Obsah přednášky : Doba studia : asi 1,5 hodiny Cíl přednášky : seznámit studenty se základními zákonitostmi kinematiky bodu úvod do dynamiky, kinematika bodu, základní kinematické veličiny a vztahy mezi nimi, pohyb rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrný Základy mechaniky, 11. přednáška Kinematika bodu.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Obsah přednášky :
Doba studia :
asi 1,5 hodiny
Cíl přednášky :
seznámit studenty se základními zákonitostmi kinematiky bodu
úvod do dynamiky,
kinematika bodu,
základní kinematické veličiny a vztahy mezi nimi,
pohyb rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrný
Základy mechaniky, 11. přednáškaKinematika bodu.
dynamika
dynamikakinematika
jen pohyb pohyb a síly
Zabývá-li se dynamika vztahem mezi pohybem a silami,pak je účelné zkoumat nejprve samotné zákonitosti pohybua teprve pak se ptát na závislost na silách.
Kinematika se zabývá zákonitostmi pohybu.Vztahem mezi základními kinematickými veličinami,t.j. časem, dráhou, rychlostí a zrychlením.
Dynamika se zabývá vztahem mezi základními veličinami dynamiky,t.j. hmotou, pohybem a silami.
Základy mechaniky, 11. přednáška
Kinematika - nauka o pohybuKinematika se zabývá popisem a vyšetřováním pohybu bodu,
tělesa nebo soustavy těles.Pohybem rozumíme změnu polohy v čase.
Polohou je míněna poloha v prostoru, ve kterém se bod nebo těleso nachází.Prostor je spojitý (bod může v prostoru zaujmout jakoukoliv polohu).
Trojrozměrný prostor - směr dopředu-dozadu, doprava-doleva, nahoru-dolů.Dvourozměrný prostor - rovina, obecně však jakákoliv plocha.Jednorozměrný prostor - křivka, ve zvláštním případě přímka.
V trojrozměrném prostoru je poloha bodu jednoznačně určena třemi souřadnicemi.Ve dvourozměrném prostoru je poloha bodu určena dvěma souřadnicemi.V jednorozměrném prostoru je poloha bodu jednoznačně dána jedinou souřadnicí.
Čas je jednorozměrná, spojitá, skalární veličina, jeho změna je nezávislá,plyne rovnoměrně vždy dopředu a je absolutní, tedy pro všechna tělesaa pro všechny pozorovatele společný.
Základy mechaniky, 11. přednáška
Jedním ze základních pojmů kinematiky a mechaniky je stupeň volnosti.Pohyblivost jakéhokoliv objektu je dána počtem stupňů volnosti.
„Možný pohyb“ - není důležité, zda pohyb skutečně nastane.Důležité je, že může nastat (nic mu nebrání).
„Nezávislý pohyb“- mezi dvěma pohyby,jež představují dva stupně volnosti,nesmí platit žádný explicitní vztah,daný vnějšími okolnostmi.
z
y
x
{ }zyx ,,
x222 Ryx =+
y
22 xRy −±=
φ⋅=φ⋅=
cossin
RyRx
{ }φ
{ }x
Stupeň volnosti je možný nezávislý pohyb.
Hmotný bod je vázán ke kruhové trajektorii.Vykonává pohyb ve dvou směrech - x a y.Pohyb v jednom směru (např. y) však je určenpohybem v jiném směru (x).Jen jeden z těchto pohybů je nezávislý,bod má jeden stupeň volnosti.
φ
Hmotný bod padá volným pádem v prostoru. Padá svisle dolů.Ale mohl by se pohybovat i ve dvou vodorovných směrech(třeba kdyby zafoukal vítr).Může tedy vykonávat tři pohyby, má tři stupně volnosti.
{nezávislá souřadnice}
Základy mechaniky, 11. přednáška
bod těleso
na křivce(1 rozměrný prostor)
1° volnostipohyb určitým směrem
v rovině(na ploše)(2 rozměrný prostor)
až 2° volnostipohyb ve dvou směrech
až 3° volnostiposuvy ve dvou směrech
a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybuv prostoru(3 rozměrný prostor)
až 3° volnostipohyb ve třech směrech
až 6° volnostiposuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os
Hmotný bod, jehož pohyb je pevně vázaný na danou křivku (dráhu, trajektorii), má 1º volnosti.Může se pohybovat pouze daným směrem.Například pohyb vlaku je vázán k dané trajektorii - ke kolejím.Navlékneme-li korálek na drát, bude jeho pohyb vázán k dané trajektorii.
