar ı çaptaki (a-b)/R fark kesrini saptay ı nı z.

4.7- Yerleş ik bir yük dağı l ımı şuyoğunluğ a sahiptir:

_ 1 r2 e -r sin2G

647i

a) Bu yük yoğunluğunun oluş turduğu potansiyelin çok-kutup açı l ı mını yapı nı z ve s ı fırdan farkl ı çok-kutup momentlerinin tümünü saptay ını z. Büyük uzakl ı klardaki potansiyeli, Legendre çok -terimIilerinin sonlu bir açı lımı olarak yaz ını z.

e z ) o 4

W = -

olduğunu gösteriniz.

218

b) Potansiyeli, uzay ın herhangi bir noktas ında açı k olarak saptay ı nı z ve baş langıç dolayında potansiyelin

2 120 p2(cosG)

olduğunu gösteriniz. c) Eğer baş langıç noktas ında Q = 10 -24 cm2 dört-kutup

momentli bir çekirdek varsa, üstteki 9(3'<!) yoğunluğunda yük-biriminin elektrgn y ikü ve uzunluk W.riminin hidrojendeki Bohr yarıçapı a = /me = 0,529 x 10 cm olduğunu varsayatak etkileşme °enerjisinin büyüklüğünü saptayınız. Yanı t ını zı , Planck sabiti h'ye bölmek suretiyle frekans olarak ifade ediniz.

Bu problemdeki yük yo ğunluğu, hidrojendeki 2p düzeyinin m = ±1 durumlarındaki yük yoğunluğudur; oysa ki dört-kutup etkileşmesi, moleküllerde kar şı laşı lan ile aynı basamaktad ı r.

4,8- İ ç ve dış yarıçapları s ırasiyle a ve b olan E,dielekt-rik sabitli çok uzun bir dairesel kesitli silindirik kabuk, ekseni alana dik olacak ş ekilde, baş langıçta düzgün olan bir E elektrik alanı içine. konmuştur. Silindirin içindeki ve d ışı nda-ki ortam birim dielektrik sabitlidir.

a) Uç etkileri önemsemeksizin, her üç bölgedeki potansiyel ve elektrik alanlarını saptayı nı z.

b) b = 2a tipik hali için kuvvet çizgilerini çiziniz.

c) Düzgün bir alan içinde dolu bir silindir haline ve: düzgün bir dielektrik içinde bir silindirik boş luk haline uyacak ş ekilde çözümünüzün limit biçimlerini tart ışı nı z.

4.9- Dielektrik sabiti olan ve bo ş lukta bulunan-a yarı-çaplı bir dielektrik kürenin merkezinden d uzakl ığı na (d > a) noktasal bir q yükü konmu ş tur.

a) Uzayın her yerinde potansiyeli, küresel koordinatlar cinsinden bir aç ı lım olarak bulunuz.

b) Kürenin merkezi yakınında elektrik alan ının Kartezyen bileş enlerini hesaplay ını z.

c) Sonucunuzun, E c„, limitinde iletken küreninkiyle ayni olduğunu doğrulayı nı z.

4.10- İ ç yarı çapı a ve di ş yarıçapı b olan eş -merkezli iki iletken küre s ırasıyla ±Q yüklerini taşı maktadırlar. Küreler

<(;() 1

4

219

aras ı ndaki boş uzayı n yarı sı , ş ekilde görüldüğü gibi, E sabitli yarı küresel bir dielektrik kabakla doldurulmuş tur.

Problem 4.10

a) Küreler aras ı nda her yerde elektrik alan ını bulunuz. b) İ ç küre üzerindeki yüzeysel yük da ğı l ımını hesaplayı nı z. e) Dielektri ğin r = a yüzeyinde olu ş an kutuplanma yük

yoğunluğunu hesaplayını z.

4.11- Aş ağı daki veriler, dielektrik sabitinin bas ınçla değ işmesi üzerine olup, Smithsonian Physical Tables, 9. bask ı , sayfa 424'den al ınmış tı r:

Basınç (atm.) 292°K de hava

E.

20 1,0108 Bas ıncın fonksiyonu 40 1,0218 olarak havanı n, bağı l .

60 1,0333 yoğUnluğ lı ; AIP Handbook, 80 1,0439 3. baskı , 1972, sayfa 4-165

100 1,0548 de verilmektedir.

303°K'de pentan

Basınç (atm) Yoğunluk (gr/cm3 )

E

1

0,613

1,82

0,701

1,96

220

4x10 3 0,796 2,12

8x103 0,865 2,24

12x103 0,907 2,33

Dielektrik sabiti ile yoğunluk aras ındaki Clausius-Mossotti bağı nt ı s ı n ı , hava ve pentan için çizelgedeki aral ı klarda s ı nayı nı z. Tam olarak mı ğeçerliktedir? Yaklaşı k olarak mı ? Yaklaşı k olaraksa, yoğunluğa göre kesirsel değ iş imleri ve

1)'i tartışı n ı z. Pentan için, Clausius-Mossotti bağı ntı s ı ile daha kaba olan [(t- 1) oC yoğunluk bağı nt ı sını karşı laş -tı rı nı z.

4.12- Su baharı kutuplu bir gaz olup, dielektrik sabiti s ı cakl ığ a bağ l ıdır. Bu bağ lı l ığı n deneysel verileri aş ağı daki çizelgede görülmektedir. Su bahar ı nın ideal gaz yasas ına uyduğunu varsayarak, molekülsel kutuplanmay ı , s ıcaklığı n tersinin bir fonksiyonu olarak hesaplayını z ve grafiğ ini çiziniz. Eğ rinin eğiminden, H20 molekülünün sürekli çift-kutup momenti için bir değer çı karı nı z (çift-kutup momentini esb. (yani statcoul x cm) cinsinden ifade ediniz).

T (N) Basınç - (cm Hg) ( 1) x 105

393 56,49 400,2

423 60,93 371,7

453 65,34 348,8

483 69,75 328,7

4.13- a ve b yar ıçapl ı , eş -eksenli, uzun iki silindirsel iletken yüzey, bir sı vı dielektrik içine düşey biçimde dald ı -rı lmış t ı r. Elektrotlar aras ı na bir V potansiyel farkı uygulandı -ğı nda aradaki s ı vı h kadar yükselmiş se, s ı vının al ı nganl ığı nın

, = (b2 a2 )pgh ,erı ( b/a ıce V

2

olduğunu gösteriniz; burada ,p s ı vı nın yoğunluğu ve g yerçekimi ivmesi olup, havan ın al ınganlığı önemsenmemektedir.

221

5 MANYEfOSTATİK

5.1- Giriş ve Tanımlar

Bundan önceki bölümlerde elektrostati ğin çeş itli yanlar ı (yani durgun yüklerin alanlar ı ve etkileşmeleri, s ınır yüzeyle-ri) incelendi. Ş imdi ise kararl ı-durumlar ın yarattığı manyetik olayları ele alacağı z. Tarihsel açıdan, manyetik olaylar da en azından elektriksel olaylar kadar uzun süreden beri bilinmekte ve üzerinde çal ışı lmaktad ır. Mı knatıs taş ları eski çağlarda biliniyordu; gemici pusulas ı çok eski bir buluş tur; Gilbert'in yerküresini dev bir m ı knatıs gibi düşünerek yerküresi üzerine yaptığı araş tı rmalar 1600'den öncelere rastlar. Elektrostati ğin tersine, manyetik alanlar ın temel yasaları , insanoğlunun manyetik maddelerle olan ilk ili şkisinin hemen ard ından çıkma mış tır. Bunun çeş itli nedenleri vard ır; fakat bunların badı man-yetostatikle elektrostatik aras ındaki şu köklü farktan kaynak-lanı r: Serbest manyetik yükler yoktur. Bu, manyetik olayların elektriksel olaylardan çok farkl ı olduğunu ve uzun bir süre ikisi aras ında bir bağlantı kurulamadığı nı gösterir. Manyetik incelemelerde temel nicelik, manyetik çift-kutuptur. Manyetik maddelerin varl ığı halinde, manyetik çift-kutup belirli bir yöne yönelmeğe çalışı r. Bu yön, tanım olarak g' ile gösterilen manyetik-ak ı yoğunluğunun yönüdür (kimi kez B 'ye manyetik indüksiyon da denir);,bu tanımda sözü geçen çift-kutup yeterin-ce küçük ve zayıf olmal ıdır ki varolan alanı bozmas ın. Manye-tik-akı yoğunluğunun.4,büyüklüğü, manyetik çift-kutup üzerine uygulanan mekaniksel N burulmas ı (torque) ile tanımlanabilir:

-›- -.

N )1.1 x B (5.1)

Burada ja, çift-kutbun uygun bir birim sisteminde tanımlanmış manyetik momentidir.

Daha iş in başı sayı lan B manyetik-ak ı yoğunluğu tanımında bile, elektrik alan halindekinden çok daha karma şı k bir duruma sahibiz. Akımlarla manyetik alanlar aras ındaki ilişki kurulun-caya dek, manyetik olaylar daha nicel bir biçimde ayd ınlatı la-madı . Akım, hareket halindeki yüklere karşı gelir ve birim zamanda birim yüzeyden geçen art ı yükün birimleri ciwinden ölçülen, yüklerin hareket yönünde tan ımlanmış bir J akım yoğunluğu ile anlat ı lır. Akım yoğunluğu,elektrostatik birimler-

222

de santimetre kare-saniye başı na statcoulomb cinsinden ölçülür ve kimi kez santimetre kare ba şı na statamper adını al ı rken, MKSA birimlerinde metre kare-saniye ba şı na coulomb ya da metre kare başı na amper cinsinden ölçülür. Ak ım yoğunluğu küçük kesitli tellere s ı nı rlanırsa, çoğu kez bunu kesitin alanı üzerinden integre ederiz ve tel boyunca akan bu kadar statamper ya da amperlik bir ak ımdan sözederiz.

Yükün korunumu, uzayın herhangi bir noktas ındaki yük yoğunluğunun bunun kom şuluğundaki ak ım yoğunluğuna bir lilik denklemiyle bağ l ı olmas ını gerektirir:

t + V . J = O (5.2)

Bunun anlatt ığı fiziksel gerçek şudur: Küçük bir hacim içindeki yükte zaman ile ortaya ç ı kan bir azalma, toplam yük miktar ı korunacağı na göre, bu küçük hacmin yüzeyinden d ış arıya bir yük ak ı mına karşı gelmelidir. Kararl ı-durum manyetik olaylar ı , uzayın hiçbir yerinde net yük yoğunluğunda hiçbir değ işme olmamakla nitelendirilir. Buna göre, manyetostatikte

-4 -4 V . J . O

(5.3)

demektir. Art ık akım ile manyetik-akı yoğunluğu aras ı ndaki deneysel bağ lant ı yı tartış maya ve manyetostatiğin temel yasala-rını kurmağ a geçebiliriz.

5.2- Biot ve Savart Yasas ı

1819'da Oersted, elektrik akım ı taşı yan tellerin, yakınla-rına yerleş tirilen sürekli manyetik çift-kutuplarda sapmalar doğurduklar ı nı gözledi. Demek ki akımlar, manyetik-ak ı yoğunlu-ğu kaynaklar ı idiler. İ lk önce Biot ve Savart (1820) ve daha sonra çok daha ince ve yetkin deneylerle Ampbre (1820-1825), B manyetik indüksiyonunu ak ımlara bağ layan temel deneysel yasala-rı kurdular ve iki ak ım aras ındaki kuvvet yasas ını yazdı lar. Amprelin çıkardığı biçimde olmasa da, temel bağı ntı ş öyledir: Şekil 5.141eg~gibL İ akımı taşı yan ince bir telin uzunluk elemanı dk (akımın akış yönünde yönelmiş ) ve uzunluk eleman ı n-dan P gözlem noktas ına uzanan koordinat vektörü x ise, P

noktas ındaki elemanter ak ı yoğunluğu, büyüklük ve yönce,

dB = k İ (di x x) (5.4)

11

d B

P Şekil 5.1- İ <il. akım elemanının oluşturduğu elementer

dB manyetik indüksiyonu.

223

ile verilir. (5.4) bağı nt ı s ı nın, elektrostati ğin Coulomb yasası gibi, bir ters kare yasas ı olduğuna dikkat edilmelidir. Bununla birlikte, vektör niteliğ i çok farkl ıdı r.

(5.4) ile ilgili bir uyar ı yapmanın tam yeridir. (5.4)/ü, bir noktasal yük taraf ından oluş turulan (1.3) elektrik alan ı nın manyetik eşdeğeri gibi düşünmek ve i c:TQ 'yi q 'nun benzeri olarak görmek eğ ilimi vard ır. Kesin söylemek gerekirse, bu yanl ış tır. (5.4) denklemi, bir ak ım halkas ı ya da devresinin manyetik indüksiyonunu gösteren sürekli bir toplam ın bir elemanı olarak ancak bir anlama sahiptir. (5.3) süreklilik denkleminin yaln ı z başı na i diakım eleman ı için gerçsklenmedi-ği de açı ktı r-akım hiçbir yerden gelmemekte ve dt yolunu aldıktan sonra yokolmamaktad ır! Bu güçlükten kurtulman ı n görünür bir yolu, jk ımın gerçekte hareket halindeki yük oldu ğu-nu düşünmek ve İ dQ yerine q:C7' koymakt ır; burada q yükü, v ise bunun h ı zını göstermektedir. Hareket halindeki böyle bir yük için akı yoğunluğu, (5.4) ile uyum içinde,

--> B = kg V X X (5.5)

) 73

biçiminde olabilir. Fakat bu ifade zamana bağ lıdır ve üstelik ancak ışı k hı zına göre küçük hı zl ı ve ivmesi önemsenmeyen yükler için geçerlidir. Bu bölümde kararl ı -durum manyetik alanlarını inceleyeceğ imize göre, (5.4)'e bağ lı kalacağı z ve fiziksel sonuçlar elde etmek için onu devreler üzerinden integ-

224

re edeceğ iz.m)

(5.4) ve (5.5)'deki k sabiti, Ek'te ayrıntı lı olarak tartışı ldığı gibi, kullanı lan birim sistemine bağ l ıdır. Eğer akım esb, fakat akı yoğunluğu emb cinsinden ölçülürse, bu sabit k = 1/c'dir; buradaki c, deneysel ol,lbak ışığı n boş lukta-ki hı zına eş it bulunur (c = 2,998 x 10 cm/sn). Bu birim sistemine Gaussiyen sistem denir. Denklemlerimize ışığı n hı zının sokulmas ı bu aş amada biraz yapmac ı k görünmektedir; fakat elektromanyetizmayı özel relâtivite aç ı s ından ele al ı nca bu doğal hale gelir. Bölüm 11'de ayr ıntı lı biçimde tartışı ldığı gibi, E ve B'yi Fo<13 alan-ş iddeti tensörünün farklı elemanları olarak ele almak gerekir. Bir gözlem çerçevesinde durgun bir yük o çerçevede yalnı zca bir elektrostatik alana sahiptir; baş ka bir hareketli çerçevede ise, al ışı lagelen kullanımda k = l/c olmak üzere, (5.5)'deki manyetik ak ı yoğunluğu ile ilgilidir. Relativistikincelemelerde (5.5)'deki v/c oranı doğ al biçimde ortaya çı kar. k = l/c seçiminin şu yararı da vardır: Bu seçimle yük ve akım öylesine tutarl ı bir birim sisteminde ölçülür ki, artık (5.2) süreklilik denklemi c çarpanlar ı içermeyen basit bir yapıya sahiptir. Burada Gaussiyen sistemi benimseyeceğ iz.

Akım taşı yan çeş itli ş ekillenimdeki tellerin doğurduğu manyetik akı yoğunluğunu saptamak için, (5.4)'deki temel manyetik ak ı elemanlarını integrasyon yoluyla çizgisel olarak üstüste getirebiliriz. Örne ğ in, bu yolla, Şekil 5.2'deki gibi İ akımı taşı yan uzun bir doğ rusal telin B manyetik indüksiyonu-nun, teli ve gözlem noktas ını içine alan düzleme dik olduğu görülebilir; böylece manyetik indüksiyon çizgileri tel etraf ın-da eş-merkezli çemberler oluş tururlar. B'nin büyüklüğü

1 = +00

İR d£ 2İ c ( (R2 + £2 )

3/2 = cR (5.6)

ile verilir; burada R, gözlem noktas ından tele olan dik uzak- l ı kt ı r. Bu, ilk kez Biot ve Savart taraf ından bulunan deneysel

Burada aç ı k bir tutars ı zl ı k vard ı r. Ak ı mlar, her ş eyden önce, hareket halin-deki yüklerdir. (5.5) ifadesi ancak yakla şı k olarak geçerli iken, integre edilmi ş (5.4) nas ı l tam sonuçlar verebilir? Yan ı t ı ş udur: (5.5) ancak bir tek yüke uygulan ı r. Çok parçac ı kl ı bir sistem, yük birimi s ı f ı ra ve yük say ı s ı sonsuza götürülerek kararl ı bir ak ı m do4racak biçimde hareket ederse; o zaman ivme etkileriyle birlikte tam relâtiv'istik alanlar ı n topla-m ı ,ak ı m üzerinden (5.4)'ü integre ederek bulunan alana e ş it bir manyetosta-tik alan verir. Oldukça büyük bir incelik ta şı yan bu sonuç, baz ı özel du-rumlar için Problem 14.12 ve 14.13'de tart ışı lmaktad ı r.

225

sonuçtur ve Biot-svart yasas ı olarak bilinir. Dikkat ederseniz indüksiyonunun büyüklüğü, uzun bir düzgün çizgisel yük

yoğunluğunun elektrik alanında olduğu gibi, uzakl ıkla R-1 ş eklinde değ işmektedir. Bu benzerlik, alanlar ı n vektör nitelik-leri farkl:_, olsa da, baz ı durumlarda elektrostatik ve manyetos-tatik problemleri aras ında karşı gelmeler olabileceğini göster-mektedir. Gelecek kesimlerde bu tür durumlarla birçok kez kQrşı laş acağı z,

Ampere'in deneyleri doğrudan doğruya akımlarla manyetik indüksiyon aras ındaki bağı ntının saptanmas ı yerine, ak ım taşı yan bir telin diğer bir akın] teline uyguladığı kuvvetin bulunmasıyla ilgiliydi. Bir akım elemanının bir manyetik indüksiyon doğurduğunu daha önce iş lediğimze göre, verilen bir B indüksiyonunun içinde bulunan bir İ İ d ,Qi akım elemanınca

Şekil 5.2

duyulan kuvveti kuvvet yasas ı olarak yazabiliriz. Sözkonusu elemansal kuvvet şudur:

İ -› -4 (dt x B)

c

İ elemandaki akım (esb cinsinden ölçlmü ş ), B akı yoğunluğu (&lb cinsinden) ve c ışı k hı z ıdır. B dış alanı İ 2 akımı nı taşı yan, 2 Nolu kapal ı akım halkas ı tarafından oluş turuluyorsa, bu durumda İ akı mını taşı yan 1 Nolu kapal ı akım halkas ı nı n duyduğu kuvve3t, (5.4) ve (5.7)'den

dF = (5. 7)

226

İ ı İ2 F =

12 C2

d21 x (d.22 x x12 )

( 5 .8 )

ı .~. 1 x12

31

olarak bulunur. Çizgi integralleri sözkonusu iki halka boyunca alı nmaktadı r ;

-52 ise ş ekil 5.3'de görüldüğü gibi d1.2 çizgi

elemanından e giden uzakl ık vektörüdür. Bu, ak ım taşı yan halkalar aras ındaki kuvvet hakk ında Ampre'in yapt ığı gözlemle-rin matematiksel ifadesidir. İntegralin içiyle oynayarak, (5.8) eş itliği, hemve d 2 'ye göre simetrik hem de üçüncü Newton yasas ı nı açıkça sağ layan bir biçime sokulabilir. Bu amaçla

d/ı x

2 x x12 ) x12 —" d2ı * x12 - (d2 ı . d22 ) 3 + d.e2 ( 3 )

ı 4 21 3 lx12i x]_2\

(5.9)

olduğunu gözleyiniz. İ kinci terim d£ üzerinden al ı nan integ - ralde bir tam diferansiyel olu ş turur.l Sonuç olarak, integralin al ındığı yollar kapal ı olmak ya da sonsuza uzanmak ko şuluyla, bu terim (5.8)'e hiç bir katk ı vermez. Böylece akım halkaları aras ındaki Ampere kuvvet yasas ı , 12 üzerine olan zorunlu vektörel bağ lı l ık dışı nda, integrasyondaki simetriyi gösteren

-* İ ı İ 2 re (Al . d/2 ) F12 oo

1 c2

x1231 (5.10)

haline gelir.

İ ve İ 2 akımlarını taşı yan ve birbirlerinden d uzakl ığı nda patalel olarak duran iki uzun doğrusal telden her biri, birim uzunluk başı na

2İ İ F = ı 2 (5.11)

c2d

büyüklük1ü ve diğer tele doğru dik olarak yönelmi ş bir kuvvet duyar. Ak ımlar ayni yönde ise bu kuvvet çekici, kar şı t yönde ise iticidir. Ak ım taşı yan teller aras ı nda varolan kuvvetler, manyetik ak ı yoğunluğunun, sürekli manyetik çift-kutuplardan

B(x.4-) = J(x') x

1 -> (7'.(> )

d3x'

15> - -Ş 13 (5.14)

227

Şekil 5.3- İki Ampere akım halkası .

bağı ms ı z olarak tan ımlanmas ında kullan ı labilirler. Daha sonra göreceğiz ki (5.1) burulma ifadesi ve (5.7) kuvvet sonucu birbirlerine üstü kapal ı biçimde bağ l ıdı rlar.

Bir J (x) akım yoğunluğu bir B(x) d ış manyetik ak ı yoğunlu-ğu içinde ise, temel kuvvet yasas ı , bu ak ım dağı lımı na etkiyen toplam kuvvetin

= - S 55( x 1"-E'3 ( d3 x

(5.12)

olduğunu söyler. Benzer ş ekilde toplam burulma da şudur:

-4, N = 1 -›

x x (J-›

x B) d3 x (5.13)

c

Bu genel sonuçlar, Kesim 5.7'de yerle ş ik ak ım dağı l ımlarına uygulanacakt ı r.

5.3- Manyetostatiğin Diferansiyel Denklemleri ve Ampere Yasası

Manyetk indüksiyonu veren (5.4)'deki temel yasa genel olarak bir J(3h ak ım yoğunluğu için aş ağı daki gibi yaz ı labilir:

x- Gerçekte (5.11), uluslararas ı ak ı m standard ı n ı n (burada İ /c'nin) temelidir. Ek'e bak ı n ı z.

biçimine dönü ş türülebilir. Daha sonra

- tl - xi

T = ( )6T

ve V2

( 1 ) - -41r(>-(5 - -

228

bu ifadesi, yük yoğunluğu cinsinden yaz ı lan

t = S ?(?, ) ) x _ >(

d3x' (5.15)

ki bu E ifadesi elveriş li değ il-olarak olaylar ı için en yararl ı

elektrik alanının manyetik benzeridir. Nas ı l baz ı durumlarda diferansiyel denklemler kadar se, aynı ş ekilde (5.14) ifadesi de, ilke tümüyle anlatsa bile, gene de manyetostatik yapı değ ildir.

(5.14)'e e şdeğer olan diferansiyel denklemleri elde etmek için (1.15)'in hemen üzerindeki ba ğı nt ı yı kullanı r ı z. Böylece (5.14)'ü

_ â x •S J(x' ) d3x'

I >7 - >c' I

biçimine dönüş türürüz. (5.16)'dan hemen B'nin s ı fır olduğu anlaşı l ı r:

- -4. V . B = 0

(5.16)

ı raksamas ı nı n

(5.17)

Bu manyetostatiğ in ilk denklemidir ve elektrostatikteki V x E =O bağı nt ı s ına karşı gelir. Elektrostatikle olan paralelliğ i sürdürerek, ş imdi de B nin dönülünü hesaplayal ı m:

-4- V x B = ı J(x') VxVx d3x'

>--c> - \ (5.18)

Herhangi bir A vektör alan ı için V x (V x A) = V(V.A) - V

2 A-4-

özdeş liğ i kullanı larak, (5.18) ifadesi

V x B = 1

J(x').V ( )d3x'

x -x''

2 ->1

J(x-Ş ')V ( ) d

3x' x-x'

(5.19)

229

Ş ekil 5.4

eş itlikleri kullanı larak (5.19)'daki integraller

V x B = - -8-V J(x1).7'(

-1--4 .-+ --' 1 d3x' + Li.r ::T(,-?) (5.20) -* -›

1;(> - c

ş eklinde yaz ı labilir. İ lk integrale parçal ı integrasyon uygula-narak

x D = 47x 1 V:5c ) d3x' v V C C I )—'<• Tc>

— (5.21)

sonucuna varı lı r. Fakat kararl ı -durum manyetik olaylar ı için O kJ ı r; böylece

V x B = 47t J

(5.22) c

bağı nt ı sı nı elde ederiz,. Bu manyetostatiğin ikinci denklemi olup, elektrostatikteki V . E = 4119'ya kar şı gelir.

Elektrostatikteki (1.11) Gauss yasas ı V . E = 4Ry denklemi-nin integral ş eklidir. (5.22)'nin integral eşdeğerine ise Ampere yasas ı denir. Bu yasa, Şekil 5.4'de görüldüğü gibi, kapal ı bir C eğ risi taraf ından s ını rlanan açık bir S yüzeyi üzerinde (5.22)'nin dik bile ş eninin yüzey integraline Stokes teoremi uygulanarak elde edilir. Bu yolla

x B . n da =

S

47r c

J . n da (5.23)

eş itliğ i

B. (.4 -

C

4'R c

)- J . n da

S

(5.24)

230

haline dönüş türülür. Ak ım yoğunluğunun yüzey integrali kapal ı C eğrisi içinden geçen toplam I ak ımı olduğundan, Ampere yasas ı

(5.25)

biçiminde yazı labilir. Son derece simetrik durumlarda elektrik alanı nın hesabi için Gauss yasas ı kullan ı labildiğ i gibi, ayni şekilde manyetostatikte de benzer simetrik durumlarda Ampere yasas ı kullanı lı r.

5.4- Vektör Potansiyel

Manyetostatiğ in temel diferansiyel yasalar ı şunlard ı r:

V x B _ 47‘ J

c (5.26)

--ı V . B = 0

Sorunumuz bunlar ın nası l çözüleceğ idir. İ lgilendiğimiz bölgede akım yoğunluğu s ı fırsa, V x B = 0 denklemi, vektör olan B manyetik indüksiyonunu bir manyetik skaler potansiyelin gradye-ni olarak ifade etmemize izin verir: B = Ak. Bu durumda (5.26) ki 'nin sağladığı bir Laplace denklemine indirgenir ve böylece elektrostatik problemlerinde kulland ığı mı z tüm yöntem-ler olduğu gibi burada da kullan ı labilir. Bu sınıfa giren pekçok problem vard ır; fakat bunlar ın tartışı lmasını bu bölümde daha sonralara bı rakacağı z. Bunun nedeni, buradaki s ı nı r koşullarının elektrostatikte kar şı laşı lanlardan farkl ı olmaları ve problemlerin çoğunlukla yükler ve ak ımlar bulunduran boş uzaya göre değ iş ik manyetik özelliklere sahip makroskobik ortamlar içermeleridir.

Çözüm iş ine girişmenin genel yolu (5.26)'daki ikinci denklemden baş lamaktır. Her yerde V . 13. = 0 olduğuna göre; B, vektör potansiyel diyeceğimiz /.() gibi bir vektör alan ının dönülü olmal ıdı r:

B(x) = v x A(X)

(5.27)

Gerçekte B'yi (5.16)'da zaten bu biçimde yazm ış t ı k. (5.16)'ya göre, A'nın genel ifadesinin

A(x) = 1 I ) 3 -->"' -4 d x' + '71)(x) C

1 X - X

231

(5.28)

olduğu açı kt ır; burada '1/keyfi bir skaler fonksiyondur. Eklenen gradyen, verilen bir j-3'' manyetik indüksiyonu için, vektör potansiyelin

(5.29)

bağı ntı s ı uyarınca serbestçe dönü ş türülebi2,_eceğ ini gösterir. Bu dönüşüme ayar (gauge) döniişümü denir. A üzerinde bu tür dönüşümler olas ıdır; çünkü (5.27) yaln ı zca Â'n ın dönülünü belirtir. Ayar dönüşümleri üzerindeki bu serbesti, . Ay ı istediğ imiz herhangi bir elveri ş li fonksiyonel biçimde seçmemi-ze izin verir.

(5.27)'yi (5.26)'n ın ilk denkleminde yerine koyarak

V x (V x A) = 41.[.J c

ya da

(5.30)

- V2--Â= 4"

denklemini elde ederiz. Şimdi de (5.29)'daki serbest en yararlanarak, i ş imize geldi'4 için ı raksamas ı sı fı r olan Ay ı (5'7".7= 0 ayar ı nı ) seçeriz. Bu seçim alt ında, vektör potansi-yelin her bir dik bile ş eni Poisson denklemini sağ lar:

4 -n C7 A = J (5.31)

Elektrostatikteki tart ış malarım ı zdan biliyoruz ki, s ını rs ı z uzayda A'n ın çözümü Nk= sabit olmak üzere (5.28)'dir:

-"A' ( ? ) = J(x') d3x'

1 7-7 , I (5.32)

Bu seçime Coulomb seçimi denir; bu ad ı n verili ş nedeni ancak Kesim 6.5'de aç ı kl ığ a kavu ş acakt ı r.

232

'4)= sabit koşulunu şöyle anlayabiliriz: V . A = 0 ayar seçimi, (5.28)'den O denklemini verir; çünkü (5.28)'in ilk terimi V'. J = 0 nedeniyle ı raksamas ı zdır. V 2 1, = 0 denklemi tüm uzayda geçerliyse, sonsuzda hiçbir kayna ğı n bulunmamas ı koşuluyla,'{) ençok sabit olabilir.

5.5- Dairesel Akım Halkasının Vektör Potansiyeli ve Manyetik İndüksiyonu

Verilen ak ım dağı l ımları ndan manyetik alanlar ı hesaplamaya bir örnek olmak üzere, ş ekil 5.5'de görüldüğü gibi, x-y düzle-minde bulunan, baş lang ıcı merkez kabul eden ve bir İ akımı taşı yan a yar ı çapl ı dairesel ak ım halkas ı problemini ele alal ım. Ak ım yoğunluğu 3`yalnı zca 9S doğ rultusunda bir bileş ene sahiptir:

Sr - İ 8(cos0') r a) (5.33)a J

o - -

Buradaki delta fonksiyonlar ı akımı a yarlçaoll halkaya s ını r-larlar. Vektörel akım yoğunluğu

,

J = - + Jo coscr J (5.34)

biçiminde yaz ı labilir. Problemin geometrisi silindirik simetri-ye sahip olduğundan, hesap kolayl ığı için gözlem noktas ını x-z düzleminde (4> = 0) seçebiliriz. (5.32)'deki integrasyonu çb' = 0 etraf ında simetrik olcWundan, ak ımın x-bileş eni integrale katk ıda bulunmaz. Böylece A'n ı n yalnı zca y-bileş eni kal ı r; bu da A,'dir. Dolayı s ıyla

A_İT(r' ca

9) = r' 2 dr' dSt cos(t.' S,(cose' ) S(r'-a)

x - x' (5.35)

, dür; burada ı x-xl = Er2

+ r°2-2rr' (cos9 cose' + sine sin9'

, co0 1 31/2 ' dir.

(5.35)'i önce olduğu gibi hesaplayal ım. Delta fonksiyonlar ı üzerinden al ınan integrasyonlar bize hemen ş u sonucu verir:

Ai (r,O) = 5271. cosP

O (a2 + r

2 - lar sine co4') 1/2 (5.36)

233

Şekil 5.5

Bu integral, edilebilir:

A ı (r,e) =

tam eliptik integraller

4 İ a

K ve E cinsinden ifade

(2 - k2)K(k) -- 2E(k)

(5.37) a + r2 + 2ar sin8 k2

Burada eliptik integrallerin argümanı

4 ar sine k2

- a2 + r

2 + 2ar sin9

d ı r. Manyetik indüksiyonun

1 B = r r sine e (sin9A )

B9 =

- 1 (r Ai ) (i)

(5.38)

234

bileş enleri de eliptik integraller cinsinden ifade edilebilir. Fakat sonuçlar ın özel bir ayd ı nlatıcı yanı yoktur (bununla beraber, hesaplamalarda yararl ıdı r).

a >> r, a « r ya da 8 « l'e krşı gelen küçük k2 'ler için, (5.37)'deki kö ş eli parantez ( k /16)'ya indirgenir. Bu durumda vektör potansiyel yaklaşı k olarak

ina2 A (r e) = 0 ' c

r sin8 (5.39) (a

2 + r

2 + lar sine)

3/2

haline gelir. Bundan türeyen alanlar da şunlardı r:

İnal (2a2 + 2r2 + ar sin8)

Br

cose (a

2 + r

2 + lar sine) 5/2

(5.40)

B ina2

sin8 (2ar2 - r2 + arsine)

G c

Bunlar, eksen yakınındaki (e « 1), halkanın merkezi yak ı nı nda-ki (r << a) ve halkadan uzaktaki (r >> a) bölgelere kolayl ıkla özelleş tirilebilirler.

Özellikle ilginç olan alanlar, halkadan uzaktaki alanlar- dı r:

ina2 cos8 B = 2( r

) c r

B = ( ) İna2 sin8 e

c r

(5.41)

(4.12)'deki elektrostatik çift-kutup alanlariyle kar şı laş t ı rı l-d ı klarında, dairesel bir ak ım halkas ından uzaktaki manyetik alanlar ı n çift-kutup niteliğ inde oldukları görülür. Elektrosta-tik ile benzerlik kurarak, ak ım halkas ı n ın manyetik çift-kutbu-nu

(a2 + r

2 + 2arsine) 5/2

m = nia2 c

(5.42)

1 . 22+1 p ı (0) _

41x2(2+1)

1 çift için ( _ ı ) n+ ınn+ 1)

2 ,(5.45) nn+ ı ) 1'(2)

2n+ ı için

235

biçiminde tan ı mları z. Gelecek kesimde görece ğimiz gibi, bu ifade aş ağı daki genel sonucun bir özel halidir: Yerle ş ik akı m dağı l ı mları büyük uzakl ı klarda çift-kutup alanlar ı verirler; düzlemsel bir ak ım halkas ı n ı n manyetik momenti, halkan ın yüzey alanı ile İ /c'nin çarp ım ıd ı r.

Her ne kadar eliptik fonksiyonlar cinsinden problemin bir tam çözümünü elde ettiysek de, manyetostatik ve elektrostatik problemlerin aras ı ndaki benzerlikleri ve ayr ı l ı kları belirtmek için ş imdi küresel harmoniklere aç ı lı mın kullanı lışı nı anlata-cağı z. Bu amaçla (5.35)'e geri dönüp 13-1 \-1 yerine (3.70) küresel aç ı l ımını koyal ı m:

Y (9,0) 9 ı k a A - 41d Re 'Ll11 Sr' -d£L5(co8 1 )8(r'-a)e c

r4 g+1 Q,m 4.1-1 r

.y*Zm '

(1 , (e' .) dr' (5.43)

e 'nün varl ığı , toplama yaln ı zca m = +1'in katk ıda bulunaca-ğı nı söyler. Dolayı siyla

2. en Ia Ao Re =1

YQı (e o) r£

r A+ 1 [Y;1 (8' = lt/2,Ç5' )e i(1) ]

(5.44)

dür; burada r4 (r› ), a ve r'den küçük (büyük) oland ır. Köş eli parantez içindeki nicelik Q'ye ba ğ l ı bir sayıdı r:

Buna göre Ao ş öyle yaz ı labilir:

A^ _2 rx ta (-1)n(2n-1)!! r, n+1

c n=o 2n(n + 1)! r2n+2 R211+ ı (cose) (5.46)

Burada (2n- ı)!! = (2n-1)•(2n-3) ... 5.3.1 olup, toplamdaki n =O katsayı s ı tanım olarak birdir. (5.38)'den ışı nsal

2nia Br

- cr

2n+1 (-1)

n (n+ı )!! r2n+2 P2n+1 (cos9) (5.48) 2n n!

00

n=o

2 Taa > (-1) n (2n+1)!! B8 - c

n =o 2n (n+1)!

(2n+2) 1 r n a3 a

pı 2n+1

(cose)

1 a 2n

r 3 (—r ) (5.49)

236

bileş enini geliş tirmek için

dx [Il - x2 Pa2 (x) =,Q(£ + 1) P (x )

(5.47)

bağı nt ı s ına gerek duyar ı z. Böylece ş unu buluruz:

Benzer şekilde 'nin 9 bileş eni şudur:

Üst s ı ra r < a, alt s ıra ise r > a için geçerlidir. r » a iyin, serinin yaln ı zca n = 0 terimi önemlidir. Bu durumda, P (cose) = -sin8 olduğundan, (5.48) ve (5.49) ifadeleri (5.41) 1 e 1. . ı ndı rgenir. r << a için de baskı n terim gene n = 0 d ı r. Bu halde alanlar, basit yollarla da bulunabilecek bir sonuca, yani z yönünde 2wi/ac'lik bir manyetik indüksiyona e şdeğerdir.

Bu problem ile buna karşı gelen silindirik simetrili elektrostatik problem aras ı nda belirtgen bir ay ı rıma dikkatini-zi çekelim. Manyetik problemde adi Legendre çok-terimlilerinden baş ka, bağ l ı Legendre çok-terimlileri de ortaya ç ı kar. Bu, yük ve elektrostatik potansiyelin skaler özelliklerine kar şı lı k, ak ım ve vektör potansiyelin vektör niteliğ ine sahip olmalar ı n-dan kaynaklanmaktad ı r.

Düzlemsel halka problemini çözmeğe giri şmenin bir baş ka yolu silindirik koordinatlar cinsinden bir aç ı lım kullanmakt ı r.

1 -1 'in bir temsili olarak (3.70) yerine, (3.148) ya da (3.149)'daki silindirik aç ı l ım ı ya da Problem 3.14(b)'deki ifadeyi alabiliriz. Bu yöntemin dairesel halkaya uygulan ışı problemlere bı rakı lacakt ı r.

237

5.6- Yerleşik Bir Akım Dağı lımının Manyetik Alanları , Manyetik Moment

Ş imdi gözlemcinin ilgilendiğ i uzakl ık ölçeğ ine göre "küçük" sayı lan bir uzay bölgesinde yerleş mi ş genel bir akım dağı lımı -nın özelliklerini inceleyece ğiz. Bu problemin elektrostatik çok-kutup açı l ı m ı yle benzerlik içinde tam olarak türetilmesi, vektörel küresel harmonikler kullanı larak yapı labilir.. Bu harmonikler, çok-kutup ışı maslyla ilgili olarak Bölüm 16'da verilmektedir. Burada yaln ı zca en düşük basamakl ı yaklaşı klı kla yetineceğiz. Bu amaçla (5.32)'deki paydayı , Şekil 5.6'daki taslakta görüldüğü gibi yerleş ik akı m dağı l ım ının içinde uygun bir baş langıca göre ölçiilen x'nün kuvvetleri cinsinden seriye açarı z:

P

(5.50)

Şekil 5.6- Yerleş ik ,T(17') akım yoğunluğu, -incoordinatlı P noktas ında bir manyetik indüksiyona yol açar.

Buna göre vektör potansiyelin herhangi bir bile ş eni şu açı lıma sahip olacaktı r:

A. (x) = 1 Sj.( -<'>')dş x' + x dşx' + clx 1 cjXr

(5.51)

J'nin yerleş ik ve ı raksamas ı z bir akım dağı l ımı olmas ı gerçeğ i, (5.51) açı lımını n basitleş tirilmesine ve dönüş türülmesine izin

x Bu tek yol de ğ ildir. Skaler potansiyeller kullan ı labilir. J.B.Bronzan, Am.J.Phys. 39, 1357 (1971).

238

verir. f('') ve g(X"') aş ağı daki seçilecekleri gibi, X›'nün J

iyi-davran ış lı fonksiyonları olsunlar. Bu durumda, (37') yerleş ik ve s ı fı r ı raksamal ı olmak üzere

S (f + g 4;f) d3x' = 0 (5.52)

yazı labilir. Bu bağı ntıyı doğrulamak için, ikinci terime parça-l ı integrasyon uygulamak ve çıkan f V' . (gJ) terimini açmak yeterlidir. f = 1 ve g=x! alı ndığı nda, (5.52) bağı ntı s ı bize

1 (x 1 )d3 x' = 0

sonucunu verecektir. Öyleyse (5.51)'de, elektrostatik aç ı l ımda-ki tek-kutup terimine karşı gelen ilk terim yok demektir. f = x! ve g = x' al ı nacak olursa, (5.52) bağı nt ı s ı

(x!1J.3 + x3IJ.)d3x' = 0

haline gelir. Bu sonucu kullanarak, (5.51)'in ikinci teriminde-ki integrali

x .5x,,j,(13x' 2c. 5. xl. J. d3x' J J 1 J

= - z x.3 5(x

.1_ J. - xj1J.) d

3x' .

