Fizika 1 Kinematika rotacionog kretanja Tijelo rotira kada se sve tačke tijela kreću po kružnim putanjama čiji centri leže na osi rotacije. Rotaciono kretanje kod kojeg je tangencijalna brzina konstantna naziva se uniformno kružno kretanje. 1 Da bismo opisali rotaciono kretanje tijela pomoću jednačina kretanja prvo ćemo uvesti fizičke veličine kojima se opisuje ovo kretanje, a to su: pomjeraj, brzina i ubrzanje kod rotacionog kretanja. Ugaoni pomjeraj Posmatrajmo rotaciju krutog tijela (diska) oko fiksne ose O (pravac z) normalne na ravan diska (Slika). Uočimo tačku koja rotira oko ose rotacije O po kružnici radijusa r. Položaj tačke na rubu diska se može predstaviti polarnim koordinatama (r, ). Pri pomjeranju tačke iz položaja , koji ćemo smatrati referentnim položajem, u položaj +materijalna tačka pređe put s (dužina kružnog luka) i napravi ugaoni pomjeraj pri čemu važi da je: r s odnosno: r s gdje je s[m] pređeni put, r[m] radijus kružne putanje, θ[rad] ugaoni pomjeraj. Ovaj ugao za koji se pomjerio (zarotirao) disk naziva se ugaoni pomjeraj i izražava se u jedinicima za ugao – radijanima (rad). Radijan predstavlja centralni ugao za koji je poluprečnik kružnice jednak dužini odgovarajućeg kružnog luka rad 1 Ako posmatrana tačka opiše pun krug tada je dužina kružnog luka jednaka obimu kružnice poluprečnika r tj. r s 2 , a ugao rotacije tada iznosi: 2 2 r r r s Dakle, ukoliko materijalna tačka napravi ugaoni pomjeraj (opiše ugao) 2 znači da je napravila jedan puni obrtaj. To zači da su radijan i stepen povezani izrazom: 1 Rotaciono kretanje kod kojeg je tangencijalna brzina konstantna naziva se uniformno kružno kretanje . SLIKA 1. MATERIJALNA TAČKA IZ POLOŽAJA P ROTIRA OKO OSE O, NORMALNE NA RAVAN X-Y, U SMJERU SUPROTONOM SMJERU KRETANJA KAZALJKE NA SATU (SLIKA LIJEVO). U POČENOM TRENUTKU TI MATERIJALNA TAČKA P SE NALAZI U POLOŽAJU I, A U KRAJNJEM TRENUTKUTF MATERIJALNA TAČKA SE NALAZI U POLOŽAJU Q. (SLIKA DESNO).
17
Embed
Kinematika rotacionog kretanja - aggf.unibl.orgaggf.unibl.org/uploads/attachment/vest/4470/KinDinRotacije.pdf · relacije važe i za linijsku brzinu i ubrzanje kod pravolinijskog
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Fizika
1
Kinematika rotacionog kretanja Tijelo rotira kada se sve tačke tijela kreću po kružnim putanjama čiji centri leže na osi rotacije.
Rotaciono kretanje kod kojeg je tangencijalna brzina konstantna naziva se uniformno kružno
kretanje. 1
Da bismo opisali rotaciono kretanje tijela pomoću jednačina kretanja prvo ćemo uvesti fizičke
veličine kojima se opisuje ovo kretanje, a to su: pomjeraj, brzina i ubrzanje kod rotacionog
kretanja.
Ugaoni pomjeraj Posmatrajmo rotaciju krutog tijela (diska) oko fiksne ose O (pravac z) normalne na ravan diska
(Slika). Uočimo tačku koja rotira oko ose rotacije O po kružnici radijusa r. Položaj tačke na rubu
diska se može predstaviti polarnim koordinatama (r, ). Pri pomjeranju tačke iz položaja , koji
ćemo smatrati referentnim položajem, u položaj + materijalna tačka pređe put s (dužina
kružnog luka) i napravi ugaoni pomjeraj pri čemu važi da je:
rs
odnosno:
r
s
gdje je s[m] pređeni put, r[m] radijus kružne
putanje, θ[rad] ugaoni pomjeraj.
Ovaj ugao za koji se pomjerio (zarotirao) disk
naziva se ugaoni pomjeraj i izražava se u
jedinicima za ugao – radijanima (rad).
