-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
1/165
Ỏ l ồ
NGUYỄN PHÚ KHÁNH
Kiến thức ôn tập và kinh nghiệmã y ®
làm bàỉ thi đạt điểm 10
(Bám sát cấu trúc đề thi mởĩ nhất của Bộ 6D & B ĩ
)
k u v ể o k i i M
V- _
w 0 . é 6 ” ế ■
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC sư PHẠM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
2/165
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC sư PHẠM
136 Đường Xuân Thủy - Quận cầu Giấy - Hà Nội
Điện thoại: (04) 37547735 - Fax: (04) 37547911
Chịu trách nhiệm xu ất bản:
Giám đốc ĐINH NGỌC BẢO
Tổng biên tập ĐINH VĂN VANG
Chịu trách nhiệm nội dung và bản quyền: NHÀ SÁCH HỒNG
ÂN
Biên tập nội dung:
TRẦN TÌNH
K ĩ th uật vi tínkĩ
NHÀ SÁCH HỒNG ÂN
Trình bày bìa:
TIÊU VÁN ANH
Mã số: 02.02.990/1181 .PT2012
KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIẾM 10 MON
TOÁN
In 2.000 cuốn, khp 17 X 24cm tại Công ti c ổ phần Văn hóa Văn
Lang.Số đăng kí KH XB: 78 -201 2/CXB/990 -43/ĐH SP kí ngày
13/1/2012.QĐ XB số: 125 2/Q Đ-Đ HS P ngày 26/9/2012!n xong và nộp
lưu chiểu tháng 12 năm 2012.
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
3/165
WÓ6 cóầu,
Các em học sinh thân mán!Giảng đường Đại học là nơi các em đều
muốn được bước vào sau khi rời trường
THPT, song để thực hiện ước mơ ấy không phải đễ dàng. Nhằm góp
phần giúp cácem học sinh thực hiện được mơ ước của mình, ngoài sự
cố gắng học tập cùa các em,tác giả biên soạn bộ tàí liệu giá trị:
“Kiến tỉiăc ôn tập và kinh nghiệm làm bài thi đạt điềm
10môn Toán”. Bộ sách gồm 2 tập:
- Quyển thượng. Chia làm 4 chuyên đề:Chuyên đề I: Một số bài
toán thuởng gặp về đồ thịChuyên đề II: Phinmg trình liro'ng
giácChuyên đề III: Phương trìnb, hệ phương trình, bất phương
trinhChuyên đê IV: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
- Quyển hạ. Chia làm 6 chuyên đề:Chuyên đề V: Hình học không
gianChuyên đề VI: Phương phảp tọa độ trong không gianChuyên
đề VII: Hình học giải tích trong mặt phẵngChuyên đề VÙI:
Tổ họrp, xác suấtChuyên đề IX: số phứcChuyên đề X: Bất đằng thức,
giá trị lớn nhất, nhò nhất
Cuốn sách được biên soạn theo chuân kiên thức, kĩ năng của Bộ
Giáo đục và Đào tạo.Từng chuyên đề được trình bày cẩn thận theo cấu
trúc đề thi, bạn đọc rất thuận tiện thamkhảo (dựa theo chưcmg trình
đã giảm tải). Mỗi vấn đề sẽ có:
- Tóm tắt các kiến thức lí thuyết cơ bản.- Lời giải chì tiết các
dạng toán thường gặp và ví dụ minh họa.- .Các bài tập rèn luyện kĩ
nâng, có hướng dẫn chi tiết.Tác giả chủ trương tránh đưa vào sách
những phân lý thuyêt nặng nê và ít sử dụng. Môi ví
dụ, lời giải dễ hiểu có nhận định sâu sắc, kèm theo lời bình
giúp người đọc nhận biết kỹ hcm
và sẽ có tư duy sáng tạo riêng cùa mình khi gặp những câu hỏi
khó, bài toán khó, iạ khác.Phần bài tập tự luyện tác giẫ‘tập hợp
nhiều dạng toán hay, mới mẻ. Giúp người họckhông chỉ có thể thử sức
những bài toán rèn luyện, mà còn giải một cách dễ dàng
những bài toán hóc búa, tưởng chừng không thể nào giải nổi.
Tác giả hi vọng, khi gặp một đề thikhó, ỉạ người học sẽ Ịíhông còn
ngại ngùng trong việc đưa ra ỉời giải cho mỗi bài toán.■Khi dựa
trên nên tảng kiên thức, kĩ năng cơ bảii một cách thuân thục.
Cuốn sách là sự kế thừa những hiểu biết chuyên môn và kinh
nghiệm của chính tác giảtrong quá trình trực tiếp đứng íớp bồi
dưỡng nhiều nãm. Tác giả hi vọng sẽ giúp các em vữngvàng ữong làm
bài thi.
Để đạt hiệu quả cao trong kỉ thỉ Đại họp sắp tới, tác giả hi
vọng các em sử dụng cuốn“Kiên thức ôn iâp vá kình ngỊtiệm làm
bài thi đai điêm 10 môn Toản” song song với
cuốn “Luyện thi cấp tốc môn toàn’’ mà tác giả đã ấn hành'. Hai
cuốn sách được ví nhưmỗi cá the đi tìm một nửa trái tim kia, mong
muốn kết tinh tình yêu thật đẹp. Mỗi cuốnsách, một phong cách, một
nét đẹp, bổ khuyết cho nhau.
Mặc dù tác giả đã dành nhiều tâm huyết cho cuốn sách, song sự
sai sót là điêu khótránh khỏi. Chứng tôi rất mông nhận được góp ý
quý báu của quý độc giả để những lần tái bản sau cuốn sách
được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn.Tác già
3
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
4/165
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
5/165
Đ
M Ộ T S O B f i l T O Á N T H Ư Ờ N G Q ệ p
V Ể Đ Ồ T H Ị
Chủ ửề
1.TưứNG GIAO CỦA ĐỔ THỊ CỦA HÀM số
Đình lí: Cho hai đổ thị (c ):.y =f(x) và ( c ) :y = g(x ).
Sô'giao điểm của hai đồ
thị (c) vả ( c ) chính là sốnghiệm của phương trình: f (x) =
g(x) .
Từ định lí này sẽ dẫn tới hai bài toán giao điểm sau :Bài toán
1: Biện luận số nghiệm của phương trình: F(x,m) = 0 (m là tham
sô)
Phương pháp giải:
* Ta biên đổi phương trình F(x,rri) - 0 về dậng f(x) = g(m ),
trong đó ta đã biết
đổ thị (c) của hàm sô' y = f (x) hoặc có thể dễ dàng vẽ được
* Để biện luận sô' nghiệm của phương trình, ta chuyển về biện
luận sô' giao điềmcủa (c) và đưòng thẳng song song với O x: y =
g(m)
Bài toán 2: Biện luận số giao diêm của hai đổ thị ( c ) : y = f
(x) và (C '):y = g(x) Phương pháp giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (c ) và ( c ) : f (x) =
g (x) (*).
Sô' giao điểm của‘(c) và (C') chính là số nghiệm cua phương
trình (*).
Ví dụ 1. Với giá trị nào của m thi đường thẳng y = -X + m cắt đổ
thị (c) của hàm
SỐ y ~——- tai 2 điểm p h â n b iê tB .x -1
V- Lờigịậi Đường thẳng y = -X + m cắt đồ thị (c) của
hàm sô' tại 2 điểm phân biệt khi và
chỉ khi phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt xv x2 :
^ l = -x + m » | x2 -(m - 1)x + m - :1=° -4(m -l)> 0x _ * [ x
* l Ị l - ( m - l ) . l + m - l * 0
m < 1 hoặc m > 5.
5
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
6/165
Vậy, m e (-co; l) u (5; +00) là giá trị cần tim thỏa bài
toán.
Nhận xét:Gọi I là giao điếm 2 đường tiệm cận của (c) .
• Ta thấy, đường ithang y = -x + in cắt đổ thị (c] thuộc cùng 1
nhánh của đổ
thị và đồ thị nhận I Ịàm tâm đổi xứng . Vì thê' xuâ't hiện những
câu hỏi mới như:Chứng tỏ đường thẳng y = -X + m cắt đồ
thị (c) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng 1
'nhãnh
của đô thị ? hoặc tìm tọa độ điểm A,B để A, B
đôĩ xứng nhau qua đường thẳng y = X+1 ?
hoặc tìm tham số m để cô IA.IB = -2...
• Hem nữa, y = -X + m và y = X+1 cắt đồ thị ( c ) tại 4 điểm
phân biệt, giả sử
A;B,C/D: Gọi G’ là đíêm đôĩ xứng c qua đường thẳng y = -x + m .
Ta phát Mện
A,C’,B,D là 4 đỉnh của hình thoi. Đêh đây, bài toán mói xuẩt
hiện: tìm tham số mđể AC’BD ỉà hình thoi có
diện tích bằng hằng số nào đó..., hoặc tìm tham số m
ãểhìrih thoi
AC'BC ỉà hình vuông?....• Nhận thây, nếu. m = 3 thì luôn có y =
-X + 3 . Như vậy, khi ta đã phát hiện
y = -X + 3 và y = X+1 là 2 trục đốì xứng của đổ thị đã cho. Bài
toán quy về " chứng
minh rằng y = -X + 3 và y - X+1 là trục đôĩ
xứng của đô thị hàm số...”.