J

1 -> 2 = - — ijk xj(x' x J) k d

3 x'

j,k

- -2-xXS(-); xxJ) d3x'}

biçiminde yazabiliriz. Al ışı lageldiğ i gibi, buradaki

5,>(.(5t) = 1 (5.53)

2c

ifadesini manyetik moment yoğunluğu ya da mıknatıslanma ve bunun

S -› -> _> m - 1 x' x J(x') d 3x' 2c

(5.54)

239

integralini de manyetik moment olarak tan ımları z. Buna göre, (5.51)'deki ikinci terimden gelen vektör potansiyel manyetik çift-kutup potansiyelidir:

= M X X

'113 (5.55)

Yerleşik bir kararl ı akım dağı lımı tarafından oluş turulan A'nı n açı l ımında s ı fır olmayan en düşük basamakl ı terim budur. Doğrudan doğruya (5.55)'in dönülü al ınarak B manyetik indüksi-yonu hesaplanabilir:

B(x) = 3-ri(n . m) -m

-)n3 (5.56)

Burada n, x yönünde bir birim vektördür. (5.56) manyetik indüksiyonu, tam olarak (4.13)'deki elektriksel çift-kutup alanı nın yapı s ına sahiptir. Bu ifade, önceki kesimde dairesel halka için bulunan sonucun genelleş tirilmiş idir. Her yerleş ik akım dağı lımı nın çok uzaklarda oluş turduğu manyetik alan, momenti (5.54) ile verilen bir manyetik çift-kutbun alan ıdı r.

Akım dağı l ımı herhangi ş ekilli düzlemsel bir halkaya sını rlı olduğunda, manyetik moment basit bir biçimde ifade edilebilir. Üzerinden İ akım ı geçen bu düzlemsel kapal ı devre-nin çizgi eleman ı d.Q olmak üzere (5.54)

m= İc x x d£ 2

haline gelir. Ş ekil 5.7'deki gibi bir düzlemsel halka içih, manyetik moment halka düzlemine diktir. d2_ 'nin iki ucu ile baş langı ç noktas ı tarafı ndan tanımlanan üçgensel alan elemanı

da olmak üzere, 1 I 3tx I. da olduğundan, halka integrali 2- , halkanı n toplam alanı nı verir. Buna göre manyetik moment, devrenin biçimi ne olursa olsun,

İ = -(Alan)

(5.57)

büyüklüğüne sahiptir. Ak ım dağı lımı -%;>i h ı zlariyle hareket eden M. kütleli ve q.

yüklü parçac ı klardan oluşuyorsa, manyetik moment, bu parçac ı k-1 ların yörüngesel açı sal momentumu cinsinden yaz ı labilir. Akım

yoğunluğu

240

Şekil 5.7

v 8 , x x.) q.. ı ı ı

dir; barada -;'<'. , i'yinci parçac ığı n konumunu göstermektedir. Bu durumda (5.4) manyetik momenti

-4- 1 z. -) x )

. --ı . m = q.(x. v. ı ı 2c ı

halini al ı r. (x v. x ) vektörel çarpımı , i'yinci parçacığı n , biçimindeki yörüngesel açı sal momentumuyla ı

orant ı l ıdı r. Böylece manyetik moment

11 = qı

L. i 2M:c ı

(5.58)

haline gelir. Hareketli parçac ıkları n tümü aynı yük bölü kütle oranına sahipseler (q./M. = e/M), manyetik moment toplam yörüngesel aç ı sal momen4umiL yaz ı labilir:

-4 m = e L. = e L

2Mc 2Mc (5.59)

Açı sal momentum ile manyetik moment aras ı nda varolan ve atomik ölçekteki yörüngesel harekette bile geçerliliğini koruyan ünlü

241

klasik bağı ntı budur. Fakat bu klasik bağı nt ı elektronlar ı n ve diğer temel parçacı kları n iç momentleri için geçerli de ğ ildir. Elektronun iç momenti, T:" yerine spin aç ı sal momentumu S 'yi koyarak (5.59)'dan bulunan değerin iki kat ından biraz daha büyüktür. Bu nedenle elektron 2 x (1,00116) değerinde bir g çarpanına sahiptir deriz. Manyetik momentin klasik de ğ erinden ayr ı lmas ı , burada inceliyemiyeceğ imiz relativistik ve kuantum mekaniksel etkilerden kaynaklanmaktadı r.

Yerleş ik akım dağı l ım ı nı n alanlar ı konusunu bı rakmadan önce, B manyetik indüksiyonunun küresel hacim integralini ele alal ım. Kesim 4.1'in sonunda tart ışı lan elektrostatik halde olduğu gibi, iki ilginç limit vard ır; birinde R yarı çapl ı küre akı mın tümünü içine al ı r, diğerinde ise ak ım tümüyle küresel hacmin dışı ndad ır. B'nin hacim integrali

r<12

B(x)d3x=j- r<R -> dxAd

3x (5.60)

dir. A'n ı n dönülünün hacim integrali alı narak bir yüzey integ-raline geçilebilir ve böylece

f Bd3 x=R2 j- d0.rix A

bulunur; burada -?; yüzeyden dış a doğru dik birim vektördür. -A> yerine (5.32)'yi koyduktan sonra integrasyonların s ı ras ı

değ iş tirilirse, üstteki ifade

2 R S' 3 -4 ->°) xSdf = — d x' J(x r<R a n a -

biçiminde yaz ı labilir. Aç ı sal integral, elektrostatik durumda ortaya çıkanı n aynı s ıdı r. Dolayı s ı yla (4.16')'yü kullanarak, B 'nin küresel bir hacim üzerinden al ı nan integralini

j"

3 41t Ir R2r -> -> 3 B d x = ( 2 ) x' x J(x°) d x' r<R 3c r'r>

(5.61)

biçiminde buluruz; burada r4 (r> ), r' ve R'nin daha küçük (daha büyük) olan ıdı r. Eğer tüm ak ım dağı lı m ı küre içinde bulunuyor- sa, r< = r' ve r = R'dir. Bu durumda

-fr<R B d-" x =

(5.62) 3

242

dir; burada m , (5.54) ile tan ımlanan toplam manyetik momenttir. Ak ımı n tümü küre d ışı nda yerleşmiş ise, (5.14) yard ı mıyla

jr B r<R d 3x = 4uR3 -4' B(0) (5.63)

3

bulunur. (5.62) ve (5.63) sonuçlar ı , elektrostatik karşı l ı kları olan (4.18) ve (4.19) ile kar şı laş t ı rı labilir. (5.62) ile (4.18) aras ındaki ayr ım, alanlar ın kaynaklar ındaki ayrı ma, yani birinin yüklerden diğ erinin ise dolanan ak ımlardan ileri gelmesine bağ lanabilir. (5.56)'daki manyetik çift-kutup alan ı na (5.62)'deki bilgiyi de katmak istersek, o zaman (5.56) ya bir delta fonksiyonu katkı sı eklememiz gerekir:

3n(n . - r-71 B(x) = 1 - 1 3 r-7'1 S(>7) 3

(5.64)

Bu delta fonksiyonlu terim, atomik s durumlar ının aşı rı-ince yapı ifadesinde i ş e kar ışı r (gelecek kesime bak ı nı z).

5.7- Bir Dış Manyetik Alan İçinde Yerleşik Akım Dagı lımına Uygulanan Kuvvet, Burulma ve Bu Dağı lımın Enerjisi

Yerleş ik bir ak ım dağı l ımı bir1:11(X> ) dış manyetik indüksiyo-nu içine konduğunda, Ampere yasalar ı na göre bu dağı lıma kuvvet-ler ve burulmalar etkiyecektir. Toplam kuvvet ve burulmaya değgin genel ifadeler (5.12) ve (5.13) ile verilmektedir. E ğ er dış manyetik indüksiyon ak ım bölgesi boyunca çok yavaş değ iş i-yorsa, kuvvet ve burulmadaki bask ı n terimleri bulmak için bir Taylor serisine aç ı l ımdan yararlanı labilir. 11.› 'nin bir bileş eni, uygun bir baş langı ç dolayı nda

Bk () = Bk (0) + "N(0) + (5.65)

biçiminde seriye açı labilir. Bu durumda (5.12)'deki kuvvetin i'yinci bileş eni

F. = c > kk (0)5J.(;?.')d3x' + k (0)d3x' 3k J •

4- *1 (5.66)

243

haline gelir. Burada E.. tümüyle karşı t -simetrik birim tensör - dür (1 = i,j = 2, k =9 - ve bunların her devirsel permütasyonu için E

i .k = 1, diğer permütasyonlar için Z.„ = -1 ve iki ya

l da üç ndisin eş it olmas ı halinde E. 4, 1-'1) dı r). Kararli akımlar için J'nin hacim integraliif ırdır; dolayı sıyla kuvvete en düşük basamakl ı katkı (5.66)Zdaki ikinci terimden gelir. (5.53)'ün üzerindeki sonuç (X'--..,VBk (0) yerdeğ iş tirmesi ile) burada da kullan ı labilir ve

Fi = ı

x 7) i Bk (x) (5.67) 3k

bulunur. 8,(x4 )Tin türevi alındıktan sonra x yerine s ı fı r konacaktı r. -Bunu vektörel olarak

-4 -4 F = (m x V) x B -4 = V(m . B) - m(4 . B) (5.68)

biçiminde yazabiliriz. Genelde V . B = 0 olduğundan, bir B d ış manyetik alı nı içindeki yerleşik ak ım dağı lımına etkiyen en düşük basamakl ı kuvvet

ı'> = 7çr(r-i . 73)

(5.69)

dir. Bu sonuç, zamanla değ iş en dıQ...alanlar için bile geçerli- dir. Kararlı -durtz „alanlar ı için x = O'dır. Bu durumda kuvveti V)B biçiminde de yazabiliriz.

Düzgün olmayan bir manyetik alan içine konan küçük bir akım dağı l ımı , dağı lımın m manyetik momentiyle orant ı lı olan ve (5.69) ile verilen bir kuvvetin etkisine uğrar. Bu sonucun basit bir uygulama yeri, düzgün olmayan manyetik alanda spiral çizen yüklü bir parçac ığ a etkiyen zaman-ortalamal ı kuvvettir. Iyi bilindiğ i gibi, yüklü bir parçac ık, düzgün bir manyetik alan içinde, alana dik aç ı larda bir çember üzerinde hareket eder; alana paralel olarak da sabit h ı zla ötelenir ve dolay ı -sıyla helis biçiminde bir yol izler. Dairesel hareket, zaman ortalamas ında, dairesel bir ak ım halkas ı na eşdeğerdir; böylece (5.57) ile verilen bir manyetik momente sahip olacakt ır. Alan düzgün değil de küçük bir gradyente sahipse (gradyen küçük olduğundan, parçac ığı mı z helis üzerindeki bir turu boyunca önemli ölçüde farklı alan ş iddetleri duymaz), o zaman parçac ı -ğı n hareketi, e şdeğ er manyetik momente etkiyen kuvvet cinsin-den tart ışı labilir. Momentin ve kuvvetin i ş aretleri düşünüldü-

244

ğünde görülür ki, yüklü parçac ıklar, yükleri ne olursa olsun, yüksek ak ı yoğunluklu bölgeler tarafından geri çevrilmeğe çalışı lı r. Kesim 12.6'da bir ba ş ka açıdan tart ışı lan "manyetik yans ı tı cı lar" ı n temeli iş te budur.

Yerleşik akım dağı lımına etkiyen burulmay ı bulmak için, aynı ş ekilde (5.65) ifadesini (5.13)'de yerine koyar ı z. Burada açı l ımdaki s ı f ı rı ncı terim katk ıda bulunur. Yaln ı zca bu en önemli terimi al ıkoyarak şunu elde ederiz:

c j 7. x [,3-* x };( o )] d 3 x (5.70)

Üçlü vektörel çarp ımı açarak, (5.70) burulmas ını

1 S 73)5-( 1 . 7'7)BId3x .

haline getiririz. .Birinci integral, (5.66)'daki integralle aynı yapıya sahiptir. Dolay ı sıyla değerini hemen yazabiliriz. İ kinci integral ise, f=g=r' al ınarak (5.52)'den görülebilece ğ i gibi, yerleş ik bir kararl ı -durum akım dağı l ımı için sı fı rdı r. Dolayı sıyla burulmadaki en önemli terim

N = m x B ---> (0)

(5.71)

dir. Bu, bir çift-kutup üzerine etkiyen burulma için al ışı lmış ifadedir ve hat ı rlanacak olursa, manyetik indüksiyonun büyüklük ve yönünü tanımlama yollar ından biri olarak Kesim 5.l'de tartışı lmış tı r.

Bir dış manyetik alan içine konan sürekli bir manyetik momentin (ya da çift -kutbun) potansiyel enerjisi, ya (5.69) kuvvetinden ya da (5.71) burulmas ından elde edilebilir. Eğer kuvveti bir U potansiyel enerjisinin eksili gradyeni olarak yorumlarsak, U yu

U = - m . B

(5.72)

ş eklinde buluruz. Düzgün alandaki n ı' manyetik momentine etkiyen (5.71) burulması , -B"ve lir aras ındaki açı A olmak üzere, U'nun 9'ya göre türevinin eksilisi olarak yorumlanabilir. Çift-kutbun potansiyel enerjisiyle ilgili olan bu ünlü sonuç, çift-kutbun, kendisini, en dü şük potansiyel enerji durumu olan alana paralel hale getirmeğe çalış tığı nı gösterir.

245

Bu arada (5.72)'nin, dış manyetik alandaki manyetik momen-tin toplam enerjisi olmadığı nı söyleyelim. gçift-kutbunu alan içindeki son durumuna getirirken, g'yi doğuran J akımını sabit tutmak için iş yapı lmalıdı r. Son durum bir kararl ı-durum bile olsa, baş langıçta ilgili alanlar ın zamana bağ l ı olduğu bir geçiş süresi vard ı r. Bu konu, ş imdiki incelemelerimizin d ışı na çı kmaktadır. Bu nedenle manyetik alanların enerjisiyle ilgili tart ış maları , Faraday' ın indüksiyon yasas ını iş ledikten sonra, taa Kesim 6.2'ye bırakacağı z.

(5.72) enerji ifadesi, atomsal enerji düzeyleri üzerindeki manyetik etkilerin incelenmesinde, örne ğin Zeeman olay ında ya da ince ve aşı rı -ince yapı için kullanı labilir. İnce yapı , elektronun iç manyetik momenti Ft nin kendi durgun çerçevesin-den görülen bir manyetik alan içinde bulunmas ı nedeniyle enerjisinde ortaya ç ıkan ayrı lmalardan ileri gelmektedir denilebilir. İnce yap ı , Thomas presesyonuyla incelikli bir biçimde karış mış olarak Kesim 11'de k ı saca tartışı lmaktadı r. Aşı rı-inceyapı etkileşmesi ise, elektron tarafından oluş turulan manyetik alan ile çekirdeğ in j-LN manyetik momentinin etkile şme- sidir. Etkile şme Hamiltoniyenı , m = Jk ve B = elektronun çekirdek konumunda (X". = 0) değerlendirilmiş manyetik alan ı olmak üzere (5.72)'dir. Bu alan iki kısma sahiptir. Biri (5.64) çift-kutup alan ıdır; öbürü ise elektron yükünün yörünge-sel hareketiyle oluş turulan manyetik alandır. Son söylenen, relâtivistik olmadan bir biçimde (5.5) ile verilir ve B yörün-gesel (0)= eli/mcr olarak ifade edilebilir; burada r, elektronun çekirdek dolay ı ndaki yörüngesel aç ı sal momentumudur. Bunlara göre, aşı rı-ince yapı Hamiltoniyeni şu biçimdedir:

g'yt A- İ .Y. J1-..)' 6(x) + 4-

3 e N r3

--', )(x.P )

le'/`N 3 e N e --->

mc L.ik" r2 N

(5.73)

Bu Hamiltoniyenin çe ş itli atomik (ve çekirdeksel spin) durumla-rındaki beklenen değerleri, aşı rı-ince enerji yarı lmalarını verecektir. Küresel simetrili s durumları için, (5.73)'deki ikinci terimin beklenen değeri s ı fırdır. Aşı rı-ince yapı enerjisi yalnı zca ilk terimden gelir:

_ 83 (0) 12 4,,,,g e

yapı

3

aşı rı-ince

• N

enerjisi tümüyle (5.73)'ün

(5.74)

ikinci 0 için

246

teriminden gelir; çünkü 0 için dalga fonksiyonlar ı baş lan- gıç noktas ında s ı fırdır. Bu ifadeler Fermi'ye aittir; Fermi bunları Dirac denkleminden elde etmi ş tir (1930). (5.73)'ü uygularken, e yükünün eksi oldu ğu ve f.;.' 'nı n elektron spininin karşı t yönünde yöneldiği hat ırlanmalıdir. Hidrojen atomundaki 1S durumunun birli ve üçlü durumları arasında görülen (5.74) enerji farkı , astrofizikteki ünlü 21 cm çizgisinin kaynağı dı r.

5.8- Makroskobik Denklemler, -ir ve IT üzerindeki Sınır Koşulları

Ş imdiye dek, Giri ş teki ve Bölüm 4'deki anlam ı yla, mikrosko-bik denklemler olarak, kararl ı-durum manntik alanlarını n sağ ladığı (5.26) temel yasalar ıyla uğraş tık. J akım yoğunluğu-nun, konumun tümüyle bilinen bir fonksiyonu oldu ğunu varsayd ı k. Makroskobik problemlerde bu çoğu kez doğru değildir. Maddedeki atomlar, etkin atomsal ak ımlar oluş turan elektronlara sahiptir; bu akım yoğunluğu hı zl ı biçimde dalgalanan bir niceliktir. Ancak bunun makroskobik bir hacim üzerinden ortalamas ı bilinir ya da elveriş lidir. Üstelik atomsal elektronlar, klasik ak ım yoğunluğu cinsinden anlat ı lamayan iç manyetik momentlere sahiptir. Bu momentler, atomsal boyut ölçeğ inde oldukça çok değ iş en çift-kutup alanlar ı oluş tururlar.

Maddesel ortamlardaki manyetik alanlar ın makroskobik anlat ım ı nı elde etmek için mikroskobik denklemlerin ortalamala - rı nı n al ı nmas ı i ş lemi ayrı nt ı l ı bir biçimde Bölüm 6'da tartı - şı lmaktadı r. Burada, Bölüm 4'de yapt ığı mı z gibi, yalnı zca temel türetmenin ana çizgilerini vereceğ iz. İ lk basamak, V . 1-3m̂ikro = 0 denkleminin ortalamas ının, makroskobik manyetik indüksiyon için gene ayni

-4 -4 V.B.0 (5.75)

-4 denklemine yol açt ığı nı gözlemektir. Dolayı sıyla dönülü B'yi veren bir -A5 M vektör potansiyeli kavram ı ş imdi de kullanı labi-lir. Her birinin moleküler manyetik momenti m. olmak . üzere, birim hacimde bulunan çok say ıdaki molekül ya d2- atom,

m x = N.< m --4 . ı ı (5.76)

gibi bir ortalama makroskobik mıknatıslanmaya ya da manyetik moment yoğunluğuna yol açar; burada Ni birim hacimde bulunan i'yinci türden moleküllerin ortalama sayı sı ve (> ise noktas ı dolayındaki küçük hacimde bulunan i 'yinci türden

247

molekülün ortalama manyetik momentidir. Bu m ı knat ı slanmaya ek olarak, ortamdaki serbest yüklerin ak ışı ndan ileri gelen makroskobik bir -3?() akım yoğunluğunun da varloduğunu kabul edelim. Bu durumda, noktas ındaki küçük bir AV hacmince oluş turulan vektör potansiyel

J(x')Au + M(x') x (x - -X') AV c .X› - -

biçiminde olacakt ı r. Bu, (4.30) ifadesinin manyetik benzeridir. İ kinci terim bir çift-kutbun (5.55) ile verilen vektr. potansi-yelidir. AV'yi makroskobik anlamda sonsuzküçük d x' haline getirerek, x noktas ı ndaki toplam vektör potansiyeli, tüm uzay üzerinden bir integral olarak yazabiliriz:

1,:(;t ) = 1 j- 5>(7' ) c'1■71( -1 ) x ()-( C ı - ;?. 1 3

d3x' (5.77)

Mı knatı slanma terimi yeniden a ş ağı daki gibi yaz ı labilir:

d3x , = S-1-v7 ( .;;., ) ( 1 ) -

x'

Buna uygulanan bir parçal ı integrasyon gradyen operatörünü mı knat ıslanma üzerine çevirir ve ayr ıca bir yüzey integrali verir. M(5t') iyi-davran ış l ı ve yerle ş ik ise, bu yüzey integrali s ı fı r eder. Böylece (5.77) vektör potansiyeli

A(x) = 1J(X') x -N1.(-?')] d3x' (5.78) x - k'(

biçimini al ı r. Buradan m ı knat ı slanmanı n

„ ıvı (x) = cV x M(x) (5.79)

gibi bir etkin .kim yoğunluğu katk ı sına yol açtığı görülür.

Mikroskobik anlamdaki V x Bmikro = 4nJmikro/c denkleminin makroskobik eşdeğ eri, (5.78)'den ç ı karı labilir. (5.26) denklem-

248

leri (5.32) çözümüne sahil oldu ğuna göre, (5.78)'e bakarak makroskobik denklemde Jm 'nin akım rolünü oynayacağı sonucu- na var ı r ı z. Buna göre eşdeğer makroskobik denklem ş öyledir:

-> ✓ x B =

47T J + ,trV x M (5.80)

V x M terimini B ile birleş tirerek, manyetik alan olarak adland ı racağı mı z yeni bir H makroskobik alan ı tanımlanı r:

-> H = B - 4rM (5.81)

Bu durumda (5.26) yerine geçen makroskobik denklemler şunlar-dı r:

-> ✓ x H - 4 Tv

c J

-5 ✓ . B = 0

(5.82)

Makrosk2'bik bir alan olarak H'nin ortaya at ı lışı , elektrosta-tikte D'nin ortaya at ı l ışı na tümüyle benzemektedir. (5.82) makroskobik denklemlerinin elektrostatik kar şı lı kları şunlar-dı r:

-> -4 ✓ . D = 411?

-4 (5.83)

✓ x E = 0

Temel alanlar ı n E ve B olduklar ını vurgulayal ım. Bunlar (5.82) ve (5.83) 1 delsi homojen denklemleri sağ larlar. Türetilmi ş ilanlar olan D ve H ise, atomsal yüklerin ve akımların p ve J'ye olan katkı lar ı nı ortalama anlam ında hesaba katmak için kolayl ı k olsun diye tanımlanmış t ı r.

Makroskobik manyetostati ğ in anlat ımı nı tamamlamak için, H ve B arası nda bulunmas ı gereken birleş tirici bağı ntıyı da söylemeliyiz. Giriş bölümünde tart ışı ldığı gibi, izotropik diyamanyetik ve paramanyetik maddeler için

B = J4H-> (5.84)

basit çizgisel bağı nt ı s ı geçerliktedir; buradaportam ın sabit bir karakteristiğidir ve manyetik geçirgenlik ad ını al ı r.

249

Tipik olarak,frı birden ancak 10 5 'te birkaç kadar ayr ı lır (para-manyetik maddeler için )t. ı. > 1 ve diyamanyetik maddeler için /.4<:1 1 dir). Ferromanyetik maddeler için (5.84), çizgisel olmayan

-> -> -> B = F(H) (5.85)

fonksiyonel bağı ntıslyla yerdeğ iş tirmelidir. Şekil 5.8'de taslak olarak çizilmiş bulunan histeresiz olayı gösterir ki, B,H'nin tek-değerli

.4. -4 Ş ekil 5.8- Ferromanyetik bir maddede B'yi H'nin fonksi- yonu olarak veren histeresiz eğrisi.

bir fonksiyonu değildir. Gerçekte, F(H) fonksiyonu maddenin hazırlanı öyküsüne bağ lıdır. Artmasal geçirgenlik diyebilece- ğimiz B Elinin paralel olmalar ı varsayımı alt ı nda,

H'ye göre Iürevi„olarak tan ımlanı r. Yüksek geçirgenlikli maddeler için )4(H), 10' kadar yüksek olabilir. Bir çok i ş lenme- miş ferromanyetik madde, çok küçük alanlar için -13 ve H aras ında (5.84) çizgisel bağ i.ntı sına sahiptir. İ lk geçirgenliğin tipik değerleri 10'dan 10 'e kadar uzan ı r.

Ferromanyetik maddelerde "1-3 ve H aras ındaki karmaşı k bağı n-tı , manyetik s ınır-değer problemlerinin çözümlenmesini, do ğal olarak benzer elektrostatik problemlerinkinden çok daha güç hale getirir. Fakat geçirgenli ğin çok büyük değerleri, çoğu kez s ı nır koşulları üzerinde basitleş tirici varsay ımlara izin

250

verir.

İ ki ortamın arakesit yüzeyi üzerinde 1'3 > ve H'nin sağladığı sı nır koşulları Kesim G.S'de türetilmektedir. Orada gösterildi-ğ i gibi, s ını r yüzeyinin her iki yan ı ndaki 72.4. 'nin dik bileşenle-ri ve H'nin teğet bileş enleri

4. -4> -4. = O (B - B ) n 2 ı

.4. 4. 4-rc n x (H2 - H ı ) = c K

(5.86)

(5.87)

uyarınca birbirlerine bağ lıd ı rlar; burada -n4i,1 bölgesinden 2 bölgesine uzanan dik birim vektör; K ise idealize yüzeysel ak ım yoğunluğudur. (5.84) biçiminde çizgisel ba ğı ntı lar sağ la-yan ortamlar için s ı nı r koşulları

JA2 1ı

-4. -N. -4' -4. B2 . n = Bi . n B2 x n = B x n

(5.88)

ya da

H2 ri = J'A*1 H. , H2 xn=H xn (5.89)

halinde de iade edilebilir. )-(,ise, Şekil 5.9'da görül- düğü gibi, H2 'nin dik bileş eni1 H 'in dik bile şeninden çok daha büyüktür. 94 /1A2 ).-,› limitinde, 1 Yr'in doğ rultusundan bağı msı z olarak (sadece fr'in arakesit yüZeyine tanr ı tamına paralel olması hali dışı nda), 1f2 manyetik alan ı s ınır yüzeyine diktir.

Şekil 5.9

251

Böylece çok yüksek geçirgenlikli bir maddenin yüzeyindeki H üzerine konan s ını r koşulu, bir iletkenin yüzeyindeki elektrik alanına konan koşulla aynıdı r. Dolay ı sıyla manyetik alan için elektrostatik potansiyel teorisini kullanabiliriz. Yüksek geçirgenlikli maddenin yüzeyleri yakla şı k olarak "eş -potansiyel yüzeyler"dir ve H çizgileri bu e ş -potansiyel yüzeylere diktir-ler. Bu benzerlik, birçok m ı knatı s modeli çiziminde kullan ı la-bilir. Alanın tipi kararlaş tı rı ld ıktan sonra, kutup yüzleri eş -potansiyel yüzeyler olarak biçimlendirilir.

5.9- Manyetostatikte Sınır-değer Problemlerin Çözme Yöntemleri

Manyetostatiğin temel denklemleri, B ve H aras ında baz ı birleş tirici bağı nt ı larla birlikte

-4 -4. V . B = O , -* 4n -4. x H = J

c (5.90)

biçimindedir. Uygulamada ortaya ç ı kabilen çeş itli durumlar, manyetostatikteki s ı nı r-değer problemlerinin çözümü konusunda değ i ş ik teknikler gerektirir. Bunlar ı gözden geçirmek' harcanan zamana değecektir.

A. Genellikle Uygulanabilen Vektör Potansiyel Yöntemi

(5.90)'daki ilk denklem nedeniyle,

73 = x -A4

olacak ş ekilde her.. zaman için bir A(x) vektör potansiyeli bulabiliriz. Eğer H = 1.ul biçiminde aç ık bir birleş tirici bağı nt ıya sahipsek, o zaman (5.90)'daki ikinci denklem

4 -Tr x -17 [-Ğ'> x = J

olarak yaz ı labilir. Ak ım dağı l ı mı basit olsa bile, H ile B birbirlerine basitçe bağ l ı olmadıkça, genel olarak bu çok karmaşı k bir diferansiyel denklemdir. B = çizgisel ortamlar için, bu denklem

1 -› 41T x V x A) = c J

/- (5.91)

haline gelir.1,...ı sonlu bir uzay bölgesi üzerinde sabit ise, bu bölgede (5.91)

252

(5.92)

biçiminde yaz ı labilir. Bu da, Coulomb ayar seçimi (V .A = 0) ile, )14,7 biçiminde düzeltilmiş akım yoğunluklu (5.31) haline gelir. Bu durum, düzgün ve izotrop olan dielektrik ortamlardaki türetmeye iyicene paraleldir; orada da Poisson denklemindeki etkin yük yoğunluğu YlE idi. Farklı çizgisel ortamlardaki (5.92) çözümleri, s ı nı r yüzeyini geçerken (5.88) ya da (5.89) s ı nı r koşullları ile uyuşmalıdı r.

B.J = 0 Hali: Manyetik Skaler Potansiyel

Akım yoğunluğu sonlujzir uzay bölgesinde s ı f ı r ise, (5.90)' daki ikinci denklem V x H = 0 haline gelir. Bu durumda, t ıpkı elektrostatikteki

H = -Vlım (5.93)

olacak biçimde_..birti)m manyetik skaler potansiyeli bulabiliriz. Bu kez B = 731111 birleş tirici bağı nt ı sı yardım ı yla, 4 . B = 0 denklemi

-¥ V . B [-V<Fom = O

biçiminde yaz ı labilir. Bu da, ortam çizgisel olmadıkça, gene çok karmaşı k bir diferansiyel denklemdir. Ortam çizgiselse, denklem

-¥ v . (4,4 ) = 0 (5.94)

haline gelir. Eğ er ,M hiç olmazsa bölge bölge sabit ise, her bölgede manyetik skaler potansiyel Laplace denklemini sa ğ lar:

v2,4, = o

Farkl ı bölgelerdeki çözümler, (5.89) sını r koşulları yla birbir-lerine bağ lıdı rlar. Son değ indiğimiz >Ainün bölge bölge sabit olmas ı halinde, Vzik = 0 olmak üzere, yazabilece ğ imize de dikkat ediniz. u skaler potansiyel halinde, (5.88) s ınır koşulları uygundur.

253

Manyetik skaler potansiyel kavram ı , kapal ı akım halkaları için verimli bir biçimde kullan ı labilir. Gösterilebilir kit m , halkanı n s ı nı rını gözlem noktas ına birleş tiren koninin ayı rd ıgı kat ı aç ıyla orant ı l ıdır. Problem 5.1'e bak ı nı z. Böyle bir potansiyelin çok-değerli olduğu apaç ı kt ı r.

C. Sert FOrromıknatıslar (Aryerilmiş ve J = 0)

Uygulamada en çok rastlanan durum "sert" ferrom ı knatı slara değgindir. "Sert" ferrom ı knatıs deyince, orta ş iddetteki alanlar için uygulanan alandan aş ağı -yukar ı bağı ms ı z bir mı knatı slanmaya sahip maddeyi anl ıyoruz. Böyle maddeler, sanki belirli sabit bir M( -t) mı knatıslanmasına sahipmi ş ler gibi iş leme sokulabilirler.

o) Skaler Potansiyel

J = 0 olduğundan,(f. manyetik skaler potansiyeli kullan ı la- bilir. (5.90)'daki ilk denklem

V . B . V .(H + 41TM) = O

ş eklinde yaz ı l ı r. Bu da, (5.93) kullan ı larak, manyetostatik Poisson denklemi haline getirilir:

V m = -41%

Burada etkin manyetik yük yo ğunluğu

= . M

dir. Sı nı r yüzeyleri yoksa,(^M potansiyel çözümü ş udur:

d

= jr • I 7(

d3x' - 1

(5.95)

( 5.96)

(5.97)

M iyi-davran ış lı ve yerleş ik ise, bu çözüm parçal ı integrasyon - la

(l'ım (x) = ) . ( 1 ) d3x'

haline getirilebilir. Bu ifadede de

254

( 1 ) - 1

kullanı larak, aş ağı daki sonuca ulaşı lı r:

.c1). m ()- ) . S -> M(x 1 ) d3x'

I X - (5.98)

Bu arada, m ı knatı slanma bölgesinden uzaklarda potansiyelin

-4 -git 1

--> . m(x.) d

3 x'

-> -> m . x

r3

ile yaklaşı klığ a uğratı labileceğini gözleyelim; burada m=j M d 3 x

toplam manyetik momenttir. Bu, elektrostatikteki (4.10) açı lımından görülebileceğ i gibi, bir çift-kuttun skaler potan-siyelidir. Dolayı s ıyla herhangi bir yerle ş ik m ı knatı slanma dağı lımı , asimtotik olarak bu da ğı lımın toplam manyetik momen-tiyle verilen ş iddette bir çift-kutup alan ı na sahiptir.

Fiziksel m ı knatıslanma dağı l ımları matematiksel aç ıdan iyi-davranış lı oldukları ve süreksizliklere sahip bulunmadıkla-rı halde, baz ı kez gerçeğ i soyutlamak ve -11) (Sn'i sanki süreksiz-miş gibi iş leme sokmak yararl ı olur. Böylece, eğer "sert" bir ferromıknatıs V hacmine ve S yüzeyine sahipse, -Ç4(5-Wi V içinde belirtir ve S yüzeyi üzerinde birden bire s ı fıra düş tüğünü varsayarı z. (5.96)'daki f ifadesine, tabanları yüzeyin iki yanı nda bulunan bir Gauss sı lindiri üzerinden ıraksama teoremi-nin uygulanmas ı ,

-4 M = n . M

(5.99)

değerinde bir etkin manyetik yüzeysel yük yo ğunluğunun var ol-duğunu gösterir; burada li d ış a doğru yönelmiş birim dik vektör-dür. Böylece (5,97)'deki potansiyeli

(I) V' M(x') 3 ) - M

-›

. dx' +

-*(x') n' . M

da' (5.100)

)1' - ' I - V S

biçiminde yazabiliriz. Önemli bir özel hal, V hacmi boyunca düzgün m ı knatı slanma halidir. Bu durumda ilk terim s ıf ı rdı r;

255

yaln ı zca IT'm üzerinden al ınan yüzey integrali katk ıda bulunur. (5.98)'in büyük bir genellik içinde uygulanabilir olduğuna

dikkati çekmek önemlidir. Bu bağı nt ı süreksiz M dağı lı rniarı limitinde bile uygulanabilir; çünkü Ni'deki süreksizlikleri tart ış makk için (5.97)'yi (5.98)'e dönüş türdükten sonra bir limit süreci tan ımlayabiliriz. OWnin yüzey integralini (5.98) ile hiç bir zaman birleş tirmeyinIZ!

b) Vektör Potansiyel

—4 -4 -* 4 .4 V . B = 0 denklemini otomatik olarak sa ğ lamak için B = VXA

yazma yolunu seçersek, o zaman (5.90)'daki ikinci denklemi de

-4 -4 -4 VxH=Vx (B -4M) = 0

olarak yazar ı z. Bu yaz ış , Coulomb ayarında Pi için a ş ağı daki Poisson denklemine yol açar:

4 TC V A J c M (5.101)

Burada J' • (5 97) ile verilen etkin manyetik ak ım yoğunluğ u- M . dur. Sı nır yüzeyleri yoksay ı ldığı nda, bu denklemin çözümü, esasen (5.78)'de gösterilmi ş olduğu gibi,

5 A(x) =

V' x M(x') d3x' -

(5.102)

dir. Bunun bir ba ş ka yaz ı lış biçimi, (5.77)'nin m ı knat ı slanma teriminde görülmektedir.

Mı knat ı slanma dağı l ım ı süreksiz ise, (5.102)'ye bir yüzey integrali eklemek gerekir. (5.77)'den ba ş layarak gösterilebilir ki, V hacmini s ı nı rlayan S yüzeyi üzerinde süreksiz bir biçimde s ı fı ra düş en M için (5.102)'nin genelle ş tirilmiş i

-7-;: ' ( 7 ) = -Ğ" x 17' )7 ( )-(> . ) 3

5 5. -Çi(>7.) x- ı ' da' d x' + 1 ).c - x 1 >-?. - -x'''

V S

(5.103)

.....> dir. c(M x n)'nin etkin yüzeysel ak ım olduğunu anlamak için,

256

--> teğetsel H taraf ı ndan sağ lanan (5.87) s ı nı r koşulunu --13> ve M cinsinden yazmak gerekir. -1■14 hacim boyunca sabit ise, gene yaln ı zca yüzey integrali arta kal ı r.

5.10- Düzgün Mıknatıslanmış Küre

Manyetostatiksel bir s ı nı r-değer probleminin çözümünde kullanı lan değ iş ik yöntemleri örnekle anlatmak için, basit bir problem olarak, Ş ekil 5.10'da görüldüğü biçimde, geçirgen

olmayan bir ortama yerle ş tirilmiQ, z-eksenine paralel, M büyüklüğünde sabit ve sürekli bir ff mı knat ı slanmas ına sahip R yarı oapl ı küre problemini ele alal ı m.

En basit çözüm yöntemi, bir önceki kesimin C(a) k ı sm ında anlat ı lan skaler potansiyel yöntemidir; burada manyetik potan-siyeli küresel koordinatlarda yazmak uygundur ve %(8),,gibi bir yüzeysel manyetik yük yo ğunluğu sözkonusudur. M = Mol

E ve OrM =n.M=M

o cos9 olmak üzere, (5.100) potansiyel çözümü

m(r,e) = M a2 dS.11. c°s91

o

dür. Ters uzakl ı k için (3.38) ya da (3.70) aç ı l ımı kullanı lınca yalnı zca L= i terimi arta kal ı r. Dolayı s ıyla potansiyel

(r,9) = 43 Moa2 r< cos9 (5.104) 2 r>

olarak bulunur; burada (r‘ , r> ) s ı ras ıyla r ve a'n ın daha küçük ve daha büyük olan ıd ı r. Küre içinde r < = r ve r>= a

257

d ır. . Bu durumda ıt■ = (41r/3)M r cose = (4/c/3)M z dir. Dolayı - s ı yla küre içindeki M manyetik a?an ve manyetik iAüksiyon

47t -N. 8Tc. H. = M, B. = M IÇ 3 ı ç 3 (5.105)

...N. -1

olarak bulunur. Dikkat ederseniz B. M 'ye paralel, -f-r. ise karşı t-paraleldir. Küre d ışı nda r a ve r

> = r diF. Bu

durumda potansiyel

411 1,4 3 cos9 (1) =

3 oa 2

dir. Bu,

4rta3

m = M 3

(5.106)

(5.107)

momentli bir çift -kutbun potansiyelidir. Düzgün m ı knatı slanmal ı kürenin alanları , yalnı zca asimtotik bölgede çift-kutup niteli-ğ i göstermezler; ayr ıca küreye yak ı n bölgelerde de bu özelliğ e sahiptirler. Bu özel geometri için (yalnı zca bunun için) daha yüksek basamakl ı çok-kutuplar i şe karış mazlar.

-4. --4 B ve H çizgileri Şekil 5.11'de görülmektedir. B çizgileri

sürekli kapal ı eğrilerdir; fakat H çizgileri yüzey üzerinden çı kı p yüzey üzerinde sonlanı rlar, çünkü yüzeyde etkin bir QM yüzeysel yük yoğunluğu vard ı r.

(5.100) yerine (5.98) .ide kullan ı labilir; kısaca buna da değinmeliyiz. Küre içinde M = M0E3 olmak üzere, (5.98)

f a 115M (T 9) = -Mo "âz o r'2

dr' S d..0 1.. (5.108) ' )--sc> -

haline gelir. Ters uzakl ığı n açı lımında bu kez yalnı zca .e. 0 terimi arta kalır ve integral yaln ı zca r'nin fonksiyonudur artı k. r/ z = cos9 koyarak, potansiyel

(t(r ' 9) = -4 -KMo

cos9 r

a r'

2dr'

""â r>

biçimine getirilir. Sonuçta r' üzerinden al ınan integral doğ rudan (5.104) 'deki (Dm ifadesine yol açar.

258

Bir baş ka çözüm yolu, vektör potansiyel ve (5.103) arac ı ll- ğ lylad ır. Küre içinde M düzgün olduğundan, hacimsel 3NNLL ak ım yoğunluğu s ı fı rd ı r; fakat bir yüzeysel akım dağı l ımı vard ı r. /4-1 = M

o3 olarak verildiğ inden,

M x n' = Mo Sind' E,

= Mo sine'(~sin4 1 S i + cos4, '

dir. Problemdeki 4 simetrisi nedeniyle, Kesim 5.5'de yapt ığı m ı z gibi, gözlem noktas ı n ı x-z düzleminde (0 = 0) seçebeliriz. Bu durumda

Şekil 5.11- Düzgün,olarak miknat ıslanmıs bir küre için, B çizgileri ve 711'çizgileri. B çizgi-leri kapalı eğrilerdir; fakat H çizgileri, küre üzerinde etkin bir yüzeysel orm manye- tik "yükünün" bulunmas ı nedeniy, küre yüzeyi üzerinden çıkıp küre yüzeyi üzerinde sonlanı rlar.

259

0' integralinde M-

▪

x n'nin yaln ı zca y-bile ş eni arta kal ı r; böylece vektör potansiyelin 0-bile ş eni

A.Y (X>) = Moa2 S dil! sine' cos0'

x - x' 1-ı (5.109)

olarak ele geçer; burada 'nün koordinatları (a,19',GS')'dür. Açısal çarpan

sin9' cos (P' - Tr 18 Gery 3 1,1

(5.110)

biçiminde yaz ı labilir. - -1 yerine (3.70) aç ı lan]. kondu - ğunda, yaln ı zca L= 1, m = 1 terimi kalacak ve sonuçta

2 r.< c›.n _ 47c 3

Moa ( ) san@ r

A9,) 2

bulunacakt ı r; burada r4 (r ) ), r ve a'nı n daha küçük (daha büyük) olanıdı r. Yaln ı zca (p-bileş enli -R. için, B manyetik indüksiyonunun bile şenleri (5.38) ile verilir. Bunun yard ım ı yla (5.111) denklemi, daha önce bulunduğu gibi, içerde düzgün B, d ış arda ise çift-kutup alan ı verir.

5.11- Bir Dış Alan İçinde Bulunan Mıknatı slanmış Küre, Sürekli M ıknatıslar

Kesim 5.10'da düzgün mı knat ı slı bir kürenin alanlar ını tartış t ık. Alan denklemlerinin çizgisel olmalar ı nedeniyle, bunun üzerine tüm uzay ı kaplayacak biçimde düzgün bir B = manyetik indüksiyonu da koyabiliriz. Bu durumda, bir d ı oş alan içinde düzgün m ı knatı slı bir küre problemiyle karşı karşı yayı z demektir. Küre içindeki manyetik indüksiyon ve manyetik alan, (5.105) yard ımı yla, bu kez a ş ağı daki gibi bulunur:

ı ç

= B O 3 + M

(5.112) 4tc

H. = B M

ı ç o 3

Ş imdi de kürenin sürekli olarak m ı knat ı slı bir cisim olmayı p, f-ı geçirgenlikli bir paramanyetik ya da diyamanyetik

260

maddeden yapı lmış olduğunu düşünelim. Bu durumda T4 m ı knat ı slan - lanmas ı d ış alan ı n uygulanışı nı n bir sonucudur. -M'nin büyüklü-ğünü bulmak için (5.84)'ü kullan ı rı z:

B. j-kH. ı ç ı ç

Böylece şunu yazar ı z:

-4 11. 41T Bo + 8 M = (B M)

3 /- o 3

(5.113)

(5.114)

Şekil 5.12

Bu bize

3 M _ 4 (

f-t- 1 ) B

/4+ 2 ° (5.115)

gibi bir m ı knatıslanma verir. Dikkat ederseniz bu sonuç, düzgün bir elektrik alan ı içinde bulunan bir dielektrik kürenin P kutuplanmas ına (4.57 bağı nt ı s ı ) tam olarak benzemektedir.

Son paragrafta tart ışı lanlar ferromanyetik bir madde için geçerli değildir. (5.115) denklemine göre, d ış alan s ı fı r olduğunda mı knat ı slanma da s ı fı r olur. Oysa sürekli m ı knat ı sla-r ı n varl ığı bu sonuçla çeli ş mektedir. Çizgisel olmayan (5.85)

261

bağı ntı s ı ve histerezis olayı , sürekli mıknat ısların oluşumuna izin verir. (5.112) denklemlerini, yok ederek fr. ve

1Ç 1Ç aras ında bir bağı ntı verecek biçimde çözebiliriz:

-ı B. + 2H. = 3B 1Ç 1Ç o

(5.116)

Histerezis eğrisi de B. ve 1.7?. aras ında bir başka bağı ntı verir; böylece her dış Illan içıSı özel değerler bulunabilir. (5.116) denklemi, şekil 5.12 de görüldüğü gibi, histerezis diyagramı üzerinde, y7eksenini 3B 'da kesen -2 eğimli bir doğruya karşı gelir. Orneğin, dış alanın, ferromanyetik küre doyma durumuna gelinceye dek artt ı rıldığı nı ve sonra s ı fı ra dek azaltı ldığı nı varsayını z. Bu durumda iç B ve H Ş ekil 5.12'de P ile i ş aretlenen noktan ın koordinatlar ı olarak verile-cektir. Böylece m ı knatıslanma (5.112)'den gro = 0 koyarak bulunabilir.

B. ve EH. aras ındaki (5.116) bağı ntı sı küreye özgüdür. Baskalçgeometk-£1er için başka bağı ntı lar vard ır. Elipsoit problemi tam olarak çözülebilir ve gösterilebilir ki (5.116) doğrularının eğimleri, yass ı bir disk için s ı fırdan iğne gibi uzun bir cisim için -co'a dek uzanır. Böylece küresel ya da kutuplardan bast ırı lmış elipsoitsel ş ekillere göre, bir çubuk geometrisiyle çok daha büyük bir iç manyetik indüksiyon elde edilebilir.

5.12- Manyetik Perdeleme, Düzgün Bir Alan İçinde Geçirgen Maddeden Küresel Kabuk

Baş langıçta boş uzayın bir bölgesinde belirli bir r3). manyetik indüksiyonu bulunduğunu varsayal ım. Ş imdi bu bölgeyle geçirgen bir cisim yerleş tirilsin. Manyetik indüksiyon çizgile-rinin ş ekli değ işecektir. Kesim 5.8'in sonunda çok yüksek geçirgenlikli ortamlara ili şkin uyarı lardan, alan çizgilerinin cismin yüzeyine dik olmağ a çal ış acaklarını bekleriz. İ letken-lerle olan benzerli ğ i daha da ileri götürerek diyebiliriz ki, eğer cismin içi bo ş ise, oyuktaki alan, /4-¥00 limitinde s ı fıra gidecek biçimde, dış alandan daha küçük olacakt ır. Alanda ortaya çıkan böyle bir azalma, geçirgen madde taraf ından sağ lanan manyetik perdelemenin sonucudur denir. Deneysel amaçlar ya da elektronik ayg ı tların güvenli çal ış ması açı sından çoğu kez hemen hemen alans ı z bölgeler gerektiğ i ya da arzulan-dığı için, uygulamada bunun büyük önemi vard ı r.

Manyetik perdeleme olay ına bir örnek olmak üzere, Şekil 5.13'de görüldüğü gibi, /4 geçirgenlikli maddeden yap ı lmış ve ve önceden düzgün olan sabit bir g'0 manyetik alanına konmuş iç

= -Bor cos9 + =o

0< P

£ (cos9) e+1 r (5.117)

262

yarı çapı a ve dış yarı çapı b olan bir küresel kabuk düş ünelim. Uzayı n her yerinde, fakat özellikle de oyuk içinde (r < a) -ft ve H alanlar ı n ı l-kInün fonksiyonu olarak bulmak istiyoruz. Ortada akım falan bulunmadığı için, ri alan ı bir skaler potansi- yelden türeyebilir: = -4m . Üstelik, T3 =p,T-sf olduğundan,'7. -1.3.b= O denklemi çeş itli bölgelerde g> = 0 haline gelir. Buna göre <lam potansiyeli her yerde Laplace denklemini gerçekler. Böylece problem, r = a ve r = b'de (5.89) s ı nır koşullar ı nı sağ layacak ş ekilde, ayr ı bölgelerde uygun çözümler bulmaya indirgenmi ş olur.

Büyük uzakl ı klarda düzgün "it= B = ..E o alanı vermesi gerekçe- siyle, potansiyel, r > b için

biçiminde olmal ıd ır. Iç bölgelerdeki potansiyelin ise şöyle olmas ı gerekir:

B o

Ş ekil 5.13

a < r b + xt £_+.1 ) P o (cosG) r '`"

(5.118) r <:a CI>tvi = 5 r 2 P o (cos8-)

t=e '"

r = a ve r = b'deki s ı n ı r koşulları na göre, H9 ve Br sürek-

263

li olmal ıdır. Bu koşullar (Dm potansiyeli cinsinden şu duruma gelirler:

SD m -djPm 24m (o ) =

-20Pm (b ) = (b ) (a ) -30 + 9 — ' + ̂G —

5.119)

Zi

Cpm m -(1)m (b ) =)-A (b ) (a+ ) = ( a_ )

b_ gösterimi r b limitine r j b den yaklaşı ldığı nı ifade eder; a_'de benzer anlamdad ı r. Tüm A aç ı lar ı için geçerli olan

_ bu dort+ koşul, (5.117) ve (5.118)'deki bilinmeyen sabit katsa-yı ları belirtmek için yeterlidir. 2 # 1 olan tüm katsay ı lar s ı fı r çıkar. 2= 1 katsay ı ları ise aş ağı daki aynı anlı dört denklemi sadlarlar:

OCİ — b3 (31 _ = b3Bo nı 201(ı+1,4b3 p — = -b

3Bo

(5.120)

a3 + - a3 Sı . O

İ .ta 3 (:31 - 2/4'51 - a381 = O

o( ve Si çözümleri şunlard ı r:

= (2 1) ()L1-1)

ı 3 ( t? - a3)B

a3 (p-1) 2

(5.121)

9,u 81 = 3 Bo

a3 Çu -1) 2

Küresel kabuğun d ışı ndaki potansiyel, düzgün bir B art ı Bo 'a paralel duran o< çift-kutup momentli bir (5.415 çift-kutup ı

264

alanına karşı gelir. Oyuk içinde ise, -8 büyüklüğünde B 'a paralel düzgün bir manyetik alan vard ı r. 5u 1 için, °c(3_ çift-kutup momenti ve iç alanı şu duruma gelir:

e< -...=>b3Bo

(5.122)

-S 9

3 Bo 2 ju (1 a )

b3

Şekil 5.14- Yüksek geçirgenlikli maddesel katuğun per-deleme etkisi.

İ ç alan ı n,u ı ile orant ı l ı old ığ u görilmektedir. Sonuç olarak, yüksek geçirgenlikli Qu 10 - 10 ) maddeden yapı lm ış bir perde, ince kabuklu bile olsa, içindeki alanda büyük bir azalmaya yol açar. Şekil 5.14, B çizgilerinin davran ışı nı göstermektedir. Çizgiler, eğer olanak varsa, geçirgen ortam ı n içerisinden geçmeğe çal ışı rlar.

265

5.13- Bir Tarafında Asimtotik Olarak Düzgün Bir Teğetsel Manyetik Alan Bulunan Yetkin Bir iletken Düzlem Üzerindeki Dairesel Deliğin Etkisi

Anımsayacak olursanı z Kesim 3.13'de tart ış tığı mı z elektros-tatik problem, asimtotik uzakl ıklarda düzgün olan dik bir elektrik alan ı içine yerleş tirilmiş dairesel delikli bir iletken düzlemden olu şmaktaydı . Bu problemin manyetik kar şı tı ise, asimtotik olarak düzgün bir te ğetsel manyetik alan ı içerecektir. Bu iki örnek, dalga klavuzlar ında ve rezonans oyuklarında bulunan küçük deliklerin incelenmesinde yararl ıdı r (Kesim 9.5'e bak ını z).

Manyetik s ı nır-değer probleminin çözümünü ana çizgileriyle vermeden önce, yetkin (mükemmel) bir iletken ile ne demek istediğ imizi tartış mal ıyı z. Durgun manyetik alanlar, ne kadar yetkin olursa olsun, tüm iletkenlerin içine girerler. İ letken-ler kuşkusuz içlerinde ak ım akışı olmad ığı sürece, iletkenlik-leri nedeniyle değ il de yalnı zca manyetik özellikleri nedeniyle alanları değ iştirirler. Zamanla değ işen alanlar halinde, bu çoğu kez başka türlüdür. Kesim 7.7 ve 8.1'de gösterildiğ i gibi, iletken ve iletken olmayan ortam aras ındaki arayüzeyde, zamana harmonik olarak bağı ml ı alanlar, yalnı zca g .(c2/2ww5) 1/2

basamağı nda bir uzakl ığ a kadar iletkenin içine girebilirler; burada to frekans ve Tiletkenliktir, Dolay ı s ı yla,

Şekil 5.15

sı fır olmayan her Wiçin,Cr-4 oo limitinde deri derinli ğ i 8 -4, 0 olur. Buna göre, titre ş en elektrik ve manyetik alanlar yetkin bir iletkenin içinde yaş ayamazlar. Yetkin iletkenli manyetos-

266

tatik problemleri, harmonik değ iş im gösteren alanları n U3

limiti olarak (aw-3pookcşuluyla) tanımlarız. Buna göre, manye-tik alan, iletkenin d ışı nda ve taa yüzeyine kadar var olabilir; fakat içerde var olamaz. (5.86) ve (5.87) s ı nır koşulları , yüzeyde Tır= 0 ve n x H = Llıcgc olduğunu gösterir. Bu s ınır koşulları , elektrostatikte bir iletkenin yüzeyindeki= 0 ve . = ilıto- s ı nı r koşulları nın manyetostatik karş fflıkarı- dı r; buradaki son bağı ntıda yüzeysel yük yoğunluğu olup, iletkenlik değ ildir!

Ş imdi ele alacağı mı z "sonsuz" geniş likteki yetkin iletken düzlemin üzerinde a yar ıçaplı bir delik düşünelim. Ş ekil 5.15'de görüldüğü gibi, düzlemsel iletkenimiz z = Oda bulunsun ve deliğ in merkezi koordinat baş lang ıcı seçilsin. Kolayl ı k olsun diye, düzlemi saran ortam ı n düzgün, izotropik ve çizgisel olduğunu, ayrıca z >O üst yar ı uzayının delikten uzak bölgele-rinde y yönünde düzgün bir teğetsel H manyetik alan ı var olduğunu ve delikten uzak z < 0 bölgelerinde ise manyetik alan bulunmad ığı nı varsayalım. Diğer durumlar, çizgisel üst üstü gelme ile elde edilebilir. z = 0 düzlemi d ışı nda akım falan bulunmadığı na göre, H = bağı ntı sını kullanabiliriz; buradaki<I manyetik skaler potansiyeli, uygun kar ışı k .s ını r >, koşulları alt ında Laplace denklemini sağ lamaktad ı r. Buna göre Kesim 3.13'deki çözümle tam bir paralellik kurabiliriz.

ciıM potansiyeli şöyle yaz ı lı r:

4,1,4 (3'n = z 7 O için

(5.123) z < 0 için

C1(ii ek potansiyelinin düzlemin alt ında eksi iş aret4 olmaşı ek alanların simetri özelliklerinin bir sonucudur. H' 11, ve H' ı ' z ye .göre tek, H (1) ve4)(1) ise çifttir. Bu durum, (11 eb skaYer potansiyelini belirten etkin manyetik yük yoğunluğu gibi, etkin akımın da yalnı zca z = 0 yüzeyi üzerinde bulunmas ı gerçeğini gözönünde tutarak (5.14)'den ç ı karı labilir.

Ek potansiyel silindirsel koordinatlarda (3.110)'dan

s(1) kizi (x) = o dk A(k) e • J (k?) sin4 (5.124)

olarak yazı labilir. İ letken üzerindeki delik silindirsel simetriye sahip olduğu ve asimtotik potansiyel y = psin0 ile değ iş tiği için yalnı zca m = 1 terimi işe karış mış t ı r. dik ve H'nin teğetsel bileş enlerince gerçeklenen s ınır koşulla-

267

rından, tüm <Dm potansiyelinin gerçekleyeceği s ı nır koşullar ı

a) 04?<a için z = 0 geçilirken cbm sürekli

b) a < ?< co için z = 0 da = 0

olarak bulunur. Bu gereksinimler a ş ağı daki düal integral denklemlere yol açarlar:

( o. ,6 dk A(k) J ı (kf) = H0 fY2 ,

Go jr- dk kA(k) Jı (k?) = 0

0 4 4< a için

a < ?< eo için

(5.125)

Bunlar, (3.178) ya da (3.179)'daki elektrostatik cümleden farkl ı olmakla birlikte onlarla s ı kı s ı kıya ilgilidir. Burada gerekli çift

jo r dy g(y) Jn (yx) = xn , O x <1 için (5.126) ,c0

jo dy yg(y) Jn (yx) = 0 , 1 < x < 00 için

olup, çözümü ş udur:

g(y) = 2fln + 1) (y) r(n+1) (2)1/2 jn+1/2 (Y) (5 ' 127)

Fr(n+ n r(n+ 4) Y

(5.125)'de g = 2 A(k)/Hoa2 , n = 1 , x = ?/a ve y = ka'd ı r.

Dolayı s ı yla

21-1 a2

A(k) = ° (ka)

(5.128)

d ı r. Böylece ek potansiyel a ş ağı daki gibi bulunmuş olur:

2H0a2 jr .. . -kizi dk J (ka) e J1

(k?) sin4 (5.129) it o

268

Kesim 3.13'dekilerde benzer yöntemlerle gösterilebilir ki, ek potansiyel, delikten uzaklarda

3 15(1)()..._,

2Hoa

Y

asimtotik yapı s ına sahiptir. Bu ifade, y yönüne (yani yönüne) yönelmi ş bir çift-kutbun potansiyelidir. (5.125)'dekoı iş aretler nedeniyle, dairesel delik, büyük uzakl ı klarda

3 m = + 2a H

o 0 için (5.131)

momentli bir manyetik çift-kutba eşdeğerdir; burada H, deli ğ in yokluğunda, düzlemin z = 0 taraf ı üzerindeki teğetseY manyetik alandır. Bu manyetik alan çizgilerinin nas ı l bükülerek çift-ku-tup alanına yol açt ı kları Ş ekil 9.4'de nitel biçimde görülmek-tedir. Deliğ in kendi içinde (z = 0, 04 5, 4 o) manyetik alan ın teğ etsel ve dik bile ş enleri ş öyledir.

Hteğ .

1

2 H o

(5,132)

2/1 Hz (?o) =

f

2' sin (IS

Kesim 3.13'deki elektrostatik karşı t ı yla bu problemin kar-şı laş tı rı lmas ı benzerlikler ve ayr ı lı klar gösterir. Kabaca söylemek gerekirse, alanlar ın teğetsel ve dik bileşenlerinin rolleri değ işmiş tir. Etkin çift kutuplar asimtotik alanlar ın doğrultusundad ı r; fakat (5.131) manyetik momenti, ayni alan ş iddetleri için (3.138) elektrostatik momentinden 2 çarpan ı kadar daha büyüktür. Herhangi şekilli delikler için elektrosta-tik haldeki uzak alan gene düzleme dik bir çift-kutbun alanı -dı r; oysa ki manyetik hal düzlem içinde etkin bir çift-kutba sahiptir, fakat bu kez manyetik çift-kutbun yönü hem alan yönüne hem de deliğ in yöneliş ine (delik, izotropik olmayan bir manyetik geçirgenli ğe sahip) bağ lıdı r.

3Ts. r3 (5.130)

31x.

269

KAYNAKLAR VE ÖNERILEN OKUMA PARÇALARI

Geni ş dirençli ortamdaki kararl ı -akım problemleri, ak ı m yoğunluğu yerine yerdeğ iş tirmeyi ve iletkenlik yerine dielekt-rik sabitini almak koşuluyla, elektrostatik potansiyel prob-lemlerine benzemektedir. Fakat s ı nı r koşulları genel olarak değ iş iktir. Kararl ı akım şu kitaplarda i ş lenmektedir:

Jeans, Bölüm IX ve X, Smythe, Bölüm VI. Belirli akım dağı l ı mlar ına ili şkin manyetik alanlar ve

manyetostatikteki s ı nı r-değ er problemleri, çeş itli örneklerle Durand, Bölüm XIV ve XV Smythe, Bölüm VII ve XII

de tart ışı lmaktadır. Manyetik özelliklerin atomik teorisi doğru olarak kuantum mekaniği bölgesine dü şer. Yarı -klasik tartış malar aş ağı daki kitaplarda verilir:

Abraham ve Becker, Cilt II, Kesimler 29-34. Durand, sayfa 551-573 ve Bölüm XVII, Landau ve Lifshitz, Electrodynamics of Continuous Media, Rosenfeld, Bölüm IV.

Konunun kristalografik yanlarına_ ve ferromanyetik bölgeleri içine alacak biçimde daha ayr ı nt ı lı olarak iş leni ş i,

Bates, Brailsford, Kittel, Ziman, Bölüm 10'da bulunabilir.

Hem alaşı mlar ın manyetik özellikleri ve di ğer pratik bilgiler, hem de teori konusunda ansiklopedik bir kaynak şudur:

R.M.Bozorth, Ferromagnetism,Van Nostrand, New York (1951).

PROBLEMLER

5.1- )7' deki İd£' akım elemanı taraf ı ndan x koordinatl ı P noktas ı nda oluş turulan manyetik indüksiyon için

270

, i -4 tx - x') dB = c d2' x 1 - >-(> ' ( 3

diferansiyel ifadesiyle baş layıp açı k olarak gösteriniz ki, İ akımı taşı yan kapal ı bir halkanın P de oluş turacağı manyetik indüksiyon

c

dır; burada P noktas ından halkanın gerdiği yüzeyi gören katı açıdı r. Bu,<P, = -İ1')/c gibi bir manyetik skaler potansiye- le karşı gelir. Kat ı açının iş aretiyle ilgili anla şma şöyledir: P noktas ı halkanı n gerdiği yüzeyin "iç" taraf ını görüyorsa,çl artıdır; yani yüzeye dik "ri> birim vektörü ak ımın akış yönü bakımından sağ-el kural ıyla tanımlanı yorsa, n,P noktas ından öteye yönelmek ko şuluylaJaart ıdır; bunun tersi olduğunda ise eksidir. Bu anlaşma, elektriksel çift-kutup tabakas ı için Kesim l.6'da benimsediğ imiz anlaşmayla ayn ıdı r.

5.2- a) İ akı mı taşı yan, birim uzunlukta N sar ıml ı bir selenoit için, eksen üzerindeki manyetik-ak ı yoğunluğunun

limitinde

2nNİ Bz (cos9 cos92 )

olarak verildi ğ ini gösteriniz; buradaki aç ı lar ş ekil üzerinde tanımlanmış lardı r.

• • • ....Al.. •• •** • ••••...

L ı MI= Iffillas •■• MINs me.

STxramten,m2=~=6

Şekil 5.2

b) Boyu L olan a yar ı çaplı uzun bir selenoit için, eksen yakınındaki ve selenoitin merkezi yak ınındaki manyetik indüksi-yonun dah9 ç9k eksene paralel olduğunu;fakat z « L, f> « a için ve a /L basamağı nda doğru olan

271

96TNİ B ='.."

( a2z 9 )

L4

değerinde küçük bir yarıçapsal bileş ene sahip bulunduğunu gösteriniz. z koordinat ı eksenin merkez noktas ı ndan ölçülmekte olup, selenoitin uçlar ı z = + L/2'dir.

c) Uzun bir selenoitin uç bölgesinde eksen yak ı nı nda manyetik indüksiyonun

2nNİ /TVİ B (--L)

c p a

bileş enlerine sahip olduğunu gösteriniz.

5.3- a yar ı çaplı silindirsel bir iletkenin içinde, ekseni silindir ekseninden d uzakl ığı nda bulunan b yarı çapl ı paralel bir silindirsel delik vard ır (d + b 4 a). Silindirin geri kalan metal k ı sm ında düzgün dağı lmış ve eksene paralel bir akım yoğunluğu bulunmaktad ı r. Amper yasas ını ve çizgisel üst üste gelme ilkesini kullanarak, delik içindeki manyetik -ak ı yoğunluğunun büyüklüğünü ve yönünü bulunuz.

5.4- İ akı mı taşı yan a yar ı çapl ı dairesel bir ak ım halkas ı merkezi baş langıca gelecek biçimde x-y düzlemine yerle ş tiril-miş tir.

a) Vektör potansiyelin s ı f ı r olmayan tek bile ş eninin

A0 (f' c z) =

4İ a r o dk coskz I ı (k ıl) ) K ı (kp> )

olduğunu gösteriniz; burada p ), a ve 'nun daha küçük ,‘ (daha büyük) olanıdı r.

t>)Ao için bir baş ka ifadenin

A0 (f

' z) =

L.° 2nİ a ( klzi dk e (ka)J (k?) o

olduğunu gösteriniz.

c) Üstteki ifadeleri kullanarak, manyetik indüksiyonun bileş enleri integral ifadeler yaz ını z. Gerekli integralle-ri alarak, B'nin bileş enlerini z-ekseni üzerinde aç ı k olarak geli ş tiriniz.

272

5.5- i akımı taşı yan a yar ı çapl ı dairesel bir tel halka, merkezi koordinat ba ş langı cına gelecek ve düzlemine dik birim vektörü 8 43 küresel açı larına sahip olacak bir biçimde yerleş tiri?mi?tir. Ortal ı kta B = B (1113y) ve B = Bo (1 + (2x) gibi bir dış manyetik alan vaiAır. ° Y

a) Hiçbir yaklaş tırma yapmaks ı zın, halka üzerine etkiyen kuvveti hesaplayını z. Sonucunuzu (5.69)'daki yakla şı k sonuç ile karşı laş t ı rını z. Yorum yapını z.

b) En düşük basamaklı kuvvet momentini hesaplayını z. Daha yüksek basamakl ı katkı lar hakk ında birşeyler çı karabilir misiniz? Bu katkı lar dairesel halka için s ı fır mıdır? Baş ka şekilli halkalar için ne diyebilirsiniz?

5.6- Sı ras ıyla İ ve i' akımlarını taşı yan a ve b yarıçapl ı (b G, a) eşmerkezli iki dairesel halkan ın düzlemleri aras ı nda bir o( açı s ı vardır. Halkalardan biri üzerine etkiyen kuvvet momentinin, halkalar ı kapsayan iki düzlemin arakesit çizgisi etrafında olduğunu ve

2

2.. 2 1"(n ;.) = (n+ ı ) (b) 2n P ı (coso0

ac2 n=o (2n+1) r(n+2)R2 a 2n+ı

büyüklüğüne sahip bulunduğunu gösteriniz; burada P'i(cosoc) bir bağ l ı Legendre çok-terimlisidir. oC'n ın bir dar aç ı olmas ı ve akımların aynı (karşı t) yönde bulunması durumunda, kuvvet momentinin anlam ını belirtiniz.

5.7- a yar ı çapl ı bir küre düzgün bira- yüzeysel yük dağı lı -mı taşı maktadır. Bu küre bir çapı etrafında sabit bir (A) aç ı sal hı zıyla döndürülüyor. Vektör potansiyeli ve manyetik-ak ı yoğunluğunu hem kürenin içinde hem de kürenin d ışı nda bulunuz.

5.8- Göreli geçirgenliği p, iç yar ıçapı a ve dış yarıçapı b olan içi boş , uzun bir dik dairesel etli silindir, baş langıç-ta düzgün manyetik-ak ı yoğunluklu bir bölgeye alana dik olarak yerl4tirilmi ş tir. Uzayın tüm noktalandaki akı yoğun-luğunu bulunuz ve silindir ekseni üzerindekip'9,in büyüklü ğünün f 'in büyüklüğüne oran ının logaritmas ını , a /b = 0,5 ve 0,1 .o. ı çı n, logjog nün fonksiyonu olarak çiziniz. Uç etkileri önemse-meyiniz.

5.9- z <0 yarı -uzayını dolduran p geçirgenlikli yar ı -son-suz bir madde bloğuna biti ş ik birim geçirgenlikli ortamda bir J00 akım dağı l ımı bulunmaktad ı r.

•

273

a) z > 0 bölgesindeki manyetik indüksiyonun, ,u geçirgenlik-li ortam ı

)11+1 1 ) Jx ı (x,Y, z), 1. ) Jy ,u (x,y,-z), -Cu - +1 1 ) J z (x,y,-z)

bileşenli bir J görüntü ak ım yoğunluğu ile değ iş tirerek hesaplanabileceğ ini gösteriniz.

b) z 0 bölgesindeki manyetik indüksiyonun ise, birim geçirgenlikli ortamda düş ünülen ( 2,11 )3•akım dağı l ımınca oluş -turulabileceğini gösteriniz. iı+1

5.10- İ akımı taşı yan a yar ıçaplı dairesel bir tel halka, yarı -uzayı kaplayan geçirgenlikli bloktan merkezi d uzakl ı -ğı nda bulunacak ş ekilde boş luk içine yerleş tirilmi ş tir. Halkaya etkiyen kuvveti, a ş ağı daki durumlarda tulunuz:

a) Halka düzlemi, blokun yüzüne paralel olsun.

b) Halka düzlemi, blokun yüzüne dik olsun.

c) d » a durumunda, (a) ve (b)°deki yan ı tları nı= limit değerlerini saptay ı nı z. Bu limit değ erleri basit ve kestirme bir yolla elde edebilir misiniz?

5.11- Manyetik anlamda "sert" bir madde, L uzunluğunda a yarıçapl ı bir dik dairesel silindir biçimindedir. Bu silindir, hacmi boyunca düzgün olan eksenine paralel bir kal ı cı M o mı knatı slanması na sahiptir.

a) Silindirin ekseni üzerindeki tüm noktalarda (hem içerde hem de dış arda) H manyetik alan ını ve B manyetik indüksiyonunu belirtiniz.

b) Eksen üzerindeki B/41TM ve 1/4nMo oranları nı L/a = 5 için z'nin fonksiyonu olarak çiziniz.

5.12- a) S yüzeyi ile s ı nı rlanan bir V hacmi içerisindeki. M m ıknatıslanmaşı nın, J = ctv x Ivb gibi hacimsel bir ak ı m dağı l ı mı ile c(M x n) gibi yüzeysel bir ak ım dağı l ım ına eşdeğ er olduğunu biliyoruz. Bu gerçeğ in ışığı alt ı nda (5.12) kuvvet denkleminden yola çıkarak, makroskobik iletim ak ımların ın yokluğu halinde, cicim üzerine etkiyen toplam manyetik kuvvetin

;- T-3N. d3x f ( -Ivt.-,-)fv da V e S e

274

biçiminde yaz ı labileceğ ini gösteriniz; burada B uygulanan d ış manyetik indüksiyonudur (sözkonusu cisminkini k45samamaktod ır). Kuvvet bu kez etkin P1:0 ve a. yük yoğunlukları cinsinden ifade edilmiş tir. M ıknat ıslânma dağı lımı süreksiz değilse, yüzey sonsuzda olabilir ve kuvvet salt hacim integraliyle verilir.

b) Merkezi koordinat ba ş langı cında bulunan R yarıçaplı bir küre, G ,O küresel açı larıyla belirtilen bir yönde düzgün olarak Mikriatı sl ıdır. Ortal ıkta Problem 5.5'deki gibi bir dış manyetik alan vard ır. (a) 'daki ifadeyi kullanarak, küreye etkiyen kuvvetin bile şenlerini geliş tiriniz.

5.13- Yalnı zca yerleş ik bir kal ıcı mıknatıslanma dağı l ımın-ca oluş turulan manyetik alan ı düşününüz.

a) İ ntegralin tüm uzay üzerinden al ınmas ı koşuluyla

5 -> -4. 3 B.Hdx=0 olduğunu gösteriniz.

b) Bir dış alan içinde bulunan bir çift -kuttun (5.72)'deki potansiyel enerjisinden, sürekli olan bir kal ıcı mıknatı slanma dağı l ımı için manyetostatik enerjinin, bir ek sabit d ışı nda,

W - 1 5 3 1 S' 3 H.Hdx=--- M.Hdx 8TC

biçiminde yazı labileceğini gösteriniz. Yaz ı lmayan ek sabit, dağı lımı oluş turan çeş itli mı knatı slanm ış cisimlerin yöneli ş ya da konumundan bağı ms ı zdı r.

5.14- Genel olarak gösteriniz ki, boylamas ına düzgün bir M mı knatıslanmas ına sahip bulunan düzgün A kesitli do ğrusal uzun bir çubuk, düz olan ucu sonsuz geçirgenlikli düz bir yüzeye karşı konduğunda, yaklaşı k

F 2TcA M2

kuvvetiyle yüzeye yapışı r. Tart ış manı zı , Kesim l.11'deki elektrostatik düşüncelere bağlayını z.

5.15- L uzunluğunda a yarıçapl ı bir dik dairesel silindir, boylamas ı na düzgün bir M m ı knat ı slanmas ına sahiptir.

a) Silindirin düz ucu, sonsuz geçirgenlikli düzlemsel bir yüzeye karşı yerleş tirildiğ inde

a2- sin-1(2-)

275

F = 8 ıta L M2 [ K(k) - E(k) K(ki ) ) E(ki ) ) 1

k k

kuvvetiyle yap ış acağı nı gösteriniz; burada k ve k, ş öyledir:

k = 2a

k =

4a + L 42 .4_ L2

b) L » a için kuvvetin limit biçimini bulunuz.

5.16-(a) tizerinde dairesel bir delik ve bir tarafı nda asimtotik olarak düzgün bir teğetsel i41:3 manyetik alanı bulunan Kesim 5.13'deki yetkin il(et)ken düzlem için, düzlemin H 'l ı tarafında ek teğetsel H 1 manyetik alan ını hesaplayı Rı z. ?;>a için, bu ek alan ın bileş enlerinin

3

H (1) - 2H

oa xy

x P 9

7r 4\,/ 2 -a

2

3

H ( ı ) . 2Hoa

Y 2 H

o Y

-a

olduğunu gösteriniz.

b) Düzlemin her iki yüzü üzerinde deliğin komş uluğundaki yüzeysel akım akışı çizgilerini kabataslak çiziniz.

276

6 ZAMANLA DEDI ŞEN ALANLAR, MAXWELL DENKLEMLFRİ ,

KORUNUM YASALARİ

Önceki bölümlerde elektrik ve manyetizmadaki kararl ı-durum problemleriyle uğraşmış tık. Her ikisinde de benzer matematiksel teknikler kullan ı lmış , fakat elektriksel olaylarla manyetik olaylar bağı msı z olarak iş lenmiş ti. Manyetik alanları doğuran akımların, hareketli yükler olmalar ı nedeniyle, temelde elekt-riksel nitelik ta şı malar ı gerçeğ i aralarındaki tek bağ lantıyı oluş turuyordu. Zamanla değ işen problemleri gözönüne ald ığı mı z-da, elektriksel olaylarla manyetik olaylar ın hemen hemen bağı ms ı z olma niteliğ i ortadan kalkar. Zamanla de ğ işen manyetik alanlar elektrik alanlar ı na, zamanla değişen elektrik alanlar ı da manyetik alanlara yol açarlar. Bu durumda elektrik ya da manyetik alandan çok, elektromanyetik alanlar deyimini kullanma-mı z doğru olur. Elektrik ve manyetik alanlar aras ındaki bağ lı -lığı n tam anlam ı ve temelde ayn ı olmaları , ancak özel görelilik çerçevesi içinde aç ık hale gelir (Bölüm 11). Şimdilik temel olayları incelemekle ve elektromanyetik alanlar ın davranışı nı betimleyen Maxwell denklemleri cümlesini ç ıkarmakla kendimizi doyurmağ a çalış acağı z. Bunun ard ından vektör ve skaler potansi-yeller, ayar dönüşümleri ve dalga denklemi için Green fonksi-yonları tartışı lacaktır. Bunu izleyen kesimde, elektromanyetiz-manı n makroskobik denklemleri titiz bir ş ekilde türetilecektir. Daha sonra enerji ve momentum için korunum yasalar ı ile elekt-romanyetik niceliklerin dönü şüm özellikleri i ş lenecek; ilginç bir konu olan manyetik tek-kutuplara da yer verilecektir.

Ele aldığı mı z konuları derinliğine iş leyebilmek için, kendi içlerinde ilginç olduklar ı halde, baş ka yerlerde incele-nebilecek konuları atlayacağı z. Bunlardan baz ı ları şöyle s ıralanabilir: Yarı -kararl ı alanlar, devre kuram ı , indüktans hesaplar ı , girdap akımları ve indüksiyon ısı tmas ı gibi... Saydığı mı z bu konuların hiçbiri, bu bölüm ile daha önceki bölümlerde geliş tirilen kavramlar ın ötesinde başka yeni kavram gerektirmemektedir. ilgilenen okuyucu, bunlara ili ş kin kaynak-ları bölüm sonunda bulacakt ı r.

6.1- Faraday' ın İndüksiyon Yasası

Zamana bağ l ı elektrik ve manyetik alanlar ı birbirine bağlayan ilk nicel gözlemler, Faraday tarafından (1831) zamanla

277

değ iş en manyetik alanların içine yerleş tirilmiş devrelerdeki akımlar ın davranışı nı incelemek üzere haz ı rlanmış deneylerde yapı ldı . Faraday' ın gözlediğ i şuydu: (a) Bir devrenin yakınında bulunan devreden geçen kararl ı akım açı l ır ya da kesilirse, (b) kararl ı akım taşı yan yak ındaki devre birinci devreye göre hareket ettirilirse, (c) bir sürekli m ıknatıs devrenin içine hı zla sokulur ya da ç ıkarı l ı rsa, bu devrede geçici bir ak ım oluşur. Yak ındaki akım değ işmedikçe, ya da göreli bir hareket olmadı kça hiçbir ak ım oluşmaz. Faraday bu geçici ak ımı , devre-nin içinden geçen manyetik akı değ iş imine yordu. Değ işen akı devre boyunca bir elektrik alan ı oluşturur; bu elektrik alanı-nın çizgi integraline elektromotor kuvvet denir. Elektromotor kuvvet, Ohm yasas ı uyarınca, bir yük ak ımı na yol açar.

Şimdi Faraday' ın gözlemlerini nicel matematiksel terimlerle ifade edelim. C eğrisi, Şekil 6.1'deki gibi, normali "ri olan bir S açık yüzeyinin s ı nı rları olsun. Devrenin yakınındaki manyetik indüksiyona B diyelim. Devrenin içinden geçen manyetik akı

F=S -5.. -N. B.nda (6.1)

S

biçiminde tanımlanı r. Devre boyuncaki elektromotor kuvvet ise

= E . dQ. (6.2)

dir; burada E', C devresinin d(2. elemanı üzerindeki elektrik alanıdı r. Faraday' ın gözlemleri aş ağı daki matematiksel yasa içine toplanı r:

= -k dF

(6.3) dt

Devre boyunca olu ş an elektromotor kuvvet, devre içinden geçen manyetik akının zamanla değ işme h ı zı ile orant ı l ıdı r. Eksi iş areti Lenz yasas ıyla belirtilir. Lenz yasas ı , oluş an akımın (ve buna eş lik eden manyetik ak ının) devre içinden geçen ak ı değ iş imine karşı koymağ a çal ış an yönde olacağı nı söyler.

k orant ı sabiti ise elektrik ve manyetik alan nicelikleri için seçilen birimlere bağ l ıdı r. Bu sabit, ilk bak ış ta sanı la-bileceği gibi, deneyden saptanacak bağı ms ı z ampirik bir sabit değildir. Hemen göreceğ imiz gibi, Amp'e're yasas ındaki birim ve boyutlar seçildikten sonra, Faraday yasas ının Galile değ işmez-liği varsayımı ndan k'nın büyüklüğü ve boyutlar ı çı kar. Gauss

278

Şekil 6.1

birimlerinde k = c i 'dir; burada c ışı k hı zıdı r. Özel görelilik geliştirilmeden önce (geliş tirildikten

sonra da, ışı k hı z ı na göre küçük h ı zlarla uğ raşı l ırken), çoğu kez açı k olarak belirtilmediğ i halde, tüm fizikçiler taraf ından fiziksel yasalar ın Galile dönüşümleri altında değ işmez kald ı k-ları biliniyordu. Bu şu demektir: Uzay ve zaman koordinatlar ı x' = x + vt, t' = t biçimindeki Galile dönü şümlerlyle bağ l ı olmak üzere, birbirlerine göre sabit bir hı z ı yla hareket eden iki gözlemci için fiziksel olaylar ayn ıdı r. Özel olarak Faraday' ın gözlemlerini ele alal ım. Beklenen ve deneysel olarak da doğrulanan şudur: İster üzerinden ak ım geçirilen birinci devre durmaktayken ikinci devre hareket ettirilsin, isterse ikinci devre dururken birincisi ayn ı göreli biçimde hareket ettirilsin; her iki halde de ikinci devrede ayn ı akım oluşur.

Ş imdi hareketli bir devre için Faraday yasas ını ele alal ım ve G.alile değ işmezliğ inin sonuçları nı görelim. (6.3) bağı ntı sı -n ı E' ve B'nin integralleri cinsinden yazarak şunu buluruz:

. = -k d S B .n da dt

(6.4)

Oluş an elektromotor kuvvet ak ın ı n toplam zaman türeviyle oran- tı l ıdı r. Ya manyetik indüksiyonu ya da devrenin ş eklini veya yönelimini veya konumunu değ iş tirecek ak ı değ iş tirilebilir.

279

(6.4) biçimiyle, Faraday yasas ını n çok büyük bir genellemesine sahip olduğumuzu bilelim. C devresi ille de bir elektrik devresi olmak zorunda de ğildir; pekâlâ uzayda herhangi bir kapal ı geometrik eğri olarak düşünülebilir. Bu durumda (6.4), alanların kendileri aras ında bir bağı ntı haline gelir. Bununla beraber, şuna önemle dikkat edilmelidir ki E' elektrik alan ı , dl'nin durgun olduğu koordinat sistemi ya da ortamda dQ üzerin-deki elektrik alan ıdı r; çünkü gerçek bir devre varsa, onun üzerinde akıma yol açan alan budur.

Eğer C devresi, Şekil 6.2'de görüldüğü gibi, belirli bir yönde bir v h ı zı .ile hareket ediyorsa, (6.4)'deki toplam zaman türevinde bu hareket hesaba kat ı lmalıdır. Devre içinden geçen akı iki nedenle değ iş ebilir: (a) Akı bir noktada zamanla değ iş tiği için, ya da (b) devrenin ötelenmesiyle s ı nı rın yerleş imi değ iş tiğ i için. Kolayca gösterilebilir ki, hareketli devre içinden geçen akının toplam zaman türevi sonuçta şudur:

Ş ekil 6.2

* Genel bir vektör alan ı için, ~.f('7 da gibi bir ek terim de vard ı r; bu terim, hareketli devre taraf ı ndan süpürülen vektör alan ı kaynaklar ı n ı n katk ı s ı n ı verir. Genel sonucu en kolay biçimde d/dt = -at'at + v V ak ı ml ı türevini kullanarak ç ı karabiliriz. Buna göre

+ . - - 4 V> ) - + T x ( -B x -" - \/ (3) dt 6t at

olur; türevlendirmede "ı7 sabit bir vektör olarak i ş leme sokulmaktad ı r. İ kinci terimde Stokes teoreminin kullan ı lmas ı (6.5)'i verir.

280

.n da + (B x v) . dQ. (6.5)

S S C

Bunun sonucunda (6.4) denklemi a ş ağı daki biçimde yaz ı labilir:

jr[Er' - k(x .-1)] . d = -ki "b.gt • rida (6.6)

C S Bu, hareketli C devresine uygulanm ış olan Faraday yasas ının eşdeğer bir ifadesidir. Fakat bunu baş ka türlü de yorumlayabi-liriz. C devresi ile S yüzeyinin bir an için loboratuvarda belirli bir uzay konumunda bulundu ğunu düşünebiliriz. (6.4) Faraday yasas ını bu sabit devreye uygulayarak şunu buluruz:

Bu kez varsayım ı ,

E dQ.= -k

C

E -4 laboratuvardaki

(6.6)

aB da . n (6.7)

alanıdır. Galile değ işmezliğ i sol yanları nı n eş it olmas ı

at S

elektrik ve (6.7)'nin

gerektiğ ini ş,öyler. Buna göre devrenin hareketli koordinat sistemindeki E' elektrik alanı

E' = E + k(v-4 x B) (6.8)

-4 dir. k sabitini saptamak için E' 'nün anlamına dikkatlice bakmamı z yeterlidir. Hareketli devredeki durgun,bir yüklü parçacık (örneğin iletim elektronlarından biri) qE' gibi bir kuvvet duyacakt ır. Bu yük, laboratuvardan bak ı ldığı nda

ci<S(;"() - x ) gibi bir ak ımı temsil eder. (5-7) ya da (5.12)!. deki manyetik) kuvvet yasasından aç ı kça anlaşı lacağı gibi, bu akımın (6.8) ile uyu ş an bir kuvvet duymas ı için k sabitinin 1 c 'e e ş it olmas ı gerekir.

Demek ki yük ve akım için yaptığı mı z birim seçimi sonucun-da, Galile değ işmezliği, buradaki k sabitinin (5.4)'deki manyetik alan tanımında görünen sabite e ş it olmas ını gerekti-rir. Dolayı sıyla (6.4)'deki Faraday yasas ı

ir E . j£ c dt B . n

d -4 -4 da

S

(6.9)

d

dt B . n da - J aB

-4 --4

281

biçiminde yaz ı lı r; burada E', dt 'nin durgun koordinat çerçeve-sinde d üzerindeki elektrik alanıdır. Sağdaki zaman türevi, (6.5) 1 deki toplam zaman türevidir. Bu arada laboratuvara göre bir v hı z ıyla hareket eden koordinat sisteminde E' elektrik alan ı nın

c E' = E + 1 (v x B) (6.10)

olduğunu da bir yan ürün olarak bulmuş olduk. Bir Galile dönüşümü ele aldığı mı z için, (6.10) sonucu ancak ve ancak ışı k hı z ına göre küçük h ı zlar için geçerli bir yaklaş tı rmadı r. (Relâtivistik ifadeler Kesim 11.10'da türetilmektedir). Bununla beraber Faraday yasas ında hiçbir yaklaştırma yoktur. Galile dünüşümü yalnı zca (6.3)'deki k sabitini geliş tirmek için kullan ı lmış t ı r ve bu i ş için tam olarak uygundur.

(6.9) Faraday yasas ı Stokes teoreminin yard ımıyla diferan-siyel biçime sokulabilir, yeter ki devremiz seçilen bir gözlem çerçevesinde sabit tutulsun (E ve B'yi ayn ı çerçevede tan ımla-mış olmak için buna gerek var). Elektromotor kuvvet integrali-nin bu yolla bir yüzey integraline dönüş türülmesi sonucunda

I (7 x E + 1 -t ) . -1-7 da = c "a

S

bağı ntı sına varı l ı r. C devresi ve bunun s ınırladığı yüzey keyfi olduğundan, uzayın her noktas ında integrant s ı fı r olmal ı -dır. Böylece Faraday yasas ı nın diferansiyel biçimine ula şı lı r:

--ı --> V x E + 1 öB = o c (6.11 )

Dikkat eder4eniz, bu bağı ntı , elektrostatik alanlar için varolan 4x E = 0 ifadesinin zamana bağ lı genellemesidir.

6.2- Manyetik Alandaki Enerji

Bölüm 5'de kararl ı -durum manyetik alanlar ını tartışı rken, alan enerjisi ve enerji yoğunluğu sorularından kaçınmış tı k. Nedeni de şuydu: Akımların ve bunlarla ilgili manyetik alanla-rın bir kararl ı -durum şekillenimini kurarken, bu ak ım ve alanların s ı fırdan son değ erlerine getirildiğ i bir baş langı ç geçiş süresi vardı r. Bu tür zamana bağ l ı alanlar, akın kaynak-

282

ları nı n iş yapmas ı na neden olan elektromotor kuvvetler oluş tu-rurlar. Alan enerjisi tanım olarak bu alanı kurmak için yap ı lan toplam i ş olduğuna göre, bu geçi ş süresindeki katk ı ları ele almal ı yı z.

Bir an için sabit bir İ akım ı taşı yan bir tek devreye sahip olduğumuzu varsayal ım. Devre içinden geçen akı değ iş iyor-sa, çevresi boyunca bir 1!:-, elektromotor kuvveti indüklenir. Akım ı sabit tutmak için, ak ım kaynakları i ş yapmal ıdır. Yapı la-cak iş in değ iş im h ı z ını saptamak için, 47» hı z ına sahip bir parçac ığ a bir rkuvvetinin uygulanmas ı yla enerjisindeki zamanla değ iş im dE/dt = v. F olduğunu hat ı rlayal ım. Yükü q ve sürük-lenme hı z ı iır olan her bir iletim elektronu üzerine ak ı değ iş imi nedeniyle ortaya ç ı kan _,ek .' alan ı nı n etkisi, birim zamanda elektron başı na ci ı5" . E' kadar bir enerji değ iş imine neden olacakt ır. Bu değ iş imleri devredeki tüm iletim elektronlar ı üzerinden toplarsak, ak ımı sabit tutmak için kaynaklar ı n

dW -

dF dt dt

hı zıyla iş yapmalar ı gerektiğ ini buluruz: buradaki eksi i ş areti Lenz yasas ından gelmektedir. Bu, devredeki dirençsel kayı plara (ki bunlar manyetik enerji içinde kapsanmayacak kay ı plardı r) eklenen ayrı bir terimdir. Böylece bir İ akı mı taşı yan devre içindeki akı değ iş imi SF ise, kaynaklar taraf ı ndan yapı lan i ş şudur:

Sw - 1 i & E

Ş imdi ak ımlar ın ve alanların genel bir kararl ı -durum dağı lı mını oluş tururken yapı lan iş problemini ele alal ım. Oluş turma sürecinin, istenilen her doğruluk derecesinde V.J= 0 olacak biçimde, sonsuz küçük bir h ı zla gerçekleş tirildiğ ini düşünebiliriz. Ş imdi akım dağı l ımımı zı , elemansal ak ım halkala-rı ndan oluş an bir ş ebekeye parçalayal ım; bunlardan tipik bir tanesi, Şekil 6.3'de görüldüğü gibi, C kapal ı eğrisini izleyen

• ve n normaline sahip S yüzeyi ile gerilmi ş kesitli eleman- sal akım tüpüdür.

İndüklenen elektromotor kuvvetine kar şı yapılan iş in artmas ını , halkadan geçen manyetik alan de ğ iş imi cinsinden ifade edebiliriz:

A(sw) = JLVy c n . SB da

283

Buradaki yeni A, yaln ı zca bir tek elemansal devreyi gözönüne aldığı mı z için gelmektedir. Â vektör potansiyeli cinsinden yazdığı mı zda,

Şekil 6.3- Elemansal akım halkalarına ayrı lmış olan akım yoğunluğu dağı lımı .

A(8W) = s (r x ğA) . n da c

ifadesine varı rı z. Bu da Stokes teoremi yard ımıyla

h (bw) = SA . ct'e

biçiminde yaz ı labilir. 3 dZ elemanı :7. ye paralel olduğundan .J.6,13-(1).. tam olarak 5N x'e eş ittir. Tüm bu tür elemansal ak ı m halkaları üzerinden al ınacak toplam ın bir hacim integrali olduğu aç ı ktı r. Böylece vektör potansiyelindeki SA(x) değ iş imi nedeniyle d ış kaynaklar taraf ından yapı lan iş in toplam artmas ı şudur:

s w S A . J.d3x (6.12)

284

J ve 8A,yerne manyetik alanlar ı içeren bir ifade elde etmek için, 7 x H = 4KJ/c Ampere yasas ı kullan ı labilir. Böylece

t:4 bw = 47c SçsA . (V x H) d3 x (6.13)

olur. Ş imdi de

. (1;> x -Q) = . (;» x -P>) - . ( x -C)

vektör özdeş liğ i kullanı larak, (6.13)

sw = 47x [-"?. + . (11>x -7k)] d3x (6.14) j

haline dönüstürülebilir. Alan da ğı lımı n ı n _,yerleş ik olduğu  varsay ı l ırsa, ikinci integral s ı f ır olur. B'nin cinsinden

tan ımı yard ım ıyla da enerji artmas ı

SW = 1 1 H.bB d3x j (6.15)

olarak yaz ı labilir. Bu bağı nt ı , (4.86)'daki elektrostatik denklemin manyetik e şdeğ eridir. Buradaki biçimiyle, ferromanye-tik maddeleri de kapsayacak ş ekilde, tüm manyetik ortamlara uygulanabilir. Ortamın para-veya diyamanyetik olduğunu varsa-yarsak (ki bu durumda H ve B aras ı nda çizgisel bir bağı nt ı vardır, o zaman

---sı H . SB = 1

b(H . B) 2

dir. Ş imdi alanları s ı fı rdan son değerlerine getirirsek, toplam manyetik enerji

w 3 H 87c (6.16)

285

olacakt ı r. Bu ifade, (4.89)'un manyetik benzeridir. Elektrostatik enerjiyi yük yoğunluğu ve potansiyel çnsin-

den ifade eden (4.83) ba ğı nt ı s ı nın manyetik eşdeğeri, J ve A aras ında çizgisel bir bağ lant ı varsayı larak, (6.13)'den elde edilebilir. Böylece manyetik enerjiyi

-1› 3 W - 2c 1 5 5". A d x (6.17)

olarak buluruz.

Akım kaynaklar ı sabit tutulan bir manyetik alan içine geçirgenliği,u olan bir cisim koyduğumuzda manyetik enerjide ortaya çı kacakı değ işme problemi, Kesim 4.7'deki4 elektrostatik tart ış maya benzeyen bir biçimde i ş lenebilir. E'nin rolü D'nin rolü ise g taraf ından oynanı r. İ lk ortamı n geçirgenli ğ i po ve varolan manyetik indüksiyon B 'dı r. Cisim yerine konduk- tan sonra, alanlar - B ve -112dir. &risini, yani sabit alan kaynakları için enerjideki değ işmenin

w 87r Sv ı

tr .Ho - .17 . ) d3x

(6.18)

olduğunu doğrulamayı bir al ış tırma olarak okuyucuya bı rakı yo - ruz; buradaki integral cismin hacmi üzerindendir. Bu ifade değ iş ik biçimlerde yaz ı labilir:

1 -* -N. 3 W = 1

8Tc i (Pı - po )H . H x = Gl_ _

od 1 )13' .d 3x po pı

(6.19)

21.1 yap 'in ikisi de yerin fonksiyonlar ı olabilir; fakat alan ş iddetiriden bağı ms ı z olduklar ı varsayı lmaktad ı r.

Cisim boş uzayda (p. = 1) ise, enerjideki değ işme, mıkna-t ı slanma cinsinden ş öyle) ifade edilebilir:

1 S 3 W

dx - 2 v M B o

(6.20)

286

(6.20)'nin, i ş areti dışı nda, (4.93) elektrostatik sonucuna karşı geldiğine dikkat edilmelidir. W enerjisi, geçirgen cismin alan içine sokulmas ı yla meydana gelen toplam enerji değ iş iminden (indüklenen elektromotor kuvvetlere kar şı kaynak-lar taraf ından yapılan iş i de kapsayan) oluş tuğu için, bu iş aret değ iş ikliği ortaya ç ı kmaktadır. Bu bak ımdan sabit akımlı manyetik problem, alanlar ı belirleyen sabit potansiyelli yüzeylere sahip elektrostatik probleme benzemektedir. Kesim 4.7'nin sonundakine eşdeğer bir çözümlemeyle gösterebiliriz ki, küçük bir yerdeğ iş tirme halinde indüklenen elektromotor kuvvete karşı yapı lan iş , cismin potansiyel enerjisindeki değ iş imin iki kat ı kadar olup ters i ş aretlidir. Dolayı sıyla cisim üzerine etkiyen kuvveti bulmak için, genelleş tirilmiş bir l'yerdeğ iş tirmesi düşünürüz ve W'nun bu yerdeğ iş tirmeye göre artı türevini hesaplar ı z:

(6.21)

,İ alt indisi, kaynak ak ımları nın sabit olduğunu belirtmektedir. (6.20) bağı ntı sı ile dış alan içindeki kal ıcı bir manyetik

momentin (5.72) potansiyel enerjisi aras ındaki fark ve B aras ında varsaydığı m ı z çizgisel bağı ntıdan kaynaklanan 1 çarpa- nı dışı nda) şundan ileri gelmektedir: (6.20) ifadesi, sözkonusu şekillenmeyi (configuration) do ğurmak için gerekli olan toplam enerjidir; (5.72) ise manyetik momenti yaratmak ve onun kal ıcı -lığı nı korumak için yap ı lan iş olmayıp, sadece kal ı cı manyetik momenti alan içine yerleş tirmede yapı lan iş tir.

6.3- Maxwell'in Yerdeğ iştirme Akmra, Maxwell Denklemleri

Elektrik ve manyetizman ın ş imdiye dek tart ış tığı mı z . temel

yasalar ı diferansiyel biçimde şu dört denklemle özetlenebilir:

Coulomb yasası V . D = 4w9 ;; Lin

Ampere yasas ı — j-

Faraday yasas ı : 1

V x E + — e _ o at

(6.22)

-4. -4. Serbest manyetik tek -kutupların yokluğu : V . B = 0

287

Bu denklemler makroskobik biçimde ve Gauss birimlerinde yaz ı l-mış lard ı r. Faraday yasas ı dışı nda, geri kalan hepsinin kararl ı-durum gözlemlerinden türetildiklerini hat ı rlayalım. Bunun sonucu olarak, mant ı ksal açıdan bu statik denklemlerin zamana bağ l ı alanlar için de eskisi gibi geçerli olacaklar ını bekleme-nin öncel hiçbir nedeni yoktur. Gerçekte de, (6.22) cümlesinde-ki denklemler, bu yap ı ları yla araları nda tutars ı zdı rlar.

(6.22) denklemlerindeki tutars ı zlığı görmek ve onları düzelterek tutarl ı bir sistem haline sokmak için, Faraday' ın gözlemleriyle kamç ı lanmış olan Maxwell'in dehas ına gerek vardı . Yapı lan düzeltme, o zamanlarda bilinmeyen, fakat ardı n-dan deneysel olarak tüm ayrıntı ları yla doğrulanan yeni fiziksel olaylar içermekteydi. 1865'deki bu göz al ıcı katkıdan ötürü, düzeltilmi ş denklemler cümlesine sadece Maxwell denklemleri denmektedir.

Eksik denklem Ampere yasas ıdır. Bu yasa, V . J = 0 olan kararl ı akım olayları için türetilmiş ti. ı raksaması üzerine konan bu gereksinim, her iki yan ın ı raksamas ı al ınarak görülebileceğ i gibi, Ampere yasas ını n kendi içinde kapsanmakta-dı r:

41t -4 V . J = V . = 0 (6.23)

c

V . J = 0 tağı ntı s ı kararl ı -durum problemleri için geçerli olup; tam bağı nt ı , yük ve akım için süreklilik denklemi denen

.4. . J + - o "bt

(6.24)

eş itliğ iyle verilir. Maxwell'in gördüğü, (6.22)'deki Coulomb yasas ı nın kullanı lmas ı yla süreklilik denkleminin s ı fır ıraksa-malı bir biçime dönüş türülebileceğ i idi. Böylece

. J + âQ v (J + ı-N ) _ o 4 (6.25)

oluyordu. Bunda14. sonra Maxwell, zamana bağ lı alanlar için Amio-

re yasasındaki J'yi genelleş tirilmiş i olan

1 -a D 4Tc 'bt J -4 J + (6.26)

288

ile yer değ iş tirdi. Böylece Ampere yasas ı

x -,j+ 1 - D

biçimine

c (2.27)

biçimine geldi. Kararl ı-durum olayları için, gene deneylerle doğrulanmış olan aynı yasa idi, fakat şimdi zamana bağ lı alanlar için (6.24) süreklilik denklemiyle de matematiksel olarak tutarl ıydı . Maxwell (6.26)'daki eklenen terime yerdeğiş-tirme akimi dedi. Ampere yasas ına yapı lan bu gerekli ekleme, h ı zl ı biçimde değ işen alanlar için çok önemlidir. Bunsuz elektromanyetik ışı ma olamaz ve bu kitabın geri kalan büyük bir kısmı yaz ı lamazd ı ! Işığı n bir elektromanyetik dalga olay ı oluşu ve tüm frekanslarda elektromanyetik dalgaların elde edilebileceği Maxwell' in öngörüşüydü. Bu ~ditlimfizikçilerin dikkatini çekmiş ve yirminci yüzyı lın son k ı smı boyunca elekt-romanyetizmada çok fazla teorik ve deneysel ara ş tırmaya yol açmış tı r.

Maxwell cktıklemleri olarak bilinen dörtlü

V x H - 4 Tt J + 'bt

•-•„ ı v x + o c

t

(6.28)

denklem sistemi, tüm klasik elektromanyetik olaylar ın temelini oluşturur. Lorentz kuvveti ve Newton'un ikinci hareket yasas ı ile birleş tirildiğ inde, bu denklemler, etkile ş en parçac ı kların ve elektromanyetik alanlar ın klasik dinamiği üzerine tam bir anlatım sağ lar (Kesim 6.8 ile Bölüm 10, 12 ve 17'ye bak ını z). Maxwell denklemlerinin geçerlilik bölgesi, farkl ı ortamları ayı ran arayüzeylerde alanlar ın dik ve teğet bileşenleri için sı nır koşullar ı ile ilgili sorunlar olarak Giri ş bölümünde tart ışı lmaktadı r. E ve ll'yi T5b ve it'ye bağlayan bileş tirici bağı ntı lara Giri ş te değ inilmiş ve bunlar statik olaylar için Bölüm 4 ve 5'de iş lenmiş ti. Daha fazlas ı bu bölümün gelecek kesimlerinde ve Bölüm 7'de söylenecektir.

(6.28) Maxwell denklemlerinin yaz ımında kullan ı lan birimler, daha önceki bölümlerde kullan ılan birimlerdir; yani Gauss birimleridir. Kitabı mı zın Ek'indeki Tablo 2'de, di ğer birimleri (MKSA ve benzerleri gibi) daha iyi bilen okuyucular için, ana denklemler çeş itli birim sistemlerinde s ıralanmaktad ır Tablo 3 her denklemi Gauss birimlerinden MKSA birimlerine çevirmeye

289

yararken, Tablo 4 ise her değ iş kenin verilen miktarlar ı için karşı lık gelen çevirmeleri içermektedir.

6.4- Vektör ve Skaler Potansiyeller

Maxwell denklemleri, elektrik ve manyetik alanlar ı n çeş itli bileş enleri aras ında birinci dereceden çiftlenimli bir parçal ı diferansiyel denklemler cfimlesidir. Bu halleriyle bu denklemler ancak basit durumlarda çözülebilirler. Fakat çoğu kez potansi-yeller tanımlamak ve böylece Maxwell denklemlerinin baz ı ları özdeş olarak sağ lanırken, daha az say ıda ikinci dereceden denklemler elde etmek i ş leri kolaylaş tı rır. Bu potansiyel kavramlarına hem elektrostatikten hem de manyetostatikten zaten al ış kı nı z; oralarda IŞ skaler patansiyelini ve A vektör potansiyelini kullanm ış tı k.

V . B = 0 gene geçerli oldu ğuna göre, B'yi bir vektör potansiyel cinsinden tanımlayabiliriz:

B =VxA (6.29)

Bu durumda (6.28)'deki diğer homojen denklem, yani Faraday yasas ı ,

+ V x (E 1 A) 0 E (6.30)

c at

biçiminde yaz ı labilir. Bu ise, (6.30)'da parantez içinde bulunan ve dönülü s ı fı r olan niceliğ i bir skaler fonksiyonun, yani bir OPskaler potansiyelinin gradyeni olarak yazabilece ğ i-mizi söyler:

+ 1 A

E - '74) c

Ya da: (6.31) :;;:h 1 -'<j A 'r c

at

B ve E'nin A ve (I) potansiyelleri cinsinden (6.29) ve (6.31) uyarınca verilen tan ımları , iki homojen Maxwell denklemini özdeş olarak sağlamaktadır. A ve 'nin dinamik davranış ları , (6.28)'in homojen olmayan diğer iki denklemince belirtilecektir.

Bu aş amada incelemelerimizi Maxwell denklemlerinin mikros-kobik biçimine s ı nı rlamak elveri ş lidir. Bu durumda, (6.28)'deki homojen olmayan denklemler potansiyeller cinsinden

290

-4 V

2A-

1 -"b -› ( V . A) =

c

2-4 1

ö A ( + . ) 4 it j c = c c2

2

(6.32)

(6.33)

olarak yaz ı labilirler. Böylece dört Maxwell denklemini iki denkleme indirgedik. Fakat bunlar da gene çiftlenimli denklem-lerdir. Potansiyellerin tan ımında yer alau4keyfiliken yararla- narak bu çiftlenimden kurtulabiliriz. B alan ı A cinsinden (6.29) arac ı lığı yla tanımlandığı na göre, vektör potansiyelde, kendisine A gibi bir skaler fonksiyonun gradyeni eklenebilecek kadar bir keyfilik vard ı r. Yani

A = A + 7 İ\

(6.34)

dönüşümü altında B değ işmez kal ır. (6.31) elektrik alanının da değ işmez kalmas ı için, ayni anda skaler Potansiyel de

(6.35)

biçiminde dönüşmelidir. (6.34) ve (6.35)'in içerdiğ i sertestlik, (A4) potansiyeller cümlesini

B. A + c = 0 ""aot (6.36)

olacak biçimde seçebileceğ imizi söyler. İş te bu, (6.32) ve (6.33) denklemlerini çiftlenimli olmaktan kurtar ır ve geriye birisi 45 taraf ı ndan değeri de  taraf ından sağ lanan homojen olmayan iki dalga denklemi kal ı r:

2 v24_ 12 -) 2 - 47rf (6.37) c dt

1 41, A Lin

c A - - — J

2 c (6.38)

(6.37) ve (6.38) denklemleri, (6.36) ile birlikte, her bak ımdan Maxwell denklemlerine e şdeğer olan bir denklemler cümlesi oluş turur.

291

6.5- Ayar Dönfişümleri, Lorentz Ayar ı , Coulomb Ayarı

(6.34) ve (6.35) dönü şümüne ayar dönüşümü veaaanların bu tür dönüşümler alt ındaki değ işmezliğine ayar değ işmezliği denir. Â've 4,5 aras ındaki (6.36) bağı nt ı s ı ise Lorentz koşulu adını al ır. Lorentz koşulunu sağlayan potansiyellerin her zaman bulunabileceğ ini görmek için, (6.32) ve (6.33) denklemle-rini sağ layan It4Ipotansiyellerinin (6.36)'y ı sağ lamad ı klarını varsayal ı m. Ş imdi bir ayar dönüşümüyle potansiyellerin geçelim ve bu Â',d5 ( 'lerin Lorentz koşulunu sağlamalarını isteyelim:

---> -4 -4 ı 015 ı ş;A v . A' + ı = O = V . A + v2A

c -at c -at c22

Bu demektir ki (6.39)

V2A

- 2A ," '4' -a ğ 5 = ( v . A + --] c2 c "-at

(6.40)

denklemini gerçekleyen bir A ayar fonksiyonu bulabildikten sonra, yeni Â2, 015. potansiyellerimiz Lorentz ko şulunu ve dolayı s ı yla da (6.37) ve (6.38) dalga denklemlerini sağ layacak-lardı r.

(6.36) Lorentz koşulunu sağ layan potansiyeller için bile bir keyfilik vard ı r. Baş langıçtaki A vefk'ler Lorentz ko şulunu sağlamak üzere, s ınırlı ayar dönüşümü denen

A + VA (6.41)

dönüşümünün Lorentz koşulunu koruduğu açı ktı r; buradaki A ayar foksiyonu

1 2/\ - 0 V2A (6.42)

denklemini sağlamaktadı r. Bu s ınırlı s ı nı f içindeki tüm potan-siyellerin Lorentz ayarına iliş kin olduklar ı söylenir. Lorentz ayarı oldukça s ık kullanı l ır; çünkü A ve 'nin sağ ladığı denklemleri ayn ı yapıya indirger (6.37 ve 6.38); ayr ıca seçilen koordinat sisteminden bağı msı z bir kavram olup, doğal olarak özel göreliliğe çok uygun düş er (bak: Kesim 11.9).

c2

292

Potansiyeller için bir baş ka yararl ı ayar, Coulomb ayarı , ışı ma ayarı ya da enine ayar denen ayardı r. Bu ayarda

. A = O

(6.43)

d ır. (6.32)'den görüldüğü gibi, bu ayarda skaler potansiyel

2,1 V cp= (6.44)

Poisson denklemini sağ lar ve çözümü

(6.45) x x'

dir. Yani skaler potansiyel, jp(X'',t) yük yoğunluğuna iliş kin anlık Coulomb potansiyelidir. "Coulomb aayar ı " adı da zaten buradan gelmektedir.

Vektör potansiyel ise, homojen olmayan

v A 1 4-rc J + 1 Q "4:) c2 -U2 c at

(6.46)

dalga denklemini sağ lar. Potansiyeli kapsayan "ak ım" terimi, ilke olarak, (6.45)'den hesaplanabilir. Gradyen iş lemcisini kapsadığı ndan dönülsüz bir terimdir; yani dönül (curl)'ü s ı f ı rd ır. Dolayı s ıyla akım yoğunluğunun dönülsüz k ı sm ını yokedebileceğ i akla gelir. Ak ım yoğunluğu (genelde her vektör alanı )

J = Jb + Je (6.47)

gibi iki terimin toplamı olarak yaz ı labilir; burada Jb 'ye boyu- na ya da dönülsüz akım denir ve V x 5:= O'dı r, ise enine ya da selenoidsel ak ım ad ını al ı r ve 3e O'd ı r.e Ş imdi

."\-ix (V> x = . - (6.48)

vektör özdeş liğ inden baş layı p V2 (1/13? - 3,›P İ ) = -4ıt S( - )

293

bağı nt ı s ı kullan ı larak ' J ve J

e:nin aç ı k olarak J'den a ş ağı da-

. b ki gibi kurulabilecekleri gösterilebilir:

J - -s -›

1 -->f V' • J d3x' b

41r I )-(). -

Je . 1 VxVx J d3x'

4Tc fx - x' l

Süreklilik denklemi ve (6.45) yard ım ı yla

_ 4Tz 5*. at

(6.49)

(6.50)

(6.51)

olduğu görülür. Dolayı s ıyla -nın sağ ladığı dalga denklemindeki kaynağı , tümüyle (6.50) enine ak ı mı cinsinden ifade edebiliriz:

2-4

2-5' 1 A 4Tc -4' (6.52)

V A e c2 at 2

"Enine ayar" ad ı kuş kusuz buradan 'gelmektedir. "I şı ma ayarı " ad ı ise şu gerçekten kaynaklan ır: Anl ık Coulomb potansiyeli yaln ı z yak ın alanlara katkıda bulunmakta, enine ışı ma alanlar ı tek başı na vektör potansiyel taraf ı ndan verilmektedir. Bu ayar özellikle kuantum elektrodinami ğ inde yararl ıdır. Fotonlar ı n kuantum mekaniksel anlat ımı , yalnı zca vektör potansiyelin kuantumlanmas ı n ı gerektirir.

Coulomb ya da enine ayar çoğu kez kaynaklar ı n bulunmadığı durumlarda kullanı l ır. Bu halde 4). O'd ı r ve -A4. homojen dalga denklemini sağlar. Alanlar

E - c at

(6.53) B =VxA

ile verilir.

Son olarak Coulomb ayar ının bir özelliğ ine değ inelim. Elektromanyetik olaylar ı n sonlu h ı zla yay ı ldı kları bilinmekte-dir. Ama (6.45), Skaler potansiyelin uzay ın her yerine bir anda "vardığı nı " göstermektedir. Diğer yandan, vektör potansi-yel (6.52) dalga denklemini sağ lamakta ve dolayı s ı yla sonlu c

„72y 1 ')24) - 4ıtf(5,t) (6.54) c2

-)t2

294

hı z ı ile yay ı lmaktad ır. ilk bakış ta, hiç mi hiç fiziksel olmayan bu davran ı stan nas ı l kurtulacağı m ı z ı anlamak bir bilmece gibi görünür. Fakat ilk uyar ı olarak, potansiyellerle değil de, alanlarla ilgilendiğ imiz söylenebilir. Başka bir gözlem ise, (6.50) enine akımın tüm uzay üzerinden bir integral kapsamas ıdır.*

6.6- Dalga Denklemi İçin Green Fonksiyonları

(6.37), (6.38) ve (6.52) dalga denklemlerinin tümü aynı temel yapı ya sahiptir:

Burada f(t,t) bilinen bir kaynak dağı lımıdır. c çarpanı , burada dağı tmas ı z olduğu varsayı lan ortamda yayı lma hı zıdı r.

(6.54) denklemini çözmek için, elektrostatikte yap ı ldığı gibi, bir Green fonksiyonu bulmak yararl ıdır. Bunun için, s ını r yüzeylerinin bulunmad ığı basit durumu ele alacağı z ve frekansa göre bir Fourier dönüşümü ile açı k zaman bağ lı lığı nı ortadan kald ı racağı z. Ş imdi y ve f'nin aş ağı daki Fourier integral gösterimlerine sahip olduklar ı nı varsayal ım:

00 1 (» Lp

(..:;,co) e

-iwt Y(>7.,t) - 2R j d w

co f(g',t) -

1 5 f( >,0)) e -iwt dtx> 2 -K -00

Bunların ters dönüşümleri de ş öyledir: oo

9(L(4.)) = S kl?(t) eiWt dt oo

f(32›,(0) = 5°° f(x' t) eiWt dt

-00

(6.55)

(6.56)

(6.55) gösterimleri (6.54)'de yerlerine konulduklar ı nda, Fourier dönüşmüş kk07,co)'n ın, her bir Gu değeri için homojen olmayan Helmholtz dalga denklemini sağ ladığı görülür:

* Coulomb ayar ı nda neden- sonuç ili ş kisi üzerine ayr ı nt ı l ı bir tart ış ma için 0.1.Brill and B Goodman, Am.J.Phys.35, 8 32 (1967)'ye bak ı n ı z.

295

(V2 + k

2) 4) (7,W) = -4n f(R',(o)

(6.57)

Burada k =e0/c, Wfrekans ı yla ilgili dalga say ı s ıdı r. Bu yap ı -da, dağı tmas ı zl ık s ı nı rlamas ı gereksizdir. Neden ve sonuç ili şkisi (causality) baz ı sı nı rlamalar yüklemekle birlikte, öncel olarak k vecu aras ındaki her türlü bağ l ı lığ a izin vard ı r (bak. Kesim 7.10).

(6.57) denklemi Poisson denklemine benzeyen parçal ı eliptik bir diferansiyel denklem olup, k = 0 için Poisson denklemine indirgenir. (6.57) için uygun olan G(5) Green fonksiyonu, homojen olmayan

(V2 + k2 )Gk C't = -4n8(;?» - (6.58)

denklemini gerçkler. S ını r yüzeyleri yoksa, bu Green fonksi-yonu yalnı zca R = 5>(4:' 'ye bağ l ı olabilir; gerçekte küresel simetrik olmal ı , yani yaln ı zca R = 1 -RI'ye bağ l ı bulunmal ıdı r. Laplasiyen iş lemcinin küresel koordinatlardaki yap ı sından (3.1'e bak ını z), Gk (R)'nin

d22 (RGk ) + k

2Gk = -41i0(R)

1 r -4,

denklemini sağ layacağı aç ı kt ır. R = 0 d ışı ndaki her yerde, RGk (R)fonksiyonu

ddR2

2 (RGk ) + k

2(RG

k) = 0

homojen denklemini sağ lar ve çözümü ş udur:

-ikR RGk (R) = A eikR + B e

Bundan baş ka, (6.59)'daki delta fonksiyonu yaln ı zca R -4. Oda etkilidir. kR 4G 1 olduğundan, denklemimiz bu limitte Poisson denklemine indirgenir. Dolay ı s ıyla elektrostatikten biliriz ki, doğru baylandı rma (normalization) şudur:

lim G 1 k R(R) =

kR -ao

Buna göre, Green fonksiyonu için genel çözüm

(6.60)

(6.59) R dR

(+) e- ikR

k

+ G - (R) =

R (6.62)

■100 tikR G (±) (R:) -

1 21x s

e e-iwZ

dw _ o R

(6.64)

296

( Gk(R) = A G (

k+) (R) + BGk

-) (R)

olup, A + B = 1 ve

(6,61)

dir. Zaman bağ lı lığı için (6.55)'deki anlaşmayı benimsediğimize göre, (6.61)'deki ilk terim, baş langıçtan yayı lan bir ıraksayan küresel dalgay ı , ikinci terim ise bir yak ı nsayan küresel dalga-yı gösterir.

(6.61)'deki A ve B'nin seçimi, fiziksel problemi belirleme-ye yarayan zamansal s ını r koşullarına bağ l ıdır. Eğer kaynak belirli bir t = 0 anına kadar etkisiz olup o andan itibaren iş lemeğe baş larsa, uygun Green fonksiyonunun, kayna ğı n çalış ma-ya baş lamas ından sonra kaynaktan dış a doğru yayı lan dalgalara karşı gelen (6.61)'deki ilk terim olduğu sezilir. Böyle bir anlatım kesinlikle doğru ve elveriş lidir; fakat tek ya da zorunlu değ ildir. S ı nır zamanlarında dalga genliğ inin uygun biçimde belirtilmesiyle, kaynağı n eylemini betimlemek için, (6.61)'deki ilk terimi de ğil de, ikinci terimi kullanmak olanaklıdı r.

G(k+) ve G

(k -) ile ilgili farkl ı zaman davranış larını anlamak . ı çı n,

(v2-

1 ) G (±) (X",t;;t',t') = S(t - t')

c2 .-. 1t2

(6.63)

denklemini sağ layan zamana bağ lı Green fonksiyonları nı kurmamı z gerekir. (6.56)'nın kullanı lması , (6.57) için kaynak teriminin

-41t5(>- - 3ti)eit'xU

' olduğunu gösterir. Dolayı s ı yla çözümler Gk(±) (R) eit°t 'dür.(6.55)

den zamana bağ lı Green fonksiyonları

olarak bulunur; burada Z = t - t', (6.63)'de görülen ba ğı l zamandır. Demek ki sonsuz-uzay Green fonksiyonu, yaln ı zca

297

kaynak ve gözlem noktas ı aras ı ndaki bağı l R uzakl ığı ve bağı l 'C zaman ı n ı n bir fonksiyonudur. Dağı tmas ı z bir ortam için (ki böyle bir ortamda k =to/c'dir), (6.64)'deki integral bir delta fonksiyonudur. Sonuç olarak, Green fonksiyonları

G (±) (R;I) = R 1 cS(Z1 R )

(6.65)

biçimindedir; ya da daha açı k olarak ş dyledir:

s(ti_[b_;. 1; -c G (±) (it,t;-;"c't') = - I

->1) (6.66)

G (+) fonksiyonu gecikmiş Green fonksiyonu ad ını alı r; çünkü dalga olayı ile ilgili nedensel davran ışı sergiler. Delta fonksiyonunun içi şunu gösterir: t anı nda "X"noktas ı nda gözlenen bir etki, daha önce, yani t' = t - R/c gecikmi ş zamanı nda gözlem noktas ı nı n R kadar uzağı nda bulunan bir kaynağı n eyle-miyle oluş turulmaktadı r. R/c zaman fark ı , dalga olayı nı(' ) bir noktadan diğ erine yayı lma zamanıd ı r. Benzer biçimde, G 'ye ise ilerlemiş Green Fonksiyonu denir.

Homojen olmayan (6.54) dalga denkleminin özel çözümleri şunlardı r:

Lli± ) (t) f(i,t , ) d3x. dt'

Verilen fiziksel problemi iyice belirlemek için, bu çözümlerin herhangi birine homojen denklemin çözümleri eklenebilir. Bu amaçla, zaman ve uzay içinde yerelle şmiş bir f(3?»',t°) kaynak dağı l ımı nı ele alal ım. Bu dağı lım t' = 0 dolay ı ndaki sonlu bir zaman aralığı nda s ı f ı rdan farkl ı olsun. İ ki limit durum düşünü-lebilir. Birincisinde, t-> - oo an ında homojen dalga denklemini sağlayan bir y. (53(',t) dalgas ı nın bulunduğu varsayı lır. Bu dalga zaman ve uzaŞ içerisinde yay ı lı r; sonra kaynak çal ış maya baş lar ve kendi dalgalarını yaratı r. Bu durum için tüm zaman-lardaki tam çözümün

Y(;c,t) = yı ç ()1,t) +51G (+) (5-<> ,t;)-(> ',t')f(x', -t°)d3x'dti(6.67)

olduğu açı kt ı r. İntegral içinde G (+) 'nın yer almas ı , kaynağı n iş lemeğe baş lamas ından çok önceki zamanlarda integralden

298

katkı gelmeyeceğ ini güvence, alt ına al ır. Yalnı zca saptanmış olan yiç dalgas ı vardı r. Ikinci limit durum ise şudur: Çok sonraki zamanlarda (t-+ 00), dalga, homojen denklemin bilinen bir çözümü olan ■

4/diş ile verilir. Bu kez tüm zamanlar için tam çözüm şudur:

(6.68)

Burada da ilerlemi ş Green fonksiyonu, kaynağı n kapanmas ından sonra kaynaktan aç ık biçimde hiç bir i ş aret çı kmayacağı nı guvence alt ına alı r (bu tur tüm i ş aretler varsay ım olarak y içinde kapsan ı r). dış

Alış tığı mı z fiziksel durumlar, ıv. = 0 olmak üzere, (6.67) ile betimlenir. Kimi kez (6.66) Gree2 fonksiyonunu aç ık biçi-miyle yerine koyarak bunu şöyle yazabiliriz:

dx'

(6.69) )-5( -

ı E Le, köş eli parantezi, t' zaman ının t' = t - 1;?-. x 3 1/c ge- cikm4 ,amanında değ erlendirileceğ ini ifade eder.

Sonlu zamanlarda ilk-değer ya da son-değer problemi, bir, iki ve üç boyutta geni ş biçimde incelenmiş tir. Bununla ilgili olarak, okuyucuya Morse and Feshbach, sayfa 843-847 ve ayr ı ca Hadamard' ı n daha matematiksel olan incelemesi salı k verilebilir.

6.7- Makroskobik Elektromanyetizma Denklemlerinin Türetilmesi

önceki bölümlerde elektromanyetizman ın tartışı lmas ı , makroskobik Maxwell denklemleri dedi ğimiz

^4› .'")' V . B = O V x E + = 0 "bt

-"d75'

D. D = 47ç .s, V x H- 1 J (6.70) tt c

denklemlere dayandırı lmış t ı . Burada E ve B makroskobik elektrik ve manyetik alan nj4çelikleridir; -L'■ ve H ise maddesel,ortam ın P kutuplanmas ı ve M m ı knat ıslanmas ı arac ı l ığı yla E ve B'ye

4,(t,t ) = k.1)d ış (Xl»,t) +SSG (-) ()ttp-cl> ", t' )f(>".t' ,t` ) d3x' dt'

,

-4 -4 -. -› D - E + 4TeP, H . p - 411M (6.71)

299

ş eklinde bağ lı olan türetilmi ş alanlardı r. Benzer biçimde, ?ve ,7de s ı ras ıyla makroskobik (serbest) yük yo ğunluğu ve akım yoğunluğudur. Bu denklemler iyi tan ınmakta ve tümden benimsenmekte ise de, gene de onlar ı mikroskobik düzeyden baş layarak sağ lam bir biçimde türetmeliyiz. Bu aç ığı ş imdiki kesimde kapatacağı z. Atomlar kuantum mekaniksel olarak betim-lendiğ i halde, türetmemiz klasik çerçevede kalacakt ır. Görünür-deki bu yetersizlik için gerekçemiz var: Kuantum mekaniksel tartış ma, klasik tartış ma ile s ıkı sıkıya paraleldir, öyle ki aş ağı da verilen formüllerde klasik nicelikleri kuantum mekanik-sel beklenen değerlerle değ iş tirmek yeter. Okuyucunun kendisi, bölüm sonunda an ı lan kaynaklardan statistik mekani ğe dayal ı türetmeleri inceleyebilir.