Radijan predstavlja centralni ugao za koji je
poluprečnik kružnice jednak dužini
odgovarajućeg kružnog luka
rad1
Ako posmatrana tačka opiše pun krug tada je
dužina kružnog luka jednaka obimu kružnice
poluprečnika r tj. rs 2 , a ugao rotacije tada iznosi:
22
r
r
r
s
Dakle, ukoliko materijalna tačka napravi ugaoni pomjeraj (opiše ugao) 2 znači da je napravila
jedan puni obrtaj. To zači da su radijan i stepen povezani izrazom:
1 Rotaciono kretanje kod kojeg je tangencijalna brzina konstantna naziva se uniformno kružno kretanje.
SLIKA 1. MATERIJALNA TAČKA IZ POLOŽAJA P ROTIRA OKO OSE O, NORMALNE NA RAVAN X-Y, U SMJERU SUPROTONOM SMJERU
KRETANJA KAZALJKE NA SATU (SLIKA LIJEVO). U POČENOM
TRENUTKU TI MATERIJALNA TAČKA P SE NALAZI U POLOŽAJU I, A U
KRAJNJEM TRENUTKUTF MATERIJALNA TAČKA SE NALAZI U
POLOŽAJU Q. (SLIKA DESNO).
Fizika
2
orad 3602
odavde je:
oradradrad 3,57
180
2
3601
00
Ugaona brzina Posmatrajmo materijalnu tačku koja rotira oko nepokretne ose koja prolazi kroz tačku O i
normalna je na ravan x-y. U početnom trenutku ti materijalna tačka se nalazi u položaju P i ima
položaj i, a u krajnjem trenutku tf materijalna tačka se nalazi u položaju Q kojem odgovara položaj
f . Dakle, za vrijeme t=tf-ti materijalna tačka se pomjerila iz položaja P u položaj Q i pri tome
opisala ugaoni pomjeraj:
if
gdje je f[rad] krajnji položaj materijalne tačke izražen u radijanima, a i[rad] početni položaj
materijalne tačke izražen u radijanima.
Po analogiji sa translatornim kretanjem može se uvesti srednja ugaona brzina kao ugaoni
pomjeraj θ koji materijalna tačka napravi u toku vremenskog intervala t:
s
rad
tttw
if
tf
Ugaona brzina izražava se u radijanima po sekundi (rad/s).
Trenutna ugona brzina definiše se kao granična vrijednost srednje ugaone brzine kada je
vremenski interval infinitezimalno mali (t0), odnosno:
dt
d
tw
t
lim
0
.
Pravac vektora ugaone brzine je pravac ose rotacije materijalne tačke ili krutog tijela, međutim
smjer vektora ugaone brzine se određuje pravilom desne ruke (Slika): Ako prsti prate smjer rotacije
tada palac pokazuje smjer vektora ugaone brzine tako da je u slučaju rotacije u smjeru suprotnom
smjeru kazaljke na satu smjer ugaone brzine pozitivan (Slika - lijevo), a u slučaju rotacije u smjeru
kazaljke na satu smjer ugaone brzine je negativan (Slika - desno).
Napomena: Ugaona brzina kao vektorska veličina je naročito značajna kada se pravac ose rotacije
mijenja tokom kretanja.
SLIKA 2. KADA RASTE TADA JE W>0, A KADA OPADA TADA JE I W<0.
Fizika
3
SLIKA 3. AKO PRSTI POKAZUJU SMJER ROTACIJE TIJELA TADA PALAC POKAZUJE SMJER VEKTORA UGAONE
BRZINE.
Ugaono ubrzanje Kada se intenzitet ugaone brzine krutog tijela mijenja tokom
vremena znači da tijelo ubrzava ili usporava.
Srednje ugaono ubrzanje definiše se kao količnik promjene
ugaone brzine w i intervala vremena t u toku kojeg je
promjena nastala:
2s
rad
t
w
tt
ww
if
tf
Srednje ugaono ubrzanje je dakle promjena ugaone brzine u
jedinci vremena, obilježava se sa , a izražava u rad/s2.
Slično kao i kod translatornog kretanja trenutno (ugaono)
ubrzanje definiše se kao granična vrijednost srednjeg (ugaonog)
ubrzanja kada t0:
2
2
0lim dt
d
dt
dw
t
w
t
.
Vektor ugaonog ubrzanja dat je izrazom:
dt
wd
Pri rotacionom kretanju, ukoliko je ugaono ubrzanje pozitivno,
tada ugaona brzina w raste, a ukoliko je negativno tada w opada. Rotaciono kretanje je ubrzano
ukoliko su i w istog predznaka i usporeno ukoliko su i w različitog predznaka. (Analogne
relacije važe i za linijsku brzinu i ubrzanje kod pravolinijskog kretanja).
Kada rotira oko nepokretne ose svaka čestica krutog tijela rotira kroz isti ugao, ima istu ugaonu
brzinu i isto ugaono ubrzanje.
Ravnomjerno-ubrzano rotaciono kretanje tijela Ukoliko se ugaono ubrzanje ne mijenja tokom vremena tada se tijelo kreće ravnomjerno-ubrzano
(kretanje tijela konstantnim ugaonim ubrzanjem), odnosno, =const.
SLIKA 4. AKO PRSTI POKAZUJU
SMJER ROTACIJE TIJELA TADA
PALAC POKAZUJE SMJER
VEKTORA UGAONE BRZINE.
