04 Kinematyka 39 KINEMATYKA CIAŁA SZTYWNEGO KINEMATYKA: opis ruchu ciał bez wnikania w związki mię- dzy ruchem a jego przyczyną (opis geometryczny). RUCH CIAŁA: zjawisko zmiany położenia ciała w czasie względem innego ciała, umownie przyjętego za nieruchome RUCH JEST POJĘCIEM WZGLĘDNYM UKŁAD ODNIESIENIA Z I E M I A MECHANIKA KLASYCZNA: ruch ciała odbywa się z prędko- ściami bardzo małymi w porównaniu z prędkością światła PRZESTRZEŃ EUKLIDESOWA CZAS: pojęcie pierwotne CZAS JEST NIEZALEŻNY OD MATERII I PRZESTRZENI. CZAS JEST NIEODRACALNY. JEDNOSTKI MIARY W KINEMATYCE: metr, sekunda
24
Embed
KINEMATYKA CIAŁA SZTYWNEGO - tu.kielce.plgrysa/TZ3.pdf · 04 Kinematyka 40 KINEMATYKA PUNKTU OPIS RUCHU PUNKTU W FUNKCJI CZASU 1. Współrzędne prostokątne (kartezjańskie). 2.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
04 Kinematyka 39
KINEMATYKA CIAŁA SZTYWNEGO
KINEMATYKA: opis ruchu ciał bez wnikania w związki mię-dzy ruchem a jego przyczyną (opis geometryczny).
RUCH CIAŁA: zjawisko zmiany położenia ciała w czasie względem innego ciała, umownie przyjętego za nieruchome
RUCH JEST POJĘCIEM WZGLĘDNYM
UKŁAD ODNIESIENIA Z I E M I A
MECHANIKA KLASYCZNA: ruch ciała odbywa się z prędko-ściami bardzo małymi w porównaniu z prędkością światła
PRZESTRZEŃ EUKLIDESOWA
CZAS: pojęcie pierwotne
CZAS JEST NIEZALEŻNY OD MATERII I PRZESTRZENI. CZAS JEST NIEODRACALNY.
JEDNOSTKI MIARY W KINEMATYCE: metr, sekunda
04 Kinematyka 40
KINEMATYKA PUNKTU
OPIS RUCHU PUNKTU W FUNKCJI CZASU 1. Współrzędne prostokątne (kartezjańskie). 2. Wektor wodzący. 3. Naturalny – współrzędna łukowa wzdłuż toru. 4. Inny – współrzędne biegunowe, walcowe, sferyczne.
PODSTAWOWE POJĘCIA
– TOR PUNKTU (trajektoria): linia ciągła, będąca miejscem geometrycznym kolejnych położeń ruchomego punktu w przestrzeni.
– RÓWNANIA RUCHU PUNKTU: x = x(t) y = y(t) z = z(t).
– promień (wektor) wodzący: r = r(t), r = x(t) i + y(t) j + z(t) k rx = x(t) ry = y(t) rz = z(t).
– RÓWNANIE TORU PUNKTU: równanie krzywej otrzymanej z
równań ruchu po wyeliminowaniu czasu t.
– CHWILOWOŚĆ RUCHU: badanie parametrów ruchu (po-
łożenie, droga, prędkość, przyspieszenie w określonej chwili
czasu t).
Styczna do toru
Normalna do toru
Wektor prędkości
04 Kinematyka 41
MOŻLIWOŚCI OPISU RUCHU PUNKTU W PŁASZCZYŹNIE
Współrzędne biegunowe na płaszczyźnie
r = f1(t) = f2(t)
x = r cos y = r sin
Współrzędne biegunowe w przestrzeni
r = f1(t) = f2(t) = f3(t)
x = r sin cos
y = r sin cos
z =r cos
Współrzędne walcowe
r' = f1(t) = f2(t) z = f3(t)
x = r' cos y = r' sin z z
Równanie ruchu punktu na torze
s = f(t)
A0 t = 0, s = 0 s(t) – droga
04 Kinematyka 42
Z równanie ruchu w prostokątnym układzie współrzędnych obli-cza się współrzędne wektora prędkości i przyspieszenia.
Z warunku aby 3 punkty nie leżały na jednej prostej:
drrcrrbrr BCACAB
22
CB
2
CB
2
CB
22
CA
2
CA
2
CA
22
BA
2
BA
2
BA
d)zz()yy()xx(
c)zz()yy()xx(
b)zz()yy()xx(
xA,B,C, yA,B,C, zA,B,C współrzędne punktów A, B, C (9) Więzy: 3 równania (b, c, d = const)
CIAŁO SZTYWNE W PRZESTRZENI MA 6 STOPNI SWOBODY (9 – 3 = 6)
04 Kinematyka 56
RUCH POSTĘPOWY
W ruchu postępowym wszystkie punkty ciała poruszają się po identycznych torach, w każdej chwili posiadają takie same
prędkości i przyspieszenia (wartość, kierunek i zwrot).
Dla analizy ruchu postępowego wystarczy określenie ruchu jednego punktu ciała.
Przykłady ruchu postępowego
Inne przykłady:
– ruch tłoka w cylindrze,
– ruch klatki dźwigu,
– nieruchomo siedzący pasażer autobusu (pociągu).
04 Kinematyka 57
RUCH OBROTOWY
W ruchu obrotowym dwa punkty sztywno związane
z ciałem pozostają nieruchome wyznaczając
nieruchomą oś obrotu ciała.
C1
r
v
C1
r
v
a
n
ta
a
Rozkład prędkości i przyspieszeń w płaszczyźnie pro-
stopadłej do osi obrotu ciała.
Dla punktu C: równanie ruchu: )t(rs
Prędkość punktu: )t(rdt
dr
dt
dsv
.
Prędkość kątowa:
s
rad
dt
d
30
n
60
n2
.
Przyspieszenie styczne:
rdt
dr
dt
dva t .
Przyspieszenie kątowe:
2s
rad
dt
d.
Przyspieszenie dośrodkowe: rr
r
r
va 2
222
n
Przyspieszenie wypadkowe: 42ra
(Porównaj ruch punktu po okręgu)
04 Kinematyka 58
RUCH PŁASKI
Analiza ruchu płaskiego sprowadza się do badania ruchu
jednego przekroju ciała, będącego figura płaską.
Dowolne przemieszczeni figury płaskiej może być dokona-
ne za pomocą obrotu wokół punktu zwanego chwilowym
środkiem obrotu.
RUCH PŁASKI JAKO CHWILOWY RUCH OBROTOWY
04 Kinematyka 59
TWIERDZENIE O RZUTACH PRĘDKOŚCI
Rzuty prędkości dwóch punktów A i B ciała sztywnego na prostą łączącą te punkty są sobie równe.
A
B
v
Z
AZ
BZvA
Bv
v
W każdej chwili t rzut prędkości vA na prostą AB równa się rzutowi prędkości vB na tą prostą.
BZAZ vv → cosvcosv BA
Przykłady ruchu płaskiego
04 Kinematyka 60
TOCZENIE SIĘ KOŁA PO LINII POZIOMEJ BEZ POŚLIZGU
Koło (tarcza) o promieniu r toczy się bez poślizgu po poziomej linii. Środek koła A jest w ruchu jednostajnym, punkt styku C jest chwilowym środkiem obrotu. Dla danej prędkości vA(t) otrzymuje się:
.r
)t(a)t()t(,
r
)t(v)t(),t(v
dt
)t(dva AA
AAA
A
Dla znanych funkcji ω(t) oraz ε(t) otrzymuje się:
.r)t()t(a,r)t()t(v AA
C
vA aA
(t) (t)
r r rA A
C C
(t)vA (t)vA
aA
A
321
Trzy przypadki toczenia się krążka bez poślizgu: 1. Ruch jednostajny (rys. 1):
.0a,rv0)t(,const)t( AA
2. Ruch jednostajnie przyspieszony (rys. 2):
.ra,rtv,const)t(,t)t( A0A0
3. Ruch jednostajnie opóźniony (rys. 3):
.ra,rt)(v,const)t(,t)()t( A0A0
Prędkości punktów na obwodzie koła wyznacza się metodą superpozycji (wyznaczając składową postępową wektora vA) lub metodą chwilowego środka obrotu. Przyspieszenia wyznacza się metodą superpozycji (skła-dowa postępowa wektora aA). W przypadku toczenia się koła z poślizgiem, w punkcie styku koła z linią
pozioma należy uwzględnić „prędkość poślizgu” 0. Powoduje to zmia-nę położenia chwilowego środka obrotu C.
04 Kinematyka 61
RUCH PŁASKI SKŁADA SIĘ Z CHWILOWEGO RUCHU POSTĘ-POWEGO ORAZ CHWILOWEGO RUCHU OBROTOWEGO
0A0A vvv
OAvv 0A0A OA
Chwilowa prędkość kątowa względem bieguna dt
d = const
AOOA aaa
n
AO
t
AOAO aaa
Całkowite przyspieszenie punktu A:
n
AO
t
AOOA aaaa
Prędkość dowol-nego punktu A
Prędkość bieguna 0 (prędkość ruchu postępowego)
Prędkość punktu A względem bieguna 0
(prędkość ruchu obrotowego)
Przyspieszenie punktu A
Przyspieszenie bieguna O Przyspieszenie w chwilowym ruchu obrotowym wokół bieguna A
Przyspieszenie styczne Przyspieszenie normalne
04 Kinematyka 62
RUCH ZŁOŻONY PUNKTU
OXYZ – nieruchomy układ osi współrzędnych O’X’Y’Z’ – ruchomy układ osi współrzędnych
Ruch bezwzględny punktu A względem OXYZ: V
Ruch względny punktu A względem O’X’Y’Z’: wV
Ruch unoszenia punktu układu ruchomego O’X’Y’Z’
względem nieruchomego OXYZ: uV
Prędkość bezwzględna punktu A w ruchu złożonym jest wypad-
kową prędkości unoszenia Vu i prędkości względnej
Vw .
uw VVV
Przyspieszenie w ruchu złożonym:
Cuw aaaa
Przyspieszenie Coriolisa – dodatkowe przyspieszenie, wynika-jące z jednoczesności ruchu względnego i ruchu unoszenia.