Základy mechaniky, 11. přednáška
bod těleso
na křivce(1 rozměrný prostor)
1° volnostipohyb určitým směrem
v rovině(na ploše)(2 rozměrný prostor)
až 2° volnostipohyb ve dvou směrech
až 3° volnostiposuvy ve dvou směrech
a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybuv prostoru(3 rozměrný prostor)
až 3° volnostipohyb ve třech směrech
až 6° volnostiposuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os
Hmotný bod, jenž se může pohybovat v rovině nezávisle ve dvou směrech, má 2º volnosti.Rugbyový míč, vržený hráčem, se pohybuje nezávisle ve směru vodorovném a svislém.Rovinnost plochy, k níž je vázán pohyb bodu, není nutnou podmínkou.Turista, toulající se po horách, mění svou polohu ve třech směrech.Jeho nadmořská výška však není nezávislá, závisí na jeho geografických souřadnicích.Má tedy 2º volnosti.
je-li pohyb bodu omezen vazbami, má méně stupňů volnosti
Základy mechaniky, 11. přednáška
bod těleso
na křivce(1 rozměrný prostor)
1° volnostipohyb určitým směrem
v rovině(na ploše)(2 rozměrný prostor)
až 2° volnostipohyb ve dvou směrech
až 3° volnostiposuvy ve dvou směrech
a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybuv prostoru(3 rozměrný prostor)
až 3° volnostipohyb ve třech směrech
až 6° volnostiposuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os
Hmotný bod, jenž se může pohybovat v prostoru nezávisle ve třech směrech, má 3º volnosti.Zafouká-li boční vítr, rugbyový míč se vychýlí z roviny, v níž byl vržen.Bude nezávisle měnit svou polohu jak ve svislém směru (nahoru a dolů),tak ve dvou vodorovných směrech (dopředu a do strany).Poloha letadla, sledovaného střediskem letového provozu,je dána dvěma geografickými souřadnicemi a nadmořskou výškou. Má 3º volnosti.
je-li pohyb bodu omezen vazbami, má méně stupňů volnosti
Základy mechaniky, 11. přednáška
bod těleso
na křivce(1 rozměrný prostor)
1° volnostipohyb určitým směrem
v rovině(na ploše)(2 rozměrný prostor)
až 2° volnostipohyb ve dvou směrech
až 3° volnostiposuvy ve dvou směrech
a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybuv prostoru(3 rozměrný prostor)
až 3° volnostipohyb ve třech směrech
až 6° volnostiposuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os
Těleso, konající rovinný pohyb, se může pohybovat nezávisleve dvou směrech a může se otáčet. Má 3º volnosti.Lodička na hladině může plout dopředu a do stran a může se otáčet.
pohyb ve směru osy y
pohyb ve směru osy x
rotace okolo osy zzx
y
všechny pohyby současně
Základy mechaniky, 11. přednáška
bod těleso
na křivce(1 rozměrný prostor)
1° volnostipohyb určitým směrem
v rovině(na ploše)(2 rozměrný prostor)
až 2° volnostipohyb ve dvou směrech
až 3° volnostiposuvy ve dvou směrech
a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybuv prostoru(3 rozměrný prostor)
až 3° volnostipohyb ve třech směrech
až 6° volnostiposuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os
Koule se pohybuje vodorovně kupředua současně se otáčí (nezávisle na dopředném pohybu).Svislý pohyb je znemožněn vazbou. Má tedy 2º volnosti.