KADA JE OSA ROTACIJE
NEPOKRETNA UGAONA BRZINA
I UGAONO UBRZANJE IMAJU
ISTI PRAVAC.ROTACIONO
KRETANJE JE UBRZANO
UKOLIKO SU A I W ISTOG
SMJERA (SLIKA LIJEVO) I
USPORENO UKOLIKO SU A I W
RAZLIČITOG SMJERA (SLIKA
DESNO).
Fizika
4
Neka se tijelo kreće ravnomjerno-ubrzano pri čemu u početnom trenutku ti=0 ima ugaonu brzinu
wi=w0, a u krajnjem trenutku tf=t brzinu wf=w, tada je njegovo trenutno ugaono ubrzanje dato
izrazom:
dt
dw .
Razdvajanjem promjenljivih veličina i integracijom po dw i dt:
tw
w
dtdw00
dobija se ugaona brzina pri ravnomjerno-ubrzanom rotacionom kretanju krutog tijela:
tww 0
Izraz za ugaoni pomjeraj može se odrediti iz izraza za trenutnu ugaonu brzinu:
dt
dw
koristeći i prethodno uvedeni izraz za zavisnost ugaone brzine od vremena:
dttwd
t
0
0 )(
0
dobija se izraz za ugaoni pomjeraj kod ravnomjerno-ubrzanog rotacionog kretanja:
2
2
00
ttw
gdje je 0 početni ugao (koji odgovara položaju tijela u trenutku t=0).
Dalje se, eliminacijom vremena iz izraza za ugaonu brzinu i izraza za ugaoni pomjeraj, može dobiti
veza između ugaonog pomjeraja, ugaonog ubrzanja i brzine:
22
0
2 ww
Pri uporenom kretanju važe iste jednačine u kojima umjesto znaka “+” ispred poslednjeg člana
stoji znak “-“.
Dakle, može se napraviti potpuna analogija između jednačina kinematike kod rotacionog i
linijskog kretanja konstantnim ubrzanjem:
tww o tvv 0
2
2
00
ttw
2
2
00
attvxx
22
0
2 ww axvv 22
0
2
Veza između ugaonih i linijskih veličina Posmatrajmo tačku P koja rotira oko nepokretne ose O u smjeru suprotnom smjeru kretanja
kazaljke na satu (Sika). Za interval vremena dt tačka P pređe put ds pa je njena linijska
(tangencijalna) brzina data relacijom:
Fizika
5
dt
dsv
Pošto je kružni luk s povezan sa ugaonim pomjerajem θ relacijom:
rs
gdje je r konstantno, izraz za brzinu se može transformisati u:
dt
rd
dt
dsv
Kako je trenutna ugaona brzna w=dθ/dt, zamjenom u prethodni
izraz dobija se veza između linijske i ugaone brzine kod rotaciong
kretanja:
wrv .
U vekorskom obliku veza između linijske i ugaone brzine data je
izrazom:
pri čemu je v brzina proizvoljne tačke krutog tijela koja se nalazi na odstojanju r od ose rotacije, a
w ugaona brzina kruog tijela.
Kada su vektor brzine i radijus vektor međusobno normalni (sin=1) izraz postaje:
wrv .
Da bismo pronašli vezu između tangencijalnog i ugaonog
ubrzanja posmatrajmo sada tačku P koja se kreće po kružnoj
putanji ubrzanjem a oko nepokretne ose O (Slika). Tačka P će
pored tangencijalnog ubrzanja usmjerenog duž tangente u
datoj tački sa smjerom koji se poklapa sa smjerom kretanja,
odnosno vektorom brzine u datoj tački, imati i centripetalno
ubrzanje usmjereno ka centru kružne putanje O:
22
rwr
va r
Kako je tangencijalno ubrzanje prvi izvod brzine po vremenu:
rdt
dwr
dt
dva r
Tako se ukupno linijsko ubrzanje može zapisati kao:
42422222 wrwrraaa rt
Primjer: Ugaona brzina osovine motora smanji se sa 200 rad/s na 140 rad/s u toku 5 s kretanja.
a) Koliko je ugaono ubrzanje točka?
b) Koliki je broj obrtaja koje osovina napravi?
SLIKA 6. ROTACIJA KRUTOG TIJELA KOJE SE
KREĆE UBRZANO OKO NEPOKRETNE OSE O.
UBRZANJE A TAČKE P IMA KOMPONENTU
DUŽ PRAVCA KRETANJA (TANGENTE U
DATOJ TAČKI) AT I PRAVCA DUŽ RADIJUSA
KRUŽNE PUTANJE AR.
rwrwv
rxwv
,sin
SLIKA 5. UOČENA MATERIJALNA
TAČKA NA RASTOJANJU R OD OSE
ROTACIJE SE KREĆE LINIJSKOM
BRZINOM V I UGAONOM BRZINOM W.