Elektronlardan çekirdeklerden oluşmuş bir mikroskobik dünya düşünelim. 10 cm'ye oranla büyük boyutlarda, elektron- lar gibi çekirdekler de noktasal sistemler olarak ele al ı nabi-lir. Bu noktasal yükler için elektromanyetik olaylar ı yöneten denklemlerin mikroskobik Maxwell denklemleri olduğunu varsaya-l ı m:

v . b = O, V x + - O -a t (6.72)

-V"). . e = 4Tzrk, •v-> x b -

c

-4- Burada e -4. ve b mikroskobik elektrik ve manyetik alanlar, rk, ve j

ise mikroskobik yük ve ak ım yoğunlukl,rıdı r4 Yüklerin tümü Tl ve 3'de kapsand ığı ndan, karşı gelen d v 3 h5 alanları yoktur. Durgun bir makroskobik madde miktar ı 10 tane elektron ve çekirdek demektir ve bunlar ın tümü, ı sı l kaynaşma, sı fır noktas ı dolayı nda titreş im ya da yörüngesel hareket nedenleriy-le durmaks ı z ın hareket halindedirler. Bu yüklerin doğurduğu mikroskobik elektromanyetik alanlar, uzay ve zam,gnda a şı rı hı zlı bir biçimde değ iş irler. Yerel değ işimler 10 cm ya da daha küçük uzakl ı k hasamağı nda orta1 çı kar; zamanca değ iş imler ise çekirdek titreş,Wleri için 10 sn'den elektronik yörünge hareketi için 10 -' sn'ye kadar uzanan periyotlarla olur. Makroskobik biçme düzenekleri, uzay ve zamanda genel olarak bunlardan çok daha büyük aral ıklar üzerinden ortalama al ırlar. Dolayı sıyla tüm mikroskobik dalgalanmalar ortalamalan ır ve makroskobik Maxwell denklemlerinde göründüğü gibi, geriye oldukça düz ve yavaş değ işen makroskobik nicelikler kal ı r.

300

Ne tür ortalama almanın uygun olacağı sorusu dikkatlice incelenmelidir. İ lk bakış ta hem uzay hem de zaman üzerinden ortalamaların gerektiğ i san ı labilir. Fakat bu doğru değ ildir. Yalnı zca yerel ortalama gereklidir. (Bu arada, zamanca ortala-manı n yalnı z başı na kesinlikle yeterli olamayacağı nı vurgulaya-l ı m. Bunu anlamak için, iyonlar ı , iyi-tan ımlanmış ve ayr ı lmış olan örgü köş eleri dolay ında küçük s ı fı r-noktas ı titreş imleri yapan bir iyonik kristal düşününüz). Elektromanyetik olaylar ın makroskobik anlat ımına uygun bölgenin s ını rını çizmek için, görünür ışığı n yans ıma ve kı rı lmas ı nın sürekli dielektrik sabitli Maxwell denklemleriyle yeterli biçimde anlat ı labildiğ i-ni, oysaki X- ışı nları kı rı nımının maddenin atomlu nitel ıgi_ ni açı kça ortaya koyduğunu gözleyelim. Dolay ı s ı yla makroskobik bölge için mutlak alt s ı n ır olarak L

o = 10

-6 cm = 10

2 9

uzunluğunu almak akla yakı nd ır. Bu dalgaboylu ışığ a iliş kin titreş im periyodu Lo/c -̂4-* 0

- 3 x 1

17 sn' dir. Normal maddede

3 Lo = 10

18 cm

3'lük bir hacim içinde hâl'a 10

6 basamağı nda çekirdek ve elektron vardı r. Böylece L » L '11 bir makrosko-bik bölgede öylesine çok çekirdek ve elektröri bulunmaktad ı r ki, dalgalanmalar, uzaysal bir ortalama ile tamamiyle silinir. Öte yandan, L ile ilgili zaman ölçeği gerçekten de atom ve molekül hareketleri bölgesinde bulunduğundan, zamana göre ortalama almak uygun olmayabilir. Bununla beraber, uzaysal ortalamadan sonra ortam ın mikroskobik zaman dalgalanmalar ı konusunda bir kanı t yoktur. Bu böyledir, çünkü özel bir düzenleme ve makros-kobik uzakl ı klar üzerinden bir s ıralama kurulmad ıkça, mikros-kobik alanlar ın zamanca değ iş imleri, L basamağı ndaki uzakl ık-lar üzerinde iliş kisizdir. Arta kalanlar, Uygulanan d ış frekanslarda sürülen titre ş icilere karşı l ık gelen frekans bileşenleridir.

Bir F(it,t) fonksiyonunun bir f(') sınama fonksiyonuna göre yerel ortalamas ı

<,F(>7,t);> = d3x'f()7')F(,.1'- (6.73)

biçiminde tanımlanı r; burada f(",t), gerçel, x = O' ın belli bir komşuluk s ı f ı rdan farkl ı ve tüm uzay üzerinden bire boylan-dırı lmış tır. Gerekli olmamakla birlikte, f(3t)'i hiç eksi olmayan bir fonksiyon olarak düşünmek en basitidir. Ortalama-lanmış fiziksel özelliklerin yönsel karakteristiklerini korumak için, f(3nei uzayda e ş -yönlü yaparı z. İş te size iki örnek:

301

f r < R

r > R

2 2 f(x) = (1

2)-3/2

e-r /R

İ lk örnek, yani R yar ı çapl ı küresel ortalama alma hacmi, literatürde çok kullanı lmaktadı r. Kavramsal basitlik nedeniyle üstünlüğ e sahip olmakla birlikte, r = R'deki sert süreksizlik bu üstünlüğü zayı flatmaktadır. Bu durum, ortalama alma hacmine bir tek molekülün ya da moleküller grubunun girmesi ya da çı kmas ıyla, ortalamas ı al ınan nicelikler üzerinde küçük-ölçekli iniş -çı kış lara yol açar. Örneğ in Gaussiyen biçimlislüzgün bir s ınama fonksiyonu, atomik boyutlara oranla buyuk -boyutlu olmak koşuluyla, bu tür güçlükleri giderir. Bereket versin ki, f(x) s ınama fonksiyonunun tüm ayr ıntı larıyla belirtilmesi gerekmemekte, sadece sürekli ve düzgün olmas ı yetmektedir; zira bu iki özellik, Şekil 6.4'de kabataslak gösterildi ğ i gibi, atomik boyutlu uzakl ıklar üzerinde f()'in h ı zla yakınsa-yan bir Talor serisi aç ı lı mına izin verir. Bu önemli bir özelliktir.

Maxwell denklemlerinde uzay ve zaman türevleri yer aldığı n-dan, bu iş lemleri, (6.73) uyarınca al ınan ortalamalara göre yapmal ı yı z. Aç ı k olarak

*' <F(X',t)>I-d3x`f()-t' ) ,t) < "bx

a t ( t )> = < ?:t

(6.74)

bağı ntı larına sahibiz. Dolayı sıyla uzay ve zamana göre türev-lendirme iş lemleri ortalama alma i ş lemiyle s ı ra değ iş tirebil-mektedir.

Art ık (6.72)'deki mikroskotik Maxwell denklemlerinin ortalamalar ını alabiliriz. Makroskobik elektrik ve manyetik

* Burada G.Russakoff, Am.J.Physics 38, 1188 (1970'de geli ş tirilen yolu izliyoruz.

302

alan dediğ imiz P've B nicelikleri, mikroskobik e ve b alanlar ı -nı n ortalamaları olarak tanı mlanı rlar:

E(x,t) = x -4,t( 4. ).>

(6.75)

Bu halde (6.72)'deki iki homojen denklemin ortalamalar ı , karşı gelen

-¥ . b>= O —>V . B = O

(6.76) -4. 1 "' ı l;' ') 1 x e + )>- x E + ---c = 0 c i>t

makroskobik denklemlerini verir. (6.72)'deki homojen olmayan denklemler ise,

V . E . 4 "-Ç <A( x , t ) `,› -4 (6.77) ,;› 4 -rt

v X rı - = j(X,L) \>at

haline ortalamalanır. Bunlar ın (6.70)'deki homojen olmayan makroskobik denklem çiftiyle kaulla ş t ı r ı lmas ı , daha önceden bilindiğ i gibi, türetilmi ş 5 ve H alanlar ı nı n, <rk> ve Z,t>' den ortamın makroskobik özellikleri olarak tan ınabilen baz ı katkı lar ı n ç ı kar ı lmas ıyla tan ımlandığı nı gösterir. Dolayı s ıyla ş imdi iş imiz <»rk. ve <1> yyi incelemektir.

Çekirdeklerle elektronlardan olu ş an moleküllerden ve ayr ıca herhangi bir özel molekül dolay ı nda yerleşmemiş "serbest" yüklerden yapı lmış bir ortam düşünelim. Mikroskobik yük yoğun-luğu

ript ı =3

"ş'c'i (tâ (6.78)

ş eklinde yaz ı labilir; burada ;?›., noktasal (4, , yükünün konumudur. Bağ lı yükleri serbestlerden ay ı rdetmek için; nLiyi

'n( = llsertest 4- ll bağ l ı (6.79)

olarak parçalayal ı m ve

Ilserbest = j ı qi 8 ( ) j(serbest)

303

1bağ lı = 1,11 (X5,t)

(moleküller)

Şekil 6.4- Uzaysal ortalama alma işleminde kullanı lan f(k) sınama fonksiyonunun şematik diyagramı . Hem plato bölgesinin L genişliği ve hem de f'nin sıfıra düştüğü bölgenin AL geniş liği, molekülsel a boyutuna oranla çok büyüktür.

yazal ım; burada ın'

n'yinci molekülün yük yoğunluğudur:

q.5(' - -"X) (6.80) j(n)

Herhangi bir anda ortalama al ı ndığı ndan, bu denklemlerde ve daha sonrakilerde açı k zaman bağ lı l ığı nı kaldı racağı z. n'yinci molekülün yük yoğunluğunun ortalamas ını alarak iş e baş layacağı z ve sonra tüm moleküllerin katk ı larını toplayacağı z. n'yinci moleküldeki yüklerin koordinatlar ı n ı , o moleküldeki durgun bir baş langıca göre ifade etmek uygundur.Moleküldeki bu sabit noktan ın (genellikle kütle merkezi olarak seçilir) koordinatla -

.4> rı x (t); moleküldeki j'yinci yükün koordinatlar ı ise, Ş ekil 6.5'ale gösterildiğ i gibi, bu baş langıca göre 7t. (t) olsun. n'yinci molekülün yük yoğunluğunun ortalamas ı şudu2:

4„111.1 (3t, t)'= d3x 1 f(3')Tin (2. -

= q .Sd ' ) &S"? - - >-?in - Trn---> 3

304

= q. f(X'- -;›jn ) j(n) 3

(6.81)

xjn atomik boyutlar basamağı nda olduğundan, toplamdaki -.4. ler, f(X)'in oldukça çok değ i ş tiğ i bölgeler üzerinde(x - x )

den çok az ayr ı lan argümanlara sahiptirler. Bu nedenle her terimi (X'- X

n ) dolayında bir Taylor serisine açmak uygundur. Bu

j(n) qj

.4. -4. , -4. -> 4.4. 1 .-.4. f(x-xn ) - x • Cf(x-xn ) + -2- jn xjn )0(

c'( '

2 -¥ --,ı

• ( "X. ) f( .\ x-x) + ... jn (3 .., oxo(ox

n

ifadesini verir. Dikkat edilirse, moleküldeki yükler üzerinden al ınan bu çeş itli toplamlar, tam molekülsel çok-kutup momentle ridir:

Molekülsel yük qn = qj (6.82)

j(n)

Molekülsel çift-kutup momenti Pn

=

Jn (6.83)

Molekülsel dört-kutup momenti : (Q' n ) <(3 = q ( ) ) 3 3no< P/3

(6.84)

Bu çok-kutup momentleri cinsinden n'yinci molekülün ortalama yük yoğunluğu ş udur:

(6.85)

Bu denklemi (6.73)'deki yerel ortalama alma tan ı mı nın direkt bir sonucu olarak görmeğ e çal ışı rsak, ilk terim X' =deki noktasal bir yük yoğunluğunun ortalamas ı , ikinci terim x =

n )

n >t, t > =f (3t- ) ( )-t-St )+ (Q: )

n n n n 6 n «f cX,Ç3

305

xhdeki noktasal bir çift-kutup yoğunluğunun ortalamas ı v.s. olarak düşünülebilir. Açı k olarak

) <11n (1›,t)>= <cırl i;(:42;»-7 . (sP116(Xt.›11>+ -3>c<,("bx '1-11 o<13 oc(3

.8.(,- -)--c.'n )> ... (6.86)

Şekil 6.5- n'yinci molekülün koordinatlar ı . O' baş lan-gıcı molekülde sahiptir (genellikle kütle merkezinde seçilir) j'yinci yük 0"ye göre x. koordinatına sahiptir; molekül ise sa&t eksenlere (laboratuvara) göre it koordinatındadı r.

306

dir. Böylece, ortalama alma sürecinin sonucu sözkonusu oldukça, molekülü, moleküldeki sabit bir noktaya yerle şmi ş noktasal çok -kutuplarin bir topluluğu olarak görebileceğimizi bulmu ş oluruz. Kuşkusuz molekülsel yük dağı l ı mı nın yayı lışı ndaki ayrı nt ı lar mikroskobik düzeyde önemlidir; fakat makroskobik olaylar için bu dağı l ımı n etkisi çok -kutuplar ı n bir toplamı yla temsil edilir.

(6.79)'daki toplam mikroskobik yük yo ğunluğu, serbest ve bağ l ı yüklerden olu şmaktadı r. Tüm moleküller üzerinden (farkl ı türlerden de olabilirler) toplayıp serbest yüklerle birleş tire-rek, ortalama mikroskobik yük yo ğunluğunu

?(t,t) - + xo(--bx o<R

(6.87) olarak buluruz; burada s ı ,

5, (R4,t) = ;:> g.6(X1'-7.) + j(serbest)

(moleküller) (6.88)

ş eklindeki makroskobik yük yoğunluğu, P ise

P ( x,t) = ?S('-?-)-(* )> n n oleküller)

r‘.

(6.89)

ş eklindeki makroskobik kutuplanmad ır; Q' da makroskobik dört-kutup yoğunluğudur:

cz(.3

o:f3 (34(,t) = (Q' n )«r3 #5 ■6"-X.'n ) (6.90)

(moleküller)

(6.87)'yi (6.77) 1 nin ilk denkleminde yerine koyarak şunu buluruz:

[E 4-R po< -ax —axt3 = 4-n? (6.91)

P Bu ifade, (6.70)'e göre, makroskobik yerde ğiştirme vektörü

bileş enleri cinsinden

q' -+ (x. x v. ) 3n 3n 2c

(6.95) j(n)

m = n

307

D x= E + 41ı13 - 41T ı dc<

(6.92)

biçiminde tan ımlandığı nı söyler. İ lk iki terim, iyi bilinen (6.71) sonucudur. Üçüncü ve daha yüksek terimler de ilke olarak vard ı rlar; fakat hemen hemen her zaman ihmal edilebilir-ler.

Tartış mayı tamamlamak için ',>'yı da ele almal ıyı z. Yeni hiç birş ey kapsamasa da, vektör niteliği ve hı zlar ın iş e karış mas ı nedeniyle, biraz önce ‹ ,rk.için yapt ığı mı z türetmeye oranla bu çok daha karma şı ktır. Ayrınt ı ları bu tür i ş lerden hoş lanan okuyuculara bir problem olarak b ı rakıp, yaln ı zca sonuçları vereceğ iz. Mikroskobik akım yoğunluğu ile baş layal ım:

-, e j(x,t) lb

J J J(-*

x .(t)) (6.93)

J Burada ir. = c1)1../dt, j'yinci yükün hı z ıd ır. Bu toplam da gene serbest ıi.ikleri üzerinden ve moleküller üzerinden olmak üzere ikiye ayr ı l ır. n'yinci molekülün ak ım yoğunluğu, (6.81)'deki gibi ortalamalanabilir ve

3n(x,t)>= > q(v. + v ) f()7- - ) j(n) 3 3n n n jn (6.94)

bulunur. Burada j'yinci yükün h ı zı nı , molekülün cy baş langıcı - -, nın v = dx /dt h ı zı ile iç bağı lluz v. 'nin toplam ı olarak yazmakla görelAiz hareketi katullenmi ş olduk. Bu noktadan sonra Taylor serisine aç ı l ımlar ve çeş itli vektörel i ş lemler yapmak gerekir. Akımın bir parças ı ,

moleküler manyetik momentini kapsar. Ortalama mikroskobik ak ım yoğunluğunun bir bileş eni için varı lan sonuç şudur:

(t,t)>= c<J ( , t) + ..-[D c ()R",t)-Ec< ()7,t)j

) (7) - (1.5) 3?..);› np n moleküller )

(. ( n )c,((3 ( r-1 ),is (Q' n )xf3 ( n )c<j g()t-n> + * - *

(moleküller)

(6.96)

q S( ) J J

(serbest) 3

ve makroskobik mıknatıslanma

q n n8(2'-;)

(moleküller) n

(6.97)

J(x,t) =

1 4Tç (g. - H)(5( = Mo(

moleküller)

n 8(5?-Xn n (() 5(3

(moleküller) (6.99)

)ç s c

308

Bu epeyce korkutucu denklemde ş imdiye dek tanımlanmamış nice-likler, makroskobik ak ı nı yoğunluğu

M(x,t) =

7r41'11 .5(

(6.98)

(moleküller)

dir. Eğer serbest "yükler" ayr ıca iç manyetik momentlere de sahipseler, bunlar da M'nin tan ımı nda kapsanabilirler. (6.96)' daki son terimler elektrik molekülsel momentler ve molekülsel h ı zlar içerirler ve özel haller d ışı nda (aş ağı ya bakı nı z) kolay ş ekilde yorumlanamazlar.

4j>yi (6.77)'nin kinci denkleminde yerine koyarak, (6.70) sisteminde türetilmi ş H manyetik alan niceliğ ini„içeren makros-kobik Ampere-Maxwell denklemini buluruz; burada ile ortam ın özellikleri cinsinden

(F>-n x -2-1 ) S(>-7 - n)>

309

olarak verilir. (6.99)'un sağ yanındaki ilk terim, bilinen (6.71) sonucudur. Diğer terimler genel olarak a şı rı derecede küçüktürler; çünkü hem v molekülsel h ı zları , gazlardaki tipik ı s ısal hı zlar ya da katilardaki örgü titre ş im hı zları olarak küçüktürler; hem de h ı zların dalgalanmaları nedeniyle makrosko-bik ortalamada s ı fıra gitme eğ ilimindedirler. Ancak ortam bütün olarak hareketteyse ku böyle de ğildir. Basit olmas ı için, ortamı n bir bütün olarak ‘-'7' hı zı yla ötelendiğ ini varsaya-lım. Molekiillerin diğer hareketlerini ihmal ederek, tüm n'ler için ii' = */* yazabiliriz. Bu durumda, birkaç küçük i ş lemden sonra:1(6.99)

-› B - H 41T M + (D - E) x —

v c

(6.100)

haline gelir; burada D, (6.92) ile verilir. Bu, hareketteki bir ortam için, elektriksel P kutuplanmas ının (ve Qtqa dört-ku-tup yoğunluğunun) etkin mı knatı slanma içine kat ı ldığı nı göste-rir. (6.100) denklemi, hareketli ortamlar ın Minkowski elektro-dinamiğindeki denklemlerin birinin göresiz limitidir (bak. Pauli, sayfa 105).

Okuyucu, göreli düzeltmelerin tartışı lmas ı ve ortalama almanın istatistik mekaniksel türetimi için de Groot'un kitabi-na bakabilir. Mant ı k ve tutarl ı lık açı s ından bir zayı f nokta vardır. Molekülsel ((X ) c,, dört-kutup momentinin (6.84) tanımında, Bölüm 4'deki n an'laşmamı zdan (denkl.4.9) saparak (Q; )0, (4 'nı n izini s ı fırdan farklı bı rakt ı k. Bölüm 4'de izsiz dörPi-kutup momenti tensörünün beş bağı ms ı z bileşenini, = 2 için (2Q+ 1) küresel harmoniğe bağ ladığı mı za dikkati çekmiş -tik; öyleyse makroskobik Maxwell denklernlerine neden altı bileş enin kat ı ldığı nı açı klamak zorundayı z. (4.9) arac ı lığı yla izsiz bir VD ) molekülsel dört-kutup momenti tan ımlarsak,

-çn .(p

(Qn )cq3 = (Qn .1 1)

<4.(X4'. 3 3n)2 S

oıp (6.101)

yazabiliriz. e uygun bir yük birimi, örneğin bir proton yükü olmak üzere, molekülsel yük dağı lımı nın ortalama yük yarı çapı karesi r

n 'yi

e r2

qj(xjn

)2

+ < e r2 c9 n ) n 1 2

(moleküller)

-->i)serbest+ qn.8(5t.- ) (moleküller)

310

biçiminde tanımlayarak, (6.101) eş itliğ ini

((:).'. n )t4(3 = (Qn ).< + e r2n Se<p

olarak yazabiliriz. Böylece (6.90) makroskobik dört-kutup yoğunluğu

Q' = Q ocr3 c„ 3 1 ‹:6

(moleküller)

e r2 (S' - n oq3

haline gelir; burada a cco,(Q ),<(3 cinsinden aynı (6.90)'daki gibi tan ımlanmaktadır. Net sonuç şudur: (6.87)'deki ortalama makroskobik yük yoğunluğunda izsiz Q 0<ra dört-kutup yoğunluğu Q yoğunluğunun yerine geçer ve J> yük yoğunluğu bir ek terim kadar artm ış olur:

(6.102)

G,x tensörünün izi yük yoğunluğu ile sergilenir, çünkü çok-ku-tup açı l ımı cinsinden bu bir 0 katkı sıdı r. Gerçekten de, statik limitin ötesine gitti ğ imizde, molekülsel yük ve ortalama yarı çap karesi terimleri beraberce Q = 0 molekülsel çok-kutup açı l ımındaki ilk iki terimi gösterirler. Bunlar, Fo9rier dönüşmüş dalga sayı sı uzayında, yük yap ı çarpanının k 'nin kuvvetleri cinsinden olan aç ı lımında ilk ili terime karşı gelirler. Bir pc›-n yük yoğunluğu için F(k ) yapı çarpanı tanımından bu durum görülebilir:

311

F(k2 ) -Id3x f>6.t) <ei ı."" )£> = o parças ı

= jd3x f)( t) sinkr

kr

ti Dd3x - 61 k2 r2 f d3x +

k 4-> -iV karşı geliş i gözönüne al ınınca, yapı çarpanı açı l ımı ile (6.102) aras ındaki genel e şdeğerlilik kurulmuş olur.

ilginç yap ı tında Robinson, mikroskobik denklemler ile makroskobik denklemler aras ındaki ilgiyi bizimkine benzer biçimde tartış maktad ı r. Bununla beraber, o, kendisince (dalga sayı sı spektrumunun) "ucunu kesme" diye adland ı rdığı f()-- ) s ınama fonksiyonuyla yap ı lan (6.73) yerel ortalama alma ile çeş itli türden topluluklar üzerinden istatistik mekaniksel ortalama alma aras ında bir ayı rım yapmaktadır. Robinson, istatistiksel ortalama almayla ilgili hiçbir düşüncede bulunma-dan önce, her bir makroskobik problemde ilgili uzunlukların kendine özgü bir alt limiti oldu ğunu ve bunun kullanı lacak olan s ınama fonksiyonunun boyutunu belirlediğ ini varsaymaktad ı r.

6.8- Poynting Teoremi ve Yüklü Parçacıklarla Elektromanye- tik Alanlardan Oluşan Bir' Sistem İçin Enerjinin ve Mdmentumun Korunumu

Enerjinin ve momentumun korunumu yasalar ı nın biçimleri, elektromanyetik alan için ç ı karı lmas ı gereken önemli sonuçlar

. -

dand ı r. Daha çok Poynting teoremi olarak bilinen (1884) enezji - nin korunumu yasas ı ile baş layal ım. Bir tek q yükü için, E v2 dış elektromanyetik alanlar ı taraf ı ndan yapı lan iş hı zı ci ı .E

dir; burada v yükün h ı zıdı r. Manyetik kuvvet h ı za dik oldu-ğundan, manyetik alan iş yapmaz. Sürekli yük ve ak ım dağı l ımı halinde, sonlu bir V hacmi içerisinde alanlar ın iş yapma hı zı (yani güç)

-4. -4. J .Ed

3x (6.103)

V

dir. Bu güç, elektromanyetik enerjinin mekanik ya da ı s ı enerjisine dönüşümünü gösterir; dolayı s ıyla bu güç, V hacmi içindeki elektromanyetik alan ın enerjisinde ortaya çı kacak uygun hı zl ı bir azalma ile dengelenmelidir. Bu korunum yasas ını açı k olarak sergilemek için, Maxwell denklemlerini kullanarak 5.

(6.103)'ü baş ka terimler cinsinden yazacağı z. Bu amaçla J yerine Ampere-Maxwell yasas ından değ erini koyal ı m:

312

-4. J .Ed3

4n x= — cE . (VxH) - "bt d3x (6.104)

V .Bu aş amada

-1> V . (E

-› x H) = H . (V x E) - E . (V x H)

vektör özdeş liğ ini kulland ı ktan sonra Faraday yasas ı yard ım ı yla (6.104)'ün sağ yanını

. -1 ir[c . („ 11) + 3

• + H • _.6t d x

v Llıt

(6.105)

haline getirebiliriz. Daha ileri gitmek için iki varsay ım yapacağı z. Önce işe karış an ortam ın, elektrik ve manyetik özellikleri aç ı s ından çizgisel olduğunu varsayacağı z. Böylece (6.105)'deki zaman türevi, (4.89) ve (6.16) denklemleri uyar ı n-ca, elektrostatik ve manyetik enerji yoğunluklarının zaman türevleri olarak yorumlanabilecektir. Ş imdi de ikinci varsayı -mımı z ı yapacağı z; yani (4.89) ve (6.16)'n ı n toplamı nın, zamanla değ iş en alanlar için bile, toplam elektromanyetik enerjiyi gösterdiğ ini söyleyeceğ iz. Buna göre, toplam enerji yoğunluğu

-3. -.3 . H)

. u (E . D + B 8n

ile gösterilirse, (6.105) bağı nt ı sı

(6.106)

jr.J› . - rd3x .f[)ut V c 3 . (E x H) d x (6.107) v

"b V

şeklinde yaz ı labilir. V hacmi keyfi olduğundan, bunu bir diferansiyel süreklilik denklemi ya da korunum yasas ı biçimine sokabiliriz:

-bu +V.S= -J. E

(6.108)

Enerji ak ışı nı temsil eden S vektörüne Poynting vektörü denir ve

c =4 ı E x H ı (6.109)

ş eklinde verilir ve (enerji/yüzey x zaman) boyutuna sahiptir.

313

Korunum yasas ı nda Ş 'nin yaln ı zca ı raksamas ı , yer aldığı ndan, Poynting vektörü oldukça keyfidir; ona daima herhangi bir vektör alanı n dönülü eklenebilir. Bununla birlikte böyle bir ek terimin fiziksel sonuçlar ı yoktur. Dolayı sıyla (6.109) özel seçimi yeğ lenmektedir.

(6.107) integralinin ya da (6.108) diferansiyel ifadesinin fiziksel anlam ı şudur: Belirli bir hacim içindeki elektromanye-tik enerjinin zamanla değ işme h ı zı artı bu hacmin s ını r yüzey-lerinden birim zamanda d ış arıya akan enerji, hacim içindeki kaynaklar üzerine alanlar taraf ından yapı lan toplam i ş in eksilisine eş ittir. Bu, enerji korunumunun ifadesidir. Ferro-manyetik maddelerdeki histeresiz gibi kay ı pl ı etkiler sözkonusu ise, (6.108)'deki basit yasa art ık geçerli değildir; onun, histeresiz güç kaybı nı veren terimlerle tamamlanmas ı gerekir.

Şimdiyedek hep elektromanyetik alanlar ın enerjisi üzerinde duruldu. Alanlar . .arafından hacim birimi başı na birim zamanda yapı lan i ş (yani J.E), elektromanyetik enerjinin mekanik ya da ı sı enerjisine dönüşmesidir. Madde en sonunda yüklü parçac ı k-lardan (elektronlar ve atom çekirdekleri) olu ş tuğuna göre, bu dönüşüm hı zını , birim hacimdeki yüklü parçac ıkların enerjisinin artma h ı z ı olarak düşünebiliriz. 0 zaman mikroskobik (E,B) alanları için.Poynting teoremini, parçac ıklardan ve alanlardan oluşmuş birleş ik sistemin enerjisinin korunumu ifadesi olarak yorumlayabiliriz. V hacmi içindeki parçac ı kların toplam enerji-sini Emek. ile gösterir ve hacmin d ışı na hiç bir parçac ık çı kmadıgı nı varsayarsak,

dEmek.

dt v

--> -› J .Ed

3x (6.110)

yazabiliriz. Böylece Poynting teoremi, birleş ik sistem için enerjinin korunumunu

dt dE d

dt (Emek + Ealan ) = S . da

biçiminde ifade eder; burada V içindeki toplam alan enerjisi aş ağı daki gibidir:

1 _U:¥.2 d3x Ealan - u d3x = BIT vth + b

2 )

V (6.112)

Çizgisel momentumun korunumu da benzer biçimde ele al ına-bilir. Yüklü bir parçac ı k üzerine etkiyen toplam elektromanye-

314

tik kuvvet şudur:

F = q(E + v

x B)

(6.113)

V hacmi içindeki tüm parçacı kların momentumları nın toplamı nı Pmek

ile gösterirsek, ikinci Newton yasas ı ndan

dPmek f - x B) d'x - dt

(6.114)

yazabiliriz; i ş lemlerde kolayl ık olsun diye, parçacı klar üzerinden alınan toplamı , yük ve ak ım yoğunlukları üzerinden integrale çevirdik. Poynting teoremini türetirken yapt ığı m ı z gibi, (6.114)'den ? ve J'yi yok etmek için Maxwell denklemleri-ni kullanı rı z:

.p= 1 4- -1> c -1» 1 V E J = (V x B (6.115) 4T[c ' 47‘ c at

Bunların (6.114)'de yerlerine konmas ıyla integralin içi

-3* 1 4 a 1 [4 44 1 4 öE 4 4 4 pE+—JxB=— E(V.E)+ F-Bx—'bt-Bx VxB) 4rt

haline gelir. Sonra da

-4‘

B x _at = (E x B) + E x `-b

yazıp, köş eli paranteze B(V . B) = 0 terimini ekleyerek şunu buluruz:

-4 1 -Ş -4 1 {•~1. -Ş -Ş -Ş -Ş -Ş -Ş

? E + -5 J x B = -4T-Ç E(V.E) + B(V.B) - Ex(C7xE)-Bx(VxB)

1 x -13) 4Ttc at

Art ı k (6.114)'ü, yani mekanik momentumun değ işme h ı zını yaza-biliriz:

315

mek d Ç 1 x d3x dt J 41ic ( dt

3 -4 -4 -4. -4. -4. -4. -4. = 4n il(v.E) - E x (VxE) + B(V.B) - Bx(Vx13)] d x (6.116)

Soldaki hacim integralini, V hacmi içindeki toplam elektroman-yetik momentum,Palan' olarak tanıyabiliriz:

Plan = thic (E x B)d

3 x (6.117)

a

İ ntegralin içi, elektromanyetik momentum olarak yorumlanabilir.2 Dikkat ederseziz bu momentum yoğunluğu, orant ı katsayı s ı c

olmak üzere, S enerji akı s ı yoğunluğu ile orant ı lıdı r.

(6.118)

ifadesinin hacim integralinin elektromanyetik momentum olarak tanınmas ı nı tamamlamak ve (6.116)'yı momentumun korunumu yasas ı olarak kurmak için, sağdaki hacim integralini, momentum akışı diyebileceğ imiz bir niceliğin dik bileş eninin bir yüzey integrali haline çevirmeliyiz. Kartezyen koordinatlar xe,( a:= 1, 2, 3) ile gösterilsin. (6.116)'daki integrant ın elektrik parças ını n 0(= 1 bileşeni aç ı k olarak

E 'bE2 'bE3 'E2 ?El

[ ..E.( -̀U''„ -E'> )--EX(..\xE)>)] = E + — + — ) - E-,(— - — ) ı ı ı 2 3 ?xı ?x2

+ E ( ) 3 x3

"x1

(E2 ) + (E E ) + "?1 --- (E Eı 3 ) (E2 E2 E2 )

>c ı ı ')< 2 ı 2 *)< 3 2 ı 2 3

dir. Bu ifade ociyı ncı bileş enin

- "E' x=Z:-.a--(E E - ) x (23 2 o< f3 o< (3 (3 (6.119)

316

olarak yazı labileceğ ini ve ikinci mertebeden bir tensörün sa ğ yana göre ı raksamas ı biçiminde olduğunu söyler. Dolayı sıyla Ta< (3 Maxwell gerilim tensörünü

Te< (3

= E + B B(3 7 - 1 (E' . + S„1"3 (6.120)

LıTt L « °'

şeklinde tanımlayıp, (6.116) denklemini bileş enli olarak

dt x (Pmek Palan) Ix jr T.< d3x d -›

p v (6.121)

biçiminde yazabiliriz. Ş imdi de hacim integraline ı raksama teoremini uygulay ıp

I 37). dt ""mek Palan'« To<f3 np (6.122)

bağı ntı sını buluruz; burada n birim vektörü, S kapal ı yüzeyine dik ve dış a doğrudur. Eğer (6.122) bağı ntı sı momentumun korunu-munu anlat ıyorsa, o zaman "..T.,<(3 n (3 açık olarak S üzerindeki birim yüzeyden V hacmine giren momentum ak ışı nın ocbileş enidir. Baş ka bir deyiş le, '1',,, (3n13 , S yüzeyinden geçirilen ve V içinde-ki parçac ı kların ve alanlar ın bileş ik sistemine etkiyen kuvve-tin birim yüzeye dü ş en parças ıdır. Dolayı s ı yla elektromanyetik alanları n içinde bulunan cisimlere etkiyen kuvvetleri hesapla-mak için (6.122) denklemi kullan ı labilir. Bu amaçla cisimleri bir S s ı nı r yüzeyiyle kapatmak ve (6.122)'nin sağ yanı uyarınca elektromanyetik kuvveti toplamak gerekir.

Parçacıklardan ve alanlardan oluşan birleş ik sistemin açısal momentumunun korunumu da, enerji ve çizgisel momentumda izlenen yoldan türetilebilir. Bu, öğrenciye bir problem olarak bırakı lmış tı r (bak: Problem 6.11).

6.9- Makroskobik Ortamlar İçin Korunan Yasaları

Bir önceki kesimde Poynting teoremi makroskobik Maxwell denklemleri kullan ı larak türetilmi ş ; fakat momentumun korunumu ve Maxwell gerilim tensörü yaln ı zca mikroskobik denklemler için tartışı lmış t ı . Elektromagnetik ve mekanik diye ele ald ığı -mı z ş eyler bir dereceye kadar keyfi oldu ğundan, yoğun madde

nd halie u elektromagnetik enerji yoğunluğunu, -S4' enerji ak ışı - halinde, g momentum ak ışı nı ve Tacis gerilim tensörünü tanımlarken

büyük bir titizlik gösterilmelidir. Bu sorun, birçok ara ş t ı rı -

4Trc

-g> = 1 -> --' 1 2 (E x H = S (6.125)

317

cı yı yı llarca uğ raş t ı rmış t ır. Tarihsel öyküler Pauli ve de Groot'da bulunabilir. Burada biz birkaç gözlemle yetineceğ iz.

Enerjiye olduğu kadar, momentumun korunumuna da makroskobik Maxwell denklemlerini dürüstçe uygularsan ı z, daha çok Minkows-ki'nin(1908) ad ı yla an ı lan sonuçları (aslı nda bunları n baz ı ları daha önce başkaları nca önerilmi ş ti) elde edersiniz. Bu sonuç- lar, daha önce u ve S için bulduğumuz (6.106) ve (6.109) ifadeleriyle momentum yoğunluğu ve gerilim tensörü için ç ı kan

-> 1 -> g = 4nc (D x B) (6.123)

T = ED +HB - (...131-1-3'.11)(50( j (6.124) °((3 47z c< c4 2

ifadeleridir. Ortam ı n çizgisel olduğu varsayı l ı r; fakat izotro-pik olmas ı gerekmez. İ zotropik olmayan ortamlar için gerilim tensörünün simetrik olmad ığı na dikkat ediniz. Bu simetri eksikliğ i birçok fizikçiyi rahats ı z etmiş tir; (6.124) ifadesi-ni, simetrik yap ı lmış bir ifadeyle değ iş tirenlerin başı nda Hertz ve Abraham gelmektedir. Deneysel testler düşünüldüğü kadar kolay gerçekle ş tirilemez. Brevik* Tec p'nı n çeş itli biçim-lerini ayr ıntı l ı olarak tart ış makta ve simetrik olmayan Min-kowski ifadesinin yeğ lenmesi sonucuna varmaktadı r.

için g ı çı n elde edilmiş olan (6.123)Minkowski ifadesi, genel-likle elektromanyetik momentum yoğunluğu olarak kabul edilemez gibi görülmektedir. Tüm araş tırı c ı lar

tanı m ında birleşmektedirler. Bu sonuç, madde ve alanlardan oluş an sistemin istatistik mekanik çerçevesi içinde ele al ı nı-şı ndan çı kmaktad ı r; böyle bir sistemde elektromanyetik nicelik-ler, birleş ik sistem için olan nicelikler ile ayn ı T denge sıcaklığı nda ve? yoğunluğunda fakat sıfır alanlı madde sistemi nicelikleri aras ındaki fark olarak tanımlanır. Bu tanım uyarınca, momentum ve enerji. akw yoğunluklar ı (6.125) ve (6.109) ile verilir. Oysa ki D =£E ve l = olan çizgisel ve izotropik bir ortam için iç enerjinin elektromanyetik parças ı**

* I. Brevik, Dankse Videns. Sels. Mat.-fys.Medd. 37, No. 11 and No. 13 (1970)

** Bak: de Groot, Kesim 13 ya da Landau and Lifshitz, Electrodynamics of Continuous Media, Kesim 10, 15, 30, 34.

318

u _ 1 kE2 [E + T(.) + 82 L,,A+81t -6T ? (6.126)

elektromanyetik gerilim tensörü ise

lc 2 T —1 fEE E + ',AH H - -a (E-9(.0-) )+H2 (m-p(?12-) )]r. ocf3 = p p 2 an

- 5;. T T

(6.127)

dir. Bu ifadeler, ancak E. ve p'nün s ıcakl ık ve yoğunluktan bağı ms ı z olduğu durumda (ki bu fiziksel olmayan bir durumdur) u ve To(13 1 nı n Minkowski ifadelerine indirgenirler.

Elektromanyetik alanlar içinde yo ğun madde bulunmas ı halinde, enerji ve momentum dengesi konusunun çok karma şı k olduğu aç ı ktı r. Daha fazla tart ış ma için, okuyucuya Landau ve lifshitz'i ve Stratton'un 2. Bölümünü sal ık veririz.

6.10- Harmonik Alanlar İçin Poynting Teoremi, İmpedans ve Admitans' ın Alan Tanımları*

Birçok uygulamada, hatta sistemin boyutunun örne ğin bir rezonans anteni için boş uzay dalgaboyu basamağı nda olduğu durumlarda bile, iki-uçlu çizgisel bir şebekenin direnci ve reaktans ı gibi blok devre kavramlar ı ortaya ç ıkar. Dolayı sıyla alan karvramlarına dayanan genel bir tan ıma sahip olmak yarar-l ıdı r. Harmonik zaman değ iş imli alanlar için Poynting teoremin ele alarak buna ulaş abiliriz. Tüm alan ve kaynakların e-1154 gibi bir zaman bağ lı lığı na sahip olduklar ı nı varsayal ım; bu durumda

t > = Re E''(x) e-i1A7t11 [7_>,..+, -. ›* ()eiwt] = E(x) e

(6.128) yazarı z. E(x) alanı genelde karmal oltl,p, yere göre değ iş en bir büyüklüğe ve faza sahiptir. :P',t) . E(',t) gibi çarp ım ifade-leri için şunu yazabiliriz:

ı . 1 iW t 4 'P iWt 1:4 iW t 4* iW t] J(x,t).b(x,t) = J(x) e +* J (x)e . E(x)e +E (5)e

* Su kesimin i ş leni ş i Fano, Chu and Adler 'in Kesim 8.2 ve 8 .3'ündekine para-leldir. Okuyucu, sözü edilen bu kitapta blok devre ve alan kavramlar ı ara-s ı ndaki ili ş ki indüktörlerdeki rastgele kapasitans örnekleri, v.s. üzerine daha fazla bilgi bulabilir. Adlar, Chu ve Fano'nun ilk iki bölümüne de bak ı n ı z.

319

1 =-2- Re [:«7* (>1). -E(>t) + E's. (,-?) e-21.1'1-1 (6.129)

Buna göre, çarpımların zaman ortalamas ı olarak, bir karmal nicelik ile diğerinin karmal eş leniğinin gerçel kı smın ı n yarı s ı nı alabiliriz.

Harmonik alanlar için Maxwell denklemleri

-4 V . B = O

-4 -Ş. V . D = 4-rcf,

-4 -Ş - VxE-i —

c B = 0

-4. . <4.) 4-rt VxH+ ı D = J c c (6.130)

haline gelir; burada tüm nicelikler, (6.128)'in sa ğ yan ı uyarınca, X''in karmal fonksiyonlar ıdı r. (6.103)yerine

ı .Ed

3x

2 V

hacim integralini ele al ı r ı z; bunun gerçel kı smı , V hacmi içindeki alanlar tarafından yapı lan iş in zaman-ortalamal ı hı z ı nı verir. (6.103)°den (6.107)'ye kadar olan paralel basamaklardan geçerek şunu buluruz:

1 5 2r d3x = c ( v x -H* -i d3x 2 8-K) V V

c jr[ _. 4* -49K

£3.T -V EX İ1 ) - ( E . D - B . 1'111 d3x

Şimdi karmal Poynting vektörünü

c -4* S = (E x H )

ve harmonik elektrik ve manyetik enerji yoğunluklar ını

w = w = 0--' 3 e 167c m 16Tt

(6.131)

(6.132)

(6.133)

olarak tanımlayal ım. Böylece (6.131) bağı ntı sı

2 . 7d3x + 2iu..j(we - wm )d3x +5 Fida = 0 (6.134)

V V

ı v 2 S

Re(Y . E) d3x +I- Re( . -r->1.) da = 0

320

biçiminde yaz ı labilir. Bu (6.107)'rin harmonik alanlar halindeki benzeridir. Karmal bir denklemdir; gerçel kı smı zaman-ortalama-11 nicelikler için enerjinin korunumunu verir. Sanal k ı smı ise reaktif ya da depolanmış enerji ile onun değ iş imli akışı nı birbirine bağ lar. Kayı ps ı z dielektrikli ve mükemmel iletkenli sistemlerde olduğu gibi, w ve w enerji yoğunlukları gerçel hacim integrallerine sahipseler, ( rg.134)'ün gerçel k ı smı

dı r ve şunu gösterir: V içindeki kaynaklar üzerine alanlar taraf ından yapı lan iş in kararl ı -durum zaman-ortalamal ı h ı zı , S sını r yüzeyinden V hacmi içine giren ortalama güç ak ışı na (ReS'nin dik bileşeninden hesaplanacak) e ş ittir. Bu, u enerji yoğunluğunun bir kararl ı kı smı ve bir de harmonik olarak dalgalanan k ı smı bulunmas ı halinde, Poynting teoreminin daha önceki biçiminden (yani 6.107'den) hesaplanabilecek olan bağı nt ı nın ta kendisidir. Sistemin bileş enlerindeki kay ıplar nedeniyle, (6.134)'deki ikinci terim bu kayb ı hesaba katacak bir gerçel kı sma sahiptir.

(6.134)'deki karmal Poynting teoremi, genel, iki-giriş li, çizgisel va pasif bir elektromanyetik sistemin giri ş impedans ı -nı tanımlamak için kullan ı labilir. Şekil 6.6'da görüldüğü gibi, S s ı nır yüzeyiyle çevrilmiş V hacmi içinde bulunan ve yalnı zca giriş uçları dış arı çı kan sistemi dü şünelim. Karmal harmonik giriş ak ımı ve gerilimi Ii ve Vi ise, karmal güç

giriş i 1 — I-* V2'dir. Bunu Poynting vektörü cinsinden yazabilmek 2 2. için, (6.134) bağı ntı s ını S'nin dışı ndaki tüm uzaya uygula- rı z. Böylece şunu buluruz:

1

2 I.ı V. = - n da (6.135)

Burada -r'ş birim vektörü, Şekil 6.6'da görüldüğü gibi, dış a doğruyönelmiş tirvegiri. ş güÇakışı nınS.yüzeyine (alt ş ekildeki eş -eksenli kablonun kesiti)

321

V4,

Şekil 6.6- Keyfi, iki-girişli, çizgisel, pasif elektro-Manyetik sistemlerin şematik diyagramları . S yüzeyi sistemi tüm olarak sarmaktadır; yalnızca giriş uçları dış arı çıkmaktadır. Bu uçlarda harmonik giri ş akımı ve gerilimi LiveWolup, giriş impedansı Z ise Vi = ZIi olarak tanımlanmaktadır. Üstteki diyag- ram işinin kayıplarını n önemsenmediği düşük frekanslara uygulanır; eş-eksenli giriş kablosuna sahip alttaki diyagram ise ışı nı n direnmelerinin tartışı lmasına izin verir.

s ı nı rlandığı varsayı lmış t ı r. Şimdi de (6.134) bağı ntı sı S kapal ı yüzeyiyle çevrili V hacmi için ele al ınırsa, (6.135)'in sağ yan ı , V hacmi içindeki alanlar üzerinden olan integraller cinsinden yaz ı labilir:

322

1 I 1 1-->J* • E 'P 3 I. V . ı - d x + 2iwl(w -w)d3x + da

2 ı - e m s -S. (6.136)

Buradaki yüzey integrali, S. giriş yüzeyi dışı ndaki S yüzeyini geçerek V hacminden d ış arı l akan gücü gösterir. (S-S.) yüzeyi sonsuza götürüldüğünde, bu integral gerçeldir ve kaçan ışı nımı gösterir (bak: Bölüm 9). Düşük frekanslarda bu önemsenmeyecek kadar azdır. 0 zaman S. ile S aras ında bir ayırım yapmak gerekmez ve Şekil 6.6'daki üst diyagram i ş imizi görür.

Giriş impedans ı Z = R - iX (elektrik mühendisleri,tunu Z= R + jX olarak okuyun!), V. = Z İ . tanımı yla (6.136)'dan bulunur. Gerçel ve sanal kı sımları lş öyl ir:

R = 1 ,fRe539 . "E"'d 3x + n da + 40J İmj (̂wm-wd

It r V S-S. V

(6.137)

X - 1 4(kıRe m_we ) d3x 4mi- J J. - c13 x (6.138)

I ı İ .

İ 12

V V

(6.137) ve (6.138)'i yazarken, S'den d ış arı geçen güç akışı nın gerçel olduğunu varsayd ı k. Böylece (6.137)'deki ikinci terim, yüksek frekanslarda önem kazanan " ışı nım direnci" dir. Dü şük frekanslarda, tek önemli kay ıp kaynağı nın Ohmik kay ıplar olduğu sistemlerde, bu ifadeler

, R 1 cr- Ei a3 xıı ii 1‘.. v

X It. ı

4(.02 j- (wm we ) d

3x v

(6.139)

(6.140)

ş ekline basitleş irler. Burada or' gerçel iletkenliktir; (6.133) wm ve we enerji yoğunlukları da temelde tüm hacim üzerinde . gerçeldı r. Açı kça görüldüğü gibi, direnç, devredeki Ohmik ı s ı kaybı düşüncesinden beklenen değ erdir. Benzer olarak, reaktans da akla yakı n bir biçime sahiptir. Büyük bir indüktans halinde olduğu gibi, eğer depolanan manyetik enerji baskı nsa, reaktans pozitif olur v.s... Indüktanslar (X = WL) ve kapasitanslar (X = -1/WC) için düşük frekans reaktans ı nın farkl ı frekans bağ lı -

323

lı kları , bir yandan L'nin ak ım ve gerilim cinsinden olan tanı -mına (V = L dI/dt) ve di ğer yandan C'nin yük ve gerilim cinsinden olan tan ımına (V = Q/C köklerini uzat ır. Karmal Y admitans ını n iletirliğ i ve al ı nırlığı için (6.139) ve (6.140) ifadelerine eşdeğer sonuçların türetilmesi gibi baz ı basit örneklerin iş leni ş i, bölüm sonundaki problemlere bı rakı lmış tı r.

6.11- Elektromanyetik Alanların ve Kaynakların Dönmeler, Uzaysal Yansımalar ve Zaman Terslenmesi Altındaki Dönüşüm Özellikleri

Birbirleriyle ili şkili fiziksel niceliklerin belirli türden koordinat dönüşümleri alt ında uyumlu dönüşüm özellikle-rine sahip olmalar ı gerçeğ i öylesine benimsenmi ş tir ki, bağı n-tı lar biçimine getirilebilen bu tür gereksinimlerin ve s ı nı rla-maların önemi kimi kez unutulmaktad ır. Bu nedenle elektromanye-tik niceliklerin, dönmeler, uzaysal yans ımalar ve zaman ters-lenmesi altındaki dönüşüm özelliklerini aç ık açı k tartış mak yararl ı olacakt ı r. Bu kavramlar görünüm-bilimsel yoldan kurulan bağı ntı ları sınırlamada hemen uygulama alan ı bulurlar; burada da manyetik tek-kutup probleminin tart ışı lacağı gelecek kesimde kullan ı lacaklard ı r.

Okuyucunun, uzay ve zaman koordinatlar ının dönüşümlerini ve bunları n genel korunum yasalar ıyla olan ilişkilerini klasik mekanikten bildiğ i vasayı lmaktad ı r (örneğ in Goldstein'e bakı -nı z).Burada yalnı zca belli baş l ı sonuçlar ın bir özeti verile-cektir.

Dönmeler

Üç boyutta bir dönme, bir noktan ın koordinatlar ı üzerine yapı lmış , koordinatlar ı n karelerinin toplamını değ işmez bı rakan çizgisel bir dönüşümdür. Bu tür bir dönüşüme dik dönüşüm adı verilir. Dönüşmüş x'0( koordinatlar ı , ilk x o< koordinatları cinsinden

x' = Z a x oc exp P

(6.141)

biçiminde yaz ı l ı r. (x4 ') 2 = (x-. )2 olmas ı koşulu, a" gerçel

dönüşüm katsayı ları nı birbirlerine dik olmaya s ını rlar:

(6.142) aix (3 aoos = >(3r

Ters dönüşüm (a-1)c(3 = a( 'dı r ve (o) matrisinin determinant ı -

o(

324

nın karesi bire eş ittir. det (a) = +1 değeri, ilk durumdan sonsuz küçük basamaklar ı n ard-arda uygulanmas ı yla elde edilebi-len bir has dönmeye kar şı gelir; oysa ki det(a) = -1 de ğeri, has olmayan bir dönmeyi, yani bir yans ıma arta bir dönmeyi belirler.

Fiziksel nicelikler, dönmeler alt ındaki dönüşüm biçimlerine göre, çeş itli mertebelerden dönmesel tensörler olarak s ını flan-dı rı l ırlar. t koordinatlar ı , x. hı zları , P'. momentumlar ı (6.141) temel' dönü şüm yasas ı uyarınca dönüşen bileş enlere sahiptirler ve v ve birir

x ızi mertebeden tensörler, ya da vektörler-

dir. x . , ya da . p, gibi iki vektörün skaler çarp ımı 1. dönmeler a1't ında degış mezair; dolayı s ıyla bunlar s ı f ı rı ncı mertebeden tensörler, ya da skalerlerdir.

B' = :aa. y a s B ys (6.143) ocp y,s oc

uyarınca dönüşen niceliklerin kümelerine ikinci mertebeden tensörler, ya da genel olarak tensörler denir. Maxwell'in gerilim tensörü bu türden bir nicelikler kümesidir. Daha yüksek mertebeden tensör dönü şümleri de benzer biçimde tan ımla-nı r.

Elektromanyetik alanlar ı ve diğer fiziksel nicelikleri ele aldığı mı zda, koordinatları n ve belki de diğer kinetik değ iş ken - lerin bir ya da daha fazla fonksiyonuyla uğraşı rı z. 0 zaman dönmenin "etken" ya da "edilgen" görünümünü seçme durumu ortaya çı kar. Biz "etken" görünümü benimseyeceğ iz-bu görünümde koordinat eksenleri sabit varsay ı lı r ve fiziksel sistemin bir dönmeye uğradığı düşünülür. Buna göre, örne ğ in, baş langıçta x 1 ve x2 koordinatl ı yüklü iki parçac ı ktan oluş an bir sistem, bir dönme altında öylesine dönü şür ki artık parçacı kları n koordi-natlar ı , Şekil 6.7'de görüldüğü gibi ve -Xl› 'dür. Her bir koordinat vektörünün bile şenleri (6.14) uyar ınca dönüşür; fakat elektrostatik potansiyel de ğ iş mez kalı r; çünkü potansiyel yalnı zca iki nokta2 aras ındaki R = 1 -X!' -7(1'2 j uzakl ığı nın bir fonksiyonudur ve R vektörlerin skaler l çarpımlarının toplamı olup dönmeler alt ında değ işmezdir. Demek ki elektrostatik potansiyel, dönmeler alt ı nda skaler için bir örnek oluş turmak-tadı r. Genel olarak,topluca x. ile gösterilen çeş itli koordi - natları n (hı z ve momentum gibi koordinatlar bile buna eklenebi-lir) fonksiyonu olan bir .15 fiziksel niceli ği, sistemin ti-=2; gibi bir dönmesi sonucunda değ işmez kal ıyorsa, yani

(6.144)

ise, niceliği dönmeler alt ında bir skaler fonksiyondur.

325

0

Şekil 6.7- İki yüklü bir sistemin "etken" dönmesi.

Benzer olarak, eğ er Vu o(.= 1,2,3) gibi üç tane fiziksel nicelikten oluş an bir cürde, sistemin bir dönmesi alt ı nda

v' (x'ı ) = a V (.) tw;ç ı (6.145)

uyarınca dönüşüyorsa, o zaman V« bir vektörün bileş enlerini oluş turur. Daha yüksek mertebeli tensörler de benzer biçimde tanımlan ırlar.

Diferansiyel vektör i ş lemcileri, dönmeler alt ı nda belirli dönüşüm özelliklerine sahiptirler. Örneğin, bir skalerin gradyeni (Vi) bir vektör gibi ve bir vektöri ı ı raksamas ı ( -N7) bir skaler gibi dönüşür. Laplasiyen iş lemi V de, bir fonksiyon ya da fonksiyonlar cümlesine uyguland ığı nda, onların dönmesel dönüşüm özelliklerini değ iş tirmez anlam ında bir skaler i ş lemci-dir.

İ ki vektörün

A =BxC (6.146)

326

vektörel çarp ımına özel bir dikkat harcanmal ıdır. Bu vektörel yazı m bileş enler cinsinden şu demektir:

A =

Burada ofs= 1, (3. 2, '6" = 3 ve devirsel permütasyonlari için E oay = = + 1, diğ er permütasyonlar için E.,,,"= -1 1 dir; iki ya da daha fazla indis aynı ise o eleman s ı fırdır. Sağ yanda iki vektörün bulunmas ı nedeniyle, vektörel çarp ım, izsiz karşı t -si - metrik ikinci merteteden bir tensörün baz ı niteliklerine sahiptir. Böyle bir tensörün yaln ı zca üç bağı msı z bileş eni bulunduğundan, onu bir vektör gibi görürüz. Çünkü ş imdlyedek üç nitelikli bir cümlenin dönmeler alt ında (6.141) uyar ınca dönüş tüğünü gördük. Gerçekte (6.146) vektörel çarp ımı için dönüşüm kuralı şudur:

A' = det(a) 7.:_a B«A(3

(6.147) o<

' Şimdiyedek ele ald ığı mı z tek tür dönme olan has dönmeler için det(a)=+l 'dir; dolay ı s ıyla (6.147) dönüşümü, (6.141)'deki temel koordinat dönüşümüyle uyum halindedir. Has dönmeler alt ı nda, vektörel çarp ım bir vektör gibi dönüşür.

Uzaysal Yansıma ya da Terslenme

Bir düzleme göre yans ıma, tüm noktalar ı n koordinat vektör-lerinin düzleme paralel bile şenlerini değ iş tirmeden bırakı p dik bile ş enlerinin i ş aretlerini değ iş tirmeye karşı gelmektedir. Öyleyse x-y düzlemine göre yansıma için x. = (x. y. =

1 (x. ' y. -z.)'dir. Uzaysal terslenme ise, her kojşditıat' vektö1ü- nün tum bileşenlerinin baş langıca göre yans ı tı lmas ı demektir: x terslenme ya da yans ıma bir kesikli ı donüşüm 1 olup, ı ki koordinattan daha fazlas ı için, genel olarak has dönmelerle olu ş turulamaz; det(a) = -1 haline kar şı gelir ve yal ın terslenme iş lemi, a «0 = -6 olmak üzere (6.141) ile verilir. Buradan vektörlerin uzaysal terslenmeler alt ı nda işaret değ iş tirdikleri, oysa ki (6.147) uyar ınca davranan vektörel çarp ımların iş aret değ iş tirmedikleri ortaya ç ı kar. Böylece, genel dönmeler alt ı nda, vektörlerin iki türünü birbi-rinden ay ı rdetmek zorunday ı z:

Kutupsal vektörler (ya da sadece vektörler): (6.145) warı nca ffirwşenve = - 3ti altında

.4. A,

V V = -V

gibi davranan niceliklerdir.

327

Eksensel vektörler ya da Sözdevektörler: (6.147) uyar ı nca dönüşen ve = -ç alt ı nda

-> A -->A 1 = A

gibi davranan niceliklerdir. Dönmeler alt ındaki skalerler için de benzer ayı rımlar yapı lmal ıdı r. Uzaysal terslenmeler alt ında iş aret değ iş tirmeyen niceliklere skaler ve i ş aret değiş tiren-lere sözdeskaler diyeceğ iz. â,b ve -Cinin üçü de kutupsal vektörler olmak üzere, x C)) üçlü skaler çarp ımı bir sözdeskaler nicelik örne ğ idir (Bu arada al ışı lmış gösterimin tehlikeli bir yan ını görüyoruz. Bir vektörü â biçiminde yazmak, bize onun kutupsal vektör mü, yoksa eksensel vektör mü olduğunu söyleyemiyor). Daha yüksek mertebeli tensörler kutupsal ya da eksensel vektörlerin bile ş enlerinin çarp ımlarını alarak kuru-lurlarsa, uzaysal terslenme alt ındaki dönüşüm özellikleri hemen çı karı labilir. N'yinci mertebeden bir tensör uzaysal terslenme alt ında (-1) çarpan ıyla dönüşüyorsa, wia gerçek tensör ya da sadece tensör diyeceğiz; yok eğer (-1) 1 çarpa-nıyla dönüşüyorsa, ona N'yinci mertebeden bir sözdetensör adını vereceğ iz.

Zaman Terslenmesi

Fiziğ in temel yasalar ı , en az ından klasik düzeyde, zamanın yönüne göre değ işmezdir. Bu, denklemlerin t'ye göre çift olduğu anlamına gelmez; fakat t = -t zaman terslenmesi dönüşünü altında ilişkili fiziksel niceliklerin uyumlu biçimde dönüşerek sözkonusu denklemin biçimini koruduğunu söyler. Dolayı sıyla U(X>) dış potansiyeli içinde hareket eden P momen-tumlu ve 3tkonumlu bir parçac ı k için Newton'un

d13 _ V- 11(3t) dt

hareket denklemi, zaman terslenmesi alt ında, x = x ve koşuluyla, değ işmezdir. Momentumdaki i ş aret değ iş ik-

liği, momentumun v = d/dt h ı zına olan bağ lı lığı nedeniyle kolayca sezilmektedir. Newton yasalar ının zaman terslenmesi alt ı ndaki değ işmezliği bizi şu sonuca götürür: Bir parçac ı klar sistemi verilen bir ilk şekillenimden çeşitli kuvvetlerin etkisiyle belirli bir son şekillenime geliş iyorsa; sistemin olas ı bir hareket durumu da, zamanca terslenmi ş son ş ekilleni - min (tüm konumlar ayni, fakat h ı zlar ters çevrilmi ş ) tersine çevrilmiş yol üzerinden zamanca terslenmi ş ilk şekillenime gelişmesidir.

328

Çeş itli mekaniksel niceliklerin, dönmeler, uzaysal terslen-meler ve zaman terslenmesi alt ı ndaki dönüşüm özellikleri Tablo 6.1'in ilk kı sm ı nda özetlenmektedir.

Çeş itli Fiziksel Niceliklerin Dönmeler, Uzaysal Terslemyeler ve Zaman

Terslenmesi Alt ı ndaki Dönüşüm Özellikleri n

Fiziksel Nicelik nınft Uzaysal,Ters- (TensöNn mertebesi) lenme (isim)

Zaman Ters-lenmesi

I. Mekaniksel

Koordinat

H ı z

Momentum

Aç ı sal Momentum L=x x p

Kuvvet

Kuvvet Momenti N=x x

Kinetik Enerji p 2 /2m

Potansiyel Enerji U(7)

Il. Elektromanyetik

Yük yoğ unlu ğ u

Ak ı m yo ğ unlu ğ u

?

Elektrik alan ı Kutuplanma

Yerde ğ i ş tirme D , Manyetik indüksiyon

M ı knat ı slanma

Manyetik alan H Jr Poynting vektörü S= (W) Maxwell gerilim

tensörü T ap

Tek(vektör)

Çift

Tek(Vektör)

Tek

Tek(vektör)

Tek

Çift(sözdevektör)

Tek

Tek(vektör)

Çift

Çift(sözdevektör)

Çift

0

Çift(skaler)

Çift

0

Çift(skaler)

Çift

0

Çift(Skaler)

Çift

Tek(vektör)

Tek

1

Tek(vektör)

Çift

1

Çift(sözdevektör)

Tek

1

Tek(vektör)

Tek

2

Çift(tensör)

Çift

a) x ve tsnin fonksiyonlar ı olan nicelikler için uzay terslenmesi ya da zaman

terslenmesi alt ı nda çiftlik ya da teklikten ne demek istendi ğ i konusunda çok

aç ı k olmak gerekir. Örne ğ in, manyetik indüksiyon öyledir ki uzay terslenmesi

alt ı nda ES(7,t)---şl3). (t).-+(-3,t) iken, zaman terslenmesi alt ı nda -I3('",t)

T(;;›,t)=-E3()7,-t)idir.

329

Elektromanyetik Nicelikler

Mekanik yasalar ı gibi, elektromanyetik olayları yöneten denklemlerin biçimlerinin de dönmeler, uzaysal yans ımalar ve zaman terslenmesi alt ında değ işmez kaldı kları gerçektir (yani bilinen tüm deneysel olgularla uyumludur). Bu, değ iş ik elektro-manyetik niceliklerin üstteki iş lemler altında iyi-tanıml ı dönüşüm özelliklerine sahip olduklar ı nı ifade eder. Elektrik yükünün Galile ve Lorentz dönüşümleri alt ı nda değ işmez kaldığı ve dönmeler alt ında bir skaler olduğu deneysel bir gerçektir. Yükün uzaysal yans ımalar ve üstelik zaman terslenmesi alt ında da bir skaler olduğunu varsaymak doğal, yararl ı ve yerindedir. Burada sorun şudur: Kuvvet gibi fiziksel olarak ölçülebilen nicelikler yük ve alanın çarpımı nı içerirler. Dolayı sıyla E gibi, B gibi alanlara yüklenen dönüşüm özellikleri yük için seçilen anlaşmaya bağ l ıdı r.

Bu üç dönüşüm altı nda da yük gerçek bir skaler say ı l ı rsa, fı yük yoğunluğu da bir gerçek skalerdir. Elektrik alanı birim yüke düşen kuvvet olduğuna göre, E'nin zamansal terslenme altında bile bir kutupsal vektör olduğunu görürüz. Bu, V . E = 47T9 Maxwell denkleminden de ç ıkar; çünkü her iki yan ayni biçimde dönüş melidir.

Faraday yasas ı nı temsil eden -ı -ı 1 "i}3 - 0 V x E +

c -at

Maxwell denkleminin ilk terimi, dönmeler ve uzaysal yans ıma altında bir sözdevektör gibi dönüşür ve zaman terslenmesi altında çifttir. Dolayı sıyla biçim değ işmezliğini korumak için, B manyetik indüksiyonunun zaman terslenmesi altında tek bir sözdevektör olmas ı gerekir.

-4 4 1 -6E -rt J V x B - 4 'at

biçimindeki Ampere-Maxwell denkleminin sol yan ının ise, zaman terslenmesi alt ında tek olan bir kutupsal vektör gibi dönüş ece-ğ i görülebilir. Bu, yük çarp ı hı z cinsinden olan tanımından da beklendiğ i gibi, J aklın yoğunluğunun zamansal terslenme altında tek bir kutupsal vektör olduğunu gösterir.

Mikroskobik alanlar ın ve kaynakların, dönmeler, uzaysal terslenme ve zaman terslenmesi alt ında iyi-tanımlı dönüşüm özelliklerine sahip olduklar ını gördük. Kesim 6.7'de makrosko-bik Maxwell denklemlerinin türetilmesi ve P',g'v.s'.'nin tan ımla-rı dikkate al ınırsa, Mr'nin üçünün de ayni biçimde dönü ş tük-

330

leri A, öyle) anlaşı l ı r. Elektromanyetik niceliklerin çeş itli dönü şüm özellikleri Tablo 6.1'in ikinci k ısmı nda özetlenmektedir.

Tablo 6.1'de s ıralanan simetri özellikleri hakk ı ndaki kanı tlar ın yararını örneklerle anlatmak amac ıyla, düzgün, sabit bir d ış g manyetik alan1 4.içinde bulunan izotropik, çizgisel ve kayı sı z bir ortamın P kutuplanmas ı nı belirleyen yerel bir birleş tirici bağı nt ı nın ol bilimsel yap ı sı nı ele alalım. Bu bağı nt ı , varsayım olarak, E elektrik alan ına göre birinci derecedendir; fakat g ' ın kuvvetleri cinsinden ikinci dereceye kadar bir açı lıma ge?eksinim duyar ı z. P kutupsal bir vektör ve zaman terslenmesi alt ında çift olduğundan, skaler katsayı larla çarp4lacak olan çe ş itli terimler aynı biçimde dönüşmelidirler. B 'a göre s ı fı rınc ı dereceden yalnı zca E vardır. B 'a göre c's ı fı r ıncı dereceden olupta E'yi çizgisel olarak iç&en olas ı terimler şunlardı r:

--> 2-> E

E x Bo

x Bo ' -at 2

x Bo' .. ,

Bunları n tümü hem dönmeler hem de uzaysal yans ımalarca izinli-dirler; fakat ancak içerisinde tek zaman türevini bulunduran terimler zaman terslenmesi alt ında uygun biçimde dönüşürler. Bo 'a göre ikinci dereceden olan terimler için olanaklar şunlar- d ı r:

. B )B ) -tı E

-> -> (B . B )E

o o o o ' o o --- t

Burada yaln ı zca 'nin s ı f ır ya da çift zaman türevli terimleri tüm gezeksinimleri sağ larlar. Dolayı sıyla kutuplanma için, sabit Bo manyetik alan ına göre ikinci mertebeye kadar do ğru olan en genel yerel (uzayda) ifade

x B + o 1-3->o o )E + • --Bo ) o + • •

(6.148)

d ı r; burada )ci 'ler gerçel katsayı lardır ve 'a göre çizgisel

olan terimler için tek zaman türevleri, g 9ın s ı fırıncı ve ılkinci kuvvetleri için çift zaman türevlerP gelmek koşuluyla E'nin daha yüksek zaman türevleri de ifadede yer alabilirler. Düşük frekanslarda hemen hemen tüm maddesel sistemlerin yanı tı elektriksel kuvvetler yoluylad ır. Buna bakarak daha gerçekçi ifade ş udur:

öE + "at

331

4 -> -> E -4 -> ->

,2E -4 -4 P ---- )<0E +.); x Bo + (Bo .Bo ) — + "X' (---

1 B )B (6.149) -at 2 3 o o

Burada B 'n ın her kuvveti için yaln ı zca en düşük mertebeli zaman td.evini açı kça yazdı k. Optik frekanslarda bu denklem, sabit bir manyetik alandaki izotropik ortama dalgalar ın jirotropik davran ışı nın anlaşı lmasına izin verir.

Bir başka örnek, Hall olay ı , problemlere birakı lmış tı r. Hem bu, hem de termogalvanomanyetik etkiler ve kat ı larda manyetik yapını n varl ığı Landau ve Lifshitz'de tart ışı lmakta-dı r.

6.12- Manyetik Tek-kutuplar Sorunu Üzerine

Ş imdiyedek (1975) manyetik yüklerin ya da tek-kutuplar ın varlığı konusunda hiç bir deneysel kan ı t bulunamamış tır; fakat daha çok Dirac' ın erken ve olağ anüstü parlak kuramsal düşünce- daha nedeniyle, ne zaman yüksek enerji fizi ğinde yeni bir

enerji bölgesi açı lsa, ya da ay taş ları gibi yeni bir madde kaynağı ele geçse, tek-kutupları n aranmas ı yeniden alevlenir. Aş ağı da kaba çizgileriyle verilen Dirac' ın düşüncesine göre, evrende bir manyetik tek-kutbun varl ığı , elektrik yükünün kesikli niteliğine bir açı klama getirebilir. Yükün kuantumlu oluşu fiziksel dünyan ın en derin gizlerinden biri oldu ğu için, Dirac' ın düşüncesi büyük bir çekicili ğe sahiptir. Kuramsal düşüncelerin tarihi ve 1968'e dek yap ı lan deneysel aramalar Amaldi'nin bir derleme makalesinde anlat ı lmaktadı r.t Daha sonraki çal ış malara değgin baz ı kaynaklar da bölümün sonunda yer almaktadı r.

Dirac' ı n savını incelemeğ e geçmeden önce, baz ı ön bilgiler rin verilmesi gerekir. Ortaya ç ıkan bir soru, parçac ı kların hem elektrik hem de manyetik yük ta şı yabileceklerini söylemeye olanak olup olmadığı dı r. Bir an için, J, ve 5; elektrik yoğun- P luklarına ek olarak, f' ve 3' gibi manyetik yük ve manyetik akım yoğunlukları nın var oldgiğunu kabul edelim. Bu durumda Maxwell denklemleri ş öyle olurdu:

Landau and Lifshitz, Electrodynamics of Continuous Media kitab ı n ı n 34. sayfas ı na ve 337. sayfas ı ndaki Problem 3te bak ı n ı z.

*w P.A.M.Dirac, Proc.Roy.Soc. A133, 60 (1931); Phys.Rev. 74, 817 (1948).

E.Amaldi, "On the Dirac Magnetic Poles", Old and New Problems in Elementary Particles kitab ı nda, editör: G.Puppi, Academic Press, New York (1968). P.G.H.Sandars, Contemporary Physics 7, 419 (1966) ve R.H.Corrigan, Nuovo Cimento 33, 633 (1965) 1 deki daha k ı saca derleme makalelere de bak ı n ı z.

332

-,,y. ..... -¥ -N• 1 "?,-1 , v . D = 4n iP e

V x H =

c -6 t + 4-rt 5

e c

_N,. ...4.. -a13` 41t --> V . B = 411% , -V x E = J

-bt + c m

(6.150)

Manyetik yoğunlukların, elektrik yoğunluklar gibi, ayni biçimde bir süreklilik denklemini gerçekledikleri varsay ı lır. Bu denklemlere bakarak, manyetik yük ve ak ımın varlığı , bizi gözlenebilir elektromanyetik sonuçlara götürebilir san ırı z. Bununlar beraber, aş ağı daki düalite dönüşümlerini ele alal ım:

-4. -4. E = E' cos' + H' sin , D = D' cos' + B' sin

4 Gerçel bir Ir ac ı s ı için, böyle bir dönü şüm, E x H, (E.D+ B. H) ikinci derece ifadelerini ve Maxwell'in Tad gerilim tensörü bileşenlerini değ işmez bı rakır. Eğ er kaynaklar da ayni biçimde, yani

--) ge ?"e cos ?' V +

, Je = Je cos' + J' sin -f

(6.152)

e

P = -9' cos + sin , "' Jm e = -J' sinir + J'cosir im

gibi dönüşürlerse, birkaç cebirsel i ş lemden sonra görülür ki (6.150)'deki genelleş tirilmi ş Maxwell denklemleri de ğ iş mez kal ı r; yani üslü kaynaklarla yaz ılan üslü alan (E', B',

denklemleri (6.150) denklemieriyle ayn ıdı rlar. Elektrodinamik denklemlerinin düalite dönü şümleri alt ı ndaki

değ iş mezliği, bir parçac ığı n elektrik yükü taşı yıp manyetik yük taşı madığı nı söylemenin bir anla şma i ş i olduğunu gösterir. Tek anlaml ı soru, tüm parçac ı kların aynı manyetik yük bölü elektrik yük oranına sahip olup olmadı klarıdır. Eğer aynı sözkonusu orana sahipseler, p = 0, ,7 = 0 olacak biçimde bir IT açı s ı seçip bir düalite dönûşümü yapabiliriz. Böylece bildi-ğ imiz Maxwell denklemlerine sahip oluruz.

Bir anlaşma yap ıp elektronun elektrik ve manyetik yüklerini q = -e, qm = 0 olarak seçersek, oi

zaman bilindiğ i gibi proton için çı n qe + = e ( ş imdiki hata s ı nı rı qe qe --( (elektron) + (proton)1 el 20 10- kadardır) ve lqm (nükleon)1 < 2 x 10

-24 e olur.

(6.151) ,

H = -E sin + H' cos' , B = -D' s in ' + B' cos

333

Protonun ya da nötronun manyetik yükü üzerine konan bu aşı rı küçük limit, doğrudan doğruya yerküresi yüzeyindeki ortalama manyetik alan ın 1 gauss'tan daha büyük olmamas ından çı kar. Varı lan sonuç, çok büyük bir kesiklikle şudur: Alışı lmış maddenin parçac ı kları yalnı zca elektrik yükü taşı rlar; ya da eşdeğer olarak, Onların tümü aynı manyetik bölü elektrik yükü oranı na sahiptirler. Di ğer karars ı z parçac ıklar için manyetik yük sorusu tam yanı tlanmamış tı r; fakat ş imdilik olumlu kan ı t da yoktur.

j, ve J 'nin donmeler, uzaysal yans ımalar ve zaman terslen-mesi Wlt ındâki dönüşüm özellikleri önemlidir. Al ış kın olduğumuz formül-asyonda ve "..»Bnin bilinen davranış ları yardımı yla, (6.150)'deki ikinci sı radan şu sonuçlara varırı z:

bir_şözdeskaler yoğunluk olup, zaman terslenmesi alt ında tektir ve J bir sözdevektör yoğunluk olup, zaman terslenmesi altında çiffitir. .5) 'nin hem uzay yans ıması hem de zaman ters-lenmesi alt ındaki msimetrileri pininkilere zıt olduğundan, elektrik ve manyetik yüklü bir parçac ığı n varl ığı , uzay yans ı -ması ile zaman terslenmesinin fizik yasaları için artı k geçerli simetriler olamayacaklar ı sonucunu gerekli kı lar. Kuşkusuz, bu simetri ilkelerinin temel parçac ıklar fiziği alanında tam olarak yürümedikleri bilinmektedir; fakat bu simetri bozulmala-rı nın aşı rı ölçüde küçük ve herhangi bir biçimde zayıf etkileş -melerle iliş kili olduklar ı görülmektedir. Gelecek ilerlemeler elektromanyetik, zayı f ve belki de kuvvetli etkile şmeleri birbirine bağ layabilir ve manyetik yük taşı yan parçac ıklardan uzay yans ımas ı ve zaman terslenmesi simetrilerinin bozulumu için bir araç olarak yararlan ı labilir. Tek-kutupların kanı tları varolmad ığı sürece, bu dediklerimiz spekülâsyondan öteye geçemez.

Manyetik tek-kutupları n varl ığı hakkı ndaki olumsuz kan ı tla-ra karşı n, gene de biz Dirac' ın ustaca önerisine dönelim. Dirac, bir manyetik tek-kutbun varl ığı halinde bir elektronun kuantum mekaniğ ini ele alarak, tutarl ı l ı k için

ge n

tıc 2 n = 0, 1, 2, . (6.153)

kuantumlama koşulunun gerekli olduğunu gösterdi; burada e elektronik yük, tı Planck sabiti bölü 2 .7r ve g tek-kutbun manye-tik yüküdür. Dolayısıyla bir tek-kuttun varlığı ndan, elektrik yükünün kesikli niteli ğ i ortaya çıkar. e'nin büyüklüğü belirle-nemez; ancak manyetik g yükü cinsinden bilinir. 2 Bu düşü?ce tersine çevrilebilir. Böylece ince yap ı sabitinin e - 13, olarak bilinen değeri yard ımı yla, manyetik "ince yapı " satifi

334

2 g n

2 tıc

( )= 137

n2

tıc 4 e2 4

olan g yüklü manyetik tek-kutuplar ın varlığı anlaşı lm ış olur. Bu tür tek kutuplar Dirac tek-kutuplar ı olarak bilinir. Bunla-rın bağlanma sabitleri çok büyük oldu ğundan, d.c. manyetik alanlarıyla maddeden sökülmeleri ve sonra da bulunmalar ı ilke olarak çok basittir. Örne ğ in, göreli bir Dirac tek-kutbunun madde içinden geçerken yitirdi ği enerji, Z = 137 n/2'li bir göreli ağı r çekirdeğ in yitirdiği enerjiyle yaklaşı k olarak aynıdı r. Tek-kutup, eğer durdurulursa, böyle bir çekirdekten ayı rdedilebilir; çünkü yolunun sonunda iyonlanmada bir art ış göstermeyecektir (Problem 13.8'e bak ını z).

6.13- Dirac kuantumlama Koşulunun Tartışı lması

Dirac' ı n (6.153) kuantumlama ko şulu, yarı -klasik düşünce-lerle açı klanabilir. Önce, e yüklü ve m kütleli bir parçac ığı n büyük vurma parametrelerinde, 9 manyetik yüklü durgun bir manyetik tek-kuttun alan ı taraf ı ndan sapt ı rı lmas ı nı ele alalım. Yeterince büyük vurma parametrelerinde, yüklü parçacığı n hareket durumundaki değ işmeyi, parçac ığı n sapmad ığı nı varsayı p kuvvetin itmesini (impuls) hesaplayarak belirtebiliriz. İş in geometrisi Ş ekil 6.8'de görülmektedir. Parçac ı k z-eksenine paralel olarak b vurma parametresi ve v h ı zıyla gslmekte ve üzerine tek-kuttun ışı nsal olarak yönelmi ş = manyetik alanı (6.113) Lorentz kuvveti uyar ı nca etkimektedir. Parçacığı n sapmadığı n ı varsayd ığı mı z yaklaşı klı kta, çarpış ma süresince etkiyen tek kuvvet, bir y-bileş enidir:

F . ev B . eg vb

Y c x c • (b2 + v2t2)3/2

Bu kuvvet tarafından geçirilen itme

25p = egvb

- dt 2eg

Y b2 + v2t2

)3/2

cb

(6.154)

(6.155)

dir. itme y doğrultusunda olduğundan, parçacı k Ş ekil 6.8 düzleminden dış arı ya, yani enlem yönünde sapt ı rı lı r. Çarpış may-la parçacığı n açı sal momentumunun değ iş eceğ i açı ktı r; kuvvetin merkezcil olmamas ı ışığı altında bu sonuçta ş aşı lacak bir yan yoktur. Bununla beraber aç ı sal momentumdaki değ işmenin büyüklü-ğü biraz ş aşı rt ıcıdır. Baş langıçta z bileş eni yoktu, fakat sonuçta vard ı r.

335

0

Şekil 6.8- Bir manyetik tek-kutbu büyük bir vurma parametresiyle geçen yüklü parçacık

Lz 'deki değ işme şudur:

ALz = b Ap

y 2eg (6.156)

Parçacığı n açısal momentumunun z-bileş enindeki değ işme, b vurma parametresinden ve yüklü parçac ığı n v h ı z ından bağı ms ı z-d ı r. Yaln ı zca eg çarp ımı na ve ışı k hı z ına bağ l ı olup, durgun bir tek-kutbu geçen yüklü bir parçac ık için, ne kadar uzaktan geçerse geçsin, evrensel bir de ğ erdir. Aç ı sal momentumdaki her türlü değ i ş menin 'rl' ı n tam katlar ı yla olmas ı gerektiğ ini varsa-yarsak, Dirac' ın (6.153) kuantumlama koşuluna ulaşı rı z.*

Bir manyetik tek-kutbu geçerken yüklü bir parçac ığı n açısal momentumunda ortaya ç ı kan (6.156) değ işiminin kendine özgü evrensel niteliğini anlayabilmek için, noktasal bir manyetik tek-kutbun varl ığı halinde, bir noktasal elektrik yükünün alanlar ında kapsanan aç ısal momentumu ele alalım. g tek-kutbu 3-<> = R de ve e yükü x = R 'de ise, tüm uzaydaki magnetik ve elektrik alanlar şunlard ı r: e

- (x - Re)

B-

▪

= g

x - E-

▪

= e r x \3

(6.157)

* Bu dü ş ünce esas olarak A.S.Goldhaber'a aittir: Phys.Rev.140, B1407 (1965).

336

. Le

aç ısal momentumu x -4. x g'nı n hacim integraliyle verilir; bu -

raam a -ğ (6.118)'deki elektromanyetik momentum yo ğunluğudur. Böylece

-L:em - 1 1 ;^'› x d3x 4Ttc

(6.158)

dir. Alanlar ın toplam momentumunun (ğ 'nin hacim integrali) s ı fı r olduğu fiziksel bakımdan akla yak ı ndır ve matematiksel olarak doğrulanabilir. Bunun anlam ı , L baş langı c ı n seçiminden bağı ms ı z demektir. Bu durumda, ş ekilem6.9'da görüldüğü gibi, manyetik ve elektrik yükler z-ekseni üzerine gelecek ve ba ş lan-gıca göre simetrik olacak biçimde koordinatlar ı seçmek uygun olur. İntegrasyon için silindirik koordinatlar ın yeğlenmesiyle, aç ı sal momentum aç ı k olarak

+o. 21T e3- pz(cos(Pe'l-sinfe) 2 1_,em

= ega dz Qdiı dcp

2Ttc -o. o o [(?2 + z2 + a

2)2-4a

2z13/2

haline gelir; burada iki yük aras ındaki uzakl ık 2a'd ı r. üzerinden al ınan integrasyonla x ve y bileş enleri s ı f ır olur ve sonuçta şu kal ı r:

+ to

L em

= e -4. ega 3 c dz

p3dp

1_(y2 + z2 + a)- 4a2 z2 ]3/2

337

Boyutsuz olan s = p/a, t = z/a de ğ iş kenlerinin ortaya atı lma-s ı yla da, bu ifade

3

em - ( eg ) 3 dt j sds

c o 1.(s 2 t2 1) 2 _4.L2] 3/2

haline gelir. Buna göre, elektromanyetik aç ısal momentum, manyetik ve elektrik yüklerin aras ındaki uzakl ıktan bağı ms ı z-dı r. Büyüklüğü de bir saf say ı çarpı eg/c'dir. Buradaki çift integral bilinen yollarla al ınabilir; diğeri l'dir. Dolayı sıyla alan aç ı sal momentumu

• e -> L

▪

▪

- c

e3 em (6.159)

dür. Elektrik yükünden manyetik yüke uzanan çizgi boyunca yönelmi ş tir ve yüklerin çarp ımı (Gauss birimleri cinsinden) bölü ışı k hı zına eşit büyüklüğe sahiptir. Ş imdi Şekil 6.8'deki çarpış ma olayını ve sistemin (yani parçacığı n ve elektromanye-tik alan ın) toplam açısal momentumunu düşünürsek, toplam açısal momentumun korunduğunu görürüz. Parçac ığı n açısal momentumundaki (6.156) değ iş imi', (6.159) elektromanyetik açısal momentumunda yönünün ters çevrilmesiyle meydana gelen değ iş im ile tam olarak dengelenir. Klasik ve kuantum mekaniksel saç ı lma probleminin sistemli bir biçimde tart ışı lma-sı , elektromanyetik açısal momentumla birlikte, Goldhaber tarafından verilmektedir (bak: sayfa 255'deki dip not).

Thwion'un (6.159) sonucu, Saha ve bağı ms ı z olarak Wilson taraf ından, Dirac' ın (6.153) koşulunu yarı-klasik yollarla türetmek için kullan ı ldı . Yalnı zca alanın .4açısal momentumu düşünüldüğünde n yerine n/2 elde etmek için, L 'nin yarım tam sayı l ı kuantumlamas ını varsaymak gerekir; ı dr.' ise

Bu sonuç ilk olarak J.J.Thomson taraf ı ndan, Elements of the Mathematical Theory of Electricity and Magnetims, Cambridge University Press, kitab ı -n ı n üçüncü (1904) ve daha sonraki bask ı lar ı n ı n 284'üncü kesiminde veril-mi ş tir. Kesim 284'deki dü ş ünce yolu bizimkinin tam tersidir. Thomson, aç ı sal momentumun korunumundan, Lorentz kuvvetinin e(7 x B)/c manyetik k ı sm ı n ı ç ı karmaktad ı r. M.N.Saha, Ind.J.Phys. 10, 141 (1936); Phys.Rev. 75, 1968 (1949).

• H.A.Wilson, Phys. Rey. 75, 309 (1949).

338

elektromanyetik alan için pek arzulanmayan bir varsay ı mdı r. Son olarak, Dirac' ın (6.153)'e yol açan ilk düşüncesinin

(1931) basitleş tirilmi ş bir tart ış mas ı nı verelim. Bir manyetik tek-kuttun varl ığı nda bir elektronun kuantum mekani ğ ini tart ı -şı rken, elektromanyetik etkile şmelerin formalizmini olabildi-ğ ince az değ iş tirmek ve örneğin etkileş me Hamiltoniyenini

Hetk

ecT2 e -› -4. p . A

MC

standart biçiminde tutmak arzulanı r. burada 15ve A, dış kaynak-ların skaler ve vektör potansiyelleridir. Bu dedi ğ imizi bir manyetik yüke uygulayabilmek için, şu kurnazl ığı yapmak gere-kir. g manyetik yükü, Ş ekil 6.10'da görüldüğü gibi, uç uca eklenmiş bir çift-kutuplar zincirinin, ya da s ı kıca sar ı lm ış bir selenoidin bir ucu olarak düşünülür; diğer ucu sonsuza uzanmış t ı r. Artı k tek-kutup ve ona bağ l ı ipliğ i (çift-kutuplar zincirine ya da selenoide iplik ad ı nı takı yoruz) az çok doğ al olarak al ışı lmış elektromanyetik etkile şmeler çerçevesi içinde iş leme sokulabilir; örne ğ in art ık B = V x 7?' v.s. kullanabilir. (5 .55)'den görüleceğ i gibi, -"X'' noktas ındaki bir drı."1 manyetik çift-kutup elemanı nın doğurduğu elemansal dA vektör potansiyeli şudur:

Şekil 6.10- Birinde bir çift-kutuplar zincirinin ve diğerinde s ıkıca sarı lmış bir selenoidin ucu olarak g manyetik yükünün iki gösteri-mi. Her ikisinin niplik"leri sonsuza uzanmaktadır

339

4 -4 (J- (x) = -dm x V( (6.160)

-

Öyleyse L çizgisi boyunca yerle şmiş bir çift-kutuplar ya da selenoid ipliğ inin vektör potansiyeli

()) = -g x 1 ) L L -

(6.161)

olur. İ pliğ in dışı ndaki tüm noktalar için bu vektör potansiye-li, ipliğin ucundan d ış a doğru ışı nsal olarak uzanan bir dönüle (rotasyonele) sahiptir; uzaklığı n tersiyle değ iş ir ve dış a doğru integre edilmi ş akı sı 4-Rg'dir. Bütün bunlar bir g tek-kutbunun alanı için beklenen özelliklerdir. İ pliğ in kendi üzerinde vektör potansiyeli s ı fırdır. Bu tekil davran ış selenoidin içinde yoğun bir alan ına eşdeğerdir ve kutbun dış a doğru olan akışı nı kald ırmak için iplik boyunca akının bir dönüş katkısını (-ling) iş in içine sokar. Ş imdiyedek yalnı z-ca uzun bir ince selenoidi betimledik. Kendi ba şı na tek-kuttun alanını göstermek için,

V' Btek-kutup = xA- B

yazalım; burada B' yalnı zca iplik üzerinde (selenoid içinde) vardır. Bu noktadan sonra Dirac' ı n düşüncesi ş öyleydi: Elektro-nun uzun ince selenoid ile değ il de, bir manyetik tek-kutmp ile olan etkileşmesini betimlemek için, elektronun tekil A. alanını hiçbir zaman "görmemesi" sağlanmal ıdır. Öyleyse elektronun dalga fonksiyonu iplik boyunca s ı fır olmal ıd ı r. Dirac' ın bu keyfi varsayımı eleş tirilere uğrad ı ; fakat bunlar ın tart ışı lmas ı bizi çok ötelere götürür ve s ını rl ı amacı mı z için can al ıcı da değildir. Dirac' ın daha sonraki çal ış mas ı (1948) ipliklerin gözlenememezli ği sorununu ayr ı ntı l ı biçimde i ş lemek-tedir.

Bir tek-kutup ve onun L ipliğ i için uygun vektör potansiyel olarak (6.161)'deki Â;(R) ifadesi benimsenirse, geriye yalnı zca ipliğin yerleş imindeki keyfilik sorunu kal ır. Açık olarak, fiziksel gözlenirler ipliğ in nerede bulunduğuna bağ lı olmamal ı -dı rlar. Ş imdi göstereceğiz ki değ iş ik iplik konumlar ı nın seçimi, vektör potansiyel için değ iş ik ayar seçimlerine eşde-ğ erdir. Gerçekten de, Schrödinger denkleminin ayar değ işmezliğ i ve dalga fonksiyonunun tek-de ğerlilik gereksinimleri, Dirac' ı n (6.153) kuantumlama koşuluna yol açar. Şekil 6.11'de görüldüğü gibi, L ve L' gibi değ iş ik iki iplik dü şünelim. Bunlara ait

Z

340

Şekil 6.11- L ve L' gibi değişik iki dpliğin verdiği tek-kutup vektör potansiyelleri il6n katı açısının gradyenini içeren bir ayar donu şu-mü kadar birbirlerinden farkeder; bu II, P gözlem noktas ından C = L' - L konturiınun gerdiği S yüzeyini gören kat ı açıdı r.

iki vektör potansiyelin fark ı , S alanı çevresindeki kapal ı C = L' - L yolu boyunca al ı nan (6.161) integrali ile verilir. Bunu, 205'inci sayfadaki Problem 5.1'e göre,

->ı .4, --D -> AL' (x) = AL (x) + gVS2(x)

(6.162)

olarak hesaplayabiliriz; burada c ,7 gözlem noktas ından C kapal ı eğ risini gören kat ı aç ıdır. = °)C. , 45-4 , = 45-(l ı c) (Wt,) biçimindeki ayar dönü şümleriyle karşı laş t ı rı l-dığı nda görülür ki, ipli ğ i L den g ye değ iş tirmek ..)<= gfic

fonksiyonlu bir ayar dönüşümüne eşdeğ erdir. Kuantum mekaniğ inde elektromanyetik potansiyellerin ayar ı n-

da yapı lan bir değ iş tirmenin, dalga fonksiyonunu

,‘ikeie»c

uyar ı nca dönüş türmek koşuluyla, Schrödinger denkleminin biçimi- ni değ iş mez bı rakt ığı çok iyi bilinmektedir* ; burada e parçac ı -

Bunun gösterilmesi çok kolayd ı r. Örne ğ in H.A.Kramers, Quantum Mechanics, North-Holland, Amsterdam (1957); Dover bask ı s ı (1964), Kesim 62'ye bak ı n ı z.

341

ğı n yükü ve )( ayar fonksiyonudur. Buna göre, ipli ğ in konumunda L den L'ye olan bir değ işmeye, elektronun dalga fonksiyonunun faz ında bir düzeltme e ş lik etmelidir:

= eı ceg ı c ır. (6.163)

Elektron S yüzeyini geçerken il birdenbire 411:kadar değ iş tiğ in-den,dalga fonksiyonunun çok değerli olmamas ı için

eg • = 2nn , Tıc n = 0, T 1, T 2, .

bağı ntı sının sağlanması gerekir. İş te bu Dirac' ın (6.153) kuantumlama koşuludur. Gösterdi ğ imiz gibi, tek-kutup ipliğ inin yerleş iminden bağı ms ı z, ayar değ işmezliğ i ve dalga fonksiyonu-nun tek değ erli olmas ı gibi genel gereksinimlerden ç ı kmaktad ı r.

Manyetik tek-kutuplar için verdi ğ imiz bu tartış ma, yalnı zca en temel kavramları içine almış tır. Kuşkusuz kuantumlama koşulunun değ iş tirilmesi, manyetik tek-kutuplar ı ve elektrik yüklerini içeren bir kuantum elektrodinamiğ i kurma giriş imleri ve sorunun baş ka yanları üzerine çok geni ş bir yaz ın vardı r. ilgilenen okuyucu, konuyu Amaldi'nin makalesinden ve bölüm sonundaki kaynaklardan sürdürebilir.

KAYNAKLAR VE ÖNER İ LEN OKUMA PARÇALARI

Faraday' ı n indüksiyon yasas ını , Faraday diskleri ve e şku-tuplu jeneratörler gibi hareketli devrelere uygulamak oldukça çok özen ister. Bu konuda pek çok tartış ma vard ı r. İş te size bir tek dergiden bir örnekleme:

W.V.Houston, Am.J.Phys. 7, 373 (1939), D.R.Corson, Am.J.Phys. 24, 126 (1956), D.L.Webster, Am.J.Phys. 31, 590 (1963), E.M.Pugh, Am.J.Phys.32, 879 (1964),

Elektromanyetik alanlar ın enerji ve momentum korunum yasaları hemen hemen her ders kitabında tartışı lmaktadı r. Akım taşı yan devreler üzerine etkiyen yar ı -kararl ı akımların ve

342

kuvvetlerin enerjisi, bizimkinden farkl ı olarak, Panofsky and Phillips, Bölüm 10

da iyi bir biçimde "iş lenmektedir. Maxwell gerilim tensörü, s ı vı ve kat ı lardaki kuvvetler ele al ınarak, ayrı nt ı l ı biçimde şu kitaplarda tart ışı lmaktad ı r:

Stratton, Bölüm II,

Landau and Lifshitz, Electrodynamics of Continuous Media, Kesim 15, 16, 34.

Korunum yasalar ı , yarı -kararl ı devre kuram ı , indüktans hesaplar ı ve kuvvetler gibi genel konular

Abraham and Becker, Cilt I, Bölüm VIII ve IX'da ve birçok mühendislik ders kitabı nda duru bir biçimde i ş lenmek-tedir.

Burada atlanm ış olan girdap ak ımları nın ve indüksiyon ı s ı tmas ı nın örnekleriyle birlikte tart ışı ldığı yer

Smythe, Bölüm XX'dir.

Daha önce değ inildiği gibi, blok devre kavramlar ı ile alanlar ı n kullan ı ldığı anlat ım arasındaki iliş ki

Adler, Chu and Fano, Fano, Chu and Adler

de verilmektedir. Rezonans oyuklar ı nın devre elemanlar ı olarak betimlenmesi şu klasik makalede incelenmektedir:

W.W.Hansen, J.Appl.Phys. 9, 654 (1938).

Makroskobik elektromanyetizma denklemlerinin türetili ş i ile elektrik ve manyetik sistemlerin termodinami ğ ini

Robinson okuyanı düşünmeğe yöneltecek biçimde tart ış maktad ı r.

Makroskobik Maxwell denklemlerinin istatistik mekanik açı s ından türetilmesi, Hollandal ı fizikçiler için uzun süre araş t ı rma konusu olmuş tur. Onlar ın sonuçları iki kapsaml ı kitapta yer almaktad ı r:

de Groot, de Groot and Suttorp.

Elektromanyetik alanlar ı n enerjisi, momentumu ve Maxwell gerilim tensörü, bir bakıma üstteki yazarlarla ve Brevik ile (bak: sayfa 240, dip not) uyuşmaz bir biçimde

Penfield and Haus taraf ı ndan iş lenmektedir.

Madde içindeki makroskobik alan denklemlerinin ve dielekt-

343

rik sabitlerinin ayrıntı l ı kuantum mekaniksel inceleni ş ini araş tı rmak isteyen okuyucu için a ş ağı daki makaleler önerilmek-tedir:

S.L.Adler, Phys.Rev. 126,413 (1962), B.D.Josephson, Phys.Rev. 152, 21 (1966), G.D.Mahan, Phys.Rev. 153, 938 (1967).

Elektromanyetik alanlar ın yans ıma ve dönme alt ı ndaki simetri özellikleri şu kitapta tartışı lmaktadı r:

Argence and Kahan.

Manyetik tek-kutuplar konusu geni ş bir yaz ına sahiptir. Dirac' ın temel makaleleri yan ında, Amaldi'nin derleme yaz ı s ı y-la Carrigan ve Goldhaber' ı n makalelerini zaten söylemi ş tik. Tek-kutupların parçac ı k fiziğ iyle olan ilişkisi

J.Schwinger, Science 165, 757 (1969) da tartışı lmaktadır. Yapı lan baz ı deneysel aramalar ise şu yazı larda anlat ı lmaktad ı r.

Hart et al., Phys.Rev. 184, 1393 (1969), Fleischer, Price and Woods, Phys.Rev. 184, 1398 (1969), Alvarez et al., Science 167, 701 (1970).

Bu bölümdeki matematiksel konular dalga denklemi dolay ı nda toplanmaktadır. Bir, iki, üç ve daha çok boyutta ilk de ğer problemi şu kitaplarda tart ışı lmaktad ır (ikincisinde daha fazla ayrınt ı vard ı r):

Morse and Feshbach, sayfa 843-847, Hadamard.

PROBLEMLER

6.1- o) Boş uzayda ak ım taşı yan elemanlardan oluş an bir sistem için, manyetik alandaki toplam enerjinin

W = 12 f d3x s d3x, ( ) . 34- ( ' )

2c2 -

olduğunu gösteriniz; burada akım yoğunluğudur.

344

b) Akım seki1lenimi İ , İ akı mlarını taşı yan n ' • n

devreden oluşuyorsa, enerjinin

W = 1 n .2 2 T_ Liii

• 1=1 Z 7M İİ 1=1 j>1 1.3 1

biçiminde ifade edilebileceğ ini gösteriniz. Öz-indüktanslar (L)vekarşı lı kl ı ~tanslar(W13

)için integral ifadeleri sergileyiniz.

6.2- İ ki telli bir iletim hatt ı , d aral ı kl ı , a ve b yar ı -çapl ı (d > a + b) geçirgenliksiz paralel bir çift telden oluşmaktad ı r. Akım, bir telden gidip diğerinden geri gelmekte-dir ve her bir telin kesiti boyunca düzgün olarak da ğı lm ış tı r. Birim uzunluk ba şı na öz-indüktans ın

2 c2L . 1 + 2in ( ab )

olduğunu gösteriniz.

6.3- Bir devre, a yarı çaplı uzun ince iletken bir kabuk ile içteki eksen üzerinde b yar ı çapl ı paralel bir dönüş telinden oluşmaktadır. Telin kesiti üzerinde ak ımın düzgün olarak dağı ldığı nı varsayarak, birim uzunluk ba şı na öz -indük-tansı hesaplayını z. İçteki iletken içi. boş ince bir tüp ise, öz -indüktans nedir?

6,4- ,u geçirgenlikli homojen bir ortamda, eş eksenli dairesel iki halkanı n karşı l ı kl ı indüktans ı nın

9i 2 f'(, 2 - k)K(k) - E(k).1

M12 = 41

c2 k5b k k

olduğunu gösteriniz; burada

k2

- 4ab

(o + b)2 + d2

dir. a, b halkalar ı"' yarı çapları , d merkezleri aras ı ndaki uzakl ık ve K ile E tam eliptik integrallerdir.

d ‹.< a,b ve a = b olduğunda, limit değeri bulunuz.

345

6.5 Bir iletim hatt ı , keyfi fakat sabit kesitli iki paralel mükemmel iletkenden oluşmaktad ır. Akım bir iletkenden gidip diğerinden dönmektedir.

Birim uzunluk ba şı na indüktans (L) ile birim uzunluk başı na sığ a (C)'nın çarpımı nın

c

olduğunu gösteriniz; burada >: ve iletkenleri saran ortam ı n geçirgenliğ i ve dielektrik sabitidir, c ise boşlukta ışığı n hı zıdı r (Mükemmel iletkenlere yakın manyetik alanlar hakkında Kesim 5.13'ün baş langıcı nda yapı lan tart ış maya bak ını z).

6.6- Uzaydaki yönelimleri sabit, fakat birbirlerine göre olan uzakl ığı değ iş ebilen iki ak ım halkası (sayfa 172, Ş ekil 5.3'deki gibi) düşününüz. Her bir halkanın o hakaya göre sabit olan baş langıçları 0 ve 02'; her halkanın dlai ve4, d22

elemanlarının kendi baş langıçlarına göre koordinatlar ı x ve x2., • olsun Baş langıçları n 2 Nolu halkadan 1 Nolu halkaya yönelmi ş bagı l koordinat ına da diyelim.

o) Halkalar aras ındaki kuvveti veren (5.10) ifadesinden hareket ederek, bu kuvvetin

F =II'Q'M (›) '12 ı 2 R 12

biçiminde yaz ı labileceğini gösteriniz; burada M12 halkaların karşı l ı kl ı indüktans ıdı r:

M12 () = 12

4i • ' 12 -> ı

x 2 + R Ş

Ve halkaları n yöneliminin R ile de ğ iş mediğ i varsay ı lmaktadı r. b) Gösteriniz ki R'nin fonksiyonu olarak dü şünülen karşı -

346

lı kl ı indüktans Laplace denkleminin bir çözümüdür: y2 1,4 (-}) = 0 R 12

Bu sonucun önemi ş uradadı r: Laplace denkleminin çözümleri tek olduğundan, R'nin özel bir değeri için bir çözüm bulundu ğu takdirde, böyle çözümlerin özelliklerinden yararlan ı labilir.

6.7.a yar ı çapl ı iki özde ş dairesel halka, kendi düzlemleri-ne dik ortak bir eksen üzerine R uzakl ığı nda yerleş tirilmi ş ler-dir

3 -4 -4 a) W12 = (1/c))d x J A2 ifadesiyle Problem 5.4(b)'deki

A, sonucundan yararlanarak gösteriniz ki, halkalar ın karşı l ı kl ı iNdüktans ı ş udur:

oo M12

4n2 2 a2

dk e-kR

J2 (ka) = c

b) R > 2a için M12 'nin aş ağı daki aç ı l ıma sahip olduğunu gösteriniz:

2tt a M = 12

c

c) Laplace denkleminin çözümü için Kesim 3.3'deki yöntemle-ri kullanarak, ayni düzlemde yer alan ve merkezleri aras ında R ) 2a uzakl ığı bulunan a yar ı çapl ı iki özdeş dairesel halkan ı n karşı l ı kl ı indüktans ını n

iL2 a 12

c

9,a,5 375 a,7 + + +

olduğunu gösteriniz. d) Ortak eksen üzerinde yer alan ve ayni düzlemde bulunan

halkalar aras ındaki kuvvetleri hesaplayı n ı z; yanı tları nı z ı , Problem 5.10'un yan ı tları na bağ layı nı z.

6.8- 3(x,t) m ı kroskobik akımı

j( x, t) =

ci &.;c4 - ;(4. (t))

J J

347

biçiminde yaz ı labilir; burada q, noktasal yükü ;?:,(t) noktas ında bulunmaktadı r ve cl >.(t)/cit! h ı z ına sahiptir Yük yoğunlu- ğunda olduğu gibi, ak ı da, "serbest" (iletim) elektron katkı sı ile bağ lı (moleküler) akım katk ı sına parçalanabilir. Kesim 6.7'deki ortalama alma i ş lemlerini izleyerek ve h ı zların göresiz toplanmas ı nı varsayarak, <T(3t)5 ortalama ak ımını ele al ını z.

a) Ortalama ak ımın, (6.92), (6,97) ve (6.98) tanımları yla birlikte, (6.96) biçiminde yaz ı labileceğini gösteriniz.

b) İç molekül h ı zları önemsenmeyen, fakat bir bütün olarak hareket halinde bulunan (yani tüm n'ler için n = -Ni) bir ortam için

-> -4 B - H = 4WM + (D

-4 - E

-> ) x

olduğunu gösteriniz. Bu ifade, hareketli bir 1: kutuplanmas ının etkin bir m ı knat ıslanma yoğunl ı doğurduğunu söyler. [a) için yol gösterme: (dilr/dt), /dt) gibi nicelikleri dü şünü - nüz ve neye benzeiklerini gördünüz. Ayrıca

df(,--<'-)- (t)) n -> = -vn . Vf(x - xn (t))

olduğuna dikkat ediniz

6.9- Dielektrik sabiti E. olan a yar ı çapl ı bir dielektrik küre baş langıca yerleş tirilmiş tir. x yönünde düzgün bir dış E elektrik alanı vardı r. Küre z ekseni etraf ında açı sal hı z ıyla dönmektedir.

= 3 ( E - ) E . (4 q.,-)

5 . xz 5 £+ 2 °

, )

olmak üzere, H = 44 1 gibi bir manyetik alanın var olacağı nı gösteriniz; burada r> , r ve a'nın büyük olan ıdır. Hareket göresizdir.

Dış alandaki dielektrik küre için Kesim 4.4'ün sonuçlar ını kullanabilirsiniz.

6.10 Dielektrik sabiti E ve geçirgenliğ i,p olan düzgün ve izotropik bir ortamda, kaynaklar ın ve elektromanyetik alanların makroskobik bir sistemi için enerji ve çizgisel momentumun korunumunu tart ışı nı z. Enerji yoğunluğu, Poynting vektörü, alan -momentum yoğunluğu ve Maxwell gerilim tensörünün Minkowski

c

dt

348

ifadeleriyle verildiklerini düzgün bir hesaplamayla gösteriniz:

u = (EE2 + pH

2)

S - c (E -›

4 x H)

4 Tt

NE (•>,x 47(c

Tij tht [E E

iE3 + . ı H .

3 z. - ı

1 - o. .

3 (EE

2 + juH2

E ve „la yerin fonksiyonlar ı olunca, ne gibi değ iş iklikler ortaya çı kar?

6.11 Bir önceki problemde ko şulan varsay ımlar alt ında, açısal momentumun korunumunu tart ışı nı z. Korunum yasas ının diferansiyel ve integral biçimlerinin

-4

alan ) + . M = 0 "?t mek

ve

-4 .<--> dt mek alan )d3 x +Ç n . M da . O V S

olduklarını gösteriniz; burada alan ın açısal momentum yoğunlu- ğu

-> x g = -4 x (

-4 x -4

) = x x E H Alan 41Tc

dir ve açı sal momentumun ak ışı ş u tensörle betimlenir:

M =Txx

Not: Burada M. . ve T. için diyadik gösterimini kulland ı k. İ ki yönlü ok olddQa aç ı bir anlama götürür. Örneğ in 5' . j'yinci bileş eni Zn.M. . olan bir vektördür. İ kinci mertebeden olan M üçüncü mer2elge.641 bir tensör gibi yaz ı labilir: Mijk =

349

T. - T. x. . Fakat j ve k indislerine göre antisimetriktir; ı k bölece yalnıı z üç bağı ms ı z elemana sahiptir. i indisini de kat ı nca, M. dokuz bileş enli olur ve ikinci mertebeden bir sözdetensöiSlarak yaz ı labilir.

6.12- Bir enine düzlem dalga, bo ş luktan dik olarak mükemmel soğurucu bir düz ekrana dü ş mektedir.

a) Çizgisel momentumun korunumu yasas ından gösteriniz ki, ekran üzerine uygulanan bas ınç ( ışı n ım bas ı ncı ), dalgada hacim birimi taşı na düşen alan enerjisine e ş ittir.

b) Güneş ten gelen elektromanyet ı)( enerji ak ı s ı yeryüzeyinin yakınlarında yaklaşı k 0,14 2wat/cm 'dir. Gezegenleraras ı bir "yelkenli araç" 10 gr/cm yüzeysel kütle yoğunluklu bir yelkene sahip olsa ve di ğer ağı rlı kları önemsenm9seydi, güneş in ışı nım bas ı nc ı nedeniyle maksimum ivmesi cm/sn cinsinden ne olurdu? Bu ivme, güneş "rüzgar ı "na (parçac ık yayım ı ) ait ivmeyle nas ı l karşı laş t ı rı l ı r?

6.13- İ ki-giri ş li, çizgisel bir pasif ş ebekenin Y = G - iB admitans ı için, Kesim 6.10'da karmal Poynting teoremi arac ı lığı ile alan nicelikleri cinsinden verilen tan ımı gözönüne al ı nı z.

a) (6.134)'ün karmal eş leniğ ini düşünerek, ışı nım kaybını da kapsayan genel hal için G iletirli ğine ve B al ını rl ığı na değgin genel ifadeler elde ediniz.

b) Düşük frekanslar için (6.139) ve (6.140)'a eşdeğer ifadelerin

G = 1 jr _,2 3 Ğr İ EJ d x 1 V I

B- we) d3x

IVi l`

oldukları n ı gösteriniz.

6.14- Bir paralel plakal ı kondansatör, a ve b kenarl ı mükemmel iletken iki dikdörtgensel düz levhadan olu şmaktad ı r ve levhalar aras ı d uzakl ığı a ve b'ye göre küçüktür. Ak ım, b uzunluklu komş u kenarlar boyunca düzgün olarak verilir ve al ı n ır. Kondansatörün bu ucunda tan ımlanan giri ş akım ı ve gerilimi ile, Kesim 6.10'daki alan kavramları nı kullanarak giriş impedans ı nı ya da admitans ı n ı hesaplay ını z.

350

a) Kondansatördeki elektrik ve manyetik alanlar ı , saçak alanlar ı nı önemsemeksizin, frekans ı n ikinci kuvvetine kadar doğru olarak hesaplay ı nı z.

b) Gösteriniz ki (6.140) reaktans ı , frekans ın kuvvetleri cinsinden uygun bir dere2eye kadar, C = ab/43-td s ığ as ı ile ona seri bağ l ı L = 4rcad/3tc indüktans ı ndan oluş an bir blok devre için elde edilenle ayn ıdı r; burada c ışı k hı zıdı r.

6.15- a yarı çapl ı bir ideal dairesel paralel plakal ı kondansatörde plâkalar aras ı uzakl ık d « a'dır ve ş ekilde görüldüğü gibi eksensel tellerle bir ak ım kaynağı na bağ lıdı r. Teldeki ak ım T(t) = Jo coswt'dir.

a) Plâkalar aras ı ndaki elektrik ve manyetik alanları , frekans ın (ya da dalga say ı s ı nın) ikinci kuvvetine kadar, saçak alanlar ını n etkisini önemsemeksizin, hesaplayı nı z.

b) (6.140)'daki X reaktans ını n tanımında iş e karı s ına w ve wm 'nin hacim integrallerini, «ı 'nın ikinci kuvvetine kadar

e

hesaplayını z. Bir plaka üzerindeki toplam yük Q. olmak üzere, i cu = -iQ ile tan ımlanan İ . giriş akımı cinsinden bu enerji-

lerin i

-Ç 3 we dx

U a2

olduklar ını gösteriniz. 9) Ayr ıca gösteriniz ki eşdeğer seri devre C = a2

/4d, L = d/2c 'ye sahiptir ve sistemin rezonans frekans ı için bir kestirme LO ez 2F1 c/aidı r. Jo (x)lin ilk kökü ile kar şı laş -

r. t ı rı n ı z.

ii I2d Iiii 2d cf,a

2 5w

md

3x - (1 +

8c2 12c2

6.16- Bir iletken ya da yar ı -iletken içinde bir d ış elekt-rik alan yard ım ı yla bir ak ı m oluş turulur ve dış ardan bir enine

351

manyetik alan uygulan ırsa, uygulanan dış elektrik (ak ımın yönünde) ve manyetik alanlar ın her ikisine de dik yönde bir elektrik alan bileşeni ortaya çıkar; böylece iletkenin kenar-ları aras ında bir gerilim fark ı oluşur. Bu olay Hall etkisi olarak bilinir.

a) Elektromanyetik alanlar ın dönmeler ve uzaysal yans ımalar altındaki özelliklerini kullanarak ve s ı fır manyetik alan ş iddeti dolay ında Taylor serisi aç ı l ımlarını varsayarak göste-riniz ki, izotropik bir ortam için Ohm yasas ının genelleştiril-mesi (manyetik alana göre ikinci dereceye kadar do ğru)

,› -> • -3. -.1

E = + R(H x J) + pH2 J + . J)11

biçiminde olmal ıdır; b ırada J, manyetik alanı n yokluğu halinde-ki dirençliliktir; R'ye ise H211 katsay ı sı denir.

b) Zaman terslenmesi değ işmezliğ i gereksinimleri hakk ında ne denebilir?

6.17- a) Çift-kutup momenti bir çekirdek manyetonuna (41/29,c) eş it olan bir manyetik çift-kutbun orta düzlemi üzerinde 0,5 angström ötede bulunan en küçük manyetik yüklü bir Dirac tek-kuttuna etkiyen kuvveti dyne cinsinden hesapla-yını z.

b) Hesapladığı nız bu kuvveti atomik kuvvetlerle, örne ğ in aynı uzakl ı kta duran yükler aras ındaki elektrostatik kuvvetle, spin-yörünge kuvvetiyle ve aşı rı -ince etkileşmeyle karşı laş tı -rı nı z. Manyetik tek -kutuplar ın manyetik momentli çekirdeklere bağ lanmas ı sorusu konusunda dü şüncelerinizi söyleyiniz. Tek-kutbun kütlesin ı en az ından bir proton kütlesi kadar varsay ı -nı z.

Kaynak: D.Sivers, Phys.Rev. D2, 2048 (1970).

6.18- Bir manyetik tek-kutup ve ona tağ lı L ipliğinin vektör potansiyeli için Dirac ifadesini gözönüne al ını z:

A(X) = -> • 4

.Ç dq.! x (x - x')

L ı X -

Belirli olsun diye, tek-kutbun baş langıçta bulunduğunu ve ipliğ in negatif z ekseni boyunca yerle ş tiğ ini varsayı nı z.

-ı a) A'yı açı k olarak hesaplayını z ve küresel koordinatlarda

352

Ar = 0 Ag = O ve

A g(1 - cos8)

(g/r) tan 9

, = r sine 2

bileş enlerine sahip olduğunu gösteriniz. b) B = V x A'nın, belki de e =Tt dışı nda, bir noktasal

yükün Coulomb-tipi alan ı olduğunu doğrulayını z. c) Hesapladıgı nı z B'yi kullanarak, ş ekilde görülen Rsine

yarı çapl ı dairesel halka içinden geçen toplam manyetik ak ının değerini bulunuz. O < T/2 ve e ). TV2 hallerini ayr ı ayrı ele aliAlz; fakat hep yukar ı ya doğru olan ak ı yı hesaplayını z.

d) Halka dolayında ft4, 'den, halka içinden geçen toplam manyetik akıyı saptayını z. (c)'de bulunan sonuçla kar şı laş tı rı - nı z ve 0 < e -11V2 için eş it oldukları nı , fakat n/2 < <:-K için aralar ında sabit bir fark bulunduğunu gösteriniz. Bu farkı yorumlayını z.

6.19- Coulomb ayar ı nın kullanı lmas ına karşı n, neden ve sonuç iliş kisi (causality)'nin ve sonlu yay ı lma h ı zının hâlâ ayakta durduğunu gösteren bir örnek, t = O'da parlayıp sönen bir çift-kutup kaynağı yla sağ lanır. Etkin yük ve ak ım yoğunluk - ları

= b(x)â(y) 5 1 (z),St

353

Jz (;t,t) = —S(,)5( y )5(z) b(t)

dir; burada üs i ş areti, argümana göre türevi gösterir. Bu çift-kutup birim ş iddettedir ve negatif z yönüne do ğrudur.

a) Anl ı k (6.45) Coulomb potansiyelinin

(1)(X›,t) = -8(t) z3 r

olduğunu gösteriniz. b) Je enine akı m ını n

e3 2

Je(x,t) = - 3 ( ) ;(5(›t) 3 3 ri(e- . n) 4nr3 4nr

oldOunu gösteriniz; delta fonksiyonunun önündeki 2/3 çarpan ı , z/r 'ün gradyenini (4.20) denklemine göre i ş leme sokmaktan gelmektedir.

c) Elektrik ve manyetik alanlar ın neden-sonuç ili ş kisine sahip oldukları nı gösteriniz ve elektrik alan bileş enlerini aş ağı daki gibi bulunuz:

' Ex (2' t) =

r32

-g'(r-et) + (r-ct) - ---8(r-ct) sine cose cos0 r

Ey cos yerine sinO yazmak koşuluyla Ex gibidir ve

E z (3.t t) = 2 Esin2e (r-ct) + (3cos 20-1). ( 61(r-et) 8(r-c2t) )

r r

Yol gösterme: (b)'deki yanı t enine akımı açı k biçimde sergile-mekle birlikte, (c) şı kkında vektör potansiyeli ve alanlar ı hesaplamak için (6.69) denklemi ve daha az aç ı k olan

-5. .

' ) = - 8' (t)

.„ 1 -* 1 )i Je (x Le; 5(3-'<') + V ( 4n "";z r

ifadesi kullanı labilir. Bir ba şka yöntem ise, 5'e ve ifadesi zamana göre Fourier dönü ş müş lerini, (6.62) Green fonksi-

yonu ve Bölüm 16'dan bu Green fonksiyonunun küresel dalga aç ı l ı m ı n ı kullanmakt ı r.

354

7 DÜZLEM ELEKTROMANYETIK DALGALAR VE DALGANIN YAYILMASI

Bu bölüm, s ı nı rs ı z ya da yar ı -sonsuz ortamlardaki düzlem dalgalar ile ilgilidir. Önce iletken olmayan ortamlardaki düzlem elektromanyetik dalgalar ın temel özellikleri -enine nitelikleri, çizgisel ve dairesel kutuplanma durumlar ı -i ş lene-cektir. Daha sonra düzlemsel bir ara-yüzeyde yans ıma ve kı rı lma için Fresnel formülleri türetilecek ve uygulanacakt ır. Bunun ard ından dielektriklerin, iletkenlerin ve plazmalar ın yüksek-frekansta dağı tma (dispersion) özellikleri özetlenecektir. S ı vı suyun kı r ı lma indisi ve soğurma katsayı s ı , 20 basamakl ı bir frekans aral ığı nda panoramik bir biçimde sergilenerek doğ anın zenginliği gösterilecektir. Daha sonra iyonosferde yayı lmanın basitleş tirilmi ş bir tartış mas ı verilecek; bunu da bir iletken ya da yitirimli ortamdaki dalgalar izleyecektir. Bunun ardı ndan faz h ı zı ve grup h ı z ı kavramları ile dağı tıc ı bir ortamda ilerlerken bir atman ı n (pulse) ya da dalga paketi-nin dağı lması iş lenecektir. Önemli bir konu olan neden-sonuç iliş kisi ve bir ortam ın dağı tıc ı özellikleriyle ilgili sonuçla-rı oldukça ayrıntı l ı bir biçimde tart ışı lacak, Kramers-Kronig dağı tma bağı ntı ları verilecek ve bunlardan çe ş itli toplam kurallar ı türetilecektir. İ lk kez Sommerfeld ve Brillouin (1914) taraf ından tart ışı lmış olan, fakat ancak son y ı llarda deneyle s ınanan bir klasik problem, bir dağı t ıcı ortamda bir sinyalin çok ötelere varmas ı problemi ile bu bölüm son bulacak-t ı r.

7.1- İ letken Olmayan Ortamda Düzlem Dalgalar

Elektromagnetik alan ın sağ ladığı Maxwell denklemlerinin temel özelliği, bir noktadan diğerine enerji taşı nmas ını gösteren ilerleyen dalga çözümlerine sahip olu şudur. En basit ve en temel elektromanyetik dalgalar enine düzlem dalgalard ı r. Yere göre sabit geçirgenlik ve al ı nganl ı kla betimlenen iletken olmayan basit ortamlarda bu tür çözümlerin nas ı l elde edilebi-leceklerini görmekle i şe baş layal ım. Kaynakların yokluğu halinde, sonsuz geni ş likteki ortamda Maxwell denklemleri ş öyledir:

355

-4 -4 V . E = 0

-4 -4 1 2■ 13 V x E + —c .?)-t

= O

(7. 1)

911E - O V . B = 0 x c "bt

Burada ortam ,u ve E. parametreleriyle karakterize edilmekte ve bunların ş imdilik frekanstan bağı ms ı z olduklar ı varsayı lmakta-dır. Sağdaki iki denklemi birle ş tirip ı raksamalar ın s ı fı r oldukları nı kullanarak, kolayca E ve B'nin her kartezyen bileş eninin şu dalga denklemini sağ ladığı n ı buluruz:

2 V2u 12 0 (7.2)

v2

at

Burada

V = c

(7.3)

\IPE

ortam ı n karakteristiğ i olan h ı z boyutunda bir sabittir. (7.2) dalga denklemi ünlü düzlem dalga çözümlerine sahiptir:

-4 -4 u = eik.x -iwt ( 7.4)

Buradaki CA> frekans ı ve k dalga vektörünün büyü.klüğü aras ı nda

k = (k) = viırE"E. (.4)

(7.5)

bağı nt ı s ı vardı r. Yaln ı zca bir yönde, diyelim ki x-yönünde, ilerleyen dalgalar ı ele al ı rsak, temel çözüm ş udur:

u(x,t) = A eikx - iwt + B e-ikx - iwt

(7.6)

Bu çözüm, (7.5) kullanı larak

u (x t) - A ik(x-vt) + B e-ik(x +vt) k ' e

biçiminde yaz ı labilir. v h ı z ı k'n ın fonksiyonu değ ilse (yani dağı tmas ı z bir ortam, ,ı ,E. frekanstan bağı ms ı z), (2,44) ve (2.45) Fourier integral teoreminden biliriz ki çizgisel üstüste gelme yoluyla uk (x,t)'lerden aş ağı daki biçimde bir genel çözüm kurabiliriz:

356

u(x,t) = f(x -vt) + g(x + vt) (7.7)

Burada f(z) ve g(z) keyfi fonksiyonlard ır. Bunun (7.2) dalga denkleminin bir çözümü olduğunu doğrudan doğruya gerçeklemek kolayd ı r. (7.7) denklemi, v'ye eş it yay ı lma hı zlarıyla sağ a ve sola doğru ilerleyen dalgalar ı gösterir; v'ye dalgan ın faz hı zı denir.