je-li pohyb tělesa omezen vazbami, má méně stupňů volnosti
Základy mechaniky, 11. přednáška
bod těleso
na křivce(1 rozměrný prostor)
1° volnostipohyb určitým směrem
v rovině(na ploše)(2 rozměrný prostor)
až 2° volnostipohyb ve dvou směrech
až 3° volnostiposuvy ve dvou směrech
a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybuv prostoru(3 rozměrný prostor)
až 3° volnostipohyb ve třech směrech
až 6° volnostiposuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os
Mince se valí bez prokluzu po vodorovné podložce.Svislý pohyb je znemožněn vazbou.Mince se pohybuje vodorovně kupředu a současně se otáčí.Tyto pohyby však nejsou nezávislé (protože nedocházík prokluzu). Otočí-li se mince jednou dokola (o 360º),posune se kupředu o dráhu přesně rovnou obvodu mince.Jen jeden z obou pohybů je nezávislý - mince má 1º volnosti.je-li pohyb tělesa omezen vazbami, má méně stupňů volnosti
Základy mechaniky, 11. přednáška
bod těleso
na křivce(1 rozměrný prostor)
1° volnostipohyb určitým směrem
v rovině(na ploše)(2 rozměrný prostor)
až 2° volnostipohyb ve dvou směrech
až 3° volnostiposuvy ve dvou směrech
a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybuv prostoru(3 rozměrný prostor)
až 3° volnostipohyb ve třech směrech
až 6° volnostiposuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os
Těleso volné v prostoru se můžepohybovat ve třech směrech a může seotáčet okolo tří os. Má 6 º volnosti.Například helikoptéra při letunebo družice na oběžné dráze.
je-li pohyb tělesa omezen vazbami, má méně stupňů volnosti
Základy mechaniky, 11. přednáška
bod těleso
na křivce(1 rozměrný prostor)
1 souřadnicedráha s
v rovině(na ploše)(2 rozměrný prostor)
2 souřadnicex, y
3 souřadnicex, y
a úhel natočení φv prostoru(3 rozměrný prostor)
3 souřadnicex, y, z
6 souřadnicx, y, z a tři úhly natočení, např. α, β, γ
Okamžitá poloha objektu je jednoznačně určena tolika nezávislými souřadnicemi,kolik stupňů volnosti objekt má.
Objekt má tolik stupňů volnosti,kolik nezávislých souřadnic je zapotřebí k jednoznačnému určení jeho polohy.
Základy mechaniky, 11. přednáška
Pohyb boduPohyb bodu po dané dráze - základní kinematické veličiny.
čas značíme t z anglického slova timezákladní jednotkou je [s] {sekunda}dalšími jednotkami jsou [min, hod, ...] {minuta, hodina, ...}
dráha, souřadnice značíme s, x, y, ...základní jednotkou je [m] {metr}dalšími jednotkami jsou [cm, km, ...] {centimetr, kilometr, ...}
rychlost značíme v z anglického slova velocityzákladní jednotkou je [m/s, m·s-1] {metr za sekundu}dalšími jednotkami jsou [km/hod] {kilometr za hodinu}
zrychlení značíme a z anglického slova accelerationzákladní jednotkou je [m/s2, m·s-2] {metr za sekundu na druhou}
Základy mechaniky, 11. přednáška
Veličiny čas a dráha nebudeme explicitně definovat,spolehneme se na intuitivní chápání jejich významu.
Rychlost vyjadřuje změnu dráhy za čas.
s tsv
ΔΔ
= ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅ −1secmsecm ,
tsvs Δ
Δ=Tuto rychlost nazveme střední rychlostí nebo průměrnou rychlostí.
Okamžitá rychlost - nekonečně malá změna dráhy za nekonečně malý přírůstek času.
sdtds
tsv
0t&==
ΔΔ
=→Δ
lim
Tuto limitu definuje matematika jako derivaci.
Okamžitá rychlost je derivace dráhy podle času.
Základy mechaniky, 11. přednáška
tsv
ΔΔ
= ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅ −1secmsecm ,
Rychlost může být kladná (vzdálenost od počátku se zvětšuje).
Rychlost vyjadřuje změnu dráhy za čas.
s
Základy mechaniky, 11. přednáška
tsv
ΔΔ
= ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅ −1secmsecm ,
Rychlost může být i záporná (vzdálenost od počátku se zmenšuje).
Rychlost vyjadřuje změnu dráhy za čas.
s
Základy mechaniky, 11. přednáška
Abychom snadno rozlišovali kladnou a zápornou rychlost,zavádíme pojem orientovaná souřadnice.