SLIKA 7. ROTACIJA KRUTOG
TIJELA OKO NEPOKRENTE OSE O
KOJA JE NORMALNA NA RAVAN
XY I LEŽI NA OSI Z
KOORDINATNOG SISTEMA.
Fizika
6
Rješenje:a) Iz uslova zadatka vidimo da je dato ravnomjerno-usporeno rotaciono kretanje, pa se ugaono
ubrzanje može direktno odrediti iz izraza za ugaonu brzinu: tww o
2
0 125
140200
s
rad
s
s
rad
s
rad
t
ww
Broj obrtaja može se odrediti iz izraza za ugaoni pomjeraj pri ravnomjerno-usporenom kretanju:
radss
rads
s
radttw 850512
2
15200
2
2
2
2
0
i izraza kojim je ugaoni pomjeraj povezan sa brojem obrtaja. Ako jednom obrtaju odgovara ugaoni pomjeraj
2, onda će pri N obrtaja ugaoni pomjeraj biti:
a odavde 35,13514,32
850
2
rad
radN
Primjer: Odrediti centripetalno ubrzanje tačke koje se nalazi 7,5 mm od ose rotacije ako pri centrifugiranju
pravi 7500 obrtaja u minuti.
Rješenje: Centripetalno ubrzanje može se odrediti iz izraza: 22
rwr
va r
Pošto je r poznato w se može odrediti preko broja obrtaja:
2. Automobil mase m kreće se po kružnoj putanji poluprečnika r brzinom v po kružnom toku:
a. Kolika tangencijalna sila djeluje na tijelo?
b. Koliki moment proizvodi tangencijalna sila?
c. Koliki moment sile proizvodi normalna sila?
3. Ako je ukupan moment spoljašnjih sila koje djeluju na tijelo nula šta se može reći o momentu impulsa
tijela?
4. Koji izraz povezuje tangencijalnu i ugaonu brzinu?
5. Kako je usmjeren vektor ugaone brzine ako tijelo rotira u smjeru kazaljke na satu?
Fizika
7
Dinamika rotacionog kretanja Centar mase sistema Posmatrajmo sistem koji se sastoji od N čestica čije su mase m1,m2,....,mN, a njihovi vektori
položaja u posmatranom trenutku Nrrr
,...,, 21 . Centar mase definiše se kao tačka s vektorom
položaja:
N
i
i
N
i
ii
N
NN
c
m
rm
mmm
rmrmrmr
1
1
21
2211
...
...
Centar mase sistema kreće se kao materijalna tačka u kojoj bi bila skoncentrisana cjelokupna masa
sistema i na koju bi djelovala rezultantna sila.
Moment inercije tijela Kod rotacije krutog tijela pored mase tijela važno je i kako je masa raspoređena u odnosu na osu
rotacije. Zato se uvodi veličina koja se naziva moment inercije tijela, a predstavlja kvantitativnu
mjeru za inerciju tijela pri rotacionom kretanju. Za materijalnu tačku moment inercije se može
zapisati u obliku: 2rmI
gdje je m[kg] masa materijalne tačke, r[m] rastojanje materijalne tačke od ose rotacije.
Kako odrediti moment inercije krutog tijela? Ako kruto tijelo podijelimo na sastavne dijelove
(čestice) mase mi na rastojanju ri od ose rotacije moment inercije krutog tijela u odnosu na osu
rotacije se može dobiti sumiranjem momenata inercije svih čestica koje čine tijelo u odnosu na osu
rotacije i zapisati u obliku:
n
i
iirmI1
2.
Moment inercije je skalarna veličina i izražava se u kg·m2.
Iz poslednje jednačine može se zaključiti sljedeće: pri rotaciji krutog tijela poznate mase oko
nepokretne ose što je veće rastojanje materijalnih tačaka od ose rotacije to je veći i moment inercije
krutog tijela.
Međutim, ako je tijelo čiji se moment inercije određuje sastavljeno od kontinulanih dijelova
prethodni izraz se transformiše u integral:
dmrI 2
Izražavajući uočeni element mase dm preko gustine i elementarne zapremine dV:
dVdm
prethodni integral se svodi na:
dVrI 2
Fizika
8
Ako je tijelo homogeno tada je gustina konstantna i integral se može izračunati za poznatu
geometriju. U slučaju tijela kod kojih postoji izražena simetrija (lopta, cilindar itd.) moment
inercije se računa relativno lako pogodnim izborom koordinatnog sistema u kojem se vrši
integracija.
Moment inercije prstena mase m i poluprečnika R u odnosu na osu koja prolazi kroz centar
prstena i normlna je na njega moment inercije s emože odrediti koristeći izraz dmrI 2 .