Eğ er ortam dağı t ıc ı ise, yani )JE çarp ımı , frekans ın bir fonksiyonu ise, üstteki tart ış manın bazı kısım.larının değ iş -tirilmesi gerekir. (7.1)'deki denklemleri birle ştirmeden önce tkı 'ya göre Fourier integral aç ı l ı mı yaparak, Helmholtz dalga denklemine var ı l ı r:

W2 2

V2u + )u£, u = O c (7.8)

k hâlâ (7.5) ile verilmektedir. Bu, her frekans bile ş eni için düzlem dalga çözümlerinin (7.4) ş eklinde olduklar ını söyler. Ancak dalgay ı x ve t'nin fonksiyonu olarak yeniden kurdu ğumuz-da, dağı tma baz ı düzeltmeler doğurur. (7.7) denklemi artı k geçerli değildir. Dalga yay ı ldı kça biçimini değ iş tirir (7.8, 7.9 ve 7.11 kesimlerine bak ı nı z).

(7.4) ve (7.5) temel düzlem dalgas ı , (7.8) skaler dalga denklemini sağlar. Fakat biz hâlâ elektromanyetik alanlar ın vektör niteliğini ve Maxwell denklemlerini sa ğ lamaları gerekti-ğ ini göz önünde tutmal ıyı z. Karmal niceliklerin gerçel k ı sımla-rını alarak fiziksel elektrik ve manyetik alanların elde edildiklerini anla şma olarak benimsersek, düzlem dalga alanla-rını n

(3-‹*,t) i(4t

73.(3t,t) = .33 e • x - iwt (7.9)

biçiminde olduklar ı nı varsayabiliriz; burada 1- ,'B ve n uzay ve zamana göre sabit vektörlerdir. E ve B'nin her bileş eni,

2 k2 n=jus CA)

2

c

olmak koşuluyla, (7.8) dala denklemini sa ğ lar. (7.5)'i yeniden bulmak için, 7i vektörünü n . n = 1 olarak varsaymak gerekir. Dalga denklemi sağ landığı na göre, geriye yaln ı zca (7.1) denk-lemlerini geçerli bı rakan vektörel özelliklerin saptanmas ı kal ır. (7.1)'deki =aksama denklemleri

357

X

Şekil 7.1- Yayılma vektörü it ve iki dik kutuplanma vektörü E1 ve ;.

-* n = 0 ve n . 0 (7.10)

olmas ını gerektirir. Buna göre E ve -11 1 nin her ikisi de yayı lma doğrultusu 7-7 ye dik demektir. Böyle bir dalgaya enine dalga denir. Dönül denklemleri bir s ını rlama daha getirir:

g. = (7.11)

-> n gerçel ise, (7.11) bağı ntı s ı i! vet-SS 'nin aynı faza sahip

olacakları nı söyler. Bu durumda, Ş ekil 7.1'de görüldüğü gibi, ("g.ı l E2' n) olarak göstereceğ imiz karşı lı kl ı dik bir gerçel birim vektorler cümlesi tan ımlamak yararl ıdı r. Bu birim vektör - ler cinsinden E ve c33 alan ş iddetleri ş öyle yaz ı labilir:

siEo = FT?: E

o (7.12)

Ya da;

..z: -1,- „--., k_- -= E E'

o

2 ' .:b = -E ri-i -i Ero o (7.12')

358

Burada E ve karmal'da olabilen sabitlerdir. (7.9) ve (7.12) yâp da (7.12') ile tan ımlanan dalga, T-t yönünde ilerleyen enine bir dalgad ı r. Bu dalga, karmal Poynting vektörü

S = 1 2 4 Ex H -K

nin gerçel k ı sm ı yla verilen zaman ortalamal ı bir enerji akı sı nı betimler. Enerji akışı (birim zamanda birim yüzeyden geçen enerji) ş udur:

(7.13)

Zaman ortalamal ı enerji yoğunluğu ise

u = 1 «EE-* -*

. E + B . 167Z

olup, bu da bize

u = 1E 8TÇ °

(7.14)

sonucunu verir. (7.13)'ün büyüklüğünün (7.14)'e oranı , (7.3)°. den beklendiğ i gibi, enerjinin ak ış h ı z ı nın v = cAW olduğunu gösterir.

(7.11)'in altındaki tart ış mada gerçel bir birim vektör olduğunu varsayd ı k. Bu, düzlem dalga için en genel olas ı çözümü vermez. 7-i'nin karmal olduğunu ve ıi = R + in olarak yaz ı ldığı nı varsayal ım. Bu durumda (7.9)'dakı üstei çarpan şu hale gelir:

. . ı . eı kn . x - wt

= e -knI.x eı knR . x - ıcot

Dalga baz ı yönlerde üstel olarak artmaya ya da azalmaya sahip olur. Böyle bir dalgaya homojen olmayan düzlem dalga denir.

359

Sabit genlik ve sabit faz yüzeyleri hâlâ düzlemlerdir; fakat artı k birbirlerine paralel değildirler. (7.10) ve (7.11) bağı ntı ları hâlâ vard ı r. 7-*.ı . n = 1 gereksinimi gerçel ve sanal kısimlara sahiptir:

2 2

nR nI . 1

-4> nR . n, = 0

(7.15)

Bu koşullardan ikincisi 1:0 ve ri'nin birbirlerine dik oldukla- rını gösterir. Koordinat eksenldri o ş ekilde seçilebilir ki TiR

x-yönünde ve Îy-yönünde olsun. 77'yi

n = e coshO + le2 s ı nhO

(7.16)

biçiminde yazarsak (7.15)'deki ilk denklem genel olarak sa ğ la-nabilir; burada 8 gerçel bir sabit, 74' ve e ise x ve y yönle-rinde gerçel birim vektörlerdir ve r2 ile karış tı rı lmas ı n!). Bu durumda .1! = 0 koşulunu jağ layan en genel vektörü şudur:

= sinhe - e2cosi-1+3)A + e3A'

(7.17)

Burada A ve A' karmal sabitlerdir. 8 0 için '%!.. genel olarak 7-4i yönünde bileş ene sahiptir. Kolayca doğrulanacağı gibi, IO = 0 için tekrar (7.12) ve (7.12') çözümleri bulunur.

Bölümün sonraki k ı s ımlarında tam iç yansıma ve bir iletken ortamda k ı rı lma konuları tartışı lırken homojen olmayan düzlem dalgalarla ilgili basit örneklerle kar şı laş acağı z. iletken ortamda kı rı lma halinde homojen olmama niteliğ inin karmal n birim vektöründen değil de, karmal dalga sayı sından ileri geldiğ ini ş imdiden belirtelim. Homojen olmayan düzlem dalgalar, dalgalar için s ınır değer problemlerinin incelenmesinde ga ıel bir temel olu ş tururlar ve özellikle iki boyuttaki k ı rınımın çözümünde yararl ıdırlar. ilgilenen okuyucu, konuyu örnekleriyle birlikte geni ş biçimde iş leyen Clemmow'un kitab ına baş vura-bilir.

n karmal is, birim büyüklü ğ e sahip olmad ığı na dikkat ediniz; yani n..n = 1 olmas ı rOl = 1 olaca ğı n ı söylemez!

360

7.2- Çizgisel ve Dairesel Kutuplanma, Stokes Parametreleri

(7.9) ve (7.12) düzlem dalgas ı , elektrik alan vektörü daima -ir doğrultusunda olan bir dalgad ı r. Böyle bir dalgaya, Eikutupfanma vektörü olmak üzere, çizgisel olarak,kutuplanm ış -tı r denir. (7.12') ile betimlenen dalgan ın ise E2 kutuplanma vektörü doğrultusunda çizgisel olarak kutupland ığ i ve birinci-sinden çizgisel olarak bağı ms ı z olduğu aç ıktı r. Dolayı sıyla bu iki dalga, yani

E E. E eı k . x - iwt

ı ı ı . 4 ı k x - ikıt E2 = E2E2 e ' (7.18)

k x E. 3

k j =

k-

▪

= kn yönünde yayı lan en genel homojen düzlem dalgayı vermek üzere birleş tirilebilir:

E(x,t) = (EiE ı + ›..2E2) eik x Uot (7.19)

E ve E genlikleri, farkl ı kutuplu dalgalar arasında bir faz farkı olanağı verebilecek karmal say ı lardı r.

El ve E, ayni faza sahipseler, (7.19) çizgisel kutuplu bir dalgayı gösterir; kutuplanma vektörü Eiile (9 = tan 1 (E2 /Eİ )

kadarl ı k bir açı yapar ve genliğ inin büyüklüğü E = [E2i + dir (bak: Şekil 7.2).

E ve E farklı fazlara sahipseler, (7.19) eliptik olarak kutupiudur. 2Bunun ne demek olduğunu anlamak için, en basit hal

olan dairesel kutuplanmayı ele alalım. Bu durumda E ve E2 ayni büyüklüğe sahiptir, fakat aralar ında 90° 'lik fdk farkı

vardır. E ortak gerçel genlik olmak üzere, (7.19) dalgas ı şu ş ekle gir8r:

E(x,t) = E o (-!' ı + iwt

(7.20)

361

Ekswıleri öyle seçelim ki dalga pozitif z yönünde yay ı ls ı n, ve E2 de s ı rası yla x ve y yönlerine gelsin. Bu durumda, (7.20)' . nin gerçel kı smını alarak elde edilen gerçek elektrik alan ı n bileş enleri şunlardı r:

Ex (">2›,t) = Eo cos(kz -cot)

(7.21)

E Y

( › t) = Eo sin(kz -Lot)

Uzayda sabit bir noktada (7.21) alanlar ı öyledir ki, elektrik vektörü hiyüklükçe sabittir, fakat Ş ekil 7.3'de görüldüğü gibi 3 O0 frekans ı yla bir daireyi süpürür. Üst i ş aret için ( + ig9 ), gözlemci üzerine gelen dalgaya yüzünü döndü ğünde elektitik vektörünün dönmesi saatinkinin ters yönündedir. Optikte bu dalgaya sola dairesel kutuplu denir. Bununla beraber, modern fizik terminolojisinde böyle bir dalgaya pozitif helisiteye sahiptir deriz. Son tanı mlama çok daha uygun gibi görünmekte-dir, çünkü böyle bir dalga z-ekseni üzerinde aç ı sal momentumun pozitif izdüşümüne sahiptir (bak. Problem 7.21). Alt i ş aret için ( i;), dalgaya doğ ru bakı ldığı nda dönmesi saat yönündedir; dalga sağa dairesel kutupludur (optik); negatif helisiteye sahiptir.

(7.20)'deki dairesel kutuplu iki dalga, genel bir kutuplan-ma durumunu betimlemek için çok uygun bir temel alanlar cümlesi oluş tururlar.

Şekil 7.2- Çizgisel kutuplu bir dalganın elektrik alanı .

362

.`4, -4. . 'Pr(3t,t) = E0(-gı -4> ı k x ı tut + 152 ) e •

Şekil 7.3- Dairesel kutuplu bir dalganın elektrik alanı .

Ş imdi aş ağı daki karmal dik birim vektörleri tan ımlayal ım:

1 £t = — (E + E

2)

Şu özelliklere sahiptirler:

E, . = O

. = O

. = + +

Bu durumda, (7.19) 1 a eşdeğer, genel bir temsil ş udur:

= + ) eif? x - icat

(7.22)

(7.23)

(7.24)

Burada E ve E karmal genliklerdir. E ve E farkl ı büyüklük- lere, fat› ,aYnı faza sahipseler, (7J-4) ifadesi, elipsin ana eksenleri E ve E doğ rultuları nda olmak üzere eliptik kutuplu ı 2 . bir dalgayı goster ır. Yar ı -büyük eksenin yar ı -küçük eksene oran ı 1(1 + r)/(1 - r)I'dir; burada r = E /E+ 1 dı r. Eğ er genlik- ler_ aras ında bir faz farkı bulunuyorsa, o zaman kolayca göste- rilebilir ki, E vektörü taraf ından çizilen elips ( ıX/2) aç ı sı

363

kadar dönmüş eksenlere sahiptir. Şekil 7.4 eliptik nın genel halini ve uzayda verilen bir noktada hem E hem de B tarafı ndan çizilen elipsleri göstermektedir.

r = ±1 için tekrar çizgisel kutuplu bir dalga buluruz.

Bir düzlem elektromanyetik dalga bilinen (E ,E 2 ) veya (E+ , E ) katsayllarlyla ya (7.19) ya da (7.24) ş eklinde yaz ı labilir-se, o zaman onun kutuplanma durumunu biliriz. Uygulamada ters problem ortaya ç ı kar. Dalganı n (7.9) biçiminde olduğu verildi-ğ inde, demet üzerindeki gözlemlerden kutuplanma durumunu tüm ayrınt ı ları yla nas ı l belirtebiliriz? 1852'de G.G.Stokes tara-fından önerilmi ş olan dört Stokes parametresi bunun için yararl ı bir araçtır. Bu parametreler alan ş iddetlerine göre ikinci derecedendir ve yalnı zca bir çizgisel kutuplayı cı ve bir çeyrek-dalga plâkas ı ya da eşdeğerleri ile birlikte ş iddet ölçümleri aracı lığı yla belirtilebilirler. Bunlar ın ölçümü dalganın kutuplanma durumunu tam olarak belirtit.

Şekil 7.4- Eliptik kutuplu bir dalga için elektrik alanı ve manyetik indüksiyon.

Bizi Stokes parametrelerine götürebilecek gözlem şudur: z-yönünde yayı lan bir dalga içen

. E .E, .E, E

(7.25)

skaler çarp ımları , s ı ras ıyla x doğrultusunda çizgisel kutuplu, y doğrultusunda çizgisel kutuplu, pozitif helisiteli ve negatif helisiteli ışı nım genlikleridir. Dairesel kutuplanma için, (7.23) ile tutarl ı olarak, uygun kutuplanma vektörünün karma' eş leniğinin kullanı lmas ı gerektiğ ine dikkat ediniz. Bu genlik-lerin kareleri, her bir tür kutuplanma için bir ş iddet ölçüsü verir. Faz ile ilgili bilgi de gereklidir ve bu vektörel

364

çarpımlardan elde edilir. Stokes parametrelerinin tan ım ı nı , hem çizgisel kutuplanma ve dairesel kutuplanma bazlar ına göre (7.25) 1 deki izdüşürülmüş genlikler cinsinden, hem de bileş enle-rin genlikleri ve bağı l fazları cinsinden aç ı k olarak verece-ğ iz. İ kinci amaç için (7.19) ve (7.24)'deki skaler katsayı ları n herbirini büyüklük kere bir faz çarpan ı olarak tanımlayal ım:

E = a eiSı ' E2 = a2 e io‘

E+ = a+ eis5

+ E_ = a_ ei 6 - (7.26)

_,,. Çizgisel kutu

*planma baz ı (E E

2 ) cinsinden Stokes parametrele-

1 ' ri ş öyledir:

+ + a2 so - l ı ' I 2' I

= a+ 2

_ a2 a2 (7.27) s ı = 1'1 . - 1 2 ı - 2

s2 = 2Re [(i*I :)* (e.2 2a1a2cos(62 - 05.1 )

53 = 2Im = 2a1a2sin(52-k)

B nun yerine dairesel kutuplanma baz ı (E.+' E_) tanımlar ş öyle olur:

kullanı l ı rsa,

so =^E. . -11 2 + 1 2 = + a2

s = 2Re [ + .(* . . = 2a+ a- cos(c5' - (7.28)

•

s 2 = 2Im [(-C . .E)3 = 2a+a sin(,8 -S+ )

s3 = g4E+ 12 = a+2 a2

(7.27) ve (7.28) ifadeleri, iki baza göre Stokes parametreleri- nin rollerinin yeniden düzenleniş ini göstermektedir. so para-

Stokes parametreleri için gösterim ne yaz ı k ki tek tür de ğ ildir. Stokes'un kendisi (A,B,C,D) kullanm ış t ı r; di ğ er harflendirmeler (I,Q,U,V) ve (I,M,C, 5)'dir. Bizim gösterimimiz ise Born ve Woff'unkidir.

365

metresi her iki halde de dalgan ın bağı l ş iddetini biçer. s parametresi çizgisel x kutuplanmas ı nın çizgisel y kutuplanmas ıl na olan üstünlüğünü belirtirken, s 2 ve s3 ise çizgisel bazda faza ilişkin bilgiler verir. (7.28)'den görüyoruz ki, s 3

parametresi pozitif ve negatif helisitelerin bağı l ş iddetindeki fark yorumuna sahiptir; ~iki.' bazda s ve s fazlarla ilgili-dir. Yalnı zca a1' a ve (52 -Jı gibi üç nicel ıge bağ l ı oldukla- 2 rı ndan, bu dört Stokes parametresi ba ğı ms ı z değ ildir. Şu bağı ntıyı sağlarlar:

2 2 2 so = s + s2 + s32 (7.29)

Stokes parametrelerinin ölçülmesi ve böylece bir düzlem dalgan ın kutuplanma durumunun saptanmas ı için gerekli iş lemsel basamaklar ı n tartışı lmas ı bizi çok uzaklara götürür. Ayr ıntı lar için okuyucuya Stone'un 13.13 Kesimini sal ık veririz. Değ inmek-le yetineceğimiz önemli bir problem de hemn hemen tek-renkli ışı nımdır. Işı nım demetleri, haz ır amaçlar için yeterince tek-renkli olsalar bile, gerçekte sonlu dalga katarlar ı nın üstüste gelmesinden olu şmaktadırlar. Dolay ı sıyla Fourier teore-mi aracı lığı yla bir frekans bölgesini kapsarlar ve tamam ıyla tek renkli değ ildirler. Bunu dü şünmenin bir yolu, (7.26)'daki a. genliklerinin ve 8

i fazlarının zamanla çok yavaş değ iş tiğini

sklemektir; buradaki "çok yava ş " deyiş i w frekans ına göredir. Bu durumda gözlenebilir Stokes parametreleri oldukça uzun bir zaman aralığı üzerinden ortalamalar haline gelir ve örneğin

s2 = 2<aı a2 cos(S2 - ı

gibi yazı labilir; buradaki parantezler makroskobik zaman ortalamas ını gösterir. Bu ortalama alma iş leminin bir sonucu şudur: Hemen hemen tek-renkli bir demet için Stokes parametre-leri, (7.29) eş itliğ i yerine

2 2 2 2 so + s2 + s 3

eş itsizliğ ini sağlarlar. "Doğ al 'ışı k", büyük bir doğ rulukla tek-renkli say ı lsa bile, s = s2 = = 0 parametrelerine sahiptir. Hemen hemen tek-rerikli ışı k ve -kı smi koherens hakk ın-da fazla tartış ma Born ve Wolf`un 10. bölümünde bulunabilir.

Kutuplanma durumunu belirtmek için Stokes parametrelerinin kullanı lmas ına iliş kin astrofiziksel bir örnek, yengeç y ı ldı z

366

kümesindeki atarca (pulsar) 'dan gelen optik ve radyo-frekans ışı nımını incelemektir. Optik ışı k çok az mikarda bir çizgisel kutuplanma gösterir, * oysa ki Lıı 2,5 x 10 sn-ı 'deki rad

yayımı yüksek derecede bir çizgisel kutuplanmaya sahiptir. Hiç bir frekansta dairesel kutuplanma için kan ı t yoktur. Bu tür bilgiler kuş kusuz bu büyüleyici cisimlerden gelen ışı n ım mekanizmas ının ayd ı nlatı lmas ına yard ım edecektir.

7.3- Dielektrikler Aras ındaki Düzlemsel Arayüzeyde Elektro-manyetik Dalgaların Yansıması ve Kırı lması

Farkl ı dielektriksel özelliklere sahip iki ortam aras ındaki düzlemsel arayüzeyde ışığı n yans ımas ı ve kı rı lmas ı alışı lmış bir olayd ır. Bu olayın çeş itli yanlar ı iki s ı nıfa ayrı l ı r:

1) Kinematik özellikler :

a) Yansıma açı s ı geliş açı s ı na eş ittir. b) Snell yasas ı : san i = —n' ,turada i ve r geli ş ve

kı rı lma açılarMi rve n' nise geli ş ortam ı ve ikinci ortamı n k ı rı lma indisleridir.

2) Dinamik özellikler :

a) Yans ıyan ve kı rı lan ışı nımın ş iddetleri. b) Faz değ işmeleri ve kutuplanma.

Kinematik özellikler doğrudan doğruya olayı n dalga niteliğ i ve sağ lanması gereken s ını r koşullarından çı kar. Fakat dalgala-rı n ya da s ı nı r koşulları nı n ayrıntı lı niteliğine bağ l ı değ il-dirler. Öte yandan dinamik özellikler tamam ıyla elektromanyetik alanların ve s ı nı r koşulları nın özel niteliğine bağ lıdı rlar.

Probleme uygun koordinat sistemi ve semboller Ş ekil 7.5'de görülmektedir. z = 0 düzleminin alt ı ndaki ve üstündeki ortamla-rı n geçirgenlikleri ve dielektrik sabitleri s ı ras ıyla?, ve

E: 'dür. (7.5) arac ı lığı yla ck/ui olarak tanımlanan k ı rı lma indisleri n =j717?ve n' =)Wir''.dür. Dalga sayı sı k ve frekans ı wolan bir düzlem dalga, E. ortam ından arakesite düş mektedir. Kı rı lan ve yans ı yan dalgalar s ı ras ı yla k' ve k" dalga vektörle-rine sahiptir; ıl ise?, ç 'lu ortamdan,u', E''lü ortama yönel-miş birim dik vektördür.

(7.18)'e göre, gelen, k ı rı lan ve yans ıyan üç dalga ş öyle- dir:

k E.J.Wampler, J.D.Scargle and J.S.Miller, Astrophys. J.Lett. 157 LI (1969). x* D.A.Graham, A.G.Lyne and F.G.Smith, Nature 225, 526 (7 February 1970); D.B.

Campbell, C.Heiles and J.M.Rankin, Nature 225, 527 (7 February 1970).

=it\r- ş ?. -,,I k' x E

k' YANSIYAN :

;ı•

iWt

0 ik x E = E e

B = k x E

k

GELEN : (7.30)

KIRILAN :

.4 -4 ik' . x - itAt E'= E' e o ( 7. 31)

(.4.>

(7.33)

c4)c

367

Şekil 7.5- Gelen k dalgas ı farklı ortamlar aras ındaki düzlemsel arayüzeye çarpar ve yansıyan k" dalgası ile kırılan k' dalgas ına yol açar.

E" = E" o eık" x - itı)t

(7.32) k" x E" B" = (ju

Dalga sayı ları aş ağı daki büyükiüklere sahiptir:

1 71= 17.‹ = k =

I = k ' =

z = 0 düzlemi üzerinde tüm noktalarda her zaman sağ lanmas ı

k

368

gereken s ını r koşulları nın varl ığı , tüm alanlar ın uzaysal (ve zamansal) değ iş iminin z = O'da ayni olmas ı gerektiğ ini söyler. Sonuç olarak, faz çarpanlar ının tümünün, sı nır koşullarını n niteliğ inden bağı ms ı z olarak, z = O'da e ş it olmaları gerekir:

. l ı = . -)) = . -;'() Z=0 Z=0 Z=0

(7.34)

(7.34) denklemi yans ıma ve k ı rı lmanın kinematik yaralar ı nı hep kapsar. Derhal üç dalga vektörünün de bir düzlemde bulunmas ı gerektiğ ini görürüz. Üstelik, Ş ekil 7.5'deki gösterimde

k sini = k' sin r = k" sin r'

(7.35)

dir. k"= k olduğundan, i = r' buluruz; yani geliş açı s ı yansıma açı sına eş ittir. Ayrıca (7.35) bağı ntı sı Snell yasas ını da verir:

sin i k' n' (7.36) n sin r k

Dipamik özellikler ise s ınır kosull,Fınd kapsanmaktad ı r: D ve B'nin dik bileşenleri süreklidir; E ve H'nin te ğet bile-ş enleri süreklidir <7.30)-(7.32) alanlar ı cinsinden z = O'daki bu s ınır koşulları şunlardı r:

= 0 Ç... -4.

Z. ( "E* + --.' 1 ) - f.; E ' . -ri.

o o o

+ x Ç._

-,. ' x kEit!'" x - k 7P._' : o o o

-4, . n= 0

(E + E" - E') x n = o o o

1

— (k x Eo + k" x E"o ) - 1 (k-› 'x E'o ) x n-ı

= 0 )u

(7.37)

Bu s ını r koşulları nı uygularken iki ayrı durumu gözönüne almak yararl ıdı r. Bunlardan birim de gelen dalga, kutuplanma vektörü geli ş düzlemine (i.C. ve 5- ile tanımlanan düzlem) dik olacak şekilde çizgisel kutupludur; diğerinde kutuplanma

369

vektörü geli ş düzlemine paraleldir. Keyfi eliptik kutuplu genel hali elde etmek için, Kesim 7.2'deki yöntemler izlenerek, bu iki sonucun uygun bir çizgisel kar ışı mı nı almak yeterlidir.

Ş ekil 7.6'da görüldüğü gibi, önce geli ş düzlemine dik elektrik alan ı nı gözönüne alal ım. Tüm elektrik alanlar ı , kağı t düzleminden içeriye doğru yönelmi ş lerdir. vektörlerinin yönelimi ise, dalga vektörlerinin yönünde pozitif bir enerji akışı olacak biçimde seçilmektedir. Elektrik alanlar ı nı n tümü yüzeye paralel olduğundan, (7.37) deki ilk s ı nır koşulu hiçbir ş ey vermez. (7.37)'deki üçüncü ve dördüncü denklemler şunları verirler:

Şekil 7.6- Geliş düzlemine dik kutuplanma durumunda yansıma ve kırı lma.

Şekil 7.7- Geliş düzlemine paralel kutuplanma durumunda yansıma ve kırı lma.

370

E + E" - E' =0 0 0 0

(7.38)

(Eo o

- E")cosi - E' cosr = 0 , o

İ kinci denklem, Snell yasas ı yla birlikte üçüncünün verdi ğ i bağı nt ıyı bir kez daha verir. K ı rı lan ve yans ıyan dalgaları n bağı l genlikleri (7.38)'den bulunabilir:

E GELİŞ DUZLEMINE D İ K DURUMDA : E'

o 2n cosi

Eo n cosi +:1-12-- n ,2 n2sin2i .

E"o

n cosi -)u '

n ,2 n2 sin2i ' P

t

Bu ifadelerdeki kare kökler n' cosr'dir; fakat onu geli ş açı s ı cinsinden yazmak için Snell yasas ı kullan ı lmış tır. Optik frekanslar için genelliklep/p' . 1 konabilir. (7.39) denklemi ile aş ağı da çı karacağı m ı z (7.41) ve (7.42) denklemleri, daha çok gerçel n ve n' ,1ü optik kesiminde kullan ı l ır; fakat bunlar asl ı nda karmal dielektrik sabitleri içinde geçerlidir.

Eğer elektrik alan ı geli ş düzlemihz paralel .44se, ekil 7.7'de görüldüğü gibi, s ı nı r koşulları D'nin dik, E ve {'nin teğetsel bileşenlerini kapsarlar [(7.37) 1 de birinci, üçüncü ve dördüncü denklemlerj. Teğetsel E ve -1-7 1 nin sürekliliğ i

cosi (E - E") - cosr E' = 0

0 0 0 (7.40)

xp(E E”)

„ti o o E' = O o

olmas ı nı gerektirir. Dik D'nin sürekliliği art ı Snell yasası yeniden üstteki ikinci denklemi verir. Dolay ı s ıyla kırı lan ve yansıyan alanlar ı n bağı l genlikleri ş öyledir:

(7.39)

Eo n cosi + n

,2 n2 sin2i

371

GELI Ş DÜZLEMİ NE PARALEL DURUMDA :

E' o 2nn' cosi

Eo

. P n' 2 cosi + nin'

2 - n

2 s ı n 2. ı ıll'

E" P n ' 2 cosi - njn'2

- n2 sin ı

o P'

Eo ftl n , 2 cosi + n \in'

2 -

n2 sin

2i '

/1-I'

(7.41)

Dalganın arakesit yüzeyine dik olarak gelmesi halinde (i = O), (7.39) ve (7.41)'in her ikisi de ş u ş ekle indirgenir:

E' o 2 2n

Eo ffl£ + 1 n' + n

.ıff.

E" /'-----LÇ-'' 1 o = ,u'E n' - n

Eo n' + n » e' ± 1

(7.42)

En sağdaki sonuçlar = >ı için geçerlidir. Yans ı yan dalga için üstteki ortak ifadede geli ş düzlemine paralel kutuplanma-nın i ş areti al ı nmış t ır. Buna göre, eğer n':>n ise, yans ı yan dalga için bir faz terslenmesi var demektir.

7.4- Yansımayla Kutuplanma ve Tam İç Yansıma

Yans ıma ve k ı r ı lmayla ilgili dinamik bağı nt ı ları n iki yönü değ inmeğe değer niteliktedir. Birincisi, geli ş düzlemine paralel kutuplanmada yans ıyan dalgay ı sı fı r yapan Brewster açısı denen bir geli ş açı sı nı n bulunmas ıdı r. Basit olsun diye

)1.1 1 = )u alarak,

i = tan 1 ( n ı ) B (7.43)

Brewster açı sına eş it bir geliş açı s ında (7.41)'deki yans ıyan dalga genliğ inin s ı fı r olduğunu buluruz. Tipik olan (n'/n) = 1,5 oranı için itk, 56° 'dir. Karışı k kutuplu bir düzlem dalga Brewster •.aç ıslyta düzlemsel bir arayüzey üzerine dü ş erse, yans ı yan dalga, kutuplanma vektörü geli ş düzlemine dik olacak

372

ş ekilde, tamamiyle düzlemsel kutuplu olur. Düzlem-kutuplu ışı k demetlerinin elde edilmesinde bu davran ış tan yararlanı labilir; fakat bazı dielektrik ortamları n izotropik olmayan özellikleri-ni kullanan diğ er yollar kadar verimli değ ildir. Kutuplanmam ış dalga Brewster aç ı s ından başka açı larda yans ı t ı lsa bile, yans ıyan dalganın.baskın olarak geli ş düzlemine dik kutuplanma eğ ilimi vard ır.Seçerek yaln ı zca bir kutuplanma doğrultusunu geçiren koyu gözlüklerin baş arı s ı bu gerçeğe dayanı r. Radyo frekanslar ı bölgesinde, al ıcı antenler, yüzeyden yans ıyan dalgalar ı (ve ayr ıca iyonosferden yans ı yanları ) doğ rudan gönderilen dalgadan ayı klayacak şekilde uygun olarak yönelti-lirler.

İkinci olaya tam iç yansıma denir. İ ç sözcüğü, gelen ve yans ıyan dalgaların, kı rı lan dalgan ınkinden daha büyük kı rı lma indisli bir ortamda olduklar ını söyler (n>n 1 ). (7.36) Snell yasas ı na göre, n>n' ise, r>i dir. Dolayı sı yla i = io iken r = It/2 olur; burada

io = sin 1 ( n ) (7.44)

dir. i = i aç ı s ında gelen dalgalar için, kırı lan dalga yüzeye paralel ol2rak yayı lır. Arayüzeyin diğ er tarafına enerji akışı yoktur.'Böylece bu geli ş açı sında tam yansıma olmal ıdır. i>i ise ne olur? Bunu yan ıtlamak için önce i>i için sinr > 1 ° olduğuna dikkat edelim. Bu, r'nin saf sanakosinüslü karmal bir açı olduğunu söyler:

cosr = i [( sana )2 1

sinı o (7.45)

Bu karmal niceliklerin anlam ı , k ı r ı lan dalganı n yayı lma çarpa-nını ele aldığı mı z zaman açı kl ık kazanı r:

, 4. eı k' . x = eiki(x sinr + zcosr) ) 2-1 1/2z.

= e o

eik'(sini/sinio )x (7.46)

Buradan da, i >i için k ı rı lan dalganın yalnı zca arayüzeye paralel olarak yayı ldığı ve arayüzeyden içerlerde üstel olarak söndüğü görülür. Bu sönme, i i o hali dışı nda, s ını rın birkaç dalgaboyu içerisinde olur.

Yüzeyin öbür yan ında alanlar varolsa bile, yüzeyin öbür yanına enerji ak ışı yoktur. Dolay ı sıyla i>io için tam iç

373

yans ıma olur. Yüzeyin hemen içerisinde Poynting vektörünün zaman-ortalamal ı dik bileş eni, yani

- .1 .4. S . n = c Re [n . (E' x H' ) (7.47)

hesaplanarak, enerji ak ı sı nın olmayışı doğrulanabilir. c .4.

H' = — (k' xE' ) kullan ırsak,

2 c S .

-

n = Re 1-' o 1 2 (7.48) 81141'

buluruz. Fakat n . k' = k' cosr saf sanaldı r; öyleyse -":!. . n

•

=0 dı r. cosr'nin (7.45)'deki saf sanal değeri çarpı n', (7.39) ve

(7.41) Fresnel formüllerinde gözüken kare kök yerine konacak olan uygun niceliktir. Ş imdi ufak bir kontrol E"/E oranlar ının mutlak değerce bir olduğunu gösterir; fizikse? olarak tam iç yansıma da zaten bunu gerektirir. Bununla beraber, yans ıyan dalga bir faz değ işmesine uğrar; bu faz değ işme iki tür geli ş için farklıdı r ve geliş açı sı ile (nin') ye bağ lıdır. Bu faz değ işmeleri bir tür kutuplanmay ı diğerine çevirmede kullan ı la-bilir. Fresnel'in rhombus'u böyle bir aygı ttır; eş it genlikler-le geliş düzleminde ve ona dik olarak çizgisel kutuplu ışı k, bu aygı tla her biri 45° 'lik bir bağı l faz değ işimi içeren ardarda iki iç yans ıma ile dairesel kutuplu ışığ a çevrilir (bak. Born ve Wolf, sayfa 50).

Şiddet kaybı olmaks ı zın ışı k gönderilmesini gerektiren birçok uygulamada tam yans ıma olayından yararlanı lır. Çekirdek ve parçac ı k fiziğinde, iyonlayı cı parçacığı n geçmesi nedeniyle sintilasyon kristalinden yay ı nlanan ışığı fotoçoğ alt ıcı tüpe (ki burada ele gelir bir elektrik sinyaline çevrilir) taşı mada plastik " ışı k boruları " kullanı lır. Yer darl ığı ya da manyetik alanların iş lemeyi bozmas ı nedeniyle fotoçoğ altıcı tüp sinti-lasyon kristalinden biraz uzağ a konmal ıdır. Işı k borusu sözko-nusu ışı nımın dalgaboyuna göre çok daha büyük kesitli ise, düzlemsel arayüzey için yapt ığı mı z inceleme yaklaşı k olarak geçerlidir. Bununla beraber, dielektrik borunun kesitsel boyutları bir dalgaboyu basamağı nda olduğunda, torunun kesin geometrisi hesatkatı lmal ıdı r. Bu durumda yayı lma, bir dielekt-rik dalga kı lavuzundaki yay ı lmadır (bak. Kesim 8.10).

374

7.5- Dielektrikler, İ letkenlerin ve Plazmaların Frekans Dağı tma Özellikleri

Kesim 7.l'de geçirgenlik ve al ı nganlığı n frekanstan bağı m-s ı z olduklar ı varsayı lmış t ı r. Frekansa göre dağı tmanın olmayışı , (7.7) genel çözümünün gösterdi ği gibi, dalga katarlarının bozulmadan yay ı lmas ı sonucuna yol açıyordu. Gerçekte tüm ortamlar bir miktar dağı tma gösterirler. Yaln ı zca s ı nırl ı bir frekans bölgesi üzerinde ya da bo ş lukta yayı lma hı zı frekansa göre sabit olarak i ş leme sokulabilir. Kuşkusuz önceki kesimle-rin bir tek frekans bile ş enini içeren tüm sonuçlar ı , dağı tmanın varl ığı halinde de geçerlidir. Yaln ı zca)u ve Vun değerlerinin, gözönüne al ınan frekansa uygun değerler olarak yorumlanmas ı gerekir. Bununla beraber, bir frekans bölgesinin üstüste gelmesi sözkonusu olduğu yerde, e ve)uinün frekansa bağ lı lığı -nı n bir sonucu olarak yeni etkiler ortaya ç ı kar. Bu sonuçlar ın baz ı ları nı incelemek için, hiç olmazsa basit bir da ğı tma modeli ge],i ş tirmemiz gerekir.

o) £(4)) için Basit Model :

Dağı tma fiziğ inin hemen hemen tümü, Kesim 4.6'da betimlenen klasik modelin zamanla değ işen alanlara geni ş letilmesiyle anlatı labilir. Basit olsun diye, uygulanan elektrik alan ı ile yerel alan aras ı ndaki fark ı ihmal edeceğ iz. Bu yüzden modelimiz yalnı zca oldukça düşük yoğunluklu maddeler için uygun olacak-t ı r. İ stenirse, (4.69)'un kullan ı lmasıyla bu eksiklik gideri-lebilir. Geçirgenlik bire eşit alınacakt ır. (4.71) harmonik kuvvetiyle bağ l ı bulunan ve üzerine -Er(2',t) elektrik alan ı etkiyen bir elektronun hareket denklemi

m[;-('+ ıt,)2 )- = o (7.49)

dir; burada \IÇ fenomenolojik sönüm kuvvetinin ölçüsünü gösterir. (7.49) 'da manyetik kuvvet etkileri ihmal edilmektedir. Bir baş ka yaklaş tı rma olarak, titreş im genliğ inin yeterince küçük olduğunu ve dolay ı sıyla elektrik alanını elektronun ortalama konumunda değerlendirebileceğ imizi varsay ıyoruz. Eğer alan zamana göre G3 'frekans ıyla e- LW'h biçiminde harmonik olarak değ iş irse, bir elektronun verece ğ i çift-kutup momenti şudur:

.4. e 2 2 . P = ex = ((.02 -LO - 3.4))

-1 E

-4. (7.50) m o

Birim hacimde N molekül ve bir molekülde Z elektron bulunduğunu ve tümü için bir tek bağ lanma frekans ı yerine, her molekülde fj

375

elektronun W. frekans ıyla bağ landığı nı ve sönüm sabitinin olduğunu varâyarsak, o zaman dielektrik sabiti 1 + 47(7e. e'

W) = 1 + 4ttNe2

E( \--- f ( . c02 .._ 12 _ j.<43?),. rı

m .i= 3 3 3 3

ile verilir; buradaki f. titreş ici ş iddetleri J

= Z

(7.51)

(7.52)

J toplam kuralı nı sağ larlar. f., ve Winin uygun kuantum mekaniksel tanımlarıyla, (7.51) i?adesi, 3dielektrik sabitine atomik katkının doğru bir anlatımını verir.

b) Anormal Dağı tma ve Rezonans Soğunnası

sönüm sabitleri, genel olarak (0. bağ lanma ya da rezonans frekatisları yanında küçiiktürler. Bu neaekle E(W) prçok frekans için yaklaşı k olarak gerçeldir. ((.d - W ) -1 çarpanı , W<CO. için pozitif ve (0 >, (4. için (.1gatiftir. Böylece, en küçüQ Winin alt ındaki düşük frkanslarda, (7.51)'deki toplam ın tüm terimleri pozitif i ş aretle katk ıda bulunur ve EM birden büyüktür. Ardarda W. değerleri geçildikçe, toplamda gitgide negatif terimler holiaşı r ve sonunda tüm toplam negatif olur; artık EM birden küçüktür. Kuşkusuz her (4). nin komşuluğunda, oldukça ş iddetli bir davran ış vardı r. CO= 2j. 1 deki terim için (7.51)'deki paydan ın gerçel k ısmı s ı fır oilr ve terim hem büyüktür, hem de saf sanald ır. Ardarda gelen iki rezonans frekansı dolayında E(w)'nın gerçel ve sanal k ı sımlarının genel çizgileri Şekil 7.8'de görülmektedir. Normal da ğı tma ReEM

'nın(Wya göre yükselmesiyle ilgilidir; anormal da ğı tmada ise bunun tersi sözkonusudur. Normal dağı tma, bir rezonans frekansı nın komşuluğu dışı nda her yerde ortaya çıkmaktad ır. Ve yalnı zca anormal dağı tmanın var olduğu yerlerde Z'un sanal kı smı büyüktür. £. 'un pozitif sanal k ısmı elektromanyetik dalgadan ortama enerji yitirildiğ ini gösterdiğinden, Im 'un büyük olduğu bölgelere rezonans soğurması bölgeleri denir. *

Bir düzlem dalgan ın zayı flamas ı , en kestirme biçimde k dalga sayı sının gerçel ve sanal k ı s ımları cinsinden ifade edilir. Dalga say ı s ı

* ImIE.40 ise, ortam taraf ı ndan dalgaya enerji verilir; maser ya da laser'de oldu ğ u gibi, dalgada büyüme ortaya ç ı kar. M.Borenstein and W_E.Lamb, Phys. Rev. AS, 1293 (1972) makalesine bak ı n ı z.