A(t) A(t+Δt)
s(t) s(t+Δt)
Δs
Δt
vstř počátek
s
v +
v -
tsvs Δ
Δ=
Kladná rychlost v znamená nárůst dráhy (souřadnice),proto je kladná rychlost orientována vždy ve směru nárůstu příslušné souřadnice.
Základy mechaniky, 11. přednáška
Zrychlení vyjadřuje změnu rychlosti za čas.
s
v v+ΔvtvaΔΔ
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅ −2
2 secmsecm ,
Zrychlení je zrychlení průměrné neboli střední.tva s Δ
Δ=
vdtdv
tva
0t&==
ΔΔ
=→Δ
lim
Okamžité zrychlení je derivace rychlosti podle času.
Základy mechaniky, 11. přednáška
vdtdv
tva
0t&==
ΔΔ
=→Δ
lim
sdt
sda 2
2
&&==
dtds
dsdv
dtdva ⋅==
dsdvva ⋅=
zrychlení vyjadřuje změnu rychlosti za přírůstek času
zrychlení je derivace rychlosti podle času
zrychlení je druhá derivace dráhy podle času
zrychlení je rovno rychlosti,násobené derivací rychlosti podle dráhy
zrychlení je rovno jedné poloviněderivace kvadrátu rychlosti podle dráhy
( )dsvd
21a
2
⋅=
Základy mechaniky, 11. přednáška
Kladné zrychlení je orientováno stejně, jako kladná rychlost,tedy ve směru nárůstu souřadnice.
A(t) A(t+Δt) Δt
počátek
s
v(t) v(t+Δt)
a +
a -
( )t1fs = ( )t2fv = ( )t3fa =
( )s4fv = ( )s5fa =
( )v6fa =Úplné kinematické řešení.
dráha, rychlost a zrychleníjsou funkcí času
rychlost a zrychleníjsou funkcí dráhy
zrychlení je funkcí rychlosti
Základy mechaniky, 11. přednáška
Shrnutí
sdtdsv &==
vdtdva &==
sdt
sda 2
2
&&==
dsdvva ⋅=
( )dsvd
21a
2
⋅=
zrychlení je derivace rychlosti podle času
zrychlení je druhá derivace dráhy podle času
zrychlení je rovno rychlosti,násobené derivací rychlosti podle dráhy
zrychlení je rovno jedné poloviněderivace kvadrátu rychlosti podle dráhy
rychlost je derivace dráhy podle času
toto jsou obecně platné vztahymezi časem, dráhou, rychlostí a zrychlením
Základy mechaniky, 11. přednáška
Shrnutí
sdtdsv &==
vdtdva &==
sdt
sda 2
2
&&==
dsdvva ⋅=
( )dsvd
21a
2
⋅=
podle toho, jak se dráha, rychlost a zrychlenímění v čase, rozlišujeme tři druhy pohybu :
toto jsou obecně platné vztahymezi časem, dráhou, rychlostí a zrychlením
A) Pohyb rovnoměrný - rychlost je konstantní.
B) Pohyb rovnoměrně zrychlený- zrychlení je konstantní.
C) Pohyb nerovnoměrný.
Základy mechaniky, 11. přednáška
A) pohyb rovnoměrný : je takový pohyb, jehož rychlost je konstantní v = konst.
0dtdva ==
s
t
s0
tsv
ΔΔ
= 0sss −=Δ
0ttt −=Δtvs Δ⋅=Δ
( )00 ttvss −⋅=−
0stvs +⋅=
rychlost je konstantní, její změna (derivace) je nulová
s - okamžitá dráhas0 - počáteční dráha (v závislosti na volbě
souřadného systému může být nulová)t - okamžitý čast0 - počáteční čas - obvykle volíme t0=0
toto jsou vztahy, platné pouzepro rovnoměrný pohyb (v=konst).