Pošto su svi elementi mase dm prstena na istom rastojanju R od ose rotacije dobija se da je moment
inercije:
mRdmrI y
22
Za homogen štap dužine L i mase M u odnosu na osu rotacije koja je normalna na štap i prolazi
kroz centar štapa moment inercije se može jednostavno odrediti. Ako je dx element dužine štapa
čija je masa dm tada važi:
dxL
Mdxdm
Za moment inercije štapa u odnosu na osu rotacije koja prolazi kroz sredinu i normalna je na ravan
štapa (leži na pravcu y ose) dobija se:
2
2/
2/
2
2/
2/
22
12
1Mldxx
L
Mdx
L
MxdmrI
l
l
l
l
y
Moment inercije cilindra mase M i poluprečnika R u odnosu na
osu koja prolazi kroz centar mase cilindra:
2
2
1MRI
Moment inercije lopte mase M i radijusa R u odnosu na osu koja
prolazi kroz centar mase lopte:
2
5
2MRI
Ukoliko osa u odnosu na koju se računa moment inercije štapa nije
i osa koja prolazi kroz centar mase tijela za proračun momenta
inercije koristi se Štajnerova teorema: Moment inercije tijela oko
neke ose jednak je zbiru momenta inercije u odnosu na paralelnu osu koja prolazi kroz centar mase
tijela i proizvoda mase tijela i kvadrata rastojanja između osa:
SLIKA 8. MOMENT INERCIJE
ŠTAPA DUŽINE L U ODNOSU NA
OSU KOJA PROLAZI KROZ
CENTAR I NORMALNA JE NA
RAVAN ŠTAPA.
Fizika
9
SLIKA 9.KRUTA TIJELA PRAVILNOG OBLIKA ZA KOJE JE POZNAT MOMENT INERCIJE U ODNOSU NA OSU KOJA PROLAZI KROZ CENTAR
MASE TIJELA.
Moment inercije štapa mase m i dužine L u odnosu na osu koja je normalna na štap i prolazi kroz
jedan njegov kraj iznosi:
2
3
1MlI
Što je veći moment inercije tijela to je teže tijelo pokrenuti iz stanja mirovanja odnosno potrebno
je uložiti veći rad da bi se ono pomjerilo. Takođe, ako se tijelo kreće, što je veći moment inercije
potrebno je uložiti veći rad da bi se ono zaustavilo – inercija rotacije.
Napomena: Masa je fizička karakeristika objekta dok moment inercije zavisi od
preraspodjele mase.
Rotaciona energija Posmatrajmo česticu mase mi koja rotira oko nepokretne ose O linijskom brzinom vi na rastojanju
ri od ose rotacije (Slika). Kinetička energija čestice mase mi koja se kreće brzinom vi data je
izrazom:
2
2
1iiik vmE
Ukupna kinetička energija krutog tijela jednaka je sumi kinetičkih energija svih čestica koje
čine tijelo:
n
i
iik vmE1
2
2
1
Kako je linijska brzina čestice povezana sa njenom ugaonom brzinom izrazom wrv ,
zamjenom u prethodni izraz dobija se izraz za kinetičku energiju krutog tijela:
2
1
2
2
1wrmE
n
i
iik
pošto je ugaona brzina w svih čestica ista.
Ako se za izraz u zagradi uvede nova fizička veličina odnosno moment inercije2
Fizika
10
n
i
iirmI1
2
.
prethodna jednačina se svodi na sljedeći oblik (kinetička energija rotacije)
2
2
1IwEk .
Jedinica za kinetičku energiju rotacije je Džul (J). Važno je imati na umu da kinetička energija
rotacije nije novi oblik energije tijela već samo suma kinetičkih energija koje čestice krutog tijela
imaju usljed rotacije. Da bi se kinetička energija dobila u džulima u poslednjoj jednačini
neophodno je koristiti w izraženo u radijanima po sekundi (rad/s).
Poslednja jednačina daje i dobru interpretaciju momenta inercije: Što je veći moment inercije tijela
za datu ugaonu brzinu veća je i njegova kinetička energija rotacije.
SLIKA 9. ROTACIJA KRUTOG TIJELA KOJE SE KREĆE UBRZANO OKO NEPOKRETNE OSE O.
UBRZANJE A TAČKE P IMA KOMPONENTU DUŽ PRAVCA KRETANJA (TANGENTE U DATOJ TAČKI)
AT I PRAVCA DUŽ RADIJUSA KRUŽNE PUTANJE AR.
Moment sile Kod translatornog kretanja zbog djelovanja sila tijelo se kreće ubrzano. Po analogiji kretanja
postoji veličina koja tijelu koje rotira daje ugaono ubrzanje, a ta veličina se naziva moment sile.
Vrijednost momenta sile zavisi od od vrijednosti sile, ali i položaja sile u odnosu na pravac
djelovanja sile u odnosu na osu rotacije.
Posmatrajmo kruto tijelo na koje u nekoj tački (napadna tačka sile) djeluje sila intenziteta F sa
smjerom kao što je prikazano na Slici (lijevo), pri čemu je O centar inercijalnog referentnog
sistema kroz koji prolazi osa rotacije i normalna je na ravan u kojoj djeluje sila.