• Lại có, y = -X -un và y = X+1 vuông góc nhau, đồng thời y =
X+1 cắt đồ thị
hàm sô' đã cho tại 2 điểm phân biệt C,D . Mọi đường thẳng đi qua
C D và vuônggóc với y = X+1 đều song song với y = -X + m . Vì thế
xuất hiện bài tơáĩi mới như:
2x~ĩ a. Tùy theo tham số m, giải và biện
ỉuận phương trình: —— = -x+m .
b. Gọi A: y - X+ p, giả sử A cắt ầô
thị (c) tại 2 điền phân biệt. Tìm p đểtiêp
tuyêh
tại 2 điểm đó song song với nhau.c. Giả sử tiẽp
tuyến,tại 2 điểm câu b có hệsốgóc lẫn ỉượt là kl7k2.
Tìm p để.: hoặc
+ k2 lớn nhất? hoặc + k2 bằng hằng sổ nào đó? hoặc
k2 + k2 = 160....
Tiếp theo, các em làm bài tập tnờ rộng dựới đây:
Mở rộng: Giả sử đường thẳng y = -X + m cắt đổ thi (c ) của hàm
sô' y = taiX —1
2 điểm phân biệt A, B . Gọi I là giao điêm 2 đường tiệm cận.1.
Tìm tham số m để tam giác IAB đều.
2. Gọi d' là đựờng thẳng đi qua I và cắt đồ thị (c ) của hàm
sô'tại 2 điểm phân
biệt c , D . Lập phương trìi\h đường thẳng d ’ để có CD =
- CI.
Gợi ý:
1. A(x1;--x1+m )/ B(x2;-x 2 +m), AB = (x2- x 1;- x 2 + Xj),
6
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
7/165
x1+ x2 = m -l, XjX2 = m - 1 .
Gọi H là trung điếm AB =>h Ị ^ — ẼH = Ị ^ Ặ ^ ^ j
IA2=IB23 => m = 3± Vó
IH2= —AB
ÍIA = IBTam giác LAB đều o \ o
IlH - — AB
2. d' đi qua điểm có hệ sốg óc là k: y = k ( x - l) + 2
Tọa độ giao điểm của d’ và (c) là nghiệm phương trình:
^ ^ = k ( x - l ) + 2 o k x 2 -2kx + k - l = 0 ,x * l (*)
Để d' cắt (c) tại 2 điểm phân biệt C,D khi và chỉ khi phương
trình (*) có 2
'k*0
nghiệm phân biệt khác 1 tức là - A’= (~k)2 - k(k - 1) > 0 o k
> 0
k.l2-2k.l + k - l* 0
Vói k > 0 thì (*) có 2 nghiệm phân biệt x3,x4 là hoành độ của
c, D , thỏa mãn:
k -1 --- •x3 + x4 = 2, x3.x4 =—— kết hợp điểu kiện: CD =
-C I tìm được k suy ra đường
k 3thẳng d’
Ví dụ 2. Cho hàm sô': y = (2 -m )x 3 -6m x2 + 9 (2 -m )x -2 có
đồ thị (Cm), m ỉà
tham ,số. Tìm m để đường ịthẳng d: y = -2 cắt (cm) tại ba điểm
phân biệt
A(0;-2), B và c sạo cho diện tích tam giác OBC bằng 7Ĩ3 .
Lời giải
Phương trìiứi hoành độ giao điểm là: (2 -m )x 3 -6mx2 + 9 (2 -m
)x -2 = -2
(2 -m )x 3 -6m x2 +9(2-m )x = 0 (l) o x |^ (2 -m )x 2 -6m x + 9(
2-m )J = 0
o x = 0 hoặc (2 - m)X2 - 6mx +9(2 - m) = 0 (2)
Để phưcmg trình (1) cỏ ba nghiệm phân biệt A (ũ;-2), B và c
khi phương trình
(2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ta có điều kiện:
j A = 9m 2- 9(2- m )2>0 fm>l[ 2 - m * 0 i m * 2
Gọi tọa độ điểm B(xb ;-2),C(x c ;-2), Xg ítxc
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
8/165
Gọi h ỉà khoảng cách từ gốc o đên đường thẳng d :y + 2 =0 o h
=2
Theo bài ra ta có :
s ao b c= ~h.B C = ''/Ĩ3 => BC = yịĨ3 (x6 + xc Ỷ -
4xBxc = 13 (3)
_ 6mTheo định lý Viét ta có:
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
9/165
- -
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
10/165
Gợi ý:
Phương trình hoành độ giao điềm của đ và (c) :
X+ m - x ~^" o f ( x ) = 2x2 + 2m x-m -l = 0
(*),X?É —
A’ = m2 + 2m + 2 > 0, Vm e R
Vì1
nên (*) có 2 nghiệm phân biệt khác —
Suy ra d luôn cắt (c) tại 2 điểm phân biệt a (x1;x1+ m),B(x2;x2
+m) với x1,x2 ỉà
2 nghiệm cùa (*).
X1 + x2 = -mTheo Vi - et: < _m _ I
xnx, =—-7 — - 2
Khi đó : AB = yị2ịxz - Xi)2 = ̂ Ị (1 + x2)2 -4xjx
2 = >/2m^f4m+"4
OA + OB = (xj + x2; Xj + x2 + 2m)
!OA + OBI = yỊịxj +xz )2 +(xj +x2 +2n)2 = \/m^T n^ = -
2̂rrt^
AB > ỊoA + Ob| yfam2 +4m +4 > yjzm2
m > -1
Vậy, m > -1 thỏa bài toán.
Mở rộng 2: Cho hàm số y = ——- , có đổ thị là (c ) . Gọi A,B là 2
giao điểm của
t l đường thẳng A: y = —X vói đổ thị (c). Tìm tọa độ điểm M
thuộc đường phân giác
góc phần tư thứ nhất sao cho MA + MB có giá trị nhò nhất.
Gợi ý:
Tọa độ A, B là nghiệm của hệ phưcmg trình:y = - x
y ~
1
6 X —1
x + 1B 3;-
A,B nằm về cùng phía đốĩ với đường phân giác d : x -y = ỏ .Gọi
A’(a;b) là điểm đôi xứng của A qua d nên có:
(a -2) . l + Ị b - ỉ j . l = 0 1 ^
h 1 « a 3 ^ A ' í ỉ ;2Ì ^ A 'B = i( l6 ;-9).a +2 3 b
= 2 ' 6
— --------- - = 0 L. 2 2 .
1C
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
11/165
ix = 3 + 16tPhươngtrìnhthamso'cua A'Bla: < 1
(teJR.).
[ y ị - 9 *
Khi đó M là giao điểm của A'B và d .
X- y = 0 ( 7 7 \Tọa độ M là nghiệm của hệ -ịx = 3 + 16t
=> Ml — I.
y = ị - 9 t3 2
Vậy Mị — I ỉà tọa độ cần tìm.
Ví dụ 4. Cho hàm sô' y = —° ( c ). Vói m là tham số
thực khác 0 và đườngx + m .
thẳng d có phương trình y = 2 x . Tim m để d cắt (Cm) tại hai
điểm phân biệt
A, B có hoành độ Xj, x2 thỏa mãn Xj -9xj = 8x2.
Lời giải
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng (-00; -m) u (-m;
-ko)
Hoành độ giao điểm của-đường tìhẳng d và (Cm) là nghiệm của
phương trình
2mx + 5x + m
Ị= 2x - —4x2- x - m -10 = 0(với X* - m )
Đặt g(x) = 4x2 - x -m -1 0 ■
Để d cắt (Cm) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phương
trình g(x) = 0
cỏ hai nghiệm phân-biệt khác -m tức phải có:
161167ĨÕ
161ÍA >0 ■ Í16m.+ 161>.0 j m > 16g (-m ) *
0O j 2m2 -5 * 0 ° - J w
^ í ............X-, + X, = = — / 3 4Ap dụng Vìet
cho Xp x2 ta có <
x-,x7 =—= ------ — . 12 a 4
Xét điều kiện bài toán: - 9x ị = 8x2 Xị - 9xj = 8^ -
- xa j
o x ị - Xj - 2 = 0 Xị = -1 hoặc Xị = 2./
11
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
12/165
5Với X, = -1 => X, ~ ~ m = ~5
47
Với X, = 2 => X, = - —=>m - 41 2 4
_ _ J. A.~" 1 m 161 „ >/ĨÕKêt
hợp với điểu kiện m > ------và IĨ1Í ±—— K 16 2
Vậy m = -5 hoặc m =4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài toán đã giải xơngỉ.2.JC -f"2 ỵ
M ở r ộ n g 1 : C h o h à m s ố Ỵ = ——— T ì m m
đ ế đ ư ờ n g t h ẳ n g ( d ) : y = - 2 x + m cắ tX 4*z
đổ thị (c) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam
giác OAB vuông tại o.
Gợi ý:
D = R \{-l} .
Hoành độ giao điểm của đường thẳng d và (c ) là nghiệm của
phưortg trình
2-■+ị ‘- _2x + m o 2x2 - (m - 4)X +1- m = 0 (Vx ?fc-l)
Để d cắt (c) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phương
trình trên có hai
nghiệm phân biện khác -1 Vm e R
Áp dụng Viétcho Xp x2 ta có
b m -4X-, + X, = —- = —-—
a 2
c 1 -mX1X2 ~ 7 " ~ '
Tọa độ giao điểm của d cắt (c) A(x1;-2x1+ m)/ B(x2;-2x2 + m)
nên
OA = (x1;-2x1 + m), OB - (x2;-2x2 + m)
Do đó OA.OB = XjX2 + (-2x1+ m)(-2x2 + m) = 5x1x2 - 2m(xj + x2 Ị
+ m2 =
Mà tam giác OAB vuông tại b khi và chỉ khi OA.OB = 0 jg L tj. =
0 m
Mở rộng 2 : Cho hàm số y = - - ?mx + m có đổ thị là (Cm) Với m
là tham số
thực và đương thẳng (d):y = - x + 3. Tìm m để (Cm) cắt đường
thẳng d tại hai
điêm phân biệt M, N sao cho tích các khoảng cách từ hai điểm M,
N đêh đường
thẳng (A): 2x - y + 5 = 0 không lớn hon — .
12
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
13/165
x + 2
Gợi ỷ:
g d và (
= -X + 3 g(x) = 2x2 - (3m + l)x + m - 6 = 0 (Vx -2)
Hoành độ giao điểm của đường thẳng d và (Cm ) là nghiệm của
phương tĩình
X2 - 3mx + m
Để d cắt (Cm) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chi
khi phương trình trên có
ÍA>0hai nghiệm phân biện khác -2 tức phải có:
|9m2 -2m + 49 >0
Ỉ2(-2)2 + 2(3m + l) + 111-6*0<
ÍA>0
Ó: |g(-2)*0
|^3m-—j + — >0 (Vm eầ)
m ^ — 7
Áp đụng Viet cho Xp x2 ta có "
b 3m + lXT+Xo =
a 21 A2
clx2c m “ 6
Xt X-, = - = — - — Í1 2
Ta có: M (x ị ; - x 2 + 3), N ( x 2; - x 2 +3) / (A ) :2 x -y +
5 = 0
, |3x1+2| . , |3x? +2Ỉ . . , . |(3xI +2)(3x2 +2)ịd(M; a )
ỉ/d(N;A) = ^d(M ;A ).d(N;a ) = ÌV 4
V5 V5 5
Ỉ9XỊX2 + 6(x ị + x2 ) + 4Ỉ27 m - 40
" 2 27m-40
■ / \ / X 37 |27m~40ị 37Mà d(M;A).d(N.;A)
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
14/165
(x~m)Ị^x2 - (3m + 5)x + 7m + s j = 0 x = m
hoặc g(x) = X2 - (3m + 5)x + 7m + 8 = 0
Để (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi
phương trình g(x)
có hai nghiệm p hân biệ t khác m tức phải GÓ:
["l -y íỸ7 ,|A > 0 Í9m2 + 2 m - 7 > 0 o ~ 2 m
w
Ịg (m )* 0 I ~2m2 + 2m + 8*0 7 _ 1 + VĨ7^ í. -- <
m —--—
9 2
Với điều kiện (*) thì (Cm Ị cắt trục hoành tại ba điểm phân
biệt. Để có hoàrih độ
xv x2, x3 lập thành một cấp sô' cộng
Để thuận tiện trong việc tính toán, giả sử các nghiệm lập thành
câp sô' cộng của phương tĩình hoành độ là x0 - d, x0, x0 + d
vói d là công sai. Khi đó đẳng thức sau
luôn đúng
X3 -(4m +5)x2 +^3m2 +12 + 8 jx -7 m 2 -8m = (x -x 0 -đ ) (x -x
0)(x -x 0 + d)
4m + 5 = 3x0 _ o _ 2 ,« o o 2 j
2 ~ 2 ó f 4m + 5̂ Ị 4m + 5 7m2 +4m + l
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
15/165
Phân tích vế ưá i trở thành -X3 +(xj +x2 +x3)x2 - ( x ị X2 + x
2x 3 +x3xj)x
Từ ( l ) ta có 8 = x1x2x3 = 8 = X2 o x2 = 2 => Xị + x3 = 3m -
1 nên Xị, x3là nghiệm
của phương trình t2 -(3m - l ) t + 4 = 0 và Xj, x3 *2 tức là có
hệ:
|(3m - l ) 2 ~4.4>0 í(3m-5)(3m + 3)>0 m > —
[4 - (3m- 1)2 + 4 * 0 |5 - 3 m * 0 m < - l
M ởrộng2 : Cho hàm sô' y = x3-(3m + l)x 2 + (5m + 4 )x -8 . Tìm
mđể (CmỊ cắt
trục hoành tại ba điểm phân biệt lập thành một câp số nhân.
Ví dụ 6.
1. Tim m để đường thẳng d y = -X +1 cắt đổ thị (c) hàm
sô'
y = 4x̂ - 6mx2 +1 tại 3 điểm A(0;l) , B, c sao cho:
a. B, c đối xứng qua y = X b. OB.OC = -4
2. Tìm m để hàm sô' y = - X 4 + 4mx2 - 4m cắt trục Ox tại 4 điểm
phân biệt M, N,
p, Q ( XM< XN < Xp < Xq ) sao cho MQ = 2NP.
tò i giải
1. d cắt đồ thị {c) tại 3 điểm A{0;l), B, c khi 4x3 -6mx2 +1 =
-x + 1 có 3
nghịệm phấn biệt tức phương trình 4x2 - 6mx +1 = ớ có 2 nghiệm
phân biệt khác 0,
3m +1 = Xj + x2 + X3
Phương trình (2) xảy ra 0
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
16/165
r
b. OB.OC = -4 x1.x2 -r(-x1 + l)( -x 2+l) = -4 hay
2x1.x2 -(x 1 +x2) + 5 = 0
2| - | + - m + 5 = 0 o m = - — (thỏamãn). j ) 2
3
2. Phương trình hoành độ giao điểm của hàm sô' và trục
hoành:
-X4 + 4mx2 - 4m = 0 (l) . Đặt t =
x2,(t>ũ)-khì đó phương trình (l) ưở thành - t2 + 4mt - 4m =
0 , t > 0 (2).
Để đổ thị cắt trục hoành tại 4 điêm phân biệt M, N, p,
Q khi và chỉ khi
A’“ 4m2 -4m > 0phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt dương
o
0 hay m > 1.
. s = 4m >0
Vợi m > 1 phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt = 2m - 2\/m2
-m hoặc
t2 = 2m + 2vm^ - m . Ta có: tj < t2.
MQ = 2NP OQ2 = 40P2 tức là t2 = 4ti 5\jm2 ~ m = 3m, bình
phương 2 vê"
' * ^ 25và rú tgọ n ta được phươn g trình lỏm^ - 25m = 0, phươn
g trình này có m = — thỏa
16điều kiện m > 1.
Mờ rộng 1; Tìm m để đường thẳng y - mx +1 cắt đổ thị (c): y =
“2x3+ 6x2 +1
tại ba điểm phân biệt A, B,c sao cho A(0;l) và B là ừung điểm
của AC.
Gen ý:
Đường thằng y = mx +1 cắt (c) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ
khi phương
trình -2x3 + 6x2 +1 = mx + 3 có ba điểm phân biệt o x|2x2 - 6x +
m j = 0 có ba
nghiệm phân biệt o 2xz - 6x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt
X* 0
ÍA’>0 Í9-2m>CI Ịm < i ,\ o ỉ 2- Í*J
2.0 -6.0 + m *0 m *0 j: 1 7^ 1 [m 0
Với điều kiện (*) thì đường thẳng ỳ = mx +1 cắt đổ thị (c) ba
điểm phân biệt
A(0:lV B.C.fx., = 2x-,
Vì B là trung điêm của AC nên có: ị mx +1 + 1 o x 2 =2x,
(1)ị- - - 2- - - - ==mx!+l
fx1+x2=3Theo định lý Vi - e t, ta có: ị m (2)
|x1.x2 = ~
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
17/165
Từ (l) và (2) suy ra m = 4
Mở rộng 2: Tun m để đường thẳng y =-x + m cắt đồ thị (c): y
=?x~4
hai điểtn phân biệt B và c sao cho tứ giác 0 ABC là hình bình
hành (0 là gốc toạ độ,A(-5;5))
Gợi ý:Do các điêm 0 và A thuộc đường thẳng A: y = -X . Để OẦBC
là hình bình hành
thì EC = OA = 5\ỉĩ 2x - 4
Ho Anh độ của B và c ỉà nghiệm của phương trình: — ----= -X
+ m
x* + (3 -m )x -m -4 = 0 (x ^ -l) (l)
Vì A = m 2 - 2m + 25 > 0 Vm ,nên (1) luôn có hai nghiệm
phân biệt đ luôn cắt (c)
tại hai điểm phân biệt B và c với B(x1;-x1+ m), c(x2;-x2 +
m) , ỉ \ - [x1+x7= m -3 . .
Giả sử x1/x ->là nghiệm của (1J, ta có: j (2)1X̂X2
*1X1■“ 4
Khiđó BC2 =2'(x1-x 2)2 =2^(xị+x2)2- 4x ^2 (3)
Thay (2) vào (3) ta được
BC2 = 2m2 -4m + 50 => 2m2 - 4m + 50 = 50 o m = 0 hoặc m =
2Với m = 0 thì 0, A, B, c thẳng hàng nên không thoả mãn.
Vậy, với m = 2 ià giá trị cần tìm.'BÀI TẬP Tự LUYỆN
Bài tập 1. Cho hàm sổ' y = — 2l có đổ thị là (
c ) . Tìm tất cả các giá trị tham số
m e l để đường thẳng (d): y = X+ m cắt đổ thị (c) tại 2 điểm
phân biệt A, B sao
cho OA2 +OB2 =— .2
Bài tập 2. Cho hàm số y = X4 - 2*(m + l)x2 + 2m + 1 có đổ thị là
(Cm). Tìm tất cả
các giá tri tham sỐ m eR đề*ctồ thị hàm sô' đã- cho cắt -trục
hoành tại 4 điểm phân biệt A,B,C,D lẩn lượt có hoành độ
xỉ/x2/x3/x4 (xT
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
18/165
r
Bài tập 4. Cho hàm số y = có đồ thị là (c ) . Tim tham số m để
đường than -
đ : y = X + 2m cắt đổ thị (c ) tại hai điêm phâ n biệt A và B
.cùng đ iếm I Ĩ Í Ị O
thành tâm giác có diện tích bằng 1, với i Ị - ; j .