Základy mechaniky, 11. přednáška
B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst.
konst==dtdva
dtadv ⋅=
∫∫∫ ⋅=⋅= dtadtadv
CtavCtaCv 21
+⋅=+⋅=+
řešení neurčitým integrálem
t = 0 ... v = v0
0
0
vCC0av
=+⋅=
0vtav +⋅=
integrační konstantu C určíme z počáteční podmínky
diferenciální rovnice 1. řádu
separace proměnných
rychlost na počátku vyšetřovaného pohybu
Základy mechaniky, 11. přednáška
integrační konstantu C určíme z počáteční podmínky
B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst.
konst==dtdva
dtadv ⋅=
∫∫∫ ⋅=⋅= dtadtadv ∫∫∫ ⋅=⋅=111
0
t
0
t
0
v
v
dtadtadv
CtavCtaCv 21
+⋅=+⋅=+
řešení neurčitým integrálem
0
0
vCC0av
=+⋅=
0vtav +⋅=
řešení určitým integrálem
[ ] [ ] 11
0
t0
vv tav ⋅=
011 vtav +⋅=
0vtav +⋅=
( )0tavv 101 −⋅=−
diferenciální rovnice 1. řádu
separace proměnných
Základy mechaniky, 11. přednáška
B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst.
0vtadtdsv +⋅==
( ) dtvtadtvds 0 ⋅+⋅=⋅= separace proměnných
řešení neurčitým integrálem
( )∫∫∫ ⋅+⋅=⋅= dtvtadtvds 0
Ctvtas
CtvtaCs
02
21
202
21
1
+⋅+⋅⋅=
+⋅+⋅⋅=+
0
02
21
0
sCC0v0as
=
+⋅+⋅⋅=
002
21 stvtas +⋅+⋅⋅=
integrační konstantu C určíme z počáteční podmínky t = 0 ... s = s0
diferenciální rovnice 1. řádu
dráha na počátku vyšetřovaného pohybu
Základy mechaniky, 11. přednáška
integrační konstantu C určíme z počáteční podmínky
B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst.
0vtadtdsv +⋅==
( ) dtvtadtvds 0 ⋅+⋅=⋅= separace proměnných
řešení neurčitým integrálem řešení určitým integrálem
( )∫∫∫ ⋅+⋅=⋅= dtvtadtvds 0
Ctvtas
CtvtaCs
02
21
202
21
1
+⋅+⋅⋅=
+⋅+⋅⋅=+
0
02
21
0
sCC0v0as
=
+⋅+⋅⋅=
002
21 stvtas +⋅+⋅⋅=
( )∫∫∫ ⋅+⋅=⋅=111
0
t
00
t
0
s
s
dtvtadtads
[ ] [ ] [ ] 111
0
t00
t0
221s
s tvtas ⋅+⋅⋅=
( ) ( )0vtv0tass 01022
121
01 ⋅−⋅+−⋅⋅=−
0102
121
1 stvtas +⋅+⋅⋅=
002
21 stvtas +⋅+⋅⋅=
diferenciální rovnice 1. řádu
Základy mechaniky, 11. přednáška
B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst.
konst=⋅=dsdvva
dsadvv ⋅ separace proměnných=⋅
řešení neurčitým integrálem
∫∫∫ ⋅=⋅=⋅ dsadsadvv
Csav
CsaCv2
21
212
21
+⋅=⋅
+⋅=+⋅
( ) 200 vssa2v +−⋅⋅=
integrační konstantu C určíme z počátečních podmínek
02
021
02
021
savC
Csav
⋅−⋅=
+⋅=⋅ dráha a rychlost na počátku vyšetřovaného pohybu
t = 0 ... s = s0, v = v0
alternativní řešenídiferenciální rovnice 1. řádu
Základy mechaniky, 11. přednáška
B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst.
dsadvv ⋅ separace proměnných=⋅
řešení neurčitým integrálem řešení určitým integrálem
∫∫∫ ⋅=⋅=⋅ dsadsadvv
Csav
CsaCv2
21
212
21
+⋅=⋅
+⋅=+⋅
( ) 200 vssa2v +−⋅⋅=
integrační konstantu C určíme z počátečních podmínek
02
021
02
021
savC
Csav
⋅−⋅=
+⋅=⋅
∫∫∫ ⋅=⋅=⋅1
0
1
0
1
0
s
s
s
s
v
v
dsadsadvv
[ ] [ ] 1
0
1
0
ss
v
v2
21 sav ⋅=⋅
( ) ( )012
02
121 ssavv −⋅=−⋅
( ) 2001
21 vssa2v +−⋅⋅=
( ) 200 vssa2v +−⋅⋅=
alternativní řešenídiferenciální rovnice 1. řádukonst=⋅=
dsdvva
Základy mechaniky, 11. přednáška
B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst.