Moment sile predstavlja vektorski proizvod vektora r i F, normalan je na ravan ovih vektora,
a smjer mu se određuje pravilom desnog zavrtnja (Slika):
gdje je r[m] rastojanje između sile F (tačke u kojoj djeluje) i ose rotacije (radijus vektor koji
spaja osu rotacije i napadnu tačku sile), F[N] intenzitet sile koja djeluje na tijelo.
FrM
Fizika
11
Dakle, jedinica za moment sile je Nm. Treba obratiti pažnju na to da je Nm jedinica za rad i
energiju i naziva se Džul, međutim kod momenta sile koji ima potpuno drugačiji fizički smisao to
nije slučaj.
Izraz za intenzitet momenta sile dobija se iz prethodne jednačine razvijanjem vektorskog
proizvoda:
),(sin FrFrM Moment sile biće jednak nuli u 3 slučaja:
pravac prolazi kroz osu rotacije (r=0),
sila je po intenzitetu jednaka nuli (F=0) ,
vektori r i F imaju isti (Q=00) ili suprotan smjer (Q=1800).
Krak sile d definišemo kao najkraće rastojanje od pravca djelovanja sile do ose rotacije (Slika 10
-lijevo). Tada se moment sile može napsiati i preko izraza:
FdM
Pravac rezultujućeg vektora nalazi se na osi rotacije, ukoliko prsti na ruci prate redoslijed
množenja vektora r i F, tada palac pokazuje smjer rezultujućeg vektora M.
SLIKA 10. ROTACIJA KRUTOG TIJELA KOJE SE KREĆE UBRZANO OKO NEPOKRETNE OSE O (SLIKA LIJEVO).
ODREĐIVANJE MJERA VEKTORA MOMENTA SILE (SLIAK U SREDINI). SMJER VEKTORSKOG PROIZVODA U
ZAVINSOSTI OD REDOSLJEDA MNOŽENJA VEKTORA.
U svakodnevnom životu se često susrećemo i sa pojomom sprega sila, npr. ruke na volanu
automobila kojim upravljamo. Spreg sila definišemo kao dvije sile jednakih intenziteta, a
suprotnih smjerova. Rezultanta sila koje čine spreg je nula,
ali njihov moment nije nula. Moment sprega sila
predstavlja sumu momenata sila koje čine spreg. Ako na
tijelo djeluju dvije sile F1 i F2 u različitim tačkama pri
čemu F1 nastoji rotirati tijelo u smjeru suprotnom kazaljci
na satu, a i F2 u smjeru kazaljke na satu tada ukupan
moment sile u tački O iznosi:
ii
N
i
N
i
i FrMM
11
SLIKA 11. ROTACIJA KRUTOG TIJELA
KOJE SE KREĆE UBRZANO OKO
NEPOKRETNE OSE O (SLIKA
LIJEVO). SILE F1 I F2 DJELUJU U
RAZLIČITIM NAPADNIM TAČKAMA,
SILI F1 ODGOVARA KRAK SILE D1, A
SILI R2 KRAK SILE R2.
Fizika
12
Moment sile ima negativan predznak ako nastoji da okrene tijelo u smjeru kazaljke na satu, a
pozitivan u suprotnom slučaju. Primjenjeno na slučaj prikazan na slici:
2211 FRFRM
Poznata je Aristotelova izjava: „Dajte mi mjesto da stanem i pomjeriću svijet“. Aristotel je znao
da koristeći se polugom i djelujući na jedan kraj malom silom na drugom kraju poluge (velike
dužine) se može proizvesti velika sila. Poluga je primjer jednostavne mašine pomoću koje se uz
malu silu može pomjeriti tijelo velike mase.
Poluga je kruto tijelo koje može rotirati oko fiksne tačke ili ose koja se još naziva i oslonac. Glavna
namjena poluge jeste da se proizvede veliki momenat povećavanjem rastojanja između aksise i
pravca djelovanja sile.
Veza između momenta sile i ugaonog ubrzanja Neka čestica mase m rotira po kružnici radijusa r pri čemu na nju djeluju tangencijalana i radijalna
sila. Tangencijalna sila intenziteta:
ttmaF
saopštava materijalnoj tački m tangencijalno ubrzanje at.
Intenzitet momenta sile koji nastaje zbog dejstva tangencijalne sile se onda može izračunati na
sljedeći način:
Dobija se da je moment sile tijela srazmjeran ugaonom ubrzanju tijela, a konstanta
srazmjernosti je moment inercije tijela
Moment impulsa Posmatrajmo četicu mase m koja rotira u odnosu na prozivoljnu tačku referentnog sistema. Neka
je položaj uočene čestice u odnosu na referentni sistem određen vektorom položaja r
, a impuls
uočene čestice iznosi p
. Tada moment impulsa čestice mase m koja rotira u odnosu na osu z koja
prolazi kroz koordinatni početak određen je vektorskim proizvodom vektora r
i p
i iznosi (Slika):
pxrL
Vektor L
je normalana na pravac vektora r
i p
(pravilo vektorskog proizvoda), a smjer mu je
određen pravilom desne ruke (prsti desne ruke pokazuju smjer rotacije r
prema p
, a palac
pokazuje smjer vektora L
).
)()()( 2mrrmrrmarFMtt
IM
Fizika
13
Posto je impuls čestice p=mv, intenzitet vektora L se može
izračunati kao:
),(sin),(sin prmvrprprL
gdje je v[m/s] brzina kojom se kreće čestica, r[m] radijus vektor
(vektor položaja) čestice, [rad] ugao koji zaklapaju vektori r i p.
Pri rotacionom kretanju svi djelići putanje opsiuju kružne putanje
što znači da su vektori r i p međusobno normalni tako da se
intenzitet vektora momenta impulsa krutog tijela (linijska brzina
čestice povezana sa njenom ugaonom brzinom izrazom wrv )
može izraziti na sljedeći način:
wrmLii
2
Ukoliko je vektor L usmjeren duž z-ose za ugaoni moment sistema
čestica koji ima kruto tijelo dobija se:
IwL
wrmwrmLi
iiii
i
1
22
1
Moment impulsa sistema čestica predstavlja vektorski zbir momenata impulsa svih čestica koje
čine sistem i dat je jednačinom:
i
in LLLLL
..21
Osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja Po analogiji sa translatornim kretanjem, drugi Njutnov zakon rotacije se može izraziti i preko
momenta impulsa na sljedeći način:
Dakle, suma momenata spoljašnjih sila koje djeluju na tijelo jednaka je brzini promjene momenta
impulsa.
Ovaj izraz predstavlja jednačinu dinamike rotacionog kretanja koja se može zapisati i preko
momenta inercije i ugaonog ubrzanja polazeći od izraza za moment impulsa L=Iw:
dt
LdM
dt
pdr
dt
Ld
pdt
rd
dt
pdrpr
dt
d
dt
Ld
dt
pdrFrFrM
)(
SLIKA 12. ROTACIJA KRUTOG
TIJELA KOJE SE KREĆE
UBRZANO OKO NEPOKRETNE
OSE Z. UOČENA JE ČESTICA
MASE M KOJA SE NALAZI NA
RASTOJANJU R OD OSE
ROTACIJE I KREĆE
TANGENCIJALNOM BRZINOM
VT.
Fizika
14
Idt
dwI
dt
dLz
gdje je ugaono ubrzanje relativno u odnosu na z osu.
Posto je dL/dz jednako momentu spoljašnjih sila
Moment spoljašnjih sila koje djeluju na kruto tijelo koje rotira oko fiksne ose jednak je proizvodu
momenta inercije oko te ose i ugaonog ubrzanja u odnosu na tu osu.
Prema zakonu održanja momenta impulsa: Ukupan moment impulsa sistema je konstantan ako
je rezultanta momenta spoljašnjih sila koje djeluju na njega jednaka nuli.
Dakle, u izolovanom fizičkom sistemu ukupan moment impulsa je konstantan.
Rad, snaga, energija kod rotacionog kretanja Rad koji izvrši sila F djelujući na tačku P koja rotira oko ose rotacije O može se zapisati u obliku:
drFsdFdA )sin(
Ovo je rad tangencijalne sile, pošto radijalna komponenta sile ne vrši rad (normalna sila je
okomita na pomjeraj).
Koristeći izraz za moment sile jednačina za rad se svodi na:
MddA
Brzina vršenja rada (snaga) se može zapisati u obliku:
Mwdt
dM
dt
dAP
Izraz za snagu kod rotacionog kretanja analogan je izrazu sa snagu kod translatornog kretanja:
FvP
Pri translaciji rad koji izvrše spoljašnje sile pri kretanju tijela jednak je promjeni kinetičke energije.
Koristeći izraz za rad pri rotaciji čestice za kruto tijelo uopštavanjem dobija sljedeći izraz:
22
2
1
2
1if
f
i
wf
wi
IwIwIwdwMdA
Ukupan rad pri rotaciji krutog tijela oko nepokretne ose jednak je promjeni rotacione
energije tijela.
Po analogiji sa jednačinama koje opisuju tranaslatorno kretanje konstantnim ubrzanjem mogu se
uvesti jednačine koje opisuju rotaciono kretanje konstantnim ubrzanjem:
Idt
zLdM sp
21,
0
LLconstL
dt
LdM
z
zsp
Fizika
15
FvP
mvE
mvp
dt
dpmaF
k
2
2
MwP
IwE
IwL
dt
dLIM
k
2
2
Zakon održanja impulsa Zakon održanja momenta impulsa
npppconstp ..., 21 nLLLconstL ..., 21
Primjer: Na materijalnu tačku mase 5 g koja rotira po kružnici poluprečnika 10 cm djeluje moment
tangencijalne sile od 0,02 mN. Kolikim ugaonim ubrzanjem se kreće materijalna tačka?
Rješenje: Prvo se jednice fizičkih veličina moraju pretvoriti u jedinice SI sistema (m=5g=5x10-3kg,
r=10cm=0,1m). Moment tangencijalne sile (djeluje pod uglom 90o u odnosu na vektor položaja materijalne
tačke) je dat izrazom:
ramrFM tt
Ubrzanje materijalne tačake izrazićemo koristeći vezu između tangencijalnog i ugaonog ubrzanja:
rat
Zamjenom u izraz za moment sile dobija se:
2rmM Odavde je:
223250
1,0105
025,0
s
rad
mkgx
Nm
mr
M
Primjer: Na valjak poluprečnika 20 cm i mase 15 kg namotano je uže koje se vuče silom stalnog intenziteta 12 N. Kolika je ugaona brzina valjka? (Moment inercije valjka određuje se iz izraza).
Rješenje:
Rotaciju valjka izaziva moment tangencijalne sile M, a on se može izraziti preko sile i
njenog kraka, ali i preko momenta inercije i ugaonog ubrzanja točka: rFIM Odavde je:
228
2,015
1222
2
s
rad
mkg
N
mr
F
mr
rF
I
rF
I
M
Primjer: Točak sa momentom inercije 100 kgm2 kreće iz stanja mirovanja i dostiže ugaonu brzinu 15 rad/s pod dejstvom konstantnog momenta sile 20 Nm. Poslije koliko vremena će točak da dostigne navedenu brzinu i
koliki ukupan broj obrtaja će pri tome napraviti. Koliki rad izvrši disk pri kočenju?
Rješenje: Vrijeme se može odrediti iz izraza za ravnomjerno-ubrzano kretanje konstantim ubrzanjembez početne
brzine: ttww o
Fizika
16
Međutim, pošto je nepoznato i ugaono ubrzanje prvo je potrebno da se odredi, a može se izračunati iz izraza
koji povezuje moment sile i moment inercije:22
2,0100
20
s
rad
kgm
Nm
I
M
Dalje se zamjenom u prvi izraza dobija: s
s
rads
rad
wt 75
2,0
15
2
Broj obrtaja možemo izračunati iz izraza koji povezuje ravnomjerno-ubrzano kretanje sa ugaonim pomjerajem:
Nt
22
2
obrtaja
ss
rad
tN 89
14,34
752,0
4
2
22
Rad diska pri kočenju jednak je rotacionoj energiji diska:
kJs
radkgmIwA 25,111510
2
1
2
12
222
Zadaci za vježbu:
1.Točak razvija brzinu rotacije 3000 obrtaja u minuti. Kolika je snaga mašine ako je moment sile 500 Nm?
2.Klizač kliže početnom ugaonom brzinom 11 rad/ s sa raširenim rukama, a zatim spušta ruke i smanjuje moment
inercije 8 puta. Kolika je konačna brzina klizača ako je trenje na ledu zanemarljivo?
3.Uniformna sfera mase 5 kg i radijusa 0,2 m rotira oko ose koja prolazi kroz njen centar sa periodom 0,7 s.
Koliki je ugaoni moment (moment impulsa sfere)?
4.Lopta mase M i radijusa R kliže niz strmu ravan nagibnog ugla i visine h. Odrediti linijsku brzinu centra
mase na dnu strme ravni i linijsko ubrzanje.
Pitanja za provjeru znanja:
1. Kako se definiše i od čega zavisi moment inercije tijela? Kojim se jedinicama izražava?
2. Da li je vektorski proizvod dva vektora uvijek vektor? Kako je usmjeren? Koje fizičke veličine
predstavljaju vektorski proizvod dva vektora?
3. Kako su povezani moment sile i ugaono ubrzanje?
4. Šta je spreg sila? Objasniti!
5. Kolikom ugaonom brzinom rotira Zemlja oko Sunca?
6. Na točak sa momentom inercije 10-3 kgm2 djeluje moment sile od 1 Nm u toku 5 s. Izračunati koliku
ugaonu brzinu dobije točak ako kretanje započne iz stanja mirovanja.
7. Na standardni CD može da se snimi muzika u maksimalnom trajanju od 74 minuta i 33 sekunde. Kada
slušamo muziku koliko obrtaja CD napravi za to vrijeme? Izračunati koliko je ugaono ubrzanje CD-a
pretpostavljajući da se ne mijenja tokom vremena.
Fizika
17
8. Izračunati ubrzanje kojim se kreće teg mase m, pričvršćen na kotur mase M, poluprečnika R i
momenta inercije I.
9. Napisati osnovnu jednačinu dinamike rotacije.
10. Od čega zaivisi kinetička energija rotacije? Objasiniti vezu sa momentom inercije.