Bài tập 5. Tim m để đường thẳng d: y = x + m + 2 cắt đổ thị
;Cm):y = X3 + 3x2 + mx -1 tại 3 điểm phân biệt A,B/C sao cho BC =
4, XA = 1.
Bài tập 6. Tìm m để đưòng thẳng d: y = x -m cắt đổ thj (Cm):
y = x5 + 3x 2 + m x - 3 tại 3 điểm phân biệt x1,x 2/x3 sao cho
'biểu thức
T = 2ịxỊ + xị + xị Ị + 3X1X2X3 - 5 đạt giá
ưị nhỏ nhâ't.
Bài tập 7. Tun m để đường thẳng d :y = m x -l cắt ởổ thị
(Cm):
y -2 x 3-3 x + m tại 3 điểm phân biệt A(l;yA), B,c sao cho
M(2;2m - l ) nằm
trong đoạn BC và MB —2MC .
Bàậiập 8. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm Á Ị — Ị cắt
đồ thị (c)
_ của hàm sô" y = ---- —tại 2 điểm phân biệt M,N
sao cho A thuộc đoạn MN vả
X—1 ’ - -AN = 2 AM.
Bài tập 9. Tìm m để đường thẳng (d) qua điểm A{l;0^ có hệ
số góc m cắt đổ
thị (c ): y = x + 2 tại 2 điểm phân biệt M,N thuộc 2 nhánh của
(c ) sao choAN + 2AM = 0 và XM< XN .
Bài tập 10. Tìm m * 0 để đường thẳng y ~ -x + m cắt đồ thị (Cm)
của hàm số:
y = —X3 -(m -2 ) x 2 +3(2m -3 )x + m tại 3 điểm phân biệt
A(0;m), B, c đổng
thời OA là đường phân giác trong của BOC trong ABOC.Bài tập 11.
Tìm m để đổ thị hàm sô
y = X3 - (2m + 3) X2 + ^2m2 - m + 9j X- 2m 2 + 3m - 7 cắt trục
hoành tại 3 điêỉm phân
biệt, trong đó cỏ 2 điêm có hoành độ lợn hơn 1 và khoảng
cách giữa 2 điêm này làlớn nhâV.
Bài tập 12. Tim m để đường íhẳng (d) : y =5X+ m cắt đổ thị ( c )
: y — tai 2 ) x -1
điểm phân biệt M,N thỏa mãn: AM = 4AN, trong đó Á là giao điểm
của (d) với trục
hoành.
18
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
19/165
Bài tập 13. Cho hàm số y = mx + 2 có đổ thị là (Cm). Tim m .để
trên đổ thị
(Cm) có 2 điểm p, Q cách đều 2 điểm A(-3;4),B(3;-2 ) và diện
tích tứ giác
APBQ bằng 24.
Bàỉ tập 14. Gọi (d) là đường thẳng đi qua A.(2;0) có hệ sô' góc
m cắt đổ thị ( c ) :
y = -X3 +6x2 -9x + 2 tại 3 điêm phân biệt A,B,C. Gọi B',C' lẩn
lượt là hình chiếuvuông góc của B,c lên trục tung . Tim giá trị
dương của m để diện tích hình thangBB'CC bằng 8 .
Bài tâp 15. Tìm tọa đô M,N để đường thẳng (d ): y = X+ m cắt đổ
thi y =v / X —1
tại 2 điểm phân biệt M,N sao cho Sịmn = 4 ( I là giao điểm
2 tiệm cận).
Bài tập 16. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua gôc tọa độ
o cắt đổ thị
2 32
(c)y - — tại 4 điếm phân b iệt là 4 đinh của 1 hình chữ
nhật có diện tích bằng — .
Bài tập 17. Cho hàm số y = -X3 + 3x2 - 3mx - m có đổ thị là
(Cm). Tìm m để (Cm)
'cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt M, N, p sao cho (xM- 2)3‘+
(xN - 2)3 + (xp - 2)3 = 3
* X I ĩ Bài tập 18. Tìm m để đường thẳng A: y = X- m cắt
(c) y = —* ỉậi hai
điếm phân biệt A , B sao cho khoảng cách từ A đêh trục hoành gâp
hai lần khoảngcách từ B đêh trục tung.
* ' 2x +1Bài tâp 19. Xác đinh đường thẳng d sao cho d cắt (c) :
y - ——— tai hai điểm. x -1
phân biệt B, c sao cho tam giác ABC đều, với A (-2;
5).
v HƯổng dẫn giải
Bài tập l.Phưong trình hoành độ giao điểm của (đ) và ( c ) :
x + = x + m
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
20/165
Ta có: OA2 + OB2 - Xj + (xị + m)2 + x ị + (x2 +
m)2
= 2(x1+x2)2- 4 x ị.x 2+ 2m (xj+ x2) + 2m2
= + 4(m + l) + 2 m ^ - ^ - ^ j + 2m 2 = - ( 4 m 2 + 2m +
17 )
Giả thiết: OA2 + OB2=^rịf 4 m 2 + 2m +17 ) = ̂ -
52m2 + m -1 0 = 0 m = - - hoăc m = 2 .
z
5 *Vậy m = hoặc m = 2 là giá tri can tìm.
Bài tập 2. X4 -2 (m + l)x2 +2m + l= 0 (1): Đật t = x‘2 (t>
0), phưcmgtrình (1)
trở thành t2 - 2 (m +1) t + 2m + 1 = 0 (2).Đế đổ thị
hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì phương trình (2) có
hai
A'= (m + 1)2 - (2m + 1)
nghiệm phân biệt t > 0 <2
s =2(m + l)>0 « m ̂ 0 và m > p = 2m +1 > 0
1Vói /*2*; yịĩĩ với tj > t2.
Theo giả thiết SACK= —AC.d(K; AC) (3) với d(K; á c ) = |yK|
.
Khi đó (3) yịĩ^ + = 4 o tj +12 + 2ựt1t2 —ló
Áp dụng định lý Vi-et cho phương trình (2), ta được:
2(m + l) + 2V2m + l =16 yj im + l - 7 - m ■»] _
=>m=4.[m ~16m + 48 = 0
Lira ý:Bài này các bạn có thể làm ngắn gọn hơn nều ta nhận thây
điều kiện đặc biệt ờ
t = l phương trình: t2- 2(m + l) í + 2m +1 = 0 có
nghiêm
11 = 2m +1
Bài tập 3.Phương trình hoành độ giao điểm (c) và (Hm) là:
9 (m + l)x + m -3 5 0 _ 36x3+3x2 =v J-Z--------- o X
+ 3x + —— = m +1 (*)
x+ l X+1 v }
Zij
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
21/165
(c) và (Hm ) cắt nhau tại 2 điêm phân biệt khi và chỉ khi phưong
trinh (*) có 2
nghiệm phân biệt khác -1 .
Xét hàm sô': f(x) = x3 +3x^ + - JC trên K \{ - l |w x + 1
/ \ ỉ 0 \ 36 (x + l)4 -(x + l f -12Ta có: f ’(x) =
3(x + 2x 1------= — }-— * —
. (x + 1) (*.+1)Vàf'(x) = 0 X= -3 hoặc X= 1
lim f (x) = -co , lim f(x ) = +co, lim f(x) = -oo, lim f(x ) =
-H»
Dựa vào bảng biến thiên suy ra m < -19 hoặc m > 21.
Bài tập 4. d[l,_dm ] = ị ^ ' , AB = ̂ 2(x2 - x: )2
ÎAB = 1 => 16m4 + 32m3 + 12m2 -4 m -6 = 0=>m = -
Bài tập 5. Phương trình hoành độ giao điểm (x - l)Ịx2 + 4x + m +
3j = 0
Với -8 ^ m < 1 thì d cắt (Cw) tại 3 điểm phân biệt
BC2 =2(x ị + x2)2 -8 x ịX2 = 8 (l -m ), BC = 4=>m = -1
.
Bài tập 6. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (COT):
(x + l)Ịx2 + 2x + m - = ? 0, với m < 4 thì T = 3m2 - 22m +
44
11Y 11 11 ________ . - 1 1 . . .
__.11 __ _| ______ í ___ _
m in I — \srti m - — = 3 m ~ — mữiT = -~ k h im -
—
[ 3 ) 3 3 3 3
Bài tập 7. Phương trình hoành độ giao điêm củà d và (Cm ) :
(x “ l)^2x2 + 2x - m -1 j = 0.
Vớí < m ^ 3 ửiì d cắt (cm) tại 3 điếm phân biệt. Do MB = 2MC
và M
2 Vnằm ữong đoạn BC => MB = -2MC => m = 55.
Bài tập 8. AN = -2AM < 2 1XM-1 XM-1
Bài tập 9. (d ): y = m(x - 1). Phương trình hoành độ giao điểm
của (d) và (c):
__ 2 _____ n .. T/-t\
x n + 2 x m = 2
mx -(2m + l)x + m = 0, X5*1 (1}
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
22/165
Theo bài toán phương trình (l) có 2 nghiệm phân biệt XT,X2 thỏa
mãn
Xị < 1 < x 2 = > m > 0 . G i ả s ử XM = Xp x n
= x 2 .
Lại có: XN + 2xM =3=>m = 2 .
Bài tập 10.B(x b ; - x b +m), c(x c ;-xc + m)
Vì OA là đường phân giác trong của BOC trong ABOC nên
:Ị
AC _ o c M v * c + (XC J ^ xc - m xB- m !
Ị
A B ” O B ~ ^ 4 J x 2B + (xB - m f xc XB
.
2x b .xc -m (x B+ xc ) = 0 =>m2 -14m + 10 = 0
Bài tập ll.( x~ l)|^ x2 -2 (m + l)x + 2m2 - 3m + 7 |= 0
Theo bài toán, phương trình X2 - z(m + l)x 4- 2m2- 3m + 7 = 0 có
2 nghiệm phân
biệt xlyx2 thỏa mãn l< x 12PQ = ̂ 2 (x2 - x1)2
Diện tích tứ giác APBQ bằng. 24
d (A; PQ) .PQ = 24 3 ^ 2 (x2 - Xj)2 =24 o (xj + x2f
-4xjx2 =16 (2)
Theo định lý Vi - et , ta có: Xj + x2 = m, xr x2 = -3 '
22
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
23/165
Thay vào (2) ta được m2 +12 -16 = 0 m = -2 hoặc m = 2
Đối chiếu điều kiện, ta thây m = 2 thỏa mãn bài toán.Bài tập 14.
Đường thẳng (d) có phương trình: y = m (x - 2).
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):
- X 3 + 6 x 2 - 9 x + 2 = m ( x - 2 ) < » ( x - 2 ) Ị x 2 - 4
x + l + m | = 0
Với m > 0, (d) cắt (c) tại 3 điếm phân biệt A,B,C và A là
trung điểm BC khi
và chỉ khi phương trình X2 - 4x +1 + m = 0 (*) có 2 nghiệm phân
biệt x: ,x2 khác 2
m >0
đồng thòi m > 0 o |A = 3-m>0< =>0 d(l,(d)) =|m -
lị
2Ịm-1
Khi đó: (**) o 1^2 Ị m2 - 2m + 13j------- - = 8,. bình phương 2
vế r ổ i rút gọn ta
được: (m - l)4 + 12(m- 1)2 - 64 = 0, đặt t = (m - 1)2 ̂ 0,
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
24/165
ta đượ c t2 + 12t - 64 = 0 => t - 4 tức (m - 1)2 = 4 m = -1
hoặc m = 3.
* Với m = -1 thì phươn g trình (*) trả thàiửi: X2 - 4x = 0 X = 0
hoặc X = 4
=> M (0; - l) , N (4; 3) hoặc ngược lại là tọa độ cần
tìm.
* Với m =3 thì phương trình (*) t rở thành: x2 -4 = 0 o x =
-2 hoặc X = 2=> M (-2;l),N(2;5) hoặc ngược lại là ỉọa độ cần
tìm.
Vậy M(O; -l) , N (4;3) hoặc M(-2; 1) ,N (2;5) hoặc ngược lại là
tọa độ cẩn tìm.
Bài tập 16. Đường thẳng (d) qua o có dạng: y = kx, y - mx (k,m
đều khác 0
và k í* m ).
Gọi A,B là giao điểm của (đ) và (c) thì tọa độ A,B là nghiệm của
hệ:
[y = kx [y = kx
Đạ.A,B tổn tại thì k > 0 / khiđó A 2k , B ^ -;V 2 k j.
Tưcmg tự m >0, ta có: , NVì o là tâm đôĩ xứng của
(c) nên ABMN là hình bình hành. Do đó ABMN là
32hình chữ nhật có diện tích băng — khi và chỉ khi. 3
OA = OM
;AM,AN = —L 3
í mk = 1 ík = 3I, 10i 1 hoặck + m = - ~ m = —
3 l 3
Vậy, (đ) có phương trình: y = -x,y = 3x.3
Bài tập 17. Hoành độ giao .điểm của trục hoành và (Cm) là nghiệm
của phương
t rì nh - X3 + 3 x 2 - 3 m x - m = 0Giả sử phương trình hoành độ
có ba nghiệm XM/ XN, Xp.
Từ đẳng thức - x 3 + 3 x 2 -3m x-m = (x-x M)(x- xN)(x-x p)
[ + Xu-+ Xt, = 3
k = I3
m = 3
M+ APIXMXN + XNXP + XpXM = 3m
IXMXNXP = ~m
IXM+ XN + XP = 27 ~ 30m
lxM+ XN +XP = 9-6m
24
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
25/165
Do đó: (xM -2 )3 +(xN -2 )3 + (xp -2 )3 = 3 = 6m - 15 =i>m =
3
Bài tập 18. Xét phương trình hoành độ giao điểm :
x + 1 = x -m o 2 x 2 -(2m + l)x + 2m + l = 0
m < hoậc m > —thì A cắt (c) tại hai điểm phân biệt A , B
có hoành độ khác 1
Ta có: A(xa;x j- m ), B(x2;x2-m ) => d(A;Ox) = |x1-m Ị,
d(B;Oy) = Ịx2Ị
Theo bài toán, ta có: Ịxj -m Ị = 2.Ịx2Ị, theo Vi -e t
2m +1 2m +1X1+ x2 = ' X1-X2 = —2 ■
* 1 í l ì 2m + l _ 8Từ đó ta được — m +-=■ = — — m = ----é{
3) 2 15
Bài tập Ỉ9.
Do đó^đường thẳng (d) J- IA (d): y = X+ m . '
_ . , , ^ 3 —m 3 + m lGọi M là trung điểm BC==> M
Ỉ---- —;———I.
Do B và c đôi xứng qua đường thẳng IA nên tam giác ABC cân tại A
.
Do đó ABC đểu khi AB = BC => BC2 = (2MB)2 = 4 ( b C2 -
AM2 ]
BC2 = - AM2 2^(xj + x2)2 — 4xtx2 = 2^m ~7 j hay m
=-5,m =1.
Vâv rn hai đường ửiẳng cần tìm: y =X- 5,y = X+ 1 .
TIẾP TUYẾN CỦA Đđ THỊ HÀM số 2 .
- Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm
M(x0;y0)/ hoặc hoành độ
x0, hoặc tung độ y0.
- Viết phương trình tiêp tuyêh khi biết tiếp tuyên
đi qua điểm A(xA;yA) cho
trước.
- Viết phương trình tiêp tuyên khi biết hệ số góc của
nó.□ Phương pháp:
Cho hàm SỐ y = f (x) có đổ thị'-(c) và M(x0;y0) ỉà điêỉtn trên
(c ) . Tiêp tuyên vói
đồ thị (c) tại M(x0;y0) có:ế
25
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
26/165
- Hệ sô'góc: k = f'(x0)
- Phương trình: y - y0 = k(x - x0), hay y - y0 = f ’(x0)(x -
x0)
Vậy để viết được phưang trinh tiêp tuyến tại M(x0;y0) chủng ta
cẩn đủ ba yêu
tô'sau:
- Hoành độ tiêp điểm: Xq- Tung độ tiệp điểm: y0 ( Nếu đề chưa
cho ta phải tính bằng cách thay x0 vào hàm
sổyo=f(xo))
- Hệ sô'góc k = f’(x0)
Dạng 1. Viết phương trinh tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp
điểm
Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm M(x0;y0)
, hoặc hoành độ
x0, hoặc tung độ y0.
Bài,toán 1. Viết phưong trình tiêp tuyêh của đổ thị
hàm số y = f(x) tại điềm
M(xo;f(xo))-
Giải.
Tiếp tuyến của đồ thị hàm 'số y = f (x) tại M(x0;y0) là:
y = f ' (x ổ ) ( x - x 0 ) + y 0
Bài toán 2. Viết phưcmg trình tiếp tuyên của đồ thị
hàm sô' y = f (x) biết hoành độ
tiếp điếm X = x0.
Giải:
Tính y0 =f(x0), y’(x0) => phương trình tiếp tuyến:
y = f ’(x0)(x -x 0) + y0
Bài toán 3. Viết phương trình tiếp tuyêh của đổ thị
hàm số y = f (x) biết tung độtiếp
điểmbằng
y0.Giải.
Gọi M(x0;y0) là tiếp điểm
Giải phương trình f (x0 ) = y0 ta tìm được các nghiệm Xq ,
Tính y '(x0) => phương trình tiếp tuyến: y = í'1(x0)(x - x0)
+ y0
26
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
27/165
Dạng 2- Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp luyến đi
qua _____ điếm cho tnrớc I
Viết phưong trình tiêp tuyến khi biết tiêp tuyên đi qua điểm A
(x A; y A ) cho trước
Giải:Gọi M(x0;y0) là tọa độ tiêp điểm. Khi đó tiếp tuyến tại M
có dạng:
y = f ( x 0) ( x - x 0) + y 0
Vì tiếp tuyến đi qua A nên có: yA= É'(xo)(xA - x o) + yo' siài
phương trình này
ta tìm được x0, suy ra phương trình tiếp tuyên.
Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến lehi biết hệ số góc cho
trước
- Tiêp tuyên song song với đường thẳng (d ): ax + by + c = 0
- Tiêp tuyên vuông góc với đường thẳng (d): ax + by T c = 0
- ■Tiêp tuyên cùng vói đường thẳng (d): ax + by + c = 0 tạo
thành góc ọ .
Ví dụ 1. Cho hàm số y = X3 - 2x2 + X+ 4 có đổ thị (c). Lập
phương trình tiếp tuyến
của đổ thị hàm sô'biết tiếp tuyêh đi qua điểm M(—4;-24).
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên K.Giậ sử tiếp tuyến cần
tìm tiếp xúc với đô thị (c) tại điêm có hoanh độ Xq khi
đó phương trình tiếp tuyến (a) có dạng:
y = y’(x0)(x -x 0) + y(x0) = ̂ 3x0 -4 x0 + lj ( x -x 0) + x§ -2
x ị +x0 +4
Vì (A) đi qua điểm m (-4;-24) nên:
-24 =^3x0 —4x0 + l j ( -4 - x 0) + XQ-2xị) + x0 +4
xị + 5X0-8 x0-12 = 0 o x 0 = -6 hoặc Xq=-1 hoặc Xq=2.
- Với x0 = -6 thì phương trình tiếp tuyến là y = 133x + 508
. - Với x0 = -1 thì phương trình tiếp tuyến là y = 8x + 8
- Với XQ= 2 thì phương trình-tiếp tuyến là y = 5x - 4
Vậy, có ba phương trình tiếp túyến cần tìm là: y = 133x + 508; y
= 8x + 8; y = 5x - 4.
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
28/165
Mở rộng: Cho hàm số y = X3 - 3x2—9.X+ 11 có đồ thị lả (c). Lập
phương trìn
tiếp tuyến của đồ thi hàm số biết tiếp tuyển đi qua điểm l ( —
;184Ì.V 3 )
Gợi v:
Giả sử tiếp tuyến càn tìm tiếp xúc với đồ thị (c) tạị điểm có
hoành độ x0 kh
đó phương trình tiếp tuyến (a ) có dạng:
y = y’(x0)(x -x 0) + y(x0) = ̂ 3xồ -6 x0 - ^ ( x - x ^ + xỗ -3x
g-9 x0 + ll
Vì (A) đi qua điểm iỊ —̂ ;184^ nên:
184 = ^3xq - 6 x 0 - 9 j ^ - y - x 0j + x J - 3 x ^ - 9 x
0 + n
2xq - 32X0 + 58x0 + 260 = 0 » x 0 =13 hoặc x0 = 5 hoặc x0 =
-2.
- v,cfi x0 = 13 thì phương trình tiếp tuyến là y - 42ỮX -
3876
- Với x0 = 5 thì phương trình tiếp tuyến là y = 36x -164
- Vói x0 = -2 thỉ phương trình tiếp tuyến là y = 15x + 39
Vậy có ba phương trình tiếp tuyến cần tìm ià:
y = 42ŨX - 3876; V = 36x -1 6 4 ; V = 15x + 39 '
Ví dụ 2. Cho ham sô y = -X3 + 3.X-2, có đồ thị là (c). Tìm tọa
độ các điêrn trên
đường thẳng y = -4 mà từ đó có thể kẻ đền đổ thị.(c) đúng hai
tìêp túyến.
Lời giải
Hàm số đã cho xác định và ỉiên tục trên a.
Gọi A là điểm nằm ừên đườne thẳne V= -4 nên A(a;-4).
Đường thẳng A qua A yởi hệ số góc k có phương trình y = k (x -a
)-4
Đường thẳng A tìép xúc vói đồ thị ( c) khi và chỉ khi hệ phương
trình sau có nghiệm
j - x 3 + 3 x - 2 = k ( x - a ) - 4 j x 3 - 3 x - 2 = 3
(x2 - l ) ( x - a )
Ị-3x2 +3 = k |-3x2 + 3 = k
j(x + l)Ị 2̂x2 -(3a + 2)x + 3a + i ị = 0 (l)
j-3x2+3 = k(2)
28
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
29/165
Phuongtrinh (1) won«đưongvới: ^ Ị =2x2_ (3a+2)x+3a+2 = 0X= 1
Qua A kẻ được hai tiếp tuyến đến (c) khi và chỉ khi (2) có 2 giá
trị k khác nhau, khi
đó (1) có đúng 2 nghiệm phẳn biệt xl tx2, đồng thòi thỏa
k-j = -3xỊ + 3, k2 = -3X2 + 3
có 2 giá trị k khác nhauTrường hợp 1:
g(x) phải thỏa mãn có một nghiệm bằng -1 và nghiệm khác -1
hay
g 3a + 2 j 6a +6= 0 =>a = - l kiểm tra (2) thấy thỏa..
2
Trường hợp 2:
g(x) phải thỏã mãn có một nghiệm kép khác -1 hay
Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (c) sao cho tiếp tuyến
cắt đường tiệm cận
đứng và tiệm cận ngang của đồ thị (c) lần lượt tại E, F và chu
vi AIEF = 5 + V17 .
Gợi ý:
Vậy, các điểm càn tìm là A(-1;- 4), A(2;-4) hoặc
Mở rông : Cho hàm số ỵ = ———có đô thị (c) và giao đi êm hai tiệm
cận là I.
ĩ 2 }Vì (a ) cắt tiệm cận đứng tại E 2; 2+— và tiệm cận ngang
tại F(2x
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
30/165
PAIEF = IE + IF + EF = IE + IF + VlE2+IF2
Ví dụ 3. Cho hàm sô' y = (c) và đường thẳng (đm) : ỵ = 2x
+ m. Tưn m đểđườr.
*ẳns cắt (c) tại hai điêrn phân biệt A, B sao cho tâm đổi xứng I
của (c) cácđều hai tiếp tuyến vói (c) tại các điêm A, B.
D = R\{2}.
Hoanh độ giao điêm của đường thăng (đm) và (c) ỉà nghiệm của
phương
trình ~ ~ = 2x + m o 2x2 + (m - 5)x - 2m - 3 = 0 (Vx *
2)
(^m) (*•“) tại hau đi êm phân biệt A, B kill và chỉ
khi phưomg trình trêĩ
có hai nghiệm phân biệt khác 2 nên phải có:
Mở rộng: Cho hàm số y = x4- x 2 +l, cỏ đồ thị là (c). Tìm trên
đồ thị (c)
những điểm A sao cho tỉểp tuyến tại À cẳt (c) tại hai điểm B, c
khác A vàB, c nằm về 2 phía đối vói A .
Lòi giải
30
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
31/165
Gợi ý:
Gọi A Ịa;a4 - a2 +1 j là điểm thỏa mãn đê' bài.
Ta có: y' = 4x3 - 2 x . Phương trình tiếp tuyến (d) của (c) tại
A là:
y = ̂ 4a3 -2 a j( x -a ) + a4 - a 2 +1
Phướng trình hoành độ giao điêm của (d) và (c ) là:
X4 -X2 +1 = ̂ 4a3 -2 a j(x -a ) + a4 - a 2 +1 (x-a)2(x2 + 2ax +
3a2 - a j = 0
ó X= a hoặc g{x) = X2 + 2ax + 3a2 - a = 0
Theo bài toán thì g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt XJ,X2 sao cho
:
ỈA’= -2a 2 + a > 0 1X-J < a < x2 > rto 0 < a <
7 '
Ị(Xl-a)(x2-a)
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
32/165
m + 5 +
m + 5 +
(3Xj - 6x1+ in - 4)'+ (3x* - 6x2 + m - 4)
(3xj'-6xj +m -4)(3x^'-6x2+ m -4 )
4(4 -m ) 1 / 2I ' - Qo m + 5 — = 0 o m + 5 = 1 »
i-4 M m + 5) m + 5
m = -4
m = -64(m -4)(m + 5)
Đối chiếu điều kiện, ta thấy m = -6 và m = -4 thỏa bài toán.
Mở rộng: Tìm m để đường thẳng (d): y = 2x + m cắt đổ thị ( c ) :
y = —■*■" tại hai
điêm phân biệt sao cho tiếp tuyên của (c ) tại hai điêm đó
song song với nhau.
Gợi ý:Phương trình hoành độ giao điểm:
+ ̂ = 2x + m 2x2 + (m - 6)x- (2m + 3) = 0,x5*2 (*)
(d) cắt (c) tại 2 điểm phân biệt khí và chỉ khi phương trình {*)
có hai
nghiệm phân biệt và khác 2
' ÍA > 0 2° ỉ ( ) +8(2m + 3)>0 m2 + 4m + 60>0 (ỉuôn
đúng).
Với Vm e l thì đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm có
hoành độ Xị * x2 .
rp , 6 -mla c ó x ,+ x , = ———.1 2 2
Tại hai giao điểm kẻ hai tiếp tuyến song song khi và chỉ
khiy'(x1) = y'(x2) o x 1+x2 =4 o m = -2.
Bồi tập tự luyện:
Bài tập 1. Viết phương trình tiếp tuyêh của đổ thị hàm sô': y =
X3 - 3x2 + 2
a. Tại điểm (2; - 2) b. Tại điểm có hoành độ X= - ĩ
c. Tại điểm có tung độ y = -2 đ. Tại giao điểm của đồ thị với y
= X-1
Bài tập 2. Viêt phương trình, tiêp tuyển với đổ thi hàm số: y -
—— , biết
X —1a. Hệ số góc của tiêp tuyên bằng -2
b. Tiếp tuỵêh song song với đường thẳng (d ): X+ 2y =
0
c. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (a ) : 9x ~ 2y +1 =
0
Bài tập 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đổ thị hàm số :
a. y = X3 - 6x2 + ll x - 1 tại điểm có tung độ bằng 5.
32
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
33/165
1 , 1 o 4 . , , b. y =—X + —X - 2x - —, biet tiep tuyên
vuông góc với đường thang À :
x + 4 y - l = 0
gài tập 4. Cho hàm sô': y = X3 -(m - l)x2 + (3m + l)x + m - 2 .
Tìm m để tiếp tuyên
của đồ thị hàm sô' tại điểm có hoành độ bằng 1 đi qua điếm A (2
; - l) .
Bài tập 5. Cho hàm sô': y - X3 -3mx2 -x + 3m có đổ thị (Cm).
Định m để (Cm)
tiêp xúc vói trục hoành.
Bài tập 6. Cho hàm số: y = X4 + X3 + (m - 1) X2 - X- m có đổ thị
(Cm ). Định m để
(Cm ) tiêp xúc với trục hoành.
Bài tập 7. Cho hàm sô' y = (2 - x)2 X2, có đồ thị ( c ) . Viết
phương trình tiếp tuyên
của (c ) :
a. Tại giao điểm của (c) với Parabol y = X2 .
b. Tiếp tuyên đi qua điêm A(2;0).
Bài lập 8. Cho hàm số : y = X3 -(m + l)x2 -^2m2 -3m + 2jx +
2m(2m - l ) . Tìm m để:
a. Đổ thị ( c m ) tiếp xúc vói trục hoành.
b. ĐỔ thị (Cm) tiếp xúc với đường thẳng y = -49X+ 98.
Bài tập 9. Cho hàm sô': y = 2x4 - 4x2 -1 có đổ thị là (c ) .
Viết phương trình tiếp
tuyên của (c):
a. Biết tiếp tuyên vuông góc với đường thẳng : X- 48y + 1 =
0.
b. Biết tiếp tuyến đi qua A (l;-3 ).
c. Biết tiếp tuyên tiếp xúc với (c) tại hai điểm phân biệt
X+ 2Bài tập 10. Viết phương trình tiếp tuỵêh d với đổ thị ( c )
: y = —— biết d đi qua
điêm A (-6; 5).
^ 2x +1Bài tập 11. Viết phương trình tiếp tuyến d cua đổ thị ( c
) : y = —— biết d cách
đều 2 điểm Ạ (2; 4) và B(-4;-2).
Bài tập 12. Cho hàm số y - X4 - 4x2 + 3, có đổ thị ( c ) . Viết
phương trình tiếp tuyến
của (c) đì qua điểm A(0;4) có hệ số góc m , biết tiêp
tuyên tiếp xúc vói (c) tại
bôn điểm phân biệt
33
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
34/165
Bài tập 13. Cho hàm số: y = 2x + 2 có đồ thị ( c ) . Viết phương
trình tiêp tuyến biết
a. Tiêp tuyên có hệ số góc bằng -1. b. Tiếp tuyến song song
với đường thẳng đ : y = -4x +1.
c. Tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác
cân.
d. Tiếp tuyến tại điếm thuộc đổ thị có khoảng cách đên trục Oy
bằng 2.
Bài tâp 14. Cho hàm số y = 2x~ \ có đổ thi ( c ) . Viêt phương
trình tiếp tuyên củaX —1 v
đổ thị (c ) .
a. Tiếp tuyến có hệ sô'góc bằng .
b. Tiếp tuyên tạo vói hai tiệm cận một tam giác có chu vi
nhỏ nhất.
c. Khoảng cách từ l(l;2) đên tiếp tuyến là lớn nhất.
d. Tiếp tuyên của (c) tạ i M vuông góc với đường thẳng IM.
Bài tập 15. Viết phương trình tiếp tuyên (d) của (c) tại điểm M
thuộc (c):
y = x4 - 2x2 -1 sao cho (d) vuông góc với AM, biết a Ịo;— j
Bài tập 16. Tìm tất cả các giá trị của k đế tổn tại 2 tiếp tuyêh
với (c ):
= X3 + 6x2 + 9x + 3 phân biệt và có cùng hệ số góc k ,
đồng titled đương thẳng đi
qua các tiếp điểm của 2 tiếp tuyến đó với (c) cắt các trục Ox,Oy
tương ứng tại
A, B sao cho OB = 2012.0A .
Bài tập 17. Viết phương trình tiêp tuyến d của ( c ) : y = X4 -X
2 + —, biết d cắi
trục hoành , trục tung lần lượt tại A và B sao cho OA < OB,
sao cho diện tích
tam giác OAB bằng —và khoảng cách từ o đến d bằng
Bài tập 18. Viết phương trìứh tiếp tuyến d của ( c ) : y = x + ̂
sao cho tiếp tuyên tại
M của ( c ) : (x +1)2 +(y - 1)2 = — cũng là tiếp tuyên của (c)
.
Bài tập 19. Gọi M là điểm bâ't kì trên (c) của hàm sô' y = ——-
và I là giao đi&n 2
đường tiệm cận. Tiêp tuyên (d) của (c) tại M cắt 2 đường tiệm
cận tại A và B.
Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có
diện tíchbằng 2n.
34
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
35/165
Bải tập 20. Lập phương trình tiếp tuyên của đồ thi (c) : y = 2x
+ 3 tai nhữne điểmx + 1 '
thuộc đổ thị có khoảng cách đến đường thẳng ( d ): 3x + 4y - 2 =
0 bằng 2.
Bài tập 21. Tìm tâ't cả các điểm trên đường thẳng 30x - 24y + 61
= 0 để từ đó kẻ đến rị
đồ thị (c) : y = + 2x + —kẻ 3 tiêp tuyên tưcmg ứng với 3 tiếp
điểm có3 2 3hoành độ X1/X2/X3 thỏa Xj < x2
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
36/165
Bài tập 30. Cho hàm số y = --X 3 +X -- có đổ thị là (c ):
Gọi M là điểm thuộc đổ thị
(c) có hoành độ x = 2 . Tim các giá trị của m để tiếp tuyền với
(c) tại M song
, * V , i J { _ 2 9m + 5song với đưòngthăng d :
y = Ịm - 4 jx +———
Bài tâp 31. Cho hàm số : y = 2x + * có đổ thị là (c). Tìm điểm M
thuộc (c) sao chox-1
tiếp tuyên của (c) tại M cùng vói 2 đường tiệm cận của (c) tạo
thành một tam
giác có chu vi bằng 8 + 2-v/ĨÕ.
Bài tập 32. Cho hàm sô': y = X3 - 3x + 2 có đổ thị là (c ). Tìm
toạ độ đỉểm M thuộc
đường thẳng (d)có phương trình y = -3x + 2 sao cho từ Mkẻ được
hai tiếp
tuyến tói đổ thị (c ) và hai tiếp tuyên đó vuông góc với
nhau.
Bài tập 33. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường
cong
( c ) : y = X3 +1 và ( c ) : y = X2 + X.
Hướng dẫn giảiBài tập 1. Hàm sô' đã cho xác định vói Vx € R
.
Gọi Mọ (x0;y0) là tọa độ tiếp điểm và y0 = y(x0) = Xg -3xq
+ 2
y ' = 3x2 - 6 x , tiêp tuyêh tại điểm M0 có h ệ sô'gỏc: y ’(x0)
= 3xg - 6x0
a. T a có :x a =2 =>y'(2) = 0.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(2;-2) : y - 0(x - 2) -
2 = -2
b. Ta có: x0 =-!=> y0 =-2 ,y ’(-l) = 9
Phương trình tiếp tuyến: y = 9(x + l ) - 2 = 9x + 7
c. Ta có: y0 = "2 => Xq - 3xq + 2 = -2 xị -
3xq +4 = 0
Cí>(x0 + l)(x0 - ì f - 0 Xq = -1 hoặc Xq = 2
Phương trình tiếp tuyên tại điểm. (-1; -2): y = 9x + 7
Phương trình tiếp tuyến tại điểm (2; - 2): y = -2Vậy, có 2 tiêp
tuyến thỏa mãn đề bài: y = -2, y = 9X+ 7.
đ. Phương trình hoành độ giao điểm : X3 - 3x2 + 2 =
X-1
X3 - 3x2 - x + 3 = 0 (x -3) Ị x2 - l j = 0 o x = 3 hoặc X=
±1
Phương trình ỉdêp tuyêh tại điểm (-1; -2): y = 9X+ 7
36
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
37/165
Phương trình tiêp tuyến tại điểm (l; o): y = -3x + 3
Phương trình tiếp tuyến tại điểm (3; 2): y = 9x - 25
Vậy, có 2 tiêp tuyên thỏa mãn đề bài: y = 9x + 7, y = -3x + 3, y
= 9x - 25.
~ 2 ( x - l ) - 2 x -2
Bài tập 2. Ta có: y' = — ----- — =
-------- —r (* - • ) (x - l f
Gọi M(x0;y0) là tọa độ tiêp điểm, ta có hệ sô'góc tiêp tuyến tại
M bằng
y '(xo )= r ^K - 1)
a. Theo giả thiết ta có: y'(x0) = -2 ■£>— — - = -2f a -
1)
/ \2 fxn —1 = 1 xo = 2 =>yo = 4Xq =0 => yữ =0
Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y = -2x + 8, y = -2x
—2 1 2 1 b. Theo giả thiết ta có:----- —— = ---
o (x0 - 1) - —
(x0 - l f 2 ' *
1 27 1 7Vậy, có 2 tiêp tuyên thỏa đê bài: y = - —x +— , y - -
—X—
—2 2 2 1c. Theo giả thiết ta có: ----- —— = - —(xn -
l ) = —
(*0,-i)2 5 9
Vậy, có 2 tiêp tuyên thỏa đề bài: y = - — X +— , y = X+
— 9 9 99
Bàí tập 3
a. Ta có: y = 5 .0 X3 - 6x2+ ll x - 6 = 0x = l hoặc
X= 2ho ặc X = 3
Phương trình các tiếp tuyêh: y = 2x + 3, y = -X + 7, y = 2x -1
.
*'■ ’ 1 1 b. Tiếp tuyến vuông góc với đường thăng x + 4 y -
l = 0 o y = - — X+ — =>tỉềp
V- ^
DC VỞ1 đường tíiãng x + 4 y - l = u o y = -
.. T■■tuyên có hệ sốg óc k - 4
Phưcmg trình các tiếp tuyên: y = 4x + —, y = 4 x - ^ .6 3
Bài tập 4. Hàm sô' đã cho xác định với Vx € R .
Tacó: y’= 3x2 - 2 (m - l )x + 3m + l
Với X= X=> y (1) = 3m +1 => y '(1) = m + 6 *
37
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
38/165
Phương trình tiếp tuyến tại điêm có X= 1: y = (m + 6) (x - 1) +
3m +1
Tiếp tuyên này đi qua A (2; - l) nên có: -1 = m + 6 + 3m +1 m =
-2
Vậy, m - -2 là giá trị cẩn tìm.
Bài tập 5. (Cm ) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ
Xq khi và chi khi hệ
phương trình:Ị xq - 3mXộ - X+ 3m = 0 cón ghiệm Xo ^
^ Ị x 0( * ẫ - l ) - 3 n ( x ị - l ) - 0 •
[3X0 - 6mx0 -1 = 0 [s x g -ó m x ọ -^ o
í(x §-l )(x0 - 3m) = 0 !có nghiệm x0 Ỹ ' có nghiệm
x0 => m = ±—
[3 xq - 6mx0 -1 = 0 3
Bài tập 6.(Cm) tíếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ Xq
khi và chỉ khi hệ
phương trình: cónghiệm|4 xq + 3xg + (m - l)x0 -1 =
0
' ' * | XỔ(xo “ 1) + xo(xỔ -1) + m (xỔ -1) = °< v \ v / \
) rá nghiệm x0.Ị4xq + 3 xq + ( m - l ) x D- 1 =
0
Í(x§ -l)(x5 +x 0 +m) = 0 1■) ’ ' có nghiệm xn =>
m = -5;m = -1; m = —
[4X0 + 3xq + ( m - l ) x 0 - 1 = 0 4
Bài tập 7. y = X4 - 4x3 + 4x2 => y ’ = 4x3 - 12x2 + 8xa.
Phương trình hoành độ giao điểm:
X4 -4 x 3 +4x2 =x2 o x 2Ịx2-4x + 3j = 0 O x = 0,x = l,x = 3
* Với X= 0 phương trinh tiêp tuyên: y = 0
* Với X= 1 phương trình tiếp tuyên: y = 1 .
* Với X= 3 phương trình tiếp tuyên: y = 24x - 63
b. M (x0; y0 ) e (c ) . Tiếp tuyên (t) của (c) tại M (x0;
y0 ) :
y = (^xo “ 12x0 + 8x0 j.(x - x0) 4- Xq (x0 - 2)
A(2;0) e (t) o (2 - x0)(3x* - lOxị + 8x0) = 0 o x0 = 0,x0
= 2,x0 = I
* Vói Xg —0 => y(o) = 0,y0 = 0=> phương trình tíếp tuyên y
= 0
* Với x0 = 2 => y '(2) = 0,y o = 0 phươn g trình tiếp tuyền y
= 0
38
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
39/165
* Với x = —=> y3
—Tr,Vn = — => phươ ng ữình tiếp tuyến y = - - ^ x + —
■27 70 81 27 27
Bải tập 8
a.Ta có: X3 -(m + l)x2 - ^2m2 - 3m + 2j X+ 2m (2rr\ - 1) = 0
c>{x-2)|̂ x2 -( m - l) x -m ( Z m - l) j = 0 m = —,m = -2,m =
—
b. Ta có: X3 - (m + l)x2 - Ị2m2 - 3m + 2 j X+ 2m (2m - 1) = -49x
+ 98
(x-2)ị^x2 - (m - 1)X- m(2 m- 1) + 49J = 0 m = 5, m = , m =
Bải tập 9. Ta có : y ' = 8x3 - 8x
Gọi M(x0;y0)e (c ) . Tiêp tuyên A tại M có phương trình:
a. Vì tiêp tuyên vuông góc với đường thẳng X - 48y + 1 = 0 nên
có:
y’(x0) . ^ = - 1 « y'(x0) =-48 - x0 + 6 = 0 x0 =-2 => y0 =
15
Phương trinh A: y = -48(x + 2) +15 = -48x -81.
b. Vì tiêp tuyến A đi qua A(l;-3) nên có -3 = ̂ 8xg -
8x0 j(l - x0 ) + 2 x q - 4xg -1
o 3 x q - 4 x q - 2 x q + 4 x 0 - 1 = 0 ( x
0 - l ) 2 ( x 0 + l ) ( 3 x 0 - l ) = 0
* x0 =+!=> A:y = -3
, _ 1 A 64 51* xfì = — => A : y = —— X ———
0 3 27 81
c. Giả sử A tiếp xúc với(c ) tại điểm thứ hai N |n;2n 4 -4 n 2 -
l j
Suy ra: A: y = |8n3 -8 n j( x -n ) + 2n4 -4 n 2 -1
+ n2 -1 = 0
Ta< o _ 9
y = (8xJ - 8x0 )(x - Xq) +2xị -4x^-1
Xq + xỡn + n2 -1 = 0
3X0 + 3n2 - 2
(II)
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
40/165
2 2 _ 2
Xn + n = — 0 3
1xnn = — 0 3
hệ này vô nghiệm.
Bài tập 10. Cách 1: Gọi (x0;y là tọa độ tiêp điểm của tiếp tuyên
d và (c), vó
Xn+2y(xQ)= ■}, tiếp tuyên d có hệ số góc y ’(x0) =
x0 -2(x0
phương trình: y =(x0 -2)
(x- xo)Xọ*2x0-2
à đi qua điếm A (-6; 5) nên có 5 = -x 0 " 2
phương trình này(*0-2 )2
tương đương với Xp - 6x0 = 0 « XQ= 0 hoặc x0 =6* Với x0 = 0, ta
có phương trình: y = -X -1
X 7* Với x0 = 6, ta có phương trình: y = + —
Vậy, có 2 tiếp tuyên thỏa đề bầi y = -X -1 , y = .4 2
Cách 2: Phương trình d 4i qua A(-6;5) có hệ số góc k , khi đó d
có phương
trình là :y = k(x + 6) + 5
d tiêp xúc (c) tại điểm có hoành độ Xq khi và chi khi hệ
:
Xo+2k(x0 +6) + 5 = - ^ _
ị cớ nghiệm Xq hayk =
‐
4x§'-24x0 =0
k = — _4 ___ có nghiệm Xg
K - 2 )
Xq = 0, k = - 1 => d : y = - X - 1
x0 =6/ k = - —=>d: y = - —+ — 4 4 2
Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đềbài y = -x-1, V =4 2 '
Nhận xét 1: Qua cách 1 ta thây đường thẳng d : y = -X -1
luôn tiêp xúc vói (c)
tại tiếp điếm M (0;-l} và đường thẳng d luôn vuông góc với đượng
thẳng IM
với I là giao điẻm 2 đường tiệm cận.
40
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
41/165
Qua đó ta có bài toán sau:
và tiếp tuyến
tại M có hệ sô'góc y’(x0) = ----------, x0 * 2.(x0 - 2)'
(x0 -2 ) r (x0 -2 )2= -1 hay (x0 - 2)4 -16 «■ Xq = 0 hoặc
Xq = 4
■ Vậy, (0 ;- l) , M2 (4; 3) là tọa độ cẩn tìm.
* Nhận xét 2: DỄ thây, tiếp tuyến tại M1/ M2 song song với nhau,
hơn nữa
đường thẳng qua 2 điêm Mp M2 song song với đường phân giác
thứ nhâ't của
mặt phẳng tọa độ tức là tiếp tuyến tại M ly M2 có hệ số góc là y
’(0) = y ’(4) = -1
* Qua đó ta có bài toán sau: f ' X+ 2Giảsử
đường thẳng A : X~ y-m = 0 cắt ão thị y = ———
tá 2 ẩiấnphân biệt Mị, M2.
1 Gọi kp k2 lần lượt lã hệ sô'góc của dp ả2
tại Mị, M2- Tìm tọa độ Mị, M2 sao cho
dị, d2 ỉà tiẽp tuyếh của âô thị và k1+k2 = -2 .
2. Tun giá trị m e t để tiẽp tuyeh tại Mp M2
song song với nhau.
Bài tập 11. Gọi m (x0;y(x0)) , x0 *-1 là tọa độ tiêp điểm của đ
và (c)
Vì d cách đều A, B nên d đi qua trung điểm của AB hoặc song
song
với AB.
Khi đó d có hệ số góc y '($0 ) “ -----
— 2■■ (*0+1) và có phương trình là :
41
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY
WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
B
Ồ
I
D
Ư
Ỡ
N
G T
O
Á
N
-
L
Í
-
H
Ó
A
CẤ
P
2
3
1
0
0
0
B
T
R
Ầ
N
H
Ư
N
G
Đ
Ạ
O
T
P
.
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
-
8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM
10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…
42/165
THI: d đi qua ưung điểm l (- l; l) , thì ta luôn có:
1 =(x0+1)
(‐1 - xn ) + 2 - -—-— , phương trình này có nghiệm
x0 = 1v X n+ 1
1 5Với x0 = 1 ta có phương tr