shrnutí
0vtav +⋅=
( ) 200 vssa2v +−⋅⋅=
002
21 stvtas +⋅+⋅⋅=
s
t
s0
v
t
v0
v
s
v0
avvt 0−
=
toto jsou vztahy, platné pouze prorovnoměrně zrychlený pohyb (a=konst).
Základy mechaniky, 11. přednáška
B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst.
tav ⋅=
Špičkové sportovní auto zrychluje z klidu na rychlost v = 100 km/hod (27,8 m/s)za čas t = 5 s.
Jeho zrychlení tedy je a = 5,6 m/s2.
221 tas ⋅⋅= Dráha rozjezdu pak je s = 70 m.
Základy mechaniky, 11. přednáška
φ
v
ry
C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
Pohyb harmonický : je takový pohyb, jehož dráha se v čase harmonicky mění.
( )0try φ+⋅ω⋅= sin
π⋅ω
=2
f
ωπ⋅
==2
f1T
rv
=ω
r amplituda [m]
frekvence [Hz]
kruhová frekvence [s-1]
perioda [s]
φ počáteční úhel φ, fázový posuv [-]
r
tT
T
y
φ0ω
počet cyklů za sekundu
doba jednoho cyklu
Základy mechaniky, 11. přednáška
φ
v
ry
C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
Pohyb harmonický : je takový pohyb, jehož dráha se v čase harmonicky mění.
( )0try φ+⋅ω⋅= sin
( )0tryv φ+⋅ω⋅ω⋅== cos&
( )ya
trva2
02
⋅ω−=
φ+⋅ω⋅ω⋅−== sin&
r amplituda [m]
max. rychlost [m/s]ω⋅r2r ω⋅ max. zrychlení [m/s2]
t
y
φ0ω
Je to kmitavý pohyb hmotného objektu na pružném uložení.
r
T
T
Základy mechaniky, 11. přednáška
C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti.
vga ⋅β−=
vgdtdv
⋅β−=
dtvg
dv=
⋅β−
∫∫ =⋅β−
t
0
v
0
dtvg
dv
( )[ ] t
0v0 tvg1=⋅β−⋅
β−ln
Pro jednoduchost provedeme řešení s nulovými počátečními podmínkami.
( ) ( )[ ] tgvg1=−⋅β−⋅
β−lnln
( )te1gv ⋅β−−⋅β
=
tvg
11=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
β−⋅
β−ln
tg
vg1=
⋅β−⋅
β−ln
y, v, a
Základy mechaniky, 11. přednáška
C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti.
vga ⋅β−=
vgdtdv
⋅β−=
dtvg
dv=
⋅β−
( )te1gv ⋅β−−⋅β
=Pro čas, narůstající nade všechny meze,se průběh blíží ustálené hodnotě :
( ) ( )
( )β
=−⋅β
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅
β=
=−⋅β
=−⋅β
=
∞⋅β
∞⋅β−⋅β−
∞→
g01ge11g
e1ge1gv t
tustálená lim
β=
gvustálená
( )tustálená e1vv ⋅β−−⋅=
y, v, a
Základy mechaniky, 11. přednáška
C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti.
vga ⋅β−=
vgdtdv
⋅β−=
dtvg
dv=
⋅β−
( )te1gv ⋅β−−⋅β
=
β=
gvustálená
( )tustálená e1vv ⋅β−−⋅=
V ustáleném stavu se rychlost již nebude měnit,bude konstantní (v = vustálená = konst).Zrychlení tedy bude nulové.
0vga ustálená =⋅β−=
β=
gvustálená
y, v, a
Základy mechaniky, 11. přednáška
C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti.
vga ⋅β−=
vgdtdv
⋅β−=
dtvg
dv=
⋅β−
( )te1gv ⋅β−−⋅β
=
β=
gvustálená
( )tustálená e1vv ⋅β−−⋅=
v
t
vustálená T
63% vust 95% vust
( )tustálená e1vv ⋅β−−⋅=
t=2·T t=4·T t=3·T t=5·T t=T
tečna
β=
1T časová konstanta [s]y, v, a
Základy mechaniky, 11. přednáška
( )tustálená e1v
dtdyv ⋅β−−⋅==
C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti.
( ) dte1vdy tustálená ⋅−⋅= ⋅β−
( ) ( )∫∫∫ ⋅−⋅=⋅−⋅= ⋅β−⋅β−t
0
tustálená
t
0
tustálená
y
0
dte1vdte1vdy
separace proměnných
t
0
tustálená e1tvy ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅
β−−⋅= ⋅β−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡β−
+⋅β−
−⋅= ⋅β− 1e1tvy tustálená
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⋅
β−⋅= ⋅β− t
ustálená e11tvy
tvy ustálená ⋅=y
t
y, v, a
Základy mechaniky, 11. přednáška
C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
( ) ( )22
22 hRRgm
hRmM
rmMG
+⋅⋅=
+⋅
⋅κ=⋅
⋅κ=
κ = 6,67·10-11 kg-1·m3·s-2 - gravitační konstanta,M = 5,98·1024 kg - hmotnost Země,R = 6 378 km - poloměr Země.
Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní.
Gm
Země R
h
na povrchu Země (y=0) :
gmR
mMG 2 ⋅=⋅
⋅κ=
2RgM ⋅=⋅κ
22 sm 819g
RM ,==⋅κ
Základy mechaniky, 11. přednáška
C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní.
Gm
Země R
y
v, a
( )22
yhRRg
dydvva
−+⋅=⋅=
( )22
yhRRgmG−+
⋅⋅=h
volný pád z výšky h
( )∫∫ ⋅−+
⋅=⋅y
02
2v
0
dyyhR
Rgdvv
y
0
2221
yhR1Rgv ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
⋅⋅=⋅
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−−+
⋅⋅=⋅hR
1yhR
1Rgv 2221
Základy mechaniky, 11. přednáška
C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní.
Gm
Země R
y
v, a
( )22
yhRRg
dydvva
−+⋅=⋅=
( ) ( ) ( )hRyhRRyg2v
2
y +⋅−+⋅⋅⋅=
( ) hg2v hy ⋅⋅≅=Rh <<
( )22
yhRRgmG−+
⋅⋅=
( ) hRRhg2v hy +
⋅⋅⋅==
h
volný pád z výšky h
rychlost dopadu na Zemi :
Základy mechaniky, 11. přednáška
C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
v, a
Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní.
GZemě
m
R
y
( )22
yRRga+
⋅−=
( )22
yRRgmG+
⋅⋅=
v0
( )22
yRRg
dydvv
+⋅
−=⋅
( )( )∫∫∫ ⋅+⋅⋅−=⋅
+⋅
−=⋅ −y
0
22y
02
2v
0v
dyyRRgdyyR
Rgdvv
[ ] ( ) y
0
2
y
0
12v
0v2
21
yR1Rg
1yRRgv ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
⋅⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−+
⋅⋅−=⋅−
svislý vrh vzhůru
Základy mechaniky, 11. přednáška
C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
v, a
Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní.
Gm
Země R
y
v0 ( )yR
yRgR1
yR1Rgvv 22
02
21
+−
⋅⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+⋅⋅=−⋅
yRyRg2vv 2
0 +⋅⋅⋅−=
20
20
vRg2Rvh−⋅⋅⋅
=
skm 11Rg2v0 /≅⋅⋅< skm 11Rg2v0 /≅⋅⋅>
( ) Rg2vvv 20yyustálená ⋅⋅−==
∞→lim( ) 0v hy ==
svislý vrh vzhůru
těleso se zastaví ve výšce h těleso se neustále vzdaluje od Země
( )22
yRRgmG+
⋅⋅=
Základy mechaniky, 11. přednáška
Obsah přednášky :
úvod do dynamiky,
kinematika bodu,
základní kinematické veličiny a vztahy mezi nimi,
pohyb rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrný