Politechnika Opolska | Opole University of Technology | www.po.opole.pl Wydział InżynierIi Produkcji i Logistyki | Faculty of Production Engineering and Logistics | www.wipil.po.opole.pl Klasyfikacja ruchów Ruch jednostajny prostoliniowy Ruch jednostajnie zmienny Spadek swobodny Rzut pionowy w dół i w górę Rzut poziomy i rzut ukośny Ruch jednostajny po okręgu Wielkości kątowe KINEMATYKA
28
Embed
KINEMATYKA - b.klimesz.po.opole.pl · RUCH JEDNOSTAJNY PROSTOLINIOWY Ruch jednostajny prostoliniowy (r.j.pr.) jest to ruch, w którym ciało w jednakowych odstępach czasu przebywa
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Politechnika Opolska | Opole University of Technology | www.po.opole.pl
Wydział InżynierIi Produkcji i Logistyki | Faculty of Production Engineering and Logistics | www.wipil.po.opole.pl
Klasyfikacja ruchów
Ruch jednostajny prostoliniowy
Ruch jednostajnie zmienny
Spadek swobodny
Rzut pionowy w dół i w górę
Rzut poziomy i rzut ukośny
Ruch jednostajny po okręgu
Wielkości kątowe
KINEMATYKA
tor ruchu
ruch prostoliniowy
ruch krzywoliniowy
prędkość
ruch jednostajny V = const.
ruch jednostajnie
zmienny V ~ t
ruch niejednostajnie
zmienny V (t)
RUCH JEDNOSTAJNY PROSTOLINIOWY Ruch jednostajny prostoliniowy (r.j.pr.) jest to ruch, w którym
ciało w jednakowych odstępach czasu przebywa jednakowe
odcinki drogi (V = const.), a tor jest linią prostą.
Stałe są wszystkie cechy wektora V, a zatem Vśr = Vch.
Z definicji:
Ruch jednostajny prostoliniowy jest ruchem jednowymiarowym
(tylko jedna zmienna przestrzenna), można zatem zrezygnować z
zapisu wektorowego równań na rzecz zapisu (prostszego)
skalarnego:
0
0
tt
xx
tΔ
xΔV
𝑉 =∆𝑟
∆𝑡 , 𝑔𝑑𝑧𝑖𝑒 ∆ 𝑟 = 𝑖 ∆𝑥 + 𝑗 ∆𝑦 + 𝑘 ∆𝑧
𝑉 = 𝑖 ∆𝑥
∆𝑡+ 𝑗
∆𝑦
∆𝑡+ 𝑘
∆𝑧
∆𝑡
W r.j.pr. wykresem prędkości
w funkcji czasu jest prosta
równoległa do osi czasu.
Drogę przebytą przez ciało
(punkt materialny) znajdujemy
jako pole powierzchni pod
linią wykresu prędkości w
funkcji czasu.
V = c o n s t.
tt0
x = V t
t
pręd
ko
ść
V
[m/s
]
czas t [s]
Wykresem położenia, drogi
przebytej przez ciało (punkt
materialny) w funkcji czasu
jest prosta nachylona pod
pewnym kątem α do osi czasu.
Im większy jest kąt nachylenia
α, tym większa prędkość.
= tg = V x
t
t
x
xo
x = x o + v ( t
- t o)
po
łożen
ie
x
[m]
czas t [s]
RUCH JEDNOSTAJNIE ZMIENNY O ruchu jednostajnie zmiennym mówimy wówczas, gdy prędkość
ciała (punktu materialnego) zmienia się w sposób jednostajny
(a = const.).
Prędkość jest wielkością wektorową, może więc ulegać zmianie
ze względu na jej wartość lub kierunek, bądź obydwie te cechy
jednocześnie.
Ze względu na zmianę wartości V rozróżniamy:
r.j.p. - ruch jednostajnie przyspieszony (a > 0),
r.j.o. - ruch jednostajnie opóźniony (a < 0).
Przykładem ruchu jednostajnie zmiennego ze względu na zmianę
kierunku wektora prędkości jest ruch jednostajny po okręgu.
RUCH JEDNOSTAJNIE ZMIENNY
W ruchu prostoliniowym jednostajnie zmiennym (r.pr.j.z.) torem
ruchu jest linia prosta, a wektor prędkości zmienia się w sposób
jednostajny ze względu na jego wartość (w jednakowych
odstępach czasu prędkość zmienia się o tę samą wartość).
a = c o n s t.
tt0
V = a t
tprzy
sp
ieszen
ie
a
[m/s
2]
czas t [s]
W r.pr.j.z. wektor a = const.
(wszystkie jego cechy), a
wykresem przyspieszenia w
funkcji czasu jest prosta
równoległa do osi czasu.
Prędkość w dowolnym ruchu
zmiennym znajdujemy jako
pole powierzchni pod linią
przyspieszenia w funkcji czasu.
Z definicji (zapis wektorowy):
W ruchu jednowymiarowym można zrezygnować z zapisu
wektorowego równań :
gdzie:
ΔV - zmiana prędkości;
Δt - przedział czasu, w którym zmiana prędkości nastąpiła;
V0 - prędkość początkowa (prędkość w chwili czasu t0);
V - prędkość w chwili czasu t = t0 + Δt.
Zatem prędkość punktu materialnego (ciała) w ruchu jednostajnie
zmiennym przedstawia następujące równanie:
0
0
tt
VV
tΔ
VΔa
tΔ
VΔa
)( 00 ttaVV
Wykresem prędkości w funkcji
czasu jest prosta nachylona pod
pewnym kątem α do osi czasu.
Im większy jest kąt nachylenia α,
tym większe przyspieszenie.
Pole powierzchni pod linią
wykresu V = f (t) dla jest wprost
proporcjonalne do drogi x
przebytej przez to ciało (punkt
materialny) w czasie t.
x = V0t + ½ ·a t
2
V0 - 0t - t
0
V -
V0
Vo
V = f ( t )
pręd
ko
ść
V
[m/s
]
czas t [s]
Pole pod wykresem prędkości to pole trapezu równoważne sumie
pól prostokąta o wymiarach (V0 – 0) i (Δt = t – t0) oraz trójkąta
prostokątnego o podstawie (Δt = t – t0) i wysokości (ΔV = V – V0):
Ptrapezu = Pprostokąta + Ptrójkąta
2
0
2
0
0
0000 )()()()(
ta2
1tVxP
ta2
1tVP
taVt
Va
tV2
1tVP
VVtt2
1tt0VP
trapezu
trapezu
trapezu
trapezu
Wyprowadzenie:
ostatecznie: (parabola) 2
00 ta2
1tVxx
'= tg' =V'
t'x'
x'
t'
punkt styczności
x(t)
xo
po
łożen
ie
x
[m]
czas t [s]
SPADEK SWOBODNY Swobodny spadek - ruch ciała pod
wpływem siły grawitacyjnej (nie
występują żadne opory i tarcia).
W spadku swobodnym ciało porusza się
ruchem jednostajnie przyspieszonym z
przyspieszeniem ziemskim g i bez
prędkości początkowej (V0 = 0).
Równania ruchu ciała swobodnie
spadającego z wysokości h:
gdzie:
2
0,
2
2
0
2
00
gthgtV
gaVhs
attVsatVV
i
i
i
h
g
Q2 Q2
SPADEK SWOBODNY Swobodny spadek - ruch ciała pod
wpływem siły grawitacyjnej (nie
występują żadne opory i tarcia).
Równania ruchu ciała swobodnie
spadającego z wysokości h:
gdzie:
ghVg
ht k 2
2 i
2
0,
2
2
0
2
00
gthgtV
gaVhs
attVsatVV
i
i
i
h
g
Q2 Q2
RZUT PIONOWY W DÓŁ Rzut pionowy w dół - ruch w polu
grawitacyjnym Ziemi, w którym ciału
znajdującemu się na wysokości h
nadajemy prędkość początkową V0
skierowaną pionowo w dół.
W rzucie tym ciało porusza się ruchem
jednostajnie przyspieszonym z prędkością
początkową (V0 ≠ 0) i przyspieszeniem g.
Równania kinematyczne w tym ruchu:
gdzie:
2
0,
2
2
00
0
2
00
gttVhgtVV
gaVhs
attVsatVV
i
i
i
V0
h
g
Q2 Q2
RZUT PIONOWY W DÓŁ Rzut pionowy w dół - ruch w polu
grawitacyjnym Ziemi, w którym ciału
znajdującemu się na wysokości h
nadajemy prędkość początkową V0
skierowaną pionowo w dół.
ghVVk 22
0
UWAGA:
wzór wskazuje na wektorowy charakter
prędkości ciała przy zetknięciu z Ziemią,
gdyż Vk jest pierwiastkiem z sumy
kwadratów prędkości początkowej i
prędkości swobodnego spadku.
h V0
g
Q2 Q2
Rzut pionowy w górę - ruch w polu
grawitacyjnym Ziemi, w którym ciału
nadajemy prędkość początkową V0
skierowaną pionowo w górę.
W rzucie tym ciało porusza się ruchem
jednostajnie opóźnionym z prędkością
początkową (V0 ≠ 0) i opóźnieniem g.
Równania kinematyczne w/w ruchu:
gdzie:
RZUT PIONOWY W GÓRĘ
2
0,
2
2
00
0
2
00
gttVhgtVV
gaVhs
attVsatVV
i
i
i
hmax
V0
g
VhV
g
Vtw
2)0(
2
0max
0 i
Rzut pionowy w górę - ruch w polu
grawitacyjnym Ziemi, w którym ciału
nadajemy prędkość początkową V0
skierowaną pionowo w górę.
Równania kinematyczne w/w ruchu:
gdzie:
RZUT PIONOWY W GÓRĘ
2
0,
2
2
00
0
2
00
gttVhgtVV
gaVhs
attVsatVV
i
i
i
hmax
V0
RZUT POZIOMY Rzut poziomy - ruch, w którym ciału znajdującemu się na wysokości
h nadajemy prędkość początkową V0 skierowaną poziomo.
W rzucie tym ciało porusza się równocześnie dwoma ruchami: